機率與統計

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1 機率與統計 東部 中部 北部 0 第一季第二季第三季第四季 姓名 :

2 機 率 事件與集合 一. 集合與元素 : 把一些具有某共通性質的事物收集起來當作一個整體 A, 則稱 A 為一個集合, 其中每一事物 x 叫做 A 的元素, 用 x A表示, 而 y 不是 A 的元素, 用 y A表示 < 說明 > : 集合以大寫字母 A,B,C,... 表之 元素以小寫字母 a,b,c,... 表之 二. 集合的表示法 :. 表列式 : 將集合的元素逐一列在大括號內 例如自然數所成的集合 S = {,,3,4,5, }. 敘述式 : 用文字敘述說明所含元素的性質, 如 N 是 所有自然數所成的集合 3. 結構式 : 用一個文字代表集合的元素, 再描述其特性 如 T = { x 4 x } 三. 空集合 : 不含任何元素之集合, 空集合的表示方法通常有三種,φ,{ }, { x x x} 四. 有限集合 : 集合的元素為有限個 否則稱為無限集合 五. 部分集合 ( 子集合 ): 若集合 A 中每一元素都在集合 B 中, 稱 A 為 B 的部分集合, 以 A B或 B A表示 < 說明 >: () 若 A 是 B 的部分集合 對於每一個 x A, 恆有 x B () A 是 A 的部分集合 (3) 規定 :φ 為任何集合的部分集合 六. 兩集合的相等 : A = B A B 且 B A < 說明 > : 一集合中元素重複出現, 該元素視為一個元素, 例如 :{a,a,b,b,c} = {a,b,c} 七. 聯集合 : 取 A,B 中所有元素所成的集合, 稱為 A,B 之聯集

3 以 A B 表之 A B = { x x A 或 x B }. 八. 交集合 : 取 A,B 中相同元素所成的集合, 稱為 A,B 之交集 以 A B 表之 A B = { x x A 且 x B }. 九. 差集合 : 在 A 中而不在 B 中之所有元素所成的集合, 稱為 A 對 B 之差集 以 B A B = x x A, x B 十. 積集合 : A B = ( x, y) A 表之 { } { x A, y B} 十一. 基集合 : 討論時所涉及的所有元素所成的集合, 稱為宇集合或基集合 以 W 或 U 表之 十二. 補集合 : 不在 A 中之所有元素所成的集合, 稱為 A 之補集合 以 A = A = ~ A = W A = x x W, x A A 或 A 或 ~A 表之 { } 十三. 冪集合 : A 的所有部分集合所成的集合, 稱為 A 之冪集合 以 表之 即 A = XX A A { } A = {,, 3,,, 3,, 3,, 3,,,φ} 例如 : A = {,,3 } 則 { } { } { } { } { } { }{ } < 說明 > : φ 與 A 必屬於 A 十四. 集合的基數 : 有限集合 A 中所成的元素個數, 稱為 A 之基數 以 (A) 表之. (A B) = (A) + (B) - (A B). (A B C) = (A)+(B)+(C)-(A B)-(B C) -(C A)+(A B C) 3. ( A ( A) ) = A ( A) < 說明 > : 表示一個集合, 是一個自然數例如 : A = {,,3} 則 A =,, 3,,, 3,, 3,, 3,,,φ 所以 ( A ) = 8 = 3 A B = A B 4. ( ) ( ) = ( A) ( A B) 5. (A B) = (B A) = (A) (B) 例如 : A = {,,3 }, (A) = B = { 3,4,5,6}, (B) = {{ } { } { } { } { } { } { } }

4 A B = { } B A = { } 所以 A B B A 又 (A B) =, (B A) = 所以 (A B) = (B A) = (A) (B) 十五. 集合的性質 :. A B = B A ; A B = B A. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 3. A (A B) = A ; A (A B) = A 4. De Morga 定理 (A B)' = A' B' ; (A B)' = A' B' 例.S = { 0, {0}, φ }, 下列何者正確? [ ABCDE ] S 0 (E) S {} 0 (A) S φ (B) S { φ } (C) 0 S (D) { } { } 類題.S = { {a,b}, a, c }, 下列何者正確? [ ACE ] (A) a S (B) b S (C) {a, b} S (D) {a, c} S (E) {a} S 類題.A 是一個集合, 下列何者正確? [ BCD ] (A) A A (B) {A} A (C) φ A (D) φ A (E) { φ, A } A 例. 設 A = {,,3,4 }, B = {,3,5,7,9 }, 求 A B = A B = A-B = B-A = 例 3. 已知 (A)=6, (A B)=, (A B)=4, 求 (B)=,(B-A)=, (A B')= 例 4. 設 x A-B, 則 [ AD ] (A) x A (B) x A B (C) x B (D) x A B (E) x B-A 類題. 設 x A B, 則 [ C ] (A) x A (B) x B (C) x A 或 x B (D) x A 且 x B (E) x A B 例 5. 某班 50 人參加測驗, 考題 A,B,C 三題, 答對 A,B,C 者分別有 0 人,9 人, 4 人, 答對 AB,BC,CA 者分別有 0 人,8 人, 人, 全對者有 6 人, 則 () 只答對 A 一題者有若干人? [ 4 ] () 只答對 BC 二題者有若干人? [ ] (3) 全錯者有若干人? [ ] 3

5 類題. 某班 50 人, 考試結果數學 30 人不及格, 英文 3 人不及格, 兩科均及格者有 0 人, () 兩科均不及格者有人 [ 3 ] () 數學及格而英文不及格者有人 [ 0 ] 試驗 : 在不確定的現象上, 求出一個結果的過程, 叫做試驗 樣本空間 : 試驗中一切可能出現情形所成集合, 叫做此試驗的樣本空間 事件 : 樣本空間 S 的任一子集, 叫做事件 () 基本事件 : 只有一個樣本點的事件 () 必然事件 ( 全事件 ) : 樣本空間 S 本身所成的事件 (3) 不可能事件 ( 空事件 ) : (4) 和事件 : 事件 A 或事件 B 所有樣本點所成的事件 (5) 積事件 : 事件 A 與事件 B 共同樣本點所成的事件 (6) 餘事件 : 事件 S-A 稱為 A 的餘事件 (7) 互斥事件 : 事件 A 與事件 B 不可能同時發生 集合用名詞 S 機率用名詞 樣本空間 a S 樣本點 A S 事件 φ 空事件 S A' = S-A (A B) 包含於 S (A B) 包含於 S A B =φ 全事件 餘事件 和事件 積事件 互斥事件 求一事件的餘事件 補集運算 : A' 求兩事件的和事件 聯集運算 : A B 求兩事件的積事件 交集運算 : A B 或 且 非 聯集 交集 補集 4

6 A,B,C 為三事件 () 至多有二事件發生 均不發生 或 恰有一事件發生 或 恰有二事件發生 () 至少有二事件發生 恰有二事件發生 或 恰有三事件發生 例 6. S 為樣本空間,E,F,G 為三事件, 試用集合符號表示下列諸事件 : () E,F,G 至少有一事件發生 () E 且 F 發生,G 不發生 (3) 恰有二事件發生 (4) 僅 E 發生 (5) E,F,G 恰有一事件發生 (6) E,F,G 均不發生 (7) 至多有二事件發生 (8) 至少有二事件發生 作業. 集合 P 表示平行四邊形,R 表示矩形,L 表示菱形,S 表示正方形, (A) R L (B) P L = S (C) R S = L (D) R L = S [ D ]. 如右圖所示, 斜線部分為何? [ C,D ] (A) A (B C) (B) (A B) (A C) (C) A (B C) (D) (A B) (A C) (E) 以上皆非 C B A 3. 下列何者恒真 : (A) A φ = φ (B) A φ = A (C) 若 A B = φ, 則 A B (D) 若 A B = φ, 則 A = B (E) φ = {0} [ D ] 4. 設 A={x+6y x,y Z}, B={3x+4y x,y Z},C={4x+8y x,y Z}, 求 A,B,C 之關係 : (A) B A C (B) A C B (C) B C A (D) C A B (E) A B C [ A ] 5

7 5. 設 A = { xx R, x 4}, B = { xx R, x < 8}, C = { xx R, x 3 } 則 (A-B) (A-C)= 6. 下列何者為真 : (A) (A')' = A (B) A-B = A B' (C) (A B)' = A' B' (D) A'-B' = (A B)-A (E) A (A B) [ ADE ] 7. 設 S={,,3,4,5,6,7},S 的子集合中含三個元素的有 m 個, 此 m 個子集合之各個元素之總和為, 則 m=, = [ 35, 40 ] 設 A = { xx N, x 0, x N}, B = { xx N, x 0, 8 x}, 則 (A-B)= [ 84 ] 9. 設 A = { 3x + 7 y x, y Z }, B = {3x + 5y x, y Z }, 求證 A = B 6

8 機率的性質 主題一古典機率 ( 拉普拉斯古典機率 ) (Laplace) 設 S 為有 個樣本點的樣本空間, 且各基本事件出現的機會均等 若 A 為一事件, 則事件 A 發生的機率為 A 之元素個數與 S 之元素個數之比, ( A) ( A) P( A) = = S ( ) () P(φ ) = 0 () P(S) = (3) 0 P(A) (4) P(A') = - P(A) 機率的性質 : () P(A B) = P(A) + P(B)-P(A B) () P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) -P(A B) -P(B C) -P(C A)+ P(A B C) (3) PB ( ) = PA ( B) + PA ( B) (4) 若 A,B 為互斥事件, 則 P(A B) = P(A) + P(B) (5) B A P(B) P(A) (6) P A B = P A B, P A B = P A B ( ) ( ) ( ) ( ) 猜拳問題 例. 4 人同時玩 剪刀, 石頭, 布 的遊戲一次, () 恰有一人得勝之機率為 [ 4 7 ] () 恰有二人得勝之機率為 [ 9 ] (3) 恰有三人得勝之機率為 [ 4 7 ] (4) 不分勝負之機率為 [ 3 7 ] [ 作業 ]. 3 人同時玩 剪刀, 石頭, 布 的遊戲一次, () 不分勝負之機率為 [ 3 ] () 恰有一人得勝之機率為 [ 3 ] (3) 恰有二人得勝之機率為 [ 3 ] 7

9 . 甲乙二人同時玩 剪刀, 石頭, 布 的遊戲一次, () 甲勝之機率為 [ 3 ] () 不分勝負之機率為 [ 3 ] 擲骰子 擲 粒骰子 : 樣本空間有 36 個元素 分母 =36 點數和 方法數 擲 3 粒骰子 : 樣本空間有 6 個元素 分母 =6 點數和 方法數 例. 同時擲三個公正的骰子, () 恰有一個 5 點之機率為 [ 5 7 ] () 點數均不相同之機率為 [ 5 9 ] (3) 點數和為奇數之機率為 [ ] (4) 至少出現一個么點之機率為 [ 9 6 ] (5) 點數和為 3 的倍數之機率為 [ 3 ] (6) 點數和為 4 的倍數之機率為 [ 55 6 ] 例 3. 二骰子連擲三次, 每次出現點數和均 8 之機率為 [ 5 78 ] 例 4. 連擲一均勻骰子三次, 出現點數和為 之機率為 [ 5 6 ] 例 5. 同時擲三個硬幣, 全部出現正面之機率為 [ 8 ] 8

10 例 6. 連擲一均勻骰子三次, 第一次出現 a 點, 第二次出現 b 點, 第三次出現 c 點, 則滿足 a b<c 之機率為 [ 35 6 ] 例 7. 有二個不同形狀的公正骰子, 一個是正四面體, 點數分別為,,3,4; 一 個是正立方體, 點數分別為,,3,4,5,6 ; 同時擲此二骰子一次, () 出現點數的乘積小於 7 的情形有種, [ ] () 正立方體骰子的點數較正四面體骰子的點數大之機率為 [ 7 ] [ 作業 ]. 同時擲三個骰子, 點數和為 5 之機率為 [ 0 6 ]. 同時擲二個骰子, () 點數和不大於 6 之機率為 [ 5 ] () 點數積為偶數之機率為 [ 3 4 ] (3) 至少一個點數是奇數之機率為 [ 3 4 ] (4) 點數和是奇數之機率為 [ ] (5) 兩個都是偶數之機率為 [ 4 ] (6) 點數差為 之機率為 [ 9 ] (7) 兩個同點之機率為 [ 6 ] 3. 連擲一均勻骰子三次, 三次中至少出現一次么點之事件為 A, 至少出現一次二點之事件為 B, 則 P(A B)= [ 9 7 ] 4. 甲乙二人各擲一均勻骰子 () 點數相同之機率為 [ 6 ] () 甲的點數小於乙的點數之機率為 [ 5 ] (3) 二人點數和為 0 之機率為 [ ] 9

11 5. 同時擲三個骰子一次, A 表出現點數和為 之事件, B 表至少有一個 4 點之事 件, C 表恰有一個 點之事件, () P(A) = [ 5 6 ] () P(B) = [ 9 6 ] (3) P(C) = [ 5 7 ] 6. 同時擲一個綠色骰子與一個紅色骰子, 問綠色骰子得 4 點, 紅色骰子得 5 點 之機率為 [ 36 ] 7. 連擲一均勻骰子三次, 第一次出現 x 點, 第二次出現 y 點, 第三次出現 z 點, () 滿足 x+y+z 6 之機率為 [ 5 54 ] () 滿足 (x-y)(y-z)=0 之機率為 [ 36 ] (3) 滿足 x y z 之機率為 [ 7 7 ] 撲克牌問題 ( 點數有 3 種花色有 4 種 ) 例 8. 從一副撲克牌 (5 張 ) 中任取 5 張, 6 () 富而豪斯 (Full house,x,x,y,y,y 其中 x,y 相異 ) 之機率為 [ 465 ] () 兩對 (Two pairs,x,x,y,y,z 其中 x,y,z 相異 ) 之機率為 [ ] 例 9. 從一副撲克牌 (5 張 ) 中任取 3 張, 則 () 此 3 張中至少有 張同點之機率為 [ ] () 此 3 張中至少有 張同花之機率為 [ ] 例 0. 同花 3 張撲克牌中 J,Q,K,A 稱為大牌, 任取 3 張恰含 張大牌之機率為 [ 7 43 ] [ 作業 ]. 從一副撲克牌 (5 張 ) 中任取 張, () 張不同點之機率為 [ 6 7 ] 0

12 () 張不同點, 但卻同花之機率為 [ 4 7 ]. 一副撲克牌 5 張 () 任取 張為黑桃之機率為 [ 4 ] () 任取 3 張, 至少一張為黑桃之機率為 [ ( ) (3) 任取 3 張, 至少一張為黑桃或紅桃之機率為 [ ( ) C C ] C C ] (4) 任取 張, 張同點之機率為 [ 7 ] (5) 任取 張, 張同花之機率為 [ 4 7 ] (6) 任取 3 張,3 張同花之機率為 5 [ 4 C 3 ] 摸球問題 ( 取球過程中, 因為每球被取的機會均等, 故球視為相異 ) 例. () 袋中有 5 紅球,3 白球, 自袋中任意取出 球, 其為紅球之機率為 [ 5 8 ] () 袋中有 5 黑球, 紅球,4 白球, 自袋中任意取出 3 球, 至少有 黑球之機率為 [ 4 33 ] 例. 袋中有球 30 個, 其中紅球有 個 ( ), 黃球有 5 個, 黑球有 0 個, 其餘 5 每種顏色各一球, 自袋中任意取出 3 球, 其為同一顏色之機率為, 406 則 = [ 6 ] 例 3. A,B,C 三袋中,A 袋中有 紅球 白球,B 袋中有 紅球 3 白球,C 袋中有 3 紅 球 5 白球, 自各袋任意取出 球, () 3 個球都是紅球之機率為 [ 0 ] () 3 個球中恰有一個紅球之機率為 [ 53 0 ] 例 4. 袋中有 3 球, 二黑一白, 每次任取一球, 每次取出一球, 取後放回, 若取出 之球為白球則得勝 ; 若取出之球為黑球則添加一黑球於袋中, 如此繼續 4 次, 則得 勝之機率為 [ 3 ] 例 5. 袋中有記以,,3,4,5,6,7,8,9 號的球各一個, 自袋中任取 3 球, () 三球球號恰有二球為連續號碼之機率為 [ ]

13 [ 作業 ] () 三球球號皆不連續之機率為 [ 5 ]. 設一袋中有 5 黑球,3 紅球, 白球, 自袋中任意取出 3 球, 其為二黑一紅之機率 為 [ 4 ]. 設一袋中有 5 紅球,4 白球, 自袋中任意取出 4 球, () 都是紅球之機率為 5 [ 6 ] () 至少含有三個紅球之機率為 [ 5 4 ] 數字問題 例 6. 甲乙兩人分別從 0 至 99 中, 各自選出 3 個不同的數, () 兩人所選的數完全相同之機率為 [ 6700 ] () 兩人所選的數至少有一相同之機率為 [ ] 例 7. 從,000 到,000,000 之自然數中任取一數, 不是平方數, 也不是立方數之機率 為 [ ] [ 作業 ]. 至 000 的自然數中, 不是,3,5 中任一個的倍數者有個 [ 66 ]. 二位數中, () 個位數字比十位數字大者之機率為 [ ] () 十位數字比個位數字大者之機率為 [ ] (3) 二位數字均相等者之機率為 [ 0 ] 3. 以,,3,...,9 等九個數字作成三位數 ( 數字不重複 ), 其中為 3 的倍數之機率為 [ 5 4 ] 4. 至 9999 的自然數中, 任取一數, 則所取之數中

14 () 恰含一個 0 之機率為 [ ] () 恰含二個 0 之機率為 [ ] (3) 恰含三個 0 之機率為 9 [ 9999 ] (4) 不含 0 之機率為 [ ] 5. 用 0,,,3,4,5 作數字相異的四位數 () 奇數之機率為 [ ] () 偶數之機率為 [ ] (3) 4 的倍數之機率為 [ ] (4) 5 的倍數之機率為 [ ] 6. 用 0,,,3,4,5 作數字可重複的四位數 () 奇數之機率為 [ ] () 偶數之機率為 [ ] (3) 4 的倍數之機率為 [ 4 ] (4) 5 的倍數之機率為 [ 3 ] 方程式問題 例 8. 擲一骰子兩次, 第一次 a 點, 第二次 b 點, 以 a,b 作二次方程式 x + ax+ b=0, () 此方程式有實根之機率為 [ 9 36 ] () 此方程式有等根之機率為 [ 8 ] (3) 此方程式有虛根之機率為 [ 7 36 ] (4) 此方程式有有理根之機率為 [ 7 36 ] 3

15 (5) 此方程式有無理根之機率為 [ 36 ] 例 9. 擲一骰子兩次, 第一次 a 點, 第二次 b 點, 以 a,b 作二次函數 y = 3x + ax+ b, 則 y 的最小值不大於 3 之機率為 [ 3 ] [ 作業 ]. 二骰子擲一次, 出現的點數分別為 a,b, 且 x ( a 3) x ( b 9) = 0, () 至少有一根為 0 之機率為 [ 6 ] () 有實根之機率為 [ 3 8 ] (3) 有二正根之機率為 [ 8 ] 錯排問題 例 0. 五封寫好的信, 任意放入五個寫好的信封內, () 恰有一封放對之機率為 [ 3 8 ] () 至少有一封放對之機率為 [ 9 30 ] (3) 全放錯之機率為 [ 30 ] [ 作業 ]. 5 個放有名牌的座位, 今由這 5 個人任意入坐, () 5 人都坐對之機率為 [ 0 ] () 5 人中, 恰有 3 人坐對之機率為 [ ] (3) 5 人中, 恰有 人坐對之機率為 [ 6 ] (4) 5 人中, 恰有 人坐對之機率為 [ 3 8 ] 4

16 (5) 5 人都坐錯之機率為 [ 30 ]. 四對夫妻共舞, 以抽籤決定舞伴, 則夫皆不與妻為舞伴之機率為 [ 3 8 ] 3. 6 人名片混在一起, 再發給 6 人, 每人一張, () 恰有 人得自己名片之機率為 [ 3 6 ] () 每人皆不得自己名片之機率為 [ ] 4. 袋中有大小不同的鞋子 5 雙, 任取 4 隻, 恰成一雙之機率為 [ 4 7 ] 5. 袋中有大小相同的黑鞋 3 雙, 紅鞋 雙, 任取 4 隻, () 恰成 雙之機率為 [ 3 05 ] () 恰成 雙之機率為 [ 4 35 ] 其它 例. 個人中, 沒有兩人在同一月份出生之機率為 [! ] 例. 設 N 個人中至少有二人在同一月份出生之機率為 P(N), [ ABE ] (A) P(3) (B) P(5) 0.6 (C) P(4) 0.5 (D) P(3) 0.3 (E) P() > 0 例 3. 袋中有 0 張卡片, 分別記上 到 0 之數字, 任取二張, () 二張卡片的數字都不超過 5 之機率為 [ 9 ] () 二張卡片均為偶數之機率為 [ 9 ] (3) 二張卡片的數字相差 之機率為 [ 5 ] (4) 至少有一張卡片的數字為 或 5 之機率為 [ 7 45 ] 例 4. 甲乙丙... 共 0 人分乘 ABC 三車,A 車坐 4 人,B 車坐 3 人,C 車坐 3 人, 抽籤決定各人所乘之車, () 甲乙同乘 A 車之機率為 [ 5 ] 5

17 () 甲乙同車之機率為 [ 4 5 ] 例 5. 張卡片, 分別記上 到 之數字, 任意分成兩疊, 每疊各 6 張, () 若,,3 三張在同一疊之機率為 [ ] () 若,,3,4 四張中, 每疊各有兩張之機率為 [ 5 ] 例 6. 擲一粒公正的骰子, 須連擲 ( 已知 log = 0.300, log3 = ) 次, 使至少出現一次 6 點的機率超過 3. [ 7 ] [ 作業 ]. 大小相同之正三角板, 共有 0 種顏色, 用 4 個不同顏色的正三角板可黏成一個彩 色的正四面體, 若任取三個正四面體, 發現它們沒有一面是相同顏色之機率為. 9 人乘坐有三節車廂之火車旅行, () 三人坐在第一節車廂之機率為 [ ] () 每節車廂各坐三人之機率為 [ ] (3) 二人坐在第一節車廂, 三人坐在第二節車廂, 四人坐在第三節車廂之機率為 [ ] 3. 小張每次投籃命中率為 50%, 若要使小張在 次投籃中至少命中一次的機率 自我測驗 超過 90%, 則 至少為 [ 4 ]. 今有路徑圖如右, 其中 M 為線段 NS 之中點且為圓之圓心, 甲自 S 往 N, 乙自 N 往 S, 二人同時出發, T 等速前進, 遇到交叉路口選擇前進的機會相等, 則二人相遇之機率為 [ 3 ] 若將路徑改為二同心圓 ( 如右圖 ) 其餘條件不變, 則二人相遇之機率為 [ 7 7 ] T M M S S 6

18 . 同時擲三個公正的骰子, 點數和為偶數之機率為 [ ] 3. 同時擲三個公正的骰子, 點數和為 0 之機率為 [ 8 ] 4. 擲一公正硬幣 0 次, 恰出現 5 次正面之機率為 [ ] 5. 5 紅球 3 白球排成一列, 白球不相鄰之機率為 [ 5 4 ] 6. 袋中有 4 黑球, 紅球,3 白球, 自袋中任取三球, 三球異色之機率為 [ 7 ] 7. 8 人任意分成兩組, 每組 4 人, 甲乙兩人在同一組之機率為 [ 3 7 ] 8. 設 N 個人中至少有二人在同一月份出生之機率為 P(N), 若 P(N) > 0.5 則 N 之最小值為 [ 5 ] 9. 五對夫婦, 男女配對跳舞, 則恰有一對夫婦共舞之機率為 [ 3 8 ] 0. 從 到 00 之自然數中任取一數, 則此數與 30 互質之機率為 [ 3 50 ]. 5 個人以剪刀石頭布猜拳, 不分勝負之機率為 [ 7 7 ]. 設 0 人圍一圓桌而坐, 則甲乙兩人之間恰有二人之機率為 [ 9 ] 3. 設 0 人圍一圓桌而坐, 則甲乙丙三人相鄰之機率為 [ ] 4. 擲一骰子 60 次, 恰在第 60 次出現第 0 個么點之機率為 C ] [ ( ) ( ) ( ) 主題二幾何機率設樣本空間 S 對應某一幾何圖形,A 為 S 之一事件,A 對應某一幾何圖形, ma ( ) 則事件 A 之幾何機率定義為 P( A) =, 其中 m 表測度 ms ( ) 說明 :() 分子, 分母須採相同之度量單位 () 度量單位可以同時為長度 面積或體積 9 例. 將一長度為 L 之線段任意切成三段, 則此三段可以構成一個三角形之機率為 [ 4 ] 例. 小張與女友相約下午 5 點到 6 點間在 來來百貨 一樓見面, 設二人皆在 5 點到 6 點間到達 7

19 () 若約定先到者要等 5 分鐘, 對方還沒來, 便可離去, 則兩人相遇之機率為 [ 7 6 ] () 若小張先到要等 5 分鐘, 女友到時不等, 則兩人相遇之機率為 [ 7 3 ] (3) 若小張先到要等 0 分鐘, 女友先到要等 0 分鐘, 則兩人相遇之機率為 [ 3 7 ] [ 作業 ]. 在線段 AB 上任取二點 P,Q, 則 PQ AB 之機率為 [ 3 4 ]. 二人相約於下午 7 點至 8 點在某地相會, 設二人皆在 7 點到 8 點間到達, 求二人前後到達不超過 5 分鐘之機率為 [ 3 44 ] 3. 從區間 [0,0] 內任取一點 x, 則 x 滿足 x 3 之機率為 [ ] 4. 從區間 [0,5] 內任取一點 x, [,6] 內任取一點 y, 則 x, y 之距離大於 5 之機率為 [ 6 ] 5. 在上午 7 點至 8 點之間, 某車站發車時間 :7:05, 7:0, 7:40, 7:50, 某人於上午 7 點至 8 點之間任意時刻到達車站, 則此人候車時間不超過 3 分鐘之機率 為 [ 5 ] 6. 有一邊長為 之正方形城市, 今投擲一炸彈於城內, 此炸彈爆炸威力半徑 為, 則該城市被完全摧毀之機率為 [( π 3) + 3] 8

20 條件機率及貝氏定理 主題一條件機率 設 A,B 為樣本空間 S 中的任二事件, 且設 P(B)>0, 在假設事件 B 發生的情況下, PA ( B) 事件 A 發生的條件機率, 以 PAB ( ) 表示 PAB ( ) = PB 性質 :() P( φ C) = 0 () PCC ( ) = (3) 0 PAC ( ) (4) PAC ( ) = PAC ( ) (5) PA ( BC) = PAC ( ) + PBC ( ) PA ( BC) (6) 若 A B, 則 PAC ( ) PBC ( ) ( ) 例. 設 A,B 為二事件,P(A)=,P(B)= 3,P(A B)= 7, P(A B) = PAB ( ) = PBA ( ) = [ 3 4, 4, ] 5 5 PAB ( ) = PB ( A ) = [, ] 8 6 例. 設 A,B 為二事件,P(A)= 3 4, P(B)= 3, P(A B)= 9, () PAB ( )= () PAB ( ) = [ 5, ] 3 4 例 3. 一個袋中有 個球, 其中 8 個是白球, 今從袋中每次取一球, 連續取 4 次, 已知取出的有 3 次是白球, 試求第 3 次取出的是白球的機率 () 若取出之球再放入袋中, 則所求機率是 [ 3 4 ] () 若取出之球不再放入袋中, 則所求機率是 [ 3 4 ] 例 4. 某家庭有兩個小孩, () 若已知兩個小孩中至少有一個是男孩, 則兩個均為男孩的機率是 [ 3 ] () 若已知兩個小孩中至少有一個是女孩, 則另一個為男孩的機率是 [ 3 ] (3) 若已知較大的小孩是男孩, 則兩個均為男孩的機率是 [ ] 9

21 例 5. 擲三個公正的硬幣, 試求三個都出現正面的機率 () 若第一個出現正面 [ 4 ] () 若已知至少有一個出現正面 [ 7 ] 例 6. 擲一骰子, 第一次出現 a 點, 第二次出現 b 點, 在 a+b=7 的條件下, 求第二 次出現 3 點的機率是 [ 6 ] 例 7. () 連續拋擲銅板 4 次, 出現偶數次 ( 包括零次 ) 正面的機率為 [ ] () 連續拋擲銅板 0 次, 已知前面的 4 次中出現偶數次 ( 包括零次 ) 正面, 那麼全部 0 次拋擲中, 出現 6 次正面的條件機率為 [ ] 例 8. 由數字,,3,4,5,6,7,8,9 中不可重複的任取 3 個, 做成三位數 () 此數大於 34 之偶數的機率為 [ 8 ] () 若已知此數大於 34, 則此數是偶數的機率為 [ ] 例 9. 某次月考, 有 30% 的學生數學不及格, 有 0% 的學生英文不及格, 有 5% 的學生數學, 英文都不及格, () 已知小李英文不及格, 求他數學不及格的機率為 [ 0.75 ] () 已知小張數學不及格, 求他英文不及格的機率為 [ 0.5 ] (3) 數學, 英文至少有一科不及格的機率為 [ 0.35 ] 例 0. 自一副撲克牌 (5 張 ) 中任取一張, A 表示 取出之牌點數為偶數 B 表示 取出之牌點數大於或等於 0 點, ( 其中 J:, Q:,K:3, A:4) ; 則 P(A B) = [ 9 3 ] [ 作業 ]. 設 A,B 為二事件,P(A)=, P(B)= 3, P(A B)= 4, 則 PB ( A )= ( ) PAB= [ 5 3, ] 6 4 0

22 . 設 A,B 為二事件,P(A)= 8 3,P(B)= ( ) PA B=, ( ) PBA=, ( ),P(A B)= 4, 則 PA ( B ) =, PBA = [ 3 8, 4, 3 3. 袋中有 4 個紅球,6 個白球, 每次任取一球, 取後不放回, () 第二次, 第三次均取到紅球的機率是 [ 5 ] () 第二次取到紅球的條件下, 第三次取到白球的機率是 [ 3 ] 4. 連續拋擲銅板 6 次,A 表示 6 次中至少 4 次出現正面的事件,B 表示 6 次中至少連續 4 次出現正面的事件, 則 () P(A) = () PBA ( ) = [ 4, ] 3, ] 5 5. 由 到 9 的九個數字中, 不可重複的任取二數, 已知其和為偶數, 求二數均為偶 數的機率是 [ 3 8 ] 6. 擲一粒骰子兩次, 已知其和為 0 點, 則第一擲的點數大於第二擲的點數的機率 是 [ 3 ] 7. 袋中有 0 白球,0 黑球, 第一次取出後放回再取第二次, 則在至少一白球的條 件下, 兩球都是白球的機率是 [ 3 ] 8. 自一副撲克牌 (5 張 ) 中任取一張, 若取得紅色牌, 求下列二事件中至少有一事件 發生之機率, 事件 C: 取出之牌為偶數點, 事件 D: 取出之牌的點數大於或等於 0 點. ( 其中 J=, Q=, K=3, A=4) [ 9 3 ] 主題二機率的乘法與加法 定理. PA ( B) = PA ( ) PBA ( ) = PB ( ) PAB ( ) 定理. PA ( B C) = PA ( ) PBA ( ) PCA ( B) 定理 3. PA ( ) = PB ( ) PAB ( ) + PB ( ) PAB ( ) 例. 若 0 支籤中有 3 支是有獎的, 今有甲乙丙三人, 按甲乙丙順序各抽一籤, 抽後不放回, 則丙抽中有獎的籤的機率為 [ 3 0 ]

23 例. 甲袋有 紅球, 黑球,3 白球, 乙袋有 3 紅球, 黑球,3 白球, 丙袋有 紅 球, 黑球, 白球, 今由甲乙丙之任一袋取出兩球, 此兩球為 黑, 白的機率為 [ 7 0 ] 例 3. 某公司生產的 0 個產品中, 有 4 個是不良品, 現在逐一加以檢查, () 若取後不放回, 在第五次發現第三個不良品的機率為 6 [ 33 ] () 若取後放回, 在第五次發現第三個不良品的機率為 96 [ 35 ] 例 4. 於坐標平面上,P 點由原點出發, 移動如下 : 投擲一硬幣, 若出現正面, 則右 移 單位, 若出現反面, 則上移 單位, (m, Z, m, 0) () 通過 (m,) 之機率為 [ ( + )! m!! )m + ] () 通過 (5,3) 及 (6,5) 之機率為 [ 56 ] (3) 通過 (5,3) 或 (6,5) 之機率為 [ ] [ 作業 ]. 有 5 張卡片, 上面分別寫上,,3,4,5, 今甲從中取出一張, 乙再從剩下的 4 張中取出一張, () 甲取出 3, 乙取出偶數的機率為 [ 0 ] () 乙取出 3 的機率為 [ 5 ] (3) 乙取出偶數的機率為 [ 5 ]. 袋中有 4 紅球,3 白球, 甲乙輪流每次取一球, 甲先取, 先得紅球者勝, () 若取後不放回, 則甲獲勝的機率為 [ 4 35 ] () 若取後放回, 則乙獲勝的機率為 [ 3 0 ]

24 3. 甲袋有 3 白球,5 黑球, 乙袋有 3 白球, 黑球, 丙袋有 白球,3 黑球, 今由甲乙 丙之任一袋取出一球, () 此球為白球的機率為 [ 6 0 ] () 若已知此球為白球, 則此球取自乙袋的機率為 [ 30 6 ] 4. 甲袋有 3 紅球,4 白球, 乙袋有 4 紅球, 白球, 今從甲袋中取出 球放進乙袋, 再 從乙袋中取出 球放進甲袋, 則甲袋紅球增加的機率為 [ 3 7 ] 5. 某公司生產的 0 個產品中, 有 4 個是不良品, 今任取 3 個, 取後不放回, 第三 次取到不良品的機率為 [ 5 ] 主題三貝氏定理 分割 : 設 A, A, A 3,..., A k 為樣本空間 S 中的任意 k 個事件, 且滿足 : () A A A3... Ak = S () 任二事件交集 = φ, ( Ai Aj = φ, i j, i, j =3,,,..., k) 則稱 { A, A, A,..., A } 為樣本空間 S 的一個分割 3 k } 貝氏定理 : 設 { A, A, A3,...., A k 為樣本空間 S 的一個分割, B 為任意事件, PA ( h) PBA ( h) PA ( h B) = h k k PA PBA 定理 : ( i) ( i) i= PA ( ) PBA ( ) ( ) = PA ( ) PBA ( ) + PA ( ) PBA ( ) PAB 例. 設 {A,B,C} 為樣本空間 S 的一個分割,D 為任意事件, 試證 : PA ( ) PDA ( ) PAD ( ) = PA PDA+ PB PDB+ PC PDC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 例. 設 {A,B,C} 為樣本空間 S 的一個分割,D 為任意事件, 若 P(A):P(B):P(C)=3::5, 且 PDA ( ) = PDB ( ) = PDC ( ) = 4, 3, 5, 3

25 則 PBD= ( ) [ 6 37 ] 例 3. 某城市人口中, 女性佔 40%, 男性佔 60%, 已知男性中有 40% 的人抽煙, 女 性中有 30% 的人抽煙, () 則全體抽煙的人數佔總人口的百分比是 [ 36% ] () 任選一人, 已知其為抽煙者, 則其為男性的機率為 [ 3 ] (3) 任選一人, 已知其為不抽煙者, 則其為男性的機率為 [ 9 6 ] 5 3 例 4. 某工廠有 A,B,C 三部機器, 各機器之產品依序佔總產量 0, 0, 0, 但 A 機 器之產品中有 3% 不合格,B 機器之產品中有 4% 不合格,C 機器之產品中有 5% 不 合格, () 若自所有產品中任選一產品, 求此產品為不合格的機率為 [0.037] () 若已知此產品為不合格, 求此產品為 C 機器所生產的機率為 [ 0 37 ] 例 5. 某工廠有 A,B,C 三部機器, 各機器每日之產量為 A:000, B:8000, C:0000, 各機器之產品中不合格者分別為 0.05,0.0,0.005 有一品管員抽得一個不合格者, 求此產品為 A 機器所生產的機率為 [ 8 3 ] 例 6. 某校的科學研習社由甲, 乙, 丙三班的同學所組成, 各佔 40%,30%, 30%, 在社員中甲班人數的 5, 乙班人數的 5, 丙班人數的 3, 為資訊組成 員, 今欲選一社長, 求資訊組的組員當選社長的機率為 在資訊組組員當選社長的條件下, 則由甲班同學當選的機率為 [ 3 ] 6 [ ] 5 例 7. 甲袋中有 3 個紅球 4 個白球, 乙袋中有 6 個紅球 3 個白球, 自甲袋中任取 5 球放入乙袋, 再自乙袋任取 球, () 求自乙袋取出 球為紅球的機率為 [ ] () 在乙袋取出 球為白球的條件下, 先前由甲袋取出 5 球為 3 個紅球 個白球的 4

26 機率為 [ 0 4 ] [ 作業 ]. 有 A,B,C 三部機器製造同一產品, 各機器之產品依序佔總產量 5%,35%, 40%, 各機器之產品中不合格者分別為 5%,4%,% 有一品管員抽自全部產 69 品中任取一個, () 求此產品為不合格的機率為 [ 000 ] () 若已知此產品為不合格, 求此產品為 A 機器所生產的機率為 [ 5 69 ] (3) 假若僅以產量與不良品所佔之比率作為決策依據, 您應該先淘汰那部機器? [ 乙 ]. 某班有男生 30 人, 女生 0 人, 眼睛正常者, 男生 0 人, 女生 0 人, 患有近視者, 男生 5 人, 女生 8 人, 患有色盲者, 男生 7 人, 女生 3 人, 今自班上任選一人, () 此人為女生且患有近視或色盲的機率為 [ 5 ] () 已知此人為女生的條件下, 此女生患有近視或色盲的機率為 [ ] 3. 某燈泡公司有北, 中, 南三廠, 產量比例為 30%,30%,40%, 各廠產品不合格率為.5%,.%,%, 某次總抽查中, 任抽查一個產品, 檢驗為不合格, 則此燈泡為北廠出品的機率為 [ 45 ] 橋藝社由智, 仁, 勇三班學生組成, 各佔 0, 3 0, 0, 社員中智班人數的 5, 仁 班人數的 5, 勇班人數的亦為籃球隊員, 今橋藝社選新社長, 每人當選機會 3 均等, 則籃球隊員當選社長的機率為 [ 4 00 ] [ 測驗 ]. P(A)= 3, PAB= ( ) 3,P(B)= 4, 則 PAB ( ) = [ 9 ]. 投擲一骰子三次, 已知出現一次 6 點, 則 6 點在第一次出現的機率為 [ 3 ] 5

27 3. 交通規則測驗時, 答對有兩種可能, 一種是會做而答對, 一種是不會做但猜對 已知小華練習交通規則筆試測驗, 會做的機率是 0.8 現有一題 5 選 l 的交通規則選擇題, 設小華會做就答對, 不會做就亂猜 已知此題小華答對, 試問在此條件之下, 此題小華是因會做而答對 ( 不是亂猜 ) 的機率是多少? 0 答 : ( 以最簡分數表示 ) [ ] 4. 投擲一骰子二次, 已知點數和為 6, 則第一次點數大於 3 的機率為 [ 5 ] 5. 一家庭有 5 個小孩, 已知至少有一男孩, 則為 3 男 女的機率為 [ 0 3 ] 6. 某公司生產的 5 個產品中有 4 個不良品, 今任取 3 個, 取後不放回, 求 () 第三次取到不良品的機率為 [ 4 5 ] () 第一次取到不良品的條件下, 第三次取到不良品的機率為 [ 3 4 ] (3) 第三次取到不良品的條件下, 第一次取到不良品的機率為 [ 3 4 ] 7. 投擲一骰子三次,A 表至少出現一次 6 點,B 表至少出現一次么點, 則 PAB)= (, P(A B)= [ 30 9, ] 投擲一骰子 60 次,A 表出現 0 次么點,B 表恰在第 60 次出現第 0 個么點, 則 PBA)= ( [ 6 ] 9. 某次考試, 單選題 5 選, 若甲知正確答案則選正確答案, 否則任意作答, 已知甲知道 70% 的答案, () 甲每一題得分之機率為 [ 9 5 ] () 若某一題他答對, 則他確實知道正確答案之機率為 [ ] 0. 某機構招考業務員 名, 經初審後符合條件者剩下 7 男 6 女參加面試複審 已知同性別者被錄用的機會相等, 且依工作性質需要每一男性與女性被錄用的機率比為 :, 設此 3 人中有甲校學生 男 3 女共 5 人參加複審, 試求甲校學生被錄用 7 的機率為 [ ] 0 6

28 獨立事件 主題一獨立事件與相關事件設 A,B 為樣本空間 S 中的任二事件, 若 P(A B) = P(A) P(B), 則稱 A,B 為獨立事件 ( 或無關事件 ), 否則為相關事件 若 A,B 為獨立事件, 則 () A,B' () A',B (3) A',B' 亦皆獨立若 A,B,C 為獨立事件 A,B,C 兩兩獨立, 且 P(A B C) = P(A) P( B) P(C) 也就是下列條件成立 : P(A B) = P(A) P(B),P( A C) = P(A) P(C),P(B C) = P(B) P(C), P(A B C) = P(A) P( B) P(C) 若 A,B,C 為獨立事件, 則 () A,B,C' () A,B',C' (3) A',B',C' 亦皆獨立 PAB, 則稱 A, B 無關 事件 A 的機率不因事件 B 的發生而受影響 若 P(A) = ( ) 例. 擲一公正硬幣 3 次,A,B,C 分別表示第一次出現正面, 至少出現兩次正面, 三次同面的事件, () A,B 是否為獨立事件? [ NO ] () A,C 是否為獨立事件? [ YES ] 例. 袋中有記以 到 0 號的球共 0 個, 自袋中任取一球,A,B,C 分別表示球號為 的倍數, 3 的倍數, 5 的倍數 之事件, () = [ 4 PA ( ) = () PA ( B) = (3) PA ( B C),, ] 3 5 (4) A,B,C 是否為獨立事件? [ YES ] 例 3. 有甲乙二錢袋, 甲袋裝有銀幣 5 個與金幣 個, 乙袋裝有銀幣 3 個, 今自甲袋 取出 4 個錢幣置入乙袋, 再由乙袋取出 5 個錢幣置入甲袋, 求金幣在乙袋之 4 機率為 [ ] 例 4. 甲袋有白球 3 個, 紅球 5 個, 乙袋有白球 4 個, 紅球 6 個, 先自甲袋取出 球置入乙袋, 再由乙袋取出 球置入甲袋, 設甲袋白球增加之事件為 A, 白球不變之事 5 5 件為 B, 則 P(A) = ; P(B) = [, ] 44 7

29 例 5. 甲生每試四題能答出一題, 乙生每試三題能答出二題, 二人共解一題, 則能 3 解出之機率為 [ ] 4 例 6. 甲乙丙三射手同射一靶, 每人一發, 三人命中率分別為 3,,, 則下列各 3 4 機率為何? () 靶中 3 彈 () 靶中 彈 (3) 靶中 彈 (4) 靶不中彈 [ 4, 4, 4, 4 ] 例 7. 右圖中, 電路有 4 個開關, 以,,3,4 表示, 3 7 流通過各開關之機率分別為,,,, L 且各開關之操作獨立, 求電流從左端 L 3 4 流到右端 R 的機率 = [ 6 ] 5 R 例 8. 甲乙兩人輪流擲一骰子, 言明先擲出 點者獲勝, 如果由甲先擲, 求甲在第二次擲時獲勝的機率 = [ 5 6 ] 例 9. 連續擲一粒骰子 5 次, 出現之點數依次為 x,y,z,u,v, 則滿足 ( x y)( y z)( z u)( u v) = 0 的機率 = [ ] 例 0. 某社區為雙併式別墅, 一年之間每戶本身失火機率為 p, 鄰家失火而被延燒之機率為 q, 則一年之間各戶遭遇火災之機率為 [ p( + q pq )] [ 作業 ]. 若 A,B 為獨立事件,P(A)=,P(A B)= 3, 則 () P(B) = () PAB ( ) = (3) PB ( A) = [,, ] 3 3. 甲乙丙三射手同射一靶, 每人一發, 甲乙丙三人命中率分別為,, 3 4, 則靶面至少中一發的機率 = [ 3 ] 4 3. 甲乙二人同射一靶, 每人二發, 二人命中率分別為 3, 3 4, 若此靶恰中二發, 8

30 則此二發均為甲射中的機率 = [ 4 37 ] 4 4. 甲乙二人同射一靶, 每人二發, 二人命中率分別為 5, 3, 4 () 此靶恰中二發的機率 = [ 73 () 此靶恰中三發的機率 = 6, 7 ] 400 [ ] A,B,C,D 之槍法命中率分別為 : 3 4, 4 5, 豬, 四槍齊發, 求野豬傷亡之機率為 [ ] 840, 今四人相偕打獵遇一野 主題二重複試驗 做一試驗,P(A) = p, 若此試驗重複進行 次, 每次皆獨立, ( ) 次中恰出現 k 次的機率 = C p k k ( p) k () 次中至少出現 次的機率 = ( p) - ( 次均沒出現 ) 例. 擲一粒骰子 0 次, () 數字 恰出現 5 次的機率 = ( 6) ( 56) 5 5 ( ) ( ) C [ ] () 數字 恰連續出現 5 次的機率 = [ ] 例. 甲乙二人比賽網球, 甲贏球的機率為 今 5 戰 3 勝制, 3 64 則甲贏球的機率 = [ ] 8 3, 例 3. 小李與小張賽網球, 小李贏球的機率為輸球的機率為 3, 今兩人打賭, 若小李每勝一局, 可得 000 元, 每輸一局, 則付 300 元, 若小李與小張連打 局, 則小李至少贏 3000 元的機率 = [ ] 656 例 4. 設 a, b, c, d {,,3,4}, 求 a b a b 5 () 之值為偶數的機率. () = 0 的機率為. [, ] c d c d 8 8 9

31 例 5. 擲兩粒骰子若干次, 若有同樣點數出現則停止, () 投擲次數在 以下的機率超過 0.9, 求 之最小值 = () 至第 m 次始同時出現兩個 點之機率為 [ 5 m ( ) 6 36 ] [ 3 ] 例 6. 某人打靶, 命中率為 0.7, 若射擊 次, 至少命中一發的機率大於 0.99, 求 之 最小值 = (log3 = 0.477) [ 4 ] 例 7. 某桌球比賽, 每局甲選手贏乙選手的贏球機率為 3, () 在五局比賽中, 甲五戰三勝的機率為 [ ] 例 () 在五局比賽中先贏三局者為勝, 甲獲勝的機率為 [ 64 ] 8 8. 擲一不公平的銅板, 出現正面的機率為, 出現反面的機率為 3 3, 令 P k 表示 0 次中恰好出現 k 次正面的機率, Q k 表示 0 次中恰好出現 k 次反面的機率, 則 (A) P = ( P4 > P5 (C) P5 = Q5 (D) P 0 = 3 ) (B) 3 (E) P6 > P7 [AC] 例 9. 有一粒骰子, 連擲 4 次, 至少出現兩次 點之機率為 (A) (B) (C) (D) (E) 以上皆非 [ C ] 例 0. 某人投籃命中機率為 0%, 則他投 5 次恰中 次之機率為 [ 7.9% ] 例. 有一粒骰子, 使其至少出現一次 6 點之機率達 3, 則須連擲次. [ 7 ] 3 例. 甲乙兩人輪流擲一不公平的銅板, 出現正面的機率為 5, 出現反面的機率為 5, 先擲正面者得勝, 由甲先擲, 求各人得勝的機率為 [, ] 例 3. 甲乙兩人輪流擲二粒公平的骰子, 規定 : 由甲先擲, 點數和為 6 則勝, 否則改由乙擲, 點數和為 7 則勝, 如此輪流, 直至一人獲勝為止, 則乙得勝的機率 3 為 [ ] 6 30

32 [ 作業 ]. 擲一粒骰子 60 次, 恰在第 60 次出現第 0 個么點的機率 = [ C 9 ( ) ( 5 ) ( ) ]. 一球員每次投籃命中率為 50%, 要使他在 次投籃中至少命中一次的機率大於 90%, 求 之最小值 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 以上皆非 [ A ] 3. 甲乙丙三人合租一室, 每天抽籤決定由一人打掃, ( log=0.300, log3 = 0.477) () 求六天中每人打掃兩天的機率 = 0 [ ] 8 () 天中, 甲至少打掃一次之機率大於 時, 之最小值為 [ 8 ] 4. 某產品中, 不良品佔 4, 若有任意多個產品要檢驗, 一直到第一個不良品出現 才停止, 此時共檢驗了 x 個, 求 x 4 的機率 = [ 7 ] 袋中有三紅球, 三白球, 甲乙二人輪流取之, 每次一球, 取後不放回, 先得紅 3 球者勝, 由甲開始, 則甲獲勝之機率為 [ 0 ] 6. 袋中有 m 個紅球, 個白球, 甲乙二人輪流取之, 每次一球, 取後放回, 先得紅 球者勝, 由甲開始, 則甲獲勝之機率為 [ m + m+ 7. 有一人流浪於 A,B,C,D 四鎮間, 此四鎮相鄰關係如右圖, 假設每 日清晨, 此人決定當日夜晚繼續留宿該鎮或前往相鄰之任一鎮 之機率皆為 3, 若此人第一夜宿於 A 鎮, 則第三夜亦宿於 A 鎮之 A D 機率為, 第五夜宿於 A 鎮之機率為, 宿於 B 鎮之 機率為. B C [ 3, 7 0, ] 甲乙二人輪流擲一骰子, 先擲出一點者獲勝, 甲先擲, 則甲在第二次擲時獲勝 之機率為 [ 5 6 ] [ 測驗 ]. P(A)=,P(A' B')= 3, 且 A,B 獨立,P(B)= [ 3 ] 3

33 . 數之機率為 x,y,z 為偶, 3 3, 4 xyz 為偶數之機率 3. 甲乙說真話的機率為 7 0, 且 x,y,z 各為偶數之事件彼此獨立, 求 [ 3 4 ] 9,, 今袋中有 3 白球,7 黑球, 由丙任取一球, 給 0 甲乙 分別看過, 今對此球顏色而言, 甲說是白的, 乙說是黑的, 問此時甲說實話之機率為 [ 0 ] 4. 今有一闖三關之遊戲, 第一關通過後才能闖第二關, 第二關通過後才能闖第三 3 關, 各關通過之機率分別為,,, 今知甲未能過關, 問甲是在第二關或第 二關以後敗陣之機率為 [ ] A B 右圖中, 電路有 3 個開關, 以 A,B,C 表示, 電流 L C 通過各開關之機率均為 p, 且各開關之操作獨立, 求電流從左端 L 流到右端 R 的機率 = [ p+ p p ] R 6. A,B,C 為獨立事件,P(A B)= 4,P(B C)= 6,P(A C)= 3, 則 P(A B C)= [ 5 ] 某人打靶, 命中率為, 若射擊 次, 至少命中一發的機率大於 , 求 之最 5 小值 = [ ] 8. 已知 P(A' B ') = 4,P(A)= 3, () 若 A,B 為互斥事件, 則 P(B)= 5 [ ] () 若 A,B 為獨立事件, 則 P(B)= [ 8 5 ] 說明 : () A,B 為互斥事件 P(A B) = P(A) + P(B) () A,B 為獨立事件 P(A B) = P(A) + P(B)-P(A) P(B) 9. 投擲一骰子二次,A 表第一次擲得偶數點, A i 表兩次之點數和為 i, 則下列何者獨立? (A) A 與 (B) A 與 A (C) A 與 A (D) A 與 A [ BD ] A

34 數學期望值. 事件的期望值 : 某事件成功的機率為 p, 若該事件成功可得 m 元, 則此事件的期 望值為 mp 元,. 試驗的期望值 :S 為樣本空間,{ } A, A, A 3,..., A k 為一個分割, 且事件 A t 發生的 機率為 p t, ( t =,,..,k ), 若事件 A t 發生可得 m t 元,( t =,,..., k ), 則此試驗的期望值為 mp + mp mp mp t t mkpk 元期望值 期望可得到的值 ( 也是平均值的一種 ) 例. 擲一均勻的骰子一次, 若擲出 a 點可得 a 元, 則期望值為 [ 3.5 ] [ 自我練習 ]. 0 個物品中有 3 個不良品, 今任取 4 個, 求所含不良品個數之期望值為 6 [ ] 5. 甲擲硬幣二枚, 若出現一正面可得 元, 若出現二正面可得 元, 若不出現正面須付 5 元, 則甲之期望值為 [ 05. 元 ] 3. 投擲二骰子, 點數和為 a, 可得 a 元, 則投擲一次之期望值為 [ 7 ] 4. 袋中有 7 個球, 其中 3 個為紅球, 今任取 4 個, 求取得紅球之個數之期望值為 [ 7 ] 期望值的性質 : E(X) 表變數 X 的期望值. E( X + X X ) = E( X ) + E( X ) E( X ) 實例說明 : 擲一均勻的骰子 次, X i 表示第 i 次點數, X表示 次的點數和, X = X+ X X 又因為 E( Xi ) = 35., i =,,...,, 所以 E X + X X = E X + E X E X = = 3.5 E(X) = ( ) ( ) ( ) ( ). E(X+a) = E(X) + a, E(aX) = ae(x) 實例說明 : 某人賭博, 變數 X 表示他所贏得的錢數 今賭注增加為 0 倍, 則他所贏得的錢數為 0X, 期望值也增加為 0X 33

35 3. E(aX+b) = ae(x) + b 4. 若 X i i i= i= 證明 : E(aX+b) = ( ax + b) p = ( ax p + b p) ( i i) i i i = a x p + b p = ae ( X ) + b i= X, 則 E( X ) E( X ) i= i 例. 擲二均勻的骰子, 令 X 表出現的點數和, 則 X X p E(X)=, E( X ) = [ 7, 類題. 擲一骰子, 當點數 X (X=,,3,4,5,6) 出現時, log( X 3 + 3) Y, 並以 u 表示 Y 之期望值 F(y)= Y y 之機率 則下列何者為真? () (A) u= (B) u= 3 (C) u= (D) u= 之整數部分記為 (E) u= 4 3 ] [ D ] () (A) F (0)=0 (B) F(0)= 6 (C) F()= 6 (D) F()= 4 6 (E) F()= 5 6 [ BD ] X X Y = log X + 3 之首數 ( ) [ 注意 ]: 此題為大專聯考試題, 並不難, 應該說是很簡單, 只是大部分的同學題目看不懂 例 3. 台汽台中站於每小時 0 分,5 分,35 分, 分別開出一班往台北的國光號, 某人事先不知開車時間, 則買票後等車, 平均所花時間之期望值為 [0 分 5 秒 ] 例 4. 一袋中有 9 枚硬幣, 其中 5 枚為五元硬幣, 另外 4 枚同值, 若自袋中一次取出 枚, 欲得期望值為 6 元, 則另外 4 枚之值為元 [ 0.5 ] 例 5. 擲 6 粒均勻的骰子, 若恰有 5 粒點數相同, 可得 5000 元, 則期望值為 [ 9 ] 34

36 例 6. 擲公正的硬幣 4 枚, 若恰有 枚或 3 枚出現正面, 可得 元, 若恰有 枚正面, 可 5 得 元, 若 4 枚均正面或反面, 可得 4 元, 則擲一次的期望值為 [ ] 8 例 7. 某社區為雙併式別墅, 一年之間本身失火機率為 5000, 鄰家失火而被延燒之 機率為 5, 若投保 50 萬元, 期限一年之火險, 保費最少應繳元? [0] 例 8. 一袋中有紅球, 白球, 黃球各一個, 黑球 個, 規定取到紅球每個獎金 0 元, 取到白球每個獎金 5 元, 取到黃球每個獎金 元, 取到黑球沒有獎金, () 自袋中任取一球, 獎金之期望值為 [ 6 5 ] 48 () 自袋中一次任取三球, 獎金之期望值為 [ ] 5 例 9. 自,,3,4,5, 6, 7,8, 9 九個數中, 任取相異四個數排成四位數, () 是 99 倍數者有個 [ 48 ] () 若每一數字被取的機會相同, 當所取四位數是 99 倍數時, 可得相同數目之獎金, 則期望值為 [ 4 ] 例 0. 一袋中有 號球 個, 號球 個,...,5 號球 5 個, 自袋中任取一球, 取到 號球, 可得 (00 ) 元, () 取到 9號球之機率為 [ 9 ] 35 () 任取一球, 期望值為元 [ 83 ] 例. 某人擲二骰子, 若擲出之點數和為 7 時, 可得 00 元, 並取得繼續投擲之權利, 若再擲又擲出 7 點, 又可得 00 元, 並取得繼續投擲之權利, 如此進行下去, 則此人所得之期望值為 [ 0 ] 例. 擲二公正的骰子, 點數分別為 a, b, 設 x = a b, Y = a + b, 則 3 () (A) P(x=)= (B) P(x )= (C) P( x 3)= (D) P(x 6)=0 (E) P( x )= [ ACDE ] 9 () (A)P(Y=7)= (B)E(Y)=7 (C)E( Y )=3 (D) E(3Y+)= [ ABCD ] 6 35

37 [ 作業 ]. 張卡片上分別記有從 到 的數字, 任取兩張時, 求此兩數字積的期望值 = 提示 : 兩兩乘積之和 的求法 [ ( + )( 3+ ) ]. 張卡片上分別記有從 到 的數字, 任取兩張時, 求此兩數字和的期望值 = [ + ] 3. 擲二個不同的骰子, 依次出現點 a, 點 b, () a+b 是質數之機率為 [ 5 ] () a b 的期望值為 [ 49 4 ] (3) a b 的期望值為 [ 35 8 ] 4. 個不同的球, 投入 4 個不同的箱子, 設空箱個數的期望值為 E () E = () E = = [ 3, ] 4 5. 某人擲二骰子, 若擲出之點數和為 9 時, 可得 000 元, 並取得繼續投擲之權利, 若再擲又擲出 9 點, 又可得 000元, 並取得繼續投擲之權利, 如此進行下去, 則此人所得之期望值為 [ 5 ] 6. 袋中有 號球 個, 號球 個,...,0 號球 0 個, 自袋中任取一球, 取到 號球, 可得 元, 則任取一球, 期望值為元 [ 7 ] 7. 袋中有 號球 0 個, 號球 9 個,...,0 號球 個, 自袋中任取一球, 取到 號球, 可得 元, 則任取一球, 期望值為 元 [ 4 ] 8. 袋中有 號球 個, 號球 個,..., 號球 個, 自袋中任取一球, 取到 號球, 可 + 得 元, 則任取一球, 期望值為元 [ ] 3 36

38 9. 袋中有 0 元硬幣 個,5 元硬幣 3 個, 元硬幣 4 個, () 自袋中任取一個, 期望值為 () 自袋中任取三個, 期望值為 [ 3 3 [ 3 ] ] 0. 一袋中有 4 枚硬幣, 其中 4 枚為 0 元硬幣,5 枚為 5 元硬幣,5 枚為 k 元硬幣, 若自 袋中一次取出 枚, 期望值為 0 元, 則 k= [ ]. 5 張卡片上分別記有從 到 5 的數字, 任取 3 張時, 求數字和的期望值 = [ 9 ]. 8 個樣品中有 個不良品, 今任取 3 個, 則含有不良品的期望個數為 3 [ ] 4 3. 自 到 000 的自然數中, 任取一數, 取得之數以 6 除之, 餘數為 r, 可得 r 元, 則每取一次, 期望值為元 [ 5 ] 4. 某人擲一骰子, 若擲出點數為 或 時, 可得 0 元, 點數為 6 時, 付出 x 元, 其他點數時, 可得 元, 則 x= 時最公平 [ 6 ] 5. 一袋中有 8 紅球, 若干個白球, 自袋中任取一球, 取紅球得 00 元, 取白球賠 50 元, 若其期望值為 30 元, 則白球有個 [ 7 ] 6. 袋中有 3 個紅球,3 個白球, 甲乙二人輪流取之, 每次一球, 取後放回, 先得紅球者勝, 可得 0 元, 由甲開始, 則甲之期望值為元 [ 80 ] 7. 袋中有 0 個球, 其中 4 個白球, 自袋中任取 4 球, 則取到白球個數之期望值為 4 [ ] 5 8. 甲乙丙三射手同射一靶, 每人一發, 三人命中率分別為, 3 3, 4, (log = 0.300, log3 = 0.477) () 若此靶恰中一發, 則此發為甲射中的機率 = [ 6 ] () 丙射擊 次, 至少命中一發的機率大於 , 求 之最小值 = [ 7 ] 3 ( 3) 若 X 表靶上中彈數, 則期望值 E(X) 為 [ ] 37

39 9. 三對夫婦男女配對跳舞, 求夫婦成對的對數之期望值為 [ ] 0. 3 將 5 個球任意放到 3 個箱子中, 求空箱子個數之期望值為 [ 8 ]. 某人擲一骰子, 若擲出之點數為奇數時, 可得與點數相同的錢, 為偶數時, 付 出與點數相同的錢, 則期望值為 [ ] 3. 擲二骰子, 若擲出之點數差為 r 時, 可得 r 元, 則期望值為 [ 35 8 ] 38

40 敘述統計 統計抽樣 次數分配表與累積次數分配曲線抽樣的方法 : 生活中常會遇到不確定的事等待我們下決策, 如果決策錯誤, 可能造成很大的損失 例如, 石油公司開採油井, 由於資料蒐集不正確, 造成投資決策錯誤, 使得公司虧損 因此如何做好決策是現代人所須面對的問題 現代資訊發達, 每天報章雜誌 新聞報導都提供許多的資料, 要從這麼多的資料中找出有用而正確的資訊, 再加以整合研判, 而後做決策, 是一大學問 統計就是以科學精神對數據做研判 下決策的一門學問, 它告訴我們如何去蒐集 ( 或製造 ) 數據 整理與分析資料, 以供決策時之參考 但要做好統計工作, 最重要是蒐集 有用 的資料, 一位好的統計工作者, 除了要應用正確的統計方法蒐集資料外, 也要能對一大堆數據經分析後說出它的 內涵 統計工作包括蒐集資料 整理資料 分析資料及解釋意義 統計的應用到處可見, 或許您認為統計不過是做些像職棒的打擊率 防守率 勝率等的統計圖表, 但事實上統計所提供的比這些還要多的多, 它可幫助企業做預測 以便對未來做計劃與決策, 它也是做研發工作者所不可或缺的一項研究工具 統計起源於西元一世紀, 當時政府為了稅收, 對土地 財產等做調查, 後來漸漸地擴充到像出生率 死亡率 家庭收支 衣食住行等社會經濟類的調查, 這些都是 敘述統計 的部分 本章主要在於學習如何做統計圖表與計算簡單統計量等敘述統計 至於統計理論部分, 一直到 9 世紀, 統計科學才逐漸成型, 它的主要精神是透過適當的抽樣方法得到一組數據做為 預測 估計 及 檢定 的依據, 通常我們稱之為 推論統計, 這是一般大專統計學所學的主要內容 母體與樣本 雖然統計可應用在很多方面, 但它們之間也有一些共同的語言, 每一個統計問題的最基本關鍵就是抽取有代表性的樣本, 而樣本來自母體 ( 或稱母群體 ), 如何抽樣才能抽取有代表性的資料呢? 這是本節所要討論的課題 例如 : 在選舉投票前想估計臺北市市長候選人馬英九的得票率是多少, 則所有臺北市合格選民就是此問題的母體 又如某人想了解臺灣地區目前高中生之平均身高, 則臺灣地區全體高中生所成集合即為其母體 再如我們關心臺中一中高二學生的平均身高, 則臺中一中高二學生所成集合即為母體 如果我們想了解某校二年三班 45 位學生的平均身高, 當然可要求每位學生量身高, 就可以得到母體每一分子的資料, 這種方式稱為普查 所謂普查就是要對母體的每一分子都獲得資料 普查雖可得到全部母體的資料, 但普查耗時 耗成本 耗人力 又如燈泡 電池等產品的壽命檢驗, 它們一經檢驗就毀壞, 便無法利用普查 尤其當母體很大時, 要做普查工作就變得很困難, 所以有時只能從母體中抽取部分分子做調查, 這種方式稱為抽樣, 而從母體中抽出的部 39

41 分分子所成集合就稱為樣本 抽樣調查方法 統計工作的第一步, 也是最重要的一步, 就是要蒐集 正確 的資料, 所謂 正確, 簡單地說就是能代表母體 什麼樣的抽樣方式最能代表母體? 當然就是能得到母體中每一分子的資料的方法, 也就是所謂的 普查 臺灣地區常用的普查有戶口普查 工商普查 農業普查 普查太花費人力 物力與時間, 因此統計上常用 抽查 代替 普查 樣本是母體的一部分, 我們希望由樣本資料得到母體的訊息, 所以樣本要能代表母體 例如 : 在臺北市市長選舉前, 候選人馬英九先生想估計其得票率, 如果調查員在馬英九的政見發表會上訪問選民在臺北市市長選舉時會投給哪一位候選人, 因為這些來聽馬英九發表政見的人基本上對馬英九較有好感, 所以支持馬英九的比例較一般選民高, 如以這些來參加政見發表會的選民當樣本估計馬英九的選舉得票率會有 高估 的危險 又如老師想估計班上同學的平均身高, 如果只調查坐在最前排的 7 位同學的身高, 得到 7 個數 :63,65,66, 65,67,66,68, 這 7 位同學的身高資料是否能代表全班同學身高的資訊呢? 答案是 不能, 因為坐在最前排的同學通常身高較矮, 所以以這些資料估計全班的平均身高會得到 偏矮 的現象, 像這種詢問最前排學生的方式所得的資料稱為 方便的資料, 一般而言, 方便的資料是沒有代表性的, 是錯誤的抽樣方法, 例如在火車站前訪問過往人們的資料, 是常看到的方便的資料, 這種訪問調查對一群不到火車站的人是不會被訪問到, 反之, 經常坐火車通勤的人相對的被訪問到的機會就偏高了, 所以它會造成被訪問者機會的不均等 又如電視上 叩應 (call i) 的資料也是方便的資料, 沒有代表性 因此如何選取一種好的取樣方法是統計上很重要的工作, 統計土所謂抽樣就是一種 程序 或 方法, 它告訴您如何由母體抽出樣本才能有代表性, 常用的抽樣方法有簡單隨機抽樣法 糸統抽樣法 分層隨機抽樣法及部落抽樣法四種, 當然也可將這四種抽樣方法混合使用 下面介紹各種抽樣調查方法 : l. 簡單隨機柚樣法 : 簡單隨機抽樣法被認為是一種公平的抽樣方法, 也就是抽樣時不摻入人為因素, 而且母群體中每一個體被抽中的機會均等 例如 : 以抽籤的方式在全班同學中抽出 6 位同學做代表, 每人被抽中的機會均等, 這就是簡單隨機抽樣 優點是抽籤決定樣本似乎公平且方便, 但缺點是有時也會因抽到的樣本資料偏於某一方, 造成資料代表性不足, 而有高估或低估的現象 常用的簡單隨機抽樣方式有抽籤 查亂數表或利用電腦製造亂數等方法做為取樣依據 通常亂數表的編製原則是每一個號碼出現的機率相等, 應用時先將母體的分子編號, 再由亂數表選取號碼組成樣本. 系統抽樣法 : 糸統抽樣法基本上是只做第一次隨機抽樣後, 就採取依固定問隔數抽出一樣 40

42 本 例如 : 母體有 5 個樣本, 我們預計抽出 5 個樣本, 所以每隔 3 個即抽出一樣本 利用糸統抽樣法, 它的優點是只要抽出第一個種子號碼, 就可依間隔數依序列出所有樣本數, 所以此種抽樣法比簡單隨機抽樣法來的方便 但是系統抽樣法首先必須要依某種方式 ( 如門牌號碼或編號 ) 排序, 而且此排序必須與統計者所關心的特性無關, 不然所抽出的資料可能不代表母體, 而會造成統計上所謂的抽樣偏差 3. 分層隨機柚樣法 : 某班有 40 位男生,0 位女生, 班長想知道班上同學的平均身高是多少? 如隨機抽樣 0 位同學, 大部分的情形會抽到男生比女生多, 但也有可能抽到女生比男生多的情形, 例如抽到 4 位男生,6 位女生, 以此 0 位學生的平均身高作全班平均身高的估計就可能低估了, 反之, 若抽到的 0 位都是男生, 則會有高估的現象 ( 因為一般男生平均身高比女生高 ) 如何抽樣才能避免這種抽到男生太多或是抽到女生太多的現象呢? 利用分層隨機抽樣法就可以避免因抽樣方式不佳造成的估計偏差 所謂分層是將母體依某一衡量標準分成數個不重疊的子群體, 稱為層 ( 也稱群或組 ), 將母體分層後, 再依每一層在母體所占比例來分配樣本數, 最後再從每一層中利用簡單隨機取樣, 這樣的抽樣過程, 稱之為分層隨機抽樣法 所以分層隨機抽樣法顧名思義是先分層, 再從每一層中依比例各做隨機抽樣, 它是四種抽樣法中最常被推薦使用的, 但分層隨機抽樣法的最大問題是如何找到某種 特性 做為分層的依據, 可能是依性別 教育程度 年齡, 也可能是依其他特性來做分層, 但基本上同層 ( 或同群 ) 內我們想要估計的性質要相接近 4. 部落抽樣法 : 部落抽樣法最常用在抽樣對象分離的很遠, 而且很難蒐集到樣本的時候, 也就是部落抽樣經常是以地理位置或區域為考量 我們常會把母體分成幾個部落 ( 或區域 ), 再從這幾個部落中抽出數個部落進行抽樣或普查 基本上, 要做部落抽樣法必須假設每一部落都是母體的縮影, 因此部落與部落間的差異性要小, 這樣不論抽到哪一部落都能代表母體 例如想調查某校高中二年級 0 班學生平均每個月的零用錢是多少? 如果調查人員認為此校高二這 0 個班每班學生的零用錢差別不是很大, 為了節省調查時間, 可以隨機選取一班 ( 或幾班 ), 調查此班所有學生的零用錢, 這種以每一班為一部落再選取少數部落的樣本作為母體的代表, 可以省去研究人員到各部落做調查的麻煩 部落抽樣法最大優點是它只要在某些地區做普查或抽樣即可, 較節省時間 金錢 人力 而缺點是當抽到的部落與母體差異較大時, 會造成抽樣誤差, 所以抽出的部落要盡可能的能代表母群體較為恰當 4

43 例. 某班 50 名學生某次月考數學科, 依座號成績如下 : 隨機號碼表 () 從隨機號碼表的第 7,8 行為座號, 找出 0 名學生的成 績, 求算術平均數 = [ 7. ] () 將學生自 3 號起, 每次加 4 號, 找出 名學生的成績, 求算術平均數 = [ 7.75 ] (3) 將全班學生依成績 60 分以下,60 分到 80 分,80 分以上, 分成一, 二, 三等三層, 然後分別自此三層中, 依比例部 署原則決定每層的學生數, 並按照隨機號碼表的第 9, 行為座號, 找出 0 名學生的成績, 依公式 求算術平均數 = [ 7.4 ] y + y + 3 y 公式 : 其中 : i 表第 i 層的人數 y i 表第 i 層所選學生成績的 平均值 i =,,3 4

44 例. 某班有 50 位同學, 將全班同學以 70cm 為界分為二層, 小於 70cm 為第一層, 在第一層中, 選號碼最小 4人, 在第二層中, 選號碼最大 6 人, 求平均身高 [67. ] 次數分配表的編製與步驟 : () 求全距 :( 最大數值 ) - ( 最小數值 ) () 定組數 : 通常分成 7 至 5 組 (3) 定組距 : (4) 定組限 : (5) 歸類劃記 : (6) 計算次數 : 累積次數分配 : () 自數量較小的一組, 逐次向數量較大的一組累積, 稱為以下累積次數 () 自數量較大的一組, 逐次向數量較小的一組累積, 稱為以上累積次數 例 3. 數學小組某次測驗成績如下 :

45 以 0 為組距, 完成下列各題 : () 求全距 () 作次數分配表 (3) 作以上累積次數分配表 (4) 繪直方圖 (5) 繪以上累積次數分配曲線 分數次數以上累積 30 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 00 以上累積次數分配曲線 [ 65 ] 直方圖 例 4. 某社團有社員 0 人, 其年齡分別如下 : 將此 0 人依年齡分成四組, 組距為,( 不含上限 ) () 作次數分配表, 以下累積次數分配表 () 繪長條圖 (3) 繪以下累積次數分配曲線圖長條圖 以下累積次數分配曲線圖 年齡次數以下累積次數 0~ ~4 4~6 6~8 總計 年齡 年齡 44

46 [ 作業 ]. 我們知道抽樣的常用方法有 : (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 ( C) 分層抽樣 (D) 部落抽樣等四種, 下列各問題該用那一種抽樣較合適 : () 抽查燈泡的耐用時間 [ A ] () 抽查市民的所得情形 [ C ] (3) 基於經濟原則, 調查小學生患寄生蟲的狀況 [ A ] (4) 基於經濟原則, 調查瓦斯的每月平均用量 [ A ] (5) 調查某連鎖商店每日的平均售貨量 [ C ] (6) 調查工廠某生產線的品質管制 [ B ] (7) 某社區住戶分住於三棟公寓, 要調查社區內全部住戶的平均電費 [ D ]. 分層抽樣時, 各層間的差異要儘量 [ 大 ] 部落抽樣時, 各部落間的差異要儘量 [ 小 ] 3. 新年團拜, 家長會提供了 30 份禮物, 全校員工共 50 人參加, 為了分配這 30 份禮物, 參加的員工每人發給一張兩頭均印有號碼的彩券 ( 兩頭的號碼相同 ), 撕下一半後投入彩券箱中, 由校長攪伴均勻, 任意抽出 30 張, 以決定得獎人, 這種抽樣的方法是 (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層抽樣 (D) 部落抽樣 [ A ] 4. 想瞭解班上 50 位同學課餘練習數學的每週時數, 為了節省時間, 只抽訪若干位,() 將班上同學上學期的數學成績分為下列三組 :80 分以上為第一組, 60 分 ~80 分為第二組,60 分以下為第三組, 然後每一組按人數比例各抽出若干位, 這種抽樣是 (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層抽樣 (D) 部落抽樣 [ C ] () 班上依身高剛好分坐七行, 其中只有一行坐 8 人, 其他各行坐 7 人, 現隨機抽出一行, 再對這一行的全體同學進行調查, 這種抽樣的方法是 (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層抽樣 (D) 部落抽樣 [ D ] 5. 班上 0 位同學某次考試成績如下

47 隨機號碼表 : ( ) 今用系統抽樣取 5 位同學, 用算術平均數求其平均分數, 將 0 位同學座號視為圓形狀, 從隨機號碼表第四 五行取到的數, 做為第一位選出同學的座號, 其平均分數為 [ 70. ] () 若改為分層抽樣求其平均分數,80 分以上為第一層,60 分 ~80 分為第二層, 60 分以下為第三層, 然後每一層按人數比例共抽出 8 位,( 取最接近的整數 ) 各層選出之同學均由隨機號碼表第 3 列決定,( 若不夠, 再由第 4 5 列決定 ) 其平均分數為 [7.75] 46

48 算術平均數與中位數 主題一算術平均數 型 A: 由未分組資料求 M 由未分組資料求算術平均數, M = X = x M = X = x x x3 x = x i i= + x + x x = xi = ( xi A) + A = A + xi i= i= i= + + ( ) ( A) 例. 5 位學生數學成績如下 : 試求算術平均數 = [ ] 例. 已知有 5 個數, 其平均值為 60, 刪除其中一數 85 後, 求新的平均值為 [ 59.5 ] 例 3. 個數值分別為 x, x, x 3,..., x 則 ( x i M )= i=, 算術平均數為 M, [ 0 ] 型 B: 由已分組資料求 M f 由已分組資料求算術平均數, M = X = x 其中 x i 表第 i 組的組中點 ; f i 表第 i 組的次數 + f f + x f f f x 例 4. 某班 50 位同學的年齡, 如右表, 試求平均年齡 = [ 9.74 ] 年齡 人數 總計 50 47

49 例 5. 某公司 60 位員工薪資如下表, 求平均月薪 = [ 850 ] 薪 資 人 數 總 計 60 型 C: ( 簡捷法 ) 由已分組資料求 M fd + f d f td t () 平移變量方法求算術平均數, M = A + 其中 x t 表第 t 組的組中點 ; f t 表第 t 組的次數 dt = xt A ; A 為自選次數較多之數 h () 平移且縮小變量方法求算術平均數, M = A + ( f d + f d + + f t d t... ) xt A 其中 x t 表第 t 組的組中點 ; f t 表第 t 組的次數 ; h 為組距, d t =, A 為自選 h 次數較多之數 ; 愈接近算術平均數愈好 ; 通常選取次數最多的那一組之組中點 例 6. 某班 8 名學生之身高如下表, 試求身高之平均值 [ ] ( 不含上限 ) 組距 h = 3 身 高 人數組中點 55.5~ ~ ~ ~ ~ ~ ~76.5 總計 8 x i d = ( x A) i i h fd i i 48

50 例 7. 某育幼院兒童年齡如下表, 試求平均年齡 = [ 6.44 ] 年齡人數組中點 x i d i = ( xi A) h f d ~ ~ ~ ~ ~ 總計 5 i i 類題. 00 位學生成績如下, 求算術平均數 = [ 76.7 ] ( x ) 組別次數組中點 x i d i = i A h f d 40 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 00 8 總計 00 i i 類題. 49 位學生成績如下, 求算術平均數 = [ 5.04 ] 組別次數組中點 5 ~ 5 5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 95 總計 49 x i ( ) d = x A h i i f d i i 49

51 型 D: 加權平均數 例 8. 某生學期成績如下表, 試以上課時數為加權數, 求平均成績 = [78.8] 科目國文英文數學物理化學歷史地理公民成績 時數 類題. 某生學期成績如下表, 試求加權平均成績 = [ 86. ] 科目國文英文數學物理化學成績 時數 類題. 阿妹第二月考成績如下表, 試求加權平均成績 = [70.96] 科目國文英文數學歷史地理公民 成績 時數 型 E: 調和平均數 例 9. 某人由甲地旅行至乙地, 平均速度是 40 公里 / 時, 從乙地取原路返回甲地, 平均速度是 50 公里 / 時, 求全程的平均速度公里 / 時 [ ] 類題. 某人由甲地至乙地, 平均速度是 30 公里 / 時, 從乙地回甲地, 平均速度是 60 公里 / 時, 求全程的平均速度公里 / 時 [ 40 ] 例 0. 某人騎腳踏車旅行 300 公里, 最初 00 公里, 時速 0 公里, 中間 00 公里, 時速 60 公里, 最後 00 公里, 時速 30 公里, 求平均速度公里 / 時 [ 30 ] 50

52 主題二中位數型 A: 由未分組資料求 Me 全部資料依大小順序排列 x x x 3... x () 若 =k+ ( 奇數 ) 時 M x x = + = x + x( ) + = e k ( +) () 若 =k ( 偶數 ) 時 M e ( 中間兩數的平均數 ) 例. 求下列各組資料的中位數 : () [ 38 ] () [ 76 ] 類題. 王先生全家五人, 每人每月的收入分別為 : 元, 元,43000 元, 元, 350 元, 求中位數 = [ 元 ] 類題. 某家庭有九人, 身高按大小順序排列為 :54,56, 60,66,68, 69,70,7,7 求算術平均數 =, 中位數 = [ 65.,68 ] 型 B: 由已分組資料求 Me ( 非常重要 ) 在以下 ( 上 ) 累積次數中, 若第 i 組的以下 ( 上 ) 累積次數 C i, 則中位數 Me 在 Ci Ci 第 i 組中, 且 M e = Li + ( U i Li ); M e = Li + ( U i Li ) f i f i 其中 : Ui, Li分別表第 i 組的上, 下界 ; f i 表第 i 組的次數 ; C i 表第 i 組的以下累積次數 例. 擲骰子 00 次, 結果如下表, 若算術平均數為 a, 中位數為 b, 則 a b= [0.4] 組 別 次 數 以下累積次數

53 例 3. 右圖是某班 50 位同學數學成績的以 50 下累積次數的曲線圖 ( 不含上限 ), 以 48 下 () 試作次數分配表 4 累 () 算術平均數 = [ 64. ] 積 3 (3) 中位數 = [ 65 ] 次 8 數 0 4 分 數 次 數 分 數 次 數 30 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 70 總 計 50 例 4. 下表是 00 個成年婦女每分鐘脈搏跳動次數, 分數 組別 50~55 55~60 60~65 65~70 70~75 75~80 80~85 85~90 90~95 95~00 次數 試求 () 中位數 () 算術平均數 [ 78,77. ] 例 5. 某工廠按小時計算工資, 分配表如下, 試求中位數 [ 83.5 元 ] 工資 0 ~ ~ ~ ~ ~ 70 總計人數 例 6. 某工廠 00 位工人之體重分配如下表, 試求中位數 ( 單位 : 磅 ) [40.74 磅 ] 體重 00~ 0~ 0~ 30~ 40~ 50~ 60~ 70~ 80~ 總計 人數

54 標準差與四分位差 主題一四分位差 () 四分位差就是 第 3 四分位數 與 第 四分位數 之差, 以 Q.D. 表示, Q.D. = Q 3 Q () 第 3 四分位數 : 比中位數大之資料的中位數, 以表示 第 四分位數 : 比中位數小之資料的中位數, 以 表示 說明 : 四分位差就是指母群體中間 50% 的數值所分散的距離 Q 3 Q 型 A: 由未分組資料求四分位差全部資料依大小順序排列 x x x 3... x 則不論 為 m( 偶數 ) 或 m+( 奇數 ), 其中位數以上或以下的個數必然等於 m () 當 m = k+ 時 : Q = xk +, Q3 = x k Q. D. = x k xk + xk + xk + x k + x k + x k + x k + xk xk () 當 m = k 時 : Q =, Q3 = Q. D. = + 例. 設有 00 位學生的成績均相異, 其第 四分位數為 50 分, 第 3 四分位數為 70 分, 則此 00 位學生有 位學生的成績不低於 50 分, 又其四分位差 = 分 [ 75, 0 ] 例. 試求下列十個數值的四分位差 [ ],,5,7,0,8,6,3,,5 例 3. 試求下列十三個數值的四分位差 [ 3.5 ] 53,45,44,58,6,7,68,55,57,63,65,50,5 型 B: 由已分組資料求四分位差 Cq Q = L 4 q + hq ; Q3 = L f 3 C q 3 4 q3 + hq3, Q. D. q f q3 其中 : L qi 表示 Q i 所在組的下限 C qi f qi = Q 3 Q 表示較 L qi 小的累加次數 表示 所在組的次數 表示 Q 所在組的組距 Q i h qi i 53

55 例 4. 試求中位數與四分位差 [ 5.6, 3.7 ] 組 別 次數 0 ~ 0 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 00 總 計 06 以下累積次數 C i 例 5. 某大學 00 個學生的身高次數分配表如下, 試求四分位差 ( 單位 : 吋 ) [ 3.98 ] 身 高 人 數 以下累積次數 C i 60 ~ ~ ~ ~ ~ 75 8 總 計 00 54

56 類題. 下表是 00 位學生的智商 (I.Q.) 分數的次數分配表, 求全距 =, 四分位差 = [ 0, 30 ] 組 別 次 數 以下累積次數 C i 50 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 0 ~ ~ ~ ~ ~ 60 5 總 計 00 [ 作業 ]. 求下列數值的四分位差 =, 全距 = [.5,98 ] 統一超市 400 家連鎖店, 每日平均營業額的次數分配表如下 : 營業額 ( 元 ) 次數 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 試求 : () 中位數 [ 36.5 ] () Q [ 775 ] (3) Q 3 [ ] (4) 四分位差 [ 83.3 ] 55

57 主題二標準差. 一群數值中, 各項數值與算術平均數之差, 稱為 離均差. 一群數值中, 各項數值離均差之平方的算術平均數, 稱為 母體變異數, 以符號 δ 表示 δ = ( x ) i μ, i =,,3,..., i= 3. 母體變異數的平方根稱為 母體標準差, S = i i= ( x μ ) 實務上, 我們所研究的母體通常很大, 我們很少能做普查得到母體 δ 的值, 一般情形是由抽樣獲得樣本資料, 以這些資料來估計變異數 如果我們只是從母體中抽樣一組樣本, 如何計算此組資料的變異數呢? 編號 身高 我們以從雅虎籃球隊抽樣 5 位隊員為例做說明, 假設抽中 5 位隊員編號為, 3,7,9,0, 則此 5 位隊員的身高為 85,86,83, 75,86, 如果我們知道母體平均數 μ =85, 則由這 5 位抽樣資料要估計母體的變異數, 由於母體變異數是所有資料的平方離差之平均, 因此自然會想到用這 5 個資料的平方離差 5 平均 ( xi μ ) 做為 δ 的估計是很合理的想法, 算出 5 ( x ) i μ =. 5 i= 5 i= 但事實上, 由於是抽樣的資料, 我們不可能知道母體的平均數 μ 是多少, 因此只能由抽樣的樣本算出樣本的平均數 X, 這 5 位被抽到的隊員平均身高為 X = 83 假設我們以這 5 位被抽到的隊員每位身高離樣本平均數 X 的平方離差 5 平均算出 ( x i x ) = 9. 做為 δ 的估計, 由於 5 i 5 x i= = 5 i ) ( xi ( i= 5 5 ( x i μ) = ( xi = 5 i= 5 ( μ = x) + 5 x μ ) 所以 x ) + (x μ) ( xi x) 5 i 5 i= 也就是以 ( x) 5 x 做為 δ 的估計會有低估的現象, 因此統計學家改以 i i= 5 ( xi x ) 做為 δ 的估計, 算出 5 ( x ) i x = 4 作為此全體隊員身高變 5 i= 4 i= 異數 δ 的估計 一般抽樣資料的樣本變異數定義如下 : 5 56

58 設有一群抽樣資料 x x, x,..., 則其變異數 ( 或稱樣本變異數 ) 簡寫成 S, 定義為 : S i = =, 3 ( x i x) ( xi x) i= 標準差 ( 或稱樣本標準差 ) 簡寫成 S, 定義為 : S = x 例. 若 x y 等五個數 (x<y), 算術平均數為 35, 母體變異數為 30, 則 x =, y = [ 35, 60 ] 例. 試求下列抽樣資料的全距, 四分位差與標準差 [,5, 58. ] 例 3. 試求下列十五個抽樣數值的標準差 [ ] 64,69,69, 68, 64, 67, 65, 73, 79, 70, 6,68, 73,75,67 例 4. 下列六個抽樣數值資料 : () 中位數為 [ 55 ] () 四分位差為 [ 9 ] (3) 算術平均數為 [ 59.5 ] (4) 標準差為 [ 0.9] (5) 全距為 [ 58 ] 57

59 例 5. POPO 記錄他一個月以來的花費, 作成次數分配表如下 : 金額 ( 元 ) 0~0 0~40 40~60 60~80 80~00 日數 求標準差及四分位差 [3.77,34.75] 例 6.00 人體重如下, 試求下列各值 : () 全距 = [ 30 ] () 平均成績 ( 算術平均數 ) = [58.45] (3) 中位數 = [ 58 ] (4) 四分位差 = [ 9.84 ] (5) 標準差 = [ 6.66 ] 體重人數 f i 組中點 X i d i f i d i fi di 以下累積次數 45 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 75 5 總 計 C i 例 7. 下表是學生通學所花的時間調查表, 試求平均數與標準差? [ 58.9,.49 ] 組別人數 f i 累積次數 C i 組中點 x i d i f d f d 0 ~ 5 5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 總 計 47 i i i i 58

60 例 8. 從本校管樂隊隨機抽樣 0 名隊員, 調查每年聽音樂會的次數如下表, 試求平均值與標準差? [ 5.7,.7 ] 組別人數 f i 累積次數 C i 組中點 x i d i fi d 0 ~ ~ ~ ~ ~ 0 0 ~ 總 計 0 i f i d i 例 9. 下表為士兵 86 人之身高分配表, 試求算術平均數與標準差 [ 66.94,4.79 ] 身高人數 f i 累積次數 C i 組中點 x i d i f d 54 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 8 總計 86 i i f i d i 例 0. 設變量 x 的平均數是, 標準差是 3, 若 y = x +, 則 y 的平均數 是, 標準差是 [7, 3 ] 例. 變量 X 之 X = 6, = 4, 若 X = 4Y 3, 則 Y 的算術平均數是, S x 標準差是 [ 9 4, ] 59

61 例. 某次考試, 成績奇差, 總平均 53.6 分, 標準差 3. 分, 若每人都加 5 分, 則算術平均數變為, 標準差變為 [ 68.6,3. ] 例 3. 已知數值資料 x, x, x 3,..., x 的算術平均數是 M, 標準差是 k, 則 x+ 3, x + 3, x3 + 3,..., x + 3的算術平均數是, 標準差是 [ M+3, k ] 例 7.0 人參加某次考試, 總平均 56 分, 母體標準差 4 分, 若 0 人中的 8 人成績如下 : , 試求另二人之成績 [ 54, 63 ] 例 8. 已知 個數值的算術平均數是 55, 母體標準差是 3, 若刪除其中一數 60 後, 則新的算術平均數是, 標準差是 [54.75, 84. ] 例 9. 已知 個數值的算術平均數是 50, 標準差是 3, 若刪除其中一數 50 後, 則新的算術平均數是, 母體標準差是 [50, 99. ] [ 作業 ]. 某次測驗 00人參加, 成績如下 : 成績 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 90 人數 () 全距 = [ 70 ] () 平均成績 ( 算術平均數 ) = [ 63.6 ] (3) 中位數 = [ 65.3 ] (4) 標準差 ( 算至小數第二位四捨五入 ) = [ 5.44 ]. 某次測驗 50 人參加, 成績如下 : 成績 0~0 0~0 0~30 30~40 40~50 50~ 60 60~70 70~80 80~90 90~00 人數 () 算術平均數 = () 中位數 = [ 54.8,55.45] (3) 四分位差 = (4) 標準差 = [.76, 6.84] 60

62 綜合練習 :. 測量一物件的長度 9 次, 得其長 ( 公尺 ) 為.43,.46,.4,.45,.44,.48,.46,.47,.45, 將上面的數據每一個都乘以 00, 再減去 40 得一 組新數據為 3,6,,5,4,8, 6,7,5 問下列選項, 何者為真? () 新數據的算術平均數為 5 () 新數據的母體標準差為 (3) 原數據的算術平均數為.45 (4) 原數據的母體標準差為 0. (5) 原數據的中位數為.45. 某生第一次月考六科的平均成績 ( 算數平均 ) 為 80 分, 若已知其中五科的成績為 68, 80, 80, 80, 86 則其成績的標準差為 分 S = x xi, x= x ) i ( 標準差公式 : ( ) i= i= 3. 某年聯考甲 乙兩科成績的直方圖如圖所示 ( 由於考生人數眾多, 成績分布的直方圖可視為平滑的曲線 ), 則下列那些敘述是正確的? (A) 甲的算術平均數比乙的算術平均數大 (B) 甲的中位數比乙的中位數大乙 (C) 甲的全距比乙的全距大甲 (D) 甲的標準差比乙的標準差大 (E) 甲的變異係數比乙的變異係數大 分數 4. 九位學生的數學抽考成績為 30,40,60, 50, 70,80,60,90,60 a. 這九個分數的中位數為何? b. 這九個分數的母體標準差為何? 現在使用簡單隨機抽樣法, 從這九個分數中取出三個, 請回答下面三小題 60 分的取法有幾種? (A)8 (B) (C)35 (D)40 (E)64 d. 所取出三個分數的中位數等於 60 分的取法有幾種?(A)8 (B)7 ( C)43 (D)46 (E)55 e. 若已知所取出三個分數中有一個為 70 分, 則在此條件下, 此三個分數的中位數等於 60 分的機率為 (A) 3 (B) 3 (C) (D) (E) 人數c. 所取出三個分數中至少有一個為 5. 設有一未分組數值資料 3,56,43,53,5,46,90,38,65,3,4, 試求其中位數 Me =. 及四分位差 Q D = 6

63 6. 某班 50 位同學數學科成績的以下累積次數分配曲線如下圖所示, 則其成績的中位數為 ( 取到整數, 小數點以下四捨五入 ) 下列 5 組資料 ( 每組各有 0 筆 ) (A) l,l,l,l,l,0,0,0,0,0 (B),,,,,5,5,5,5,5 (C) 4,4,4,5,5,5,5,6,6,6 (D) l, l,,,3,3,4,4,5,5 (E),,3,4,5,6,7,8,9, 0 試問哪一組資料的標準差最大? (l)a ()B (3)C (4)D (5)E 8. 體操委員會由 0 位女性委員與 5 位男性委員組成 委員會要由 6 位委員組團出國考察, 如以性別做分層, 並在各層依比例隨機抽樣, 試問此考察團共有多少種組成方式? 答 : 種 9. 某市為了籌措經費而發行彩券 該市決定每張彩券的售價為 0 元 ; 且每發行一百萬張彩券, 即附有壹佰萬元獎 張, 拾萬元獎 9 張, 壹萬元獎 90 張, 壹仟元獎 900 張 假設某次彩券共發行三百萬張 試問當你購買一張彩券時 你預期會損失元 0. 某班數學老師算出學生學期成績後, 鑑於學生平時都很用功, 決定每人各加 5 分 ( 加分後沒人超過 00 分 ), 則加分前與加分後, 學生成績統計數值絕對不會改變的有. (A) 算術平均數 (B) 中位數 (C) 標準差 (D) 全距 6