第一章随机事件与概率（考研）

Size: px

Start display at page:

Download "第一章随机事件与概率（考研）"

耐弥姬
5 years ago
Views:

1 概率统计冲刺真题解析及重点题型济大科大版说明 : 要求解析 9,,6,8 四年的概率真题四年的概率真题共题左右, 全面性不够, 以这四年为主, 适当补充其他真题通过真题解析达到三个目的 : 复习相应的知识点, 查遗补漏 ; 把握命题规律, 强化重点题型 ; 掌握应试技巧, 避免常见错误冲刺阶段概率统计备考策略理清结构, 突出重点真题热身, 实战模拟查遗补漏, 调整状态冲刺阶段的复习模块化会组装基本模块求概率独立性重要分布分布工具转换 5 数字特征 6 极限定理 ( 冷门 ) 7 抽样分布 8 统计量的数字特征 9 点估计区间估计与假设检验 ( 仅数学一, 冷门 )

2 典型例题第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算设事件 A与 B互不相容, 则 ( A) P( AB ) = ( B) P( AB ) =P( A) P( B) ( C) P( A ) = P( B ) ( D) P( A B ) = 9 题型二古典概率的计算设袋中有红白黑球各个, 从中有放回地取球, 每次取个, 直到三种颜色的球都取到时停止, 则取球次数恰好为的概率为 6 题型三几何概率的计算在区间, 中随机地取两个数, 求这两个数之差的绝对值小于的概率题型四利用事件的关系及概率的性质公式计算概率 P( A) P( B) P( C), P( AB), P( AC) P( BC), 则事件 A,B,C 都不发生 9 的概率为 5 若 A,B 为任意两个随机事件, 则 (A) P AB P A P B (B) P AB P A P B (C) 题型五 P( A) P( B) P( AB) 条件概率和乘法公式 (D) P( A) P( B) P( AB) 6 设随机事件 A 与 B 相互独立,A 与 C 相互独立,BC, 若 P( A) P( B), P( AC AB C), 则 P( C) 8 7 设随机事件 A,B,C 相互独立, 且 P( A) P( B) P( C), 则 P( AC A B) 8 8 设 A, B是两个随机事件, 且 P( A), P( B), 如果 P( A B), 则 ( A) P( B A) ( B) P( A B) ( C) P( A B) ( D) P( B A) 6

3 题型六应用全概率公式和贝叶斯公式计算概率 9 从数,,, 中任取一个数, 记为, 再从,, 中任取一个数, 记为 Y, 则 P { Y } = 题型七独立性的判断及应用设 A, B, C 为三个随机事件, 且 C C 相互独立的充要条件是 (A) (C) A 与 B 相互独立 (B) A 与 B 互不相容 AB 与 C 相互独立 (D) AB 与 C 互不相容 A 与相互独立, B 与 C 相互独立, 则 A B 将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件 : A ={ 掷第一次出现正面 }, A ={ 掷第二次出现正面 }, A ={ 正反面各出现一次 }, A ={ 正面出现两次 }, 则事件 (A) A, A, A 相互独立 (B) A, A, A 相互独立 (C) A, A, A 两两独立 (D) A, A, A 两两独立与第二章一维随机变量及其概率分布题型一考查分布律的性质 C 设随机变量的分布律为 : P{ k}, k,,,, 试确定常数 C的值 k! 一半题型二求分布律及利用分布律求概率设件产品有 7 件正品, 件次品, 随机地抽取产品, 每次件, 直到取到正品为止, () 若有放回地抽取, 求抽取次数的概率分布 ; () 若不放回地抽取, 求抽取次数的概率分布 () 以上两种情形分别求至少抽次才能拿到正品的概率题型三分布律与分布函数的关系

4 从学校乘汽车到火车站的途中有个交通岗, 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是, 设为途中遇到红灯的次数, 求随机变 5 量的分布律分布函数题型四离散型随机变量函数的分布已知的分布律为, 求 Y 的分布律题型五考查概率密度及分布函数的性质 5 设 F ( x) 与 F ( x) 为两个分布函数, 其相应的概率密度 f ( x) 与 f ( x) 是连续函数, 则必为概率密度的是 ( A) f ( x) f ( x) ( B) f ( x) F ( x) ( C) f ( x) F ( x) ( D) f ( x) F ( x) f ( x) F ( x) 题型六分布函数与概率密度求概率或相互转换 6 已知随机变量的分布函数为 F( x) A B arcta x ( x ), 求 () 系数 A 及 B; () P ;() 的分布密度 ax, x, 7 设随机变量的概率密度为 f ( x), 其它求 () 常数 a ; () 的分布函数 F( x ) ; () P( ) 8 设随机变量的概率密度 f ( x) 满足 f ( x) f ( x), 且 f ( x) dx = 6, 则 P{ } ( A) ( B) ( C) ( D) 5 8,8, x [,] 9 设随机变量的概率密度为 f ( x), x [,6], 若 k 使 P{ k}, 9, 其它则 k 的取值范围是, x 已知随机变量的分布函数为 F ( x), x, 则 P{ } x e, x ( A) ( B) ( C) e ( D) e,

5 题型七连续型随机变量函数的分布设随机变量的概率密度为, x f x, x, 令 Y,, 其他求 Y 的概率密度 Y f y, x x 设随机变量的概率密度为 f ( x) 9, 令 Y, 其他, () 求 Y 的分布函数 ;() 求概率 P{ Y} 设随机变量的概率密度为 f ( x) x, F( x) 是的分布函数, 求 Y F( ) 的分布函数题型八考查重要分布,, x [,8] 其它设随机变量 ~ N(, )( ), 记 p P{ }, 则 (A) p 随着的增加而增加 (B) p 随着的增加而增加 (C) p 随着的增加而减少 (D) p 随着的增加而减少 5 设,, 是随机变量, 且 N(,), p P (,,), 则 N(, ) 6, N(5, ), (A) p p p (B) p p p (C) p p p (D) p p p 6 设 f ( x) 为标准正态分布的密度, f ( x) 为 [-,] 上均匀分布的密度 af ( x), x bf( x), x ( A)a b ( B)a b ( C) a b ( D) a b 若 f ( x) ( a, b ) 为概率密度, 则 a, b应满足, 7 设随机变量 Y 服从参数为的指数分布,a 为常数且大于零, 则 P Y a Y a 8 假设测量的随机误差 ~ N (, ), 试求次独立重复测量中, 至少有三次测量误差的绝对值大于 96 的概率 ( 利用泊松分布求出的近似值 ) 5

6 第三章二维随机变量及其概率分布题型一二维离散型随机变量的概率分布袋中有个红球个黑球与个白球现有放回地从袋中取两次, 每次取一个球, 以, Y, Z分别表示两次取球所得的红球黑球与白球的个数 P Z Y 求 ; 求二维随机变量, 的概率分布题型二设随机变量和 Y 多维离散型随机变量函数的概率分布的概率分布分别为 P / / 9,9 Y - P / / / 且 P Y 求 :() 二维随机变量, Y 的概率分布 ;() Z () 和 Y 的相关系数 Y Y 的概率分布 ; 设随机变量与 Y相互独立, 的概率分布为 P P, Y服从参数为的泊松分布令 Z = Y () 求 cov(, Z ); () 求 Z的概率分布 8,8 设随机变量与 Y 独立同分布, 且的概率分布为 P 记 U max(, Y ), V m(, Y ) 题型三, 求, U V 的概率分布二维离散型随机变量求概率及判断独立性 5 设随机变量和 Y 相互独立, 且和 Y 的概率分布分别为 P 8 8 6

7 Y - P 则 P{ +Y = }= (A) (B) (C) 设二维随机变量 (, Y ) 的概率分布为 Y a b (D) 已知随机事件 { } 与 { Y } 相互独立, 则 a=, b= 题型四二维连续型随机变量的分布及其独立性 7 设二维随机变量 (, Y ) 的概率密度为 () 求 P Y x y, x, y f ( x, y), 其他 ; () 求 Z Y 的概率密度 (z) Y f Z x xy y 8 设随机变量 (, Y ) 的概率密度为 f ( x, y) Ae, x, y, 求 A及条件概率密度 f ( y x), x e, yx, 9 二维随机变量, Y 的概率密度为 f x, y, 其他求条件概率密度 fy y x; 求条件概率 P Y 9 设随机变量与 Y 相互独立, 且分别服从参数为与参数为的指数分布, P Y 则 (A) 5 (B) (C) 5 (D) 5 xy, 当 x, y 已知随机变量和 Y的联合概率密度为 f ( x, y),, 其它求和 Y的联合分布函数 F( x, y) 7

8 , x 设随机变量的概率密度为 f x, x, 令 Y, F x, y 为二维, 其他随机变量 (, Y ) 的分布函数求 : ()Y 的概率密度 fy y ; () F, 题型五二维连续型随机变量函数的分布假设一电路装有三个同种电器元件, 且相互独立, 无故障工作时间都服从参数为的指数分布当三个元件都无故障时, 电路才能正常工作求电路正常工作的时间 T 的概率分布设随机变量与 Y相互独立, 且服从标准正态分布 N,, Y的概率分布为 PY PY 记 FZ z为随机变量 Z = Y的分布函数, 则函数 FZ z的间断点个数为 ( A) ( B) ( C) ( D) 5 设随机变量 Y 概率密度为 f Y 9,9,Y 的, 相互独立, 且的概率分布为 P P y () 求 PY EY 题型六 y, y, 其他 ; () 求 Z Y 的概率密度考查重要分布 6 设二维随机变量 (, Y ) 服从正态分布 N (,;,;), 则 P{ Y Y } 7 设二维随机变量 (, Y ) 在区域 D {( x, y) x, x y x} 上服从均匀分, Y 布, 令 U, Y (Ⅰ) 写出 (, Y ) 的概率密度 ; (Ⅱ) 问 U 与是否相互独立? 并说明理由 ; (Ⅲ) 求 Z U 的分布函数 F( z ) 6,6 8

9 第四章随机变量的数字特征题型一利用计算公式求数字特征 ( 直接法 ) 设随机变量的概率分布为 P, P a, P b, 若 E, 则 D 设随机变量服从标准正态分布 N(,), 则 E( e ) = 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A, A, A, 且三种结果发生的概率均为, 将试验 E 独立重复做次, 表示次试验中结果 A 发生的次数,Y 表示次试验中结果 A 发生的次数, 则与 Y 的相关系数为 (A) (B) (C) (D) 9 6 设随机变量和 Y 的联合分布在以点 (,),(,),(,) 为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 试求随机变量 U = + Y 的方差题型二利用性质及重要分布的结论求数字特征 ( 间接法 ) 5 设随机变量 Y 与相互独立, 且 ~ N,, Y ~ N,, 则 D Y (A) 6 (B) 8 (C) (D) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 P{ D } = 7 设二维随机变量 (,Y ) 服从 N(, ;, ;), 则 E( Y ) 8 设随机变量, Y 不相关, 且 E, EY, D, 则 E Y ( ) (A) (B) (C) 5 (D) 5 j, j,,, 独立同分布, E 9 设随机变量则行列式 Y 的数学期望 EY = 设随机变量和 Y 的相关系数为 5, E=EY=, E EY, 则 E( Y ) = 设随机变量,,, ( ) 独立同分布, 且其方差为令 Y, 则 (A) Cov(, Y ) (B) (C) D( Y ) (D) Cov (, Y ) D( j Y )

10 将长度为 m 的木棒随机的截成两段, 则两段长度的相关系数为 (A) (B) (C) (D) ~, Y ~ N, 且相关系数, 则 ( ) 设随机变量 N, Y A PY B PY C PY D PY 设随机变量和 Y 都服从正态分布且它们不相关, 则 (A) 与 Y 一定独立 (B) (,Y) 服从二维正态分布 (C) 与 Y 未必独立 (D) +Y 服从一维正态分布 5 设随机变量和 Y 的相关系数为 9, 若 Z, 则 Y 与 Z 的相关系数为注 : 直接法与间接法相结合题型 6 设随机变量的分布律为 : P{ k}, k,,,, 则 E( ) C k! x 7 设随机变量的分布函数为 F x x 7, 其中 x为标准正态分布的分布函数, 则 E ( A) ( B) ( C)7 ( D) ( ) 9 x cos, x 8 设随机变量的概率密度 f ( x), 对进行次独立重复, 其他观测, 用 Y表示观测值大于的次数, 则 E Y 题型三典型应用题和综合题 9 箱中装有 6 个球, 其中红白黑球的个数分别为,, 个现从箱中随机地取出个球, 记为取出的红球个数,Y 为取出的白球个数 () 求随机变量 (,Y) 的概率分布 ;() 求 Cov(,Y ) 已知甲乙两箱中装有同种产品, 其中甲箱中装有件合格品和件次品, 乙箱中仅装有件合格品从甲箱中任取件产品放入乙箱后, 求 : () 乙箱中次品件数的数学期望 ;() 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 x l, x, 设随机变量的概率密度为 f x 对, x 观测, 直到第个大于的观测值出现的停止记 Y 为观测次数 () 求 Y 的概率分布 ; () 求 EY 进行独立重复的

11 假设二维随机变量 (, Y) 在矩形 G ( { x, y) x, y }, 若 Y, 若 Y 上服从均匀分布, 记 U, V, 若 Y, 若 Y ( ) 求 U 和 V 的联合分布 ; ( ) 求 U 和 V 的相关系数设随机变量与 Y 的概率分布相同, 的概率分布为 P{ }, P{ }, 且与 Y 的相关系数 Y () 求二维随机变量 (, Y ) 的联合概率分布 ;() 求概率 P ( Y ) 设随机变量与 Y 相互独立, 且都服从参数为的指数分布, 记 U max, Y, V m, Y () 求 V 的概率密度 fv ( v ) ; () 求 E( U V ) 5 设随机变量的概率分布为 P ( ) P( ), 在给定的条件下, 随机变量 Y 服从均匀分布 U (, ),(,) () 求 Y 的分布函数 FY ( y ) ;() 求期望 E(Y ) 6 两台记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布 ; 首先开动一台, 发生故障时停用而另一台自动开动, 求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t), 数学期望和方差第五章大数定律和中心极限定理题型一切比雪夫不等式设随机变量和 Y 的数学期望分别为 - 和, 方差分别为和, 而相关系数为 - 5, 则 P{ Y 6} 题型二大数定律设总体 ~ E(),(,, ) 为其简单随机样本, 则时, Y 依概率收敛于题型三中心极限定理一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的, 假设每箱平均重 5 千克, 标准差为 5 千克若用最大载重量为 5 吨的汽车承运, 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以载多少箱, 才可能保障不超载的概率大于 977 设,,,, 为独立同分布序列, 且服从参数为的指数分布, 则当充分大时, Z 近似服从 ( A) N (, ) ( B) N (, ) ( C) N (, ) ( D) N (, )

12 题型一第六章数理统计的基本概念统计量及抽样分布的判断 ( 正态方和卡方出, 卡方相除变 F, 若想得到 t 分布, 一正一卡再相除 ) ( ) N( )( ) 设,,, 为来自总体, 的简单随机样本令, S, S, 则 * ( ) ( ) ( ) ( ) A ~ t( ) B ~ t( ) S S ( ) C ~ t( ) * S 设随机变量和 Y 都服从标准正态分布, 则 (A) Y Y (C) ( ) D ~ t( ) * S 服从正态分布 (B) 服从分布 Y (D) Y F 和都服从分布服从分布 8 设,,, ( ) 为来自总体 N(,) 的简单随机样本, 记下列结论中不正确的是 (A) (C) 服从服从分布 (B) 分布 (D) 服从分布服从分布设,,, ( ) 为来自总体 N(,) 的简单随机样本, 为样本均值, S 为样本方差, 则 (A) ~ N(,) (B) S ~ ( ) ( ) (C) ~ t( ) S (D) ( ) ~ F(, ) 5 设,,, 为来自总体 ~ N(, ) 的简单随机样本, 则统计量的分布为 ( ) ( A) N(,) ( B) t() ( C) () ( D) F(,), 则题型二利用抽样分布求概率 6 设总体 ~ N(,6 ),,,, 为取自总体的一个样本, 如果要使位于 (,5) 内的概率不小于 95, 则样本容量至少应取多大?

13 7 设随机变量 t( ), Y F(, ), 给定 ( 5) 则 PY c (A) 题型三, 常数 c 满足 (B) (C) (D) 统计量求数字特征 m T S, 则 ET P c, 8 设,,, 为来自二项分布总体 B, p 的简单随机样本, 和 S 分别为样本均值和样本方差记统计量 m ks p k 9 9 设,,, 为来自二项分布总体 B, p 的简单随机样本, 和 S 分别为样本均值和样本方差若为的无偏估计量, 则 9 设,,, 是来自总体 N(, )( ) 的简单随机样本, 记统计量 T, 则 ET 设总体服从正态分布 N ( μ, σ ), 总体 Y 服从正态分布 N ( μ, σ ),,, 和 Y,, Y Y 分别是来自总体和 Y 的简单随机样本, 则 ( ) ( Y j Y ) j E 设,,, ( ) 为来自总体 N(, ) 的简单随机样本, 为样本均值, 记 Y,,,, 求 : () Y 的方差 DY,,,, ; () Y 与 Y 的协方差 Cov( Y, Y ) x, x, 其他,, 是来自总体的简单随机样本令 T max(,, ) 设总体的概率密度为 f ( x; ), 其中参数 (, ) 未知, a at 求 T的概率密度 ; 确定 a, 使得 E( at ) ( 数学三 ) 确定, 使得为的无偏估计 ( 数学一 ) 6,6

14 第七章参数估计题型一矩估计与极大似然估计 x xe, x, ( 为未知参数 ),, 其他,,, 为总体的一组样本, 求 : 已知总体的概率密度函数为 f x () 的矩估计量 ;() 的极大似然估计量 9 设总体的概率密度为 f ( x; ) e, x, 其中 (, ) 为未知参数,,,, 为来自总体的简单随机样本记的最大似然估计量为 ˆ () 求 ˆ ; () 求 E ˆ 和 D ˆ 设的分布列为 P ( ) x 8,8 其中 ( ) 是未知参数利用总体的样本值 :,,,,,,,, 求的矩估计和极大似然估计, x, 设总体的分布函数为 F( x, ) x, x, 其中未知参数,,,, 为来自总体的简单随机样本, 求 : () 的矩估计量 ;() 的最大似然估计量 ( x ) e, x 5 设某种元件使用寿命的概率密度为 f ( x), 其他其中是未知参数设 x,,, x 是样本观测值, 求的极大似然估计 6 设,,, 为来自总体 N (, ) 的简单随机样本, 其中已知, 未知, 为样本均值, S 为样本方差, 求 () 的最大似然估计 ;() E, D 7 某工程师为了解一台天平的精度, 用该天平对一物体的质量做次测量, 该物体的质量是已知的, 设次测量结果,,, 相互独立且均服从正态分布 N, 该工程师记录的是次测量的绝对误差 Z,,, Z, Z,, Z 估计, 利用

15 求 Z 的概率密度 ; 利用一阶矩求的矩估计量 ; 求的最大似然估计量 x 8 设总体的分布函数为 F( x) e, x,, x 其中未知参数,,,, 为来自总体的简单随机样本, () 求 E( ), E( ); () 求的最大似然估计量 ; () 是否存在实数 a, 使得对任意的题型二估计量的评判标准 ( 仅数学一 ) x 9 设总体的概率密度为 f ( x; ),,, 为来自总体的简单样本, 若 c ^ ^, 都有 lm P a? x, 其中是未知参数, 其它是的无偏估计, 则 c = ( 数学一 ) 若 E( c ) =, 则 c = ( 数学三 ) 设总体的概率分布 P 其中 (,) 未知, 以 N 表示来自总体的简单随机样本 ( 样本容量为 ) 中等于的个数 (=,,) 记 T a N, () 求 a, a, a, 使 T 是的无偏估计量 ;() 求 DT, x 设总体的概率密度为 f ( x), x ( ), 其他 (,,, ) 为来自总体的简单随机样本, 是样本均值 () 求参数的矩估计量 ;() 判断是否为的无偏估计量并说明理由题型三区间估计 ( 仅数学一 ) 设一批零件的长度服从正态分布 N (, ), 其中, 均未知现从中随机抽取 6 个零件, 测得样本均值 x ( cm), 样本标准差 s ( cm), 则的置信度为 9 的置信区间是 5

16 (A) ( t5 (6), t 5 (6)) (B) ( t(6), t (6)) (C) ( t5 (5), t 5 (5)) (D) ( t(5), t (5)) 设 x, x,, x 为来自总体 N(, ) 的简单随机样本, 样本均值 x 95, 参数的置信度为 95 的双侧置信区间的置信上限为 8, 则的置信度为 95 的双侧置信区间为 6 题型一第八章假设检验 ( 仅数学一 ) 统计量和拒绝域的选取设,,, 是来自正态总体 N(, ) 的简单随机样本, 其中参数和未知, 记, Q ( ) H 的 t 检验使用的统计量 t=, 则假设 : 设总体 N x x x 是取自总体的简单随机样本, 据此样本检验 ~ (, ),,,, 假设 : H :, H :, 则 A 如果在检验水平 =5 下拒绝 H, 那么在检验水平 = 下必拒绝 H B 如果在检验水平 =5 下拒绝 H, 那么在检验水平 = 下必接受 H C 如果在检验水平 =5 下接受 H, 那么在检验水平 = 下必拒绝 H D 如果在检验水平 =5 下接受 H, 那么在检验水平 = 下必接受 H 8 题型二两类错误设分别是第一第二类错误的概率, 且 H H 分别为原假设和备择假设, 则接受不真 ; 拒绝不真 ; () P H H () P H H 题型三基本应用题型 () P 拒绝 H H 为真 ; () P 接受 H H 为真设某次考试的考生成绩服从正态分布, 随机抽取 6位考生的成绩, 算得平均成绩为 665分, 标准差为 5分, 问在显著性水平 5下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 7 分?, 课程网站 : ( 考研辅导栏目 ) 6

第一章随机事件与概率（考研）

第一章随机事件与概率（考研）考研数学强化班答案概率统计叶宏第页共页版权所有翻录必究第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算. P( A B) P( AB) P( AB), 故 ( D ) 正确. 题型二古典概型中的概率计算 m C C C. 第四次一种颜色, 前三次两种颜色, 由古典概型 P( A) 题型三几何概率的计算. 分析 : 根据题意可得两个随机变量服从区间, 上的均匀分布, 利用几何概型计算较简便. 也可先写出两个随机变量的概率密度,

第一章 随机事件与概率 （考研）

第一章随机事件与概率（考研）