第一章 函数与极限练习题

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1 第一章函数与极限练习题 一 选择题 下列函数对中, 函数相同的是 ( ) A f ( ) lg, g( ) lg B f ( ), g( ) C f g 4 ( ), ( ) D 已知函数 f ( ), 则 f A B 下列命题正确的是( ) A 若 lim U, 则 limu ( ) 等于 ( ) C C 若 lim, 则必有 lim 或 lim D 数列 f ( ), g( ) D B 设 为任意数列,lim, 则 lim 收敛于 的充分必要条件是 : 它的任一子数列都收敛于, 4 设 f ( ),, 则 lim f ( ) 为 ( ), A 不存在 5 设 f ( ) 和 ( ) 点 则 ( ) B 在, C D 内有定义, f ( ) 为连续函数, 且 f ( ), ( ) 有间断 A f ( ) 必有间断点 B ( ) 必有间断点 C f ( ) 必有间断点 D ( ) f ( ) 必有间断点 e 6 设函数 f ( ) 在 上连续, 则 ( ), A B 7 已知 f ( ) 的连续区间是 A, C,, 则函数 l( ) B, D f 的连续区间是 ( ) e C,e D e, e

2 , 8 设 g( ),, A C,,,,, f ( ), B D, 则 g[ f ( )] ( ),,,, 9 设函数 f ( ) l, 那么 是 f ( ) 的 ( ) A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 当 时, 无穷小量 si si 是 的 ( ) 阶无穷小量 A B C 4 二 填空题 已知 f ( ) e, lim( ) si si lim l cos 4 lim ( ) l cos f ( ), 且 ( ), 则 ( ) D 连续点 D 5 5 设函数 f ( ) 在, 内有定义, 且 f ( ), 对任意的实数 和 均有 f ( ) f ( ) f ( ) 成立, 则 f (8) 6 设函数 则 F F 的定义域为 D R, 且 7 设函数 f ( ),, 则 lim l f () f () f ( ), 且满足 F( ) F( ) 8 已知 f ( ) 是最小正周期为 5 的偶函数 当 f ( ) 时, f (4) 9 如果 f (l ), 则 f () 的值是 已知数列,,, 的极限存在, 则极限为

3 三 简答题 已知 f ( ) 为二次函数, 且 f ( ) f ( ) 4, 求 f ( ) 设实数 b, 函数 f ( ) 对任意实数, 有 f ( ) f ( ), f ( b ) f ( b ) 证明 : f ( ) 是以 b 为周期的周期函数 l e 设 f ( ) lim, 求 f ( ) 4 若 f ( ) 在, 上连续, 且 f () f ( ), 则方程 f ( ) f ( ) 至少有一个实根 5 设,, 求 lim 在, 内

4 第一章函数与极限练习题答案 一 选择题 C 分析 : 两函数相同, 必须定义域相同, 对应法则也相同 本题中 A, D 两组定义域不 同, 故不是同一函数 B 对应法则不同 故选 C A 分析 : 由 f ( ) f ( ), 即 ( ) D f ( ) f ( ) 分析 : 因为设 故选 A U, lim U lim, 但 limu 不存在, 故不选 A 设,, 则, lim lim, 但 lim 设, 故不选 B,, 则, 所以 lim, 但 lim,lim 都不存在 故不选 C 4 A 分析 : 因为 f f 在 5 D lim ( ) lim, 所以 lim f ( ) 不存 ( ) ( ) 分析 : 反证法, 假如没有间断点, 即为连续函数 因 f ( ) 连续, 故 f ( ) f ( ) f ( ) 连续, 矛盾, 故 D 正确 取, f ( ) 而 f ( ), [ ], f [ ( )] 均无间断点, 故排除 6 C, 则 f ( ), 符合要求, A B C, 应选 D 4

5 分析 : 因为 7 B f () lim e 分析 : 因为 f ( ) 的连续区间是 8 D 分析 : 当 时, 9 C 分析 : 时, 间断点 B,, 由 l, 得 e g( f ( )) g( ), 当 时, g( f ( )) g( ) f ( ) l, lim f ( ) lim l 分析 :si si si cos si si,si, 则 是 f ( ) 的第二类, 又已知 si (cos ) 4si si 因此 si si 是 的 阶无穷小量 4 二 填空题 ( ) l 分析 : 由 f ( ) e, 有 两边取对数, 注意到 ( ) l, 又 f e, 得 l lim( ) e f ( ), 则 e l 又由 故 分析 : 当 时, ( ) ( ) ( ) ( ) 因为 lim( ) e,lim( ) e, 所以 lim( ) e si si lim cos 5

6 cos si si 分析 : 原式 = lim lim cos cos l cos 4 lim ( ) l cos l[ (cos )] cos 分析 : 原式 lim lim lim l[ (cos )] cos 5 f (8) 分析 : 令, 则 f () f ( ) f () 由 f ( ), 则 f (), 得 f ( ), 故 f (8) 6 F 分析 : 在 中分别用和 代替, 得 F( ) F( ) F( ) F( ) +-, 得 F F lim l f () f () f ( ) l 7 lim l f () f () f ( ) lim l[ ] lim l 分析 : 8 f (4) 分析 : f (4) f ( 5) f ( ) lim l l 6

7 9 e 分析 : f () f (l e ) e 分析 : 因为数列 的极限存在, 所以可设 lim, 又因为 对 两端求极限 lim lim( ) lim 有, 故 ( 舍去负值, 因 ) 所以 lim 三 简答题 分析: 设 f ( ) b c, 那么 f ( ) f ( ) b c 4 比较两边系数, 得, b, c, 故 证 : f ( ) ( ) f [ ( b - )] f b b f b b f f f f 故 f ( ) 是以 b 为周期的周期函数 分析: 当 e 时, l e l[ e ( ( ) )] l[ ( ) ] l[ ( ) ] f ( ) lim lim e lim e lim e 当 e 时, e e l[ ( ( ) )] l l[ ( ) ] f ( ) lim lim l,, < e 即 f ( ) l, >e 4 证明: 令 g( ) f ( ) f ( ) 则 g() f () f ( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) f () ( f () f ( )) 7

8 因此 g g( ) 若 f () f ( ), 则 满足要求 若 f () f ( ), 则 g g( ), 由零点点定理 (, ) f ( ) f ( ), 是, 内 f ( ) f ( ) 的根 5 分析 : 先证 再证 使得 g, 即 单调增加 因为, 今设, 则, 由于, 设, 从而有 因此极限存在, 设 lim, 由等式, 即 两边求极限 得, 那么 或 ( 舍去 ) 故 lim 8

9 一 选择题 第二章 设函数 f ( ) 在点 处可导, 且 A B d 已知 f ( ), f ( ) rct, 则 d A B C 下列命题正确的是 ( ) 导数与微分练习题 f ( ) f ( ), 则 f ( ) ( ) C D lim A 若 f ( ) 在点 可导, 则 f ( ) 在点 一定可导 B 若 f ( ) 在点 可导, 则 f ( ) 在点 一定可导 C 若 f ( ), 则 f ( ) ( ) D 若 f ( ) 与 g( ) 在点 都不可导, 但 f ( ) g( ) 在点 可能可导 4 已知 f ( ), 则 df ( ) D 4 A d B d C d D d 5 设 f ( ) 在区间 f ( ) 的 ( ), 内有定义, 若当, 时, 恒有 f ( ), 则 必是 A 间断点 B 连续而不可导的点 D 可导的点, 且 f () C 可导的点, 且 f () 6 设 f ( ) f ( ) 总成立, f () b,, b 为非零常数, 则 f ( ) 在 处 ( ) A 不可导 B 可导且 f () b C 可导且 f () D 可导且 f () b P 7 设有多项式 4 满足 ( ), 又设 是它的最大实根, 则 A P B P C P D P P 8 设 f ( ), 则使 f () 存在的最高阶数 ( ) 9

10 A B C 9 设 f ( ), 则, 有 ( ) A f ( ) f ( ),, f ( ) f ( ), B f ( ) f ( ),, f ( ) f ( ), C f ( ) f ( ), D f ( ) f ( ), 设曲线 b 和 A, b 在点, C, b D 处相切, 其中, b 是常数, 则 ( ) B, b D, b 二 填空题 f ( ) 设 f ( ) 在 处连续, 且 lim, f () 给定曲线, 则过点, 的切线方程为 设 si 4 设曲线 f ( ) 5 设 si cos, 则 在点, 处的切线与 轴的交点为 ( ), 则,, 则 lim f ( ) 6 设 e u, u f ( t), t l, 其中 f ( u ) 可微, 则 d 7 设 si cos, 则 d k 8 设 k 为常数, 则 lim [( ) ] 9 由方程 三 简答题 设函数 确定, 则 由方程 e e d d 所确定, 求 设 f ( ) 在, 上有定义, 且对任何, 有 f ( ) f ( ) f ( ), f ( ) g( ) 其中 lim g( ) 试证函数 f ( ) 在, 内处处可导

11 证明: 方程 在, 内必有唯一实根, 并求 lim 4 设函数 f ( ) 在, 上有定义, 且满足 f ( ),, 证明 f () 存在, 且 f () 5 设,, 证明 l

12 一 选择题 A 分析 : 因为 第二章 导数与微分练习题答案 所以 f ( ) C f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim f ( ) 分析 : 令 u, 则 f u, 从而 d du du 8 f ( u) rct u rct u rct( ) d d d d 因此 d D 分析 : 例如 f ( ), 设 f ( ), 此不可导, 不选 B 设 f ( ) 在点 可导, 但 f ( ) 在点 不可导, 故不选 A, 则 f ( ) 在点 可导, 但 ( ), 则 f (), 但 f (), 故不选 C f 在点 不连续, 因 D 是正确的 例如,, f ( ), g 则 f ( ) g( ),, 那么 f ( ) g( ) 在点 处可导, 但 f ( ) 与 g( ) 在点 都不连续, 从而都不可导 4 B

13 分析 : df 5 C f d d ( ) 分析 : 显然 f f f, 又 f ( ) f (), 故 (), lim ( ) () lim f ( ) f () f ( ) lim f ( ) f () f ( ) 在 连续 lim lim lim 所以 f () 6 B f ( ) f () f ( ) f () 分析 : 按定义考察 lim lim f b 因此, 应选 B 7 D 分析 : 注意 P 在 8 C, 连续, 又 lim P 时 P P P P P lim lim, 分析 : 实质上就是讨论 g 时, g 存在的最高阶数,, 6, g, g 6, 6, 在 不可导 因此, 选 C 9 A f ( ) f ( ) 分析 : 直接由定义出发 f ( ) lim 由极限的保序性, 当 -,, 时 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ),, f ( ) f ( ), 因此选 A B

14 分析 : 曲线 b 在点, 对 求导得 处的斜率 ( b) 将方程 由此知该曲线在, 处的斜率 因这两条曲线在,, 率相同, 即, 又曲线 b b 二 填空题 f () 分析 : 此题 f () 只能用定义求, 为此, 先求 f () 故 f () 过点, 为 处相切, 所以在该点它们的斜, 所以 b, f ( ) f ( ) f () lim f ( ) lim lim lim f ( ) f () f ( ) lim lim 或 9 6 分析 : 设切点为 (, ) 又因为切线过点, 则切线方程为 ( ),, 代入上式可得 即 或 因此所求的两条切线为 : cos si si l si 分析 : 易知 l cos l si 即 cos si, 两边同时对 求导得 和 即 cos si l si cos si l si si si cos cos cos cos si si l si si 4 lim f ( ) e 分析 : 设 f ( ) 在点, 处的切线为 b, 则 4

15 b df ( ) d b 当 时,, 故 lim f ( ) lim( ) e 5 ( ) si( ) si( ) 4 4 si cos si si si si si si, 4 4 分析 : si si si si( ) si( ) 于是 f e d 6 d l f l u u u u d f l d e d u e du e f t dt e f t f e d 分析 : ( ) ( ) l 7 d cos si d si si 分析 : 利用一阶微分形式的不变性求得 d d si cos 即 d d d d si cos si 整理得 (si( ) si ) d ( cos si( )) d, 故 d k 8 lim [( ) ] k 分析 : 利用等价无穷小因子替换 : 9 d d l l 分析 : 两边取对数得 l l t 时, t k kt, 有 原式 lim ( k ) k, 两边对 求导, 并注意 l d d l d d cos si d si si, 得 d d d 两边乘, 并移项得 l l, 分析出得 d d d l l 5

16 三 简答题 分析: 将已知方程两边对 求导, 得 e 在 式中再两边对 求导, 得 e e ( ) e e 将 代入原方程, 得 e e, 将, 它们代入 式, 得 ( ) e e e e e 分析: 设 为, 内的任意一点, 则 代入 式, 得, 再将 e f ( ) f ( ) f ( ( ) f ( ) f ( ) f ) f ( ) f ( ) lim lim lim f ( ) g( ) lim f ( ) 故 f ( ) 在, 内处处可导 证 : 设 f ( ), 则 f (), f (), 由介值定理知,, 使得 ( ) f, 即原方程在 f 在, 内至多只有一根, 从而 f ( ) 在 故 ( ), 内至少有一实根, 又 f ( ),, 内只有唯一实根, 则 由于, 有 lim, 并记 lim, 对 式两边取极限得 ( ), 分 析得, 即 lim 4 证明: 由 f ( ), 可知当 时, f (), 即 f () 又 f ( ) f ( ) f () ( ) 6

17 f ( ) f () 已知 lim lim, 由两边夹定理可得 lim f () g( ) l, g(), 5 证明 : 令 故可得 g( ) 在 g g ( ) l l, () g( ) [l ], g() l( ) g ( ),,, 上严格单调递减, 则有 g( ) g, 即 l 7

18 一 选择题 第三章 微分中值定理与导数的应用练习题 设函数 f ( ) 在区间, 内二阶可导, 且满足条件 f () f (), 时 f ( ) 则 g( ) f ( ) 在, 内 ( ) A 曲线是向上凹的 B C 单调减少 D 已知 f ( ) 在 处某邻域内连续, A 不可导 C 取得极大值 若 f ( ) 和 g( ) 在 A 必取得极小值 C 不可能取得极值 曲线是向上凸的 单调增加 f ( ) lim cos B 可导且 f () D 取得极小值, 则在 处 f ( ) ( ) 处都取得极小值, 则函数 F f ( ) g( ) B 必取得极大值 D 可能取得极小值, 也可能取得极大值 在 处 ( ) 4 奇函数 f ( ) 在闭区间, 上可导, 且 f ( ) M ( M 为正常数 ), 则必有 ( ) A f ( ) 5 设 M B f ( ) A b C M C f ( ) M D f ( ) 由方程 b 确定, 且 (), 是驻点, 则 ( ) B, b t 6 设曲线 则曲线 ( ) t 5, b D, b A 只有垂直渐近线 C 无渐近线 B 只有水平渐近线 D 有一条水平渐近线和一条垂直渐近线 M 8

19 7 设 f ( ) g( ) 在 处可导, 且 f ( ) g( ), f ( ) g( ), f ( ) g( ) 存在, 则 ( ) A B C D 不是 f ( ) g( ) 的驻点 是 f ( ) g( ) 的驻点, 但不是它的极值点 是 f ( ) g( ) 的驻点, 且是它的极大值点 是 f ( ) g( ) 的驻点, 且是它的极小值点 8 设函数 f ( ), g( ) 是大于零的可导函数, 且 f ( ) g( ) f ( ) g( ), 则当 b 时, 有 ( ) A f ( ) g( b) f ( b) g( ) C f ( ) g( ) f ( b) g( b) 9 函数 f ( ) 在, 内 f ( ) ( ), 上连续, 在 A 没有零点 C 只有一个零点 设 f ( ) ( ), 则 ( ) B f ( ) g( ) f ( ) g( ) D f ( ) g( ) f ( ) g( ), 内可导, 且 f (), f ( ) k, 则在 B 至少有一个零点 D 有无零点不能确定 A 是 f ( ) 的极值点, 但, 不是曲线 f ( ) 的拐点 B 不是 f ( ) 的极值点, 但, 是曲线 f ( ) 的拐点 C 是 f ( ) 的极值点, 且, 是曲线 f ( ) 的拐点 D 不是 ( ) 二 填空题 f 的极值点, l lim, 也不是曲线 f ( ) 的拐点 ` 曲线 l( e ) 的渐近线为 9

20 e 设 f ( ) 则 f cos bsi 4 若 lim, 则,b 设, 则曲线在拐点处的切线方程为 6 lim e 7 函数 的极大值点是, 极大值是 8 的麦克劳林公式中 9 设 f ( ) e, 则函数 三 简答题 项的系数是 f ( ) 在 处取极小值 若 f ( ) 在, b 上连续, 且 f ( ), f ( b) b f ( ) 则在, b 内至少有一点, 使得 设函数 f ( ) 在, 内可导, 且 f ( ) f ( ), 证明 : f ( ) 至多有一个零点 证明: 设不恒为常数的函数 f ( ) 在, b 上连续, 在, b 内可导, 且 f ( ) f ( b) 则在, b 内至少存在一点, 使得 f ( ) 4 已知 e b, 证明 : b b 5 证明: 设 b, 函数 f ( ) 在, b 上连续, 在, b 内可导, 则在, b 内至少存 f ( b) f ( ) b f ( ) 在一点, 使得

21 一 选择题 C 第三章 f ( ) f ( ) 分析 : g ( ) f ( ) 微分中值定理与导数的应用练习题答案, 设 F f ( ) f ( ), 则 F f ( ), 故 F 单调减少, F F D, 知 g( ) f ( ) f 分析 : 因 lim, 由保号定理知,, 使, 时, ( ) cos cos f ( ) 而 cos, 故 f ( ) 又因 lim, 故 lim f ( ) f () ( f ( ) 连续 ) cos, 时, f ( ) f (), 即 f ( ) 在 处取得极小值 则当 A 分析 : 由极值的定义, 必, 时 g g f ( ) g( ) f ( ) g( ) 4 C, 使, 时 f f ( ) ( ), 取 mi[, ] ( ) ( ),, 使, 则, 时, 分析 : 因 f ( ) 为奇函数, 故 f (), 由拉格朗日中值定理知, 介于 与 之间, 使 5 C f ( ) f () f ( ) M f ( ) M 分析 : 方程两边对 求导得 ( ) b 因 为驻点, 故 (), 代入上式得 又 (), 故 b, 分析得, b 6 D 分析 : 因 lim lim t t t 因 lim lim t t 7 D 分析 : 设 f ( ) g( ), 故 为曲线的垂直渐近线, 故 是曲线的水平渐近线, 则 ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( )

22 ( ), 是 ( ) 的驻点, 又由 ( ) f ( ) g( ) 知 ( ) 在 点取得极 故 小值 8 A f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) 分析 : ( ), 则 ( ), 故 ( ) 单调减少 ( ) ( b) g( ) g ( ) f ( ) f ( b) 即, 则 f ( ) g( b) g( ) f ( b) g( ) g( ) g( b) 9 C 分析 : 根据拉格朗日中值定理, 有 f ( ) f () f ( ) 故 f ( ) f () k 显然当, 因 f ( ) k, f () 时, f ( ) 又 f (), 因此 f ( ) 在 (,) k 内存在零点 由 f ( ) 知 f ( ) 单调增加, 从而零点唯一 故选 C C 分析 : ( ) f ( ) ( ) f ( ) 不存在 f ( ) 由充分条件知 是 f ( ) 的极值点,, 是曲线 f ( ) 的拐点 二 填空题 l lim l l l 分析 : lim lim lim lim, e e

23 分析 : 因 lim f ( ) lim l( e ), 故 是曲线的垂直渐近线 又 e e e f ( ) lim lim l( e ) b lim f ( ) lim l( e ) l( e ) lim lim e e 故 为曲线的斜渐近线 e f 分析 : 用间接法将 f ( ) 展开成麦克劳林公式得 : 99 e!!!! R 而 f ( ) f () f () R f ()! 由 的系数相等, 得 f (), 即 f!! 4,b cos bsi 分析 : 因 lim, 则 lim( cos bsi ) 分析得, ( cos bsi ) si b cos 又 lim lim, 故 lim si bcos 则 b 分析 : 由, 得, 4 4, 6, 故该 点处的切线方程为 lim e e l l ( e e) 分析 : 原式 lim lim

24 7 极大值点是, 极大值是 分析 :, 令 得 l! 8 ( ) 分析 : 因为 f l!! l lim lim l lim lim e e e ( ) l ;, 所以 l l l 或 e l!! 处取极小值 e 9 分析 : f ( ) e, f ( ) e 6, 故 是极大值点, 此时 的麦克劳林公式中 项的系数是 项的系数为 令 f ( ) f ( ) e 得, 此时 f ( ) e 三 简答题 证明 : 设 g( ) f ( ), 则 ( ), b 上连续, 由条件可得 g( ) f ( ), g( b) f ( b) b 即 内至少有一点, 使 g, 即 f ( ) l! g 在 g g b 根据零点定理可知, 在, b 证明: 用反证法 假设 f ( ) 有两个零点, b, 其中 b 考虑函数 f ( ) e, 则 F F b F F 在, b 上连续, 在, b 内可导, 且 ( ) ( ) F e f f, 由罗尔定理, 有, b, 使得 F e f ( ) f ( ) 从而 f ( ) f ( ), 这与条件 f ( ) f ( ) 矛盾 因此, f ( ) 至多只有一个零点 证明: 由于 f ( ) f ( b), ( ) f 不恒为常数, 从而至少存在一点 c, b, 使得 f ( c) f ( ) f ( b) 若 f ( c) f ( ), 则对 f ( ) 在, c 上应用拉格朗日中值定理, 有 4

25 f ( c) f ( ), c, b, 使得 f ( ) 若 f ( c) f ( b), 则对 f ( ) 在 c, b 上 c f ( b) f ( c) 应用拉格朗日中值定理, 有 c, b, b, 使得 f ( ), 总之, 在 b c, b 内至少存在一点, 使得 f ( ) l l b l 4 证明: 原不等式等价于 bl l b, 即, 因此, 可设 f ( ), 则 b l f ( ) e f ( ) 为单调减函数, 因此, 当 e b 时, 有 f ( ) f ( b) 5 证明 : 取 g( ) 即, 则由柯西中值定理, 有, b f ( b) f ( ) b f ( ) 即 b b f ( b) f ( ) f ( ), 使得 b, 5

26 一 选择题 第四章 已知, 且 时, 则 ( ) 不定积分练习题 A B C 设 f ( ) 的一个原函数为, 则 f ( ) ( ) D A l 若 ( ) B l C f d F C, 则 f bd ( ) A F b C F b C C 4 f ( ) d ( ) A f ( ) f ( ) C C f ( ) f ( ) C 5 已知 f ( e ), 则 f ( ) ( ) F b C B D F b C B f ( ) f ( ) C D f ( ) f ( ) C D l A B C C e e C 6 设 f ( ) 是连续的偶函数, 则其原函数 F( ) 一定是 ( ) l C D l C A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 有一个是奇函数 7 设 f ( ) 是, 内的奇函数, F 是它的一个原函数, 则 ( ) A F F B F F C F F C D, 则下列结论错误的是 ( ) 8 若 df ( ) dg( ) A f ( ) g( ) C df ( ) dg( ) F F C B f ( ) g( ) 9 若 f ( ) 是以 l 为周期的连续函数, 则其原函数 ( ) D d f ( ) d d g( ) d 6

27 A 是以 l 为周期的函数 C 不是周期函数 f l 设 f ( ) e, 则 d ( ) A C 二 计算题 B 是周期函数, 但周期不是 l D 不一定是周期函数 B l C C C 求 d 求 d d 求 d 4 求 5 求 6 求 7 求 si d si cos l d d 8 求 d d 9 求 cos 求 d 已知 f ( e ) e, 且 f (), 求 f ( ) D l C 设 f ( ) 是单调连续函数, f ( ) 是它的反函数, 且 f ( ) d f ( ) d F C, 求 7

28 一 选择题 D 第四章 不定积分练习题答案 分析 : 因为 d d C 故 A, 将, 代入得 C C, 分析 : 因为 f ( ) l, 所以 f ( ) ( l ) (l ) B f b d f b d b F b C 分析 : 因为 ( ) 4 A 分析 : 因为 f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) f ( ) C 5 D 分析 : 因为 f ( e ), 设 u e, 则 l u f ( u) l u f ( u) f ( u) du ( l u ) du u l u C, 所以 f ( ) 6 D l C 分析 : 因奇函数的导函数是偶函数, 但偶函数积分后要加一个常数 C, 当 C 时的原函数为奇函数, 而 C 时为非奇非偶函数 7 D f d f d F C 分析 : 因为 ( ) ( ) 8 A, 所以 f ( ) g( ) 分析 : 因为 df ( ) f ( ) C, dg ( ) g ( ) C 因此 B, C 正确 又因 d f ( ) d f ( ) d, d g( ) d g( ) d 的, 从而错误的为 A 9 D, df ( ) dg( ),, 故 D 也是正确 8

29 =si C 分析 : 例如, f ( ) cos 是以 为周期的函数, f ( ) d cos d 是周期 函数 ; f ( ) cos 是以 为周期的函数, 而 f ( ) d ( cos ) d si C 不是周期函数 C 分析 : 因为 f ( ) e, 所以 f ( ) e, f (l ) e 故 f (l ) d ( ) d C 二 计算题 C,, 分析: d, 由于 在, 上连续, C, 因此在, 存在原函数, 由 lim ( C) lim ( C) 分析得 C C C d C l d d d C 分析: 原式 = 分析: 令 t, 则 t, d t dt, d t t t dt t t dt t t C C 分析: 令 si t, 则 d costdt, 原式 4 si tdt cos t dt t si t C rcsi C 5 分析 : 令 t t t t, 则 si,cos, d dt, 所以 t t t 原式 ( t ) dt t t l t C t t l t C t 4 4 l l 6 分析: 原式 l l d l l d C 7 分析 : 当分子中 的最高次数大于或等于分母中 的最高次数时, 需用除法 9

30 7 原式 [( 9) ] d = 9 7 l C A B C 8 分析: 令, 通分后比较两边的系数可得 A, B, C 原式 ( ) d d d( ) l ( ) ( ) C l l rct 9 分析 : d(t ) t d d 原式 rct C cos cos (sec ) t 分析 : 对于多层根号的积分, 往往先略加变形, 以便寻找简便的途径, 不宜盲目采用去 根号的方法 此题略加变形可得 d 原式 分析: 令 e d 由 f () 得 C, 故 C t, 则 l t, f ( t) l t, 即 f ( ) l t f ( ) l d (l ) C f ( ) (l ) 分析: 因为 f [ f ( )] F[ f ( )], 所以 f ( ) d f ( ) d[ f ( )] f f f d f ( ) [ ( )] [ ( )] f ( ) F[ f ( )] C

31 一 选择题 函数 ( ) 第五章定积分练习题 f t t dt 的极小值点 是 ( ) A B C D 不存在 设 f ( ) 连续, 且 f ( ) f ( )cos d, 则 f ( ) d 等于 ( ) A 5 B 5 已知 f ( ) 为非负连续函数, 且当 时, A B 4 设 f ( ) 在 5 设, 上连续, 且 F f ( ), C f f t dt ( ) ( ), 则 ( ) C, 则 f ( ) d ( ) A F F B F F C F F D F F 4 4 f ( t ) dt, 则 f ( ) d ( ) A 6 B 8 C 4 D f 等于 ( ) D D si 设 M cos d, N (si cos ) d, P ( si cos ) d 则 ( ) 成立 A N P M, 7 下列各式不等于零的是 ( ) B M P N C N M P D P M N A C cos l d B si d D cos 5 cos 4 d d ( )( ) 8 设 f ( ), g( ) 在 [,b] 上连续, 且 f ( ) d g( ) d ( ) A 一定成立 b b, 则 f ( ) d ( ) b b g d

32 B 在 [,b] 上 g( ) 时一定不成立 C 在 [,b] 上 g( ) 时一定成立 D 只有在 [,b] 上, f ( ), g( ) 时成立 9 f ( ) 在 [,b] 上连续且 f ( ) d, 则 ( ) b A f b B f b C f ( ) d 一定成立 ( ) d 不可能成立 ( ) d 当且仅当 f ( ) 单调时成立 b D f ( ) d 仅当 f ( ) 时成立 设在 (, ) 内 f ( ), f (), 则曲线 b F( ) f ( t) dt 在 (, ) 内为 ( ) A 向上凹的 B 向上凸的 C 凹凸性不确定 二 填空题 设 f ( ) 有一个原函数 si, 则 f ( ) d 若, 则 e d 在 (, ) 内, 设 f ( ) f ( ), ( ) ( ) 其中 ( ) 可导, f ( ) 连续, 则 ( ) k 4 设 和 k 为正整数, 则 I k si d 5 设 时, f ( ) 满足 6 ( ) e d 7 设实数 D 以上都不对 f d, ( ) t si( t) f ( ) d lim, 则 f () t t, 则当 时, 积分 l 8 d 9 mi, d d si cos d 三 简答题 设 f ( ) 在, b 上可导, 且 f ( ) M, f ( ) 证明: 最大

33 b M f ( ) d b 设 f ( ) 在, 上连续且单调减少, 证明 : 当 时, 有 设函数 f ( ) 在 存在一点 C, 使 f ( C) 4 若函数 f ( ) 在 F 是单调增加函数, 上连续, 在 f ( ) d f ( ) d 证明: 在, 内可导, 且 f ( ) d f (), 上是单调减少的连续函数, 令 5 若 f ( t ) 是连续函数且为奇函数, 证明 : f ( t ) dt 是偶函数, 内 F t f ( t) dt 证明 :

34 一 选择题 B 第五章 定积分练习答案, 令 f ( ), 得驻点 和 又 f ( ), 分析 : 因为 f ( ) f (), f (), 因此 为极小值点 A 分析 : 令 f ( )cos d l, 则 f ( ) l, f ( )cos cos l cos, 于是 C f ( ) cos d cos d l cos d si si d l cos l l l l l f ( ) 5 f ( ) d d 分析 : f ( ) f ( t) dt f ( ) f ( t) dt - t u f ( ) f ( u) du 令 F f ( u) du, 则 F f ( ), 于是有 F F 又 F, 代入上式有 f ( ) = F = 4 C 4 4 F C, 两端积分, 得,, 从而有 4 C, 于是 F F F 分析 : du f ( ) d u f ( u) f ( u) du 令, 因 F f ( ) f ( ) d 4

35 F ( ) d F F F, 故 5 A 4 分析 : 由 f ( t ) dt, 知 f ( ), 于是 6 D f ( ) d F F f ( ) d ( ) d d = 分析 : 由奇函数的积分性质, 有 M, N cos d, P cos d 因此 P M N 7 D 分析 : 因 A B 的被积函数都是奇函数且它们都是在关于原点对称区间上的定积分, 故 其积分值都是, 故排除 A B 8 C si si si si d d d d cos si si si d ( ) d 故排除 C 分析 : 若 g( ), 则由 f ( ) d g( ) d 9 D 分析 : 若 f ( ) si, 则 b b 知 b b b b f ( ) d f ( ) d g( ) d g( ) d si d 若 f ( ), 则 f ( ) d, 且 若, 则 A b d, 但, 故排除 f ( ) d A ; b, 故排除 ( ) d, 故排除 C B ; 5

36 分析 : F( ) f ( t) dt f ( ) F( ) f ( ) f ( ) 因 f ( ), 故 f ( ) 单调增加, 则当 时, f ( ) f (), 知 F( ), 故曲线 为向上凹的 二 填空题 4 分析 : / f ( ) d d f ( ) f ( ) f ( ) d si si cos si ( ) si 4 cos e ( e e ) e 分析 : 原式 ( ) ( ) e d e d e d e d e d e d ( e e ) e e d e e d ( e e ) e e e e e e e e e e e e ( e e ) e 分析 : 因 f ( ) f ( ), 故 f ( ) 为奇函数 因 ( ) ( ), 故 ( ) 是偶函数, ( ) 为奇函数, f ( ) f ( ) f ( ), 即 f ( ) f ( ) d 为奇函数, 故 4 k 分析 : 设 t, 则 k k si d si t dt si tdt ( 周期函数在每 ( k ) 一个周期的定积分相等 ) 5 /6 t si( t) 分析 : 因为 lim t t, 所以 ( ) f ( ) ( ) f ( ) d, 两边对 求导得 6

37 令 得 f () 6, 故 6 ( e ) f () 6 分析 : ( ) e d e d e d e d ( e e ) ( e ) 7 4 分析 : 令 I( ) d, 故 I( ), 得 ( ) l l 分析 : d l d d ( ) 9 分析 : 由于函数 mi, 的分界点为 - 与, 所以 4 mi, d d d d 分析 : 为了便于计算, 首先由三角函数公式改写被积函数得 si cos si( ) 4 则 三 简答题 I si( ) dt si t dt ( 周期函数积分性质 ) si t dt t dt tdt t si si cos 4 证明: 任取, b, 由微分中值定理有 f ( ) f ( ) f ( ),, 由 f ( ), 所以 f ( ) f ( ),,, 故有 7

38 证明 : 其中 M f d f d M d b b b b ( ) ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d 因为 f ( ) 单调减少, 则有 f ( ) f ( ) 又因 时,, 所以 f f ( ) ( ), 故原不等式成立 证明: 由积分中值定理知, 在, 上存在一点 C, 使 f ( ) d f ( C), 又已知 f ( ) d f (), 即 f ( ) d f (), 从而有 f ( C) f () 故 f ( ) 在区间,C 上满足罗尔定理条件 因此存在一点 C, C, F f ( t) dt tf ( t) dt, 使 f ( C) 4 证明: F f ( t) dt f ( ) f ( ) f ( t) dt f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 其中 在 与 之间 若, 则, 有 f ( ) f ( ) 若, 则, 且 f ( ) f ( ) 综上, F( ) 为单调增加函数, 故 F ;, 故 F 5 证明: 记 ( ) f ( t) dt, 令 t u, 则 若 f ( t ) 是奇函数, 则 f ( t) f ( t), 因此 ( ) f ( t) dt f ( u) du ( ) f ( u) du 则当 f ( t ) 是奇函数时, f ( t ) dt 是偶函数 f ( u) du f ( t) dt 8

39 第六章 定积分的应用练习题 一 选择题 曲线 si 与 轴围成的图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积为 ( ) A 4 B 4 C 摆线 t si t, cost 的一拱 t A B 对数螺线 r e 自 D 与 轴所围图形的面积为 ( ) C D 到 一段的弧长 s ( ) A e C e B e D e 4 曲线 e, e, 所围成的图形面积为 A, 则 A ( ) A C e e B e 5 由曲线 A e D e e e e 与 所围平面图形的质心为 ( ) 9 (, ) 6 设 ( ), ( ) B f g 在区间, 9 (, ) C (, ) D 9 9 (, ) b 上连续, 且 g( ) f ( ) m ( m 为常数 ), 则曲线 g( ), f ( ), 及 b 所围平面图形绕直线 m 旋转而成的旋转体体积为 ( ) b A ( ) ( ) ( ) ( ) m f g f g d b B ( ) ( ) ( ) ( ) m f g f g d b C ( ) ( ) ( ) ( ) m f g f g d b D ( ) ( ) ( ) ( ) 二 填空题 m f g f g d 位于曲线 e 曲线 e 下方, 轴上方的无界图形的面积是 上相应于 从 变到 的一段弧与极轴所围图形的面积为 9

40 抛物线 4 求由抛物线 三 简答题 4 与直线 所围图形绕 轴旋转一周所产生的立体的体积为 与 4 围成图形的面积 由曲线 与直线, 所围图形分别绕 轴及 轴旋转, 计算所得两个旋转体 的体积 设函数 f ( ) 在, b 连续非负, 由曲线 f ( ), 直线, b 及 轴 围成的平面图形绕 轴旋转一周得旋转体, 试导出该旋转体的体积公式 求由 si, 围成的图形绕 轴旋转所得曲面的面积 4 求曲线 r si 的全长 5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底面交成角, 计算圆柱体被这平面截割下的那部分体 积 4

41 一 选择题 B 第六章 定积分的应用练习题答案 分析 : B 分析 : 当 A V (si ) d (si ) d cos d cos 4 cos cos t 时,, t 时, 所以 S d cost d t sit cost dt 分析 : 极坐标系中弧长的计算公式为 得 l e e d e 4 B 分析 : 曲线 e 与 5 D s r r d, 将 r e, r e 代入 e 的交点为 分析 : 两曲线的交点是,,, 9 同样计算或由对称性可知 6 B 分析 : 由旋转体的体积公式得 二 填空题,, 故 A ( e e ) d e e 设该平面图形的质心为,, 则由质心公式有 d ( ) d d ( ) d 5 4 ( ) ( ) b V { m g( ) m f ( ) } d b f g m g f d b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m f g f g d 4

42 分析 : A e d de e e d e 4 e 4 4 分析 : e A ( e ) d e d e 4 分析 : V 4 d 4 4 分析: 两条抛物线交点为 即,,, 则 6 4( ) 4 S 4 d (4 ) d 三 简答题 分析: V d, V d 7 ( ) 5 分析: 用微元法 任取, b 上小区间, d, 相应得到小曲边梯形, 它绕 轴旋转 所成立体的体积为 dv f ( ) d, 于是积分得旋转体的体积为 V f ( ) d 求由 si, 围成的图形绕 轴旋转所得曲面的面积 分析 : 该旋转面的面积为 si cos cos cos F d d d u du 4 u du u 4 [ u l u u ] l 4 分析: r si 以 6 为周期,,,, r ; (,6 ) (, ), r, 只需考虑, 4 r si cos si cos, r r si 则 L r r d si d si tdt 5 分析: 底圆方程 : R 在 处用垂直于 轴的平面截割形体所得截面为一直角 三角形 ABC, 其面积 S ABC AB BC t R t, 故所求形体 体积为 V R R t t t R R d R d R b 4

43 第七章微分方程练习题 一 选择题 设微分方程, 则 A 是这个方程的通分析 B 是这个方程的特分析 C 不是这个方程的分析 ce ( 其中 c 为任意常数 )( ) D 是这个方程的分析, 但既非它的通分析也非它的特分析 微分方程 e 的特分析形式为 ( ) A be B b e C b ce D b ce 二阶常系数线性微分方程 8 5 ( ) A B e cos 4 C e cos 4 满足初值 与 4 设曲线 L 的方程为, 在 L 上任一点, 垂直 若 c 为任意正数, 则 L 的方程为 ( ) A c B 5 设,, 是微分方程 的 个分析, 其中 c 4 e cos 4 的特分析 D 4 e cos P 处的切线与点 P 到原点 O 的连线 C c f ( ) D c f ( ) 均为连续函数, 且 f ( ), 则该方程必定有分析 A B C D 6 设线性无关的函数,, 都是二阶非齐次线性方程 p( ) q( ) f ( ) 的分析, C, C 是任意常数, 则该非齐次方程的通分析是 ( ) 4

44 A C C B C C C C C C C C C D C C C C 7 微分方程 e 的一个特分析应具有形式 ( 其中, b 为常数 ) ( ) A e b B e b C e b D e b 8 方程 si l 满足定分析条件 ( ) e 的特分析是 ( ) A e si B si e C e t D t e 9 设 f( ), f( ) 为二阶常系数线性微分方程 p q 的两个特分析, C, C 是两 个任意常数, 则 C f( ) C f( ) 是该方程通分析的充分条件是 ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) A C f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 已知曲线 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) B f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) D 经过原点, 且在原点的切线平行于直线 5, 而 ( ) 满 足微分方程 6 9 e, 则此曲线的方程为 ( ) A si B C 4 e 二 填空题 微分方程 t cos 的通分析为 t, 的特分析为 微分方程 e si D cos si e 已知某一阶微分方程的通分析为 C, 其中 C 为任意常数, 则该微分方程为 4 设, C C 为任意常数, e C cos C si 齐次微分方程的通分析, 则该微分方程为 5 设 e e 是 为首项系数为 的某二阶常系数线性 e 的一个分析, 则,, 44

45 6 设 f ( ) 与 g( ) 在, 内可导, 且满足 f ( ) g( ), g( ) f ( ), f (), g(), 则 f ( ), g( ) 7 微分方程 的通分析为 三 简答题 [l ] 分析微分方程 分析微分方程 设 z 为二元函数 z z,, 满足 z z, 求 z z, 4 设 f ( ) 连续, 且满足 f ( ) e f ( t) dt, 求 f ( ) 5 设函数 f ( ) 在区间, 上可导, f (), 且其反函数为 g( ) 若 求 f ( ) f ( ) g t dt f ( t) dt e e 45

46 第七章微分方程练习题答案 一 选择题 D 分析 : 因为二阶方程的通分析需含两个任意常数, 所以不是通分析, 又因为特分析不含任意 常数, 所以不是特分析, 最后因为 是方程的分析, 所以应选 D D ce 代入方程成为关于 的恒等式, 所以 ce 分析 : 微分方程的对应齐次微分方程是 :, 其特征方程为 r 其特征根为 r, r 因此微分方程 e 有形如 ce r, 的特分析 又微分方程 有形如 b 的特分析 所以, 原方程 有形如 ce b 的特分析, 应选 D e C 分析 : 8 5 的特征方程是 8 5, 它有特征根 4 i, 4 i, 从而 8 5 c 是任意常数 由于 故 4 的通分析是 e c cos c si c 其中 4 4 e c si c cos 4 c cos c si c 4c c, c 应选 C 4 D 分析 ; 曲线 L 上点, ( ) P 处的切线斜率 k, 连线 OP 的斜率 k 由题设 知 kk, 即 分离变量得 d d, 积分即得 c 5 B c 与 46

47 分析 : 非齐次方程的两个分析的差, 是对应的齐次方程的分析, 齐次方程的分析与非齐次方 程的分析的和是非齐次方程的分析 按此, 故知应选 B 6 D C C C C C ( ) C ( ) 分析 :, 为对应齐次方程的两个线性无关的分析 7 B 分析 : 特征方程为 r, 其根 r,, 故特分析形式为 8 D 分析 : 这是变量分离的方程 D 为非齐次方程的通分析 e b, 应选 B d d d l d t,,l l l t C l si l t, 又因为 ( ) e, 则 C t e, 选 D 9 D 分析 : 由线性微分方程分析的结构知 f( ), f( ) 线性无关是 C f( ) C f( ) 为方程通分 析的充分必要条件, 即 f( ) C f ( ), f( ) f ( ) f( ) f( ) f ( ) 从而 ( ), 从而应 f ( ) f ( ) 选 D C 分析 : 由题设知 是 6 9 e 特征方程为 r 满足, 的特分析 对应的 6r 9, 特征根 r r 从而对应的齐次微分方程的通分析为 c e c e 因非齐次项 f ( ) e 有形式为 A e 的特分析 代入原方程可确定常数, 从而可设非齐次微分方程 6 9 e 具 ( c c ) e A, 即原方程的通分析为 47

48 由, 可确定 c, c 故所求曲线的方程为 4e 二 填空题 Ccos 分析 : t d t d l cos l cos e cos e d C e cos e d C cos cos d C cos 当 cos cos d C C cos, 当 cos 时, 时, cos ( ) d C C cos 由于 C 是任意常数, 故两式可以写成一样, Ccos cos cos 分析 : 分离变量, 两边积分, 有 d t d C, l l cos C 改写任意常数并化简, 得 C cos C cos 由初始条件, 得 C, 特分析 cos cos d d d 分析 : 由 C, 得 C d, d 两式消去 C, 得 d 4 分析 : 设所求的微分方程为 b c 将 e C cos C si 代入, 得 e si b( C C ) cc C e cos b( C C ) cc C 48

49 因 e si 与 e cos 的线性无关, 由上式为零推知 b( C C ) cc C b( C C ) cc C 分析之, 由 C C 5,, 分析 : 将, 得 b, c e e 代入 e, 经计算, 得 4 e e e e 即 4 e e e 由于 e, e, e 线性无关, 故由上式推知 分析之得,, 6 f ( ) e e, g( ) e e 4,, 分析 : 因为 g( ) 可导且 f ( ) g( ), 所以 f ( ) 二阶可导 : f ( ) g( ) f ( ), 分析 之 f ( ) C e C e 又 f (), f () g(), 于是 C C, C C 所以 C 7 C dp 分析 : 设 p, 则, 方程化为 d f ( ) e e, g( ) f ( ) e e dp p dp d p C d C d p d 三 简答题 C C C C ( C 其中 C ) 49

50 分析 : 令 u, 则 u, 代入方程得 u l u u u l u u l u du d l l u l l C l u C l C u l u dp 分析 : 这是不显含 的方程, 令 p, 则, 代入方程, 得 d dp p pdp d p l p l l C d p 即 C C C p C p C d d C d d C 分析 : 将 看作常数, 这是 z 关于 的一阶线性方程, 由通分析公式, 得 d d l l z e [ e d C ] e [ e d C ] [ d C ] [ C ] C 因为在整个过程中, 将 看作常数, 所以对 分析方程时, 任意常数 C 也应该认为是 的 任意函数 C ( 它对 的导数为 ) 4 分析 : 作积分变量变换, 命 t u f ( ) e f ( t) dt e f ( u)( du) e f ( u) du 5

51 两边对 求导, 得 f ( ) e f ( ) 这是一阶线性微分方程, 由通分析公式, 得通分析 又由 式知, () 5 分析 : 两边对 求导, 得 d d f ( ) e e e d C e C f, 代入上式, f () C, C, 所以 f ( ) e g f ( ) f ( ) f ( ) e 即 f ( ) f ( ) e, 为代通分析公式, 应将 f ( ) 前的系数改变为, 当 时, 方 程可改写为 f ( ) f ( ) e 通分析为 d d C e f ( ) e [ e e d C] e d C e 所以 C 于是求得 C e C e f () lim f ( ) lim ( e ) lim e e, 当 f ( ), 当 5