Microsoft Word - 线性代数概念定理公式大全_漆校,邹1校__2.doc

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下弓
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1 线性代数概念定理公式大全第一章行列式. 二阶三阶行列式. 二阶行列式 = -.. 主对角线从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线..3 副对角线从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线..4 对角线法则主对角线上两元素之积减去的副对角线上两元素之积所得的差..5 三阶行列式 = 全排列及其逆序数. 全排列个不同的对象 ( 称为元素 ) 排成一列, 叫做这个元素的全排列 ( 也简称排列 ). 个不同元素的所有排列的种数, 通常用 P 表示.. 标准排列在个自然数的全排列中, 排列 3 称为标准排列..3 逆序数在一个排列中, 当某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同时, 就说有个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数..4 奇排列逆序数为奇数的排列叫做奇排列 ;.5 偶排列逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 3. 阶行列式的定义 3. 阶行列式由个数 ij (i, j=,,, ) 构成的代数和 t å (-) p p p 称为阶行列式, 记为 D=, 简记为 det( ij ), 其中 p p, p 为自然数,,, 的一个排列, t 为这个排列的逆序数, 表示对所有排列 p p p 取和. 3. 上 ( 下 ) 三角行列式主对角线以下 ( 上 ) 的元素都为 0 的行列式叫做上 ( 下 ) 三角行列式.

2 4. 对换 4. 对换的相关概念 4.. 对换在排列中, 将任意两个元素对调, 其余的元素不动, 这种作出新排列的变换叫做对换. 4.. 相邻对换将相邻两个元素对换, 叫做相邻对换. 4. 定理一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性. 推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 4.3 定理阶行列式也可定义为 t å ( ) p p 其中 t 为行标排列 p p p 的逆序数. 5. 行列式的性质 5. 转置行列式记 D= - p, D T =,, 行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式. 5. 行列式的性质 () 行列式 D 与它的转置行列式 D T 相等. () 互换行列式的两行 ( 列 ), 行列式变号. (3) 行列式的某一行 ( 列 ) 中所有的元素都乘以同一数 k, 等于用数 k 乘此行列式, 即 k i k i k i = k 第 i 行 ( 或列 ) 乘以 k, 记作 r i k( 或 c i k). (4) 行列式中如果有两行 ( 列 ) 元素成比例, 则此行列式等于零. (5) 若行列式的某一行 ( 列 ) 的元素都是两数之和, 例如第 i 行的元素都是两数之和 : i i i

3 D= i + b i 则 D 等于下列两个行列式之和 : D= i i i + b i i + b i b i i + b (6) 把行列式的某一行 ( 列 ) 的各元素乘以同一数然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去, 行列式不变. 即 i i i = i + k j i+ k j i+ k j. 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上, 记作 r i +kr j. 推论如果行列式有两行 ( 列 ) 完全相同, 则此行列式等于零. 推论行列式中某一行 ( 列 ) 的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 第 i 行 ( 或列 ) 提出公因子 k, 记作 r i k( 或 c i k). 6. 行列式按行 ( 列 ) 展开 6. 相关概念 6.. 余子式在阶行列式 det( ij ) 中, 把元素 ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后, 剩下来的 - 阶行列式叫做元素 ij 的余子式, 记作 M ij ; 6.. 代数余子式 A ij 叫做元素 ij 的代数余子式, 记 A ij =(-) i+ j M ij. 6. 行列式按照行 ( 列 ) 展开定理 6.. 引理一个阶行列式 D 中, 如果其中第 i 行所有元素除 ij 外都为零, 那么这行列式等于 ij 与它的代数余子式 A ij 的乘积, 即 D= ij A ij. 6.. 定理行列式等于它的任一行 ( 列 ) 各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 D= i A i + i A i + + i A i (i=,,, ), 或 D= j A j + j A j + + j A j (j=,,, ). 推论行列式某一行 ( 列 ) 的元素与另一行 ( 列 ) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 i A j + i A j + + i A j =0, i¹j, 或 i A j + i A j + + i A j =0, i¹j. i, b i.

4 7. 克拉默法则 7. 相关概念 7.. 个未知数个方程的线性方程组含有个未知数 x, x,, x 的个线性方程的方程组的一般形式为 ì x + x + + x = b ï x + x + + x = b í, (*) ï ï îx + x + + x = b 7.. 方程组的系数行列式由方程组 (*) 的系数组成的阶行列式 D= 称为元线性方程组的系数行列式. 7. 克拉默法则如果线性方程组 (*) 的系数行列式不等于零, 即 D = ¹ 0, 那么, 方程组 (*) 有唯一解 D D D x=, x D =,, x D =, D 其中 D j (j=,,, ) 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式, 即, j- b, j+, j- b, j+ Dj=. b, j-, j+ 7.3 相关定理 7.3. 定理如果线性方程组 (*) 的系数行列式 D¹0, 则方程组 (*) 一定有解, 且解是唯一的. 定理如果线性方程组 (*) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.

5 ì x+ x++ x= 0 ïx+ x++ x= 定理如果齐次线性方程组 í 的系数行 ï î x+ x++ x= 0 列式 D¹0, 则齐次线性方程组没有非零解. 定理如果齐次线性方程组有非零解, 则它的系数行列式必为零.. 矩阵第二章矩阵及其运算. m 矩阵由 m 个数 ij (i=,,, m; j=,,, ) 排成的 m 行列的数表称为 m 行列矩阵, 简称 m 矩阵, 记作 æ ö, èm m mø 其中 ij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素. 一般情况下, 我们用大写字母 A, B, C 等表示矩阵. m 矩阵 A 简记为 A=( ij ) m 或记作 A m.. 阶方阵若矩阵 A 的行数与列数都等于, 则称 A 为阶矩阵, 或称为阶方阵. 阶矩阵 A 也记作 A..3 行矩阵只有一行的矩阵 A=( ) 称为行矩阵, 又称行向量. 行矩阵也记作 A=(,,, )..4 列矩阵只有一列的矩阵 æbö b B= èb ø 称为列矩阵, 又称列向量..5 同型矩阵两个矩阵的行数相等列数也相等时, 就称它们是同型矩阵..6 零矩阵所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵, 记为 O..7 恒等变换线性变换 ìy= x ïy = í ï x îy = x 叫做恒等变换.

6 .8 单位矩阵阶方阵称单位阵..9 对角矩阵线性变换 æ 0 0ö E = 0 0. 称为阶单位矩阵, 简 è 0 0 ø ìy= lx ïy = í ï l x îy = lx 对应的阶方阵 æl 0 0ö 0 l 0 L=. è 0 0 l ø 这个方阵的特点是 : 不在对角线上的元素都是 0. 这种方阵称为对角矩阵, 简称对角阵. 对角阵也记作 L=dig(l, l,, l ).. 矩阵的运算. 矩阵的加法.. 矩阵的加法设有两个 m 矩阵 A=( ij ) 和 B=(b ij ), 矩阵 A 与 B 的和记为 A+B, 规定为 A+B=( ij +b ij ). 即 æ + b + b A+ B= èm+ b m + b + b + b m m + b + b + b m m ö. ø.. 矩阵加法的运算律 : 设 A, B, C 都是 m 矩阵, 则 () A+B=B+A; () (A+B)+C=A+(B+C).. 矩阵的数乘.. 矩阵的数乘数 l 与矩阵 A 的乘积, 记为 la 或 Al, 规定为 æl l l ö l l l la= Al=. èlm lm lmø.. 矩阵数乘的运算律设 A B 都是 m 矩阵, l m 是数, 则

7 () (lm)a=l(ma); () (l+m)a=la+ma; (3) l(a+b)=la+lb..3 矩阵与矩阵相乘.3. 矩阵与矩阵相乘设 A=( ij ) 是一个 m s 矩阵, B=(b ij ) 是一个 s 矩阵, 那么矩阵 A 与矩阵 B 的乘积记为 AB, 规定为 m 矩阵 C=(c ij ), 其中 s å cij= i b j+ ib j+ + isbsj= ikbkj (i=,,, m; j=,, ). k= æ ö æ æ c c ö j c ö s b b j b b b j b = i i is c i cij ci è è bs bsj bs ø ø m m ms è cm cmj cmø.3. 矩阵的乘法的性质 ( 设下列矩阵都可以进行有关运算 ) () (AB)C=A(BC); () l(ab)=( la)b=a(lb). ( 其中 l 为数 ); (3) (A+B)C=AC+BC; (4) C(A+B)=CA+CB..4 矩阵的转置.4. 矩阵的转置把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵, 叫做 A 的转置矩阵, 记作 A T..4. 矩阵转置的运算规律 : () (A T ) T =A; () (A+B) T =A T +B T ; (3) (la) T =la T ; (4) (AB) T =B T A T..5 对称矩阵设 A 为阶方阵, 如果满足 A T =A, 即 ij = ji (i, j=,,, ) 则称 A 为对称矩阵, 简称对称阵. 对称阵的特点是 : 它的元素以对角线为对称轴对应相等..6 方阵的行列式.6. 方阵的行列式由阶方阵 A 的元素所构成的行列式 ( 各元素的位置不变 ), 称为方阵 A 的行列式, 记作 A 或 deta..6. 方阵的行列式的运算律 : () A T = A ; () la =l A ; (3) AB = A B..7 方阵 A 的伴随矩阵行列式 A 的各个元素的代数余子式 A ij 所构成的如下方阵

8 æ A A A ö A* = A A A è A A Aø 称为矩阵 A 的伴随矩阵, 简称伴随阵..8 共轭矩阵.8. 共轭矩阵当 A=( ij ) 为复矩阵时, 用 ij 表示 ij 的共轭复数, 记 A= ( ij ). A 称为 A 的共轭矩阵..8. 共轭矩阵满足的运算律 ( 设 A B 为复矩阵, l 为复数, 且运算都是可行的 ): () A + B= A+ B; () l A = l A; (3) AB = A B. 3. 逆矩阵 3. 相关概念 3.. 逆变换给定一个线性变换 ìy = x + x+ + x ïy= x+ x+ + x í ï îy= x+ x+ + x 它的系数矩阵是一个阶矩阵 A=( ij ), 若记 æ yö æ xö x y X= *, Y =, B= A, A è x ø è y ø X=BY 表示一个从 Y 到 X 的线性变换, 称为线性变换 Y=AX 的逆变换. 3.. 逆矩阵对于阶矩阵 A, 如果存在阶矩阵 B, 使得 AB=BA=E, 则矩阵 A 是可逆的, 并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵, 简称逆阵逆阵的唯一性如果矩阵 A 是可逆的, 那么 A 的逆阵是唯一的. 3. 两个定理 3.. 定理若矩阵 A 可逆, 则 A ¹0. 奇异矩阵, 否则称 A 为非奇异矩阵. 3.. 定理若 A ¹0, 则矩阵 A 可逆, 且 - A = A*, A 其中 A* 为矩阵 A 的伴随矩阵. 推论若 AB=E( 或 BA=E), 则 B=A 逆矩阵的性质 () 若 A 可逆, 则 A - 亦可逆, 且 (A - ) - =A;

9 - () 若 A 可逆, 数 l¹0, 则 la 可逆, 且 ( l A) - = A ; l (3) 若 A B 为同阶可逆矩阵, 则 AB 亦可逆, 且 (AB ) - =B - A -. (4) 若 A 可逆, 则 A T 亦可逆, 且 (A T ) - =(A - ) T. 4. 分块矩阵及其运算 4. 分块矩阵将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵, 每一个小矩阵称为 A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 4. 分块矩阵的运算规则 4.. 分块矩阵的加法设矩阵 A 与 B 的行数相同列数相同, 采用相同的分块法, 有 æ A A rö æb B rö A =, B =, è As A srø è Bs Bsrø 其中 A ij 与 B ij 的行数相同列数相同, 那么 æ A+ B A r+ B rö A + B=. è As + Bs Asr+ Bsrø æ A A rö 4.. 分块矩阵的数乘设 A =, l 为数, 那么 è As Asrø æla la rö l A=. èlas lasrø 4..3 分块矩阵的乘法设 A 为 m l 矩阵, B 为 l 矩阵, 分块成 æ A A tö æb B rö A =, B =, è As A stø è Bt Btrø 其中 A i, A i,, A it 的列数分别等于 B j, B j,, B tj, 的行数, 那么 æc C rö AB =, ècs Csrø t ij =å k= 其中 C A B ( i=, L, s; j =, L, r). ik kj 4..4 分块矩阵的转置设 æ A A = è As A rö, 则 A srø

10 T T æ A ö As T A =. T T è A r Asrø 4.3 分块对角矩阵及其运算 4.3. 分块对角阵设 A 为阶矩阵, 若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即 æ A ö A A=, è A s ø 其中 A i (i=,,, s) 都是方阵, 那么称 A 为分块对角矩阵分块对角阵的行列式对于分块对角矩阵 æ A ö A A=, è A s ø 对于上述分块对角矩阵, 有 A = A A A s 分块对角阵的逆对于分块对角矩阵 æ A ö A A=, è A s ø 如果 A i ¹0(i=,, s), 则 A ¹0, 并有 - æ A ö - - A A =. - è A s ø 第三章矩阵的初等变换与线性方程组. 矩阵的初等变换. 矩阵的初等变换与等价.. 矩阵的初等行 ( 列 ) 变换下面三种变换称为矩阵的初等行 ( 列 ) 变换 : () 对调两行 ( 列 )( 对调 i, j 两行记作 r i «r j ; 对调 i, j 两列记作 c i «c j ); () 以数 k¹0 乘某一行 ( 列 ) 中的所有元素 ( 第 i 行乘 k 记作 r i k, 第 i 列乘 k 记作 c i k ); (3) 把某一行 ( 列 ) 所有元素的 k 倍加到另一行 ( 列 ) 对应元素上去 ( 第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作 r i +kr j, 第 j 列的 k 倍加到第 i 列上记作 c i +kc j ).

11 .. 矩阵等价如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 等价, 记作 A~ B.. 矩阵等价关系的性质 : () 反身性 A~A; () 对称性若 A~B, 则 B~A; (3) 传递性若 A~B, B~C, 则 A~C..3 标准形对行最简形矩阵再施以初等列变换, 可变成一种形状更简单的矩阵, 称为标准形. 其特点是 : 左上角是一个单位矩阵, 其余元素全为 0.. 初等矩阵. 相关概念.. 初等矩阵由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵... 三种初等变换与三种初等矩阵的对应. () 对调两行或对调两列把单位矩阵中第 i, j 两行对调 ( 第 i, j 两列对调 ), 得初等矩阵, 记为 E(i, j). () 以数 k¹0 乘某行或某列以数 k¹0 乘单位矩阵 E 的第 i 行 ( 列 ), 得初等矩阵, 记为 E(i(k)). (3) 以数 k 乘某行 ( 列 ) 加到另一行 ( 列 ) 上以数 k 乘单位矩阵 E 的第 j 行加到第 i 行上或以数 k 乘单位矩阵 E 的第 i 列加到第 j 列上, 得初等矩阵, 记为 E(ij(k)).. 初等矩阵与初等变换的关系定理设 A 是一个 m 矩阵. 对 A 施行一次初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵 ; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘以相应的阶初等矩阵..3 定理方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P, P,, P l, 使 A=P P P l. 推论方阵 A 可逆的充分必要条件是 A~ r E. 推论 m 矩阵 A 与 B 等价的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及阶可逆矩阵 Q, 使 PAQ=B..4 用初等变换求矩阵的逆的方法 ( A E) ¾¾ r ( E A - ) 3. 矩阵的秩 3. 相关概念 3.. k 阶子式在 m 矩阵 A 中, 任取 k 行与 k 列 (k m, k ), 位于这些行列交叉处的 k 个元素, 不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式, 称为矩阵 A 的 k 阶子式. 3.. 矩阵的最高阶非零子式与秩设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D, 且所有 r+ 阶子式 ( 如果存在的话 ) 全等于 0, 那么 D 称为矩阵 A

12 的最高阶非零子式, 数 r 称为矩阵 A 的秩, 记作 R(A). 并规定零矩阵的秩等于矩阵的等价于矩阵的秩定理若 A~B, 则 R(A)=R(B). 3.3 矩阵的秩的性质 () 0 R(A m ) mi{m, }; () R(A T )=R(A); (3) 若 A~B, 则 R(A)=R(B); (4) 若 P Q 可逆, 则 R(PAQ)=R(A). (5) mx{r(a), R(B)} R(A, B) R(A)+R(B), 特别地, 当 B=b 为列向量时, 有 R(A) R(A, b) R(A)+. (6) R(A+B) R(A)+R(B). (7) R(AB) mi{r(a), R(B)}. (8) 若 A m B l =O, 则 R(A)+R(B). 4. 线性方程组的解 4. 增广矩阵个未知数 m 个方程的线性方程组 ì x + x + + x = b ï x + x + + x = b í ï ï î mx + m x + + m x = bm 可以写成 Ax=b, 其中 A=( ij ), x=(x, x,, x ) T, b=(b, b,, b m ) T. 矩阵 B=(A b) 称为线性方程组的增广矩阵. 4. 线性方程组解的判断定理 4.. 定理元线性方程组 Ax=b () 无解的充分必要条件是 R(A)<R(A, b); () 有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A, b)=; (3) 有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A, b)<. 定理还可叙述为 : 线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 R(A)=R(A, b); 在有解的情况下, 若如 R(A)=R(A, b)=, 则有唯一解 ; 如果 R(A)=R(A, b)<, 则有无限多解. 注 : Ax=b 无解 ÛR(A)<R(A, b) 的几种等价叙述 : ()Ax=b 有解 ÛR(A)=R(A, b). ()Ax=b 无解 ÞR(A)<R(A, b), R(A)<R(A, b)þax=b 无解. (3)R(A)=R(A, b)þax=b 有解, R(A)<R(A, b)þax=b 无解. 4.. 定理线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 R(A)=R(A, b) 定理元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是 R(A)<, 4.3 矩阵方程判定定理 4.3. 定理矩阵方程 AX=B 有解的充分必要件是 R(A)=R(A, B).

13 4.3.3 定理矩阵方程 A m X l =0 只有零解的充分必要条件是 R(A)=. 4.4 矩阵相乘的秩定理设 AB=C, 则 R(C) mi{r(a), R(B)}. 第四章向量组的线性相关性. 向量组及其线性组合. 相关概念.. 维向量个有次序的数,,,, 所组成的数组称为维向量, 这个数称为该向量的个分量, 第 i 个数 i 称为第 i 个分量... 实向量复向量分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量...3 点空间几何中, 空间通常是作为点的集合, 即作为空间的元素是点, 这样的空间叫做点空间...4 三维向量空间我们把 3 维向量的全体所组成的集合 R 3 ={ r=(x, y, z) T x, y, zîr} 叫做三维向量空间. 类似地, 维向量的全体所组成的集合 R ={ x=(x, x,, x ) T x, x,, x ÎR} 叫做维向量空间. 维向量的集合 {x=(x, x,, x ) T x + x + + x =b } 叫做维向量空间 R 中的 - 维超平面...5 向量组若干个同维数的列向量 ( 或同维数的行向量 ) 所组成的集合叫做向量组...6 线性组合给定向量组 A:,,, m, 对于任何一组实数 k, k,, k m, 表达式 k + k + + k m m,, 称为向量组 A 的一个线性组合, k, k,, k m 称为这线性组合的系数...7 线性表示等价给定向量组 A:,,, m 和向量 b, 如果存在一组数 l, l,, l m, 使 b=l + l + + l m m, 则向量 b 是向量组 A 的线性组合, 这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示. 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价.. 向量组的线性表示与等价的判断.. 定理向量 b 能由向量组 A:,,, m 线性表示的充分必要条件是矩阵 A=(,,, m ) 的秩等于矩阵 B=(,,, m, b) 的秩, 即 R(A)=R(B)... 定理向量组 B: b, b,, b l 能由向量组 A:,,, m 线性表示的充分必要条件是矩阵 A=(,,, m ) 的秩等于矩阵 (A, B)=(,,, m, b, b,, b l ) 的秩, 即 R(A)=R(A, B). 推论向量组 A:,,, m 与向量组 B: b, b,, b l 等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A, B), 其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵...3 定理设向量组 B: b, b,, b l 能由向量组 A:,,, m 线性表示, 则 R(b, b,, b l ) R(,,, m ).. 向量组的线性相关性

14 . 线性相关线性无关给定向量组 A:,,, m, 如果存在不全为零的数 k, k,, k m, 使 k + k + + k m m =0, 则称向量组 A 是线性相关的, 否则称它线性无关.. 向量组线性相关性的判断定理.. 定理向量组,,, m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A=(,,, m ) 的秩小于向量个数 m; 向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)=m... 定理 () 若向量组 A:,,, m 线性相关, 则向量组 B:,,, m, m+ 也线性相关. 反之, 若向量组 B 线性无关, 则向量组 A 也线性无关. ()m 个维向量组成的向量组, 当维数小于向量个数 m 时一定线性相关. 特别地, + 个维向量一定线性相关. (3) 设向量组 A:,,, m 线性无关, 而向量组 B:,,, m, b 线性相关, 则向量 b 必能由向量组 A 线性表示, 且表示式是唯一的. 3. 向量组的秩 3. 最大线性无关向量组与向量组的秩设有向量组 A, 如果在 A 中能选出 r 个向量,,, r, 满足 () 向量组 A 0 :,,, r 线性无关 ; () 向量组 A 中任意 r+ 个向量 ( 如果 A 中有 r+ 个向量的话 ) 都线性相关, 那么称向量组 A 0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组 ( 简称最大无关组 ), 最大无关组所含向量的个数 r 称为向量组 A 的秩, 记作 R A. 3. 向量组的秩与矩阵的秩定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩. 推论 ( 最大无关组的等价定义 ) 设向量组 A 0 :,,, r 是向量组 A 的一个部分组, 且满足 () 向量组 A 0 线性无关 ; () 向量组 A 的任一向量都能由向量组 A 0 线性表示 ; 那么向量组 A 0 便是向量组 A 的一个最大无关组. 3.3 向量组的线性表示与向量组的秩定理向量组 b, b,, b l 能由向量组,,, m 线性表示的充分必要条件是 R(,,, m )=R(,,, m, b, b,, b l ). 定理若向量组 B 能由向量组 A 线性表示, 则 R B R A. 4. 线性方程组的解的结构 4. 齐次线性方程组的解的结构 4.. 基础解系齐次线性方程组的解空间的一组基称为该齐次线性方程组的基础解系. 4.. 齐次线性方程组的解的性质

15 () 若 x=x, x=x 为方程 Ax=0 的解, 则 x=x +x 也是 Ax=0 的解. () 若 x=x 为方程 Ax=0 的解, k 为实数, 则 x=kx 也是 Ax=0 的解定理设 m 矩阵 A 的秩 R(A)=r, 则元齐次线性方程组 Ax=0 的解集 S 的秩 R S =-r. 即其基础解系含有 -r 个解向量. 4. 非齐次线性方程组解的结构 4.3 非齐次线性方程组的解的性质. () 设 x=h 及 x=h 都是方程组 Ax=b 的解, 则 x=h -h 为对应的齐次线性方程组 Ax=0 的解. () 设 x=h 是方程组 Ax=b 的解, x=x 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=x+h 仍是方程组 Ax=b 的解. 4.4 非齐次线性方程组解的结构设 x=h 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解, x, x,, x -r 是其对应齐次方程组 Ax=0 的一组基础解系, 则 Ax=b 通解的形式为 x=h +k x +k x + +k -r x -r 5. 向量空间 5. 维向量空间维向量的全体所构成的集合 R 叫做维向量空间. 5. 向量空间设 V 为维向量的集合, 如果集合 V 非空, 且集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合 V 为向量空间. 5.3 子空间设有向量空间 V 及 V, 若 V ÌV, 就称 V 是 V 的子空间. 5.4 维数设 V 为向量空间, 如果 r 个向量,,, r ÎV, 且满足 (),,, r 线性无关 ; ()V 中任一向量都可由,,, r 线性表示, 那么, 向量组,,, r 就称为向量空间 V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V 为 r 维向量空间. 第五章相似矩阵及二次型. 向量的内积长度及正交性. 相关概念.. 内积设有维向量 x=(x, x,, x ) T, y=(y, y,, y ) T, 令 [x, y]=x y +x y + +x y,[x, y] 称为向量 x 与 y 的内积... 维向量的长度令 x = [ x, x] = x + x+ + x, x 称为维向量 x 的长度 ( 或范数 ). 当 x = 时, 称 x 为单位向量...3 规范正交基规范正交化设维向量 e, e,, e r 是向量空间 V(VÌ ) 的一个基, 如果 e, e,, e r 两两正交, 且都是单位向量, 则称 e, e,, e r 是 V 的一个规范正交基. 设,,, r 是向量空间 V 的一个基,

16 要求 V 的一个规范正交基. 这也就是要找一组两两正交的单位向量 e, e,, e r, 使 e, e,, e r 与,,, r 等价. 这样一个问题, 称为把,,, r 这个基规范正交化...4 正交矩阵如果阶矩阵 A 满足 A T A=E( 即 A - =A T ), 那么称 A 为正交矩阵, 简称正交阵. 向量组..5 正交变换若 P 为正交矩阵, 则线性变换 y=px 称为正交变换.. 施密特正交化方法设,,, r 是向量空间 V 中的一个基, 取 b=, [ b, b - = b, [ b, b ] ], b [ b, ] [ b, ] [ b, ]. = - r - r - - r- r r r b b br- [ b, b ] [ b, b] [ br-, br-] 容易验证 b, b,, b r 两两正交, 且 b, b,, b r 与,,, r 等价. 然后把它们单位化, 即取 b e=, b b 就是 V 的一个规范正交基. e = b,, er= br, b r.3 相关性质.3. 内积的性质 ( 其中 x, y, z 为维向量, l 为实数 ): ()[x, y]=[y, x]; ()[lx, y]=l[x, y]; (3)[x+y, z]=[x, z]+[y, z]; (4) 当 x=0 时, [x, x]=0; 当 x¹0 时, [x, x]>0..3. 向量长度的性质 () 非负性当 x¹0 时, x >0; 当 x=0 时, x =0; () 齐次性 l x =l x ; (3) 三角不等式 x+y x + y..3.3 定理若维向量,,, r 是一组两两正交的非零向量, 则,,, r 线性无关.. 方阵的特征值与特征向量

17 . 方阵的特征值与特征向量设 A 是阶矩阵, 如果数 l 和维非零向量 x 使关系式 Ax=lx 成立, 那么, 这样的数 l 称为方阵 A 的特征值, 非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 l 的特征向量.. 特征值的性质设阶矩阵 A=( ij ) 的特征值为 l, l,, l, 不难证明 ()l +l + +l = ; ()l l l = A..3 特征值与特征向量的求法对于方阵 A, 先据 A-lE =0 求出所有特征值, 然后针对各个特征值 l, 解齐次线性方程组 (A-lE)x=0 其通解中的向量即其所有的特征向量..4 定理设 l, l,, l m 是方阵 A 的 m 个特征值, p, p,, p m 依次是与之对应的特征向量, 如果 l, l,, l m 各不相等, 则 p, p,, p m 线性无关. 3. 相似矩阵 3. 相关概念 3.. 相似矩阵设 A, B 都是阶矩阵, 若有可逆矩阵 P, 使 P - AP=B, 则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似. 对 A 进行运算 P - AP 称为对 A 进行相似变换, 可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 3.. 对角化对阶矩阵 A, 寻求相似变换矩阵 P, 使 P - AP=L 为对角阵, 这就称为把方阵 A 对角化. 3. 相似矩阵的特征值定理若阶矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特征多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值亦相同. 推论若阶矩阵 A 与对角矩阵 L=dig(l, l,, l ) 相似, 则 l, l,, l 即是 A 的个特征值. 3.3 方阵可对角化的充分必要条件定理阶矩阵 A 与对角阵相似 ( 即 A 能对角化 ) 的充分必要条件是 A 有个线性无关的特征向量. 推论如果阶矩阵 A 的个特征值互不相等, 则 A 与对角阵相似. 4. 对称矩阵的对角化 4. 定理实对称矩阵的特征值为实数. 4. 定理设 l, l 是实对称矩阵 A 的两个特征值, p, p 是对应的特征向量. 若 l ¹l, 则 p 与 p 正交.

18 4.3 定理设 A 为阶实对称矩阵, 则必有正交阵 P, 使 P - AP=P T AP=L, 其中 L 是以 A 的个特征值为对角元的对角矩阵. 推论设 A 为阶实对称矩阵, l 是 A 的特征方程的 k 重根, 则矩阵 A-lE 的秩 R(A-lE)=-k, 从而对应特征值 l 恰有 k 个线性无关的特征向量. 4.4 定理属于不同的特征值的特征向量是线性无关的. 5. 二次型及其标准形 5. 相关概念 5.. 二次型含有个变量 x, x,, x 的二次齐次函数 f(x, x,, x )= x + x + + x + x x + 3 x x , x - x 称为二次型. 5.. 二次型的标准形若 f=k y +k y + +k y, 这种只含平方项的二次型, 称为二次型的标准形 ( 或法式 ) 二次型的规范形如果标准形的系数 k, k,, k 只在, -, 0 三个数中取值, 也就是 f=y +y + +y p -y p+- -y, 这种标准形称为二次型的规范形复二次型实二次型当 ij 为复数时, f 称为复二次型 ; 当 ij 为实数时, f 称为实二次型. 这里, 我们仅讨论实二次型, 所求的线性变换 x=cy 也限于实系数范围合同设 A 和 B 是阶矩阵, 若有可逆矩阵 C, 使 B=C T AC, 则称矩阵 A 与 B 合同. 5. 二次型的性质定理任给二次型 f=x T Ax, 总有正交变换 x=py, 使 f 化为标准形 f=l y +l y + +l y, 其中 l, l,, l 是 f 的矩阵 A 的特征值. 推论任给元二次型 f=x T Ax, 总有可逆变换 x=cz, 使 f(cy) 为规范形. 6. 用配方法化二次型成标准形 7. 正定二次型 7. 惯性定理设有二次型 f=x T Ax, 它的秩为 r, 有两个可逆变换 x=cy 及 x=pz 使 f= k y +k y + +k r y r (k i ¹0), 及 f= l z +l z + +l r z r (l i ¹0), 则 k, k,, k r 中正数的个数与 l, l,, l r 中正数的个数相等.

19 7. 正惯性指数负惯性指数二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数, 负系数的个数称为负惯性指数. 7.3 正定二次型与负定二次型设实二次型 f=x T Ax, 如果对任何 x¹0, 都有 f(x)>0( 显然 f(0)=0), 则称 f 为正定二次型, 并称对称阵 A 是正定的 ; 如果对任何 x¹0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称阵 A 是负定的. 7.4 定理二次型 f=x T Ax 为正定的充分必要条件是 : 它的标准形的个系数全为正, 即它的正惯性指数等于. 推论对称阵 A 为正定的充分必要条件是 : A 的特征值全为正. 7.5 定理 ( 霍尔维茨定理 ) 对称阵 A 为正定的充分必要条件是 : A 的各阶主子式都为正, 即 >0, > 0,, > 0; 对称阵 A 为负定的充分必要条件是 : 奇数阶主子式为负, 而偶数阶主子式为正, 即 (-) r r r > 0, (r=,,, ). rr 第六章线性空间与线性变换. 线性空间的定义与性质. 线性空间设 V 是一个非空集合, R 为实数域. 如果对于任意两个元素 bîv, 总有唯一的一个元素 gîv 与之对应, 称为与 b 的和, 记作 g=+b; 又对于任一数 lîr 与任意一元素 ÎV, 总有唯一的一个元素 dîv 与之对应, 称为 l 与的积, 记作 d=l; 并且这两种运算满足以下八条运算规律 ( 设, b, gîv; l, mîr): () +b=b+ ; () (+b)+g=+(b+g); (3) 在 V 中存在零元素 0, 对任何 ÎV, 都有 +0= ; (4) 对任何 ÎV, 都有的负元素 bîv, 使 +b=0; (5)=; (6) l(m)=(lm) ; (7)(l+m)=l+m ; (8) l(+b)=l+lb,

20 那么, V 就称为 ( 实数域 R 上的 ) 向量空间 ( 或线性空间 ), V 中的元素不论其本来的性质如何, 统称为 ( 实 ) 向量.. 线性空间的性质 : () 零元素是唯一的. () 任一元素的负元素是唯一的. 的负元素记作 -. (3) 0=0; (-)=-; l0=0. (4) 如果 l=0, 则 l=0 或 =0..3 子空间设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一个非空子集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间, 则称 L 为 V 的子空间..4 定理线性空间 V 的非空子集 L 构成子空间的充分必要条件是 : L 对于 V 中的线性运算封闭.. 维数基与坐标. 相关概念.. 基维数在线性空间 V 中, 如果存在个元素,,,, 满足 : (),,, 线性无关 ; ()V 中任一元素总可由,,, 线性表示, 那么,,,, 就称为线性空间 V 的一个基, 称为线性空间 V 的维数. 只含一个零元素的线性空间没有基, 规定它的维数为 0... 基的坐标设,,, 是线性空间 V 的一个基. 对于任一元素 ÎV, 总有且仅有一组有序数 x, x,, x 使 =x +x + +x, x, x,, x 这组有序数就称为元素在,,, 这个基下的坐标, 并记作 =(x, x,, x ) T...3 同构一般地, 设 V 与 U 是两个线性空间, 如果在它们的元素之间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的对应, 那么就说线性空间 V 与 U 同构. 3. 基变换与坐标变换 3. 基变换过渡矩阵设,,, 及 b, b,, b 是线性空间 V 中的两个基,

21 ìb = p + p + + p ïb= p + p + + p í, ï îb= p + p + + p 把,,, 这个有序元素记作 (,,, ), 利用向量和矩阵的形式, 上式可表示为 æbö æ p b p = èbø è p p p p p p p öæö = P øè ø T æö, èø æ p p p ö p p p ( b =, b,, b) (,,, ), è p p pø 或 (b, b,, b )=(,,, )P. 以上两式称为基变换公式, 矩阵 P 称为由基,,, 到基 b, b,, b 的过渡矩阵. 由于 b, b,, b 线性无关, 故过渡矩阵 P 可逆. 3. 定理设 V 中的元素在,,, 下的坐标为 X=(x, x,, x ) T, 在基 b, b,, b 下的坐标为 Y=(y, y,, y ) T. 若两个基满足关系式 æ xö æ yö x (b, b,, b )=(,,, )P, 则有坐标变换公式 y = P, 或 è xø è y ø æ yö y = P è y ø - x æ xö x, 即 X=PY, 或 Y=P - X. è ø 4. 线性变换 4. 相关概念 4.. 映射设有两个非空集合 A B, 如果对于 A 中任一元素, 按照一定的规则, 总有 B 中一个确定的元素 b 和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合 A 到集合 B 的映射. 4.. 像源源集像集设 ÎA, T( )=b, 就说映射 T 把元素变为 b, b 称为在映射 T 下的像, 称为 b 在映射 T 下的源. A 称为映射 T 的源集. 像的全体所构成的集合称为像集, 记作 T (A), 即

22 T(A)={b=T() ÎA}, 显然 T ( A) Ì B 线性变换设 V U m 分别是实数域上的维和 m 维线性空间, T 是一个从 V 到 U m 的映射, 如果映射 T 满足 () 任给, ÎV, ( 从而 + ÎV ), 有 T( + )=T( )+T( ); () 任给 ÎV, kîr, ( 从而 kîv ), 有 T(k)=kT(), 那么, T 就称为从 V 到 U m 的线性映射, 或称为线性变换. 4. 线性变换的性质 () T0=0, T(-)=-T ; () 若 b=k + k + + k m m, 则 Tb=k T + k T + + k m T m ; (3) 若,,, m 线性相关, 则 T, T,, T m 亦线性相关. (4) 线性变换 T 的像集 T(V ) 是一个线性空间 (V 的子空间 ), 称为线性变换 T 的像空间. (5) 使 T=0 的的全体 S T ={ ÎV, T=0}, 也是 V 的子空间. S T 称为线性变换 T 的核. 5. 线性变换的矩阵表示式 5. 相关概念 5.. 线性变换 T 在基,,, 下的矩阵设 T 是线性空间 V 中的线性变换, 在 V 中取定一个基,,,, 如果这个基在变换 T 下的像 ( 用这个基线性表示 ) 为 ìt ( ) = + ï T ( ) = + í ï ï ît ( ) = T( i )= i + i + + i (i=,,, ), 记 T(,,, )=(T( ), T( ),, T( )), 上式可表示为其中 æ A= è T(,,, )=(,,, )A, ö, ø 那么, A 就称为线性变换 T 在基,,, 下的矩阵. 5.. 线性变换的秩线性变换 T 的像空间 T(V ) 的维数, 称为线性变换 T 的秩. 5. 线性变换的性质,

23 定理设线性空间 V 中取定两个基,,, ; b, b,, b, 由基,,, 到基 b, b,, b 的过渡矩阵为 P, V 中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵依次为 A 和 B, 那么 B=P - AP. 作者 : 邹群发布网站 : 瀚海网 ( chy_zouzij@63.com 邮箱 :

6.3 正定二次型

6.3 正定二次型一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k