向量的意義 4 向量 向量的意義 : (1) 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段, 稱為向量 AB (2) 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ), 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同, 則稱此 (3) 向量的相等 : 若向量
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1 98 4- 向量的意義 4 向量 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 零向量的長度為 方向不定 () 反向量 : 若向量 AB 量互為反向量 以 AB PQ QP EF FE 和向量 CD 的長度相等 方向相反 則稱此兩向 CD 表之 老師講解學生練習 如圖 D E F 為 ABC 三邊的中點 若 AF a DA b 則圖中尚有哪些向量等於 a? 哪些等於 b? 只要長度相等 方向相同 向量就相等 故 () a FC DE 如圖 正六邊形 ABCDEF 中 設 AG 則 AB a b 圖中尚有哪些向量等於 a? 哪些等於 b? () a FG GC ED () b BC GD FE
2 () b BD EF 第 4 章向量 99 老師講解學生練習 試問平行四邊形的邊 可決定幾個不同的非零向 量? 如圖 () AB DC () BA CD () AD BC (4) DA CB 共 4 個 試問正六邊形的邊 可決定幾個不同的非零向 量? 如圖 () AB ED () BA DE () AF CD (4) FA DC () BC FE (6) CB EF 共 6 個 向量的坐標表示法 : () 設向量 a x 分量為 y 分量為 a a 方向角 : a 則 a 的 () 設 A x y cos sin B x y 則 AB x x y y AB x x y y () 設兩向量 b c y a =( ) O x
3 若 b c 則 老師講解學生練習 求 : 設 a 4 () a 的 x 分量 y 分量 () a () a 的 x 分量為 y 分量為 4 a 4 () 求 : 設 b () b 的 x 分量 y 分量 () b () b 的 x 分量為 y 分量為 b () 4 老師講解學生練習 4 且 a 的方向角為 求 a 已知 a 4 a 的 x 分量為 a cos4 a 的 y 分量為 a sin4 a 且 b 的方向角為 求 b 已知 b b 的 x 分量為 b cos b 的 y 分量為 b sin b
4 第 4 章向量 老師講解學生練習 設 A 7 4 () AB B 二點 求 : () AB () AB 474 AB 4 () 設 C 4 D 二點 求 : () CD () CD () 4 6 CD () CD 老師講解學生練習 6 設 A 7 () 若 AB () 若 CA 4 () 設 B x y 求 B 點坐標 求 C 點坐標 AB x y7 x y 7 故 B 8 () 設 C x y x 8 y CA 4 x 7 y 4 x 7 y 4 故 C 7 x 7 y 設一向量 a 76 () 若始點在 P 求終點坐標 () 若終點在 Q 4 求始點坐標 () 設終點在 Q x y a 76 x y 7 6 x 7 y 6 xy 9 () 設始點在 P x y a 76 4 x y 76 4 x 7 y 6 xy 6
5 7 老師講解學生練習 7 求 x y 之值 AB 設 A B 74 C 4 若 AB CD D x y 4 4 CD x y x y AB CD 7 x4 y x 47 y x y 設 a x y b 8 x y 求 x y 之值 a b x y 8 x y 若 a b x y 8 老師講解學生練習 8 設有一平行四邊形 ABCD 已知 A 7 B C 4 如圖 設 D 點坐標為 x y AB DC 求 D 點坐標 又 AB 7 7 DC 4 x y 74 x y 4 x 7 y x y 4 故 D 點坐標為 4 設有一平行四邊形 ABCD 已知 A C 9 D 4 如圖 設 B 點坐標為 x y AB DC 又 AB x y 求 B 點坐標 DC 94 x y x y x y 6 故 B 點坐標為 6
6 第 4 章向量 4- 向量的加減與實數積 向量的加減法 : () 向量的加法 : 平行四邊形法 : AB AD AB BC AC 三角形法 : AB BC AC AB CA CA AB CB () AB AC CB a x y b x y a b x x y y a b x x y y () 向量的減法 : AB AC AB AC 說明可當公式背 :() AB BC AC () 向量加減的坐標表示法 : 設 老師講解學生練習 ABCD 為平行四邊形 () 圖中哪一個向量等於? AB AD () 圖中哪一個向量等於? () AB AD AB BC AC () AB AD AB AD AB DA AB AD DA AB DB 承老師講解?? BA BC BA BC BA CB () 圖中哪一個向量等於 BA BC () 圖中哪一個向量等於 BA BC () BA BC BA AD BD () CB BA CA
7 4 老師講解學生練習 () AC CD AD () AB ADDC AB DA DC DA AB DC DB CD 四邊形 ABCD 中 化簡下列各式 : () AC CD () AB AD DC CD DB CB () CA CB CA CB CA BC 四邊形 ABCD 中 化簡下列各式 : () CA CB () AB BC CD DA BC CA BA () AB BC CD DA AD DA AC CD DA AC CD DA AA 老師講解學生練習 設 A B 4 C E 67 求 : () AB CD () AB CD () AB CD () AB CD 9 4 D () AB AC DE 承老師講解 求 () BC CD DE () BC CD DE BE 8 () AB AC DE
8 4 9 第 4 章向量 4 老師講解學生練習 4 設 a y b 4 c x 若 a b c 求 x y 之值 4 4 x 4 x b c x a b c y 4 x 4x y x 7 y 設 a y b 4 c x 若 a b c 求 x y 之值 4 4 xy x y 7 a b c y x a b c x y 7 x y 7 x y 7 老師講解學生練習 ABC 中 AB AC () BC () ABC 的周長 求 : () BC AC AB () BC AB AB BC AC AC ABC 的周長為 設四邊形 ABCD 若 AB AD DC 6 求 :() BD () BC () BD AD AB () BC BD DC 6 6 6
9 6 ) 相加 可寫為 ra 這就是 向量與實數積 r 時 表 ra與 a 同向 且 ra r a 向量與實數積 : () 向量與實數積 : 若有 r 個 a ( a r 時 表 ra r 時 表 ra與 a 反向 且 ra r a () 設 a x y 則 r a rx ry () 單位向量 : 長度為 的向量 稱為單位向量 和 a ( a a 和 a ( a ) 反向的單位向量為 a i j a = x y x i y j (4) 規定單位向量 則 a ) 同向的單位向量為 a 6 老師講解學生練習 6 如圖 C 為 AB 的一個五等分點 如圖 A B C 為 DE 之等分點
10 () 試以 AB 表示 AC () 試以 AC 表示 BC () () AC AB 且 AC 和 AB 同向 AC AB BC AC 且 BC 和 AC 反向 BC AC () 試以 DE 表示 AE () 試以 CB 表示 DE () AE DE 4 AE DE 4 () DE 4CB 且 DE 和 CB 反向 DE 4CB 且 AE 和 DE 同向 第 4 章向量 7 7 老師講解學生練習 7 圖中有 a b 兩向量 試圖示下列各向量 : () a b () a b () 圖中有 a b 兩向量 試圖示下列各向量 : () a b () a b () () () 8 老師講解學生練習 8 設 a b c () 4 b c a b c () a b () () a b 6 求 : 設 A B C 求 AB BC AC AB BC AC 4
11 8 6 6 () 4 b c () a b c 老師講解學生練習 9 設 a b c c r a s b 求 r s 之值 c r a s b r s rr ss rs r s rs r s 7 r s 若 設 a 4 b c 7 求 r s 之值 rasb c rasb c r4 s 7 4 r r s s 7 ss 7 4r s r s 7 r s 若 老師講解學生練習 若 x a b 設 a b 若 4 a b x 設 a b 4 求 x x a b 求 x a b x a
12 x a b x 6 a b x a b 7 7 x 7 a 7 b x a b 第 4 章向量 9 4 a 8 b x a b x a x a b 老師講解學生練習 設 a 4 求和 a 同向的單位向量 a 4 和 a 同向的單位向量為 a 4 a 設 b 求和 b 反向的單位向量 b 和 b 反向的單位向量為 b b 4 老師講解學生練習 的組 將 a b 將 a 4表成 i 合 與 j 設 a b 4 i 與 j 的組合 表成
13 a i 4 j a b 4 4 i j
14 第 4 章向量 分點坐標 : 在第一章曾提及分點坐標的求法 現在再以向量的觀念介紹另一種求法 老師講解學生練習 設二點 A 4 B 若 P 點在 AB 上 且 AP : BP : 4 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 x y AP AB 且 AP 和 AB 同向 7 AP AB 7 x y x y 4 6 xy 設二點 A 7 4 B 若 P 點在 AB 上 且 AP : BP : 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 x y AP AB 且 AP 和 AB 同向 7 AP AB 7 4 x y x 7 9 xy y 7 4 老師講解學生練習 4 設二點 A B 若 P 點在 AB 的延 長線上 且 AP : BP : 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 x y AP AB 且 AP 和 AB 反向 AP AB x y6 9 6 x 6 y 6 xy 96 設二點 A 8 B 若 P 點在 AB 的延長 線上 且 AP : BP : 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 x y AP AB 且 AP 和 AB 同向 4 AP 4 AB x y x y xy 4
15 進階題 老師講解學生練習 設 A B C 為不共線三點 若 則 x y AB x y4 AC x y AC t AC A B C 三點不共線 AB // 不可能設 AB 又 4 x y AB x y AC 若 x y x y4 則 AB AC 矛盾 x y x y 同理 x y4 由 知 x y ABC 中 若 x y AB x y AC 則 x y A B C 三點不共線 x y x y 4 x y 老師講解學生練習 設 a 48 b 的最小值 t 為實數 試求 設 a 4 b 的最小值 t 為實數 試求 a t b a t b 4 t8t 4 8 a t b t t a t b a t b t4t 4 a t b t t 6 4t9t 64 6t t t 4t 8 t 4 44tt 68t t t t t 的最小值 4 a t b 的最小值 4 a t b 的最小值 a t b 的最小值 a t b
16 4- 向量的內積與夾角 向量的內積與夾角 : () 設兩個非零向量 a 和 b 的夾角為 ( 8) 當 a 和 b 同向時 當 a 和 b 反向時 8 當 a 和 b 互相垂直時 9 當 a 和 b 不平行時 將 a 和 b 平移至始點重合才有夾角 且 8 設 a a a b b b 且其夾角為 則 a 和 b 的內積 a b a b cos ab ab () 向量的內積 : 老師講解學生練習 b 試依下列條件 求 a b 設 a b 試依下列條件 求 a 設 a b 6 () a 和 b 的夾角為 () a 和 b 方向相反 () a b a b cos () a b a b cos8 () a 和 b 的夾角為 () a 和 b 方向相同 利用 a b a b cos () a a 4 a a a 6 cos () 6 cos a
17 第 4 章向量 老師講解學生練習 如圖 求 : () AB AC () BA CB () AB AC () BA CB AB AC cos A cos BA BC BA BC BABC cos B cos 6 如圖 求 : () AB AC () BA CB () AB AC () BA CB AB AC cos A BA BC BABC BABC cos B 9 老師講解學生練習 設 a b c 4 () a b c () a b () a b () a b 求 : 4 a b c 設 a b 4 () a b () a b a b 求 : () a b 4 a b 4 () 4 a b 46 4 所求
18 4 4 老師講解 設 a b 4 學生練習 4 且 a b 6 求 a 和 b 設 a 6 b 6 且 a b 6 求 a 的夾角 設 a 和 b 的夾角為 a b a b cos 64 cos cos 6 和 b 的夾角 設 a 和 b 的夾角為 a b a b cos 6 66 cos cos 老師講解學生練習 C 求 BAC 的度數角 如圖 令 BAC 設 A B AB 4 AC 7 AB AC AB 4 AC 7 又 利用 AB AC AB AC cos 可得 cos cos 4 b 設 a a b a b 利用 a b a b cos 可得 cos cos 求 a 和 b 的夾
19 第 4 章向量 向量的平行與垂直 : 設 a a a b b b a a () a // b b () a b b a b 6 老師講解學生練習 6 設 A 4 B 6 Cx () 若 AB // AC 求 x 值 () 若 AB AC 求 x 值 AB AC x 7 () AB // AC AB// AC x 7 9 x () AB AC AB AC AB AC x 7 9 x 設 OA OB 求 OC 設 OC x y OC OB BC // OA OC OB xy 且 若 OC OB BC OC OB x y 且 BC // OA x y x y7 由 知 x 4 y 7 OC 47
20 6
21 第 4 章向量 7 內積的性質 : () a a a () a b b a (4) ra b a rb r a b () a b c a b a c 7 老師講解學生練習 7 設 a 設 a b 4 b 且 a 和 b 的夾角為 6 a b a b cos 6 求 a b a b a a b b 9 a b 9 求 a b a b a b cos 4 6 且 a 和 b 的夾角為 a b a a b b 6 4 a b 8 老師講解 設 a 學生練習 8 b 且 a 和 b 的夾角為設 a b 的長度 求 a b a b a b cos a b 4 a a b 9 b a b a 和 b 垂直 求 a b a b a b a b a 4 a b 4 b 44 a b
22 8 9 老師講解學生練習 設 a b c 7 且設 a b a 9 b 求 a 和 求 a 和 b 的夾角 a b c a b c a b c a a b b c a b 7 a b a b c a b cos cos cos 6 b 的夾角 a b a a b b a b a b a b cos cos cos 內積的應用 : 設 a b 均不為 () 正射影 : a 在 b 上的正射影為 a b b b () 三角形面積 : 以 a b 為兩鄰邊所決定 三角形的面積為 a b a b
23 第 4 章向量 9 老師講解學生練習 設 a b 4 () 正射影 () 正射影長 a b () 所求 b b 求 a 在 b 上的 又 a b 4 b 所求 () 所求 承老師講解 求 b 在 a 上的 () 正射影 () 正射影長 b a () 所求 a a 又 a 所求 4 () 所求 4 4 老師講解學生練習 設 A 4 B 積 ABC AC 又 AB C 求 ABC 面 面積 AB AC AB AC 6 7 AB AC AB AC 6 7 所求 8 設 A B C 4 ABCD 的面積 AB 4 4 AC AB 4 4 AC AB AC ABC 面積 求平行四邊形 AB AC AB AC 6 4 故所求 ABC 面積
24 進階題 8 老師講解學生練習 AC BD AB BC BC CD BC AB BCAB BC BC BC AB AB BC AB AB 平行四邊形 ABCD 中 設 AB BC 則 AC BD 如圖 BC AB 6 如圖 AC DB AB BC DC CB AB BC ABBC 平行四邊形 ABCD 中 設 AB 4 BC 7 則 AC DB AB 4 7 BC 老師講解學生練習 cos ABC 中 設 AB 4 BC CA 6 則 () AB AC () AB BC () AB AC AB AC A () AB BC BABC BA BC cosb () BA BC cos ABC 中 設 AB BC 6 CA 7 () BA BC () CB AC BA BC B () CB AC CB CA CB CA CB CA cosc 則
25 第 4 章向量 老師講解學生練習 一邊長為 的正方形 ABCD DN DC BM BC 則 AM AN 將圖形頂點坐標化 令 A M N AM AN AM AN 長方形 ABCD 中 AB BC 4 M 為 AB 中點 AP AD BQ BC 4 4 則 MP MQ 將圖形頂點坐標化 令 B M MP MQ MP MQ Q P 4 老師講解學生練習 4 設 a b 為兩向量 a b 4 a b 則 a b a b 4 a a b b 6 a b a a b b 4 a b 設 a b 為兩向量 a b a b 則 a b a b a a b b 9 a b a a b b a b 4
26 4-4 點到直線的距離 點到直線的距離公式 : P x y 直線 L : axbyc 則 P 到 L 的距離 設點 d P L ax by c a b 老師講解學生練習 P 到直線 L :xy 的距離 dp L 求點 P 到直線 L : x y 的距離 求點 d P L 老師講解學生練習 4 到直線 L : y x 的距離 4 L : y x 4xy 4 dp L 4 求點 P x y 到直線 L : 的距離 4 x y L : x4y6 4 求點 P 46 4 dp L 老師講解學生練習 P k 到直線 L :6x8y7 的距離為 若點 求 k? dp L 68k P 到直線 L : x yk 的距離為 若點 求 k? dp L k k 或
27 第 4 章向量 k 或 4 二平行直線的距離公式 : 設兩平行線 L : ax byc 與 L : ax byc 則 L 與 L 之間的距離 d L L c c a b 4 老師講解學生練習 4 求兩平行線 L :x4y 與 L :x4y8 之間的距離 8 d L L 4 求兩平行線 L : x y 與 L : x y 之間的距離 dl L 4 老師講解學生練習 求兩平行線 L :xy 與 L :6xy7 之間的距離 L :6xy L :6xy7 7 dl L 6 求兩平行線 L :7 x 4 y 與 L :7 x 4 y 之間的距離 L :7x4y L :7x4y dl L 老師講解學生練習 6 若兩平行線 L :x4yk 與 L :x4y6 之間的距離為 求 k? d L L 若兩平行線 L : x y 與 L :xyk 之間的距離為 求 k? L :xy6 L :xyk
28 4 k 6 4 k 9 或 d L L 6 k k 或 角平分線方程式 : L : a xb yc 與 L : ax byc 交角的 兩直線 角平分線方程式為 ax by c ax by c a b a b 7 老師講解學生練習 7 求兩直線 L : xy7 與 L :x y6 交角的角平分線方程式 xy7 x y6 xy7 x y6 x y 或 xy 求兩直線 L :x4y 與 L :8x6y 交角的角平分線方程式 x 4y 8x6y x 4y 8x6y x4y9 或 4xy 綜合練習 表挑戰題 4-. 設 P 7 Q 9 則 () PQ () PQ () PQ 的方向角為. 設 PQ 7 () 若 P 點坐標為 則 Q 點坐標為 8
29 () 若 Q 點坐標為 6 則 P 點坐標為 第 4 章向量. 設 A B x C 6 D x 若 AB CD 則 x 8 4. 平行四邊形 ABCD 中 若 A B x C4 y 4 y D 則 x
30 6. 設 ABC 之三邊 AB BC CA 中點分別為 P Q R 平行四邊形 ABCD 中 設 a AB () AC a b () BD a b 7. 正六邊形 ABCDEF 中 設 a AB () FA a b () AE a b b AD 試以 a b 表示 b BC 試以 a b 表示 8. ABC 中 D 為 BC 上一點 且 BD :CD : 若 AD m AB n AC m n AB CD 6 67 a b 4 c 則 x 4 則 b u u c a 則 u a b 47 a b 4 9. 設 A 6 B 4 C D 7 () AB CD () 4 () AB BC CD (4) AB BC CD DA. 設 () 若 b x i y j () 若 c a b () 若 則 則 則 A 點坐標為 y ( 其中 i j 8 8. 若 則 a b. ABC 中 AB 8 6 BC 則 ABC 的周長為 7. ABC 中 若 AB x 4 BC 89 CA y y 4. 下列各向量何者為單位向量? (A) (B) (C) 答 : C (D) ) 則 x 4
31 . 設 a 4 則 第 4 章向量 7 () 和 a 同向 長度為 的向量為 9 () 和 a 反向 長度為 的向量為 () 和 a 同向的單位向量為 6. 設二點 A B 且 AP : BP : () 若 P 點在 AB 上 則 P 點坐標為 4 9 () 若 P 點在 AB 的延長線上 則 P 點坐標為 8 7. 如圖 AP: PB : OC: CB : 設 CP r OA sob 則 r s 4-8. 設正 ABC 的邊長為 求 : () AB AC () BC CA. a 4 b AB DC AG GB 9. 正六邊形 ABCDEF 的邊長為 中心 G 則 則 () a b () a 和 b 的夾角為. ABC 中 設 A B 4 C 6 則 () AB AC () A. 設 a b c 8 則 t 則 t () 若 a // b t c () 若 a b t c 7 OA OB 若 OC OB. 設 BC // OA 則 OC 為 a 和 b 的夾角為 6 則 4. 設 a 4 b 6 () a b a 4 b () a b 7
32 8. 設 a b a b 7 則 () a b 7 () a 和 b 的夾角 為 6 a b 則 a b 6. 設 a b 4 7. 右圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合 且每小格都是邊長為 的菱 形已知 a b 則 AB CD 為 8. 已知 a 4 b c 且 a b c 則 為 () a b 為 a 與 b 的夾角為 則 a t b 的最小值為 () a b c 9. 已知 a b. 設 a 4 b 則 () a 在 b 上的正射影為 () 以 a b 為相鄰兩邊的三角形面積為 4-4. 若點 P 與直線 L :xyk 之距離為 則 k 4或 48. 設 x y 滿足 x 4y. 已知 A 4 則 x y 之最小值為 B 若直線 L: x y交 AB 於 P 則 AP: BP 4: 4. 兩平行線 : x y L 與 : x y L 的距離為. 與 x4y 平行且相距 的直線方程式為 x 4y4或 x4y6 6. 兩直線 L : x y 7 和 L :7x y 交角的角平分線方程式為 x6y或 x4y7
33 第 4 章向量 9 考古觀摩題 4- ( B ). 設 A 9 B x y 為平面上相異兩點若向量 AB 與向量 u 同方向且 AB 6 則 x 4y (A) (B) 9 (C) 9 (D) [ 統測數 (C)] ( C ). 已知向量 a 與向量 b 若 a b r s 則 s r (A) (B) (C) (D) [4 統測數 (B)] ( A ). 已知平面上四點坐標為 A 7 B7 C D x y 若向量 7 AD AB AC 則 x y (A) 4 (B) (C) (D) 4 [4 統測數 (C)] 4 4 ( B ) 4. 設 a b c 為平面向量 D E F G 為坐標平面上的四個點 若 DE a DF b a FG b 4 c 則下列何者恆正確? (A) GE a b 4 c (B) GE a b 4 c (C) GE 4 a b c (D) GE a b 4 c [ 統測數 (A)] ( C ). 已知 A B C a b 為平面上三點若向量 AC 的長度為 且與向量 AB 反向 則 a b 之值為何? (A) a 9 b (B) a b (C) a 6 b 7 (D) a 6 b 9 [ 統測數 (B)] 4- ( A ) 6. 設 a 4 b x y 為平面上兩向量 且 x y 4 則此兩向量內積 a b 最大值為何? (A) (B) (C)4 (D)6 的 [98 統測數 (C)] ( A ) 7. 在 ABC 中 若 D 為線段 BC 的中點 且 AB 9 AC 則向量內積 AD BC (A) 8 (B) 4 (C)4 (D) 8 [99 統測數 (C)] ( C ) 8. 已知兩向量 a b 互相垂直若 a 4 a b 則 b (A) (B) (C) (D) 4 ( B ) 9. 設向量 u a v a w [ 統測數 (C)] 則下列敘述何者正確? (A) 若 u v 與 w 平行 則 a (B) 若 u v w 則 a (C) 若 u v 則 a (D) 若 u v w 則 a [ 統測數 (C)] a 4 向量 b // a 且 a b 則 a b (A) (B) 4 ( A ). 設向量 (C)6 (D)8 [ 統測數 (C)]
34 ( B ). 已知平面三向量 a 4 b x 9 c 8 y 之值為何? (A) 8 (B) 6 (C) 6 (D)8 ( A ). 設平面二向量 u cos sin v sin cos 且 // 則 y 設 a b b c x [ 統測數 (C)] 且其內積 u v 若 則 之值可能為何? (A) (B) (C) (D) [ 統測數 (C)] 6 4 cos 且 a b 則 6 4 a b a b (A) 9 (B)9 (C)97 (D) 4 [4 統測數 (A)] ( C ). 設平面上兩向量 a 與 b 的夾角為 若 ( C ) 4. 已知 k 為實數 若向量 a k與向量 b k (A) (B) (C) (D) ( C ). 已知平面上兩向量 a 與 b 4 且 a b 的內積為 8 則 k [4 統測數 (B)] 與 a b 的夾角為 則下列何 [ 統測數 (A)] 與 AC 的夾角為 則 AB AC 之值為何? (A) 者正確? (A) 為銳角 (B) 為直角 (C) 為鈍角 (D) 為平角 AC 又 AB ( B ) 6. 已知 AB 4 (B) 76 (C) 4 (D) [ 統測數 (B)] ( A ) 7. 已知向量 68 a 且與 b 之夾角為 6 則向量 a 在 b 上的正射影長為何? (A) (B) 7 (C) (D) [ 統測數 (C)] 4-4 ( D ) 8. 設直線 L 的斜率為 且通過點 4 又直線 L 的 x y 軸截距分別為 則下列敘述何者正確? (A) L 與 L 相交於點 8 (B) L 與 L 相交於點 4 6 (C) L 與 L 平行且兩線相距 (D) L 與 L 平行且兩線相距 6 [ 統測數 (C)] ( A ) 9. 設兩直線 L :x y4 與 L : x y4 則 L 與 L 交角為銳角的角平分線方程式為何? (A) x y (B) x y (C) x y (D) x y [ 統測數 (C)] ( B ). 已知 L L 為與直線 x4y 平行的二直線若 L 過點 9 L 過點 則此二平行線間的距離為何? (A) (B)6 (C) 48 (D)6 [ 統測數 (C)]
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
3 = 90 - = 5 80 - = 57 5 3 3 3 = 90 = 67 5 3 AN DE M DM BN ABN DM BN BN OE = AD OF = AB OE= AD=AF OF= AB=AE A= 90 AE=AF 30 BF BE BF= BE= a+b =a+ b BF=BC+CF=a+CF CF= b CD=b FD= b AD= FC DFC DM=
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
Microsoft Word - 第3章_99_.doc
- 平面向量的基本運算 第三章平面向量 第三章平面向量 0 甲 向量的表示法 乁重點整理乁 一 幾何表示法 有向線段 : 如圖 帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以 表示 A 稱為始點,B 稱為終點 為有向線段, 的長度以 表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量 我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小 向量 :A 為始點,B 為終點,
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2 2 12 12 4 81 = 108 3 2 108 = 72 3 4 72 = 96 3 2 96 = 64 3 12 t = 2 1 2 11 12 12 12 2 l 2 l 2 l 2 12 ò ED = CB DA BA DE
1 2 / 3 1 A (2-1) (2-2) A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A ( () 4 A4, A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) ()
(39mm E-Mail ( )( ), : : 1 1 ( ) 2 2 ( ) 29mm) WSK ( 1 2 / 3 1 A4 2 1 3 (2-1) 2-1 4 (2-2) 2-2 5 A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A4 10 11 ( () 4 A4, 5 6 7 8 A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) () 1 2 (2-1) 3 (2-2) 4 5 6 7 (8 ) 9
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
= 3 + 1 7 = 22 7 3.14 = 3 + 1 7 + 1 15 +1 = 355 3.1415929 113 221221221221 136136136136 221000000000 221000000 221000 221 = 136000000000 136000000 136000 221 1000000000 1000000 1000 1 = 136 1000000000
4 / ( / / 5 / / ( / 6 ( / / 7 1 2 / 3 ( 4 ( 2003 8 ( 2
: / ( 6 (2003 8 : ( 1 ( ( / / (,, ( ( - ( - (39mm 29mm 2 ( 1 2 3-6 3 6-24 6-48 12-24 8-12 WSK / WSK WSK 1 4 / ( / / 5 / / ( / 6 ( / / 7 1 2 / 3 ( 4 ( 2003 8 ( 2 9 5 ( 10 3 11 / (600 4 5 AA 710 AB 720 730
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A A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D B C D F G I J A A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D
( m+ n) a 6 4 4 4 4 7 4 4 4 48 m n m+ n a a = a 4 a 4 3 a a 4 a 4 3 a = a 4 a 4 4 a 4 == 3 = a ma na ( m+ n) a A 0 a m a n m n a m+n 0 B a m a n m n m>n a m-n C 0 (a m ) n m n a mn D (ab) n n a n b n (
50~56 I1. 1 A 2 3 I2. I2a. 1 2 3 4 5 ( ) I2b. 1 2 3 I2b1. 4 5 ( ) I3. 11 12 02 ( ) 1 2 (24 ) A1. 0 1 A2 A1a. ( ) A2. ( ) () () ( ) ------------------------------------------------------------------------------------------
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
例 009 年高考 全国卷Ⅱ 理 8 如 图 直 三 棱 柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分 别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所 成角的大小 图 - 略 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD
Education Science 教育科学 平面法向量在解立体几何题中的应用探究 梁毅麟 恩平市华侨中学 广东江门 59400 摘 要 几何发展的根本出路是代数化 引入向量研究是几何代数化的需要 随着平面法向量这个概念在新教 材的引入 应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明 空间角和距离的求解等高考热点问题的方法 更具灵活性和可操作性 其主要特点是用代数方法解决几何问题 无需考虑如何添加辅助线
高二立體幾何
008 / 009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 高 二 立 體 幾 何 參 選 編 號 :C00 學 科 名 稱 : 適 用 程 度 : 高 二 簡 介 一 本 教 學 設 計 的 目 的 高 中 立 體 幾 何 的 學 習 是 學 生 較 難 理 解 而 又 非 常 重 要 的 一 個 部 分, 也 是 高 中 教 學 中 較 難 講 授 的 一 個 部 分. 像 國 內 的 聯 校
1 V = h a + ab + b 3 = 1 = 1 + = + = BAC Quod erat demonstrandum Q E D AB p( EF) p = = AB AB CD q( EF) q p q 1 p q, EF = ED BF G G BG = FG EH a = b + c a - b = c FG = BG = HG = a EF = FG - EG = a - b
標準 BIG 中文字型碼表 A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 一 乙 丁 七 乃 九 了 二 人 儿 入 八 几 刀 刁 力 匕 十 卜 又 三 下 丈 上 丫 丸 凡 久 么 也 乞 于 亡 兀 刃 勺 千 叉 口 土 士 夕 大 女 子 孑 孓 寸 小 尢 尸 山 川 工 己 已 巳 巾 干 廾
標準 BIG 中文字型碼表 A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｂ Ｃ Ｄ ± Ｅ Ｆ A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 兙 兛 兞 兝 兡 兣 嗧 瓩 糎 0 Ｂ 9 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ｃ Ⅷ Ⅸ Ⅹ 〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十 卄 卅 Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ Ｊ Ｋ Ｌ Ｍ Ｎ Ｏ Ｐ Ｑ Ｅ Ｒ Ｓ Ｔ Ｕ Ｖ Ｗ Ｘ Ｙ Ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ｇ Ｆ ｈ ｉ
2 1 = 1 2 AOB AOB = 2 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 2 AOB AOC = BOC = 1 2 AOB OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b - 1 2 4 ab = a + b 2 2 2 2 1.
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
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4 1 1 16 1 0 1 5 3 8 5 8 5 8 7 8 5 1 3 5 1 4 4 5 1 5 1 8 = 1 16 16 10000 16 1 1 5 + 3 8 + = ( = 3 5 3 5 15 1 1 7 4 3 = =. 4 7 4 7 8 4 x y z x + 1 = y + 1 = z + 1 x y z = 1 y z x zx = z-x xy = x-y y-z
He becamea good doctor.. 3 He was a good doctor. ( ). The days get shorter.. 4 The days are shorter.. 102 51 17 1,,. 41 20 7 Θ 102 102 51 102 17 102 51 102 17 =, =, = > > 41 41 20 40 7 42
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
2 1 = 1 AOB = 22 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 AOB 2 AOC = BOC = 1 AOB 2 OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b- 1 2 2 2 2 4 ab = a + b 2 1.
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
ok332 平面向量的座標表示法
1 ok33 平面向量的坐標表示法 主題一 向量的坐標表示法 1 對於任意一個向量 a,必有唯一的一點 A 使得 a OA 此時 A 點的坐標 xy, 就是向量 a 的坐標表示, 即 a x, y,其中 x 和 y 分別稱為向量 a 的 x 分量 與 y 分量且 a OA x y 設 r 為實數,向量 a x, y, b x, y 1 1 (1) a b x x, y y () r a rx, ry
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
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历 年 MBA MPAcc 联 考 数 学 真 题 及 答 案 详 解 (009-0) 009 年 月 MBA 联 考 数 学 真 题 及 答 案 详 解 一 问 题 求 解 ( 本 大 题 共 小 题, 每 小 题 分, 共 分 下 列 每 题 给 出 的 五 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 符 合 试 题 要 求 的 请 在 答 题 卡... 上 将 所 有 选 项 的 字 母 涂 黑 ).
就 构 成 了 盗 窃 罪 与 破 坏 交 通 设 施 罪 的 想 象 竞 合, 按 照 其 中 处 罚 较 重 的 犯 罪 处 罚 5. 答 案 :B 本 题 主 要 考 察 如 何 区 分 收 买 被 拐 卖 的 妇 女 儿 童 罪 与 拐 卖 妇 女 儿 童 罪 的 共 犯 问 题 ( 对 向
新 东 方 全 国 法 律 硕 士 ( 非 法 学 ) 联 考 模 拟 考 试 专 业 基 础 课 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 1. 答 案 D 本 题 主 要 考 查 刑 法 分 则 中 关 于 亲 告 罪 与 非 亲 告 罪 的 规 定 要 注 意 这 些 亲 告 罪 在 有 特 别 的 情 况 下, 是 公 诉 犯 罪 我 国 刑 法 共 规 定 了 5 种 告 诉 才 处 理 的
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
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考 查 知 识 点 肝 气 疏 泄 调 畅 气 机 的 作 用, 主 要 表 现 在 以 下 几 个 方 面 :(1) 促 进 血 液 与 津 液 的 运 行 输 布 ;(2) 促 进 脾 胃 的 运 化 功 能 和 胆 汁 分 泌 排 泄 ;(3) 调 畅 情 志 ;(4) 促 进 男 子 排 精
2015 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 中 医 综 合 科 目 试 题 解 析 一 A 型 题 :1~80 小 题, 每 小 题 1.5 分, 共 120 分 在 每 小 题 给 出 的 A B C D 四 个 选 项 中, 请 选 出 一 项 最 符 合 题 目 要 求 的 1. 提 出 阳 常 有 余, 阴 常 不 足 观 点 的 医 家 是 A 朱 丹 溪 B 刘 完
民 國 105 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 簡 章 目 錄 壹 考 選 依 據 1 貳 考 ( 甄 ) 選 對 象 1 參 資 格 規 定 1 肆 員 額 及 專 長 類 別 2 伍 報 名 及 選 填 志 願 日 期 方 式 3 陸 選 填 官 科 (
民 國 105 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 期 程 表 日 期 執 行 項 目 3 月 1 日 (8 時 起 ) 至 3 月 21 日 (17 時 止 ) 網 路 報 名 並 完 成 列 印 3 月 22 日 (17 時 止 ) 各 校 承 辦 人 員 收 報 名 件 截 止 3 月 30 日 4 月 11 日 5 月 18 日 5 月 27 日 (17
:,,,, ( CIP ) /,. :, ISBN CIP ( 2001) : : 127, : : : ht t p: / / www. nwpup. com : :
:,,,, ( CIP ) /,. :, 2001. 8 ISBN 7 5612 1363 8............. 0342 CIP ( 2001) 027392 : : 127, : 710072 : 029-8493844 : ht t p: / / www. nwpup. com : : 787mm1 092mm : 19. 75 : 480 : 2001 8 1 2001 8 1 :
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序：
序 言 当 接 到 燕 姿 老 师 的 序 言 邀 请 时, 还 是 有 点 受 宠 若 惊 的, 虽 说 这 套 书 是 我 一 点 点 看 着 燕 姿 老 师 编 写 的, 也 知 道 它 的 妙 用 及 优 势 但 是 如 何 写 点 推 荐 的 东 西 还 是 有 些 愁 人, 毕 竟 感 觉 大 家 不 怎 么 看 序 言, 而 且 我 不 太 擅 长 忽 悠 思 来 想 去 莫 不 如
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( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
SIK) 者, 需 實 施 1 年 以 上, 經 體 格 檢 查 無 後 遺 症 者 5. 身 體 任 何 部 分 有 刺 青 紋 身 穿 耳 洞 者, 不 得 報 考, 各 項 檢 查 結 果 須 符 合 體 位 區 分 標 準 常 備 役 體 位 二 在 校 軍 訓 成 績 總 平 均 70 分
民 國 102 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 簡 章 壹 依 據 : 依 民 國 102 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 計 畫 辦 理 貳 考 ( 甄 ) 選 對 象 : 具 中 華 民 國 國 籍, 尚 未 履 行 兵 役 義 務 之 役 男, 年 齡 在 32 歲 ( 民 國 70 年 1 月 1 日 以 後 出
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2013年3月国家教师资格统一考试
2016 年 导 游 资 格 考 试 导 游 基 础 模 拟 试 题 及 答 案 4 一 单 项 选 择 题 ( 请 选 择 一 个 正 确 答 案, 并 将 正 确 答 案 涂 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 共 60 小 题, 每 小 题 0.5 分, 共 30 分 ) 1. 马 克 思 列 宁 主 义 同 中 国 实 际 相 结 合 的 第 二 次 历 史 性 飞 跃 的 理 论 成
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CIP / 005 ISBN 7-30-08496-X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G634 603 CIP 004 353 ISBN 7-30-08496-X/G 380 0087 http / /cbs pku edu cn 67505 58874083 67656 xxjs@pup pku edu cn 675490 787 09 6 4 75 383 005 005 9 00 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第二套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 2 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
钢铁金相图谱
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CIP. / ISBN Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G CIP http / /press. nju. edu. cn
CIP. /. 004. 4 ISBN 7 305 0458 7 Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G64. 505 CIP 004 0798 0093 05 8359693 05 835937 05 83686347 http / /press. nju. edu. cn nupress@public. ptt. js. cn 787 09 /6. 5 85 004 5 ISBN 7 305 0458
4
練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
97 04 25 0970002232 97 12 31 1-7 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 24 A1. 0 1 ( 6 ) 2 ( 6 ) 3 4 A1a.? 5 6 0 1 A1b.? 0 1 2 A2. 0 1 A2b. A2c. A2a. A2d. 1 A3. 1 A4 2 0 A4 A3a.?? 0 A4 1 A3b. 0 A4 1 A3c.?? 1
數學
( ). 設 a, b 為平面上的二向量,若 a + b (,), a b (, 6),則 a b 的值 () () 一 單選題 () () (). a + b (,) LL a b (, 6) LL + ( a + 6 b ) + ( a 6 b ) (,) + (, 8) 7 a (7, ) a (, ) 代入 得 (, ) b (, 6) b (, ) (, 6) (6,) b (, ) a
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
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台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
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. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
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198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
CIP /. - 1999.1 ISBN 7-81059-300-! ". #. - - - - $. D909.5-44 CIP 1999 00865 100038 850 1168 1/32 8 200 1999 1 1 2003 3 1 2003 3 1 0001-5000 180.00 15.00 !! 2003 2 1998!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
民國八十九年台灣地區在校學生性知識、態度與行為研究調查
84 年 台 灣 地 區 在 校 學 生 性 知 識 態 度 與 行 為 研 究 調 查 過 錄 編 碼 簿 題 號 變 項 名 稱 變 項 說 明 選 項 數 值 說 明 備 註 i_no 學 生 編 號 問 卷 流 水 號 location 學 校 所 在 縣 市 編 號 1 台 北 市 2 基 隆 市 3 台 中 市 4 台 南 市 5 高 雄 市 6 新 竹 市 7 嘉 義 市 21 宜 蘭
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
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) ,,, :,,,,,,, ( CIP) /. :, 2001. 9 ISBN 7-5624-2368-7.......... TU311 CIP ( 2001) 061075 ( ) : : : : * : : 174 ( A ) : 400030 : ( 023) 65102378 65105781 : ( 023) 65103686 65105565 : http: / / www. cqup.
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2013 中 建 教 育 二 级 建 造 师 建 设 工 程 施 工 管 理 点 题 班 习 题 ( 一 ) 一 单 项 选 择 题 ( 共 70 题, 每 题 1 分, 每 题 的 备 选 项 中, 只 有 1 个 最 符 合 题 意 ) 1 建 设 工 程 项 目 管 理 就 是 自 项 目 开 始 到 完 成, 通 过 ( ) 使 项 目 目 标 得 以 实 现 A 项 目 策 划 和 项 目
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x a b a a a a a a a a x x x x x x x x x x r G A B D A B C D C A M M G G C C C C A G A B C D E F E E E m m A B A B A B Q x x x x x x x x x x x A B
ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下
外積體積與行列式 陳清海 老師 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積
高考数学广东版真题再现（理科）答案（1月份）
高 考 数 学 广 东 版 真 题 再 现 ( 文 科 ) ( 月 份 ) 第 期 第 课 时 : 空 间 几 何 体 的 线 面 位 置 关 系. (04 04 安 徽 卷 ) 如 图, 四 棱 锥 P - ABCD 的 底 面 是 边 长 为 8 的 正 方 形, 四 条 侧 棱 长 均 为 7. 点 G,E,F,H 分 别 是 棱 PB,AB,CD,PC 上 共 面 的 四 点, 平 面 GEFH
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第三章平面向量 31 平面向量運算在第一章裡, 我們利用 相似三角形 的概念表達三角形邊與角的關係, 建立三角函數, 進而以 三角函數 為工具, 求 長度 角度 面積 等幾何量, 並證明 正弦定理, 餘弦定理以及海龍公式, 用以解決測量的問題 在第二章裡, 我們利用直角坐標系, 將幾何問題經代數運算求解, 再詮釋幾何意義, 如直線的傾斜程度 聯立方程式與直線交點, 以及圓與直線的關係, 進而研究它們的性質
: : : ( CIP ) : ( ) /. :, ISBN :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : : / 6 : 7 ( ) : 408 () : 00
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比 賽 表 Competition Schedule 報 到 : 比 賽 開 始 前 15 分 鐘 Reporting : 15 minutes before the scheduled time for the match 各 參 賽 隊 伍 必 須 依 照 大 會 編 定 的 出 場 比 賽,
比 賽 表 Competition Schedule 報 到 : 比 賽 開 始 前 15 分 鐘 Reporting : 15 minutes before the scheduled time for the match 各 參 賽 隊 伍 必 須 依 照 大 會 編 定 的 出 場 比 賽, 每 場 賽 事 於 裁 判 召 集 出 場 5 分 鐘 後 仍 未 能 出 場 作 賽 或 參 2016
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96 3 10 71 3 1 7 π π π ( ) 3 a 1 6 x + 1 1 x + 1 7 x + 5 + 1 x + 4 = x m = b - d a -c cb - ad n = a - c m = 4 - (-3) 8-7 = 7 1 = 7 n = 7 3 8( 4) = 53 8 7 a1 a a3 a N a n 0 + + 3 + L+ n 10 10 10 10 7 355
94/03/25 (94 0940002083 94 12 31 C 1-8 (65 29 5 15 1 2 1-23 28 24-27 k1. k1a. 1 2 3 4 k1b. 1 2 3 4 5 k1c. 1 2 ( 3 4 ( 5 k2. 1 A 2 k 3k 4 3 k3k4 k3. k3a. 1 2 3 4 ( k3b. 1 2 k3b1.? 3 ( (D4 k4. 11 12 02
北京2014年会计从业资格考试《会计基础》备考机试卷一
更 多 内 容 请 查 看 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 北 京 2014 年 会 计 从 业 资 格 考 试 会 计 基 础 备 考 机 试 卷 一 1 单 项 选 择 题 ( 下 列 各 题 的 备 选 答 案 中, 请 从 中 选 出 一 个 最 符 合 题 意 的 答 案 本 类 题 共 20 个 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 多 选 错 选
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A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D N 1
1 1 3 5 5 8 9 9 11 13 14 16 17 17 19 21 23 25 26 26 29 31 32 32 33 34 35 37 38 1 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 3 1. A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D. 23. 5 N 1 1 2 3 1. A. B. C. D.
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72 + + 60 2 4. 72 72 2 + 20 2 + 2.4 20 60 60 8 =.4 22 72 2 + 002 + 0.4 20 60 90 =.4 22 2 + 600 0.44 72 + + 60 72.422 + 2.4 20 + 20 2 60 72 =.4 22 2 + 0 20 + 40 60 72 =.4 40 + 600 + 600 60 72 =.400 + 600
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
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1, : ( ),?, :,,,, ( ), 1 180,, ( ) 1 1,, 2 180 ;,, 3 180 ;, n ( n - 2 ),, ( n - 2) 180 1 1, : ( ),.,, 2, (, ) 1 , 3 x + y = 14, 2 x - y = 6 : 1 ( ) : + 5 x = 20, x = 4 x = 4 y = 2, x = 4, y = 2 2 ( ) :
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五 福 一 自 p1 高 雄 市 立 五 福 國 中 97 學 年 度 第 2 學 期 第 1 次 段 考 一 年 級 自 然 與 生 活 科 技 學 習 領 域 試 題 卷 一 選 擇 題 : 每 題 2 分,35 題 共 70 分 ㄧ 年 班 號 姓 名 : ( )1. 下 列 關 於 有 性 生 殖 的 特 色, 哪 一 項 敘 述 是 正 確 的? (A) 高 等 植 物 利 用 營 養 器
E. (A) (B) (C) (D). () () () (A) (B) (C) (D) (E). () () () (A) (B) (C) (D) (E). (A)(B)(C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B)(C) (D) (E). (A) (B) (C)
. (A) (B) (C) (D) (A) (B) (C)(D)(E). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E). (A)
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核 准 機 關 : 行 政 院 主 計 總 處 核 准 文 號 : 主 普 管 字 第 1020400481 號 有 效 期 間 : 至 103 年 6 月 30 日 止 辦 理 機 關 : 財 團 法 人 國 家 衛 生 研 究 院 行 政 院 衛 生 署 國 民 健 康 局 IRB 通 過 案 號 : 國 家 衛 生 研 究 院 EC1020502 號 樣 本 編 號 :( 訪 員 填 寫 )
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05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
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門 診 醫 療 服 務 點 數 清 單 媒 體 申 報 格 式 及 填 表 說 明 97.5.1 更 新 版 ( 檔 案 名 稱 : DTLFA, 每 筆 長 度 246 BYTES) 項 次 資 料 名 稱 格 式 中 文 名 稱 / 資 料 說 明 ==== ======================== ==== ================================== *01
第一章 §1 1
期 中 综 合 测 试 题 本 卷 分 为 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 ) 和 第 Ⅱ 卷 ( 非 选 择 题 ), 满 分 100 分, 时 间 90 分 钟 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 共 48 分 ) 一 选 择 题 ( 在 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 最 符 合 题 意 的 本 大 题 共 24 小 题, 每 小 题 2 分, 共 48 分 ) 1. 阅 读
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
A B C D E F 3 B C D E F A 3 1995 13 27 299 1993 45 29 301 1995 47 5 12 30 6 12 31 67 17 1 1 4 8 00 2 145 1 1 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + 2 6 12 20 30 42 56 72 1 1 1 1 2 + + + + 1 3 3 5 5 7
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1 32 a + b a + b 2 2 a b a b 2 2 2 4a 12a + 9 a 6 2 4 a 12a + 9 a 6 ( 2a 3) 2 a 6 3 1 2 4 + 2 4 8 + 3 6 12 + 1 3 9 + 2 6 18+ 3 9 27 + 1 10 1 10 ax + by = 2 cx 7y = 8 1 2 1 4 1 8 1
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
A. B. C. D. 解 析 : 几 何 体 的 主 视 图 为 选 项 D 俯 视 图 为 选 项 B 左 视 图 为 选 项 C. 答 案 :A. 5. 剪 纸 是 扬 州 的 非 物 质 文 化 遗 产 之 一 下 列 剪 纸 作 品 中 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) A. B
06 年 江 苏 省 扬 州 市 中 考 真 题 数 学 一 选 择 题 ( 本 大 题 共 有 8 小 题 每 题 分 共 4 分 ). 与 - 的 乘 积 为 的 数 是 ( ) A. B.- C. D. 解 析 : (-)= 答 案 :D... 函 数 y x 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ( ) A.x> B.x C.x< D.x 解 析 : 由 题 意 得 x- 0 解 得
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科 別 : 國 文 科 (A 區 ) 分 發 16 名 1 600110129 黃 毅 潔 國 立 豐 原 高 級 商 業 職 業 學 校 2 600110446 鄭 安 芸 國 立 南 投 高 級 中 學 3 600110632 李 孟 毓 桃 園 市 立 大 園 國 際 高 級 中 學 4 600110492 洪 珮 甄 南 投 縣 立 旭 光 高 級 中 學 5 600110262 柯 懿 芝
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优合会计考点直击卷子之财经法规答案——第八套
原 题 导 航 基 础 第 一 套 第 1 题 参 考 答 案 : C 试 题 评 析 : 在 社 会 主 义 市 场 经 济 条 件 下, 会 计 的 对 象 是 社 会 再 生 产 过 程 中 主 要 以 货 币 表 现 的 经 济 活 动 第 2 题 参 考 答 案 :B 试 题 评 析 : 在 权 责 发 生 制 下, 本 期 售 货 尚 未 收 到 销 售 货 款 属 于 当 期 收 入
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义 务 教 育 教 科 书 数 学 九 年 级 下 册 QINGDAOCHUBANSHE 亲 爱 的 同 学 : 时 间 过 得 真 快! 转 眼 之 间, 已 经 进 入 九 年 级 下 学 期 在 九 年 义 务 教 育 阶 段 的 最 后 一 学 期, 你 打 算 怎 样 学 习 数 学? 函 数 是 你 的 老 朋 友, 早 在 七 年 级, 就 结 识 了 函 数, 在 八 ( 下 ) 又