文科数学，数系

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1 第三章解析几何与线性代数 第 节 7 世纪的社会状况 7 世纪在英国暴发了具有历史意义的资产阶级革命. 革命前的英国基本上还是一个典 型的农业国家. 新航线发现以后, 英国的海外贸易扩大了, 它先后建立了许多享有特许专利的海外公司, 如 600 年建立的东印度公司, 它垄断了亚洲和西非各地的贸易, 获得了惊人的巨额利润. 英国在进行对外贸易和海盗掠夺的同时, 还进行殖民侵略. 在 588 年击溃西班牙 无敌舰队, 排除了海外竞争对手后把侵略的魔爪伸向全世界.7 世纪, 英国在亚洲 非洲 北美和西印度群岛, 先后建立了许多殖民据点和商站. 640 年, 英国进行了议会选举, 资产阶级和新贵族在这次选举中获得了选举胜利. 他们在广大人民群众的支持下同查理一世为首的专制王权展开斗争, 并于 689 年取得史称 光荣革命 的胜利, 从此英国逐渐变成一个君主立宪制国家.7 世纪英国资产阶级革命的胜利具有巨大的历史意义, 它为资本主义的发展扫清了道路, 为英国工业革命提供了政治保障. 在 7 世纪, 不仅英国, 欧洲大陆的其他主要国家, 如法国 德国等也都处于宗教战争 谷物歉收 瘟疫流行和社会动荡之中. 尽管社会处于动荡不定时期, 但是就科学和数学而言,7 世纪却是史无前例的富于发现的时代. 在数学史上,7 世纪有许多令人瞩目的伟大历史事件. 如 : Descartes ( ) 和 Fermat (60-665) 创立解析几何学, Ferm at (60-665) 和 Pascal ( ) 开创了概率论, P ascal 提出数学归纳法, Newto (60-665) 和 Leibiz(646-76) 发明微积分等. 7 世纪早期的数学实际上只有一个几何学体系 --- Eucl id 几何, 代数则是居于附属地位, 而且 Euclid 几何本身则局限于研究由直线和圆组成的图形. 但是这个时期, 随着科学技术的

2 发展和进步产生了许多需要处理的新的图形. 另外, 由于能描述行星 彗星的轨道, 椭圆 抛物线和双曲线的作用也日益重要起来. 可惜的是, Euclid 几何没有为这些问题以及其它实际问题所涉及的曲线提供任何知识. 现存希腊人在圆锥曲线方面的著作也不充分, 而且希腊人也没能提供获得这些知识所能够广泛运用的数学方法. 正在这时, Descartes 和 Ferm at 应运出现了. 第 2 节解析几何学的缔造者科学的需要和对方法论的兴趣推动了 Descartes 和 Fermat 创立了解析几何学, 其中心思想是把代数方程和曲线 曲面等联系起来. 这个创造是数学中最丰富最有效的设想之一. Fermat 的解析几何学 Fermat 关于曲线的工作是从研究希腊几何学家, 特别是从研究 Apolloius 开始的. Apolloius 的 论平面轨迹 一书, 失传已久, 是 Ferm at 把它重新写了 出来. Fermat 说他打算发起一个希腊人没有研究过的, 关于轨迹的一般研究. Fermat 是熟 悉 Vieta 用代数解决几何问题用法的, 但是更可能的是 Fermat 把 A polloius 的结果直接翻 译成代数形式. 例如, 对于任意曲线和它上面的一点 J, Fermat 用 A, E 两个字母表示点 J 的位置. 参看图示. 其中,A 是底线上从点 O 到交点的距离,E 是从点 J 到点 A 的距离. Fermat 所用的坐标就是我们今天的斜坐标, 但是 y 轴没有明确出现. 按现在的记 法, 点 J 记为 J( x, y), Fermat 的记法是 J( A, E). Fermat 叙述了他自己的一般原理 : 只要在最后的方程里出现两个未知量, 我们就得到一个轨迹, 这两个量之一, 其末端 ( 点 J) 就描绘出一条直线或曲线. Ferm at 已经领会到坐标轴可以平移或旋转, 因为他确实给出一些较复杂的 2 次方程, 并给出它们可以简化到的简单形式. 他知道 : 一个联系着 A 和 E 的方程, 如果是 次的, 则它就代表直线轨迹 ; 如果是 2 次的, 则它就代表圆锥曲线. 后来 Ferm at 曾试图把平面解析几何的思想推广到空间解析几何上去, 但是由于他缺乏对各种立体的平面轨迹的认识, 没能给出处理立体问题的一般方法. Descartes 的解析几何学 Descartes ( ) 是法国近代哲学家 数学家和自然科学家, 是近代生物学的奠基人, 是第一流的物理学家, 但只偶然地是一个数学家. 不过, 象他那样富于智慧的人, 即使只花一部分时间在一个科目上, 其工作也必然是很有意义的. Descartes 于 596 年出生于土伦, 他父亲是相当富有的律师. Descartes 在 8 岁时被送入昂茹的一个耶稣会学校. 由于身体不好, 他被允许每天早上在床上学习, 这个习惯伴随其终身. Descartes 在 6 岁离开耶稣会学校,20 岁毕业于普瓦界大学, 然后去巴黎当律师, 在那里花一年时间学习和研究数学.67 年 Descartes 从军, 他时而在几个军中服役, 时而在巴黎狂欢, 但他一直继续研究数学. 这期间他解决了荷兰的一个公开问题, 这使他自信自己有数学才能, 从而开始认真用心于数学.628 年 Descartes 移居荷兰, 得到较为安静自由的学术环境. 他在那里生活了 20 年.649 年他为王室的尊崇与荣誉所吸引, 被邀请去瑞典作女皇的教师,650 年由于肺炎在瑞典去世

3 Descartes 的第一部著作是 思想的指导法则, 成书于 628 年, 但在他死后出版 ; 他的第二部重要著作是 世界体系, 提出了一个宇宙漩涡理论, 是用来说明行星是如何转动不息, 而且保持在它们绕日的轨道中的. 但是由于他害怕教会的迫害, 没有发表 ;637 年 Descartes 出版了他的 更好地指导推理和寻求科学真理的方法论, 这是一部经典的文学和哲学著作, 其中包含了 个著名的附录 : 几何! 这其中包含了他关于解析几何和代数的思想. 这是 Des cartes 所写的唯一一部数学书. Descartes 的科学思想, 支配着 7 世纪. 他的教导和著作, 表达的如此清晰和动人, 甚至在非科学家中间也很通行, 只有教会排斥他. 实际上, Descartes 是虔诚的, 他相信自己已经证明了上帝的存在, 因而非常高兴. 但他教导说, 圣经不是科学知识的来源, 只凭理性就足以证明上帝的存在, 并且说, 人们应该只承认他所能了解的东西. 教会对 Descartes 这些话的反应是 : 在他死后不久, Descartes 的著作就被列入 禁书目录, 并且当在巴黎给他举行葬礼时, 阻止给他致悼词. Descartes 是通过 3 条途径来研究数学的 : 作为哲学家, 作为自然的研究者, 作为一个关心科学用途的人. 任何试图把这 3 条思路分开的想法都是不切实际的. Descartes 生活在清教与天主教间的争论达到高潮的时代, 同时又是科学刚刚开始发现一些自然规律, 并向主要的宗教教条挑战的时代. 因此, 他开始怀疑自己在学校里得到的一切知识, 他断定自己所受的教育仅仅加重了他的烦闷. Descartes 是如此地被怀疑困惑, 以至他相信除了认识到自己的无知以外, 没有什么进步. 另外, 由于他曾在欧洲最优秀的学校里呆过, 而且他相信自己在那里不是一个劣等生, 他感到有理由去怀疑在任何地方有没有可靠的成套知识. 于是他就想这个问题 : 我们是怎样知道一些东西的? 不久 Descartes 就断定逻辑是不能提供基本真理的 : 谈到逻辑, 它的三段论和其它观念的大部分, 与其说是用来探索未知的东西, 不如说是用来交流已知的东西, 或者用来无判断地空谈我们所不知道的东西.. 那么, 到那里去找基本真理呢? 他排斥了通行的 大部分是经院派的哲学, 他说, 哲学仅仅提供一个 从表面上看来是到处为真的讨论工具. 神学指出了上天堂的道路, 但这条道路是正确的吗? 据 Descartes 自己说, 在一切领域里建立真理的方法, 是在 69 年 月 0 日出现在他梦里的, 这个方法就是数学! 他为数学所吸引是由于数学是立足于公理上的无懈可击的证明, 而且是任何权威所不能左右的. 数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法. 此外, 他还清楚地看到数学方法超出它的对象之外. Descartes 说 : 它是一个知识工具, 比任何其它由于人的作用而得来的知识工具更为有力, 因而它是所有其它知识工具的源泉. Descartes 从数学家的实践中提炼出获得正确知识的一些原则 : 不要承认任何事物是真的, 除非它在思想上明白清楚到毫无疑问的程度 ; 要把困难分成一些小的难点 ; 要由简到繁, 依次进行 ; 最后, 要列举并审查推理的步骤, 要做得彻底, 使毫无遗漏的可能. Des cartes 希望用这些要点, 去解决其它领域中的问题. 虽然他的这个大胆计划没有成功, 但它确实对哲学 科学和数学, 做出了可观的贡献. Descartes 在他的 更好地指导推理和寻求科学真理的方法论 中的 3 个附录, 就是为了证明他的方法是有效的, 他相信他自己已经证明了. 让我们通过 Descartes 的证明上帝存在论, 看一下他是如何使用他发现的原则. 他找出了一些他立刻接受的真理作为公理 (4 条 ):() 我想, 所以我在 ;(2) 每一个现象必有原因 ; (3) 效果不能大于它的原因 ;(4) 心中本来就有完美 空间 时间和运动的概念. 根据 (3), 完美的观念不能从人的不完美的心中推导或创造出来, 它只能从一个完美的东西得到. 因此, 上帝存在. 因为上帝不欺骗我们, 所以我们就能保证 : 在直观上很明白的数学公理, 以及通过纯粹的思想程序从这些公理得出的推论, 确实可应用于物理世界, 因而它们都是真理. 由此可见, 上帝一定是按照数学定律来建立自然界的. Descartes 既然断定数学可以有效地应用到科学上去, 他就把方法应用到几何. 他对方

4 法的普遍兴趣和他对代数的专门知识, 就组成了联合力量. Descartes 对于下述事实深感不安 : Euclid 几何中的每一个证明, 总是要求某种新的 往往是奇巧的想法, 他明白地批评希腊人的几何过于抽象, 而且过多依赖图形, 以至 它只能使人在想象力大大疲乏的情况下, 去练习理解力. 他主张采用代数和几何中一切最好的东西, 互相取长补短. 事实上, Descartes 是把代数用到了几何上. 他完全看到代数的力量, 看到它在提供广泛的方法论方面, 高出希腊人的几何方法. 同时他强调代数的一般性, 以及它把推理程序机械化和把解题工作量减小的价值. 他看到代数具有普遍的科学方法的潜力. Descartes 自己自吹说欧洲几乎没有一个数学家能懂他的著作, 他书中的许多模糊不清之处是故意搞的, 他只约略指出作图法和证法, 而留给别人去填补细节. Descartes 把自己的工作比作建筑师, 即立下计划, 指明什么是应该做的, 而把手工操作留给木工和瓦匠. 另外, 他还有一些别的说明, 例如, 他不愿意剥夺读者自己加工的乐趣. 在 几何 中, 他开始仿照 Vieta 的方式, 用代数来解几何作图问题 ; 后来才逐渐出现用方程表示曲线的思想. 下面让我们通过 Descartes 用 Pappus 的问题来作的说明, 看一下他是如何利用代数处理几何问题的. 已知角 设给定 3 条直线 l, l2, l3, 过点 C 作 3 条直线, 分别交 l, l2, l 3于点 PRQ,,, 交角分别等于 α, α2, α 3, 求适合 CPi CR = kcq 2 C 的点的轨迹 ; 如果给定 4 条直线 l, l, l, l, 则求使 的点 C 的轨迹. CPiCR k CQiCS =, k 是常数, 令 k =, AP = x, PC = y, 则经过简单的计算, 我们可以用已知量表示 CR, CQ, CS, 将 这些代入 CPiCR = CSi CQ, 就得到一个关于 xy, 的 2 次方程 2 2 y = Ay + Bxy + Cx + Dx 其中 A, BCD,, 是关于已知量的代数表达式. 于是 Des cartes 指出, 如果任意给 x 一个值, 就

5 得到一个关于 y 的 2 次方程 ; 从这个方程可以求出 y, 于是就能够用直尺和圆规把 y 画出来. 如果我们取无穷多个 x 值, 就得到无穷多个 y 值, 从而得到无穷多个点 C( x, y). 所有这些点 C 的轨迹, 就是方程所代表的曲线. 有了曲线方程的思想之后, Descartes 进一步发展了这个思想, 他断言 : 曲线的次数与坐标轴的选择无关. 他指出轴的选择应以方程的表达式越简单越好. 另外, 他指出通过联立方程组的解可以求出两条曲线的交点. Descartes 用一句高度有意义的话概括了曲线 : 几何曲线 是那些可用一个唯一的含 x 和 y 的有限次代数方程来表示的曲线. Descartes 还进一步考虑 了几何曲线的分类问题. 注记 Fermat 和 Descartes 研究解析几何的方法大不相同. Fermat 着眼于继承希腊人 的思想, 认为他自己的工作只是重述了 A polloius 的工作 ;Des cartes 批判了希腊人了的传 统, 而且主张同这个传统决裂. 真正的发现 --- 代数方法的威力 --- 是属于 Des cartes 的. 但是, 从近代观点来看, Fermat 强调轨迹的方程的观点是更为恰当的. 对于谁先发现解析几何的问题, 一开始就卷入了争论. Fermat 的著作是 679 年出版的, 但 Fermat 在 629 年就已经发现了坐标几何的基本原理 ; Descartes 的 方法 是 637 年发表的, 而且 Descartes 当时已完全知道 Fermat 的许多发现, 但是他否认他的思想是从 Fermat 来的. 当 几何 出版的时候, Ferm at 就批评说, 书中删去了极大值和极小值 曲线的切线, 以及立体轨迹的作图法. Fermat 认为这些是值得所有几何学家注意的. Descartes 回答说, Fermat 几乎什么也没作, 他至多做了一些不费力气 不需要预备知识就能得到的东西, 而 Descartes 自己却用了关于方程性质的全部知识. Descartes 讽刺地称 Fermat 为我们的极大和极小大臣. Fermat 的朋友们给 Descartes 写了尖刻的信, 但是后来两个人的态度趋于缓和. 在 660 年的一篇文章中 Fermat 指出了 Descartes 几何 中的一个错误, 但 Fermat 宣称他是如此佩服 Descartes 的天才, 即使 Descartes 有误. Fermat 认为 Descartes 的工作甚至比别人没有错误的工作更有价值. 而 Descartes 却不象 Fermat 那样宽厚. 由于种种原因, 解析几何的主要思想 --- 用代数方程表示并研究曲线, 没有被数学家热情地接受并利用. Fermat 的著作出版太晚, 而 Descartes 对作图问题的强调遮蔽了方程和曲线的主要思想. 甚至 Leibiz 也说 Descartes 的工作是退回到古代 ; 还有一个原因, 是许多数学家反对把代数和几何混淆起来. 再一个原因是代数被认为是缺乏严密性, 代数不能替代几何, 或者与几何并列 ; 虽然, 种种原因阻碍了对解析几何的了解, 但是也有很多人逐渐采用并扩展了解析几何学. 不管怎么说, 是解析几何改变了数学的面貌, 是解析几何把数学造成一个双面的工具 : 几何概念可以用代数表示, 几何目标可以通过代数达到 ; 反过来, 给代数语言以几何解释, 可以 直观地掌握那些语言的意义, 又可以得到启发去提出新的结论. Lagrage 曾把这些优点写 进他的 数学概要 中 只要代数同几何分道扬镳, 它们的进展就缓慢, 它们的应用就狭窄. 但是当这两门科学结合成伴侣时, 它们就互相吸取新鲜的活力, 从那以后, 就以快速的步伐走向完善. 现在通用的 3 维坐标系是 Joh Beroulli 在 75 年给 Euler 的一封信中引入的. 虽然 Euler 对曲面方程作过一些研究, 但是他系统地致力于 3 维空间中解析几何的研究还是在 748 年他的 引论 一书中. 书中除了介绍一些他早已作过的工作以外, 还研究了一般的 3 个变量的 2 次方程 ax + by + cz + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz = l

6 Euler 通过坐标变换简化了这个方程, 并得到 6 种曲面 : 锥面 柱面 椭球面 单叶和双叶双曲面 双曲抛物面 ( Eul er 发现的 ) 以及抛物柱面. 与 Des cartes 一样 Euler 主张按方程的次数对曲面进行分类的观点是正确的, 因为方程的次数是线形变换作用下的不变量. 在 Moge 与其学生的论文 代数在几何中的应用 中, 可以找到他对解析几何的突出贡献, 如 他们研究了截口曲线 直纹曲面和旋转曲面等. 正是由于 Euler L agrage 和 Mo ge 等人 的工作, 解析几何才变成一个独立的而且是充满活力的一个数学分支. 事实上, 是解析几何结束了自希腊时代到 600 年, 几何学统治数学, 代数居于附庸地位 的状态. 自 600 年以后, 代数成为基本的数学部门. 第 3 节解析几何解析几何的基本思想是引进坐标, 即将一个几何对象 配上 或 标上 数, 从而用数刻化这个对象, 这就是 ( 直角 ) 坐标系或 Des cartes 坐标, 它用来刻化任意点在空间的位置. 首先, 在平面上作一对互相垂直的固定直线, 即所要参照的 x, y 轴. 把这两条直线看成有 方向的数轴, 并且用同样的单位来度量. 对每个点 P 指定两个坐标 xy,. 它们是用如下的方 法得到的, 考虑从原点 O 到点 P 的有向线段, 把它垂直 地向 xy, 轴作投影, 得到 xy, 轴上的有向线段 OP, OQ, 其长度分别为 xy., 我们称这两个数 xy, 为点 P 的坐标. 反之, 如果 xy, 是任意预先给定的两个数, 则相应的点 P 就是唯一确定的. 我们将点 P 记为 Pxy (, ). 这里需要注意数对 ( x, y ) 的顺序, 即 ( x, y) ( y, x). 如果两点为 P( x, y), P2( x2, y2), 则由勾股定理, 两点之间的距离为 ( x x ) + ( y y )

7 如果令 Cab (, ) 是一固定点, 则到点 C 的距离为 r 的点 Pxy (, ) 的轨迹就是以 C 为圆心, r 为半径的圆, 其方程为 ( x a) + ( y b) = r, x y 2ax 2by r a b + =. 实际上, 我们可以把圆的方程写的更简单明了些 : 这只要将坐标系进行平移就可以了, 即令 X + Y = r. X = x a Y = y b. 我们称这样的坐标轴移动的变化为坐标系平移变换. 有时根据需要, 我们还经常进行坐 标系的旋转变化 --- 请参看下面在椭圆方程后面出现的例子. 直线方程的形式就更简单了. 显然, 平行 x 轴的直线是 y = b; 平行 y 轴的直线是 x = a. 既不平行于 x 轴, 又不平行于 y 轴的直线方程为 ax + by = c. 事实上, 如果直线上两点为 P( x, y), P2( x2, y 2), 而直线上任意点为 Pxy (, ), 则根据斜率关系, 有 y y y2 y = x x x2 x,

8 y y y y y x = y x. x x x x Pxy (, ) 如果令两点为 F( p q,0), F ( p q,0), 则到两点的距离和为 2 p 的点 的轨迹是椭圆, 其方程为 x p y + =. q 如果我们将坐标系旋转 θ 后得到的坐标系记为 ( x, y ) 系统, 则有 我们称这样坐标系变换为旋转变换. x= x cosθ y siθ. y = x siθ + y cosθ

9 例 3. 利用坐标变换将方程 进行化简, 并判断曲线的类型. 解先作旋转消 xy 项 2 2 5x 4xy 2y 24x 2y =0 则原方程简化为 x = (2 x y ) 5 2 y, si θ =, cosθ =, = ( x + 2 y 5 5 ) = x y 2 5x 8 其次, 作平移消 次项 则方程进一步简化为 x = x y = y 5, 2 2 x y + = + = x y 2 0, 所以, 这个原方程表示一个椭圆. 我们引用 Klei 的一段话来说明 变换 在研究几何学中的作用 : 存在这样的变换, 使得空间图形的几何性质保持不变. 事实上, 几何性质本身不依赖于所考虑对象在空间的位置 大小和方向. 空间图形的几何性质在空间的运动 相似, 反射以及它们所生成的一切变换之下都保持不变. 所有这些变换的全体, 构成几何空间的变换群. 几何性质在变换群的作用之下保持不变. 即几何性质由在变换群作用之下保持不变的事实来描述. 形如 x p y = 的方程就是一双曲线. q 我们可以将按条件求曲线方程的过程不断进行下去, 从而得到各种各样的曲线方程. 但是在这里解析几何的思想是最基本的, 即几何对象完全可以用数的代数形式表达出来, 并且几何的运算也同样如此. 例如, 找两条直线 ax + by = c, ax 2 + by 2 = c

10 的交点的问题就等价于求方程组 ax + by = c ax 2 + by 2 = c 2 的解 ( x, y ). 方程和曲线的联系, 不仅仅只是更多地发现了新的有意义的曲线, 它还带来了认识新空 间的需要. 将这种平面的思想扩充到三维空间是显而易见的, 更进一步, 我们可以将这种思想不断地向更高的维数空间拓展. 在此, 我们简单考察一下扩充至 3 维的情形. 以坐标原点为球心的方程为 x + y + z = r ; 平面的方程为 ax + by + cz = d ;

11 直线的方程为 ax + by + cz = d ax 2 + by 2 + cz 2 = d 2 ; 2 方程 z = x + y 2 是抛物面的方程. 第 4 节线性代数要是没有线性代数, 任何与数学相关的教程都可能讲不下去. 线性代数的理论其实十分 简单 定理不多而且没有特别复杂的证明. 如果你不熟悉线性代数的概念, 如线性相关 向量 线性空间 矩阵等等, 要去学习自然科学, 现在看来就和文盲差不多了. 向量 我们已经知道平面 空间上的点可以用坐标 ( x, y ) ( x, yz, ) 来表示, 反之给定坐标, 一 定有平面 空间上的点与之唯一对应. 实际上, 在线段和坐标之间我们也可以建立这样的联系. 定义 4. 把规定了方向的线段称为向量. 它的起点和终点分别称为向量的起点和终点. 向量的方向由起点指向终点. 向量的长度称为向量的模. 将起点是 A, 终点是 B 的向量 记作 AB, 也可记作 a. AB 的模记作 AB, a 的模记作 a

12 特别地, 模等于 的向量称为单位向量. 模等于 0 的向量称为零向量. 记作 O. 零向量的方向是不确定. 如果两个向量 ab, 的方向相同且模相等, 则称它们是相等的向量, 记作 a = b. 当我们只考虑向量的方向和大小, 而不考虑其具体位置时, 称这样的向量为自由向量. 自由向量的起点可以任意选取. 自由向量可以任意平行移动. 如果两个向量的方向相反且模相等, 则称它们互为逆向量. 向量 a 的逆向量记为 a. 定义 4.2 如果向量 AB = a, BC = b, AC = c, 则向量 AC 称为向量 ab, 的和, 记为 a+ b. 称由两个向量 ab, 求它们和的运算为向量的加法. 这种求两个向量和的方法称为向 量加法的三角形法则. 容易验证. 向量的加法运算满足以下运算规律 : () a+ b = b+ a; (2) a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c; (3) a+ o = o+ a = a; (4) a+ ( a) = ( a) + a =o. d 所以, 我们可以定义向量的减法为 a b= a+ ( b). 定义 4.3 令实数 λ R, a 是一向量, 则规定乘积 λ a 是一个向量, 其模为 λa = λ a, 方向为 λ a 与 a 的方向相同, 如果 λ > 0 ; 反之方向相反. 如果 λ = 0, 则 a λ =. 我们将这

13 种运算称为数乘运算. 例 4. 证明三角形的两边中点的连线平行于第三边, 且等于第三边的一半. 证明设 M, N 分别是 Δ ABC 的两边 AB, AC 的中点, 则 MN = AN AM = AC AB = ( AC AB) = BC, 所以 MN // BC, MN = BC. 2 如果我们定义空间中任意三个有序的不共面向量 e, e2, e3为空间中的一组基, 则空间中的任意向量 r 都能唯一地表示成 r = xe + ye + ze. 2 其中有序三实数组 ( x, yz, ) 称为向量关于这组 e, e, e 的坐标, 记为 r = ( x, y, z). r 我们约定 : 如果没有特别说明, 则在以后均采用满足右手系的空间直角坐标系. 如果令向量 a = ( x, y, z ), b= ( x, y, z ), 则 a± b= ( x ± x, y ± y, z ± z ), λa = ( λx, λy, λz ), λ R. 例 4.2 证明四面体的对棱中点的连线交于一点

14 证明如果我们在四面体 ABCD 中令 AB= e, AC = e2, AD= e3, 则可以在空间中建立一个坐标系, 而且四面体 ABCD 中各个顶点的坐标分别为 A(0,0,0), B(,0,0), C(0,,0), D (0,0,). 于是, 各个棱的中点的坐标分别为 E,0,0,,,0, 0,,0, 0,,, 0,0,,,0, 2 F 2 2 G 2 L 2 2 M 2 N 2 2. 因此, EL 的中点的坐标为,, 类似地, 我们可以求出 FM, GN 的中点的坐标也 是,, 所以, 四面体对棱的中点的连线必定交点,, 现在就让我们把平面和 3 维空间中的向量概念向更高维数的情形进行推广. 在此, 我们 只关心与向量 基 坐标及与坐标表示有关的内容. 定义 4.4 我们称数域 F 上的有序 元数组 α = ( a, a2,, a ) 为数域 F 上的一个 维 向量. 向量 α 和 β 相等当且仅当它们对应的分量全相等. 分量 ai,0 i, 全为零的向量 称为零向量, 记为 0. 向量 β = ( a, a2,, a ) 称为向量 α = ( a, a2,, a ) 的逆向量, 记 α = ( a, a,, a ). 为 2 类似地, 定义 α ± β = ( a, a,, a ) ± ( b, b,, b ) = ( a ± b, a ± b,, a ± b ), λα = ( λa, λa,, λa ), λ F, 2 β = ( b, b,, b ). 元向量具有下面的一些性质 : 其中 2 () 交换律 α + β = β + α ; (2) 结合律 α + ( β + γ) = ( α + β) + γ ; (3) α + 0= 0+ α = α ; (4) α + ( α) = ( α) + α = 0; (5)α = α ; (6) λ( μα ) = ( λμα ); (7) λ( α + β ) = λα + λβ ; (8) ( λ + μα ) = λα+ μα,

15 其中 α, βγ, 是向量, λ, μ F. 不要忘了我们推广向量空间的概念是想在空间中找到一组向量构成的集合, 使它具有类 似于平面和空间中坐标轴 ({, },{,, } e e e e e ) 的性质 --- 任意一个向量都能被它们唯一地 线性表出, 即如果 α i = ( ai, ai2,, ai), i, 是我们要找的向量组, β = ( b, b2,, b ) 是任意的一个向量, 则是否存在唯一的数组 ( x, x2,, x ) 使得 β = x α + x α + + x α. 2 2 而这等价于考虑方程组 ax + a2x2 + + a x = b a2x + a22x2 + + a2x = b2 a x+ a2x2 + + ax = b 的求解问题. 为最终解决问题, 先让我们做一些必要的准备工作. 2 矩阵 定义 4.5 我们把由 m 个数组成的一个 m 行 列的矩形表格, a a a a a a a a a m m2 m 称为矩阵. 一般地, 用大写字母 ABC,,, 来表示. 组成矩阵的每一个数称为矩阵中的元素, 通常用小写字母 a, i, j, 来表示, 其中的下标 ij 是正整数, 表示该元素在矩阵中的第 i 行, 第 ij j 列个位置. 有时我们直接用 ( aij ) m 表示. 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为 0. 特别地, 一个 m 矩阵也称为 m 维列向量 ; 一个 矩阵也称为 维行向量. 当一个矩阵的行数 m 与列数 相等时, 也称该矩阵为 阶方阵. 对于方阵, 如果一个 阶方阵的主对角线上元素都是, 而其余元素都是 0, 则称其为单位矩阵, 记为 E ( ) E 或 I() I, 即

16 I = 0 0. 今后我们用 M m ( F) 表示数域 F 上的 m 矩阵构成的集合, 或用 M ( F ) 表示数域 F 上的 阶方阵构成的集合. 定义 4.6 如果矩阵 A = ( a ), B = ( b ) M ( F), 即它们具有相同的行数和列数, 则 ij ij m 定义它们的和 A + B = ( aij + bij ), 即 A + B 的元素为 A, B 对应元素的和. 定义矩阵 A = ( a ij ) 的负矩阵为 A = ( a ) ij. 从而矩阵的减法是 A B= A+ ( B). 容易验证, 矩阵的运算具有下列性质 : () 交换律 A + B = B+ A; (2) 结合律 A + ( B+ C) = ( A+ B) + C ; (3) A+ 0= 0+ A= A ; (4) A+ ( A) = ( A) + A= 0. 定义 4.7 设 λ F, A = ( aij ) Mm ( F), 则我们规定 λ A = ( λa ij ). 容易验证它适合下列性质 : ()A = A ; (2) λ( A + B) = λa+ λb; (3) ( λ + μ)a = λa+ μa; (4) ( λμ) A = λ( μa), 其中 λ, μ F, A = ( a ), B = ( b ) M ( F). ij ij m 定义 4.8 令 A = ( a ) M ( F), B = ( b ) M ( F), 则规定 ij m ij d k AB = C = ( c ij ) m k, cij = ai b j + ai b j + + aibj = aisbsj. 其中 2 2 d s 我们容易验证矩阵乘法满足下面性质 : () 结合律 A( BC) = ( AB) C ; (2) 分配律 A( B + C) = AB + AC,( A + B) C = AC + BC ; (3) 单位元的存在性 IA= AI = A

17 在这里我们需要特别注意, 矩阵的乘法和一般数的乘法是有很大区别的. 例如, 矩阵乘法不满足交换律, 即 AB BA; 另外两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵, 即 A 0, B 0, 但是可能有 AB = 例如令 A, B = =, 则 AB =, BA = 定义 4.9 令 A a a a a a a a a a = m m2 m, 则我们定义矩阵 A 的转置为如下一个 m A T a a a a a a a a a 2 m 2 22 m2 = 2 m, T T 并将其记为 A 或 A. 则容易验证 :( A ) T = A, ( A+ B) T = A T + B T T, ( AB) T = B T A. 我们把由 阶单位阵 E 经过一次初等变换 --- 交换两行 ( 列 ) 把一行( 列 ) 乘一数后 加到另外一行 ( 列 ) 把某一行 ( 列 ) 乘一非零常数, 得到的矩阵称初等阵. 它们分别为 i j i j i I 0 I 0 I I I i i,, I. I t i j t j I I I 对一矩阵作行 ( 列 ) 的初等变换, 就相当于用对应阶数的初等矩阵左 ( 右 ) 乘以该矩阵. 定义 4.0 设 A M( F), 如果存在矩阵 B 使得 AB = BA = I, 则称 A 为可逆矩阵, B 为 A 的逆矩阵, 简称为 A 的逆, 记为 B = A

18 矩阵的逆矩阵是唯一的, 而且 ( ) ST T = S. 定义 4. 如果矩阵 A 经过有限次行 ( 列 ) 的初等变换变为矩阵 B, 就称 A 与 B 行 ( 列 ) 等价. 如果矩阵 A 经过有限次的初等变换变为 B, 就称矩阵 A 与 B 等价, 记为 A B. 显然, 矩阵的等价是一种等价关系. 定理 4. 任何一个非零矩阵 A M ( F) 均等价于矩阵 m I r 0 m, 其中 r m i{ m, }. 并称其为矩阵 A 的标准形, 而其中的 r 称为矩阵 A 的秩, 记为 raka = r. 推论 4.2 任意一个非零矩阵 A M ( F) 均存在 m 阶可逆阵 P 和 阶可逆阵 Q, 使 m I r PAQ = 0. 定理 4. 和推论 4.2 说明两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的标准形 ; 等价的充要条件是它们的秩相同. 矩阵的秩的概念是由 Frobeius 在 879 年引入的, 而且对于矩阵的特征方程他还提出了有关最小多项式的唯一性问题, 但是他没能给出证明. Frobeius (89 97) 德国数学家.867 年进入哥廷根大学学习数学.870 年, Frobeius 在柏林大学完成学业并获博士学位. 一开始在中学教书.874 年, 他被聘为柏林大学副教授, 第二年成为瑞士苏黎士高等工业学校教授.892 年, 他重返柏林大学任数学教授.893 年当选为柏林普鲁士科学院院士. Frobeius 的论文数量很多, 但他生前没有出版专著. Fr obeius 的研究领域主要是在矩阵论和群论领域, 当然也涉猎了其它的数学分支. 据说 Frobeius 开始研究群论主要是受著名数学家 Kummer 和 Kroecker 的影响. 3 线性方程组 我们可以用矩阵的形式将线性方程组

19 ax + a2x2 + + a x = b a2x + a22x2 + + a2x = b2 am x+ am2x2+ + amx = b m 写成 AX T T = B的形式, 其中 A = ( aij ) m, X = ( x,, x ), B= ( b,, bm ). 如果 B = 0, 则 称方程组为齐次线性方程组 ; 否则称为非齐次线性方程组. 我们称矩阵 A a a2 a b a a a b am am2 am bm = 为线性方程组系数矩阵 A= ( a ij ) m 的增广矩阵. 定理 4.3 线性方程组 ax + a2x2 + + a x = b a2x + a22x2 + + a2x = b2 am x+ am2x2+ + amx = b m 的增广矩阵 A 行等价于如下形式的矩阵 c c c c d c c c d c c d r 22 2r 2 2 rr r r d r + 其中 raka = r. 进而, 当 d + 0 时, 线性方程组无解 ; 当 d = 0, r = 时, 线性方程组只有 r 唯一解 ; 当 d = r 0, r < + 时, 线性方程组有无穷多个解. r

20 例 4.3 试判断方程组 x+ 2y 3z = 6 2x y+ 4z = 2 4x+ 3y 2z = 4 解的情况. 解方程组的矩阵形式为 2 3 x y = 2, 4 3 2z 4 所以, 对增广矩阵作行变换有 ( 2) + 3, ( 2) 因此, 线性方程组有无穷多个解. 4 行列式 我们首先考虑二元一次方程组 ax + a2x2 = b, a2x + a22x2 = b2 即方程组的矩阵形式为 a a2 x b =. a2 a22 x2 b2 我们分别用 a22, a2 乘方程组的第 式和第 2 式, 再把所得的两式相加, 则有

21 ( a a a a ) x = ba b a ; 如果我们再分别用 a, a 2 乘方程组的第 2 式和第 式, 再把所得的两式相加, 则有 注意, 在此如果我们定义函数 ( a a a a ) x = b a ba : M ( F) F a 2 a 2 aa22 a2a2 a2 a22, a 则当 a a 2 a 2 22 = a a a a 0 时, 有 b a a b 2 b a a b x =, x = a a2 a a2 a a a a 我们仔细观察上面的结果, 应该是非常有规律的! 这种规律就是行列式. 设一 阶矩阵 A a a a a a a a a a = 2. 定义 4.2 如果我们划去 A 的第 i 行和第 j 列, i, j, 则得到一个 阶矩阵 Ai (, j) a a a a a a a a i i+ i i i i i+ i = ai+ ai+ i ai+ i+ ai+ a a a a i i+,

22 称其为矩阵 A 的一个 阶子矩阵, 称 M (, i j) = A(, i j) 为元素对应的余子式, 称 a ij Aij i+ j = ( ) Mij (, ) 为元素对应的代数余子式. a ij 对于 阶矩阵 A= ( a ij ), 我们可以归纳地将其行列式定义为 A = aa i i+ aa i2 i2 + + aa i i, i=,2,,. 进一步, 容易证明 : a A + a A + + a A = i j. i j i2 j 2 i j 0, 定理 4.4 令 A= ( a ij ), 则交换矩阵的两行 ( 列 ), 行列式变号 ; 将矩阵的某一行 ( 列 ) I 乘一数加到另外一行 ( 列 ), 行列式值不变 ; 成比例, 则行列式值为 0. λ A I = λ A. 特别地, 如果有两行 ( 列 ) 在此, 我们仅就 3 阶矩阵交换,2 两行的情形验证一下定理 4.4. 令 a a a A a a a a a a 2 3 = , 则 A = a A + a A + a A a a a a a a = a a + a a32 a33 a3 a33 a3 a32 = a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a = a A + a A + a A a a a a a a a a a = a a + a a32 a33 a3 a33 a3 a32 = a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a

23 a a a 即 A = a a a. 2 3 a a a 从行列式的定义和定理 4.4, 我们很容易知道 : A A T = 和 a a a a a 2 a22 a2 a2 a22 a22 = = = a a a a a a a 2 22 a. 其中, 定理 4.5( Cramer 法则 ) 设线性方程组为 ax + a2x2 + + a x = b a2x + a22x2 + + a2x = b2 a x+ a2x2+ + ax = b 如果系数矩阵 A= ( a ij ) 的行列式 A 0, 则此方程组有唯一解 Ai xi =, i =,2,,, A Ai 是用方程组的常数列向量替换系数矩阵 A 的第 i 列后得到的矩阵. 推论 4.6 如果 A 0, 则齐次线性方程组 AX = 0 只有零解 ; 齐次线性方程组有非零解 的充分必要条件是 A = 0. 的解. 例 4.4 试求方程组 解计算行列式值 2x+ 3y z = 3x+ 5y+ 2z = 8 x 2y 3z = A = = 22 0, A x = = 66,

24 A y = = 22, A = = z 所以, x = 3, y =, z = 2. Gabriel Cramer ( ) 瑞士数学家, 生于日内瓦. 早年在日内瓦读书,724 年起在日内瓦加尔文学院任教,734 年成为几何学教授,750 年任哲学教授.727 年开始进行为期两年的访学旅行. 在巴塞尔跟随 Joha Beroulli 和 Euler 等人学习和交流, 并成为挚友. 后来又到英国 荷兰 法国等地拜见许多数学名家, 回国后仍与他们保持通信联系. 他一生未婚, 专心治学, 平易近人而且德高望重, 先后当选为伦敦皇家学会 柏林研究院和法国 意大利等学会的成员. 他的主要著作是在 750 年出版的 代数曲线的解析引论, 其中定义了正则 非正则 超越曲线和无理曲线等概念, 第一次正式引入坐标系的纵轴 ( y 轴 ), 并讨论了曲线变换, 依据曲线方程的阶数将曲线进行分类. 为了确定经过 5 个点的一般二次曲线的系数, 应用了著名的 Cramer 法则, 即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式. 该法则是由英国数学家 Maclauri 得到的, 但 Cramer 的优越符号使之更便于流传至今. 5 线性相关性 定义 4.3 设 α,,, αm β 是数域 F 上 维向量组. 如果若存在一组数 k,, km 使得 β = kα + + k α m m 则称向量 β 可由向量组 α,, αm 线性表示, 或称向量 β 是向量组 α,, αm 的线性组合. 如果我们将向量写成分量的形式, 则容易看出 : 线性方程组有解的问题与向量组的线性表示问题是等价的. 定义 4.4 对向量组 α,, αm, 如果存在一组不全为零的数 k,, km, 使得 kα + + k m α m = 0, 则称向量组 α,, αm 线性相关. 否则称为线性无关, 即上面向量等式成立当且仅当 k = = k m = 0. 因为 = 0, 所以含零向量的向量组是线性相关的 ; 而只有一个向量 α α m α 的向量组线性无关的充分必要条件是 α 0, 线性相关的充分必要条件是 α = 0. 定理 4.7 如果向量组 α,, αr 是线性相关的, 则 α,, αr, αr+,, αm是线性相关的. 证明因为向量组 α,, αr 是线性相关的, 所以存在不全为零的数 k,, kr 使得

25 kα + + k r α r = 0. 于是, kα + + k α + 0α + + 0α = 0, 即 α,, α, α,, α 是线性相关的. r r r+ m r r+ m 从定理 4.7 我们容易知道, 线性无关向量组的任意一个非空部分组仍然是线性无关的 ; 对于 r 维向量添加 r 个分量显然就成了 维向量, 所以, 如果 r 维向量组是线性无关的, 那么 维向量组也线性无关. 反之, 如果 维向量组是线性相关的, 那么 r 维向量组也一定是线性相关. 进而 个 维向量组是线性无关的充分必要条件是它们所构成的 阶矩阵的行列式不等于 0. 推论 4.8 如果 m>, 那么 m 个 维向量 α,, αm 一定是线性相关的. A: α,, αr 和 B : β,, βs 是两个 元向量组. 如果向量组 A 中每一个向量都能由向量 设 组 B 中的向量线性表示, 我们就称向量组 A 能由向量组 B 线性表示. 再如果向量组 B 也可以 由向量组 A 线性表示, 我们就称向量组 A 和 B 等价. 显然, 向量组之间的等价是一种等价关 系. 实际上, 向量组 A 能由向量组 B 线性表示, 说的是存在数 k F, i s, j r, 使得 ( k ) ( α,, α ) = ( β,, β ). r s ij 定义 4.5 设 A 是 元向量组. 如果在 A 中有 r 个向量 α,, αr 线性无关, 并且对于任 意 A 中向量 α 有向量组 α, α,, α r 是线性相关的, 那么称 α,, αr s r ij 是向量组 A 的一个极 大线性无关组, 简称极大无关组. 其中的 r 称为向量组 A 的秩, 记为 ra ka = r. 我们规定只含 0 向量的向量组没有极大线性无关组, 从而它的秩为 0. 的秩. 向量组的极大无关组之间是等价的, 而且它们所含的向量个数相同, 这个数就是向量组 6 空间的基和维数定义 4.6 设 F 是数域,V 是向量构成的集合, 并且 V 中有通常的向量加法运算 ( 定义 4.4). 如果我们定义数乘运算 使得它们满足 F V V ( k, α ) kα ()α = α, (2) k( α + β) = kα + kβ, (3) ( m) α = m( α ), (4) ( m+ ) α = mα + α, 其中 km,, F, α, β V, 则称 V 是数域 F 上的向量空间. 定义 4.7 设 V 是数域 F 上的向量空间, 如果在 V 中有 r 个向量 α,, αr 线性无关, 并 且 V 中任意向量 α 均能由向量组 α,, αr 线性表示, 则称 α,, αr 是向量空间 V 的一组

26 基, r 称为空间 V 的维数, 并称 V 是 r 维线性向量空间. 如果把向量空间看作是一个向量组, 那么向量空间 V 的基就是它的一个极大无关组, V 的维数就是向量组的秩. 设,, i T α α 是一组 维向量. 如果 维单位标准向量组 { ei = (0,,0,,0,,0) } 能被它线性表示, 则向量组 α,, α 是线性无关的. i 事实上, 考虑方程组 x,, 0 =. x ( α α ) ( e,, e ) = ( a )( α,, α), 所以 则由 ij x x x ( aij )( α,, α ) = 0,( e,, e ) = 0, I = 0. x x x 于是 x = = x = 0. 至此, 我们知道 : 在通常的几何空间中, 线性无关的向量组最多含 3 个向量, 任意 4 个向量都是线性相关的. 在有序 元数组所张成的向量空间 V 中, 有 个线性无关的向量, 任意 +个向量都是线性相关的. 进而, 线性空间 V 中任意向量 α 能由基 α,, α 线性表示时, 其表示法是唯一的. 事实上, 如果表法不唯一, 则存在 α = x α + + x α = yα + + y α, xi yi 使得 i 所以, 存在不全为 0 的数 { } 0 = ( ) + + ( ), x y α x y α 而这矛盾于向量组 α,, α 的无关性. 从这里可以看出 : 我们把 定义为线性空间的维数是合理的. 设 V 是数域 F 上的 维线性 ( 向量 ) 空间, α,, α 是它的一组基, 则 V 是由 α,, α 张成的线性空间, 即 { α α i, } V = x + + x x F i. 从上面的讨论知道, 对任意的 α V 存在一组唯一确定的数 x,, x F, 使得 α = x α + + x α

27 反之, 任给一组数 x, x F, 则总有唯一确定的向量 α V 满足, α = x α + + x α. 这就是说, 在选定 V 的一组基后,V 中的向量与有序 元数组之间存在着一一对应关系! 我们称数组 x,, x F 为向量 α V 在 α,, α 基下的坐标. 如果我们选择的基是不同的, 即一组基为 α,, α, 而另外一组为 β,, β, 那么对于同一个向量 γ, 它在不同基上的坐标之间又有怎样联系呢? 设 γ 在基 α,, α 上的坐标为 ( x,, x ), 而 γ 在基 β,, β 上的坐标为 ( y,, y ), 即 γ = xα+ + xα, γ = yβ+ + yβ. 再如果基 α,, α 到基 β,, β 的过度矩阵为 P, 即 那么 所以 α β = P. α β α β β γ = ( x,, x ) = ( x,, x ) P = ( y,, y ), α β β ( x,, x ) P= ( y,, y ). 这样就与在 3 维空间中对曲面进行简化一样, 我们也可以使用同样的思想方法在 维空 间中对曲面进行简化处理了. 例 4.5 Fiboacci 数列 { F } 是一个非常有意思的数列, 它最初是由意大利数学家 Fiboacci 在他的一本书 ( 算盘书 ) 中提出来的. 该数列满足递归关系等式 : F = F + F, 2 其中 F = F =. 2 当然, 有很多方法可以求得该数列通项. 但在这里, 我们只想借助向量空间的概念来求该数列的通项公式. 为此, 我们将与 F iboacci 数列对应的向量空间定义为全体实数列组成的集合 其中的加法和数乘定义为 { } 2 V = { A A = A + A, 3}, F

28 { A } { B } { A B } + = +, { } { ka } k A =. 则由于 V 中的每个数列均由前两项所确定, 所以容易验证 V 是向量空间, 并且 dim V = 2. F 而且其与标准基底 (, 0), (0,) 对应的基底为 另外, 为寻找向量空间 如果该等比数列属于 {, 0,,, 2,3,5, },{ 0,,, 2,3,5,8, }. V F V F 的另外一组不同基底, 考虑等比数列 {,,,, } Q = a aq aq., 则应有 F F 2 aq = aq + aq. ± 5 所以, 当 q = 时, 等比数列 Q VF. 2 向量组 (, ), (, ) 2 2 显然是线性无关的, 所以向量组 (, ), (, ) 2 2 对应的向量空间 V F 中的基底为 ,,,,,,,,,,,,, 又当 (, 0) = x(, ) + y(, ) 时, x=, y 2 + = 5 2 5, 所 以, Fiboacci 数列 { F } 的通项为 F = x + y = 第 5 节线性代数的源向量的概念是平静地进入数学之中的, Aristotle 就知道力可以表示成向量, 两个力的组

29 合作用可以用著名的三角形法则得到, 而 Galileo 对此给出了非常清楚的表述. 到了 830 年时, 数学家们就已经熟悉了 : 可以用复数表示平面上的向量, 当然这种使用 是受到限制的. 尽管在 3 维空间我们可以用坐标 ( x, yz, ) 来表示从原点到该点的向量, 但是却 不存在 3 元数组的运算体系与表示 3 维向量的运算相对应. 至少从表面想来, 这些体系的运算应和复数一样具有 : 加 减 乘 除和结合律 交换律 分配律等性质. 这种想法自然促使数学家们开始寻找所谓 3 维复数及其它的代数. 是英国数学家 Hamilto 首先给出了有序数偶的概念, 并创造了有用的与复数类似的空间类似物 ---4 元数. Hamilto 非常善于利用对比的方法从已知来推测未来, 他虽然具有很好的直观, 但却没有伟大的思想灵感. 他长期而勤奋地对特殊问题进行工作以求看出一般性. 经过多年的努力, Hamilto 发现自己被迫作出两个让步 : 他的新数包含 4 个分量, 而不是 3 个分量 ; 另外他必须牺牲乘法交换律 --- 当时已知的所有数都具有的性质. 这两个特点都是革命性! 4 元数是下面形式的一个数 a+ bi+ cj+ dk 其中 abcd,,, R, i = j = k =, jk = i, kj = i, ki = j, ik = j, ij = k, ji = k. Hamilto 的 4 元数对代数具有不可估量的重要性. 一旦数学家们体会到可以构造一个有意义的 有效的 有用的 数 系, 它可以不具有实数和复数的交换性质, 那么他们就觉得可以更自由地考虑甚至更偏离实数和复数的通常性质的创造. 正是关于 4 元数的工作推动了对线性代数的研究和发展. 当 Hamilto 寻找一个 3 维的代数来表达空间的向量不果, 而建立了没有交换性的 4 元数时, 他没能证明不存在 3 维 数. 这个事实是 Frobeius 在 878 年证明的, 其结果为 : 具有有限个原始单元的, 有乘法单位元素的实系数线性结合代数, 如果服从结合律, 那么就只是实数 复数和实 4 元数. 如果 Ham ilto 能知道这个定理的话, 他会节省许多年的无效劳动. William R. Hamilto( ) 是仅次于 Newto 的最伟大的英国数学家, 他作为一个物理学家比作为一个数学家更伟大. Hamilto 5 岁时就能读拉丁文 希腊文和希伯来文,8 岁时能读意大利文和法文,0 岁能读阿拉伯文和梵文,4 岁能读波斯文. 同快速计算器的一次接触, 激励他去研究数学,823 年他进入三一学院学习.7 岁时, 他就准备了一篇关于焦散曲线的论文, 并在皇家科学院宣读.827 年, 当他还是一个大学生时, 就被任命为三一学院的天文学教授. Hamilto 笃信宗教, 甚至是玄学. 他还写诗, 并认为他那个时代创造的几何概念都和诗类似. 虽然他是一个谦虚的人, 但他承认甚至强调, 喜爱名望会推动和振奋大数学家. Hamilto 的主要数学工作是关于 4 元数的. 按照他自己的描述, 他发现 4 元数是在 843 年 0 月 6 日和太太步行去都柏林的路上. Hamilto 对他的 4 元数具有无限的热情, 他相信这个创造和微积分同等重要, 将会是数学物理中的关键工具. 他把这项工作的最后形式介绍在自己的 4 元数讲义 里. 线性方程组的研究最初是由 Leibiz 在 678 年开创的. 用行列式的方法解含 2 3 和 4 个未知量的线性方程组则是始自 Maclauri, 是 Cr amer 把它发表在自己的 线性代数分析导言 一书里, 以至现在我们仍然误将其称为 Cramer 法则. 在 764 年, Bezout 把确定行列

30 式每一项的符号的规律进行了系统化处理, 并证明 : 齐次线性方程组有非零解的的条件是其系数行列式为 0. Vadermode 对行列式进行了系统的理论研究, 还给出了将行列式按,2 阶余式进行展开的公式, 对于一般的关于 r 阶余式的展开公式却是 Laplace 在 772 年给出的, 现在我们仍以 Laplace 的名字命名这个公式. 我们现在使用的行列式一词是 Cauchy 给出的, 而且我们今天使用的行列式写法也是他首先采用的, 是 Ca uchy 给出了行列式的第一个系统的 几乎是近代的处理. 他证明了 ( )( ) a b = a b, 并改进和证明了 Lapl ace 的行列式展开定理. Ca uchy 还对二次型的正 ij ij ij ij 负惯标定理进行了讨论, 但描述的不很清楚. 是 Sylvester 回答了这个问题, 并对此给出了证明. 行列式的始终不渝研究者是 Sy lvester, 他在 50 年的时间里一直研究行列式. James Joseph Sylvester (84-897) 是一个活泼 敏感 兴奋 热情 甚至容易激动的人. 因为 Sy lvester 是犹太人, 所以尽管他赢得了剑桥大学荣誉会考数学的第二名, 他仍然被禁止在剑桥大学任教. 在 , 他任弗及尼亚大学教授, 后到一军事科学院任较低级别的教授. 经多方活动, 成为霍普金斯大学教授, 从 876 年起,Sy lvester 一直讲授不变量理论, 他开创了美国的纯数学研究, 并创办了 美国数学杂志.884 年,Sy lvester 回到英国, 在他 70 岁时, 成为牛津大学教授一直到去世. Sylvester 不喜欢系统而彻底地做出理论. 实际上, 他频繁地发表猜想, 虽然其中许多是出色的, 但其余是不正确的. Sylvester 曾忧伤地承认, 他的大陆朋友 在损害他的判断力的条件下恭维他的预见力 Sylvester 的主要贡献是组合的思想和从较具体的发展中进行抽象. 矩阵这个课题在其诞生之前就已经发展的很好了. 矩阵这个词是 Sy lvester 首先使用的. 矩阵的基本性质是在行列式理论的发展过程中建立起来的. 在逻辑上, 矩阵的概念先于行列式, 而历史的发展则正好相反. 这也就是, 为什么在矩阵引入之前它的很多性质就已经清楚的原因. 因为是 Cayley 首先指出矩阵本身的, 而且关于这个课题发表了一系列文章, 所以一般地认为 Cayley 是矩阵论的创立者

31 Cayley(82-895) 出生于一个古老而有才能的英国家庭, 他在中学就显示出具有数学才能, 他的老师说服他父亲把 Cayley 送到剑桥大学学习数学. 在剑桥大学的荣誉考试中 Cayley 的会考成绩是第一名. 他当选为剑桥大学三一学院的研究员和助理导师, 但是由于必须担任圣职的原因, 他离开了剑桥, 在法律这个职业上工作了 5 年. 就是在这个期间 Cayley 花了大量的时间进行数学研究, 并发表了近 200 篇文章, 也就是在这个时期建立了他和 Sylvester 的长期友谊和合 作关系. 在 863 年, Cayley 被任命为剑桥大学的 Sadler 数学教授. 除了在 882 年他接受 Sylvester 的聘请在霍普金斯大学以外, 他一直在剑桥大学, 直到去世. 他在各个课题上都是多产的, 特别是在解析几何 行列式理论 线性变换和矩阵论方面. 同 Sy lvester 一起, Cayley 是不变量理论的奠基人. 由于大量的贡献, 他的一生获得了很多荣誉. 关于如何评价 Cayley 的工作, 下面的一句很能说明问题 : Ca yley 正在为未来的物理学家锻造武器. Cayley 和 Sy lvester 不一样, 他是一个性情温和, 能冷静判断和沉着的人, 他慷慨地帮助和鼓励别人. 除了在法律方面的良好工作和数学方面的巨大成就以外, Cayley 还对文学 绘画 建筑学和旅行具有很大的兴趣. 第 6 节解析几何与线性代数的意义语言是表达思想的, 一种丰富的语言也能揭示新的思想. 至少在数学里是这样! 数学语言经常被证明, 它比发明这种语言的人更灵巧更具有创造性. 解析几何中的代数语言就已经被证明具有意想不到的作用, 因为它不需要从几何的角度考虑问题就可行. 解析几何的思想方法使得数学的重要性大大提高了, 它向世人证明 : 数学方法在人们探索真理的过程中所具有的力量和作用. 在 Fermat 和 Descartes 走上数学舞台之前, 代数已经有了相当大的进展, 所以解析几何并不是一个巨大的技术成就. 但是, 解析几何却改变了数学的面貌. 曲线是任何具有代数方程的轨迹. Descartes 的这句话一下子就扩大了数学的研究领域. 我们只要考虑到数学中已经被承认被使用的曲线种类, 并且把这些种类同希腊人所承认的曲线种类相比较, 就会知道冲破希腊人的堤防是何等重要了. 最初, Descartes 只是企图通过坐标几何来给几何引进新方法, 但是他的成就远远超过了他的期望. 在代数的帮助下, 不但能够迅速地证明关于曲线的任何事实, 而且这个探索问题的方式, 几乎成为自动的. 这些认识, 在今天已经是平淡无奇的事了. 但是这套研究方法却是

32 更为有力的. 例如, 在证明三角形的高交于一点时, 我们必须分别考虑是在三角形内还是在三角形外, 而用解析几何的方法证明时, 则不需要对它们加以区别. 解析几何的显著优点, 在于它恰好提供了科学研究迫切需要的数量工具. 我们研究物理世界, 似乎首先需要的是几何. 因为物体基本上是几何的, 例如运动物体的路线就是曲线等等. Descartes 自己也确认全部物理可以归结为几何. 另外, 我们知道, 把科学应用到测地学 航海学 日历计算 天文预测 抛物体的运动, 以及 Descartes 曾经作过的透镜设计等, 都需要数量知识. 解析几何能帮助我们把几何形象和路线表示成代数形式, 从而导出数量知识. 自从有了解析几何, 代数就变得比几何更为重要了. 虽然 Des cartes 认为它只是一种工具 是逻辑的一个推广. 但事实上, 是解析几何为调换代数与几何在数学中的地位铺平了道路.600 年以前, 几何统治着数学, 其后代数便成为基本的数学部门. 现在, 我们不再仅仅认为解析几何是一种研究工具, 而认为它是另一种证明方法, 并且是演绎的啊! 从表面上看, 数学也许是一种语言的速记, 而且这点在线性代数中的体现似乎就更是充分. 虽然人们认为行列式和矩阵的概念完全是语言上的改革, 但是它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供不可或缺的钥匙. 对于已经以比较扩展的形式存在的概念, 它们则提供了简洁优美的表达式. 矩阵在领悟群论的一般定理方面具有作为具体的群的不可替代的直观启发作用, 同时随着近代抽象数学的发展, 人们已经更多地倾向于将其具体化, 即将抽象的概念的具体化, 而这就不可避免地要用到矩阵和行列式的相关概念和性质. 人们通过矩阵和行列式的直观形式, 可以更加清楚地认识和掌握所要探求的抽象数学的本质. 它们正在深刻地影响着现代数学的进展. 数学发展的实践已经证明这两个概念是高度有用的工具, 是数学工具仓库中不可或缺的利器之一