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赔卓
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1 00 青少年數學國際城市邀請賽參賽代表遴選初選個人數學競賽試題編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 二小時第一部分 : 填充題, 每小題分, 共 60 分 =. 將分數 1 化為小數後, 則小數點後第 00 位數字為何?. 在一條道路上, 測得,,, 四個城市之間的某些距離資料, 列表如下 : 請問城市和城市之間的距離為. 設 X 為一實數, 定義 X 表示不大於 X 的最大整數, 例如 :. =, =, 則 =.. 右圖中, 已知 F 為一菱形, 且 =10,=1 則 =. F 6. 一長方形的長與寬各增加 0%, 則其面積增加的百分率為 %.

2 7. 平面上兩個全等的正三角形, 若其中一個三角形的頂點恰好落在另一個三角形的重心, 則兩個三角形重疊部分的可能最大面積與可能最小面積之比值為. 8. 已知一正方形與一正三角形的周長相等, 且該正三角形面積為, 則該正方形面積為. 9. 設 p, q 為質數, 若方程式 x px q 0 有正整數解 a, b, 那麼 p q q p a b b a 之值為. 10. 設 x,y 為正整數且 x+y+xy=1, 則 x+y 之值為. 11. 設 ( a b) 6ab 8, 則 ab 的最大值為. 1. 如下圖, 正方形 FG 內接於 ;, 在上,F G 分別在, 上, 已知 F, GF 及 G 的面積分別為,,1, 請問正方形 FG 的邊長為多少?. G F

3 第二部分 : 計算證明, 每題 0 分, 共 60 分 ( 注意 : 在答案卷上請依題號作答, 須詳列過程及說明理由 ) 1. 有一數列, 第一個數是 1, 第二個數是, 從第二個數起的每個數是前一個數的倍加上前前一個數之和故此數為 1,,,1,9, 請問這數列的第 00 個數的個位數為多少?. 下圖中, 為矩形,=,==,F=F=, 請問四邊形 GHFJ 之面積為多少? G H J F 6, 為三個兩兩相異之正整數試證 : a b ab, b c bc, c a ca 三個數中, 至少有一個數能被 0 所整除. 設 a b, c

4 00 青少年數學國際城市邀請賽參賽代表遴選初選隊際競賽試題編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 一小時每大題各 0 分, 共 10 分 1. 利用個每邊長皆為 1 公分的正方形組成對稱圖形如下圖, 請問包含這個圖形的最小圓之半徑為何?. 設為一正三角形, 其每邊長皆為一公分, 如下圖將頂點向邊方向摺疊, 若為其摺痕並使得落在上的某一點, 並使得, 請問四邊形的面積為多少?

5 . 在下列方格表中, 每個格子內放入一個貼有數字的硬幣, 這些硬幣中有些是真的, 有些是假的但不全是假的硬幣上的數字是指出在它所有的相鄰格子 ( 包括斜對角的格子 ) 上真幣的數量真幣上貼的數字都是正確的, 假幣上貼的數字都是錯的請將假幣找出來並將它塗上顏色. 將 79 個單位小正方體木塊黏成一個的大正立方體用此大正立方體切割出一個底圓直徑為 9 單位, 高為 9 單位的圓錐體請問在此圓錐體內有多少塊沒有被切割的完整小正方立體?

6 00 青少年數學國際城市邀請賽參賽代表遴選初選個人數學競賽試題編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 二小時第一部分 : 填充題, 每小題分, 共 60 分 = 將分數 1 化為小數後, 則小數點後第 00 位數字為何? 9. 在一條道路上, 測得,,, 四個城市之間的某些距離資料, 列表如下 : 請問城市和城市之間的距離為. 設 X 為一實數, 定義 X 表示不大於 X 的最大整數, 例如 :. =, =, 則 = 61.. 右圖中, 已知 F 為一菱形, 且 =10,=1 則 = 6. F 6. 一長方形的長與寬各增加 0%, 則其面積增加的百分率為 %.

7 7. 平面上兩個全等的正三角形, 若其中一個三角形的頂點恰好落在另一個三角形的重心, 則兩個三角形重疊部分的可能最大面積與可能最小面積之比值為. 8. 已知一正方形與一正三角形的周長相等, 且該正三角形面積為, 則該正方形面積為 9/. 9. 設 p, q 為質數, 若方程式 x px q 0 有正整數解 a, b, 那麼 p q q p a b b a 之值為設 x,y 為正整數且 x+y+xy=1, 則 x+y 之值為. 11. 設 ( a b) 6ab 8, 則 ab 的最大值為如下圖, 正方形 FG 內接於 ;, 在上,F G 分別在, 上, 已知 F, GF 及 G 的面積分別為,,1, 請問正方形 FG 的邊長為多少?. G F

8 第二部分 : 計算證明, 每題 0 分, 共 60 分 ( 注意 : 在答案卷上請依題號作答, 須詳列過程及說明理由 ) 1. 有一數列, 第一個數是 1, 第二個數是, 從第二個數起的每個數是前一個數的倍加上前一個數之和故此數為 1,,,1,9, 請問這數列的第 00 個數的個位數為多少? ns: 0. 下圖中, 為矩形,=,==,F=F=, 請問四邊形 GHFJ 之面積為多少? G H J F ns:. 6, 為三個兩兩相異之正整數試證 : a b ab, b c bc, c a ca 三個數中, 至少有一個數能被 0 所整除由 0= x x 再証三數都是的倍數也是倍數 ; 另証三數中有一個為的倍數.. 設 a b, c

9 00 青少年數學國際城市邀請賽參賽代表遴選初選隊際競賽試題編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 一小時每大題各 0 分, 共 10 分. 利用個每邊長皆為 1 公分的正方形組成對稱圖形如下圖, 請問包含這個圖形的最小圓之半徑為何? Problem 1: 17/16 6. 設為一正三角形, 其每邊長皆為一公分, 如下圖將頂點向邊方向摺疊, 若為其摺痕並使得落在上的某一點, 並使得, 請問四邊形的面積為多少? Problem: (17 7)/8

10 7. 在下列方格表中, 每個格子內放入一個貼有數字的硬幣, 這些硬幣中有些是真的, 有些是假的但不全是假的硬幣上的數字是指出在它所有的相鄰格子 ( 包括斜對角的格子 ) 上真幣的數量真幣上貼的數字都是正確的, 假幣上貼的數字都是錯的請將假幣找出來並將它塗上顏色

11 8. 將 79 個單位小正方體木塊黏成一個的大正立方體用此大正立方體切割出一個底圓直徑為 9 單位, 高為 9 單位的圓錐體請問在此圓錐體內有多少塊沒有被切割的完整小正方立體? = =9( 正確解答 )

的個位數字的個位數字, m 因此 a00的個位數字 a1 166 1的個位數字 a1的個位數字 0 故這個數列的第 00 個數的個位數字為 0. 下圖中, 為矩形,=,==,F=F=, 請問四邊形 GHFJ 之面積為多少?

12 1. 有一數列, 第一個數是 1, 第二個數是, 從第二個數起的每個數是前一個數的倍加上前前一個數之和故此數為 1,,,1,9, 請問這個數列的第 00 個數的個位數為多少? 解 : 假設此數列的第 n 項為 a n ( n N ), 因為此數列的第一個數是 1, 第二個數是, 且從第二個數起的每個數是前一個數的倍加上前前一個數之和 ; 所以可知 a1 1, a, 且 an an 1 an, n 觀察前幾個數的個位數字 : 1,,,,9,0,9,8,,8,1,0,1,,, ( 開始循環 ) a a k N 0, m 1,,,,1 則可知 1k m 的個位數字的個位數字, m 因此 a00的個位數字 a 的個位數字 a1的個位數字 0 故這個數列的第 00 個數的個位數字為 0. 下圖中, 為矩形,=,==,F=F=, 請問四邊形 GHFJ 之面積為多少? Sol 法 1- 座標化 Sol 法 - 幾何解法 : 考慮 : GHFJ 面積 = F- JF- G = F- JF-( G- H) = h 1 - h1 1 + h 1 故須求出 h1 h 及 h. h1: 由 = G+ G 知 1 = h1 1 + h1 1 ( 利用 GI )=>h1= h: 同理, 由 F= J+ JF 知 1 = h 1 + h 1 ( 利用 HK F)=>h= h: 同理, 由 = H+ H 知 6 1 =6 h 1 + h 1 ( 利用 JL )=>h= GHFJ 面積 = =.. 設 a, b, c 為三個兩兩相異之正整數試證 : a b ab, b c bc, c a ca 三個數中, 至少有一個數能被 0 所整除解 :0 (1) 因為 a b ab ab a b ab a b a b a b ab a b a b ab a b a b

13 奇數奇數奇數偶數偶數偶數奇數偶數偶數奇數奇數偶數偶數偶數偶數偶數偶數偶數則 a b ab 必為偶數同理可得 : b c bc, c a ac 皆為偶數因此, a b ab, b c bc, c a ca 都是的倍數 () 討論此三數是否為的倍數 : 因為 a b ab ab a b ab a b a b 1 當 a b 中有一個數是的倍數, 則 a b ab 必為的倍數當 a b 都不能被整除 ( 即 a b 都不是的倍數 ), 則 a b 必為 k 1或 k 的型式 * 1. 若 a b 同為 k 1的型式, a b k 1 k 1 k k, 則 a b 則 1 1 *. 若 a b 為 k 1及 k 的型式, a b k 1 k k k 1, 則 1 1 或 a b k k 1 k k 1, 則 a b 1 1 *. 若 a b 同為 k 的型式, a b k k k k, 則 a b 則 1 1 因此, a b ab 必為的之倍數同理可得 : b c bc, c a ca 皆為的倍數因此, a b ab, b c bc, c a ca 都是的倍數 () 只須證明此三數中必有一個數為的倍數 : 1 若 a b c 中至少有一個數為的倍數, 則此三數中必有一個數為的倍數若 a b c 均不是的倍數, 則 a b c 的個位數字可能為 1,,6,9 ( 1 1,, 9, 6,6 6,7 9,8 6,9 81) 因此 a b b c c a 的個位數字是從 1,,6,9 四個數中任取三個數兩兩相減而得, 這些數中必有 0 或又因為 a b ab ab a b b c bc bc b c c a ca ca c a,,, 所以 a b ab, b c bc, c a ca 三個數中至少有一個數能被整除由 (1) () () 之討論可知 : 0,, 1, 且 a b ab, b c bc, c a ca 三個數中至少有一個數是 0 的倍數亦即 a b ab, b c bc, c a ca 三個數中至少有一個數能被 0 所整除

14 第六屆高雄市青少年數學城市盃隊際賽參考解答 1. 當點在上, 且 F 圓心, 且即為圓半徑時, 即為此圓之三個正方形組成對稱圖形, 因此圓心必在上, 當圓心在上且不為時, 分為兩種情況 : (1) 圓心 O 在點上方, 則為了容納正方形, 半徑為 OF F, 故圓 O 較圓大 () 圓心 O 在點下方, 則為了容納正方形, 半徑為 O, 故圓 O 較圓大由上述的討論發現, 圓確實為包含三個正方形最小的圓令 x, 又 F 與均為直角三角形, 由畢氏定理則可得到 : (1 x ) r F F 1 F (1 ) 1 (1 16) (1 x) r x F. 首先,, 且令 x, y 則 x, y 且 60 0 又中, 60, 故 90 則令 x 在中, 則令 y 故 x x 1 x ( 1) 且 y y 1 y ( ) x y x y 且之面積為 xy [( 1)( )] ( 7 1 ) 8 故四邊形之面積為之面積之面積則為 ( 17 7) 8. 解法如右圖所示, 由最左下的 1 開始討論起暗紅色部分為假, 黃色部分為真 7 6 1

Microsoft Word - 0.5bh.doc

Microsoft Word - 0.5bh.doc 198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若至三邊求的面積及的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle