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1 第 章 三角函數的基本概念 -1 銳角三角函數 1 - 三角函數的基本關係 10-3 簡易測量與三角函數值表 17-4 廣義角的三角函數 8-5 正弦定理與餘弦定理 46-6 基本三角測量 60 附表一附表二 希臘字母表 63 三角函數值表 64

2 一 銳角三角函數值的定義 第二章三角函數的基本概念 -1 銳角三角函數 : 給定一銳角 θ, 作 =θ, 在 的其中一邊上任選一點 ( 不能是 點 ), 作 C 垂直 的另一邊, 設 C 為垂足 ( 如下圖 ) 在直角 C 中, 為斜邊, C 為 θ 的鄰邊, C 為 θ 的對邊, 則 θ 的六個三角函數分別為 sinθ= C = 對邊, 稱為 θ 的正弦 (sin 讀做 sine) 斜邊 cosθ= C = 鄰邊, 稱為 θ 的餘弦 (cos 讀做 cosine) 斜邊 tanθ= C C = 對邊, 稱為 θ 的正切 (tan 讀做 tangent) 鄰邊 cotθ= C 斜邊 C = 鄰邊對邊, 稱為 θ 的餘切 (cot 讀做 cotangent) 對邊 secθ= C = 斜邊 θ, 稱為 θ 的正割 (sec 讀做 secant) 鄰邊鄰邊 C cscθ= C = 斜邊, 稱為 θ 的餘割 (csc 讀做 cosecant) 對邊在上圖中, 因為 C=θ, 所以 sinθ 亦可記為 sin C, 若不致混淆, 亦可簡記為 sin, 甚至可簡記為 sin ( 其餘三角函數亦同 ) 注意 :θ( 即 ) 的三角函數值與 點位置的選取無關 例如 : 如下圖, 在 的其中一邊上任取相異兩點 ', 作 C ' C ' 垂直 的另一邊, 所以直角 C 直角 'C'( 相似 ), 因此 sin =sinθ= C = DE C E ' ;cos =cosθ= = ; D D tan =tanθ= C = DE C E ;cot =cotθ= = ; C E C DE θ sec =secθ= = D D ;csc =cscθ= = C C' C E C DE 例題 :1.(1) 在 C 中, =13, C =1, C =5, 求 的各三角函數值 () 在 C 中, =90, C = 3, 求 的各三角函數值 解 : ns:(1) 略 () 略 1 高中數學 ( 二 )

3 例題 :. 在 C 中, 解 : ns: 1 = C =, C = 3, 求 sin 的各三角函數值 例題 :3. 設 θ 為一個銳角, 且 sinθ= 1 3, 求 θ 的其他三角函數值 解 : ns:cosθ= 3,tanθ= 3,cotθ=,secθ= 4 4,cscθ=3 例題 :4. 利用量角器與有刻度的直尺作一直角三角形, 使其一內角為 37 且斜邊長為 5, 並估計 sin 37 cos 37 與 tan 37 之值 解 : ns:sin ,cos 37 5,tan 37 4 給定一個銳角 θ 的值, 就可以得到 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ 與 cscθ 的值, 它們都可以看成 θ 的函數, 即以角的度量為自變數, 以邊長比值為應變數的一種函數, 依序稱為正弦函數 餘弦函數 正切函數 餘切函數 正割函數與餘割函數, 這六個函數統稱為三角函數 因為 θ 是銳角, 所以這種三角函數進一步叫做銳角三角函數 -1 銳角三角函數

4 例題 :5. 設 θ 為銳角, 則下列 θ 的各三角函數值哪些是合理的?()sinθ= ()cosθ= 1 3 (C)tanθ= 1 3 (D)cotθ= 10 (E)secθ=00 (F)cscθ=0.5 解 : ns:()(c)(d)(e) 銳角的三角函數值範圍 : 若 θ 為銳角, 則 (1)0<sinθ cosθ<1 ()tanθ cotθ>0 (3)secθ cscθ>1 二 特別角的三角函數值 例題 :6. 試求出下列表格中的三角函數值 解 : ns: 略 函數值函數角度 sin cos tan cot sec csc 高中數學 ( 二 )

5 例題 :7. 試求出下列表格中的三角函數值 解 : ns: 略 函數值函數角度 sin cos tan cot sec csc 例題 :8. 試求下列各式的值 : sin 45 + tan 45 (1)sin 30 cos 45 +cos 30 sin 45 () sec30 csc60 解 : ns:(1) 6+ 4 () 9 8 為了方便起見, 我們將 (sinθ) 寫成 sin θ, 但千萬不能寫成 sinθ, 以免與 sin(θ ) 產生混淆, 其他三角函數次方的寫法依此類推 -1 銳角三角函數 4

6 三 銳角三角函數的應用 例題 :9. 下圖為半徑 1 的四分之一圓, 與 CD 為圓的切線段, EF O, 試以 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 表示下列各線段長 : (1) FE ()OE (3) (4)O (5)CD (6)OD 解 : ns:(1) sinθ() cosθ(3) tanθ(4) secθ(5) cotθ(6) cscθ y C D F θ O E x 例題 :10. 如下圖, 在 C 中, C=90, =θ,cd (1) 試證 :(Ⅰ) C CD CD (Ⅱ) C = D ; C 解 : ns:(1)(i) 略 (II) 略 () 45 (3) 略 = D ; CD 於 D 點 : = D D () 若 D =1, D =3, 試求 C 的面積 (3) 試證算 - 幾不等式 :( 與第一冊 -1 例題 5 做比較 ) a+ b 若 a b 0, 則 ab 且等號成立的充要條件是 a=b C θ D 5 高中數學 ( 二 )

7 例題 :11. 如下圖, 在 C 中, C=90, =θ,cd 於 D 點 : (1) 試以 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 表示下列各式 : (Ⅰ) C (Ⅱ) D (Ⅲ) C CD CD () 試求下列各式所表示的線段? (Ⅰ) sinθ (Ⅱ) C tanθ (Ⅲ) C cosθ (Ⅳ) D cotθ 解 : ns:(1)(i) sinθ(ii)cotθ(ii)secθ()(i) C (II) C (III) D (IV)CD C θ D 例題 :1. 如下圖, 在 C 中, D C, =5,sin = ,sin C= 17, 試求下列各值 :(1) D () C (3) C 解 : ns:(1) 15 () 17 (3) 8 C D 求邊長時常會用到 : 斜邊 sinθ= 對邊, 斜邊 cosθ= 鄰邊, 鄰邊 tanθ= 對邊 : 有六顆球, 其中三顆是重的, 另三顆是輕的, 三顆重的一樣重, 三顆輕的也一樣輕, 請使用天秤三次, 判斷各顆球孰重孰輕 -1 銳角三角函數 6

8 基礎題 1. 設 θ 為銳角且 tanθ= 5 6, 試求 θ 的其他三角函數值. 設 θ 為銳角, 若 sinθ= 15 17, sinθ cosθ 求 之值 1 cotθ 1 tanθ 3. 若 4sin -8sin +3=0, 試求 sin 之值 4. 如右圖,OP = OQ,QR PR, QOR=θ, 若 sinθ= 5 8, 求 cot θ 之值 P O θ Q R 5. 如右圖,θ 為銳角, 與 CD 為單位圓 ( 半徑為 1 的圓 ) 的切線段, EF O, 試以 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 表示下列各線段長 : (1) ()EF (3)OE (4)O (5)CD (6)OD y C O D F θ E x 6. 在銳角 C 中, =30,sin = 4 5 5,cos C= 13, D C, 求 D 及 C 之長 進階題 1+ tanθ 7. 設 θ 為銳角, 已知 =3+, 求 sinθ+cosθ 之值 1 tanθ 8. 已知 為銳角, 若 cot -( 3+1)cot + 3=0, 則 = log tan 60 + log tan 45 3logsin 30 + log5 9. 求之值 1 1+ log36 + logsec 如右圖, C 中, C=90, C = C, 的平分線交 C 於 D, DC=θ, 求 sinθ cosθ 及 tanθ 之值 θ D C 11. 如右圖, C C,CD, D =9, D =4, CD=θ, C 試求 :(1)CD 之長 ;() sinθ 與 cosθ 之值 θ 9 D 4 1. 如右圖, 設一圓之半徑為 r, 則其內接正七邊形的邊長為 () r sin 180 () r cos 180 (C) r tan 180 (D) r cot (E) r sec 180 (F) r csc r 7 高中數學 ( 二 )

9 13. 如右圖, 設一圓之半徑為 r, 則其外切正七邊形的邊長為 () r sin 180 () r cos 180 (C) r tan 180 (D) r cot (E) r sec 180 (F) r csc r 14. 設 P 為銳角 C 之外心,x y z 表 P 至 C C 之距離, 則 x:y:z 等於 () sin :sin :sin C () cos :cos :cos C (C) tan :tan :tan C (D) cot :cot :cot C (E) sec :sec :sec C 15. 如右圖, 為直徑, =39,sin PC= 5 13, 求 P + P P 16. 如右圖, 扇形半徑為 30, 圓心角為 60, 求其內切圓半徑之長 C C 思考題 17. 如右圖, 正方形 CD 的邊長為, 已知 M 為 C 中點, MC=θ, 試求 cotθ 之值 ( 提示 : 作 MH C 於 H, 求出 M 與 MH ) θ D M C 18. 如右圖, 等腰 O 中, 頂角 O=36,OH, = C, 試求 :(1) sin 18 ;() cos 18 ( 提示 : 設 O =1, H =x, 然後利用 O C) C O H 19. 設 H 為銳角三角形 C 的垂心 ( 三高之交點 ), 若以 c 表線段 之長, 則線段 H 之 長等於 () c cos sin C () c cos cos C (C) c cos tan C (D) c cos sec C (E) c cos csc C 0. 銳角 C 中, 若 cos = 4 5,cos C= 1 5, C 的中點為 M, 而 H C =5, 試求 :(1) C () H (3) M 於 H, MH 答案 : 1. sinθ= 5 61,cosθ= 6 61,cotθ= ,secθ= 61 6,cscθ= (1) tanθ() sinθ(3) cosθ(4) secθ(5) cotθ(6) cscθ 6. 4; 銳角三角函數 8

10 或 ; () 13.(C) 14.() (1) (E) 0.(1) () 1 (3) 13 ; (1) 6 () ; () 高中數學 ( 二 )

11 一 倒數 商數 平方關係 - 三角函數的基本關係 設 C 中, C=90, =θ, 若以 a b 與 c 分 別表示三邊 C C 與 之長, 則 sinθ= a c cosθ= b c tanθ= a b cotθ= b a secθ= c b cscθ= c a :(1)sinθ cscθ=1 ()cosθ secθ=1 (3)tanθ cotθ=1 例如 :(1)sin 60 csc 60 = 3 =1 ()cos 60 sec 60 = 1 3 =1 1 (3)tan 60 cot 60 = 3 3 =1 :(1)tanθ= sin θ ()cotθ= cos θ cosθ sinθ 1 3 sin 30 1 例如 :(1) cos 30 = = =tan 30 () = = 3=cot 30 cos sin 30 1 證明 : θ c b a C :(1)sin θ+cos θ=1 (3)1+cot θ=csc θ ()1+tan θ=sec θ 例如 :(1)sin 30 +cos = ( ) + ( ) =1 ()1+tan =1 + ( ) ( ) 3 = 3 = 3 =sec 30 (3)1+cot 30 =1+( 3 ) =4= =csc 30 證明 : 上述的基本關係式, 可用下圖來幫助記憶 : (1) 倒數關係 : 每一條對角線的兩端點互為倒數 sin cos () 商數關係 : 每一個函數等於相鄰兩函數的乘積 (3) 平方關係 : 每一個黑色的三角形上面兩者的平方和 tan 1 cot 等於下面的平方 sec csc + = - 三角函數的基本關係 10

12 sinθ + tanθ 例題 :1.(1) 設 θ 為銳角且 cosθ-1=-3cosθ+, 試求之值 sinθ tanθ () 設 θ 為銳角, 若 7sinθ=4cosθ, 試求 tanθ 與 sinθ 之值 解 : ns:8 例題 :. 設 θ 為銳角, 試求下列各式之值 : (1) sinθ 1+ cosθ 1+ secθ 1+ cscθ ()(sinθ+cosθ) +(sinθ-cosθ) (3)(secθ+tanθ)(secθ-tanθ) 解 : ns:(1) () (3) 1 計算題的解題技巧 :(1) 將所有的三角函數化成 sin cos () 看到平方想起平方關係 (3) 善用乘法公式 11 高中數學 ( 二 )

13 例題 :3. 設 θ 為銳角, 試證 : (1)(sinθ+cosθ) =1+sinθcosθ ()sin 3 θ+cos 3 θ=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ) (3)tanθ+cotθ= 1 sinθ 1+ cosθ (4)cscθ= + sinθ cosθ 1+ cosθ sinθ pf: 證明題的解題技巧 :(1) 由複雜的式子往簡單的式子方向證明 ( 由繁入簡 ) () 利用計算題的解題技巧 (3) 看到分數可嘗試通分 例題 :4. 設 θ 為銳角且 sinθ-cosθ=1, 試求 sinθ 與 cosθ 之值 解 : ns:sinθ= 4 5,cosθ= 三角函數的基本關係 1

14 例題 :5. 設 θ 為銳角,sinθ+cosθ= 5 4 且 sinθ>cosθ, 求下列各式之值 : (1)sinθcosθ ()tanθ+cotθ (3)sin 3 θ+cos 3 θ (4)sinθ-cosθ (5)sinθ 解 : ns:(1) () 9 (3) 18 (4) 7 4 (5) 二 餘角關係 13 高中數學 ( 二 ) 設 C 中, C=90, =θ, 若以 a b 與 c 分別表示三邊 C C 與 之長 因 + =90, 所以 =90 -, 又 的對邊是 的鄰邊, 的鄰邊是 的對邊, 因此 sin= 的對邊長 b = = 的鄰邊長 =cos 斜邊長 c 斜邊長 即 sin(90 -θ)=cosθ, 同理可推得 cos(90 -θ)=sinθ 不僅如此, 正餘切函數與正餘割函數也有這種關係, 我們稱之為餘角關係 : sin(90 -θ)=cosθ,cos(90 -θ)=sinθ, tan(90 -θ)=cotθ,cot(90 -θ)=tanθ, sec(90 -θ)=cscθ,csc(90 -θ)=secθ 例如 :(1)sin 30 =sin(90-60 )=cos 60 ()cos 15 =cos(90-75 )=sin 75 (3)tan 45 =tan(90-45 )=cot 45 (4)cot 50 =cot(90-40 )=tan 40 (5)sec =sec(90-88 )=csc 88 (6)csc 37 =csc(90-53 )=sec 53 θ c b a C

15 例題 :6. 試求下列各式之值 : (1)sin 31 -cos 59 ()tan 44 tan 46 (3)sec 37 sin 53 (4)sec 3 -cot 67 (5)sin 0 +sin 70 解 : ns:(1) 0 () 1 (3) 1 (4) 1 (5) 1 注意彼此互餘的角度 平方關係的變形 :(1)1-cos θ=sin θ ()1-sin θ=cos θ 解 : ns:44 1 (3)sec θ-tan θ=1 (4)sec θ-1=tan θ (5)csc θ-cot θ=1 (6)csc θ-1=cot θ 例題 :7.sin 1 +sin +sin 3 + +sin 89 之值 : 有三個空杯子,10 個銅板, 把銅板全放到杯子裡, 如何放, 可以使得每個杯子都裝著奇數個銅板? - 三角函數的基本關係 14

16 基礎題 1. 設 θ 為銳角, 若 3sinθ=5cosθ, 試求 :(1) cotθ;() secθ. 設 θ 是銳角且 tanθ=, 則 cos θ+cosθsinθ+sin θ 3. 已知 為銳角, 若 4cos +8sin -7=0, 求 4. 設 θ 為銳角, 試證 :sec θ+csc θ=sec θcsc θ 1+ sinθ cosθ 5. 設 θ 是銳角, 試證 : + =secθ cosθ 1 + sinθ 6. 設 θ 為銳角且 3sinθ+4cosθ=5, 試求 sinθ 與 cosθ 之值 7. 設 θ 是銳角,sinθ+cosθ= 6 且 sinθ<cosθ, 試求 : (1) sinθcosθ () tanθ+cotθ (3) sinθ-cosθ (4) cosθ 8. 試求下列各式之值 : (1) sin 3 sec 67 +cos 4 csc 48 () tan 1 tan tan 3 tan 88 tan 求 cos 10 +cos 0 +cos 30 +cos 40 +cos 50 +cos 60 +cos 70 +cos 80 之值 進階題 10. 試求 sin 4 θ+sin θcos θ+cos 4 θ 之值 11. 設 θ 是銳角, 試證 :sec 4 θ-1=tan θ+tan 4 θ tan θ csc θ 1 1. 設 θ 是銳角, 試證 : + = tan θ 1 sec θ csc θ sin θ cos θ 13. 設 θ 為銳角, 已知 tanθ+secθ=3, 求 cosθ 之值 14. 設 θ 為一銳角且 sinθcosθ= 4 9, 求下列各式之值 : (1) sinθ+cosθ () sinθ-cosθ (3) tanθ+cotθ 15. 若 0 <θ<45, 已知 tanθ+cotθ= 5 1, 試求 : (1) sinθcosθ () sinθ+cosθ (3) sinθ-cosθ 16. 試求下列各式之值 : (1) sin (73 +θ)+sin (17 -θ) () tan csc 11 -csc 4 11 C 思考題 17. 設 θ 是銳角, 已知 f(k)=cos k θ+sin k θ, 試證 3f(4)-f(6)=1 ( 提示 :α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β)) 1+ sinθ cosθ 1 cosθ sinθ 18. 設 θ 是銳角, 求證 : = = 1+ sinθ + cosθ sinθ 1+ cosθ tanθ + secθ 1 1+ sinθ cosθ 19. 設 θ 是銳角, 試證 : = = tanθ secθ + 1 cosθ 1 sinθ 0. 設 θ 是銳角,sinθ+cosθ= 6 且 sinθ<cosθ, 試求 : (1) sin 3 θ+cos 3 θ;() sin 6 θ+cos 6 θ ( 提示 : 利用第 7 題與 α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β)) 15 高中數學 ( 二 )

17 答案 : 1.(1) 3 5 () 34 3 (4) (3) 9 4 () 略 5. 略 ; (1) () 略 1. 略 (1) 1 5 () 7 5 (3) (1) 1 4 () 4 (3)- 14.(1) 17 3 ()± (1) 1 () 略 18. 略 19. 略 0.(1) 三角函數的基本關係 16

18 一 簡易測量 -3 簡易測量與三角函數值表 :(1) : 目標物跟地心的連線 () : 通過觀測者眼睛且與鉛垂線相垂直的直線 (3) : 通過觀測者眼睛與目標物觀測點的直線 (4) : 仰視目標物時, 視線與水平線間的夾角 (5) : 俯視目標物時, 視線與水平線間的夾角 ( 注意 : 仰角與俯角一定都是銳角 ) (6) : 設在觀測方向上可見物體的兩端分別為 兩點, 則觀測點與 連線之夾角稱為視角 ( 如右圖 ) (7) : 除了大家熟知的東 西 南 北四個主要方位, 以及東北 東南 西北 西南四個常用方位外, 其它方位如何表示呢? 如右圖, 點 的方位可表為東 15 北 ( 或北 75 東 ), 請各位同學依一樣的原理, 試著寫出 C D 的方位 : C 北 視角 觀測點 物體 C: 30 D: 西 東 D 南 例題 :1.(1) 如右圖, 為測得一湖泊岸邊 兩點 間的距離, 某人在岸邊另找一點 C, 使湖得, C=90 又測得 C =100 公尺, C=60, 試求 C () 某機場基於飛航安全考量, 限制機場附近建築物從機場中心地面到建築物頂樓的仰角不得超過 8 某建築公司打算在離機場中心 3 公里且地表高度和機場中心一樣高的地方蓋一棟平均每樓層高 5 公尺的大樓 在符合機場的限制規定下, 該大樓在地面以上最多可以蓋幾層樓?( 已知 sin ,cos ,tan ) (3) 有 兩幢大樓, 從 樓頂觀測 樓底, 測得俯角為 30, 而從 樓頂觀測 樓頂, 測得仰角為 15, 若 大樓高度為 100 公尺, 求 大樓的高度 解 : ns:(1) 公尺 () 84 (3) 公尺 17 高中數學 ( 二 )

19 例題 :.(1) 小山丘上有一座架設高壓電線的鐵塔, 塔高 0 公尺, 在觀測點 C 測得塔底的仰角為 45, 塔的鉛直視角為 15, 若 C 點至地面的高度為 10 公尺, 試問塔底離地面有多高? () 一船朝北航行, 發現在北 30 東有一燈塔, 繼續朝北前進 10 浬後, 測得此燈塔在其東北方, 試問若該船行駛方向不變, 則離燈塔最近的距離是多少? 解 : ns:(1) 公尺 () 5( 3+1) 浬 訣竅 : 利用圖中的每個直角三角形 例題 :3.(1) 甲在大樓西 30 北的 點, 測得大樓樓頂仰角為 45, 乙在大樓南 30 西的 點, 測得大樓樓頂仰角為 30, 已知樓高 100 公尺, 請問甲 乙兩人的距離 ( 甲 乙的身高可忽略 ) () 小牛在鐵塔的正東方 處測得塔頂的仰角為 45, 從 處向正南方走 0 公尺到達 處, 再測得塔頂的仰角為 30, 試求鐵塔的高度 -3 簡易測量與三角函數值表 18

20 解 : ns:(1) 00 公尺 () 10 公尺 二 如何使用三角函數值表 : 三角函數值表共分八行, 左起第一行表示度數, 由上而下依次是 :0 00' 0 10' 0 0' 45 00'(' 讀作分,1 =60'), 每個間隔都是 10' 第二行至第七行的最上面一列, 由左至右依次寫著 sin cos tan cot sec csc, 這些函數符號下面的數就是左起第一行角度的三角函數值 例如要查 tan 35 10' 的值 : 先在最左邊一行角度 sin cos tan cot sec csc 角度找到 35 10', 再在最上.. 面一列找到 tan, 然後循 35 00' 55 00' 10' ' 下表中箭頭所示方向找 0' 40' 到.7046, 即得 tan 35 10'.. = 最右邊的一行亦表示度數, 由下而上依次是 :45 00' 45 10' 45 0' 90 00', 每個間隔也都是 10' 第二行至第七行的最下面一列, 由左至右依次寫著 cos sin cot tan csc sec, 這些函數符號上面的數就是最右邊一行角度的三角函數值 例如.. 要查 cos 59 40' 的值 : 先 30 00' 60 00' 10' 50' 在最右邊一行找到 59 40' 0' ', 再在最下面一列找到 30' 30' cos, 然後循下表中箭頭 40' 0' 50' 10' 所示方向找到.5050, 即 31 00' 59 00' 得 cos 59 40'= 角度 cos sin cot tan csc sec 角度因為 cos 59 40'=sin ( ')=sin 30 0'( 餘角關係 ), 所以也可以 19 高中數學 ( 二 ) 仿照前面所說的方法, 先在最左邊一行找 30 0', 再在最上面一列找到 sin, 這一行與這一列的交會處即為 , 這就是為什麼三角函數值表最左邊一 行的度數, 由上而下是由 0 00' 0 10' 0 0', 只到 45 00'; 而最右邊一 行的度數, 由下而上是由 45 00' 45 10' 45 0', 只到 90 00' 的原因

21 例題 :4.(1) 試將下列角度化為 分 : (Ⅰ) 0.5 (Ⅱ) 0.5 (Ⅲ) 0.4 (Ⅳ) ( 1 6 ) () 試將下列角度化為 度 : (Ⅰ) 6' (Ⅱ) 45' (Ⅲ) 0' (Ⅳ) 36' 解 : ns:(1)(i) 30'(II) 15'(III) 4'(IV) 10'()(I) 0.1 (II) 0.75 (III) 0.6 (IV)( 1 3 ) 例題 :5.(1) 若 θ 1 =75 34'6'',θ =45 56'58'', 試求 : (Ⅰ)θ 1 +θ (Ⅱ)θ 1 -θ () 根據三角函數值表, 查出下列各三角函數值 :(Ⅰ) sin 17 40' (Ⅱ) cos 36 (Ⅲ) tan 30 50' (Ⅳ) cot 59 10' (Ⅴ) csc 75 10' 解 : ns:(1)(i) 11 31'4'' (II) 9 37'8'' ()(I) (II) (III) (IV) (V) 查三角函數表的重點 :(1) 查左邊的角由上而下, 而且用上面的三角函數 () 查右邊的角由下而上, 而且用下面的三角函數 1 =60'; 其實 ' 以下還有更小的角度單位 '', 讀作秒, 且 1'=60'' -3 簡易測量與三角函數值表 0

22 例題 :6. 利用三角函數值表求下列銳角 θ: (1)sinθ= ()cosθ=0.550 (3)cotθ=1.698 解 : ns:(1) 9 50' () 58 0'(3) 30 30' : 由銳角三角函數值的定義可以發現 : 當角度由 0 漸漸遞增到 90 時, 正弦函數的值是由 0 漸漸遞增為 1; 餘弦函數的值則由 1 漸漸遞減為 0; 正切函數的值是由 0 逐漸增大到 + ; 餘切函數的值則由 + 漸漸遞減為 0; 正割函數的值是由 1 逐漸增大到 + ; 餘割函數的值則由 + 漸漸遞減為 sin cos tan cot sec 1 3 csc 上表中, 符號 表示遞增並趨向, 符號 表示遞減並趨向 由上表可知 : 若 θ 為銳角, 則 (1)(Ⅰ) 0<sinθ cosθ<1 (Ⅱ) tanθ cotθ>0 (Ⅲ) secθ cscθ>1 () 當 θ 變大時,sinθ tanθ secθ( 正函數 ) 皆變大 ;cosθ cotθ cscθ( 餘函數 ) 皆變小 例如 :(1)sin 30 <sin 45 <sin 60 ()cos 30 >cos 45 >cos 60 (3)tan 30 <tan 45 <tan 60 (4)cot 30 >cot 45 >cot 60 (5)sec 30 <sec 45 <sec 60 (6)csc 30 >csc 45 >csc 60 例題 :7.(1) 在下圖一與下頁圖二中, C 為四分之一的單位圓 ( 半徑為 1 的圓 ) 上之相異兩點,O 為圓心, 設 O=θ 1, COD =θ, 試利用下圖證明 : 若 0<θ 1 <θ <90, 則 (Ⅰ) sinθ 1 <sinθ (Ⅱ) cosθ 1 >cosθ (Ⅲ) tanθ 1 <tanθ (Ⅳ) cotθ 1 >cotθ (Ⅴ) secθ 1 <secθ (Ⅵ) cscθ 1 >cscθ () 設 θ 為銳角, 試證 : (Ⅰ) sinθ<tanθ<secθ (Ⅱ) cosθ<cotθ<cscθ 1 高中數學 ( 二 )

23 pf: C O D 圖一 E C' C ' O 圖二 E 若 θ 為銳角, 則 (1)sinθ<tanθ<secθ;()cosθ<cotθ<cscθ 例如 : 函數值函數角度 sin cos tan cot sec csc (1)sin 30 <tan 30 <sec 30 (4)cos 30 <cot 30 <csc 30 ()sin 45 <tan 45 <sec 45 (5)cos 45 <cot 45 <csc 45 (3)sin 60 <tan 60 <sec 60 (6)cos 60 <cot 60 <csc 簡易測量與三角函數值表

24 例題 :8.(1) 比較下列各組數的大小 : (Ⅰ) a=sin 3 b=cos 59 c=0.5 (Ⅱ) a=tan 35 b=sin 35 c=sec 40 (Ⅲ) a=sin 35 b=cot 50 c=sec 13 () 若 45 <θ<90, 則下列何者正確?()sinθ<cosθ ()tanθ>cotθ (C)secθ>cscθ (D)sinθ<tanθ 解 : ns:(1)(i) a>b>c (II) c>a>b (III) c>b>a ()()(C)(D) 三角函數比較大小常用的性質 : 若 θ 為銳角, (1) 當 θ 變大時,sinθ tanθ secθ( 正函數 ) 皆變大, 而 cosθ cotθ cscθ( 餘函數 ) 皆變小 ()sinθ<tanθ<secθ;cosθ<cotθ<cscθ (3)0<sinθ cosθ<1;secθ cscθ>1 (4) 注意特殊的三角函數值, 例如 :tan 45 =1,sin 30 = 1, 銳角三角函數比較大小的訣竅 : (1) 以餘角關係將所有的三角函數都變成 sin tan sec( 或 cos cot csc) () 利用比較大小常用性質 3 高中數學 ( 二 )

25 : 例題 :9. 利用三角函數值表以及內插法, 求下列各三角函數的值 : (1)sin 33 33' ()cot 56 18' ( 四捨五入取到小數第四位 ) 解 : ns:(1) () 例題 :10. 利用三角函數值表以及內插法, 求下列銳角 θ 的近似值 ( 四捨五入取到 '( 分 ) 的個位數): (1)sinθ= ()tanθ=1.715 解 : ns:(1) 47 3' () 59 45' -3 簡易測量與三角函數值表 4

26 例題 :11. 政府規定 : 山坡地平均坡度 30 以上禁建, 所謂坡度 30 意思是指 水平距離 100, 高度 30 之斜坡 請利用三角函數值表以及內插法, 求坡度 30 之斜坡與水平地所夾的銳角大約是多少度? ( 求至 '( 分 ) 的個位數) 解 : ns:16 4' :a b c d 都是正數, 並且 c+d<a,c+d<b, 求證 :ac+bd<ab 5 高中數學 ( 二 )

27 基礎題 1. 一塔直立地面, 從地面 M 處測得塔頂 仰角為 17, 若向塔前進 70 公尺至 N 處, 再測塔頂仰角為 45, 求塔高 ( 已知 tan 17 =0.3). 海中一小島, 四周 S 浬內佈設水雷, 今有一艦於 處望該島在北 60 西, 向西行駛 10 浬後至 處再望該島, 則在北 30 西, 若此艦之航向不變, 佈雷半徑 S 最大未超過多少浬時, 該艦方無危險? () 5 3 浬 () 浬 (C) 5 浬 (D) 浬 (E) 5 浬 3. 利用三角函數表求下列各三角函數值 :(1) sin 0 10' () cot 57 40' 4. 設 θ 為銳角, 試問 :(1) 若 sinθ=0.4488, 則 θ= () 若 cotθ=0.6787, 則 θ= 5. 試比較 a=sin 58 b=cos 58 c=tan 58 d=sec 58 的大小 6. 已知 sin 0.1 =0.3437,sin 0. =0.3453, 試以內插法估計 cos 69 50' 之值 ( 四捨五入 取到小數第四位 ) 7. 已知 sin 47 0'=0.7353,sin 47 30'=0.7373, 而 sinθ=0.7359(0 <θ<90 ), 試以內 插法求銳角 θ 的近似值 ( 四捨五入取到 '( 分 ) 的個位數) 8. 已知 cos 3 10'=0.8465,cos 3 0'=0.8450, 而 sinθ=0.8453(0 <θ<90 ), 試以內 插法求銳角 θ 的近似值 ( 四捨五入取到 '( 分 ) 的個位數 ) 進階題 9. 在某地測得直立於山上之塔的頂點及塔底各得仰角為 45 及 30, 又向山走近 90 公尺, 再測得塔頂仰角 75, 求山高 10. 某建築物上有一塔, 塔上豎一旗竿, 已知旗竿長 4 公尺, 在地面上某處測得建築物頂端 塔頂的仰角分別為 45 60, 且旗竿的鉛直視角為 15, 求該建築物的高度 11. 在坐標平面的 x 軸上有 (, 0) (-4, 0) 兩觀測站, 同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點, 測得 C 及 C 之值後, 通知在 D( 5,-8) 8 的砲臺, 此兩個角的正切值分別為 9 及 8 3, 那麼砲臺 D 至目標 C 的距離為 1. 海岸上有 二燈塔, 在 之正北方 公里處, 今有一船於海上望見 在其北 60 西方向, 在其北 45 西方向, 若船依東 60 北之方向航行 10 分鐘後, 再望見 在其正西方, 則此船之速率為公里 / 小時 13. 某甲見一建築物 位於正北, 另一建築物 位於北 30 西 ; 此人向西北行 1 公里後, 則見 位於東北, 位於正東, 求兩建築物 與 之距離 14. 站在瞭望臺 O 點處發現正北方, 仰角 60 之 點處有一架飛機保持 公尺高度, 等速朝東飛行,5 秒後測得該飛機飛經 點處時的仰角為 30, 而地面上 C D 兩點恰好分別是飛機飛航中 兩點的正下方. 試問 : (1)OC 與 OD 的長度是多少公尺? () 該飛機的速度為多少公尺 / 秒? 15. 試比較 a=cot 1 b=csc 0 c=tan 70 d=sin 89 的大小 C 思考題 -3 簡易測量與三角函數值表 6

28 16. 根據氣象預報, 某颱風於某日下午 時的中心位置在鵝鑾鼻燈塔正南方 300 公里處, 暴 風半徑為 50 公里, 以每小時 50 公里的速率朝 北 30 西 等速直線前進 設此颱風的 速度方向及暴風半徑都不變, 求鵝鑾鼻燈塔在此暴風圈內前後共計有多少小時? 17. 銳角 C 中, 試證 :sin +sin +sin C>cos +cos +cos C ( 提示 :+> π ) 18. 設 0 <θ<30, 且 1+log cosθ + 1+log sinθ =, 試求 tanθ 答案 : 公尺.() 3.(1) () (1) 6 40' () 55 50' 5. d>c>a>b ' ' 9. 15(3+ 3) 公尺 10. 公尺 ( 3+1) 公里 3 14.(1) 500;1500 () 00 公尺 / 秒 15. b>c>a>d 略 高中數學 ( 二 )

29 一 廣義角的三角函數值 -4 廣義角的三角函數 : 我們把角看作是以其頂點為旋轉中心, 將其一邊以逆時針或順時針方向旋 轉至另一邊而成的旋轉量 旋轉開始的邊稱為該角的始邊 ; 旋轉終止的邊稱為 該角的終邊 ( 如下圖 ) 並規定逆時針方向旋轉的旋轉量是正的, 順時針方向 旋轉的旋轉量是負的 旋轉量是正的角就稱為正向角, 簡稱為正角 ; 旋轉量是 負的角就稱為負向角, 簡稱為負角 這種以正 負來區分旋轉方向的角稱為有 向角 例如 : 旋轉時可以是逆時針或順時針方向旋轉四分之一圈 半圈 一圈 一圈半 二圈, 因此對應的旋轉量依次是 ±90 ±180 ±360 ±540 ±70 這樣的有向角不僅有正 負角之分, 而且它的度數也不限於 0 到 360 之間, 我們就統稱為廣義角 例如 : : 當 0 <θ<90 時, 我們將 θ 角的頂點放在坐標平面 之原點上, 將始邊放在 x 軸的正向上, 再在其終邊上任 P(x, y) 取一點 P(x,y)( 非原點 ), 令 OP =r(= x + y ), r y 自 P 點向 x 軸作垂線, 令垂足為 Q 點, 則 OPQ 為直 θ 角三角形, 且 POQ=θ 因此根據銳角三角函數值的 x O x Q 定義, 我們就可以用 P 點的 x 坐標 y 坐標與 P 點到原點的距離 r 去定義銳角 θ 的六個三角函數值 : sinθ= y r,cosθ= x r,tanθ= y x,cotθ= x y,secθ= r x,cscθ= r y ( 注意 : 與 P 點在終邊上的位置無關 ) 將此定義延伸到廣義角, 就可以決定任意角的三角函數值 ( 看例題 1) 而且可發現對任意的廣義角, 倒數關係 商數關係 平方關係依然成立 證明 : 終邊 始邊 5 O 495 O 始邊 終邊 終邊 始邊 10 O 495 y 始邊 終邊 y P(x, y) r O θ x -4 廣義角的三角函數 8

30 特別注意 : 從現在開始, 三角函數已經不是用邊長來定義, 而是由終邊上的任一點 P( 非原點 ) 之 x 坐標 y 坐標與 P 點到原點的距離 r 來表示 例題 :1. 試求下列各角的六個三角函數值 : (1)10 ()5 (3)330 (4)480 (5)-60 (6)-165 (7)-40 ( 與 (1) 對照 ) 解 : ns: 略 9 高中數學 ( 二 )

31 例題 :. 試求下列各角度的六個三角函數值 : (1)0 ()90 (3)180 (4)70 (5)360 解 : 函數值函數角度 sin cos tan cot sec csc : 當我們把兩個廣義角 θ 與 ψ 的頂點都放在坐標平面的原點上, 且把它們的始邊都放在 x 軸的正向上, 若它們的終邊重疊, 則這樣的兩個廣義角就叫做同界角 兩同界角的差必是 360 的整數倍 例題 :3.(1) 指出下列各角中, 哪些是 30 的同界角? ()-1050 ()-750 (C)-330 (D)690 (E)750 () 寫出下列各有向角的最小正同界角與最大負同界角 : (Ⅰ) 1999 (Ⅱ)-1999 (Ⅲ)-001 3' 解 : ns:(1)()(c)(e) ()(I) 199 ;-161 (II) 161 ;-199 (III) '; -01 3' -4 廣義角的三角函數 30

32 同界角的各三角函數值相等 ( 見例題 1.(1)(4)(7)), 即 sin(360 k+θ)=sinθ,cos(360 k+θ)=cosθ,tan(360 k+θ)=tanθ, cot(360 k+θ)=cotθ,sec(360 k+θ)=secθ,csc(360 k+θ)=cscθ ( 其中 k Z) 例題 :4. 試求 sin 585 tan 100 以及 sec(-930 ) 之值 解 : ns:- 1 ;- 3;- 3 計算廣義角 θ 的三角函數值時, 可先將角度變成 θ 的最小正同界角 例題 :5. 下列何者無意義? ()tan 70 ()sin 350 (C)sec(-70 ) (D)csc 1080 解 : ns:()(d) 31 高中數學 ( 二 ) : 若 θ 為廣義角, 則 (1)-1 sinθ 1 sinθ 1;-1 cosθ 1 cosθ 1 ()tanθ cotθ 可為任意實數 (3)secθ -1 或 secθ 1 secθ 1; cscθ -1 或 cscθ 1 cscθ 1

33 例題 :6. 試說明各三角函數值的範圍 解 : ns: 略 例題 :7. 設 f(θ)=-sin θ+cosθ+3, 求 f(θ) 之最大值及最小值 解 : ns:5; 1 例題 :8. 設 k R, 若 cosθ-1=kcosθ+ 的 θ 有解, 求 k 的範圍 ( 參考 - 例題 1.(1)) 解 : ns:k -1 或 k 5-4 廣義角的三角函數 3

34 : 當我們把廣義角 θ 的頂點放在坐標平面的原點上, 始邊放在 x 軸的正向上 時, 若廣義角 θ 的終邊落在第一 二 三 四象限, 我們就分別稱它為第一 二 三 四象限角 如果終邊落 x y 軸上, 我們就稱它為象限角 終邊座落的象限三角函數一二三四 sinθ,cscθ cosθ,secθ tanθ,cotθ 例題 :9.(1) 判斷下列各角是第幾象限角 :(Ⅰ) 3388 (Ⅱ)-147 () 試問點 P(sin 1360,cos(-90 )) 落在第幾象限內? 解 : ns:(1)(i) 二 (II) 一 () 三 例題 :10.(1) 已知 sinθ= 1 3 且 cosθ<0, 求 tanθ 之值 () 已知 cotθ=- 且 sinθ>0, 求 cosθ 之值 解 : ns:(1) () 高中數學 ( 二 )

35 二 相差特殊角度的三角函數值之關係 360 -θ θ: sin(360 -θ)=sin(-θ)=-sinθ, cos(360 -θ)=cos(-θ)=cosθ, tan(360 -θ)=tan(-θ)=-tanθ, cot(360 -θ)=cot (-θ)=-cotθ, sec(360 -θ)=sec(-θ)=secθ, csc(360 -θ)=csc(-θ)=-cscθ 請同學們想想看, 為何沒有 360 +θ θ 的公式? 例題 :11. 試證明上述性質 pf: 例題 :1. 試求下列各三角函數值 :(1)sin(-30 ) ()cos(-60 ) (3)tan(-45 ) (4)sec(-75 ) 解 : ns:(1)- 1 () 1 (3)-1 (4) 廣義角的三角函數 34

36 180 ±θ θ: (1)sin(180 +θ)=-sinθ, cos(180 +θ)=-cosθ, tan(180 +θ)=tanθ, cot(180 +θ)=cotθ, sec(180 +θ)=-secθ, csc(180 +θ)=-cscθ 例題 :13. 試證明上述性質 pf: 例題 :14. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 40 ()cos 5 (3)tan 10 (4)csc 5 解 : ns:(1)- 3 ()- 1 (3) 1 3 (4)- 35 高中數學 ( 二 )

37 ()sin(180 -θ)=sinθ, cos(180 -θ)=-cosθ, tan(180 -θ)=-tanθ, cot(180 -θ)=-cotθ, sec(180 -θ)=-secθ, csc(180 -θ)=cscθ 兩個角互為補角時, 其正弦值相等, 而其餘弦值等值異號 例題 :15. 試證明上述性質 pf: 可利用 180 -θ=180 +(-θ) 來說明 例題 :16. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 135 ()cos 150 (3)tan 10 (4)cot 150 解 : ns:(1) 1 ()- 3 (3)- 3(4)- 3-4 廣義角的三角函數 36

38 90 ±θ θ: (1)sin(90 +θ)=cosθ, cos(90 +θ)=-sinθ, tan(90 +θ)=-cotθ, cot(90 +θ)=-tanθ, sec(90 +θ)=-cscθ, csc(90 +θ)=secθ 例題 :17. 試證明上述性質 pf: 例題 :18. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 135 ()cos 150 (3)tan 10 (4)cot 150 解 : ns:(1) 1 ()- 3 (3)- 3(4) 高中數學 ( 二 )

39 ()sin(90 -θ)=cosθ, cos(90 -θ)=sinθ, tan(90 -θ)=cotθ, cot(90 -θ)=tanθ, sec(90 -θ)=cscθ, csc(90 -θ)=secθ 這就是廣義角的餘角關係 例題 :19. 試證明上述性質 pf: 可利用 90 -θ=90 +(-θ) 來說明 70 ±θ θ: (1)sin(70 +θ)=-cosθ, cos(70 +θ)=sinθ, tan(70 +θ)=-cotθ, cot(70 +θ)=-tanθ, sec(70 +θ)=cscθ, csc(70 +θ)=-secθ 例題 :0. 試證明上述性質 pf: 可利用 70 +θ=180 +( 90 +θ) 來說明 -4 廣義角的三角函數 38

40 例題 :1. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 330 ()cos 330 (3)tan 300 (4)csc 315 解 : ns:(1)- 1 () 3 (3)- 3(4)- ()sin(70 -θ)=-cosθ, cos(70 -θ)=-sinθ, tan(70 -θ)=cotθ, cot(70 -θ)=tanθ, sec(70 -θ)=-cscθ, csc(70 -θ)=-secθ 例題 :. 試證明上述性質 pf: 可利用 70 -θ=180 +( 90 -θ) 來說明 39 高中數學 ( 二 )

41 例題 :3. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 40 ()cos 5 (3)tan 10 (4)csc 5 解 : ns:(1)- 3 ()- 1 (3) 1 3 (4)- sin cos ( 360 )-θ θ 90 ±θ θ (1) 三角函數不變 () tan cot 180 ±θ θ 70 ±θ θ sec csc 上述各個公式的 θ 可為任意角, 但若將 θ 當做銳角, 可以比較容易判斷公式的正負號 ( 請同學們自己想想!) 例題 :4.(1) 試判斷下列何者正確? ()sin(-40 )=-sin 40 ()cos( )=cos 10 (C)sin( )=cos 150 (D)cos(70-5 )=sin 5 () 試求 sin 585 tan 100 以及 sec(-930 ) 之值 ( 見例題 4) 解 : ns:(1)()(c) ()- 1 ;- 3;- 3 求廣義角 θ 的三角函數值之訣竅 : (1) 先將角度變成 θ 的最小正同界角或最大負同界角 () 再利用公式將角度變為銳角 -4 廣義角的三角函數 40

42 例題 :5. 設 θ 為第三象限角且 cosθ=- 3 5, 求下列各式的值 : (1)sinθ( 與例題 10 的作法做比較 ) ()tan(540 +θ) (3)cos(θ-70 ) 解 : ns:(1)- 4 5 () 4 3 (3) 4 5 例題 :6. C 中, 已知 C=θ( 如下圖 ), 且 C 邊上的高為 D, 則下列何者可以表示 D? () sinθ () cosθ (C) tanθ (D) secθ 解 : ns:() D θ C 例題 :7. 在坐標平面上, 設有向角 θ 之終邊上有一點 P, 且 P 與原點的距離為 4, 若 θ=150, 求 P 的坐標 解 : ns:(- 3,) 平面有一點 P(x,y), 設 O 為原點, 若 OP =r 且 OP 與 x 軸正向夾角為 θ, 則 x=r cosθ,y=r sinθ 41 高中數學 ( 二 )

43 例題 :8.(1) 若 sin 87 =a, 試以 a 表 sin 337 () 設 cos 100 =k, 試以 k 表 tan(-60 ) 解 : ns:(1) 1 a () 1 k k 訣竅 : 將所有的角度皆化為銳角 例題 :9. 試求下列各式之值 : (1)cos 1 +cos +cos 3 + +cos 180 () 180 k =Σ sin k 1 解 : ns:(1)-1 () 90-4 廣義角的三角函數 4

44 三 三角函數的大小關係例題 :30. 試比較下列各組數的大小 : (1)a=sin(-870 ) b=cos 430 c=tan 1310 d=cos(-1900 ) e=sin(-095 ) ()a=sec 337 b=tan 0 c=cos 143 d=sin 37 解 : ns:(1) a<d<b<e<c () c<d<b<a 當 θ 為銳角時, 三角函數比較大小常用的性質 : (1) 當 θ 變大時,sinθ tanθ secθ( 正函數 ) 皆變大, 而 cosθ cotθ cscθ ( 餘函數 ) 皆變小 ()sinθ<tanθ<secθ;cosθ<cotθ<cscθ (3)0<sinθ cosθ<1;secθ cscθ>1 (4) 注意特殊的三角函數值, 例如 :tan 45 =1,sin 30 = 1, 廣義角三角函數比較大小的訣竅 : (1) 將廣義角變為銳角 () 以餘角關係將所有的三角函數都變成 sin tan sec( 或 cos cot csc) (3) 利用比較大小常用性質 : 有一個裝滿十元硬幣的撲滿, 現在由六個小朋友以手稱重量的方式, 來猜撲滿裡有多少錢, 六人分別猜測 元, 已知最接近的 答案還少 10 元, 而其他人依次與正確金額相差 元, 請 問正確金額為多少? 43 高中數學 ( 二 )

45 基礎題 1. 設 61 之最小正同界角為 a, 最大負同界角為 b, 求數對 (a,b). 設 之最小正同界角為 a, 最大負同界角為 b, 求數對 (a,b) 3. 設 f(θ)=cos θ+3sinθ+1, 求 f(θ) 之最大值及最小值 4. 若點 P(cotθ, sinθ) 在第四象限內, 則 : (1)θ 為第幾象限角? () 點 Q(cscθ, tanθ) 在第幾象限? θ 5.(1) 若 θ 為第一象限角, 則為第幾象限角? θ () 設 θ 為第三象限角, 則不可能為第象限角 3 6. 設 sinθ= 3 sinθ + sinθcosθ 且 tanθ<0, 求之值 cosθ + cos θ sin θ 7. 已知 4cos θ-8cosθ-5=0, 且 tanθ>0, 試求 :(1) secθ;() cscθ 8. 已知 sin x+cos x=1, 試求下列各式之值 :(1) sin x+cos x ;() sin x-cos x 9. 求下列各三角函數值 :(1) cot 150 ;() sin 5 ;(3) tan(-570 );(4) cos 求下列各式之值 : (1) sin 585 cos 115 +cos(-300 )sin(-330 )+tan(-135 ) () sin 1590 cos(-1860 )+tan 1395 cot(-960 ) (3) sin 10 cos 30 -cos 5 sin 315 +cot 330 csc 70 (4) sin 100 cos 150 +tan 480 sin(-750 ) 11. 將下列各式化為 0 45 的三角函數 :(1) sin 5380 ;() cot(-950 );(3) sec (-835 ) sin(180 ) tan(70 ) cos( ) 1. 試化簡 θ θ θ sin(360 θ ) tan(90 + θ) sin(90 + θ) 13. 設 C 為三角形三內角, 試證 : (1) cos =-cos(+c) + C () cos =sin C (3) cos( )=sin( +)=sin( +C) 14. 試比較下列各組數的大小 : (1) a=cos 100 b=cos 00 c=cos 400 () a=sin 100 b=sin 00 c=sin 400 d=sin 800 (3) a=cos(-430 ) b=tan 1310 c=sec 1850 進階題 15. 設 k R, 若 sinθ-1=k(sinθ+3) 的 θ 有解, 求 k 的範圍 16. 若點 P(sinθcosθ, tanθsecθ) 在第二象限內, 則 θ 為第幾象限角? 17. 設 a R 且 x 的方程式 3x -4x+a=0 之二根為 sinθ cosθ, 求 a 之值 18. 設 p R 且 x 的方程式 x +px-1=0 之二根為 sinθ cosθ, 請問 : (1) p 之值為何? () 若 0 θ 180, 則 θ 之值為何? 19.(1) 已知 cos 4 30'=0.9100,cos 4 40'=0.9088, 試以內插法估計 cos 04 35' 之值 ( 四捨五入取到小數第四位 ) -4 廣義角的三角函數 44

46 () 已知 sin 0 0'=0.3475,sin 0 10'=0.3448, 試以內插法估計 cos(-90 15') 之值 ( 四捨五入取到小數第四位 ) 0. 試化簡下列各式 : cos(90 ) tan(70 ) csc( 90 ) (1) + θ θ θ + sin( θ 70 ) cot( θ 180 ) sec(70 + θ) sin (180 θ ) tan (360 θ) cos (90 θ)csc (70 θ) () cos (70 + θ) sin (540 θ) y 1. 如右圖, 單位圓 O 與 y 軸交於 兩點, 角 θ 的頂點為原點, 始邊在 x 軸的正向上, 終邊為 OC,C 垂直於 y 軸且與角 θ C θ 的終邊交於 C 點, 則下列哪一個函數值為 C? x O (1) sinθ () cosθ (3) tanθ (4) cotθ (5) secθ D. 如右圖 C=θ, D= CD=90, =a, D =b 下列選項何者可以表示 CD?( 單選題 ) (1) asinθ+bcosθ () asinθ-bcosθ (3) acosθ-bsinθ (4) acosθ+bsinθ (5) asinθ+btanθ C 3. 若 tan(-70 )=k, 試以 k 表 cos 試求下列各式之值 :(1) sin n ;() n=σ 1 n=σ cos n ;(3) n=σ cos3 n 1 5. 設 θ=100, 試比較下列各數之大小關係 :a=sinθ b=cosθ c=tanθ d=cotθ e=secθ f=cscθ C 思考題 6. 設 θ R, 若 y= sin x 1 sin x + 3, 試求 y 的最大值與最小值 ( 提示 : 參考第 15 題 ) 7. 若 sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0, 試求 :(1) cos α+cos β;() sin 4 α+cos 4 β 8. 已知 cot 5 10'=0.7766,cot 5 0'=0.770, 若 cotθ= 且 90 <θ<180, 試以內插法求 θ 的近似值 ( 四捨五入取到 '( 分 ) 的個位數) 答案 : 1.(5,-108 ).(9,-68 ) 3. 4;- 4.(1) 三 () 二 5.(1) 一或三 () 二 (1)-() 8.(1) 或 3 5 () 9.(1)- 3() 1 (3) (4) (1) 3 4 () (3) (4) (1)-sin 0 ()-tan 40 (3)-csc 5 13.(1) 略 () 略 (3) 略 14.(1) c>a>b () a=d>c>b (3) c>b>a k () (1) ()-1 18.(1) 0 () (1) () (4).() 1 4.(1) 0 () 90 (3)-1 5. f>a>b>d>c>e k 5 ;-3 7.(1) ' 16. 二 45 高中數學 ( 二 )

47 一 三角形面積與正弦定理 : -5 正弦定理與餘弦定理 任畫一個 C, 並自其中一頂點 作對邊 C 的垂線, 設垂足為 D 點, D 可能在 C 上, 或在 C 的延長線上, 如下圖所示 : D C (D) C D C 以 a b c 分別表示 C 的對邊長, 則 ( 高 ) D =b sin C (=c sin ), 所以 C 的面積 = 1 C D= 1 1 ab sin C (= ac sin ) 同理可得 : C 的面積 = 1 1 ac sin = bc sin 所以只要知道三角形任意兩邊的邊長及其夾角的大小, 就可以求得此三角形的面積 例題 :1.(1) 已知 C 的兩邊 C 的長度分別為 3 8, 試分別求下列情況的 C 面積 :(Ⅰ) =60 (Ⅱ) =10 () 若平行四邊形 CD 中, =4, C =5, D=150, 試求平行四邊形 CD 的面積 解 : ns:(1)(i) 6 3(II) 6 3() 10 b b b 若平行四邊形兩鄰邊長為 a b, 且夾角為 θ, 則平行四邊形面積為 absinθ 例題 :. 已知 C 面積為 50,D 在 上, D : D =:3,E 在 C 上, E : EC =1:4, 求 DE 面積 解 : ns:4-5 正弦定理與餘弦定理 46

48 如右圖, DE 面積 C 面積 D E D E = = C C D E C 例題 :3. 已知 C 中, 的角平分線交 C 於 D, 若 =4 C =5, =10, 求 D 之長 解 : ns: 0 9 : 因為 C 面積 = bc sin = ac sin = ab sin C, 我們可以 a b c 推得 = = ( a:b:c=sin :sin :sin C) sin sin sin C 證明 : 例題 :4. 已知 C 中, C=30, =45, C =8, 試求 及 C 解 : ns: =105, =4, C =4( 3+1) 47 高中數學 ( 二 )

49 例題 :5. 已知 C 中, =30, C =4, =4 3, 試求 C 及 C 解 : ns: =30, C =4, C=10 或 =90, C =8, C=60 使用正弦定理的時機 : (1) 已知三角形兩內角及任一邊 (S 或 S) () 已知三角形兩邊長及此兩邊中任一邊之對角 (SS) 簡單的說, 至少要知道一個角與其對邊 例題 :6. 在 C 中, 若 : : C=1:1:4, 試求 C: C: 解 : ns:1:1: 3 由正弦定理知 a:b:c=sin :sin :sin C 在三角形中, 三內角為 三邊比為 1:1: 3 : a b c 我們可以假設 = = =k, 但 k 是多少呢? 若 C 為直角 sin sin sin C 三角形, 不妨設 =90, 如下頁圖一, 此時 a 即外接圓圓 O 的直徑, 所以 a a k= sin = sin 90 =a= 圓 O 的直徑 若 C 為鈍角三角形或銳角三角形, 如下頁圖二, 連 O 並延長交圓 O 於 C', 連 C ' 與 C ' -5 正弦定理與餘弦定理 48

50 c c 因為 C'= C( 對同弧的圓周角相等 ), 所以 k= = (1) sin C sin C ' 在 C' 中, 因為 C'=90, 所以由正弦定理可知 c C ' 圓 O 的直徑 = = = 圓 O 的直徑 () sin C ' sin C ' sin 90 由 (1) 式與 () 式知,k= sin cc = 圓 O 的直徑 c c C C O a O O C C' C' 圖一圖二 正弦定理完整版 : 在 C 中,a b c 分別表示 C 的對邊長, 則 a b c = = =R( 其中 R 為 C 的外接圓半徑 ) sin sin sin C 例題 :7. 有一圓內接 C, 若 C C 的度數比為 4:3:5, = 4 3, 求此圓半徑 解 : ns:4 圓周角的度數等於所對弧度數的一半 例題 :8. 如下圖所示, 已知四邊形 CD 為圓內接四邊形, 若 DC=30, D=45,CD =6, 試求 D 解 : ns:6 D C 49 高中數學 ( 二 )

51 二 餘弦定理一個三角形中, 若已知其中兩邊長及此兩邊中任一邊之對角, 或是兩內角及任一邊, 就可以利用正弦定理求出其它邊長與角度 但若只知三邊長, 或是兩邊長與其夾角, 此時正弦定理就無法立即見效, 所以我們需要介紹三角形的另一個定理 : 餘弦定理 : 在 C 中,a b c 分別表示 C 的對邊長, 則 a =b +c -bc cos b =c +a -ca cos c =a +b -ab cos C 證明 : 將 點與原點重疊, 並將 C 點置在 x 軸的正向上, 如下圖, 則 點的坐標為 (c cos,c sin )( 原理可參考 -4 例題 7),C 點的坐標為 (a,0), 因此 a = C =(b-c cos ) +(0-c sin ) =b -bc cos +c cos +c sin =b +c (cos +sin )-bc cos =b +c -bc cos y y y (ccos, csin ) (ccos, csin ) (ccos, csin ) c a a c a c x x x b C(b,0) b C(b,0) b C (b,0) 同理可證 :b =c +a -ca cos,c =a +b -ab cos C 當 =90 時, 餘弦定理 a =b +c -bccos =b +c 變成畢氏定理, 所以畢氏定理是餘弦定理的特例 例題 :9. 已知 C 中, =, C =1+ 3, =30, 試求 C 以及 與 C 解 : ns: C =, =105, C=45-5 正弦定理與餘弦定理 50

52 例題 :10.(1) 已知 C 中, C =, C =, = 3-1, 試求 : (Ⅰ) 三內角的大小 (Ⅱ) C 的外接圓半徑 () 在 C 中, =5, C =8,C =7, 試求 C 面積 解 : ns:(1)(i) =30, =135, C=15 (II) () 10 3 b + c a 餘弦定理的變形 :cos = bc a + c b,cos = ac a + b c, cos C= ab 例題 :11.(1) 設 C 中,a b c 分別表示 C 的對邊, 證明 : (Ⅰ) a >b +c 為鈍角 (Ⅱ) a <b +c 為銳角 () 試判斷以下列各組長度為三邊長的三角形是銳角三角形 直角三角形或鈍角三角形? (Ⅰ) 3,4,6 (Ⅱ) 5,1,1 (Ⅲ) 8,4,5 (Ⅳ) 9,40,41 pf: ns:(1)(i) 略 (II) 略 ()(I) 鈍角 (II) 銳角 (III) 銳角 (IV) 直角 51 高中數學 ( 二 )

53 已知 C 三邊長 C =a C =b =c 且 a b c, 則 (1)a >b +c C 為鈍角三角形 ( 最大角 為鈍角 ) ()a =b +c C 為直角三角形 ( 最大角 為直角 ) (3)a <b +c C 為銳角三角形 ( 最大角 為銳角 ) 例題 :1. 在 C 中, =30, C =4, =4 3, 試求 C 及 C ( 與例題 5 做比較 ) 解 : ns: =30, C =4, C=10 或 =90, C =8, C=60 使用餘弦定理的時機 :(1) 已知三角形兩邊長及任一角 (SS 或 SS) () 已知三角形三邊長 (SSS) 例題 :13. 在 C 中, D 為 C 之角平分線,D 在 C 上, 已知 =6, C =10,C =9, 求 D CD 與角平分線 D ( 與例題 3 求角平分線的方法做比較 ) 解 : ns: D =4,CD =6, D = 30 在 C 中, 若 的角平分線交 C 於 D, 則 D: CD= : C D C -5 正弦定理與餘弦定理 5

54 例題 :14. 圓內接四邊形 CD 中, =5 C =3 CD =, =60, 求 : (1) C () D (3) 四邊形 CD 的面積 (4) 此圓半徑 解 : ns:(1) 19 () 3 (3) 1 4 3(4) 57 3 圓內接四邊形的對角互補 例題 :15. 在 C 中, 已知 4a-b-c=0 且 3a+b-c=0, 求 : (1)sin :sin :sin C () 最大角度的度量 解 : ns:(1) 3:5:7 () 高中數學 ( 二 )

55 例題 :16. 若 C 滿足 a cos =b cos, 試證 : C 為等腰或直角三角形 pf: 三 餘弦定理的應用 : 在平行四邊形 CD 中, 兩對角線長之平方和等於 四邊長之平方和, 即 C + D = + C + CD + D = ( + C ) C D 例題 :17.(1) 請利用餘弦定理證明平行四邊行定理 () 已知平行四邊形 CD 的對角線長分別為 7 和 9, 若 =4, 試求 C pf: ns:(1) 略 () 7 : 在 C 中, 若 M 為 C 中點, 則 + C = ( M + M ) M C -5 正弦定理與餘弦定理 54

56 例題 :18.(1) 請利用平行四邊形定理證明三角形中線定理 () 在 C 中, =5, C =8,C =7, 試求 C 邊上的中線長 pf: ns:(1) 略 () 1 四 三角形面積 ( 續 ) :(Heron, 古希臘,10 75) 設 C 的三邊長分別是 a b c, 今以 Δ 表示 C 的面積,s 表示周長之半, 即 s= 1 ( a+b+c ), 則 Δ= ss ( a)( s b)( s c) 例題 :19.(1) 試利用餘弦定理證明海龍公式 () 請利用海龍公式求以下列各組長度為邊長的三角形面積 : (Ⅰ) (Ⅱ) pf: ns:(1) 略 ()(I) 6 (II) 3 55 高中數學 ( 二 )

57 : 以 Δ 表示 C 的面積, a b c 分別表示 C 的對邊長,R 表示外接圓半徑, 由正弦定理可知 sin C= cr, 所以 Δ= 1 ab sin C= abc 4R ( R= abc 4 ) : 設 C 的三邊長分別是 a b c, 以 Δ 表示 C 的面 積,r 表示內切圓半徑,s 表示周長之半, 則 Δ=rs( r= ) s 證明 : r I r r C 例題 :0. 在 C 中, =5, C =8,C =7, 試求 C 的 : (1) 面積 ( 對照例題 10.()) () 外接圓半徑 ( 對照例題 10.(1)(II)) (3) 內切圓半徑 解 : ns:(1) 10 () 7 3 (3) 3 : 把長方形色紙如下圖所示往上折, 請問 x 為多少? x 58-5 正弦定理與餘弦定理 56

58 基礎題 1. 已知 C 中, =10, C =10 3, =10, 求 C 面積 D. 設 C 為一直角三角形, 四邊形 CDE 是以 C 為一邊向外作出的正方形, 如右圖 若 C =5,C =4, =3, 試求 : (1) cos CD;() C 的面積 C E 3. 在 C 中, 之平分線交對邊 C 於 D, 已知 =3, C =5, =60, 求 D 4. 在 C 中, C = 6+, =105, =30, 試求 5. 圓內接四邊形 CD 中, =6, C =8, =90, =10, 求 D 6. 在 C 中, = 3+, C =,C =4, 則最小角的度數為何? 7. 在 C 中, 若 C =3,C =4,tan = 3 4, 則 為何? 8. 圓內接四邊形 CD 的四邊長分別為 =5, C =3,CD =3, D =4, 試求 : (1) 對角線 C ;() 此圓半徑 ;(3) 四邊形 CD 面積 9. 已知 C 三邊長 =7, C =5, C =3, 延長 C 至 D, 如右圖所示, 使 CD =, 求 D 之長 C D 10. 若 C 三邊長滿足 a-b+c=0 且 a+b-5c=0, 試求 : (1) sin :sin :sin C () cos (3) 若 C =6, 則 C 的面積 = 11. 若 C 滿足 a sin =b sin, 則 C 為何種三角形? 1. 平行四邊形 CD 中, 若 =7, C =9, D =8, 試求 C 13. 已知 C 中, =4, C =5,C =6, 求 C 邊上的中線長 14. 已知 C 之三邊長分別為 4 6 8, 則 (1) C 之面積為 () C 之內切圓半徑為 (3) C 之外接圓半徑為 進階題 15. 已知 C 面積為 75,D E F 分別在 C C 上, 且 D : D =3:, E: EC =4:1, CF : F =1:, 求 DEF 面積 16. 在 C 中, =75, = 6, C =,D 在 C 上, D=30, 求 D 17. 圓內接四邊形 CD 中, 對角線 C =8, =60, =45, 求 D 18. 在 C 中, 下列哪些選項的條件有可能成立? () sin=sin=sinc= 3 (C) sin sin sinc 均大於 3 (E) sin=sin= 1,sinC= 3 () sin sin sinc 均小於 (D) sin=sin=sinc= 圓內接四邊形 CD 中, =3,CD =5, D =8, =60, 求 :(1) C ;() cos D 1 57 高中數學 ( 二 )

59 0. 如右圖所示, 在 C 中, C 的平分線 D 交對邊 C 於 D; 已知 D =3, DC =6, 且 = D, 試求 cos D 之值 ( 化成最簡分數 ) 1. 已知 C 的三邊長滿足 (a-b+c) +(3a+b-c) =0, 試求 : (1) sin :sin :sin C () cos 與 sin 之值 (3) 若 C 周長 15 3, 則 C 之外接圓面積為. 在 C 中, 若 (b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6, 試求 : (1) sin :sin :sin C () cos :cos :cos C 3. 在 C 中,a b c 分別為 C 之對應邊長, 若 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, 試求 C 4. 若 C 滿足 a cos +b cos =c cos C, 試證 : C 為直角三角形 5. 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動 開始時該物位置在 P 點, 一分鐘後, 其位置在 Q 點, 且 POQ=90 再過一分鐘後, 該物位置在 R 點, 且 QOR=30 試求 tan ( OPQ) 6. 在 C 中, 已知 C C 邊上的高分別為 6 4 3, 試求 C 的 : (1) 最小角之餘弦值 () 三邊長 (3) 面積 (4) 內切圓之半徑 ( 提示 : 設 C 的三邊長為 a b c, 對應的高分別為 h a h b h c, 則 a:b:c= h a :h b :h c ) C 思考題 7.(1) 已知四邊形 CD 的兩對角線 C D 的夾角為 θ, 試證 : 四邊形 CD 面積 = 1 C D sinθ () 若四邊形 CD 的對角線長為 7 與 1, 且兩對角線的夾角為 60, 求此四邊形的面積 a 8. 已知點 (1, ) 與 x 軸上一動點 P(a, 0), 試求的最大值及此時的 a 之值 P ( 提示 : 利用正弦定理 ) 9. 若 x +x+1 x -1 x+1 為三角形三邊長, 則此三角形最大角的度數為何? 30. 若 C 三邊長滿足 c 4 -(a +b )c +a 4 +a b +b 4 =0, 則 C= 31. 在 C 中, 若 a 4 +b 4 +c 4 =c (a +b ), 求 C 3. 試證托勒密定理 : 若四邊形 CD 為圓內接四邊形, 則 C D = CD + D C 即圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和 33. 在 C 中,a b c 為 C 之對應邊長, 試證 : (1) a=b cos C+c cos ( 此性質稱為投影定理 ) b + c cos + cosc () = ( 提示 : 利用 (1)) a 1 cos (3) cos +cos +cos C>1 ( 提示 : 利用 ()) 34. 試證 : (1) 若 C 滿足 a sin +b sin =ab cos cos, 則 C 為何種三角形? () 若 C 滿足 b sin C+c sin =c +bc cos cos C, 則 C 為何種三角形? ( 提示 : 利用第 33 題第 (1) 小題的投影定理 ) 35. 已知 C 之周長為 0, 內切圓半徑 3, =60 且 C <, 試求 : (1) 三邊長 ;() C 面積 ;(3) C 的外接圓面積 D C -5 正弦定理與餘弦定理 58

60 36. 已知 C 中,D E F 分別為 C C 中點, 三中線長 D E CF 分別為 5 6 7, 求 C 面積 答案 : (1) () () (3) (1) 3 15() () 略 或 (1) 4:3: ()- 1 4 (3) 等腰 (1) (3) ()()(E) 19.(1) (1) 3:5:7 () ; (3) 49π.(1) 7:5:3 ()(-7):11:13 6.(1) 8 7 () (3) (4) 15 7.(1) 略 () 當 a=5 時, a P = 5 為最大值 或 或 略 33.(1) 略 () 略 (3) 略 34.(1) 直角 () 等腰 35.(1) 7,5,8 () 10 3(3) 49π 高中數學 ( 二 )

61 -6 基本三角測量 例題 :1. 為測得一湖泊岸邊 兩點 ( 如下圖 ) 的距離, 某人在岸邊另找一點 C, 並測得 C=60, C =100 公尺, C =80 公尺, 試求 ( 與 -3 例題 1.(1) 做比較 ) 解 : ns:0 1 公尺 100 公尺 公尺 C 湖 例題 :. 小虎於山腳測得山頂仰角為 45, 他由山腳沿 15 的斜坡往山頂方向上行 00 公尺後, 再測得山頂仰角為 60, 求山高 解 : ns:100( 6+ ) 公尺 例題 :3. 如下圖所示, 海岸邊兩觀測站 與 同時發現海中有一艘船 D 觸礁, 欲從小島 C 派出搜救挺展開救援 已知 觀測站測得 C=15, D =105 ; 觀測站測得 C=10, D=45, 已知 兩觀測站相距 公里, 試求海難船 D 與海島 C 的距離 解 : ns: 14 公里 D 海 C 陸 -6 基本三角測量 60

62 例題 :4. 有一山高 300 公尺, 甲村在山之東, 乙村在山之北 60 西, 從山頂測得甲 乙兩村之俯角分別為 60 及 45, 試求甲 乙兩村的距離 解 : ns:100 1 公尺 例題 :5. 在東西向道路上的 C 三點觀測北方一鐵塔, 測得塔頂仰角分別為 , 若 = C =100 公尺, 求鐵塔的高度 解 : ns:50 6 公尺 : 下面的算式中, 每個英文字母代表一個不同的阿拉伯數字, 請還原算式 SEND + MORE MONEY 61 高中數學 ( 二 )

63 基礎題 1. 某人測得一船在正西方 00 3 公尺處 ;5 分鐘後, 再測得船在西 30 南 00 公尺處, 則此船之速率為公里 / 小時. 傾斜 15 的斜坡頂端有一塔 ( 如右圖 ), 於坡上一點 測得塔的鉛直視角為 30, 沿坡道上行 100 公尺至, 再測塔的鉛直視角塔為 45, 求塔高 斜坡 3. 有一塔高 150 公尺, 樹 在塔之正東, 樹 在塔之東 60 南, 一人從塔頂測得樹 底部之俯角為 75, 樹 底部之俯角為 45, 則兩樹間之距離為公尺 4. 坤德站在體育館頂樓上, 看操場上的一點, 測得俯角為 30 ; 然後向左轉 30, 俯視操場上另一點, 測得俯角為 45 已知 兩點距離為 40 公尺, 試求體育館高度 進階題 5. 已知 兩地相距 8 公里, 道路 C 夾 60 角 ( 如右圖 ), 若甲由 沿 C 行走, 同時乙由 沿 以 倍甲速行走, 則甲行 公里後, 甲 乙二人的距離最短, 且此最短距離為 公里 6. 阿榮在住家 處看見建築物 C 在 點北 60 東, 另一建築物 D 在其北 15 東 阿榮從住家向北前進 公里至學校 處, 發現建築物 C 在 點正東, 建築物 D 在其東 60 南, 試求 :(1) 阿榮住家 與建築物 C 的距離 () 阿榮住家 與建築物 D 的距離 (3) 兩建築物 C 與 D 的距離 7. 若 C 為海中小島, 海岸邊兩觀測站 與 同時發現有一艘船 D 觸礁 在 觀測站測得 C=90, DC=45 ; 在 觀測站測得 C=60, CD=45 已知 兩觀測站相距 4 公里 試分別求 D D DC 8. 設有共線之三相異點 C, 分別測得一山頂之仰角分別為 ( 但山頂之垂足不與 C 共線 ), 試分別依下列二條件求山的高度 : (1) 若 = C =600 公尺 () 若 =300 公尺, C =00 公尺 C 思考題 9. 有一氣球懸掛在高樓頂端, 在無風氣球靜止時小芳發現 : 當太陽在南 85 東且仰角為 30 之方向時, 氣球的影子在地面上的 處 ; 當太陽在南 65 西且仰角為 45 之方向時, 氣球 的影子在地面上的 處, 若 =140 公尺, 試求氣球距離地面的高度 10. 自平面上不共線之三點 C, 測得一山頂之仰角均為 60 且 C=30, C =50 公尺, 則山高為公尺 C 60 答案 : 公尺 3. 75(3 + 6) 公尺 5. 10; 1 6.(1) 4 公里 () 公里 (3) 10 公里 7. ( 6- ) 公里 ;4 公里 ;4 公里 8.(1) 公尺 () 公尺 公尺 基本三角測量 6

64 附表一 希臘字母表 大寫 小寫 英文拼音 中文讀音 Α α alpha 阿耳法 Β β beta 貝塔 Γ γ gamma 伽馬 δ delta 德耳塔 Ε ε epsilon 厄普西隆 Ζ ζ zeta 截塔 Η η eta 愛塔 Θ θ, ϑ theta 西塔 Ι ι iota 育塔 Κ κ kappa 卡帕 Λ λ lambda 蘭姆達 Μ µ mu 繆 Ν ν nu 紐 Ξ ξ xi 克西 Ο ο omicron 奧美克隆 Π π pi 派愛 Ρ ρ rho 洛 Σ σ sigma 西格馬 Τ τ tau 套 Υ υ upsilon 宇普西隆 Φ φ, ϕ phi 斐 Χ χ chi 喜 Ψ ψ,ψ psi 潑西 Ω ω omega 奧米伽 63 高中數學 ( 二 )

65 附表三 三角函數值表 角度 sin cos tan cot sec csc 0 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 1 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 3 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 4 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 5 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 6 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 7 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 8 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 9 00' ' cos sin cot tan csc sec 角度 附表 64

66 附表三三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan cot sec csc 9 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 10 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 11 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 1 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 13 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 14 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 15 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 16 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 17 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 18 00' ' cos sin cot tan csc sec 角度 65 高中數學 ( 二 )

67 附表三三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan cot sec csc 18 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 19 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 0 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 1 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 3 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 4 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 5 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 6 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 7 00' ' cos sin cot tan csc sec 角度 附表 66

68 附表三三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan cot sec csc 7 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 8 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 9 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 30 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 31 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 3 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 33 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 34 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 35 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 36 00' ' cos sin cot tan csc sec 角度 67 高中數學 ( 二 )

69 附表三三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan cot sec csc 36 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 37 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 38 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 39 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 40 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 41 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 4 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 43 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 44 00' ' 10' ' 0' ' 30' ' 40' ' 50' ' 45 00' ' cos sin cot tan csc sec 角度 附表 68