基本對稱多項式的選取重組還原公式陳建燁臺北市立第一女子高級中學數學教師壹動機 : 設有 5 個變數 abcde,,,,, 每次從中選取出 3 個變數來作 2 次的基本對稱多項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 3 e( abc,, ) + e( abd,, ) + e

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鲁仇
4 years ago
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1 基本對稱多項式的選取重組還原公式陳建燁臺北市立第一女子高級中學數學教師壹動機 : 設有 5 個變數 bcde,,,,, 每次從中選取出個變數來作次的基本對稱多項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( be,, ) + e( cd,, ) + e( ce,, ) + e( de,, ) + e(,, bcd) + e( bce,, ) + e (, bde,) + e (, cde,), 記作 e( bcde,,,, ) 將以上的操作, 稱作 5 個變數 bcde,,,, 的選變數, 次方重組又例如個變數 bcd,,, 的選變數, 次方重組, 以記號 e( bcd,,, ) 表示 : 個變數 bcd,,,, 每次從中選取出個變數來作次的基本對稱多項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 :, 展開後變成 : e( bcd,,, ) = e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( cd,, ) + e(,, bcd) ( b + c + bc) + ( b + d + bd) + ( c + d + cd) + ( bc + bd + cd) = ( b + c + d + bc + bd + cd) = e ( bcd,,, ) 注意到相加的結果, 是個變數 bcd,,, 的次基本對稱多項式的兩倍不難看出, 個變數 bcd,,, 在選取重組的操作中, 地位是對稱的, 所以展開後的結果, 會是所有變數所構成的基本對稱多項式 e( bcd,,, ) 的某個倍數本文的主要目的, 在找出一般情形之下, 所對應的倍數為何所得之結果, 可用如下之公式表達 : 設 < n, 則有在 e( bcde,,,, ) 中, 用 d 和 e 代表不選 d 和不選 e 此記號也可看成每次在 5 個變數 bcde,,,, 中, 不選某個變數, 來作次的基本對稱多項式, 再將這些基本對稱多項式相加

2 n e(,,,,, +, +,, n) = C e(,,, n) 亦即 :n 個變數,,, n 的選變數, 次方重組, 會是 e(,,, n) 的倍, 特將此式稱為基本對稱多項式的選取重組還原公式 n C 貳本文 : 一記號 :. 基本對稱多項式 (Elementry Symmetric Polynomil) ( 參考資料 []) 定義 : e(,,, n) λ λ λ+ λ+ + λn = 0 λ, λ,, λn n ( λ ), 稱為變數,,, n 的次基本對稱多項式例 : e (,, ) ( λ λ λ ) = + + λ+ λ+ λ= 0 λ, λ, λ 例 : e 0 ( bc,, ) =, e ( bc,, ) = + b+ c, e (, b, c) = b + bc + c, e (, b, c) = bc n 例 : ( x )( x b)( x c) = x e( bcx,, ) + e( bcx,, ) e( bc,, ). e + + n (,,,,,,,, ) i< i< < i e (,,, ) i i i, 稱為變數,,, n 的選變數, 次方重組例 : 變數,,,, 5的選變數, 次方重組為 e(,,,, 5) e (,, ) i< i< i 5 i i i 例 : 變數,,,, 5, 6, 7的選變數, 次方重組為 e(,,,, 5, 6, 7) e (,,, ) i< i< i< i 7 i i i i 基本對稱多項式尚有另一種定義方式 ( 參考資料 []): e(,,, n) i< i< < i i i i 例 : e (,, ) = + + i< i i i

3 二探索與論證 : ( 一 ) 從 e(,,,, 5) 開始 : 變數,,,, 5的選變數, 次方重組 e(,,,, 5) i< i< i 5 e (,, ) i i i = e(,, ) + e(,, ) + e(,, 5) e = ( + + ) + ( + + ) 5 5 先看展開式中, 出現的次數 : + (,, ) + + e (,, 5 ) + ( + + ) + ( ) + 注意到必出現在形如 e(,, i ) 的式子之中, 其中 i =,,5, 因此出現了次可以說, 對於 e(,, i ), 在 5 個變數,,,, 5之中, 必有,, 還要從剩下的,, 5三個變數中再選個, 方法數為 C = 5 而 C 可解釋為 C, 上標 5, 來自於,,,, 5扣除, ; 下標, 是由於 e (,, i ) 的括號中, 個位置扣除前個保留給,, 還有個位置要決定再來, e (,,,, 5 ) 展開後, 是形如 i ( 其中 i< 5) 的項相加, 由對稱性, 可知任一 i ( 其中 i< 5) 的出現次數, 和出現的次數是一樣的, 也是 C 由以上討論可知, 5 e(,,,, 5) 5 = C < i 5 5 ( ) = C e (,,,, ) 而從上述的討論, 已可想像接下來的一般情形 i 5

4 ( 二 ) 一般情形 : 變數,,, n 的選變數, 次方重組 e (,,,,,,,, ) + + n i< i< < i e (,,, ) i i i + (,,, ) = e(,,, ) + en + n + n = ( + ) + 先看展開式中, 出現的次數 : 注意到必在形如 e(,,,, b, b,, b ) 的式子之中出現, 且恰出現一次而 e(,,,, b, b,, b ) 之中的 b, b,, b 這個 n 數, 是從 +,,, +,, n這 n 個數中選出, 其選法有 C 種因此, n e (,,,, b, b,, b ) 的式子, 共有 C 個於是, 一共形如 n 出現了 C 次可以說, e(,,,, b, b,, b ) 的括號中, 共有個位置的變數 : 前個位置的變數保留給,,,, 還有個位置的變數要決定, 先用代號 b b,,, b 表示而在 n 個變數,,, n 之中, 已用去,,,, 所以是從剩下的 +,,, +,, n這 n 個變數, 選出個, 來當作 n b, b,, b, 因此方法數為 C 再來, e(,,,,, +, +,, n) 展開後, 是形如 i i i ( 其中 i < i < < i ) 的項相加由對稱性, 可知任一 ( 其中 i i i i < i < < i ) 的出現次數, 和出現的次數是一樣的, 一樣是 C n

5 故由以上討論可知, e (,,,,,,,, ) + + n n n ( i ) i i C e n i< i< < i = C = (,,, ) 亦即 :n 個變數,,, n 的選變數, 次方重組, 會是 e(,,, n) 的倍, 特將此式稱為基本對稱多項式的選取重組還原公式 n C 再舉一例印證 : 對於變數,,,, 5, 6, 7的選變數, 次方重組 ( 即取 n = 7, =, = ): e(,,,, 5, 6, 7) i< i< i< i 7 e (,,, ) i i i i 可先看在展開之後的出現次數 : 因為必在形如 e(,,, b ) 的式子之中出現且恰出現一次, 而形如 e(,,, b ) 的式子一共有 C 個 ( 從, 5, 6, 7選一個來當 b ), 所以會出現恰好 C 次, 同理, 其他的,, 的出現次數, 一樣也是 C, 所以有 e(,,,, 5, 6, 7) = C ( + + ) = C e (,,,,,, ) = C e (,,,,,, ) 參結語 : 本文從一個簡單的問題出發 : 個變數 bcd,,, 的選變數, 次方重組, 亦即求 e( bcd,,, ) = e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( cd,, ) + e(,, bcd) 原本這只是個多元多項式的代數問題, 但問題本身所帶有的對稱性, 使得此問題轉化為一組合計數問題, 經過試驗歸納與論證之後, 解決了此一問題 : n e(,,,,, +, +,, n) = C e(,,, n) 此式的有趣之處在於, 對稱性地每次取出一些變數來作基本對稱多項式, 全 5

6 部相加之後的結果, 又還原成了全部變數所構成的基本對稱多項式的某個倍數, 因此將之稱為基本對稱多項式的選取重組還原公式基本對稱多項式, 位於代數與組合的交界, 也可以說, 本文呈現了此代數式的一種組合面貌參考資料 :. 陳建燁, 對稱多項式的 e-h 恆等式 ( 上 ), 高中數學學科中心電子報第期, 07 年 7 月. Mcdonld,Symmetric Functions nd Hll Polynomils 6

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