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密邑万俟
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1 第章數據分析 7 - 一維數據分析. 某數學老師計算學期成績的公式如下:五次平時考中取較好的三次之平均值占 0 %,兩次期中考各占 0 %,期末考占 0 %.某生平時考成績分別為 68, 8, 70, 7, 8 ;期中考成績分別為 86, 79,期末考成績為 90,求該生學期成績. 依題意,該生學期成績為 % % % % = = 8 ( 分 ).. 右圖為某班段考數學成績的以下累積次數分配曲線圖,試問: () 不及格 ( 60 分以下 ) 人數有多少人? () 至少 80 分者有多少人? () 由數對 ( 60,8 ) 知, 60 分以下有 8 人. () 由數對 ( 80,7 ) 知, 80 分以下有 7 人,則至少 80 分者有 0 7= ( 人 ).

2 8 第章數據分析. 求下列各組資料的中位數與四分位距. ()0, 0, 0,,, 60, 60. ()0, 0, 0,,, 60, 60, 80. () 7 個數的中位數是最中間的數,故中位數為. 因為 k = 7 =.7 非整數,所以 Q 是第個數,即 Q = 0. 因為 k = 7 =. 非整數,所以 Q 是第 6 個數,即 Q = 60. 得四分位距 IQR = Q Q = 60 0= 0. + ()8 個數的中位數是正中央兩數的平均,故中位數為 = 0. 因為 k = 8 = 是整數,所以 Q 是第個數和第個數的平均,即 0+ 0 Q = =. 因為 k = 8 = 6 是整數,所以 Q 是第 6 個數和第 7 個數的平均,即 Q = = 60. 故四分位距 IQR = Q Q = 60 =.. 某公司年來的成長率分別為 0%, 0%, 0 %, %.求此公司年的平均成長率.平均成長率為 () + = (.) = 0.= 0%

3 第章數據分析 9. 調查某班 0 名學生每週使用電腦時數,統計結果如下: 下列何者可由上列結果推斷為正確? () 四分位距為. 小時 () 7.0 小時中位數 0.0 小時 () 約有 0 名學生每週使用電腦時數大於或等於 0.0 小時 () 約有 0 名學生每週使用電腦時數在 7 到 0 小時之間 () 全班學生每週使用電腦總時數超過 0 小時. () 四分位距 IQR = Q Q = 0 7= ( 小時 ). () Q 中位數 Q. () 大於或等於 Q 者約占全部人數的. () 約有的學生使用電腦時數在 Q 和 Q 之間. () 全班學生每週使用電腦總時數為 8. 0= < 0 ( 小時 ). 答案為 ()()(). 算術平均數標準差第四分位數第四分位數 8. 小時. 小時 7.0 小時 0.0 小時 6. 某生第一次月考六科的平均成績為 80 分.若已知其中五科的成績為 68, 80, 80, 80, 86.求: () 第六科成績. () 該生成績的標準差. () 設第六科成績為 x 分,因為六科的平均成績為 80 分,即所以 x = 86 ( 分 ). () 標準差為 (( ) ) x = 80, = ( 分 ).

4 60 第章數據分析 7. 五個數據,, 6, 8, x.已知其標準差為,求 x. 利用 S = x µ 公式,兩邊平方得 0 + x = ( x ), 整理可得 x =. 8. 某班 0 位同學數學段考成績之次數分配如下: ( 組限均不含各組上限 ) 分數 0~0 0~0 0~60 60~70 70~80 80~90 90~00 人數 7 根據上表,下列哪些敘述為正確? () 組距為 0 分 () 眾數在 70 ~ 80 這一組內 () 中位數在 60 ~ 70 這一組內 () 算術平均數在 70 ~ 80 這一組內. () 組距為各組上下限之差 = 0 ( 分 ). () 分組資料的眾數為出現次數最多的組,故為 70 ~ 80 這一組內. () 分組資料的中位數在第 0 百分位所在,即由小到大第 0 位處, 故在 60 ~ 70 這一組內. () 算術平均數為 ( ) = 6.7, 0 在 60 ~ 70 這一組內. 答案為 ()()().

5 第章數據分析 6 9. 某次段考試題共有 0 格,每格分.今改完考卷得全班平均分,標準差 0 分.若將計分方式改為每格答對可得 6 分,且一律加 0 分,求調整後分數的平均數和標準差. 設原分數為 x,調整後的分數為 y,依題意, y = 6 x+ 0. 因為 y = ax + b時, y = ax+ b, Sy = a Sx, 所以 6 y = + 0 = 6, 6 S y = 0 =. 新平均數為 6,新標準差為. 0. 某次模擬考後, 有第二類組學生 0 人,其平均為 7 分,標準差分,第三類組學生 0 人,其平均為 77 分,標準差分.若將兩組學生的成績合併計算,下列哪些選項是正確的? () 合併後的平均低於 77 分 () 合併後的平均高於 7 分 () 合併後的標準差高於分 () 合併後的標準差低於分合併後的平均為 = 7( 分 ). 0 合併前第二類組的標準差為,即 0 0 x 7 = 合併前第三類組的標準差為,即 0 0 y 77 = 0 0 x y = 070, = 9080, = 0 >. 0 故合併後的標準差為 ( ) 故選項 ()()() 正確.

6 6 第章數據分析 - 二維數據分析. 下列敘述何者正確? () 相關係數 r 的變動範圍在與之間 () 迴歸直線 y = mx+ k中的迴歸係數 m 的變動範圍在與之間 () 當變數 x 與 y 的相關係數愈大,代表 x 與 y 的相關程度愈強 () 由一群數據所求得的迴歸係數 m 與相關係數 r 正負號相同 () 若兩群數據形成線性關係: y = a+ bx,則相關係數 r =. () 錯誤,如相關係數,表完全負相關. () 錯誤, r 可能為, 或 0. 答案為 ()().. 關於散布圖的敘述,下列各選項中哪些是正確的? () 若各數據點全落在一直線上,表示兩組資料呈現完全相關. () 若以 ( X, ) Y 當作原點,各數據點多半集中在第二四象限,表示兩組數據呈現正相關. () 若各數據點散布上下左右均成對稱,表示兩組數據為零相關. () 若各數據點平行 x 軸,表示兩組數據呈現完全正相關. () 散布圖上各數據點的迴歸直線,其斜率恰等於相關係數. () 若為鉛直線或水平線,則為零相關. () 二四象限表示負相關. () 若平行 x 軸,表示兩組數據為零相關. () 在已標準化數據的散布圖上方有此性質.答案為 ().

7 第章數據分析 6. 兩個並列數據 X, Y 如下表,試求相關係數. X Y 9 9 Y = =, X = ( ) =, ( ) ( x X)( y Y) ( ) ( ) ( ) 故 r = 0. = = 0,. A, B, C, D 是四組數據的散布圖,如圖所示.利用最小平方法計算它們的迴歸直線,發現有兩組數據的迴歸直線相同,試問是哪兩組? 98 指乙 () A, B () A, C () A, D () B, C () B, D. 觀察迴歸直線斜率, A 接近 0, B, C 的直線斜率為負, D 為正. 答案為 ().

8 6 第章數據分析. 抽樣 0 對夫婦的年齡,設先生的年齡為 X,太太的年齡為 Y,其算術平 0 均數分別為 x 與 y 且 ( x x)( y y) = 0, ( x x) ( y y) 0 = 00,求夫妻年齡的相關係數. 0 0 = 7, x x y y 0 相關係數 r = = = x x y y ( ) ( ) 6. 有 0 筆數據 (, ) x y,若 y = x +,求 x 與 y 的相關係數. () y = x +,表所有點都在一直線上,相關係數為或. 又該直線斜率小於 0,為負相關,故相關係數為. () 另證明如下: y = x + y x ( ) ( ) = + y y = ( x x) ( ) 0 0 x x y y x x r = = = ( ) ( ) x x y y x x x x

9 第章數據分析 6 7. 下表為抽樣調查所得兩組數據,求 X Y () X 與 Y 的相關係數 ( 四捨五入取至小數第二位 ). ()Y 對 X 的迴歸直線方程式 x = = 0, y = = 0, 計算各值: x x y y ( x x) ( y y) ( x x)( y y) 總和 0 8 x x y y () 相關係數 r = = = x x y y ( ) ( ) x x y y () 因為 b= = =, 0 x x ( ) Y 對 X 的迴歸直線 y y b( x x) 即 y = x 6. =, = 為 y 0 ( x 0)

10 66 第章數據分析 8. 高三某班學生的身高平均 x = 6公分,身高的標準差 S = 0 公分;體重平均 y = 0 公斤,標準差 S = 8 公斤.而身高和體重的相關係數 r = 0.7. () 求體重 y 對身高 x 的迴歸直線方程式. y () 若已知某人的身高為 7 公分,我們可預測:其體重約為多少公斤? () 若將身高單位改為吋,新的身高 ( x ' 吋 ) 與體重 ( y 公斤 ) 的相關係數為多少? () 迴歸直線方程式 y y b( x x) 故迴歸直線為 y ( x 6) () 7 S y 8 =,其中 b= r = 0.7 = 0.76, S 0 =. ( 或 y = 0.76x.0 ). x = 代入 y ( x 6) =,得 y = 0+.76=.76 ( 公斤 ). () 相關係數與單位無關.改變 X 的度量單位時, 相關係數不會改變. 故 r = 0.7. x x 9. 設有一組數據 (, ) S =, 6 x y x y,算出平均數分別為 x =, y =,標準差分別為 S =.若已知 y 對 x 的迴歸直線過 ( ) S y =,其中 b= r. S 迴歸直線 y y b( x x) y = b( x ) 過 ( ) 6 又 = r,得 r =.,6,得 b =. x,6,求 x 與 y 的相關係數.

11 第章數據分析設兩變量 X 與 Y 的相關係數為 0.6,求變量 X +, Y 的相關係數. x x y y 已知 r = = 0.6. ( x x) ( y y) X' = X +, Y' Y X' 與 Y' 的相關係數為 = X' X' = ( X X), Y' Y' ( Y Y) ( ) ( ) ( ) ( ) =. x' x' y' y' 6 x x y y = = 0.6. x' x' y' y' 9 x x y y

12 68 第章數據分析總習作. 某校高三共有 00 位學生,數學科第一次段考第二次段考成績分別以 X, Y 表示,且每位學生的成績用 0 至 00 評分.若這兩次段考數學科成績的相關係數為 0.06,試問下列哪些選項是正確的? () X 與 Y 的相關情形可以用散布圖表示 () 這兩次段考的數學成績適合用直線 X = a+ by 表示 X 與 Y 的相關情形 ( a, b 為常數, b 0 ) () X + 與 Y + 的相關係數仍為 0.06 ()0X 與 0Y 的相關係數仍為 0.06 X X Y Y () 若 X ' =, Y ' =,其中 X, Y 分別為 X, Y 的平均數, S S X S X, S Y 分別為 X, Y 的標準差,則 () 正確. () 錯誤.相關係數太低,所以不適合. () 正確. r( x y ) r( x y) Y +, + =, = () 正確. r( x y) r( x y) () 正確. 答案為 ()()()(). 0,0 =, = X ' 與 Y ' 的相關係數仍為數甲

13 第章數據分析 69. 在某項才藝競賽中,為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大,主辦單位規定:先將位評審給同一位參賽者的成績求得算術平均數,再將與平均數相差超過分的評審成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績.現在有一位參賽者所獲位評審的平均成績為 76 分,其中有三位評審給的成績 9 分分分應剔除,則這個參賽者的比賽成績為幾分? 位評審總分為 76 = 0 ( 分 ), 扣除位相差超過分後總分 = 0 9 = 98 ( 分 ), 98 故成績為 79 = ( 分 ). 96 學測. 一組數據共有 0 個,其總和為 000,平方和為 9000.求此組數據的平均數與標準差平均數 x= x = = 標準差 S ( x) x = 0 = 0 = = 九位學生的數學抽考分數分別為 0, 0, 60, 0, 70, 80, 60, 90, 60.現在從這九個分數中任取出三個.所取出三個分數的中位數等於 60 分的取法有幾種? 將 9 人依分數高低排列: 0, 0, 0, 60, 60, 60, 70, 80, 90. 可能取法有: 60 分取個,低於 60 分個,高於 60 分個: CCC = 60 分取個,其他分數任取個: CC 6 = 60 分取個: C =, 全部情況共 = 6 ( 種 ). 8, 7,

14 70 第章數據分析. 測量一物件的長度 0 次,得其長 ( 公尺 ) 為.,.6,.,.,.,.8,.6,.7,.,.,將上面的數據每一個都乘以 00,再減去 0 得一組新數據為, 6,,,, 8, 6, 7,,,下列選項哪些為真? () 新數據的算術平均數為 () 新數據的標準差小於 () 原數據的算術平均數為. () 原數據的標準差大於 0. () 原數據的中位數為.. () 新數據的算術平均數為 ( ) =. 0 () 新數據的標準差為 (( ) ( ) ( ) ) = <. () 設原數據為 x,新數據為 y,依題意, y = 00x 因為 y = 00x 0,所以 x = = () 因為 Sy = 00Sx,所以 S x = < () 將新資料排序:,,,,,, 6, 6, 7, 8.共 0 個資料,中位數為最中間兩數之平均,故中位數為,對應原數據為..答案為 ()()()().

15 第章數據分析 7 6. 承上題,若捨去原數據中最大與最小的兩數值後重新計算,則下列哪些不變? () 全距 () 眾數 () 算術平均數 () 中位數 () 四分位距. () 捨去最大與最小的兩數,全距變小. () 眾數不變. () 捨去原數據中最大與最小的兩數值後,將每一個都乘以 00 再減去 0,所得新數據依序為,,,,, 6, 6, =. 8 8 算術平均數為 ( 6 6 7) () 為 8 個資料,中位數仍為最中間兩數之平均, 中位數不變. () 原四分位距 =.6.= 0.0, 新四分位距 = =.6.= 0.0. 答案為 ()(). 7. 令 X 代表每個高中生平均每天研讀數學的時間 ( 以小時計 ),則 ( X) W = 7 代表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間,令 Y 代表每個高中生數學學科能力測驗的成績.設 X, Y 之相關係數為 W, Y 之相關係數為為真? () R 7( R ) WY () RWY RXY W R R XY R WY,則 R XY 與 R WY 兩數之間的關係,下列選項何者 = XY () RWY = 7RXY () RWY = 7RXY () RWY = RXY =. = 7( X) w w= 7( x) 7( x) = 7( x x) WY = ( w w)( y y) ( w w) ( y y) 7 x x y y x x y y = = = R 9( x x) ( y y) ( x x) ( y y) 故答案為 (). XY ; 學測

16 7 第章數據分析 8. 下圖中有五組數據,每組各有六個資料點.各組的相關係數分別為 r, r, r, r, r,試比較其大小關係. () () () () () 比較 r 與 r,作 x 與 y 線如圖所示: 所有點對稱分布在四個象限,其 ( x x)( y y) r r 0 = =. 的總和為 0,故圖 ()()() 中,當 x 增加時, y 有增加趨勢,其相關係數均大於 0,將圖 () 中的點 x 坐標與 y 坐標互換,恰為圖 () 中的點,故 r = r,將圖 () 中的點 x 坐標保持不變,而 y 坐標乘以再減去,即為圖 () 中的點,故 r = r. 答案為 r = r < r = r = r.

17 第章數據分析 7 9. 已知 8 位學生的數學成績 ( X ) 與英文成績 ( Y ) 之平均數 x = 6, y = 70, 標準差 S x = 0, S y =,相關係數 r = 0.8.求英文成績對數學成績的迴歸直線方程式. S y =,其中 b= r. S 迴歸直線 y y b( x x) y 0 70= 0.8 ( x 6) y 70= 0.( x 6) 故所求迴歸直線為 y = x+. x

18 7 第章數據分析 0. 下表為四位同學基測數學成績 ( X ) 與高一數學成績 (Y ) 紀錄表. 基測數學成績 ( X ) 9 7 高一數學成績 (Y ) 求 () X 與 Y 的相關係數. ()Y 對 X 的迴歸直線方程式 () x = = 0, y = 7 = 7, 計算各值: 學生 x x y y ( x x) ( y y) ( x x)( y y) 總和 x x y y 6 相關係數 r = = = x x y y ( ) ( ) () y 對 x 的迴歸直線 y y = b( x x), x x y y 6 其中 b= = =,故迴歸直線為 0 x x ( ) y 7= ( x 0),即 y = x+ 9.

lt99ok241一維數據分析

lt99ok241一維數據分析 llt99ok4 一維數據分析主題一代表數據的數 lt99ok4 一維數據分析統計經常以一簡單的數量來代表整個母體的某一特性,以作為衡量的標準常用的代表數有眾數中位數算術平均數與幾何平均數眾數:是指一群數據中出現次數最高的數中位數:將一組數據由小到大排列如下: x x x, () 當為奇數時,令 k,中位數為 x k xk xk () 當為偶數時,令 k,中位數為 3 算術平均數: