cos si A ; A si cos 解由于对任意点有 y y y y 确定的变换将任意一个点变成它关于轴对称的点见图.. 图.. 由于对任意点有 y y y = y y 确定的变换将任意一个点变成它关于直线 y 对称的点见图.. 图.. 由于对任意点有 y y y y 确定的

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性卑
7 years ago
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1 教案线形变换及其矩阵表示教学内容线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换它有着深刻的几何学和物理学背景是一个经常使用的数学工具在数学理论研究和实际应用中起着重要作用在这节中主要讲解以下几方面的内容 : 线性变换的概念乘积变换和可逆变换的概念 ; 线性变换的矩阵表示 ; 在不同基下的表示矩阵之间的关系 ; 在线性变换下坐标的变化情况教学思路和要求线性空间与线性变换这部分内容由于其抽象性较强所以首先要把其背景讲清楚再抽象其理论定义因此在教学安排上先从简单的几何变换入手引导学生理解线性变换的概念的深刻含义以及应有的形式线性变换的概念线性变换的矩阵表示是本节内容的重点 ; 线性变换在不同基下的表示矩阵之间的关系也是要求必须掌握的内容 ; 为了使学生理解线性变换的矩阵表示的方法可以先从向量空间上入手便于理解 ; 要通过例子来引导学生学会计算表示矩阵以及不同基下的表示矩阵之间的关系等教学安排一. 几个简单的几何变换复杂的几何变换可以归结为简单的几何变换的累积而任何几何图形的变换说到底是点的变换我们先从 R 谈起容易发现若给定了一个矩阵 A 则对平面上任意点即向量通过矩阵与向量的乘法运算 y A y y 可以唯一确定了平面上的一点可以看成是由经过某种变换得到的点而这个变换的规律显然由矩阵 A 所确定例.. 问以下矩阵对 R 上的任意点由 A i 确定了什么样的变换? A ; A ; A ; i

2 cos si A ; A si cos 解由于对任意点有 y y y y 确定的变换将任意一个点变成它关于轴对称的点见图.. 图.. 由于对任意点有 y y y = y y 确定的变换将任意一个点变成它关于直线 y 对称的点见图.. 图.. 由于对任意点有 y y y y 确定的变换将任意一个点变成在它与原点连线上与原点距离伸缩为倍的点当时与在原点同侧 ; 当时点在原点另一侧 ; 当图.. 为原点见图.. r cos 对任意点将其记为则有 y r si y cos si r cos A y si cos r si rcoscos si si rsicos cos si 图.. r cos r si 确定的变换将任意一个点绕原点旋转了角度的点见图.. y 由于对任意点有 y y 确定的变换将任意一个点变成它在轴上的投影点见图.. 图.. 在上面的讨论中变换由矩阵 A 确定因此称 A

3 为变换矩阵其中 A 与 A 确定的变换称为反射变换或镜像变换 A 确定的变换称为相似变换称为相似比而 A 确定的变换称为旋转变换 A 确定的变换称为射影变换它们都属于最简单的几何变换从这几个具体例子容易归纳出 : 设和都是平面上的点若对它们的线性组合作上述变换可以先对和作上述变换后再线性组合即 Ai = Ai A i 也就是说由矩阵确定的变换都满足线性运算规则如需要先将关于直线 y = 作对称再旋转角度则有 cos si cos si si cos si cos 也就是说由矩阵确定的变换可以复合复合的变换矩阵恰是各个变换矩阵的乘积有些变换可以通过相反的过程再变换回去即变换是可逆的有些则不可逆如上面由 A A 确定的变换都是可逆的而 A 确定的变换不可逆而通过观察发现恰恰 A A 都是可逆矩阵而 A 是不可逆矩阵因而可以设想若矩阵 A 不可逆那么 A 确定的变换不可逆 ; 若 A 可逆那么 A 确定的变换可逆且确定逆变换的矩阵正是 A 显然借助矩阵会给讨论问题带来很大方便于是自然要问既然有一个矩阵就决定了一个变换那么什么样的变换才可以通过矩阵来表示? 进一步这样的变换有哪些更一般的性质? 下面来回答这些问题二. 线性变换及其矩阵表示定义.. 设 UV 是 K 上的线性空间 K 为 R 或 C A 是 U 到 V 的映射即对于任意 U 存在唯一的像 zv 使得 A = z 若 A 满足线性性质即对于任意 y U 及 K 成立 A + y = A + A y 则称 A 为线性空间 U 到 V 上的一个线性变换特别地从线性空间 U 到其自身的线性变换称为 U 上的线性变换显然例.. 中的五个变换都是 R 上的线性变换几个最简单的线性变换是 : 线性空间 U 上的恒等变换单位变换 I: 对于任意 UI = 线性空间 U 到 V 上的零变换 : 对于任意 U = d 例.. 证明求导运算 D = d 是 P 的上的线性变换证对与 P 中的任意元素 p p p 是不超过次的多项式于是 Dp d = [ p ] 是不超过次的多项式即 Dp P d 对于任意 p q P 及 R 由求导运算法则 D p+ q = d p q d

4 由定义 D 是 P 上的线性变换 = d d [ p ] + [ q ] = Dp+ D q d d b 例.. 求定积分运算 L f f d是 C [ b] 到 R 上的线性变换实际上 L 的线性性质就是定积分的线性性质例.. 设映射 A : R R 定义为则对于 R 有 A 显然当且时因此 A 不是线性变换定义.. 设 A 是线性空间 U 到 V 的线性变换 B 是线性空间 V 到 W 上的线性变换称复合变换 BA U 为 B 和 A 的乘积变换记为 BA 显然 BA 是 U 到 W 上线性变换定义.. 设 A 是 U 上的线性变换若存在 U 上的线性变换 B 使得 BA = AB = U 即 BA 和 AB 都是恒等变换则称 A 是可逆变换 B 称为 A 的逆变换记为 B= A 线性变换有下列性质其证明作为习题留给读者 : 定理.. 设 A 是线性空间 U 到 V 上的任意一个线性变换则成立 A = A A ; k k 若 } 是 U 中一组线性相关的向量则 A 也是 V 中一组线性 j j j} j 相关的向量 ; 将 U 中所有向量在线性变换 A 下的象记为 A U 即 A U = yv y = A U } 则 A U 是 V 的线性子空间称为 A 的象空间 ; 将 V 中零向量在线性变换 A 下的原象记为 NA 即 NA = U A = } 则 NA 是 U 的线性子空间称为 A 的核空间 k 注意在定理.. 的中若 } 是 U 中一组线性无关的向量则 A k j } j j j 不一定是 V 中一组线性无关的向量事实上零变换就是这样例.. 线性变换 A : R R 定义为 A 求 NA 和 A R 解等价于其解为. c /

5 其中 c 为任意常数因此 NA c / c R} 对于任意 y y R 由于线性方程组 y y y 的增广矩阵与系数矩阵的秩皆为所以它有解这说 y 明 A 为满射即 A R R 下面讨论线性变换与矩阵的关系下面的所提到的 R 中的向量皆指列向量由例.. 不难推断任意一个矩阵 A 必确定 R 到 R 上的一个线性变换 A 事实上这个线性变换 A 可以如下定义 : A R 为反之若 A 是 R 到 R 上的线性变换则存在矩阵 A 使得 A R 事实上若分别记 R 和 R 上的自然基为 } 和 } 因 i R 记 i i i i A i i i i i i i 并记矩阵 A 则对于 R 有 A. 那么一般有限维线性空间之间的线性变换与矩阵有什么联系呢? 设 } 和 b } 分别是维线性空间 U 和维线性空间 V 中的一组基 A i i j j 是 U 到 V 上的线性变换设 U 中向量用 i 表示的形式为两边作用线性变换 A 由线性变换的性质得这就是说线性变换由其对一组基的变换规律完全决定由于对于 i i V 因此它可以用基 b } 线性表示记 j j

6 于是若记则所以 i i i b b b i i A A b b b b b b A b b b A 这就是说线性变换 A 由矩阵 A= ij 唯一确定称 A 为线性变换 A 在基 } 和 b } 下的表示矩阵顺便地我们得到 : 当在基 } 下的坐标 i i j j 为时 A 在基 b j} j i i 下的坐标便是 A 特别地当 U 和 V 分别为 R 和 R 时且基都取为自然基时便从以上讨论得到 : 例..6 设 R 上的线性变换 A 将任意给定的向量绕原点逆时针旋转角度求 A 在自然基 } 下的表示矩阵 cos si 解绕原点逆时针旋转角度后坐标分别是和见图 si cos..6 即 cos si = si cos y 所以旋转变换 A 在自然基 } 下的表示矩阵为 cos si A si cos 由于任意向量在自然基 } 下的坐标 y 就是它的分量因此它经过变换 A 后 A 在图..6 }

7 下的坐标是 cos si A y si cos y 这就是例.. 的结果三. 不同基下表示矩阵的关系为叙述简洁起见下面只讨论线性空间到其自身的线性变换设 A 是维线性空间 U 上的线性变换 } 是 U 的一组基由前面所述 i i A 在这组基下的表示矩阵是指满足 A 的矩阵 A 它是一个阶方阵作为前面讨论的特例可知 : 如果在基的坐标为则 A 的坐标是 A i 下显然有限维线性空间上的恒等变换在任意基下的表示矩阵都是单位矩阵 ; 零变换在任意基下的表示矩阵都是零矩阵下面的定理说明了有限维线性空间上的线性变换在不同的基下的表示矩阵的关系定理.. 设 A 是维线性空间 U 上的任意一个线性变换 } 和 b } 是 U 的两组基从 i 到 b i 的过渡矩阵为若 A 在基表示矩阵分别是 A 和 B 则成立 B A 证 A 在基 } 和 b } 下的表示矩阵分别是 A 和 B 即和而从 i 到 i i i i A A b b i 的过渡矩阵为即 b b b b b b b b B i i i i i和 b i 下的对每个 b i 作线性变换 A 利用 A 的线性性质并注意到是可逆矩阵由上式得因此 b b b A b b b A B A 下表列出在 U 上的线性变换 A 下 U 的向量的坐标变化情况 : 在基 i 下的坐标在基 b i ξ ξ A Aξ Aξ 例..7 在 P 中考虑求导运算 A A 下的坐标 d A 由于在基 } 下 d A A 证毕

8 A 以及因此它在基下的表示矩阵应为 A B 可以直接计算 A A A A 我们已经知道 P 中元素 p = 在基 } 下的坐标是 ξ 则在下的坐标是 ξ 7 在求导后 p A 在 } 下的坐标为 Aξ 6 则在下的坐标为 B A ξ ξ 另一方面通过直接计算有

9 A p 这与利用坐标向量计算的结果一致四. 相似矩阵与相似变换定义.. 设 A 和 B 是同阶方阵若存在同阶可逆方阵使得 B A 则称 A 和 B 是相似矩阵简称 A 和 B 相似记作 A B 显然相似矩阵具有相同的行列式将 A 变为 A 称为对 A 作相似变换定理.. 告诉我们线性空间 U 上同一个线性变换在任意两组基下的表示矩阵必定相似反过来可以证明如果线性空间上线性变换 A 在一组基下的表示矩阵为 A 矩阵 B 与 A 相似则必有线性空间的另一组基 A 在这组基下的表示矩阵为 B 那么很自然地要问对一个给定的线性变换 A 能否找出 U 的一组基使 A 在这组基下的表示矩阵尽可能简单? 由于最简单的表示矩阵是对角阵因此上面的问题等价于 : 对于任意一个给定的方阵能否找到同阶可逆方阵使得 A 是对角阵或者至少是块对角阵? 这是我们在下一节要讨论的问题五. 习题. 67

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<4D F736F F D20B5DACAAED5C220CBABCFDFD0D4BAAFCAFDA3A8BDB2D2E5A3A92E646F63> 高等代数第十章双线性函数第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V

cos si A ; A si cos 解 由于对任意点 有 y y y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于 轴对称 的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y = y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于直线 y 对称的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y y 确定的

cos si A ; A si cos 解由于对任意点有 y y y y 确定的变换将任意一个点变成它关于轴对称的点见图.. 图.. 由于对任意点有 y y y = y y 确定的变换将任意一个点变成它关于直线 y 对称的点见图.. 图.. 由于对任意点有 y y y y 确定的