三角函數一

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秉翁
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1 fun fun 三角函數一 ( n 180 ± θ ) = ± fun( θ ) ( n ± θ ) = ± cofun( θ ) a b c R sin A = sin B = sinc = a b c bc A A b c a + = + cos, cos = bc 賴瑞楓老師編姓名 :

2 銳角的三角函數與基本恆等式三角函數銳角的三角函數 : 設 ABC 為一直角三角形, C 為直角, AB 為斜邊, 兩股 BC 與 AC 分別叫做 B 的鄰邊與對邊, 則定義 : 對邊鄰邊對邊 B 的正弦 =sinb=, B 的餘弦 =cosb=, B 的正切 =tanb= 斜邊斜邊鄰邊鄰邊斜邊斜邊 B 的餘切 =cotb=, B 的正割 =secb=, B 的餘割 =cscb= 對邊鄰邊對邊倒數關係 : sin B csc B = 1,cos B sec B = 1, tan B cot B = 1 sin B cos B 商數關係 : tan B =, cot B = cos B sin B 平方關係 : sin B + cos B = 1, 1+ tan B = sec B, 1+ cot B = csc B < 注意 > 意義不同 : sin B 表示 sin B 與 sin B 餘角關係 : sin 90 A = cos A, cos A = sin A (1) ( 90 ) () ( 90 ) (3) ( 90 ) tan 90 A = cot A, cot A = tan A sec 90 A = csc A, csc A = sec A sin B, sin B 表示 sin( B ) 主題一銳角的三角函數例 1. 試求下列各特別角的三角函數值 : A sin A cos A tan A cot A sec A csc A 例. 其它特別角的三角函數值 (1). 5, 67. 5, 90 三角形的三角函數值 () 15, 75, 90 三角形的三角函數值 (3) sin 18 =. [

3 [ 重要的特別角函數值表 sin cos tan [ 練習 (1) 設 cosa= 3, 且 0 < A < 90 試求 A 的其餘三角函數值 () 已知一銳角的正切為 15 8, 試求此角其餘的三角函數值 (3) 設 sina= 3 5, 且 0 < A < 90 試求 A 的其餘三角函數值 (4) cota= 3 5, sin A+ cos A 求 4cos A+ sin A 之值為 [ 8 17 (5) tana= 4 3, cos A+ sin Asec A 求之值為 [ 87 sec A 15 (6) csca= 18 5, cos Asec A sin 求 tan Acot A + A 之值為 [ 3 1 cos A 5 (7) 設 A 為銳角, 且 tan A = 3 4, sin A cos A 求 + 之值 [ 7 1 cot A 1 tan A 5 (8) tana=3, 求 3 cos A 4 sin A 3cos A + 5sin A 之值為 [ 1 (9) ABC 中, A= 36, AB = AC = 1, CD為 C 的分角線交 AB 於 D,

4 (1) BC = () sin 18 = [ , 4 例 3. 試用 tana 表示 sina 及 cosa= [sin A = tan A 1+ tan, cos A = A 1 1+ tan A 例 4. 直角 ABC, C = 90, BC = a, CA= b, AB = c, 又 8cosA+cosB = 4, 求 a:b:c= [ 1:5:13 正多邊形的周長與面積 1. 圓內接正多邊形, 半徑為 r, r sin 180 n (1) 邊長 = () 周長 = n r sin ( 180 n) (3) 面積 = n r sin( 180 n) cos ( 180 n). 圓外切正多邊形, 半徑為 R, R tan 180 n (1) 邊長 = () 周長 = n R tan ( 180 n) (3) 面積 = n R tan ( 180 n) 例 5. 設一扇形中心角 θ 半徑為 a, 其內切圓半徑為 r, 則 r = [ ( θ ) ( θ ) a sin 1+ sin 例 6. 設 ABC 是等腰直角三角形, B=90,D 是 BC 中點, 求 tan DAC= [ 1 3 例 7. 設線段 AD 上有三等分點 B,C,(A-B-C-D), 以 BC 為直徑之半圓上取一點 P, APB=α, CPD=β, 求 tanαtanβ= [ 1 4 例 8. 設 x tanθ + cotθ x + 1= 0有一根為 + 3, 試求 sinθ cosθ 之值 [ 1 4 3

5 n n 例 9. 設 f( n) = sin θ + cos θ, (1) 試證 : () 試證 : f ( 6) = 1 3sin θcos θ f ( 4) = 1 sin θcos θ (3) 試求 f ( 6) 3f ( 4) = [ 1 [ 作業 1. 半徑為 a, b 之二圓外切, a>b, 其二外公切線之夾角為 θ a b a b 試證 : sinθ = ; tanθ = a+ b ab. 半徑為 1, 3 之二圓, 連心線段長 5, 其二外公切線之夾角為 θ, 求 cosθ= [ 設 x 16sinθcosθ x + 1 = 0 有一根為 3, 試求 tanθ+cotθ 之值 [ < θ < 90, 若方程式 cos θ x cosθ x + 4cos θ = 0有等根, 求 θ 若方程式有實根, 求 θ 的範圍 [30,30 θ < 90 n n 5. 設 f( n) = sin θ + cos θ, 試證 : f ( 3) f ( 5) = f () 1 f () 5 f () 7 f ( 3) 6. ABC 中, C 為直角, 並以 a,b,c 分別表 A, B, C 的對邊, 若 a+b= 5 4 c, 且 a>b, 求 sina= [ tanθ 7. 若 0 < θ < 90, = 3+, 則 tanθ=,sinθ= [ 1 tanθ 3, 3 8. 邊長為 a 的正多邊形, 其內切圓與外接圓所圍環狀部分面積為 [ 1 π a 4 4

6 m 9. 若 0 < θ < 90,sinθ = 1 + m, 求 tanθ= [ m 1 m 10. log tan 60 + log tan 45 3log sin30 + log5 = [ 1 1+ log6+ log sec < θ < 45 若 tanθ+cotθ= 5 1, 求 sinθ cosθ = [ 1 5 主題二基本恆等式之證明例 1. 試證 : tan θ + sec θ 1 sinθ tanθ secθ + = cosθ 例. 試證 : 1 + cscθ cotθ = 1 cscθ + cotθ cscθ + cotθ + 1 cscθ + cotθ 1 例 3. 試證 : 1 sinθcosθ cos θ sin θ = cos θ sin θ 1+ sinθcosθ 例 4. 試證 : sin θ tanθ + cos θcotθ + sinθcosθ = tanθ + cotθ 例 5. 試證 : cosa(tana+)(1+tana) = seca + 5sinA 例 6. 試證 : sinθ(1+tanθ)+cosθ(1+cotθ) = secθ+cscθ [ 作業 1. 試證 : tanθ + secθ 1 cosθ tanθ secθ + 1 = 1 sinθ. 試證 : 1 secθ + tanθ = 1 + secθ tanθ secθ + tanθ 1 secθ + tanθ + 1 5

7 3. 試證 : 1 + sinθ cosθ = 1+ tanθ cos θ sin θ 1 tanθ 4. 試證 : ( 1+ sinθ cosθ) + ( 1 sinθ + cosθ) = 41 ( sinθcosθ ) 5. 試證 : tan θ csc θ 1 tan θ 1 + = sec θ csc θ sin θ cos θ 6. 試證 : ( 1+ cosθ + sinθ = 1+ sinθ 1+ cosθ ) 7. 證明下列各恆等式 : ( 課本例題 ) (1) ( secθ tanθ) 1 sinθ = 1 + sinθ () tanθ + cotθ = secθ cscθ (3) sinθ 1 cosθ + + = cscθ 1+ cosθ sinθ (4) sin 4 θ cos 4 θ = 1 cos θ (5) 1 + cosθ 1 cosθ = 1 cosθ 1 + cosθ 4 cosθ sin θ (6) tan θ sin θ = tan θ sin θ 8. 證明下列各恆等式 : ( 課本習題 ) (1) () 4 4 cos θ sin θ = cos θ cos θ + sin θ = (sinθ + cos θ) ( 1 sinθcos θ) (3) 4 4 cot θ + cot θ = csc θ csc θ 6

8 (4) tanθ + secθ 1 sinθ tanθ secθ + = cosθ (5) + cot θ = csc θ + sec θ tan θ 9. 化簡下列各式 : (1) () = 1 + sinθ 1 + cosθ 1 + secθ 1 + cscθ [ sin n 1 + cos n 1 + sec n θ θ θ 1 + csc n θ = [ 4 4 (3) cot θ csc θ + cot θ + csc θ = [ 0 7

9 簡易測量與三角函數值表 1. 仰角 : 視線與水平線之夾角, 此時視線在水平線之上方. 俯角 : 視線與水平線之夾角, 此時視線在水平線之下方例 1. 一飛機在高度公尺的水平面上等速東飛, 某君面向東方在地面上觀測此飛機, 仰角為 60, 5 秒後再測, 仰角為 30, 求飛機之秒速為公尺 [ 00 例. 某人於地面某處, 測得一建築物的仰角為 30, 走近 00 公尺後, 測得仰角為 45, 求建築物高為 [ 公尺類題. 某人測得一山峰之仰角為 α, 當他向山峰前進 a 後, 再測得山峰之仰角增 a 大為 β, 則山峰之高為 [ cotα cot β 例 3. 山頂有一塔, 塔頂一旗桿, 旗桿之高為 h, 地面某一點測得山頂, 塔頂, 旗 h tanα 桿頂之仰角依次為 α, β, γ, 求山高為 [ tanγ tan β 類題 1. 山頂有一塔, 塔高 30 公尺, 地面某一點測得山頂, 塔頂之仰角依次為 30, 45, 則山高為 [ 15( 3+1) 公尺. 在塔高 10 公尺處, 俯測地面上一個圓形水池, 測得最遠點與最近點之俯角依次為 30, 45, 求此圓池的直徑為 [ 10( 3 1) 公尺例 4. 在一塔底測得山頂之仰角為 α, 在塔頂測得山頂之仰角為 β, 設塔高為 a, a tanα a cot β 求山高為 [ 或 tanα tan β cot β cotα 例 5. 站在湖中小島的山峰上, 看對岸的高峰仰角是 30, 看湖面, 高峰的倒影俯角是 45, 若小島的山峰高 50 公尺 ( 從湖面算起 ), 問對岸的高峰為公尺 [ 50(+ 3) 8

10 類題 1. 在水池中豎立一根竹竿, 有一人離水面 h 公尺的高度 A 點, 測得竿頂的仰角為 α, 測得水面上竿頂的倒影俯角為 β, 求露出水面之竿長為 h( tanα + tan β) [ tan β tanα. 自某層樓窗口遠望一塔, 測得塔頂之仰角為 30, 塔底之俯角為 15, 設窗口與塔之水平距離為 00 公尺, 則窗高為, 塔高為 400( 3 3) [ 00 ( 3) 公尺, 公尺 3 例 6. 地面一直線上有三點 A,B,C, AB = BC =100 公尺, 有三人分別站在 A,B, C 處, 測量同一氣球, 仰角依次為 30, 45, 60, 若三人眼睛距地面均為 1.5 公尺, 求氣球高為 ( 取三位有效數字 ) [ 14 公尺例 7. 在一塔正東方 A 測得塔頂之仰角為 30, 在塔正南方 B, 測得塔頂之仰角為 45, AB =100 公尺, 求塔高為 [ 50 公尺例 8. 一塔高為 150 公尺, 在塔東 30 北 A 處與東 60 南 B 處各有一觀測站, 測得塔頂之仰角分別為 75, 45, 求 AB = [ 150( 6 ) 公尺例 9. 在一塔正西方上某點測得塔頂之仰角為 45, 此人南行 3 公里後, 又測得塔頂之仰角為 30, 求塔高為 [ 3 公里例 10. 一船向東 37 南航行, 速度為 30 浬 / 時, 於上午 9 時測得一島之方向為東 53 北, 中午 1 時再測島之方向為北 3 西, 試求中午 1 時船與島之距離為. [ 60 3浬例 11. 海中一島其四周 8 浬內佈有水雷, 有一艦從西向東行駛, 於 A 點見島在其北 60 東, 繼續行駛 5 浬於 B 點又見島在其北 45 東, 倘若再不改變方向繼續行駛是否安全? [ 危險!! 9

11 廣義角的三角函數一. 廣義角 : 有向角 : 1. 將一角視為由始邊旋轉至終邊的旋轉量. 逆時針方向為正向, 順時針方向為負向 3. 有向角的大小無範圍限制同界角 : 兩個有向角具有相同的始邊與終邊 α 與 β 為同界角 α= β+ n 360 例如 : 求 1991 的最小正同界角 = 二. 象限角 θ 為第一象限角 n 360 < θ < n θ 為第二象限角 n < θ < n θ 為第三象限角 n < θ < n θ 為第四象限角 n < θ < n 例如 : 下列各角為第幾象限角? (1) 1000 () 5000 (3) 1000 (4) 5000 三. 廣義角的三角函數 : 廣義角 θ 終邊上一點 P(x,y),OP = r = x + y ( 如右圖 ) 則定義廣義角 θ 的三角函數如下 : y x y x r sin θ =,cos θ =, tan θ =, cot θ =, sec θ =, cscθ = r r x y x 另一個定義 : 若廣義角 θ 的終邊與單位圓 ( 半徑為 1 的圓 ) 交於一點 P(x,y), 則定義廣義角 θ 的三角函數如下 : y x 1 1 sin θ = y, cos θ = x, tan θ =, cot θ =, sec θ =, cscθ = x y x y r y O O y P(x,y) θ y θ P(x,y) x x 四. 三角函數在各象限內之正負值 : 第一象限 : 全部都是正, 第二象限 : sin 與 csc 為正第三象限 : tan 與 cot 為正, 第四象限 : cos 與 sec 為正例如 : 已知 sinθ<0, tanθ>0, 則 θ 為第象限角 10

12 五. 同界角的三角函數值相等 : sin n θ = sin θ, cos n θ = cos θ, tan n θ = tanθ 六. 負角關係 : sin θ = sin θ, cos θ = cos θ, tan θ = tanθ 七.90 ±θ 關係 : sin 90 θ = cos θ, cos 90 θ = sin θ, tan 90 θ = cotθ ( 90 ) ( 90 ) ( 90 ) sin + θ = cos θ, cos + θ = sin θ, tan + θ = cotθ 八.180 ±θ 關係 : sin 180 θ = sin θ, cos 180 θ = cos θ, tan 180 θ = tanθ ( 180 ) ( 180 ) ( 180 ) sin + θ = sin θ, cos + θ = cos θ, tan + θ = tanθ 九 70 ±θ 關係 : sin 70 θ = cos θ, cos 70 θ = sin θ, tan 70 θ = cotθ ( 70 ) ( 70 ) ( 70 ) sin + θ = cos θ, cos + θ = sin θ, tan + θ = cotθ 歸納上述可得兩個化任意角為銳角三角函數的基本公式式中 θ 可為任意角, 但判斷正負號時必須當銳角看待 fun( n 180 ± θ ) =± funθ, fun( n ± θ ) =± cofunθ 或 fun( n 90 ± θ ) =± funθ 或 cofunθ ±, 奇變偶不變正負看象限例如 : sin50 =. cos50 =. tan50 =. sin330 =. cos330 =. tan330 =. sin315 =. cos315 =. tan315 =. sin ( 510 ) =.cos( 510 ) =. tan( 510 ) =. 主題一同界角 : 若 α 與 β 為同界角 α= β+ n 360 n 例 1. 設 θ n = 180, n Z, 50 n 100, 則有個 n 值使 θ 6 n 為第二象限角 [ 9 例. 若 tanθ>0,secθ<0, 則 P(cosθ, sinθ) 可能在第幾象限 [ 三 11

13 θ 例 3. 設 θ 在第二象限內, 則可能在第幾象限? [ 一, 二, 四 3 例 4. 設 cos( 100 ) = k, 試求 tan80 = [ 1 k k [ 作業 1. 求最小正同界角與最大負同界角 (1) 000 [ 160, 00 () 3510 [ 70, 90. 設 α,β 分別為 γ,δ 的同界角, 則下列何者為真? [ A,B (A) α+β 與 γ+δ 為同界角 (B) 存在整數 m,n, 使 m ( α γ ) = n( β δ ) (C) 若 α=β 則 γ=δ (D) α γ = β δ (E) α β = γ δ 3. (1) 點 (cosθ, tanθ) 在第二象限內, 則點 (cotθ, secθ) 在第象限 [ 四 () 點 (cot 30, sec30 ) 在第象限 [ 二 (3) tanθ>0,secθ<0, 點 (cosθ, sinθ) 在第象限 [ 三 θ 4. 設 sinθ<0,cosθ>0, 則的終邊可能在第幾象限? [ 二, 三, 四 3 5. 設 P(sinθtanθ, secθcotθ) 在第二象限內, 則 θ 為第象限角 [ 二 6. 設 P(sinθcosθ, secθtanθ) 在第三象限內, 則 θ 為第象限角 [ 四 7. 若 sinθ-cosθ>0, 且 cotθsecθ<0, 則 θ 為第象限角 [ 三 8. 設 Px, ( 5 ) 為有向角 θ 終邊上一點, 且 tanθ =, 3 6 則 cosθ=,sinθ= [, 設 P(x, 1 ) 為有向角 θ 終邊上一點, 且 OP=13, 5 1 則 cosθ=,sinθ= [ ±,

14 n 10. 設 θ n = 180 n Z 1 n 100 4,,, 則有多少個 n 值使 θ n 為第一象限角 [ 13 θ 11. 設 θ 為第二象限角, 則可能為第象限角 [ 一, 三 1. 設 sin 100 = k, 試求 cot 60 = [ 1 k k 13. 設 cos, 試求 tan 60 = [ 1 k k 100 = k 14. 設 tan 0 = k, 試求 sec 50 = [ 1+ k k 15. 設 sin 110 = k, 試求 tan 610 = [ k 1 k 16. 設 tan θ = k, 90 < θ < 180, 試求 cosθ = [ 1 1+ k 17. 設 0 < x < 360, 解不等式 : log cos x > log sin x [45 < x < 90 cosx cosx 18. a = sin ( ), b = cos, c = tan, d = cos( ) , 試比較 a,b,c,d 之大小 [c>b>d>a < α < 45 < β < 90 < γ < 135 < δ < 180, 試比較 tan α, tan β, tan γ, tanδ 之大小 [ tan β > tanα > tanδ > tanγ 0. (1) 設 θ 為第二象限角, 求 tanθ+ cotθ 的最大值 = [ () 求 y = tanθ+ cotθ 的範圍為 [ y or y 1. k R, 若 sinθ 1= ( sinθ + 1) 主題二三角函數值例 5. sin( ) cos( 90 + ) sin( 90 ) cos( 180 ) k 有解, 求 k 的範圍為 [ k 3 or k 1 3 θ θ θ θ = [ 1 13

15 sin θ tan 70 + θ cos θ 例 6. = [ 1 sin θ tan 70 θ sin 90 + θ 例 7.sin 60 cos150 cos5 sin315 + tan300 sec0 = [ 4 sin 180 θ tan 360 θ cos 90 θ csc 70 θ 例 8. cos 70 + θ sin 540 θ = [ 1 例 9. sin cos tan cot( 例 10. (1) ) = [ 1 4 () (3) 180 k = k = 1 k= cosk = [ 1 sin k = [ 0 ( 90 ) sin k k = [ 5 例 11. 已知 sinθ = 3 5, sinθ cosθ 且 θ 在第二象限, 則 + = [ 1 1 cotθ 1 tanθ 5 例 1. 設 90 < θ < 180 且 3sin θ sinθcosθ cos θ = 0, 則 tanθ= [ 3 1 例 13. 已知 sinθ cos θ =, secθ < 0, 則 sinθ+ cosθ= 3 3 sin θ cos θ = [ 7 11, 16 例 14.k R,sinθ, cosθ 為方程式 x + kx + k = 0 之二根, 則 k= [ 1 [ 作業 cos( 90 + θ) cot θ sin θ tan θ = [ 0 14

16 . cot10 + tan190 + tan100 + tan350 = [ 0 3. cos10 cos315 cos40 sin135 = [ 0 4. 已知 tanθ = 4 3, sinθ cosθ 求 + = [ 7 7, 1 cotθ 1 tanθ 設 tanθ = 4 3, 4cosθ + 1 且 cosθ cotθ < 0, 求 3sinθ + 5 = [ 已知 tanθ+ cotθ= 5 1, 3 3 且 θ 在第三象限, 求 sin θ + cos θ = [ 若 cotθ=, 則 cos θ + sinθcosθ + 3sin θ = [ θ 在第三象限, 3tanθsinθ-secθ+ 5 = 0, 求 tanθ= [ 9. 若 cscθ-cotθ=, 則 sinθ= cosθ= [ 若 cosθ>sinθ>0, 且 tanθ+cotθ= 5 1, 則 sinθ= [ 3 5 3, < θ < 70, cosθ 為方程式 6x + x 1= 0之一根, 則 log3 tanθ = [ 1 1. 若 3 + 為方程式 x ( tan cot ) θ + θ x + 1= 0之一根, 則 sinθcosθ= [ 1 4 k 13. 設有一數 r,0<r<1, 且 r sin( k 60 ) 之和可化為 k = 1 a+ br+ cr 1 r + r, 則 ( a, b, c )= [ ( 0, 3,0 ) 15

17 14. 設 0 x 180 且 y = cos x+ asin x 之最大值為 3, 求正實數 a= [ 設 180 < < 70 x 求 1+ cot x ( 1+ csc x) + cos x + ( + cos x) [ sinα+ sinβ= 1, cosα+ cosβ= 0, 4 4 則 cos α + cos β = sin α + cos β = [ 3 5, 8 主題三內插法例 15. 已知 sec = , sec 80 0 = , 求 sec80 18 = [ 例 16. 已知 sec = , sec = 1. 3, 若 sec θ = 130., 70 < θ < 360 則 θ= [319 15, 例 17. 已知 log cos 55 0 = , log cos = , 求 log cos55 16 = [ [ 作業 1. 已知 cos 4 30 = , cos 4 40 = , 求 cos4 35 = [ 已知 cot 5 10 = ,cot 5 0 = , 若 cot θ = , 90 < θ < 180, 則 θ= [ 已知 sin , sin = =, 求 sin( ) = [ 已知 sec =. 650, sec =. 63, 若 csc θ =. 641, 180 < θ < 70, 則 θ= [ 已知 cot 65 0 = , tan 4 30 = , 若 cot θ = , 90 < θ < 180, 則 θ=. [

18 正弦定理與餘弦定理主題一正弦定理面積公式 : a ABC = 1 底高 = 1 absinc = 1 bcsina = 1 acsinb 正弦定理 : 設 ABC 的外接圓 O 的半徑為 R, a b c 則 = = = R a : b : c = sina : sinb : sinc sin A sin B sin C 例 1. ABC 中, ( a + b c ) 3 = sin A+ sin B sin C, 求外接圓的半徑 = [ 3 4 類題. (1) ABC 中, A: B: C=1::3, 則 a:b:c= [ 1 : 3 : () ABC 中, 若 A= 30, BC = 8, 求外接圓的半徑 = [ 8 (3) ABC 中, 若 A = 80, B = 40, 外接圓的半徑為 3, 則 c= [ 3 3 (4) ABC 中, 若 A = 30, B = 45, 則 a:b:c= [ : : 3+ 1 例. ABC 中, A= 30, B = 45, a+ b+ c = , 則 c= [ 例 3. ABC 中滿足 asina=bsinb=3csinc, 則 a:b:c= [ 6: 3: 主題二餘弦定理餘弦定理 : ABC 中, 1. a b c bc A A b c a + = + cos, cos = bc. b c a ca B B c a b + = + cos, cos = ca 17

19 3. c a b ab C C a b c + = + cos, cos = ab 投影定理 : a = b cosc + c cosb b = c cosa + a cosc c = a cosb + b cosa B 7 5 A 3 C D 例 4. 已知 ABC 三邊長分別為 AB = 7, BC = 5, AC = 3, 延長 BC 至 D, 如上圖所示, 使得 CD =, 則 AD =. [ 7 例 5. ABC 中, : b : c = : 6 : ( 3 + 1) a, 則最大角幾度 = [ 75 例 6. ABC 中, 三邊為 x + x+ 1, x 1, x+ 1, 則最大角幾度 = [ 10 例 7. ABC 中,sinAcosA=sinBcosB, 則 ABC 之形狀為何? [ 直角或等腰例 8. ABC 中, 若 log a + b+ c + log a + b c = 1+ log a+ log b, 求 C= [ 例 9. ABC 中, 三邊 a,b,c 之關係為 a b + c = c ( a + b ) +, 求 C= [45, 例 10. ABC 中, C=60 則 (1) ( a+ b+ c) ( a+ b c) = [ 3ab b a () a+ c b+ c [ 1 例 11. ABC 中, a=3, b=4, tana= 3 4, 則 c= [ 5 or 7 5 例 1. ABC 中, AB = AC = 4, BC = 6, 在 AB 上取一點 P, 使 CP=5, 求 AP = [

20 例 13. ABC 中,BC =, AC = 1+ 3, C = 45 求 AB =, A =, B = [ AB =, A = 30, B = 105 a 例 14. ABC 中, 面積為, 求證 cota+cotb+cotc= + b + c 4Δ 例 15. ABC 中, 試證下列各等式 : (1) a(sinb-sinc)+b(sinc-sina)+c(sina-sinb)=0 sin B sin C sin A () = b c a (3) (b-c)sina+(c-a)sinb+(a-b)sinc=0 (4) ab cos C c cos B = b c + + = ( cos + c os B+ ab cos C) (5) a b c bc A ca (6) a c cos B sin B = b c cos A sin A 例 16. 圓內接四邊形 ABCD 中, AB = AD = a, C = 90, D = 105 求 AC = BD = [ 3+ 1a, a 例 17. 圓內接四邊形 ABCD 中, AB = 5, BC = 4, CD =, B = 60 求 AD = [ 1+ 3 例 18. ABC 中, A 之平分線交 BC 於 D, AB = 4, AC = 3, A = 60, M 為 BC 中點, 求 AD = AM = [ 1 3 7, 37 例 19. ABC 中, A= 75, AB = 6, AC =, 在 BC 上取一點 D, BAD = 30 求 AD = [ 6 [ 作業 1. ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:5:7, 則最大角幾度 = [ 10. ABC 中,a:b:c=:3:4, 則 cosa= [

21 3. ABC 中, A= 10 且三邊關係為 a b+ 3c = 4, a 3b c =, 求 a, b, c = [ a= 3,b=c=1 4. ABC 中,5a+b-5c=0, 3a-1b+8c=0, 則 sina:sinb:sinc = [4:5:6 5. ABC 中,( a b+ c) + ( 3a+ b c) = 0, 則 sina:sinb:sinc = 13 cosa = [3:5:7, ABC 中, 三邊為 a,b,c, 若 sin A sin B + sin C = 0, 3 sin A + sin B sin C = 0 (1) a:b:c = () 最大內角 = [ 3:5:7, 判斷 ABC 之形狀 : (1) a cosa = b cosb [ 直角或等腰 () a sina = b sinb = c sinc [ 正 (3) b sin C c cos B = bccos B cosc [ 等腰 (4) a 4 b a + b + = 4 c c [ 等腰直角 (5) a = b cosc [ 等腰 (6) ab A B a A b sin + sin sin sin = B a+ b [ 等腰 (7) sin A + sin B = sin C [ 直角 (8) cosb sinc = sina [ 等腰 (9) a cosb = b cosa [ 等腰 (10) tan A sin A = tan B sin B [ 直角或等腰 8. ABC 中, 三邊 a,b,c 之關係為 (a+b+c)(b+c-a)=3bc, 求 A= [ ABC 中, AB = 6, BC =, AC = 1+ 3, 求 A, B, C = [ 45, 75, 60 0

22 10. 圓內接四邊形 ABCD 中, AB = AD =, C = 90, D = 105, 求 AC = [ ABC 中, A 之平分線交 BC 於 D, AB = 3, AC = 5, A = 10, 求 AD = [ ABC 中, A = 105, AB =, AC = 1, D 為 BC 上一點且 BAD=60, 求 AD = [ 13. ABC 中, 證明 : (1) b + c cos B + cosc = a 1 cos A () cosa + cosb + cosc> ABC 中, a,b,c 為方程式 x 3 x + 5x = 0 之三根, A, B, cos cos cos C 分別為 a,b,c 的對角, 則 A B a + C b + c = [ 15. ABC 中, 三邊為 x x+ 3, x + 3, 4x, 則最大角幾度 [ ABC 中, 三邊為 x x + 1 x x x 1 ( x > ),,,, 則最大角幾度. [ ABC 中, 三邊為 10, 10 x, 10 + x, 若為銳角三角形, 5 5 則 x 範圍為 [ < x < 18. ABC 中, A= 60, AB = 10, AC = 16, 則 A 的外角平分線長為 [ ABC 中, log a log c = log sin B = log,( B 為銳角 ), 求三角形之三內角 [ A=B=45, C=90 主題三三角形面積面積公式總整理 : 令 s = a+ b+ c 1

23 1. 已知三邊 = ss ( a)( s b)( s c) ( Heron 海龍公式 ). 已知二邊與夾角, = bcsin A = ca sin B = absin C 3. 已知內切圓半徑 r, = rs 4. 已知外接圓半徑 R, = abc 4R 5. 已知旁切圓半徑 ra rb rc,, = r ( s a) = r ( s b) = r ( s c) a b c t a 表 A 的內角平分線, m a 表 BC 邊的中線長, h a 表 BC 邊的高 bc sin A bc cos( A ) ta = =, b ( b+ c) sin( A ) ( ) + c = m a + a b+ c ha : hb : hc = 1 : 1 : 1 a b c 例 0. ABC 中, s = a+ b+ c 例 1. ABC 中, r 為內切圓半徑, s = a+ b+ c, 試證 : ABC 的面積 = ss ( a)( s b)( s c), 試證 : ABC 的面積 = r s 例. ABC 中,R 為外接圓半徑, 試證 : ABC 的面積 = abc 4R 例 3. ABC 中, r a 為切於 BC 邊之旁切圓半徑, r 為內切圓半徑, 試證 :(1) ABC 的面積 = ra ( s a) () = 1 r r r r a b c 例 4. ABC 中, 三中線長為 5,6,7, 求三角形面積 = [ 8 6 例 5. ABC 中, 三邊長為 5,6,7, 求外接圓半徑 = 內切圓半徑 =. [R =, r = 4 3 例 6. ABC 中, 三高長為 6,4,3, 求 ABC 面積 =, 三邊長 =, ABC 內切圓半徑 = [ , a =, b =, c =,

24 例 7. ABC 中,a+b+c=0, 內切圓半徑 = 3, A= 60 且 b<c, 求 a, b, c = [ a=7 b=5 c=8 例 8. 將周長為 1 的正六邊形各角割去一等腰三角形, 使成為正十二邊形, 求其邊長 = [ 例 9. 梯形 ABCD 中, AD // BC, AB = 13, BC = 5, CD = 15, AD = 11, 求梯形面積 = [ 16 例 30. ABC 中, AB = 9, AC = 8, A = 40 在 AB, AC 上各取一點 D,E,DE 把 ABC 面積等分為二, 且 DE 為最短, 則 AD = AE = [ 6, 6 例 31. ABC 中, AB = 7, AC = 9, BC = 8, 內切圓切 BC 邊於 D, 求 AD =. [ 46 例 3. 直角三角形, 面積 =4, 內切圓半徑 =, 求三邊之長 [ 6,8,10 [ 作業 1. 三角形兩邊長為 10,6, 夾角為 60, 求三角形面積 = [ ABC 中, b= 10 3, c= 10, B = 10, 求三角形面積 = [ ABC 中, a = 4, C = 60, B = 45, 求三角形面積 = [ 梯形 ABCD 中, AB // CD,E 為對角線交點, ABE, CDE 之面積分別為, 3, 求梯形面積 = [ ABC 中, 三邊長為 4,5,6, 求最長之中線長 = [ ABC 中, 三中線長為 3,4,5, 求三角形周長 = [

25 7. ABC 中, 有一角為 10 對邊長為 7, 另二邊長之和為 8, 求三角形面積 = [ 梯形 ABCD 中, AD // BC, AD = 5, BC = 10, CD = 7, AB = 6, 求 cosb= 1 梯形面積 = [, 梯形 ABCD 中, AD // BC, AD =, BC = 5, B = 45, C = 梯形面積 =. [ P為正方形 ABCD 內一點, AP = 7, BP = 5, CP = 1, 求正方形的面積 = [ ABC 中, ha, hb, hc 為三邊之高,tanA=1,tanB=,tanC=3, abc 5 求 = [ 3 hhh a b c 1. ABC 中, a = 5, b = 7, c = 8, 則 (1) ABC 的面積為 [ 10 3 () ABC 的內切圓半徑為外接圓半徑為 [ 3, ABC 中, A= 90, A 之分角線交 BC 於 D, 若 AB = u, AC = v, AD = w, w w 則 + = [ u v 14. ABC 中, h : h : h = : 3: 4, a b c (1) sina:sinb:sinc = [ 6:4:3 () cosa:cosb:cosc = [ 66 :116:19 主題四三角形中線平方定理, 平行四邊形定理三角形中線平方定理 : ABC 中,M 為 BC 之中點, 則 AB + AC = AM + BM 4

26 平行四邊形定理 : 平行四邊形各邊平方和等於兩對角線的平方和例 33. ABC 中,M 為 BC 之中點, 試證 : AB AC ( AM BM ) + = + 例 34. 試證 : 平行四邊形各邊平方和等於兩對角線的平方和例 35. ABC 中, AH 為 BC 邊上的高, 試證 : AH = bc sin A a 例 36. 任意四邊形 ABCD, 二對角線 AC, BD之夾角為 θ, 試證 : 四邊形 ABCD 面積 = AC BD sinθ 類題. 四邊形 ABCD, 二對角線 AC = 9, BD = 8, 夾角為 60, 四邊形 ABCD 面積 [

27 三角測量一. 兩個目標 P,Q 間有障礙物, 欲測量 P,Q 之距離 : (1). 由觀測站 A, 可測出 AP = a, AQ = b, PAQ = θ 則 APQ 中, 利用餘弦定理可求出 PQ. PQ = a + b ab cosθ (). 若觀測站 A, 不能測出 AP 時 ( 可能有鐵絲網阻隔 ), 先找出另一觀測站 B, 測出 PAQ = α, QAB = β, ABP = γ, PBQ = δ, AB = a, 利用正弦定理求出 AP, AQ, 則 APQ 中, 再利用餘弦定理可求出 PQ = AP + AQ AP AQ cosα 二. A,P 間有障礙物, 欲測量 A,P 之距離 : 在 A 點同側找出另一觀測站 B, 測出 BAP = α, ABP = β, AB = a, 則 ABP a sin β 中, 利用正弦定理求出 AP = sin α + β 三. 測量山高 PQ: (1). 過山腳 Q 的直線上找出兩觀測站 A,B, 測出 QAP = α, QBP = β, AB = a, a 令 PQ = h, 可求出 AQ, BQ, a = AQ BQ, 可解得 h = cot α cot β (). 若受地形限制,A,B,Q 不在同一直線, A 點仰角 α, PAB = β, PBA = γ, AB = a, 則 ABP 中, 利用正弦定理 a 求出 h = sinα sinγ sin β + γ 四. 設山坡成一直線, 傾斜角為 θ, 由山麓 A 測出山頂仰角 α, 沿山坡前進 a 後到達 B, 再測出山頂仰角 β, 欲測量山高 PQ: ABP 中, 利用正弦定理可求出 a AP, 則 PQ = AP = sin β sin θ sinα α sin β α 6

28 五. A,Q,B 在同一直線, 飛機 P 在 Q 之正上方, 測出 PAQ = α, PBQ = β, AB = a, 欲測量飛機高度 PQ: PQ = a sinα sin β sin α + β 已知高樓 AB 之高度 a, 欲測量對街樓高 PQ: (1). AB < PQ 時 B 點仰角 α, A 點仰角 β, ABP 中, 利用正弦定理 a 可求出 BP, 則 PQ = BP = sinα sin cosβ α sin α β (). AB > PQ 時 B 點仰角 α, A 點俯角 β, ABP 中, 利用正弦定理 a 可求出 BP, 則 PQ = BP = sinα sin cosβ α sin α + β 例 1. 自塔之正北 A 處測得塔之仰角為 45 又自塔之正東 B 處測得塔之仰角為 15, 已知 AB =a, 試求塔高? [ a ( 6 ) 4 例. 一塔高 150 公尺, 樹 A 在塔的正東, 樹 B 在塔的東 60 南, 一人在塔頂測得 A 之俯角 75, B 之俯角 45, 求兩樹的距離 [ 公尺例 3.B,C 為地面上的兩點,BC =a,d 為 BC 之中點, 在 B,D,C 三處測得氣球之仰角分別為 α,β,γ, 試求氣球之高 [ a cot α + cot γ cot β 例 4. 兩觀測站 S,T 之距離為 a, 飛機 A 在地面 B 點上空,S 站測得 A 之仰角為 α, BST 為 γ,t 站測得 BTS 為 β, 求飛機之高度 β α β + γ [ a sin tan sin 例 5. 一船向正東方航行, 其左側有二燈塔 A,B, 測得 A 在北 30 東,B 在北 75 東, 該船前進 100 浬到達 C 處又測得 A 在北 30 西,B 在北 60 東, 求 AC = AB = [100 浬,100 浬例 6. 某人從 A 測得山頂 P 之仰角為 45, 前進 100 公尺至 B, 再測得山頂之仰角為 60, 試求山頂之高度? [50(3+ 3) 7

29 例 7. 某人於山麓測得山頂之仰角為 45 由此山麓循 15 斜坡上行 100 公尺, 再測得山 [ 50( 6 ) 頂之仰角為 60 試求山頂之高度 + 公尺例 8. 於相距 1000 公尺之 A,B 兩地, 測得山頂之仰角為 30,45 且 A 在山之正東方, B 在山之東南方, 求山高? [ 公尺例 9. 於相距 3000 公尺之 A,B 兩地, 測量一氣球 C 之高度, 在 A 測得 AC 與 AB 之夾角為 75, 球之仰角為 30, 在 B 測得 BC 與 BA 之夾角為 60, 求氣球之高度 [750 6 公尺例 10. 設 M,N 分別為甲, 乙兩山之山頂, 孫君從 A 地沿直線斜坡 AN 爬上乙山, 已知 AN =800 公尺, AN 之傾斜角為 30, 於 A 測得 MAN=15, 當孫君爬到乙山山頂 N 時, 又測得 M 點仰角為 60, ANM=10, 求甲山之高度 A [ 100(10 3) N B M C 例 11. 某建築物上有一塔, 塔頂有一旗竿, 旗竿長公尺, 今在地面某點測得建築物之頂, 塔頂, 旗竿頂之仰角分別為 45, 60, 75, 求建築物高度 [1 公尺例 1. 平面上三點 A,B,C, 測得山頂之仰角均為 15, BAC=30, BC =50 公尺, 求山高? [50( 3) 公尺例 13.A,B,C 三點成一直線, 測得山頂 D ( 山腳為 E) 之仰角分別為 30, 45, 60, E 不在直線上, 若 AB = BC =300 公尺, 求山之高度 [150 6 公尺例 14.A,B,C 三點成一直線, 測得山頂 D ( 山腳為 E) 之仰角分別為 30, 45, 60, E 不在直線上, 若 AB =600 公尺,BC =400 公尺, 求山之高度 [00 15 公尺例 15. 一塔高 9 公尺,A 在塔的北 15 東,B 在塔的北 45 西, 一人在塔頂測得 A 之俯角 60, B 之俯角 30, 求 A,B 兩點的距離 [ 3 1 公尺 8

30 例 16. 山頂有一塔, 地面 A 點測得山頂 D 之仰角為 α, 前進若干公尺到達 B 點後, 再測得山頂 D 之仰角為 β, 塔頂 E 之仰角為 γ, 已知 DE =h 公尺, 設 D 在地面投影為 C, 求 CD= AB = [ CD h cosγ sin β = AB = h sin( ), cosγ sin( β α) γ β sin( γ β) sinα 例 17. 有一湖, 岸上兩點 C,D, 湖岸築有鐵絲網不能靠近, 在鐵絲網外取 A,B 兩點, 距離 30 公尺, 自 A,B 分別測得下列各角 : CAB= 10, DBA= 135, DAB=30, CBA=45, 求 CD= [30( 6+ ) 公尺例 18.A,B 兩瞭望台相距公尺, 今發現海上有船 C, ABC= 105, BAC=45 問船 C 與瞭望台 A 相距多遠 [100(3+ 3) 公尺 [ 作業 1. 在高山遠望海面最遠一點得俯角 θ 已知山高 h, 求證地球半徑為 h cosθ 1 cosθ. 某人於山麓測得山頂之仰角為 45, 由此山麓循 30 斜坡面向山頂上行 00 公尺, 再測得山頂之仰角為 60, 試求山頂之高度 [100( 3+1) 公尺 3. 某建築物上有一塔, 塔頂有一旗竿, 旗竿長公尺, 今在地面某點測得建築物 3+ 3 之頂, 塔頂, 旗竿頂之仰角分別為 30, 45, 60, 求建築物高度. [ 公尺 3 4. 甲, 乙兩塔直立於平地上, 相距 60 公尺, 從甲塔底看乙塔頂的仰角等於從乙塔底看甲塔頂的仰角的倍, 又從連接兩塔底之線段之中點分別看兩塔頂時, 仰角和為 90, 求兩塔高 [ 45, 0 5. 某人在某處測得一山頂之仰角為 θ 前進 a 後仰角為 45, 再前進 b 後仰角為 ab 90 θ, 求山高 [ a b 9

31 6. 一人見一建築物 A 在正北方, 另一建築物 B 在北 30 西, 此人向西北行 1 公里後, 見 A 在東北方, B 在正東方, 求兩建築物的距離 [ 6 3 公里 7. 有 50 公尺長的旗桿豎立在 40 公尺高之塔上, 於地面一點仰視, 若此點對於旗桿與塔所張之角相等, 求此點與塔底之距離 [ 10 公尺 8. 在塔之正西 A 及正南 B 測得塔頂之仰角 45, 15 若 AB =1 公里, 求塔高 [ 50( 6 ) 9. 設 A,B,C 為地面上之三點,A 在 B 之正南,C 在 B 之正東, 今有一塔位於 B 之正西, 由 A,B,C, 三點測得塔頂之仰角 45, 60, 30, 若 AB =100, 求 BC = 及塔高 [100, 一船向東 37 南航行, 時速為 30 浬, 於上午 9 時測得一島之方向為東 53 北, 中午 1 時再測, 方向為北 3 西, 則中午 1 時, 船與島之距離 = [ 60 3 浬 11. 有一個三角架, 三隻腳的長度都是 150, 三隻腳的著地點為 A,B,C 且 AB = 70, BC = 80, CA = 90, 則腳架頂端 P 離地面的高度為. [ 3 55 A P C 1. 已知正五角星 ( 即 ABCDE 為正五邊形 ) 內接於一圓 O, 如右圖所示. 若 AC = 1, 則圓 O 的半徑長為. B E [ sin18 =, cos18 = 4 4 A D 13. 在坐標平面的 x 軸上有 A(,0),B(-4,0) 兩觀測站, O 同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點, 測得 BAC 5 及 ABC 之值後, 通知在 D (, 8) 的砲台此兩個角 8 8 的正切值分別為及那麼砲台 D 至目標 C 的距離為 9 3 B C 30

32 14. 假設 cos θ + 3sinθ =, 且 0 < θ < 90, 求 cos θ + sinθ 之值 = 15. 某甲觀測一飛行中的熱氣球, 發現其方向一直維持在正前方, 而仰角則以等速遞減已知此氣球之高度維持不變, 則氣球正以. (A) 等速飛行 (B) 加速向某甲飛來 (C) 減速向某甲飛來 (D) 加速離某甲飛去 (E) 減速離某甲飛去 16. 設 H 為銳角三角形 ABC 的垂心 ( 三高之交點 ), 若以 c 表線段 AB 之長, 則線段 AH 之長等於. (A) c cos A sin C (B) c cos A cosc (C) c cos A tan C (D) c cos A secc (E) c cos A cscc 17. 某恆星系統中有甲乙兩行星假設兩者公轉軌道在同一平面上, 且為以恆星為圓心的同心圓某時, 甲行星在恆星與乙行星之間而成一直線今在該平面上設定一座標系如下圖已知兩行星皆以逆時針方向運行, 且公轉之週期為 :7 試問下一次甲行星再度在恆星與乙行星之間而成一直線時, 應該是下面哪一種狀況? (A) 行星在第一象限 (B) 行星在第二象限 (C) 行星在第三象限 (D) 行星在第四象限 (E) 行星在正 x 軸上恆星甲乙 18. 如右圖, AD 為圓的直徑, B, C 為半圓上兩點, 令 a = AB, b = BC, c = CD, d = AD, 試證 d 為 x + + = 之一根. 3 方程式 ( a b c ) x abc 0 C B A D 31

ok313 正餘弦定理

ok313 正餘弦定理 1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 BC 三內角表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題