第三章自考线性代数精讲

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尉乌雅
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1 第一节 n 维向量 l n 维向量的概念 l n 维向量的表示方法 l l 小结思考题 6//

2 一 n 维向量的概念定义 n 个有次序的数 n 所组成的数组称为 n维向量这 n个数称为该向量的 n个分量第 i个数 i 称为第 i个分量分量全为实数的向量称为实向量分量全为复数的向量称为复向量 6//

3 例如 n n 维实向量 i i n n i n 维复向量第个分量第个分量第 n 个分量 6//

4 二维向量的表示方法 n维向量写成一行称为行向量也就是行 T T 矩阵通常用 T T β 等表示如 : T 6// n n n维向量写成一列称为列向量也就是列矩阵通常用等表示如 : β n

5 注意行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 ; 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算 ; 当没有明确说明是行向量还是列向量时都当作列向量 6//

6 三解析几何既有大小又有方向的量向 n 坐量线性代数有次序的实数组成的数组几何形象 : 可随意平行移动的有向线段标系代数形象 : 向量的坐标表示式 T n 6//

7 解析几何点空间 : 点的集合几何形象 : 空间直线曲线空间平面或曲面空 n 坐标系间线性代数 : 向量的集合代数形象 : 中的平面 { } x y z x y cz d { r x y cz d} T x y z P x y z 一一对应 r x y z T 6//

8 n > 时 n 维向量没有直观的几何形象 R n { T x R} n n x x x x x x 叫做 n维 { T x x } n n n π x x x x 叫做 n维中的 n 维超平面 R n x 6//

9 n 维向量的实际意义确定飞机的状态需要以下 6 个参数 : 机身的仰角 π π ϕ ϕ 机翼的转角 ψ π < ψ π 机身的水平转角 θ θ < π 飞机重心在空间的位置参数 Pxyz 所以确定飞机的状态需用 6 维向量 x y z ϕ ψ θ 6//

10 课堂讨论在日常工作学习和生活中有许多问题都需要用向量来进行描述请同学们举例说明 6//

11 四小结 n维向量的概念实向量复向量 ; 向量的表示方法 : 行向量与列向量 ; : 解析几何与线性代数中向量的联系与区别的概念 ; 4 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用 6//

12 思考题若一个本科学生大学阶段共修 6 门课程成绩描述了学生的学业水平把他的学业水平用一个向量来表示这个向量是几维的? 请大家再多举几例说明向量的实际应用 6//

13 思考题解答答 6 维的如果我们还需要考察其它指标比如平均成绩总学分等维数还将增加 6//

14 第二节向量组的线性相关性 6//

15 一向量向量组与矩阵若干个同维数的列向量或同维数的行向量所组成的集合叫做向量组例如矩阵 ij 有 n个维列向量 n j n j n j n " " " " " " j n 向量组 n 称为矩阵的列向量组 6//

16 类似地矩阵 " i " " i " ij n n T " " n in n 又有个 n维行向量 T T i T 向量组 T T T 称为矩阵的行向量组 6//

17 反之由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵个 n维列向量所组成的向量组构成一个构成一个 n矩阵个 n维行向量所组成 T T T β 的向量组 β β n矩阵 B β β β T T T 6//

18 6// 第三章 x x x n n 线性方程组的向量表示 x x x x x x x x x n n n n n n 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应

19 定义组实数 k 给定向量组 : 对于任何一 k k k 向量称为向量组的一个线性组合 k k k称为这个线性组合的系数 k k 6//

20 给定向量组一组数 λ λ λ 使 : 和向量如果存在 λ λ λ 则向量是向量组的线性组合这时称向量能由向量组线性表示有解即线性方程组 x x x 6//

21 定理向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵 B 的秩定义设有两个向量组 : 的秩等于矩阵及 B : β β β 若 B组中的每个向量都能由向量组线性表示则称向量组 B能由向量组线性表示若向量组与向量组 B能相互线性表示则称这两个向量组等价 s 6//

22 6// 第三章使在数存线性表示即对每个向量能由和若记 j j j j s k k k s j B B j j j j k k k j j j k k k "

23 从而 s k k k " k k k " k k k s s " s 矩阵 K s k 称为这一线性表示的系数矩阵 ij 6//

24 6// 第三章矩阵 : 为这一表示的系数的列向量组线性表示矩阵的列向量组能由则矩阵若 B C B C n s s n sn s s n n s n k k c c c " " "

25 6// 第三章 T s T T s s s T T T β β β γ γ γ " " " 为这一表示的系数矩阵 : 的行向量组线性表示的行向量组能由同时 B C

26 设矩阵经初等行变换变成 B 则 B的每个行向量都是的行向量组的线性组合即 B的行向量组能由的行向量组线性表示由初等变换可逆性可知的行向量组能由 B的行向量组线性表示于是的行向量组与 B的行向量组等价类似若矩阵经初等列变换变成 B 则的列向量组与 B的列向量组等价 6//

27 对方程组的各个方程做线性运算所得到的一个方程就称为方程组的一个线性组合 ; 若方程组 B的每个方程都是方程组的线性组合就称方程组 B能由方程组线性表示这时方程组的解一定是方程组 B的解 ; 若方程组与方程组 B能相互线性表示就称这两个方程组等价等价的方程组一定同解 6//

28 6// 第三章 : k k k k k k 使全为零的数如果存在不给定向量组注意成立时才有线性无关则只有当若 n n n n λ λ λ λ λ 线性相关对于任一向量组不是线性无关就是定义二线性相关性的概念则称向量组是线性相关的否则称它线性无关

29 向量组只包含一个向量时若线性相关若则说线性无关则说量共面 4 包含零向量的任何向量组是线性相关的 5 对于含有两个向量的向量组它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例几何意义是两向量共线 ; 三个向量相关的几何意义是三向 6//

30 三线性相关性的判定定理向量组当时线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示证明充分性设中有一个向量比如能由其余向量线性表示即有 λ λ λ 6//

31 故 λ λ λ λ λ λ 因这个数不全为故线性相关必要性设线性相关则有不全为的数 k k k 使 k k k 6//

32 k k k 因中至少有一个不为不妨设 k 则有 k k k k k k 即能由其余向量线性表示证毕 6//

33 线性相关性在线性方程组中的应用若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时这个方程就是多余的这时称方程组各个方程是线性相关的 ; 当方程组中没有多余方程就称该方程组各个方程线性无关或线性独立结论 x 向量组线性相关就是齐次线性方程组 x 有非零解其中 x 即 x 6//

34 定理向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数 ; 向量组线性无关的充分必要条件是 R 证明略下面举例说明定理的应用 6//

35 例 n 维向量组 T T T e e e 称为 n 维单位坐标向量组讨论其线性相关性解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E e e en 是 n阶单位矩阵由 E 知 R E n 即 R E 等于向量组中向量个数故由定理知此向量组是线性无关的 n 6//

36 6// 第三章的线性相关性及试讨论向量组解即可得出结论的秩利用定理及成行阶梯形矩阵可同时看出矩阵施行初等行变换变对矩阵已知例分析

37 6// 第三章 ~ 5 r r 线性无关向量组线性相关 ; 向量组可见 R R 7 5 ~ r r ~ r r r r 5 5

38 6// 第三章线性无关试证线性无关已知向量组例 x x x x x 设有 x 使 x x x 即 x x x x x 亦即 x 线性无关故有因 x x x x x x 证

39 由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解线性无关 x x x 所以向量组 6//

40 6// 第三章 : 也线性无关线性无关则向量组量组也线性相关反言之若向向量组线性相关则 : 若向量组 B B 定理设 j j r rj j j j rj j j j " "

41 即添上一个分量后得向量 j 线性无关则向量组 B: 于向量个数时一定线性相关 4 设向量组 : j 若向量组 : 也线性无关反言之若向量组 B线性相关则向量组也线性相关个 n维向量组成的向量组当维数 n 小组 B : 线性相关则向量线性表示且表示式是唯一的线性无关而向量必能由向量组 6//

42 证明记 B 有 R B R 若向量组线性相关则根据定理有 R < 从而 R B R < 因此根据定理知向量组 B线性相关说明结论可推广为 : 一个向量组若有线性相关的部分组则该向量组线性相关特别地含有零向量的向量组必线性相关反之若一个向量组线性无关则它的任何部分组都线性无关 6//

43 记 r B r 有 R R B 若向量组线性无关则 R 从而有 R B 但 R B 因 B 只有故 R B 因此向量组 B线性无关列说明结论是对增加一个分量即维数增加维而言的若增加多个分量结论也成立 6//

44 6// 第三章线性相关个向量故则若有构成矩阵维向量个 n R n n R n < < ; 4 B R B R B R B R B R R B < < 即有所以组线性相关有因组线性无关有因有记线性表示且表示式唯一组能由向量有唯一解即向量知方程组由 x B R R

45 向量向量组与矩阵之间的联系线性方程组的向量表示 ; 线性组合与线性表示的概念 ; 线性相关与线性无关的概念 ; 线性相关性在线性方程组中的应用 ; 重点线性相关与线性无关的判定方法 : 定义两个定理难点 6//

46 第三节向量组的秩 l 一最大线性无关向量组 l 二矩阵与向量组秩的关系 l 三向量组秩的重要结论 l 四小结 6//

47 一最大线性无关向量组定义 6// 设有向量组如果在中能选出 r个向量 r 满足向量组 : r线性无关 ; 向量组中任意 r 个向量如果中有 r 个向量的话都线性相关那末称向量组是向量组的一个最大线性无关向量组简称最大无关组 ; 最大无关组所含向量个数 r称为向量组的秩只含零向量的向量组没有最大无关组规定它的秩为

48 二矩阵与向量组秩的关系定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩也等于它的行向量组的秩证设 R r 并设 r阶子式 Dr 根据 4定理由 D r 知所在的 r列线性无关 ; 又由中所有 r 阶子式均为零知中任意 r 个列向量都线性相关因此所在的 r列是的列向量的一个最大无关组所以列向量组的秩等于 r 类似可证的行向量组的秩也等于 R D r 6//

49 向量组的秩也记作 R 结论若 D r 是矩阵的一个最高阶非零子式则 D 所在的 r列即是列向量组的一个最大无关组 D 所在的 r行即是行向量组的一个最大无关组说明最大无关组不唯一 ; 向量组与它的最大无关组是等价的 r r 6//

50 6// 第三章设矩阵例属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示求矩阵的列向量组的一个最大无关组并把不

51 解对施行初等行变换变为行阶梯形矩阵知 R 初等行变换 ~ 4 故列向量组的最大无关组含个向量而三个非零行的非零首元在三列 4 故 4 为列向量组的一个最大无关组 6//

52 6// 第三章线性无关故知 4 4 R 4 5 成行最简形矩阵再变线性表示必须将用要把 4 事实上初等行变换 ~

53 6// 第三章 4 ~ 初等行变换即得

54 三向量组秩的重要结论定理设向量组 B能由向量组线性表示则向量组 B的秩不大于向量组的秩证向量组的一个最大无关组为 r 6// 设向量组 B的一个最大无关组为 B s 因 B 表示组能由组线性表示故 B 组能由组线性表示即存在系数矩阵 K k 使得 : : s r 要证组能由 B组线性表示 B组能由组线性 sr ij

55 6// 第三章 sr s r s r k k k k " " 有非零解因简记为则方程组如果 r s K R Kx x x K s r r sr < > 有非零解从而方程组 Kx s 即有非零解 x r s r s r B > 不能成立所以线性无关矛盾因此组这与

56 推论等价的向量组的秩相等证设向量组与向量组 B的秩依次为 s和 r 因两个向量组等价即两个向量组能相互线性表示故 s r与 r s同时成立所以 s r 推论设 C n sbs n 则 R C R R C R B 证设矩阵 C和用其列向量表示为 C c c n s 而 B ij 6//

57 由 c cn s " s 知矩阵 C的列向量组能由的列向量组线性表示因此 R C R T T T 因 C B 由上段证明知 R C 即 R C R B 思考定理与推论有什么异同? T n " sn R B T 6//

58 推论设向量组 B是向量组的部分组若向量组 B线性无关且向量组能由向量组 B线性表示则向量组 B是向量组的一个最大无关组证设向量组 B 含 r个向量则它的秩为 r 因组能由 B组线性表示故组的秩从而组中任意 r 个向量线性相关 r 所以向量组 B 满足定义所规定的最大无关组的条件 6//

59 例设向量组 B能由向量组线性表示且它们的秩相等证明向量组与向量组 B等价证一只要证明向量组能由向量组 B线性表示设两个向量组的秩都为 r 并设组和 B组的最大无关组依次为 : r和 B : r 因 B组能由组线性表示故 B组能由组线性表示即有 r阶方阵使 K r r K r r 6//

60 因 B 组线性无关故 R r r 根据定理推论有 R K r R r 但 R K r 因此 R K r r r r 于是矩阵 K r 可逆并有即组能由 B组线性表示从而组能由 B组线性表示 r r K r 6//

61 6// 第三章个向量含组的最大无关组故组的秩为又因 r B B r B 组线性表示组总能由组的部分组故组是而 B B 证二 r B 的秩都为和设向量组组线性表示能由成的向量组组合并而组和组线性表示故组能由因 B B B r B B 组的秩也为组等价因此组与所以组等价组与而从组的最大无关组组也是因此 B B B B

62 6// 第三章 ; 的最大无关组都是向量组与性表示的系数矩阵可逆证法二实质上是证明线用等价证法一证明与们的最大无关组等价转换为证明它与本例把证明两向量组 B B B B B 组等价与组等价推知与组等价组与由 B B B B 注意

63 6// 第三章已知例 4 等价与证明向量组

64 6// 第三章 Y X Y X 使要证存在阶方阵证明先求 X 施行初等行变换变为行最简形矩阵 : 阵类似于线性方程组求解的方法对增广矩

65 6// 第三章 ~ r r

66 6// 第三章 ~ r r r r 4 r r ~

67 6// 第三章 ~ r r r r r 4 r r ~ ~ r r r r r 4 r r ~

68 6// 第三章 5 ~ r r r 4 r r ~

69 6// 第三章 5 5r r 4 r r ~ r r r ~

70 6// 第三章 X 等价与此向量组即为所求因可逆取知因 X Y X X ~ 初等行变换即得

71 四小结最大线性无关向量组的概念 : 最大性线性无关性矩阵的秩与向量组的秩的关系 : 矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩关于向量组秩的一些结论 : 一个定理三个推论 4 求向量组的秩以及最大无关组的方法 : 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵然后进行初等行变换 6//

72 思考题比较教材例 7 的证法一二三并总结这类题的证法 6//

73 思考题解答证法一根据向量组等价的定义寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵 ; 证法二利用经初等列变换矩阵的列向量组等价经初等行变换矩阵的行向量组等价这一特性验证是否有相同的行最简形矩阵 ; 证法三直接计算向量组的秩利用了向量组的最大线性无关组等价这一结论 6//

74 第五节一的概念二子空间三的基与维数 6//

75 一的概念 n 定义设 V 为维向量的集合如果集合 V非空且集合 V对于加法及乘数两种运算封闭那么就称集合 V为说明集合 V对于加法及乘数两种运算封闭指若 V β V 则 β V; 若 V λ R 则 λ V n n维向量的集合是一个记作 R 6//

76 例维向量的全体 R 是一个因为任意两个维向量之和仍然是维向量数 λ乘维向量仍然是维向量它们都属于 R 类似地 n维向量的全体 R n 也是一个 6//

77 例齐次线性方程组的解集 S { x x θ } 是一个 S { x x θ } 称为 x θ 的解空间例非齐次线性方程组的解集 S { x x } 不是一个 6//

78 例 4 判别下列集合是否为 V { T x x x x x R} n 解 V 是因为对于 V 的任意两个元素 n T T β n n V 有 n n V β T λ λ λ n V T 6//

79 例 5 判别下列集合是否为 V { T x x x x x R} n n 解 V 不是因为若 T n V 则 T n V 6//

80 例 6 设为两个已知的 n维向量集合 V { } x λ µ λ µ 试判断集合是否为解 V x λ µ 则有是一个因为若 x λ µ x x λ λ µ µ V kx kλ kµ V 这个称为由向量所生成的 R 6//

81 6// 第三章 { } R x V λ λ λ λ λ λ 间由向量组所生成的向量空一般地为 { } { } V V R x V R x V s s s s 试证 : 记等价与向量组设向量组 µ µ µ µ µ µ λ λ λ λ λ λ 例 7

82 证设 x V 则 x可由线性表示因可由 s线性表示故 x可由线性表示所以 x V s 这就是说若 x V 则 x V 因此 V V 类似地可证 : 若 x V 则 x V 因此 V V 因为 V V V V 所以 V V 6//

83 二子空间定义设有 V 及 V 若 V V 就说是的子空间实例 V 显然 V V 设 V是由 n维向量所组成的 R n 所以 V总是 R n 的子空间 6//

84 三的基与维数定义设 V是如果 r 个向量 r V 且满足 r 线性无关 ; V中任一向量都可由 r 线性表示 r V 那末向量组就称为向量的一个 r V r 基称为 V的维数并称为维向量空间 6//

85 V 说明 6// 第三章只含有零向量的称为维因此它没有基若把 V 看作向量组那末 V 的基就是向量组的最大无关组 V 的维数就是向量组的秩若向量组是的一 r V 个基则 V 可表示为 x λ λ λ λ λ r r { } 称为由向量组 r所生成的 r R

86 坐标第三章设 r 是 V 的一组基若 x V 有 x λ λ λ r r 则数组的坐标 λ λ λr 称为向量 x 关于基 r 坐标组合系数 6//

87 4 e e e n 是 R n 的自然基任意 n 个线性无关的 n 维向量都是的 R n 一个基例 :R 的秩为 e e e 为其一组线性无关向量故 eee是 R 的一组基 T T 也是 R 的一组线性无关的向量也可作为 R 的一组基 T 6//

88 五基变换公式坐标变换公式第三章以 R 为例 : 基变换 : 设 ; 为 R 的一组基为 R的一组新基则 P-----旧基到新基的过渡矩阵坐标变换 : P---旧基到新基的基变换公式 P B 设 x 在旧基下的坐标为 y y y 在新基下的坐标为 z z z 6//

89 y z 则 x y B z y z z y y z B y P y z y y 旧基到新基的坐标变换式 6//

第二节向量组的线性相关性

第二节向量组的线性相关性第二节向量组的线性相关性一维向量组的线性相关性若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组. 定义. 设有维向量组 m 若存在不全为零的数 c c c m 使得 c c c m m 0 则称向量组 m 线性相关否则称向量组 m 线性无关. 当向量组线性无关时也称这个向量组是线性无关 ( 向量 ) 组. 由定义. 可知 m 线性无关的充分必要条件是 : 成立当且仅当 c=c= =cm=0 c