Microsoft Word - 1-3正餘弦定理_修改_.doc

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业甫成
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1 1 3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形的面積三角形的面積公式 : 國中面積 = 1 底高, 以底與高的長度表示面積但是當邊上的高不容易求出來的時候 ( 如有障礙物 ), 我們可以利用正弦或餘弦關係式間接求出高, 於是的面積 = 1 sin c H c H c H c 是銳角是直角是鈍角事實上圖中, 是銳角, 當是直角或是鈍角時, 邊上的高仍然是 sin 面積 = 1 sin 同理由對稱性得的面積公式 = 1 sin= 1 c sin= 1 c sin ( 練習 1) 已知正每邊的長是, 求其面積 ns: 3 4 結論 : 面積記憶法利用三角函數定義, 由 = 1 底高, 導出兩邊夾角求面積, 即 = 1 sin= 1 c sin= 1 c sin ( 兩邊夾一角 ) ~1 3 1~

2 [ 例題 1] 設 Δ 為直角三角形,EF 是以為一邊向外作出的正方形, G 是以為一邊向外作出的正方形, 若 =5 =4 =3, 試求 ()cos( E) ()ΔE 的面積 ns:() 3 5 ()6 F E G [ 例題 ] 四邊形, 設 θ 為對角線與的一個交角, 1 求證 : 此四邊形的面積為..sinθ ( 練習 ) 四邊形兩對角線為 1 與 5, 若兩對角線的夾角為 θ 1,θ, 且 θ 1 =θ 則其面積為 ns: ( 練習 3) 已知一三角形的二邊 =5, =8,cos= 5, 則 Δ 的面積為 ns:1 ( 乙 ) 正弦定理國中幾何曾經學過大邊對大角這個性質, 但這個性質只說角大則邊大, 邊大則角大, 這種說法似乎只是一種對於邊角關係的定性描述, 那麼邊角之間有沒有定量的描述呢? 我們用以下的定理來回答這個問題 : 正弦定理 : 在 Δ 中, 以,,c 表示,, 之對邊長度, 則 sin = sin = c sin =R, 其中 R 為 Δ 外接圓的半徑 ( 邊與對角正弦值成正比, 比值為外接圓直徑 ) ~1 3 ~

3 證明 : 由前面三角形的面積公式 :S Δ = 1 sin= 1 c sin= 1 c sin 等號兩邊同除以 c, 可得 sin c = sin = sin sin = sin = c sin 但是 sin = sin = c sin =? 我們由以下的證明來說明 : 將 Δ 分成直角銳角鈍角三種情形來討論, 如下圖所示 : O O O (1) 當 =90 () 當 <90 (3) 當 >90 (1) =90 sin90 = = = 外接圓直徑 =R sin = sin = c sin =R () 為銳角 : 過做圓 O 的直徑, 因為與對同弧 ( ), 因此 = 考慮直角三角形, 由銳角三角形的定義可知 =sin=sin sin = = 外接圓直徑 =R sin = sin = c sin =R (3) 為鈍角 : 過做圓 O 的直徑, 因為 + =180, 所以 sin =sin(180 )=sin 考慮直角三角形, 由銳角三角形的定義可知 =sin=sin sin = = 外接圓直徑 =R sin = sin = c sin =R ( 練習 4) 如圖, 試證明 : sin = R( 其中 R 為 Δ 的外接圓 ) ~1 3 3~

4 結論 : 正弦定理與邊角變換 : () 比例型 :::c=sin:sin:sin () 邊化角 :=R.sin,=R.sin,c=R.sin (c) 角化邊 :sin= R,sin= R,sin= c R [ 例題 3] Δ 中,,,c 分別代表,, 之對邊長度 : (1) 若 (+c):(c+):(+)=5:6:7, 試求 sin:sin:sin () 若 =55, =65,=10 公分, 試求外接圓半徑 ns:(1)4:3: () 公分 [ 例題 4] 設圓內接四邊形中 =30, =45, =, 則 = ns: [ 例題 5] 如右圖, 大小兩圓相交於, 兩點, 過點有一直線交大圓於點, 交小圓於點若 =30, =45, 求大圓與小圓的面積比 ns::1 ~1 3 4~

5 c ( 練習 5) 利用三角形的面積公式與正弦定理, 證明 :Δ 的面積為 4R (R 為外接圓半徑 ) ( 練習 6) 在下列各條件下, 求的外接圓半徑 R 3 (1) =70, =80,=3 ()=,cos= ns:(1)r=3()r= ( 練習 7) 中, =60, =75, = 3+1, 求 (1) 之長 () 之長 ns:(1) = 6() = (sin75 = ) ( 練習 8) 以,,c 分別表示之三邊,, 的長, 試在下列各條件下, 求 sin:sin:sin ( 已知 sin75 = 6+ 4 ) (1) =30, =45 () : : =3:4:5 (3) + c=0 且 3+ c=0 (4)(+):(+c):(c+)=5:6:7 ns: (1): : 6+ () : 3: 6+ (3)3:5:7 (4)3::4 ( 丙 ) 餘弦定理直角三角形中的寶藏是畢氏定理即在直角中, 若夾角 =90 則知兩鄰邊,, 可由畢氏定理 c = + 求出對邊 c; 對於一般的三角形, 如果夾角給定, 但不一定是直角, 如何求第三邊的長呢? E 觀察右上圖,Δ 為直角三角形, 且 ==E=,=c,=, 根據商高定理可得 = + c, 即 + c =0 在鈍角 Δ 與銳角 ΔE 中我們考慮 + c 與 + c E 的值, 從圖形中可猜出 + c <0 而 + c E >0, 但進一步我們不禁會問這兩個值會不會與邊或角的三角函數有關呢? ~1 3 5~

6 例子 : 設 Δ 中, =30, =6, =7, 請求出 =? [ 解法 ]: 作高, =6 cos30, =6 sin30 =7 6 cos30 在 Δ 中, =90 = + =(6 sin30 ) +(7 6 cos30 ) 30 =6 (sin 30 ) cos30 +6 (cos 30 ) =6 (sin 30 + cos 30 ) cos30 = cos30 上例的解法, 對於為鈍角或直角時都會成立, 我們將其寫成底下的定理餘弦定理 : 在 Δ 中, 若,,c 為,, 之對邊長, 則 = +c c cos = +c c cos c = + cos 證明 : 在 Δ 中, 依為銳角直角鈍角三種情形來說明 : 設點對邊或其延長線的垂足點為 (1) 為銳角 () 為直角 (3) 為鈍角 = Qcos>0 Qcos=0 Qcos<0 = =c cos = =c co = + =c+ cos =c cos 由以上的討論可知 : 不論為銳角直角鈍角均可得 =c cos 又因為 = = + =(c cos) +( sin) =c c cos+ cos + sin =c + c cos 故 = +c c cos, 同理可證 = +c c cos,c = + cos ~1 3 6~

7 [ 畢氏定理的圖解 ] 歐幾里得證明了矩形 GH 面積 =S 1, 矩形 GF 面積 =S, 因此可得 S 3 =S 1 +S 據此可證明 = + E S S 1 c S 3 F [ 圖解餘弦定理 ] G H 餘弦定理的面積證法 ( 如上右圖 ): c = + =( + )+( + ) = + cos 結論 : () 由餘弦定理, 可知 cos= +c c,cos= c + c,cos= + c () 從 () 可知 =90 = +c <90 < +c >90 > +c [ 例題 6] 在 Δ 中已知 sin:sin:sin= 4:5:7, 則求 cos =?sin=? ns: ( 練習 9) 中, =3, =4, 角度如下, 試分別求出之長 (1) =60 () =90 (3) =138 已知 cos4 = ns:(1) 13()5(3)6.54 ~1 3 7~

8 ( 練習 10) 池塘旁有, 兩點, 小明想知道, 兩點間的距離, 他採用底下兩種方法, 試根據所得資料求出距離?( 兩者所在地點可能不同 ) 法一 : 他走到遠處點, 並量得 =60, =7m =10m, 請問 =? 法二 : 他走到遠處點, 並測得 =60, = =10m, 請問 =?ns:(1) 79() 3 ( 練習 11) Δ 中, 若 (++c)(+ c)=3, 則 = ns:60 7m 60 10m 10m ( 練習 1) Δ 中, 若 sin:sin:sin= ::( 3 1), 則 = ns:135 ( 練習 13) 在 Δ 中, 若,,c 分別代表 Δ 的三邊長之長 (1) 試證 := cos+c cos,= cos+c cos,c=cos+cos () 利用 (1) 去證明 : = +c ccos ( 練習 14) 已知三邊長為 =13, =8, =7, 如右圖所示, 求 : (1) () 邊上的高之長 ns:(1)10,() 7 3 ( 丁 ) 正餘弦定理的應用 (1) 解三角形 : () 三角形的全等性質有 SSS SS S S 斜股性質, 我們可以利用正餘弦定理來解出唯一的三角形 ()SS 型的討論 :Δ 中, 若已知, 及 [ 想法 ]: 設 =, 利用尺規在的邊 X 上做出點使得 = 想要找出另一個頂點, 則圓規打開的半徑大小, 一定要比頂點到 X 的距離大才有交點 ~1 3 8~

9 (1 ) 為銳角時, 頂點到 X 的距離 h= sin <h 時, 找不到點無解 ( 如圖一 ) =h 時, 找到唯一一點恰有一解 ( 如圖二 ) h<< 時, 有兩個點有兩解 ( 如圖三 ) 時, 找到唯一一點恰有一解 ( 如圖四 ) ( ) 為鈍角時, 頂點到 X 的距離 = 時, 找不到點無解 ( 如圖五 ) > 時, 找到唯一一點恰有一解 ( 如圖六 ) h h 圖一 X 圖二 X h h X X 圖三圖四圖五 X 圖六 X [ 例題 7] 已知二邊一對角即知 SS 解三角形已知 Δ 中, =15, =15 3, =30, 則 =? =? ns: =90, =30; =30, =15 ~1 3 9~

10 [ 例題 8] 已知一邊兩角求邊與角 S 中, =45, =60, =7, 求及之長 (sin75 = ns: = 7 ( 3+1), = ) ( 練習 15) 在下列各條件中, 解三角形 (1)=1,=, =60 ns: (1) 無解 ()c= 3,=90,=60 ()=1,=, =30 (3)c= 6+,=45,=75 (3)= 3,=, =60 (4) 有兩組解 c= 3+1,=45,c=105 (4)=,=, =30 c= 3 1,=135,c=15 ( 練習 16) 由下列條件解, 何者恰有一解? () =40, =60, =80 () =,=4,c=6 () =1,=, =30 () =1,=3, =30 (E) =1,=4, =40 ns:()(e) ( 練習 17) Δ 中, =1, = 3, =30, 求 =?, =? ns:1,10 ( 練習 18) Δ 中, 設 c=8, =105, =45, 求 =? ns:8 () 求三角形的面積 : ()Heron 公式設 Δ 中,,,c 分別為,, 之對邊長, 令 s= ++c 則 S = s( s )( s )( s c) [ 證明 ]: 由餘弦定理,cos= +c S = 1 c sin=1 c c 1 cos, = 1 c + c 1 ( ) c = 1 c 1 c (c) ( +c ) = 1 4 [(+c) ][ ( c)] ~1 3 10~

11 = 1 4 (+c+)(+c )(+ c)( +c) = 1 4 (s)(s )(s c)(s ) = s( s )( s )( s c) () 三角形的面積 = r s (r 為三角形內切圓的半徑 ) [ 證明 ] 三角形的面積 =ΔI+ΔI+ΔI = 1 c r+1 r+1 r =1 (++c) r = r s I 三角形的面積 = 1 底高 = 1 csin(1 兩邊乘積夾角的正弦值 ) = s( s )( s )( s c) s= 周長之半 = c 4R (R 為三角形外接圓的半徑 ) =r s (r 為三角形內切圓的半徑 ) 結論 : () 已知三邊 :Δ= s( s )( s )( s c) (Heron 公式 ) () 已知二邊與夾角 :Δ= 1.sin= 1 c.sin= 1 c.sin ( 1 兩邊乘積夾角的正弦值 ) (c) 已知內切圓半徑 r:δ=rs (d) 已知外接圓半徑 R:Δ= c 4R (e) 任意凸四邊形面積 = 1.l.m.sinθ (l,m 為對角線長,θ 表示兩對角線之一夾角 ) ( 練習 19) 已知 Δ 之三邊長分別為 4,6,8, 則 (1)Δ 的面積 =?() 邊長 6 所對應的高 =? (3)Δ 的內切圓半徑 =?(4)Δ 的外接圓半徑 =? ns:(1)3 15 () 15 (3) (4) 15 ( 練習 0) 有一凸多邊形, 若 =, =6, =4, =6, =30, 則此四邊形的面積 =? ns:3+8 ~1 3 11~

12 (3) 三角形或多邊形的邊角計算 : [ 例題 9] 三角形的中線定理三角形中, 為之中點, 試證 : + = ( + ) [ 例題 10] 已知圓內接四邊形的各邊長為 =1, =, =3, =4, 則 (1) =? ()sin =? (3) 的面積 ns:(1) 55 7 () 6 7 (3) [ 例題 11] Δ 中, 之內角平分線交於, =3, =6, =10, 則 = ; = ns:; 7 ~1 3 1~

13 [ 例題 1] 圓內接四邊形中, =5, =1, =13, =10, 13 3 則 =? ns: [ 例題 13] Δ 中若滿足以下條件則其形狀為何? (1)cossin=sin () cos cos+c cos=0 ns:(1) 等腰三角形 () 直角三角形 [ 例題 14] 在中, =10, =9,cos = 3 5 若 P,Q 兩點分別在, 上, 使得 PQ 之面積為之面積的一半, 求 PQ 的最小值 ns: ( 練習 1) 如右圖, 試求 =?ns: 1 3 ( 練習 ) 設 Δ 中,=15,=0,=10, 為的分角線, 試求 =? =?ns:=1,=3 6 ( 提示 : 可以利用內分比性質 ) ~1 3 13~

14 ( 練習 3) 設 M 為 Δ 上的中線, 請證明 : M = 1 4 ( +c +ccos) ( 練習 4) Δ 中, =75, = 6, =, 在上且 =30, 求 =? ns: 6 ( 練習 5) 證明 : 平行四邊形中, 對角線平方和 = 四個邊的平方和 ( 練習 6) 圓內接四邊形, = =, =90, =105, 求對角線 =? ns: ( 3+1) (sin105 = 6+ 4 ) ( 練習 7) 如右圖,Δ 中, =6, =10, =10, = , 則 = ns: 13 ( 練習 8) 設 Δ 滿足下列條件, 試分別決定其形狀 : (1)sin +sin <sin ()cos sin=sin cos ns:(1) 鈍角三角形 () 等腰三角形 ( 練習 9) 設 Δ 中 =60, =, 1 =c, 今在上取一點使得 = 3, 令 s=, 則 s = () 1 9 ( +4c +4c) () 1 9 ( +4c +c) () 1 9 ( +4c c) () 1 9 (4 +c +c) (E) 1 9 (4 +4c c) (87 大學自 ) ns:() ~1 3 14~

15 綜合練習 (1) 設,,c 分別表中三內角,, 的對邊長, 請選出正確的選項 ( 多選 ) () 在中, 若 : : =:3:4, 則 ::c=:3:4 () sin:sin:sin=::c () 若 < +c, 則為銳角三角形 () 若 > +c, 則為鈍角三角形 (E) 若 sin:sin:sin=:3:4, 則最大內角是 80 () 嘌呤是構成人體基因的重要物質, 它的化學結構式主要是由一個正五邊形與一個正六邊形構成 ( 令它們的邊長均為 1) 的平面圖形, 如下圖所示 : 試問以下那些選項是正確的? (1) =54 ()O 是 Δ 的外接圓圓心 (3) = 3 (4) =.sin66 (006 指定乙 ) (3) 如圖, 正三角形的邊長為 1, 並且 1= = 3=15 6 已知 sin15 =, 4 則正三角形 EF 的邊長為 ( 化為最簡根式 ) (014 學科能力測驗 ) (4) 在 Δ 中, 已知 =1,sin<sin, 且 sin 與 sin 為 8x 4 3 x+1=0 的兩根, 則 Δ 的外接圓半徑 =? (5) 如圖, 設每一小格皆為正方形, 求 cosθ=? (6) 在一極坐標中,O 為極點, 極軸為 OX, 已知 [4,13 ] [6,73 ], 試求 θ ()ΔO 的面積 () 的長度 (7) 如右圖, 的三邊長為 =4, =9, =1, 求 : () sin:sin:sin ( 化成最簡整數比 ) () ~1 3 15~

16 (c) 外接圓的半徑 (d) 的面積 (8) Δ 中, 設 =3,=4,tn= 3 4, 求 c=? (9) 設 Δ 之三高為 h =6,h =4,h c =3, 則求最小內角之餘弦為 ; 最小邊長 = (10) 四邊形中, =1, =5, =5, =7, 且 = =90, 則對角線長為 (011 年學科能力測驗 ) (11) 假設甲乙丙三鎮兩兩之間的距離皆為 0 公里兩條筆直的公路交於丁鎮, 其中之一通過甲乙兩鎮而另一通過丙鎮今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45, 則丙丁兩鎮間的距離約為 (1) 4.5 公里 () 5 公里 (3) 5.5 公里 (4) 6 公里 (5) 6.5 公里 (009 學科能力測驗 ) (1) 圓內接四邊形, =5, =105, =90, =60, 求對角線的長度 (13) 在 Δ 中, 令 =c, =, =, 1 () 試利用正餘弦定理證明 :tn:tn:tn= +c : 1 c + : 1 + c () 若 tn:tn:tn= 1 6 : 1 19 : 1 30, 求 cos=? (14) Δ 中, =60, =15, =4, 則的外角平分線長為多少? (15) 如圖, O=, O=, O=c, O= O=30, 試證 1 +1 = 3 c (16) 圓內接四邊形, 已知 =5, =5, =3, =10, 則 =? (17) 在 Δ 中,M 為邊之中點, 若 =3, =5, 且 =10, 則 tn M= (007 學科 ) (18) 如右圖, = 4,, 為以為直徑的半圓上的二點, 且 = = 1, 則 =? O ~1 3 16~

17 (19) 已知四邊形中, =8, =8, =3 且 = = 60 試求之長 (0) 已知 Δ 三邊長分別為 =7, =5, =3, 延長至, 如右圖所示, 使得 =, 則 =? (1) 如圖, 三角形之三邊長為 =7, =8, =9, 若 E,FG 皆為正方形, 則 EG = () 在 Δ 中之三邊長分別為 11,13,0, 則此三角形內切圓半徑為 ; 外接圓半徑為 (3) 郊外有甲, 乙, 丙三家, 兩兩相距 70,80,90 公尺, 今計畫公設一井, 井到三家必須等距, 則此距離為公尺 (4) Δ 中, 設 =c,=,=, 試證下列等式 : ()(sin sin)+(sin sin)+c(sin sin)=0 sin sin sin () = c (c)( c)sin+(c )sin+( )sin=0 (d)( cos c cos)= c (5) 設 =3+t,=3 t t,c=4t () 若,,c 均為正數, 求 t 的範圍 () 若,,c 為 Δ 的三邊長, 求 t 的範圍 (c) 若,,c 為 Δ 的三邊長, 求最大角的度量 (6) 若 15 x 19 x 3 x 為一個鈍角三角形的三邊長, 求 x 的範圍 (7) 設 =60,P 為其內部一點且 P =10, 又 P 對於的對稱點分別為 Q R, 則 QR=? (8) 在 Δ 中, =10, =9,cos = 3 8 設點 P Q 分別在邊上使得 ΔPQ 之面積為 Δ 面積之一半, 則 PQ 之最小可能值為 ( 化成最簡分數 ) (009 學科能力測驗 ) ~1 3 17~

18 (9) 在 ( 凸 ) 四邊形中, 已知 =3, =4, =3, =x, 且對角線 =4, 請選出正確的選項 : (1)cos 3 7 ()cos >cos (3)x 可能為 1 (4)x< 13 (5) 若四點共圓, 則 x= 7 4 (014 指定甲 ) 進階問題 (30) 在銳角三角形中, 設 =30, 若以為直徑作圓, 此圓交於 P 點, 交於 Q 點, 試求 () PQ: 四邊形 PQ 的面積 () ΔPQ 的面積 (31) 在正方形內部有一點 P, 且 P=1, P=3, P= 7, 如圖所示, 求正方形的面積 (3) Δ 中, 周長為 0, =60, 外接圓的半徑為 R= 則求各邊的邊長,,c, 又三角形的內切圓半徑為何? P (33) 設 Δ 之三邊長為 3,x, y, 且邊長 3 之對角為 60, 試求 x+y 的範圍 (34) 設凸四邊形之對角線 =p,=q, 兩對角線之交角為 θ () 試證 : 凸四邊形之面積 = 1 pq sinθ () 若 +=10, 則凸四邊形面積之最大值為何? (35) Δ 中, 設 =,=1 () 當 Δ 面積最大時, 求 c () 當最大時, 求 c (36) 設為半圓內接四邊形, 為直徑長為 d, 若 =, =, =c, 試證明 :d 為方程式 x 3 ( + +c )x c=0 的一根 (37) 試證明 :Δ 的內切圓半徑 r=(s )tn s=δ 的半周長 (38) 如圖, 設 Δ 之內切圓半徑為 r, 外接圓半徑為 R, 內切圓切三邊於 P,Q,R, 則 ΔPQR 的面積之值為何? Δ 的面積 R I Q P ~1 3 18~

19 (39) 設圓內接四邊形四邊之長分別為 =, =, =c, =d, 試證 : () = (c+d)(d+c) +cd () = (c+d)(+cd) d+c (c) =c+d (Ptolemy 定理 ) (40) 若 x= y 16+ z 16,y= x 9+ z 9,z= y 36+ x 36, 則 x+y+z=? ~1 3 19~

20 (1) ()() () ()(3)(4) 綜合練習解答 6 (3) [ 解法 ]: 1=15, E=45, E=10 E E o = o = o, 而 = E sin10 sin15 sin 45 所以正三角形 EF 的邊長 E = E sin45 = sin = ( )= 3 4 sin15 sin10 (4) 3 +1 (5) 85 (6) ()6 3 () 8 (7) ()7:3:8 ()60 (c)7 3 (d) (8) 5 或 5 (9) 7 8 ; (10) 3 (11) (1) 依照題意可作圖如右 : 假設丙丁之間的距離為 x, x 0 則由正弦定理有 =, sin10 sin 45 3 故 x = , 即最接近 4.5 公里 (1) =10 = 5( 6+ ) 丙 15 甲 0 x 乙丁 (13) ()tnθ= sinθ cosθ,sin= R sin= R sin= c R cos= +c c cos= c + c cos= + c () 利用 () 的結果求出 ::c, 再計算 cos= 5 1 ~1 3 0~

21 (14) 40 (15) [ 提示 : 考慮 ΔO=ΔO+ΔO, 再利用三角形的面積公式, 即可得證 ] (16) 8 (17) 5 3 (18) 7 (19) 3 或 5 (0) 7 (1) 14 () 3, 65 6 (3) 1 5 (4) ()()(c) 利用正弦定理將 sin sin sin 化成 R R c R 代入式子中運算 (d) 利用餘弦定理 (5) ()0<t<1 ()0<t<1 (c)10 (6) 3<x<11 (7) 10 3 [ 提示 QR=10 ] (8) 15 因為 PQ 與共用一個, 這兩個三角形的面積比為其共角夾邊的乘積比, 即欲使 PQ 之面積為面積之一半, 則須 1 P Q = = 45 假設 x = P, y = Q, t = PQ PQ 中, t = x + y xy cos 因為 x + y xy = 90, 所以, t 90 = t 4 4 (9) (4)(5) [ 解法 ]: 令 =θ = + 9 cosθ cosθ= 4 < 3 7, 故 (1) 不正確 Q Δ 為等腰三角形, > cos <cos, 故 () 不正確 x+4>3,x+3>4,x 4<3 1<x<7, 故 x 不可能為 1, 故 (3) 不正確 (4) 當三點共線時, 在 Δ 中, cos = 9 4, =3, =4, 利用餘弦 ~1 3 1~

22 公式可得 = 13, 故 x< 13 (5) 若四點共圓, =θ, =180 θ 4 =3 +x.x.3.cos(180 θ) x= 7 4 故選(4)(5) 3 (30) () () 1 3 () P=90, P+ PQ= PQ= + 90 = =60 PQ sin PQ = PQ: = 3 () Q= 3 Q, P= 3 P,Q Q= P=90 1 o 四邊形 PQ 的面積 P Q sin 30 = = 1 ΔPQ 的面積 1 3 o P Q sin30 (31) 將 ΔP 繞點逆時針旋轉 90 得 ΔP / P= P / =1, 且 PP / =90 PP / = 在 ΔPP / 中, P + PP / =7+=9= P / PP / =90 所以 P= =135 在 ΔP 中使用餘弦定理 =8+ 14 [ 另解 ]: 令 P=α, P=β, =x 根據餘弦定理 : ( 7) =1 +x x 1 cosα,3 =1 +x x 1 cosβ α+β=90, 所以 cos α+cos β=1 ( x 6 x ) +( x 8 x ) =1 解得 x =8+ 14 P' P (3) =7,=8,c=5 或 =7,=5,c=8 r= 3 (33) 3<x+y 3 [ 提示 : 根據餘弦定理 =x +y xy=(x+y) 3xy (x+y) =3(xy+1), 因為 xy=x +y 3 xy 3 xy 3 (x+y) =3(xy+1) 1 ] (34) () 50 4 [ 提示 : 利用 pq 1 4 (p+q) ] (35) () 5 () 3 ( 提示 :()cos= c +3 c =1 (c+3 c ) 3 ) (36) [ 提示 : = + cos=c +d cdcos, 因為 =90,cos= c d, 代 ~1 3 ~

23 入前面的式子化簡即可得證 ] (37) [ 提示 : 只需證明 R=s 即可 ] r (38) R [ 提示 : 如 (37) 題圖, ΔPQR=ΔRQI+ΔRPI+ΔPQI= 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 )= 1 r (sin+sin+sin)= 1 4R r (++c)= r s R,Δ=rs] (39) [ 提示 : 利用 = + cos=c +d cdcos, 而且 + =180 ] 4 15 (40) 5 由已知做一三角形, 其邊長分別為 x,y,z, 則 h x =4,h y =3,h z =6 ~1 3 3~

標題

3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形面積 (1) 邊角關係在中, 通常以,,c 分別表,, 的對邊長邊的關係 :>0,>0,c>0, 且 c