lt99ok241一維數據分析

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叶吴
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1 llt99ok4 一維數據分析主題一代表數據的數 lt99ok4 一維數據分析統計經常以一簡單的數量來代表整個母體的某一特性,以作為衡量的標準常用的代表數有眾數中位數算術平均數與幾何平均數眾數:是指一群數據中出現次數最高的數中位數:將一組數據由小到大排列如下: x x x, () 當為奇數時,令 k,中位數為 x k xk xk () 當為偶數時,令 k,中位數為 3 算術平均數: () 設個數據為 x, x,, x,則算術平均數( 簡稱平均數 ) x x x xk k () 已分組數據以組中點代表該組數據 4 幾何平均數:當個數據為 x, x,, x 時, 其幾何平均數 G 為 G x x x 平均成長率:當年的成長率分別為 r, r,, r 時, 其平均成長率 x 為 x r r r

2 lt99ok4 一維數據分析例題配合課本例例求數值 3,, 3, 7, 5, 3, 6, 4,, 3, 6, 8 的眾數與中位數 As: 眾數 3, 中位數 35 將個數據由小到大排列:,, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 因為出現最多次的數是 3,眾數為中位數是第 6 與第 7 的平均,為 35 序號數值類題某班參加英文能力檢定的成績 ( 級分 ) 如下,求眾數與中位數級分人數 As: 眾數 7, 中位數 6 因為出現最多次的數是 7,共出現 8 次,所以眾數為 7( 級分 ) 全班 7 人,中位數在第 4 位,所以中位數為 6 級分人數累積

3 lt99ok4 一維數據分析 3 例題配合課本例 3 () 求,, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 十個數據的算術平均數 () 擲一骰子 00 次,將其結果記錄如下表,求此資料的算術平均數點數 As:() 5,() 34 次數 () () 因為,, 3, 4, 5, 6 點分別出現 0, 5, 0, 0, 0, 5 次,所以算術平均數為數值點數次數類題某班抽樣 0 位同學的英文成績依次為 3, 58, 86, 34, 6, 78, 9, 69, 63, 77 ( 分 ),求算術平均數 As: 成績

4 4 lt99ok4 一維數據分析例題 3 配合課本例 4 某班段考成績如下,求算術平均數分數 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~00 合計人數 As: 分數 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~00 合計人數組中點類題 3 如圖是高二學生 00 人數學考試成績的累積次數分配曲線圖假設各組內的次數都平均分布在組距內,求算術平均數 As:645 將累積次數分配曲線圖中, 各組的人數列表如下: 分數 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~00 組中點人數算術平均數為 ( 分 ) 00

5 lt99ok4 一維數據分析 5 例題 4 配合課本例 6 某公司統計其產品 4 年來的銷售量成長率分別為 0%, %, %, 33%,求這 4 年銷售量的平均成長率 As:% 若平均成長率為 x,則有 4 x 0% % % 33%, 整理可得 x 4 0% % % 33% 4 33 =0, 即這 4 年的平均成長率為 % 33 類題 4 已知股票每天最大漲跌幅為前一日的 7%,某股票漲停天又跌停天, 求此股票 4 天的平均漲跌幅 As:05% 若平均漲跌幅為 x,則有 4 x 7% 7% 7% 7%, 整理可得 x , 即這 4 天的平均漲跌幅為 05%

6 6 lt99ok4 一維數據分析主題二表示數據離散趨勢的數用來量測資料分散程度的數,稱為離差常用的有:全距四分位距及標準差全距:是一群數據中,最大數與最小數的差若為已分組數據,則為最大一組的上限與最小一組的下限之差四分位距 ( IQR ):是第 3 四分位數 Q 3 與第四分位數 Q 的差,即 IQR Q Q 3 計算四分位數的步驟如下:第四分位數 ( () 將個數據從小到大排列 () 計算 k,,, 3 4 Q ) 若 k 不是整數,則四分位數 Q 為比 k 大的下一個整數位置所對應的數值若 k 是整數,則四分位數 Q 為第 k 個位置和第 k 個位置所對應之數值的平均 3 標準差:設個數據為 x, x,, x,其算術平均數為, 變異數為所有離均差平方的平均,即 x 標準差為變異數的正平方根,即 x x

7 例題 5 配合課本例 7 例 8 lt99ok4 一維數據分析 7 某班參加英文能力檢定的成績 ( 級分 ) 如下,求全距與四分位距級分人數 As: 全距 6, 四分位距 3 全距 =9-3=6, 計算 7 人的四分位距: 計算 Q :因為 k= 4 7=675 非整數, 所以 Q 是第 7 個數,即 Q=4 計算 Q3 :因為 k3= 3 4 7=05 非整數, 所以 Q3 是第個數,即 Q3=7 故四分位距 IQR 為 IQR=Q3-Q=7-4=3 類題 5 求數值 3,, 3, 7, 5, 3, 6, 4,, 3, 7, 8 的全距與四分位距 As: 全距 7, 四分位距 35 將個數據由小到大排列:,, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 全距 8 7, 計算 Q :因為 k 3 是整數, 4 所以 Q 是第 3 個數和第 4 個數的平均, 即 3 3 Q 3 3 計算 Q 3 :因為 k3 9 是整數, 4 所以 Q 3是第 9 個數和第 0 個數的平均, 6 7 Q 65 即 3 故四分位距 IQR 為 IQR Q3 Q

8 8 例題 6 配合課本例 9 lt99ok4 一維數據分析求下列 5 個數據的算術平均數變異數和標準差,, 3, 4, 5 As: 算術平均數 3, 變異數, 標準差平均數 3, 變異數, 5 標準差數值離均差算術平均數變異數標準差類題 6 求數據,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 的算術平均數變異數和標準差 As: 算術平均數 5, 變異數 9 45 平均數 5, , 5 標準差 3 離均差分別為 4, 3,,, 0,,, 3, 4, 變異數, 標準差

9 數值離均差算術平均數變異數標準差 lt99ok4 一維數據分析 9 例題 7 配合課本例 0 某班 50 人的數學成績,整理如下表: 分數 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 人數 () 求算術平均數 () 設標準差為 k,求 k 的值 As:() 57,() 36 () 這 50 個數的平均為 () x 50 組中點 x 次數 ( 離均差 ) 得標準差為 S ,因此, k 36 50

10 0 lt99ok4 一維數據分析分數 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 人數組中點 ### 離均差 ### 算術平均變異數類題 7 下表為某公司 40 名員工的薪資 ( 萬元 ) 次數分配表, 求薪資的算術平均數和標準差 As: 算術平均數 4, 標準差這 40 個數的平均為數值 0~ ~4 4~6 6~8 次數 x 得標準差為組中點 x 次數 ( 離均差 ) 例題 8 配合課本例求數據,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 的算術平均數和標準差 As: 算術平均數 45, 標準差平均數, 8 8 又 8 數的平方和為 8 x 8 04,

11 04 9 故標準差為 8 4 lt99ok4 一維數據分析數值平方算術平均數變異數標準差類題 8 求數據, 4, 6, 8, 9 的算術平均數和標準差 As: 算術平均數 9 5, 4 標準差平均數, 5 5 又 5 數的平方和為 5 x , 故標準差為例題 9 綜合題求下表 6 個數據的全距四分位距及標準差數據次數 As: 全距 6, 四分位距 4, 標準差全距: 7 6 四分位距: 中位數為第 8, 9 個數據的平均,即 3 第一四分位數為第 4 與第 5 個數的平均,即

12 lt99ok4 一維數據分析第三四分位數為第與第 3 個數的平均,即 5 故四分位距為 5 4 標準差:這 6 個數的平均為 x 數值 x 次數 ( 離均差 ) S 得標準差為類題 9 某射擊小組有六人,今各射擊 5 發,各人命中數分別為 4,, 4, 3,, 4 發,若 a 表其算術平均數, b 表其眾數, c 表其中位數, d 表其幾何平均數, e 表標準差, 則 a b c d 與 e 的大小關係為何? As: b c a d e 排列:,, 3, 4, 4, a 3, 6 b 4, 3 4 c 35, 6 6 d , 6 e b c a d e d,

13 例題 0 常考題 lt99ok4 一維數據分析 3 有 0 個數據,其中 6 個數的算術平均數為 9,標準差為 3 ;剩餘 4 個數的算術平均數為 4,標準差為,求全部 0 個數的算術平均數及標準差 As: 算術平均數 7, 標準差 3 已知前 6 個數 x, x,, x 6的算術平均數為 9,標準差為 3 ; 剩下 4 個數 x7, x8, x9, x 0的算術平均數為 4,標準差為由算術平均數可列得 x x x7 x0 x x6 54, 4 4 x 7 x 0 6 因此,全部 0 個數的算術平均數為 x x6 x7 x 由標準差可列得 6 x x x x 540, 80 因此,全部 0 個數的標準差為 0 x 類題 0 某班學生 50 人分為甲乙兩組,甲組學生 30 人,學期成績平均 7 分,樣本標準差 8 分;乙組學生 0 人,平均 67 分,樣本標準差 7 分;若全班 50 人之標準差為 k 分,求 k 值 As: 全班平均 x 70, 50

14 4 lt99ok4 一維數據分析因為 30 x , 0 y x , y x 故 k 64 例題常考題已知 0 個人的數學成績,成績的算術平均數為 6 分,標準差為 0 分但因甲生違背考場規則,其成績 80 分須由 0 個成績中剔除,求成績更改後, 9 個成績的算術平均數與標準差 As: 算術平均數 60, 標準差假設甲生之外的 9 人的成績為 x, x,, x 9 由原算術平均數可得 80 x x x x 9 540, 因此,成績更改後,算術平均數為 x x ( 分 ), 9 9 由原標準差可得 80 x x x x 成績更改後,新標準差為 x x ( 分 )

15 類題 lt99ok4 一維數據分析 5 已知有個數據的算術平均數是 50,標準差是 4,若刪除其中的一數 40 後, () 求新的算術平均數 () 若新標準差是 k,求 k 之值 As:() 5,() () 新的算術平均數 x 5 0 () 由原標準差可得 40 x x x x 所以新標準差故 k 66

16 6 lt99ok4 一維數據分析主題三線性變換設抽取的個數據 x, x,, x 之算術平均數為 x,中位數為 Me x, 全距為 Rx,四分位距為 IQR x,標準差為 S x 將每個數據乘上 a 再加 b,形成一組新數據 y, y,, y, 即 y ax b,,,,, 令這些新數據的算術平均數為 y,中位數為全距為 Ry,四分位距為 IQR y,標準差為 Me y, S y,則有 () y ax b () Me y ame x b (3) R y a Rx (4) IQR y a IQR x (5) Sy a Sx xk k 一元二次多項式 m 的最小值就發生在 m 時,其最小值為

17 例題配合課本例 lt99ok4 一維數據分析 7 設抽取的個數據 x, x,, x 之算術平均數為 70,中位數為 60,全距為 0, 四分位距為 7,標準差為 5 將每個數據乘上再加 0,形成一組新數據 y, y,, y,即 y x 0,,,, 位數全距四分位距及標準差,求這些新數據的算術平均數中 As: 算術平均數 30, 中位數, 全距 40, 四分位距 4, 標準差 0 新數據的算術平均數為 , 中位數為 , 全距為 0 40, 四分位距為 7 4, 標準差為 5 0 類題若已知某一筆數據之算術平均數 x 0,標準差 S 3,中位數 M,眾數 M 8,四分位距 IQR 3,若 y 4x 3,則對新資料 y 而言,下列何者正確? ox () 算術平均數 43,() 標準差,(3) 中位數 45,(4) 眾數 3, (5) 四分位距 As:(3)(5) () : y 4x x ex () : S 4S 4 3 y x (3) : M 4M ey ex (4) : M 4M oy ox (5) : IQR 4IQR 4 3 故選 (3)(5) y x

18 8 例題 3 概念題 lt99ok4 一維數據分析設數據 x, x,, x 0 的平均數 x 5,標準差為 S x,令 y ax b,,,, 0, 其中 a 0 已知 y, y,, y 0 的平均數 y 3,標準差 S S,則 () a, () b As:(),() 7 由 S S 知 a y x y x 因為 y ax b,即 3 5 b,得 b 7 故 a, b 7 類題 3 某次全校數學競試的成績平均為 4 分,標準差為分;為使成績公告時平均值提高到 63 分,將所有成績做線性函數處理,且使原始最高分數 7 分剛好等於 88 分,此時標準差變成幾分? As:0 設原始分數為 x,調整後的分數為 y, 其關係式為 y ax b, 則 y ax b, S y a S x 88 7ab 5,解得 a, b ab 6 5 故標準差 Sy 0 ( 分 ) 6

19 例題 4 概念題考慮下列四組數據: A :,, 3, 4, 5 B :, 4, 6, 8, 0 C : 996, 997, 998, 999, 000 D :, 4, 9, 6, 5 其標準差分別為 SA, SB, SC, S D,下列何者正確? lt99ok4 一維數據分析 9 () SB SA,() SC SA,(3) SC SA,(4) SD SA,(5) S D S A As:()()(4) 因為 B A, C A995, D A, () : S S B A () : S C S A (3) (4) : D 的資料較分散, S D S A (5) ` 答案為 ()()(4) 類題 4 下列各組數據,比較其標準差大小 A : 0, 0, 0, 0, 0 B : 5, 0, 5, 0, 5 C : 3, 4, 5, 6, 7 As: S B S C S A S 0, B 的資料較 C 分散, A S 所以 B C S,故 SB SC SA 例題 5 概念題有 0 名學生的數學考科級分數分別為 x, x,, x 0,其算術平均數為 7 分,標準 0 差為 3 分若令 f x x x x x x x,下列何者為真? () f 7 3 () f 7 90 (3) x x x (4) f 6 f 7 (5) f 7 f 8

20 0 As:()(5) ()() 由標準差公式得 f 7 90 lt99ok4 一維數據分析 x 7 x 7 x 7 f 7 0 3, f 7 x 7 x 7 x 7 x x x 0 7, (3) 因為所以 x x x (4) 因為二次函數 0 f x x x x x x x 在 x 0 0 0x x x x x x x x x x x 有最小值,所以 f 6 f 7 (5) 承上, f 7 f 8 答案為 ()(5) 類題 5 有 9 名小學生的年齡分別為 x, x,, x 9,其中位數 7,算術平均數為 0, 9 標準差為 5 若令 f x x x x x x x,下列何者為真? () f 0 7,() f 0 5,(3) x x x9 5, (4) f 5 是極小,(5) f 0 f As:()(3)(5) ()() 由標準差公式 x 0 x 0 x9 0 f 0 5,得 9 9 (3) 因為 f f 0 x 0 x 0 x 0 x x x 9 0,

21 lt99ok4 一維數據分析所以 x x x (4) 二次函數 f x x x x x x x x x x x x x x x x x x9 在 x 0 有最小值 9 (5) 承上, f 0 f 答案為 ()(3)(5) 例題 6 常考題某次考試,某班的數學成績不太理想,全班 30 位學生成績的算術平均數為 36 分,標準差為分,全班最高也僅 66 分該班數學老師決定將每位學生的原始成績 x 調整為成績 y,作為成績的正式紀錄 () 如果老師採取線型函數 y ax b 調整成績,並設定 y 成績的最高分為 00 分, y 成績的算術平均數為 60 分,求 y 成績的標準差 () 如果老師採取根式函數 y 0 x 調整成績,且經計算知: y 成績的算術平均數為 59 分,則 y 成績的標準差最接近哪一個正整數? As:() 6,() 由題: x36, S x () y ax b 60 a36 b 00 a 66 b 30a 即調整的公式為: y 4 x, 3 故得 S () 因為 x 36 y 4 4 Sx x , a, b y 0 x y 00x

22 lt99ok4 一維數據分析 y 00 x 08000, 30 y Sy 類題 6 某次小考數學成績非常不理想,老師決定將每人的原始成績取平方根後,再乘以 0 做為紀錄的成績已知全班 50 人,發現調整後的全班成績之算術平均數為 65 分,標準差為 0 分,請問這班 50 位同學未調整前成績的算術平均數 As:435 設原始成績 x,調整後分數 y 則 y0 x y 00x x y 00 已知 y 65, S y 50 y y x y x

23 lt99ok4 一維數據分析 3 主題四數據標準化標準分數 ( z 分數 ):設個數據 x, x,, x 的算術平均數為, 標準差為,則數據 x 的標準分數 ( z 分數 ) 為 z x 標準化後的 z 分數,其平均數會成為 0,標準差則成為

24 4 lt99ok4 一維數據分析例題 7 配合課本例 3 某班級全班的語文測驗成績,平均為 0 級分,標準差 3 級分; 而數學競試全班平均為 65 分,標準差 8 分 A 生的語文測驗和數學競試成績分別為 8 級分和 58 分 () 計算 A 生兩項測驗成績的 z 分數 () 相對於全班, A 生的哪一項表現較好? As:() 7,() 語文測驗 8 () 將原始成績標準化如下: 8 0 語文測驗 z, 數學競試 z 8 8 () 因為 7,相對於全班, 8 3 A 生的語文測驗表現較好類題 7 某班學生的體重平均為 65 公斤,標準差 6 公斤,身高的平均為 7 公分, 標準差 9 公分若其中 A 生的體重為 70 公斤,身高為 80 公分, () 計算 A 生體重與身高的 z 分數 () 相對於全班, A 生的哪一項較為突出? As:() 8 9,() 身高 () 體重 z,身高 z () 因為 5 8,相對於全班, A 生的身高較為突出 6 9

25 llt99ok4 重要精選考題 lt99ok4 一維數據分析 5 基礎題根據一百多年來的氣象紀錄,美國費城年雨量平均值為 40 英吋,標準差為 6 英吋今欲將此項統計資料的單位由英制換為公制,請問該城市一百多年來年雨量的標準差,最接近下列的哪一個選項? ( 註: 英吋等於 54 毫米 ) () 040 毫米,() 6 毫米,(3) 60 毫米,(4) 55 毫米,(5) 04 毫米 97 指乙 As:(4) 54 6== ( 毫米 ) 在某項才藝競賽中,為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大,主辦單位規定:先將 5 位評審給同一位參賽者的成績求得算術平均數,再將與平均數相差超過 5 分的評審成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績現在有一位參賽者所獲 5 位評審的平均成績為 76 分,其中有三位評審給的成績應剔除,則這個參賽者的比賽成績為幾分? 96 學測 As:79 分 ( ) =79 3 某班有學生 40 人,某次考試數學科平均成績 50 分,標準差為 0 分,若將最高分與最低分去掉,重新計算其他 38 人的成績,平均得 X 分及標準差 S 分,則 () X 必大於 50 ; S 必小於 0 () X 必小於 50 ; S 必大於 0 (3) X 必小於 50 ; S 必小於 0 (4) X 無法確定大於或小於 50 ; S 必小於 0 (5) X 無法確定大於或小於 50 ; S 也無法確定大於或小於 0 As:(4) 去掉兩頭後所得數據較集中, 故標準差減少

26 6 lt99ok4 一維數據分析 4 某商店進一批水果,平均單價為每個 50 元,標準差為 0 元今每個水果以進價的 5 倍為售價出售,則水果 () 平均售價為每個元, () 標準差為元 99 指乙 As:() 75,() 5 () 水果平均售價為每個 50 5=75 元, () 標準差為 0 5=5 元 5 有 0 個數據如下:,, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 6 今從此 0 個數據中任取數刪除,問剩餘的 9 個數據中,下列何者不變? () 算術平均數,() 中位數,(3) 幾何平均數,(4) 全距,(5) 標準差 As:()(4) () 中位數還是 5 (4) 全距仍是 6-=5 6 根據統計資料, 月份臺北地區的平均氣溫是攝氏 6 度,標準差是攝氏 35 度一般外國朋友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱,已知當攝氏溫度為 x 時,華氏 9 溫度為 y x 3 ;若用華氏溫度表示,則月份臺北地區的平均氣溫是華氏幾 5 度?標準差是華氏幾度? As:608 度, 63 度 () 平均氣溫 y= =608 度 () 標準差 y= =63 度 7 求數據 0 到的標準差 As:

27 lt99ok4 一維數據分析 7 進階題 8 有一筆統計資料,共有個數據如下 ( 不完全依大小排列 ) :, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8,, x 和 y, 已知這些數據的算術平均數和中位數都是 6,且 x 小於 y 請選出正確的選項: () xy 4,() y 9,(3) y 8,(4) 標準差至少是 3 As:()() 因中位數是 6, 故 6<x<y ( x+y)=6 x+y+5=66 x+y=4 x=6,y=8 或 x=y= SARS 疫情期間,為了建立指標顯示疫情已受控制,以便向國人宣示可以過正常生活,有位公共衛生專家建議的指標是連續 7 天,每天新增的可能病例都不超過 ( 小於或等於 )5 人根據連續 7 天的新增病例計算,下列各選項, 哪些必定符合此指標? () 平均數 3,() 標準差,(3) 平均數 3且標準差, (4) 平均數 3且全距,(5) 眾數且全距 4 As:(4)(5) () 例如 :7,7,,,0,0,0 () 例如 :7,7,,,0,0,0 (3) 例如 :7,7,,,0,0, 算術平均數變異數標準差

28 8 lt99ok4 一維數據分析 0 某次數學測驗分為選擇題與非選擇題兩部分右列的散布圖中每個點 XY, 分別代表一位學生於此兩部分的得分,其中 X 表該生選擇題的得分, Y 表該生非選擇題的得分設 Z X Y 為各生在該測驗的總分共有位學生的得分數據試問以下哪些選項是正確的? () X 的中位數 Y 的中位數 () X 的標準差 Y 的標準差 (3) X 的全距 Y 的全距 (4) Z 的中位數 X 的中位數 Y 的中位數 95 指乙 As:()()(3) X 平均數 33 變異數 05 標準差 0 Y 平均數 30 變異數 5 標準差 5 X+Y () X 的中位數為 35,Y 的中位數為 8 () X 的全距為 33,X 的全距為 4 (3) 顯然 X 較分散 (4) X 的中位數為 35, Y 的中位數為 8, X+Y 的中位數為 6 已知 9 個人的數學成績,其算術平均數為 56 分,標準差為 4 分, 且其中 7 個人的成績為 50, 5, 53, 54, 57, 60, 6 求另個人的成績 As:55 分及 6 分設另個人的成績為 x,y, 則 9 ( x+y)=56 x+y=7

29 lt99ok4 一維數據分析 9 9 ( (x-56) +(y-56) )=6 (x-56) +(y-56) =37 (x-56) +(7-x-56) =37 (x-56) +(x-6) =37=() +6 x=55 或 x= 算術平均數 56 變異數 6 標準差 4 定義一組資料的第一十分位數 w 為至少有 ( 含 ) 的資料不大於 w, 0 且至少有 ( 含 ) 9 的資料不小於 w,試問下列敘述何者為真? 0 () 任一組資料都恰有一個第一十分位數 () 若將原資料每個數據分別乘以 5,則原資料的第一十分位數乘以 5 也會是新資料的第一十分位數 (3) 若將原資料每個數據分別加 5,則原資料的第一十分位數加 5 也是新資料的第一十分位數 (4) 若有 A B 兩組資料其第一十分位數分別為 wa, w B, w 則 A B w 也是此兩組資料合併成一組後的第一十分位數 (5) 任一組資料的第一十分位數必小於該組資料之算術平均數 94 指乙 As:()(3) (A) :若資料相同,則不唯一 (B) :同四分位數之觀念 (C) :同(B) (D) :同(B) (E) :若資料相同,有可能相等

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式二次方根與畢氏定理因式分解一元二次方程式

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式二次方根與畢氏定理因式分解一元二次方程式給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd