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豁黎
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1 第 1 頁共 7 頁第壹部分 : 選擇題 ( 占 60 分 ) 一單選題 ( 占 30 分 ) 說明 : 第 1 題至第 6 題, 每題 5 個選項, 其中只有一個是最適當的答案, 畫記在答案卡之解答欄各題答對得 5 分 ; 未作答答錯或畫記多於一個選項者, 該題以零分計算 1. 在某個應用數學歸納法進行證明的習題解答中, Z 1 Z Z 等複數 ( > 1), 恰能滿足 1 = 1 k 且 Z k + 1 = i Zk + 1(k 為任何一個正整數, i = 1 ) 等條件請問 : 此時 Z 0的值會是下列哪一個選項? (1) i () 1 + i (3) 0 () 1 (5) 條件不足, 無法判定 Z,. 設方程式 x + log (1 x) log 的實根個數為 k, 則 k 之值為 log3 3 = 3 (1) 0 () 1 (3) () 3 (5) 3 3. 右圖為某函數 p ( x) = x + ax + bx + cx + d 的圖形, 請問 : 下列五個選項中的數值, 何者最小? (1) p ( 1) () p (x) (3) p ( x) () p ( x) (5) p ( x) 的係數總和的實根總和的所有根乘積的虛根乘積

2 第頁共 7 頁 a a. 已知無窮級數 L a a L的和為 10000, 則可反推 a 之值為 L+ (1) 65 () 150 (3) 500 () 5000 (5) 設複數平面上有兩個複數 A 與 B, 其中 A = 3 i, B = cos isi, 已知乘積 AB 落在複數平面上虛數軸 (y 軸 ) 右方的實數軸 (x 軸 ), 則 B 的位置應該是落在複數平面的第幾象限內? (1) 第一象限 () 第二象限 (3) 第三象限 () 第四象限 (5) 條件不足, 無法判定 6. 有一張長方形色紙 ABCD, 其中 AD 的長度為這張紙被人將一角 ( BCD) 在另一邊 AB 上, 如右圖所示設折痕為 DE (E 在原色紙一邊 BC 上 ), 且選項中, 哪一個式子可以用來表示 DE 的長度? (1) si sec () si cos (3) sec csc () sec csc (5) sec csc 折起, 使得頂點 C 落 =, 那麼下列各 CDE

3 第 3 頁共 7 頁二多選題 ( 占 30 分 ) 說明 : 第 7 題至第 1 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 選出正確選項畫記在答案卡之解答欄各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 5 分 ; 答錯 1 個選項者, 得 3 分 ; 答錯個選項者, 得 1 分 ; 所有選項均未作答或答錯多於個選項者, 該題以零分計算 7. 下列各項有關函數 y = f ( x) = si x 3cosx + 5之圖形的敘述, 哪些是正確的? (1) 此函數圖形的週期為 π () 5 f ( x) 5 (3) 此函數圖形與 y 軸交於點 (0,) () 此函數圖形與 x 軸的交點有無限多個 (5) 此函數圖形對稱於 x 軸 3 8. 已知和 i + 1 為三次方程式 x + ax + bx 的兩個根, 其中 a b 為實數如果令 3 f ( x) = x + ax + bx, 試問下列各選項何者正確? (1) a < 0 () b < 0 (3) f ( i 1) () f ( a + b) (5) f ( 1) f () > 0

4 第頁共 7 頁 9. 小丸子在她姊姊的數學課本中看到兩組等差數列, 分別是由 1,,7,10,,1000 所構成的數列以及由 11,1,31,1,,1001 所構成的數列 b 小丸子在把玩一番後發現, 竟然有一些數字可以同時出現在這兩組數列中! 如果將上述兩組數列裡的共同項抽出來做為一組新數列 c c 的各項敘述, 哪些是正確的? 於 (1) (3) c 中的首項為 61 () c 中的末項為 991 c 中共有 3 項 () 數列 (5) 數列 c 的總和為 c 的總和為 a,, 則下列關 10. 設三實數 a b c, 已知二次函數 f ( x) = ax + bx + c的圖形通過點 ( 0, ) 且與 x 軸不相交 ; 又對任意實數 t 而言, f ( t 1) = f ( t + 3) 恆成立, 則下列選項何者正確? (1) a > 0 () a + b < 0 (3) b + c > 0 () b + ac < 0 (5) f ( 1) > f () 11. 設非零整數 a b, 已知對任意非零整數 m 而言,a 除以 m 所得到的餘數與 b 除以 m 的餘數相等時, 記為 a b, 此時 m ( a b), 亦即 a b必為 m 的倍數 ; 另一方面, 形如 a + bi 的複數又可用坐標平面上的一個點 ( a, b) 表示請問 : 下列關於整數 a b 的各項敘述中, 哪些是正確的? (1) 若 a b, 則 a m 的最大公因數等於 b m 的最大公因數 () 當 c 為另一非零整數時, 若 ca cb, 則 a b (3) 若已知某方程式 ax + by +1 在坐標平面上的圖形不通過第三象限, 則複數平面上的兩複數 a + bi 與 b + i 必不在同一象限中 () 如果在複數平面上將滿足 ( a 1) + ( b 1) i = a + bi 的複數 a + bi 全都標示出來, 這樣所形成的圖形恰為兩個點 (5) 若 a b, 則 a b 1

5 第 5 頁共 7 頁 1. 設 ABC, 其中 AB = 3, AC = 5, BC = 6, 而 BAC的角平分線 AD 交 BC 於 D 點若 E 點為 AC 上之動點, 則當 E 點移動到 DE 有最小長度之位置時, 下列各相關數值何者正確? (1) 15 BD = () ABC 的面積為 1 (3) ABC () (5) DE = AD = 的外接圓半徑為第貳部分 : 選填題 ( 占 0 分 ) 說明 :1. 第 A 至 H 題, 將答案畫記在答案卡之解答欄所標示的列號 (13~33). 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 設 S = L, 其中為正整數, 那麼使得 S 之值為整數的共有 13 1 個 B. 有長度為 600 公分的繩子一條, 切取切取不中斷, 則 S 1 S 3 圍成第二個正三角形, 令此三角形面積為 3 1 圍成一個正三角形, 令此三角形面積為 S 1, 再從餘下的中 S, 如此持續做下去如果前述程序永遠進行而 S 等正三角形面積之總和為平方公分 z 1 C. 已知複數的實部為 0, 則 z 為 0 z + 1

6 第 6 頁共 7 頁 D. 已知藥物 A 注入某種生物體 t 小時後, 在該生物體內所量到之 A 殘餘量為 f (t) 公克 ; 又由實驗數據發現, 若令 x = t, y = log f ( t), 則數對 ( x, y) 在坐標平面上的圖形恰好是直線 y = a bx的一部分今將藥物 A 注入前述生物體中, 於稍後第 1 小時及第 3 小時量得之殘餘量分別為公克及 0.08 公克, 那麼根據實驗與測量結果, 可推論當初注入該生物體的藥物 A 應為 1 公克 10 E. 設一次多項式 px + r 為多項式 ( 1) 3 5 x 除以 1 x + 的餘式, 其中 p r 都是實數, 則 p r之值為 F. 設 0 π < 6 <, 若 + log cos + 1+ log si, 則 = 1 = ta G. 設 A B O 為複數平面上三點, 分別表示複數 α β 0 若 α β 同時滿足 3 = 1 則 ABO面積的最大值與最小值總和為 9 30 α 和 β = ( 1+ i) α, 1 k 1 k + 1 H. 設 k = , a = ( 1+ ), = (1 + ) k k b 11 a b, 則之值為 a b

7 第 7 頁共 7 頁可能用到的參考公式及數值 1. 一元二次方程式 ax + bx + c 的公式解 : b ± x = b ac a. 平面上兩點 x, ) P, x, ) 1( 1 y1 P 間距離為 P P = ( x x ) + ( y y ( y 1 1 1) 3. 通過 x, ) 與 x, ) ( 1 y 1 ( y 的直線斜率 m y y 1 =, x x1 x x1. 首項為 a 且公比為 r 的等比數列前項之和 5. 三角函數的和角公式 : si( A + B) = si Acos B + si Bcos A cos( A + B) = cos Acos B si Asi B S a r = ( 1 ), r 1 r 1 6. ABC 的正弦定理 : ABC si A si B si C = = a b c 的餘弦定理 : c = a + b abcosc 7. 棣美弗定理 : 設 z = r(cos + isi ), 則 z = r (cos + isi )

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