Ⅱ Chapter2 式的運算

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1 Ⅲ Chapter1 排列組合 1-1 乘法原理與樹狀圖 1. 樹狀圖 : 樹狀圖是一種像樹枝的圖形, Ex 1 龍鳳汽車公司有兩條生產線, 第一條生產線有 5 種不同車型, 第二條生產線有 3 種不同車型, 阿玲欲在該公司購買 1 部汽車, 試問有多少種選購方法? 用來列舉一連串事件發生的可能情 況, 藉以計算事件所有可能發生情況的 總數 2. 加法原理 : 若完成某件事可分成 k 個類 Try 1 已知龍鳳高中, 高一有 10 班, 高二有 9 班, 高三有 8 班, 現自全校中任選一個班, 參加教師節紀念大會, 試問選法有多少種? 別, 且每個類別不同時發生, 而第 i 個 類別有 m ( i i 1,2,3,..., k ) 種方法, 則完 成此件事的方法數共有 m < 說明 >: 1 m2... m k 種 Ex2 欲將 50 元硬幣兌換成 10 元硬幣或 1 元硬幣之組合, 試問共有多少種兌換的方法? Try2 試問方程式 x 2y 20的正整數解有多少組? 1

2 Ex 3 如右之街道圖中, 由 A 到 B 的捷徑走法 ( 只許向右 向上走 ) 共有多少種? B 3. 乘法原理 : 若完成某件事需經 k 個步 驟, 且每個步驟互不影響, 而完成第 i 個 步驟有 m ( i i 1,2,3,..., k ) 種方法, 則完 A 成此件事的方法數共有 m 1 m... m 2 k 種 < 說明 >: Try 3 如右之街道圖中, 由 A 到 B 的捷徑走法 ( 只許向左 向下走 ) 共有多少種? B A 4 Ex 某市新建一座巨蛋體育館, 共有 10 個門, 若規定每人不得進出同一扇門, 問小龍進出體育館各一次, 共有多少種走法? 2

3 Try 4 圖書館中有 8 本不同的國文書和 12 本不同的數學書, 一學生欲選國文和數學各一本書, 問共有多少種選法? Ex 6 試以 5 種不同的顏色塗於右圖所示的 A B C 三個區域, 顏色可重複使用, 每區恰塗一色, 且同色不相鄰, 則塗法有多少種? B A C Ex 5 在某高中球類的社團中, 籃球社有 30 人, 排球社有 35 人, 棒球社有 40 人, 已知每位學生僅能選擇參加一項社團, 現從各社團中推選一位代表組成紀律委員會, 試問組成的方法數有多少種? 著色時, 以優先塗色 6 Try 試用四種不同顏色塗右圖中 A B C D E 五個空白區域, 相鄰區域不能同色, 則塗法有多少種? Try 5 龍龍餐廳推出精緻套餐, 每份含有主菜 湯及飲料, 其中主菜有牛排 豬排 雞排 魚排 4 種, 湯有南瓜湯及玉米濃湯 2 種, 飲料則有咖啡 紅茶 果汁 3 種, 若每位客人只能從主菜 湯及飲料中各任選一個, 試問每位客人有多少種不同的點餐方式? 3

4 Ex 7 右圖表垃圾車行經之街道路線, 若規定每一街道必須經過一次, 且只能經過一次, 則由 A 到 B 的走法有多少種? Try 8 試求 180 的正因數個數 A B Try 7 右圖表垃圾車行經之街道路線, 若規定每一街道必須經過一次, 且只能經過一次, 則由 A 到 B 的走法有多少種? Ex 9 小玲為了參加畢業旅行, 從衣櫃整理出 2 件不同的 T 恤 3 件不同的襯衫及 3 件不同的牛仔褲 5 件不同的裙子, 若穿 T 恤則搭配牛仔褲, 穿襯衫搭配裙子, 試問小玲畢旅的第一天有多少種穿著方式? A B Ex 8 試求 72 的正因數個數 9 Try 甲 乙兩人分別從 1 到 9 的正整數中任選一個數, 若兩人可選相同的數, 試問兩數相加是偶數的情形有多少種? 4

5 4. 階乘 : 從 1 開始連續 n 個自然數相乘, 叫做, 記作 Try 10 試求下列各式中之 x 值 : (1) 6! 4! x 4! (2) 7! x! 0!=,1!=, 2!=,3!=, 4!=,5!=, < 說明 >: 6!=, 7!= Ex 10 試求下列各式中之 x 值 : (1) 10! 9! x 9! (2) 10! x! 5

6 1-1 練習題 : 1. 試求下列各式中的自然數 n : (1) 10! 8! x 8! (2) n! 240 ( n 2)!, n 2 3. 如右的街道圖中, 由 A 到 B 的捷徑走法 ( 只許向右 向上走 ) 共有多少種? A B 4. 某校教務處有 10 人, 學務處有 8 人, 總務處有 12 人, 今欲由各處各選出 1 人組成委員會, 有多少種組成方法? 2. 龍鳳百貨公司出售兩種品牌香水, 其中青春牌有 5 種不同的香味, 美麗牌有 6 種不同的香味, 阿玲欲在該公司購買購買一瓶香水, 試問有多少種選購方法? 5. 試問 ( a b)( c d e)( x y z u v) 之展開式中共有多少個不同的項? 6

7 6. 用四種顏色塗右圖小丑面具中的七個區域, 每個區域恰塗一種顏色, 但相鄰區域不得同色, 試問有幾種塗法? 9. 龍龍鞋店為與同業進行促銷戰, 推出 第 二雙不用錢 買一送一 的活動 該鞋店 共有八款鞋可供選擇, 其價格如下 : 款 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 式 價格 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價 格 ( 例如 : 買一雙 丁 款鞋, 可送甲 乙兩款鞋之一 ) 若有一位龍龍鞋店的顧 客買一送一, 則該顧客所帶走的兩雙鞋, 其搭配方法一共有多少種? 7. 如下的街道圖中, 若規定每一街道必須經過一次且只能經過 1 次, 則由 A 到 B 的走法有多少種? A B 8. 試求 200 的正因數個數 10. 試問方程式 x 3y 5z 20的正整數解有多少組? 7

8 1-2 排列組合 1. 排列 : 自 n 件物品中, 任意選取 m 件 Try 1 試求下列各式之值 : (1) P 15 1 (2) 8 P 4 (3) 6 P 6 (1 m n), 並排定次序, 每一種不同 順序的排法, 稱為一個排列數 2. 相異物的直線排列 : 自 n 件相異物中, 任取 m 件 (1 m n) 排成一列, 其排列 數為 n ( n 1) ( n 2)... ( n m 1), 以符 號表示, Ex 2 n 1 若 4 P 值 n P3 5 3, 試求自然數 n 之 即 < 說明 >: Try 2 試求自然數 n, 使滿足 n n P4 42 P2 Ex 1 試求下列各式之值 : (1) P 20 2 (2) 10 P 3 (3) 5 P 5 8

9 Ex 3 將 6 件不同的玩具 (1) 任意取 4 件, 分給 4 個兒童, 每人得 1 件 (2) 全取分給 6 個兒童, 每人得 1 件, 試問各有多少種分法? Try 4 將 A B C D E F 六個字母排成一列, 若 (1) A 必排首位, 且 B 必排末位 (2) A 必排首位, 且 B 不得排末位試問排法各有幾種? Try 3 四人搭乘有 6 個座位之交通車, 試問有多少種不同的坐法? Ex 5 從 0,1, 2,3,4,5 六個數字中任取四個相異數字, 試問 : (1) 可排成多少個四位數? (2) 其中奇數有多少個? Ex 4 將 A B C D E F 六個字母排成一列, 若 (1) A 必排首位 (2) B 不得排首位, 試問排法各有幾種? 5 Try 從 1,2,3,4,5,6,7,8,9 九個數字中, 任取三個相異數字, 試問 : (1) 可排成多少個三位數? (2) 其中奇數有多少個? 9

10 Ex 6 把 2 本不同的英文書及 4 本不同的數學書排成一列, 若 (1) 英文書必須排在一起, (2) 英文書必須分開, 試問各有多少種排法? 3. 相同物的直線排列 : 設 n 件物品中有 m 件相同, 其餘均不同, 則此 n 件物品全 n! 取的排列數為 m! < 說明 >: Try 6 甲 乙 丙 丁 戊 己六人排成一列, 若 (1) 甲 乙 丙三人必相鄰 (2) 甲 乙 丙兩兩不相鄰, 試問各有多少種排法? 4. 有相同物的直線排列 : 設 n 件物品中共 有 k 類, 第一類有 m 1 件, 第二類有 m2 件,, 第 k 類有 m k 件, 且 m1 m2... mk n, 則將此 n 件物品排成 n! 一列, 共有種方法 m! m!... m! 1 2 k 10

11 Ex 7 將 庭院深深深幾許 七個字做直線排列, 若 (1) 任意排列 (2) 三個 深 字必相鄰 (3) 三個 深 字兩兩不相鄰, 試問排法各有幾種? Ex 8 設由 A 到 B 的街道, 如右圖所示, 有直街 6 條 橫街 5 條, 則由 A 取捷徑走到 B 的方法有幾種? B A Try 7 將 success 中的七個字母全取作直線排列, 若 (1) 任意排列 (2) 三個 s 字必相鄰, 試問排法各有幾種? Try 8 設由 A 到 B 的街道, 如右圖所示, 有直街 7 條 橫街 4 條, 則由 A 取捷徑走到 B 的方法有幾種? A B 11

12 5. 環狀排列 : 將事物沿著一個圓周而排 Try 9 自 8 個人中任選 5 個人圍圓桌而坐, 試問有多少種不同的坐法? 列, 稱為環狀排列 ( 只考慮各事物的的 相關位置, 而不計較各事物所在的實際 位置 ) 自 n 件相異物中, 任取 m 件 ( m n且不重複 ) 做環狀排列, 其排列 1 n 數為 P m m, 當 m n時, 其排列數為 1 n 1 Pn n! ( n 1)! n n < 說明 >: Ex 10 夫妻兩人及子女 4 圍圓桌歡聚, 若 (1) 任意入座 (2) 夫婦相鄰而坐, 試問坐法各有幾種? Ex 9 自 10 個人中任選 4 個人圍圓桌而坐, 試問有多少種不同的坐法? 10 Try 甲 乙 丙 等八人圍圓桌而坐, 若 (1) 任意入座 (2) 其中甲 乙兩人不相鄰而坐, 試問坐法各有幾種? 12

13 6. 組合 : 自 n 件相異物中, 任意選取 m 件 (1 m n) 為一組, 同一組內的事物不 Ex 11 試求下列各組合數之值 : (1) 10 2 C (2) C 10 (3) C 10 (4) C 計前後次序, 則其所有可能取法的個 數, 稱為 n 件中取 m 件的組合數, 以符 號 C 表示 n m 7. 不可重複的組合數 : 自 n 件相異物中, 任意選取 m 件 (1 m n) 為一組, 其組 合數為 C n m Try 試求 C C C 之值 n Cm n Cn < 說明 >: Ex 12 試求下列各式中之自然數 n 的值 : n n (1) C 3 C 8 (2) 3 C 10 n n 2 3 C 2 13

14 Try 12 試求下列各式中之自然數 n 的值 : n n (1) C 8 C 12 (2) 15 C 2 n n 1 3 P 3 Ex 14 自甲 乙 丙 等 10 本相異的書中, 任意選讀 5 本, 則下列選法各有幾種? (1) 任意選 (2) 每次必含甲本 (3) 每次不准含甲 乙二本 Ex 13 某次數學抽考中, 規定由 12 題中任意選作 10 題, 試問選作方法共有幾種? Try 14 自 7 位男生 5 位女生中選出 5 人組成啦啦隊, 其中恰有 3 位是女生的選法有多少種? Try 13 續例題 13, 若規定前三題必須作答, 試問選作方法有多少種? 15 Ex 平面上有 A B C D E F G 七點, 其中無三點共線, 試問以這些點為頂點, 可做幾個不同的三角形? 14

15 Try 15 平面上有 A B C D E F G 七點, 其中無三點共線, 試問此七點可決定多少條直線? Try 16 有二組平行線, 其中一組 4 條, 另一組 7 條, 如下圖所示, 試問可構成多少個平行四邊形? Ex 16 如下圖所示, 其中水平線 5 條 垂直線 6 條, 則可構成多少個矩形? Ex 17 某次棒球比賽, 規定每支球隊必須和其他所有球隊各比賽一場, 若賽程總計有 78 場, 試問參賽隊伍共有多少支? 17 Try 班上 n 個好朋友, 相約在新年期間, 每二人互通一次電話, 結果共通過 66 次電話, 試求這些好朋友的人數 n 15

16 1-2 練習題 : 1. 求 P P4 C1 C100 之值 3. 用 0 1, 2,3,4,5,6,7,8,9 十個數字排成三位數, 且數字不重複, 試問 : (1) 共有多少種排法? 2. 將甲 乙 丙 等七人, 排成一列, 若 (1) 任意排, 試問排法有幾種? (2) 其中奇數有多少個? (2) 甲一定排首位, 乙不排末位, 試問排法有幾種? 4. 將 banana 中的六個字母全取作直線排列, 若 (1) 任意排列, 試問排法有幾種? (3) 甲 乙不相鄰, 試問排法有幾種? (2) 三個 a 字必相鄰, 試問排法有幾種? 16

17 5. 如下圖, 棋盤形的街道, 南北向有 8 條街, 東西向有 5 條街, 試問由 A 走到 B 的捷徑中 7. 一家七口圍圓桌而坐, 若父母二人不相鄰, 試問共有多少種坐法? (1) 任意的走法, 試問排法有幾種? n 2 8. 若 P C n 2 4, 試求自然數 n 之值 (2) 必經過 P 點的走法, 試問排法有幾種? 9. 若 m N 且 C 10 m 10 C m 6, 試求 C 12 m 之值 6. 自 8 人中任選 6 人排成一個圓圈, 試問排法共有多少種? 17

18 10. 因乾旱水源不足, 自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇 2 天停止供水, 試問自來水公司有多少種選擇方式? (3) 特定二人必入選 13. 平面上有 n 個相異點, 其中任意三點不共線, 今將任二點連成一線, 共得 105 條, 求 n 值 11. 自班上 10 位數學高手中, 任選 4 位參加 龍鳳盃 數學競試, 試問選法有多少種? 12. 有一籃球隊, 其隊員中有 6 個白人,5 個黑人, 每次選 5 人上場 ( 假設 11 位均是全能球員 ), 試求下列組合各有多少種? (1) 任意選 14. 求凸九邊形的對角線共有多少條? (2) 3 個白人 2 個黑人 18

19 1-3 重複排列與重複組合 Try 2 將三封不同的信, 任意投入 5 個郵筒, 共有多少種投法? 1. 重複排列 : 自 n 類物品中, 每類至少有 m 件 ( m 1), 則任選 m 件的重複排列數 為 m n Ex 1 由 1,2,3,4,5 五個數字所構成的三位數有多少個? 但數字可以重複 Ex 3 將 5 件不同的玩具全部分給甲 乙 丙 丁四人, 若 (1) 任意給 ( 每人可能分到多件 也可能 1 件都沒分到 ) (2) 甲至少得 1 件, 試問分法各有多少種? Try 1 由從 0,1, 2,3, 4 五個數字排成三位數, 數字可以重複, 則可排成幾個三位數? Ex 2 從紅旗 藍旗 綠旗三種顏色的旗子中任取一旗, 連取 5 次, 每次取後放回, 作成信號, 問可作出多少種信號? 3 Try 將 4 本不同的書全部分給甲 乙 丙三人, 若 (1) 任意給 ( 每人可能分到多本 也可能 1 本都沒分到 ) (2) 甲至少得 1 本, 試問分法各有多少種? 19

20 Ex 4 不同的渡船 3 艘, 若每艘最多可載 4 人, 試問 : (1) 4 人 (2) 5 人, 同時安全渡過的方法各多少種? 2. 重複組合 : 1 設 m n 為正整數, 則方程式 x1 x2... xn m 的非負整數解的個 n n m 1 數有 H C m m 2 自 n 類不同物品中, 每類至少 m 個, 每次取 m 個為一組, 若各組中每類物品皆可重複選取, 則在 n 類物品中取 m 件的重複組合數為 H C n m < 說明 >: n m 1 m Try 4 不同的渡船 4 艘, 若每艘最多可載 3 人, 試問 : (1) 3 人 (2) 4 人, 同時安全渡過的方法各多少種? 20

21 Ex 5 有 8 本相同的書, 全部分給甲 乙 丙三人, 試問下列分法各有幾種? (1) 每人可兼得 ( 可能得 1,2,,8 本或不得 ) (2) 每人至少得一本 Ex 6 試求方程式的 x y z u 10 的 (1) 非負整數解個數 (2) 正整數解個數 Try 5 將 10 個相同的銅板, 全部分給甲 乙 丙三人, 試問下列分法各有幾種? (1) 每人可兼得 (2) 可人至少得 2 個 Try 6 試求方程式的 x y z u 6 的 (1) 非負整數解個數 (2) 正整數解個數 21

22 Ex 7 將 5 封相同的信, 全部任意投入 3 個郵筒, 試問投法有多少種? Ex 8 將 8 個相同的玩具分裝於 3 個箱子, 每箱至少一個, 試問當 (1) 箱子相同 (2) 箱子不同其裝法各有多少種? Try 7 將 5 種不同的果汁, 倒入 3 個相同的杯子中, 每杯限倒 1 種, 且每種果汁不限倒 1 個杯子, 試問共有多少種不同的倒法? 8 Try 將 9 個相同的球, 全部放進 3 個箱子中, 每箱至少一個, 試問當 (1) 箱子相同 (2) 箱子不同其放法各有多少種? 22

23 3. 組合總數 : Try 9 由 5 個朋友中, 至少邀請一位參加生日宴會, 試問其邀請方法有多少種? 1 相異物的組合總數 : 自 n 件相異物 中, 每次至少取一件的組合總數為 2 n 1 2 不盡相異物的組合總數 : n 件物品 中, 其中 m 1 件相同, m 2 件相同,, m 件相同, 且 m1 m2... mk n, 則 k 自其中至少取一件的組合總數為 Ex 元鈔 1 張 50 元鈔 3 張 10 元鈔 4 張, 現每次至少取一張, 試問取法有多少種? ( 1)( 1)...( 1) 1 m1 m2 m k Ex 9 由 4 件相異物品中, 至少取一件 ( 即可能取一 取二 取三或四件 ), 試問其選法有多少種? 10 Try 100 元鈔 3 張 50 元鈔 4 張 10 元鈔 5 張, 現每次至少取一張, 試問取法有多少種? 23

24 1-3 練習題 : 1. 一個多重選擇題, 有 A B C D E 五個選項, 其中至少有一個選項是對的, 試問其作答方法有多少種? 4. 假設在招呼站有三輛計程車, 每輛至多可搭乘 4 位客人, 現招呼站來了 5 位要搭乘計程車的旅客, 試問共有幾種同的載客方式? 2. 由 0,1, 2,3, 4,5 六個數字中任取三個數, 組成 3 個數字的號碼鎖, 數字可重複, 試問有多少種可能的號碼鎖? 5. 將 6 張相同的優待券全部分給甲 乙 丙 丁四人, 試問下列分法各有幾種? (1) 每人可兼得 3. 將三本不同的書全部分給甲 乙 丙 丁四人, 若 (1) 任意給 ( 每人可能分到多本, 也可能 1 本都沒分到 ), 試問分法有幾種? (2) 每人至少得一張 (2) 甲至少得一本, 試問分法有幾種? 24

25 6. 試求方程式 x y z 10 之 (1) 非負整數解個數 8. 由相異的 6 本書中, 至少取一本來閱讀, 試問其方法有幾種? 9. 設有相同蘋果 2 個, 梨子 3 個, 西瓜 4 個, 現由你任意取, 試問你至少取一個的方有幾種? (2) 正整數解個數 10. 設候選人 3 位, 選舉人 6 位, 若每人限投一票且無廢票, 試問下列開票結果,3 人得票的情形各有多少種? (1) 採記名投票 7. 某班 8 位同學去冷飲店, 那裡有 5 種飲料可供選擇, 每人各要一種飲料, 試問店員拿出飲料的方法數有幾種? (2) 採無記名投票 25

26 1-4 二項式定理 4 Ex 1 請利用二項式定理, 寫出 ( x y) 的展開式 1. 二項式定理 : 對於任意正整數 n, 恆有 ( x y) n = 其中, 稱為一般項 < 說明 >: 5 Try 1 請利用二項式定理, 寫出 ( x y) 的展 開式 Ex 2 5 試求 (2 x y) 依 x 的降冪展開式中的第三項 巴斯卡三角形 : Try 2 6 試求 ( x 3 y) 依 x 的降冪展開式中的 第四項 26

27 Ex 試求 (2 x ) 展開式中的常數項 x Try 試求 C C C C C C 之值 Try 試求 ( x ) 展開式中 x 項的係數 3 x Ex 5 10 試求 (1.01) 展開式中小數點後第三位數字 n n n n n Ex 4 試證 C0 C1 C2... C n 2, n 為正整數 Try 5 10 試求 (0.99) 展開式中小數點後第三 位數字 27

28 1-4 練習題 : 1. 試利用二項式定理, 寫出 ( x 2) 式 4 之展開 1 4. 試求 ( x x 2 ) 12 展開式中的中間項 試問 ( x y) 依 x 的降冪展開式中 (1) 共有多少項? 試求 (2x ) 2 x 10 展開式中的常數項 (2) 第四項為何? 求 C1 C2 C3... C 之值 n 3. 設 n 為自然數, 若 ( x y) 依 x 的降冪展開式中, 第 10 項的係數與第 20 項的係數相等, 則 n 之值為何? 試求 11 展開後的百位數字 28

29 Ⅲ Chapter2 機率 2-1 樣本空間與事件 1. 集合 : 由一些可明確辨認的事物所組成 5. 空集合 : 一個集合如果不含任何一個元 素, 則稱此集合為空集合, 以 表示 的群體 通常以 英文字母表示 所有自然數所成的集合 : 6. 列舉法 : 對於任意一個集合, 將所有元 所有整數所成的集合 : 所有有理數所成的集合 : 所有實數所成的集合 : < 例 > 素列舉在括號 素所成的集合 內, 以代表這些元 2. 元素 : 組成群體的事物, 稱為這個集合 的元素 常以 英文字母表示 3. 屬於 : 如果 a 是集合 A 的一個元素, 則 7. 構式法 : 集合的元素很多時, 可以用符 用符號 表示, 讀作 a 屬 號 表示 於 A ; 若 a 不是集合 A 的一個元素, 則 < 例 > 用符號 表示, 讀作 a 不 屬於 A 4. 子集合 : 集合 A 中的每一個元素都是集合 B 中的元素時, 稱 A 為 B 的一個子集 ( 或子集合 ), 以符號表示, 讀作 A 包含於 B, 或用符號 < 例 > A 1,2, 1,4, 請選出正確選項 : (1) 1 A (2) {1} A (3){1} A (4) {1,4} A (5) A (6) 2 A 表示, 讀作 B 包含 A 29

30 < 例 > B,0, 3,5,1, 請選出正確選項 : (1) {1, 3,5 } B (2) B (3) B (4) 3,5 B (5) 3,5 B (6) 1 B 的元素, 則稱兩集合相等, 即 且, 記作 Ex 2 設 x y 均為整數且 { 2 x, x y } { 1, 6 }, 試求 x y 之值 Ex 1 試寫出集合 S { a, b } 的所有子集 Try 1 試寫出集合 S { x, y, z } 的所有子集 Try 2 設 x y 均為正整數且 { x y, x y } { 7, 3 }, 試求 x y 之值 若集合 A 中有 n 個元素, 則 A 的子 集合有個 8. 集合相等 : 若集合 A B 含有完全相同 9. 集合的運算 : 30

31 1 聯集 : 元素屬於 A 或屬於 B 的集合, 稱為 A 與 B 的聯集, 即 所有集合的固定集合, 稱為宇集 5 補集 : 元素屬於 U 但不屬於 A 的集 合, 稱為 A 的補集, 即 2 交集 : 元素屬於 A 且屬於 B 的集合, 稱為 A 與 B 的交集, 即 6 互斥 :, 即稱為互斥 7 狄摩根定律 ( De Morgan ' s law): 3 差集 : 元素屬於 A 但不屬於 B 的集 ; 合, 稱為 A 與 B 的聯集, 即 4 宇集 : 討論一個問題時, 包含問題中 Ex 設 0, 1, 2, 3, 4 3 A, 31

32 B 1, 3, 5, 7, 試求 : (1) A B (2) A B (3) A B (4) 驗證 n( A B) n( A) n( B) n( A B) 及 n( A B) n( A) n( A B) (2) 2 的倍數但不是 3 的倍數, 各有多少個? 排容原理 : 3 Try 設 1, 2, 3, 4, 5 A, Try 4 自 1 到 300 的正整數中, 試求 : (1) 3 或 5 的倍數 (2) 3 的倍數但不是 5 的倍數, 各有多少個? B 2, 4, 6, 8, 試求 : (1) A B (2) A B (3) A B (4) B A Ex 4 自 1 到 300 的正整數中, 試求 : (1) 2 或 3 的倍數 Ex 設 1, 2, 3, 4, 5 5 A, 32

33 B 2, 4, 6, 8, 9, U 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 試求 : (1) ( A B) (2) A B (1) 樣本空間 S (2) 出現正面的事件 A Try 6 擲一粒骰子一次, 觀察其出現的點數, 試寫出 : (1) 樣本空間 S (2) 出現偶數點的事件 A Try 5 續例題 5, 試求 : (1) ( A B) (2) A B Ex 7 擲一粒骰子二次, 依次觀察其出現的點數, 試寫出 : (1) 樣本空間 S (2) 出現點數和為 4 的事件 A 10. 樣本空間 : 一隨機試驗中, 所有可能 發生的結果所形成的集合稱為此試驗 的樣本空間, 以 表示 11. 樣本點 : 樣本空間中的每一個元素, 即每一個可能發生的結果 12. 事件 : 樣本空間中的每一個子集, 即某些可能出現的結果所成的集合 Ex 6 擲一枚硬幣一次, 觀察其出現正面或反面的結果, 試寫出 : Try 7 擲一枚硬幣二次, 依次觀察其出現正面或反面的結果, 試寫出 : 33

34 (1) 樣本空間 S (2) 出現一正面一反面的事件 A 5 積事件 : 6 互斥事件 : 13. 事件的相關名詞解釋 : 1 基本事件 : 樣本空間 S 中, 只含一個 樣本點的事件, 稱為基本事件 2 全事件 ( 必然事件 ): 事件 S 必然發 7 餘事件 : 生, 稱 S 為全事件 3 空事件 : 是 S 的一個子集, 而 不含任何元素, 所以事件 永遠不會發生, 稱 為空事件 4 和事件 : 8 Ex 擲一枚硬幣 ( 有正 反兩面 ) 三次, 依次觀察其正面或反面的結果, 試寫 34

35 出 : (1) 所有的基本事件 (2) 出現同一面的事件 A (3) 至少出現二正面的事件 B (4) A 與 B 的和事件 (5) A 與 B 的積事件 (6) A 的餘事件 A (1) 點數和為 13 的事件 A (2) 恰有一粒出現 2 點的事件 B (3) 點數和為 9 的事件 C (4) B 與 C 是否為互斥事件 Try 8 甲 乙兩人各出剪刀 石頭 布猜拳, 試寫出 : (1) 兩人不分勝負的事件 A (2) 恰有一人出剪刀的事件 B (3) A 與 B 的和事件 (4) A 與 B 的積事件 (5) A 的餘事件 A Try 9 擲一粒骰子三次, 試問 : (1) 點數和為 2 的事件 A (2) 點數和為 4 的事件 B (3) 三次點數均相同的事件 C (4) B 與 C 是否為互斥事件 Ex 9 擲兩粒顏色不同的骰子, 其中一個為紅色, 另一個為黃色, 試問 : 2-1 練習題 : 35

36 1. 試用列舉法表示下列集合 : (1) x 2 x 2, x Z U 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 試求 : (1) A B 2 (2) x x 2x 15 0, x R (2) A B 2. 試寫出集合 S 1, 2, 3, 4 的所有子集 6. 自 1 到 100 的正整數中, 試求 : (1) 2 或 5 的倍數有多少個? 3. 設 A 1, x, 5, 2, 5, y B, 若 A B, 試求 x y 之值 4. 設 A 1, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4 C 3, 4, 5, 試求 : (1) A ( B C) B, (2) 2 的倍數但不是 5 的倍數, 有多少個? (2) ( A B) C 5. 設 A 1, 3, 5, 7, 3, 4, 5, 6 B, 7. 擲一硬幣 4 次, 依序觀察其正面或反面的結果, 試問 : 36

37 (1) 樣本空間中的元素個數 (1) 列出其樣本空間 S (2) 出現三正一反面的事件 (2) 列出二數和為偶數的事件 A (3) 列出二數積為奇數的事件 B 8. 擲三粒不同的骰子, 觀察其出現的點數, 試問 : (1) 樣本空間中的元素個數 (4) 列出 A 與 B 的和事件 (2) 出現點數和為 19 的事件 (5) 列出 A 與 B 的積事件 (6) 列出 A 的餘事件 A (3) 點數和為 5 的事件 (7) A 與 B 是否為互斥事件 9. 小龍自 1, 2,3, 4, 5 五個數字中任取兩個相異數字, 請 2-2 求機率問題 37

38 1. 拉普拉斯的古典機率 ( Laplace ): 設一隨機試驗的樣本空間 S 中的每一個樣本出現的機會均等, 則每一事件 A 發生的機率為 Ex 1 擲一粒均勻的骰子 ( 即各點出現的機會均等 ), 試求出現偶數點的機率 Ex 3 袋中有相同的紅球 3 個 白球 4 個 ( 即每球被取出的機會均等 ), 試求任取二球, 二球同色的機率 Try 1 擲兩枚相同且均勻的硬幣 ( 即出現正面和反面的機率相等 ), 試求出現兩正面的機率 Try 3 袋中有相同的紅球 5 個 白球 7 個, 自袋中任取二球, 試求二球為一紅一白的機率 Ex 2 擲兩粒均勻的骰子, 試求出現點數和為 7 的機率 Try 2 擲兩粒均勻的骰子, 試求出現點數和為 8 的機率 Ex 4 由四個男生和三個女生所組成之小組中任意選出二人作正 副主席, 試 38

39 求正 副主席為一男一女之機率 ( 設每人被選到的機會均等 ) PA ( ) 5 A S, B S, 則 P( A B) 若 A B 互斥, 即 A B, 則 P( A B) 6 A S, B S P( A B ), 則 Try 4 自 1, 2, 3, 4,5 中任取二數字作成二位數, 且數字不重複, 試求此二位數為奇數之機率 < 說明 >: 2. 機率的性質 : 1 全事件的機率為, 即 2 空事件的機率為, 即 3 A S, 則事件 A 發生的機率範圍為 4 A S, A 為 A 餘事件, 則 5 Ex 擲一粒均勻的骰子 ( 六面刻有點數 1, 2,3, 4,5, 6 ), 試求 : 39

40 (1) 出現奇數點或偶數點的機率 (2) 出現點數為 7 的機率 1 1 PA ( ), P( A B), 試求 : 4 3 (1) PA ( ) (2) PB ( ) Try 5 擲一枚均勻的硬幣, 試求 : (1) 出現正面或反面的機率 (2) 出現二個正面機率 Ex 7 自 甲 乙 丙 丁 戊 己 六人中任選 3 人組成委員會, 設每人被選到的機會均等, 試求含甲或含乙的機率? Ex 6 設 A B 為二事件, A B 分別為其餘事件, 若 PA ( ) 0.6, PB ( ) 0.3, P( A B) 0.2, 試求 : (1) PA ( ) (2) P( A B) Try 7 學校舉辦班際籃球及排球比賽, 已知班上 50 位同學中, 有 10 位同學參加籃球比賽,12 位同學參加排球比賽, 而兩種球類比賽均參加的有 3 位, 現從班上任抽 1 人, 每人被抽中的機會均等, 則被抽中的人中至少參加一種球類比賽的機率是多少? Try 6 4 設 A B 為二事件, 且 P( A B), 5 8 Ex 擲五枚均勻的硬幣, 試求至少出現一正面的機率 40

41 的機率 Try 8 擲兩粒均勻的骰子, 試求其中至少有一粒出現 1 點的機率 Ex 10 擲一枚均勻的硬幣三次, 在至少出現兩次正面的條件下, 試求第一次出現正面的機率 3. 條件機率 : 設 A B 為樣本空間 S 中的二 事件, PA ( ) 0, 則在事件 A 發生的情況下, 事件 B 發生的機率稱為條件機率, 以 P( B A ) 表示, 即 Try 10 擲一枚均勻的硬幣三次, 試求在第一次出現正面的條件下, 三次中至少兩次出現正面的機率 Ex 9 擲兩粒均勻的骰子, 在其點數和為 8 的條件下, 試求其中一粒出現點 2 的機率 Try 9 擲兩粒均勻的骰子, 若已知其中一粒出現 2 點的條件下, 試求點數和為 8 4. 條件機率的乘法公式 : 設 A B 為樣本 空間 S 中的二事件, PA ( ) 0, 由條件機率 41

42 P( A B) 知 P( B A), 可得 PA ( ), 由此, 可以求得事件 A 和 B 同時發生的機率 < 說明 >: A1 A2... An S, 則稱 { A1, A2,..., A n } 為 樣本空間 S 的一個分割 Ex 11 設袋中有大小相同的紅球 4 個 白球 6 個, 自袋中每次取一球, 連續兩次, 取後不放回, 試求依次為紅球 白球的機率 6. 貝式定理 ( Thomas Bayes ): 設 1 2 { A, A,..., A n } 是樣本空間 S 的一個分割, B 為 S 的任 一個事件, 若 PB ( ) 0, PA ( ) 0, i 1,2,..., n, 則 i P( Ak) P( B Ak) P( Ak B) P( A ) P( B A ) P( A ) P( B A )... P( A ) P( B A ) , 其中, k 1,2,..., n < 說明 >: n n Try 11 續例題 11, 試求依次為紅球 紅球的機率 5. 分割 : 設 A1, A2,..., A n 為樣本空間 S 中的非空事件, 若 A1, A2,..., A n 兩兩互斥且 12 Ex 有三個袋子, 甲袋中有 2 紅球 3 白球, 乙袋中有 3 紅球 2 白球, 丙袋中有 2 紅球 4 白球, 今任選一袋, 然後再由袋中任取一球 ( 機會均等 ), 則 42

43 (1) 此球是紅球的機率 (2) 在此球為紅球的條件下, 取自甲袋之機率 事件 < 說明 >: 若 A B 為獨立事件, 則 1 < 說明 >: 亦為獨立事件 Try 12 續例題 12, 試求 : (1) 此球為白球的機率 (2) 在此球為白球的條件下, 取自乙袋之機率 2 < 說明 >: 亦為獨立事件 3 < 說明 >: 亦為獨立事件 7. 獨立事件 : 設 A B 為樣本空間 S 中的二 事件, 當事件 A 的發生不影響到事件 B 發生的機率時, 稱 A 與 B 獨立 即, 否則稱為相關 Ex 13 甲 乙兩位警察射擊一兇犯, 互不影 響, 已知甲的命中率為 中率為 3 4, 乙的命 2 3, 現兩人同時向兇犯各發 43

44 一槍, 試求 : (1) 兩人同時擊中兇犯的機率 (2) 兇犯被擊中的機率 Try 13 續例題 13, 試求恰有一人擊中兇犯的機率 Try 14 1 設 A B 為獨立事件, 且 PA ( ), 3 3 PB ( ), 試求 : 4 (1) P( A B) (2) P( B A ) Ex 14 1 設 A B 為獨立事件, 且 PA ( ), 3 4 P( A B), 試求 : 5 (1) PB ( ) (2) P( B A) 2-2 練習題 : 1. 同時擲四枚均勻的硬幣, 試求 : (1) 恰出現一正面的機率 44

45 (2) 任取三球, 一白球二紅球的機率 (2) 至少出現一正面的機率 2. 同時擲兩粒均勻的骰子, 試求 : (1) 點數和大於 10 的機率 4. 自五男三女中, 任選三人組成委員會, 設每人被選到的機會均等, 試求 : (1) 恰為二男一女的機率 (2) 至少有一女生的機率 (2) 點數和為 13 的機率 3. 袋中有相同的 6 白球, 4 紅球, 試求 : (1) 任取二球, 二球同色的機率 5. 讀者文摘訂閱者中有 40% 閱讀財經資訊,32% 閱讀文藝專欄,11% 閱讀財經資訊與文藝專欄, 試求任選一位訂閱者, 其閱讀財經資訊或文藝專欄的機率為何? 45

46 6. 設 A B 為二事件, 且 P ( A ) 0. 4, P ( B) 0.7, 且 P ( A B) 0. 9, 試求 : (1) P (A) 8. 袋中有大小相同的紅球 2 個, 黑球 3 個, 自袋中逐次取球, 每次取一球, 連續兩次, 則 : (1) 取後不放回, 依序為紅 黑的機率 (2) P( A B) (2) 取後放回, 依序為紅 黑的機率 (3) P ( B A) 7. 自 1 到 9 的自然數中任取兩個, 機會均等且數字不重複, 若其和為偶數, 試求兩者均為偶數的機率 9. 設甲袋中有 3 個紅球 2 個白球, 乙袋中有 1 個紅球 3 個白球, 先依機會均等選一袋, 再依機會均等自所選出的袋中選一球, 試求 : (1) 此球為紅球的機率 46

47 (3) 此題被解出的機率 (2) 此球為紅球的條件下, 取自甲袋的機率 設 A B 為二獨立事件, 且 P ( A), 2 2 P ( A B), 試求 : 3 (1) P (B) 10. 設甲生解題能力為 5, 乙生解題能力為 6 4, 現兩人同解一題, 互不影響, 試求 : 5 (1) 兩人同時解出的機率 (2) P( B A) (2) 恰有一人解出的機率 2-3 數學期望值 1. 期望值 : 設有一試驗, 其樣本空間為 S, 而 { A1, A2,..., A n } 為樣本空間 S 的一個分 47

48 割, 即 A1, A2,..., A n 兩兩互斥且 A1 A2... An S, 若事件 A i 發生的機 率為 p i ( i 1,2,..., k), 且事件 A i 發生可得 Try 2 擲一粒均勻的骰子一次, 若出現偶數點, 可獲同點數的元數, 若出現奇數點, 須賠同點數的元數, 試求擲一次骰子, 所得元數之期望值 報酬 x i ( i 1,2,..., k), 則稱 p1x 1 p2x2... pkxk為此試驗的數學期 望值, 簡稱為期望值, 通常以 E 表示 Ex 1 擲兩枚均勻的硬幣, 若出現兩正面可得 100 元, 則擲一次之期望值是多少? Ex 3 設袋中有大小相同的紅球 3 個, 白球 7 個, 黑球 10 個, 現自袋中任取一球, 若取到紅球可得 50 元, 取到白球可得 10 元, 取到黑球可得 6 元, 試求取一次之期望值 Try 1 擲兩粒均勻的骰子, 若點數和為 2, 則可得 180 元, 試求擲一次的期望值 Try 3 設袋中有大小相同的紅球 2 個 白球 3 個 黑球 5 個, 現自袋中任取一球, 若取到紅球可得 200 元, 取到白球可得 100 元, 取到黑球可得 60 元, 試求取一次之期望值 Ex 2 擲一粒均勻的骰子一次, 試求出現點數之期望值 4 Ex 設袋中有百元鈔 2 張 50 元鈔 3 張, 現在袋中任取 2 張, 每張取到之機率均等, 試求所得錢數之期望值 48

49 期望值為 0, 表示重複玩此遊戲很多次後, 幾 乎是不贏錢也不輸錢, 也可以說這是一個公 平的遊戲, 即所謂的零和遊戲 < 另解 >: Try 4 續例題 4, 若自袋中任取 3 張, 試求所得錢數之期望值 Ex 6 某慈善機構發行每張 100 元的公益彩券 2000 張, 其中特獎 1 張獎金 10 萬元, 頭獎 2 張獎金各 4 萬元, 貳獎 10 張獎金各 1000 元, 試求購買一張之期望值 Ex 5 有一種遊戲是同時擲兩粒均勻的骰子一次, 若兩粒骰子的點數相同, 則可得 10 元, 若兩粒骰子的點數不同, 則賠 2 元, 試求擲一次骰子, 所得錢數的期望值 Try 6 某地發行彩券 5 萬張, 每張 100 元, 其中特獎 1 張獎金 300 萬元, 頭獎 2 張獎金各 50 萬元, 貳獎 50 張獎金各 1 萬元, 試求購買一張彩券之期望值 Try 5 擲一枚均勻硬幣兩次, 若出現二正面, 可得 4 元, 出現一正面, 可得 1 元, 出現二反面, 則輸 6 元, 試求此試驗之期望值 2-3 練習題 : 1. 設袋中有相同的紅球 2 個, 白球 3 個, 現自袋中任取 2 球, 若 2 球同色, 則可得 100 元, 試求取一次的期望值 49

50 2. 同時擲兩粒均勻的骰子一次, 試求點數和之期望值 6. 有一種遊戲是投擲三枚均勻的銅板, 若出現三正面可得 8 元, 出現二正面可得 3 元, 出現一正面可得 1 元, 試求投擲一次之期望值 3. 擲一均勻的硬幣三次, 每出現一個正面得 5 元, 一個反面賠 2 元, 則所得總額之期望值是多少元? 4. 袋中有代幣 10 個, 其中有 4 個是 10 元代幣, 而其餘 6 個同值, 今自袋中任取二個, 若已知期望值為 14 元, 則其餘 6 個代幣之面值應為多少元? 7. 發行公益彩券 10 萬張, 每張 100 元, 獎額規定如下 : 第一特獎 1 張, 可得 100 萬元 ; 頭獎 2 張, 各得 50 萬元 ; 貳獎 10 張, 各得 20 萬元 ; 普獎 1000 張, 各得 1000 元, 試求購買一張之期望值 5. 某公司 20 個產品中有 4 個不良品, 今自其中任取 2 個, 試求含有不良品個數之期望值 Ⅲ Chapter3 統計 3-1 抽樣方法 1. 統計的意義 : 對於不確定性的自然現象 50

51 或社會問題, 利用科學的方法去蒐集資 料, 然後加以整理分析, 並找出通則, 件下, 隨機抽取 n 個元素作為隨機樣 本 最後做出明智的決策 統計的內容包含 三個要素 : 1 統計資料 2 統計方法 3 統 計原理 Ex 1 在全班 50 位同學中, 依簡單隨機抽樣, 抽出 10 位同學作尿液檢查, 試求班上小龍被抽中的機率 2. 資料的調查方法 : 分為普查與抽查兩種 3. 普查 : 對所欲研究的對象, 做全面性的調查 4. 抽樣調查 : 又稱為抽查, 是指從所欲研 究的對象中, 抽出一部分個體加以調 查, 並以調查所得的資料, 作為研究其 Try 1 在全班 40 位同學中, 依簡單隨機抽樣, 抽出 10 位同學當公差, 試求班上小虎被抽中的機率 全體現象的依據 抽查中, 所欲研究的對象全體, 稱為, 被抽出的部分, 稱為 抽出樣本的全部過程, 稱為 5. 抽樣方法 : 1 簡單隨機抽樣 : 設母群體中有 N 個元 素, 在每個元素被抽中的機會均等之條 2 系統抽樣 : 先將母群體全部 N 個元素 依某種方式排列, 分成 m 個區間, 則每 個區間中含有適當的 k 個元素, 再從第 51

52 一個區間中隨機抽取一個元素, 之後每 隔 k 個元素便選取一個元素, 則共有 m 個元素作為樣本 ( 當母群體個數眾多時, 採用系統抽樣會比簡單隨機抽樣簡便, 但如果母群體的元素間有循環性的差異, 就不宜採用系統抽樣 ) Ex 2 華騰 e 週刊希望從 10 萬訂戶中抽取 1000 戶作為樣本, 以便了解市場反應, 若採用系統抽樣方法, 則應如何進行抽樣較佳? 3 分層隨機抽樣 : 將母群體依某種分類 標準分成數個互斥的子群體, 稱為層, 然後以一定比例在各層中分別進行簡 單隨機抽樣 Try 2 華騰運輸公司希望從 張運貨單中, 抽取 100 張作為樣本, 以便了解營運效益, 若採用系統抽樣方法, 則應該如何進行抽樣較佳? ( 在做分層時, 如果能讓同一層內的元素差異 盡量縮小, 而層與層之間的差異盡量放大, 則估計的準確度更能提高, 較不會有高估或 低估的現象, 也就是所得的樣本更具代表性 ) Ex 3 欲以分層隨機抽樣估計台北市百貨商店的年平均營業額, 我們先將所有百貨商店依一定標準分成大型 中型 小型三層, 其中大型有 4 家, 中型有 8 家, 小型有 20 家, 現依各層家數的比例, 共抽取 8 家為樣本, 試問 52

53 大型 中型 小型百貨商店各應抽出多少家? 種抽樣方法? Try 3 華騰國中一年級學生 500 人, 二年級學生 400 人, 三年級學生 300 人, 現以各年級分層, 並以各年級的人數比例隨機抽樣, 共抽取 60 人, 試問各年級各應抽出多少人? Try 4 我們想調查台灣地區對電視節目 超級星光大道 之收視率, 若將台北市視為台灣地區的縮影, 試問這是屬於哪一種抽樣方法? 4 部落抽樣 : 將母群體的元素依某種衡 量標準分成若干個差異甚小的小群 體, 稱之為部落, 可視為母群體的縮 影, 然後隨機抽取一個部落或幾個部 落, 針對這些部落作普查或是抽查 ( 部落抽樣時, 每個部落之間的差異是越小越 好, 即更具有代表性 ) Ex 4 華騰商業銀行希望了解全體員工對於薪資制度的滿意度, 如果該銀行在全省各地共有 101 家分行, 因為各家分行員工的結構相似, 可視為全體銀行的縮影, 因此我們隨機抽取一家分行做普查或抽查, 試問這是屬於哪一 3-1 練習題 : 1. 學期即將結束, 某高中三年 1 班舉辦同學會, 導師提供 5 份紀念品, 給全班 40 位同學摸彩 班長將相同的竹籤, 標上 1 到 40 的號碼, 放入竹筒中攪勻後, 請導師任意抽 53

54 取 5 枝, 所得 5 個號碼對應的同學就是中獎同學, 試問這是屬於哪一種抽樣方法? 第一組應抽出多少人? 2. 續上題, 試問每位同學中獎的機率為多少? 5. 華騰國中編班時, 採常態分班制, 每一班可視為全校的縮影, 今欲了解該校一年級學生之英語學習能力, 舉行一次模擬考後, 從該年級任選一班做普查, 試問此種抽樣方法是屬於哪一種抽樣方法? 3. 本縣警察局為拼治安, 每天晚上十點鐘開始, 在中山高速公路泰山收費站攔檢車輛, 每通過 100 輛小客車攔檢一輛, 直到隔日凌晨兩點為止, 試問此一攔檢是屬於哪一種抽樣方法? 6. 體操委員會由 10 位女性委員與 5 位男性委員所組成, 今委員會要由 6 位委員組團出國考察, 如以性別做分層, 並在各層依比例隨機抽樣, 試問此考察團共有多少種組成方式? 4. 華騰國中三年級學生共 1000 人, 現以上學期數學成績分成三組 : 第一組為 80 分 ( 含 ) 以上者, 第二組為 60 分 ( 含 ) 到 80 分, 其餘為第三組 若打算依各組人數比例分層隨機抽樣 50 位同學, 且已知第一組有 200 人, 第二組有 500 人, 第三組有 300 人, 則 3-2 資料整理與圖表編制 1. 次數分配表的編製 : 將大量資料整理 分類後所得的數字, 以表格方式, 簡明 54

55 而有系統的呈現資料的特性及規律, 此 種表格稱為統計表 又將所有資料依變 量的大小, 分成適當的組別數, 分別計 算出各組資料出現的次數而加以排列 的統計表, 稱為次數分配表 其步驟 為 : 1 求全距 : 全距 = 最大值 - 最小值 2 定組數 : 組數 1 3.3log n, 其中 n 為全部資料的總數 3 定組距 : 組距 全距組數 4 定組限 : 每一組中的最大值與最小 值, 其中, 最大值稱為上 限, 最小值稱為下限 5 歸類並計算各組的次數 Ex 1 根據下列 50 名學生的學期成績, 編制次數分配表 ( 單位 : 分數 ) 1 Try 根據下列 40 名學生的體重資料, 編制次數分配表 ( 單位 : 公斤 )( 分成 6 55

56 組, 組距為 5, 第一組為 50 ~ 55) 再按次數分配表的組限, 在橫軸上劃分 成若干線段, 以各組組距為底, 其對應 次數為高, 畫長方形, 即得直方圖 3. 次數分配曲線圖 : 將直方圖中的長方形 頂邊中點連接所成的折線圖 Ex 2 利用例題 1 所製作的次數分配表, 畫出對應的 (1) 直方圖 (2) 次數分配曲線圖 2. 直方圖 : 以變量為橫軸, 次數為縱軸, Try 2 利用練習 1 的次數分配表, 畫出對應的 (1) 直方圖 (2) 次數分配曲線圖 56

57 (1) 累積次數分配表 (2) 累積次數分配曲線圖 4. 累積次數分配表 : 在次數分配表中, 各組的次數從最小一組到最大一組依序累加後, 將所得數值記入對應的組內, 即得以下累積次數分配表 若將各組的次數從最大一組到最小一組依序累加後, 將所得數值記入對應的組內, 即得以上累積次數分配表 5. 累積次數分配曲線 : 將累積次數分配的情況以曲線圖的形式來呈現 Ex 3 利用例題 1 所製作的次數分配表, 製作對應的 3 Try 利用練習 1 所製作的次數分配表, 製作對應的 57

58 (1) 累積次數分配表 (2) 累積次數分配曲線圖 (1) 以 60 分為準, 不及格的人數有多少? (2) 至少 80 分的人數有多少? Try 4 已知某班英文考試, 以上累積次數分配曲線圖如下, 試問 : (1) 以 60 分為準, 不及格者有多少人? (2) 80 分以上者有多少人? Ex 4 已知某班期末考數學成績的以下累積次數分配曲線圖如下, 試問 : 3-2 練習題 : 58

59 1. 已知 40 個電池的壽命表如下 : (1) 試求全距 (2) 試以 5 為組距, 將資料分成 6 組, 最小組下限為 20, 製作次數分配表 (4) 試作出對應的累積次數分配曲線圖 (3) 試作出對應的直方圖及次數分配曲線圖 (3) 試作出對應的累積次數分配表 2. 某高中一年 1 班 50 位同學第一次段考數學成績的次數分配表如下 : 59

60 分數 ( 分 ) 次數 ( 人 ) 20 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 90 2 (1) 試畫直方圖 (1) 試作出累積次數分配表 (2) 試作出累積次數分配曲線圖 (2) 試作出次數分配曲線圖 4. 某高中二年 1 班 40 位同學數學的段考成績之以下累積次數分配曲線圖如下 : 試問 : (1) 不及格者占全班人數的百分比為何? (2) 90 分以上者占全班人數的百分比為何? 3. 某高中二年 1 班 40 位同學體重的直方圖如下 : 3-3 算術平均數 中位數 60

61 百分等級 1. 算術平均數 ( 未分組資料 ): 設 n 個數值分別為 x1, x2,..., x n, 則其算術平均數為 x, 若 yi axi b, 其算術平均數為 y, 則 y ax b < 說明 >: x Ex 1 試求下列三組數值的算術平均數 : (1) 1, 2, 3, 4, 5 (2) 1001,1002,1003,1004,1005 (3) 1000, 2000,3000,4000,5000 Ex 2 有 n 個數值資料 x 1, x 2,, x n, 其 算術平均數為 20, 試求 3x1 5, 3x2 5,,3xn 5, n 個數值資料的 算術平均數 Try 1 試求下列三組數值的算術平均數 : (1) 1, 3,5, 7,9 (2) 201, 203., 205, 207, 209 (3) 200, 600,1000,1400,1800 Try 2 有 n 個數值資料 x 1, x 2,, x n, 其 算術平均數為 50, 試求 5x1 10, 5x2 10,,5xn 10, n 個數值資料 的算術平均數 一群數值 x i, i 1,2,..., n, 其算術平均數為 2. 加權平均數 : 設 n 個數值分別為 61

62 x1, x2,..., x n, 其權數分別為 W1, W2,..., Wn 已依序分成 k 組, 各組次數為 時, 則其加權平均數為 W f1, f2,..., f n, 其對應的組中點為 x1, x2,..., x n, 此時 f1 f2... fn n, 則其 Ex 3 小龍期末考的五科成績如下 : 科目 國文英文會計數學經濟 成績 ( 分 ) 上課時數 ( 小時 ) 試求其加權平均成績 算術平均數為 x Ex 4 分數 ( 分 ) 人數 ( 人 ) 某高中二年 1 班 50 位學生的數學學期成績次數分配表如下, 試求其算術平均數 40 ~ ~ ~ ~ ~ Try 3 小強參加統一入學測驗, 各科成績分別為數學 80 分 國文 75 分 英文 70 分, 假設數學科加重 25% 國文科加重 50% 英文科加重 25%, 試求其加權平均成績 3. 算術平均數 ( 已分組資料 ): 設 n 個數值 Try 4 某高中三年 1 班 40 位學生英文成績次數分配表如下, 試求其算術平均 62

63 數 分數 ( 分 ) 50 ~ ~ ~ ~ ~100 人數 ( 人 ) (2) 50,76,54,52,83,50,55,52 Try 5 試求下列二組數值的中位數 : (1) 40, 45,50,50,65,950 (2) 50,53,60,67,68,69,72, 76,80 4. 中位數 : 將一群數值由排到 後, 位置居中的一數或最中間兩數的平 均數, 稱為中位數, 通常以 表示 1 當 n 為奇數時, 其中位數為 Me xn 當 n 為偶數時, 其中位數為最中間兩 1 數的平均數, 即 Me ( xn xn ) Ex 5 試求下列二組數值的中位數 : (1) 195, 68, 65, 65, 百分等級 : 以 PR 表示, 用來衡量一個 人所得的分數在團體中所占的地位 若 某一資料的 PR 值為 k, 即表示資料中至 少有 k % 的資料數值小於它 6. 未分組資料的百分等級 : 令 n 表示所登 63

64 錄分數的總次數, x 表示某一個原始分 試成績的 PR 值 數 以 F x 表示分數小於 x 的累積次數, F 則稱 x 100 n 的整數部分為分數 x 的百 分等級, 以 PR 表示 Ex 6 設有 15 位學生的數學成績如下 :53, 61,64,71,72,75,79,80,81, 82,83,85,88,89,91( 分 ), 試求得分為 80 分的此位學生之百分等級 Try 7 全校有 800 個學生參加學測模擬考, 小玲成績排名為第 150 名, 試求小玲模擬考成績的 PR 值 Try 6 設有 10 位學生的學期成績如下 :56, 62,68,69,72,75,77,80,82, 85 ( 分 ), 試求得分為 75 分的此位學生之百分等級 Ex 7 全校有 1000 個學生參加數學競試, 小龍成績排名為第 120 名, 試求小龍競 3-3 練習題 : 64

65 1. 由某班學生隨機抽出 10 位學生, 測得其身高依次為 170,165,160,173,180,175, 176,168,181,162( 公分 ), 試求其平均身高 體重 ( 公斤 ) 人數 ( 人 ) 40 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 小明期末考五科成績如下 : 科目 國文英文數學會計企管 成績 ( 分 ) 上課時數 ( 小時 ) 試求其加權平均成績 4. 試求下列二組數值的中位數 : (1) 21,38,16,19,7,19, 42, 48,51 (2) 17, 20,18,18,6, 21, 25, 本校 50 位學生的體重次數分配表如下, 試求其算術平均數 5. 擲骰子 100 次, 將結果記錄如下表 : 點數次數 65

66 試求 :(1) 算術平均數 (2) 中位數 6. 設有 12 位學生的學期成績如下 :44,50, 66,71,77,79,82,85,89,92,94, 95( 分 ), 試求得分為 77 分這位學生之百分等級 7. 試求全校 600 位學生中, 成績第 360 名的學生之 PR 值 3-4 四分位距與標準差 66

67 1. 離差 : 用來衡量一群數值之間差異情形 (1) 16,17,18,18,18,19, 20 (2) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的量數, 稱為差異量數或離差, 最常用 的有全距 四分位距即標準差 2. 全距 : 一群數值資料中,, 通常以 R 表示 即 ( 可以顯示出整組資料變動的範圍 ) 3. 四分位距 :, 通常以 IQR 表示 即 而四分位數是將一群數值資料由小而大排列後, 分成四等分的分界點 < 說明 >: Try 1 抽樣調查班上 8 位同學的體重如下 : 55,56,58,60,61,63,66 ( 公斤 ) 試求 :(1) 全距 (2) 四分位距 Ex 1 試求下列兩組資料的全距及四分位距 : 4. 離均差 : 設 n 個數值為 x1, x2,..., x n, 以 x 表 67

68 示其算術平均數, 稱 為 xi 分, 試求成績的母體標準差 的離均差 5. 標準差 : 當母體的資料為 x1, x2,..., x n, 其算術平均數為, 則母體標準差為, 當抽取的資料為 x1, x2,..., x n, 其算術平均數為 x, 則樣本標準差為 < 說明 >: Try 2 小玲參加大學學測, 五科的成績級分數分別為 5, 6, 7,9,13, 試求其級分數的母體標準差 離均差的總和為 0, 顯然無法表現資料分散 的程度, 如果考慮各離均差絕對值或平方值的算 1 術平均數, 即 n n i 1 1 x x 或 i n n i 1 ( x x) i 2, 則較 可代表各數與算術平均數的平均差距 習慣上採 用後者, 因此定義離均差平方和的算術平均數為 2 母體變異數, 記為, 而其平方根為母體標準差 在實務上, 統計資料的母群體通常很大, 不 易取得所有資料, 只能獲得樣本資料, 而樣本資 料的標準差, 通常略大於母體標準差, 因此另外 定義樣本變異數為樣本資料的離均差平方和除 2 以 n 1, 記為 S, 而其平方根為為樣本標準差, 記為 S Ex 2 小龍第一次段考六科的成績分別為 68 分 80 分 80 分 80 分 86 分 86 Ex 3 試求下列三組數值的樣本標準差 : (1) 3,5, 1, 2, 6 68

69 (2) 103,105,99,102,106 (3) 6,10, 2, 4,12 若 yi axi b, 其標準差為 y < 說明 >: S, 則 S a S y x Ex 4 已知ㄧ組數值 x 1, x 2,, x n 的標準 Try 3 試求下列三組數值的樣本標準差 : (1) 1, 2, 3, 4,5 (2) 201, 202, 203, 204, 205 (3) 10, 20,30, 40,50 差為 Sx 4, 試求下列二組數值之標 準差 : (1) x 1 10, x 2 10,, x 10 n (2) 3x 1, 3x 2,,3x n 一群數值 x i, i 1,2,..., n, 其標準差為 S x, Try 4 已知ㄧ組數值 x 1, x 2,, x n 的標準 69

70 差為 Sx 5, 試求下列二組數值之標 準差 : (1) x 1 10, x 2 10,, x 10 n (2) 5x 1, 5x 2,,5x n Try 5 試求 5 個樣本資料 24,27,26,26, 25 的樣本標準差 Ex 5 試求 6 個樣本資料 21,22,23,24, 25 的樣本標準差 3-4 練習題 : 1. 有 9 位學生的數學抽考分數分別為 30, 70

71 40,60,50,70,80,60,90,60 ( 分 ), 試求 : (1) 全距 (2) 樣本標準差 (2) 四分位距 4. 已知一組數值 x 1, x 2,, x n 的標準差為 S 3, 試求下列二組數值的標準差為 : x (1) x 1 20, x 2 20,, x 20 n 2. 續第 1 題, 試求其母體標準差 (2) 10x 1, 10x 2,, 10 x n 3. 試求 105,108,112,113,111,105 六個數值的 (1) 算術平均數 5. 試求下列六個數值 2, 4,6,8,10,12 的樣本標準差 71

72 6. 根據統計資料,1 月份台北地區的平均氣溫是攝氏 20 度, 標準差是攝氏 3.5 度 一般外國朋友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱, 已知當攝氏溫度為 x 時, 華氏溫度 為 9 y x 32 ; 若用華氏溫度表示, 則 1 月 5 份台北地區的 (1) 平均氣溫是華氏多少度? (2) 標準差是華氏多少度? 3-5 解讀信賴區間與信心水準 1. 常態分配 ( 高斯分配 ): 當一組資料的分 72

73 配曲線呈現如鐘形一般, 由中間往兩邊 對稱下降時, 我們就稱此資料的分配是 約有多少人? (2) 成績低於 55 分的學生大約有多少人? 近似常態分配 2. 常態分配的特性 : 常態分配都遵循 中, 大約有, 在任何常態分配 Try 1 續例題 1, 估計 (1) 成績介於 55 分到 75 分的學生大約有多少人? (2) 成績高於 70 分的學生大約有多少人? 1 的數值落在距平均數一個 標準差的範圍內 2 的數值落在距平均數兩個 標準差的範圍內 3 的數值落在距平均數三個 標準差的範圍內 Ex 1 某校有學生 1000 位, 數學段考成績呈常態分配, 平均成績 65分, 標準差 5分, 試依 規則, 估計 (1) 成績介於 60 分到 70 分的學生大 Ex 2 國一學生 30 萬人, 智商測驗的結果是 平均數 100, 標準差 15 的常態分配, 若以智商 130 以上做為甄選國一學生為資優生的門檻, 試問 : 73

74 (1) 智商 100 以上的國一學生約有多少人? (2) 通過資優生門檻的國一學生約有多少人? 人, 在 95% 的信心水準之下, 有 68% 的民眾支持維持現狀, 抽樣誤差約為 3% < 討論 >: 將 68% 加減 3% 的抽樣誤差, 可以得到一個區間 [0.65,0.71], 這表示真正的母體比例 p, 即全台灣地區的成年人, 支持維持現狀的比例 p, 可能落在這個區間 [0.65,0.71] 內, 在統計學中, 稱此區間為信賴區間 < 討論 >:95% 信心水準是指在所有的區間中, 有 95% 會包含真正的母體比例 p,5% 不會包含 Try 2 龍鳳國中, 全校 1000 名國一新生的數學入學測驗成績呈常態分配, 其平均數 60 分, 標準差 5分, 若成績 低於 50 分, 則列入追蹤輔導, 試問 : (1) 成績不及格 ( 低於 60 分 ) 的學生約有多少人? (2) 需要追蹤輔導的學生約有多少人? Ex 3 試解讀以下民意調查的結果 : 於民國 98 年 3 月 17 至 18 日, 行政院研考會已電話訪問台灣地區 20 歲以上的成年人, 有效樣本 1083 人, 約有 65% 的民眾知道目前政府正在推動兩岸談判簽署 兩岸經濟合作架構協議, 簡稱 ECFA, 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差約為 3% < 例 >: 於民國 94 年 5 月 19 日至 5 月 20 日, 中華徵信所企業股份有限公司針對 兩岸是否應維持現狀 的議題進行調查, 結果為 成功訪問了 970 位成年 3 Try 試解讀如下民調的結果 : 於民國 97 年 7 月 15 日, 行政院研考會以電話訪問台灣地區 20 歲以上成年民眾, 共完成 877 個有效樣本, 約 74

75 有 56.1% 的民眾贊成 大陸貓熊來台, 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差約為 3.3% (1) 願意參加社團的學生比例是多少? (2) 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為 2%, 求 95% 的信賴區間 Try 4 某廠商委託民調機構在甲地調查其某項產品的 滿意度, 成功訪問到 1100 位當地居民, 其中有 495 位居民表示滿意, 試問 : (1) 當地居民表示滿意的比例是少? (2) 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為 3%, 求 95% 的信賴區間 Ex 4 某縣市教育局欲了解高中生參加課外活動社團的意願, 開學日隨機調查高中學生 2400 名, 其中有 1440 名學生表示願意參加, 試問 : 3-5 練習題 : 1. 小龍在市面上買到一包標示著內重量為 克 (500 與 10 分別表示其算術平均 75

76 數及標準差 ) 的蔬菜餅乾, 如果該產品每包重量的分配是常態分配, 依 規則, 試問小龍買到的一包重量超過 510 克的機率是多少? 功地訪問到 795 位有效樣本, 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為 3%, 而其中有 77% 的民眾對該行政首長的施政表現表示滿意或非常滿意 2. 某校學生共 600 人, 數學段考成績呈常態分配, 其平均成績 70 分, 標準差 10 分, 依 規則, 試估計 (1) 成績低於 60 分的學生大約有多少人? 4. 一項民意調查, 成功的訪問到 400 位成年人, 了解民眾對 自己目前的工作情況 的滿意度, 其中有 320 位成年人表示滿意, 試問 : (1) 民眾對自己目前的工作情況, 表示滿意的比例有多少? (2) 成績高於 90 分的學生大約有多少人? (2) 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為 4%, 求 95% 的信賴區間 3. 試解讀如下民意調查的結果 : 某民意調查中心針對某行政首長就職滿月的滿意度調查報告, 這是一項對台灣地區年滿 20 歲的民眾所作的電話訪問, 成 76