指數

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姣茱奚
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1 - 樣本空間與事件 - 機率的性質第三章機率與統計第三章機率與統計機率 : 機率 = 機率的性質 : P(A) + P(A ) = 事件的元素個數樣本空間的元素個數 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) [P(A B) + P(A C) + P(B C)] + P(A B C) 範例甲乙二人玩剪刀石頭布的猜拳遊戲, 試求 : 其樣本空間 U 及 n(u) 不分勝負的事件解 : 令 (a, b) 表 a 是甲出的拳,b 是乙出的拳, 則 U = {( 剪刀, 剪刀 ), ( 剪刀, 石頭 ), ( 剪刀, 布 ), ( 石頭, 剪刀 ), ( 石頭, 石頭 ), ( 石頭, 布 ), ( 布, 剪刀 ), ( 布, 石頭 ), ( 布, 布 )}, n(u) = 9 不分勝負的事件為 {( 剪刀, 剪刀 ), ( 石頭, 石頭 ), ( 布, 布 )} 範例甲乙兩人各擲一均勻骰子, 約定如下 : 乙得 6 點時乙就贏 ; 兩人同點時 ( 非 6 點 ), 甲贏 ; 其餘情形, 則以點數多者為贏則甲贏的機率為 87 自解 : 令樣本空間 U = {(a, b) a 是甲擲出的點數,b 是乙擲出的點數 }, 則 n(u) = 6 6 = 6, 其中, 甲贏的情形有 : (6, ), (6, ), (6, ), (6, ), (6, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

2 高中數學 ( 四 ) 講義 0 共有 = 0 種甲贏的機率為 = 6 9

3 範例第三章機率與統計一副撲克牌張, 拿走 J, Q, K 花色大牌張, 剩下 0 張 ( 點到 0 點 ) 四種花樣各 0 張, 設機會均等, 今從 0 張中任取張, 求下列機率 : 同點數兩張, 另外同點數張, 其機率為 0 C 張點數和為 8 的機率為 0 C 解 : 從 0 張中取出張的方法共有 C 0 C 種, 而從 0 張中取出兩張同點數的方法有 0 種, 再取出另外張同點數的方法有 9, 由乘法原理得共有 C 0 C 9 = 60 種, 故所求的機率為張點數和為 8 的有下列情形 : 60 C 0 C C (,,,, ) 有 C = 種 ;(,,,, ) 有 C C = 6 種 ; 9 (,,,, ) 有 CC = 種 ; 共有 = 9 種, 故所求的機率為 0 C 範例將個數字,,,, 全取排成一列作成一個五位數, 則此五位數能被整除的機率是能被整除的機率是能被整除的機率是能被整除的機率是大於 000 的機率是解 : 能被整除個位數字是偶數, 故能被整除的有! 個,! 所以 = 為所求! 能被整除數字和是的倍數, 因 = 是的倍數, 故所求之機率為! =! 能被整除的有 :,,,,! 故共有! 個, 所以 = 為所求!

4 6 高中數學 ( 四 ) 講義能被整除的有 : :! 個, 所以! = 為所求! 大於 000 的有 : :! = 個, :! = 6 個, + 6 故所求之機率為 =!

5 第三章機率與統計 7 範例有個指定席及知道自己位置番號的個人, 今這個人任意地坐此個指定席, 則 : 個人都坐在自己的位置的機率為個人中恰有人坐在自己位置的機率為個人中恰有人坐在自己位置的機率為個人中恰有人坐在自己位置的機率為個人都不坐在自己位置的機率為解 : 個人分別坐在個坐位的方法有!, 個人分別坐在自己位置有種方法, 故所求的機率為 =! 0 個人中恰有人坐在自己位置的方法有 C 種, 故所求的機率為個人中恰有人坐在自己位置的方法有 C C C C (!! +! 0!) = 0 種, 故所求機率為個人中恰有人坐在自己位置的方法有 C C (!! +!! + 0!) = 種, 故所求機率為! C = 8 C 個人都不坐在自己位置的方法有 C C!! +!! +! C 0! = 種, 故所求機率為 C C =! 0 C C =! 0 =! 6 範例 6 設 A, B 為二事件, 且 P(A) = 0.,P(B) = 0.8,P(A B) = 0., 試求 P(A B) P(A B ) p( A B ) 解 : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 0.9 P(A B ) = P(A) P(A B) = = 0.

6 8 高中數學 ( 四 ) 講義 p( A B ) = P( A B ) = P(A B) = 0.9 = 0.

7 範例 7 第三章機率與統計 9 設 A, B 為互斥事件, 且知 P(A) = 0.,P(B) = 0., 則 P( A B) + P( A B) =? A, B 為互斥事件,P( A B) = 0.,P( A B ) = 0., 則 P(A) =? P(B) =? 解 : 因 A, B 是互斥事件, 所以 P(A B) = 0 P( A B) = P( A B) = P(A B) =, P( A B) = P( A B) = P(A B) = P(A) P(B) + P(A B) = = 0., 故 P( A B) + P( A B) =. 因 A, B 是互斥事件, 所以 A B = φ, 所以 P( A B) = P(B), 故 P(B) = 0., P( A B) = P( A B) = P(A B) = P(A) P(B) + P(A B) = P(A) = 0.7 P(A), 故 P(A) = = 0. 範例 8 某一工廠生產燈泡, 個裝成一盒工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取個來檢查, 如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的, 則整盒淘汰若某一盒有個壞燈泡, 9 70 則這一盒會被淘汰的機率是 (A) (B) (C) (D) (E) 99 8 社解 : 這一盒不被淘汰取出個都是好燈泡取出的是好壞的燈泡, 7 因此不被淘汰的燈泡有 C + C C = 0 種, 0 9 故這一盒會被淘汰的機率為 = = C 7

8 0 高中數學 ( 四 ) 講義範例 9 擲一均勻骰子三次, 設三次中至少出現一次 6 點的事件為 A, 三次中至少出現一次點的事件為 B, 則 A, B 至少有一事件發生的機率為解 :n(a) = n(b) = 6 = 9,! A B 中 (, 6, ) 有! = 個,(,, 6), (6, 6, ) 有 = 6 個,! 所以 n(a B) = + 6 = 0 故所求機率為 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 範例 0 擲一骰子, 若點數出現的機率與點數成比例, 求出現的點數是偶數的機率解 : 因點數出現的機率與點數成比例, 故假設出現點的機率為 p, 則出現點點點點 6 點的機率依次為 p, p, p, p, 6p, 但 p + p + p + p + p + 6p =, 所以 p =, 而出現偶數,, 6 的事件為互斥事件, 6 故出現偶數的機率為 + + = 7

9 精選類題第三章機率與統計投擲一顆均勻的六面骰子 ( 即,,,,, 6 點出現的機會相等 ) 五次, 則恰出現一次點, 二次偶數點的機率為 8 夜社答 : 6 提示 :(, 偶, 偶, 奇, 奇 ) 有!!! = 所求 : 6 設 P 表示丟個公正硬幣時, 恰好出現個正面的機率,P 表示擲個均勻骰子, 恰好出現個偶數點的機率,P 表示丟個公正硬幣時, 恰好出現個正面的機率試問下列選項何者為真? (A) P = P = P (B) P = P > P (C) P = P < P (D) P = P > P (E) P > P > P 89 推甄答 :(B)!!! 提示 :P = =, P = =, P = = 同時擲三粒骰子, 點數和為的機率為答 : 08 7 一次擲兩個公正骰子, 則出現最大點數為之機率為答 : 6 同時擲出三粒均勻骰子一次, 設 A 表出現點數和為點的事件,B 表至少有一粒點之事件,C 表恰有一粒為點之事件, 則 : P(A) =? P(B) =? P(C) =? 答 : 擲三個公正的骰子一次, 試求 : 6 三個點數均相異的機率三個點數的積是的倍數的機率三個點數成等差的機率答 : 9 從一副張的撲克牌中抽出兩張, 已知每張被抽出之機會均等, 求兩張字碼不同的機率? 求兩張字碼不同但花色相同的機率? 答 : 從一副撲克牌張中任取張, 恰成富而毫斯 (Full house)( 即同點數的二張, 另外同點數的三張 ) 之機率為恰成兩對 (Two pairs, 如 AAK) 之機率為答 :

10 高中數學 ( 四 ) 講義提示 : C ) ( C C ) C ( C C C ) ( C C ) C ( C 袋中有七個相同的球, 分別標示號號 7 號若自袋中隨機取出四個球 ( 取出後不再放回 ), 則取出之球上的標號和為奇數的機率為 6 86 社答 : 某班有 0 位同學, 其中男生有 0 位, 女生 0 位某次導師要抽位同學留下打掃環境, 依性別按人數比例作分層抽樣, 則班上的男同學張志明被抽中的機率是 89 社答 : 0 提示 : 因為男生 : 女生 = :, 故抽出的位同學是個男生, 個女生, 而張志明被抽中 9 的情形共有 C C 0 種, 故所求之機率為 C C 9 0 C 9 8 = = C 一盒中有 0 個球, 球上印有號碼到 0; 今由盒中取球, 則球之號碼中第二大數目是 7 的機率為 8 社答 : C C 提示 : C 0 6 已知編號,,, 0 的十盞路燈中, 有三盞是故障的, 則編號與編號都是故障的機率為 8 社答 : C 提示 : C 0 8 從記有至 9 之號碼之 9 張卡片當中任意取出張, 試求 : 二個數目差為偶數的機率為二個數目之積為偶數的機率為答 : 自,,,,, 8, 9 等 9 個數中, 任意取相異三點, 則此三數的和為的倍數的機率為此三數能構成等差數列的機率為此三數能構成等比數列的機率為答 : 09 六封寫好的信, 任意放入六個寫好收信人及地址的信封內, 且一封信僅放入一信封內, 則恰有二封信放對信封之機率為答 :

11 第三章機率與統計四對夫婦共舞, 以抽籤方式決定舞伴, 結果每一夫皆不以其妻為舞伴的機率為答 : 8 甲乙丙丁戊己等六人交換禮物, 每人各提供一件禮物集中放在一起, 然後再抽籤決定每人應得的禮物若每人提供之禮物均不相同, 求恰有一人抽到自己提供之禮物的機率答 : 0 A, B, C, D, E, F 六人的名片各一張混在一起, 再隨意發給此 6 人, 每人一張, 則 : 恰有人得到自己名片之機率為每人皆不得到自己名片之機率為答 : 設事件 A 發生的機率為發生的機率, 則 p 值的範圍為何? (A) p (B) < p (C) < p < 6 6 6, 事件 B 發生的機率為若以 p 表事件 A 或事件 B (D) p 6 提示 :p = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 6 P(A B), (E) p > 6 87 推甄答 :(D) 且 0 P(A B) ( 因 P(A B) P(A) 且 P(A B) P(B)) p 6 設 A, B 為二事件, 且 P(A B) =,P(A ) =,P(A B) =, 則 : P(B) = P(A B) = 答 : 提示 : P(B) = P(A B) + P(A B) P(A) = P(A B) = P(A) P(A B) = = 設 A, B 為互斥事件, 若 P(A) = 0.,P(B) = 0., 則 P( A ) =,P(A B ) = 答 :0.8;0. 投擲一骰子, 若點數出現的機率和該點數成正比, 又設 A = {x x 是偶數 }, B = {x x 是質數,C = {x x 是奇數 }, 則 : P(A B) = 出現是偶數或質數之機率為答 : 提示 : P(A) = =, P(B) = =, 0

12 高中數學 ( 四 ) 講義所以 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 一袋中, 有紅球個, 白球個, 青球個今從袋中任意取出球, 則取出之個球中, 至少有個是青球的機率是取出之個球是同色球的機率是答 : 設 A, B 為二事件, 若 P(A B) = 0.8,P(A B) = 0.,P(A B ) = 0., 試求 P(A) 與 P(B) 答 :0.6;0. 投擲一骰子, 假設點數出現的機率與該點數成比例若 P(n) 表示出現 n 點的機率, A 表出現奇數點的事件,B 表出現質數點的事件, 則 P() = P(A B) = P(A B) = 答 : 7 擲一均勻骰子三次, 設三次中至少出現一次點的事件為 A, 三次中至少出現一次點的事件為 B, 試求 : P(A B) = P(A B) = 答 : 丟一粒均勻骰子次, 設出現之點數依次為 x, y, z, 求滿足 x + y + z 6 的機率求滿足 (x y)(y z) = 0 的機率求滿足 x y z 的機率答 : 袋中有三個白球 ( 編號 ~), 五個紅球 ( 編號 ~), 六個黑球 ( 編號 ~6), 今由袋中取出兩球, 若機會均等, 求下列各情形的機率 : 同色同號不同色不同號答 :

13 - 期望值第三章機率與統計如果做一實驗有 k 種可能結果, 各種結果的報酬分別為 m, m,, m k, 而得到這些報酬的機率分別為 P, P,, P k ( 其中 P + P + + P k = ), 則此實驗的期望值為 m = m P + m P + + m k P k 範例擲一均勻硬幣三次, 若每出現一個正面得元, 一個反面賠元, 則所得總額之期望值為元 8 推甄解 : 擲硬幣次 : 出現情形正正反正反反得款元 8元元 6元機率其期望值為 ( 6) =. ( 元 ) 範例袋子裡有個球, 個球上標元, 個球上標元從袋中任取個球, 即可得到兩個球所標錢數的總和, 則此玩法所得錢數的期望值是元 88 推甄得款元 6元解 : 因 C C 機率 C C 故其期望值為 + 6 = ( 元 )

14 6 高中數學 ( 四 ) 講義範例某市為了籌措經費而發行彩券該市決定每張彩券的售價為 0 元 ; 且每發行一百萬張彩券, 即附有臺百萬元獎張, 拾萬元獎 9 張, 臺萬元獎 90 張, 壹仟元獎 900 張假設某次彩券共發行參百萬張試問當你購買一張彩券時, 你預期會損失元 88 社得款解 : 機率 6 0 元元元元購買一張彩券的期望值為 =.7 ( 元 ) 因為一張彩券的售價為 0 元, 故會損失 0.7 = 6. ( 元 ) 6 範例設一袋中裝有個號球, 個號球,,n 個 n 號球,, 個號球, n 現自袋中任取一球, 設每一個球被取到的機會都相等, 而取得 n 號球可得 (00 n) 元則取到 9 號球的機率為, 而任取一球的期望值為元 80 社解 : 袋中共有 = ( 6) = 個球, 今從袋中取出一球, 因 9 號球有 9 個, 故取到 9 號球的機率為任取一球的期望值為 = (00 k ) k = {00 k k } k = k= k= = 6 6 {00 } = 8 ( 元 ) 6

15 第三章機率與統計 7 範例根據統計, 台灣地區的青年從 8 歲活到 9 歲的機率為 0.996, 今一位 8 歲的青年向某保險公司投保為期一年的壽險, 保險額為萬元, 保險費是 00 元, 求保險公司獲利的期望值解 : 若此人活到 9 歲, 則保險公司賺了 00 元, 其機率為 0.996; 若死了, 則保險公司要虧 9900 元, 其機率為 0.00; 故公司獲利的期望值為 = 60 ( 元 ) 範例 6 數人賭博, 其中一人做莊, 不作莊的先交給莊家元, 得到擲個公正銅板次的權利, 規定 : 擲得正面時, 莊家賠元 ; 擲得反面時, 莊家不賠不作莊的人的期望值是, 故此種玩法 ( 填公平不公平 ) 若要玩法公平, 當得反面時, 莊家應賠元解 : E = + 0 =. < 故不公平設得反面時, 賠 x 元, 則 + x =, 所以 x =, 即得反面時, 莊家應賠元

16 8 高中數學 ( 四 ) 講義精選類題同時擲粒均勻的骰子, 試求其點數和的期望值答 :7 袋中有 7 個球, 其中個是紅球今自袋中任取球, 則取得紅球個數的期望值為答 : 7 C C CC CC 提示 : C C C 將到的各數字分別記在張卡片上, 在 A, B 兩箱各放入一組張卡片, 試求從 A, B 箱各取一張卡片時, 二數和的期望值答 :6 提示 : = 6 擲個硬幣, 出現正面可得元, 正面可得 8 元, 一正面可得元, 為了公平起見, 出現三反面時應賠多少元? 答 :8 元一次投擲三個均勻銅板, 若出現三個正面, 可得 8 元, 二個正面, 可得元, 一正面可得元, 為使此遊戲公平, 當不出現正面, 應付元答 :0 假設一個高二學生再活一年的機率為某高二學生一學年繳平安保險費 60 元, 若在此學年內不幸意外死亡, 由保險公司付給家長 0 萬元, 則此保險公司的期望利潤為元答 :0 依照已往經驗, 在台灣的歲年青人, 活到 6 歲的機率為 0.99, 若某一保險公司出售一年 0000 元的壽險給歲年青人, 只需繳保險費 0 元, 試求該公司可獲得期望利潤若干? 答 : 70 元袋中有號籤支, 號籤支, 號籤支,,n 號籤 n 支, 今任抽一支, 若 n + 抽得 r 號籤可得 r 元, 問由袋中任抽一支之期望值為多少元? 答 : 元 n( n +) 提示 : 袋中共有 n = 支籤, 故其期望值為 n n( n + ) n( n + ) n = = n( n + ) n + ( 元 ) 袋中有 n 號球個,(n ) 號球個,(n ) 號球個,, 號球 (n ) 個, 號球 n 個, 在機會均等的情況下由袋中任取一球, 若取得 k 號球可得 k 元, 求其期 n + 望值答 : 元

17 第三章機率與統計 9 n k + n + 提示 : Σk =... = n 設袋中有號球 70 個, 號球 69 個,,70 號球個今自袋中任取一球, 若取得 r 號球, 可得 (7 r) 元, 則得錢之期望值為元答 :7

18 0 高中數學 ( 四 ) 講義 - 統計資料的來源抽樣調查 : 如何選取一種好的取樣方法是統計上很重要的工作, 常用的抽樣方法有簡單隨機抽樣法系統抽樣法部落抽樣法分層抽樣法等等範例試解釋下列名詞 : 母體 ( 母群體 ) 樣本抽樣解 : 母體 : 研究的所有對象所成的集合稱為母體樣本 : 從母體中抽出的部分分子所成的集合, 就是樣本抽樣 : 從母體中抽出部分分子做調查, 這種方式就稱為抽樣範例簡單隨機抽樣與模擬隨機試驗某班 0 位同學依照座號列出身高如下 : 單位 : 公分隨機號碼表利用隨機號碼表的第 9,0 兩行, 由第一列開始找出五位同學的身高, 並求其平均值為解 : 自第 9,0 行選出的二位數為 7, 0, 7, (7), (7), (9), (7),, 我們選出之五位同學, 其座號及身高如下表 : 其平均值為 = ( 公分 )

19 第三章機率與統計範例系統抽樣某班有 7 位學生, 將每一位學生編一號碼, 由至 7 止, 要抽測五位同學, 按系統抽樣法, 可以利用隨機號碼表將多出的位捨去 ; 也可以由至 7 隨機抽出一個號碼, 若為, 則被抽中的五位學生號碼是解 :7 = + k = 將至 7 號排成一環形如右圖, 從號起, 每隔位選一個號碼, 即, 6, 0,, 為所求範例分層抽樣某年級數學科成績統計如右 : 如右表分三層, 用分層隨機抽樣得到十個成績為, 7, 8, 76, 6, 7, 70, 8, 8, 9, 則該年級平均成績為成績人數 80 以上 0 60~ 解 : 成績人數抽樣成績抽樣成績平均值第一層 80 以上 0 = N 8, 8, 9 86 = y 第二層 60~79 00 = N 76, 6, 7, = y 第三層 60 以下 0 = N, 7, 8 = y N = N + N + N = = y = = 86, y = = 70, y = =, 該年級平均成績為 N y + N y + N y y = = = 69.7 N 00

20 高中數學 ( 四 ) 講義範例部落抽樣本班 0 位學生數學成績如下 : 號碼數學成績號碼依號碼 ~0,~0,~0 分成三組, 以 ~0 的平均成績代表本班的數學成績, 其平均分數為, 又此法為抽樣解 : [ ] = 6 ( 分 ) 0 部落抽樣範例 6 右圖為二年甲班學生體重的相對累積次數分配折線圖, 已知各組中人數最少的一組有人, 求 : 人數最多的一組有多少人? 體重在 0 公斤以上 ( 包含 0 公斤 ) 者占全班人數的百分之多少? 解 : 人數最多的一組是 ~60, 其相對次數為 9% 6% = 0%, 而人數最少的一組是 60~6, 其相對次數為 00% 9% = %, 0% 又人數最少的一組是人, 故人數最多的一組是人 = 人 % 體重在 0 公斤以上的人數占全班的百分比為 00% % = %

21 精選類題第三章機率與統計抽樣調查常用的方法有四 :(A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層隨機抽樣 (D) 部落抽樣, 下列各問題, 分別使用那一種抽樣較適合? 家長會提供 0 分獎品給本校 00 位師生建國新村一萬戶自來瓦斯用戶, 基於經濟原則, 欲調查每月瓦斯平均用量高速公路巡邏警員想估計駕駛員不帶駕照比率調查某連鎖商店每月的平均銷售貨量某眷區的住戶分布在社區內三條巷道的兩邊, 想要了解社區全部住戶七八月分的平均水費一個水果商想估計某大果園內的橘子個數今已知果園分成 00 區, 每區內橘子數的棵數大致相同, 且在同區內每一棵樹長的橘子之個數大略相等, 但各區間則相差很大答 : (A) (D) (B) (C) (D) (C) 我們知道抽樣調查的常用方法有 (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層隨機抽樣 (D) 部落抽樣等四種抽查燈泡的耐用時間抽查市民的所得情形基於經濟原則, 調查小學生患寄生蟲的狀況調查工廠某生產線的品質管制是否良好某公寓住宅社區的住戶分住於三棟公寓, 想要瞭解社區內全部住戶四月份的平均電費答 : (A) (C) (A) (B) (D) 以下抽樣方法何者較為適當? (A) 簡單隨機抽樣用於大量的樣本 (B) 系統抽樣用於週期性母群體 (C) 分層抽樣用於層內個體間的性質差異愈大愈好 (D) 部落抽樣用於和部落間差異愈小愈好答 :(D)

22 高中數學 ( 四 ) 講義下圖所示為某公司應徵人員身高的相對累積次數分配折線圖, 若初選的條件為身高 6 公分 ~80 公分, 則初選合格的百分比為 % 承, 設應徵人員有 0 人, 問身高在 70 公分以上而不滿 7 公分的人數共有人承, 哪一組的人數最多? 答 : ~70 圖圖上圖為某班全體學生體重的相對次數分配折線圖, 則體重不滿 0 公斤者所占之百分比為 % 答 :6

23 - 分析一維數據第三章機率與統計算術平均數 ( X ): 設 n 個數值分為 x, x,, x n, 則其算術平均數為 x = ( x + x + + x n ) n 中位數 (M e ): n 個數值 x, x,, x n, 按其大小順序排列為 x () x () x () x (n) 若 n = k +, 即 n 為奇數, 則第 k + 個數值為中位數, 因此 M e = x (k + ) = x n+ ( ) 若 n = k, 即 n 為偶數, 則中間兩數 x (k) 與 x (k + ) 均位置居中, 因此一般以此兩數值的算術平均數為中位數, 即 M e = (x(k) + x (k + ) ) 幾何平均數 (G.M.): 一組正數資料 x, x,, x n 的幾何平均數 ( 簡寫成 G.M.) 是定義為 G.M. = n x x x n 眾數 (M o ): 一組資料中出現次數最多的數, 稱為眾數例如 :,,, 7, 9, 9, 9, 0, 0 的眾數是 9,,,,,,, 7, 7, 7 的眾數是和 7,, 8,,, 7, 則沒有眾數全距 (R): 全距 R = ( 數值資料中之最大數 ) ( 數值資料中之最小數 ) 四分位距 (IQR.): 將 n 個數值資料由小而大依序排列, 先求中位數 M e, 再依此求第四分位數 Q, 第個分位數 Q, 則四分位距 IQR.. = (Q Q ) 變異數 ( S ) 與標準差 (S): 變異數 :( 又稱樣本變異數 )

24 6 高中數學 ( 四 ) 講義設有一組抽樣資料 x, x,, x n, 則其變異數 ( 或稱樣本變異數 ) 簡寫成 S, 定義為 S = n ( xi x) i= n 標準差 :( 又稱樣本標準差 ) 標準差 ( 或稱樣本標準差 ) 簡寫成 S, 定義成 S = 由未分組資料求標準差 : n ( x i= i x) n 設 n 個抽樣資料為 x, x, x,, x n, 設 x 表 x, x,, x n 之算術平均數 S n = ( x i x) n i= n n n = ( xi xxi + x ) = [ ( xi ) x( xi ) + nx ] n i= n i= i= n n = [ ( xi ) nx + nx ] = [ ( xi ) nx ] n i n i = n 由知 S = ( x i x) n i= 母體變異數 ( σ ) 與母體標準差 (σ ): 離差 : = n = [ ( xi ) nx n i= ] 設有一組資料 x, x,, x n 平均數為 x, 則當第 i 筆資料 x 的離差定義為 x i x 平均絕對離差 : 一組資料 x,, x n 的平均絕對離差 (MAD) 是資料 (x i ) 與平均數 ( x ) 差距絕對值 n xi x 的平均, 即 MAD = i= n 母體變異數 : 設一母體有 N 個資料 x, x,, x n, 則此組資料的母體變異數 ( 寫成 σ ) ( xi μ) x i 是所有資料的平方離差之平均, 即 σ = = i, 其中 μ = N N 體平均數母體標準差 : N n i = 為母設一母體有 N 個資料 x, x,, x n, 則此組資料的母體標準差 ( 寫成 σ)

25 ( xi μ) i= 是母體變異數 σ 的開方, 即 σ = N N 第三章機率與統計 7 線性關係 : 四分位距 (IQR.): 一群資料 x 的 n 個數值 x, x,, x n 的四分位距 (IQR.). = α, 則資料 Y 的 n 個數值 ax + b, ax + b,, ax n + b 的四分位距 (IQR.). = a α 標準差 (S): 設 X 表示一群數值資料,S X 表 X 的標準差,bX + a 表示 X 數值的 b 倍另加 a 的一群資料, 則恆有下列關係 : 若 S X = 0, 則 X 中的各數必全部相等 S (X + a) = S X, 其意義是將一群資料平移後, 其標準差不變 S (bx) = b S X, 其意義是將一群資料增加或減為原來的 b 倍後, 其標準差為原標準差之 b 倍 S (bx + a) = b S X, 其意義是將一群資料增加或減為原來的 b 倍後, 再平移, 其標準差為原標準差之 b 倍範例 9 位選手參加某次高爾夫球比賽成績 ( 桿數 ) 如下 : 桿數人數試求平均成績中位數眾數全距標準差解 : x = ( n = ) = 70 9 n = 7, + = 8, 又 =, 第 7, 8 位的桿數為 70, 70 M e = ( ) = 70 M o = 70

26 8 高中數學 ( 四 ) 講義 R = 7 6 = 0 f ( x x) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8 + ( ) 6 i= i 標準差 S = i f i= = 8 i ( x i 9 x) = 8 9.7

27 第三章機率與統計 9 範例某次競試 00 人參加, 考試結果其成績如下 : 成績 0 ~ 0 0 ~ 0 0 ~ 0 0 ~ ~ 70 人數 ~ ~ 90 求下列各值 : 平均數為中位數為標準差 ( 以四捨五入, 取至小數點後第一位 ) 若以下累積次數分配曲線圖上有一點 (60, a), 求 a = 解 : 組別組中點 x i 次數 f i 以下累積 A = 6 次數 C i x i A d A h i = xi fidi f i d i 0~ ~ ~ ~ ~ ~ 總計 7 X = A + h n k f i d i i= M e n 60 0 = 0 = k S = h fidi n i= ( n ) n S = 0 = 99 0 = 6 + ( 7) = 6.7 = k M e = 6 ( f d ) i= ( 7) = =.. 99 由上表得 a = i i 範例有 n 個數值 x, x, x,, x n 的算術平均數為 0, 中位數為, 眾數為, 全距

28 0 高中數學 ( 四 ) 講義為 0, 四分位距為 6, 標準差為, 求 x +, x +,, x n + 的 : 算術平均數中位數眾數全距四分位距標準差解 : 令 y i = x i +, Y = x + = 0 + = 8 M e ( x + ) = M e (x) + = + = + = M o ( x + ) = M o (x) + = + = 6 + = R ( x + ) = R(x) = 0 = 0 Q.D. ( x + ) = Q.D.(x) = 6 = 8 S ( x + ) = S(x) = = 9 精選類題有一組資料的次數分配表如下, 則 : 資料值次數 6 算術平均數為標準差為四分位距為答 : 7. 高三某班的第二次段考國文成績次數分配表如下, 試求下列各值 : 分數 0 ~ 0 0 ~ ~ ~ ~ ~ 00 人數算術平均數 x = 標準差 S = 答 : 76.. 測量一物件的長度 9 次, 得其長 ( 公尺 ) 為.,.6,.,.,.,.8,.6,.7,., 將上面的數據每一個都乘以 00, 再減去 0 得一組新數據為, 6,,,, 8, 6, 7,, 問下列選項何者為真? (A) 新數據的算術平均數為 (B) 新數據的標準差為 (C) 原數據的算術平均數為. (D) 原數據的標準差為 0. (E) 原數據的中位數為. 88 甄試答 :(A)(C)(E) 有兩變量 X:x, x,, x n,y:y, y,, y n, 已知 Y = X + 7, 則

29 第三章機率與統計 (A) 算術平均數 X = 時,Y = (B) 標準差 S X = 時,S Y = 9 (C) X 之中位數為時,Y 之中位數為 (D) X 之全距為時,Y 之全距為 7 (E) X 之四分位距為 0 時,Y 的四分位距為 0 (F) X 之眾數為 6 時,Y 的眾數為 7 答 :(A)(C)(E)(F) 測量一物件的長度 9 次, 得其長 ( 公尺 ) 且 9 次母體的資料為.,.,.8,.,.,.6,.,.7,.6, 將上面的數據每一個都乘以 00, 並減去 0 得一組新數據, 則 : (A) 新數據算術平均數為 (B) 原數據的 x =. (C) 新數據 S Y = (D) 原數據 S X = 0.0 (E) 原數據的中位數為.6 答 :(A)(C)(D) 有 0 人在某次考試平均分數為 67, 標準差為, 若 0 個人中的 8 個人得分是 6, 6, 6, 6, 67, 68, 7, 7, 另二人得分是 a, b, 若 a < b, 則序組 (a, b) = 設有,,,,, 6, 8, 0 等 8 個數值, 則其 : 四分位距標準差 ( 答案以根號表之 ) 答 : 答 :(66, 7) 87 6 某班數學老師算出學生學期成績後, 鑑於學生平時都很用功, 決定每人各加分 ( 加分後沒人超出滿分 ), 則加分前與加分後, 學生成績統計數值絕對不會改變的有 (A) 算術平均數 (B) 中位數 (C) 標準差 (D) 變異係數 (E) 全距 88 自答 :(C)(D) 已知兩種變量 X 與 Y 的關係式為 Y = X + 0, 又變量 X 的算術平均數為 6, 標準差為., 試求變量 Y 的算術平均數 Y 標準差 S Y 答 : 7.6 林君欲計算一組已知為 0 個數值資料的算術平均數 x 及標準差 S, 因一時大意, 將其中一數 60 多算一次, 當時未察覺, 仍視為 0 個數值計算之, 得 x = 6, S =, 事後發覺錯誤必須更正, 但原始資料已經廢棄, 試推算其正確結果應為 8 x =,S = ( 用根號表之 ) 答 :60; 9 0 x i i= 提示 :x + x + + x = 0 6 = 800, ( x + x x ) (0 6) = 9 0 x i = 8 0 0( x x) 設變量 x 的算術平均數為 x, 標準差為 S; 令 y = + 0, 試求變量 y 的算術平 S i=

30 高中數學 ( 四 ) 講義均數 y 與標準差 S y 答 : y = 0 ; S y = 0

31 -6 信賴區間與信心水準的解讀第三章機率與統計常態分布常態分布曲線都是有單一高峰左右對稱, 樣子如鐘型的平滑曲線, 因此又叫做鐘型曲線常態分布的平均數中位數與眾數全相等規則 : 在任何常態分布曲線當中, 大約有 68% 的數值落在距平均數個標準差範圍內有 9% 的數值落在距平均數個標準差範圍內大約有 99.7% 的數值落在距平均數個標準差範圍內信賴區間與信心水準信賴區間為估計值 ± 誤差界限, 也就是區間 9% 的信心水準 : [ 估計值 - 誤差界限, 估計值 + 誤差界限 ] 設某項調查中, 母體真正的比例為 p,9% 信心水準的意義是 : 如果我們抽樣多次, 每次都得到一個信賴區間, 那麼這麼多個區間中, 約有 9% 的區間會涵蓋真正的 p 值 9% 信賴區間 : 在一個大母體中, 其成員擁有某項特質的比例為 p 若從母體中每次隨機抽取 n 個樣本 (n 必須夠大 ), 令 ˆp 代表樣本中擁有此項特質的比例, 則區間 pˆ( -pˆ) pˆ( -pˆ) pˆ-, pˆ+ n n 稱做 p 的一個 9% 的信賴區間, 或在 9% 的信心水準下的信賴區間

32 高中數學 ( 四 ) 講義精選類題某國中對全校 000 名國一新生做智力 ( IQ) 測驗,測驗結果 IQ 分數呈現常態分布,其平均數 μ =,標準差 σ =. IQ 分數不到 00 分的約有幾人? IQ 分數超過而不到的約有幾人? 甲班 0 名學生中沒有人的分數超過,但乙班卻有,你覺得這樣的分班公平嗎? 答 : 60, 7, 不公平 ( 建議送分 ) 人類從受孕到分娩的懷孕期長短不一,大致呈現平均數 66 天,標準差 6 天的常態分布. 約有多少比例的人會在 66 天以內分娩? 根據常態分布規則,求中間 9% 的人其懷孕天數範圍. 答 : 6%, [, 98] 已知某地區 0000 位國小一年級學生的身高中位數為 6 公分, 身高 0 公分以上的有 0 位, 而且身高是常態分配, 請問 : 此地區一年級學生身高標準差是多少答 :8cm 某銀行於農曆春節發行即時樂彩券,並宣稱中獎率為 6%( 發行 00 萬張,計有 6 萬個獎項 ).若想推論這個數據是否屬實,在 9% 的信心水準及抽樣誤差正負個百分點的條件下,應隨機採樣多少張樣本? 答 :76 張為了驗證一枚古硬幣是否為勻稱的硬幣,某人做了多次的投擲試驗,並發表推論如下 : 我們有 9% 的信心認為此硬幣出現正面的機率是 6% 到 % 之間.試求此實驗中,共投擲了幾次硬幣? 其中出現幾次正面? 利用隨機號碼表,模擬丟一個勻稱硬幣次, 算出樣本中出現正面的比例. 求出 9% 的信賴區間,並檢查是否包含母體比例 0.? 答 :600 次 ;0 次

33 答 : 6% 信賴區間 [ 0.68, 0.] 包含 0.6 答 : 是第三章機率與統計

34 6 高中數學 ( 四 ) 講義由生產線隨機抽樣 00 個產品, 得樣本不良率為 8%, 試求 : 不良品 p 的 68% 信賴區間答 :[ 0.6, 0.8] 不良品 p 的 9% 信賴區間答 :[ 0., 0.08] 不良品 p 的 99.7% 信賴區間答 :[ 0.88, 0.] 某次選舉有甲乙兩位候選人, 民意調查有效樣本數 n = 00, 其中支持甲有 6 人, 支持乙有 6 人, 求 : 9% 信賴區間支持甲比率 p 的 9% 信賴區間 () 支持乙比率 p 的答 : [0.6, 0.6], [ 0., 0.76] 若抽樣樣本數 n = 00 時, 母體比率 p 的 9% 信賴區間之最大誤差 e = 0.0, 假設抽樣樣本數 n = 00 時, 樣本比率不變, 則 p 的 9% 信賴區間之最大誤差 e 是多少若比率 p 的 9% 信賴區間為 [ 0.,0.6], 求 p 的 99.7% 信賴區間答 :0.0 答 :[ 0.6, 0.6]

35 第三章機率與統計 7 作業欄

１直線方程式

１直線方程式第 4 章機率與統計 6 4 機率與統計 4- 樣本空間與事件. 集合與元素 : () 一群事物的群體稱為集合, 通常以大寫字母 A B C 表示集合 () 集合內的事物稱為元素, 通常以小寫字母 a b c 表示元素. 集合的表示法 : () 列舉法 : 把集合的元素全部寫在大括號 { } 內, 表示一個集合 {, } = {,} = {,, } = {,, } 均為與所組成的集合 ()