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杏贵卯
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1 Lanczos 方法 Louis Komzsik 著张伟廖本善译演变与应用清华大学出版社北京

2 内容简介 Lanczos 方法是 20 世纪计算数学方向最有影响的方法之一, 并且已经在工程中得到了广泛应用. 本书兼顾了 Lanczos 方法的理论演变和工程中的实际应用, 其内容分为两部分 : 第一部分阐述了方法的演变, 并提供了具体算法 ; 第二部分讨论了工业中的实际应用, 包括常用的模态分析复特征值分析频率响应分析以及线性系统问题的求解. 对于应用数学和工业工程专业的研究人员, 以及工程计算领域的工程师, 本书是一本很有价值的参考书. The Lanczos Method: Evolution and Application copyright 2003 Society for Industrial and Applied Mathematics. Published by Tsinghua University Press with permission. Chinese edition copyright 2011 by Tsinghua University Press. 版权所有, 侵权必究侵权举报电话 : 图书在版编目 (CIP) 数据 Lanczos 方法 : 演变与应用 /( 美 ) 科姆日克 (Komzsik, L.) 著 ; 张伟, 廖本善译. 北京 : 清华大学出版社, 书名原文 :The Lanczos Method: Evolution and Application ISBN Ⅰ. 1 L Ⅱ. 1 科 2 张 3 廖 Ⅲ.1 电子计算机 - 计算方法 Ⅳ. 1TP301.6 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2011) 第号责任编辑 : 佟丽霞责任校对 : 刘玉霞责任印制 : 王秀菊出版发行 : 清华大学出版社地址 : 北京清华大学学研大厦 A 座邮编 : 社总机 : 邮购 : 投稿与读者服务 : , c-service@tup.tsinghua.edu.cn 质量反馈 : , zhiliang@tup.tsinghua.edu.cn 印刷者 : 北京清华园胶印厂装订者 : 经销 : 全国新华书店开本 : 印张 :6 字数 :106 千字版次 :2011 年 3 月第 1 版印次 :2011 年 3 月第 1 次印刷印数 : 定价 :14.00 元产品编号 :

3 献给斯特拉和维克多

4 ,..,.. Louis Komzsik 2009

5 Lanczos, , Lanczos [2]..,. Lanczos,,,.,. Lanczos 20 70, Eotvos ( Lanczos ). Lanczos,. Lanczos, , Lanczos. 70, Lanczos. 20.,. Lanczos,.,.. ( ),,. Lanczos,.. 1 5, Lanczos. Lanczos,. 6 10,., Lanczos. Lanczos,,.,,

6 iv, QR Givens., MATLAB. 25, Lanczos. Beresford Parlett Gene Golub,.,. Horst Simon, John Lewis Zhaojun Bai. Lanczos., Tom Kowalski, NASTRAN 1,,. Louis Komzsik NASTRAN.

7 1 Lanczos Lanczos Lanczos Lanczos Lanczos Lanczos Lanczos Lanczos

8 vi Lanczos Lanczos Lanczos Padé

9 vii 10 Lanczos Lanczos Cornelius Lanczos

10 I

11 1 Lanczos, Lanczos.,. Lanczos [2],, (The method of minimized iterations).,. 1.1 n A, n n f(x) = x T Ax = a kl x k x l (1.1) k=1 l=1. x = (x 1, x 2,, x n ), Lanczos. A, x T Ax = 1 (1.2) R n n. n. x i, i = 1, 2,, n. λ i, Ax i = λ i x i. (1.3),, x i, n ( ), x i = cn, (1.4) c., n = (x T Ax 1) = Ax i, (1.5) c = 1/λ i.

12 4 1 Lanczos 1.2 Lanczos (A T = A), G(µ) = det(a µi) = 0, (1.6) Au = µu, (1.7) u, µ. Lanczos, Lanczos., b 0 b T 0 b 0, b 2 0,. Lanczos,. b, b 1 b 0 Ab 0 b 1 = Ab 0 α 0 b 0. (1.8) α 0 b 1 b 2 1 = (Ab 0 α 0 b 0 ) 2. (1.9). α 0 = (Ab 0)b 0 b 2. (1.10) 0 b 1 b 0.,, b 1 b 0 = 0. (1.11) b 2 = Ab 1 α 1 b 1 β 0 b 0, (1.12) b 2., b 2 2. α 1 = (Ab 1)b 1 b 2 1, β 0 = (Ab 1)b 0 b 2. (1.13) 0

13 1.2 5 (Ab 1 )b 0 = b 1 (Ab 0 ) = b 2 1, (1.14) b 2 b 1 b 0., b 3 = Ab 2 α 2 b 2 β 1 b 1 γ 0 b 0. (1.15), b 2 (orthogonality), γ 0 = (Ab 2)b 0 b 2 0 = b 2(Ab 0 ) b 2 0 = 0. (1.16) Lanczos,,, b 0, b 1 = (A α 0 I)b 0, b 2 = (A α 1 I)b 1 β 0 b 0, b 3 = (A α 2 I)b 2 β 1 b 1,. b m = (A α m 1 I)b m 1 β m 2 b m 2 = 0. m,. Lanczos (order), m n, n A.,,, β k, k < m ,, Lanczos. Lanczos, A A T,, (bi-orthogonal process). b 0 b 0 (b 0, b 0 b H 0 ), α 0 b 1 = Ab 0 α 0 b 0, (1.17) b 1 = A T b 0 α 0 b 0, (1.18) α 0 = (Ab 0)b 0 b 0 b 0 = (AT b 0)b 0 b 0b 0. (1.19)

14 6 1 Lanczos b 2 = Ab 1 α 1 b 1 β 0 b 0, (1.20) b 2 = A T b 1 α 1 b 1 β 0 b 0, (1.21) α 1 β 0 α 1 = (Ab 1)b 1 b 1 b 1 = (AT b 1)b 1 b 1b 1, (1.22) β 0 = (Ab 1)b 0 b 1 b 0, = (AT b 1)b 0 b 0b 0 = b 1b 1 b 0b 0. (1.23) p 0 = 1, p 1 (µ) = µ α 0, p 2 (µ) = (µ α 1 )p 1 (µ) β 0 p 0 (µ),. p n (µ) = (µ α n 1 )p n 1 (µ) β n 2 p n 2., n ( β i ), p n A, µ i, i = 1, 2,, n. 1.3 Lanczos {b i }, {b i }. A, b i b i = p i (µ 1 )u 1 + p i (µ 2 )u p i (µ n )u n. (1.24) b i u k, u k u i, b i u k = p i (µ k )u k u k. (1.25). u k uh k, k., u i b i, u i = α i,0 b 0 + α i,1 b α i,n 1 b n 1. (1.26)

15 1.3 7 u i b k = α i,k b k b k, (1.27) α i,k = u ib k b k b. (1.28) k u i = b 0 b 0 b + p 1 (µ i ) b 1 0 b 1 b 1 u i = b 0 b 0 b + p 1 (µ i ) b 1 0 b 1 b 1 b n p n 1 (µ i ) b n 1 b. (1.29) n 1 b n p n 1 (µ i ) b n 1 b. (1.30) n 1, m n,..,, A (B) * T, B T = (B ) T AB, (1.31) [ B = b 0 b 1 b n 1 ], (1.32) [ B = b 0 b 1 b n 1 ], (1.33) α 0 β 0 β 0 α 1 β 1 T = (1.34) β n 2 α n 1 β n 1 β n 1 α n., (1.7) (B ) T AB(B ) T u = µ(b ) T u, (1.35) b ( bi-orthogonality) B(B ) T = I, (1.36)

16 8 1 Lanczos T v = µv, (1.37) v = (B ) T u, u = Bv. (1.38) : T v, Lanczos. 1.4,. Lanczos b 0, b 1, S, S = span(b 0, b 1 ). (1.39) Lanczos. Ab 1 (1.13) proj S (Ab 1 ) = (Ab 1)b 0 b 0 b 0 b 0 + (Ab 1)b 1 b 1 b 1 b 1, (1.40) proj S (Ab 1 ) = (Ab 1)b 0 b 2 0 b 0 + (Ab 1)b 1 b 2 b 1. (1.41) 1 proj S (Ab 1 ) = β 0 b 0 + α 1 b 1. (1.42) Ab 1,, Lanczos b 2 = Ab 1 proj S (Ab 1 ) = Ab 1 α 1 b 1 β 0 b 0 (1.43) (1.12), Lanczos., Lanczos, Ab j Lanczos, Ab j,, b j+1, Lanczos b j+1., [ B j = b 0 b 1 b j ], (1.44) S j = span(b j ), (1.45)

17 1.4 9 a = Ab j, (1.46) p = proj Sj a, (1.47) b j+1 = a p. (1.48), Lanczos., Lanczos,,.

18 2 Lanczos, Lanczos,,. 2.1 Ax = λx, y T A = λy T, (2.1) A., x, y, Lanczos. Lanczos X n Y n ( b i b i ), Y T nx n = I, (2.2) I n, Y T nax n = T n, (2.3) A, T n., : AX n = X n T n, (2.4) Y T na = T n Y T n. (2.5), Ax k = γ k 1 x k 1 + α k x k + β k x k+1, (2.6) y T ka = β k 1 y T k 1 + α k y T k + γ k y T k+1. (2.7) y k x k Y n X n k, k = 1, 2,, n 1. k (k < n), AX k = X k T k + β k x k+1 e T k, (2.8)

图书在版编目穴 CIP 雪数据做事细节全书 / 赵彦锋编著郾北京 : 企业管理出版社, ISBN Ⅰ 郾做... Ⅱ 郾赵... Ⅲ 郾工作方法通俗读物 Ⅳ 郾 B 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2005) 第号书

做事细节全书赵彦锋著企业管理出版社图书在版编目穴 CIP 雪数据做事细节全书 / 赵彦锋编著郾北京 : 企业管理出版社, 2005.11 ISBN 7-80197-338-0 Ⅰ 郾做... Ⅱ 郾赵... Ⅲ 郾工作方法通俗读物 Ⅳ 郾 B026-49 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2005) 第 136676 号书名 : 做事细节全书作者 : 赵彦锋责任编辑 : 吴太刚