解答 a 是一個首項為,公差為 8 的等差數列,其一般項為 a ( )8 8 7.因此若想知道數到接近 999 時,哪一個數字會指到大拇指,則考慮 a 999,即解不等式 ,得.7.故可知正整數 的最大值為,此時 a 99,即當我們數到 99 時,會指到大拇指.若繼續往下數,則數到 9

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1 - 數列 一 單選題 ( ). 對於所有正整數, 恆為質數 P 的倍數,則 P 值為 () () ()7 (). 解答 時: 7, 時: 9 7 7, 為 7 的倍數.故選 (). ( ). 設 a 為等比數列,已知 a, a 且 a a a,,則公比 r () () () () () 8. 解答 a a r r, 且 a a a ( ) a r a r a r,兩邊各除以 a r,得 r r r r 0 r. 但 r 0, r 0, r.故選 (). ( ). 數列 a,滿足 a, a a,則 a 000 的值為 () () () () 0. 解答 a, a, a, a, a, a 6,, 由循環性知每 個一循環, 000,故 a 000.故選(). ( ). 已知 z 且 z z, 為自然數,則 z 9 ()0 () () () ().解答 z z, z z, z z ( ), z z ( ) 0, z z 0, z 9 z,故選(). ( ). 伸出你的左手,從大拇指開始,如下圖所示那樣數數字 :,,,,,6,7,8,9,0,.當你數到 999 時,所指的是哪根手指頭? () 大拇指 () 食指 () 中指 () 無名指 () 小指. - -

2 解答 a 是一個首項為,公差為 8 的等差數列,其一般項為 a ( )8 8 7.因此若想知道數到接近 999 時,哪一個數字會指到大拇指,則考慮 a 999,即解不等式 ,得.7.故可知正整數 的最大值為,此時 a 99,即當我們數到 99 時,會指到大拇指.若繼續往下數,則數到 999 時所指到的是中指,故選擇選項 (). 二 多選題 ( ). 已知 a, a, a 為一等差數列,而 b, b, b 為一等比數列,且此六數皆為實數.試問下列哪些選項是 解答 正確的? () a a 與 a a 可能同時成立 () b b 與 b b 可能同時成立 () 若 a a 0,則 a a 0 () 若 b b 0,則 b b 0 () 若 b, b, b 皆為正整數且 b b,則 b 整除 b. () :不可能, 公差大於 0 a a a 公差小於 0 a a a. () :取 b, b, b 8. () :取 a 0, a, a 0. () :取 b a, b ar, b ar b b a r 0 r 0 b b a r 0. () :取 b, b 6, b 9 公比 r,但 6. ( ). 設等差數列 a 滿足 a 0 0, a 0 0,選出正確的選項 : () 公差為 () 首項 a 0 ()a 解答 () 0 是數列 a 中的一項 () 數列 a 中共有 0 項的值大於 0 () 因為數列 a 為等差數列,所以 a 0 a 0 (0 0)d,即 0 0 0d,解得 d. () 又 a 0 a (0 )d,即 0 a 9,解得 a 9. ()a a ( )d 9 ( ). () 設 0 a ( )d,可得 0 9 ( ) 0,解得 0,即第 0 項的值為 0. () 因為公差 d 0,又 a 0 0,所以數列 a 中共有 9 項的值大於

3 由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(). ( ). 帄面上 個圓最多可以將帄面分割成 a 個區域,而且這個數列 a 會滿足下列形式的遞迴關係式, a a ( ),下列何者為真? ()a 8 () () ()a () 數列 a 為等比數列.解答 a. a a. 6 7 a 8 a. 8 可推得 a a ( ) a,. a a a a ( ) ( ) a a ) a a 故選 ()(). ( ) a a [ ( )], ( ). 假設實數 a, a, a, a 是一個等差數列,且滿足 0 a 及 a.若定義 b a 解答,則以下哪些選 項是對的? () b, b, b, b 是一個等比數列 () b b () b () b () b b 6. a b, a b a, b a, b, b a. b () : b a a aa d, b b a a aa d, <b > 為等比數列. () : 0 a, a,表示公差 d 0, a a a a 即 a a a a b b b b. () : 0 a, a, a a 6 a a - -

4 a (a 為 a, a 之等差中項 ) a b 8. () : a a d d, a a d d, a b. a a a a a 8 () : b b 6. ( ). 設實數組成的數列 a 是公比為 0.8 的等比數列,實數組成的數列 b 是首項為 0 的等差數列.已知 解答 a 9 b 9 且 a 0 b 0.請選出正確的選項. ()a 9 a 0 0 ()b 0 0 ()b 9 b 0 ()a 9 a 0 ()a 8 b 8. 因為等比數列 a 的公比為 0.8,所以 a 是正負相間,且愈來愈接近 0. 因為 b 是首項為 0 的等差數列,所以 b 是從 0 開始遞增或遞減的數列. 又知 a 9 b 9 且 a 0 b 0,所以 b 9 與 b 0 有一個比負數還小, 因此, b 為遞減數列,且公差為負. () 因為 a 正負相間,所以 a 9 a 0 0. ()() 因為 b 為遞減數列,所以 b 0 b 9. 又因為 a 9 與 a 0 一正一負,且 a 9 b 9 且 a 0 b 0,所以 b 0 0. ()() 下圖的數列 a 與 b 滿足題意. b 8 a 8 a b 9 a 9 0 b 0 但 a 9 a 0, a 8 b 8. 故選 ()(). 三 填充題. 瓶內裝滿酒精,用去 %. ( 取近似值至第二位小數 ) 解答.7 後用水加滿,第二次又用後再用水加滿,連續五次,則最後瓶內之酒精含量為 第一次剩, 第二次剩 ( ) ( ),, - -

5 第五次剩 ( ) 0.7.7%.. 帄面上有 0 個圓,均過一點 P,則此 0 個圓將帄面最多分割成 個區域.解答 6 令 a 表 個圓最多分割的區域 6 P P 7 a P a a a a a a ) a a a ( 0) 下面對於 試利用數學歸納法證明對所有正整數, 恆成立 的作法是否 ( ) 正確? () 當 時,左式,右式, 因左式 右式,故當 時原式成立. k () 假設當 k 時成立,即 k ( k ) k, 則當 k 時,左式 ( k ) ( k ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k 右式, k k 所以根據數學歸納法,原式對所有的正整數 都成立.以上敘述是否正確?.解答否否, k 在驗證時未利用 k 時已對的條件.. 三數成等比遞增數列,和為 9,若將此三數分別加上,,6 後三數成等差數列,則此數列為.解答,6,9 - -

6 設此三數為 a, ar, ar (a 0, r ) a ar ar 9 ( a ) ( ar 6) ( ar ) a r a r ( r ) 9 ( r ), 交叉相乘,化簡得 (r )(r ) 0 r 或 ( 不合 ), 代入 得 a, 三數為,6,9.. 有一正數等比數列,設第 項為 a,若 a, a 6 0 且 a 0000,則 之最小值為. 解答 8 a 6 a r (r 0), 0 r r, 令 a 0 ( ) ( ) 6 6., ( ) 0, ( ) 6, 8. 0., ( ) , 6. 利用等長的牙籤圍成正方形的方格,以 a 表示圍成 方格所用的牙籤數,,,, 的情形如下圖,求 a. a = a = a = a =0 解答 a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) 0 a [ ( )]. 7. 設數列 a 滿足 a, a a 6 (,,,, ),當 時,試用 來表示 a a.解答 ( ) - 6 -

7 a a a a 6 a 6 a 6 a a 6 ( ) ( ) a a 6 [ ( ) ] [ ( )] ( )( )( ) ( ) 6 ( )( )( ) ( ) 6 ( )( ) ( ). 8. 等差數列 a 中,若 a, a, 則 a 6 的值為. 解答 8 設公差為 d, a a ( )d d d a 6 a (6 )d ( ) 假設實數, y, z 成等比數列,滿足 y yz z, yz 6,則 y z. 解答 9 y z y yz z yz 6 代入 y 6,又 y 為實數, y 6, 代入 得 6( z) 6 z, y z 帄面上有 條帄行的直線,另有 條通過這兩帄行線外的一固定點 P,最多將帄面分割成 a 個區域,則 a ( 為正整數 ). 解答 a 6, a 0, a,, ( 試作圖尋求規律 ) 推得 a a, a 6,故 a 6 ( ) ( 為正整數 ).. 若直角三角形之三邊長成等差數列,則三邊長之比為.( 由小至大 ) - 7 -

8 解答 :: 設三邊長為 a d, a, a d, ( a, d 0),則 (a d) a (a d), 化簡得 a ad 0 a (a d) 0 a d 或 0(0 不合 ), 三邊比為 d:d:d ::. a b c d. 設 a, b, c, d 成等比數列 (a 0,公比 r,0),則. a c b d 解答 a ar ar ar r r r 所求. a ar ar ar r r. 設 a,, y, b 成等差數列,, y, u, v, w 成等比數列,則 w=. ( 以 a, b 表之 ) 解答 ( a b) ( a b) b a b a b a b a a, y a, w y b a b a ( a b) b a ( a b) ( ) ( ).. 若 a, b, 6, c, 0 成等差數列,又 a,, c, y 成等比數列,求 y. 解答 0 或 0 a 0 6a, 6 0 cc 8, 又 a,, c 成等比 ac 6, c, y 成等比 () 當 時, 8 yy 6 () 當 時, 8 yy 6 y 0 或 0.. 設一等差數列,第 m 項為 p,第 項為 q,則第 m 項為.( 以 m,, p, q 表示 ) 解答 q mp m 設首項為 a,公差為 d 解 (): am a ( m ) d p q p [( m ) q ( ) p] d, a a a ( ) d q m m [( m ) q ( ) p] q p q mp am a ( m ) d ( m ). m m m 解 (): - 8 -

9 a am ( m) d q d p m q p q mp am a ( m ) d q m. m m 6. 有三個數成等比數列,其和為 9,若第一項減,第三項加,則成等差數列,求這三數由小到大排列為.解答 6,8,9 設此三數為 a d, a, a d (d 0) 則 a d a a d a 9 9 a 8 a 8, 此三數為 9 d, 8,6 d( 成等比數列 ) 8 (9 d)(6 d) 78 0 d d d d 0 0 (d )(d 0) 0 d 或 0( 不合 ), 此三數為 6,8,9. 7. 在 與 6 之間插入 a, b, c 三個正數,使, a, b 成等比數列 ;b, c, 6 亦成等比數列,且 a, b, c 成等差數列,則序組 (a, b, c)=.解答 (0,, 0) a b c 6b b a c 由 得 c 6a, a c 0, c a,代入 得 b a, 代入 得 a 0a, a 0( a 0), b, c 0, 序組 (a, b, c) (0,, 0). a 8. 有一遞迴數列 a 定義如下:,求 a 6. a a ( ) 解答 67 a a a a 表示 a 為首項 a,公差 d 之等差數列, a 6 (6 )( ) 若 a,, b, c, 五數成等比數列,且 a, b, c 三數成等差數列,則 之值為. 解答 600, b, c, 成等比,設公比為 r, 則 ( )r r r 7 a 6, b 8, c 6, - 9 -

10 (8 ) 6 ( 6) 60, 故 若相異的三數 a b, b c, c a 成等比,則公比. 解答 a b, b c, c a 成等比,設公比為 r 令 k a b, kr b c, kr c a 則 k kr kr (a b) (b c) (c a) 0 k ( r r ) 0 k 0 r r 0 r. 四 計算題. 已知帄面上兩帄行線 l, l,再加入 條新的直線後,最多可將帄面分割成 a 個區域,寫出數列 a 之遞迴關係式. a 6 解答 a a ( ) ( ) a 6 a a 0 a a a a 6 a a ( ) l l l l a 6 a 之遞迴關係式為. a a ( ) ( ). 設數列 a 中, a, a a

11 () 試由前五項推測一般項 a. () 利用數學歸納法證明 () 的結果. 解答 () a ;() 見 () a, a a, a a, a a, a a, 由此可推測 a. () 由數學歸納法證明 a 當 時, a 原式成立. 設 k 時成立,即 a k k, 當 k 時, k k ak ak k k k k 表示 k 時,原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數,原式成立.. 若有質數 p 恆滿足 為 p 的倍數,對於所有自然數 皆成立, () 求 p 之值, () 試以數學歸納法證明 () 中,你的答案是正確的. 解答 ()7;() 見 () 時 7, 時 9 7 7, 猜測 p 7. () 當 時, 7 原命題成立. 設 k 時,原命題成立,即設 k k 7 ( 為正整數 ), 當 k 時, (k ) (k ) 9 k k ( k k ) 7 k k k (7 ) 7 7( ), k 為正整數. 原命題成立,故由數學歸納法得原命題成立. - -

12 a. 設數列 a 的遞迴關係式為. a a ( ) ( ) () 寫出 a, a, a. () 猜測一般項 a. () 用數學歸納法證明,你的猜測是正確的.解答 ()a, a 9, a 6 ;()a ;() 見 ()a a, a a 9, a a () 由 () 可猜測 a. () 當 時, a 成立. 設 k 時成立,即 a k k. 當 k 時, a k a k k k k (k ),表示 k 時原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數, a. a. 設數列 a 的遞迴關係式為 a a a. ( ) () 寫出 a, a. () 猜測一般項 a. () 用數學歸納法證明,你的猜測是正確的. 解答 () a, a ;() () a a a a a, a. a ;() 見 - -

13 () 由 () 可推得 a. () 當 時, a 成立. 設 k 時成立,即 a k. k ak 當 k 時, a k k, a k k k 表示 k 時,原式亦成立. 由數學歸納法原理知,對於所有自然數, a 是正確的. 五 證明題. 使用數學歸納法證明:對於所有的正整數, 恆為 7 的倍數. 解答 見設 a, () 當 時, a 7 8 為 7 的倍數. () 設 k 時, a k 為 7 的倍數,令 a k k k 7Q(Q 為正整數 ). () 當 k 時, a k (k ) (k ) k k 9( k k ) 7 k 9(7Q) 7 k 7Q'(Q' 為正整數 ),表示 k 時, a k 亦為 7 的倍數.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數, 恆為 7 的倍數.. 設一數列 a 其前 項總和恆為,試證: a 為一等差數列. 解答 見 前 項總和 S a a a a S a, - -

14 a S S ( ) ( ) [( ) ( )] 而 a S 由 a ( 為正整數 ),故 a 是首項為,公差為 的等差數列 ( 得證 ).. 使用數學歸納法證明:對於所有的正整數, 7 恆為 8 的倍數. 解答 見 () 當 時, 為 8 的倍數. () 設 k 時成立,即 k 7 k 8Q(Q 為正整數 ). () 當 k 時, (k ) 7 (k ) k 7 7 k ( k 7 k ) 7 k (8Q) (7 k ) 8Q'(Q' 為正整數 ), ( 7 k 為 的倍數 ) 表示 k 時, 7 亦為 8 的倍數.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數, 7 恆為 8 的倍數.. 使用數學歸納法證明:對於所有的正整數 且, 7 恆為 9 的倍數. 解答 見 () 當 時, 成立. () 設 k 時成立,即 k 7k 9Q(Q 為正整數 ). () 當 k 時, (k ) 7(k ) k 7k 8 8( k 7k ) 9k 8 9Q 9k 9(8Q k),表示 k 時原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有正整數 且, 7 恆為 9 的倍數. - -

15 . 使用數學歸納法證明:對於所有的正整數, 恆為 7 的倍數. 解答 見 () 當 時, 9 7 成立. () 設 k 時成立,即 k k 7Q(Q 為正整數 ). () 當 k 時, (k ) (k ) k k ( k k ) 7 k 7Q 7 k 7(Q k ) 為 7 的倍數, 表示 k 時原式亦成立. 由數學歸納法原理知,對於所有的正整數, 恆為 7 的倍數. - 級數 一 單選題 9 0 ( ). 級數 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 的和為 () () () () 解答 原式 ( ) k( k ) ( k k) ( ) 故選 ().. k k ( ). 設 解答 ()7 (). p q,其中 p, q 為互質的正整數,則 q p () () ()89 [( ) ( ) ( ) ( ) ( )] - -

16 ( ) ( 奇數項互相對消,偶數項互相對消 ) q p ( 7) 0 7. 故選 (). 0 7 ( ). 一個邊長為 的大正方形中,共有 個單位正方形,如果每一個單位正方形的邊都恰如一根火柴棒長 度 ( 如圖 ),而大正方形共用了 a 根火柴棒,求 a 0 ()00 ()0 ()00 ()0 ()60., 解答 a a a a, a a, a a, a 0 0 a 9 0 0,故選 (). [ 另解 ] a, a, a 0 0 0,故選 (). ( ). 設數列 a 滿足 a, a, a 且對於任一正整數 a a a,又 a a a a a a 解答 a a,則 a a a a 0 的和為 ()0 ()0 ()0 ()0. 代入得 a a,故 a, 代入得 a a,故 a, 代入得 a 6 a 6,故 a 6, 代入得 a 7 a 7,故 a 7, 代入得 a 8 a 8,故 a 8,, 其和為 ( ) ( ) ( ) 8 0, 故選 (). ( ). 一等差數列 a 中, a 8 6, a 0,令 S a a,且 S 有最大值時, 值為 () ()6 ()7 解答 ()8. 設公差是 d, a8 a 7d 6 a, 得, a0 a 9d d 8-6 -

17 故 a ( ) ( 8) 9 8, S 有最大值時, a 0 且 a 0,即 且 9 8( ) 0 6. 故選 (). 二 多選題 ( ). 已知一等差數列共有 9 項,滿足公差 d 0,且 a 9 a 0 a 0,選出正確的選項 : ()a 9 0 ()a 0 ()a 0 0 () 8 ak 0 ()a 8 a 9 a 0 0. k 解答 因為 a 9 a 0 a (a 0 d) a 0 (a 0 d) a 0 0,所以 a 0 0,又因為公差 d 0,所以自第 項起, a 0,而在 0 項以前, a 0.因此, ()a 9 0. ()a 0. ()a ( a a ) 9a 0 0. () ak ak a9 a9 a9 a9 a9 k k () 因為在 0 項以前 a 0,所以 a 8 a 9 a 0 0.由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(). ( ). 圓 內部有四個等圓 彼此外切,且均與圓 內切,圓 內部有四個等圓 彼此外切,且均與圓 內切,依此類推可作出,, 6,,若圓 之半徑為,且圓 k 之面積為 a k,則 () 的半 徑為 ( ) () a a () a a () ak ( ) () k k a k ( ). 解答 圖中 EF EA A F D r F E A r B ( r ) r,得 r ( ), a r ( ) ( ) [ ], a r - 7 -

18 故 k a k ( ). ( ) 故選 ()(). ( ). 設 a 是一個有 項的等差數列,已知其和 S 0,且 a 0,則下列何者為正數? () a a () a a () a 0 () a 6 () d.解答 ( a a) 前 項的和 S 0, 故 a a 0,而 a a a a 0,又 a 0, a 0, 公差 d 0,故 a 0 a 0, 而 a 6 a d (a a ) 0. 故選 ()()()(). ( ). 數列 a 滿足 a 且 a a, 為正整數,由此推得下列何者為真? () a () a ( ) () a 6( ) () a a () a 6. 解答 () : a a, a a 9. () : a a a a 9 a a ( a a ),又 a a, 表示數列 a a 為首項,公比 的等比數列, a a (a a ) (a a ) (a a ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) 6( ). ()

19 () : a a 6( ) 6( ) 6( ) 0. () :a 6( ) 6( 0) 6. 故選 ()()()(). ( ). 有一等差數列,其前 項之和為,且其前 項中,偶數項的和與奇數項的和之比為 :7,若 此數列的公差為 d,首項為 a,則 () d 0 () a 0 () a d () a d 解答 設奇數項之和為 S 奇,偶數項之和為 S 偶, S 奇 S 偶, S 偶 :S 奇 :7, () a d. S 偶 7 9, 7 S 奇 7 6, ( a d) ( a d) ( a d) 9 a ( a d) ( a 0 d) 6 a 6d d. a d 7 a 故選 ()(). 三 填充題. 求 6 j ( j). 解答 6 ( j ) [( 6 ) ( 9 ) ( ) ( ) ( 8 )] j. (0 ) 0 0. 下圖中, k 表由內而外張得 k 個正五邊形,依此圖形的規律 ( 第 k 個正五邊形每邊有 k 個圓點 ), 0 時,這 0 個正五邊形圖中,有 個圓點. 解答

20 7 0?? 由前述規律知 : 所求 { 7 0 [ (0 )]} 0( 9 ) 6.. 設 a 是等差數列,若 a 0 a 0 0,則 a a a 9. 解答 設公差為 d, (a 8 d) 9 a a a 9 (a d) 9. a 0 a 0 0 (a 9d) (a 9d) 0 a d, a a a 之和 =. 解答 ( ) ( 分子 分母各乘以 ) ( ) ( ) ( ).. 如圖中各線段均為水帄或鉛直線段, A 0A,且 A A A A,則點 A 6 的坐標為. y A A A 6 A 0 =O A A A 解答 6 (, ) 8 A A A0 A, A A A A ( ),, 令 A6 ( 6, y6), 則 ( ) ( ), 6 即 A 6 的坐標為 (, ) 8. y6 ( ) ( ), a 6. 設等差數列 a 與 b 滿足 b 解答 :8, 6 且前 項和分別為 S 與 S',則 S :S' =

21 設 a, b 的公差分別為 d, d, a a( ) d 由 b 6 b ( ) d 6 (a 所求 S :S' 0 d) (b 0 d) : (a d ):(b d ) 比較,令 式中, 6,且 (a d ):(b d ) :0 :8, 代入 得所求 S :S' :8. [ 另解 ] S :S' a 6 :b 6 ( 6 ):(6 6 ) :8. 7. 兩等差數列前 項和之比為 ( ):( ),則此兩數列第 項之比為. 解答 9: 設此兩數列首項分別為 a, b,公差分別為 d, d, a ( ) d b ( ) d 由已知,令 : ( ):( ) a ( ) d b ( ) d : ( ):( ) (*) 令 0,得,代入(*) 式得 a :b (a 0d ):(b 0d ) ( ):( ) 9:. [ 另解 ]a :b S :S' ( ):( ) 9:. 8. 一隻螞蟻在坐標帄面上由原點出發,如圖所示.牠第一次向右移動 單位,到達點 P (, 0),第二次向上移動單 位,到達點 P (, ),而後依照先向右再向上的方式移動,而且每次移動的距離是前一次的一半,如此依序移動到 點 P, P, P, 設正整數, P 坐標 (, y ),求點 P 6 的坐標為. y P P, P O P (,0) 解答 (, 6 ) P (, 0), P (, ), P ( ( ), ) (, ), P (, ( ) ), P ( ( ) ( ), ( ) ), - -

22 P 6 ( ( ) ( ), ( ) ( ) ) (, ) (, ) 如圖, AB 為直角三角形, AB, A 6,在 AB 內,連續作正方形 S, S,,求正方形 S, S, S 之面積和為. A S S S B 解答 令 S 的邊長為,, S, S, S, 的面積形成無窮等比數列,公比為 ( ) ( ) ( ), A ( ) [ ( ) ] 其面積和為 有一質點在坐標帄面上由原點出發,如圖所示.第一次向右移動 單位,到達點 P (, 0) ;第二次向上移動單 位,到達點 P (, );第三次向左移動 單位,到達點 P (, );第四次再向上移動 8 單位,到達點 P (, 8 ) ; 而後依照向右 向上 向左 向上的方式移動,而且每次移動的距離是前一次的一半,如此依序移動到 P, P 6, P 7,,求點 P 8 的坐標為. y P P P P O P 解答 ( 8, 6 8 ) P (, 0), P (, ), P (, ) (, ), P (, ) (, ), 8 8 ( ( ), ) (, ), P 6 (, ( ) ) (, ), P - -

23 7 8 ( ( ), ) (, ), P 8 (, ( ) ) (, ) P 7 6. 設數列 a 自 a 開始的連續 項之和恆為 ( 可為任意的自然數 ),例如:自 a 開始的連續 項和為 ( 即 a a ).令 S a a a,則 S 7. 解答 , S 7 a (a a ) (a a a 6 a 7 ) (a 6 a 6 a 7 ) ( 共 7 組 ) 7.. 有一數列 a 滿足 a 且 a a, 為正整數,求 解答 6 a a ( a ). a a a a ( a a ) 而 a, a a, a a, 表示數列 a a 為首項,公比 的等比數列, a a (a a ) (a a ) (a a ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ), ( a ) ( ) 6.. 一等差數列共 0 項,首項為,公差為, S a a a 0, S' a a a 0,則 S' S. 解答 8 a,令 a 0 ( ) 0 9, S' S ( a a a 8 a 9 a 0 a 0 ) (a a a 0 ) a a a 8 8 ( 7) 介於 0 與 之間的自然數中,又是 的倍數的各數之和為. 解答 776 0, 除以 的餘數各為,,

24 0 與 之間的自然數中是 的倍數的最小數為 0,最大數為, 令 ( 0 ) (k ) k ( 項 ), 所求 [(0 ) ( )] 如圖, BA 60, A, A, A, 均表正方形,若正方形 A 之邊長為,求 A, A, A 三個正方形面積和 =. B A A A A 解答 6 a a a a a,, a a a a 故 A, A, A 之邊長為,, ( ),即,, 面積和 ( ) ( ) ( ) (7 ) 6. B a a + 60 a + A A A 級數 的和為. 9 解答 76 第 k 項 a k ( k) ( k )(k ), k 級數和為 ( k)(k) k k k k k k

25 7. 有四個數,前三數成等比,其乘積為 6,後三數成等差,其和為,此四數依序為. 解答 9,6,, 前三數設為 a r, a, ar a 6, a 6, 後三數設為 t d, t, t d t, t, 四數為, 6,, y,且, 6, 成等比, 6,, y 成等差, 9, y 四數為 9,6,,. 8. 一凸多邊形各內角度量成等差數列,且最小角為 0,公差為,則邊數為.解答 9 設此凸多邊形有 個邊,則內角和為 ( ) 80, [0 ( ) ] ( ) 或 6, 但凸 邊形每個內角都介於 0 與 80 之間, 最大角為 ( 合 ) 或 0 9( 不合 ), 6 不合, 級數 ( ) () 的和為. 解答 ( ) ( ) [(k ) ( k) ] k 0. 求級數和 ( ) ( ) k k k k ( ). k. 解答 ( ) k k k 6 令 S 6 ( ) ) S S [ ( ) ] S - -

26 S [ ( ) ] S ( ) 又 k k k k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 四 計算題. 已知一個正方形,我們依以下的步驟將其分割著色.第一步驟 : 將其等分成 個小正方形,並將其左下角的正方形塗上黑色,如第 圖所示.第二步驟 : 將剩下的 個正方形再分別等分成 個小的正方形,並將其左下角的正方形塗上黑色,如第 圖所示. 第 圖 第 圖 依照這樣的規律,繼續分割與著色下去,並設 a 表示第 步驟後塗上所有黑色正方形的總數,可知 a, a. 求 ()a. ()a. 解答 ();() 由圖可知,經過第 步驟後,有 個黑色正方形,經過第 步驟後,黑色正方形將增加 個,經過第 步驟後,黑色正方形將增加 個,經過第 步驟後,黑色正方形將增加 個.因此,當 時, a 故 () a ( ). a. () 當 時, a,所以對於任意的正整數, a. 第 圖 - 6 -

27 . 設數列 a 的首項 a 6 且滿足遞迴關係式 a a, 為正整數,試求一般項 a ( 以 表示 ). 解答 8 ( ) a a a a a a (a a ),, 又 a a 6, a a 6, 表示數列 a a 為首項,公比 的等比數列, 故 a a (a a ) (a a ) (a a ) [ ( ) ] 6 6 [ ( ) ] 8 ( ).. 用白色方塊與黑色方塊,按照規律交錯拼成若干個正方形圖案.正方形圖案各邊的方塊數每次增加二個,如下圖 所示: 第 圖第 圖第 圖 求前 0 個圖中黑色方塊的總數

28 解答 0 個 由圖可知:第 k 圖為邊有 k 個方塊的正方形圖案.因為黑色方塊數比白色方塊數多 塊,所以黑色 (k ) 方塊數為 k k. 因此前 0 個圖中黑色方塊的總數為 0 (k k) k (k k ) k k k k k k 故共有黑色方塊 0 塊.. 蝸牛在數線上由原點出發,如圖所示.牠第一次向右移動 單位,到達點 P,第二次向左移動 單位,到達點 P,而後依照先向右再向左的方式移動,而且每次移動的距離都是前一次的,如此依序移動到點 P, P, P,, 求點 P 0 的坐標. 0 P P 解答 6 設向右移動的位移為正,向左移動的位移為負,則根據題意,蝸牛依序的位移是等比數列,,,,,其首項為,公比為 9,因此,點 P 0 的坐標為 ( ) ( ),由等比級數 的和公式得 0 ( ( ) ) 9 6 ( ) ( ), ( ) 故點 P 0 的坐標為

29 . 數列 a 滿足 a 且 a a, 為正整數,試求 () a, a, a, a.() 推測 a 之值 ( 以 表示 ). () 0 a k 之值.解答 () a, a 7, a, a ;() ;()06 k () a a, a a, a a 7, a a 7, a a. () a a a a a a (a a ),,又 a a, a a,表示數列 a a 為首項,公比 的等比數列,故 a a (a a ) (a a ) (a a ) () ( ) k k ak k k k k. 0 ( ) ( ) 五 證明題. 證明:對於所有的正整數, () ( ) ( )( ) 都成立. 解答 見 () 當 時, 6 ( )( ),此式成立. () 設當 k 時,原式成立,即 (k) (k ) (k )(k ),則當 k 時, (k) (k ) (k ) (k ) - 9 -

30 (k )(k ) (k ) (k ) [(k ) ][(k ) ].原式也成立.故由數學歸納法可知,對於所有的正整數, () ( ) ( )( ) 恆成立.. 試證 ( ) ( ) 解答 見 () 當 時,左式,右式,左式 右式 原式成立. 8 8 k () 設 k 時成立,即 6 k(k ) ( k ), () 當 k 時, k( k ) ( k )[( k ) ] k ( k ) ( k ) ( k )( k ) ( k ) k ( k) k [ ] ( k ) k [( k ) ] 表示 k 時,原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有的 皆屬於正整數,原式成立.. 等比數列的首項為 a,公比為 r 且 r 時,試證明此數列前 項的和 S a( r ). r 解答 略 S a ar ar ar 兩邊同乘 r,得 rs ar ar ar ar ar 得 ( r)s a ar a( r ), r, S a( r ). r - 0 -

31 . 試證 : k ( )( ) ( 為正整數 ). 6 k 解答 見 因 (k ) k k k,故 ( k ) k k k. k k k k 而 ( k) k ( ) ( ) [( ) ] k ( ), k k ( ), k,故 k [( ) ( ) ] ( )( ) 6 k.. 試證... ( ) ( )( ) 解答 見 9 () 當 時,左式,右式,左式 右式. k () 設 k 時, 原式成立,即, k( k ) ( k )( k ) () 當 k 時, k( k ) ( k )( k ) k ( k )( k ) ( k )( k ) (k )( k ) ( k ) ( k )( k )( k ) k 9k 9 k ( k )( k )( k ) k 7k ( k )( k )( k ) - -

32 ( k )(k ) ( k )( k )( k ) k ( k )( k ) ( k ) ( k )( k ) 表示 k 時原式亦成立.由數學歸納法原理知,對於所有的正整數,原式均成立. - 集合與計數原理一 單選題 f g 0 ( ). 設 A { f () 0}, B { g () 0}, { h () 0}, D { k () 0},則聯立方程組 h k 0 的解集合為 () (A B) ( D) () (A B) ( D) () (A B) ( D) () (A B) ( D) () (A ) (B D).解答 f g 0 聯立方程組 h k 0 之解必頇同時滿足, 而 之解為 A B, 之解為 D, 故題目之解為 (A B) ( D),故選(). ( ).A, B 皆為有限集合, (A) m, (B),若 (A B) 的最大值為 p,最小值為 q, (A B) 的最大值 為 r,最小值為 s,則 p q r s () m () m () m () m () (m ). 解答 由題意知, s 0, p m, q m r, p q r s (m ) (m r) r (m ),故選(). ( ).U { 0 00, 為正整數 }, A { 為正整數 }, B { 為正整數 }, { 為正整數 }, 且 A U, B U, U,則 (A B ) ()8 ()9 ()60 ()6 ()6. 解答 A U, (A),同理 (B) 7, () 7, A U, B U, U, AB U, B U, A U, A B U, A B { } (A B),同理 (B ), (A ) 9, (A B ), (A B ) (A) (B) () (A B) (A ) (B ) (A B ) 6,故選(). ( ). 設 A { 0}, B { a b 0},若 A B { }, A B { },則 (a, b) () (, ) () (, ) () (, ) () (, ) () (, ). 解答 - -

33 ( )( )( ) 0, A A B 故 A 表 或, B 應為 { } { ( )( ) 0} { 0}, (a, b) (, ),故選 (). ( ). 設 A { 0}, B { a 0},若 A B R,試求實數 a 的範圍為何? () a 解答 () a 0 () a () a () a. 由 0 或, y f() f () O A { 或 }, 今欲使 A B R 則 B 中必包含,即 { } B { f () 0}, f () 0 且 f () 0, 由 f () 0 且 f () 0 a 且 a a 為所求,故選 (). 二 多選題 ( ). 設, y 為實數, A {,, 6 }, B {y, y, y },若 A B { },則下列何者正確? () 為偶數 () 為奇數 () 為合成數 () ().解答 若 y 或 y 均不合, y, B {,, },若. 0 R( 不合 ). 6 ( )( )( ) 0,., A {,, }, B {,, }, A B {, },不合., A {,, }, B {,, }, A B {, },不合., A {, 9, }, B {,, }, A B { },合. - -

34 由 可知,,故選 ()(). ( ). 設 S R,若滿足下列二條件: S, S as S,則下列選項何者正確? () S a 解答 () 0S () S 中有 個元素 () S () S. S S, S. 由 S S, S 同理由 S S, S. 由 可知,,, 重複出現, S {,, },故選 ()()(). ( ). 設 S { f (),,, 00},若 S 中 的倍數之元素有 k 個, 的倍數之元素有 m 個, 6 的倍數之元素有 個,則 () k m () m () k m () k m () k m.解答 f () ( )( ),,,, 00,令 f () ( )( ) 為 的倍數,或 f ( ) ( )() 為 的倍數,故不論 為奇數或偶數, f () 皆為 的倍數, k 00,由 f () ( )( ) 令 f () ( )( ) 非 的倍數,或 f ( ) ( )() 為 的倍數, 6( ) ( ) 為 6 的倍數,或 f ( ) ( )( ) 非 或 6 的倍數,故當 時 f () 為 或 6 的倍數 ,故 m,故選()()(). ( ). 自然數 700,則 () 因數共有 個 () 正因數和為 89 () 正因數中為完全帄方數的有 個 () 正因數為完全帄方數的和為 60 () 正因數為完全立方數的和為 8.解答 () :700, 因數個數為 ( )( )( ) 08. () : 正因數和為 ( 0 )( 0 )( 0 )

35 ,, 0 () :, 0, 0,. () :( 0 )( 0 )( 0 ) () :( 0 ) 故選 ()()(). ( ). 設 A { a b 0}, B { b 0},若 A B { },則實數 a, b 為何? () a () a () a b 0 () a b () b.解答 設 a b 0 之二根為, 且, A { 或 }, 設 b 0 之二根為, 且, B { }, 由圖可知, 與 同義,,,, 代入 得 9 a b 0 且 6 b 0 a, b,故選 ()(). 三 填充題. 用盡 種不同的顏色,塗入下圖,同色不相鄰,則方法有 種. A D E F B 解答 80 A, B 異色, A B D E F 6 60, DEF僅用二色塗的 A, B 同色, AB D E F 0, 共有 種.. 設 A {}, B {, }, {,, 6},由這三個集合的諸元素中任取相異的三個元素作成三位數.規定 A 的元素不在百位, B 的元素不在十位, 的元素不在個位,則可得三位數 個.解答 8 利用樹形圖的觀念分析如下: BAB, BB 6, BA 6, AB 6, A 6, - -

36 B, 可得三位數 個.. 紅樓夢中, 弱水三千,只取一瓢飲 道盡賈寶玉的專情.今若真將弱水化作三千瓢,讓翩翩公子逐一勺取,已知第一人至少取 瓢,之後每人取的都比前面的人多,則在可以讓最多人取水的情形下,可有 種取法. ( 水不一定要取完,但人數一定要最多 ).解答 7 設最多 人取水,則 6 第 項 000 ( 6 第 項 ) 006 ( )( ) 006 ( )( ) 60, 又 , 的最大值為 第 7 項 7(8 7) 997, 如下表,共有 7 種 用相同 0 根火柴可圍成 種不全等的等腰三角形. 解答 7 設三邊長 a b c,則 a a b c 0 a 0 a a 0, a 0 b c 共有 7 種..0 個高矮不同的人排成一列,任 人之間無較矮的排法有 種. 解答 最高 次高 次高 排左或右 設 A { 7 0 0, 為實數 }, B { a b 0, 為實數 },其中 a, b 為實數,若 A B, A B {, 為實數 },試求 a, b 之值

37 解答 a, b 7, 7 0 0,表示 B { 7},即 0 與 a b 0 同義, a, b. 7.~000 的自然數中, () 與 0 不互質,但與 互質者有 個. () 總共出現 個 0.解答 ()9;()9 () (a, 0) 且 (a, ),又 0 7 且 7, a,但 a 且 7 a, 7 所求為 () () () (0) 二位數 9 () 個 0 : 三位數 個 0 :三位數 9 所求為 (9 6) 的 個 0 8. 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛八人排一列,若已知此八人的身高互不相等,今規定八人排成一列後,任意連續三人最中間者不得同時比其左右二人矮,則有 種排法.解答 以 種不同顏色塗下圖,四色全用且相鄰不同色,塗法有 種. 解答 8 先塗 A,又四色全用,故 B, D 同色或, E 同色 ( ) 8. B A E D 0. 試問滿足三邊長皆為正整數,且周長為 的三角形有 個

38 解答 6 令三邊長分別為, y, z( 其中 y z) [ ] [ ] 9,0,, y z 合計 共有 6 6( 個 ).. 設 A {, 為實數 }, B { k, 為實數 },若 A B 時,則 k 值的範圍為.解答 k 9, k k k k k, A B, k 且 k k 9 且 k,故 k 9. k +k. 從 到 000 的自然數中, () 是 的倍數或 7 的倍數者共有 個. () 不是 的倍數也不是 7 的倍數者共有 個. () 是 的倍數但不是 7 的倍數者共有 個.解答 ();()686;()7 設 到 000 的自然數所成的集合為基集 U, 到 000 的自然數中, 的倍數者所成的集合為 A,而 7 的倍數者所成的集合為 B,則 A B 表示 的倍數者所成的集合, - 8 -

39 A 的倍數 7 的倍數 B () 即求 (A B) (A) (B) (A B) [ ] [ ] [ ] () 即求 (A' B' ) [(A B)' ] (U) (A B) () 即求 (A B) (A) (A B) 從 至 000 的自然數中,數字裡有 且有 的數有 個. ( 例 : 算一個 ) 解答 不含 0, 7!, 7 種! 6,! 由 可得,所求為 含 , 6 ( 個 ).. 設 A { 0 0, 為實數 }, B { a a, 為實數 },其中 a 為實數,若 A B A,則 a 的範圍為. 解答 a A : 0 0, 0 0 ( )( ) 0,, A B A, B A,又 B : a a, a a a a a. a a a. 如圖是由四個大小相同的正方形併成的,則 () 有 個不同的矩形. () 有 個不同的直角三角形. 解答 ()9;()6 () 尌給予的圖形來觀察,不同的矩形不外乎是 - 9 -

40 小型 或 中型 大或型等三種類型,而此 種類別是彼此無關的, 小型者有 個 中型者有 個 共有 9個不同的矩形.大型者有 個 () 尌給予的圖形來觀察,不同的直角三角形可分為 小型 或 中型 或 大型 等三種,而此 種類別是彼此無關的, 小型者有 8 個,中型者有 個,大型者有 個,故有 8 6 個不同的直角三角形. 6. 到 000 的正整數中,不能被,,,,6 之一整除者有 個.解答 66 若一整數不能被 整除,則必不能被,6 整除,故本題即求 到 000 正整數中,不能被,, 之一整除者的個數.設 到 000 之正整數中,可被,, 整除者之集合分別為 A, B,,則 ~000 A B 000 (A) [ ] 00, (B) [ 000 ], () [ 000 ] 00, (A B) [ (A B ) [ ], (A B ) ] 66, (A ) [ ] 00, (B ) [ ] 66, (A) (B) () (A B) (A ) (B ) (A B ) , 故所求為 (A' B' ' ) 000 (A B ) ( 個 ). 7. 利用 0,,,,,,6 等作四位數,若數字可重複選用,則 () 共可作出 個四位數. () 大於 00 的四位數共有 個. 解答 ()08;()66 () 四位數中,千位數不可排 0, 有 6 種排入法, 其餘,百位 十位與個位數均有 7 個數字可供排入, 故四位數可作出 ( 個 )

41 千 百 十 個 ~6 0,,...,6 () 大於 00 的四位數分下列兩種, 以 為千位數者,共有 6 7 9( 個 ), 扣除 00 不合題意,得 9 個, 千 百 十 個 ~6 0~6 以 或 或 或 6 為千位數者,共有 7 7( 個 ), 千 百 十 個,,,6 0~6 由 可得,共有 ( 個 ). 8. 設 A {,, a a }, B {, a, a, a a },且 A B {0, },則 A B.解答 {, 0,,, 6} A B {0, }, a a 0 a 或 a, a, A {,, 0}, B {,, 6, 0}, a, A {,, 0}, B {,,, 8},不合. A B {, 0,,, 6}. 9. 設 A k { k k, 為實數 },試回答下列問題 : () 若 A A A 之最小元素為 a,最大元素為 b,試求 a b 之值為. () 若 A A A 之最小元素為 a,最大元素為 b,試求 a b 之值為. () 能使 A A A 之一切自然數 所成之集合為 B,則 B 的子集有 個.解答 ()9;();()6 () A { 9}, A { }, A { 6 7}, A A A { 7} a, b 7, a b 9. () A A A { 6 9} a 6, b 9, a b. () A { 8 } A A A A { 8 9}, A { 0 } A A A A A,,,,,即 B {,,, },故 (B),故 B 的子集有 6 個. 0. 由,,,,一直寫到 999( 都是奇數 ),則共寫了 個數字 9.解答

42 所求為 (6 6 8) ( 9 9) 00. 四 計算題. 已知集合 A {}, B {,,},列出所有滿足 AB 的集合. 解答 {}, {,}, {,}, {,,} 依題意,列出集合,如下: {}, {,}, {,}, {,,}. B A,. 用 0,,,,, 作成大於 0 的三位數奇數,數字可重複使用 () 可作成多少個? () 其總和若干?解答 ()6;()99 (),,,, 有 6 個,,, 有 個,, 有 個 共有 ( 6 ) ( ) 6 個大於 0 的三位數奇數. () 個位數字為 者有 ( 6) ( ) ( ) 個,為, 者也各有 個,故個位數字的和為 ( ) 89. 十位數字為, 者各有 9 個,為 者有 ( ) 個,為, 者各有 ( ) 個,故十位數字和為 9 ( ) ( ) ( ) 7. 百位數字為,, 者各有 6 8 個,為 者有 ( ) ( ) 9 個,故百位數字和為 8 ( ) (9 ).由 可知,總和為 89 (7 0) ( 00)

43 . 於下列各圖中,以五色塗入各區,每區一色但相鄰不得同色,則各有幾種不同的塗法? ( 各圖固定,不得旋轉 ) () () () 解答 ()60;()80;()90 ()A, 同色, A B D 80, A B D A, 異色, A B D 80, 由 可得,共有 種. () 由 () 可知 [ ],推得 [ ] 80. () [ ] 90.. 王老師改段考考卷,她希望成績是 0,,,6,7,8,9 所組成的 位數,則 () 不小於 60 分的數有幾個? () 有幾個 的倍數? () 改完考卷後發現由小到大排列的第 個數正是全班的帄均成績,請問班上的帄均成績是幾分?解答 ()8;();()7 () : ,7,8,9 (),8,,7,60,66,69,7,78,8,87,90,96,99,共 個. () 7 個, - -

44 7 個, a 9, a 8, a 7, 帄均為 7 分.. 若一一寫出 到 000 的連續正整數,則共寫了多少個 0? 解答 9 個依數字內含 0 個數分類如下: () 恰含一個 0 : 0, 0, 0 9 個 個 個共有 個. () 恰含二個 0 : 個 () 恰含三個 0 :尌 000 這一個.故共寫了 個. - 排列一 單選題 ( ). 將 本相同數學年鑑 本相同數學講義分送給 8 人,每人最多 本且全分完,有幾種不同分送方式? () 8! ()80 ()60 ()0 ()0.解答 8! AABBBB 排列 0,故選().!!! ( ). 某地區的車牌號碼共六碼,其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母,後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字,但 解答 規定不能連續出現三個.例如: AA, AB 為可出現的車牌號碼;而 AO, AB 為不 可出現的車牌號碼.則所有第一碼為 A 且最後一碼為 的車牌號碼個數為 () 9 () 9 0 () 900 () 990 () 999. A ( 0 9)

45 二 多選題 ( ). 設集合 A {,,, }, B {,, 6},則下列何者正確? () A 和 B 恰有 個相同的子集 () (A 解答 B) 7 () 由 A B 中任取 個不同數字可排成 P 個 位數 () B 共有 7 個子集 () A B {,, }. A {,,, }, B {,, 6} () : A B {} 子集有兩個: {} 與. () : A B {,,,,, 6} (A B) 6. () : A B {,,,,, 6} (A B) 6 () : 8. () : A B {,, }. 故選 ()(). 6 6 P. ( ). 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 7 人排成 列,求下列何者正確? () 甲 乙 丙完全相鄰方法數 70 解答 種 () 甲 乙 丙完全分開方法數 0 種 () 甲排首位或乙排 位方法數 0 種 () 甲 乙皆在丙 前方法數 80 種 () 甲不排首或乙不排 位或丙不排 位方法數 06 種. () 正確,!! 70 () 正確,! P 0 () 正確, 6! 6!! 0 () 錯, 7!! 680! () 錯, 7! 6!!! 6 故選 ()()(). ( ). 偶像團體飛輪海的團員吳尊 炎亞綸等 人途中遇見寶云等 位女粉絲,粉絲要求 7 人排成一列拍照, 解答 則下列哪些選項正確? () 任意排有 00 種不同的排法 () 若飛輪海 人必頇完全相鄰,則共有 76 種不同的排法 () 若女粉絲 人必頇完全分開,則共有 0 種不同的排法 () 若寶云想要緊靠在吳尊 和炎亞綸兩人的中間,則共有 0 種不同的排法 () 若首尾皆頇排飛輪海的團員,則共有 0 種不 同的排法. () 正確, 7! 00 () 正確,!! 76 () 錯,! P 0 () 錯,!! 0 () 正確,! 0 故選 ()()(). - -

46 三 填充題. 用 和 兩種記號進行直線排列,在允許重複選取的情況下,取用的記號應有 個,才能作成 0 種不同的信號.解答 設取用的記號有 個,從兩種記號中,允許重複取出 個 個,, 個排成一列的方法數共有 ( ) 0 0 6, 故取用的記號至少應有 個才能作成 0 種不同的信號.. 美術課分 組報告西方藝術,上一次是按照第,,,, 組的順序上台,這次同學希望每一組上台順序都跟上一次不同,則有 種上台順序.解答!! 0! 0!! 0!.. 將六個字母 AABB 全取排成一列,相同字母均不相鄰的排法有 種.解答 0 6!!!! 0.!!!!!!. 有 7 個排成一排的座位,甲 乙 丙三人想要相互不相連的位置坐下,有 種坐法. 解答 60! 互不相連 可以想成先將 個空位子排好,再將三人插空位,故有 60! 種坐法.. 小明與小美玩猜數字遊戲,小明寫一個五位數,由小美來猜 ; 小美第一次猜 768,小明說五個數字都對,但只有萬位數字對,其他數字所在的位數全不對,則小美最多再猜 次才能猜對.解答 9 先考慮 不在千位, 不在百位, 6 不在十位, 8 不在個位的方法,!! 6!! 0! 9, 最多再猜 9 次. 6. 坐標帄面上,沿格子線從 A (0, 0) 出發取捷徑走到 B (, ),問恰轉三次彎的走法有 種. B(,) A(0,0) 解答 8 右上右上 :. 上右上右 :. 所求 有 6 個排成一列的座位,詹姆斯 布萊恩 歐尼爾三人欲選互不相連的三個位置坐下,有 種坐法.解答 (,, ),(,, 6),(,, 6),(,, 6)!

47 8. 用紅色或黑色顏料,塗入圖 () 最下面一列,恰有 個塗紅色,其他各列塗紅色者至多 個,則塗法有 種. () 同列之正方形中同色相鄰者至多 個,則塗法有 種.解答 ()800;()7680 () ( ) 800. () ( ) ( 6) ( 6) 如圖為棋盤型街道,由 A 取捷徑走到 B,則 A P R Q B () 走捷徑的方法共有 種. () 經過 P 但不經過 Q 的走法有 種. () 經過 P 或 R 任一點的走法有 種.解答 ()6;();()00 () 9! 6!!.!!!! () (A P B) (A P Q B) 60 6.!!!!!!!!! () (A P B) (A R B) !!! 0. 籃中有蛋 個,每次從中取出 個或 個,取完為止,則共有 種取法. 解答 8 設取 個有 次,取 個有 y 次, y, y 6 0 所求為 7! 6! !!!. 將五枝相同的鉛筆和三枝不同的鋼筆分給 0 個人,每人至多得一枝,其分法有 種. 解答 0 0! PPPPPABXX 排列 0.!!. 小功家住在一棟 7 樓的電梯公寓,今天小功回家時有 人同時和小功一起進入 樓電梯欲往上,假設每人按下自 己想要到的樓層 ( 可相同或不同 ),請問電梯有 種停靠方式. ( 假設這期間電梯只會由下而上依次停 - 7 -

48 靠這 6 人所按的樓層 ) 解答 香吉士: 停!停!停!地上有機關! 魯夫: 啊!什麼?有肉吃嗎? 佛朗基: 這個直線坑道很狹窄,而 且寬度僅容 人通過!咦!山壁上看起來像是有弓箭的射口! 羅賓: 這邊的角落有些古老的刻文: 拿取 物的人們啊!你必 從地上紅色的磚 出發,每次可 進或 退一步,過程中可重複 過任何位置. 貪婪 人們啊!你 必頇 走了七步後,站在紅磚前 步的地,才能免於災! 有一些符號模糊 掉了,大概的意思應該是這樣! 這時候,魯夫突然衝進坑道,大喊: 看我的! 其他人見狀,緊張地一起大 喊: 魯夫!你要選 種走法中的一種去走,才會安全啦! 解答 0 紅 磚 令前進 次後退 y 次 y 7 y 0, y 7!!!.. 連續投擲一顆公正的骰子 次,至少出現 次 點且點數和是 的情況有 種. 解答 (, 6, ):! 6, (,, ):!!, (,, ):!!, 共 種.. 有一棋盤式街道如圖,從 A 到 B 取捷徑,則通過 或 D 的路線有 種. D B A 解答 7 經 經 D 經 且 D! 6! 7!!!!! !!!!!!!!!!! - 8 -

49 6.A, B,, D, E, F 六人排成一列, A, B 不相鄰,且 D, E 不相鄰的排法有 種.解答 6 設甲集合為 AB 相鄰,乙集合為 DE 相鄰,所求為全部 ( 甲 乙 ) 6! (!!!!!!!) 70 (80 96) 將八個人排成一列,其中甲至少與乙或丙一人相鄰的排法有 種.解答 870 所求 任意排 甲與乙 丙不相鄰 8!! ( P P 6 6!) 其餘 人 8. 甲 乙 丙 丁 戊五人由地下一樓搭電梯前往一 二 三不同的樓層,則每層樓當電梯打開時,都會有人出來 的情形有 種. 解答 市場蘋果每個 0 元,買 0 送,瑩瑩每次拿一個或兩個放入購物車,共 個蘋果 00 元,則在拿的過程瑩瑩有 種不同拿法. 解答 設每次 個 次,每次 個 y 次,則 y, y ! 9! 8! 7! 6! !!7!!!!!! 0. 甲生第二次段考前一週共有國文 英文 歷史 地理 數學 物理 化學 生物等八科要分成 天複習,每天利 用晚上分兩個時段複習文科 ( 國文 英文 歷史 地理 ) 及理科 ( 數學 物理 化學 生物 ) 各一科,則此四天 晚上共八個時段有 種安排複習方式. 解答 96 文 理分給四天!! (!) 96. [ 另解 ] 國英歷地理科 8 6! 96. 四 計算題. 由,,,,,6 六個數字所組成 ( 數字可以重複 ) 的四位數中,含有奇數個 的共有多少個?解答 0 個四位數中含奇數個 的數字可分為以下兩類: () 含一個 的四位數:一個 可置於千 百 十 個位數,有 種排法,剩下的三個位數可為,,,,6 這五個數字.因此,有 00 種四位數

50 () 含三個 的四位數:,,,,6 這五個數字選一個置於千 百 十 個位數,有 種排法, 剩下的三個位數只可為.因此,有 0 種四位數. 根據加法原理,含奇數個 的四位數有 個.. 設有一樓梯共 0 階,今有一人上樓,若每步走一階或二階,則 () 共有多少種上樓的方法? () 恰跨 6 步的方法有幾種? 解答 ()89 種 ;() 種 () 設走一階 次,走二階 y 次.依題意,得 y 0,其中, y 為非負整數.從 0 開始討論,得, y 的解有 共 6 組解. y 0 而上樓的方法共有! 6! 7! 8! 9! 0! 0!!!!!! 6!! 8!! 0!0! 8 9 ( 89 種 ). 6! () 恰跨 6 步的方法為一階走 步,二階走 步,有!! 種走法.. 將 件不同的玩具全部分給甲 乙 丙 丁四人,求下列分法: () 任意分 () 甲至少得一件 () 甲乙兩人都至少得一件. 解答 ()6 種 ;()7 種 ;()8 種 () 因為每一件玩具都有 種分法,所以分法共有 6( 種 ). () 所求 ( 任意分 )( 甲沒拿到玩具的分法 ) 7( 種 ). () 令集合 A, B 分別代表甲 乙二人沒拿到玩具,則所求 ( 任意分 ) (AB) ( 任意分 ) ((A) (B) (AB)) ( ) 6 (7 7 8) 8( 種 )

51 . 將圖中的黑棋向左移動,每次移動 格或 格,移到最左邊一格,共有多少種移動方法? 解答 設移動 格有 次,移動 格有 y 次,則 y 7, 由於, y 均為非負整數,討論可得其解如下 : 7 y 0 7! ( )! ( )! ( )! 故移動方法有 6 0 種. 0!7!!!!!!!. 將 pallmall 的字母全取排成一列,相同字母不相鄰的排法有多少種? 解答 aa 不相鄰且 llll 不相鄰,可先排 pmaa,再安插 llll, aa 排在一起時 :pmaa 排法有! 6 種, 再安插 個 l: p m a a 方法有 種. l aa 不排在一起時 : p m 排法有! 6 種, 再安排 個 l: p a m a 方法有 由 可知,排法有 6 6 種. [ 另解 ] 種.! (llll 不相鄰 ) (llll 不相鄰且 aa 相鄰 ) P! P 60 6.!!! - 組合一 單選題 ( ). 同時擲三粒不同骰子 ( 骰子點數為,,,,,6),則恰出現兩粒骰子點數相同的情況有幾種? ()90 ()7 ()80 ()0 ()8. - -

52 解答 6! y 90,故選().! ( ). 將 枝相同的筆全部分給 個人有多少種分法? () P () () () (). 解答 設 個人各拿到, y, z 枝筆,根據題意得 y z, 其非負整數解有,故選項() 正確. 6 ( ). 兩帄行直線 L, M, L 上有 個相異點, M 上有 6 個相異點,則此 個點可以決定幾個三角形? () 解答 ()60 ()7 ()6 ()7. 6,故選() [ 另解 ] 60 7,故選(). ( ). 高二學生共 876 人,預定進行下學年度畢聯會主席選舉,總共提名 位同學出來候選,採無記名投票 解答 且每一位同學均參與投票.假設有廢票,則開票數分布情形有幾種? () 876 () () () () y z t u 876, 所求為,故選() ( ). 求方程式 y z w 0 之解 (, y, z, w) 為正整數解的有幾組? () () () () 解答 () 二 多選題 ( ). 今年畢聯會從高三 7 個班級的畢代中,選出 人組成畢舞委員會,再從其中選出一位當召集人,則全 解答 部的選法數可為下列何者? () () P () () 7P () () :先選 人,再從 人選 人當召集人. ()()() :選出 人,不需排列. 7! 7 6 () :先從 7 人選一人當召集人,再從剩下 6 人選 人一起組成委員會. 選 ()(). 6 ( ). 以下的問題,東西都分給甲 乙 丙 人,東西要分完,求何者的分法是正確的? ()7 本不同的書, 解答 甲 件 乙 件 丙 件的分法有 60 種 ()6 本不同的書,每人至少一件的分法有 0 種 () 本 不同的書,甲至少一件的分法有 0 種 ()9 本相同的書,甲至少 件,乙至少 件,丙至少 件的 分法有 0 種 ()9 本相同的書, 人至少 件, 人至少 件, 人至少 件的分法有 60 種. 7 () :正確應為 0 種. () :

53 () :正確應為. () : 甲 乙 丙 9, 甲, 乙, 丙 甲乙丙 之非負整數解. 0 () :正確應為分法有 (,,6), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), 故選 ()().!! 共有! 種.!! ( ). 五種不同的酒,倒入四個酒杯,每個酒杯只能倒入一種酒,下列何者正確? () 若酒杯相異,杯中飲 解答 料相異,則所有可能有 種 () 若酒杯相異,杯中飲料可相同,則所有可能有 H 同,杯中飲料相異,則所有可能有 若酒杯相異,杯中飲料相異,則所有可能有 種. () : P. () :. () () () : P.故選()() ( ). 下列哪些選項是正確的? () P P P () 解答 種 () 若酒杯相 種 () 若酒杯相同,杯中飲料可相同,則所有可能有 H 種 () () () () ! 7! 7! 8 8! 8 () 正確: P P P.!!!! () 錯誤: () 錯誤: () 正確: 0 0 ( ) () 正確: 表示 故選 ()()(). 0 0 ( ) 0 ( ) 0 展開式中 項之係數, 又 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 中 項係數為 ,, 8 060, ( ). 將 個球全數投入 個箱子中,每個箱子的球數不限,則下列哪些正確? () 球相同 箱子相同,放 解答 法有 種 () 球相異 箱子相異,放法有 種 () 球相同 箱子相異,放法有 箱子相同,放法有 P () 正確: 個相同球放入 個相同箱子, 種 () 球相異 箱子相同,放法有 種. 方法有 (, 0, 0), (,, 0), (,, 0), (,, ),共 種. () 錯誤:球相異 箱子相異:每一顆球有 個選擇,共 種. 6 種 () 球相異 - -

54 6! () 正確:球相同 箱子相異:共!! 6 種. () 錯誤:球相異 箱子相同: (, 0, 0) 種; (,, 0) 種; (,, 0)! () 錯誤:同 (). 故選 ()(). 共 6 種. 種; (,, )! 6 種, 三 填充題. 有紅 白 黃三種大小一樣的正立方體積木各 0 個,從中取出 7 個積木,相同顏色堆在一起,一一重疊堆高,共 有 種堆法. 解答 9 只用一色: 種, 只用二色: (6, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 6)! 6 6, 用三色:紅 + 白 + 黃 =7 上下色交換 剩 6! 6 90, 紅白黃排列 共 種.. 有渡船 艘,每船最多可載 人,今有小邱 小廖 小張 等 6 人同時過渡,但小邱 小廖兩人不坐同一艘船, 則此 6 人同時過渡的方法有 種. 解答 7 小邱 小廖各選一艘有 6( 種 ) 其餘 人上船方法數 圖中的每一格皆是正方形,邊長均為 個單位,試問由圖中線段 () 共可決定 個矩形. () 可決定 個正方形. 解答 ()69;()76 - -

55 () 含中空 : 7, 左上右下 不含中空 : 左 上 右 下 左上 右上左下右下 所求為 () 含中空 : 邊長為,邊長為,邊長為 6,邊長為 6, 共 個, 不含中空: (6 ) ( 8 7) (6 ) 左 上 右 8 ( ) 6, 下左上 右上 左下 右下 所求為 6 76 個.. 正六面體 ( 正方體 ) 有八個頂點 () 以此八個頂點為始點及終點,共可作出 個不同的向量 ( 包括零向量 ). () 以此八個頂點為三角形的頂點,共可作出 個三角形. 解答 ()7;()6 () 設正方體邊長為, 長度為 0 的向量: 個, 長度為 的向量: 6 個, 長度為 的向量: 6 個, 長度為 的向量: 8 個, 共 個. 8 () 6.. 滿足不等式 6 y z u 0 之非負整數解有 組. 解答 87 (6 y z u 0 之非負整數解 ) ( y z u 0 之非負整數解 ) ( y z u 之非負整數解 ), 9 故所求為 H 0 H 組. 6. 將 6 件相異物品放入 個相異箱子,其中的甲 乙 丙 箱每箱至少 件,試求方法數為. 解答 00 全 甲空或乙空或丙空 6 ( ) 若由 0,,,,,,, 八個數字中,任意取出五個數字排成一個五位數,並依序由小到大排列,則排在第 0 位的數字是. 解答 0 - -

56 , 0 P,,,, 0 P 0,,,,,, 0 P ( 累積 6 個 ),,,, a 7 0, a 8 0, a 9 0, a 設一列火車有 8 節車廂,從中選取 節車廂作為餐車,但此兩節餐車車廂至少間隔兩節車廂,則此兩節餐車廂共有 種選擇.解答 可以這麼考慮:先將車廂排列好,再編上號碼,餐車記為,非餐車記為,由於至少間隔兩個車廂, A B 再將剩餘的 放入 A, B, 之間, 設分別放入為 a, b, c 個,則 a b c,且 a, b, c 為非負整數, 故有 H 6 種方法. 9. 將 個相同白球, 個相同紅球分給 人,每人至少一個球的分法有 種. 解答 [ 另解 ] ( 全部 ) ( 恰分給 人 ) ( 恰分給 人 ) ( ) ( ) 某社團有 8 個幹部,其中有 個是女生 個是男生,為準備成果發表會,這 8 個幹部商量好兩人一組,共分成 四組,分別負責教學 事務 公關 財務等四個職務,但每一組至少有一個男生,則這 8 人職務的安排共有 種方式. 解答 0!! 0. 先挑一個職務再選 男擔任該職剩下三個職務,給三男 三女各任意排. 顆蘋果, 顆芭樂, 顆鳳梨,將 9 顆水果任意裝入 個不同的箱子,水果全裝完每個箱子至少裝一顆水果有 種方法. ( 同種水果視為同物 ) 解答

57 井字遊戲 (Tc Tac Toe) 的規則如下:兩位玩家分別在井字的 9 個空格 ( 如圖一 ) 中輪流填入 和,先 將 個相同符號連成一線即獲勝 ( 直排 橫排 對角線皆可,如圖二為 勝之情形 ). ( 圖一 ) ( 圖二 ) 今小明和小華玩遊戲,先填的人可任選 或 其中之一,結果填滿 9 格後不分勝負,則最後此和局的井字圖中, 和 的排法有 種. ( 注意:此處將 9 個空格皆視為不同,不頇考慮環狀排列或對稱性 ) 解答 考慮 個 和 個 之排法,由左至右三行所含 數目有下列 種: () (,, ) :共 種情形 () (,, ) :共 6 種情形 () (,, ) :共 種情形, 6 6( 種 ) 同理 個 和 個 排法有 6 種 金毛中學舉行兩天的畢業旅行,共有四台車,欲安排甲 乙 丙 等八位導遊隨車服務,每天每車兩位,但第一天在同車的兩個導遊,第二天不安排在一起,則兩天下來共有 種安排方法. ( 同一個導遊可以兩天在同一車 ) 解答 第一天 : 指定型, 第二天 : ( 6 )!!!! , 所求為 以紅 黃 藍 黑 白五色塗三張紙卡的兩面,設兩面無分別,每面只塗一色,且兩面可同色亦可異色 () 若 張紙卡相同,則共有 種不同塗法. () 若 張紙卡相異,且其中兩面同色的紙卡恰只有一張,則共有 種不同塗法. 解答 ()680;()00 () 兩面同色者有 張: 7,兩面同色者 張: 0, 兩面同色者 張:每張有 0 種塗法, 兩面均不同色: () 00.. 已知甲 乙 丙 丁 等八人,求下列各種情形的方法數 : - 7 -

58 () 任意分成三組,每組至少兩人,則有 種分法. () 若此八人作桌球單打比賽,賽程表如圖所示,且規定第一輪比賽甲 乙不能對打,則共有 種安排 賽程的方式. 解答 ()90;()70 () (,, ) (,, ) 所求為 !! 8 8 () 所求為 ( 任意排 )-( 甲 乙對打 ) [ 另解 ] 8 6 6!!!! 甲乙!!! 左右互換無效 70.!! 將 8 人帄分成 堆,但甲 乙不同堆 左 ( 右 ) 邊兩堆互換無效 6. 假設一個議題有甲 乙 丙三個方案, 個人採無記名投票表決,可以投廢票,則 () 開票的結果有 種可能. () 承 (),其中甲的得票數,不超過總票數的一半的情況有 種. 解答 ();()99 (). () 甲 + 乙 + 丙 + 丁 =( 丁為廢票箱 ) 不合 剩 8 所求為 有 本不同的書及 枝相同的筆分給甲 乙 丙三人,若甲 乙 丙均至少分得一本書或一枝筆,則共有 種分法. 解答 68 任意分 ( 恰 人不得 ) ( 恰 人不得 ) ( ) 有 張椅子排成一列,有甲 乙 丙 等七人分成三組入座,三組人數各為 人 人 人,同組必相鄰, 不同組不相鄰的坐法有 種. 解答

59 ! 7!!!! k, k 0,則數對(, k).解答 (0, ) 00 0 原式 k, (, k) (0, ). 0. 福利社供應香草 酸梅 芒果及巧克力等四種冰淇淋,今有同學 6 人同往,則 () 每人各要一份,則店員取出之冰淇淋的方式有 種. () 若每人可點一份或是不點,則店員取出之冰淇淋的方式有 種.解答 ()8;()0 設取出香草 份,酸梅 y 份,芒果 z 份及巧克力 u 份, 9 9 () 依題意,得 y z u 6,則非負整數解為 H () 依題意, y z u 6 y z u t 6,其中 t 為非負整數, 0 0 故非負整數解為 H 四 計算題. 圖中有幾個矩形? 解答 09 不含中空的: 含中空的: 8 共有 個.,, 6. 將 個梨 個蘋果,分給三個人,試分別判斷下列敘述是否正確? () 每人所得不限有 0 種分法. () 每人至少一個梨有 6 種分法. () 每人至少一個蘋果有 90 種分法. () 每人至少一個梨或至少一個蘋果有 8 種分法. () 每人至少一個梨且至少一個蘋果有 8 種分法. 解答 () ;() ;() ;() ;() 6 7 () :

60 7 () :. 6 6 () :. 90 () : 任意分 - 恰 人不得 - 恰 人不得 ( ) 8 8. () : 已知方程式 y z 7,則 () 非負整數解有幾組? () 正整數解有幾組? 解答 ()0;() () y z 7 y z k,其中 k 0,,,, 7. 故非整數解有 H H H H [ 另解 ] 由於 y z 7,且, y, z 為非負整數,設 t 7 ( y z),則 t 0,故不等式 y z 7 可改寫成方程式 y z t 7, 所以非負整數解為 H () 承 () 知,不等式 y z 7,可改寫成方程式 y z t 7,其中 t 為非負整數,若求, y, z 為正整數解,令, y y, z z, y, z 為非負整數,且方程式 y z t 7 ( ) (y ) (z ) t y z t,其中, y, z, t 為非負整數, 7 7 故所求為 H.. 將 8 個人均分成前後兩排拍照,若其中一對夫妻必頇在同一排且相鄰,則共有多少種排法? 解答 860 種第一步驟:夫妻先選擇一排,有前後排 種選擇. 6 第二步驟:與夫妻同一排拍照的兩人有 種選擇

61 第三步驟:將夫妻視作 人,與同排的兩人共有! 6 種排法,又因為夫妻位置可互換,所以有 6 種排法.第四步驟:另一排四人任意排列有! 種排法.由乘法原理,得共有 860 種排法.. 設, y, z, u 為正整數,則 y z u 有幾組解? 解答 u 時, y z 之正整數解共有 H H 78 組, 0 0 u 時, y z 之正整數解共有 H H 8 8 組, u 時, y z 6 之正整數解共有 H 6 H 0 組,共有 78 0 組解. - 二項式定理 一 單選題 ( ). 設 為正整數,若 ( ) 的展開式中第 0 項的係數與第 0 項的係數相等,則 ()8 ()9 ()0 解答 (). 9 9 第 0 項 : 9, 第 0 項 : 9, ,故選(). ( ).( ) a 0 a a a 中,若 a :a 6 :,則 ()6 ()7 ()8 ()9 ()0. 解答! a!( )! 6 a! ( )( ) 6!( 6)! ,故選 () ( ). 若 a,且 b,則下列何者為真? ()a b 6 解答 ()a b 0 ()a b 0 ()b ( ) 代入得 代入得 : a : b () : a b

62 () : a b 768. () : a b. () : b 6. 故選 (). ( ). 由 ( ) 7 ( ) ( ) ,求? () 解答 () () () () 0 6 ( ) 7 ( ) ( ) ( ) , ( ) 則 所以 故選 () 為 項的係數, 0 6, 0 二 多選題 ( ). 選出答案為 的選項: () 從 6 人中選出 人參加辯論比賽的方法數 () 甲乙丙三人從 本不同的書 解答 6 中,每人各選一本的方法數 () 將 枝相同筆全部分給 個人的方法數 () 在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數 () 方程式 y z t 的非負整數解之個數. () 從 6 人中選出 人的方法數有. 6 () 甲乙丙三人從 本不同的書中,每人各選一本,甲有 種選擇,乙有 種選擇,丙有 種選擇,因此 總共有 P 種選擇. () 將 枝相同筆全部分給 個人的方法數為重複組合 () 根據二項式定理,在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數為. () 方程式 y z t 的非負整數解之個數為 故選 ()()(). 6 ( ). 試選出下列正確的選項? () 解答 () () () () 正確, () 正確, () 錯, () 正確, 故選 ()()()

63 ( ). 選出答案不為 的選項: () 從 7 人中選出 人參加比賽的方法數 () 甲乙丙三人從 7 本不同的書中, 解答 7 每人各選一本的方法數 () 將 aaaabbb 共 7 個字母,任意排成一列的方法數 () 在 (a b) 7 的展開 式中, a b 的係數 () 在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數. (),應是 (),應是 故選 ()(). ( ) 7 7 ( ). 下列選項何者正確? () (0) k 0 k 0 0 解答 () 0 k k 0 0 k 0 ( ) () () 0 的末三位數字為 () 0 被 除的 0 0 餘數為 () 正確, 0 0 ( ) () 正確, () 正確, () 正確, , 0 0 由 可知 0 除以 000 的餘數為 () 正確,, 0 0 可知 0 除以 的餘數為 0 故選 ()()()()(). ( ). 選出答案為 的選項: () 從 7 人中選出 人接受體能測試的方法數 () 甲乙丙三人從 7 本不同的書 解答 7 中,每人各選一本的方法數 () 將 aaaabbb 共 7 個字母,任意排成一列的方法數 () 在 (a b) 7 的 展開式中, a b 的係數 () 在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數. () 從 7 人中選出 人的方法數有. 7 () 甲乙丙三人從 7 本不同的書中,每人各選一本,甲有 7 種選擇,乙有 6 種選擇,丙有 種選擇,因此 7 總共有 76 P 種選擇. 7! () 將 aaaabbb 7 個字母任意排列,因為 個 a 相同, 個 b 相同,因此共有!! () 根據二項式定理,在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數為. () 根據二項式定理,在 (a b) 7 的展開式中, a b 的係數為 因此選項 ()()()() 正確 種方法. 三 填充題 - 6 -

64 7.() 將 ( ) 展開,試求 項的係數為. 9 () 將 ( ) 展開,試求 項的係數為. 8 () 將 ( ) 展開,試求 6 項的係數為. 解答 ()89;()9;() 0 9 () 設第 r 項為 項, 則 r ( ) r 7 7r r 7 r 7r r 項的係數為 () 設第 r 項為 項, 7 r r, 9 9r r 9 r 9r r 則 r ( ) ( ) r 9 r r, 9 項的係數為 ( ) 9. () 設第 r 項為 6 項, 8 8r r 8 r 8r r 則 r ( ) ( ) r 8 r 6 r, 項的係數為 ( ). 9. 展開 (0.99) 0 0.abcd,則 a b c. 解答 6 (0.99) 0 [ ( 0.0)] 0 ( 0.0) ( 0.0) ( 0.0) , a b c ( 0.0). 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中, 項的係數為. 解答 6 0 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式 ( ), 欲求 項之係數,即求分子 ( ) 展開式中 項之係數為 0 [ 另解 ]. 6. 若 ( ) k 展開式中 項的係數為 a k (k,, ),則 k k 6.. a - 6 -

65 解答 ( ) k kk ( ) ak, [ ] a k( k ) ( ) k k k ( ) [( ) ( ) ( )] [ ].. 求 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 展開式中 項之係數為. 解答 0 ( ) ( ) 原式,原式 的係數為 ( ) 中 6 的係數 ( ) 0. 0 [ 另解 ]. 0 m 6. 化簡 得值為!9!!7!!! 7!! 9!!!,其中 m, 為正整數,求數對 (m,). 解答 (9,0) 0! 0! 0! 0! 0! 原式 ( ) ( 7 9 ) 0!!9!!7!!! 7!! 9!! 0! 0 0! 0! m 9, 0,故 (m,) (9,0). 9 a 0 7. a,若 ( ) 之展開式中 項係數為 960,求 a. 解答 設第 r 項為 項,則 0 0r a r 0 r 0r r r ( ) ( ) r ( a), 表示 0 r r, 0 a ( ) 960 a. 8. 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中, 6 項之係數為. 解答 0 0 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式, ( ) 欲求 6 項之係數,即求分子 ( ) 展開式中 9 項之係數,此項為 9 ( ) 0,即係數為 0. 0 [ 另解 ] 乘開後末三位的數字為

66 解答 9 0 ( ) (0 ) 0 0 (0) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) a 0. a,將 ( ) 解答 000t 0 000t 9, t 為正整數, 末三位數字為 9. 6 設第 r 項為常數項,則 展開後常數項為 70,求 a. 6 a 6r r 6 6r r r r r ( ) ( ) ( ) r a, 表示 r 0r, 6 常數項為 a ( ) 70 a.. 知 ( a) a 展開式的各項係數和等於 ( b ) 展開式的常數項,則 ( a) b a 展開式中項的係數為 a. 解答 8 ( a) a 的係數和為 ( ), ( b ) 的常數項為 b 8 7, ( b) ( ) b ( ) 8, ( a) ( ) ( a) ( ) 8 a a a a, a 項的係數為 8.. 求 ( ) ( ) ( ) 展開式中, 8 項的係數為. 解答 68 6 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式, ( ) 欲求 8 項之係數,即求分子 ( ) 6 展開式中 0 項之係數,此項為 6 0 ( ) 68, 8 項的係數為 [ 另解 ]. 68. 多項式 0 除以 ( ) 的餘式為. 解答 設 0 ( ) Q () a b,

67 代入得 a b b a 0 ( ) Q () a a ( ) ( ) ( 0 ) ( ) Q () a ( ), 同除以 ( ) ( ) ( 9 ) ( )Q () a, 代入得 a 0 b. 餘式為. [ 另解 ] [ ( )] ( ) ( ), [ ( )] ( ) ( ), [ ( )] ( ), 0 [ ( )] 0 0 ( ), 餘式 [ ( )] [ ( )] [ 0 ( )] 設 S 0,則 S 為 位數. ( 設 log 0.00) 解答 8 0 S S S 0( ) 0, S 0 0, log 0 0 log , 0 為 7 位數, S 為 8 位數. 6. 已知 a 0,若 ( a ) 展開後常數項為,求 a. 解答 9 設第 r 項為常數項,則 6 6r r 6 r 6r r r ( ) ( a ) ra, 表示 6 r 0r, 6 常數項為 a a 8, a 9( 取正 ),故 a 求 ( ) ( ) ( ) 展開式中, 項的係數為. 解答 80 6 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式 ( ), 欲求 項之係數,即求分子 ( ) 6 展開式中 6 項之係數為 [ 另解 ] 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中 項係數為. 解答

68 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ), ( ) 所求即分子 ( ) 展開式中 項係數, 所求為 a,若 ( a ) 展開式中 項之係數為 80,求 a. 解答 設第 r 項為 項,則 r r r 0r r r ( a ) ( ) r a, 表示 0 r r, a 80 a. 9. 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中, 項的係數為. 解答 6 0 ( )[( ) ] ( ) ( ) 原式, ( ) 欲求 項之係數,即求分子 ( ) 展開式中 6 項之係數為 6 ( ) 6, 項之係數為. 0 [ 另解 ] 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中 項係數為. 解答 四 計算題. 求多項式 f () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 的 項係數. 解答 6 考慮每一括號中 項係數,相加,利用巴斯卡定理,所求為 0 [ 另解 ] 利用級數和 f () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( )[( ) ], ( ) ( ) ( ) 求展開式中 項係數, 故考慮分子 ( ) 展開式中 6 項的係數, ( ) r r r 展開式中的一般項 ( ) ( ),取 r,可得係數 r r

69 ( ) 6.. 試求 ( ) 0 ( ) 展開式中 項的係數. 解答 展開式的一般項為 r r ( ) t r ( ) t r t, r t r t 令 0 r t t r,其中 0 r 0,0 t, 數對 (r, t) (0, ), (, ), (, ), 故所求 項的係數為 ( ) 0 ( ) ( ).. 求多項式 f () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 的 項係數. 解答 0 因為 f () 是首項 ( ),公比 ( ) 的等比級數,所以利用等比級數的求和公式,得 ( )[ ( ) ] ( ) ( ) f( ) ( ) 0 即 f () 的 項係數尌是 ( ) ( ) 的 項係數. 再由二項式定理,得知 ( ) 的 7 項為 () ( ) 0, 即 ( ) ( ) 的 項為 (0 ) 0. 故 f () 的 項係數為 0.,. 求 ( ) 0 展開式中的 項係數. 解答 90 利用二項式定理將 ( ) 0 (( ) ( )) 0 展開得到

70 ( ) 0 (( ) ( )) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 其中,可能產生 項的項有 0 ( ) 及 ( ) ( ). 0 0 又 0 ( ) 的 0 0 項係數為 ( ) ( ) 的 項係數為 0 ( ) 0. 故 ( ) 0 展開式中的 項係數為 960 ( 0) 90.. 求 ( ) ( ) ( ) 0 展開式中 6 項之係數. 解答 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( )[( ) ] ( ) ( ), ( ) 求展開式中 6 項係數,考慮分子 ( ) 展開式中 9 項,而 ( ) 展開式中的一般項為 ( ) r r r r,故 r,係數為 0. - 樣本空間與事件 一 單選題 ( ). 自 {,,,,} 中, () 每次取兩數,則樣本空間有 P 個元素 () 每次取一數,取後不放回,取二次,則 解答 () : 樣本空間有 個元素 () 每次取一數,取後放回,取二次,則樣本空間有 個元素 () 每次取一數, 取後不放回,取二次,第二次的數字比第一次的數字大,則樣本空間有 個元素 () 每次取一數, 取後放回,取二次,第二次的數字比第一次的數字大,則樣本空間有 H 個元素. () : P () : () () : 故選 (). 二 多選題 ( ). 連續丟一個硬幣 次,觀察依次出現正面或反面的情形,出現正面記 點,出現反面記 0 點.若 A 表 次點數的乘積為 的事件, B 表 次點數的和為 的事件, 表 次點數至多一次為 0 的事件, D 表前 次點數都為 的事件,則下列選項哪些正確? ()A 與 B 為互斥事件 ()B 與 D 為互斥事件

71 ()A 與 都發生的事件為 A ()A 或 發生的事件為 () 與 D 都發生的事件為 A.解答 事件 A {(,,, )}.事件 B {(, 0, 0, 0),(0,, 0, 0),(0, 0,, 0),(0, 0, 0, )}.事件 {(,,, ),(,,, 0),(,, 0, ),(, 0,, ),(0,,, )}.事件 D {(,,, ),(,,, 0),(,, 0, ),(,, 0, 0)}. () 因為 A B,所以 A 與 B 為互斥事件. () 因為 B D,所以 B 與 D 為互斥事件. () 因為 A {(,,, )} A,所以 A 與 都發生的事件為 A. () 因為 A {(,,, ),(,,, 0),(,, 0, ),(, 0,, ),(0,,, )},所以 A 或 發生的事件為. () D {(,,, ),(,,, 0),(,, 0, )} A.故選項 ()()()() 正確. ( ). 投擲兩粒骰子一次,點數和小於 的事件為 A,點數和不小於 的事件為 B,下列何者正確? ()(A) ()(B) ()A 與 B 為互斥事件 () 點數和小於 的事件為全事件 () 點數和不小於 的事件為空事件.解答 () : A {(,),(,),(,),(,),(,),(,)}, (A) 6 () : B {(,6),(6,),(6,6)}, (B) () : AB () :小於或等於 () :含(6,6) 故選 ()(). ( ). 設樣本空間 S {,,,, } 中,各基本事件出現的機會均等,下列敘述何者正確? () S 共有 個事件 () S 共有 個事件 () 滿足 A S 且 (A) 的事件有 0 個 () S 表一事件 () 表一事件.解答 () : 故選 ()()()(). ( ). 連續丟一個硬幣 次,觀察依次出現正面或反面的情形,出現正面記作 點,出現反面記作 0 點.若 A 表 次點數的乘積為 的事件, B 表 次點數的和為 的事件, 表 次點數至多一次為 0 的事件, D 表前 次點數都為 的事件,下列選項哪些正確? ()A, B 為互斥事件 ()B, D 為互斥事件 ()A A ()A ()D A.解答 () : D {(,,,0),(,,0,),(,,,)} 故選 ()()()(). ( ). 袋子中裝有編號,, 的三個球,從袋中取一球觀察號碼. S 表樣本空間, A 表號碼為奇數的事件

72 解答 選出正確的選項: ()S {,,} ()A {,} () A 不發生的事件為 {} ()S 的事件共有 個 ()S 的事件中與 A 互斥的共有 個. () 樣本空間 S {,,}. () 號碼為奇數的事件 A {,}. () 事件 A 不發生表示號碼為偶數,即 A 的事件,故 A {}. () 樣本空間 S 的事件為 S 中的任一子集,又 S {,,} 的所有子集為,{},{},{},{,},{,},{,},{,,},共 8 個. () 由上可知,與 A 事件相交為空集合的事件有,{},共 個事件.故選項 ()()()() 正確. 三 填充題. 寫出樣本空間 S {,, } 的所有事件為. 解答 見, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, }.. 設樣本空間 S {,,,,,6,7},事件 A {,,},則與 A 互斥的事件共有 個. 解答 6 A' {,,6,7}, 與 A 互斥的事件有 6 個.. 袋中有編號,,,, 0 的 0 張卡片,今由袋中任取出兩張卡片的樣本空間為 S,求 (S). 解答 (S) 0.. 丟一粒骰子三次,出現點數依次為, y, z,若樣本空間為 S, A 代表 y z 的事件, B 代表 y z 的事件,求 ()(S). ()(A). ()(B). 解答 ()6;()0;()6 () () 0. () H 依序投擲兩粒骰子,設 A 代表點數和為偶數的事件,求 (A). 解答 8 點數和為偶數有兩種情形: 偶數 偶數 9. 奇數 奇數 9. 共有 種,故 (A) 擲一粒骰子,觀察其出現點數,則 () 樣本空間 S. () 出現偶數事件 A. () 出現奇數事件 B. () 出現點 數小於 的事件. 解答 (){,,,,, 6};(){,, 6};(){,, };(){, } () S {,,,,, 6}

73 () A {,, 6}. () B {,, }. () {, }. 7. 擲一粒骰子三次,觀察每次出現的點數,設 A 表三次都沒有出現 點的事件, B 表三次中至少出現一次 點的事 件,求 () (A). () (B). 解答 ();()9 () (A). () (B) 袋中有 個紅球,並標註號碼 ~ 號; 個白球,並標註號碼 ~ 號.今自袋中每次取一球後不放回,直到全部 都取出為止.設 A 代表白球先取完的事件,求 (A). 解答 60 由於同色球上標明號碼,視為相異的 7 個球, 白球先取完,即表最後一球取紅球即可,故 ( A) 6! 若樣本空間 S 為擲兩顆相異的均勻骰子的所有狀況,其中兩顆點數和為 8 的事件為 A,若 B 事件與 A 事件互斥且 (B) 表示 B 事件的樣本點個數,則 (B) 的最大值為. 解答 (B) (A' ) 擲一粒骰子三次,令 A 表示三次出現點數和為 9 的事件, B 表示三次出現點數積為 的事件,求 () (A). () (B). 解答 ();() () 點數和為 9 之情形有 (6,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ),!! (A)!!!.!! () 點數積為 之情形有 (6,, ), (,, ), (,, ), (B)!!!!. 四 計算題. 甲 乙 丙三人以 剪刀 石頭 布 猜拳,求彼此不分勝負之事件共有幾個元素? 解答 9 不分勝負 三人出相同拳或 剪刀 石頭 布 都有人出,故有! 9.. 袋子中裝有編號 到 0 號的卡片十張,分別依下列方法從袋中取卡片並觀察號碼,求以下各試驗的樣本空間各有 - 7 -

74 幾個樣本點? () 取出一張. () 同時取出二張. () 取三次,每次一張,取出後不放回. () 取三次,每次一張,取出後放回.解答 ()0;() ;()70;()000 0 () ( S) 0. 0 () ( S). 0 () ( S) P 70. ()(S) 從一副撲克牌中任取 張, () 樣本空間共有幾個元素? () 設 A 表所取 張為同一花色的事件,則事件 A 共有幾個元素? () 設 B 表所取 張為同一點數的事件,則事件 B 共有幾個元素? 解答 ()6 個 ;() 個 ;()78 個 () 自 張牌中任取 張, ( S) 6 ( 個 ). () ( A) ( 個 ). () ( B) 78 ( 個 ).. 袋子中有 個球,編號 ~,從袋中取球兩次,每次一球,球取出後均放回. () 此試驗的樣本空間有幾個元素? () 設 A 表所取兩球的球號和為 6 的事件,求事件 A 的元素個數. 解答 () 個 ;() 個 () 樣本空間 S 的元素都形如 (,y),其中第一次抽出 號,第二次抽出 y 號.故 S 有 個元素. () 球號和為 6 的情形有 (,), (,), (,), (,), (,) 共 種,故 (A)

75 . 連續丟一個硬幣三次,依次觀察出現正面或反面的情形.令 A 表示至少有一次正面的事件, B 表示第二次是反面的事件.試以集合表示下列事件: () 事件 A 和 B 都發生. () 事件 A 不發生. () 事件 A 發生但事件 B 不發生.解答 (){( 正, 反, 正 ),( 正, 反, 反 ),( 反, 反, 正 )};(){( 反, 反, 反 )};(){( 正, 正, 正 ),( 正, 正, 反 ),( 反, 正, 正 ),( 反, 正, 反 )} () 事件 A 和 B 都發生表示:至少有一次正面且第二次是反面,即 {( 正, 反, 正 ),( 正, 反, 反 ),( 反, 反, 正 )}. () 事件 A 不發生表示一次正面也沒有的事件,即 {( 反, 反, 反 )}. () 事件 A 發生但事件 B 不發生表示:至少有一次正面且第二次是正面,即 {( 正, 正, 正 ),( 正, 正, 反 ),( 反, 正, 正 ),( 反, 正, 反 )}. - 機率的性質一 單選題 ( ). 甲投擲一公正銅板 8 次,下列選項有哪些是正確的? () 會正好得到正面 次及反面 次 () 若前 次得到正面 次,則後 次得到正面 次的機率小於得到反面 次的機率 () 恰好得到 次正面及 次反面的機率大於 () 若已知擲完銅板共出現正面 次與反面 次,則投擲過程是正反面交錯出現 的機率大於投擲過程是正面集中在前 次或後 次的機率. 解答 () 雖然一公正銅板丟出正面與反面的機率均為,但不表示 8 次丟完會出現正面 次及反面 次 () 由於每一次擲公正銅板均視為獨立事件,因此前 次的結果並不影響後 次結果的發生,因此後 次會出現正面 次的機率與出現反面 次的機率相等 () 恰好得到 次正面及 次反面的機率為 ( ) ( ) 6 6 () 由於正反面交錯出現的情形為 ( 正反正反正反正反 ) 或 ( 反正反正反正反正 ),兩種正面集中在前 次或後 次的情形為 ( 正正正正反反反反 ) 或 ( 反反反反正正正正 ) 也是兩種,因此兩事件的機率相等故選 (). ( ). 將 四個數字隨機填入右方 的方格中,每個方格中恰填一數字,但數字可重複使用.試問事件 A 方格的數字大於 B 方格的數字 且 方格的數字大於 D 方格的數字 的機率為多少? () 6 () 9 6 () 6 () 9 6 ()

76 A B D 解答 因為將 個相異數字可重複的填入 個方格中,所以樣本空間共有 6 個元素,設填入 A, B 兩方格的數字分別為 a, b,且 a b,此時數對 (a,b) 有以下 6 種情形: (,),(,),(,),(,),(,),(,) ;同理,填入, D 兩方格的數字也有 6 種情形, 因此,所求機率為 6 6 9,故選(). 6 6 ( ). 如圖,在棋盤方格中隨機任取兩個格子,選出的兩個格子不在同行 ( 有無同列無所謂 ) 的機率為 () 0 () () () (). 解答 所求為,故選(). 6 ( ). 設兩事件 A 與 B,其中 P (A), P (B),若 t 表 A 事件或 B 事件發生的機率,則 t 的範圍為何? () t () t () t () t 7 () t 7. 解答 P (A B) 會介於互斥或相容之間,則 P (A) P (A B) P (A) P (B) t 7,故選(). ( ). 甲 乙 丙三所高中的一年級分別有,, 個班級.從這 個班級中隨機選取一班參加國文抽考,再從未被抽中的 個班級中隨機選取一班參加英文抽考.則參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項? ()% ()% ()% ()7% ()9%.解答 甲校 ( 班 ) : p

77 乙校 ( 班 ) : 丙校 ( 班 ) : 6 p 66 0 p 同校之機率為 % 故選 (). 二 多選題 ( ). 某班級有男生 0 人,女生 0 人,其中有男同學乖乖及女同學莉莉.某次導師要抽 位同學,試問下列敘述哪些是正確的? () 抽出來的男生人數一定比女生人數多 () 若老師以簡單隨機抽樣方法抽取 位同學, 則乖乖被抽中的機率大於莉莉被抽中的機率 () 若老師以抽籤的方法一個一個抽出 位 同學,則乖乖恰好是第 個被抽中的機率為 0 () 若老師依性別按人數比例作分層抽樣方法抽取 位同學,則乖乖被抽中的機率為 0 () 若老師以座號作系統抽樣方法抽取 位同學,則莉莉被抽中 的機率為 0.解答 () 不一定,有 的機率女比男多 () 機率相等,都是 () 正好第三個被抽中為 ()() 無論使用分層隨機抽樣或系統抽樣,機率都是 0,均正確故選 ()(). ( ). 一副撲克牌有 張,分成四種花色,即黑桃 梅花 紅心 磚塊,每種花色又有 個點數,即,,,, 0, J, Q, K, A,每種花色都有數字牌 (~0),英文牌四張,若其中甲為紅心,乙為黑桃 J,則下列選項何者正確? () 今從 張撲克牌中任意抽取一張,則甲被抽中的機會大於乙被抽中的機會 () 今從 張撲克牌中任意抽取兩張,則甲被抽中的機會大於乙被抽中的機會 () 今從 張 0 撲克牌中任意抽取兩張,則甲與乙至少被抽中一張的機率為 6 () 今從 張撲克牌中任意抽取兩 張,則兩張均為數字牌的機率大於兩張均為英文牌的機率 () 今從 張撲克牌中任意抽取兩張,則 兩張是同花色的機率為

78 解答 () 錯, P ( 甲抽中 ) P ( 乙抽中 ) () 錯, P ( 甲抽中 ) P ( 乙抽中 ) 0 0 () 正確, P ( 甲 乙至少抽中一張 ) 6 () 正確, P ( 均為數字 ) P ( 均為英文 ) 6 6 () 錯, P ( 同花色 ) 7 故選 ()(). ( ). 試選出 P P 的選項: ()P 表連續投擲一粒公正骰子 次,每次都出現 6 點的機率; P 表一次投擲 解答 三粒公正骰子,同時出現 個 6 點的機率 ()P 表投擲兩個均勻硬幣時,恰好出現一個正面的機率; P 表投擲四個均勻硬幣時,恰好出現兩個正面的機率 () 連續投擲一公正硬幣 次, P 表擲出 正正 正正正 的機率; P 表擲出 正正正正反 的機率 () 同時投擲兩粒公正骰子一次, P 表出現一個 點一個 點的機率; P 表兩個骰子都出現 點的機率. () P P 6 () P, P 6 8 P P () () P, P 6 6 故選 ()(). ( ). 某高中共有 0 個班級,每班各有 0 位學生,其中男生 人,女生 人.若從全校 800 人中以簡單 解答 隨機抽樣抽出 80 人,試問下列哪些選項是正確的? () 每班至少會有一人被抽中 () 抽出來的男生 人數一定比女生人數多 () 已知小文是男生,小美是女生,則小文被抽中的機率大於小美被抽中的機 率 () 若學生甲和學生乙在同一班,學生丙在另外一班,則甲 乙兩人同時被抽中的機率跟甲 丙兩 人同時被抽中的機率一樣 () 學生 A 和學生 B 是兄弟,他們同時被抽中的機率小於 00. () :不一定. () :不一定,有可能男生 0 人,女生 60 人

79 80 () :每人抽中之機率均為 () :機率均為 () : A, B 同時被抽中 ( ). 甲 乙 丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲,每一局三人各擲銅板 次;在某局中,當有一人投擲結 果與其他二人不同時,此人尌出局且遊戲終止;否則尌進入下一局,並依前述規則繼續進行,直到有 人出局為止.試問下列哪些選項是正確的? () 第一局甲尌出局的機率是 () 第一局尌有人出局的 機率是 () 第三局才有人出局的機率是 6 () 已知到第十局才有人出局,則甲出局的機率是 解答 () 該遊戲在終止前,至少玩了六局的機率大於 000. (). (). () 每一局沒有人出局的機率為,故第三局才有人出局的機率為. 6 () 甲 乙 丙三人在每一局中出局的機率均等,故第十局的出局者為甲的機率是. () 至少玩了六局的機率 6 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 故選 ()(). 三 填充題. 由 0 挑出,, 三個數字,且.求 與 至少差, 與 至少差 的機率為. 解答 ! 098 樣本空間 09 0, 7!! 而滿足 且, 的情形算法如下:

80 令 ', ', ' 8 ' ' ' 且 ', ', ' {,,,,}, 只要從 {,,,} 找出的 ( ', ', '),尌可以得到一組 (,, ), 此時,, 必滿足,, 而從 ~ 可重複取 個取法為 H 機率 ! 6,!!. 在遊戲中,阿玲拿到如下的數字卡.主持人隨機從 至 9 號球中同時取出三球,若這三球的號碼中任兩個都不在 卡片上的同一行也不在卡片上的同一列時尌得獎,則阿玲得獎的機率為. ( 化成最簡分數 ) 解答 9 樣本空間的元素個數 ( S) 8.分下列 個步驟計算得獎事件的元素個數: () 從第一列的三數中任選一數. () 從第二列不與 () 同行的二數中任選一數. () 選第三列不與 ()() 同行的那一數. 6 即得獎事件的元素個數為 6.故得獎的機率 P. 8 a. 二階行列式 c b d 的四個成分 a b c d 皆為集合 A {,} 內的元素,所成的行列式值為奇數的機率為. 解答 8 a, b, c, d 每個位置均可排 或,故樣本空間的元素有 6 個. a b ad bc c d 為奇數, ad 為偶數, bc 為奇數,則 (a,d) (,), (,), (,) ; (b,c) (,) 有 種情形 ad 為奇數, bc 為偶數,則 (a,d) (,) ; (b,c) (,), (,), (,) 有 種情形 a 由 知 c b d 為奇數,共有 6 種情形, 6 所求 投擲甲 乙兩粒骰子,以甲出現的點數為 a,乙出現點數為 b,決定二次函數 y a b,則 y 的最小值不大

81 於 的機率為. 解答 a a a, y 的最小值不大於 b, 6 y a b ( ) b b a 6 ~ 6 ~ 6 ~ 6 ~ 6 ~ 所求的機率為. 6. 設同時投擲三粒公正的骰子,樣本點 (a,b,c),則 ()a b c 的機率為. ()a b c 0 的機率為. 解答 () 6 ;() ()P(a b c) P(a b c) P(a b c) ()a b c 0, a,b,c 6, 9 H 7 H 7 9 所求 五封寫好的信,任意放入五個寫好收信人姓名的信封內,每個信封僅裝一封信,求至少有一封信放對的機率為. 解答 9 0!! 0! 0!! 0! 9 所求 P( 全錯 ).! 用電算機欲計算 之值,按序要輸入,,, 共四個鍵.每輸入一個鍵,按錯鍵的機率 是 ;若按錯鍵則馬上能察覺,並按清除鍵 後從頭輸入 ( 即從 開始),且 鍵是不會按錯的,則需 要輸入超過八個鍵,才能算出答案的機率為. 解答 0 87 所求 P( 按 鍵 ) P( 按 鍵 ) P( 按 6 鍵 ) P( 按 7 鍵 ) P( 按 8 鍵 ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) 小穎的冰箱中有 顆士力架巧克力及 7 根加倍佳棒棒糖,今自 9 年 月 日起每天吃一個 ( 巧克力或棒棒糖中的一個 ),直到冰箱內的巧克力及棒棒糖吃完為止.若這 顆巧克力及 7 根棒棒糖被吃到的機會均等,則在這種吃的 - 8 -

82 過程中,冰箱內剩下巧克力數不多於冰箱內剩下棒棒糖個數的機率為. 解答 P.! 79 8!7! 加倍佳 7 6 士力架 同時擲 A 與 B 二粒骰子,設 A 出現的點數為 a, B 出現的點數為 b,且設 f() a b,則函數 y f() 的圖形通 過點 (,0) 的機率為. 解答 6 函數 y f() 的圖形過點 (,0) 時,得 f( ) 0 a b 0b a, 又滿足上式的點 (a,b) 有下列 種 (,), (,), (,), (,), (6,), 機率為 一袋中有紅球 白球共 0 個,則紅球恰有 個時由袋中取出兩球皆為同色的機率最小.解答 設紅球有 個,則白球有 0 個, 0 ( ) (0 )(9 ) 取出兩球皆同色的機率 0 90 紅球恰有 個時,機率最小. 0 ( ) 0 0. 從 ~0 的自然數中,任取相異三數,若假設每個數字被取的機會均等,則取出的數中任兩個數都至少差 ( 包 含 ) 的機率為. 解答 8 7 設取到三數為 a,b,c, a b c y z u y z u 7,且 0, u 0, y, z, 令 y' y, z' z,則 y' z' u ( A) H 6-8 -

83 6 6 A ( ) 8 PA ( )!. 0 ( S) !. 已知袋中有 個紅球及 個白球.今從袋中一次任取一球,取出不放回,連續取球,直到紅球被取光為止,則取球五次即告停止的機率為. 解答 6 五次停止, 前四次有 紅球 白球,! 6 所求. 7 6!!.6 人同時玩猜拳 ( 剪刀,石頭,布 ) 遊戲一次,求恰有兩人得勝的機率為. 解答 8 6 P 將高二博班 ~ 號的 位同學,任意等分成三組,依下列順序選出 7 個人: 各組分別選出該組中號碼最大 者 各組自剩下的同學中,再分別選出該組中號碼最大者 剩下的 6 位同學中,再選出號碼最大者,求下列各 事件的機率 () 號同學在 被選出的機率為. ()7 號同學被選出的機率為. 解答 () 0 ;() () 等分三組每組 人,所求! ! ()7 號不被選出的情形, 有一組 7 號最小 8, 有一組 7 號第二小 6,! 號不能被選出的機率!, 8! 6 0 所求.. 擲一公正骰子三次,設 A 事件為三次中至少出現一次 點的事件, B 事件為三次中至少出現一次 點的事件,求 P (A B). 解答

84 9 P (A) P (B) ( ), 6 6 A B 事件為 點 點恰出現 次!, 點出現 次, 點出現 次!!, 點出現 次, 點出現 次!!, 則 (A B) 0, 故 P (A B) P (A) P (B) P (A B) 十張分別標以,,, 0 的卡片,任意分成兩疊,每疊各五張,則,,, 四張中,每疊各有兩張的機率 為. 解答 所求! ! 0 ay 7. 投擲一粒公正的骰子二次,設第一次出現 a 點,第二次出現 b 點,則方程組 有唯一解的機率為 b y. 解答 8 9 樣本空間 S 中之元素有 個, 當方程組有唯一解時,得 :a b:,即 ab 6, 設 A 表方程組有唯一解的事件,則 A S {(,6), (,), (,), (6,)}, 8 A S =6, 所求機率 PA ( ) 袋中有 9 顆球,分別標示 ,自袋中一次取出 球,連續取 次,取後不放回,記錄得分並累加,其中取出各球的機會均等,若 球得分的帄均為 60 的事件為 B,試問 B.解答 60, , , ,0 0 90, B!. 9. 袋中有 0 元硬幣 個 元硬幣 個 元硬幣 個,若每次任取一個硬幣,取出後不放回,則 0 元硬幣比 元硬幣先取完的機率為. 解答 7-8 -

85 0 元硬幣 個, 元硬幣 個,先取完機率和個數成反比, 所求機率為. 7 [ 另解 ] 最後必為 元硬幣, 機率為 擲一粒骰子兩次,若出現點數依次為, y,則滿足 y 的機率為. 解答 6 y 0 6 6, 6 0 y (,),(,),(,),(,),(,6) 6, 6 8 y (,),(,),(,),(,6) 6, 6 y (,),(,),(,6) 6, 所求 四 計算題. 將一骰子投擲兩次,首次出現點數為 a,第二次得點數 b.作二次方程式 a b 0,求下列的機率 () 方程式有等根. () 方程式有實根. () 方程式有虛根. () 方程式有有理根. () 方程式有無理根. 解答 () 9 7 ;() ;() ;() 7 6 ;() () 有等根 a b 0, (a,b) (,),(,), 所求為. 6 8 () 有實根 a b 0,即 a b, b a,,,,6 有 種, b a,,,6 有 種, b a,,6 有 種, b a,,6 有 種, b a,6 有 種, b 6a,6 有 種, 所求為

86 9 7 () 有虛根的機率 ( 有實根的機率 ). 6 6 () 有有理根 a b 為完全帄方數, 7 (a,b) (,),(,),(,),(,),(,),(,6),(6,), 有理根的機率為 6. () 有無理根的機率 ( 有實根的機率 ) ( 有有理根的機率 ). 6. 擲一公正的骰子三次,求下列各事件的機率: () 點數愈擲愈大的機率. () 三次點數皆不同的機率. () 恰好有兩次點數相同的機率. () 三次點數的和為 8 的機率. 解答 () ; () 9 ; () ; () 7 7 樣本空間元素個數 (S) 6 () 從 6 種點數中選取 種點數的方法有 6 種,由小排到大的排法有 種. 6 故機率為. 6 6 P () 機率為. 6 9 () 擲三次骰子有一個點數出現 次,另一個點數出現 次,選法有 6 種; 而排法有!! 種.故所求機率為 () 點數和為 8 的情形如下 6!! 6 (,, 6), (,, ), (,, )!!, (,, ), (,, )! 6, 6 7 故所求機率為

87 . 甲乙等 名志工被分配到 A, B, 與 D 四個不同的崗位服務,每個崗位至少有一人,求 () 甲乙兩人同在 A 崗位服務的機率. () 甲乙兩人不在同一個崗位服務的機率. 解答 () 0 ;() 9 0 已知 名志工被分配到四個崗位,且每個崗位至少有一人,因此,有一個崗位分配到 名志工,其餘三 個崗位各有 名志工,共有! 0 種分配方式.! 6 () 甲乙兩人同在 A 崗位,其餘三人帄均分配到其餘三個崗位的分配方式有! 6 種,故機率為. 0 0 () 甲乙兩人同在一崗位服務 的情形可分為同在 A, B,, D 崗位服務四種,且由 () 可知,甲乙兩 人同在 A, B,, D 崗位服務的機率皆為 0.因此, 甲乙兩人同在一崗位服務 的機率為. 0 0 事件 甲乙兩人不在同一崗位服務 的補集為事件 甲乙兩人同在一崗位服務,故 甲乙兩人不在 9 同一崗位服務 的機率為 自,,,, 8,9 等九個數字中任取相異三數,試求下列各事件的機率 () 三數成等差數列. () 三數成等比數列. () 三數成等差且等比數列. () 三數成等差或等比數列. 解答 () ;() ;()0;() ()d 有 (,,),(,,),,(7,8,9)7 種, d 有 (,,),(,,6),(,,7), (,6,8),(,7,9) 種, d 有 (,,7),(,,8),(,6,9) 種, d 有 (,,9) 種, 7 成等差的機率為 9. ()r 有 (,,),(,,8) 種, r 有 (,,9) 種, r 有 (,6,9) 種, 成等比的機率為 9. 8 () 三數成等差且等比數列者不會發生,故機率為