我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形梯形, 並將之前學過的菱形鳶形作個整理平行四邊形平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C

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撮榕毕
4 years ago
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1 我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形梯形, 並將之前學過的菱形鳶形作個整理平行四邊形平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形如下圖, 若 // 且 //, 則稱為平行四邊形, 以表示平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明性質對角線將平行四邊形分為兩個全等三角形性質平行四邊形之兩雙對邊分別相等性質平行四邊形之兩雙對角分別相等性質 4 平行四邊形之兩對角線互相平分性質 5 平行四邊形之對邊平行且相等 ( 定義 + 性質一 ) 性質對角線將平行四邊形分為兩個全等三角形已知四邊形為平行四邊形, 為對角線求證證明四邊形為平行四邊形 4 //, 且 // // = 4 // = 在與中, =, =, = 4 (S),

2 性質平行四邊形之兩雙對邊相等已知四邊形為平行四邊形求證 =, = 證明四邊形為平行四邊形 4 //, 且 // // = 4 // = 在與中, =, =, = 4, (S), =, = ( 對應邊相等 ) 性質平行四邊形之兩雙對角相等已知四邊形為平行四邊形求證 =, = 證明四邊形為平行四邊形 //, 且 // //, + =80 0 L L ()( 同側內角互補 ) //, + =80 0 L L ()( 同側內角互補 ) 由 ()() 可推 = 同理可證 = 性質 4 平行四邊形之兩對角線互相平分已知四邊形為平行四邊形求證 O =O, O = O 4 O 證明四邊形為平行四邊形 =, 且 // // = 4 // = 在 O 與 O 中, =, =, = 4 O O(S), O =O, O =O ( 對應邊相等 ) 性質 5 平行四邊形的對邊平行且相等已知四邊形為平行四邊形求證 // 且 = // 且 =

3 證明由平行四邊形定義可知平行四邊形兩雙對邊分別平行, 並且由 ( 性質一 ) 可知對角線將平形四邊形分為兩個全等三角形, 所以由以上兩個條件可以得到 // 且 = // 且 = 平行四邊形的判別我們可以從以下的判別性質更容易地判斷一個四邊形是不是平行四邊形? () 兩雙對邊平行的四邊形會是平行四邊形 ( 定義 ) () 一雙對邊平行且相等的四邊形也會是平行四邊形 () 兩雙對邊分別相等的四邊形也會是平行四邊形 (4) 兩雙對角分別相等的四邊形也會是平行四邊形 (5) 兩對角線互相平分的四邊形也會是平行四邊形接著我們一一來證明 : 我們在以下證明的過程中, 將可發現要證明平行四邊形的判別, 其實都是證明相對的邊平行, 並且找出某些角的關係例如 : 內錯角相等同位角相等同側內角互補利用這些特性, 將可幫助我們完成以下的証明 () 兩雙對邊平行的四邊形會是平行四邊形 ( 定義 ) () 一雙對邊平行且相等的四邊形也會是平行四邊形已知在四邊形中, = 且 // 求證為平行四邊形證明 () 連接 () //, = () 在與中, =, =, =, (SS), = (4) =, // (5) //, //, 為平行四邊形

4 () 兩雙對邊分別相等的四邊形也會是平行四邊形已知在四邊形中, =, = 求證為平行四邊形證明 () 連接 () 在與中, =, =, =, (SSS) =, = () =, // ; =, // (4) //, //, 為平行四邊形 (4) 兩雙對角分別相等的四邊形也會是平行四邊形已知在四邊形中, =, = 求證為平行四邊形證明 () =, = + = + () =60 0, + =80 0 () 與互補, // (4) 同理, // (5) //, //, 為平行四邊形 (5) 兩對角線互相平分的四邊形也會是平行四邊形已知在四邊形中, 與交於 M, 且 M =M, M = M 求證為平行四邊形證明 () 在 M 與 M 中, M M =M, M = M, M= M, M M(SS), M= M () M= M, // 4

5 () 同理在 M 及 M 為全等 M= M, // (4) //, //, 為平行四邊形有關平行四邊形的應用. 三角形兩邊中點連線性質 : 過一個三角形一邊的中點, 作底邊的平行線會通過另一邊的中點, 且兩邊中點的連線長度等於底邊長度的一半如右圖, 中, 若 =, //, 則 = 且 = 證明 () 過點作 //, 交於點 // 為平行四邊形 ( 兩雙對邊互相平行 ) =, = () 在與中, //, // =, =, 又 = (S) =, = = 範例分別為的中點在的延長線上取點, 使得 =, 連接試證 () 四邊形是平行四邊形 () // 且 = 證明 () 在與中, =, =, = ( 對頂角 ) (SS 全等 ) 故 =, = = // ( 內錯角相等 ), 即 // // 5

6 //, 且 = =, 是平行四邊形 () 由 () 可知 //, 且 =, 所以 //, 因此 = = 範例已知 P 為內部任一點試證 () P+ P= P+ P () 若 P= cm, P=5 cm, P=0 cm, 求 P 面積證明 () 過 P 作直線 L 垂直, 且交於 P+ P = P + P P = P + P = ( P + P ) = = P+ P= P+ P= P+ P () P= P+ P- P=5+0-=( cm ) 範例如右圖,S R Q 在 P 上, 在上, 其中 S R Q P 皆垂直於, 且 = = = 若 P =, 則 S + R 的長是多少? P 解說 S R Q P 皆垂直於 Q R S // R // Q // P 在 P 中, 又 R 分別為及 P 的中點 S R = P = 同理 S = R = S + R = 6

7 . 有關平行四邊形性質的計算 : 範例如圖, 已知一平行四邊形, 為對角線, 求與解說 // = = // + = =80 0 =0 0 = =55 0 範例已知一平行四邊形, =, 且與的差為 6 公分, 試求此平行四邊形的周長解說設 =X 公分, 則 =X 公分 X-X=6 X= 公分 =9 公分周長 =( + )=4 公分範例如右圖, 中, 平分, =74 0, =7 公分, =9 公分, 試求出 () 為多少度? () 的周長? 解說 () = =06 0 = =06 0 = =80- = =7 0 =80- - =5 0 () = = =7 公分的周長 =(9+7)=9 範例如右圖, 為平行四邊形, 分別為的中點已知平行四邊形的面積為 00 平方公分, 試求四邊形的面積解說連接, 則與皆為平行四邊形面積 = 00=50 7

8 範例已知 P 為內部任一點試證 () P+ P= P+ P () 若 P= cm, P=5 cm, P=0 cm, 求 P 面積證明 () 過 P 作直線 L 垂直, 且交於 P+ P= P + P P = P + P = ( P + P )= = P+ P= P+ P= P+ P () P= P+ P- P=5+0-=( cm ) = 5 50= 4 面積 = 5 =5 平方公分範例如圖, 中, = 公分, = 公分, 面積是平方公分, 則對角線長是多少公分? 解作於, 面積 = = = = = = =5 = + = ( ) =0( 公分 ) 範例如圖, 四邊形 MN 是平行四邊形和平行四邊形重疊的部份已知 =55 0 =0 0 =65 0, 求 () MN 的度數 () 四邊形 MN 是否為平行四邊形? 為什麼?() 平行四邊形的四個角的度數解 () MN= = = =60 0 () M= =5 0, N= =5 0 M N, 故 MN 不為平行四邊形 () = =60 0 = =60 0 = = =0 0 M N 8

9 範例如圖, 四邊形為平行四邊形, //, =75 0, =5 0 求 + =? 解 = = =05 0 又 // = = 0 + = =0 0 + = = 範例 () 玲玲的爸爸剛買一部新車, 其雨刷如右圖 ( 一 ), 且和地面垂直, 若 =80 公分, =0 公分, 則圖 ( 一 ) 的面積為多少平方公分? () 玲玲的爸爸的老車其雨刷如右圖 ( 二 ), 若的夾角為 90 0 且 =80 公分, =0 公分, 則右圖 ( 二 ) 的面積為多少平方公分? 解 ()80 0=400( 平方公分 ) () 作 OM M, 令 O =O = x 圖 ( 一 ) x + x =80, x = 40 ± ( 負不合 ) O =O = 刷過的面積 = π ( 40 ) 90 - π ( 40-0) 圖 ( 二 ) = π ( )( 平方公分 ) 4 M 80 0 O 範例如右圖, 平行四邊形, 若 (,),(,),(7,5), 則點坐標為何? 解 Θ 平行四邊形之對角線互相平分 M 分別為與之中點 y 令 (a,b) a = b = a = 6 b = 5 (6,5) M x 9

10 範例如圖, 平行四邊形中, + =? 解 Θ = ( 內錯角 ) 4=75 0 ( 內錯角 ) + = + = = 範例如圖, 是平行四邊形面積 64 平方公分, 若 M 是的中點,N 是的中點, 則圖中所有深色部分的面積和為多少平方公分? 解 Θ 空白三角形之高為平行四邊形之高的一半, 底之和為空白三角形面積之和 = = =6 4 M N 深色部分面積 =64-6=48( 平方公分 ) 範例如附圖, 長方形中, 沿摺疊, 點落在 ' 點上, 若 =5 0, 則 : () '=? () =? () '=? 解 () 中, =5 0, =90 0 = =65 0 = ' () = '=5 0 = + '=50 0 = =50 0 ( 內錯角相等 ) () = =5 0 ( 內錯角相等 ) '= '- = =40 0 範例 () 如圖 ( 一 ), 平行四邊形中, 為中點, =, 若 =6 0, 求及的度數 () 如圖 ( 二 ), 中, 平分, 平分, 若 =7 0, 求 P 及 P 的度數解 () =, 又為中點 = = 為等腰三角形故 = =6 0 四邊形為平行四邊形, // 故 = =6 0 ( 內錯角相等 ) 在中, + + =80 0 即 =80 0 = =08 0 = =08 0 () 為平行四邊形 // + = ( + ) = 80 0 =90 0 P=80- - = =90 0 ' P 圖 ( 二 ) 圖 ( 一 ) P = = = 7 0 =6 0 又 P= + =( )+6 0 =44 0 0

範例一平行四邊形中, 的兩倍角與互補, 求的度數解答 : 設 =X, 則 =X + =80 0 範例二 X+X=80 0 X=60 0 =80 0 - =0 0 如圖, 平行四邊形中, 平分, =6, =, =00 0, 求 : () 的度數 () 平行四邊形的周長練習一如圖, 已知一平行四邊形, 為對角線, 求與解答 : 練習二 60 0 // = =60 0 // +

11 範例一平行四邊形中, 的兩倍角與互補, 求的度數解答 : 設 =X, 則 =X + =80 0 範例二 X+X=80 0 X=60 0 = =0 0 如圖, 平行四邊形中, 平分, =6, =, =00 0, 求 : () 的度數 () 平行四邊形的周長練習一如圖, 已知一平行四邊形, 為對角線, 求與解答 : 練習二 60 0 // = =60 0 // + = =80 0 = = =75 0 中, 分別為的中線, 且相交於 O, 分別為 O O 中點解答 : () //, 平分 = = 又 = =00 0 = =80 0 =40 0 =40 0 () // = = = =6 又 = = 周長 =56 公分試證 : () 為平行四邊形 () 若面積為 0 cm, 求面積證明 : () =, = //, =, 同理 //, = //, = 為平行四邊形 () 四邊形 = = 0=0 cm O

12 範例三已知 : 中, 兩中線相交於 O, 分別為 O O 上的中點求證 : 為平行四邊形證明 :() 在中, =, = // 且 = () 同理 //, 且 = () //, 且 = (4) 為平行四邊形 ( 一雙對邊平行且相等 ) 範例四已知 : 均為平行四邊形求證 : 也是平行四邊形證明 :() 為平行四邊形 // 且 = () 同理為平行四邊形 //, 且 = () //, 且 = (4) 為平行四邊形 ( 一雙對邊平行且相等 ) 範例五已知 : 是平行四邊形, //, 且分別交於, 求證 : = 證明 :() 為平行四邊形 //, // () //, // 為平行四邊形 = () 同理為平行四邊形 = (4) = 故 - = - 即 = O 練習三已知 : 如下圖, 四邊形中,M N 分別為的中點, 又分別為的 M 中點求證 :MN 為平行四邊形證明 :() 在中練習四 M = M, = M //, M = () 同理 N //, N = () M // N, 且 M = N (4) MN 為平行四邊形 ( 一雙對邊平行且相等 ) 已知 : 為平行四邊形,, 求證 : 為平行四邊形證明 :(),, 練習五 = =90 0 且 // L L (i) () 為平行四邊形 =, 且 // = 4 () =, = 4, = (S) = L L (ii) (4) 由 (i)(ii) 為平行四邊形已知 : 分別為平行四邊形中的中點, 求證 : 為平行四邊形證明 :() 為平行四邊形 =, // = = = () 為平行四邊形 // () 同理為平行四邊形 // (4) 為平行四邊形 ( 兩雙對邊互相平行 ) N 4

13 範例六已知 : 是平行四邊形, =, = 求證 : 為平行四邊形證明 :() 為平行四邊形 =, 且 = () 在與中 =, 且 = = + = + = 且 = = 又 = () (SS) 練習六已知 : 中, =, = 求證 : 為平行四邊形證明 :() 是平行四邊形 = 且 = () = = - = - = 又 = () (SS) = = (4) 同理可證 = (4) 同理可證 = (5) 為平行四邊形 ( 兩雙對 (5) 為平行四邊形 ( 兩雙對邊相等 ) 邊相等 ) 範例七練習七已知 : 中, 對角線相交於 O, 又分別為 O O O O 的中點求證 : 為平行四邊形證明 :() 為平行四邊形 O O =O, O = O () 分別為 O O O O 的中點 O = O = O =O 同理 O = O () 為平行四邊形 ( 對角線互相平分 ) 已知 : 分別為的中點, 試證 :() 為平行四邊形 () 若 =, =4, 且 =45 0, =75 0, 求面積證明 :()(i) =, =, //, = 同理 //, = (ii) //, = 為平行四邊形 () = =45 0, = =75 0, = =60 0, 四邊形 = =7 6 = ( 平方單位 )

我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形梯形, 並將之前學過的菱形鳶形作個整理平行四邊形平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C

我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形梯形, 並將之前學過的菱形鳶形作個整理平行四邊形平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C 我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形梯形, 並將之前學過的菱形鳶形作個整理平行四邊形平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形如下圖, 若 // 且 //, 則稱為平行四邊形, 以表示平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明