悖论

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1 年 月总第 8 期 数学方法与数学思想 编辑点评 数学与哲学都是研究最普遍的事物的 但是研究的角度 目的 方法 过 程和成果并不一样 所以两者之间有联系也有区别 该文通过对像 先有鸡 还是先有蛋 这样一些通俗又典型的例子 说明数学家与哲学家对于同一 个问题思维和处理的方式如何不同 便于读者形象地理解文中的论点 文 章的论述比较恰当 准确 深刻 写作也通顺流利 是一篇可读性较强的 文章 值得读者体会和学习 数学思维与哲学思维漫谈 侍世磊 生命科学学院 生物科学专业 4 刘卓然 数学科学学院 数学类 4 摘 要 本文通过简单而经典的例子 说明数学思维与哲学思维的区别与联系 及 怎样将二者合理运用解决问题 关键词 思维 数学思维 哲学思维 思维是人脑对客观事物的本质及其内在规律性联系的概括和间接地反映 思维有两 个最显著的特征 一是概括性 二是间接性 数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照 一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动 哲学思维方式指的是人们认识 改造 客观世界时所运用的具有哲学特征的思维方法 当我们面对一个具体问题时 一种 好的思维方式往往会决定我们解决问题的成败 而在思维世界中 数学思维和哲学 思维无疑是十足神奇和神秘的 那么数学思维和哲学思维究竟有什么样的联系与区 别 当面对同一个问题时二者的解决方法分别是什么 当二者同时作用于同一个问 题时又会产生什么样的效果呢 我们先来看两个经典问题 先有鸡还是先有蛋的问题组织 我们先来看看哲学家是怎么解决这个问题的 3 世纪的经院哲学家 被罗马教 皇封为 神学之王 的托马斯 曾提出过关于上帝存在的五种 证明 其中一种 证 明 是 任何结果总有原因 其原因又是其它原因的结果 以此类推 必有一个最 初的原因 这就是上帝 按照托马斯的逻辑 先有鸡还是先有蛋的问题只能这样解 决 上帝造出了第一个鸡 因而先有鸡 这算是一种哲学方面的解决方式 如果我们 抛开子虚 乌有 的上帝 从 科学的角 度 分析 是先 有鸡还是 先 有鸡蛋 呢 只从逻辑上讲 可能没有答案 例如 最小的整数是奇数还是偶数 就没有 答案 因为没有最小的整数 能不能说 鸡与鸡蛋 像偶数和奇数一样 没有最先 的呢 这不行 我们已经知道 地球上本来没有生物 也没有鸡和鸡蛋 它们是在 自然界发展中出现的 应该有一前一后 对于这样的问题 数学思维方式是问一问什么是鸡 什么是鸡蛋 它们之间有 什么联系 如果生物学家无法判断什么是鸡 当然也无法回答这个问题 我们应当 假定 什么是鸡的问题已经解决 否则 问题没有意义 什么是鸡蛋呢 鸡蛋的概 念不应当与鸡无关 否则问题也无意义了 根据常识 我们可以提供两个可能的定 义 鸡生的蛋才叫鸡蛋 能孵出鸡的蛋和鸡生的蛋叫鸡蛋 如果选择定义甲 自然是先有鸡 第一只鸡是从某种蛋里出来的 而这种蛋不是鸡生的 按定义 不 叫鸡蛋 如果选择定义乙 一定是先有蛋 孵出了第一只鸡的蛋 按定义是鸡蛋

2 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 可 它 并 不 是 鸡 生 的 数 学 家 认 为 : 只 要 把 定 义 选 择 好, 问 题 就 能 迎 刃 而 解 如 果 不 把 鸡 蛋 的 定 义 确 定 下 来, 问 题 自 然 无 解, 不 知 道 什 么 是 鸡 蛋, 还 问 什 么 先 有 鸡 还 是 先 有 蛋 呢? 至 于 怎 么 选 择 定 义 才 合 理, 那 就 是 生 物 学 家 的 课 题, 与 他 们 没 什 么 关 系 了 这 就 是 数 学 家 常 用 的 一 个 办 法 问 一 个 是 什 么? 似 乎 很 有 效, 哲 学 家 正 在 试 图 把 这 个 方 法 搬 到 哲 学 中 去, 但 会 不 会 成 功, 就 未 可 知 了 真 假 话 的 问 题 问 题 是 这 样 的 : 由 甲 乙 两 人, 其 中 甲 只 说 假 话, 而 不 说 真 话 ; 乙 则 是 只 说 真 话, 不 说 假 话 但 是, 他 们 两 个 人 在 回 答 别 人 的 问 题 时, 只 能 通 过 点 头 和 摇 头 来 表 示, 不 讲 话 有 一 天, 一 个 人 面 对 两 条 路 A 和 B, 其 中 一 条 是 通 向 北 京 的, 而 另 一 条 路 是 通 向 一 个 小 村 庄 的 这 时 他 面 前 站 着 甲 和 乙 两 人, 但 他 不 知 道 此 人 是 甲 还 是 乙, 也 不 知 道 点 头 是 表 示 是 还 是 表 示 否 现 在, 他 必 须 且 只 能 问 一 个 问 题, 才 可 能 断 定 出 那 条 路 通 向 北 京 那 么, 这 个 问 题 应 该 怎 样 问? 这 个 问 题 应 该 怎 样 解 决 呢? 我 们 综 合 运 用 哲 学 思 维 方 式 和 数 学 思 维 方 式 来 对 这 一 问 题 进 行 分 析 : 第 一 甲 和 乙 都 不 说 话, 只 摇 头 点 头, 意 味 着 不 能 问 选 择 性 问 题, 必 须 问 判 断 性 问 题 那 么 问 的 问 题 中 不 能 同 时 包 含 A 和 B 两 条 路, 只 能 选 择 A 或 者 B 中 一 个 来 问 是 或 者 不 是 的 问 题, 这 样 才 能 得 到 有 效 的 回 答 第 二 不 论 问 什 么, 得 到 的 答 案 只 会 是 点 头 或 者 摇 头 不 会 得 到 具 体 提 示 题 目 要 求 不 论 问 谁, 问 什 么, 必 须 通 过 得 到 的 点 头 或 摇 头 分 析 出 唯 一 的 结 果 甲 乙 一 个 只 说 假, 一 个 只 说 真 那 么 对 同 样 的 问 题, 他 们 的 回 答 必 然 是 相 反 的 这 里 存 在 矛 盾, 可 以 帮 助 判 断 另 外, 不 论 问 谁, 问 什 么 问 题, 会 得 到 一 个 点 头 或 摇 头 的 答 复, 这 里 也 可 以 帮 助 判 断 共 四 个 因 素, 甲, 乙,A,B 甲 乙 之 间 有 矛 盾 ;A 和 B 是 客 观 因 素, 本 身 不 存 在 矛 盾 单 纯 的 问 A 或 B 怎 么 样 是 分 析 不 出 结 果 的 我 们 在 给 A 或 B 提 的 判 断 性 问 题 中 必 须 同 时 包 含 甲 乙 的 矛 盾, 这 样 通 过 双 重 判 断 才 有 可 能 使 收 到 的 回 答 得 出 唯 一 的 结 论 因 此, 可 以 随 便 问 其 中 的 一 人 ( 用 代 替 ): 如 果 我 问 他 ( 甲 乙 中 没 被 问 的 人, 用 代 替 ),A 是 通 往 北 京 的 路, 他 会 点 头, 对 吗? 这 样 的 问 题 就 包 含 了 双 重 判 断, 一 是 被 问 者 的 点 头 或 摇 头 具 有 判 断 真 假 的 可 能 二 是 问 题 中 A 是 通 往 北 京 的 路, 他 会 点 头 也 具 有 判 断 真 假 的 可 能 如 果 收 到 的 回 答 是 点 头, 有 两 种 情 况, 一 是 会 点 头 为 真, 则 是 乙 ; 二 是 会 点 头 是 假, 则 为 甲 第 一 种 情 况, 是 乙 时, 乙 说 真 话, 那 么 对 A 是 去 北 京 会 点 头 就 是 真 的 因 为 是 乙, 那 么 就 是 甲, 甲 说 的 是 假 话, 甲 对 A 是 去 京 城 会 点 头, 那 么 A 是 去 北 京 的 路 为 假 第 二 种 情 况, 是 假 时, 那 么 A 是 去 京 城, 会 点 头 是 假 因 为 是 甲, 就 是 乙, 会 说 真 话, 他 对 A 是 去 北 京 会 点 头 是 假 的, 即 A 不 是 去 京 城 的 路 由 此 综 合 可 得 出 : 只 要 回 答 者 点 头, 那 么 A 就 不 是 去 北 京 的 路 同 样 可 以 推 理, 如 果 收 到 的 回 答 是 摇 头,A 就 是 去 北 京 的 路 这 样 我 们 就 把 这 个 问 题 解 决 了 从 上 面 的 分 析 过 程 我 们 可 以 看 出, 考 虑 这 个 问 题 时 我 们 是 先 从 哲 学 思 维 出 发, 从 宏 观 上 找 一 个 大 致 的 思 考 方 向, 再 用 数 学 思 维 去 细 化 我 们 的 思 维, 从 而 把 问 题 解 决 简 而 言 之, 就 是 用 哲 学 思 维 指 导 我 们 的 思 考 方 向, 用 数 学 思 维 细 化 和 明 确 我 们 的 思 考 内 容, 这 就 是 哲 学 思 维 和 数 学 思 维 共 同 作 用 于 一 个 问 题 时 所 产 生 的 效 果 仔 细 思 考 上 面 两 个 问 题, 我 们 大 致 可 以 体 会 到 哲 学 思 维 与 数 学 思 维 的 区 别 与 联 系 哲 学 思 维 考 虑 的 全 面 却 模 糊, 基 本 上 是 观 其 大 局, 而 数 学 思 维 确 是 精 细, 明 确, 具 体 的 哲 学 对 具 体 的 东 西 作 抽 象 的 研 究, 数 学 对 抽 象 的 东 西 作 具 体 的 研 究 ( 摘 自 张 景 中 数 学 与 哲 学 ) 这 句 话 充 分 体 现 了 哲 学 思 维 与 数 学 思 维 之 间 的 区 别 至 于 二

3 年 月总第 8 期 者的联系 我们可以参考几位哲学数学大家 比如唯理论的两位大家笛卡尔和莱布 里兹 既是哲学家又是数学家的一些大家 他们集数学思维与哲学思维于一身 又 运用的那么自如 这就说明哲学思维与数学思维之间不可能没有关联 再例如另一 位唯理论的著名代表人物斯宾诺莎 有一本写法奇特的代表作 伦理学 这本书完 全仿照欧几里得 几何原本 的体例 先提出定义 公理 然后用演绎法一个一个 地对命题甲乙证明 并以 证毕 作为论证的结束 他确信哲学上的一切 包括伦 理 道德 都可以用公理化体系的方法一一证明 由此可以看出哲学思维与数学思 维联系的紧密 这里限于篇幅 我就不总结二者具体的联系了 其实在我看来 这 也并非关键 关键在于解决问题 我们如何合理地综合地运用哲学思维与数学思维 来解决实际问题呢 当今社会 哲学的领域在缩小 数学的领域的扩大 哲学从一门学科中退出 意味着这门学科的诞生 数学深入一门学科 甚至控制一门学科 意味着这门学科 的成熟 几乎所有学科的发展成熟 都离不开数学思维与哲学思维 只是它们的作 用范围不太相同 哲学着眼于未知的事物 对一门学科的发展来说就像望远镜 在 一切尚未清晰的时候 为它指明前进的方向 所以 哲学思维总会在学科的开始阶 段甚至孕育阶段产生指导的作用 例如哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前 哲学 家谈论元素在化学家研究元素之前 哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性 之前 哲学思维在数学的发展阶段亦发挥过重要的作用 希尔伯特曾直言不讳 他关于无 限的形式主义思想来自康德的哲学观念 罗素从分析哲学的基本立场出发 坚持逻辑即数 学的青年时代 数学即逻辑的壮年时代的观点 事实上 哲学一直是数学发展前进路上的 方向盘 而数学是对已知的事物进行更加精确的研究 对一门学科的发展来说就像显 微镜 在一切止步不前的时候 为它寻找突破口 所以 数学思维总会在学科难以 向前发展的困难阶段产生关键的作用 打开新的窗口 法国数学家托姆 在考察自然 界 社会领域大量存在不连续现象的基础上 运用微分映射的奇点理论 为这类客观现象 建立了数学模型 用以预测和控制该类客观对象 这就是突变论的产生 突变论提供的模 型表明 在一定条件下 质变可以通过飞跃的形式来实现 也可以通过渐变的方式来实现 在给定的条件下 只要改变控制因素 一个飞跃过程可以转化为渐变 反过来 一个渐变 过程也可以转化为飞跃 突变模型还表明 在奇点领域事物状态的变化 不仅具有多种可 能性 而且有它的随机性 数学模型亦散发着哲学思想的光辉 其实不只是学科的发展 还有科研的进行 生活中大小事情的解决 都需要哲 学思维的宏观指导和数学思维的精确分析 它们无疑是我们人类生存的重要工具 简而言之 可这样理解 哲学思维是一种思维的思维 即用来指导我们思维方式和 方向的工具 而数学思维是一种很强大的具体思维模式 是用来指导行动方向和方 法的工具 哲学思维 数学思维 这两颗人类思维星空上最璀璨的两颗明珠 必然 会一直指导我们人类不断向前 生活的越来越好 参考文献 []张景中 数学与哲学 高等教育出版社 [] 数学思想与数学哲学 高等教育出版社 3

4 年 月总第 8 期 编辑点评 该文的构思来源于一部与数学密切相关的影片 极限空间 这部影片 给予作者 强烈的视觉以及思想上的震撼 使之产生了写作的愿望 而在文章 的撰写过程中 作者又将该电影反复看了多遍 还阅读了往年的 期刊 自己说 在写作方法与技巧方面得益颇多 并从中获得了不少灵感 最终完成了一篇很好的文章 作者对于数学的兴趣 热情和对于写作的积极 认真 都是值得我们学习的 该文结合对影片的介绍 阐述了由影片引发的关于数学学习的思考 这种 思考并不仅仅停留在方法 技术的层面上 而是涉及数学思想 精神的层面 有利于改善读者的思维品质 提高数学素养 这样 更多地让我们感到沁人心 脾的 一部电影中表现的 苏苒 经济学院 金融学专业 857 摘 要 电影 本是一门关乎视听的银屏艺术 居然也可以被用来彰显 颇有一 些独特 本文以一部与数学相关的影片为蓝本 具体介绍了影片中所涉及的数学问题 并 在与电影艺术的结合中 概括分析了影片中蕴含的独特的 最后阐述了由影片引 发的关于数学学习的思考 关键字 ;电影艺术;推理;趣味题;数学思考 前言 电影艺术蕴含 电影艺术是现代科学技术与艺术相结合的产物 是在银幕上创造出感性直观的形象 反映和表现现实生活和思想感情的一门艺术 不仅如此 电影还是多种元素的综合 其中 数学与电影艺术的结合 别有一番耳目一新之感 随着新媒体技术的发展,对数学问题的思考不仅仅停留在纸制媒体上,还能通过电影这 一艺术形式表现出来 在生动的电影情节中穿插着多种复杂多变的数学难题 完美地将电 影与数学的魅力相结合 不仅使影片妙趣横生 更使人们享受了一段奇幻的数学之旅 在 这段美妙的旅程中 你得以从一个全新的角度审视数学世界 并发现别样的 极限空间 介绍 由数学题目贯穿而成的一场智力较量 极限空间 又名 费马的房间 剧情从四位互不相 识的数学家参加一个神秘聚会开始 在这个神秘的房间里 化名为帕斯卡 奥莉娃 伽罗瓦 希尔伯特的四位数学家 为了解决所谓的旷世谜题而聚集在一起 结果却发现他们进 入了一个圈套 密室的四面墙壁会因四周液压器的作用而不 断向中间收缩 数学家们必须要在一分钟之内解决掌上电脑 显示的难题 否则房屋就会缩进,而且根据当时的房屋大小和 液压器运行速度估算 一小时后房间便会只有电梯大小 而 且是堆满家具的电梯 四位数学家们就在这危急生死的时刻 寻求接二连三出现的数学迷题的答案 并探索着这神秘事件 的究竟 图 电影 极限空间 3 电影中的数学问题 剧情的主线与焦点 极限空间 围绕一道道数学迷题而展开 迷题各有侧重 具体如下 4

5 年 月总第 8 期 3. 一个糖果商人收到了三个不透明的糖果盒子 其中一个装的是薄荷糖 另一个装 的是茴香糖 剩下的一个盒子两种糖果都有 盒子上分别标注有 薄荷 茴香 和 混 合 但糖果商被告知三个糖果盒子上的标签都是错误的 而且被拿出盒子查看的糖果均应 被去除 不能再放入盒中 商人要如何操作 才能取出最少的糖果来确定这三个盒子分别 装的是什么 乍看这道题目 似乎要取出较多的糖果 才能确保找出混合的盒子 但细细推敲 答 案其实就隐藏在题面里 所有的盒子上面的标签都是错误的 既然所有的标签都是错误 的 那么只要从标注有 混合 的那个盒子里面拿出一颗糖果就够了 因为它不可能是混 合的 如果拿出的是薄荷糖 那么它就是装有薄荷糖的 茴香糖在 薄荷 盒子里 而混 合糖就在 茴香 盒子里 同理可知 如果拿出的是茴香糖 则薄荷糖在 茴香 盒子里 混合糖在 薄荷 盒子里 所以答案是 只要取出一颗糖 商人就能达到目的 3. 破解下列密码 这是一个由 和 构成的大型数列 看似无规律可寻 但电影主人公凭借对数字的敏 感 数出此数列共 69 项 而 69 并非一个普通的常数 是一个平方数 即 69=3 3 为一个数字方阵 影片中的数学家们用房间里现有的麻将 将数字方阵以 3 3 的规格排 列 用麻将的背面代表 麻将的正面代表代表 则排列结果清晰可见 如下图 所示 是一个骷髅 图 3. 题所示图形 3.3 在一个密不透风的房间里有一个灯泡 房间外有三个开关 只有一个能打开灯泡 然而门是紧锁的 开关可以任意开或关 当你开门时 你得说出哪个开关点亮了灯泡 找到此题答案 涉及到数学思维和生活常识的运用 而其中的诀窍就在于利用灯泡温 度的区别 灯泡在打开一段时间后 便会受热升温 设三个开关分别为① ② ③ 我们 可以先打开开关① 持续一段时间再关掉它 然后打开开关② 立即开门 如果 灯泡是 亮的 那么②就是正确开关 如果灯泡是灭的并且是热的 那么①是正确开关 如果灯泡 既不亮也不热 则③为正确开关 由此即可得出正确开关的编号 3.4 如何用一个四分钟的沙漏和一个七分钟的沙漏测出九分钟的时间 用两个度量不同时间的沙漏 测量另一段时间 需要巧妙地颠倒沙漏来测量 我们可 以同时启动两个沙漏 A B 沙漏 A 漏完后 四分钟已经过去了 然后把沙漏 A 倒过来 5

6 年 月总第 8 期 三分钟后 沙漏 B 漏完了 再把沙漏 B 倒过来 如果沙漏 A 再一次漏完 那么八分钟已经 过去了 此时 只需沙漏 B 要再漏一分钟 这样再把沙漏 B 倒过来 等沙漏 B 漏完 就正 好能测出九分钟了 3.5 一个学生问老师 你女儿们多大了 老师说 把她们的年龄相乘 结果是 36 如果相加 结果是你房子的号码 还少一个条件 学生说 老师回答 最大的那个女 儿会弹钢琴 三个女儿分别几岁 第一次听完题目 我想任何人都会将疑问聚焦在 房子的号码 没错 房子的号码 是未知的 并没有给出 那如何解答这道题呢 不如我们先试着将 房子的号码 视为未 知条件进行分类讨论 她们的年纪相乘得 36 则三人的年龄组合有 7 种可能 这 7 种组 合的和如下 仔细看这七组数据 再注意到题目中 还少一个条件 这句话 因为学生是知道自 己房子的门牌号的 他仍然说 还少一个条件 这说明 有多解存在 而上述组合中 只有这两组 和 9 3 是多解的 但不能确定是其中哪一个 但是 老师又说 最大的那个女儿会弹钢琴 关键是 那个 说明最大的是一个人而不是两个人 所以是 9 3 组合 所以 最终可以得出大女儿 9 岁 还有一对 岁的双胞胎 同时 学生家的门牌号是 在谎言岛里 所有的人总是撒谎 在真相岛里 所有人都说真话 假如你被诱骗 到一个有两扇门的房间 一个通向自由 另一个却是封死的 两扇门分别由一位来自谎言 岛的人看门和一位来自真相岛的人把守 要想找到通向自由的那扇门 你只能问其中一个 人一个问题 但你并不知道哪位来自谎言岛 哪位来自真相岛 你应如何向两人提问呢 对于这一情境 你肯定不能问 哪一扇门是通往自由的 因为你不知道哪个守卫 会说谎 哪个会说真话 但你可以向其中一个守卫问 你认为另一个守卫会告诉我哪扇 门通往自由 如果你恰好问的是 诚实之地 的守卫 他就会指向封死的那扇门 如果 你问的是 谎言之地 的守卫 他同样会指向封死的那扇门 两个人都会指向错的那扇门 因此你只要选择相反的那扇门 就可以通往自由之门了 4 别样的 电影艺术与数学的巧妙结合 极限空间 这部影片的情节在一道道数学迷题的作用下 由浅入深 逐步发展向高 潮 而贯穿其中的数学问题也如同注入的鲜活血液一样 巧妙地融入在影片当中 恰到好 处地烘托出紧张的情境和氛围 增加了影片的紧迫感与神秘感 使其充分抓住了观众的眼 球 并将数学耐人寻味的魅力诠释出来 这种与电影艺术的巧妙结合 使数学不再只是白纸上冰冷的豪无感情的数字或者符 号 而是成为电影有血有肉的一部分 数学的神秘与奇幻因而也体现得更为多元化 作为 影片深入发展的重要内容 数学问题的解答扣人心弦 并以一种全新的视角吸引了人们的 眼球 将展现的淋漓尽致 6

7 年 月总第 8 期 5 结语 对解答影片中数学问题的思考 数学是一门博大精深的学科 不仅内涵丰富 而且趣味无穷 在数学学习中 面对精 深的数学难题 我们不应该望而却步 而应当勤于思考 掌握数学学习和研究的一般方法 以不变应万变 更好投入数学学习 影片 极限空间 中 依次展现了数学家们对几道数学题目的解答过程 虽然拘泥于 影片本身内容 以较为紧凑的方式呈现 但仍然淋漓尽致地表现了数学家们惯有的数学思 维及数学敏感度 引人深思 数学的学习是一个不断探索求知的过程 我们要逐步建立和培养严谨的思维和观察模 式 注重细节 从题目出发 从已知着手 仔细推敲 在已知条件中寻找突破口 并综合 运用数形结合 分类讨论等多种解题技巧 不断增强对数字与符号的敏感程度 展开合理 适当的联想 逐渐培养出良好的数学思维习惯 同时 我们也应当不断将数学问题与生活实际相结合 不仅将生活的各种学问运用于 解答数学难题 更要将数学的思维和思考模式运用于指导实践 使数学科学与实际生活完 美联姻 从而产生更多创造性的变化 更多沁人心脾的 参考文献 []电影艺术.百度百科. []费马的房间.百度百科. [3]导演:路易斯 佩德拉西塔. 极限空间.西班牙诺托影业公司出品. 编辑点评 对大部分同学来说 欧几里得范式是个陌生的哲学概念 该文不仅解释了 这个概念 还阐述了欧几里得范式对推动科学发展做出的巨大贡献 但另一方 面 人类认识世界 探索真理的方法是多样的 不必仅局限于这一种模式 在 一些场合 基础理论还远未完善 而现实又逼迫我们必须尽快行动 比如癌症 疗法的探索 这时 摸着石头过河 就不失为一种合理的策略 尽管该文的某些分析还不够深入 某些观点还值得商榷 但作为刚上大学的本 科生 能够认识到并开始认真思考这些哲学问题 已经是难能可贵的了 欧几里得范式的哲学思想及其影响 陈萌瑶 经济学院 金融系 88 摘 要 本文分析了在数学方法论中占统治地位的欧几里得范式的思路及其在科学领域 中的应用 叙述了欧几里得范式背后的哲学思想和爱奥尼亚学派与毕得格拉斯学派之间的 联系 谈及在科学发展历程中这一哲学思想对科学领域的重大影响 同时分析了这一哲学 思想可能潜在的问题 以及当前对其的一些思考 指出当前与未来方法论研究潜在的突破 口 关键词 欧几里得范式;科学研究;哲学思想;爱奥尼亚学派;未来发展 公元前 3 年左右 古希腊的数学家欧几里得将公元前 7 世纪以来希腊几何积累起来 丰富而又纷杂的结果从最原始的定义开始 以若干公理为基础 通过逻辑演绎架构了第一 个公理化的数学体系 所著 几何原本 成为数学史上 甚至人类文化史上最富影响力的 书 这部著作不仅仅代表了当时整个几何学的最高成就 更重要的是它确立了数学研究的 7

8 年 月总第 8 期 基本思路 欧几里得范式 这个方法看似简单 但其中却蕴含着这么几个问题 为 什么要用公理 逻辑意味着什么 3 这种方法背后更深层次的哲学和方法论思想是 什么 本文首先从以上这几个问题入手 分析欧几里得范式的基本思路并给出这一范式在科 学研究领域中的应用 之后研究其背后蕴含的哲学思想以及他和历史上爱奥尼亚学派之间 的联系 并指出这种哲学思想对科学发展的影响 最后指出这种方法论及其哲学思想潜在 的问题以及表达对未来科学研究方法论的展望 欧几里得范式的思路及其影响. 欧几里得范式的基本思路 之所以要使用公理 是因为我们需要利用一些对世界的基本认识和理解作为认识自然 界的基础 定义则给出了我们要研究的对象是什么 通常用其满足的性质来描述 例如 圆被定义为平面上到一个点的距离为常数的所有的点构成的集合 在具备了这些公理和定 义之后 我们需要通过逻辑推理的方法来获得这些由定义规定的研究对象的性质 这些性 质通常是以多个对象之间的关系的形式给出的 这些性质或关系被称之为定理 这些定理 是整个数学体系的核心 他们告诉我们在承认了几个简单的公理之后 满足这些性质的对 象将会具备什么样的特性 假如具备了若干公理和定义了若干对象却没有找出强有力的定 理 那么这个理论体系是完全没有用的 所谓强有力 指的是在尽可能弱的条件下得出尽 可能强的结论 我们可以把这看成是数学家们探索世界 不管这个抽象世界是还是具体世界 的一种 基本方法论 他几乎贯穿了从欧几里得开始以来数学发展的全部历史 这种方法也可以称 之为欧几里得范式 即以一些基本的公理和定义为基础 通过一系列的逻辑步骤演绎而得 的定理体系的一种数学方法 根据欧几里得范式构建的数学演绎系统 有一个明显的基本 特征 从该系统的底部 基础 经过逻辑证明的途径向顶部 结论 传递真值 也就是从 前提向结论传递真值 这种研究范式的好处是给人一种一览无余的境界 研究什么 在什 么假设下研究以及明确了这些之后将有什么结论都非常明确 这种方法的另一个好处是有 利于对研究对象做出简化假设 建立一个合理的研究对象的模型 有利于后面的理论分析 这种对研究对象的简化和建模在各个领域里面都有应用 欧几里得范式是最早的公理化系统 创立此范式的 几何原本 按照现今 一个公理 系统只有一个论域 的观点 开创了实质公理学 即公理化系统的第一发展阶段 之后的 数学发展道路上 体现了希尔伯特形式主义纲领精神的早期著作 几何基础 把实质公理 学提升到形式公理学的高度 欧几里得范式在后人的不断努力中得到进一步的完善 发展 成为完整的公理化系统. 欧几里得范式对科学研究的应用 欧几里得范式对此后两千年的数学研究道路产生了深远的影响 微积分建立之后 贝 克莱曾严厉地指责莱布尼兹 在进行微积分运算时 曾从不脸红地首先承认无穷小量然后 舍弃 稍具有思考能力的人 在理解时仔细一点 在推理时公平一点 就不会接受这些 直到后来的柯西 黎曼 维尔斯特拉斯等人建立极限理论 由维尔拉特拉斯定理和区间套 等几个定理作为最基础的出发点 构建起严密的微积分的框架 才补救了第二次数学危机 真正使世人心悦诚服 可见 微积分理论的架构也是遵循欧几里得范式的 欧几里得范式这种由若干个定理逐渐演绎出完整体系的思想也深刻地影响了其他科学 领域的研究 世纪 3 年代 希克斯 卡尔多等经济学家以帕累托最优理论 指这样一 种状态 任何改变都不可能使任何一个人的境况变得更好而不使别人的境况变坏 为基础 用序数效用论来表示偏好 又利用了马歇尔消费者剩余的研究 从而提出三大基 本定律 又由此提出补偿原则等 建立了系统的福利经济学 与弗洛伊德所创的精神分析 8

9 年 月总第 8 期 法和爱因斯坦发现的相对论一起并称为二十世纪人类知识界的三大革命的宏观经济学 凯 恩斯首先提出边际消费倾向递减规律 资本边际效率递减规律 流动偏好规律这三大基本 心理规律 在此基础上对消费需求 投资需求进行分析 形成了对资本主义经济危机的系 统分析 由此主张政府需要通过货币政策与财政政策干预经济 创立了宏观经济学 掀起 了影响深远的凯恩斯革命 欧几里得范式的哲学思想. 涵义与背后的哲学思想 爱因斯坦说过 一切都应该尽可能的简单 假如不能更简单的话 这句话蕴涵着数 学和逻辑推理背后基本的哲学思想 用简单表示和理解复杂 逻辑推理和证明的过程本质 上就是把从命题 A 到命题 B 的证明过程分解成很多步 并保证每一步尽可能的简单以至于 看上去理所当然的成立 公理 这种用简单表示复杂的思想和爱奥尼亚学派有着很密切的联系 在人类的早年 面对 一个变化多端 对其规律毫不知情的自然 人们该以什么样的态度对待和认识他呢 自然 是可以被认识的吗 爱奥尼亚学派第一次给出了这个问题的解答 自然是可以认识的 自 然界是由某种最基本的元素 即始基构成的 所有其它物质都是由他演变而来的 这体现 了一种用基本和简单来表达和认识复杂的思想和方法论 即寻找清晰的 一 和用这个 一 去达成 多 泰利士的名言 水是一切的本质 便是最明确的体现 西方的文化思想与中 国的文化思想有一点明显的差别 中国人大多是现实主义者 实用主义家 而西方人却喜 欢脱离现实 做一些形而上学的思想 在泰利士看来 这个世界的一切都是由水这个本原 构成的 水 是这个世界最基础与简单的存在 而毕达哥拉斯学派则一方面继承了这种由 基本和简单来解释多样和复杂的传统 另一方面他们抛开具体的事物从自然界万物的存在 形式和结构出发来思考这个问题 总而言之 他们都在追求一种自然界中基本的东西 由 此来分析和解释千变万化的事物 或者说他们认为自然界的事物都可以用更简单的事实加 以描写 同样后来的牛顿也强调 要从可能的最简单的原理中去寻找万物的原因 其实 归根结底就是为了要追求一个终极的东西去解释自然界的万物 或者说要用一个最基本最 简单的东西去表示和认识自然界的一切. 对科学发展的影响 事实上 爱奥尼亚学派的这种哲学思想不仅和欧几里得范式有着很密切的联系 还深 深影响了整个科学发展的方方面面 几乎是科学研究和发现的基本思路和方法论 牛顿力 学提出之后 人们努力地用它去研究各种领域 天文学 统计物理 原子物理 电磁学等 等 最后在后两个领域中发现了破绽 于是便有了二十世纪初的物理学革命 此后 科学 家们又继续拿起统一的大旗 继续前进 如爱因斯坦一生致力于追求统一 在数学界同样也有强烈的对统一的追求 只不过由于数学本身的特点 这种追求可能 更多的体现在形式上的统一 不过物理学家和数学家对统一的追求还是有一定区别的 他 们的这种不同风格的对统一的追求来自于他们对爱奥尼亚和毕达哥拉斯学派分别不同的继 承 物理学家可能更多的秉承了爱奥尼亚学派追求始基的风格 他们要去找更简单的事实 来说明和描述自然万物 如对基本粒子的寻求 对统一场论的追求 而数学家更多地继 承了毕达哥拉斯学派的传统 他们追求一种在形式和结构上的统一 3 潜在的问题及未来的发展 尽管欧几里得范式及简单研究复杂的想法为推动科学发展作出了巨大贡献 但其中事 实上也蕴涵着问题 人们在使用演绎推理时 往往是基于日常的常识和直觉 他们确 实可靠吗 而用简单表示复杂的过程同样也存在着疑问 世界上所有的事物 不管是 具体存在的还是抽象层面上的东西 都能够被分解为一系列简单的东西吗 9

10 年 月总第 8 期 在面对第三次数学危机时 希尔伯特提出了其纲领 任何数学体系都应当是一个公理 化的逻辑体系 且 各公理之间互相独立 公理之间互相兼容 而且由这些公理推 出来的结论也互相兼容 3 任何一个命题都可以在这个公理体系中被证明或被证伪 但 由于哥德尔不完备性定理的证明 以及其它一系列结论的获得 从根本上摧毁了罗素逻 辑主义计划和希尔伯特形式主义纲领 同时有人认为 这同时也意味着欧几里得范式一统 天下的局面将要永远失去 当然,即使在今天 认识到这一点并能接受这一点的人也还是少 数 事实上不仅仅欧几里得范式一统天下的局面受到了撼动 其背后的哲学思想也同样应 当引起我们的反思 假如我们从方法论的角度来看的话 欧几里得范式背后所蕴含的用简 单去研究复杂的思想只不过是研究自然界的方法论的一种 虽然这样哲学思想贯穿了数学 甚至现代科学的发展历程 但自然界可以采用的方法未必会永远局限于此 可能新哲学思 想的变更将会在原有基础上发展出新的方法论 从而使我们具备更强大的认识自然的工具 用简单去理解和表达复杂的思想一定程度上可以理解为一种分析的思想 即单独考察 局部的特性去研究整体的特性 这一思想在近代科学大放光芒 显示出巨大的威力 但与 这种思想并存的实际上还有中国传统哲学思想中综合思想和整体思想 只不过当今这种思 想依然停留于比较朴素的层次 而不像西方哲学体系那样演化成如今这种严密的形式 也 许中国传统哲学思想中的整体论和系统论中蕴含着某种新的方法论的种子而有待于后人去 开发 有可能是未来一个潜在的发展方向 参考文献 []郝宁湘.论实验数学对欧几里得范式的挑战[J].自然辩证法通讯,(3):8-34 []周东启.第二次数学危机的是实质是方法论的变革[J].自然辩证法研究,6(6):5-9 [3]李政.数学思维中的哲学思想浅析[N].苏州职业大学学报,5 :6-9 编辑点评 该文内容详实 并且联系社会实际 学以致用 贫富差距逐渐拉大的问题 是当前社会各界关注的焦点问题 也是迫切需要解决的问题 作者从自己的知 识背景出发关注社会问题 并且力图用自己掌握的数学方法去分析和解释社会 问题 是值得鼓励的 衡量贫富差距的数学方法 张红 经济学院 经济学系 68 摘 要 数学一直以来就是研究经济学的一个重要的工具 它能形象 具体 严谨地 说明一些经济状况 本文运用数学的方法 通过洛伦兹曲线和基尼系数的计算 分析我国 现实的贫富差距状况 关键词 贫富差距 洛伦兹曲线 基尼系数 最小二乘法 拟合 积分 引言 大家应该都知道 我国 GDP 已经超越了日本 成为了世界第二大经济体 不过 GDP 的攀升并没有给普通大众的生活带来多大的变化 除了考虑到我国庞大的人口基数以外 更有让我们担忧的严重的贫富差异 也许我们曾见到过如下的生活场景

11 年 月总第 8 期 图 图 在城市的边缘 甚至就在一幢幢摩天大楼的周围 遍布着许多低矮的小平房 在同一 座城市里 有的人能为一顿饭挥霍掉上万元 而有的人只能挤在十几平米的出租屋里 为 生存而奔波 有的父母能花钱送孩子出国留学 而有些孩子只能顶着农民工二代的身份早 早进城打工 我不禁疑惑 我国的贫富差距究竟有多大 能否用一些客观的 直观的 有可比性的 数据来衡量我国的贫富差距 洛伦兹曲线 为了研究国民收入分配的问题 美国统计学家洛伦兹提出了著名的洛伦兹曲线 如 下图 图 3.洛伦兹曲线 如图所示 整个的洛伦兹曲线是一个正方形 其垂直边即纵轴 OM 衡量的是社会财富 的百分比 水平边即横轴 OH 代表收入获得者在总人口中的百分比 先假设一个国家只有 户家庭 将 OM OH 五等分 并将这 户家庭从最贫到最富至左向右排列 也分为 5 等份 则第一个份表示收入最低的 的家庭 在这个正方形中 将每一份家庭收入的百 分比累计起来 并将相应的点画在图中 便得到了相对应的洛伦兹曲线 此外 我们要注意对角线 OL 它上面的任意点都代表了一定比例的人刚好拥有同等比 例的社会财富 因此 对角线 OL 代表了绝对的收入公平 折线 OHL 则表示全社会的财富集 中于一个人的手里 是绝对不公平 而现实生活中的洛伦兹曲线是处于 OL 与 OHL 之间的一 条曲线 洛伦兹曲线弯曲程度越大表明收入分配越不公平 贫富差距也就越大 因此 我 们将如图所示的对角线 OL 和洛伦兹曲线之间的部分 A 叫做 不平等面积 而将折线 OHL 与对角线之间的部分 A+B 称为 完全不平等面积 3 基尼系数 99 年 意大利经济学家基尼在洛伦兹曲线的基础上提出了基尼系数 用于定量测定 收入分配差异程度 如下图

12 年 月总第 8 期 图 4.基尼系数 记洛伦兹曲线和绝对平等线 OL 之间的 不平等面积 为 A 折线 OHL 与绝对平等 线 OL 之间的 完全不平等面积 为 A+B 则基尼系数= A 由公式可得 基尼 A B 系数 因为 A 代表洛伦兹曲线距离绝对平等曲线的大小 所以基尼系数越大代表着收 入分配越不公平 贫富差距越大 看起来基尼系数= A 是一个极为简明的数学表达式 但是它实际操作起来却非常 A B 复杂 大体看来 前人有以下几种计算方法 ()几何计算法 即根据分组资料,按几何图形分块近似逼近计算的方法 ()间接拟合法 即先拟合求出收入分配的概率密度函数 再根据概率密度函数导出洛 伦兹曲线 (3)回归曲线法 即选择适当的曲线直接拟合洛伦兹曲线 常用的曲线有二次曲线 指 数曲线和幂函数曲线 (4)差值法 然而 差值法只适用于两阶层的计算 基尼系数 p p y p 或基尼系数 y r pr, 这 里 p p, p r 分 别 表 示 贫 穷 ( Poor) 阶 层 和 富 裕 (Rich) 阶 层 的 人 口 比 重, y p, y r 表示相应的收入比重 相较于上述几种方法 我们是否可以用已学的数学知识来计算基尼系数呢 4 用已学的数学知识求解基尼系数 4. 图像法求面积 先将样本数据按收入由小到大排列 再以合适比例 将 人 口 分 为 n 份 则 记 每 份 长 度 为 li i i i,,3,, n 每份的高度为 y i ~ y i 如右图直角坐 标系 将每一份曲边梯形都看成一个直角梯形 则每份直角 梯形的面积可近似看成 S i yi yi i i 图 5. 图像法求面积

13 年 月总第 8 期 n n B 所以 基尼系数 y i y i i i i 所以 B Si 又因为 A i 4. 最小二乘法拟合洛伦兹曲线 选择适当的曲线 g 直接拟合洛伦兹曲线 f 常用的曲线有二次曲线 指数曲线 和 幂 函 数 曲 线 设 与 洛 伦 兹 曲 线 上 的 点 Ai i,,3,, n 横 坐 标 相 同 的 点 为 Bi i, f i Ai 与 Bi 的距离 d i f i g i 称为观测值与理论值的偏差 为了消 除符号的影响 我们考虑偏差的平方和 S n f g i i i 令 S 取得尽可能小的值 则可确定出近似的洛伦兹曲线 g 所以 对洛伦兹曲线 求积分得 B g g d 所以基尼系数 g d i i 4.3 一种简易公式 如图 将样本数据按照收入从低到高分成人数相 等的 5 个阶层 记 P, P, P3, P4, P5 分别表示 5 个阶层 的收入分别在总收入中的比例 则有 A B P A B P P A3 B3 P P P3 A4 B4 P P P3 P4 A5 B5 P P P3 P4 P5 图 6.简易公式 A B A B A B A B A3 B3 A3 B3 A4 B P 7 P 5P3 3P4 P5 又 因 为 基 尼 系 数 A4 B4 A5 B5, 即 B 5 B B B,所以 化简得基尼系数 5 P P P3 P4 P5 9P 7 P 5P3 3P4 P5 4P5 4P P4 P 5 5 假设 P, P, P3, P4, P5 呈等差数列 记公差为 D,则有 P P D, P3 P D, 3

14 年 月总第 8 期 P4 P 3D, P5 P 4 D,所以 基尼系数 4 D P5 P 由误差分析得知 由此简 便公式所得基尼系数较真实值略大 并且差值可忽略不记 所以由简易公式得 基尼系数 P5 P 5 通过基尼系数看我国的贫富差距 按照联合国有关组织规定 基尼系数低于. 表示收入绝对平均.-.3 表示比较 平均.3-.4 表示相对合理.4-.5 表示收入差距较大.5 以上表示收入差距悬殊 改革开放以前我国一直是一个社会财富分配平均的国家 社会基尼系数长期维持在. 然而 因为改革开放鼓励一部分人先富起来 而先富并没有带动后富以及市场经济的不健 全 政策的滞后等因素 我国的基尼系数一路飙升 虽然自 年以后 中国国家统计局 就没有再公布过我国的全国基尼系数 但是其公布的 年全国基尼系数就已经达到了.4 而 年 月 9 日 国家统计局在 中国全面建设小康社会进程统计监测报告 中提到 年的基尼系数比 年略高 目前社会上相对接受的基尼系数 一个是世 界银行测算的 9 年基尼系数为.47 另一个是 7 年北京师范大学收入分配与贫困研 究中心主任李实计算出的.48 国际公认.4 为收入分配差距的 警戒线 而数据显示我国基尼系数早已超过警戒 线许多 而且 总体趋势是基尼系数越来越大 即使是从全球来看 我国的基尼系数也是 非常高的 如下图 图 7.世界各国基尼系数排行 4

15 年 月总第 8 期 以上种种数据都在警示我国收入分配的不均 虽然在市场经济条件下 竞争的必然存 在使得我们不能搞平均主义 但是我们要认识到巨大的贫富差距已经严重影响了我国经济 的可持续发展 我国现存的居民消费率长期畸低 投资率 储蓄率和外贸依存度长期畸高 等问题 究其根本就在于越发扩大的贫富差距使得有消费意愿的广大群众无与其相匹配的 消费能力 致使总的国民消费不足 另外 贫富分化所产生的巨大压力 不仅在向经济领 域传导 而且正在向社会各个方面传导着 因此 我们一定要重视以基尼系数等参数衡量的贫富差距 以时刻警醒我们在经济发 展过程中出现的偏差 6 结束语 经济学的研究离不开数学 很多经济指标都是通过一系列的数学计算得来的 而这些 经济指标能够形象 具体 严谨地反映现实生活中的经济状况 甚至能预示未来的经济发 展趋势 具有十分重要的价值 因此 我们要重视数学方法的学习与研究 用来更好地分 析 指导经济的发展 参考文献 []胡祖光.基尼系数的理论最佳值和简易计算公式.经济研究 4,9 []胡祖光.基尼系数与收入分布研究.浙江工商大学出版社, [3]洪兴建.基尼系数理论研究.经济科学出版社 8 [4]李聪睿.计算基尼系数的算法研究及其应用.广东工业大学学报,5,6 [5]张效成,张阳,徐锬.经济类数学分析 上 下.南开大学出版社,8 编辑点评 抽样调查是获取一手数据的关键 是对问题做进一步统计分析的基础和根 本 它也决定和影响着最后的结论是否能代表总体的性质 该文通过列举实例 的方式 详细介绍了抽样调查的本质和历史 抽样调查的概念 随机抽样和非 随机抽样中的几种方法及抽样调查具体实施方法 关于抽样抽样调查的文章和书籍不少 但作者在学习理解后 能够查阅大 量资料 在叙述抽样调查历史发展 概念和方法时辅以相应实例讲解 通俗易 懂 使阅读者对抽样调查得以有一个基本的了解 该文脉络清晰 分析全面 具有一定的可读性 漫谈 抽样调查 马征 南开大学 信息技术科学学院学院 电子科学与技术 9375 摘 要 统计王国中 抽样调查一直是获取一手数据的关键 然而 抽样调查只有在近 8 年才被统计学界认定 并飞速地发展取得了惊人的成果 本文首先详细地介绍抽样调查 的意义与来龙去脉 然后列举 8 年台湾选举 美国 抽签 征兵等实际事例 详细介绍了 抽样调查的概念 随机抽样中的简单随机抽样 分层抽样 整群抽样 等距抽样及非随机 抽样中的各种方法 阐述了抽样调查的具体实施方法 关键词 抽样调查 简单随机抽样 分层抽样 整群抽样 等距抽样 非随机抽样 5

16 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 抽 样 调 查 的 本 质 与 历 史 在 统 计 学 诞 生 以 后, 数 据 一 直 是 统 计 王 国 的 城 墙 与 基 石, 好 的 数 据 是 使 统 计 结 果 具 有 意 义 的 关 键 吸 烟 喝 酒 对 身 体 有 害 吗? 经 常 运 动 能 减 少 心 脏 病 发 作 的 危 险 吗? 为 了 回 答 诸 如 此 类 的 一 些 问 题, 需 要 收 集 相 关 信 息 收 集 数 据 是 为 了 从 个 体 数 据 中 得 到 结 论, 而 对 于 每 个 人 说, 多 数 数 据 是 间 接 获 取 的, 叫 二 手 数 据 而 以 下 重 点 探 讨 的 是 一 手 数 据 的 收 集 众 所 周 知, 普 查 与 抽 样 调 查 是 收 集 一 手 数 据 的 两 种 方 式 由 于 可 以 节 省 时 间 人 力 和 费 用, 可 以 适 应 于 破 坏 性 观 察 实 验, 可 以 作 用 于 根 本 不 可 能 全 面 调 查 的 对 象, 抽 样 调 查 是 人 们 观 察 认 知 事 物 的 主 要 方 法 之 一 抽 样 调 查 理 论 被 统 计 学 界 认 定 迄 今 才 8 多 年 挪 威 统 计 学 家 凯 尔 以 其 勇 气 和 经 验 为 该 理 论 的 诞 生 做 了 开 创 性 工 作 895 年, 在 瑞 士 伯 尔 尼 召 开 的 国 际 统 计 学 会 第 五 次 大 会 上, 凯 尔 在 对 代 表 性 调 查 的 研 究 和 经 验 报 告 中, 正 式 提 出 抽 样 调 查 的 主 张 然 而 直 到 96 年, 在 罗 马 举 行 的 第 6 次 国 际 统 计 学 大 会 上, 抽 样 调 查 才 得 到 肯 定 抽 样 调 查 的 发 展 与 术 语 原 始 的 抽 样 法, 在 人 类 活 动 的 早 期 就 开 始 使 用, 俗 语 窥 一 斑 而 知 全 豹 形 象 地 给 予 了 概 括 品 酒 师 只 需 浅 尝 一 口 就 可 知 整 桶 酒 的 优 劣, 厨 师 取 出 一 勺 就 可 知 汤 的 味 道, 凡 此 种 种 不 一 而 足, 都 包 含 着 一 个 共 同 的 思 想 方 法 抽 样 调 查 8 年 台 湾 进 行 了 四 年 一 次 的 换 届 选 举, 下 面 就 以 此 次 选 举 为 例 说 明 抽 样 调 查 的 相 关 术 语 在 此 次 选 举 中, 国 民 党 候 选 人 马 英 九 萧 万 长 获 胜, 得 票 万 张, 得 票 率 为 58.45%; 民 进 党 候 选 人 谢 长 廷 苏 贞 昌 得 票 万 张, 得 票 率 为 4.55% 在 选 举 前 一 年 内, 台 湾 地 区 多 家 机 构 分 别 搞 过 多 次 民 意 调 查, 其 统 计 数 据 结 果 如 图 所 示, 正 式 选 举 结 果 与 选 前 民 调 的 预 测 基 本 一 致 它 让 我 们 看 到 抽 样 调 查 的 科 学 性 图 : 马 谢 民 调 走 势 比 较 图 联 合 报 民 意 调 查 发 现, 马 萧 支 持 率 55%,8% 力 挺 谢 苏 这 次 调 查 与 月 9 日 至 3 月 日 晚 间 进 行, 成 功 访 问 成 年 人, 另 34 人 拒 访 落 在 95% 的 置 信 水 平 下, 抽 样 误 差 在 ±.8% 以 内 调 查 是 以 台 湾 地 区 住 宅 电 话 为 母 体 做 尾 数 两 位 随 机 抽 样 在 上 面 的 民 调 中, 称 每 个 选 民 为 调 查 对 象, 这 一 个 个 选 民 的 观 点 称 为 个 体 总 体 由 所 有 7 多 万 选 民 的 观 点 组 成, 即 总 体 是 包 含 所 有 要 研 究 的 个 体 的 集 合 样 本 是 从 总 体 中 选 出 且 成 功 访 问 的 那 部 分 个 体, 由 个 个 体 组 成 从 样 本 获 取 信 息, 为 的 是 对 总 体 作 出 推 断 样 本 中 个 体 的 数 量 称 为 样 本 容 积 根 据 使 用 的 抽 样 方 法, 抽 样 调 查 可 分 为 概 率 抽 样 和 非 概 率 抽 样 概 率 抽 样 也 叫 随 机 抽 样, 即 总 体 中 每 一 个 个 体 被 抽 取 的 概 率 已 知 的 抽 样 使 用 概 率 抽 样 我 们 可 以 计 算 到 每 个 可 能 样 本 的 概 率 从 而 对 估 计 的 精 度 作 出 说 明, 而 非 概 率 抽 样 则 不 能 上 面 的 民 调 采 用 的 是 概 率 抽 样 6

17 年 月总第 8 期 抽样之前需要有一个可供抽取的单位 清单 清单 要列出所有的调查对象 称之 为抽样框 从理论上来讲 抽样框应包括台湾地区的所有选民 但是所有选民的清单一般 难以取得 故抽样框所包含的选民一般会少于全体选民 对于抽样调查来说 样本的代表 性如何 估计值的真实性怎么样 首先取决于抽样框的质量 通常我们需要了解总体的某些数字特征称为参数 在上面的民调中 选民对候选人的 支持率 记作 p 就是总体的一个参数 需要由来自总体的样本去估计 由样本按一定规 则计算出某个量 或者说构造样本的一个函数 这种样本的函数就称为统计量 作出的推断是否可信 取决于所抽取的样本是否能代表总体 那么 什么是有代表性 的样本呢 所谓的有代表性的样本 是指偏差及变异性都很小的样本 以打靶为例 把总体参数的真正值看作靶心 把统计量看作对靶心发射的箭 用偏差 和变异性来描述多次的设计结果有以下四种 图 四种抽样结果 如何保证样本的低偏差及低变异性呢 随机抽样给了我们答案 随机抽样按照随机的 原则选择样本 可以避免人为选择的误差 并能控制变异的大小 保证样本的代表性 这 也是上面的民调采取随机抽样的原因 然而 样本绝对无法告诉我们有关总体的准确信息 由样本所得的估计值不会刚好等 于总体参数的真正值 由于抽样调查的随机性而产生的估计值与总体参数真值之间的误差 称作抽样误差 但是我们又无法确定估计值与真正值的偏差的确在抽样误差给出的范围内 于是 统计学家采用置信水平来说明 由所有可能的样本得到的估计值中有百分之多少的 估计值在抽样误差给出的范围内 在上面的民调中有如下描述 在 95%的置信水平下 抽样误差在在±.8%以内 这 句话告诉我们 如果采用同样的方法不断从总体中抽取同样大小的样本 由这些样本所得 的估计值当中 将有 95%距离参数真正值在±.8%以内 但是另外 5% 和真正值的差距就 超出这个误差范围了 换句话说 我们有 95%的信心 参数真值会在误差范围内 3 重要的概率抽样 3. 抽签 征兵在美国 简单随机抽样 世纪中叶 美国卷入了旷日持久的越南战争 越战后期 美国国内反战情绪与日俱 增 为了向前线补充兵员 政府伤透脑筋 美国国会在 969 年 月批准的 新法 规定 所有 8 至 5 岁的美国籍男性公民都被列为征兵的预选对象 为保证每人应征 义务 均 等 应征对象采取 抽签 决定 97 年 兵役部门以如下方法进行 抽签 操作 将 到 365 个日期分别写在外 7

18 年 月总第 8 期 观一样的乒乓球上 将标记好的球放入一个大容器中搅拌 3 逐个随机抽取 365 个 球 第一次抽取的日期编号为 第二次为 依此类推 这样 365 天按抽到的次序排列 这一年的抽签结果是 第一次抽到的是 9 月 4 日 即编号 则生于 9 月 4 日的适龄合 格青年作为第一批被应征入伍 而生日编号为 则为第二批 依此类推 当时统计学家对抽签结果进行了研究 发现前 83 个号码中有 73 个对应的日子在前半 年 有 个对应的日子在后半年 也就是说生于后半年某一天的青年服兵役的机会要大 于前半年的青年 造成事实上的不公平 为什么会出现这种情况呢 有人注意到 月份出生的人容易被先抽出 调查发现乒乓球是按 到 月的先后 顺序标记日期并放入箱内的 箱内 365 个球并未混合均匀 标有 月的球容易出现在上面 也就是说这种不公平是由于乒乓球在被抽取之前没有充分搅拌造成的 吸取教训后 97 年美国国家标准局咨询了统计专家 设计出如下抽签程序 按 照随机数表决定的顺序 依次把 到 365 的数字条放入 365 个相同的塑料球中 用同样的 方式再把一年 365 个日期放入另外 365 个相同的塑料球中 把两类 365 个塑料球分别 放入各自滚筒里搅拌 3 先从日期滚筒抽取一个球 抽出的是 9 月 6 日 再从数字滚筒 抽取一个球 为 39 号 于是第一轮确定 9 月 6 日出生的人对应征兵序号是 39 号 这样 的操作虽然复杂 但是却保证了随机性 图 3 抽签 征兵 这里的随机抽样方法 在抽样调查中被广泛应用 统计学中称其为简单随机抽样 其 要求是 抽样要保证每一个体 机会均等 即总体中每个个体有同样的机会被抽到 在 抽签 征兵的例子中 可以发现简单随机抽样说起来容易 具体实施却比较复杂 所以在大型抽样调查中 很少直接将其应用于总体抽样 而是与其他抽样方法混合使用 但这并不降低其作为最基础的抽样方法的重要性 3. 由凯尔的 代表性抽样 到 分层抽样 多年前 现代抽样调查的先驱者 挪威统计学家凯尔 在担任挪威统计局局长期 间 领导了全国人口和农业的普查工作 并发展了他的 代表性抽样 的思想 所谓代表 性抽样 是指从整体中抽取一个样本 它在所关注的指标上可以代表该总体 或者说 是 一个 小型化 的总体 例如 一个社区的居民按经济状况可以分为 3 类 富裕的 人 一般的 人 较 差的 5 人 从中分别抽取 5 5 和 5 人 则由这 8 人组成的样本是一个代表性样本 调查工作是把 8 个人作为调查对象 获取足够调查资料后 通过对代表性样本资料的分析 来对全社区居民的经济状况作出一些推断 其准确性取决于样本的代表性 凯尔进行了若 干与此类似的抽样调查工作 如在关于挪威成年男子收入的调查中 凯尔按职业 年龄和 社会地位等对成年男子进行分层 并使各阶层中都有大致相同的比例进入样本 基于实践中取得的经验 在 895 年召开的第五届国际统计学会大会上 凯尔正式提出 了 用代表性抽样取代全面普查 的主张 8

19 年 月总第 8 期 我们注意到 凯尔的代表性抽样虽然对总体进行了 分层 但在分层之后的样本选取 却是主观的 无法用一种客观的数学模型去描述 因而也就无从估计用这种方法对总体进 行推断所产生的误差 这个重要问题的解决主要归功于英国统计学家鲍莱 他把概率方法引入到抽样调查中 基于随机样本的研究 96 年鲍莱提出了 随机抽样 的方法 并在以后的 年中 他 和他的支持者们对英国许多城镇的社会和经济条件进行了抽样调查 特别对 伦敦生活和 劳工条件的新调查 这个项目中做出了巨大贡献 在他所著 抽样调查精度的度量 中 阐述了抽样法的原理 它的理论验证了抽样方法的合理性 且使我们可以了解通过样本去 估计总体特征的精度 为了弥补代表性抽样的不足 统计学家创立了一种新方法 这一方法在分层这一步与 代表性抽样类似 进入层内对样本选取时则采取随机抽样的方法 统计学家称之为 分层 抽样 举例说明 某公司有 名员工 其中高层管理人员占 5% 属于高收入者 中层管 理人员占 5% 属于中等收入者 一般员工占 8% 属于低收入者 董事会决定对本公司 员工的收入情况进行调查 计划从该公司抽取 名员工的样本 该如何抽样呢 先将公司员工按收入分为 3 层 高收入者 中等收入者和低收入者 然后按比例从 各层中分别随机抽取 5 名 5 名 8 名员工 这样构成的 名员工的样本的方法称为分 层抽样 可见 分层抽样是先将总体按某些主要特征分为若干互不重叠的 层 分层时尽可能 使层内个体在所关注的特征方面相近 然后在各层中随机抽取样本 合起来组成总体的样 本 根据各层抽取样本的比例是否相同 分层抽样又分为等比例抽样和不等比例抽样 3.3 社会调查中最为常用的 整群抽样 整群抽样适用于总体包含的个体庞大而分散的情况 其方法为先把总体按照某种标准 分为若干的互不重叠的群 然后以群为抽样单元 从中随机抽取部分群 这部分群中的全 部个体合在一起作为总体的样本 例如 某市教育局想要了解该市中学生课外负担情况 总体是该市所有在校中学生课 外负担情况 个体是就读于该市的每个中学生的课外负担情况 若该市有 5 个中学 则按 学校将它们划分为 5 个群 每个中学为一个群 再把 5 所中学中随机抽取几所 然后对 这几所中学的全部学生课外负担情况进行普查 实际调查对象是该市全体中学生的一部分 这部分学生是从几个群体中整群抽取出来作为全市中学生的代表 以他们的课外负担情况 推断总体 整群抽样与分层抽样的不同之处在于分层抽样是在所有层中都要随机抽取样本 层间 差异较大而层内差异较小 整群抽样则是选取几个群为总体的代表 要求每个群内的个体 均有较好的代表性 群间较为相似 3.4 从流水线生产引出的统计话题 等距抽样 某钢桶厂一个工作班生产 6 个钢桶 在实施产品质量检验时 按照如下步骤和方法 进行 依据钢桶质量水平 不合格品率.5% 要求 确定抽取的样本量 一批 6 个 钢 桶 的 检 验 样 本 量 n 为 3 正 常 标 准 将 M=6 依 次 编 号 3 用 公 式 k M 6 8 确定抽样距离 k 各段内包含的等量钢桶数 按照抽样距离 8 将 6 个 n 3 编号后的钢桶分成 3 段 质检人员只需在第一段中的 8 个钢桶中随机抽取一个钢桶作为起 点 例如选到 5 号钢桶 那么从 5 号钢桶开始每隔 8 个钢桶抽取一个 总共取出 3 个钢桶 组成一个样本 对样本进行检测 若不合格品不超过 个 则判定这批钢桶合格 等距抽样又称系统抽样 其优点是简便易行 省时省力 其固有的缺点是精度估计比 较困难 必要时需要借助其他统计方法补救 此外 有的总体内部个体呈现周期波动时 9

20 年 月总第 8 期 一般不宜采用等距抽样 国家机关和社会团体对社会 经济情况进行调查时也经常采用等距抽样方法 例如如 下案例 国家某部门为全面了解我国加入 WTO 以后 贸易壁垒对我国出口贸易的影响 对一项抽样调查工作作出如下安排 根据 5 年行政区域内企业出口金额的降序排序建立本行政区域出口企业数据库 对数据库内企业进行编号 然后根据企业序号实施等距抽样 确定问卷发放对象 等 距抽样从序号为 的企业开始抽取 3 问卷发放过程中 如发现被抽样企业因停止营业 更改办公地址原因等不具备调查的实际操作性时 各地主 管部门应在一次抽样后的剩余企业名单中 按照等距抽样方法选取替代企业 发放调查问 卷 4 司空见惯的非概率抽样 概率抽样 理论的诞生是统计学的一大进步 在统计学领域说到的 统计抽样 也 是指 概率抽样 然而 日常生活中 非概率抽样不停地被运用着 它们的共同特点是样 本的选择全凭观察者的主观意志 没有依照随机的原则选取 概括起来有四种常用的非概 率抽样 4. 偶遇抽样 采用这种抽样方法时 调查者根据自己的方便 任意选择偶然遇到的人或者抽取那些 容易获取的物作为样本 印度统计学家马哈拉诺比斯 曾任联合国统计抽样调查 分会主席 经常用下面的事例陈述他对 偶遇抽样 的看法 世纪 3 年代早期 在印度有大包大包的黄麻堆到了孟 买的码头上 准备装船运往英国 为了估计黄麻的价值 从 每包中抽取一些 黄麻的质量就由样本决定 抽样是将一把 中空的圆形刀片插入包中 再拔出来 刀片中央的空出就带 出了少量的黄麻 在包装上船的过程中 外层的黄麻开始变 质 而里面的被压得越来越紧 冬天的时候常常冻得结成一 块 取样员将空心刀片插入包中时 由于中央更坚硬而发生 偏离 所取的样本更过的是外层已经变质的黄麻 这种便利 样本就会产生偏差 样本的质量偏低 实际上整包黄麻的质 量要高出许多 图 4 马哈拉诺比斯教授 4. 判断抽样 应用这一抽样方法时 调查者根据研究目睹 主观地选取抽样单位 以获得总体的有 代表性的样本 例如 要对福建省旅游市场状况进行调查 有关部门基于平时的了解 指定厦门 武 夷山 泰宁金湖等旅游风景区作为样本调查 这是一个简单的 判断抽样 的事例 4.3 定额抽样 使用这种抽样方法时 先根据总体各部分包含的单位的比例 分配 样本数额 然后 由调查者在各部分内根据配额的多少抽取样本 前文凯尔的代表性抽样便是定额抽样的前 身

21 年 月总第 8 期 4.4 滚雪球抽样 采用这种抽样方法时 先找少量或个别的调查对象进行访问 然后通过他们再去寻找 新的调查对象 依此类推 直到达到调查目的为止 滚雪球抽样适用于总体的个体信息不充分或难以获取 不能使用其他抽样方法抽取样 本调查研究 对于具体有特殊癖好 同性恋者 乞丐 吸毒者等特殊群体尤其适用 本世 纪初 一位台湾学者对服用过摇头丸的青年做过一项调查 研究者不仅与各受访者间进行 过 至 8 次不等的私下访谈 还曾多次以手机聊天的方式听他们讲述对复用摇头丸的一些 认识 访谈多在室内咖啡厅 受访者家中或路边随意性地展开 受访者有的是通过朋友介 绍而先前完全不认识的 也有研究者认识了 年的 滚雪球抽样往往受一些因素的制约 当总体规模较大时 有许多个体就无法找到 有时调查对象会出于某些考虑故意漏掉一些 重要个体 无法正确反映总体状况 5 民意调查中的一次重大失误 结语 936 年 美国 文学文摘 杂志根据收回的 37.6 万张关于总统选举的民意测试问卷 预言 阿尔夫 兰登将以 57%对 43%的优势超过富兰克林 罗斯福 但结果是罗斯福以 6% 对 38%的一边倒优势赢得了 936 年的选举 文学文摘 到底哪里错在哪里 第一 文学文摘 的调查对象大多数是从电话薄和订这份杂志的人的花名册上选择 这就把没有订杂志和没有电话的穷人排除在样本之外 936 年能装电话 订这份杂志的人 不能作为全体选民的一个有代表性的样本 它们所组成的是一个有偏的样本 在 936 年 大多数穷人支持罗斯福 而富人们大多赞成兰登 事实表明 样本中包含了大批拥护共和 党的选民 这个样本选出了兰登 而广大选民中意的却是另外一个人 罗斯福 图 5 罗斯福总统 第二 文学文摘 杂志的民意测验中 收到问卷的 万人中只有 37.6 万人给出 回答 由此可见 文学文摘 在其调查过程中存在着不回答的偏倚 即被选入样本的人大 多数实际上不回答问卷 不回答者可能非常有别于回答者 这样 回答问卷人的代表性值 得怀疑 在这次被 文学文摘 自诩为 最广泛 最富于经验 最没有偏见 的民意测验 中 实际上存在着很强的排除穷人的选择偏倚 根据偏倚的样本 预测结果出现了不可避 免的错误 文学文摘 在大选后名声迅速扫地 很快停刊 美国科学民意测验的先驱乔治 盖洛普当时就对 文学文摘 杂志电话访问的可信度 提出了质疑 他抽取了最具有代表性的样本进行民意测验 仅用 5 万人的样本 就正确预 测罗斯福将当选 这一结果使盖洛普名声大噪 由此可以看出 在考察一个统计结论中 我们必须问 样本是如何得到的 有选择偏 倚吗 有不回答偏倚吗 当选择样本有偏时 抽取一个大样本并无帮助 它不过是在较大

22 年 月总第 8 期 规模下去重复基本的错误 而解决这一问题的关键 则是对于抽样调查方法的不断研究与 学习 当今随着统计学的不断发展 抽样调查理论也有着长足的进步 随着对准确性要求的 不断提高 抽样调查方法的重要性也得到了新的审视 在此我们期待更好的抽样调查方法 可以带给统计王国更准确的明天 参考文献 [] 魏振军 漫游数据王国 中国统计出版社 [] 魏振军 探访随机世界 中国统计出版社 [3] 张奠宇 刘萍 张东鸿 李雪峰 何君 大千世界的随机现象 广西教育出版社 [4] 拉里 戈尼克 沃尔科特 史密斯 漫画统计学入门 辽宁教育出版社 [5] 孙荣恒 趣味随机问题 科学出版社 编辑点评 数学中充满着对立统一 就看我们有没有眼光和能力把它们挖掘出来 这 不但需要有相当的数学素养 还需要有相当的哲学素养 该文从自变量与因变 量 有限与无限 近似与精确 直线与曲线 整体与局部 运算与逆运算等方 面进行挖掘和阐述 比较得当 有一定的可读性 由于作者从 对立统一 的角度看问题 抓住了事物的本质 从而对数学知识 本身理解得也比较深刻 该文作者是一位文科的学生 这就更加难能可贵 我 们鼓励更多的文科学生向本刊投稿 并且在录用和评奖上也会考虑文科学生的 特点 有所倾斜 浅说数学中的对立统一 刘秋骥 外国语学院 英语系 379 摘 要 数学与哲学有着密切的关系 首先 两者有着许多公共特征 如理性 逻辑性 抽象性等 再者 数学为哲学提供了极好的具体模型,数学中的很多概念 方法都充满着哲 学的思辨 而其中一个重要的思想就是两事物的对立统一 即矛盾 本文就自变量与因变 量 直线与曲线 整体与局部等方面谈谈数学中体现的对立统一 以探索数学与哲学的关 系以及数学的学习方法 关键词 对立统一 自变量与因变量 有限与无限 近似与精确 直线与曲线 整体与 局部 运算与逆运算 毕达哥拉斯曾说 数学是哲学 可见数学与哲学有着密切的关系 数学为哲学提供 了极好的具体模型 而数学的研究对象 本质特征 学科性质也使它与哲学结下了不解之 缘 数学中的很多概念 方法都充满着哲学的思辨 其中一个重要的思想就是事物之间的 对立统一 即矛盾 下面让我们来探讨一下数学中的一部分对立统一 由于接触不深 水 平有限 望指教纠正 首先 我们先来简单理解 对立统一 的含义 矛盾是唯物辩证法的实质和核心 包 含对立和统一两个方面 统一性表现为矛盾双方具有相互依存 相互渗透 相互贯通的性 质 斗争性表现为矛盾双方具有相互排斥 相互否定的性质 矛盾双方的对立统一不可分

23 年 月总第 8 期 割 同一以差别和对立为前提 没有斗争性 就没有矛盾双方的相互依存和相互贯通 事 物就不能发展 另一方面 矛盾的斗争性寓于矛盾的统一性之中 并为同一性所制约 没 有统一性 就没有矛盾统一体的存在 事物同样不能存在和发展 那么 在数学中又有什 么地方体现了矛盾的对立统一呢 下面兹举几例 自变量与因变量 在数学中 它们通常对立统一于函数式 y f ( ) 中 对立表现在概念不同 自变量是 被操纵的变量 而因变量是被测定或被记录的变量 而统一则体现在因变量随自变量的变 化而变化 自变量是引起因变量变化的原因 因变量则是结果 特别地 在极限中 自变 量 a 与因变量 f ( ) A 又同时体现出变量与常量这对矛盾的统一 它们都在无限变 化过程中无限逼近一个常量但又不等于这个常量 有限 与 无限 有限 与 无限 看似是不可调和的 但在极限中却体现着对立统一 代数是人们已 经熟悉的概念 但是 代数无法处理 无限 的概念 所以为了要利用代数处理代表无限 的量 数学家们精心构造了 极限 的概念 收敛的无穷级数就是利用了 极限 的概念 即无限个数的和不是一般的代数和 把它定义为 部分和 的极限 从有限来认识了无限 3 近似 与 精确 近似与精确也是对立统一的关系 两者在一定条件下也可相互转化 这种转化 是数学应用于实际计算的重要诀窍 有时我们要确定某一个量 首先确定的不是这 个量本身 而是它的近似值;而且所确定的近似值也不仅仅是一个值 而是一连串越 来越准确的近似值.然后 通过考察这一连串近似值的趋向 最终把这个量的准确值 确定下来 去体现 近似 与 精确 的巧妙转化 同时也运用了极限的思想方法 4 直线与曲线 直线是几何学的基本概念 是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹,而曲线则是动 点运动时 方向连续变化所成的线 从概念上即可看出两者的不同 那么两者的统一又体 现在哪些方面呢 下面兹举两例 4. 首先 在高中所学的平面解析几何中 直线与圆锥曲线就有着密切的关系 我想其中 最重要的模块就是两者的位置关系问题 下面简单举一例 直线 : A By C 与圆锥 曲线 C : f (, y) 的位置关系可分为 相交 相切 相离 而每一种情况下的交点数一 般都不相同 但应该特别注意 直线与曲线相交于一点的情况并不只是相切 ①对于抛物 线来说 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点 但并不是相切 ②对于双曲线来说 平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点 但也并不相切 从上例可以看出直线与圆锥 曲线的位置关系十分复杂 且每一种位置关系都会有很多相关的性质 利用这些性质我们 可以解决交点轨迹或者弦长等一系列的问题 是直线与曲线相互结合的重要应用 同时也 是解析几何的主要解题思路 4. 高数中的微分概念的研究方法--以直代曲也体现了直线与曲线的对立统一 正如恩格 斯所说 直线和曲线在微分中终于等同起来了 我们是借助了导数的图来研究 3

24 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 微 分 的, 即 如 下 图 所 示, 并 放 大 了 P 点 附 近 的 图, 使 得 在 光 滑 曲 线 y f ( ) 上 点 P(, f ( )) 的 邻 近, 曲 线 看 起 来 像 直 线 ( 就 是 过 P 的 切 线 ), 其 斜 率 是 导 数 f ( ) 于 一 次 函 数 的 计 算 比 绝 大 多 数 别 的 函 数 简 单, 因 此 我 们 可 以 期 望 在 P 点 的 邻 近 近 似 地 用 切 线 PT 来 代 替 曲 线, 即 用 一 次 函 数 ( 直 线 ) 这 就 是 以 直 代 曲, 体 现 了 直 线 与 曲 线 之 间 的 相 互 转 化 y f ( ). 由 P P(, f ( )) P 点 附 近 放 大 后 图 导 数 的 几 何 意 义 图 示 5 整 体 与 局 部 数 学 上 的 整 体 与 局 部 就 如 哲 学 中 的 整 体 与 部 分, 二 者 依 然 是 对 立 统 一 的 关 系 对 立 表 现 为 含 义 不 同 地 位 不 同 和 功 能 不 同 ; 而 统 一 则 是 两 者 不 可 分 割, 相 互 影 响, 在 一 定 条 件 下 相 互 转 化 正 因 为 整 体 与 局 部 之 间 对 立 统 一 的 关 系, 我 们 在 学 习 数 学 的 过 程 中 应 该 注 意 整 体 性 质 与 局 部 性 质 ( 即 点 的 性 质 与 区 间 的 性 质 ) 的 区 别 与 联 系 下 面 简 单 举 两 例 : 第 一, 在 学 习 函 数 的 过 程 中, 我 们 要 弄 清 楚 哪 些 性 质 属 于 整 体 性 质, 哪 些 性 质 属 于 局 部 性 质, 以 及 两 者 之 间 的 关 系 例 如 函 数 的 单 调 性 属 于 整 体 性 质, 必 须 在 一 个 区 间 上 体 现, 而 不 是 针 对 某 一 个 点 而 要 区 别 极 值 与 最 值, 最 重 要 的 就 是 弄 清 极 值 是 局 部 性 质, 而 最 值 是 整 体 性 质 第 二, 我 们 还 应 学 会 如 何 用 一 方 来 研 究 另 一 方, 如 先 化 整 为 零 再 化 零 为 整 的 方 法 定 积 分 的 定 义 及 推 导 就 使 用 了 这 种 方 法 : 将 难 以 直 接 计 算 的 曲 边 梯 形 的 面 积 先 分 割 成 无 数 的 小 份, 然 后 取 近 似, 作 和, 最 后 求 极 限 得 到 这 为 我 们 计 算 不 规 则 图 形 的 面 积 提 供 了 主 要 的 方 法 6 运 算 与 逆 运 算 始 于 小 学 课 程 的 运 算 与 逆 运 算 概 念 同 样 蕴 含 了 对 立 统 一 的 思 想 下 面 我 用 加 法 和 减 法 举 例 说 明 加 和 减, 两 者 在 语 义 上 是 一 对 反 义 词 在 数 学 上, 两 者 虽 然 对 立 但 同 时 也 有 着 密 切 的 联 系 下 面 我 们 来 看 看 二 者 在 数 学 中 的 运 用 : 首 先, 方 程 的 移 项 过 程 实 际 上 就 是 加 减 法 的 互 换 过 程, 如 : , 由 此 来 化 简 方 程 式 再 者, 它 们 可 以 用 于 检 验 运 算 的 正 确 性, 提 高 我 们 计 算 的 准 确 性 在 高 等 数 学 中, 微 分 和 积 分 也 是 一 对 逆 运 算, 两 者 又 有 哪 些 联 系 呢? 要 想 熟 练 的 运 用 积 分 就 必 须 先 熟 记 微 分 公 式 而 在 微 积 分 基 本 定 理 中 两 者 更 是 以 等 号 相 连, 等 号 左 侧 是 积 分, 右 侧 是 微 分, 求 定 积 分 问 题 转 化 为 求 原 函 数 的 运 算, 即 转 化 为 求 微 分 的 运 算, 将 这 两 种 概 念 和 背 景 完 全 不 同 的 运 算 联 系 了 起 来 4

25 年 月总第 8 期 哲学上的对立统一还体现在数学中的许多方面 所以我们在学习数学的过程中 要坚 持一分为二的观点 既要在对立中把握统一 又要在统一中把握对立 正确的认识事物本 质 以帮助我们更好的把握数学规律与方法 进一步提高我们的数学素养 参考文献 [].张景中 数学与哲学 中国少年儿童出版社 年 7 月第一版 [].百度百科 [3].刘会丰 数学中的对立统一 数学通讯 年 [4].马克思主义哲学辞典 中国广播电视出版社 [5].文科数学基础 高等教育出版社 9 年 月第二版 [6].百度文库 [7].白淑珍 对极限思想的辩证理解 中国校外教育 下句刊 [8].点 直线与圆锥曲线的位臵关系 几个简单组合问题与数学思想 管鸿明 物理科学学院 物理学类 88 摘 要 现代数学可以分为三大类 一类是研究连续对象如分析 方程等 第二类是研 究随机现象的数学如概率论与数理统计 而第三类就是研究离散对象的代数及组合数学 combinatorial mathematics 本文粗略地谈谈组合数学 狭义的组合数学主要研究满 足一定条件的组态 也称组合模型 的存在 计数以及构造等方面问题 组合数学是计算 机出现以后迅速发展起来的一门数学分支 计算机科学即算法的科学 而计算机所处理的 对象是离散的数据 所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心 而研究离散对象的科 学恰恰就是组合数学 组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面 关键词 组合数学; 数学思想; 探索法 图论 数学抽象 组合数学简介 著名数学家吴文俊院士指出 每个时代都有它特殊的要求 使得数学出现一个新的面 貌 产生一些新的数学分支 组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的 从吴文 俊院士对组合数学的评价中 我们可以清晰的看出组合数学对于当今世界的重要性 但是 在有些情况下 由于组合数学研究对象的离散性 组合数学可能会颠覆一个人对数学的认 识 其研究过程似乎与 数 脱离了联系 而变为一些更为抽象难懂的思维过程 而这些 思维过程 大多是计算机编程的过程 因而对于我们来说 思考的过程会让人感到无所适 从 但事实上 组合涉及领域非常之广 不光应用于前沿的计算机科技 还与物理 化学 等学科密切相关 甚至与我们的日常生活也息息相关 小如一些生活趣味游戏 大到金融 分析 投资方案 企业管理等等 可以说 组合数学充满了思维的乐趣 也在不知不觉 中改变着未来世界 解决组合数学问题 没有固定的套路 需要十分灵活的思维 坚持不 懈的探索以及较强的随机应变能力 另外 组合数学问题中往往蕴含着无数给人启迪的数 学思想 本文结合一些较为简单的组合问题 谈一谈对一些相关数学思想的理解 5

26 年 月总第 8 期 组合问题应用举例. 组合与探索法 组合数学应用的广泛性在我们的生活中也时有体现 例如如下例子 有 99 个筐 里面装了苹果和桃子 但是各筐中装的苹果和桃子数都不一定相同 证明 可以取出 5 个筐 这 5 筐中的苹果数不少于苹果总数的一半 桃子数也不少于桃子总数 的一半 分析 刚拿到本题时可能感到很难找到突破口 我们不妨先将题目中的数字改成较为 特殊的情况 寻找规律 进而得到原题目的解答 假设题目总共只有 3 个筐 并从中取出 个筐 其他要求不变 可以使用如下方法取 先将 3 筐中苹果个数最多的一筐取出 接下来再把剩余两筐中 桃子数较多的一筐取出 这样苹果个数和桃子个数最多的一筐一定被分别取出 再加上任 意数量的另一筐 取出的桃子和苹果的个数必然不少于桃子和苹果总个数的一半 因此这 种取法满足题意 进一步看总共有 5 个筐 取出 3 个筐的情况 其他要求不变 先将这 5 筐水果标号为 其中苹果的个数为 a, a, a3, a4, a5 由对 称性不妨设 a a a3 a4 a5 同样先取出苹果个数最多的一筐 号 然后将余下 4 筐分为 组 号,4 号一组 3 号,5 号一组 将桃子数较多的一组选出与 号筐放在一 起 这时这一组的桃子数再加上 号筐中的桃子数可保证不少于总数的一半 若选出的那 一组苹果数为 a3 和 a5,则 a a3 a5 a a4 必成立 若选出那一组苹果数为 a 和 a4 那么 a a a4 a3 a5 也必然成立 从而这种取法保证了选出的苹果数量不少于未选出 的苹果数量 也就是说不少于苹果总数的一半 根据上述推理可知这种取法可使桃子数与 苹果数均满足题意 当总共有 7 个筐 取出其中 4 个时 同样将所有果筐编号为 3 7 假设 a a a3 a4 a5 a6 a7 并先 选出 号 然后将余下所有果筐分为两组:,4,6 号和 3,5,7 号 取这两组中桃子数多的一 组 经过验证可知这种取法符合题意 根据在上述三种较特殊情况下发现的规律 我们可以将之推广到一般情况 回到原题 我们只需证明选出的苹果数与桃子数分别比没有被选出的苹果数和桃子数 设这 99 筐苹果个数为 a a a3 多即可 先给所有水果筐标号为 a4 a99 由对称性不妨设 a a a3 a4... a98 a99 选出苹果数量最多的 a 所在的第一筐 接下来将余下的所有果筐分为两组,4,6 98 号和 3,5,7 97,99 号 选 出这两组中桃子总数较多的一组并与第一筐放在一起 那么这 5 筐中桃子的个数满足题 意 又因为上述假设 a a a3 a4... a98 a99 所以 6

27 年 月总第 8 期 a a3 a5...a99 a a4 a6... a98 a a a4...a98 a3 a5 a7... a99 这两个不等式必成立 所以无论这两组中的哪一组被选出 苹果个数均满足题意 于是原 题得证 美籍匈牙利著名数学家 教育家波利亚曾说过 一再地去试 多次变化方法 使我们 不致错过那少许宝藏的可能性 他的话概括来讲就是努力去探索 对组合数学问题的解答 往往是从不懈的探索开始的 当问题较为复杂的时候 我们如果直接下手解决 其中暗含 的规律我们很难直接找到 这时我们要做到 知难而退 再从简到难 也就是说我们可以 将其简化为较为简单的情况 通过对简化情况的不断探索 题目的规律便会跃然浮于纸上 由此我们再推广到一般情形 对原题目加以解答 探索法的思想往往容易被人忽视 但很 多时候 却也正是这种方法对问题的解决起到了无可比拟的作用 因此我们在解决组合问 题时切不可忽视它. 组合与图论 图伦是组合数学的一个分支 在现代数学与信息领域有着广泛的应用 众所周知 在信息化时代中的世界已经变得越来越小 人与人之间的关系变得越来越 紧密 甚至几乎没有关系的人也可能会在某个交集中相遇 对于整个世界来说 每一个人 都是一个元素 如果将这个世界表示为一个二维平面的话 那么每一个人可以表示为平面 上的某一个点 任意两个人之间的关系可以用相应两个点之间的连线来表示 这种研究人 与人关系的问题就是最简单的图论问题 考虑如下一个问题 7 位学者 每一位都给其余的人写一封信 信的内容是讨论三个 问题中的一个 而且每个人互相通信所讨论的是同一个问题 证明至少有三位学者 他们 之间通信所讨论的是同一个问题 对于这个问题 首先介绍一个引理 世界上任意 6 个人中 必定有三个人两两相互认 识或者两两相互不认识 引理的说明 如下图 我们用平面上任意 3 点不共线的 6 个点 A B C D E F 代表这 6 个人 任意两个点做一条线段 构成一个完全图 F K 6 K n 的意思是平面上任意 3 点不共线的 n 个点两两连 A E 线所构成的图 这 n 个点称为该图的顶点 任意两个顶点 所连的线段称为这个图的边 如果两个人认识 就将对应 边染为红色 反之染为蓝色 要证明的结论即为 如果 K 6 每条边染上的两种染色的一种 那么必定有至少一个同色 三角形 即三条边染色相同的三角形 B D C 图 做圆是为了保证任意三点不共线 6 引理的证明 由对称性考虑 A 点 根据抽屉原理可知 A 点至少连有 3 表 3 示不超过 的最大整数 其中 R 条同色线段 如图 不妨设之为蓝 AB AC AD 接下来考虑线段 BC CD DB 如果这三条线段有任意一条线段是蓝色 那么这条线段与上 文中提到的蓝色线段中其中两条构成同色三角形 如果三条线段均不为蓝色 则出现如图 所示的情况 BCD 构成同色三角形 综上可知 引理得证 7

28 年 月总第 8 期 回到原题 延续引理的思路 继续用图论的方法 做完全图 K7 并用它的 7 个顶点 A, A, A3... A6, A7 来表示 7 位学者 每条边涂上 3 种颜色中的一种 如果两位学者讨 论的是第 i(i,,3) )个问题 就将对应的边染为第 i 种颜色 经过上述文字语言与数学 语言的转换之后 我们的问题变成了如何证明这个 K7 中包含一个同色三角形 A A7 A A6 A3 A5 A4 图 首先任取一点 A 从 A 引出了 6 条线段 由抽屉原理可知 这 6 条线段中至少有 6 3 =6 条边具有相同的颜色 如图 不妨设为 A A, A A3, A A4, A A5, A A6, A A7 并假设这 6 条边均被染为红色 于是 A A3 A7 这 6 个点以及两两所连的边构成完全图 K7 的一个子图 K 6 如果这个 K 6 中有某一条边为红色 设为 A A3 那么 A A A3 即为同 色三角形 如果这个图中没有一条边被染为红色 那么它变为了一个二染色的 K 6 为引理 所属的情况 由引理可知该 K 6 存在一个同色三角形 即这个 K7 中包含一个同色三角形 综上所述 原命题成立 上述引理 是拉姆塞原理的一个特例 这个特例在图论问题中有着广泛的运用 当我 们遇到二元相关问题 如相互认识 通信 比赛等 时 我们不妨考虑图的方法 用一个 平面上的点来代表每一个研究对象 点与点之间的连线代表两个对象之间的关系 可以通 过线段的连接与否或者线段的染色情况来表示 本题用图来解决实际生活中的问题 简单 来讲就是初等数学中常用的数形结合思想 进一步讲这是一种典型的数学抽象 在这种抽 象的过程中 我们将难以入手的文字语言转化为通俗的数学语言 为原本晦涩的问题打开 了突破口 原问题便迎刃而解了 题目中在对某一个人 也可以说是平面上对应的那个点 分析的过程中还用到了对称性分析和抽屉原理的方法 这些也都是组合数学中很常见的简 化方法.3 组合与代数问题 8

29 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 对 于 集 合 M,,...,, 它 的 子 集 7 7 A, A,..., A 具 有 性 质 : () M 中 每 一 对 元 素 同 属 于 一 个 唯 一 的 A( j j 7); ()3 ( 7 k,,,7); A k 证 明 : 每 两 个 子 集 A, A( i j 7) 均 有 一 个 唯 一 的 公 共 元 素 i j 先 抛 开 这 个 问 题 : 在 解 决 一 些 数 学 问 题 时, 往 往 需 要 选 择 一 个 适 当 的 量, 从 两 方 面 去 考 虑 它, 然 后 综 合 起 来 得 到 一 个 关 系 式 这 种 方 法 称 为 算 两 次 或 者 是 富 比 尼 原 理 在 初 等 数 学 中, 列 方 程 解 题 正 是 运 用 ( 或 者 说 是 不 太 明 确 地 运 用 ) 这 一 原 理 当 然, 算 两 次 不 单 可 以 建 立 等 式, 也 可 以 建 立 不 等 式 或 其 他 关 系 例 如 在 反 证 法 中, 可 以 通 过 这 种 方 法 导 出 研 究 对 象 在 某 些 方 面 的 矛 盾 算 两 次 方 法 是 一 种 十 分 重 要 的 思 想, 不 仅 仅 在 组 合 数 学 中, 在 数 学 的 各 个 领 域 中 都 发 挥 着 十 分 重 要 的 作 用 当 遇 到 一 个 棘 手 的 问 题 时, 运 用 算 两 次 的 方 法 会 给 你 带 来 山 重 水 复 疑 无 路, 柳 暗 花 明 又 一 村 的 感 觉 回 到 原 题 : 首 先, 我 们 分 析 一 下 已 知 条 件 : 条 件 () 意 味 着, 任 意 两 个 不 同 的 子 集 A, A( i j 7) 中 包 含 的 公 共 元 素 不 大 于, 也 就 是 说 A A j i j k 条 件 () 意 味 着 集 合 M 每 一 个 子 集 的 元 素 个 数 大 于 等 于 3 小 于 7 接 下 来 我 们 将 原 题 进 行 数 学 抽 象 : 构 造 一 个 7 7的 数 表 ( 如 下 表 ), 其 中 第 i 行 第 j 列 元 素 为 a ij ; a a a 63 表 a 4 a 34 a 55 a 46 a 77 若 i Aj, 则 aij ; 若 i Aj, 则 aij ( i, j ) 7 数 表 中 第 i 行 所 有 元 素 的 和 r i 表 明 元 素 i 属 于 r i ( 7) 个 集 合, 第 j 列 所 有 元 素 之 r i 9

30 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 和 c 表 明 集 合 A 含 有 c (3 7) 个 元 素 j j j c j ' 对 于 集 合,,,7 的 每 个 二 元 子 集 j, j, 当 且 仅 当 aij a ' 时, 元 素 iaj A, 因 此, 我 们 考 虑 和 数 : j ' ' S aij a ' j, j i 其 中 i 跑 遍,,,7, j, j 跑 遍 集 合,,,7 的 二 元 子 集 ' 由 已 知 条 件 () 可 知, 在 j j 时, A A ', 所 以 : i a j ij a ij ' j ' ij ij ( 上 式 表 示 两 个 不 同 的 子 集 所 包 含 的 公 共 元 素 个 数 为 或 ) 也 就 是 说 : 而 另 一 方 面, 因 为 i 属 于 C 个 A r i () S C7 j, j ' j A, 故 有 以 下 等 式 成 立 : ' j S a a ' C ij i ' j, j i ij r i 又 根 据 柯 西 不 等 式 : 7 7 S Cr i ri i i 4 再 由 已 知 条 件 () 可 知 : 7 7 ri 7 i ri i r c 73 i i j j 所 以 : 7 7 S 7 8 () 3

31 年 月总第 8 期 综合 两式可得 S 7 3 根据不等式等号成立条件 在 i j 时 有 均有且仅有一个公共元素 原命 Ai Aj 由此可证明每两个子集 Ai, A j i j 7 题得证 笔者认为这个题目出得很好 在解答过程中用到了许多值得我们深层次研究的方法 例如解答初始时的由已知条件转换为数表的抽象 完成了由文字语言向符号语言的变换 为接下来的解答奠定了基础 而整个解答过程最为出彩的地方 莫过于对和数 S 用两个不 同方法进行计算 通过两组不等关系确定出了 S 的值 由其中的等号成立条件证明了原问 题 在计算和式 S 时 第一种方法相当于先对每一行求和 再对每一列求和 第二种方法 则恰恰相反 先对每一列求和 再对每一行求和 在高等数学中 二重积分 二重级数 的积分号 和号 交换顺序同样是这个道理 在对某一个量列出关系式时 限于某些条件 我们不能将其性质完整的表述出来 因而给解决问题带来了些许困难 但通过算两次的方 法 我们能够较为全面地找出所求量的性质 从而使问题得到解答 3 总结 上面的三个题目代表了初等组合的几种典型问题 从这几个问题中我们不难看出组合 数学的离散性 它的研究对象一般都十分抽象 使我们无法具体地看出其潜在规律 故组 合问题没有固定的解法 而是各有各的不同 各有各的特色 从而我们能从组合问题中汲 取许多优秀的数学思想与数学技巧 如数形结合的思想 分类讨论的思想 数学建模的思 想 文字语言与符号语言的转换 探索法 数学抽象 对称性 抽屉原理 算两次等等 在组合数学题目搭建的平台上 各种数学技巧方法各施拳脚 发挥出着其无比强大的威力 给我们勾勒出一幅幅波澜壮阔的数学美景图 这些古老但永葆生机的思想技巧 与组合数 学交相辉映 将展现得淋漓尽致 参考文献 []单墫 数学竞赛研究教程 江苏教育出版社 9 年第 3 版 3

32 年 月总第 8 期 浅谈数学归纳法 赵亦龙 数学科学学院 数学类 97 摘 要 从数学归纳法的起源讲起 涉及其定义 方法步骤及应用 较为全面地介绍数 学归纳法并给出应用实例 关键词 数学归纳法 皮亚诺公理 数系的无限性. 数学归纳法的历史 已 知 最 早 的 使 用 数 学 归 纳 法 的 证 明 出 现 于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (575 年) Maurolico 利用递推关系巧妙地证明出了前 n 个奇数的总和是 n 由此揭开了数学归纳法之谜 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当 n 属于所有自然数时一个表达式成立 这种方法是由下面两步组成: 递推的基础: 证明当 n 时表达式成立 递推的依据: 证明如果当 n m 时成立 那么当 n m 时同样成立 这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的 然后证明一个值到下一 个值的证明过程是有效的 如果这两步都被证明了 那么任何一个值的证明都可以被包含 在重复不断进行的过程中. 数学归纳法的定义 基础 数系的无限性 自然数序列,,,3,4 是没有止尽的 因为在任何自然数 n 后 我们还可以写出 下一个 n 为了表达自然数序列的这个性质 我们说 有无穷多个自然数 自然数序列 是数学上无限性的一个最简单的例子 而从 n 到 n,这一步接一步的程序产生了数的无 线序列 也构成了数学归纳法的基础 基本理论依据 自然数的皮亚诺公理 数学归纳法的原理 通常被规定作为自然数公理 数学归纳法证明的是与自然数有关 的命题 它的依据是皮亚诺提出的自然数的序数理论 就是通常所说的自然数的皮亚诺公 理 内容是 设 是正整数的一个子集 且它具有下列性质 ① M ②若 k M 则 k M 那么 M 是全体正整数的集合 即 M Ν * 也叫做归纳公理 设 P 是 一个与正整数有关的命题 我们把使 P 成立的所有正整数组成的集合记为 M 如果要证 明 P 对于所有正整数都成立 只要证明 M Ν * 即可 为此 根据归纳公理 首先证明 M 数学归纳法中的第一步 归纳奠基 正是进行这样的证明 其次证明若 k M 则 k M 数学归纳法中的第二步 归纳递推 正是进行这样的证明 这样即可得 到 M Ν * 从而证明了命题 P 对于一切正整数都成立 不难看出归纳公理是数学归纳法 的理论根据 数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质 3

33 年 月总第 8 期 3数学归纳法原理 数学归纳法是以一种很不同的方式来证明无穷序列情形都是正确的数学定理 A 表示 一个有关任意自然数 n 的命题成立 例如 A : 一个 n+ 边的凸多边形的内角和为 n 倍 8 为了证明这一个对每个自然数 n 都成立的命题 只对 n 的前 个 前 个甚 至前 个值来证明是不够的 这种做法相当于经验归纳法 与此相反 我们必须用一个 严格数学的 非经验的推理方法 这种推理方法的特点我们下面用对命题 A 的证明来说明 对于命题 A 我们知道 n 时 这个多边形为三角形 内角和 8 对一个四边形 n, 划一条对角线把四边形分为两个三角形 立刻看出四边形的内角和等于这两个三角形的内 角的和 由此 四边形内角和为 接着是 n=3 的情况 我 们可以把它分成一个三角形和一个四边形 由于刚才已经证明了四边形的内角和为 36 所 以对 于五 边形 内 角和 为 以此 类推 可 依次 证明 n 4, n 5 等等情形 而且 每个命题都能以同样的方式由前一个命题推出 所以一 般的命题 A 对于所有 n 都成立 上面讨论的基本思想是 为了证明一个对所有 n 成立的定理 A 我们连续地证明一系 列特殊情形 A A 之所以能这样做 主要是基于 a)存在一个一般方法 它表明 如果任意命题 Ar 是正确的 则下一个命题 Ar 也是正确的 b 第一个命题 A 已知是正确 的 这两个条件 它们对证明所有命题 A A 都正确是足够了 是基本的逻辑原则 我们把它叙述为 假设我们希望证明整个一系列无穷多个数学命题 A A 它们合起来成为一般命题 A 假设 )通过某些数学论证证明了 如果 r 是任意正整数 且如果命题 Ar 已知是真的 则可推出命题 Ar 也真 )第一个命题 A 已知是真的 那么 序列的所有命题必然都是真的 从而 A 得证 3. 分类及基本步骤 一 第一数学归纳法 一般地 证明一个与正整数 n 有关的命题 有如下步骤 归纳奠基 证明当 n 取第一个值时命题成立 归纳递推 假设当 n k k n 的第一个值 k 为自然数 时命题成立 证明当 n k 时命题也成立 二 第二数学归纳法 对于某个与自然数 有关的命题 P(n) 验证 n n 时 P(n) 成立 假设 n n k 时 P(n) 成立 并在此基础上 推出 P(k ) 成立 综合 对一切自然数 n ( n n ) 命题 P(n) 都成立 33

34 年 月总第 8 期 三 倒推归纳法 反向归纳法 对于无穷多个自然数命题 P(n) 成立 假设 P(k ) 成立 并在此基础上推出 P(k ) 成立 综合 对一切自然数 n 命题 P(n) 都成立 四 螺旋式归纳法 P(n) Q(n) 为两个与自然数有关的命题 假如 P ( n ) 成立 假设 P(k ) ( k n ) 成立 能推出 Q(k ) 成立 假设 Q(k ) 成立 能推出 P(k ) 成立 综合,对于一切自然数 n ( n n ) P(n), Q(n) 都成立 其中 第一 第二归纳法在初等数学及高等数学学习中应用的较为广泛 4. 数学归纳法的应用.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个 无穷序列是成立的.证明和自然数有关的不等式 3.证明数列前 n 项和与通项公式的成立 4.在计算机科学中的应用 如 判断能被求出值的表达式是等价表达式 例1.证明不等式 3 n n (n N) 证明 ①当 n 时 左边 右边 左边<右边 不等式成立 ②假设 n k 时 不等式成立 即 3 那么当 n k 时 k 3 k k k k k k k k k k k k 这就是说 当 n k 时 不等式成立 由① ②可知 原不等式对任意自然数 n 都成立 34 k k

35 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 说 明 : 这 里 要 注 意, 当 n k 时, 要 证 的 目 标 是 k, 当 代 入 归 纳 假 设 后, 就 是 要 证 明 : 3 k k k k k 目 标 评 述 : 认 识 了 这 个 目 标, 于 是 就 可 朝 这 个 目 标 证 下 去, 并 进 行 有 关 的 变 形, 达 到 这 个 例. n 个 半 圆 的 圆 心 在 同 一 条 直 线 l 上, 这 n 个 半 圆 每 两 个 都 相 交, 且 都 在 直 线 l 的 同 侧, 问 这 些 半 圆 被 所 有 的 交 点 最 多 分 成 多 少 段 圆 弧? 分 析 : 这 道 题 较 为 抽 象, 可 以 先 从 n,3, 4 等 特 殊 情 况 着 手, 进 而 发 现 规 律, 归 纳 出 结 论, 并 通 过 数 学 归 纳 法 进 行 证 明 设 这 些 半 圆 最 多 互 相 分 成 f (n) 段 圆 弧, 当 n 时, 由 图 (), 两 个 半 圆 交 于 一 点, 则 分 成 4 段 圆 弧, 故 f ( ) 4; 当 n 3 时, 由 图 (), 三 个 半 圆 交 于 三 点, 则 分 成 9 段 圆 弧, 故 f ( 3) 9 ; 由 n 4 时, 由 图 (3), 三 个 半 圆 交 于 6 点, 则 分 成 6 段 圆 弧, 故 f ( 4) 6 ; 这 时 不 难 想 到 : 4, 9 3, 6 4, 由 此 猜 想 满 足 条 件 的 n 个 半 圆 互 相 分 成 圆 弧 段 有 f ( n) n ( 以 上 过 程 体 现 了 归 纳 假 设 的 思 想 ) 用 数 学 归 纳 法 证 明 如 下 : n 时, 上 面 已 证 设 n k 时, f ( k) k, 那 么 当 k n 时, 第 k 个 半 圆 与 原 k 个 半 圆 均 相 交, 为 获 得 最 多 圆 弧, 任 意 三 个 半 圆 不 能 交 于 一 点, 所 以 第 k 个 半 圆 把 原 k 个 半 圆 中 的 每 一 个 半 圆 中 的 一 段 弧 分 成 两 段 弧, 这 样 就 多 出 k 条 圆 弧 ; 另 外 原 k 个 半 圆 把 第 k 个 半 圆 分 成 k 段, 这 样 又 多 出 了 k 段 圆 弧 所 以 f ( k ) k k k ( k ) k ( k ) 所 以 满 足 条 件 的 k 个 半 圆 被 所 有 的 交 点 最 多 分 成 ( k ) 段 圆 弧 35

36 年 月总第 8 期 由① ②可知 满足条件的 n 个半圆被所有的交点最多分成 n 段圆弧 说明 这里要注意 增加一个半圆时 圆弧段增加了多少条 可以从 f () 4 f (3) f () 3, f (4) f (3) 3 4 中发现规律 f (k ) f (k ) k (k ) n 例3.求证第 n 个质数 p n 小于 将质数由小到大编上序号 其中算作第 个质数 证明 当 n 时 p 命题正确 假设对于小于 k 的自然数命题都正确 即有 p, p, p3, p k 3 p p p3... p k * * *... * 3 k k 将这些不等式两边相乘, 可得... k k 3 当 n k 时 首先考虑 p p p3... p k * * *... * 3 k... k k k 因为 p p p 3... p k 的质因数 q 不能为 p, p, p 3, p k 因为这些数除不 k 等式左边余数都是 只可能大于或等于 p k 又因为这个质因数 q 必小于 因为 不是质数 所以 p k q 即 p k 因此 当 n k 时 命题正确 k k k 综上 可知命题对于任何正整数都成立 评述 本题如果应用第一数学归纳法 在分析质因数的时候会出现问题 不得不采用第二数 学归纳法 由此可见 有些问题用第一数学归纳法难以奏效的时候 采用第二数学归纳法会 迎刃而解 而本题中证明 p k k 的方法也是十分巧妙的 5. 总结 综上所述 数学归纳法在一些困难的问题中发挥着主要作用 它不仅在中学数学中有用 在我们的基础学科 数学分析 高等代数等学科中也发挥着其作用 因此 数学归纳法不仅 贯穿于我们数学的各门学科中 而且在我们的日常生活中也起着不同凡响的作用 正如华罗 庚老先生在其 数学归纳法 一书中指出的那样 数学归纳法正是体现了人的认识从有限 到无限的飞跃 在人类数学的进步中起着非常广泛的作用 参考文献 []华罗庚.数学归纳法 [M]. 北京:科学出版社,. -5 []王力,张宇.数学归纳法的教学[J].初等数学研究.7, 3(9).-3 [3]G 波 利 亚 著.涂 泓,冯 承 天 译.怎 样 解 题 [M].上 海 : 上 海 科 技 教 育 出 版 社 [4]张鹏志.高中代数解题方法汇集 [M]. 青岛出版社第一版 [5]张雄 李得虎.数学方法论与解题研究 [M]. 高等教育出版社第一版 [6]R 柯郎 H 罗宾著 I 斯图尔特 修订 左平 张饴慈 译.什么是数学 对思想和方法的基本研究. 复旦大学出版社 36

37 年 月总第 8 期 [7]北京大学数学系.高等代数[M].北京 988 [8]王品超.高等数学新方法 下册 [M].中国矿业大学出版 3 [9] 美 G 波利亚.数学与猜想[M].科学出版社 3 []汪浩.朱煜民 译 数学是什么[M].湖南教育出版社 985 浅谈求面积 体积的初等与高等方法 王凯 经济学院 金融学专业 8 摘 要 微积分是全部高等数学的基础 尤其是极限理论更是基础中的基础 本文围绕 圆的面积和球的体积的初等高等计算方法展开叙述 从而揭示出初等方法的直观性 易接 受性和它的局限性 相比之下 虽然高等方法比较复杂和艰深 但它使我们在求平面上任 意图形的面积和空间任意立体的体积时游刃有余 而这一点是初等方法所无可比拟的 我 们面对的世界是纷繁复杂的 突出地表现是其随机性和非线性性 本文旨在通过初等方法 与高等方法在求圆的面积和球的体积上的回顾与对比 力图阐释学好高等数学的重要性和 必要性 关键字 圆的面积 球的体积 初等方法 高等方法 引言 和语文 英语不同 数学是我们经济类专业大学生的学习生涯中唯一一门没有间断的 学科 从小学刚刚入学开始 我们似乎就和数学 结下了不解之缘 小学时我们常常以为数学就是 算术 就是加减乘除 但是随着以后的学习 我 们逐渐认识到 数学绝不是数数那么简单 它其 实是以高度抽象的思维和方法来研究事物之间的 数量关系 结构关系 而这些关系是存在于几乎 所有的学科之中的 进入大学后 随着对微积分知识学习的一步 步深入 本人在归纳方法总结规律的同时 也和 自己早期学习的数学知识进行类比 发现之前用 初等方法解决的一些问题 用微积分的方法可以 更容易地加以解决 并且微积分的方法具有更大的威 图 正方形面积 力 它能解决的问题是初等方法所无能为力的 圆的面积的计算 圆是一种平面几何图形 到定点的距离等于定长的 点的集合叫做圆 也就是当一条线段绕着它的一个端点 在平面内旋转一周时 它的另一个端点的轨迹就是圆 下面是圆面积计算的初等方法和高等方法的回顾 图. 算术割补法 直观 易懂 37 分圆为若干等分

38 年 月总第 8 期 我们在最开始接触面积时使用 单位的正方形来充当面积单位的 如图 由此我 们很自然地得到了长方形和正方形的面积公式 S 长 宽 然而当我们在学习到圆时 之 前的方法似乎不能求出它的面积了 小学课本普遍采取的是割补的方法 把圆分割成若干 偶数 等份的近似等腰三角形 如图 然后用这些近似等腰三角形拼接成如图 3 所示 的图形 如果分的份数越多 每一份就会越小 拼成的图形就会越接近于长方形 由此 我们就可以用之前的长方形的面积公式来求圆的面积了 也通俗地引出了圆的面积公式 如 图 3 点评 这种方法对丝毫没有接触微积分的小学 6 年级学生而言 不失为一种很好的教 学方法 它从感性入手 直观易懂 让学生很自然地接受了圆的面积公式 但它也有一定 的弊端 可能会让学生有一种用圆的 面积公式 S R 只是粗略地求出圆 的面积 而不是圆的准确面积的错觉. 初等数学中朴素的极限思想 为严谨的极限理论作铺垫 这种方法在中学阶段可能有老 师会介绍到 首先类似于割补法 先将圆分割 成若干等份 不同的是要分割成若干 个标准等腰三角形 如图 4 则每个 三角形的面积就是 S i h li 那 么圆的面积就可以表示为 S S S Si S n 图 3 截自人教版 小学六年级数学 h l l ln 当 n 时 等腰三角形的高 h R 且 ( l ln ) L R 这里 L 是圆的周长 于是推得 S R. 图 4 中学讲授的极限法 点评 这种方法应用到了极限的思想 但并 非是纯粹的极限应用题 学生可以较为容易地理解 相较于割补法更加严谨 建议在教学 过程中作为补充.3 定积分法 以严谨的极限理论为基础 以上两种方法分别是在小学和中学阶段采用的 但接下来的第三种方法则需要用到高等 数学微积分中定积分的知识 首先 在直角坐标系中作一个以原点为圆心 以 R 为半径的圆 其方程为 y R 根据它的对称性 我们只需求出它在第一象限中的面积 然后乘以 4 就可以了 具体地 先导出圆位于第一象限部分的曲线方程 即 y 38 R 之后 求积分

39 年 月总第 8 期 S 4 R R d R sin t 4 r cos tdt 4 R cos t dt sin t R (t ) R. 点评 这是推导圆面积公式的很方便的方法 只要具备了定积分的知识 就能够在很 短的时间内求出圆的面积 严谨 清晰 准确 事实上 利用定积分是可以求出平面上任 意图形的面积的 熟知的微元法是极限理论的典型应用.4 二重积分法 取其几何意义的特例 利用定积分可以求平面图形面积 而利用重积分同样可以求平面图形的面积 利 用 重 积 分 来 求 面 积 则 要 利 用 公 式 SD d 若积分区域 D 是圆域 D, y R 在极坐标系下 D 可以表示为 D : 则 r R R S d d rdr D R r d R R. 这样 我们更加轻松地得到了圆的面积公式 点评 众所周知 二重积分的几何意义是求曲顶柱体的体积 然而当被积函数为 时 曲顶柱体便蜕化为积分区域的面积 这里体现出微积分体系的和谐与完美 3 球的体积的计算 在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体 简称球 3. 算术中的排水法 如图 5 所示 在球放入之前和之后 圆柱形容器中液面高度 分别为 h 和 H 设水面面积为 s 则易知球的体积 v s ( H h). 点评 排水法在小学中学的教学当中应用得很广泛 而且和 割补法一样是很通俗易懂的方法 学生在不具备高等数学知识时 借助于感性知识便能理解 图 5 求球体积的排水法 3. 基于极限思想的逼近法 设球的半径为 R,球的体积为 V 如图 6 所示将上半球分割为 n 份 于是得到 n 个 小 圆片 第 i 个 小圆片 底面半径为 R ri R [ (i )], i,,, n n 于是 第 i 个 小圆片 体积近似为 Vi ri R R 3 i [ ( ) ], i,,, n n n n 上半球的体积近似为 39 图6 将上半球分割

40 年 月总第 8 期 V上 V V Vn R 3 n [n R 3 [ R 3 n { [ (n ) ] [ ] [ ]} n n n (n ) R 3 (n ) n (n ) ] [n ] n n n 6 (n )( n ) ] n 取极限 即令 n 则得到上半球体积的精确值 V上 R 而球的体积为 V R. 3 3 点评 极限法不如排水法直观 然而 这一方法却有着排水法无法比拟的优点 因为 它可以用来求任意形状的空间立体的体积 只要其截面面积能够求出 3.3 重积分法 我们仍旧来求球心在坐标原点 半径为 R 的球体的体积 设其方程为 y z R 利用它关于平面 Oy 的对称性 我们只需要求其位 于平面 Oy 之上的半球面的体积 然后乘以 即可 这里 积分区域 D 为 y R, z 被积函数为 z R y, 则球体的体积为 V R y d. D 当然 当积分区域为圆域时 用极坐标来计算二重积分会更简便 4 总结与感悟 从初等数学到高等数学 反映出人类对客观世界的认识经历了从感性到理性 从 简单到复杂的艰苦过程 初等数学之所以是初等 因为其主要特点是研究静止的和有限的 客观对象 高等数学之所以高等 是因为它以运动的观点和无限的观点对客观世界展开研 究 而我们知道 世界和宇宙无时无刻不在运动 这种运动又处于无限的过程之中 从这 个意义上说 高等数学可以帮助人们更好地认识 分析和研究世界 从前面的回顾中 我 们看到 初等数学只能计算规则的面积和规则的体积 而高等数学则可以计算不规则的面 积和不规则的体积 全部微积分充满了辩证法和对立统一的观点 在典型的微元法中 贯穿了将有限 转化为无限 又将无限转化为有限的哲学思想 3 随着时间的推移 人们面对的问题将越来越复杂越来越困难 这就需要我们不但 要继承人类最先进的科学技术 而且要发展更加先进的科学技术 作为当代的大学生 应 当充分认识到自己所肩负的责任 参考文献 []数学(小学六年级上,人民教育出版社. []张效成,张阳,徐锬,赵志勇.经济类数学分析,天津大学出版社,5 年 7 月第一版. 4

41 年 月总第 8 期 关于矩阵的三种乘积 邢进 经济学院 金融学 85 摘 要 矩阵是重要的数学工具 本文将在重点剖析一般形式的矩阵乘法的运算性质 具体示例 来源 应用以及推广的基础上 引入两种可应用于非线性关系中的矩阵乘积的 概念 即 Hadamard 乘积和 Kronecker 乘积 并且还将以一般矩阵乘积为基础阐述与这两 种矩阵乘积相关的概念 关键词 矩阵乘积 Hadamard 乘积 Kronecker 乘积 前言 矩阵方法在许多领域(特别是在与数学和计算机有关的领域)发挥着非常重要的作用 目前 常用的一般矩阵乘积是基于线性代数变换的,这种乘积定义是最基本的也是比较普适 的 不过 从本质来讲这种乘积定义不适合于非线性计算和分析 实际上,标准的线性代数 和矩阵分析技术在非线性计算和分析中已显得力不从心 因此 有必要引入与发展可应用 于非线性关系的矩阵乘积 而在这类乘积中 Hadamard 乘积和 Kronecker 乘积尤为重要 一般矩阵乘积 矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积 它只有在第一个矩阵的列数和第二个矩阵的 行数相同时才有定义 一般单指矩阵乘积时 指的便是一般矩阵乘积 设 A 为 m n 阶矩 阵 B 为 n p 阶矩阵 a a A am a a am b b b p b b b p B bn bn bnp an a n, amn 则它们的乘积 C AB 是一个 m p 矩阵 其元素是 n cij airbrj aib j ai b j ainbnj, i,,, m; j,,, p. r 这种矩阵乘积亦可由稍微不同的观点来理解 即把矩阵 C 看作由 m 个行向量(亦称行 矩阵)组成的分块矩阵 其第 i 个行向量可以用 A 的第 i 行各个元素依次和 B 的各个列向量 相乘再相加得到 即 (ci, ci,, cip ) ai (b, b,, b p ) ai (b, b,, b p ) ain (bn, bn,, bnp ) 此外 cij 还可以看作是 A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量的内积 矩阵理论的起源可追溯到 8 世纪 对矩阵本身作专门研究 开始于英国数学家凯莱 855 年以后 凯莱发表了一系列研究矩阵理论的文章 一般矩阵乘积的概念与相关性质 4

42 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 4 也 首 次 由 凯 莱 提 出 由 于 凯 莱 的 奠 基 性 工 作, 一 般 认 为 他 是 矩 阵 理 论 的 创 始 人 从 最 初 单 纯 的 数 学 领 域 到 日 后 的 数 理 经 济 学 计 算 机 学 管 理 学 等, 以 矩 阵 乘 积 为 代 表 的 矩 阵 算 法 充 斥 其 间, 为 科 学 技 术 的 进 步 与 生 产 效 率 的 提 高 做 出 了 巨 大 贡 献 3 矩 阵 的 Hadamard 乘 积 设 A, B 为 数 域 F 上 两 个 n m 阶 矩 阵, n m a ij A, n m b ij B 称 n m a ij b ij B A 为 A 与 B 的 Hadamard 乘 积 矩 阵, 简 称 为 矩 阵 的 H 乘 积. 例 如 其 相 关 的 主 要 性 质 和 结 论 有 : () A B B A ; () a j j a j j B A B A ; (3) T T T B A B A ; (4) A, B 为 对 称 矩 阵, 则 B A 也 为 对 称 矩 阵 ; (5) 同 一 般 矩 阵 乘 积 一 样, H 乘 积 也 满 足 乘 法 的 分 配 律 与 结 合 律 上 面 的 几 个 结 论 都 可 由 定 义 直 接 推 出, 是 比 较 简 单 的, 因 此 这 里 不 再 给 出 证 明 Hadamard 乘 积 目 前 还 停 留 在 理 论 研 究 上, 其 实 际 应 用 还 比 较 少 不 过,Hadamard 乘 积 已 经 展 现 出 来 的 在 非 线 性 分 析 与 计 算 中 的 优 势 已 是 不 容 忽 视 的 相 信 随 着 研 究 的 逐 步 深 入, Hadamard 乘 积 一 定 会 找 到 其 用 武 之 地 4 矩 阵 的 Kronecker 乘 积 矩 阵 的 kronecker 乘 积 是 一 种 很 重 要 的 矩 阵 乘 积, 它 在 线 性 矩 阵 方 程 微 分 方 程 的 研 究 中 都 起 到 了 一 定 的 作 用 给 定 任 意 两 个 矩 阵 A, B,A 是 n m 矩 阵,B 是 q p 矩 阵, 我 们 可 以 定 义 两 个 矩 阵 的 直 积 或 称 为 克 罗 内 克 乘 积 B A 为 B a B a B a B a B a B a B A mn m m n. 显 然, B A 是 nq mp 阶 矩 阵, 且 此 乘 积 是 不 可 交 换 的 例 如

43 年 月总第 8 期 矩阵的 Kronecker 乘积同样也满足乘法的分配律与结合律 A B C A B A C ( B, C 为同型矩阵), A B C A C B C ( A, B 为同型矩阵), ka B A kb k A B, A B C A B C. 上述三种矩阵乘积中尤以一般性质的矩阵乘积最为重要 参考文献 []陈文,钟廷修,郁永熙.特殊矩阵乘积在非线性数值计算中的应用,应用数学与计算数学学 报,998.6,() []马建荣,刘三阳.线性代数选讲,电子工业出版社,北京,.4.. [3]陆少华,沈灏.大学代数,上海交通大学出版社,上海,.4. [4]同济大学应用数学系.高等代数与解析几何,高等教育出版社,北京,5.5. [5]陈公宁.矩阵理论与应用,科学出版社,7.8.(). [6]贾正华.Hadamard 乘积矩阵的一些性质,工科数学,998.6,4(3) [7]晏林.矩阵的 Kronecker 乘积的几个性质,云南师范大学学报,.,(6) 3-4. 浅谈微积分中的不等式 吴铭 经济学院 金融系 83 摘 要 不等式证明是数学学习中的一个难点.在不等式的许多证法中 往往需要较高的技 巧 利用微积分的思想证明不等式 可使不等式的证明过程大大简化 技巧性降低 本文主 要归纳对比了微积分学中的几个常用不等式的证明方法 并对相关不等式作了深入探讨. 关键词 微积分;不等式;证明 前言 不等式是数学课程中的重要内容 它反映了变量之间很重要的一种关系 有着十分广泛 的应用 许多不等式的证明 如果采用初等方法 往往需要较高的技巧 而利用微积分学中 的数学思想及其方法可以使这些不等式证明的思路变得简单 而使技巧性降低.本文从大一 的高等数学教材中选取了几个典型的不等式来进行两类证明方法的对比 此外也介绍几个课 外的著名的积分不等式 以飨读者. 定积分和二重积分中的不等式 命题 设 M 和 m 分别为 f 在 a, b 上的最大值和最小值 则有 m b a f d M b a. b a 43

44 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 证 实 际 上 此 不 等 式 通 过 作 图 从 直 观 上 很 容 易 理 解, 下 面 利 用 积 分 中 值 定 理 来 证 明. b 因 为 m f M, 所 以 易 得 mb a f d M b a. 同 理 也 可 以 得 到 二 重 积 分 中 的 不 等 式 : 若 函 数 f 在 D 上 可 积, 且 y D f, y, 则 有 A fd 小 值 与 最 大 值. D a,, 有 A, 其 中 A 是 区 域 D 的 面 积,, 是 f 在 D 上 的 最 3 凸 函 数 不 等 式 命 题 (Hadamard 不 等 式 ) 设 f 是 f b a, 上 的 下 凸 函 数, 则 对 任 意, a, b f f f t dt.,, 有 从 图 中 可 以 看 出 Hadamard 不 等 式 具 有 明 显 的 几 何 意 义 由 于 f 是 a, b上 的 下 凸 函 数, 曲 线 段 位 于 曲 线 过 点 f f,, f ( ) 的 切 线 段 上 方, 并 位 于 连 接 点, 和 的 直 线 段 下 方, 因 此 曲 线 段 与 直 线, 及 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 面 积 应 在 上 述 两 直 线 段 与 直 线, 及 轴 围 成 的 两 个 梯 形 的 面 积 之 间 图 Hadamard 不 等 式 具 有 明 显 的 几 何 意 义 证 从 命 题 知 道 函 数 可 积. 注 意 到, 不 仅 是, 的 中 点, 同 时 也 是 区 间 的 中 点, 利 用 f 为 下 凸 函 数, 则 有 不 等 式, f f f 将 上 式 两 边 对 从 到 积 分, 经 计 算 就 可 以 得 到 44

45 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 f t dt f f f f f 注 :Hadamard 不 等 式 含 有 左 边 和 右 边 两 个 不 等 式 可 以 证 明, 若 其 中 任 何 一 个 不 等 式 对 所 有 a, b,,, d d 成 立 等 号, 则 易 得 f 只 能 是 线 性 函 数 下 面 用 反 证 法 证 明 f 只 能 是 线 性 函 数 证 ( 反 证 法 ) 假 设 函 数 f 不 是 线 性 函 数, 如 图 由 题 意 可 知 若 有 f f f t dt 则 由 图 中 的 几 何 意 义, 令 图 中 的 大 梯 形 的 面 积 为 S, 显 然 得 S f f dt f t 即 S S ( 其 中 S 即 为 曲 线 段 与 直 线, 及 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 面 积 ). 又 因 为 函 数 f 不 是 线 性 函 数, 则 显 然 对 任 意 的 a, b,, 这 与 上 述 等 式 发 生 矛 盾, 故 f 是 线 性 函 数 当 f 是 线 性 函 数 时, 显 然 得 到 f f, f t dt S 不 可 能 恒 等 于 S,, 而 且 同 理 可 以 证 明 得 到 f f t dt 时, 函 数 f 只 能 是 线 性 函 数 4 Schwarz 积 分 不 等 式 Schwarz 积 分 不 等 式 是 最 基 本 的 积 分 不 等 式 之 一, 应 用 非 常 广 泛 命 题 设 f g Ra, b,, 则 有 b b b a a a f g d f d g d. 证 法 ( 用 二 重 积 分 证 明 ) 由 二 重 积 分 可 知, 其 中 D y b a f g d f g f y g y ddy, a b, a y b, 并 且 也 有 D 45

46 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 b a f 由 平 均 不 等 式 易 得 D b d g d f g yddy f yg ddy f 即 可 以 得 到 ( f a D ( ) g ( y) ddy D D ( ) g ( y) f D f D f f ( y) g ( )) ddy D ( y) g ( ) ddy g f ygy ddy g f ygyddy b b b a a a f g d f d g d 证 法 ( 从 对 应 的 离 散 不 等 式 来 证 明 ) 将 a, b作 等 距 分 划, 并 且 令 i i a, n 再 应 用 柯 西 不 等 式, 可 以 得 到 再 令 n, 可 得 到 b a, i,,, n ( g ( )), n n n f ( i ) g( i )) ( f ( i ))( n i n i n i b b b a a a f g d f d g d. Schwarz 不 等 式 在 对 积 分 类 问 题 的 求 解 时 很 有 帮 助, 由 于 Schwarz 不 等 式 的 灵 活 性, 在 微 积 分 中 也 有 很 广 泛 的 应 用, 本 文 也 撷 取 一 些 经 典 例 题 来 进 一 步 阐 明 此 不 等 式 的 具 体 应 用 f, 且 a 例 设 C [ a, b] 证 由 f a, 有 f f t) dt f ( ) ( a f ( t) dt) b b ( b a) f, 证 明 : f ( ) d ( f ( )) d. a a a ( a ( a) (, 再 由 Schwarz 不 等 式 有 如 下 估 计 ( f ( )) b a d)( a) ( f ( )) 再 将 两 边 对 从 a 到 b 积 分 就 可 以 得 到 所 求 的 结 果, 即 b a f ( b a) b ( ) d ( f ( )) d. a 例 设 函 数 C[ a, b] f 且 在 定 义 域 中 单 调 增 加, 证 明 f d f d i b a b b a a 46

47 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 实 际 上, 当 函 数 f 非 负 时, 此 题 有 着 非 常 明 显 的 物 理 意 义 : 如 果 曲 线 y f 加, 则 密 度 均 匀 的 曲 边 梯 形 ya b, y f 单 调 增, 的 质 心 不 可 能 位 于 直 线 a b 的 左 边 分 析 此 题 的 解 法 很 多, 可 以 利 用 函 数 f 的 单 调 性 以 及 定 积 分 的 性 质 来 证 明, 但 本 文 采 取 类 似 于 证 明 Schwarz 不 等 式 的 方 法, 即 利 用 二 重 积 分 来 证 明 b 证 先 证 明 fd d f d d 且 同 样 也 有 b a b a b. 由 题 意 可 得 b d d f yf y f ddy, 其 中 D y a b a D b d d yf fy f ddy, a a,, a b, a y b. D a 又, 由 函 数 f 单 调 增 加, 则 显 然 有 ( y)( f ( ) f ( y)), 故 而 可 以 得 到 D 于 是, 证 得 f yf yddy b D yf b b b d d f d d b a f f b a b 然 后 再 由 fd d f d d b a a a b a a b a a y, 可 以 得 到 b a f d b d a a b a 即 得 到 f d f d f d b d b a a b b a a b a f d ddy 注 由 Schwarz 不 等 式 的 证 明 方 法 一 以 及 例 题 的 证 明 方 法 可 以 看 出, 微 积 分 中 的 二 重 积 分 在 解 决 定 积 分 的 不 等 式 的 证 明 中 往 往 起 着 重 要 的 作 用, 5 Young 不 等 式 除 了 在 解 题 中 应 用 广 泛 的 Schwarz 不 等 式 外, 还 有 许 多 著 名 的 积 分 不 等 式, 在 这 些 积 分 不 等 式 中,Young 不 等 式 以 其 简 洁 的 形 式, 灵 活 的 用 法 也 在 数 学 解 题 中 有 着 很 大 的 作 用 命 题 设 函 数 f 在 a, ab f d 上 连 续 可 导 且 严 格 单 调 增 加, f, a, b, b gydy, 则 有 47

48 年 月总第 8 期 其中 g y 是 f 的反函数 而等号当且仅当 b f a 时成立 分析 其实 Young不等式有着很明显的几何意义 所以通过作图来证明Young不等式是 一个很简便的方法 b f () g ( y) f () b a g ( y) a b 图 b a c a Young不等式的几何证明 证 如图 由于定积分等于曲边梯形的面积 可能发生的就只有图所示的a,b,c三种 情况 其中定积分 f d 等于画有垂直阴影线的曲边三角形面积 定积分 g y dy 表示 a b 的是画有水平阴影线的曲边三角形面积 显然 对于前两种情况 这两个面积之和都严格大 于以边长为 a 和 b 的矩形面积 而在第三种情况中 两个面积之和则刚好等于一边长为 a 和 b 的矩形面积 即验证了 S ab f d g y dy S S (其中 S 即为以边长为 a 和 b 的矩形面积 S, S 分别为 a a b f d 和 g y dy 所代表的曲边三角形的面积) 但第 b 三种情况时 此时有 b f a 且 S S S 即此时不等式的等号成立 例3 试用Young不等式证明 当 a, b 时 成立 ab ea b ln b 证 a 令 f e, g y ln 则由Young不等式可以得到 ab e b ln b 参考文献 []张效成,张阳,徐锬,赵志勇.经济类数学分析,天津大学出版社5年7月第版. []同济大学数学系.微积分解题思想和方法 下,同济大学出版社. 48

49 年 月总第 8 期 感想与思考 编辑点评 这篇文章在当下有很大的现实意义 尽管我们对陈景润的事迹已很熟悉 但当我们审读此文时 又多次被文中叙述的事迹深深打动 陈景润甘于寂寞 献身科学 环境再恶劣 生活再艰难也不能撼动他的意志 这是何等高尚的情 操 这是何等博大的心胸 相比之下 在当下学术环境自由 物质条件优越的 情况下 不少人却难耐寂寞 功利浮躁 甚至弄虚作假 严重败坏了学术道德 这种恶劣空气已经对原本洁净的高校造成了污染 不少师生也深受其害 此文 的现实意义就在于 它给出了一面镜子 一个榜样 让我们像陈景润那样 甘 于寂寞 踏踏实实去做事情 一位本科生充满对于陈景润的敬仰之情 写出此 文 难能可贵 甘于寂寞 献身科学的精神永存 记数学大师陈景润 王浩竹 (南开大学 信息技术科学学院 光电子技术科学 443) 摘 要 年少时的陈景润 饱尝人间疾苦 他出身贫寒却志存高远 大学中的陈景润 甘于寂寞 努力修行 厚积薄发的一篇论文引起华罗庚的关注 文革中的陈景润 不怕困 难 历尽艰险 将甘于寂寞 献身科学的精神发挥到了极致 终于在人类证明哥德巴赫猜 想的道路上留下了属于中国的辉煌印记 数学大师陈景润的一生多灾多难:长期的病痛折 磨 世人的不解与非议 小人的谩骂与攻击 罹患帕金森症 但正因如此 陈景润那甘 于寂寞的数学精神和卓越的贡献才更加地熠熠生辉 关键字 陈景润 哥德巴赫猜想 甘于寂寞 科学研究 献身科学 996 年 3 月 9 日 中国著名的数学家 新中国成立后培养出的科学家的杰出代表陈 景润先生带着遗憾过早地与世长辞了 享年 63 岁 陈先生给我们留下的 有诸多的数学成 果 有对哥德巴赫猜想近乎完全的证明 但更为珍贵的是 甘于寂寞 献身科学的数学 精神 出身贫寒 志存高远 933 年 5 月 日 陈景润出生于福建省福州市 父亲是邮政局的小职员 母亲操持 家务 由于条件窘迫 战火纷飞 陈景润的母亲所生的 个孩子中只有 6 个存活下来 陈 景润排行中间且体弱多病 他从呱呱坠地的那一天起 就成为了双亲的累赘 似乎是个多 余的人 残酷的战争环境使陈景润的心灵受到了极大的创伤 加之在家中得不足够的爱护 在学校里总被人欺侮 陈景润在痛苦与惊悸中被塑造成了一个性格内向的人 内向的陈景润在学校学习非常刻苦 老师同学们都称他为 booker 他尤其热爱数 学 当内心苦闷 烦躁时 代数方程式是唯一能给年少的陈景润带来快乐的东西 948 年 陈景润以优异的成绩考入福州英华中学 在那里 他遇到了影响自己一生的数学老师 原清华大学航空系主任沈元 沈元曾在一堂数学课上引述德国大数学家高斯的话 生动地 向同学们形容了哥德巴赫猜想的重要地位 数学是科学的皇后 数论是数学的皇冠 而哥 德巴赫猜想则是皇冠上的明珠 并说他梦到自己所教的学生中有一位将会证明哥德巴赫猜 想 也正是从此 年少的陈景润心中埋下了一颗种子 他立志证明哥德巴赫猜想 摘取皇 冠上的明珠 其实 陈景润甘于寂寞 献身科学的数学精神在这时已经有所体现 当课上 49

50 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 沈 元 老 师 说 出 自 己 的 梦 时, 其 他 同 学 都 笑 了, 唯 独 陈 景 润 没 有 陈 景 润 在 他 989 年 月 8 日 发 表 在 工 人 日 报 的 文 章 我 的 心 里 话 中 写 道 : 我 没 有 笑, 也 不 敢 笑, 怕 同 学 们 猜 破 我 的 憧 憬, 但 我 永 远 记 得 这 件 事, 记 得 那 皇 冠 上 的 明 珠 和 我 的 抱 负 与 理 想 潜 心 修 行 展 露 锋 芒 95 年 福 州 解 放 后, 陈 景 润 考 入 厦 门 大 学 数 理 系 来 到 厦 门 大 学 的 陈 景 润 仿 佛 到 了 天 堂, 这 里 有 着 优 越 的 学 习 环 境, 让 陈 景 润 可 以 无 忧 无 虑 地 学 习 ; 知 识 渊 博 的 教 授, 可 以 解 答 陈 景 润 的 疑 惑 陈 景 润 更 是 丝 毫 不 放 过 这 样 绝 佳 的 学 习 机 会, 他 潜 心 于 学 习, 节 假 日 同 学 们 大 都 去 郊 游, 但 陈 景 润 没 有 雅 兴 去 欣 赏 集 美 镇 的 如 画 景 致 ; 更 没 有 闲 暇 去 漫 游 灿 烂 明 珠 鼓 浪 屿 ; 即 便 是 近 在 咫 尺 的 南 普 陀 和 五 老 峰, 他 也 舍 不 得 花 点 时 间 去 光 顾 ; 熙 熙 攘 攘 的 商 业 街 更 不 是 他 喜 欢 的 场 所 他 把 全 部 课 余 时 间 消 耗 在 书 本 里, 除 了 吃 饭 和 必 要 的 睡 眠 他 的 生 活 圈 是 一 个 弯 弯 曲 曲 的 四 边 形 宿 舍 食 堂 教 室 阅 览 室 无 疑, 这 四 边 形 的 重 心 是 数 学, 一 切 围 绕 它 旋 转 用 两 耳 不 闻 窗 外 事, 一 心 只 读 圣 贤 书 来 形 容 他 再 恰 当 不 过 了 在 大 学 三 年 的 学 习 当 中 [], 陈 景 润 将 全 部 的 精 力 都 倾 注 到 了 他 所 钟 爱 的 数 学, 以 至 于 他 在 大 学 三 年 获 得 的 知 识 远 远 超 过 大 学 本 科 毕 业 生 的 水 平, 而 这 也 为 他 三 年 后 做 出 令 人 惊 异 的 科 研 成 果 奠 定 了 坚 实 的 基 础 陈 景 润 在 大 学 毕 业 后 被 分 配 到 北 京 四 中 任 数 学 教 师, 但 因 不 善 言 谈, 最 终 在 厦 门 大 学 校 长 王 亚 南 的 安 排 下 回 到 厦 门 大 学 担 任 数 学 系 图 书 馆 管 理 员 一 职 能 够 每 天 接 触 大 量 的 专 业 书 籍 和 文 献, 这 对 于 陈 景 润 来 说 可 谓 如 鱼 得 水 他 如 饥 似 渴 地 从 馆 藏 专 业 书 籍 和 期 刊 文 献 中 汲 取 知 识 在 完 成 每 天 的 工 作 后, 陈 景 润 将 所 有 业 余 时 间 都 投 入 到 学 习 当 中, 甚 至 每 天 晚 上 都 会 在 自 己 7 平 方 米 的 宿 舍 中 学 习 到 深 夜, 而 日 本 数 学 权 威 高 木 贞 治 的 初 等 数 论 和 我 国 著 名 数 学 家 华 罗 庚 的 堆 垒 素 数 论 他 更 是 啃 了 一 遍 又 一 遍 陈 景 润 的 积 累 终 于 有 了 收 获, 他 在 956 年 发 表 论 文 他 利 问 题 [], 改 进 了 华 罗 庚 在 堆 垒 素 数 论 中 的 结 果, 出 色 的 工 作 极 大 地 触 动 了 数 学 大 师 华 罗 庚 更 难 能 可 贵 的 是, 这 篇 论 文 发 表 的 时 间 距 陈 景 润 大 学 毕 业 才 仅 仅 三 年 能 够 取 得 这 样 令 人 惊 讶 的 成 就, 这 与 他 长 期 甘 于 寂 寞 的 修 行 是 密 不 可 分 的 由 于 华 罗 庚 的 重 视, 陈 景 润 于 957 年 被 调 至 中 国 科 学 院 数 学 研 究 所 任 实 习 研 究 员, 而 他 的 科 研 生 涯 也 由 此 真 正 揭 开 了 序 幕 3 甘 于 寂 寞 成 就 惊 人 来 到 中 科 院 数 学 研 究 所 的 陈 景 润, 感 觉 自 己 进 入 了 一 个 数 学 的 城 堡 这 里 到 处 都 有 数 学 公 式 和 符 号, 每 个 房 间 里 都 有 在 冥 思 苦 想 的 数 学 家 浓 厚 的 数 学 气 息 和 治 学 氛 围 让 陈 景 润 为 之 神 往, 他 决 心 在 这 里 实 现 自 己 的 梦 想 证 明 哥 德 巴 赫 猜 想 然 而, 这 座 理 想 的 数 学 城 并 非 世 外 桃 源, 当 陈 景 润 刚 刚 进 入 研 究 状 态 时, 一 场 浩 大 的 政 治 运 动 便 中 断 了 陈 景 润 的 工 作 在 狂 热 的 大 跃 进 和 拔 白 旗 运 动 中, 华 罗 庚 被 打 成 大 白 旗, 而 陈 景 润 也 未 能 幸 免 于 难, 被 打 成 小 白 旗 的 他 被 调 到 大 连 化 学 物 理 研 究 所 对 化 学 物 理 一 窍 不 通 的 陈 景 润 在 那 里 无 所 适 从, 他 唯 一 的 办 法 就 是 偷 偷 读 书, 继 续 研 究 数 学 幸 运 的 是,96 年, 陈 景 润 被 调 回 了 中 科 院 数 学 研 究 所, 他 的 研 究 工 作 得 以 继 续 进 行 回 到 数 学 所 的 陈 景 润 决 心 将 损 失 的 时 间 追 回 来, 他 一 头 钻 进 数 论 的 研 究 当 中, 将 甘 于 寂 寞 献 身 科 学 的 精 神 发 挥 到 了 极 致 时 间 对 于 他 就 是 成 果, 就 是 生 命 他 没 有 娱 乐, 没 有 交 际, 不 聊 天, 不 看 报, 过 着 一 种 极 其 单 调 的 生 活 他 睡 眠 很 少, 一 天 只 有 三 四 个 小 时 他 吃 喝 简 单. 惟 恐 消 耗 时 间 三 十 多 岁 的 汉 子, 不 恋 爱, 不 结 婚, 如 同 一 个 苦 行 僧, 一 天 二 十 四 个 小 时 中, 他 有 十 五 六 个 小 时 都 泡 在 数 学 里 在 罗 声 雄 所 著 一 个 真 实 的 陈 景 润 当 中 有 这 样 一 段 话 是 描 述 陈 景 润 那 段 时 间 的 生 活 的 : 如 果 不 是 为 了 维 持 简 单 再 生 产, 他 不 会 去 吃 饭, 不 会 去 睡 觉, 他 可 以 用 数 学 来 满 足 胜 利 的 需 求, 成 为 不 食 人 间 烟 火 的 神 5

51 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 他 几 乎 成 了 一 台 把 馒 头 和 咸 菜 变 成 数 学 定 理 的 机 器, 日 夜 运 转, 常 年 不 息 可 以 看 到, 陈 景 润 对 于 数 学 的 研 究 已 经 达 到 了 近 乎 痴 狂 的 地 步 毫 不 夸 张 的 说,96 至 964 这 四 年, 陈 景 润 的 有 效 时 间 相 当 于 别 人 的 3 倍 还 多 因 此, 陈 景 润 在 这 一 时 期 取 得 的 科 研 成 果 是 一 般 人 难 以 企 及 的 按 当 时 的 统 计, 数 学 研 究 所 一 年 大 约 产 生 3 篇 论 文, 平 均 每 两 人 一 篇, 而 陈 景 润 大 约 每 年 发 表 两 篇, 而 且 其 中 有 几 篇 达 到 国 际 水 准 他 关 于 华 林 问 题 与 球 内 整 点 问 题 的 论 文, 堪 称 世 界 一 流, 特 别 是 对 于 哥 德 巴 赫 猜 想 的 探 索, 已 抵 达 研 究 的 最 前 沿, 登 上 它 的 高 峰 指 日 可 待 964 年, 全 国 范 围 内 掀 起 了 一 场 名 为 四 清 的 政 治 运 动, 数 学 所 绝 大 多 数 研 究 员 都 放 下 手 头 工 作 去 到 偏 远 的 农 村, 参 与 与 他 们 的 专 业 毫 不 相 干 的 四 清 运 动 陈 景 润 因 为 体 弱 多 病 且 不 善 政 治 言 辞, 无 缘 加 入 四 清 工 作 队, 他 和 为 数 不 多 的 老 弱 病 残 留 守 数 学 所, 这 对 陈 景 润 来 说 可 谓 天 赐 良 机, 在 这 少 有 的 安 宁 与 平 静 当 中, 他 对 哥 德 巴 赫 猜 想 的 研 究 获 得 了 突 破 性 的 进 展 966 年, 陈 景 润 拿 出 了 证 明 哥 德 巴 赫 猜 想 (+) 的 论 文 摘 要 可 是, 正 当 陈 景 润 准 备 完 善 自 己 的 论 文 之 际, 文 化 大 革 命 爆 发 了, 数 学 所 陷 入 了 一 片 混 乱 文 革 刚 开 始 不 久, 就 有 一 位 青 年 研 究 员 因 无 法 承 受 无 情 的 批 判 而 跳 楼 身 亡, 陈 景 润 恰 巧 目 睹 了 这 悲 惨 的 一 幕 从 此 以 后, 他 开 始 惶 惶 不 可 终 日, 做 事 变 得 谨 小 慎 微 面 对 这 场 政 治 运 动, 他 选 择 了 沉 默 和 逃 避, 每 天 躲 在 自 己 那 寒 酸 的 栖 身 之 地 不 停 地 演 算 推 理 陈 景 润 在 心 里 暗 暗 祈 祷, 希 望 批 斗 的 矛 头 不 会 指 向 自 己 事 与 愿 违, 很 快 地, 帽 子 工 厂 就 为 陈 景 润 专 门 制 作 了 一 顶 帽 子, 叫 做 寄 生 虫, 意 思 是 陈 景 润 只 吃 饭 不 干 活 然 而, 这 顶 帽 子 加 在 陈 景 润 的 身 上 却 显 得 无 比 可 笑, 陈 景 润 恰 恰 是 常 常 因 为 工 作 而 忘 记 吃 饭 的 啊! 而 这 也 反 射 出 了 帽 子 制 造 者 的 人 生 价 值 观 : 专 作 嘶 鸣 者 昌, 辛 勤 耕 耘 者 亡 这 种 价 值 观 在 之 后 很 长 一 段 时 间 里 都 严 重 阻 碍 着 我 国 学 术 的 发 展, 而 且 这 种 影 响 甚 至 延 续 至 今 寄 生 虫 这 顶 帽 子 羞 辱 了 陈 景 润 的 人 格, 他 异 常 愤 怒, 想 要 抗 争 可 这 一 次, 他 依 然 选 择 了 沉 默, 因 为 他 还 有 更 重 要 的 事 情 完 善 自 己 对 哥 德 巴 赫 猜 想 (+) 的 证 明 从 此 以 后, 陈 景 润 更 加 辛 劳 地 工 作, 他 以 实 际 行 动 证 明 了 谁 是 寄 生 虫 可 那 些 发 了 疯 的 人 们 却 不 愿 放 过 他 : 他 们 抓 陈 景 润 去 牛 棚, 关 了 陈 景 润 整 整 一 年 ; 他 们 剪 断 陈 景 润 屋 里 的 电 线, 陈 景 润 只 好 在 煤 油 灯 的 照 明 下 工 作 面 对 各 种 摧 残 与 折 磨, 陈 景 润 都 可 以 忍 受, 但 独 独 有 一 样 他 是 死 也 不 能 容 忍, 那 就 是 破 坏 他 的 研 究 成 果 有 一 次, 一 个 人 当 着 陈 景 润 的 面 要 烧 掉 记 满 了 他 研 究 成 果 的 书 稿, 内 心 极 度 愤 怒 的 陈 景 润 一 跃 从 三 楼 的 窗 户 跳 下 但 是, 天 不 绝 陈 景 润 啊! 他 被 一 块 挡 雨 板 接 住 保 住 了 性 命 大 难 不 死 的 陈 景 润 决 心 一 定 要 完 成 自 己 的 论 文, 而 此 时 他 的 身 体 已 因 长 期 的 疾 病 和 折 磨 而 极 度 虚 弱, 他 是 在 用 自 己 的 鲜 血 和 生 命 在 工 作! 终 于, 在 经 历 了 六 年 的 殊 死 拼 搏 后, 陈 景 润 于 97 年 冬 天 完 成 了 论 文 大 偶 数 表 为 一 个 素 数 及 一 个 不 超 过 二 个 素 数 的 乘 积 之 和, 全 文 整 整 页 973 年, 论 文 在 中 国 科 学 英 文 版 刊 登 后, 在 国 际 学 术 界 引 起 了 巨 大 的 反 响 许 多 国 外 数 学 家 纷 纷 惊 叹 中 国 出 了 一 个 数 学 奇 才 看 到 陈 景 润 的 论 文 时, 英 国 数 学 家 哈 伯 斯 坦 和 德 国 数 学 家 李 希 特 的 著 作 筛 法 已 经 在 印 刷 所 付 印, 但 他 们 毅 然 中 断 了 印 刷, 在 书 中 添 加 了 一 章 陈 氏 定 理 [3], 并 将 其 誉 为 筛 法 光 辉 的 顶 点 978 年 和 98 年, 陈 景 润 还 两 次 受 邀 在 国 际 数 学 家 大 会 上 作 长 达 45 分 钟 的 报 告 一 时 间, 国 内 媒 体 对 陈 景 润 的 报 道 铺 天 盖 地, 毛 主 席 对 陈 景 润 事 件 作 了 重 要 指 示, 周 总 理 还 亲 切 地 接 见 了 陈 景 润 学 习 景 润 好 榜 样 的 口 号 响 彻 大 江 南 北, 陈 景 润 成 为 了 全 国 人 民 心 中 的 传 奇 人 物 4 大 师 虽 故 精 神 永 存 5

52 年 月总第 8 期 陈景润的工作为推动我国数学事业的发展做出了巨大的贡献 可他的生活条件却非常 恶劣 加之体弱多病 陈景润的生命可谓危在旦夕 毛主席在了解到这一情况后 对改善 陈景润的生活条件专门做出了指示 陈景润的生活条件得到了改善 还结婚生子 有了一个完整的家庭 全国人民都为这 一切感到高兴 可这一切 并没有能让我们这位伟大的数学家的身体状况好转起来 本就 已经全身病痛的陈景润又遭到了沉重的打击 一次外出时 陈景润被一辆飞驰的自行车撞 倒 而后因脑部严重受损患上了可怕的帕金森症 这几乎完全剥夺了陈景润的工作能力 可是 陈景润并没有因此中断工作 他以惊人的毅力继续着自己的思考 向完全证明哥 德巴赫猜想 + 进军 病魔是无情的 996 年 3 月 9 日 伟大的数学家陈景润因病逝世 他的过早离去 带着未能完全证明哥德巴赫猜想的遗憾 更带给了全国人民巨大的伤痛 陈景润的离去 是我国数学事业的巨大损失 我国改革开放的总设计师邓小平曾说 中国有一千个陈景润 就不得了 足见陈景润对我国数学事业的卓越贡献 陈景润虽然走了 但他给我们留下了宝贵的精神财富 甘于寂寞和献身科学的数学 精神 纵观陈景润的一生 甘于寂寞 献身科学这一精神为其取得如此突出的成就起到了 决定性的作用 从学生时代开始 陈景润就习惯于放弃娱乐时间而投身学习 工作后 他 更是将这一精神发挥到了极致 在那个动荡 浮躁的年代 陈景润能够甘于寂寞 潜心研 究 面对各种摧残与打击 陈景润忍辱负重 在那样恶劣的条件下 陈景润取得了震惊世 界的成就 这不能不让人钦佩 而他那甘于寂寞 献身科学的精神更是值得我们每个人学 习 5 陈景润精神之于当代科研 当今 我国的科研条件较陈景润那时已经有了极大的提高 科研工作者的生活水平也 得到了较大改善 学术氛围是宽松的自由的 再也不会担心被 拔白旗 或被扣上 寄生 虫 的帽子 我们不仅可以堂堂正正地去搞科研 而且国家从科研经费上的支持也达到了 空前水平 可是 令人遗憾的是 我们现在却鲜有像陈景润那样的大师 相反 各种学术 造假 追名逐利却屡见不鲜 下到本科生的毕业论文 上至准院士的学术报告 有的人为 了晋升职称而不择手段 有的人做出了一两项成果便开始沾沾自喜 骄傲自满 著名数学 家潘乘洞曾评价道 那种不埋头苦干专做嘶鸣的科学工作者遍地皆是 这种会毁掉我们正 在成长的队伍的不实事求是的不良学风到处盛行 即使在最著名的教学 科研单位也是这 样 伟大的科学家钱学森曾痛心疾首地问到 为什么中国不能培养出大师 将现在社会 上急功近利的风气和陈景润甘于寂寞 献身科学的精神一对比 我们便会发现问题的症结 所在 做学问是需要甘于寂寞的精神的 来不得半点急功近利的想法 陈景润之所以能取 得如此大的成就 便是因为他一生甘于寂寞 从来没想过要通过自己的研究谋利 要想使 我国的科研工作得到更大的发展 要想培养出更多像陈景润一样的大师 我们必须向陈景 润学习 学习他那甘于寂寞 献身科学的数学精神 为了让更多的科研工作者能够拥有像 陈景润一样甘于寂寞 献身科学的精神 笔者认为我们的教育制度和学术政策都需要做出 一定的改变 首先 学校的教育应该彻底摒弃功利化的思想 尽力培养学生甘于寂寞 献身科学的 精神 而目前我国教育存在的弊病之一就是未能有效地抵制功利化思想对师生的侵蚀 如 果我们回想一下就会发现 从小学到高中 响在我们耳畔的常常是这样的声音 只有好好 学习才能考进好学校 只有好好学习将来才能挣大钱 只有好好学习才能 知识的价值 以及研究的精神都被忽略了 似乎我们学习就是为了完成一个个功利的目标 这样的教育 培养出的学生必然大多数都是浮躁 急功近利的 没有优秀的 富有科研精神的学生 自 5

53 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 然 就 不 会 有 优 秀 的 科 学 家, 因 此, 我 们 必 须 首 先 从 学 校 的 教 育 抓 起 但 是, 要 改 变 我 国 教 育 的 这 种 现 状, 绝 不 是 一 朝 一 夕 能 够 完 成 的 导 致 我 国 教 育 如 今 的 这 种 状 况 的 原 因 是 多 种 多 样 的, 有 长 期 以 来 应 试 教 育 的 影 响, 也 有 教 育 资 源 分 配 不 公 引 起 的 问 题 我 们 的 教 育 主 管 部 门 必 须 提 高 对 培 养 学 生 甘 于 寂 寞 献 身 科 学 精 神 的 重 视, 用 大 力 气 来 改 变 我 国 目 前 教 育 的 这 一 不 良 现 状 其 次, 我 国 的 学 术 政 策 也 应 做 出 适 当 的 改 变 当 前 很 多 高 校 研 究 机 构 在 衡 量 一 个 科 研 工 作 者 的 研 究 水 平 时, 往 往 太 过 看 重 他 发 表 论 文 的 数 量 这 种 做 法 导 致 的 一 个 直 接 后 果 就 是, 许 多 科 研 工 作 者 在 发 表 论 文 时 只 重 数 量 不 重 质 量, 这 对 于 科 研 工 作 没 有 一 点 好 处 依 作 者 看, 考 评 一 个 科 研 工 作 者 时, 最 重 要 的 应 该 是 看 他 有 没 有 真 正 地 在 干 实 事 只 要 他 是 一 直 在 努 力 地 搞 一 项 研 究, 哪 怕 他 长 时 间 没 有 发 表 论 文 甚 至 没 有 出 成 果, 我 们 的 政 府 科 研 机 构 都 应 该 坚 定 不 移 的 支 持 他, 给 予 他 物 质 上 的 帮 助, 排 除 他 的 后 顾 之 忧, 而 也 只 有 这 样, 我 们 的 科 研 工 作 者 才 能 甘 于 寂 寞 地 从 事 研 究 工 作, 才 更 有 可 能 做 出 杰 出 的 成 果 有 人 质 疑, 如 果 他 拿 不 出 成 果 而 我 们 的 政 府 还 一 直 这 样 供 着 他, 这 不 是 浪 费 吗? 实 则 不 然 我 们 看 到 的 只 是 他 的 现 在, 谁 知 道 他 将 来 会 不 会 有 成 果 呢? 要 知 道, 陈 景 润 从 开 始 证 明 哥 德 巴 赫 猜 想 到 最 后 拿 出 论 文 也 用 了 十 年 有 余 我 觉 得, 只 要 每 三 个 人 中 能 有 一 个 出 成 果, 而 每 一 千 个 出 成 果 的 人 中 有 一 个 人 能 做 到 像 陈 景 润 一 样, 政 府 的 投 入 就 是 值 得 的 陈 景 润 甘 于 寂 寞 献 身 科 学 的 数 学 精 神 应 当 成 为 科 研 工 作 者 的 灵 魂, 为 了 使 我 国 基 础 科 学 研 究 迅 速 赶 超 世 界 先 进 水 平, 我 们 必 须 大 力 弘 扬 陈 景 润 的 精 神, 也 希 望 陈 景 润 那 甘 于 寂 寞 献 身 科 学 的 数 学 精 神 能 在 更 多 的 中 国 人 的 身 上 生 根 发 芽! 6 关 于 哥 德 巴 赫 猜 想 提 到 哥 德 巴 赫 猜 想, 不 能 不 先 谈 一 谈 数 论 简 单 地 说, 数 论 就 是 研 究 整 数 性 质 的 一 门 理 论, 本 质 是 对 素 数 性 质 的 研 究 数 论 是 数 学 领 域 中 历 史 最 悠 久 的 学 科 之 一 公 元 前 六 世 纪, 古 希 腊 的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 便 对 数 论 有 所 研 究, 而 欧 几 里 得 的 研 究 工 作 更 是 使 数 论 得 到 了 极 大 发 展 但 这 之 后, 人 们 对 于 数 论 的 研 究 工 作 却 一 直 进 行 地 非 常 缓 慢 直 到 7 世 纪, 法 国 的 业 余 数 学 家 费 马 才 重 新 燃 起 了 人 们 对 于 数 论 的 热 情, 历 史 上 许 多 著 名 的 数 学 家 如 欧 拉 拉 格 朗 日 高 斯 等 都 曾 投 身 于 数 论 的 研 究 工 作 当 中 高 斯 曾 充 满 深 情 的 说 : 数 学 是 科 学 的 皇 后, 而 数 论 是 数 学 的 皇 冠 这 足 以 体 现 数 论 的 重 要 性 数 论 的 一 个 最 显 著 的 特 点 是, 和 数 论 有 关 的 问 题 往 往 看 似 简 单 却 异 常 艰 深 而 这 也 正 是 它 吸 引 如 此 多 数 学 家 的 魅 力 所 在 例 如 费 马 大 定 理, 不 过 是 费 马 写 在 书 中 空 白 处 的 短 短 一 句 话, 人 类 却 整 整 耗 费 了 三 百 多 年 才 最 终 得 以 将 其 证 明 哥 德 巴 赫 猜 想 也 是 这 样 一 个 数 学 问 题, 叙 述 简 单 却 异 常 艰 深 哥 德 巴 赫 猜 想 是 由 普 鲁 士 历 史 学 家 和 数 学 家 克 里 斯 蒂 安 哥 德 巴 赫 于 74 年 在 给 欧 拉 的 一 封 信 中 提 出 的 哥 德 巴 赫 在 信 中 写 道 任 一 大 于 的 整 数 都 是 三 个 素 数 之 和 欧 拉 在 给 哥 德 巴 赫 的 回 信 中 提 出 了 这 一 猜 想 的 另 一 等 价 版 本 任 一 大 于 的 偶 数 都 可 写 成 两 个 素 数 之 和, 而 欧 拉 的 这 一 版 本 也 是 当 今 最 常 见 的 一 种 对 哥 德 巴 赫 猜 想 的 叙 述 方 式 由 于 当 今 数 学 界 已 经 普 遍 不 再 接 受 也 是 素 数 这 个 约 定, 因 此, 哥 德 巴 赫 猜 想 的 另 一 种 略 经 修 改 的 现 代 描 述 是 :(A) 任 何 大 于 等 于 6 的 偶 数 为 两 个 奇 素 数 之 和 ;(B) 任 何 大 于 等 于 9 的 奇 数 是 三 个 奇 素 数 之 和 由 于 任 意 偶 数 加 三 都 会 得 到 一 个 奇 数, 而 三 恰 恰 是 一 个 奇 素 数, 也 就 是 说 (B) 蕴 含 于 (A), 所 以 我 们 不 难 想 象, 证 明 (A) 的 难 度 远 远 大 于 (B) 而 事 实 也 是 如 此, 猜 想 (B) 已 于 937 年 被 前 苏 联 数 学 家 维 诺 格 拉 多 夫 证 明, 目 前 人 们 正 着 力 证 明 的 哥 德 巴 赫 猜 想 实 际 上 便 是 猜 想 (A) 数 学 家 们 试 图 证 明 哥 德 巴 赫 猜 想 的 过 程 是 艰 辛 而 曲 折 的, 整 个 8 9 世 纪, 数 学 家 们 对 于 如 何 证 明 哥 德 巴 赫 猜 想 都 几 乎 没 有 一 点 头 绪 而 德 国 大 数 学 家 希 尔 伯 特 在 他 9 年 所 做 的 世 纪 演 讲 中 也 曾 提 到, 哥 德 巴 赫 猜 想 将 在 很 长 一 段 时 间 里 继 续 困 扰 着 人 类 直 到 53

54 年 月总第 8 期 世纪 年代 问题才有了一些进展 数学家们想证明 每一个大偶数是素因子不太多的数 之和 他们想通过这样设置包围圈进而逐步证明哥德巴赫猜想是正确的 9 年 挪威数学家布朗用筛法(研究数论的一种方法)证明了:每个大偶数是素因子 都不超过 9 个的两个数之和 9+9 这之后 包围圈被逐步缩小 94 年 数学家拉德马 哈尔证明了 年 爱斯斯尔曼证明了 年 数学家布赫斯塔勃证明 了 年 他又证明了 年 数学家维诺格拉多夫证明了 年 我国数学家王元又证明了 +3 包围圈越来越小 越来越接近于 + 但是以上 所有证明都有一个致命的弱点 就是其中的两个数没有一个是可以肯定为素数的 早在 98 年 匈牙利数学家兰恩另外设置了一个包围圈 他想通过证明 每个大偶数 都是一个素数和一个素因子不超过 N 的数之和 来设置包围圈 并通过不断缩小 N 的值来 证明哥德巴赫猜想 而他也成功证明了 +6 在经历的长时间的徘徊不前后 终于 96 年 我国数学家潘承洞证明了 +5 同年 王元 潘承洞又证明了 年 布 赫斯塔勃 维诺格拉多夫和数学家庞皮艾黎都证明了 年 5 月 像一颗璀璨的明星升上了数学的天空 我国数学家陈景润在中国科学院 的刊物 科学通报 上宣布他已经证明了 年 陈景润发表论文 大偶数表为 一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和 极大地促进了人类对于哥德巴赫猜想的研 究 而陈景润的这一研究成果在之后的几十年里也一直处于世界最领先的水平 年 3 月中旬 英国出版商费伯悬赏征集 对哥德巴赫猜想的证明 向在两年内 做出哥德巴赫猜想完全证明 也就是证明 + 的人 提供 万美元 被认为最有希 望获得此奖的英国数学家艾伦 贝克尔在针对此事接受采访时表示 哥德巴赫猜想能否在 可预见的将来被证明都难以肯定 更不用说在两年之内 因为相关的数学技巧似乎还太根 糙而未能向前推进 时光飞逝 年已经过去 费伯提供的 万美元巨奖自然是没有人获得 哥德巴赫 猜想的巨大魅力也还在不断地吸引着全世界的数学家位置不断奋斗 而在人类攻克哥德巴 赫猜想的路上 数学大师陈景润留下了属于中国的辉煌印记 注释 []由于国家急缺人才,陈景润和同学们提前一年毕业 因此只读了 3 年大学 X X X N Y Y YN []他利(Tarry)问题:简单的说就是探讨方程组 X X X N Y Y YN 的自然数解 X k X k X k Y k Y k Y k N N 的个数问题.我国数学大师华罗庚曾在 堆垒素数论 中对其做了深入探讨,陈景润在论文 他利问题 中 改进了华罗庚的结果 [3]陈氏定理 陈景润的论文 大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和 中处于核心地位 的一个定理.国际学术界将其誉为 筛法光辉的顶点 参考文献 []周淑舫.陈景润的故事,时代文艺出版社,998 年 6 月第一版. []刘培杰.从哥德马赫到陈景润, 哈尔滨工业大学出版社, 8 年 7 月第一版. [3]罗声雄.一个真实的陈景润,长江文艺出版社, 年 9 月第一版. [4]张家林.陈景润,延边大学出版社, 年 7 月第二版. [5]旭翔.走进陈景润,厦门大学出版社,997 年 3 月第一版. [6]徐迟.哥德巴赫猜想,人民日报,978 年 月 7 日. [7]陈景润,我的心里话,工人日报,989 年 月 8 日. 54

55 年 月总第 8 期 关于极限保序性定理的几点思考 王非凡 (经济学院 经济学专业 56) 摘 要 极限保序性定理在教科书上通常只是一笔带过, 而这里面可以挖掘的东西还有 很多. 本文通过对保序性证明过程的挖掘, 发现了证明过程中的深意; 通过对其逆否命题 中那个不严格不等号的探究, 进一步拓展了保序性定理; 通过改变极限保序性原命题中的 严格不等号从而完善了极限保序性定理. 最后也获得了关于数学证明的一点感想. 关键词 保序性;极限;几何意义;严格不等号;数学证明 课本[]中对数列极限的保序性定理是这样叙述的: 设 lim n a, lim yn b. n n () 若 a b, 则存在 N N, 使当 n N 时, 有 n y n ; () 若存在 N N, 当 n N 时, 有 n y n, 则 a b. 证明: a b a b, 则 存 在 N, 当 n N 时, 有 n a, 从 而 a b a b a b n a ; 同 样, 存 在 N, 当 n N 时, 有 yn a, 从而 a b a b a b yn b yn.. 取 N ma N, N, 当 n N 时, 有 n () 取 ()课本[]上用的是反证法, 具体内容从略. 对于函数极限的保序性定理, 其形式及证明过程与数列的非常相似, 所以不妨以函数 极限 时的保序性为例: 设 lim f ( ) a, lim g ( ) b. 若 a b, 则存在, 使当 U (, ) 时, 有 f ( ) g ( ) ; 若存在, 当 U (, ) 时, 有 f ( ) g ( ), 则 a b. 保序性定理证明过程中的深意 首先是, 为什么证明过程取 a b? 这首先需要回顾函数极限的定义及其含 义. 函数极限的定义: 设函数 f () 在点 的某一邻域内有定义(但在 处可以无定义), A 是常数. 若,, 使 得 当 时, 有 f ( ) A, 则 称 当 时, f () 以 A 为极限. 55

56 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 这 个 定 义 的 含 义 是, 对 于 不 论 多 么 小 的 y 浮 动 量, 总 能 找 到 围 绕 的 一 个 浮 动 范 围, 使 在 这 个 浮 动 范 围 内 的 自 变 量 对 应 的 因 变 量 总 在 A 的 范 围 内, 则 称 当 时, f () 以 A 为 极 限. 其 几 何 表 示 就 是 : 明 确 了 这 个 以 后, 我 们 再 回 到 最 初 的 问 a b 题 : 为 什 么 证 明 过 程 取. a b 回 答 是, 不 取 也 可 以. 这 个 证 明 过 程, 说 的 实 际 上 是 这 样 一 个 意 思 : 因 为 a b, 所 以 a 和 b 之 间 有 缝 隙, 有 一 定 的 距 离 ; 因 为 lim 图 函 数 极 限 的 几 何 表 示 f ( ) a, lim g( ) b, 二 者 互 不 相 等, 所 以 可 以 通 过 将 限 定 在 很 窄 的 一 个 U ) ( ) 表 示 的 一 个 空 心 领 域 ) 内, 使 得 f () 的 浮 动 范 围 在 g () 的 浮 动 范 围 ( U ( 的 上 方. ( 因 为 极 限 的 定 义 告 诉 我 们, 因 变 量 的 浮 动 范 围 可 以 通 过 控 制 自 变 量 的 浮 动 范 围 而 变 得 无 限 地 小. ) 因 而 分 别 位 于 两 个 浮 动 范 围 内 的 两 个 任 意 的 值 f (), g () 的 大 小 就 可 以 确 定 了 f ( ) g( ). 用 图 像 来 表 示, 就 是 : 这 样 来 看, 函 数 极 限 保 序 性 的 证 明 过 程 就 很 明 显 了 : ( 要 想 说 明 U ) 时 f ( ) g( ), 只 需 说 明 f () 的 浮 动 范 围 的 下 确 界 高 于 g() 浮 动 范 围 的 上 确 界 即 可. 这 就 y 解 释 了 为 什 么 不 取 a b 也 可 以, 因 为 只 需 让 两 个 图 函 数 极 限 保 序 性 定 理 的 几 何 表 示 函 数 的 函 数 值 的 共 同 的 浮 动 量 小 于 等 于 a 和 b 之 间 缝 隙 宽 度 的 一 半 即 可, 即 让 满 足 a b 即 可. 而 更 一 般 的 情 况 是, 两 个 函 数 的 函 数 值 的 浮 动 量 可 以 取 不 同 的, 只 要 让 两 个 浮 动 量 和 之 和 a b 即 可. 至 于 书 上 的 证 明 为 什 么 要 取 y g() y f () A A A a a a b b b 56

57 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 a b 这 个 问 题, 其 实 是 编 者 为 了 使 证 明 过 程 更 简 洁 而 特 意 这 样 做 的. 如 a b 果 不 取, 而 是 取 某 两 个 满 足 a b 的 和, 在 由 f ( ) a 得 到 f ( ) g( ) 时, 步 骤 变 为 f ( ) a b g( ), 而 中 间 的 g( ) b a b 那 个 a b 还 得 很 费 劲 地 通 过 计 算 来 说 明. 而 若 取, 则 中 间 那 a b a b a b 个 a b 就 简 化 为 a a b b. 对 于 这 种 情 况, 相 应 的 几 何 意 义 就 变 成 了 f () 的 浮 动 范 围 的 下 界 恰 好 是 g () 浮 动 范 围 的 上 界. 由 保 序 性 定 理 的 逆 否 命 题 中 的 不 严 格 不 等 号 进 行 的 拓 展 保 序 性 定 理 的 逆 否 命 题 设 ( lim U, ) 时, 有 f ( ) g( ), 则 a b. 其 中, 有 一 个 不 严 格 的 不 等 号 a b f ( ) a, lim g( ) b. 若 存 在, 当. 课 本 [] 上 已 经 通 过 举 反 例 来 说 明 这 个 不 等 号 中 的 等 号 不 能 去 掉, 即 使 去 掉 了 f ( ) g( ) 之 中 的 等 号. 令 f ( ), g( ), 则 当 U () 时 有 f ( ) g( ), 但 lim f ( ), lim g( ), 二 者 相 等. 这 个 不 等 号 显 然 不 能 去 掉. U 这 样 问 题 就 来 了 : 再 添 加 什 么 条 件, 才 能 去 掉 这 个 等 号? 先 前 我 曾 找 出 了 一 个 去 掉 这 个 等 号 的 充 分 条 件 : 再 补 充 函 数 h( ) f ( ) g( ) 在 ( ) 上 可 以 取 到 最 小 值 这 个 条 件 即 可, 意 图 使 f( ) 和 g ( ) 之 间 保 持 住 一 定 距 离. 但 这 毕 竟 不 是 充 要 条 件, 没 有 太 大 价 值. 注 意 到 数 集 的 确 界 是 最 值 的 推 广 形 式, 且 推 广 时 略 去 的 是 这 个 一 定 的 距 离 能 不 能 达 到 这 件 事, 而 恰 巧 的 是, 保 持 住 一 定 距 离 不 一 定 非 要 使 f ( ) g( ) 达 到 这 个 最 小 值, 于 是 猜 测 添 加 这 个 条 件 : 若, 使 函 数 h( ) f( ) g( ) 在 (, ) 的 下 确 界 m. 即 : 定 理 ( 极 限 严 格 保 号 的 充 要 条 件 ) U 设 lim f ( ) a, lim g( ) b, h( ) f ( ) g( ). a b 的 充 要 条 件 是 : 存 在, 当 U(, ) 时, 函 数 h () 在 (, ) 上 的 下 确 界 m. 证 明 : 充 分 性 () 因 为 m 是 函 数 h () 在, ) U ( U 上 的 下 确 界, 故 h( ) m. 由 极 限 保 序 性 定 理 可 知 : 57

58 年 月总第 8 期 lim h( ) lim m m. 所以 lim h( ) lim[ f ( ) g ( )] lim f ( ) lim g ( ) a b. 所以 a b. ②必要性( ) 因 为 l i h m ( ) lim h( ) A. 故 对 于 h ( ) A f l i m g[ ( ) (f ) ] l ig, m 故 设 ( a) A, 存 在, 当 时, 总有 A A A A A h ( ) A h ( ), U (, ), 即函数 h() 在, 即. 故 U (, ) 有下界 A. 所以函数 h() 在 U (, ) 的下确界 m. 3 关于保序性定理原命题中 a b 的严格不等号 如果将 a b 改为 a b, 那么 f () 和 g () 的大小关系能否在 U ( ) 中确定呢? 回答是, 不可以. 从极限保序性定理的几何含义中可以看出, 若 a b, 则其几何含义是, 在 U ( ) 中, 曲线 y f ( ) 和曲线 y g ( ) 都在直线 y a (或者说 y b )的附近变动着. 由此, 构造反例的方向很容易想出, 令对于任意的自变量的变化范围, 使 f () 时而 在 g () 之上, 时而在 g () 之下,如图: y a g ( ) a f ( ) a b 时的反例示意图 于是很容易就想到在 U () 中无限多次振荡的函数 y sin, 再给它乘上一个 使得它在 处有极限. 构造 f ( ), g ( ) sin. 虽然 lim g ( ) lim f ( ), 但对于 图3 任意的, 都有 g () 在 U (, ) 内时正时负, f () 与 g () 的大小关系并不确定, 如 图: 58 bl i m (

59 .3 年 月总第 8 期...55 π π 7.. 图 4 f ( ) 和 g ( ) sin 的图像.3 4 小结 极限保序性定理可以简记为: () 函数大小关系严格确定(或非严格确定), 其极限大小关系都非严格确定; () 函数大小关系严格确定且二者之差(正数)有正的下确界, 则其极限大小关系严格确定, 且逆命题亦成立; (3) 函数极限大小关系严格确定, 则函数大小关系严格确定; 函数极限大小关系非严格确定, 则函数大小关系无法确定. 其严格叙述为: 设 lim f ( ) a, lim g ( ) b ()若存在, 当 U (, ) 时, 有 f ( ) g ( ), 则 a b ; 若存在, 当 U (, ) 时, 有 f ( ) g ( ), 则 a b ; ()若存在, 当 U (, ) 时, 有 f ( ) g ( ), 且函数 h( ) f ( ) g ( ) 在 U (, ) 上的下确界 m, 则 a b. 逆命题亦成立; (3)若 a b, 则存在, 使当 U (, ) 时, 有 f ( ) g ( ) ; 若 a b, 则对于任何, 当 U (, ) 时 f () 和 g () 大小关系无法确定. 另外, 关于数学证明过程的巧妙, 我想说, 数学证明其实不是数学符号上的巧合, 而是 有深刻含义的. 以课本[]中所展示的极限保序性定理为例, 其证明的背后实际上藏有一个 含义, 即作者更深一层的对于极限的理解: 对于某一个函数而言, 如果该函数在某点有极 限, 那么只要适当调整自变量围绕该点的变化范围, 函数值的浮动范围就能够被任意地控 制住; 进而对于某两个函数而言, 若它们在某点有极限且其极限不同, 则它们的函数值的 浮动范围, 就会随着自变量围绕该点的变化范围的不断调小而最终分开, 即没有重叠, 因 59.55

60 年 月总第 8 期 此二者的严格的大小关系也就可以间接地通过二者的浮动范围的相对位置来判断. 当然, 这个含义也可以通过其他方式表达, 如本文中的函数图像和数学语言 语言. 可 见, 这个含义是独立于各种表达方式之外的一个东西, 因而我们对于这个独立含义的掌握 是学习数学的关键, 而不是去努力记下那些虽简洁却形式化的数学语言, 去赞叹那个 a b 找得是多么地巧妙. 如果拘泥于数学语言的虽简洁却形式化的表达, 我们便 会容易因为不能准确背记定理及其证明而苦恼, 失去对这个定理的深刻理解. 参考文献 [] 张效成, 张阳, 徐锬, 赵志勇. 南开大学公共数学系列教材经济类数学分析(修订版). 天津大学出 版社, 8. 关于 枪手博弈 的深入探讨 郎洁 经济学院 经济学 593 摘 要 博弈是指利益存在冲突的决策主体在互相对抗中 对抗双方或多方的一系列策略 和行动的过程 博弈论是专门研究博弈如何出现均衡的规律的学科 近些年来 博弈论发 挥着越来越重要的作用 枪手博弈作为一个经典模型 在探讨多人博弈上有着不可忽视的 作用 本文针对枪手博弈的一般特征 进行了具体分析和讨论 关键词 博弈论 枪手博弈 概率 竞争 最优策略. 枪手博弈的基本描述 在第七期 赵泽华的 浅谈几个多人博弈问题 中 曾经提及枪手博弈的问 题 并留下了一些疑问 这引发了笔者对枪手博弈的深入思考 在大多的博弈论读物中 枪手博弈基本如下 在一个小镇上 有 A, B, C 三个枪手进行决斗 其中 枪手 A 的枪法最好 命中的 概率为 8 % 枪手 B 的枪法次之 命中的概率为 6 % 枪手 C 的枪法最差 命中的概率 为 3 % 假定任何一个枪手一旦被其他枪手命中便会立即死亡 同时 三个枪手都是足够 理智的 于是 有以下两个问题 三人决定 第一轮三人同时开枪 如果三人都幸存则进入第二轮决斗 如果三人 中有两人幸存则两人继续进行决斗 如果只有一人或无人幸存则不必继续进行决斗 那么 他们三人中谁在第一轮的决斗中存活下来的概率最大 假设在第一轮中 三人都幸存 他们进入第二轮的决斗 三人决定 第二轮三人 依照 C, B, A 的顺序轮流开枪 直到只有一人幸存或者枪内的子弹打尽为止 如果他们每 对于枪手博弈的描述 笔者曾查阅多本博弈论读物 它们对枪手博弈的描述都大同小异 这里的描述是 笔者根据董志强的 身边的博弈 和 赵泽华的 浅谈几个多人博弈 中相关的描述综合而来 其中的三 个枪手的命中概率由笔者自己设计 6

61 年 月总第 8 期 人枪内有两颗子弹 规定每人每次可开一枪 每次轮到任何一人发射时 他可以选择向另 外两个人中的一个开枪 或者放空枪 因此不会伤害任何人 死亡的枪手不能放枪 那么 在第一次放枪时 C 的最优策略是向哪里开枪. 枪手博弈的基本分析 这两个问题我们可以逐一来解决. 对于第一个问题的分析 在第 个问题中 由于三人是同时开枪 所以 对任意一个人来说 另外两人的行为对 他的行为无法产生影响 即他无法针对另外两人的行为来调整他的行为 同时 他的行为也 无法对另外两人产生影响 即另外两人也无法针对他的行为来调整自己的行为 所以 开枪 前 三人一旦各自确定好自己的策略 第一轮的结果对于他来说就只有两种 一种是自己幸 存 另一种是自己死亡 这个结果不是他自己所能够左右的 所以 他对谁开枪主要是考虑 如果他自己幸存同时又有他人幸存时谁对自己的生存威胁最大 即谁的命中率最大 由此可知 A 必然会向 B 开枪 因为在 B 和 C 中 B 的命中率更高 对 A 的生存威 胁更大 同理 B 必然会向 A 开枪 C 也必然会向 A 开枪 故三人在第一轮决斗中存活下 来的概率分别为 P( A) ( 6%) ( 3%) 8%, P( B) ( 8%) %, P(C) %. 由此我们发现 在三人同时开枪时 存活率最大的不是枪法较好的 A 和 B 而是枪法 最差的 C 而且 C 的存活率竟高达 % 其实 其中的原因很简单 C 作为枪法最差的枪手 对 A 和 B 的威胁较小 因此 在 A 和 B 都有更强的对手存在时 必然首先向更强的对手开枪 而放弃向 C 开枪 因此 C 的存活率为 % 而 A 是枪法最好的枪手 必然成为众矢之的 作为另外两人的最大威 胁 两人的矛头必然共同指向 A 而 B 的打击来自实力最强的 A 所以 A 和 B 何者存活 率更大 就取决于 A, B, C 三者的实力问题 由此我们引发出关于多方博弈时最弱者反而相对安全的思考 由于弱者对于强者的威 胁不大 反而相对安全 所以一些人韬光养晦 隐藏实力 身居弱者之位以求自保是很有 道理并且很明智的. 对于第二个问题的分析 在第 个问题中 由于 C 首先开枪 所以 C 无非有向 A 开枪 向 B 开枪和放空枪三 种选择 当 C 选择放空枪时 各种可能出现的情况和概率如图 - 其存活的概率为 P(C 空 ) 6% (3% 7% 4%) 4% {[8% (3% 7% %)] [% (7% 3% 4%)]} %. 用同样的方法计算可得 当 C 选择向 A 放枪时 其存活的概率为 6

62 年 月总第 8 期 P(C A) %. 当 C 选择向 B 放枪时 其存活的概率为 P(C B) %. 所以 C 的最优选择是放空枪而不是向另外两人中的任何一人开枪 这其中的原因也很好解释 当 A 和 B 都幸存时 A 和 B 必然会把自己的枪口朝向对自 己威胁更大的 B 和 A 因此 C 在 A 和 B 皆存在时生存没有威胁 而一旦 A 和 B 中的一 方死亡 则另一方就会以 C 为对手 向 C 开枪 这对于枪法最差而对手较强的 C 来说极为 危险 因此 维持三人的博弈状态对 C 更为有利 同时 若 C 向 A B 开枪 一旦 C 命中对手 另一名对手必然要先对 C 开枪 使 C 处 于被动状态 由于 C 在第一次时放了空枪 无论 A 和 B 谁在第一轮开枪中幸存 C 都有 首先开枪射向对手的主动权 从而由被动转向主动 赢得先机 大大提高自己的幸存率 由此 我们可知多方博弈时 强者和较强者皆存在时对弱者最有利 实力弱者避开实 力强者间的斗争 暗自养精蓄锐 抓住时机 反而有更大的胜算 3.枪手博弈的深入探讨 3. 对于第一个问题的探讨 从第一个问题中我们可知 最弱者 C 在此轮决斗中相对安全 而 A 和 B 的存活率的大 小关系则与 A, B, C 三人的实力有关 在此 我们不妨假设 A 的命中率为 a, B 的命中率为 b C 的命中率为 c ( a b c ) 则此时 A 和 B 的存活率分别为 P( A) ( b) ( c) P( B) ( a) a. 所以 当 ( b) ( c) a 时 有 P( A) P( B) ; 当 ( b) ( c) a 时 有 P( A) P( B) ; 当 ( b) ( c) a 时 有 P( A) P( B). 从不等式中我们不难看出 当 A 的实力足够强 以至于 B 和 C 的实力大大弱于 A 时 A 的存活率高于 B 而当 A 的实力不是特别强 无法大大超过 B 和 C 时 A 的存活率低于 B. 由此可知 当多人博弈时 如果最强者的实力远远超出其余人 则他对较强者的威胁极 大 较强者处于极为危险的状态 而众人对最强者的打击和威胁都比较小 最强者较之较强 者相对更加安全 如果最强者的实力不能远远超出其余人 而他又是众矢之的 则最强者处 于极为危险的状态 他的威胁不仅仅来自较强者 同时来自其余人 他遭到打击的概率和威 胁都极大 而较强者只是接受最强者一人的打击 在最强者并非足够强时 他所遭受的打击 和威胁都相对较小 较之最强者相对更加安全 3. 对于第二个问题的探讨 从第二个问题中我们可知 第一轮开枪中放空枪以维持三人的博弈状态对 C 更为 有利 那么是否在第二轮开枪时 若 A, B, C 皆幸存 C 放空枪也对 C 更有利 若进行 N 6

63 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 轮 开 枪, 是 否 每 次 出 现 A, B, C 皆 幸 存 的 状 态,C 都 应 该 选 择 放 空 枪? 现 在, 我 们 不 妨 改 变 C 的 策 略, 使 局 面 一 旦 出 现 三 人 都 幸 存 时, C 就 放 空 枪, 则 计 算 不 难 得 出,C 的 存 活 的 概 率 为 : P ( C) 56.88%. 此 时 的 存 活 率 大 于. 中 的 P( C 空 ), 可 见 在 第 二 轮 开 枪 时, 若 A, B, C 皆 幸 存, 放 空 枪 也 对 C 更 有 利 在 第 二 轮 中, 一 旦 C 放 了 空 枪, B 便 会 向 A 开 枪, 无 论 A 幸 存 与 否, C 都 是 安 全 的, 所 以, 第 二 轮 开 枪 时,C 放 空 枪 可 以 保 证 绝 对 安 全, 而 如 果 第 二 轮 中 C 向 A 开 枪 并 射 死 A, B 便 会 向 C 开 枪, 使 C 有 死 亡 的 危 险 同 理 可 得, 若 进 行 N 轮 开 枪, 每 次 出 现 A, B, C 皆 幸 存 的 状 态, C 都 应 该 选 择 放 空 枪, 此 种 策 略 对 C 更 有 利 由 于 A, B 皆 幸 存, C 在 本 轮 的 开 枪 中 是 完 全 安 全 的, 而 在 下 一 轮 中,C 又 是 第 一 个 开 枪 者, 掌 握 着 主 动 权, 这 种 策 略 对 C 来 说 是 最 有 利 的, 也 是 最 能 维 持 生 存 的 策 略 () 如 果 现 在 A, B, C 决 定 进 行 殊 死 决 斗, 还 是 依 照 C, B, A 的 顺 序 轮 流 开 枪, 但 一 直 轮 流 下 去, 直 至 最 后 只 剩 下 一 人 幸 存, 此 时 A, B, C 存 活 的 最 大 概 率 分 别 是 多 少 呢? 此 时,C 必 然 在 A, B 皆 幸 存 时 放 空 枪 才 能 使 其 存 活 率 最 大 则 C 的 各 种 可 能 出 现 的 情 况 和 概 率 如 图 3- 示 有 : P 6% 3% 6% (7 4%) 3% 6% (7% 4%) (7% 4%) 3% 6% (7% 4%) (7% 4%) (7% 4%) 3% 6% (7% 4%) n 3% n (6% 3%) [ (7% 4%) ] 7% 4% (6% 3%) 7% 4% 5%. ( n ) 用 同 样 的 方 法 计 算 可 得, P.68 %, P 3 %, P %, P 5.34 %. 又 有, P6 P5 P5 (4% %) P5 (4% %)(4% %) P5 (4% %) ( 4% % )( 4% % ) P5 (4% %) n P5[ (4% %) ] 4% %.55 %. P( C 活 终 ) P P P3 P4 P6 ( n ) n 故 P( C 活 终 ) 5%.68% %.893%.55% 39.3%. 63

64 年 月总第 8 期 然后 我们再来看 B 的存活率 用同样的方法计算得 P( B 活终 ) 38.4%. 最后 我们来看 A 的存活率 用同样的方法计算得 P( A 活终 ).66%. 令人惊讶的是 即使是在轮流开枪直至剩下最后一人的决斗方式中 C 的存活率 39.3 % 依旧是最高的 而 A 的存活率.66 % 则为三者的最低水平 正如前文所分析 C 作为最弱者 在 A 和 B 皆存在时放空枪有利于提高其生存率 这 使 A, B, C 在进行博弈时 C 必定作为存在两名幸存者时的幸存者之一 所以 其实 初始情况完全等价于 A 和 B 先进行决斗 然后胜出者再与 C 进行决斗 这大大提高了 C 的 存活率 而 A 和 B 在进行决斗时 B 虽然实力不及 A 强 但作为首先开枪的人 具有主 动权 赢得了先机 使其存活率无形中大大高于 A 从中我们不难发现 其实在博弈中 实力最强者不一定就会成为赢家 各种比赛中 如果使实力最弱者轮空 直接进入下一轮比赛 往往会影响比赛的公平 使实力最强者难 以得到应有的成绩 同时 无论是在生活中还是在比赛中 赢占先机往往是获得成功的关 键 博弈中的赢家不一定是实力最强者 更可能是赢占先机的较强者 甚至弱者 3.3 遗留的一些问题 对于这个博弈 笔者还遗留了以下几个疑问 有待进一步的分析和探讨 C 放空枪的最优策略 是在所有枪手博弈中都适用还是仅在特殊情况下适用 这个问题 其实我们可以用极端情况来验证 假设现在枪手 A 的命中率为 % 枪手 B 的命中率为 % 枪手 C 的命中率为 % 不难算出 C 在放空枪时死亡的概率为 P % 在向 A 开枪时死亡的概率为 P 98.4 % C 向 A 开枪反而是更好的选择 这是由于 如果 C 还是选择放空枪的话 无疑概率最大的结果是 B 先死 然后 A 和 C 进行决斗 此时 C 可算是岌岌可危了 一旦一枪没有命中 A 自己就肯定要被 A 命中了 而如果自己和 B 联手先一起射杀 A 那么最后剩下 A 的概率会减小 而相对来说 B 和自 己实力差不多 往往不难对付 自己存活的概率反而增大 因此 我们可以得出结论 C 放空枪不一定是最优策略 这个策略仅在特殊情况下适 用 那么什么时候应该放空枪 什么时候又应该向 A 开枪呢 由上面的极端情况便可知 C, B, A 轮流开枪直至剩下一人幸存的时候 A B, C 何者存活的概率更大也不可能一成不变 那么 A, B, C 在不同情况下的存活率有什么特 点 3 如果现在情况发生改变 开枪的顺序变成了 B, C, A 或者 A,B, C 等其他排列 C 的最优策略又是什么 参考文献 [] 董志强. 身边的博弈. 机械工业出版,6 [] 温克勒. 最迷人的数学趣题 一位数学名家精彩的趣题珍集. 上海教育出版社 7 [3] 董志强. 无知的博弈 有限信息下的生存智慧. 机械工业出版社 9 [4] 赵泽华. 浅谈几个多人博弈., 年 月总第 7 期 笔者认为 A, B, C 开枪顺序不同情况下对 C 的最优策略的讨论 是极有现实意义的 这其实暗含 着不同社会制度下弱者的最优选择的问题 64

65 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 代 表 向 开 枪 % 代 表 此 项 C 幸 存 C 空 B A 6%A 死 4%A 活 C B A B 3%B 死 7%B 活 8%B 死 %B 活 B C C A C A 6%C 死 4%C 活 7%A 活 3%A 死 7%A 活 3%A 死 A C B A B C 8%C 死 %C 活 4%A 活 6%A 死 6%C 死 4%C 活 A B 8%B 死 %B 活 图 - C 选 择 放 空 枪 时, 各 种 可 能 出 现 的 情 况 和 概 率 65

66 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 向 开 枪 % 代 表 C 最 终 幸 存 % 代 表 C 在 本 轮 中 幸 存, 下 轮 不 定 C 空 B A 6%A 死 4%A 活 C B A B 3%B 死 7%B 活 8%B 死 %B 活 B C C A C 空 4%C 活 6%C 死 7%A 活 3%A 死 B A C B A C 6%A 死 4%A 活 3%B 死 7%B 活 8%C 死 %C 活 C B A B B C C A 3%B 死 7%B 活 8%B 死 %B 活 4%C 活 6%C 死 7%A 活 3%A 死 B C C A C 空 A C 4%C 活 6%C 死 7%A 活 3%A 死 P 8%C 死 %C 活 A C P6 8%C 死 %C 活 P3 P 图 3- 轮 流 开 枪, 直 至 剩 下 最 后 一 人 时 C 存 活 的 各 种 情 况 P4 66

67 年 月总第 8 期 浅析齐次函数的性质和在经济理论中的应用 王方舟 经济学院 风险管理与保险系 887 摘 要 在数学分析的课程学习里 齐次函数是一类比较特别的函数 然而 在数学学习 中 对于特例的研究是有助于我们对于一般情况的把握 此外 我们在许多习题中也会见 到齐次函数的身影 那么对于齐次函数的一点研究至少可以让我们做题时另辟蹊径 并且 在经济理论中 我们研究的许多模型函数也都属于齐次函数 于是了解一些齐次函数的内 容对于初学者无疑具有启发性 关键词 齐次函数 微分 边际 无差异曲线 生产函数 齐次函数的定义的一些探讨 在我们对于许多数学问题进行研究时 我们会发现这样一类的多元函数 似乎每一元 的变化都是 同阶 的 换句话说 在自变量取某些值时 从某种程度上讲 每一元的变 化对于最终函数值的变化的贡献似乎是相差不大的 当然 在这里我们仅仅有一个关于齐 次函数的模糊的印象 这个印象仅仅指明了一个求索的大概方向 经过仔细观察 更进一 步的 我们就会发现这些函数实际上可以满足 f t, ty t f, y 这样的形式 这样我 n 们就可以有如下定义 如果函数 f, y 满足 f t, ty t f, y 其中 t 则称 f 是 n 次齐次函数 n 事实上 更进一步有 如果函数 f,,..., m 满足 f t, t,...,tm t f,,...,m 其中 t n 则称 f 是 n 次 m 元齐次函数 由于二元齐次函数更简单常见 且应用更广泛 另一方面 二元与多元齐次函数其性 质极其相似 故在以下的内容中我们仅就二元齐次函数进行讨论 以上定义只是从形式上对齐次函数进行了定义划分 但并没有更透彻地反映出齐次函 数的特质 所以在下面我们要进行一些齐次函数性质的探讨 以期求加深理解 采取变换 主元的思想 对 t 求导 再令 t,我们就有 f (, y ) f (, y ) y nf (, y ). y 事实上 上式中 左边是关于每一自变量的偏导数与自变量值的乘积之和 而右边则 是原函数放大 或缩小 形成的新函数 那么这个式子在把偏导与原函数联系起来的同时 也就刻画出了函数自变量变化与函数变化之间的一个约束关系 而且 我们发现 似乎这 个约束条件也足够强了 这意味着 它可能是齐次函数判定的一个充要条件 必要性已证 明完毕 下面证明充要性 证明 首先用 t ty tz 去代替 f (, y ) f (, y ) y nf (, y ) 中的 y z y 就可以得到 67

68 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 f ( t, ty) f ( t, ty) t ty nf ( t, ty), y 等 式 左 边 等 于 f ( t, ty) f ( t, ty) t[ y ]. t ty 令 g( t) f ( t, ty), 上 式 即 于 是 解 这 个 微 分 方 程 有 g d g t, d t dg t ng, dt n ( t) Ct, 即 f t, ty n Ct, 令 t 就 有 C f (, y), 再 代 入 原 式 就 有, n, f t ty t f y. 充 分 性 证 明 完 毕 f (, y) f (, y) 也 就 是 说, 函 数 是 n 次 齐 次 函 数 的 充 要 条 件 是 y nf (, y). y 以 上 就 解 决 了 齐 次 函 数 的 定 义 问 题 齐 次 函 数 的 性 质 的 一 些 研 究 从 定 义 的 充 要 条 件 出 发, 我 们 很 容 易 得 到 一 个 齐 次 函 数 偏 导 数 的 齐 次 关 系 : 命 题 : 若, 次 齐 次 函 数 f y 是 二 次 连 续 可 微 的 n 次 齐 次 函 数, 则 f (, y ) 与 f (, y ) 是 ( n ) 这 个 命 题 是 比 较 容 易 理 解 的, 事 实 上, 我 们 有 而 另 一 方 面, 而 f ( t, ty) f ( t, ty) nf ( t, ty) t ty, y n n f (, y) f (, y) nf ( t, ty) nt f (, y) t y y. n f (, y) f (, y) nf (, y) nf (, y) t y t t ty t y, y 由 t 的 任 意 性, 就 可 以 得 到 f (, y ) 与 f (, y ) 是 ( n ) 次 齐 次 函 数 y 我 们 观 察 齐 次 函 数 的 充 要 条 件, 可 以 看 到, 充 要 条 件 仅 仅 是 从 一 阶 微 分 的 层 面 来 描 绘 68 y

69 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 齐 次 函 数, 如 果 要 更 深 刻 地 探 讨 齐 次 函 数 本 身 的 性 质, 我 们 还 可 以 从 二 阶 微 分, 甚 至 更 高 阶 微 分 的 层 面 上 来 探 究 齐 次 函 数 的 光 滑 性 等 一 般 应 用 中 时, 我 们 只 用 到 二 阶 微 分 的 形 式, 那 么 我 们 就 有 命 题 : 设 f, y 是 二 次 连 续 可 微 的 n 次 齐 次 函 数, 则 有 n( n ) f (, y) y f (, y). y 这 里 就 不 再 给 出 证 明 了 通 过 这 个 二 阶 微 分 形 式 的 方 程, 我 们 便 可 以 对 一 些 较 复 杂 问 题 中 的 齐 次 函 数 做 出 更 多 的 分 析 例 如 如 下 问 题 : y y 例 : 证 明 u y 满 足 方 程 解 : 知 即 于 是 y u(, y) y y y y, y y y y y y y, 证 明 完 毕 y y y y y. 此 外, 我 们 可 以 看 到, 齐 次 函 数 的 充 要 条 件 表 明, 函 数 值 的 大 小 与 偏 导 数 大 小 直 接 挂 钩, 那 么 联 系 到 多 元 函 数 的 极 值 的 必 要 条 件 ( 一 阶 偏 导 全 部 都 等 于 零, 即 梯 度 为 零 ), 我 们 就 可 以 有 一 个 极 为 有 趣 的 命 题, 即 : 命 题 3: 齐 次 函 数 在 极 值 点 处 和 鞍 点 处 函 数 值 为 零 这 个 命 题 是 显 然 的 但 是 它 的 意 义 不 小 因 为 它 提 供 给 我 们 一 个 判 断 极 值 点 的 捷 径 下 面 介 绍 的 第 三 个 命 题 是 关 于 一 元 齐 次 函 数 的 导 数 的 : 命 题 4: 对 于 齐 次 函 数 f (), 其 在 处 的 导 数 亦 可 表 示 为 f f f t f t t lim lim t t t 这 也 就 意 味 着, 我 们 可 以 把 某 点 的 导 数 看 为 该 点 沿 经 过 原 点 的 射 线 向 无 穷 远 方 向 运 动 的 过 程 中, 该 点 在 新 位 置 上 与 相 距 单 位 长 度 的 某 点 函 数 值 之 差 中 允 地 说, 作 为 命 题, 命 题 4 没 有 帮 助 我 们 太 多 但 是 作 为 一 个 认 识 导 数 的 新 视 角, 它 却 可 以 启 发 我 们 很 多 而 且 在 经 济 理 论 中, 当 我 们 说 自 变 量 的 边 际 量 就 是 增 加 单 69

70 年 月总第 8 期 位自变量 时函数值的变化量 时 我们就是在以命题 4 作为数理基础 此外 仅从笔者 自己的感觉来说 或许这个视角也能够帮助人们对微分某些方面的分析 同样地 对于多元齐次函数来说 该点沿经过原点的射线向无穷远方向运动的过程 中 该点在新位置上与相距单位长度的某点函数值之差 同样可以作为函数在某点偏导数 或是方向导数的新理解 即 y f, f t, y f, y t t lim lim t t t y f, t t 也就是 y f cos, sin f t cos, y t sin f, y t t lim lim t t t y f, t t. 命题 5 以二元函数为例 f, y C y n 其中 C 这实际上是给出了齐次函数的一个函数值的上下限函数 对于我们把握齐次函数的范 围有着极大的意义 证明该命题 我们只需要将直角坐标转化为极坐标 证明如下 令 r cos y r sin 原命题化为 f r cos, y sin Cr n 而 f r cos, y sin r n f cos,sin Cr n. 证毕 当然齐次函数的性质还有很多很多 限于篇幅 就不一一阐述了 3 齐次函数在基本经济理论中的应用 为符合经济理论中的习惯 我们在以下讨论中只讨论二元齐次函数 3. 在无差异曲线中的应用 无差异曲线是消费者理论中的一个极为基础和重要的概念 事实上 无差异曲线就是 某个二元效用函数在函数值为确定的一个数时 两个变量在平面直角坐标系里表现出的曲 线 并且随着效用函数值的变化 我们可以得到一组无差异曲线 而这一组无差异曲线就 描绘了消费者的偏好 一般我们研究的是单调且凸向原点的无差异曲线 在以下的探讨中 我们延续这个习惯 在无差异曲线的理论中 有一个概念称为相似偏好 如果消费者效用函数满足 f t, ty tf, y 的形式 就称消费者的偏好为相似偏好 依据前文对齐次函数的分析 我们就可以对相似偏好有一些更深的理解 例如 因为有齐次函数的充要条件 f (, y ) f (, y ) y f (, y ) 我们可以看出 y 具有相似偏好的消费者的效用是各商品数与其边际效用乘积之和 而我们又知道 一般消 7

71 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 费 者 的 效 用 的 微 小 变 动 量 是 各 商 品 数 微 小 变 量 与 其 边 际 效 用 乘 积 之 和, 即 f (, y) f (, y) d dy df (, y). y 比 较 两 者, 我 们 可 以 模 糊 地 体 会 到, 满 足 相 似 偏 好 的 效 用 函 数 实 际 上 将 其 微 观 中 的 某 种 性 质 延 展 到 了 宏 观 层 面 到 底 是 什 么 样 的 性 质 呢? 我 们 可 以 通 过 一 个 侧 面 来 体 会 如 果 合 理 地 假 设 无 差 异 曲 线 是 比 较 光 滑 的, 那 么 我 们 就 知 道, 对 于 相 似 偏 好 的 效 用 函 数, 其 偏 导 数 是 零 次 齐 次 函 数, 那 么 两 个 变 量 同 乘 t 的 时 候, 无 论 t 多 么 大 或 者 多 么 小, 偏 导 数 的 函 数 值 是 不 变 的 在 经 济 理 论 中, 效 用 函 数 的 偏 导 数 被 称 作 某 变 量 的 边 际 效 用 那 么 我 们 就 可 以 说, 相 似 偏 好 的 效 用 函 数, 其 边 际 效 益 仅 取 决 于 变 量 之 间 的 比 例 关 系 更 进 一 步 地, 我 们 知 道 边 际 效 用 之 比 在 效 用 函 数 值 确 定 时 表 现 为 平 面 上 无 差 异 曲 线 在 某 点 的 切 线 斜 率 也 就 是 说, 当 确 定 两 个 变 量 之 间 的 比 例 不 变 时, 这 条 有 固 定 斜 率 的 射 线 与 所 有 无 差 异 曲 线 ( 这 里 的 无 差 异 曲 线 满 足 相 似 偏 好 ) 交 点 的 曲 线 切 线 斜 率 都 一 样! y 图 相 似 偏 好 的 无 差 异 曲 线 ( 图 中 曲 线 为 无 差 异 曲 线 ) 事 实 上, 如 果 对 经 济 学 理 论 有 更 多 的 了 解, 就 可 以 认 识 到, 在 上 述 情 况 下, 由 于 预 算 线 也 是 一 个 具 有 固 定 斜 率, 并 随 收 入 变 化 而 平 移 变 化 的 直 线, 那 么, 当 预 算 线 与 某 条 无 差 异 曲 线 只 相 交 于 一 点 ( 即 所 谓 最 优 消 费 束 ), 这 一 点 在 随 预 算 线 平 移 而 形 成 的 轨 迹 是 一 条 直 线! 例 如 下 面 的 问 题 :.4.6 例 : 设 无 差 异 曲 线 为 : U X Y, P, P 3, 求 效 用 等 于 9 时 的 最 小 支 出 (8 年 中 国 准 精 算 师 考 试 ) 分 析 : 按 照 以 上 思 路, 我 们 重 点 先 找 相 对 于 无 差 异 曲 线 有 固 定 斜 率 的 射 线 因 为 射 线 与 预 算 线 相 交 点 的 无 差 异 曲 线 斜 率 与 预 算 线 斜 率 相 等, 这 点 的 无 差 异 曲 线 斜 PY 3 率 为 P, U Y.6X Y 而 这 点 的 无 差 异 曲 线 斜 率 又 可 表 示 为 U X.4X Y X X Y , 那 么 有.4.4.6X Y X Y 7

72 年 月总第 8 期 解得 X Y 这就是这条斜线的方程式 再将之代入 U X.4Y.6 9 得 X Y 9 于是所求的最小支出为 ( 3) 9 45 这条特殊的射线意义不止于此 它意味着 对于相似偏好的消费者 其恩格尔曲线是 一条直线 也就是说 消费者对某种商品的需求量随收入的增加而线性地增加 需求量最 后可以趋向无穷大 由此我们对于齐次函数在无差异曲线理论中的应用可窥一斑 由于具有相似偏好的常 用效用函数非常之多 所以我们在这里的探讨即使是浅薄的 其应用也是广泛的 3. 在生产函数中的应用 实际上 生产函数中的等产量线与无差异曲线的数学形式与图形是一样的 当然两者 有明显的经济上的区别 但这区别对于我们的研究毫无影响 而在生产理论中对于齐次函 数有着更普遍的应用 我们举规模报酬为例 当 生 产 函 数 满 足 f t, ty tf, y 我 们 称 之 为 规 模 报 酬 不 变 而 称 f t, ty tf, y 时为规模报酬递增 称 f t, ty tf, y 时为规模报酬递减 在这 里 我们同样可以看到 规模报酬不变时 生产函数实际上是一个一次齐次函数 而另两 种情况则是齐次函数的一个横向推广 首先我们从齐次函数的充要条件来分析规模报酬不变的生产函数 我们可以看到 产 量只与各生产要素投入量以及要素投入量之间的比例有关 那么也就是说 在规模报酬不 变的阶段 当生产者在某个生产要素比例处可以取得成本不变时的最大产量时 如果为增 加产量而追加生产要素的投入 最有效率的方法就是按起初的比例进行投入 在规模报酬 递增和规模报酬递减的时候也有类似的结论 我们可以据此来结论来判断企业的生产规模是否合适 当企业处于规模报酬递减的情 况 将企业进行拆分就是提高生产效率的最佳方法 当企业处于规模报酬递增的情况 企 业亟待扩大生产规模 而当企业处于规模报酬不变的情况 说明企业的生产函数已经达到 相当完善的地步 企业甚至只要精确地复制生产线就可以通过规模报酬不变的生产函数来 准确地扩大最终产量 例如英特尔公司就对其工厂实行精确复制 有意使其旗下的工厂从 生产到运营都几乎相同 以保证有效扩大生产规模 此外 在生产理论中 我们有类似于 预算线 概念的 等成本线 于是 在探讨无 差异曲线理论时得到的结论完全可以移植入生产理论中 具体内容就不再阐述了 而从这 一点 我们也可以看到 数学对于科学研究具有广泛的适应性与移植性 4 总结 我们通过对齐次函数的简单研究 以及对其在经济理论中的应用的观察 可以看出 齐次函数虽然是函数中的一个特例 但是它有着极为有趣的性质 并且在经济理论中有着 广泛的应用 事实上 不仅是经济学中 即便在物理学中也有广泛的应用 我们甚至可以 说 但凡数学所及 便有齐次函数的身影 这是因为齐次函数具有极为特殊却普适于实际 7

73 年 月总第 8 期 的 对称 性 这种性质也是世界之美 之所在 只要人们的实践不停止 对于 齐次函数的研究就一刻也不能停止 参考文献 []张效成 张阳 徐锬 著.经济类数学分析 下.天津大学出版社 8. []赵志勇 薛运华(著).高等数学习题课讲义 下.南开大学出版社 6. [3]谢惠民 恽自求 易法槐 钱自定 著.数学分析习题课讲义 下.高等教育出版社 4. [4]哈尔.R.范里安 著 费方域 等 译.微观经济学现代观点 第八版 格致出版社 上海三联出版 社 上海人民出版社. 浅谈斯勒斯基方程 倪媛媛 (经济学院 金融系 85 ) 摘 要 简述斯勒斯基方程的理解 研究消费者如何对价格变化产生的替代效应和收入 效应 列举斯勒斯基方程的在征收汽油税上的简单应用 关键字 斯勒斯基方程 替代效应 收入效应 征收汽油税.一个简单的假设 经济学家们要了解消费者的行为 需要一系列的分析 从数学模型到理论解释 研究 消费者的行为是如何随着经济环境的变化而变化的 这也是经济学家最关心的一个问题 而斯勒斯基方程主要研究的是消费者如何对商品价格的变动做出反应 在一个假设条件下 如果你每个月的生活费从 4 元升到 5 元 你会怎么安排这部 分多余的钱呢 再假如它们升到了 元呢 你又会怎么安排呢 再比如 你每个月的消 费主要在两个方面 苹果 我们假设为商品 和其他的消费品 其中包括伙食和生活用 品等其他消费品 我们假设为商品 考虑到苹果的价格上升时 你会如何做出选择呢 是减少它的消费还是增加消费呢 不管你是增加还是减少苹果的消费 你必须满足下面的 预算约束 m p p m 表示你本月的生活费 p 表示苹果 也就是商品 的价格 表示本月你需求苹 果的数量 相应地 p 和 分别表示商品 的价格和需求数量 在这里我们考虑到变化的两个方面 就是苹果的价格上升可能会产生两方面的影响 一方面使苹果相对于其替代商品 比如香蕉 而言变得更贵了 这会导致消费者减少对苹 果的消费量 而增加对香蕉的消费量 另一方面 和以前一样多的钱买到的苹果却减少了 使得消费者的实际收入 或实际购买力 下降 这也会导致消费者减少对苹果的消费量 前一种影响即为价格变化的替代效应 而后一种影响即为价格变化的收入效应.斯勒斯基方程 73

74 年 月总第 8 期 无差异曲线 B A 初始选择 C 初始预算 线 移动 最终预算线 转动 图 斯勒斯基方程. 替代效应 斯勒斯基方程的分析是建立在收入不变下消费者对价格变化的反应 但是 我们可以把这个过程分为两步 第一步是替代效应 我们首先看到的是购买力保 ' ' 持不变 而价格变动 消费者仅仅观察价格变动就做出反应选择新的消费束, 我们便把这种变化称为替代效应 根据替代效应的定义 我们也可以将替代效应称为补偿 的需求 如何理解补偿需求呢 我们回到开始时的假设 你每个月消费 斤苹果和其他生活用 品 苹果的价格上升了 作为补偿 你能获得多少额外的生活费 从而购买原先的消费束 苹果价格上升了 你到底可以得到多少补偿 我们需要计算一下替代效应 假设它的需 求函数为 m p 在 A 点时 我们知道你的每月的生活费是 4 元 苹果的价格是每斤 4 元 才有了你 对苹果每个月的消费是 4/ 4 = 斤/月 当苹果的价格上升为每斤 5 元 按照新的需求 4/(5)=8 斤/月 需求的总需求的变 化是每周减少 斤 要是购买力保持不变 需要用额外的生活费购买这 斤苹果 需要补偿的是 元 所 ' 以你新改变的生活费是 m =4+=4 元 将它带入需求函数 ( p', m ' ) (5,4 ) 所以 我们得出替代效应 s (5,4 ) ( 4,4 )

75 年 月总第 8 期. 收入效应 A 到 B 点为转动 下面就是 B 点到 C 点的移动了 预算线的平行移动是在相对价格保 持不变而收入发生变化的移动 我们把这种移动称为收入效应 继续替代效应的分析 我们已经知道 s.8 同理可得收入效应为 m (5,4 ) (5,4 ) 需求总变动 从 A 点到 B 点 经历了替代效应 从 B 点到 C 点 经历了收入效应 所以 s m 现在我们将这个式子展开 再代入数值 ( p,, m) ( p, m) ( p,, m, ) ( p, m) ( p,, m) ( p,, m, ).8.. 我们说 需求总变动=替代效应+收入效应就是斯勒斯基方程 生活费不变 苹果的价 格上涨 元的情况下 我们可以看到上式的需求总变动是负值 也就是说每个月对苹果的 需求减少了 斤 3.斯勒斯基方程的应用 征收汽油税 生活中必不可少的要消费汽油 随着世界对石油资源的消耗越来越大 汽油的价格也越 来越高 那关于汽油的斯勒斯基方程式怎么样的呢 根据 消费税税目税率表 规定 汽油 柴油属于从量定额征税消费税 其计算公式是 实行从量定额办法计算的 应纳税额=销售数量 定额税率 根据 财政部国家税务总局关于提高成品油消费税税率的通知 财税 8 67 号 文件规定 a 将无铅汽油的消费税单位税额由每升. 元提高到每升. 元 b 将含铅汽油的消费税单位税额由每升.8 元提高到每升.4 元 c 将柴油的消费税单位税额由每升. 元提高到每升.8 元 汽油消费税原指包含在汽油价格中的一种税费 当然这些税是向成品油的厂商征收的 但是我们可以大胆地假设这些税都转嫁给了消费者 毕竟汽油在市场上的弹性比较低 现在有一工厂 成为了某个承担成品油厂商汽油消费税的消费者 汽油为该工厂必须消 费商品设为商品 其他消费品我们仍设为商品 同理它也满足预算约束 所以假设它 对汽油的需求函数为 m p 该工厂每年用于生产的费用为 万元 其中无铅汽油的消费税单位税额每升. 元 有 万升. 75

76 年 月总第 8 期 当到 8 年 月时 由于出台了新的政策汽油消费税增加了 所以 ' 万升. 我们假设它是符合斯勒斯基方程的 那 8 万升汽油是怎么减少的呢 所以下面计算斯 勒斯基方程的两个部分 首先是替代效应 假设该工厂的收益不变 s (.,36 ) (., ) 再解释收入效应 m (., ) (.,36 ) 所以需求的总变动是 s m = 64 6 = 8 由此我们可以知道 新政策的出台使得该工厂的汽油需求减少了 8 万升 其中因为替 代效应减少的需求为 64 万升 而由于收入效应减少的方程为 6 万升 4.小结 商品的价格下降会对消费产生两种效应 相对价格的变动似的消费者消费更加便宜的商 品 但是价格下降导致的购买力的提高 可能增加消费 也可能减少消费 斯勒茨基方程的作用在于它可以分解出某商品价格变动所引起该商品需求量的变动中 有多少是替代效应所导致 而又有多少是收入效应所导致的 斯勒斯基方程对经济学中的 退税和自愿实时定价等诸多问题的分析也有着十分重要的作用 参考文献 [] 微观经济学:现代观点 哈尔 R.范里安 [] 消费税税目税率表 [3] 财政部国家税务总局关于提高成品油消费税税率的通知 财税 8 67 号 辩证地看待算术与代数 俞鸿旭洋 医学院 临床医学专业 6 摘 要 本文通过不同类型的例题分别从三个角度分析算术与代数的辩证关系 先介绍 了 代数 算术 分别是什么 进而从代数对算数的帮助 代数并非万能 某些情况算 术优于代数 这三个方面进行展开分析 关键词 代数 算术 辩证 关于 算术 代数 这样的词汇 大家已经很熟悉了 但越是很早就接触到的知识 越是熟悉的内容 我们越容易忽略思考其中的深意 下面 我将就两者的关系进行一些讨 论 以此表达一下我的理解 76

77 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 一. 引 例 首 先, 给 出 一 个 简 单 的 小 例 子, 来 理 解 算 术 与 代 数 分 别 什 么, 比 较 下 其 中 的 本 质 问 题 今 有 若 干 鸡 兔 同 笼, 已 知 其 总 头 数 为, 总 足 数 为 5, 问 鸡 兔 各 几 何? 这 是 小 学 阶 段 就 会 接 触 到 的 著 名 的 鸡 兔 同 笼 问 题 现 介 绍 它 的 两 种 解 法 方 法 一 : 假 若 头 全 为 鸡, 则 应 有 足 数 为 4, 而 已 知 总 足 数 为 5, 还 差 只 脚 又 知 一 只 兔 比 一 只 鸡 多 两 只 脚, 因 此 需 用 5 只 兔 来 替 换 5 只 鸡 于 是 得 到 笼 中 有 兔 5 只, 鸡 5 只 列 出 算 式 (5 ) = 5 ( 兔 数 ) 5 = 5 ( 鸡 数 ) 方 法 二 : 用 一 元 一 次 方 程 设 鸡 为 只, 兔 为 只, 于 是 由 总 足 数 为 5 得 方 程 + 4( - )= 5 展 开 合 并 移 项 得 = 3 最 后 得 = 5 ( 鸡 数 ), -5 = 5( 兔 数 ) 其 中 方 法 一 是 算 术 的 方 法, 方 法 二 则 是 代 数 通 过 比 较, 我 们 可 以 发 现 算 术 的 方 法 是 对 已 知 的 具 体 数 字 进 行 运 算, 最 后 求 得 未 知 数 而 代 数 方 法 一 般 可 按 自 然 的 方 式 和 顺 序, 用 字 母 表 示 未 知 数, 列 出 包 括 已 知 数 和 未 知 数 的 等 式, 即 方 程, 进 而 解 方 程 求 解 如 果 从 起 源 来 看 这 两 者, 毫 无 疑 问, 代 数 是 由 算 术 演 变 而 来 的 在 古 代, 当 算 术 里 积 累 了 大 量 的, 关 于 各 种 数 量 问 题 的 解 法 后, 为 了 寻 求 有 系 统 的 更 普 遍 的 方 法, 以 解 决 各 种 数 量 关 系 的 问 题, 就 产 生 了 以 解 方 程 的 原 理 为 中 心 问 题 的 初 等 代 数 如 果 分 别 来 看 两 者, 算 术 是 以 数 为 基 本 对 象, 代 数 是 以 字 母 为 基 本 对 象, 代 数 是 算 术 的 抽 象 化, 形 式 化, 是 将 数 的 知 识 提 升 到 一 般 化 的 水 平 下 面 我 们 开 始 讨 论 这 二 者 的 关 系 二. 代 数 对 算 术 的 帮 助 在 很 多 情 况 下, 算 术 往 往 不 能 靠 它 本 身 的 方 法 来 严 格 证 明 它 里 面 有 些 判 断 的 正 确 性, 在 这 时 就 不 得 不 用 到 代 数 概 括 的 方 法 看 下 面 这 一 系 列 问 题 问 题 : 怎 样 用 三 个 相 同 的 数 字 写 出 尽 可 能 大 的 数? 9 9 解 答 : 只 要 取 三 个 9, 把 它 们 摆 成 这 样 9 这 个 数 也 就 是 9 的 超 乘 方 它 不 可 思 议 的 大, 大 到 没 有 任 何 可 以 比 较 的 东 西 在 宇 宙 可 见 的 部 分 电 子 的 总 数 和 它 相 比 都 完 全 不 算 一 回 事 那 么 再 看 下 一 个 问 题 问 题 : 那 么, 三 个, 怎 么 摆 成 尽 可 能 大 的 数? 解 答 : 有 了 前 面 的 经 验, 我 们 可 能 会 这 样 摆 成 这 样, 但 是 的 超 乘 方 还 不 如 大, 那 么 是 么? 这 个 数 也 不 是 很 大, 只 有 484 正 确 的 摆 法 应 该 是 这 样 问 题 3: 再 推 广 一 下, 如 果 是 三 个 3 呢? 解 答 : 在 这 个 问 题 中 如 果 叠 成 三 层, 依 然 达 不 到 预 期 的 效 果, 因 为 3 这 个 数 更 大 问 题 4: 继 续, 如 果 变 成 三 个 4 呢? 解 答 : 如 果 你 在 这 个 例 子 中 照 着 刚 才 两 题 的 样 子, 认 为 是 4 44, 那 么 这 一 次 又 错 了 应 4 该 这 次 正 确 的 答 案 又 变 成 了 三 层 的 摆 法

78 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 通 过 上 面 连 续 的 这 四 个 问 题, 我 们 看 到 了 结 果 不 停 地 变 化 那 么 我 们 不 禁 想 问, 为 什 么 有 些 数 字 用 三 层 摆 法 就 是 最 大 的, 而 另 外 一 些 就 不 是 呢? 这 时, 代 数 可 以 给 解 题 很 大 的 帮 助 如 果 我 们 想 求 什 么 时 候 三 层 叠 法 最 大, 可 以 列 不 等 式, 使 a a+a < a a a 解 不 等 式, 得 到 a a- > 进 而 得 到 a 不 小 于 4 时, 应 该 选 用 三 层 叠 法 也 就 是, 对 于 和 3 要 用 一 种 摆 法, 对 于 4 和 更 大 的 数 码 又 要 用 另 一 种 摆 法 在 这 个 例 子 中, 我 们 也 看 到 了 类 比 的 方 法 并 不 总 是 正 确 的 惯 性 思 维 的 力 量 有 时 会 使 我 们 误 入 歧 途, 因 为 要 学 会 运 用 代 数 的 方 法 去 分 析 具 体 的 问 题, 才 能 严 格 判 断 其 中 的 正 确 性 三. 把 代 数 与 算 术 联 合 起 来 介 绍 一 道 俄 罗 斯 古 代 民 间 的 题 目, 叫 做 找 补 这 也 是 中 国 第 二 届 祖 冲 之 初 中 数 学 邀 请 赛 的 一 道 题 目 问 题 : 从 前 发 生 过 一 件 这 样 的 事 情 有 两 个 贩 卖 家 畜 的 商 人 把 他 们 共 有 的 一 群 牛 卖 掉, 每 头 牛 卖 得 的 钱 的 元 数 等 于 牛 的 总 数 把 所 卖 的 钱 买 回 了 一 群 羊, 每 只 羊 元, 钱 的 零 头 搭 配 了 一 只 小 羊 这 些 羊 他 们 两 人 平 分, 第 一 人 多 得 了 一 只 大 羊 ; 第 二 人 得 到 了 那 只 小 羊 而 由 第 一 人 找 补 他 一 点 钱 问 找 补 的 钱 数 到 底 该 是 多 少?( 假 定 找 补 的 钱 数 是 整 数 ) 分 析 : 在 这 里, 题 目 不 能 直 接 翻 译 成 代 数 语 言 从 而 列 方 程 这 时, 我 们 需 要 凭 所 谓 自 由 的 数 学 思 考 但 是, 在 解 题 过 程 中 代 数 还 是 可 以 给 算 术 重 要 的 帮 助 解 答 : 首 先, 全 牛 群 的 总 价 应 该 是 一 个 完 全 平 方 数, 因 为 它 是 以 每 头 n 元 的 价 格 卖 n 头 牛 所 得 的 钱 数 既 然 有 一 个 伙 伴 多 得 了 一 只 大 羊, 可 见 大 羊 的 只 数 是 奇 数 ; 这 就 是 说,n, 这 个 数 的 十 位 数 字 是 一 个 奇 数 那 么 个 位 数 到 底 该 是 什 么 呢? 其 中, 有 一 点 是 可 以 证 明 的 : 如 果 一 个 完 全 平 方 数 的 十 位 数 是 一 个 奇 数, 那 么 他 的 个 位 数 只 能 是 6 如 何 证 明 呢? 这 时 候 代 数 又 可 以 发 挥 作 用 了 任 何 由 十 位 数 字 a 和 个 位 数 字 b 所 构 成 的 数, 它 的 平 方 (a+b) 等 于 a²+ab+b²=(a ²+ab) +b² 这 个 数 里 的 十 位 数 有 一 部 分 是 a²+ab, 而 还 有 一 部 分 包 含 在 b² 里 但 a²+ab 是 一 个 偶 数 所 以 只 有 在 b² 里 所 含 的 那 部 分 十 位 是 奇 数,(a+b)² 里 所 含 的 十 位 数 才 能 是 奇 数 现 在 我 们 且 来 想 想, 这 b² 究 竟 是 怎 样 的 数? 也 就 是 下 面 十 个 数 中 的 一 个 : 这 里 只 有 6 和 36 的 十 位 数 字 是 奇 数, 而 这 个 数 的 个 位 都 是 6 可 见, 完 全 平 方 a² +ab+b² 只 有 在 末 位 数 字 是 6 的 时 候, 它 的 十 位 数 字 才 能 是 一 个 奇 数 现 在 我 们 的 问 题 容 易 解 答 了, 显 然 买 小 羊 应 该 花 了 6 元 钱 所 以 分 得 小 羊 的 这 位 伙 伴 比 另 一 位 吃 亏 了 4 元 钱 为 要 分 得 公 平, 得 到 小 羊 的 应 该 由 他 的 伙 伴 找 补 给 他 元 钱 所 以 我 们 这 个 找 补 问 题 的 答 案 是 元 钱 在 这 个 题 目 中 虽 然 没 有 列 方 程 求 解, 但 是 依 然 用 到 了 代 数 的 分 析 方 法 下 面 我 们 再 看 一 个 例 子 引 入 代 数 更 麻 烦 四. 有 时, 算 术 胜 于 代 数 问 题 : 找 一 个 最 小 的 数, 它 用 除 余, 用 3 除 余, 用 4 除 余 3, 用 5 除 余 4, 用 6 除 余 5, 用 7 除 余 6, 用 8 除 余 7, 用 9 除 余 8 3 解 答 : 要 解 决 这 个 问 题 并 不 需 要 方 程 它 可 以 用 简 单 的 算 术 推 理 来 解 决 在 这 所 求 的 未 知 数 上 加. 得 到 一 个 新 的 数 那 么 用 除 余 数 是 什 么 呢? 余 数 是 +=, 也 就 是 这 数 可 被 整 除 同 样 也 可 以 知 道 这 新 数 也 可 以 被 各 数 整 除 这 个 新 数 是 它 们 的 最 78

79 年 月总第 8 期 小公倍数 也就是 9*8*7*5=5 因为 包含了 到 9 所有数所含的因子 求 出 5 这个数之后 减去之前加上的 得到 59 也就最后的答案 在这个例子中我们又对代数与算术的关系有了新的认识 也就是我们不能一味的推崇 代数列方程的方法 在不同的题目中应该选取最适宜的方法 五 总结 通过上述一步步的分析 我们对于代数与算术的关系有了更清晰的认识 在这里 需要 肯定一点 代数对于解题有巨大的力量 这一点在我们平时的生活中都有所体现 但这并 不是绝对的 哲学家笛卡儿曾经设想把一切问题归结为方程问题来解 不过这个设想失败 了 4 有时候需要把代数与算术结合起来解题 两者各司其职 解题者分别利用其在解题 中的优势 使解题过程最简洁 甚至有些情况 只需选择算术的方法即可快速得到答案 但这过程也是需要清晰的逻辑思维 深入理解到问题的最本质 才可以找到最便捷的途径 从这三方面 我们了解到 代数与算术的关系需要辩证的看待 参考文献 [] 史炳星 从算术到代数 数学教育学报 第 3 卷第 期 [] 别莱利曼 趣味代数学 中国青年出版社 第 95 页 [3] 顾沛 数学文化 高等教育出版社 第 33 页 [4] 王敬庚 你知道代数与算术的区别么 中学生数学 6 年 月下 虚 数有 实 用 张兆鹏 数学科学学院 数学类 95 摘 要 从实数到虚数 这个世界改变了很多 虚数的发现延伸了人们的视角 让我们 在很多领域应用虚数时经常会发现虚数引入的意义不凡 它也在许多领域 建功立业 本文简要介绍了虚数的起源以及在物理学等领域的广泛应用 关键词 虚数;应用;欧拉公式;快子;iPod.虚数的起源. 虚数的发展历程 在数学里 如果有数平方是负数的话 那个数就是虚数了 所有的虚数都是复数 虚 数 这个名词是 7 世纪著名数学家笛卡尔创制 因为当时的观念认为这是真实不存在的数 字 后来发现虚数可对应平面上的纵轴 与对应平面上横轴的实数同样真实 虚数轴和实 数轴构成的平面称复平面,复平面上每一点对应着一个复数 777 年瑞士数学家欧拉开始使用符号 i= - 表示叙述的单位 而后人将虚数和实数 有机的结合起来,写成 a bi 形式 ( a, b 为实数) 称为复数 由于虚数闯入数的领域时 人们对它的实际用处一无所知 在实际生活中似乎也没有用复 79

80 年 月总第 8 期 数来表达的量 因此 在很长的一段时间里 人们对虚数产生过种种怀疑和误解 卡迪尔 称 虚数 的本意是指他是假的 莱布尼兹在公元 8 世纪初则认为 虚数是美妙而奇异 的神灵隐蔽所 它几乎是既存在又不存在的两栖物 欧拉尽管在许多地方用了虚数 但又 说一切形如 - - 的数学式都是不可能有的 纯属虚幻的 欧拉之后 挪威的一个测 量学家维塞尔 提出把复数 a bi 用平面上的点 a, b 来表示 后来 高斯提出了复平面的 概念 终于使复数有了立足之地 也为复数的应用开辟了道路 现在 复数一盘用来表示 向量 有方向的数量),这在水力学 地图学 航空学中的应用是十分广泛的 数学家和物理学家发现 把一个平面上的所有各点同数字系统彼此联系起来是非常有 用的 如果没有所谓虚数 他们就无法做到这一点了,复数直角坐标系将所有的点在一个平 面上表现了出来 如图 图 复数坐标系. 虚数的定义 在实数域无界 定义 i 称 i 为虚数单位 称 a bi 为复数 bi 为纯虚 数 a,b 为实数.3 关于 i 的使用和表达 有人说 ( ) ( ) i i 于是否定了 i 存在的合理性 但是公 式 ab a b 是在 a,b 为非负的实数时才成立的 为了避免这样的错误 尽量不要用 平方根表示虚数 例如 5 通常用 5 i 表达.4 关于 i 的运算 许多实数的运算都可以推广到 i 例如平方根 幂 对数 三角函数 i 的平方根为 i = ( i ) 一个数的 ni 次方为 ni cos(ln( n )) i sin(ln( n )) 一个数的 ni 次方根为 ni cos(ln( n )) i sin(ln( n )) 以 i 为底的对数为 8

81 log i ( ) 年 月总第 8 期 ln( ) i 4 i 的正弦和余弦为 cos(i) cosh() e / e e e sin( i) sinh( )i e / e e i i e.虚数的. 欧拉公式 ei cos i sin e 是自然对数的底 i 是虚数单位 它将三角函数的定义域扩大 到复数 建立了三角函数和指数函数的关系 它在复变函数论里占有非常重要的地位,复变 函数中的欧拉幅角公式--将复数 指数函数与三角函数联系了起来 下面简要证明一下欧 拉公式 证 根据泰勒公式得 3 4 e!! 3! 4! cos 4 6! 4! 6! sin ! 5! 7! 在 e 的展开式中把 换成 i. i, i 3 i, i 4 e i i i 3 4!! 3! 4! 3 i 3!! e i cos i sin,得证 i 将 代入上式 可得 e.这个恒等式也叫做欧拉公式 图 欧拉公式 8

82 年 月总第 8 期 它是数学里最令人着迷的一个公式 它将数学里最重要的几个数字联系到了一起 两个超 越数 自然对数的底 e 圆周率 π 两个单位 虚数单位 i 和自然数的单位 以及被称 为人类伟大发现之一的 数学家们评价它是 上帝创造的公式 我们只能看它而不能理 解它. 从一些数学角度看定义虚数的完备性 在求解三次方程时,有时求根公式得出的根形式上是虚数,但实际上是实数.如果不 定义虚数,就无法解释为什么二者等价 n 阶方阵 A 在复数域上可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 3.虚数带给物理什么 3. 物理上的快子与虚数 光的速度是每秒约 3 公里 那么 要是有某个质量为 公斤 长度为 厘米 的物体以每秒约 44 公里的速度运动 会发生什么情况呢 如果我们应用爱因斯坦的 方程 它就会告诉我们说 这时物体质量将等于 负的负 的平方根 公斤 它的长度将 变成 负 的平方根 厘米 换句话说 任何一个运动得比光还快的物体 都会具有必须 用数学上所谓 虚数 来表示的质量和长度 在我们这个 慢宇宙 中 不运动的物体的能量等于零 但是 当它获得能量时 它就运 动得越来越快 如果它得到的能量无限大 它就会被加速而达到光的速度 在 快宇宙 中 能量等于零的快子以无限大的速度进行运动 它所得到的能量越大 它的运动就越慢 到能量为无限大时 它的速度就降低到光速 在我们这个慢宇宙中 一个物体在任何条件 下都不能运动得比光快 而在快宇宙中 一个快子在任何条件下都不能运动得比光慢 光 速是这两个宇宙之间的界线 它是不能超越的 不同惯性参照系之间的变换关系式与洛伦兹变换在数学表达式上是一致的 即 - vt - v c v c y y z z t v - c t- 其中 y z t 分别是惯性参考系 下的坐标和时间 其中 y z t 分别是惯性 参考系 下的坐标和时间 v 是 坐标系相对于 坐标系的运动速度 方向沿 轴 物理学领域的科学家主张应该对超光速粒子存在的可能性进行研究的基本论点是 对 于速度大于光速和小于光速的两种情况 洛仑兹变换在形式上是相似的 此外变换本身并 未排除快子存在的可能性 当然变换的相似性并不意味着粒子和超光速粒子的表现性质完 全一样 如果我们看一下静质量和能量的关系式 我们就发现当粒子运动速度 v c 时分 母中的量就是虚数 因此如果超光速粒子的质量 此处指静止质量 m 是实数 那么其 能量就应当是虚数 另外 虚数对量子理论的作用是解释这套理论最古怪的方面 量子物体可以同时存在 于两个或多个地方 如今量子物理早已离不开虚数的描述与解释了 3. 用含虚数的相对论力学描述波导隧穿光子 浙江农林大学物理实验中心王品瑜在其论文 用含虚数的相对论力学描述波导隧穿光 子 中认为传统的相对论里所有物理量都是实数 一种推广该理论的设想是引入虚数 该 论文以波导为例证明了只要承认发生隧道效应时某些物理量是虚的 那么相对论力学的公 式体系依然适用 无需做任何改动 这个结果有助于纠正一种流行的观点即隧穿速度可以 8

83 年 月总第 8 期 比真空光速 c 更快 事实上 隧穿速度应该是个虚数 拿它与实数光速 c 相比没有意义 超光速理论并不适合隧道效应的研究 因为由它导出的微波隧穿功率与已知的经验规律不 符 用实数相对论力学也一样失败 只有引入虚量的相对论才能得出与实验相符的指数衰 减规律 3.3 没有虚数 你得不到 ipod 迈克尔 布鲁克斯在英国 新科学家 周刊网站写了篇题为 从零到无限 把 i 放到 ipod 里 的文章 文中提到 ipod 离不开虚数 其实 虚数让 6 世纪的发现者头疼 却给 了我们从量子力学到便携音乐等各种好东西 学生们遇到虚数时的常见反应是 这有什么 意义 嗯 意义可大了 尽管人们花了几百年才发现 虚数现如今已经成为微芯片设计和数字压缩运算的核心工具 你的 mp3 播放器就依赖 虚数 比这更重要的是 虚数是带来电子学革命的量子力学的基础 没有复数 现代技术 几乎不可能存在 而复数包含实数 也包括虚数 没有虚数的实数做不了这些事 3.4 物理学处理交流电问题 虚数的三角和乘方表示方式 ei cos i sin 在物理学处理交流电问题时很管用, 因为这样计算矢量的某些运算时会很方便 4.结语 在解题过程中暂时借用哈弥尔顿所定义的复数只是一种技术(手段) 由于复数根一定 会以共轭复数(Conjugate Comple Number)的型式成双成对 如影随形的出现 虚数终究 会在解题过程中互相抵销而功成身退 回到现实生活中的实数解 明白这一点 相信你就 会爱死复数 或许有一天 你会虚拟一种比 虚数 更有意思的 超虚数 去破解一些目 前尚未解决的物理数学问题 你的成就 将会超越哈弥尔顿 从虚数的产生与应用的过程中 我们可以应当有所感悟 在数学研究中经常需要 跳 出来 的思想 打破思维定式 从原有的套中走出 发现套与套之间以往未曾发现的知识 这就是科学发展 套之外必然还有套 知识是永无止境的 以更发散的思维解决瓶颈 这 种数学上思维的解放极大地促进了数学的前进与发展 这种拓展延伸的思维也是一个研究 学术的人所必备的 参考文献 []马丁.哈威特.天体物理学概念.科学出版社,98 年第 版 []Burton David M. The History of Mathematics.995 [3]杨子胥.高等代数习题解.山东科学技术出版社.9 83

84 年 月总第 8 期 数学的应用 编辑点评 该文试图把作者学过的概率论与数理统计知识用于实际问题的研究 为此 他选择了 大二学生每周平均上网时间 这样一个自己与兴趣的问题 为取得 样本数据 自己设计 发放 回收调查问卷 再对获取的数据进行整理 在估 计上网时长时 运用了假设检验和区间估计等方法 最终得到了可供参考的结 果 在做这项工作的过程中 时间与精力的大量投入在所难免 或许有人不屑 于此 然而 社会对人才最终的认可不是学历或学位 而是能力 我们要问 大学本科期间最应该培养和提高的能力究竟是什么 编者认为以下三个能力是 大学生尤其应该注意培养和提高的 那就是自学能力 创新能力和初步的科研 能力 如果我们顺着作者的思路想开去 大学生身边还有很多类似的事情值得关 注 例如大学生平均每周锻炼身体的时间有多少 大学生平均每天睡眠的时间 有多少 大学生平均每周课外阅读的时间有多少 大学生平均每周用于了解国 内外新闻的时间有多少 诸如此类的问题 不是也值得研究吗 南开大学大二学生平均每周上网时间有多长 李昀格 经济学院 经济学 39 摘 要 网络消费在大学生日常消费中的比重日益增大 南开大学于 年 6 月实行网 络资费新标准 本文尝试对部分大二学生做了问卷调查 并运用所学过的参数估计和假设 检验等方法对样本数据进行了统计分析 得出了一些结论 希望本文所做工作能对关注此 问题的人们有一定参考价值 关键词 参数估计 假设检验 样本与总体 上网时间 南开大学于 年 6 月实行网络资费新标准 这对大学生网络消费自然会带来一定影 响 为此 本文尝试对部分大二学生的上网时间做了一些调查 并运用概率论与数理统计 的知识对大二学生平均每周上网时长进行估计 为取得样本数据 本文采取了问卷调查的 方式 调查内容包括上网时间 目的 费用 及对上网资费新标准的态度等 假设检验 由以往的接触得知 大部分同学 元的基本网费是有剩余的 与作者同宿舍的 6 位同 学平均每人每周上网约为 5.5 小时 据此 首先提出假设 H 即假设大二学生每周上网 时间平均为 5.5 小时 并设.5 进而假设上网时长服从正态分布 由于总体方差 未知 故本文拟采用 Z 检验 接 下 来 计 算 出 样 本 均 值 为 5.6 小 时 / 周 样 本 标 准 差 s.46, 据 此 可 求 出 z ,即检验统计量为 z.78 此统计量的含义是 样本均值与假设 的总体均值相比 相差.3 个抽样标准误差 利用 Ecel 中的 NORMSDIST 函数得到了 双尾检验 P.78.5 不足以拒绝原假设 表明南开大学二年级学生每周上网时间 平均在 5 小时左右 84

85 年 月总第 8 期 参数估计. 样本量的确定 下面我们用参数估计的方法 希望能估计出总体均值的一个大致的区间 在估计总体上网时长均值之前 首先应确定一个适当的样本量 由于在进行估计时 总是希望提高估计的可靠程度 这样就需要给出较大的置信水平 本次试验选用 95%的置 信区间 上网时长的调查实验为无限总体抽样 在此条件下 估计误差为 z 正态分布两侧面积各为 n 标准 时的 z 值 z 的值和样本量 n 共同决定了估计误差的大小 令 E 代表允许的估计误差 可以推导出所需样本量的计算公式如下 n ( z ) E. () 预实验中估计的样本标准差为 =.83 且设定 95%的置信区间 允许的估计误差不 超过.5 小时 则由公式(), 可计算出 n 94 再打点余量 本文实际确定的样本量为 n. 数据处理 采取简单随机抽样的方式发放问卷 共收回有效问卷 94 份 表 和表 为整理后的统 计数据 图 为由统计数据绘制的频数分布直方图 表 二年级学生上网时长抽样调查结果频率分布表 周上网 频率 百分比 累积百分比 合计 94. 时长 表 用SPSS算出的调查结果的描述统计量 每周上网时长 N 极小值 极大值 统计量 统计量 统计量 统计量 均值 标准差 方差 标准误 统计量 统计量

86 年 月总第 8 期 图 抽样结果频率分布直方图.3 总体均值的区间估计 现采用样本统计量加减估计误差的区间估计方法进行参数估计 在对总体均值进行区间估计时 由于是大样本( n 3 ) 样本均值近似服从期望值为 方差为 而样本均值经过标准化后则服从标准正态分布 即 z ~ N, n / n 由于总体标准差未知 故以样本标准差 s 代替 此时 估计误差为 z s.5 总体 n 均值 在 置信水平下的置信区间为 也就是说大二学生每周平均上网时 间在 3.8 ~ 8. 小时之间 参考文献 []Gudmund R.Iversen, Mary Gergen 著,吴喜之等译.统计学 基本概念和方法.北京 高等教育出版 社 施普林格出版社,. []吴喜之.从数据到结论 第二版.北京 中国统计出版社 6. 86

87 年 月总第 8 期 编辑点评 该文使用柯布-道格拉斯函数表示的柯布-道格拉斯偏好作为数学模型 通过 学生所做的最优化选择的效用 对南开大学和天津大学的食堂相关政策进行比 较 联系实际进行数学上的分析 给出了评判政策优劣的定量化的标准 该文 作者能够理论联系实际 学以致用 将建模的思想用到身边的实际问题中 这 种精神是值得广大同学学习的 该文无论是从数学角度看问题的出发点 还是 对现实世界中的现象进行合理的简化和量化 都反映出作者较好的数学素养 我们提倡重视数学素养 从各方面提高自己的数学素养 柯布-道格拉斯函数是已有的数学模型 使用它模拟偏好需要一些假设 对 该文研究的主要问题还可以进行更广泛的讨论 例如 有没有其它数学模型 不同数学模型的出发点和结论的差异在哪里 等等 南开大学 天津大学食堂政策 孰好 鲍秦杰 经济学院保险系 876 摘 要 柯布道格拉斯函数表示的柯布道格拉斯偏好能够很好的模拟大学生的偏好 然 后比较在南开大学 天津大学食堂相关政策下 学生所做的最优化选择 在两者所达到的 效用相等时 通过一定换算 在联系实际情况 得出相应的答案 关键词 柯布道格拉斯函数 预算线 需求函数 最优化选择 拉格朗日乘数法 单调 变换 问题的提出 天津市有两所知名的学府--南开大学和天津大学 南开大学校本部位于渤海之滨 系 国家教育部直属重点综合性大学 是首批国家 计划 和 珠峰计划 高校 国际大 学联盟 IAU 全球大学校长论坛 GULF 公立大学校长论坛的重要成员 也是敬爱的周 恩来总理的母校 天津大学是教育部直属国家重点大学 已经成为中国进行高技术领域创 新研究 解决社会发展中重大工程技术问题以及培养卓越工程技术人才的重要基地,这两所 大学均属 和 985 工程 而两所大学仅仅一墙之隔 正因为如此 两所大学的相 关政策总是为这两所大学的学子所讨论 在食堂政策方面 南开大学每个月补贴每位学子 6 元 而天津大学不补贴 但其大多数饭菜价格比南开大学的便宜 在校园里 出现了一 种现象 南开学子会去天津大学食堂用餐 那么 究竟是南开大学食堂的政策好 还是天 津大学食堂的政策好呢 柯布-道格拉斯函数 c d 柯布-道格拉斯函数是一种效用函数 该函数的表达式为 U (, ) = 其中 c,d 均为 正数 而效用函数存在单调变换 设单调变换后原函数变为 F (U (, )) 而单调变换是 指若 U (, ) > U ( y, y ) 则有 F (U (, )) > F (U ( y, y )) 柯布-道格拉斯函数所表 示的柯布-道格拉斯偏好在某种程度可以很好的模拟消费者的偏好 而在这种偏好下可以大 致的分析消费者在个人预算一定的情况下 该消费者所作出的商品消费组合 即最优化选 择 在这种选择下 消费者的效益最大 而最优化选择处 在图形中表现为预算线 消费 87

88 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 U 者 所 有 商 品 组 合 的 边 界 ) 与 柯 布 - 道 格 拉 斯 函 数 相 切, 故 此 时 斜 率 为 U 效 用 函 数 在 进 行 单 调 变 换 后, 不 影 响 消 费 者 的 最 优 化 选 择, 这 是 因 为 在 最 优 化 选 择 处 的 斜 率 为 F U U U = F U U U, 于 是 可 知, 其 最 优 化 选 择 将 不 改 变 而 柯 布 - 道 格 拉 斯 偏 好 下 得 最 优 化 cm 选 择 为 = ( c d ) p dm = ( ), c d p ( 其 中 m 为 消 费 者 的 预 算, p, p 分 别 为 商 品, 商 品 的 价 格 ), 下 面 就 用 数 学 知 识 来 求, 可 对 柯 布 - 道 格 拉 斯 函 数 进 行 单 调 变 换, 变 换 后 为 F(, ) = cln + d, ln 下 面 采 用 拉 格 朗 日 乘 数 法, 可 设 L(,, t) = cln + dln t( p + p m), 对 函 数 L(,, t ) 求 偏 导, 有 : cm 联 立 以 上 方 程 可 解 得 = ( c d ) p L c tp L d tp =, =, L p + p m =, t dm = ( ), c d p, (, ) 为 其 最 优 化 选 择 分 析 可 得 该 消 费 者 在 商 品 上 的 消 费 为 p, 那 么, 这 部 分 消 费 占 他 全 部 预 算 的 比 例 就 为 p c = m c d, d 同 理 可 得 消 费 者 在 商 品 上 的 消 费 占 他 全 部 预 算 的 c+ d, 于 是 有 商 品 c 与 商 品 的 消 费 比 例 为 d. 从 这 可 以 看 出 : 如 果 某 消 费 者 两 种 消 费 占 收 入 比 重 相 对 不 变, 那 么 柯 布 - 道 格 拉 斯 偏 好 就 可 以 很 好 的 进 行 模 拟 下 面 我 们 考 虑 南 开 大 学 天 津 大 学 的 学 生, 将 大 学 生 消 费 分 为 两 种 商 品, 一 种 是 花 费 在 食 堂 饭 菜 上 的 钱, 另 一 种 是 花 费 在 其 它 商 品 上 的 钱 对 于 大 学 生 来 说, 我 们 的 生 活 费 是 相 对 固 定 的, 而 我 们 花 费 在 食 堂 饭 菜 上 的 钱 与 花 费 在 其 它 商 品 上 的 钱 的 比 例 也 是 相 对 变 化 不 大, 即 使 南 开 大 学 每 个 月 补 贴 学 生 6 元, 天 津 大 学 饭 菜 的 降 价 处 理 ( 降 价 不 是 很 大 ), 对 大 学 生 来 说 也 不 会 造 成 很 大 的 影 响 注 : 该 分 析 可 能 不 能 针 对 所 有 的 在 校 大 学 生, 但 进 行 大 致 的 分 析, 对 大 多 数 同 学 来 说, 应 该 是 成 立 的, 也 就 表 明 我 们 可 以 用 柯 布 - 道 格 拉 斯 函 数 来 估 计 大 学 生 的 效 用 88

89 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 a 大 学 生 的 效 用 函 数 可 设 为 U(, ) = 该 函 数 的 意 义 为 该 大 学 生 在 食 堂 花 费 占 其 生 活 费 的 a a + 3 哪 种 政 策 更 优? 解 决 大 学 生 的 偏 好 模 拟 后, 假 设 m 为 大 学 生 的 生 活 费, p, p 分 别 为 食 堂 饭 菜 的 平 均 价 格, 其 它 商 品 的 平 均 价 格 先 假 设 南 开 大 学 天 津 大 学 未 采 取 任 何 食 堂 政 策, 一 个 大 学 生 的 消 费 预 算 线 为 p + p = m, 其 中 代 表 饭 菜 量, 代 表 其 它 商 品 量 对 于 柯 布 - 道 格 拉 斯 函 数 代 表 的 柯 布 - 道 格 拉 斯 偏 好 的 最 优 化 选 择 处 预 算 线 与 柯 布 - 道 格 拉 斯 函 数 相 切, 且 切 点 唯 一, 于 是 有 m U p =. m U p 在 南 开 大 学 采 取 补 贴 学 子 6 元 的 政 策, 设 R = 6, 此 时 有 以 下 方 程 : p + p = m+ R, ' ' m U ' p = m U p ', 又 因 为 有 U, U ' a ' =, 故 = ' a, ' ' 'a ' U ' ' a ' a m+ R, 整 理 可 得 = a+ p. * 在 天 津 大 学 采 取 降 低 饭 菜 价 格, 可 设 p = p-t t 代 表 吃 一 顿 饭 所 降 的 价, 此 时 应 有 以 下 方 程 : p = p -t, * p + p = m, * * * m p m p U = U * * *, * * *a * U *( a ) * U =, 故 = * a, 又 因 为 有, U a * *. 89

90 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 整 理 可 得 : = am * p - t a +. ' * 无 论 是,, 都 大 于, 也 就 是 学 生 的 情 况 变 好 了, 要 比 较 两 种 政 策 的 优 劣, 即 两 种 政 'a ' *a * 策 学 生 的 效 用 大 小 相 等, 即 : =, m 整 理 可 得 : t = p - ( ) m R a a. 下 面 分 析 具 体 情 形, 对 南 开 大 学 某 一 大 学 生 进 行 分 析 : 该 大 学 生 每 个 月 的 生 活 费 为 元, 在 食 堂 上 花 费 为 6 元 左 右, 则 他 花 费 在 其 它 商 品 上 的 花 费 为 4 元 左 右, 学 校 补 贴 6 元 后, 该 同 学 不 会 将 这 6 元 完 全 花 费 在 食 堂 饭 菜 上, 这 是 由 该 大 学 生 偏 好 决 定, 即 他 在 食 堂 花 费 大 概 会 是 636 元, 该 同 学 在 食 堂 吃 一 顿 饭 的 平 均 价 格 为 7.6 元, 将 数 据 代 入 上 式, 可 得 t =.66 元 其 实 函 数 可 以 表 示 为 a m 6 a m a t = - ( ) 9 a m6, 设 a, 则 原 函 数 可 以 表 示 为 a m 6 m 5 a 5 t = - ( ) 则, 先 假 设 m 为 定 值, 则 : 9 m 6 4 a 3 m m ln( dt m 6 m6 m6, d 9 m m dg m m 令 g( ) ln(, ln 恒 成 m6 m6 d m 6 m 6 立, 故 5 4, 5 5 m 4 5 m g 取 最 小 值, 而 g ln(, 而 此 时 4 m6 4 m6 的 m [8,5], 它 的 图 如 下 : g(5/4) m/(m+6) 图 9

91 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 5 5 m 4 5 m 可 以 知 道 g ln( 4 m6 4 m6 dt 恒 成 立, 故 d 恒 成 立, 即 t 5 a 3 m 3 随 增 大 而 增 大 下 面 考 虑 时, 即 t = p -, R 6, 作 出 t-m 图 a 5 m R, 如 下 所 示 ( 图 中 m [8,5] ): t( 元 ) m( 元 ) a 4 考 虑 a 5 图 时, 作 出 t-m 图 3, 如 下 所 示 : t( 元 ) m( 元 ) 图 3 分 析 该 图, 可 以 看 出.65 t.66 ; 分 析 图, 可 以 看 出.66 t.664 故 对 5 a 5 于, m [8,5] 时, 我 们 可 以 知 道 是.65 t.664, 即 无 论 哪 一 种 4 a 3 一 种 偏 好 下, 对 大 多 数 同 学 来 说, 哪 种 食 堂 政 策 更 优 不 取 决 于 他 们 生 活 费 的 多 少, 那 么, 我 们 进 行 估 算 时 可 以 取 t.66, 对 于 该 大 学 生 来 说, 如 果 在 南 开 大 学 天 津 大 学 食 堂 吃 一 顿 饭, 在 收 到 同 等 效 用 的 情 况 下, 若 天 津 大 学 食 堂 吃 该 顿 饭 比 南 开 大 学 食 堂 吃 该 顿 饭 便 宜 t =.66 元, 即 表 明 两 种 政 策 对 他 来 说 无 差 别 ; 若 天 津 大 学 食 堂 吃 该 顿 饭 比 南 开 大 学 食 堂 吃 该 顿 饭 便 宜 大 于 t =.66 元, 则 天 津 大 学 食 堂 更 优 ; 若 天 津 大 学 食 堂 吃 该 顿 饭 比 南 开 大 学 食 堂 吃 该 顿 饭 便 宜 小 于 t =.66 元, 则 南 开 大 学 食 堂 政 策 更 优 下 面 考 虑 更 现 实 的 情 况, 下 表 数 据 来 源 于 南 开 大 学 第 一 第 二 食 堂, 和 天 津 大 学 第 三 第 四 食 堂 : 9

92 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 表 : 南 开 大 学 天 津 大 学 饭 菜 价 目 比 较 表 ( 摘 录 部 分 ) 价 格 ( 元 ) 校 名 南 开 大 学 天 津 大 学 类 型 汤 类 盖 浇 饭 面 条 鸡 蛋 肉 饼 汤 香 菇 排 骨 汤 京 酱 肉 丝 奥 尔 良 烤 鸡 腿 8 7 木 须 肉 牛 肉 面 5 3 鸡 肉 炒 面 5 4 烧 茄 子 5 5 菜 名 西 红 柿 炒 鸡 蛋 4 4 酸 辣 白 菜 肉 片 腐 竹 3 3 鱼 香 肉 丝 表 中 汤 类 盖 浇 饭 数 据 来 源 于 南 开 大 学 第 二 食 堂, 菜 名 中 的 菜 价 来 源 于 南 开 大 学 第 一 食 堂, 从 表 格 中 可 以 看 出 高 端 中 端 消 费 的 学 生 来 说, 学 生 消 费 一 餐, 南 开 大 学 食 堂 饭 菜 价 钱 是 高 于 天 津 大 学 食 堂 饭 菜 价 钱 的.66 元 的, 故 可 以 知 道 对 于 天 津 大 学 食 堂 政 策 时 优 于 南 开 大 学 食 堂 政 策 的 ; 对 于 低 端 消 费 学 生 来 说, 学 生 消 费 一 餐, 南 开 大 学 政 策 是 不 劣 于 天 津 大 学 食 堂 的 而 我 们 知 道 南 开 大 学 第 二 食 堂 是 学 生 消 费 人 数 最 多 的 食 堂, 也 就 是 对 于 大 多 数 学 生 来 说, 天 津 大 学 食 堂 政 策 是 更 优 的 据 了 解, 南 开 大 学 十 几 年 前 就 开 始 实 行 补 贴 学 子 6 元 的 政 策 了, 可 以 说 十 几 年 前 6 元 的 补 贴 政 策 给 学 生 带 来 的 福 利 是 较 高 的, 然 而 随 着 国 家 经 济 的 发 展, 物 价 也 随 之 上 涨 了 很 多, 现 在 6 元 的 购 买 力 已 经 远 远 不 如 从 前 了 ; 另 一 方 面, 不 少 南 开 的 学 生 都 说 天 津 大 学 食 堂 饭 菜 更 美 味, 也 就 是 说 题 设 条 件 是 天 津 大 学 食 堂 与 南 开 大 学 食 堂 饭 菜 质 量 无 差 别 可 能 不 成 立, 即 要 使 两 种 政 策 无 差 异, 天 津 大 学 食 堂 吃 顿 饭 的 价 格 降 低 的 价 格 少 于 t.66 就 能 保 证 无 差 别 所 以, 综 上 两 种 因 素, 我 认 为 就 南 开 大 学 而 言, 随 着 时 间 推 移, 物 价 将 会 进 一 步 上 涨, 其 补 助 政 策 给 学 生 带 来 的 福 利 将 会 越 来 越 差, 故 南 开 大 学 应 该 加 大 补 助 力 度, 为 学 生 提 供 更 高 的 福 利 4 结 束 语 数 学 之 美, 美 在 数 学 无 处 不 在, 数 学 在 经 济 生 活 中 的 应 用 也 是 很 常 见 的, 比 如 经 济 生 活 中 的 一 些 虚 假 现 象 ( 例 如 政 府 向 消 费 者 征 收 税 收 与 向 销 售 者 征 收 税 收, 如 果 用 数 学 知 识 分 析, 就 能 够 很 明 显 的 发 现 其 征 税 的 结 果 对 消 费 者 和 销 售 者 所 造 成 的 结 果 是 一 样 的, 即 大 多 数 情 况 下, 税 收 由 消 费 者 和 销 售 者 共 同 承 担 ) 就 可 以 用 数 学 知 识 解 释 在 经 济 全 球 化 的 今 天, 经 济 的 地 位 日 显 突 出, 经 济 对 一 个 国 家 来 说 有 着 举 足 轻 重 的 地 位, 而 经 济 的 分 析 是 离 不 开 数 学 的, 作 为 学 习 经 济 的 人 应 该 学 会 将 数 学 融 入 经 济 领 域, 提 高 我 们 的 经 济 素 质, 时 刻 不 忘 历 史 使 命, 为 祖 国 经 济 腾 飞 努 力 9

93 年 月总第 8 期 参考文献 [] [美]哈尔 R.范里安 微观经济学 现代观点(第八版) 费方域等译 格致出版社 上海三联书店 上海人民出版社 编辑点评 该文建立了庞氏骗局的一个数学模型 并用这个数学模型来分析庞氏骗局 的维持时间和投资者的损失 从而对实际案例从数学上加以研究 该文反映出 作者具有较好的数学修养 他能将建模的思想应用到社会经济的实际问题中去 从过去的定性分析发展到该文的定量分析 这是值得提倡和发扬的 该文建立的是一个较简单的数学模型 一些假设作了简化 在此基础上大 家可以继续其探索 建立庞氏骗局的更精细的数学模型 也可以对更多的问题 从数学上进行更深入的分析 浅谈庞氏骗局中的数学奥秘 高晓宇 经济学院 风险管理与保险系 94 摘 要 庞氏骗局是一种最古老和最常见的金融投资诈骗 横行中外 很多非法传销集 团就是用这一招聚敛钱财 它又称 拆东墙补西墙 空手套白狼 简言之就是利用新投 资人的钱来向老投资者支付利息和短期回报 以制造赚钱的假象进而骗取更多的投资 这 种简单的诈骗方式为何能横行中外呢 用严谨的数学模型进行分析吧 关键词 庞氏骗局 横行中外 数学模型 严谨.历史回放. 庞氏骗局 庞氏骗局 源自意大利人查尔斯-庞兹 他 93 年移民到美国 曾蹲过监狱 99 年起 庞兹隐瞒了自己的历史来到了波士顿 设计了一个投资计划 向美国大众兜售 这个投资计划很简单 就是投资一种东西 然后获得高额回报 庞兹一方面在金融方 面故弄玄虚 故意把这个计划弄得非常复杂 让普通人根本搞不清楚 另一方面则设置了 巨大的诱饵 所有的投资 在 45 天之内都可以获得 5%的回报 他还给人们 眼见为实 的证据 最初的一批 投资者 的确在规定时间内拿到了庞兹所承诺的回报 于是 后面 的 投资者 大量跟进 在一年左右的时间里 4 万名波士顿市民 傻子一样变成庞兹赚钱计划的投资者 而 且大部分是怀抱发财梦想的穷人 庞兹共收到约 5 万美元的小额投资 平均每人 投 资 几百美元 而庞兹住上了有 个房间的别墅 买了 多套昂贵的西装 连他的烟斗 都镶嵌着钻石 9 年 8 月 庞兹破产了 他所收到的钱 按照他的许诺 可以购买几亿张欧洲邮政 票据 事实上 他只买过两张 庞兹锒铛入狱 此后 庞兹骗局 成为一个专门名词 即以高资金回报率为许诺 骗取投资者投资 用后来投资者的投资偿付前期投资者的欺骗 行为. 麦道夫事件 伯纳德 麦道夫是美国华尔街的传奇人物 曾任纳斯达克股票市场公司董事会主席 他以高额资金回报为诱饵 吸引大量投资者不断注资 以新获得的收入偿付之前的投资利 93

94 年 月总第 8 期 息 形成资金流 这个骗局维持 年 直到 8 年次贷危机爆发 他面临高达 7 亿美元 资金赎回压力 无法再撑下去 一场美国历史上金额最大的欺诈案这才暴露在世人眼前 麦式骗局 模式是抄袭典型的庞氏骗局 并不新鲜 但庞氏骗局这种模式一般只能 维持两三年 而麦道夫竟然运用简单的骗局长达 年 数额高达 5 亿美元 愚弄了华尔 街的诸多投资家 不得不让人 叹为观止.建立数学模型进行分析 庞氏骗局的奥秘究竟在哪里 我们希望通过建立较简化的数学模型来分析 并着重从 骗局可维持的时间及 投资者 的收益或损失这两面考虑 此数学模型的灵感就来源于笔 者对庞氏骗局结构的了解与思考 我们的目标很明确 就是要考察骗局的维持时间与损失 这两个关键因素 确立方向之后 建立模型不是什么困难的事 设诈骗者承诺的投资回报年利率为 a 这里我们仅考虑单利的形式 不计复利 最初 的 投资者 人数为 n 每个 投资者 出资 t 如果骗局可以维持 每 m 年加入一批新 的投资者 为简化分析 我们假设新加入的 投资者 数也为 n 诈骗者从总 投资金 中拿出 q 百分比的钱进行个人享受 骗局可维持时间为 X 年. 从最简单的情况开始 第二批 投资者 加入之前骗局崩溃 即骗局只有一批 投资 者 参与 骗局可维持的时间 X nt q atn q a 且m 投资者 收益为 qnt. q, a. 第三批 投资者 加入之前骗局崩溃 即骗局共有两批 投资者 参与 nt ( q) atmn q m m 年 atn a q m q q q m 且 m 即 m 其中. a a 3 a a 骗局可维持的时间 X 投资者 的收益或损失状况分为第一批 第二批 投资者 两部分考虑 第一批 投资者 的收益为 q m at t t am q. a 若收益为正 则 am q 即 a q / m, m q / a, q m / 第一批 投资者 的收益情况不确定 取决与实际中 a m q 三个变量的取值 第二批 投资者 的收益为 q m at t qt amt. a 第二批 投资者 绝没有盈利的可能.3 第四批 投资者 加入之前骗局崩溃 即骗局共有三批 投资者 参与 骗局可维持的时间 X 满足方程 3nt q antx ant X m ant X m. 得X q m. a 94

95 年 月总第 8 期 且 q m 3m q q a m 即. q a 3 a m 3 a q m at t t am q. a 第一批 投资者 的收益为 若收益为正 则 am q 即 a q / m, m q / a, q am. q m m at t qt. a q m m at t qt amt. 第三批 投资者 的收益为 a 第二批 投资者 的收益为 只有第一批 投资者 有可能盈利 盈利来源于所有 投资者 的投入 而第二三批 没有盈利的可能 受骗越晚损失越大.4.综合以上三次推理 我们归纳第 T 次加入之前骗局崩溃 即骗局共有 T 批 投资 者 参与的情况 骗局可维持的时间 X 满足方程 Tnt q atn X X m X m X (T )m. 得X 且 q T m. a q T m Tm q q a m. 即 q T a T T m T m a 第 H 批 投资者 的收益为 q T T m ( H )m t qt atm H a t am T H q. 若收益为正即盈利 则 am T H q 即 H T q T, a, m, q. am 由此可知 其他条件不变时 投资者 批数越大 年回报率 越大 每批 投资者 加入的时间间隔越久 受骗的 投资者 的损失越小 甚至因为参与 投资活动 比 较早有盈利 不过获利的毕竟只是极少部分人 例如在. 及.3 的分析中 只有第 一批 投资者 有可能获利 请注意仅仅是有可能 而其它 投资者 一定有损失.5 单独分析一下骗局可维持的时间 X 考察它与那些变量有关并且考虑它的极限 q T m a q q m a T T T q T X T a T X 联立两式 得 q a 95 *

96 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 3. 将 数 学 模 型 与 真 实 案 例 相 结 合 考 虑 * 式, 当 投 资 者 的 批 数 非 常 多 ( 这 点 符 合 我 们 将 要 分 析 的 两 个 真 实 案 例 ), 即 若 T T q T 取 值 比 较 大 的 时 候,,, 则 X. T T a 首 先, 此 式 表 明, 当 上 当 受 骗 的 投 资 者 的 批 次 比 较 多 的 时 候, 骗 局 可 以 维 持 的 时 间 与 每 次 进 入 骗 局 的 人 数 n, 人 均 投 资 额 t, 相 邻 两 批 投 资 者 进 入 骗 局 的 时 间 差 m 等 因 素 无 关, 而 只 与 诈 骗 者 从 总 投 资 金 中 拿 出 钱 的 百 分 比 q, 诈 骗 者 承 诺 的 投 资 回 报 年 利 率 a 有 关, 且 与 a 为 反 比 关 系, 与 q为 正 比 关 系, 即 与 q 负 相 关 其 次, 此 式 也 说 明, 庞 氏 骗 局 一 般 是 玩 儿 不 下 去 的, 若 使 X 大, 则 a q 值 必 须 都 尽 可 能 小 而 在 实 际 中, 诈 骗 者 为 了 吸 引 投 资 者 进 入 骗 局, 承 诺 的 投 资 回 报 年 利 率 会 较 大, 一 般 是 % 以 上, 为 了 个 人 享 受 他 也 会 尽 量 增 大 q 的 值 若 取 a %, q, 则 X q, 骗 局 维 持 不 过 年 现 实 生 活 中, 庞 氏 骗 局 的 开 山 鼻 祖 庞 兹 只 把 骗 局 维 持 了 不 到 7 个 月, 因 为 他 把 a 定 的 太 高 了, 45 天 收 益 率 为 5 %, 一 年 的 回 报 率 约 为 4 % ; 而 麦 道 夫 行 骗 了 年, 他 宣 称 月 投 资 回 报 率 为 % 左 右, 也 就 是 说 年 投 资 回 报 率 a %, 则 q. 6X 美 国 金 融 史 上 最 大 的 诈 骗 案 麦 道 夫 事 件 的 涉 案 资 金 在 5 亿 美 元 左 右, 即 使 取 q %, 麦 氏 仍 可 个 人 享 受 5 亿 美 元, 而 X 6. 5 年 维 持 6. 5 年 和 个 人 享 受 5 亿 美 元 资 金, 这 是 按 照 我 建 立 的 简 易 数 学 模 型 分 析 得 知 的 考 虑 更 实 际 的 情 况, 麦 道 夫 不 会 把 投 资 者 的 钱 存 在 银 行, 除 个 人 享 受 及 向 投 资 者 支 付 收 益 额 的 部 分, 他 肯 定 将 其 中 的 一 部 分 用 于 投 资, 钱 生 钱 后 扩 充 资 金 库, 这 样 他 可 以 把 骗 局 维 持 更 长 的 时 间, 达 到 惊 人 的 年! 麦 道 夫 东 窗 事 发 后, 很 多 美 国 人 感 慨, 如 果 不 是 8 年 全 球 金 融 风 暴 来 袭 华 尔 街 致 使 资 金 短 缺, 他 是 不 会 倒 下 的 总 之, 现 实 生 活 中, 除 了 诈 骗 者 从 总 投 资 金 中 拿 出 钱 的 百 分 比 q, 诈 骗 者 承 诺 的 投 资 回 报 年 利 率 a, 骗 局 可 维 持 的 时 间 还 与 资 金 规 模 密 切 相 关 资 金 规 模 越 大, 投 资 者 越 容 易 轻 信 诈 骗 者 而 上 当 受 骗, 诈 骗 者 可 维 持 更 长 时 间 4. 分 析 得 出 的 经 验 教 训 通 过 数 学 模 型 分 析 我 们 可 以 看 到, 庞 氏 骗 局 较 之 一 般 的 金 融 诈 骗, 危 害 更 大, 主 要 表 现 在 : 第 一, 受 害 者 人 数 众 多, 影 响 社 会 各 阶 层 庞 氏 骗 局 的 投 资 形 式 决 定 了 受 害 人 必 须 达 到 一 定 规 模, 这 样 骗 局 才 能 维 持 下 去 庞 兹 使 4 万 波 士 顿 市 民 受 害, 从 政 府 官 员 到 贫 苦 工 人 ; 麦 道 夫 事 件 的 受 害 者 更 是 不 计 其 数, 不 仅 是 普 通 投 资 者, 就 连 专 给 别 人 理 财 的 华 尔 街 都 被 愚 弄, 多 少 人 倾 家 荡 产 被 逼 自 杀 了 债 经 过 数 学 模 型 分 析 我 们 也 看 到, 能 从 投 资 中 获 益 的 人 毕 竟 是 极 少 数, 绝 大 多 数 的 人 赔 的 极 惨 ; 第 二, 损 失 金 额 巨 大 诈 骗 者 根 本 没 想 过 偿 还 投 资 金, 他 们 觉 得 随 着 集 资 金 额 增 大, 一 则 有 助 于 提 升 知 名 度 吸 引 更 多 投 资 者 上 钩, 二 来 资 金 越 多 骗 局 可 以 维 持 的 时 间 就 越 长 9 年 庞 兹 在 不 到 一 年 的 时 间 内 诈 骗 了 5 万 美 元, 考 虑 到 通 货 膨 胀 进 行 购 买 力 折 算, 相 当 于 年 的.7 亿 美 元 ; 而 麦 道 夫 案 更 是 达 到 了 空 前 的 5 亿 美 元! 第 三, 骗 术 的 隐 蔽 性 强, 个 别 骗 局 潜 伏 时 期 长 经 过 分 析 我 们 知 道 涉 及 资 金 越 多 骗 局 96

97 年 月总第 8 期 越大 骗局的持续时间就越长 麦道夫潜伏了整整 个春秋才东窗事发 第四 为了维护金融市场的稳定 必须加强监管 警惕庞氏骗局 比如政府可以增设 投资评审机构 雇佣经经济学家对于承诺收益率很高的投资项目进行审核 确定真实可信 投资公司才可将投资项目投放市场 5.心得感想 数学是一件非常棒的工具 尤对于经济 经济问题的研究离不开数学 因为建立严谨 的数学模型分析经济现象 可以得到可信的结论 而不是通过主观感受或者生活经验告诉 我们怎样处理这些问题 庞氏骗局本质其实就是 拿新钱还旧帐 入不敷出无力偿还全部 债务 崩溃时结束 对于中国经济 研究庞氏骗局意义重大 这种隐蔽的非法集资模式已 在重要经济领域出现 证券时报网 年 月 7 日报道 千亿信托资金池 潜在的庞氏 骗局 理财中国网也报道过 中行董事长炮轰理财产品是庞氏骗局 抛砖引玉 读者 可以了解信托基金 理财产品的详细运作过程 然后建立相关模型分析一下 这到底是不 是个庞氏骗局 如果是 那么是多大规模的 真相 也许就在一算之间 故曰 研究得经济者 必须先得数学 这就是为什么大多数的诺贝尔经济学奖获得者 也都是数学家的缘故吧 参考文献 [] 庞氏骗局. 百度百科 [] 庞氏骗局的 5 大危害. 证券日报多媒体电子版 [3] 中行董事长炮轰理财产品是庞氏骗局.理财中国网 [4] 千亿信托资金池 潜在的 庞氏骗局.证券时报网 编辑点评 相信大部分同学对扫雷游戏都不陌生 其中恐怕也不乏扫雷高手 该文从 数学的角度 灵活运用古典概率和逻辑门的知识来思考 分析和解决扫雷中的 一些问题 这些知识你以前是否学习过 你是否也曾用学过的知识解决扫雷游 戏或其他游戏中的问题呢 罗丹曾说 生活中并不缺少美 而是缺少发现美的 眼睛 是否可以套用这句话 生活中并不缺少数学的用武之地 缺少的是善于 运用数学的人 请读者想一想 身边还有哪些问题 不一定局限于游戏哦 可 以用数学知识和数学思想去帮助解决 数学的应用 关于扫雷游戏的数学思考与技巧总结 张修硕 经济学院 金融学专业 87 摘 要 扫雷作为 windows 系统自带的计算机单机游戏 在 98 年诞生以来迅速风靡世 界 而且很多扫雷职业玩家将扫雷作为一种益智游戏用来锻炼思维逻辑性 因此扫雷世界 纪录屡屡被破 而他们是如何做到的呢 本文从数学角度探究扫雷游戏中蕴藏的数学原理 不仅能够使读者阅读后能够提高扫雷成绩 而且还能使读者发现电脑游戏中的数学乐趣 关键词 扫雷 数学 应用 游戏 规律 97

98 年 月总第 8 期 电脑游戏扫雷最原始的版本可以追溯到 973 年一款名为 方块 的游戏 不久之后 方块 被改写成了游戏 Rlogic 在 Rlogic 里 玩家的任务是作为美国海军陆战 队队员 为指挥中心探出一条没有地雷的安全路线 如果路全被地雷堵死就算输 两年后 汤姆 安德森在 Rlogic 的基础上又编写出了游戏 地雷 由此奠定了现代扫雷游戏 的雏形 98 年 微软公司的罗伯特 杜尔和卡特 约翰逊两位工程师在 Windows 3. 系 统上加载了该游戏 扫雷游戏才正式在全世界推广开来 扫雷的玩法是在一个 9*9(初级) 6*6(中级) 6*3(高级) 或自定义大小的方块矩 阵中随机布置一定量的地雷(初级为 个 中级为 4 个 高级为 99 个) 由玩家逐个翻开 方块 以找出所有地雷为最终游戏目标 如果玩家翻开的方块有地雷 则游戏结束 扫雷游戏的目标是尽快找到雷区中的所有不是地雷的方块 而不许踩到地雷 点开的 数字是几 则说明该数字九宫格内的 8 个位置中有几个雷 如果挖开的是地雷 则会输掉 游戏 如果经过分析确定某个方块可能藏有地雷 右键单击方块会在该方块上做一个旗标 等到将雷区里所有地雷位置都确定做上旗标后 雷局将自动解开 玩家获胜 扫雷作为策略游戏 需要游戏者精确的判断 目前扫雷高级的官方纪录是 秒 纪录的保持者是 Ian Fraser 扫雷中级最高的官方纪录是 8.5 秒 由波兰玩家 Kamil Muranski 保持 初级纪录是 秒 世界上很多人达到了这一点 国内的中级 高级记录由中国扫雷第 一人张砷镓(世界排名第 3 位)保持 分别为.3 秒和 38.8 秒 这些扫雷达人是如何做 到如此迅速的解开雷局的呢 我想除了平日多加练习外 他们也一定掌握了扫雷的某种规 律 而事实上 通过数学研究方法来解开雷局 方法绝不止一种 经过多方搜寻和自己平 日对于扫雷游戏的经验积累 我总结出了以下几种方案 从概率角度探寻 从最简单的情况入手 我们抽象出以下数学问题 如图 l 所示 共有十二个方格 中 间两个方格标出的正整数 m n (不妨设 m n )分别代表各自相邻 8 个方格出现地雷的总 数(每个方格内至多放一枚地雷) 图 我们决定策略的基本思想是 选择出现地雷概率最小的方格.一个例子 下面通过 m n 4 的实例说明方法 观察可知 第一列 3 个未知方格只受 m 的影响 第二 三列 4 个未知方格受 m n 共 同影响 第四列 3 个未知方格只受 n 的影响 我们分别称之为 I 区 域 II 区域 III 区域 则同一区域内各方格出现地雷的概率相等 不 妨用 y z 依次代表各区域的地雷数 其中 y z 为非负 整数 且 y z 3 故此不定方程共 有两组解( ) ( 3 ) ()当 y z 时 98

99 年 月总第 8 期 可能出现的地雷分布情形共有 C3C4C3 8 种 区域 I 中没有地雷 区域 II 中某方格 内出现地雷的分布情形共有 C3C3C3 9 种 区域 III 中某方格内出现地雷的分布情形共 有 C3C4C 种 ()当 y z 3 时 可能出现的地雷分布情形共有 C3C4C33 种 区域 I 中某方格内出现地雷的分布情 形共 CC4C33 4 种 区域 II 中某方格内出现地雷的分布情形共有 C3C3C33 3 种;III 中 某方格内出现地雷的分布情形共有 C3C4C 种 综合上述两种情况 可能出现的地雷分布情形共有 8 3 种 区域 I 中某方格 内出现地雷的分布情形共有 4 4 种 概率为 情形共有 9 3 种 概率为 4 种 概率为 区域 II 中某方格内出现地雷的分布 5 区域 III 中某方格内出现地雷的分布情形共有 5 4 于是 我们得到当 m n 4 时的挖地雷策略 选择区 5 域 I 中的某个方格.数据资料 按照上述方法 我们可计算出 m n 为其它值时的策略 由于 l m 7 l n 7 m n 应该有 8 种情况 但由于各区域格数的限制 ( 5) ( 6) ( 7) ( 6) ( 7) (3 7) 等 6 种情况不可能出现 (7 7) 说明周围 个方格全部有雷 不必研究 所以 只需研究以下 种情况 计算得出每种情况下各区域某个方格出现地雷 的概率(注 ( ) 指 m n 标记的区域是下一步挖雷的可选区域) 表 99

100 年 月总第 8 期 ()当 m n 时 选择区域 I 总是最佳策略 其中 当 ( ) 时 选择区域 II 也是最 佳策略 当 m n 时 若 m {,,3} 选择区域 II 是最佳策略 若 m {4,5,6} 选择区 域 I III 是最佳策略 () (i j ) 与 (7 j 7 i) 地雷分布情形总数相同 而且 互补区域某方格内出现 地雷的分布情形数之和等于地雷分布情形总数 (我们称 (i j ) 的区域 I(III)与 (7 j 7 i) 的区域 III(I)为互补区域 (i j ) 的区域 II 与 (7 j 7 i) 的区域 II 为互补区 域 ) 例如 ( ) 与 (5 6) 地雷分布情形总数都是 且 ( ) 的区域 I 某方格内出现地 雷的分布情形有 3 种 (5 6) 的区域 III 某方格内出现地雷的分布情形有 8 种 两者之 和恰为 种.3模型分析 运用上述的计算思想 也可处理形如图 图 3 等的简单情况 图 图3 从数字逻辑门角度入手.从简单雷区入手举例 下图是一个初级的雷区 并且标注了两颗雷的位置 图4 经过逐一排查 可以很轻松的确定雷区中的 6 颗地雷所在位置 图5 再来看一个简单的 雷区

101 年 月总第 8 期 图6 通过逐步扫描每一个方块会发现 首先最左边的和最右边的两个格子都一定是地雷 从左 数第二个空格子和从右数第二个空格子也都是地雷 由于数字 的关系 从左数第 3 个格 子和从右数第 3 个格子都不是地雷 翻开一定是数字 这样一直下去 最后你会发现 最中间的两个空格子 不管有没有地雷 都和周围格子上的数字不符 也就是说这样的雷 区有矛盾 是无解的. 雷区中的逻辑门 怎么判断一个雷区是否有矛盾 又怎么判断雷区中地雷的具体位置呢 难道一定要从 头到尾将雷区扫描一遍吗 其实这些雷区里其实藏着一个规律 我们用数学方法来分析了上例的雷区 在之前提到的这两个雷区里 把还没有翻开的格子交叉标记上字母 和 ' 可以看到 当 的格子有雷时 ' 格子一定没有地雷 反之亦然 如果将最左边的空格子作为输入 把最右边的格子作为输出 输入结果和输出结果一定是一样或者相反的 如果是相反的 这相当于一个 NOT 非 门电子元件 如果是一样的 这样的一片雷区就具备了电路 导线的性质 图7 在这里 雷区被看成了一个数字逻辑电路 执行这些 或 与 非 等逻辑 运算的电路则被称为 逻辑门 任何复杂的逻辑电路都可由这些逻辑门组成 逻辑门是集成电路上的基本组件 简单的逻辑门可由晶体管组成 这些晶体管的 组合可以使代表两种型号的高低电平在通过它们后产生信号 而高低电平可以分别代表逻 辑上的真假或二进制中的 和 从而实现逻辑运算 具体到扫雷游戏里 也就是说 逻 辑门可以用于判断一系列格子中的地雷的具体位置 而且它如同电路传导一样 精确而迅 速 常见的 也是扫雷中用到的 逻辑门包括 与 门 或 门 非 门等 将 它们组合使用就可以实现更复杂的运算 完成复杂情形下的扫雷 这种方法比按照规则 缓慢推进的扫雷方法要节省很多时间

102 年 月总第 8 期 表 逻辑真值表.3复杂雷区中的精确判断 在简单的雷区中小试牛刀后 带着发现的规律 让我们进行一次实战演习 下图是高 级扫雷游戏中的一个典型的雷区 图8 你能在不翻开格子的情况下 直接指出黄格子中有无地雷吗 如果将雷区随意改变一 点 左上角的一个格子下移一位 结果又如何呢 图9 如果要考量全局 从某个点开始逐步推理 将雷区全部扫描一遍 才能判断 而当雷

103 年 月总第 8 期 区任意改变一点时 你都要重新来过 才能再次解答 这无疑是一种巨大成本负担 实际上我们可以很快速地给出答案 第一个雷区的黄格子中无雷 而第二个雷区 的黄格子中一定有雷 其实将上述的逻辑门引入到这个复杂的雷区中 一切都会变得简单 而清晰起来 图 雷区内靠近边界 可以直接确定是地雷的位置都插上了标示旗 剩下的位置标上了不 同的字母 把一个有地雷格子看作 没有地雷的看作 最左面的格子 (u v) 作为输入 最右面的格子 (t ) 作为输出 按照扫雷游戏的规则 经过一步步推算 它们之间的关系就 是 (u,v,t) = (,, )或 (,, )或 (,, )或 (,, ) 显然 这个雷区被归纳成了一个 AND 门 它不仅轻松化解了这个扫雷难题 而且 把雷区的规律揭示出来了 如此一来 当你掌握扫雷中这些逻辑门规律并加以练习后 就 能够达到精确 快速的 机械化 扫雷水准 3 游戏经验总结口诀 3.扫雷游戏小技巧 ()如果无法判定某方块是否有雷 请用右键单击两次给它标记一个问号 (?) 之后 可以用鼠标右键单击方块一次将该方块标记为地雷或者或用鼠标右键单击方块两次去掉标 记 ()如果某个数字方块周围的地雷全都标记完 可以指向该方块并同时点击鼠标左右 键 将其周围剩下的方块挖开 如果编号方块周围地雷没有全部标记 在同时使用两个按 钮单击时 其他隐藏或未标记的方块将被按下一次 即闪烁一下 (3)寻找常见的数字组合 这通常会指示地雷的常见组合 例如 在一组未挖开的方块 的边上相邻的三个数字 -3- 表示这三个数旁边有一排有三个地雷 3.规律总结 根据上述两种方法总结 排成一行的格中 两个 夹一个 底下必有雷 两个 夹一个 中心的 底下必有雷 两个 夹 n 个 3 和 3 底下全有雷 两个 靠边 底下都有雷 连续的三个 中间的 有雷 连续四个 两边的 有雷 3

104 年 月总第 8 期 3.3易记口诀 一夹二 一有雷 二夹一 心有雷 二夹三 全有雷 二二边 都有雷 三连一 中有雷 四连一 边有雷 这里的 和 并不是只有 的格子才能适用 有的时候比如是 3 或 4 但附近已经 标了一个雷 剩下 或 颗还不能确定 也可以使用这个原则 这些原则熟练掌握 能做 到一眼看出 并迅速点右键标雷 双击开格 就可以达到 秒以内的水平 4.结束语 通过以上对扫雷的研究 我不仅提高了自己的扫雷成绩 更发现了数学的乐趣 原来 数学绝不仅仅局限于书本 在日常生活和娱乐活动的方方面面都有它的存在 如果我们拥 有一颗善于发现的心 从而真正对数学产生浓厚的兴趣 那对书本知识的掌握自 然不在话下 因此在日常生活中 我们要培养自己善于发现善于思考善于总结的习惯 逐 步养成数学思维 提高数学能力 参考文献 [] 张建强 张秀梅, 扫雷 游戏策略初探,数学教学 4(6):3. [] Richard W Kaye (UK), The mathematics of logic, Cambridge University Press, 7. [3] Albert_JIAO, 成为扫雷高手要先练好逻辑, 果壳网 编辑点评 安卓手机绘图解锁居然难住美国联邦调查局 作者不禁对此感到吃惊 但 作者可贵之处在于并未停留在惊诧之中 而是想到动手去算算最简单情况下密 码总数到底有多少 真所谓不算不知道 一算吓一跳 一个 3 3 点阵图 其 合法密码总数竟高达 39 万之多 其实 现实生活当中有许许多多这种现象 遗憾的是 有心人不多 勤于观察 勤于思考 善于发现有研究价值的问题 并且肯于动手去做 一点一滴地积累 最终就会使我们本科生的科学研究能力 和创新能力有一个大的提高 作者如果能把枚举推算过程上升为算法 则利用算法可以方便地求出 n n 点阵的密码总数 安卓手机绘图解锁的密码数目之研究 于兆君 经济学院 金融学 87 摘 要 据闻 美国 FBI 为获取一名罪犯安卓手机中的有用信息作为证据时 却被罪犯 手机上的绘图解锁困住 不得不向谷歌公司求助 要求谷歌公司为其解开密码 笔者不由 得感到吃惊 平时天天用的手机上一个毫不起眼的小功能竟然可以将美国 FBI 难倒 于是 笔者便对这种解锁方式的密码总数产生了兴趣 关键字 安卓手机 绘图解锁 3 3 点阵;密码总数 4

105 年 月总第 8 期 从 3 3 点阵推算密码数目 3. 规则简介 为研究安卓手机绘图解锁密码总数 我们先从一个非常简单的问 题入手 设绘图界面是如图 所示的 3 3 点阵 并制定如下规则 ()必须是一笔绘制成的图形 ()至少连接 4 个点 点不可以重复连接 但可以被线段穿过 (3)点与点之间必须以直线线段连接 且考虑连线的方向性和所连 接点的有序性 为方便分析我们把 9 个点从上至下从左至右依次编号为 -9 如 图 所示 例如 3 与 3 就是两种合法的连接 而 和 3 都是不能非法的连接 见图 3 所 示 图中蓝线连接为合法连接 红线连接为非法链接 以下把合法连 接称为合法密码 否则称之为非法密码 图 绘图界面 图 3 非法与合法的连接 图 编号后的点阵 为方便讨论 再做几点说明 ()点共线是指点位于一条直线上 如图 中 5 9 三点就是共线 而 5 6 则非 共线 ()对称性的利用 3 3 点阵是对称的 利用对称性会简化我们的分析 例如图 中 点 3 的位置经过逆时针 9 度旋转后 则到达点 的位置 即点 开头的连接与以点 3 开头 的连接数相等 点 7 点 9 情况类似 同理 点 也可以做类似的处理 (3)本文将使用数学软件 Wolfram Mathematica 求得合法密码总数 3. 简单情形下密码数目的分析与推导 ()一个点情形 我们从最简单情形开始 若规定至少连接一个点 则此时就只有 9 种情况 即密码数为 9 ()两个点情形 如果没有规则限制 可能的连接有 8 9=7 种 但是由于类似 以及 8 这种不能实现的连接 再考虑到对称性 所以在连接两个点的情况 下有 4 4=6 种是非法连接 因此此时合法的连接有 7-6=56 种 即密码数为 56 (3)三个点情形 利用 3 3 点阵的对称性 分析的思路是 为避免遗漏或重复 我们 先确定三个点中的前两个 再来考虑第三个点的连接 )共线 参考图 3 当在两个点的基础上连接第三个点时 合法连接数为. )三点不共线的情况 ①考虑以 开始的连接 此时能够实现的两点连接有 五种 其中 与 4 6 与 8 是关于对角线对称的 因此只要考虑 5 6 即可 在此基础上考虑三个点的连接 以 开始的有 五种情况 以 5 开始的有 六 种情况 5

106 年 月总第 8 期 以 6 开始的有 六 种情况 五种每种都有另外三种与其对称 因此此时共有( ) 4= 种情况 ②再考虑以 开始的连接 有 七种情 况 其中 与 3 4 与 6 7 与 9 关于中垂线对称 因此仅考虑 即可 以 开始的有 四种情况 以 4 开始的有 六 种情况 以 5 开始的有 六 种情况 以 7 开始的有 四种情况 此外 七种情况每种都有另外三种与 其对称 因此此时共有( ) 4=36 种 ③因为位置与 都不对称的只有 5 因此最后考虑以 5 开始的连接数 以 5 开始的 仅需考虑 5 5 两种 其余的都是与其对称的 以 5 开始的有 四种情况 以 5 开始的有 六 种情况 此外 5 5 两种每种都有四种与其对称 因此此时共有(4+6) 4=4 种 上面这种分析方法虽然不会出现遗漏或重复 但却过于繁杂 可以想见 此方法对于 分析连接四个和四个以上的点的情形已不具可操作性 不过 我们可以从前面的分析过程中得到一些启发 如果直接求合法密码数 四个点 以上的连接便可作为密码使用 难度太大 我们不妨先求出所有可能的密码总数 包括合 法的与非法的 然后去掉非法密码即可 而所有非法密码都有一个共性 就是包含了不 能连接的两个点 例如 3 4 之所以是不合法的密码是因为其中包含了 3 这个不 能直接连接的两个点 于是 问题就变得有了头绪 但由于其计算量很大 所以我们把它 交给计算机来做 3.3 用计算机求密码总数 借助于 Mathematica 可以计算出非法密码总数 首先列出所有不能直接连接的点 (,3) (,7) (,9) (,8) (3,) (3,7) (3,9) (4,6) (6,4) (7,),(7,3),(7,9),(8,),(9,),(9,3) 9,7 其计算过程如下 ()生成所有 种没有限制的四个点的组合 见图 4 图4 四个点连接的全部可能的组合 6

107 年 月总第 8 期 ()记下不能直接连接的点对 见图 5 图 5 不能直连的点对 3 生成不合法的连接 如图 6 图 6 不合法密码 (4)去掉不合法连接 得到合法密码 如图 7 图 7 合法密码 (5)利用 Length 函数得合法密码的数量 如图 8 图 8 合法密码数量 在计算机软件的帮助下 我们最终求得合法密码数为 389 种 笔者不得不感叹 一个 3 3 点阵 其合法密码数竟多达 389 种 难怪 FBI 要向谷歌公司求助了 参考资料 []果壳网 guokr.com. [] 文中所引用的分类方法的出处. 7

108 年 月总第 8 期 编辑点评 该文作者运用所学过的经济学中的均衡价格理论结合地铁这样一种公共产 品的特点 研究了其票价制定的几种可供参考的定价模型 全文逻辑思路清晰 论述充分 数学推导正确 最值得称道的是 作为一名本科生 能够将所学知 识主动运用于某个社会问题的分析与研究 毫无疑问 这对于提高学生的理论 联系实际的能力 提高分析问题和研究问题的能力有着很好的促进作用 希望 有更多的大学生能够把自己学过的知识用到各种实际问题的研究之中 该文如 果能够将地铁票价定价模型具体应用于某个城市地铁的票价的确定 并与实际 情况相比较 将会使文章更具说服力 地铁票价制定的理论分析与方法 刘云恒 经济学院 金融学专业 84 摘 要 地铁是一个城市重要的交通基础设施 以其快速便捷正在逐渐成为人们外出的 首选 与此同时 地铁作为一种社会福利事业 需要以较低的价格提供市民以方便出行 如何在地铁极高的造价与其福利性质之间找到平衡就显得十分重要 本文通过阐述价格理 论以及多种价格制定模型 分析了地铁票价制定的原则与方法 关键词 地铁 票价 价格理论 价格制定方法 随着经济的快速发展 市民对交通的需求日益增大 城市道路面临的压力也日趋增大 地铁凭借其快速 安全 运能大等优点成为解决交通问题的最佳选择 然而 由于地铁造 价和运营成本极高并且短时间内不易收回 多数地铁公司处于亏损状态 目前只能依靠政 府补贴来维持 以天津的津滨轻轨为例 根据计算 大约需要 7 年才能收回其全部建设成 本 可见 制定一个合理的票价能够在一定程度上缓解这个现状 价格制定的经济学理论. 均衡价格理论 经济学家通常用供求模型来分析竞争市场 其中 需求曲线表示价格如何决定一种物 品的需求量 根据需求定理 一种物品的价格下降会使需求量增加 所以需求曲线向下倾 斜 同理 供给曲线表示价格如何决定一种物品的供给量 根据供给定理 一种物品价格 上升会导致供给量增加 所以供给曲线向右上倾斜 供给曲线和需求曲线的相交决定了市场的均 衡 当价格高于市场价格时 存在物品的过剩 引 起价格的下降 反之 物品出现短缺 价格会随之 上升 如图 所示 纵轴 P 表示的是价格 横轴 Q 表 示的是在某个价格下市场对这种商品的需求量 D和S 分别表示需求曲线和供给曲线 两者的交点 E 表示的是均衡价格和在均衡价格时的均衡数量 图 均衡价格理论图示. 消费者行为理论 消费者剩余衡量的是消费者从参与市场中得到的利益 通过计算需求曲线以下价格以 上的图形的面积来计算消费者剩余 此时买者愿意为此付出的最高价格称为支付意愿 8

109 年 月总第 8 期 通常利用积分的方法可以得到消费者剩余 其表 达式为 CS D( )d Pe 其中 CS 表示消费者剩余 表示需求量 为均 衡价格时的需求量 Pe 表示均衡价格 D() 表示需 求函数 图 解释了上述定义的几何意义 图中所示意的 图 消费者剩余图示 面积即为消费者剩余 Pe 和 分别表示均衡价格和均 衡数量 在交通运输领域 支付意愿可以表示在乘客愿意乘坐该交通工具的情况下 运输部门 能够收取的最高票价 其大小反映了乘客对票价的承受能力 运输价值定价实质就是根据 运输对象的负担能力的大小定价.3 厂商行为理论 企业的目标是利润最大化 利润等于总收益减去 总成本 地铁类似于许多公共服务 几乎不存在可替代 品 即使有相应的替代品 由于品质与价格差别较大 实际上替代作用不明显 因此地铁公司处于自然垄断 的地位 在图 3 中 我们分别用 AC, MC, AR, MR 表示平 图 3 自然垄断条件下的产量与价格 均成本 边际成本 平均收益和边际收益 在该市场 条件下 处于 A 点时利润最大 为(P AC ) Q 其中 P 为利润最大化时商品价格 Q 为此时的需求 量 AC 为此时的平均总成本 用总成本除以需求量 即可得到 在自然垄断的条件下 单独一家企业提供服务是 最有效率的 如果分成两家企业提供服务 每家企业 占据一半的市场 每家企业的平均成本都比原先垄断 时产生的成本更高 政府会对此加以管制 通常会管 制到 C 点以保证价格处于完全竞争的状态 但是企业 无法赚取到平均成本 所以企业会将价格定在 A 点和 B 点的价格之间使得自身可以获得适当的垄断利润 图 4 分区段定价示意图.4 价格歧视 价格歧视在本文分析中的主要应用表现为分段定价 即消费者在某商品不同数量或不 同区段被索取的价格 从图 4 可以看出不分区段的情况下价格为 P 分段后 第一区段价 格为 P 第二区段价格为 P 此时企业通过扩大产量和降低成本使消费者受益 9

110 年 月总第 8 期 定价的前期准备. 影响地铁定价的因素 影响地铁票价的因素有很多 但由于其固定成本过高 如果直接按照普通商品的定价 方式对其进行定价 价格势必超出乘客的接受能力 此外 随着城市经济的快速增长 居 民的收入 出行的频率 市场的竞争状况 政府的扶持情况以及周边城市的地铁票价等均 为影响地铁定价的因素. 制定地铁票价的原则 企业应该根据企业所处的市场条件进行调整 但是无论如何 地铁企业单纯依靠票价 来获得盈利是不可能的 所以在新的融资体制下 地铁公司应当坚持 责任为先 兼顾效 益 的原则 处理好公司与乘客 政府之间的关系 充分考虑到乘客的消费能力和政府的 调控能力.3 我国城市地铁价格比较 经过一系列的分析之后 我们还要将制定出的票价与兄弟城市比较 以判断价格是否 合理 3 表 显示了我国所有开通地铁的城市的地铁票价 表 我国各主要城市地铁票价方案 城市 北 京 地铁票价方案 全线路单一票价,统一为 元 实行分段计程票制 全程票价 5 元 乘坐 5 站以内(含 5 站) 元 乘坐 5 站以上 天 津 站以下(含 站)票价 3 元 乘坐 站以上 6 站以下(含 6 站)票价 4 元 乘坐 6 站以上的票价为 5 元 上 海 广 州 深 圳 南 京 6 公里以内 3 元 6-6 公里 4 元 6 公里以上每 公里加收 元 起步 4 公里以内 元 4 至 公里范围内每递增 4 公里加 元 至 4 公里范围内 每递增 6 公里加 元 4 公里以后 每递增 8 公里加 元 深圳地铁的最低票价是 元 每搭乘超过 4 个车站加 元 一号线起步价 元 可坐 -8 个站(包括起点站) 3 元可坐 9- 个站,4 元可坐 站以上 成 都 起价为 元 且可以乘坐 6 个站 6- 站 3 元 -6 站 4 元 6-4 站 5 元 沈 阳 8 站以内 元 9 站 3 元 3 站以上 4 元 苏 州 起价 元 全程 6 元 以上讨论的是地铁票价制定的分析与准备 从中可以看出 和其它商品价格的制定相 比 地铁票价的制定有许多自身的特点 下面的三个模型就是结合上述的特点 从不同的 角度分析地铁定价的方法 3 票价制定的方法 3. 从单个乘客的角度考虑 边际成本定价模型 边际成本指的是当多生产一单位商品时增加的成本 在这里指多运输一名乘客地铁公 司增加的成本 假设总运输成本 总可变成本 与客流量之间存在如下关系 C aq b 其中 a, b 为常数 C 为一年内的总运输成本 Q 为年客流量 3 数据来源于网络 ()

111 年 月总第 8 期 对上式求导 可得到边际成本 PMC MC dc dq () 其中 MC 为边际成本 同时作为用边际成本确定的单位运价 上述分析存在严重缺陷 地铁运营的特点决定了其边际成本极低 按照边际成本定价 必然导致巨额亏损 所以应该将固定成本加入到票价中 综上 我们可以得到最优平均票价公式 P总 PMC FC R Q (3) 其中 FC 为年固定运营成本 R 为企业获得的利润 由于政府会给予一定的补贴以方便百 姓 所以 R 通常为零 下述分析中均认为 R 3. 从乘客群体的角度考虑 盈亏平衡定价模型 考虑到企业和市民的共同利益 可以把盈亏平衡作为制定票价的依据 构造定价模型 运量 Q 与票价 P 之间存在关系 Q kp (4) 其中 k 为常数 为需求价格弹性 这里有必要对需求价格弹性加以解释 需求价格弹性描述的是某种商品的需求量如何 随着价格的变动而变动的 其计算方法是用需求量变化的百分比除以价格变化的百分比 即 而由前文所述 如果一种商品的价格上升 那么其需求量就会下降 所以需求价格弹性通 常是小于零的 运营收入 B P Q kp z (5) C akpb (6) 代入()式可以得到 当运营收入与成本达到平衡点时的票价为最优平均票价 B C 由此可以求解 P 的值 dq Q dp P 3.3 现资源的最优分配 次优定价的拉姆齐模型 上述两个模型计算出的价格均远远高出乘客的支付意愿 拉姆齐定价法实质上是在相 同的生产条件下 对同一种质量的产品或服务 对于不同需求弹性的客户群小零碎不同的 价格 Banmol 和 Bradford 借鉴拉姆齐定价法提出高峰负荷定价模型 即在不同的时段收 取不同的价格 其数学表达式为

112 年 月总第 8 期 (P MC ) P (P MC ) P (7) 该模型由于对不同消费意愿的乘客收取了不同的价格 所以会导致消费者不满 尽管 该模型从宏观的层面提高了社会福利 但是在微观层面上有待改进 3.4 从乘客与公司双方考虑 社会效益最大化的模型 地铁作为社会福利事业 必须兼顾群众 投资者等多方面的利益 最优票价应该是使 地铁公司发挥其最大运营能力又能使公司收益最大化 在城市地铁中 可以假设需求价格弹性 为票价 P 的函数 其中 5 式即可写为 B kp ( P) (8) 两端对 P 求导数 可以得到 db d ( ( P)) k ( ( P) ) P ( P ) kp ( P ) ln P dp dp 化简后有 ( P) P ln P d ( ( P)) dp 解上述微分方程 可得 ( P) c ln P (9) 将(4)式左右两边取对数 可得 (ln Q ln k ) ln P () 代入(9)式 经化简得到 ln P c ln k ln Q () 得到在正常运能 Q正常 的条件下的最优平均票价为 kec P Q正常 其中 Q正常 为正常运能 k, c, e 均为常数 4 结论 本文通过对地铁票价制定的理论分析与模型分析 从不同方面提供了制定地铁票价的 几种方法 当然 在实际的票价制定过程中 还要考虑其它因素对票价的影响 例如 能 源价格上涨如何影响票价 如何确定乘坐地铁的优惠对象和优惠幅度等 上述问题还需要 通过进一步详细的研究才能得出准确的结论 参考文献 []N.Gregory Mankiw Principles Of Economics 6th edition Cengage Learning. []罗伯特 平迪克,丹尼尔 鲁宾费尔德.微观经济学,第七版,中国人民大学出版社. [3]蔡顺利,蒋玉琨.北京地铁计程票价方案探讨.交通运输系统工程与信息,-3. [4]武红丽.城市轨道交通票价制定理论分析,中国对外贸易,-5. [5]陈义华.数学模型,重庆大学出版社,995.

113 年 月总第 8 期 编辑点评 该文从经济学的角度 运用高等数学中微积分的思想方法 对企业所开展 的广告宣传的相关决策 进行分析 归结出广告现象背后所隐含的一般规律 该文能将所学习的微积分和经济学知识运用于广告宣传决策中 并且给出了一 些有益的结果 希望有类似想法的同学 借鉴该文的经验 写出更多更好的数 学方法与经济问题相结合的文章 从数学视角浅析广告宣传决策 陈永立 经济学院 财政学专业 79 摘 要 广告对于生活在现代社会中的我们来说 可谓再熟悉不过了 对于广告的研究 涉及经济学 心理学 传播学等诸多学科 既新鲜又有趣 本文从经济学的角度 运用高 等数学中微积分的思想方法 对企业进行广告宣传的相关决策进行简单的数学分析 进而 得出广告现象背后所隐藏的一般规律 关键词 广告决策 微积分 收益最大化 前言 提及广告 想必大家都不陌生 广告是现代经济生活中的一个普遍现象 当你在看电 视 读报刊杂志 听广播 上网 甚至在大街上闲逛时 各种琳琅满目的广告都会随时出 现在你面前 所谓广告 顾名思义 就是 广而告之 即是一种为了某种特定的需要 通过一定形式的媒体 公开而广泛地向公众传递信息的宣传手段 广告可以帮助企业宣传 本企业的产品 服务与形象 并尽可能起到扩大需求及提升市场竞争地位的作用 因此 各种企业都将广告视为一个重要的竞争手段 在广告上做足文章 那么 企业如何做广告 才能获得最佳经济收益呢 本文就从数学视角 利用微积分的相关知识 对此进行简单的 分析 对企业广告决策的相关分析. 正确选择广告媒体 企业做广告的直接目的就是推销出去自己的产品 而根据产品的性能 特点 采取相 应的广告形式是广告经济收益最优化的基本要求 面对众多的大众传媒方式 如何选择合 适的媒体进行广告宣传 则是实现广告收益最优化需要进一步解决的问题 在现实生活中 各种广告媒体主要包括报刊 杂志 广播 电视 互联网等 不同的 广告媒体面对的受众 宣传的特点也各不相同 究竟应该选择什么样的媒体来进行广告宣 传 除了进行定性的判断以外 还可以用数学的方法 在此基础上进行定量分析 为了研究这个问题 我们首先引入广告贡献的概念 考虑 R 表示做广告前的单位时间内的销售额 R 表示做广告后的单位时间内的销售 额 R R R C 表示 R 中所包含的成本额 W 表示广告费用 R C 表示广告 所带来的利润 为广告贡献 则有 R (C W ) ( R C) W W 在实际运用中 如果某产品比较适合于使用 A B C 三种媒体来进行广告宣传 那么 就可以在三种媒体上投入相同的经费 各做一定量的广告 统计该种媒体的影响力情况与 3

114 年 月总第 8 期 消费者的接受程度 在此基础上利用上述公式 分别求出三种媒体的广告贡献与广告费用 之间的函数表达式 然后利用导数的概念 对其进行边际分析 即考察 d 因为 dw d d ( W ) d 故当 WA = WB = WC 时 哪种媒体的边际广告贡献大 在这 dw dw dw 种媒体上多做一单位广告带来的利润就大 就可以选择该媒体. 合理确定广告数量 一般而言 在产品价格等影响因素不变的情况下 广告的数量越多 产品的销售额也 越大 但这绝不意味着做广告是 多多益善 如何确定合理的广告数量的范围 也需要用 到一些数学方法来进行分析 企业为其产品做广告 都是为了能获得更多的利润 如果利润上升的比广告支出多 则企业的广告支出应该增加 直到最后花在广告上的 元钱所带来的利润 扣除广告成本 后也正好是 元钱 也就是企业通过使广告的边际成本等于边际收益 即边际利润为 实现总收益的最大化 这一点 在实际操作中可以根据上文提到的 d d ( W ) d 通过考察广告的边际贡献来实现 对上式进行简单的变换 dw dw dw 可以得到 d d ( W ) d dw dw dw 由微积分的知识以及经济问题的实际背景 我们知道当边际值为零时 总值达到最大 d 时 广告就不应再做了 因为如果那样的话 虽然广告的总贡 dw d 则可以继续做广 献会有所增加 但广告带来的总收益却要减少了 反之 如果 dw 因此 当边际贡献 告 使总收益增加 直到实现最大化 此外 我们还可通过对于弹性的相关数学推导来得到合理的广告数量的判断标准 在这里 我们可以借鉴经济学中 弹性 的概念 根据所研究的问题 引入 需求广 告弹性 这个概念 并将其定义为需求量变化的百分比与广告费用变化的百分比的比值 为了研究问题的方便 我们假设除广告宣传之外的其他影响需求的因素都不变 设 X a 为以往广告费用的和 Q y 为在做了 X a 费用广告之后单位时间内的产品销售量 Q y 为 预期增加的销售量 X a 为与 Q y 相应的广告费用增加额 根据需求广告弹性的定义可 知 a ( Qy / X a ) ( X a / Qy ) 通过变换可求得 X a Q y X a a Qy 在产品供给量充足的条件下 广告费用的多少是以利润最大化为目标的 在实际操作 中 若已知某产品的需求广告弹性 a 的值 利用需求广告弹性的计算公式可求得当广告费 用增加 X a 时 销售量的增加数 Q y 设产品的价格为 X p 产品除广告费外的成本为 4

115 年 月总第 8 期 X g 则使 X a Qy ( X p X g ) 的 X a 就是广告费用的合理取值范围 因为其使得广 告费用的增加额小于收益的增加额 为了进行进一步分析 我们将 Qy a X a Qy / X a 带入上面关于 X a 的不等式中 并在两边同时除以 X a 得 a Xa ( X p X g ) Qy 这个式子表明 在广告费用为 X a 的水平上测得的需求广告弹性值大于广告费用与广 告贡献 ( X p X g ) Q y 的比例时 再做一定量的广告宣传 对于增加利润是有利的 此式 还表明 对于未做过广告的新产品 做广告是可以提高经济效益的 这是因为 新产品的 X a 值为 而 a 一般是大于 的 于是可得到上述结论 应用需求广告弹性的概念 我们还可以解释生活中许多经济现象 比如 食盐是我们 日常生活的必需品 其需求就极其缺乏弹性 也就是需求量的变动微乎其微 因此其需求 广告弹性就非常小 企业做与不做广告对于销售量几乎没有任何影响 这也就解释了为什 么在日常生活中我们很少见到食盐广告的原因 与食盐的例子相反 保健品 日用消费品 食品 饮料等产品 由于同类产品之间差 别不大 互为替代品的性质较强 因此各厂商就特别注重广告宣传 从而实现品牌效应 以美国的宝洁公司为例 5 年其为旗下各种清洁用品和化妆品所支出的广告费就高达 33. 亿美元 由于这些产品对于广告费用的投入较为敏感 产品的需求广告弹性较大 加 大宣传就有可能使销售量大幅增加 因而企业就有了激励去做更多的广告 加大品牌宣传 的力度 这一点 百事可乐和可口可乐之间激烈的广告战就是很好的例证.3 不同行业的企业广告强度不同 今年过节不收礼 收礼只收脑白金 一句简单的广告词 一个单调的电视画面 连 续很长时间在电视台的黄金时段重复播放四五遍 想必所有的电视观众无论是喜是厌 都 已对 脑白金 这个产品 刻骨铭心 了 近几年 脑白金 的广告风格一袭当年传统 继续在各大卫视高频率地播放 孝敬爸妈 脑白金 的广告 是什么使得 脑白金 背 负 中国十大恶俗广告 之首的恶名高强度地进行广告宣传呢 又是什么原因使得其他类 型产品中鲜见类似的情况呢 下面 我们就用数学的方法对不同行业企业的广告强度进行 分析 首先 我们将广告强度定义为企业在某种产品上的广告支出与该产品销售总收入之比 假设企业通过选择价格 p 和广告水平 a 使得利润最大化 广告的单位成本为 k 产品 q q 生产成本 不包括广告成本 为 C(q( p, a)) a p 的需求函数为 q q( p, a) C ' > 在上面的假设下 企业的利润函数为 ( p, a) pq( p, q) C(q( p, a)) ka 企业利润最大化的一阶条件为 5

116 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 q ( p C') k a a q ( p C') q p p () () 我 们 知 道, 需 求 价 格 弹 性 为 p q p, 代 入 () 式 可 以 得 到 p q 将 该 式 代 入 () 式 得 p C' p p q p ( ) a p k q a 已 知 需 求 广 告 弹 性 为 a, 代 入 上 式 就 可 得 到 广 告 强 度 的 表 达 式 a q ka pq a 由 这 个 式 子 可 以 看 出, 为 了 实 现 利 润 最 大 化, 企 业 的 广 告 支 出 占 销 售 额 的 比 率 ( 即 广 告 强 度 ) 应 该 等 于 其 产 品 的 需 求 广 告 弹 性 与 需 求 价 格 弹 性 之 比 通 过 以 上 的 数 学 分 析, 我 们 不 难 发 现, 对 于 像 脑 白 金 这 类 需 求 广 告 弹 性 需 求 价 格 弹 性 都 较 大 的 的 保 健 品, 为 了 保 证 销 售 总 额 的 足 够 大, 企 业 就 会 增 加 广 告 经 费 投 入, 就 有 了 动 力 去 做 铺 天 盖 地 的 广 告 宣 传 事 实 证 明, 脑 白 金 的 广 告 宣 传 确 实 极 大 地 拉 动 了 其 产 品 的 销 售 市 场 据 有 关 数 据 显 示, 脑 白 金 在 其 销 售 高 峰 时 期, 月 销 售 额 达 到 两 个 多 亿 p 3 结 束 语 广 告 作 为 现 代 经 济 生 活 中 的 一 个 普 遍 现 象, 对 于 人 们 来 说 是 既 熟 悉 又 陌 生 一 方 面, 在 日 常 生 活 中, 我 们 无 时 无 刻 不 在 接 触 各 种 形 式 的 广 告, 而 另 一 方 面, 我 们 对 于 隐 藏 在 广 告 背 后 的 种 种 规 律 却 又 知 之 甚 少 事 实 上, 对 于 广 告 进 行 研 究, 是 一 门 新 鲜 有 趣 的 学 问, 涉 及 到 经 济 学 心 理 学 传 播 学 等 多 门 学 科 的 综 合 应 用 由 于 笔 者 学 习 的 是 经 济 专 业, 且 对 其 他 学 科 涉 猎 的 范 围 有 限, 故 仅 从 经 济 学 的 角 度 结 合 相 关 文 献 对 企 业 的 广 告 行 为 从 数 学 的 视 角 进 行 了 简 单 的 分 析 通 过 这 些 分 析, 我 们 不 难 得 出 企 业 选 择 广 告 媒 体 确 定 广 告 数 量 及 广 告 强 度 的 相 关 结 论, 对 于 企 业 的 广 告 宣 传 决 策 有 了 进 一 步 的 认 识 马 克 思 曾 指 出 : 数 学 应 该 在 经 济 过 程 和 经 济 现 象 的 分 析 中 起 特 殊 的 作 用 经 济 学 的 发 展, 在 很 大 程 度 上 要 得 益 于 数 学 的 推 动 运 用 数 学 方 法 对 经 济 现 象 进 行 分 析, 既 准 确 严 谨 又 清 晰 明 了, 对 于 透 过 纷 繁 复 杂 的 表 象, 洞 察 深 层 次 的 经 济 规 律 具 有 极 高 的 指 导 作 用 在 本 文 中, 笔 者 对 广 告 这 一 经 济 现 象 运 用 微 积 分 的 思 想 方 法 进 行 了 分 析, 使 用 的 虽 然 是 高 等 数 学 中 较 为 基 础 的 知 识, 但 由 此 也 深 深 体 会 到 数 学 方 法 的 应 用 对 于 经 济 研 究 的 重 要 意 义, 为 今 后 的 进 一 步 思 考 和 探 究 在 方 法 论 上 指 明 了 方 向 正 如 马 克 思 所 说 : 一 切 科 学 只 有 成 功 地 应 用 了 数 学, 它 的 发 展 才 算 是 完 美 的 我 想, 数 学 的 巨 大 魅 力 也 许 正 在 于 此 吧! 6

117 年 月总第 8 期 参考文献 []张屹山.经济数量分析.吉林大学出版社,987 年. []干春晖.产业经济学教程与案例.机械工业出版社,6 年. [3]肖兴志 张嫚.产业经济学.首都经济贸易大学出版社,7 年. [4](苏)鲍亚尔斯基.经济分析的数学方法.科学出版社,988 年. 编辑点评 该文作者运用所学过的数学知识 对迎水道校区学生日常饮食地点选择与 成本 通过自行设计的问卷进行调查 获得第一手资料 对数据进行统计整理 作图 分析 该文内容充实 层次清晰 结构完整 有一定的个人见解 这种 将数学的知识 思想和方法应用于实际 发现问题 提出问题 进行调研分析 找出原因 给出解决问题的方法和建议 这种做法是值得提倡的 由于条件限制 作者问卷调查的范围不够广 样本数量也不够多 使得该 文的结论有一定的局限性 同时作者如能运用已学的概率统计知识 作进一步 的统计分析 并对迎水道校区学生日常饮食地点选择与成本给出建议 这样文 章就更完整了 迎水道校区学生日常饮食的地点选择与成本的调查与分析 毛雅璐 哲学院 哲学专业 33 摘 要 现在不少同学抱怨开学以来开销过大 尤其是在饮食上的开销 有人说是因为 学校食堂饭价高 有人说是因为对面有王顶堤小吃街诱惑同学们 本文运用问卷调查与统 计分析的方式对同学们在校区各餐饮点的花销进行具体分析 找出学生饮食开销大的真正 原因 关键字 大学生 迎水道校区 饮食开销 问卷调查 统计分析 迎水道校区主要为文科专业大一学生的学习生活地点 开学以来大家的开销也不小 很大一部分都花到了饮食上 听到大家对钱囊渐空的抱怨声 笔者希望运用自己在数学课 上所学习的统计与概率等相关知并结合实际调研 对迎水道校区学生的饮食开销进行分析 以找出原因 为刚进入大学的大一新生提供较好的饮食开支建议 帮助大家形成良好的生 活习惯 拥有更加健康 更加轻松 更加丰富多彩的大学生活 调查方法 笔者根据对大学生的日常饮食开销可能造成影响的因素设计了一份主题为 关于迎水 道校区学生日常用餐地点与费用的调查 的调查问卷 共5份 在课间休息时间发放给同 学们 同学们当场填写问卷 回收率为98% 整理完问卷数据后 对数据进行科学分析 将 个别单位的标志值转化为说明总体数量特征的标志值 使统计资料系统化 从而得出反映 现象总体性 规律性的综合资料 为统计结论提供基础和前提条件 在分组标志的选择上,笔者根据统计研究的目的 在对现象进行分析的基础上 抓住具 有本质性的区别及反映现象内在联系的标志来作为分组标志 以地点,时间段,性别为主线 进行了分组以及分析 7

118 年 月总第 8 期 调查结果中的发现与原因分析. 食堂二楼始终受到同学们的青睐 迎水道校区学生周一至周五用餐地点 王顶堤里的小饭馆 王顶堤里的小摊 男 乐群餐厅 女 食堂二楼 平均 食堂一楼.%.%.% 3.% 4.% 5.% 图 迎水道学生周一至周五用餐地点 迎水道学生周末用餐地点 迎水道校区学生周末用餐地点 性别 食堂一楼 食堂二楼 乐群餐厅 王顶堤里的小摊 王顶堤里的小饭馆 清真食堂 女 回家吃 男 清真食堂 合计 平均 8.6% 3.3%.7% 7.59% 7.4%.% 王顶堤里的小饭馆 男 女 王顶堤里的小摊 女 男 乐群餐厅 平均 食堂二楼 食堂一楼.% 图.%.% 3.% 4.% 迎水道校区学生周末用餐地点 5.% 就社会经济现象变量数列的分配情况看 通常是接近平均数的标志值居多 而远离平 均数的标志值居少 与平均数离差愈小的差值的次数愈多 而离差愈大的标志值次数愈大 形成正离差与负离差大体相等 整个变量数列以平均数为中心而波动的状况 所以平均数 反映了总体分布的集中趋势 那么我们除了依性别对大家的饮食爱好做出分析外 也能够 通过对平均值的分析来推论整个迎水道校区同学的饮食爱好 虽准确度有限 但也不至于 完全没有参考价值 由图 可知 周一至周五同学们平均去食堂二楼的频率最高 其次为乐群 由图 可 见 即使在周末 食堂二楼的人气也依然不输王顶堤里的各小店 笔者随机采访了几位同 学发现原因如下:.食堂较近.食堂二楼的饭菜可现做 不会如乐群般出现菜卖完的情况 3.食堂二楼的饭菜可直接打可现做 选择多 4.食堂二楼有四个窗口可购买与食堂一楼类似 的已做好直接打的饭菜 菜色较食堂一楼更丰富. 周末王顶堤火爆程度明显增加 由图 可知周末同学们去王顶堤的频率明显增加 因为周末时间较多 同学们一般选 择在周末好好犒劳一下自己的胃 并且周末聚餐较多 而学生群体聚餐讲求实惠 所以一 般在王顶堤里聚餐 8

119 年 月总第 8 期.3 元和西饼成了 女生厨房 您一般在哪儿买零食小吃 性别 不吃零食 大型超市 王顶堤里的小摊 元和西饼 学生服务中心 女 % 男45.% % 合计 % 平均 9.9% 36.36% 7.7% 6.36%.9% 3.% 女5.% % 男5.% 您一般在哪儿买零食或小吃.% 5.%.% 平均 女 男 女 图 3 您一般在哪儿买零食 由图 3 可见大家一般都去大型超市买零食 去王顶堤买小吃 但有趣的是 同样非常 受欢迎的元和西饼竟然只受女生欢迎 在本调查中竟无一位男生选择去元和西饼买零食 笔者询问了部分同学 总结原因如下.甜品甜蜜的口味更受女孩子欢迎.甜品诱人的外 表更能打动比男生感性的女生 3.在众多爱情小说爱情电影里 总是有男女主角共享一份 甜品或女主角为男主角亲手制作一个精致可爱的小甜品的浪漫片段 这大大提升了甜品的 浪漫指数 使爱幻想重情调的女孩子更加中意甜品.4 女生是馋猫 性别 男.6 女.5 合计.4 男.3 女. 平均. 迎水道校区同学买零食的频率 不买 您买零食的频率为多高 一周一次 一周~3次 一天一次 一天~3次 半个月一次 男 女 平均 图 4 您买零食的频率为多高 不 女生不是馋猫 据图 4 可知 男女生买零食的频率差别无几 甚至男生的频率略 高 然而女生会给人一种 馋猫 的感觉是因为女生可以毫无顾忌地表达对美食的热情 而这也是提升女生可爱度的一种方法.5 食堂二楼的饭菜最美味 笔者对同学们对第十三题的回答做了如下统计 首先让同学们根据各用餐地点的好吃 程度对其进行排名,每个用餐地点都由一个字母代替,如王顶堤以 B 代替,再由最好吃到最不 好吃进行从第一名到第四名的依次排列,如 ABDC.收到问卷后,笔者用划记法将选择 ABDC 9

120 年 月总第 8 期 排列组合方式的人数统计下来,并分成男女两组数据,再将问卷中所涉及到的 ABCD,DCBA 等排列组合方式按这种方法都统计一遍人数 然后按第一名 4 分 第二名 3 分 第三名 分 第四名 分的规则对 A,B,C,D,各项的分数进行统计 如 男生有 ABCD,BCDA,BCDA 3 个回答 则 A 获得一个 4 分 两个 分 那么 A 的分数为 4 + =6 分 再除以 人数 3 为 分 以此类推 D 的分数是 + =5(分),再除以人数 3,为.67 分 最后的统计结果是男生们认为王顶堤商业中心的东西最好吃为 3.5 分 食堂二楼以 3.78 的高分在女生中荣登榜首 看来仍是食堂二楼获胜 击败了王顶堤商业中心成为最好 吃的地方 这也与我的发现. 一致 看来食堂二楼的美味深入人心 当然这个结果也有 不足 比如 同学们只是按好吃程度对各饮食消费点进行排名 但它们之间的差异并不是 均匀如,,3,4 一般的有着大小一致的梯度 也就是说 可能王顶堤的小吃要比食堂二楼的 饭菜好吃数倍 但依据这种计算方法却不能体现 二者的差异被大大的缩小了 当然也有 可能将差异放大.6 食堂饭菜价格贵 图 5 您在这些餐饮点每次的花销为多少 统计结果表明食堂饭菜价格并不贵 如图 5 所示 同学们在食堂一楼的费用最低 其 次便为乐群餐厅 然后依次为王顶堤里的小摊 食堂二楼 元和西饼与王顶堤里的小饭 馆 并且各地点的饭菜价格差异不大 差价约为.5~ 元 王顶堤里的小饭馆除外 作 为价格最低的餐饮点 食堂一楼与乐群餐厅仍起着为学生提供量足价廉 兼顾味美的饭菜 的重要作用 保护学生群体的利益 尽量为学生提供方便 承包给私人餐厅的食堂二楼价 格稍贵 但仍远便宜于王顶堤里的小饭馆 因此 食堂饭菜价格贵这种言论是站不住脚 的.7 估算每月开支 男.3 女 合计.5 男. 女 平均.5 您每月在饮食上的花销 小于3元 3元 您每月在饮食上的花销 4元 5元 6元 7元 8元 元 男 女. 平均.5 小于3元 3元 4元 5元 6元 7元 8元 元 图 6 您每月在饮食上的花销 就统计的具体数据来看同学们每月在饮食上的最高开支为 元 最低开支不到 3 元 当然这仅为个别例子 并非主流 大部分的同学开支都在 4 到 8 元之间 但各数 值段的人数差别并不大 有同学表明他们日常只知道用钱 并未留意自己的具体开支为多

121 年 月总第 8 期 少 问卷上的回答也是粗略估计的 那我就根据所统计的关于同学们对地点与菜色的选择 的信息来计算一份校区学生的饮食开支 性别 男.5 女.45 合计.4 男 女.35.3 平均 您在食堂或乐群一般选择多少分量的饭菜 您在食堂或乐群一般选择多少分量的饭菜 半份饭 一份饭 一个菜 两个菜 三个菜 四个菜 男.5 女. 平均.5..5 半份饭 一份饭 一个菜 两个菜 三个菜 四个菜 图 7 您在食堂或乐群一般选择多少分量的饭菜 男 女 合计 男 女 平均 您的早餐花销为多少 不吃早餐 您的早餐花销为多少 一元 两元 三元 四元 五元 8 9 男 女 5 平均 不吃早餐.9.5. 一元 两元.9..9 三元 四元 五元 图 8 您的早餐花销为多少 首先 大部分同学的早餐费用为 3 元 按每月 3 天计算 共 9 元 其次 周一至周 五的午餐和晚餐按频率最高的食堂二楼的半份饭 份菜 一荤一素 计算 大约为 7 =38.周末按一半食堂二楼 一半王顶堤算大约为 = 元 按一周 次的购 买零食的频率与在大型超市购买算 零食开支约为 3 4= 元 共计 54 元 在询问了 一些男生后 笔者发现大部分男生在用餐时都会选择一份饭 那以此计算 在原来的 54 元基础上加上.5 = 元 为 56 元 由于统计过程的粗略 社会调研的不完全以 及统计方法的不完全科学等因素 结果肯定与现实生活有一定误差 并且每位同学路过其 他地方买的各种零零碎碎的零食小吃并未计入内 不过就此计算结果来看 大部分同学每 月在正常饮食上的开支并不算太高 3 结论与建议

122 年 月总第 8 期 不参加 男 女 % 9% 合计 8% 男 7% 女 6% 5% 合计 4%.739 您参加聚餐的频率 每周~3次 每周次 每月~3次 每月次 ~3个月次 半年一次 您参加聚餐的频率 3% % % % 男 女 图 9 您参加聚餐的频率 元 合计 AA制聚餐中您的花费 AA制聚餐中您的花费 元 3元 4元 5元 元 元 3元 4元 5元 7% % 7% % 63% 图 AA 制聚餐中您的花费 3. 结论 综上所述 大部分同学每月在正常饮食上的开销并不算太高 也就是说 超出的那部 分花费集中在我们上述计算里未计入内的随机性较大的零碎小吃上 3. 建议 据图 7 图 8 图 9 图 反映 大部分同学选择的饭菜分量 早餐花销 参加聚餐 的频率与 AA 制聚餐中的花费都处于正常范围内 没有较大问题 那些饮食开支超过 6 甚至达到一千的同学应该注意以下几点 注意平常在街边小吃摊或小卖部的购买频率以及每次开销数额 尽管这种消费方式随 机性较大 并不一定频率很高 每次的数额也偏低 但这才是我们更应关注的 涓流 成河 正是由于对生活细节的不注意 对小额开支的放任才导致了月底的窘迫局面 适当减少聚餐频率 如果你聚餐的频率等于大于一周 次 3 更换聚餐地点为花费较少的地点以节省聚餐开支 4 女生要控制去元和西饼的频次 尽管甜品很诱人 但如图 5 所示 元和的甜品价格并 不低 并且甜品会加重你的脂肪堆积 5 男生要控制去王顶堤和超市的频次

123 年 月总第 8 期 6 可以提高去食堂二楼的频率 食堂二楼的价格比起王顶堤来要相对便宜 且量足物美 能满足同学们钱包 嘴巴 胃的三重需要 当然此次调查也有其局限性 我们知道,抽样调查需要按照一定的抽样规则从总体中 取出的一部分个体 如果样本足以代表母群体的 那么由样本所做的推论和结论可以被引 申到整个母群体之上 最大的问题在于决定样本是否足以代表整个母群体 此次调查 由 于时间限制以及便于回收 笔者只做了 5 份问卷 对于总人数 多的迎水道校区来说 5 的样本容量的确存在着问题 同时 由于笔者在课间发放问卷 参与调查者大多为哲学 院学生 那么最后的结果可能会受到一些影响 带有作为样本主体的这个群体的特征 比 如 哲学院的课多为上午三节课 此时食堂人比较少 所以同学们偏爱食堂 抽样误差的 大小直接影响样本指标代表性的大小,所以此次调查样本的代表性有限 有代表性误差 但 同时 校区同学的宿舍楼较接近 课程数量等差别也并非太大 且整个校区都为文科专业 的大一学生 稳定的共同因素比较多 因此抽样误差还在可接受范围内 得出的结果也具 有一定可参考性 还是希望其他同学在做抽样调查时能注意这两点 在整个校区范围内做 随机抽样调查,那么将会有更客观全面的认识 得出更真实可靠的结论 4 结语 只是一个小小的吃饭问题便蕴含着无数的智慧与发现 通过科学的调查分析便能找出 原因 总结出针对性较强 效果较好的建议 但笔者的能力有限 这份调查还有很多不足 之处 望后来者做出更加详细 更加准确 更加完善 科学的调查报告 这样将数学知识 运用于实际生活中才将 人们的实际需要与生活的乐趣完美的结合到了一起 使 生活也闪耀着数学理性而睿智的光芒 最后要谢谢参与此次调查研究活动的同学们 正是由于大家的积极配合与热心参与才 让我得以顺利地进行这次问卷调查 找出让荷包日渐消瘦的罪魁祸首 让大家能够更理性 的进行饮食消费 摆脱 月光 甚至 半月光 的局面 衷心的感谢你们 参考文献 []李洁明 统计学原理 复旦大学出版社 年 7 月第 5 版. []路金芳 统计学原理 黄河水利出版社 6 年 月第 版 附录:关于迎水道校区学生日常用餐的地点与费用的调查 亲爱的同学 您好 感谢您参与本次问卷调查 本次问卷调查的主要目的是了解您在 迎水道校区的的学习生活期间的日常用餐地点选择与费用额度已完成相关调查 问卷采用 匿名形式 请您如实填写 谢谢合作 请直接在选项上打钩 可多选 级哲学院毛雅璐.请问您的性别是 A.男 B.女.您的专业是 3.您来自 A.大城市 B.小城镇 C.农村 4.您所就读的高中位于 A.大城市 B.小城镇 C.农村 5.周一至周五您一般选择在下列哪个地点用餐 A.食堂一楼 B.食堂二楼 C.乐群餐厅 D.王顶堤商业中心内的街边小摊 E.王顶堤商 业中心内的小饭馆 F.清真食堂 G.回家 6.周末您一般选择在下列哪个地点用餐 A.食堂一楼 B.食堂二楼 C.乐群餐厅 D.王顶堤商业中心内的街边小摊 E.王顶堤商业 中心内的小饭馆 F 清真食堂 G.回家 3

124 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 7. 除 了 正 常 的 一 日 三 餐, 您 一 般 在 哪 儿 买 零 食 或 小 吃? A. 不 吃 零 食 B. 大 型 超 市 C. 王 顶 堤 里 的 小 摊 D. 元 和 西 饼 E. 学 生 服 务 中 心 8. 您 买 零 食 的 频 率 大 约 为? A. 不 买 B. 一 周 次 C. 一 周 ~3 次 D. 一 天 次 E. 一 天 ~3 次 F. 半 个 月 次 G. 一 个 月 次 9. 您 在 食 堂 或 乐 群 一 般 选 择 多 少 分 量 的 饭 菜? A. 半 份 饭 B. 一 份 饭 C. 一 个 菜 D. 两 个 菜 E. 三 个 菜 F. 四 个 菜 G. 五 个 菜. 您 在 食 堂 选 择 的 荤 菜 与 素 材 的 比 例 一 般 为? 如 : 四 荤 二 素 为 4: ( 请 不 要 约 分 ). 您 一 般 在 食 堂 二 楼 选 择 已 做 好 的 按 分 量 算 的 饭 菜 还 是 现 做 的 饭 菜? A. 已 做 好 的 B. 现 做 的 C. 不 去 二 楼. 您 在 下 列 各 地 点 每 次 的 花 费 一 般 为 多 少?( 早 餐 除 外 ) 如 : 乐 群 8 元 A. 乐 群 餐 厅 B. 食 堂 一 楼 C. 食 堂 二 楼 D. 王 顶 堤 内 的 小 摊 E. 王 顶 堤 内 的 小 饭 馆 F. 元 和 西 饼 3. 您 认 为 下 列 地 点 的 饭 菜 可 口 程 度 排 名 为? 如 ADBC( 由 高 到 低 ) A. 食 堂 一 楼 B. 食 堂 二 楼 C. 乐 群 餐 厅 D. 王 顶 堤 商 业 中 心 4. 您 一 般 在 下 列 哪 个 地 点 购 买 早 餐? A. 食 堂 一 楼 B. 食 堂 二 楼 C. 王 顶 堤 商 业 中 心 D. 元 和 西 饼 5. 您 的 早 餐 花 销 一 般 为 A. 元 B. 元 C.3 元 D.4 元 E.5 元 F.6 元 G.7 元 H. 7. 您 参 加 聚 餐 的 频 率 为? A. 不 参 加 B. 一 周 ~3 次 C. 一 周 次 D. 每 月 ~3 次 E. 每 月 次 F.~3 个 月 次 G. 半 年 次 8.AA 制 聚 餐 中 您 的 花 费 为? A. 元 B. 元 C.3 元 D.4 元 E.5 元 H. 9. 您 每 个 月 在 饮 食 上 的 花 销 一 般 为? A. 小 于 3 元 B.3 元 C.4 元 D.5 元 E.6 元 F.7 元 G.8 元 H. 元 I.. 您 认 为 您 在 饮 食 上 的 花 销 多 吗? A. 很 少 B. 少 C. 一 般 D. 稍 多 E. 多 F. 很 多 G. 非 常 过 分 的 多. 您 对 本 调 查 有 什 么 其 他 的 看 法? 4

125 年 月总第 8 期 六月问答 从若干高考录取相关问题的角度回顾概率统计的应用 韩绅 (周恩来政府管理学院 行政管理专业 849) 摘 要 高考报考录取历年都是 6 月的焦点问题 得到全社会的关注 而其相关问题的解 答与预测并非只能通过经验主观臆断 本文试图以问答的形式 将概率统计的方法引入到 高考录取相关问题的解释中 从微观 宏观两种视角回顾概率统计方法 思想的实际应用 并对现有结果进行归纳 总结 创新 对未来趋势进行估计 预判 解释 关键词 高考;报考;录取;概率;统计 引言 概率统计是数学科学中一个特色显著且又分外活跃的分支 一方面 与微积分 线性 代数不同 它有着别具一格的适用领域 研究课题 有自己独特的方法与思路 内容丰富 结论深刻 另一方面 它又与其他数学工具 数学思想有着紧密的联系 相辅相成 共同 作用 因而概率统计是数学科学的重要组成部分 也是我们对实际问题进行分析 解决的 重要手段与方法 作为现今信度与效度均较强的全国性统一考试 高考继承了曾在中国古代实行长达 3 多年的科举制度中最为精华的部分 即录取制度 时至今日 高考录取制度仍在自我 发展 自我完善 因而基于其缜密的制度体系 我们可以利用概率统计的方法对一些高考 录取相关问题进行科学解释 应用概率统计方法解释高考录取相关问题的基本思路 正如法国数学家拉普拉斯所说 生活中最重要的问题 其中绝大多数在实质上只是概 率的问题 高考相关问题亦不例外 故将以下例说明概率统计的方法在解决相关实际问题 中的作用过程与基本思路 问答 高考后学校将于 6 月 日 日 3 日分三次进行志愿的预征询工作 若考生 A 忘 记预征询的具体时间 因而决定在六月每旬任选一天去学校预填报志愿 不排除选中 7 8 日的可能 并且到校时如果距规定时间超过一天则放弃此次填报 问 考生 A 至少一次 预填报志愿成功的概率是多少 解 设 X 表示考生 A 到校时与规定时间相差的时间 则依题意知 X 服从[,]上的均匀分 布 其密度函数为., f ( ) 其他 故其到校时间距规定时间不超过一天的概率为 P X.d. 设 Y 表示考生 A 预填报志愿的成功次数 则 Y ~ B(3,.) 从而 5

126 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 3 C C C C..9. P Y P Y P Y P Y 3 Y 的 概 率 分 布 列 为 Y 3 P( Y i) 从 而 PY PY PY 3 P Y 答 : 考 生 A 至 少 一 次 预 填 报 志 愿 成 功 的 概 率 是.7 从 上 例 求 解 过 程 可 以 看 出 当 有 关 问 题 涉 及 概 率 统 计 时, 应 首 先 分 析 情 况 陈 述, 根 据 题 意 建 立 或 找 到 与 之 相 符 的 数 学 模 型 这 是 解 决 相 关 问 题 的 基 础, 能 否 选 取 适 当 的 概 率 统 计 模 型 直 接 关 系 到 问 题 的 解 决 与 否 选 取 一 个 较 为 合 适 的 模 型 能 简 化 运 算 过 程, 提 高 结 果 的 精 确 性, 从 而 起 到 事 半 功 倍 的 效 果, 反 之 则 不 然 其 后 应 将 其 情 况 陈 述 翻 译 成 相 应 的 数 学 语 言, 以 问 题 为 目 标 设 计 求 解 过 程 它 在 解 题 中 占 主 导 地 位 起 主 体 作 用, 过 程 上 应 追 求 简 洁 而 又 具 体, 连 贯 而 又 合 理 最 后 应 对 照 提 问, 审 视 最 终 的 结 果 是 否 正 面 回 答 了 有 关 问 题, 有 无 更 优 的 求 解 方 法 此 为 应 用 概 率 统 计 方 法 解 决 有 关 问 题 的 基 本 思 路 根 据 侧 重 不 同, 高 考 录 取 相 关 问 题 可 大 致 分 为 微 观 与 宏 观 两 个 角 度 微 观 角 度 的 相 关 问 题 主 要 以 个 人 为 出 发 点, 立 足 于 个 体, 讨 论 个 体 于 集 体 中 的 有 关 概 率 问 题 而 宏 观 角 度 的 相 关 问 题 则 着 眼 于 特 定 群 体, 以 整 体 的 视 角 探 求 其 特 性 结 果 或 趋 势 3 微 观 角 度 问 答 : 南 开 大 学 于 年 共 录 取 本 科 生 59 人, 其 中 行 政 管 理 专 业 录 取 33 人 4 依 据 有 关 规 定 应 在 新 生 注 册 前 应 分 次 进 行 抽 样 复 审, 若 抽 样 复 审 率 为 %, 问 : 在 所 有 次 抽 样 复 审 中, 抽 取 到 行 政 管 理 专 业 新 生 不 超 过 5 次 的 概 率 是 多 少? 解 : 由 题 可 知, 若 以 复 审 率 为 % 进 行 分 次 抽 样 复 审, 则 共 需 抽 样 59 次, 每 次 取 一 人 复 审 由 此 知 这 是 一 个 59 重 伯 努 利 试 验 问 题, 且 p 设 抽 取 到 行 政 管 理 专 业 新 生 进 行 33 复 审 的 次 数 为 随 机 变 量 X, X 可 能 取 值,,,,59, 则 X ~ B(59, ) 59 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P( X k) C k 59k k 59, ( k,,, 59 ) 因 n 很 大, p 很 小, 计 算 起 来 有 一 定 难 度, 故 计 算 时 可 以 采 用 与 之 结 果 近 似 的 泊 松 分 布 3.3 P( X k) e k! 3.3 查 阅 泊 松 分 布 数 值 表, 可 知 当 k 5 时, X 的 概 率 分 布 列 为 k 4 数 据 不 包 含 自 主 招 生 保 送 生 特 长 生 等 6

127 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 X P( X k) 设 A 表 示 总 共 抽 取 到 行 政 管 理 专 业 新 生 不 超 过 5 次, 则 P( A) P 答 : 在 所 有 次 抽 样 复 审 中, 抽 取 到 行 政 管 理 专 业 新 生 不 超 过 5 次 的 概 率 是.8887 从 微 观 角 度 出 发 观 察, 概 率 统 计 的 作 用 多 为 估 计 或 计 算 某 一 事 件 发 生 的 可 能 性, 可 以 是 对 历 史 事 件 必 然 性 的 科 学 计 算, 也 可 以 是 对 未 来 事 件 可 能 性 的 预 测 分 析 但 同 宏 观 层 面 上 概 率 统 计 的 应 用 一 样, 其 精 髓 均 是 先 透 过 对 历 史 事 件 必 然 性 的 计 算 归 纳, 以 形 成 一 个 合 理 的 模 型, 再 用 现 实 对 其 进 行 检 验, 实 践 是 检 验 真 理 的 唯 一 标 准, 在 实 践 中 对 模 型 加 以 修 正 完 善, 最 后 用 它 来 对 未 来 事 件 发 生 的 可 能 性 进 行 预 测 简 言 之, 若 在 微 观 上, 概 率 统 计 更 多 地 体 现 在 对 事 件 的 判 定 中, 那 么 在 宏 观 上, 其 则 更 侧 重 于 对 事 件 整 体 趋 势 的 把 握 5 k 59 ( k) 4 宏 观 角 度 问 答 3: 年 南 开 大 学 在 天 津 考 区 文 科 招 收 5 人, 一 志 愿 率 %, 共 有 377 人 报 名, 已 知 6 分 以 上 有 人,6 分 以 上 有 8 人, 问 : 请 估 计 年 报 考 南 开 大 学 的 线 上 高 分, 线 上 低 分 分 别 为 多 少?( 假 设 报 考 南 开 大 学 的 考 生 分 数 服 从 正 态 分 布 ) 解 : 设 报 考 分 数 X ~ N(, ) 已 知 P ( X 6 ). 88, P ( X 6 ). 538 故 P ( X 6 ). 99 X 6 6 而 P ( X 6) P( ) ( ) 6 ( ) μ 同 理, 解 P ( X 6 ). 538, 得. 6 σ 解 得 : , 录 取 率 设 线 上 低 分 为 分 故 P ( X ) ( )

128 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 同 理, 设 线 上 高 分 为 分, 解 P ( X ), 得 答 : 年 天 津 文 科 报 考 南 开 大 学 的 线 上 高 分 约 为 , 线 上 低 分 约 为 而 年 的 真 实 数 据 为 : 线 上 高 分 64, 线 上 低 分 587 同 样 地, 根 据 南 开 大 学 9 年 天 津 文 科 录 取 统 计 结 果, 用 上 述 方 法 可 估 算 线 上 高 分 约 为 66.6, 线 上 低 分 约 为 而 当 年 实 际 情 况 为 : 线 上 高 分 639, 线 上 低 分 57 对 比 当 年 的 真 实 数 据, 不 难 发 现 计 算 结 果 与 实 际 值 间 还 是 存 在 误 差 的, 我 认 为 误 差 主 要 源 于 以 下 几 点 : 首 先, 高 考 志 愿 填 报 与 录 取 的 过 程 受 人 为 因 素 影 响 较 大, 其 中 不 仅 参 杂 个 人 兴 趣 志 愿 排 列 是 否 服 从 分 配 等 因 素, 更 受 其 他 考 生 报 考 行 为 的 影 响 而 且 对 于 报 考 单 独 一 所 学 校 的 分 数 分 布, 虽 然 符 合 正 态 分 布 的 某 些 特 征, 但 其 近 似 于 正 态 分 布 的 情 况 仅 为 一 种 假 设, 并 非 真 正 完 全 服 从 正 态 分 布 因 此 用 正 态 分 布 估 计 报 考 录 取 情 况 在 最 初 的 分 布 模 型 选 取 阶 段 就 客 观 地 存 在 着 误 差 其 次, 由 于 高 考 志 愿 填 报 的 特 殊 性, 存 在 着 录 取 与 上 线 两 种 不 同 的 情 况 纵 观 近 年 南 开 大 学 的 报 考 情 况, 历 届 考 生 录 取 数 约 为 上 线 数 的 一 半 也 就 是 说 在 报 考 南 开 大 学 并 且 分 数 高 于 提 档 线 的 考 生 中, 因 内 外 各 种 原 因, 有 近 一 半 最 终 未 被 录 取 由 于 存 在 着 某 考 生 分 数 高 于 提 档 线 但 最 终 并 未 被 真 正 录 取, 因 而 未 被 录 取 统 计 结 果 统 计 在 内 的 情 况, 并 且 这 种 情 况 不 在 少 数, 因 此 在 用 正 态 分 布 估 算 报 考 录 取 情 况 的 过 程 中 也 存 在 着 不 小 的 误 差 最 后, 我 认 为 应 辩 证 地 看 待 其 中 的 误 差 作 为 人 的 一 种 社 会 行 为, 高 考 志 愿 填 报 及 录 取 具 有 社 会 历 史 性 每 次 填 志 愿 及 录 取 都 会 受 之 前 录 取 结 果 的 影 响, 对 此 次 报 考 录 取 产 生 反 作 用, 并 作 为 一 段 历 史, 持 续 影 响 其 后 的 报 考 录 取 因 此 根 据 正 态 分 布 估 算 报 考 录 取 时, 估 计 值 与 实 际 数 据 接 近 并 不 能 说 明 所 采 用 模 型 的 准 确 性, 反 之 亦 然, 与 实 际 数 据 相 差 较 大 也 不 能 说 明 所 采 用 模 型 的 不 准 确 误 差 的 客 观 存 在 是 由 实 践 行 为 的 社 会 历 史 性 所 决 定 的 为 提 高 正 态 分 布 模 型 的 准 确 性, 尽 量 减 小 客 观 误 差 所 带 来 的 影 响, 因 此 在 问 答 3 的 基 础 上, 对 历 届 天 津 文 科 生 报 考 南 开 大 学 的 分 数 所 近 似 服 从 的 正 态 分 布 的 参 数 的 计 算 方 法 做 如 下 改 进 : 以 历 年 统 计 结 果 中 的 线 上 高 分 为 最 大 值, 因 此 所 有 报 名 者 的 分 数 小 于 等 于 线 上 高 分 的 概 率 为 ; 同 时 以 历 年 统 计 结 果 中 的 线 上 低 分 为 最 小 值, 因 此 所 有 上 线 者 的 分 数 大 于 等 于 线 上 低 分 的 概 率 为 报 考 南 开 大 学 的 上 线 率 将 上 述 两 方 程 联 立 即 可 求 出 及 较 于 问 答 3 所 用 方 法, 优 势 有 二 : 一 为 方 程 中 引 入 一 必 然 事 件, 并 且 给 出 精 确 的 区 间, 可 增 加 结 果 精 确 性 ; 二 为 用 上 线 率 构 造 另 一 方 程, 可 消 除 因 相 当 数 量 考 生 上 线 而 未 被 最 终 录 取 而 对 统 计 结 果 带 来 的 影 响 由 此 便 可 将 对 参 数 的 估 算 过 程 中 所 产 生 的 误 差 控 制 在 最 低 限 度 采 用 新 方 法 对 历 年 报 考 南 开 大 学 考 生 分 数 所 近 似 服 从 的 正 态 分 布 的 参 数 估 算 情 况 如 下 : 年 报 名 377 上 线 33 线 上 高 分 64 线 上 低 分 587 平 均 分 , 年 报 名 76 上 线 476 线 上 高 分 639 线 上 低 分 57 平 均 分 , 年 报 名 687 上 线 649 线 上 高 分 644 线 上 低 分 588 平 均 分 , 年 报 名 47 上 线 498 线 上 高 分 636 线 上 低 分 56 平 均 分 ,.563 在 此 构 造 函 数 值 i i i( i 为 年 份 ), 即 表 示 当 年 录 取 平 均 分 与 报 考 平 均 分 的 差 值, 8

129 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 得 α. 344, α 373., α , α 又 发 现 函 数 值 与 有 关, 即 录 取 平 均 分 与 报 考 平 均 分 的 差 值 大 的 年 份, 当 年 报 考 分 i i i i i 数 标 准 差 相 应 的 也 较 大 i 与 i 呈 正 相 关, 因 此 构 造 函 数 i ( i 为 年 份 ), 即 表 示 当 年 录 取 平 均 分 与 报 考 平 均 分 的 差 值 与 其 报 考 分 数 标 准 差 的 比 值, 得 β., β 63., β 57., β 5345, 发 现 其 基 本 稳 定 在. 485 附 近 报 考 作 为 一 种 社 会 历 史 性 活 动, 每 年 都 会 受 到 诸 如 考 生 水 平 试 卷 难 易 志 愿 填 报 制 度 等 客 观 因 素 的 影 响 和 制 约, 在 数 学 上 则 表 现 为 上 述 参 数 的 不 确 定 性 而 上 述 过 程 的 目 的 就 是 从 历 年 看 似 杂 乱 无 章 的 参 数 间 抽 象 出 一 个 相 对 稳 定 的 量, 作 为 对 未 来 进 行 估 计 预 测 的 基 础 这 与 正 态 分 布 的 标 准 化 过 程 有 着 异 曲 同 工 之 妙, 因 而 的 表 达 式 也 在 形 式 上 与 其 殊 途 同 归, 由 此, 标 准 正 态 分 布 的 标 准 性 科 学 性 可 见 一 斑 最 终 问 答 : 年 天 津 文 科 报 考 南 开 大 学 的 线 上 高 分 为 69, 线 上 低 分 为 586, 录 取 平 均 分 为 6 5, 问 : 当 年 天 津 文 科 报 考 南 开 大 学 的 上 线 率 是 多 少?( 假 设 报 考 南 开 大 学 的 考 生 分 数 服 从 正 态 分 布 ) 解 : 设 考 试 成 绩 X ~ N(, ) i i i i X 已 知 P ( X 69) P( ) ( ) 69 μ 解 得 3. 9 σ 又 根 据 问 答 3 中 的 分 析, 不 妨 估 计. 485 解 得 : , 设 年 其 上 线 率 为 a, 则 6 μ 得. 485 σ P( X 586) a P( X 586) a 586 ( ) a (.93) a.5359 a a.464 答 : 天 津 文 科 报 考 南 开 大 学 的 上 线 率 约 为 46.4% 上 例 为 此 正 态 分 布 模 型 的 实 际 应 用, 而 这 套 模 型 的 意 义 远 不 止 于 此 应 用 于 微 观, 它 可 以 从 人 数 和 分 数 两 种 途 径 入 手, 对 其 他 未 知 统 计 量 进 行 估 计 如 已 知 新 生 奖 学 金 二 三 等 奖 分 别 要 求 入 学 成 绩 名 列 全 校 前 % 5%, 可 估 求 当 年 获 此 两 等 奖 学 金 的 最 低 分 数 线 5 资 料 来 源 : 9

130 年 月总第 8 期 而在宏观上 历年 与 的变动则反映了南开大学在津招生受趋势 体制等宏观因素变化 的影响 如 年的标准差为近年最小 反映了采用平行志愿后录取分数集中化的趋势 年反常的标准差则在一定程度上反映了出分填志愿使考生的专业填报更具针对性 因 而分数也较为分散 历年数学期望的上下波动反映了每年报考结果对之后志愿填报的心理 影响 形成了俗称 大小年 的现象 而数学期望波动幅度的逐年减小则体现了一系列的 填报制度改革使得报考录取结果更加科学化 人性化 5 结论 由此可见 在报考录取问题中引入概率统计的方法不仅可为应届考生提供参考 助其 科学填报 更能为学校调整 优化招生政策提供科学依据 录取更多优质生源 而这一切 的基础 就是在历年看似杂乱无章的数据中蕴含着的 每个高校在特定考区独有的录取规 律 概率统计就是这样一种能将这种内部规律性显现出来的方法 一种能将抽象联系具体 化的手段 无论宏观还是微观 无论是固有的还是潜在的 这正体现了将概率统计方法应 用于实际问题的意义 总结历史 书写历史 预言历史 正如英国逻辑学和经济学家杰文斯所说 概率论是生活真正的领路人 如果没有对概 率的某种估计 那么我们就寸步难行 无所作为 参考文献 [] 年普通高等学校在津招生计划 文史类,天津市招生委员会高等学校招生办公室编 天津 天津人民出版社.5 [] 普通高校在津招生录取统计资料 文史类 7-9, 天津市招生委员会高等学校招生办公室 编 天津 天津人民出版社.5 [3] 普通高校在津招生录取统计资料 文史类 8-, 天津市招生委员会高等学校招生办公室 编 天津 天津人民出版社.5 等式约束极值在消费者选择理论中的简单应用 梁方 经济学院 经济学 598 摘 要 本文探讨等式约束极值在消费者选择理论中的应用 为消费者在预算约束下实现 效用最大化问题建立等式约束极值的数学模型 用消元法与拉格朗日乘数法解决问题 并 讨论运用过程中两种方法的经济学意义 在应用分析过程中 感受到数学在经济学中的的 广泛应用 体悟到数学实用之美 关键词 消费者最优选择 等式约束极值 消元法 拉格朗日乘数法 经济学是探讨经济中各行为者选择的科学 而最优化数学是研究最优选择的方法 所 以二者具有天然的紧密相关性 具体而言 消费者选择理论是研究消费者如何选择他们能 够负担的最优消费束的理论 而有约束极值问题是在关于变量的约束条件下 寻找使目标 值最大化或最小化的问题 因而 借助有约束极值模型可以更准确 更精练地对消费者选 择理论进行描述和展开分析 本文主要探讨在等式约束条件下 消费者如何进行最优选择 消费者选择问题 我们来看这样一个问题 小明去市场购买牛奶和咖啡 假定牛奶 元一盒 咖啡 3

131 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 元 一 盒, 小 明 对 牛 奶 和 咖 啡 的 总 预 算 为 元, 当 购 买 盒 牛 奶 与 盒 咖 啡 时, 小 明 的 满 足 程 度 用 来 衡 量 那 么 小 明 会 购 买 牛 奶 咖 啡 分 别 多 少 盒 呢? 为 了 对 这 个 消 费 者 选 择 问 题 进 行 描 述 和 展 开 分 析, 我 们 先 简 单 介 绍 经 济 学 关 于 消 费 者 选 择 的 理 论 经 济 学 关 于 消 费 者 选 择 的 理 论 是 非 常 简 单 的, 经 济 学 家 们 认 为 消 费 者 总 是 选 择 他 们 能 够 负 担 的 最 佳 商 品 为 了 使 这 个 理 论 拥 有 具 体 的 内 容, 下 面 更 为 精 确 地 定 义 什 么 是 能 够 负 担, 什 么 是 最 佳 通 常 只 考 虑 两 种 商 品, 因 为 常 常 把 其 中 的 一 种 商 品 看 作 是 消 费 者 除 另 一 种 商 品 外 想 要 的 其 他 一 切 东 西 的 代 表 在 已 知 两 种 商 品 的 价 格 p, ) 和 消 费 者 预 算 m 的 情 况 下, 我 们 ( p 用, ) 表 示 消 费 者 的 消 费 束, 则 能 够 负 担 的 经 济 学 意 义 是 : 给 定 价 格 p, ), ( ( p 消 费 者 只 能 消 费 总 价 不 超 过 预 算 m 的 商 品 组 合, ) (, 即 预 算 集 为 {(, ) p p m}, 预 算 约 束 线 为 p p m 我 们 用 效 用 函 数 来 描 述 消 费 者 的 偏 好 效 用 函 数 是 为 每 个 可 能 的 消 费 束 指 派 一 个 数 字 的 方 法, 它 指 派 给 受 较 多 偏 好 的 消 费 束 的 数 字 大 于 指 派 给 受 较 少 偏 好 的 消 费 束 的 数 字, 即 对 消 费 束 (, ) 的 偏 好 超 过 对 消 费 束 (, ) 的 偏 好, 其 充 分 必 要 条 件 是 (, ) 的 效 用 大 于 (, ) 的 效 用 我 们 用 u, ) 表 示 消 费 者 的 效 用 函 数, 则 最 佳 的 经 济 学 意 ( 义 是 : 消 费 者 选 择 使 其 效 用 最 大 化 的 消 费 束, 即 ma u (, ) 我 们 将 预 算 集 和 消 费 者 偏 好 理 论 结 合 在 一 起, 以 考 察 消 费 者 的 最 优 选 择 消 费 者 选 择 的 经 济 模 型 是 消 费 者 从 他 们 的 预 算 集 中 选 择 效 用 最 大 的 消 费 束 可 以 证 明, 最 优 选 择 总 是 落 在 预 算 线 上 则 消 费 者 选 择 理 论 的 数 学 模 型 为 : ma u(, ),, (..) s. t. p p m ma u(, ) 或 者, s. t. g(, ) p p 显 然, 这 是 一 个 等 式 约 束 极 值 模 型 那 么, 对 开 篇 提 到 的 小 明 消 费 选 择 问 题, 可 建 立 数 学 模 型 ma u( s. t., ),, m. 用 等 式 约 束 极 值 模 型 解 决 消 费 者 选 择 问 题 消 费 者 选 择 理 论 的 数 学 模 型 为 ma u(, ), s. t. p p m 3

132 年 月总第 8 期 消元法 用消元法解决消费者选择问题 注意到目标函数是一个二元函数 约束条件是一个二元一次方程 则可简单地从约束 条件中求得用其中一个变量表示的另一个变量 然后将其代入目标函数 原问题就转化为 对一个变量的无约束最大化问题 对于 的任何给定值 为满足预算约束我们需要的 可以通过线性函数 ( ) m p p p.. 给出 现在 我们用 ( ) 来替代效用函数中的 得到无约束最大化问题 ma u (, m p ( p p ) ) 这是一个仅与 有关的无约束最大化问题 因为无论 取任何值 我们所使用的函数 ( ) 都能保证 的值满足预算约束 根据最大化一阶条件 我们只要对 求微分并令其结果等于零就可以求解这一问题 u (, ( )) u (, ( )) d d.. 这是一个仅与 一个未知数有关的等式 一般可以从中求解出用 ( p, p, m) 表示的 然后 通过预算约束可以求解出作为价格和收入的函数 至此 我们得到了消费者 最优选择 (, ) 或实际需求函数 ( p, p, m) 和 ( p, p, m) 我们通常只考虑两种商品 在此情况下 运用消元法可简单地将二元有约束极值问题 转换为一元无约束极值问题 显示出简单易行的巨大优越性 但当我们考虑三种或三种以 上商品 且只有预算约束一个等式约束条件时 以三种商品为例 问题转化为 ma u (,, 3 ),, 3 s.t. p p p3 3 m 上述问题无法运用消元法得出满意结果 一般地 当我们求具有 n 个变量的函数 f (,..., n ) 的最优解时 当且仅当有 n 个等 式约束成立时 即 g j (,..., n ) j (,,...n) 我们才有希望运用消元法求得函数 f (,..., n ) 的最优解 尽管如此 在二元情况下 运用消元法求解最大化消费者效用问题仍具有巨大优越性 3

133 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 现 在, 我 们 可 以 用 消 元 法 对 小 明 消 费 选 择 问 题 加 以 解 决 ma u(, s. t., ) 对 于 的 任 何 给 定 值, 为 满 足 预 算 约 束 我 们 需 要 的 可 以 通 过 线 性 函 数 给 出, 将 上 式 代 入 效 用 函 数, 得 到 仅 关 于 一 个 变 量 的 效 用 函 数 u( ) ( ) 则 原 二 元 等 式 约 束 极 值 问 题 转 化 为 一 元 无 约 束 极 值 问 题, 易 解 得 * * * 8, 4 ( 单 位 为 盒 ).. 运 用 消 元 法 过 程 中 的 经 济 学 意 义 考 察 等 式 (..) 这 里 第 一 项 是 增 加 如 何 使 效 用 增 加 的 效 用 增 长 率, 第 二 项 由 两 部 分 组 成 : 增 加 时 的 效 用 增 长 率 u, 乘 以 增 加 时 为 继 续 满 足 预 算 方 程 的 增 长 率 d d 对 式 (..) 求 导 数, d d p p, 将 它 代 入 式 (..), 有 u(, ) u(, ) / p p (..3) 假 设 点, ) 为 最 优 点, 则 ( u(, ) u(, / ) * * (, ) p p (..4) 为 了 考 察 方 程 (..4) 的 经 济 学 意 义, 我 们 先 关 注 等 式 左 边 假 设 最 优 点 (, ) 位 于 无 差 异 曲 线 u(, ) k 上, 根 据 无 差 异 曲 线 定 义, 对 该 曲 线 上 任 意 一 点, 有 u(, ) d u(, ) d 整 理 得 u(, u(, ) / ) / d d (..5) 33

134 年 月总第 8 期 d 为无差异曲线边际替代率 MRS d 点 (, ) 同样满足方程..5 即 u, d ( *, * ) ( *, * ) u (, ) d..6 将方程..6 与..4 联立 得 d p ( *, * ) d p..7 方程..7 表示预算线斜率必定等于在最优选择 (, ) 点上 和 之间的边 际替代率 拉格朗日乘数法 用拉格朗日乘数法解决消费者选择问题 定义拉格朗日辅助函数 L u (, ) ( p p m) 新变量 称作拉格朗日乘数 拉格朗日定理认为 最优选择 (, ) 必定满足三个一 阶条件 L u (, ) p L u (, ) p L p p m 对于三个未知数 和 我们拥有三个方程式 有希望解出用 p p 和 m 表 示的 和 这样 我们得到了消费者最优选择 (, ) 或实际需求函数 ( p, p, m) 和 ( p, p, m) 我们用拉格朗日乘数法解决小明消费选择问题 定义拉格朗日辅助函数 L ( ) 34

135 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 35 令 L L L 易 解 得 * * *.. 拉 格 朗 日 乘 数 法 的 数 学 背 景 下 面 我 们 以 等 式 约 束 的 最 大 值 问 题 来 介 绍 拉 格 朗 日 乘 数 法 的 数 学 背 景 首 先 简 单 介 绍 等 式 约 束 问 题 最 优 解 的 一 阶 必 要 条 件 定 理, 预 算 约 束 下 消 费 者 最 优 选 择 的 一 阶 必 要 条 件 只 是 该 定 理 的 推 论 可 以 证 明, 对 于 一 般 的 等 式 约 束 问 题 ),,..., ( ) (.. ) ( ma l j h s t f j R n (..) 有 下 面 的 定 理 成 立 : 定 理 ( 等 式 约 束 问 题 最 优 解 的 一 阶 必 要 条 件 ) 对 于 问 题 (.. ), 若 l j C h f j,...,,,, 且 ) ( ),..., ( h h l 线 性 无 关 则 是 最 优 解 的 必 要 条 件 为 存 在 相 应 的 拉 格 朗 日 乘 子 T l ),..., (, 使 得 ) ( ) ( ), ( h f L j l j j 由 本 文 前 述 可 知, 预 算 约 束 下 消 费 者 最 优 选 择 问 题 的 数 学 模 型 为 ), (.. ), ( ma, m p p g s t u 这 里,, C g u, 则 ), ( 是 最 优 解 的 必 要 条 件 为 存 在 相 应 的 拉 格 朗 日 乘 子 *, 使 得 ), ( ), ( ),, ( * * * * * * * * g u L 即 前 述 拉 格 朗 日 乘 数 法 : ), ( p u L ), ( p u L

136 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 L p p m..3 作 为 成 本 - 收 益 比 率 的 拉 格 朗 日 乘 数 的 经 济 学 意 义 拉 格 朗 日 乘 数 法 引 进 一 个 附 加 变 量 ( 拉 格 朗 日 乘 数 ), 不 仅 有 助 于 顺 利 地 解 决 问 题, 而 且 在 不 同 的 经 济 环 境 中 具 有 很 强 的 解 释 能 力 为 了 说 明 这 个 解 释 能 力, 我 们 把 辅 助 函 数 一 阶 条 件 的 前 两 个 表 达 式 写 成 u(, g(, ) ) u(, g(, ) ) (.3..) 方 程 (.3.) 的 分 子 是 每 一 对 u 的 边 际 贡 献, 它 们 说 明 多 一 单 位 的 对 于 我 们 寻 i 求 最 大 化 的 效 用 函 数 ( 即 u ) 的 边 际 收 益 为 了 解 释 方 程 (.3.) 的 分 母 需 要 一 个 附 加 步 骤 约 束 条 件 全 微 分 是 g(, ) d g(, ) d (.3.) 现 在 假 设 增 加 一 单 位 ( 即 d ), 利 用 方 程 (.3.) 则 有, i g(, ) g(, ) d (.3.3) g(, ) g(, ) 或 者 d (.3.4) 方 程 (.3.4) 说 明 如 果 约 束 条 件 成 立, 当 增 加 一 单 位 时, 是 如 何 变 化 的 式 中 g(, ) g(, ) 反 映 了 的 变 化, 因 此 是 我 们 希 望 增 加 一 单 位 而 减 少 产 生 的 边 际 成 本 的 近 似 值 对 于 我 们 选 择 的 任 意 变 量 X, 我 们 可 以 作 类 似 的 讨 论 现 在, 给 出 方 程 (.3.) 的 直 观 解 释 它 们 表 示 对 于 任 意 X, 在 得 到 X 的 最 优 选 择 时, 增 加 的 边 际 收 益 与 增 加 的 边 际 成 本 的 比 率 是 相 同 的 显 然, 这 是 最 大 化 的 一 个 明 i i 显 条 件 如 果 仅 当 边 际 成 本 - 收 益 比 率 对 于 所 有 都 相 等 时 达 到 了 局 部 最 大 值, 这 时 的 任 意 小 变 化 都 不 能 增 大 目 标 函 数 拉 格 朗 日 乘 数 还 能 按 照 下 面 的 讨 论 来 解 释 是 对 于 所 有 成 本 - 收 益 的 共 同 比 率, 即 对 于 所 有 i i i i 的 边 际 收 益 i 的 边 际 成 本 i 如 果 约 束 条 件 稍 放 松,X 的 变 化 ( 事 实 上 所 有 都 可 以 改 变 ) 就 不 成 问 题 因 为 在 边 i 36

137 年 月总第 8 期 际状况 每一个 i 都保证有相同的收益对成本的比率 拉格朗日乘数提供了全面放松约束 条件将对 u 的值产生什么样的影响的测度 事实上 是约束条件的 影子价格 高值的 表示放松约束条件 u 则增加很大 因为每一 i 有了一个更高的成本-收益比率 另一方 面 低值的 表示放松约束条件没有太多的获得 如果约束条件根本没有限制 则为 这表示约束条件没有限制 u 的值 在此情况下 求解具有约束条件的 u 的最大值等价于求 解没有约束条件的 u 的最大值 约束条件的影子价格等于零 本文简单地探讨了等式约束极值在消费者选择理论中应用 事实上 等式约束极值理 论只是数学最优化理论中的细枝末节 目前 数学最优化理论已经形成了以非线性规划 变分法 最优控制理论 动态规划的基本原理与方法为主要内容的现代化理论体系 对最 优化数学基本方法的掌握实际上已经成为理解现代微观经济学和宏观经济学的前提条件 马克思曾指出 一门科学 只有当它成功地运用数学时 才能达到真正完善的地步 最优 化理论的介入 已经对经济学家们的思考方式 研究方法产生了巨大而深远的影响 最优 化理论在经济学研究中的广泛应用 正是从一个侧面反映出数学理论的巨大实用性 反映 出令人折服的 参考文献 [] 数理经济学精要 经济理论中的最优化数学分析 邵宜航 科学出版社 [] 最优化方法 施光燕 董加礼 高等教育出版社 [3] 微观经济学 现代观点 哈尔 R.范里安 格致出版社 [4] 微观经济理论 基本原理与扩展 沃尔特 尼科尔森 北京大学出版社 墨菲法则背后的数学原理 苏丹 经济学院 金融学 856 摘 要 如果事情既可以向好的方向发展 又可以向坏的方向发展的话 那么它多半会 向坏的方向发展 著名的墨菲法则一度被许多人当作笑谈 而生活中种种迹象又似乎证明 着墨菲法则的正确性 本文将从数学角度入手 揭示墨菲法则背后的数学原理 从而解决 生活中的问题 关键词 墨菲法则 概率 逻辑 证明 墨菲法则的前世今生 墨菲定理自古以来即有 如民谣所说 I never had a slice of bread particularly large and wide that did not fall upon the floor and always on the buttered side. 即 面包落地的时候 永远是抹黄油的一面着地 但实际上墨菲定律的历史可追溯至 949 年前后 由当时参与美国空军高速载人工具火箭雪橇 MX98 发展计划的 John Paul Stapp 上校旗下的研究员首先提出 以当时参与计划的研发工程师之一爱德华 A 墨菲 Major Edward A. Murphy, Jr. 命名 当时模拟实验已明确要求参与者把工具以正确的方 式夹好 结果还是有人连续 47 个工具都夹错了 故此引申出一件事当往差的一面发展的时 37

138 年 月总第 8 期 候便会差到极限的含义 赫赫有名的墨菲法则的确看似荒谬 甚至引来了许多人的哂笑 然而 生活中的种种 迹象又似乎印证着墨菲法则的正确性 这又是基于怎样的一种原因呢 生活中的种种墨菲法则. 为什么黄油吐司掉在地上 永远是抹了果酱的那一面朝下 生活中 我们似乎早已对这样的场景司空见惯 吃早餐时 吐司不小心掉到了地上 永远是抹了黄油果酱的那一面朝下 把刚刚擦过的地板搞得一塌糊涂 糟糕 怎么总 是这么糟糕 我们不停地抱怨 然而 这真的是 墨菲法则 在作祟吗 英国 BBC 电视台有一个非常有名的科学探索 节目叫做 QED 在 99 年 为了扳倒有关 黄油吐司 的墨菲法则 他们特意组织了 一次向上掷黄油吐司的实验 在掷了 3 次之后 发现抹黄油一面落地的有 5 次 黄油 那面朝天的有 48 次 他们因此判定 吐司的哪一面朝上在概率上基本没有差别 墨菲法 则被归咎为我们的错觉 事情真的是这样的吗 生活中 掉到地上的吐司 并不是如实验中那样向上掷出的结 果 而是从我们的手中掉下的或是从餐桌上滑落的 而抹了黄油的吐司 到底哪一面落地 是由它在空中旋转的情况决定的 英国阿斯顿学院情报工程学专业的访问学者罗伯特 麦 特维斯教授通过计算证明 从一般餐桌或者人手的高度滑落的吐司所受到的重力作用 尚 不足以使其旋转整整一圈 大部分吐司只旋转了半圈就掉到地上了 当然是抹了黄油的一 面着地 如果人类的身高比现在要高出许多的话 我们就会坐在足够高的餐桌边吃饭 那么黄 油吐司也就会有足够的时间 在空中完成漂亮的旋转再落地 那样 抹了黄油的一面就会 朝上了 不过 哈佛大学的天体物理学教授威廉 弗莱斯指出 对于双脚行走的人类来说 现 在的身高刚好使人类不至于脱离地球的引力而安全地生活在地面上 也就是说 我们的身 高 是地球引力与人类骨骼达成某种化学和力学的平衡后的结果. 为什么超市最快的那条结算队伍永远不是自己排的那条 当我们在超市购物时 这样的场景似乎也并不稀奇 在结账处每一个收银台前都排着 长长的队伍 我们煞费苦心选择其中一条看上去稍微短一些的 却往往发现旁边的队伍总 是比自己的要快好多 而这 也是 墨菲法则 的体现吗 对于这个问题 物理学家为我们做了如下分析 如果一个超市有 个收银台 并且假 设他们的结算速度相当 由于大家都会选择相对较短的队伍来排队 那么实际上 每一条 队伍的长度都是差不多的 当然 每支队伍都有可能发生意外 发生争执 或者某位顾客 买了过多的东西等 这样算下来 自己所排的队伍前进得最快的概率是多少呢 换言之 别的队伍行进得快的概率是 倘若不是撞了大运 那么不管你选择了哪条 队伍 结果都是眼睁睁地看着别人先结算罢了.3 为什么天气预报永远不准 似乎从小学开始 春游那天就必定下雨 而天气预报却明明说那天是晴天 说晴天的 时候下雨 说天气恶劣却晴空万里 天气预报似乎耍了我们一回又一回 但我们还是不得 不无条件地相信它 天气预报的不准 难道也是墨菲法则的印证吗 英国学者罗伯特 麦特维斯的统计结果显示 即使天气预报说要下雨 不带伞出门的 决定也是明智的 英国天气预报的准确率平均在 83.5%以上 但罗伯特 麦特维斯引导我 们往更深的层面去思考 假设天气预报员什么也不做 哪怕整天在家睡大觉 而一律做 无 38

139 年 月总第 8 期 雨 的预报 也能平均蒙对 9% 因为每小时实际降水概率仅为 8% 从最近几年的统计 数据来看 英国气象部门预测 无雨 也确实没有下雨的情况占 98.% 预报 下雨 并 真正下了雨的情况不到 3% 换句话说 有雨 的天气预报 其可信程度实在令人不敢 恭维 3 由数学概率阐释墨菲法则 文章写到这里 一些人会问 前面所列举的 都是一些与人们意愿相反的事件 但是 其本身发生的概率就很大 可是现实中很多本来出现的概率很低的事件 却还是屡屡发生, 仿佛老天是在故意和人作对一样 这又该怎么解释呢 让我们以常见的 约会迟到 现象来举例 根据古典概率的乘法原理 一件事情的发 生需要 n 个步骤 而每个步骤发生的概率为 那么最后这件事情发生的概率是 的乘 积 你和女朋友约好了晚上 8 点吃饭 但在此之前你要完成许多步骤 即使每一步你都很 有可能顺利完成 但最后乘积得到的概率可能并不让你满意 我们假设如下的场景 现在你还在公司 你的老板通常不会要求你加班 但其实你也 说不准 由于这个约会比较重要 你必须先回家换衣服然后再赴约 而准备要穿的衣服现 在还在干洗店 所以要在下班的路上去取 取完出门后中途要去礼品店拿预订好的礼物 和女友吃饭的地点在市中心,路上通常不会堵车 你觉得一切你都已安排妥当 现在只等着把手里的工作做完 一切会朝你希望的方 向发展吗 假设 老板临时有新的任务让你马上完成 以至于你不能准时赴约 其概率是 下班去干洗店的路上 堵车的概率是 干洗店的人失职把你的衣服给弄坏了 概率是 礼品店的人把你的礼物和别人的弄错了 概率是 赴约的路上堵车的概率是 那么现在可以计算你能准时赴约的概率 看来你可能会迟到的概率是 4% 已经不低了 如果再考虑其它未知的干扰因素 你 能准时赴约的概率很有可能不足 5% 既然概率的大小决定了坏事发生的可能性 那么上帝应该是公平的 可是为什么我们 会感觉墨菲法则无处不在呢 实际上是我们的心理因素在作怪 人们注意力的倾向性 是 潜在的因素之一 对于那些不愉快的经历 人们总会铭记在心 如果事随人愿 人们会觉 得正常而不会刻意去铭记 反之 如果事与愿违 人们则会耿耿于怀 正因为如此 即使 是难得发生的小概率事件 也会被人们有意放大.除了记忆的选择性之外 还有一个因素 可以解释:我们希望看到的结果只是小概率事件 并非老天不公 而是我们的期待对这个世 界来说太不合理 反省一下 对于这个世界 我们是不是总有一些过分的要求呢 爱因斯 坦说得对 上帝虽然高深莫测 但他并没有恶意 墨菲法则的背后 还是隐藏着科学的规 律 4 墨菲法则给我们的启示 4. 不能忽视小概率危险事件 由于小概率事件在一次实验或活动中发生的可能性很小 因此 就给人们一种错误的 39

140 年 月总第 8 期 理解 即这种事件不会发生 与事实相反 正是由于这种错觉 人们的安全意识往往会被 麻痹 加大了事故发生的可能性 其结果是事故可能频繁发生 譬如 中国运载火箭每个 零件的可靠度均在 99.99%以上 即发生故障的可能性均在万分之一以下 可是在 996 和 997 两年中却频繁地出现发射失败事故 虽然原因是复杂的 但这也能成为小概率事件也 会常发生的客观依据 纵观无数的大小事故原因 可以得出结论 认为小概率事件不会发 生是导致侥幸心理和麻痹大意思想的根本原因 墨菲定律正是从强调小概率事件的重要性 的角度明确指出 虽然危险事件发生的概率很小 但在一次实验或活动中 仍可能发生 因此 对于小概率事件 我们不仅不能忽视 还要引起高度重视 4. 墨菲定律是安全管理过程中的长鸣警钟 安全管理的目标是杜绝事故的发生 而事故是一种不经常发生和人们不希望出现的意 外事件 这些意外事件发生的概率一般比较小 就是人们所称的小概率事件 由于这些小 概率事件在大多数情况下不会发生 所以 往往被人们忽视 产生侥幸心理和麻痹大意思 想 这恰恰是事故发生的主要原因 墨菲定律告诫人们 安全意识时刻不能放松 要想保 证安全 必须从现在做起 从我做起 采取积极的预防方法 手段和措施 来最大程度地 预防安全事故的产生 5 结束语 从看似笑谈的谬论 到经过严格逻辑证明的事实 墨菲法则不仅让我们看到了生活中 的无限哲思 更让我们体会到了就在身边的 点点滴滴 无处不在 只 要有心 我们终会利用数学 驾驭数学 从而造福我们的生活 让世界变得更加美好 参考文献 []郑载承 为什么生活总是这么糟 中国青年报 5 年 8 月 7 日 []崔全会 简论安全管理的警示职能 墨菲定律的启示 中国安全科学学报 999 年 4 月 [3]词条 墨菲定律 MBA 智库百科 [4]词条 墨菲定理 维基百科 用数学工具浅析房价问题 石晓辰 经济学院 金融学 89 摘 要 房地产行业与百姓生活息息相关 住房问题关系国计民生 既是经济问题 更是 影响社会稳定的重要民生问题 随着房地产不断升温 很多城市出现房价过高 上涨过快 的问题 严重影响了百姓的生活质量 因此 如何有效遏制房价过快上涨是一个备受关注 的社会问题 本论文以房价作为主要研究对象 运用已经掌握的数学和经济知识对房价的确定给予 分析 以期能找到影响其涨落的因素 关键字 房价 数学 经济知识 分析 分析及建立模型 根据所学的知识 要确定一件物品的均衡价格 我们需要了解这个物品的供给与需求 然后我们可以根据供给与需求分别画出供给曲线与需求曲线 两条曲线的交点的纵坐标即 4

141 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 为 均 衡 价 格 p( 如 图 ), 这 样 我 们 就 能 确 定 物 品 的 价 格, 房 价 的 确 定 也 是 这 么 一 个 原 理 下 面 就 让 我 们 分 析 找 出 影 响 房 价 的 主 要 原 因, 并 建 立 一 个 城 市 房 价 的 数 学 模 型, 对 房 价 的 形 成 及 演 化 机 理 进 行 深 入 的 分 析 图 首 先, 因 为 各 类 房 价 的 差 异 比 较 大, 但 是 对 于 大 多 数 市 民 来 说, 关 心 最 多 的 是 商 品 房 的 价 格, 而 且 为 了 方 便, 所 以 下 面 我 们 研 究 的 是 商 品 房 的 价 格 其 次, 影 响 房 价 的 客 观 因 素 包 括 市 场 因 素 和 非 市 场 因 素 其 中 由 房 屋 自 身 因 素 和 周 围 环 境 因 素 组 成 的 非 市 场 因 素 对 房 价 影 响 相 对 较 小, 并 且 相 对 稳 定, 可 忽 略 其 影 响 ; 而 市 场 因 素 是 房 价 的 决 定 因 素, 其 中 包 括 经 济 因 素 和 非 经 济 因 素 ( 政 治 因 素 行 政 因 素 社 会 因 素 ) 由 于 我 国 现 在 社 会 政 治 局 势 稳 定, 所 以 政 治 因 素 和 社 会 因 素 对 房 价 的 影 响 可 以 忽 略, 而 经 济 因 素 中 的 成 本 行 业 利 润 和 人 们 的 收 入 以 及 行 政 因 素 中 的 税 率 对 房 价 的 影 响 较 大 基 于 上 述 分 析, 我 们 做 出 如 下 假 设 :() 房 地 产 产 品 具 有 一 定 的 生 产 周 期 ;() 房 价 的 计 算 只 考 虑 生 产 成 本 和 市 场 供 求 ;(3) 理 想 房 价 是 仅 基 于 成 本 得 到 的 价 格, 不 考 虑 供 求 因 素 的 影 响 ;(4) 成 本 的 花 费 包 括 地 价 建 安 价 格 和 各 种 税 收, 且 每 一 个 周 期 的 地 价 建 安 价 格 和 税 费 率 保 持 不 变 ;(5) 容 积 率 ( 是 指 一 个 小 区 的 总 建 筑 面 积 与 用 地 面 积 的 比 率 一 个 良 好 的 居 住 小 区, 高 层 住 宅 容 积 率 应 不 超 过 5, 多 层 住 宅 应 不 超 过, 绿 地 率 应 不 低 于 3% 但 由 于 受 土 地 成 本 的 限 制, 并 不 是 所 有 项 目 能 做 得 到, 为 了 研 究 方 便 我 们 假 设 它 固 定 不 变 ) 在 每 个 周 期 维 持 不 变 ;(6) 在 模 型 中 不 考 虑 商 家 炒 作 对 房 地 产 价 格 的 影 响 ;(7) 理 想 房 价 =( 地 价 + 建 安 价 格 ) (+ 税 费 率 ) 符 号 : p: 房 价, p L : 理 想 房 价, p n : 第 个 周 期 的 房 价, p n : 第 个 周 期 的 预 测 房 价, p : j 需 求 曲 线 和 供 求 曲 线 的 交 点 的 房 价, m: 地 价,n: 建 安 价 格, : 税 率 (%), : 容 积 率 (%), d n : 第 个 周 期 房 子 的 需 求 量, s n : 第 个 周 期 房 子 的 供 应 量. 运 用 经 济 学 知 识 我 们 很 容 易 发 现 : 成 本 决 定 理 想 价 格 ; 理 想 价 格 和 房 地 产 商 的 预 测 价 格 决 定 了 供 应 量 ; 理 想 价 格 和 实 际 房 价 决 定 了 需 求 量 ; 需 求 量 和 供 给 量 又 共 同 决 定 了 房 价 所 以 我 们 应 该 按 照 理 想 价 格 供 给 曲 线 需 求 曲 线 实 际 房 价 的 顺 序 来 进 行 分 析 根 据 理 想 房 价 的 定 义, 理 想 房 价 只 受 成 本 的 影 响 而 不 受 供 求 关 系 的 影 响, 可 以 得 出 其 表 达 式 为 p L m n 4

142 年 月总第 8 期 令 a m b a 和 b 都是常数 那么可得 pl a n b 从上面两个可以看出 建安价格与理想房价之间是正相关关系 同时建安成本与理想 房价之间的影响的程度因地价 税率 容积率的不同而不同 根据假设 成本不变 所以 理想房价也不变 下面让我们来分析供给曲线与需求曲线及它们的关系 首先来分析供给曲线 供求量受到房地产商预测的本周期的房价和理想房价的影 响 预测价格与理想价格的比值越大 供应量越多 预测价格与理想价格的比值越小 供应量越少 因为房地产商是以盈利为目的 所以这个假设是合理的 所以可得 p 'n p n - p n - - p n - 其中 ε 为修正系数 这种修正主要是根据房地产估价师的评估经验 有时主要是评估 策略上的修正 如政策变化 市场供求状况 顾客成交的迫切程度 愿承担的风险大 小因素 均应作为决定评估结果需要考虑的因素 那么供应量为 sn c d p n - p n - - p n - pl 其中 c 和 d 为正常数 然后让我们来分析需求曲线 由于需求量受到本周期的实际房价和理想房价共 同的影响 实际价格与理想价格的比值越大 需求量越少 实际价格与理想价格的比值越 小 需求量越多 所以可得需求曲线的方程为 dn e - f pn pl 其中 e 和 f 为正常数 5 根据供求平衡可得方程 e-f pn p p n - - p n - c d n - pl pl 对模型进行求解 若三个时期的价格相等 可得价格为 T 若不相等 我们下面求通解 e-c f d d d p n - p n - f f d n - d n n - f f pn 即为 d n - d f f 显然 = 是其中一解 4

143 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 整 理 得 于 是 d d - f f d d - 4 f f 那 么 得 解 和 为 方 程 的 解 的 一 般 形 式 为 d - f, p n k n n k T, 3 根 据 模 型 给 出 分 析 其 中 k 和 k 是 两 个 任 意 常 数, 需 视 情 况 而 定 将 T 带 入 得 房 价 的 表 达 式 p n k n n e - c k p L f d 然 后 我 们 通 过 运 用 统 计 学 知 识 对 表 达 式 中 的 常 量 进 行 确 定, 从 而 能 够 对 下 一 时 期 的 房 价 给 予 预 测, 同 时 也 能 够 为 政 府 对 房 价 进 行 调 控 提 供 一 些 参 考 价 值, 下 面 就 让 我 们 对 上 述 过 程 进 行 具 体 分 析 来 进 一 步 了 解 房 价 的 影 响 因 素 及 确 定 机 制 考 虑 到 中 国 的 现 状, 房 价 不 断 升 高, 下 面 就 让 我 们 结 合 上 面 的 分 析 来 研 究 一 下 中 国 房 价 上 涨 的 原 因 : () 建 房 成 本 的 提 高 是 房 价 上 涨 的 助 力 之 一 为 了 研 究 方 便, 上 述 求 解 过 程 我 们 假 定 成 本 不 变, 但 是 现 实 中 随 着 物 价 上 涨 成 本 在 不 断 提 高, 以 4 年 建 安 价 格 为 例, 建 筑 安 装 工 程 价 格 上 涨 8.% 材 料 费 价 格 上 涨.7%, 而 建 筑 领 域 最 受 关 注 的 建 筑 用 钢 材 价 格 上 涨 7.4% 又 因 为 理 想 房 价 =( 地 价 + 建 安 价 格 ) (+ 税 费 率 ), 所 以 理 想 房 价 随 着 成 本 的 提 高 而 提 高, 从 房 价 表 达 式 看, 理 想 房 价 的 提 高 也 会 带 动 房 价 的 提 高 () 需 求 的 增 加 也 是 房 价 上 涨 的 原 因 之 一 中 国 在 过 去 年 中, 城 市 化 在 以 3.% 的 速 度 增 长, 即 城 市 人 口 比 例 的 提 高 速 度 是 3.% 上 世 纪 9 年 代 以 来, 我 国 城 镇 人 口 每 年 增 加 多 万 这 导 致 了 房 屋 需 求 的 增 加, 而 需 求 增 加 体 现 在 房 价 表 达 式 中 即 为 e 的 增 大, 很 明 显 这 将 推 动 房 屋 价 格 的 上 升 (3) 房 屋 供 给 量 的 不 足 也 推 动 了 房 价 的 上 涨 就 人 口 密 度 来 说, 深 圳 为 3597 人 / 平 方 公 里 北 京 为 88 人 / 平 方 公 里 上 海 9 人 / 平 方 公 里 广 州 975 人 / 平 方 公 里 土 地 供 量 逐 年 减 少, 供 应 量 少 于 需 求 量, 导 致 了 住 房 紧 张, 从 而 引 起 了 房 价 的 上 涨 4 对 房 价 调 控 的 建 议 针 对 上 述 原 因, 我 们 可 以 提 出 以 下 建 议 来 抑 制 房 价 的 上 涨 : () 发 挥 政 府 的 宏 观 调 控 功 能, 降 低 房 屋 建 造 成 本 ( 包 括 建 安 价 格 土 地 价 格 及 各 种 税 率 ), 平 抑 房 价 () 适 度 分 散 社 会 资 源, 降 低 城 市 社 会 资 源 集 中 程 度, 促 使 城 市 吸 引 力 在 合 理 范 围 内 下 降, 放 慢 城 市 化 进 程, 从 而 减 小 住 房 的 需 求 压 力 ; 需 求 减 少, 价 格 会 有 所 下 降 管 制 炒 43

144 年 月总第 8 期 房行为 抑制炒房人哄抬价格的势头 3 坚决贯彻 十分珍惜和合理利用每一寸土地 的基本国策 有效规避开发商买土 地闲置坐等升值的现象 使土地得到最大程度的利用 增加住房的供给量 尤其是小户型 商品房及廉租房的供应 从而降低房价 5 结语 通过用数学工具分析房价问题 我更加深刻的体会到了数学的巨大作用 它应用在我 们生活而方方面面 以前我总以为数学的很多研究领域与我们的生活没有太大关系 其实 不然 因为数学的很多成果已经运用到经济学的研究过程中 像本文的一元二次方程 齐 次方程 特征方程 通过听张效成老师的讲座 我了解到经济对于数学的要求已经超过了 现在的数学发展水平 所以随着经济学的不断发展 人们对于数学的要求会越来越高 这 也在一定程度上促进了数学的发展 随着数学研究的深入 用数学来分析经济学使问题变 得更加简单化 经济也在一定程度上促进数学的发展 两个学科互相渗透 共同进步 随 着学科互相渗透趋势的加强 我们不仅要努力学好本专业的知识 同时也要学会运用其他 学科来解决本学科的问题 增强自身解决问题的能力 以期在未来的竞争中更加具有优势 参考文献 []D S 沃森 M A 霍尔曼 价格理论及其应用 中国财政经济出版社 []乔治 斯蒂格勒 价格理论 北京经济学院出版社 [3]汪茵芸 史明 蒋漓, 房价问题的数学建模, 中国财政经济出版社 宏观经济增长理论中的有关微积分应用 从索洛模型开始到技术进步的数学推导浅析 谢开强 经济学院 经济学 886 摘 要 我们直观上觉得在宏观经济学中 运用高等数学微积分的地方很少 实际上 可以毫不夸张地说微积分在宏观经济中非常重要 我们仅仅在中级宏观经济学中就会发现 一旦深入分析到宏观经济增长 投资及技术进步 到处都有微积分极具魅力的身影 运用 微积分后 困难的问题常常迎刃而解 有时甚至用 势如破竹 来形容这种方便都不为过 经济增长理论是研究一个国家经济如何增长的重要经济学理论 在整个经济学理论中 占着举足轻重的地位 关键词 经济增长理论 新增长理论 索洛模型 技术进步 卢卡斯模型 前言 在学习宏观经济学时 人们常常觉得在宏观经济学书里 不像在微观经济学中大量存 在微积分的推导与求解 实际上 从开始论述三个市场 产品市场 货币市场和劳动力 市场 到总供给-总需求 AS-AD 模型的建立为止 宏观经济学理论中主要运用静态的视角来 审视宏观经济现象 当然这里 静态 是指未考虑经济增长效应 而非真正的 静止 总 所周知最初 IS-LM 模型就给出了 动态均衡 概念 既然这时是静态的未涉及长期经济增 长的研究 即使从纯数学的角度我们也知道 没有 变化 就没有微分积分的用武之地 无论是经济还是物理 只有存在 变化 我们才好将变化细分为一小块一小块 一小 44

145 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 条 一 小 条, 运 用 微 积 分 推 导 从 而 解 决 问 题 正 因 如 此, 也 正 如 直 观 感 受 的 一 样, 宏 观 经 济 多 数 地 方 的 确 不 像 微 观 经 济 学 那 样 充 满 微 积 分 简 洁 清 爽 的 公 式 那 么, 宏 观 经 济 中 就 没 有 微 积 分 了 吗? 当 然 不 会, 微 积 分 是 人 类 有 史 以 来 研 究 物 质 运 动 时 空 变 化 最 为 有 效 的 方 法 之 一 可 以 毫 不 夸 张 地 说, 在 宏 观 经 济 增 长 理 论 中 微 积 分 不 仅 大 量 使 用 而 且 非 常 重 要 即 便 我 们 仅 仅 讨 论 中 级 宏 观 就 会 发 现, 一 旦 深 入 分 析 宏 观 经 济 增 长 投 资 和 技 术 进 步, 到 处 都 有 微 积 分 那 极 具 魅 力 的 身 影, 运 用 微 积 分 思 想 后, 困 难 的 问 题 常 常 迎 刃 而 解, 有 时 甚 至 用 势 如 破 竹 来 形 容 这 种 高 效 便 捷 都 不 为 过 经 济 增 长 理 论 是 研 究 一 个 国 家 经 济 如 何 增 长 的 重 要 经 济 学 理 论, 在 整 个 经 济 学 理 论 中 占 着 举 足 轻 重 的 地 位 罗 伯 特 M 索 洛 (ROBERT M SOLOW) 因 在 经 济 增 长 理 论 中 做 出 杰 出 贡 献 而 获 987 年 诺 贝 尔 经 济 学 奖 如 果 没 有 微 积 分, 或 许 索 洛 先 生 的 获 奖 还 要 晚 个 几 年 吧 新 古 典 经 济 增 长 理 论 ( 索 洛 模 型 ) 微 分 的 应 用 新 古 典 经 济 增 长 理 论 是 由 索 洛 (956) 和 斯 旺 (956) 在 对 哈 罗 德 多 马 简 单 模 型 进 行 修 订 的 基 础 上 发 展 起 来 的 罗 伯 特 M 索 洛 (ROBERT M SOLOW) 因 在 经 济 增 长 理 论 中 做 出 杰 出 贡 献 而 获 987 年 诺 贝 尔 经 济 学 奖 索 洛 模 型 假 设 : 储 蓄 全 部 转 化 为 投 资 ; 投 资 的 边 际 收 益 率 递 减, 即 投 资 的 规 模 收 益 是 常 数 ;3 采 用 资 本 和 劳 动 可 替 代 的 新 古 典 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数, 解 决 了 哈 罗 德 多 马 模 型 中 经 济 增 长 率 与 人 口 增 长 率 不 能 自 发 相 等 的 问 题 在 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 中, 劳 动 数 量 既 定, 随 资 本 存 量 的 增 加, 资 本 的 边 际 收 益 递 减 规 律 确 保 经 济 增 长 稳 定 在 一 个 特 定 值 上 该 模 型 没 有 投 资 的 预 期, 因 此 回 避 了 有 保 证 的 增 长 率 与 实 际 增 长 率 之 间 的 不 稳 定 就 此 可 得 出 结 论 : 经 济 稳 定 增 长 索 洛 描 述 完 全 竞 争 的 经 济 是 产 出 的 增 长 对 应 于 资 本 和 劳 动 投 入 的 增 长 这 一 时 期 一 直 强 调 物 质 资 本 的 重 要 作 用, 物 质 资 本 增 长 决 定 了 经 济 增 长 率, 在 不 存 在 技 术 进 步 对 经 济 增 长 影 响 的 假 设 条 件 下, 物 质 资 本 的 规 模 及 增 长 速 度 是 影 响 现 代 经 济 增 长 的 关 键 因 素 因 此, 新 古 典 增 长 理 论 普 遍 认 为 : 经 济 稳 态 增 长 率 主 要 取 决 于 人 口 增 长 率 等 不 可 控 因 素, 在 没 有 外 力 推 动 的 情 况 下, 经 济 体 系 无 法 实 现 持 续 的 增 长, 即 当 经 济 中 不 存 在 技 术 进 步 时, 经 济 最 终 会 陷 入 停 滞 状 态 下 面 我 们 将 索 洛 模 型 用 微 分 思 想 进 行 推 导 已 知 生 产 函 数 Y p t A K t t ( L ) t 其 中 s (n,s,d 分 别 为 劳 动 力 增 长 率, 储 蓄 率 和 折 旧 率 ) 令 Y f ( k) L, 人 均 产 量 L t ( n) Lt Yt It K t ( d) Kt It K 其 中 k 为 人 均 资 本 L 那 么 y At Kt ( Lt ) t f ( k) At k ; Lt 45

146 年 月总第 8 期 K L L K k ( n d )k ( n) I (n d )k sak L t t (d n)k sak t L L L (d n)k sf (k ) 图 索洛模型中的人力资本 k 有人口增长 通过微分推导 我们得到了人均资本 k 的变化 于是发现这里人均资本 k 最终是收敛 而稳定的 从模型中我们看出人口增长率 n 越高,人均资本的稳定值 k 越低 由于人均产量 yt 是人均资本 k 的正相关函数,和现实相符发现人口的增长将对人均产量 人民生活水平 具有负面的影响 此外 我们还可以从模型中得到的结论是折旧率对经济增长的影响 折 旧率越高 人均资本的稳定状态越低 最后可以看到在模型中 A 是广义的技术进步因子 索洛余值或综合要素生产率 索 洛和斯旺提出的新古典经济增长模型 避免了哈罗德 多马增长模型的刀刃性质 但不足 之处在于模型中最重要的增长源泉 A 却是外生给定的因素 换句话也就是说 不管怎样 假如技术 A 一定的话 经济都将最终收敛于一个以人均资本水平衡量的稳定状态 3 技术进步与新增长理论建立 微分积分综合运用 由于把技术 A 作为外生变量使索洛模型具有一定局限性 那么技术到底是什么 把它 作为一个变量 又是如何变化的 影响技术进步的因素又有哪些 如何运用微积分来度量 和推导这一系列影响经济增长因素之间的关系 显然 在索洛的模型中我们没能得到答案 从 世纪 8 年代末起 经济学家们开始更多地关注对技术 A 的解释 有关这方面的 研究现状仍在进行中 通常人们把 世纪 8 年代以后所形成的更关注于对技术 A 进行解 释的经济增长理论称为 新增长理论 3. 人力资本与卢卡斯模型 积分的应用 在新增长理论中 人力资本与技术 A 直接相关 从个人角度而言 人力资本是指存在 于个体中后天获得的具有经济价值的知识 技术 能力和健康因素等 从社会角度来讲 是指一个国家或地区的人口素质 新经济增长理论中十分强调人力资本在经济增长中的重 要作用 那么如何来衡量人力资本的多少呢 3.. 人力资本的量化 为了把人力资本引入模型 首先必须将人力资本量化 令 h 为一个公民的人力资本水 平 假定现在有 L(h) 个同质劳动力 他们具有相同的人力资本水平 h 这样我们记这 L(h) 46

147 年 月总第 8 期 个同质劳动力人力资本存量为 L(h)h 再假定他们用于工作的时间占总时间的比例为 u (h) 于是 这 L(h) 个同质劳动力用于生产的有效人力资本存量为 u(h) L(h)h 现在考察经济社会中具有不同人力资本水平的工人所具有的人力资本存量 记为 H 显然有 H L(h)hdh 与此同时 经济社会中用于生产的有效人力资本存量 N 为 N uhlhh ( ) ( ) dh 3.. 卢卡斯模型 将上面的有效人力资本存量 N 代入生产函数 写成 Yt akt [ u(h) L(h)hdh] ht 式中 a 和 都为大于 的常数 的引入意味着因平均人力资本提高而带来的外部 效应 又有一个问题是人力资本水平 ht 是怎么决定的呢 卢卡斯认为人力资本水平取决于受教育的时间 ut 和个人本身的人力资本水平 ht ht ( ut ) ht 由此我们得到了人力资本的增长率 g h,t ( ut ) 3. 新增长理论模型的微积分推导 我们假设 Y At Kt L t 其中 At ht gt ht ht ht Y f (k ) AL, k K, I sy dk AL 对 k 求导得 k K A L t t t t sy dk g n sf (k ) AL g n d k K A L K kal 得 k sf (k ) (n g d )k t 从我们用微积分导出的数学模型容易看出 新古典增长理论只考虑两个生产要素 资 本和劳动 而罗默及其同行加上了第三个要素 知识和技术, 这样, 经济科学就和信息时 代结合起来了 新增长理论对技术( 或知识) 的论述使得这一理论脱颍而出 47

148 年 月总第 8 期 首先, 新增长理论认为, 知识就如资本一样是一个生产要素, 它是 内生的,源于厂 商利润极大化的投资决策的努力, 因此, 尽管某些特定的技术突破( 或知识的出现) 或许 是随机出现的, 但技术( 或知识) 的全面增加是与人们为其贡献的资源成比例的 与此相 反, 新古典增长理论却认为技术是 外生的,是某种如此随机的 偶然的东西, 就象甘露 一样, 是从天上掉下来的 其次, 新增长理论认为, 知识( 或技术) 可以提高投资的收益, 具有递增的边际生产 率 这解释了为什么发达国家能够保持强劲的增长率而不会碰到新古典增长理论所预测的 这些国家的投资报酬递减的情况, 以及各国经济增长率的趋异现象 再次, 新增长理论认为, 存在一个投资刺激知识积累, 而知识积累反过来促进投资的 良性循环 这意味着, 投资的持续增加可以持续地提高一国的长期增长率, 而这是传统理 论所不能接受的 最后, 新增长理论认为, 知识发现或技术创新需要某种垄断权力 在传统的经济理论 中, 完全竞争 是准则, 垄断权力是一种严重的犯规 但罗默等新增长理论家则认为, 垄 断权力是有用的, 甚至是非常重要的, 因为它提供了导致厂商从事技术研究( 新知识发现) 的各种刺激,因为如果不让那些产生新思想的人对他们的思想拥有某些垄断权力的话, 那 任何人就都不愿意把他们自己的资源用到生产新思想上 假若一家厂商通过专利途径拥有 对某一新思想的垄断权力, 那就会厂商遍布整个经济的刺激, 使得其他厂商要么跨下去, 要么进行它们自己的探索发现 罗默进而强调, 许多种类的探索发现必须同垄断权力联系 在一起 4 微积分与宏观经济增长理论 不难发现 微分积分在宏观经济增长理论的构建过程中扮演了重要的角色 确实 数 学在经济中运用会使经济分析变得更加简洁 更加效率 数学在宏观经济增长理论中应用有三大优势 清晰 严密 深入 具体说来就是 第 一 前提假定用数学语言描述既清晰明了又精炼 省去了分析文字所耗费的精力 第二 逻辑推理严密精确 可以防止漏洞和谬误 第三 可利用已有的数学模型或数学定理推导 新的结果 摈除一切琐碎干扰 更深入的得到仅凭直觉无法或不易得出的结论 发现现象 之间更深层次的本质联系 运用数学模型讨论经济问题 可以不走或少走弯路 将讨论集 中于前提假设 论证过程及模型原理问题上来 从而避免了许多无谓的争执 也使得在深 层次上发现似乎不相关的结构之间的关联变成可能 当然 微积分的经济应用还有很多 远不止在经济增长模型理论中 在经济分析中 除涉及到高等数学的微积分外 还涉及到高等数学中的偏导数 微分方程 数学建模 精 算数学 最优化理论 几何问题 等等 因此 在当今国内外 越来越多地应用高等数 学知识 越来越多地将数学作为分析工具 使经济分析走向定量化 精密化和准确化 给 企业经营者提供客观 精确的数据和视角 这正是数学应用性的具体体现 现代经济学已 经表现出其强烈的数学化倾向 越来越多地借助于严密的数学语言 复杂的数学工具和先 进的数学方法 现代经济学的发展对其自身的逻辑和严密性提出了更高要求 这使得经济学与数学的 结合成为必然 参考文献 [] 宋德勇 许广月. 演化理论视角下现代经济增长理论的批判与重建[J].经济学家 9. [] 朱勇. 新经济增长论[M]. 北京 商务印书馆 999. [3] 赫尔普曼 王世华等译. 经济增长的秘密[M]. 北京 中国人民大学出版社 7. [4] 美 戴维 N 韦尔David N. Weil著 金志农 古和今译. 经济增长[M].北京 中国人民大学出版 48

149 年 月总第 8 期 社 7. [5] 庄子银. 高级宏观经济学[M]. 武汉 武汉大学出版社 4. [6] 费景汉 拉尼斯. 增长与发展 演进观点[M]. 北京 商务印书馆 [7] 王晓 单良. 现代经济增长理论的演进[J]. 价值工程 6 5 [8] Arrow. The Economic Implication of Learning by Doing[J]. Review of Economic Study 96 9: [9] Uzawa. Optimal Technical Change in an Aggregative Model of Economic Growth[J]. International Economic Review 965 6:8-3. [] Paul Romer. Increase Returns and Long-Run Growth[J]. Journal of Political Economy 986 Vol.94 No.5:-37. 数学原理在立法技术中的应用 丁宇 法学院 法学专业 895 摘 要 本文依据作者的法学专业知识 以数学原理在立法技术中逻辑性 合理性和高 效性三个方面的 3 个典型运用为例论述了数学思想和数学知识在法学领域的应用 对数学 原理的应用使得人们对法律制度等社会现象的研究真正成为一门科学 在法学领 域集中表现为对立法和司法过程严谨性和结果公正性的保障 关键词 立法技术 数理逻辑 定量分析 概率统计 分段函数 引言 立法是法制建设的前提和基础 一部法律是否科学完善 决定了它在颁布之后能否得 到有效实施 并对社会发展起到推动作用 因此立法机关通常会运用一定的立法技术 使 所制定的法律规范做到逻辑严谨 内容合理 务实高效 而这与数学学科的思维特点不谋 而合 因此无论是否出于自觉 立法技术在应用的过程中都会运用许多数学原理 本文即 从逻辑性 合理性和高效性三个方面 通过 3 个典型实例说明数学原理在立法技术中的应 用 逻辑性 运用数理逻辑构建法律体系 数学体系在构建的过程中首先规定了一些已经被实践所证实在一般条件下都成立的真 理 称为公理 同时对一些在数学领域具有普遍意义的基本规律予以承认 称为原理 公 理和原理都是不需要证明的 数学家们依据这些公理和原理证明出的真命题被称为定理 有时通过对大量事实进行归纳也可以获得一些真命题 这些真命题本身不是客观规律 但 实际上是客观规律的表现形式 被称为定律 以公理和原理为基础 以定理和定律为主要 内容的无数真命题及其相互关系形成了数学体系 法律体系由效力等级分明的众多规范性法律文件组成 立法机关在构建法律体系的过 程中就借鉴了数学体系的形成机制 他们首先制定宪法作为法律体系的总纲领 它以民意 为基础 规定了国家和社会生活的根本问题 宪法条文当然地具有最高的法律效力 是制 定和修改各部门法的法律根据 类似于公理 基础性的法学观点一旦被理论界和实务界接 受 对一部法律的制定 修改和实施具有指导作用 即成为该部法律的基本原则 类似于 原理 各部门法的条文依据一定的宪法条文和法律原则制定 对特定领域的社会关系进行 49

150 年 月总第 8 期 规范和调整 类似于定理 法律规范具有一定的保守性和滞后性 因此需要由法官对以往 判例中出现的特殊情形进行总结归纳 作出司法解释 从而使法律规范能够适应不断变化 的社会需求 司法解释的效力低于部门法本身 但实际上是部门法内部法理的表现形式 类似于定律 如我国宪法第 8 条规定 国家维护社会秩序 镇压叛国和其他危害国家安全的犯罪活 动 制裁危害社会治安 破坏社会主义经济和其他犯罪的活动 惩办和改造犯罪分子 全 国人大即依据该条制定了 中华人民共和国刑法 刑法学理论中的 罪责刑相适应原则 被理论界和实务界接受 成为我国刑法的三项基本原则之一 决定了我国刑法第 6 条关于 量刑的一般原则 问题的规定 并通过一系列司法解释得到补充和完善 一国法律体系通常以宪法 公理 为顶点 结合部门法基本原则 原理 在社会生活 的各个领域制定部门法 定理 并通过司法解释 定律 加以完善 法律规范具有分明的 效力等级 下位法的内容必须与上位法的相关规定保持一致 以保证法律规范之间逻辑清 晰 避免自相矛盾 法律体系的严谨性正是通过在立法技术中运用数理逻辑来实现的 3 合理性 定量分析我国的刑罚适用情况 刑罚在本质上是对犯罪分子的生命 自由 财产和某些资格等重大权益予以限制或剥 夺 其严厉程度远远超过其他法律制裁方式 因此为了保证刑法规范的合理性 在立法过 程中对刑罚适用问题的规定必须慎重 那么我国刑法对刑罚的适用是否得当呢 我们可以 从以下两个角度进行定量分析 3. 有害行为受到刑罚制裁的概率 如果一种行为被认为是有害的 那么行为人受到刑罚制裁的可能性有多大呢 我国刑 法对于犯罪和刑事责任规定了一系列成立要件 从不同方面对犯罪和刑事责任的认定进行 了限制 每个要件又包括多种情形 这些要件和情形如表 所示 表 犯罪和刑事责任成立的要件和情形 要件 行为性质 犯罪主体 犯罪客观方面 情形 裁量情节 一般违法行为 不成立犯罪 违反刑法的行为 正当防卫或紧急避险 不成立犯罪 无刑事责任能力 免予刑事处罚 有刑事责任能力 行为未产生危害结果 免予刑事处罚 行为产生了危害结果 刑罚概率 3 故意犯罪 犯罪主观方面 过失犯罪 从宽处罚 不可抗力事件 免予刑事处罚 意外事件 免予刑事处罚 犯罪预备 从宽处罚 从宽处罚 犯罪停止形态 犯罪中止 如主动采取措施防止了危害结果发生 可免予刑事处罚 犯罪未遂 7 8 从宽处罚 犯罪既遂 自愿实施犯罪 犯罪目的 被胁迫实施犯罪 从宽处罚 确实不知情 免予刑事处罚 5 3

151 年 月总第 8 期 各要件是否发生了能支持犯罪和刑事责任成立的情形与其他要件无关 因此我们可以 认定各要件相互独立 一个要件内部的所有情形构成了一个关于该要件的完备事件组 各 情形两两互不相容 因此根据独立性事件的定义 有害行为受到刑罚制裁的概率为各要件 刑罚概率的乘积 如果我们假定各要件内部所有情形发生的可能性相同 则刑罚概率如表 所示 那么我们可以求出有害行为受到刑罚制裁的概率的一个理论值 7 7 P(有害行为受到刑罚制裁 ) 也就是说 从理论上讲只有大约.43%的有害行为可能被认定成立犯罪 需要通过刑 罚予以制裁 而且其中有相当一部分可以适用从宽处罚 其他纠纷都通过民事诉讼 行政 诉讼等多种途径得到了解决 那么实际情况是怎样的呢 根据刑法学的犯罪构成理论 成立犯罪以行为侵害了刑法 所保护的特定社会关系为前提 而这些社会关系的数量是有限的 因此行为性质要件的刑 罚概率应低于表 中的 其他要件也不同程度地存在类似情况 因此概率的实际值应当 3 远远低于上文通过古典概型计算出的理论值 根据最高人民法院 年工作报告 年全国共判处罪犯 5. 万人 仅占人口总数的.7% 刑罚的适用被限制在一个合理的 范围内 传统的重刑主义认为只有多施刑罚以引起民众恐惧才能减少犯罪 其实不然 如果稍 有不慎便会身陷囹圄 那么社会公众一来会对刑罚制裁感到麻木 二来也会自觉抵制这样 的恶法 我国刑法在立法技术上运用定量分析和概率统计的方法确定了宽严适度的刑罚适 用范围 也正是基于这样的考虑 3. 成立特殊累犯的概率 所谓累犯 是指刑罚执行完毕或者赦免以后 在法定期限内又实施某些犯罪的自然人 我国刑法第 65 条规定对累犯应当从重处罚 成立累犯的法定期限一般为 5 年 但是特殊累 犯的成立不受这一限制 特殊累犯原指前罪和后罪均为危害国家安全罪的累犯 因为危害 国家安全罪的社会危害性极大 有必要对其累犯加重处罚 由于社会治安形势的变化 年颁布的刑法修正案 八 规定恐怖活动犯罪和黑社会性质组织犯罪也应当成立特殊累犯 一般认为一名累犯前后两次实施的犯罪在性质上并没有必然联系 是相互独立的事件 而我国刑法规定的每一类犯罪又分别包括数量不等的具体罪名 因此成立累犯从数学意义 上讲就是在这些具体罪名中有放回地选取 个作为一组 刑法修正案 八 颁布前后特殊累犯的成立类型如表 表 3 所示 表 原有的特殊累犯成立类型 前罪 后罪 危害国家安全罪 个罪名 危害国家安全罪 个罪名 表 3 刑法修正案 八 颁布后的特殊累犯成立类型 前罪 后罪 危害国家安全罪 个罪名 危害国家安全罪 个罪名 恐怖活动犯罪 个罪名 黑社会性质组织犯罪 3 个罪名 危害国家安全罪 个罪名 恐怖活动犯罪 个罪名 恐怖活动犯罪 个罪名 黑社会性质组织犯罪 3 个罪名 5

152 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 危 害 国 家 安 全 罪 ( 个 罪 名 ) 黑 社 会 性 质 组 织 犯 罪 (3 个 罪 名 ) 恐 怖 活 动 犯 罪 ( 个 罪 名 ) 黑 社 会 性 质 组 织 犯 罪 (3 个 罪 名 ) 由 于 是 有 放 回 地 选 取 个, 因 此 可 以 适 用 排 列 组 合 中 的 乘 法 原 理 求 得 : 我 国 刑 法 中 原 本 规 定 了 =44 种 特 殊 累 犯, 刑 法 修 正 案 ( 八 ) 通 过 后 特 殊 累 犯 增 加 为 (++3) (++3)=89 种 由 此 可 见, 刑 法 修 正 案 ( 八 ) 确 实 加 大 了 对 犯 罪 的 打 击 力 度 但 从 另 一 个 角 度 来 看, 我 国 刑 法 共 规 定 了 45 种 具 体 罪 名, 则 理 论 上 可 以 成 立 45 45=34 种 累 犯, 其 中 特 殊 累 犯 只 占 大 约.4%, 比 例 仍 然 极 小 我 国 立 法 机 关 通 过 这 样 的 立 法 技 术 既 扩 大 了 加 重 处 罚 的 范 围, 又 将 其 限 制 在 一 个 合 理 的 区 间 内, 切 实 贯 彻 了 国 家 宽 严 相 济 的 刑 事 法 治 政 策 和 依 罪 行 区 别 对 待 的 处 罚 原 则 4 高 效 性 : 借 助 分 段 函 数 确 定 纠 纷 解 决 方 式 我 国 法 律 规 定, 民 事 诉 讼 的 原 告 方 应 当 按 照 诉 讼 请 求 金 额 的 一 定 比 例 向 法 院 交 纳 案 件 受 理 费 根 据 我 国 诉 讼 费 用 交 纳 办 法, 民 事 诉 讼 案 件 的 受 理 费 按 照 表 4 所 示 的 比 例 实 行 分 段 累 计 交 纳 : 表 4 民 事 诉 讼 案 件 受 理 费 标 准 诉 讼 请 求 金 额 收 取 比 例 不 超 过 万 元 的 5 元 超 过 万 元 至 万 元 的 部 分.5% 超 过 万 元 至 万 元 的 部 分 % 超 过 万 元 至 5 万 元 的 部 分.5% 超 过 5 万 元 至 万 元 的 部 分 % 超 过 万 元 至 万 元 的 部 分.9% 超 过 万 元 至 5 万 元 的 部 分.8% 超 过 5 万 元 至 万 元 的 部 分.7% 超 过 万 元 至 万 元 的 部 分.6% 超 过 万 元 的 部 分.5% 根 据 这 一 规 定, 假 如 一 个 人 向 法 院 提 起 民 事 诉 讼, 要 求 获 得 被 告 方 一 定 数 额 的 赔 偿 金, 那 么 他 应 当 事 先 向 法 院 交 纳 多 少 费 用 呢? 由 表 4 可 知, 案 件 受 理 费 与 诉 讼 请 求 金 额 的 数 量 关 系 可 以 用 分 段 函 数 来 表 示 设 诉 讼 请 求 金 额 为, 案 件 受 理 费 为 y, 则 函 数 关 系 式 如 下 : 5, 5,.5%,, 5 9,.5%, %,, y 5 9,.5%, % 3,.5% 5,%,,.9% 3,,.8% 5,,.7%,,.6%,,.5%,, 根 据 这 一 分 段 函 数, 我 们 可 以 很 容 易 地 获 得 诉 讼 请 求 金 额 在 不 同 数 量 级 时 原 告 方 所 需 要 交 纳 的 案 件 受 理 费 以 及 实 际 的 交 纳 比 例, 如 表 5 所 示 : 5

153 年 月总第 8 期 表 5 需要交纳的案件受理费以及实际的交纳比例 案件受理费 诉讼请求金额 y 实际交纳比例 不超过 万元 5 元.5% 万 万元 5 5 元.5% 万 万元 5 45 元.5% 万 5 万元 45 9 元.8% 5 万 万元 9 4 元.4% 万 万元 4 3 元.5% 万 5 万元 3 47 元.94% 5 万 万元 47 8 元.8% 万 万元 8 4 元.7% 根据表 5 可以得出结论 对于原告方来说 要求 万元以上 万元以下的赔偿金实际 上很不合算 因为相比 不超过 万元 的诉讼请求 获得的赔偿金数量没有增加多少 案件受理费的交纳比例却增加了许多 那么能不能采取一些变通措施呢 基于上述考虑 全国人大常委会于 年制定了 中华人民共和国人民调解法 在 村委会 居委会和有需要的企事业单位设立人民调解委员会 解决民间纠纷 该法第 4 条 特别规定 人民调解委员会在调解纠纷的过程中不收取任何费用 这样 案情较简单的小 额财产关系案件可以通过人民调解而非诉讼来解决 法院可以集中精力解决人民调解委员 会无法解决的诉讼请求金额较大或案情复杂的财产关系案件 即使当事人已经提起了诉讼 法院也可以根据上述分段函数得出是否适宜改由人民调解的结论 并向当事双方提出建议 打官司一向被认为费时 费钱 费力 需要付出较高的社会成本 但我国立法机关基 于上述数学分析对立法技术进行改进 设置了一种新的非诉讼纠纷解决方式 保护了当事 双方的合法权益 减轻了法院的工作负担 有效地降低了司法成本 提高了司法活动的效 率 5 结语 数学原理为实现立法的逻辑性 合理性 高效性做出了重要贡献 法律职业者以此维 护了社会的公平正义 在立法技术中应用数学原理需要充分考虑到现实社会的复杂性 在 构建数学模型时应当对其中的变量加以分析 事实上 立法技术只是法学方法论中的一个 分支 数学原理在法学的其他领域同样发挥着重要作用 数学无处不在 它既奠定了自然科学的基础 又为社会的稳定与进步作出了重要的贡 献 对数学原理的应用使得人们对法律制度等社会现象的研究真正成为一门科学 数学之 美在法学领域集中表现为对立法和司法过程严谨性和结果公正性的保障 参考文献 [] 张文显主编 法理学 高等教育出版社 北京大学出版社 7 年第 3 版 [] 高铭暄 马克昌主编 刑法学 高等教育出版社 北京大学出版社 年第 5 版 [3] 王强军 特殊累犯裂变式增加的理性应对 载 国家检察官学院学报 年第 4 期 [4] 刘风景 法律方法 南开大学法学院讲义 [5] 中华人民共和国宪法 98 年 第 4 次修正 [6] 中华人民共和国刑法 997 年 第 8 次修正 [7] 中华人民共和国民事诉讼法 7 年 第 次修正 [8] 中华人民共和国人民调解法 [9] 诉讼费用交纳办法 [] 最高人民法院工作报告 年 53

154 年 月总第 8 期 生活中的趣味博弈论 刘金源 经济学院金融学 844 摘 要 博弈论是现代数学的运筹学中的一个重要分支 它在生活中的应用对人们的决策 具有举足轻重的影响 这篇文章通过对博弈论的概念 发展历程及其在生活中的有趣案例 的探讨 来学习博弈论并展现渗透于生活细节中的不可或缺的 关键词 博弈论 概念及简史 趣味案例 什么是博弈论 博弈 一词让我自然而然地联想到了中国的古老游戏 围棋 而姚国庆先生编着 的 博弈论 一书中是这样定义 博弈 的 博弈即指决策主体 个人 企业 集团 政 党 国家等 在相互对抗中 对抗双方或多方相互依存的一系列策略和行动的过程集合 明确了博弈的含义 博弈论的定义自然就浮出水面了 博弈论是专门研究博弈如何出现均 衡的规律的学科 亦名 对策论 赛局理论 不仅是应用数学的一个分支 也是运筹学 的重要学科 它主要研究公式化了的激励结构间的相互作用 是研究具有斗争或竞争性质 现象的数学理论和方法 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为 并研究它们的 优化策略 目前在生物学 经济学 国际关系学 计算机科学 政治学 军事战略和其它 很多学科博弈论都有广泛的应用 博弈的要素 ()参与者 是博弈中决策的主体 是理性人 即总是选择对自己最有利 的决策 行动 是参与人在博弈中的选择变量 (3)战略 表明在某种情况下如何行 动 即相机方案 4 支付函数 是参与人的期望效用函数 即不同的战略组合下所获得 的不同期望效用 5 信息 参与人有关博弈的知识 这些知识主要是 自然 一个虚拟 的参与人 的行动选择信息 参与人的战略空间和战略组合下的支付函数 6 次序 各 博弈方的决策有先后之分 且一个博弈方要作不止一次的决策选择 就出现了次序 问题 其它要素相同次序不同 博弈就不同 7 均衡 所有参与人的最优战略的组合 博弈论的发展简史 博弈论思想古已有之 中国古代的 孙子兵 法 就 不仅是 一部 军事 著作 而且算 是最早 的 一部博 弈论著 作 博弈 论最初 主要研 究象棋 桥牌 赌博中 的胜 负问 题 人 们对博 弈局势 的 把握只停留在经验上 没有向理论化发展 7 年德国数学家莱布尼茨预言了策略博弈 论出现的可能性及必然性 而博弈论真正萌芽于 世纪初 此时它研究对象主要是从竞争与游戏延伸 出的严格竞争博弈 即二人零和博弈 98 年 冯 诺依曼证明了博弈论的基本 原理 从而宣告了博弈论的正式诞生 944 年 冯 诺依曼和摩根斯坦共同撰写 的划时 代巨著 博 弈论 与经济 行为 将 二 人 图 冯 诺依曼 博弈 推广到 n 人博弈结构并将博弈论系统的 应用于经济领域 从而奠定了这一学科的基础和理论体系 年 约翰 福 布斯 纳什 John Forbes Nash Jr 利用不动点定理证明了均衡点的存在 为博弈 54

155 年 月总第 8 期 论的一般化奠定了坚实的基础 纳什的开创性论文 n 人博弈的均衡点 95 非合作博弈 95 等等 给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理 此外 塞 尔顿 哈桑尼的研究也对博弈论发展起到推动作用 今天博弈论已发展成一门较完 善的学科 3 生活中的博弈案例 3 酒吧博弈 有 个人很喜欢泡酒吧 这些人在每个周末 都要决定是去酒吧活动还是待 在家里休息 酒吧的座位是有限的 假定是 6 个 如果去的人多了 去酒吧的人会 感到不舒服 此时 他们留在家中比去酒吧更舒服 如果某人预测去酒吧的人数超 过 6 人 这人如何做出去还是不去的决定呢 这就是著名的"酒吧问题" 即少数人博 弈 这个博弈的前提条件做了如下限制 每一个参与者面临的信息只是以前去酒吧 的人数 因此 他们只能根据以前的历史数据 归纳出此次行动的策略 没有其它 的信息可以参考 他们之间更没有信息交流 酒吧问题所模拟的情况 都面临着这样一 个困惑 如果许多人预测去的人数超过 6 而决定不去 那么酒吧的人数会很少 这时候 做出的这些预测就错了 反过来 如果有很大一部分人预测去的人数少于 6 他们因此去 了酒吧 则去的人会很多 超过了 6 此时他们的预测也错了 因而一个做出正确预测的 人应该是 他能知道其它人如何作出预测 但是在这个问题中每个人预测时面临的信息来 源都是一样的 即过去的历史 同时每个人无法知道别人如何做出预测 因此所谓正确的 预测几乎不可能存在的 阿瑟教授通过计算机模拟和对实际人群的考察得到了两个不同的结果 计算机的结果 是 开始 去酒吧的人数是没有固定规律的 但是后来 去酒吧的人数很快稳定在 6 左 右 尽管每个人不是固定的去或者不去 可是对实际人群的观察却并非如此 而是呈有规 律的波浪形态 却难以稳定 这是因为人们并不像计算机那样完全理性 只能根据自己过 去经验采取策略 生活中有很多例子与这个模型的道理是相通的 股票买卖 高考填报志愿 交通 拥挤 以及 足球博彩 等等问题都是这个模型的延伸 在股票市场上 每个股民都在猜测其它股民的行为而努力使自己行为与大多数股民不 同 如果多数股民采取卖股票的行为 而你处于买的位置 此时供过于求 股票价格低 你就是赢家 而当你处于少数的卖股票的位置 多数人想买股票 供不应求 股票价格将 上涨 你将获利 在实际生活中 股民采取什么样的策略是多种多样的 他们完全根据以 往的经验归纳得出自己的策略 在这种情况下 股市博弈也可以用少数者博弈来解释 高考结束后很多学生填报志愿时是根据往年报考人数及录取分数线来选择学校的 若 前两年某校的报考人数很少 竞争压力小 录取分数线低 那么很多考生预测今年分数线 仍然较低而报考该校 结果分数线一反常态而飙升 高考滑铁卢 悲剧就上演了 同理 很多名牌大学录取线居高不下 致使很多考得还不错的考生望而生畏 选报其它高校 这 时又会出现令人追悔莫及的 高分落榜 现象 少数人博弈 还可以应用于城市交通 随着私家车数量激增 交通却越来越拥挤 在这种情况下 司机选择行车路线就变成了一个复杂的 酒吧博弈 问题 处在交通高峰 期时 一个司机为了避免堵车 根据以往经验选择了一个他预测会畅通的道路 然而在这 种情况下 可能很多其它司机也有同样的预测 结果本应畅通的道路很可能拥堵不堪 相 反 本来料想中拥堵的道路实际情形并没有那么糟 因此 经验丰富 善于灵活行事的司 机更有可能在行车的 少数博弈 中取得胜利 通过以上事例 我们不难发现 原来我身边处处有 酒吧博弈 啊 也许此时你就身 处这种博弈中呢 55

156 年 月总第 8 期 3. 重复博弈 诚信与合作的基础 所谓重复博弈就是条件 内容 规则相同的博弈重复进行多次 而且博弈双方在后续 的博弈中可以完全了解到博弈双方之前的各种行为 即信息是完全对称的 因此 重复博 弈涉及长远利益 如果博弈一方在前期博弈中存在欺诈行为 那么另一方必然会在后期博 弈中实行报复 为了避免两败俱伤的结局 在重复博弈中博弈双方通常会恪守诚信原则并 采取合作以求双赢 现实生活中很多博弈并不是一次就结束了 反而博弈双方的利益纠葛是长久相关联的 比如市场经济的健康良好运行离不开参与者的诚信 而诚信又来自买卖双方及卖方同行之 间的重复博弈 在竞争市场中同行业相似产品的价格基本上是一定且平稳的 如果其中一 家厂商通过降价来争取更大的市场份额 进而谋求高额利润 它在第一次的博弈中获胜 那么 在第二次博弈中同行业的其它厂商就会定下更低价格来报复第一家厂商 这样 重 复博弈的结果是这个行业的厂商谁也得不到好果子吃 因此 在经济平稳运行时 市场经 济的商品价格会保持在供需平衡点 而没有卖方试图降价来吸引更多买方 例如 我们学 校西南村市场上不同小贩的各类蔬菜 水果价格是一致的 同时 因为重复博弈的存在 也促进了市场准入机制的形成 即在市场中长期经营的商家信誉一般都是比较良好的 试 想 市场中的某家厂商出售的产品质量不好或是在出售过程中欺诈了消费者 开始时 由 于消费者尚未发现自己受骗 厂商会从中获利 但是 当消费者发觉了厂商的欺骗行为时 他们在以后的消费中定然不会选择该家厂商 这样 那些信誉差的厂商就必然会被市场淘 汰 而真正能长久经营下来的企业还是比较让人信得过的 三鹿奶粉不正是一个很好的例 子吗 之前的几十年里三鹿奶粉诚信经营 在国内奶粉市场上占有较大份额 然而 当竞 争加剧时 它没有通过改善经营策略或是提高产品质量的手段谋求利益 而是在奶粉中加 入三聚氰胺来坑害消费者 因此落得个 关门大吉 的下场 由此观之 在消费者和商家 的重复博弈中 诚信至关重要 当然 重复博弈也激发了合作的可能性 博弈一方为了自身的利益 通常会选择和另 一方合作 比如 美国的几家重要航空公司常常提供一两种特别促销机票 但是这样的打 折促销活动的持续期限都很短 这样的促销活动并不是真正地想要打价格战争夺更大的市 场份额 反而是为了发出竞争信号 是希望引起竞争对手注意并保持势均力敌 因为 在 几家航空公司的重复博弈中 他们遵守着这样一个潜规则 如果一家航空公司提高票价 那么其他的航空公司也会提价 如果一家航空公司促销 那么其他的航空公司也会促销 换言之 他们都恪守着 人不犯我我不犯人 人若犯我我必十倍以还之 也可以说 己所 不欲勿施于人 的黄金法则 正是这种报复的威胁使各家航空公司很默契地维持机票价格 居高不下 垄断组织中卡特尔的形成也是重复博弈中达成合作的实例 比如为了能够有效 对抗日益强大的搜索引擎巨头谷歌公司 微软在整体收购雅虎的尝试失败之后 改为寻求 与雅虎进行搜索业务的合作 今年 7 月 微软宣布与雅虎达成一致 并就搜索业务签署了 一份长达十年的合作协议 还有蒙牛公司和伊利公司是生产牛奶和酸奶的两大巨头 虽然 是竞争对头 但同时它们却也是合作伙伴 从来不打价格战 在同一时期先后推出新产品 并且价格相差甚微等 这种无形的合作为两个企业谋求了不少利润 因此 聪明的企业管 理者是会在恰当的时机选择和对手合作以求双赢的 由重复博弈引发的合作在自然界中也比比皆是 那些群居动物彼此分工 各司其职 相互协助 井然有序地生活着 并没有谁擅自离职打破这种和谐 这是因为任何想谋求私 利的一员一旦做出损害集体利益的事 都会被集体其他成员惩罚 从长远来看这是得不偿 失的 比如蚁群中工蚁在发现食物后不会独吞 而是会搬回巢穴或是做下标记找同伴一起 搬运回去 蜜蜂发现花粉后不独享 通过舞蹈通知同伴 雌雄同体的黑纹石斑鱼交替产卵 却从不欺诈同自己配对的雄性个体 正是这种合作的存在 我们赖以生存的自然界才这么 和谐 56

157 年 月总第 8 期 4 小结 实际上博弈无处不在 无时不在 鹬蚌相争渔翁得利 螳螂捕蝉黄雀在后 政 治中党派在政权之间的博弈 市场经济中买卖双方的博弈等等 人人都处在博弈之中 只 不过策略有高低 博弈分胜负罢了 而在我眼里博弈论是个奇妙的理论 它从我们的实际 生活中演变出来 但又经过发展以更加科学合理的方式解释和指导我们的行为 囚徒 困境 在商业中引发价格大战 智猪博弈 中的搭便车行为为中小企业赢得一席之地 重 复博弈 奠定社会诚信与合作的基础 少数人的酒吧博弈 激发人们决策的理性思维 因 此 灵活运用博弈策略既可以让企业管理者制定更合理的企业发展战略 又可以引导个人 做出更理性的决策 参考文献: []姚国庆.博弈论.南开大学出版社.3 年出版 []申志娟.生活中的博弈.天津科学技术出版社.8 年出版 [3]哈尔.R.范里安.微观经济学 现代观点.格致出版社 [4]百度百科 一元线性回归理论 模型及算例 邢雅楠 南开大学滨海学院 金融学系金融学专业 9974 摘 要 本文首先回顾了一元线性回归的理论及其模型的建立方法 一般情况下 当实 际问题的观测数据呈现为线性或近似线性且只有一个自变量时 可以考虑利用一元线性回 归建立该实际问题的经验公式 从而可以通过该公式 也即数学模型 对该实际问题的规 律进行更深入的研究 或者进行预测 但是很多情况下 实际问题的数据是非线性的 对 于一些常见的不太复杂的非线性问题 我们可以通过变换 将其转化为线性问题后再利用 一元线性回归来处理 本文的主要工作是就后一种情况通过非线性实际例子进行了实证计 算及分析 关键词 一元线性回归模型 非线性问题 经验公式 一元线性回归的理论及其模型介绍. 回归分析简介 在我们所处的客观世界里 不同变量之间普遍存在一定的关系 实际问题中 通常需 要确定不同变量之间的关系 然后通过已知的变量去预测另一未知变量的值 回归分析是 研究各变量间相互关系的一种统计方法 所谓回归分析 是指对具有相关关系的变量之间的数量变化规律进行测定 研究某一 随机变量 因变量 与其他一个或几个普通变量 自变量 之间的数量变动关系 并据此 对因变量进行估计和预测的分析方法 由回归分析求出的关系式 称为回归模型 也称之为经验公式 回归模型可以有多种分类方法 例如 按模型中自变量的多少 可以分为一元回归模 型和多元回归模型 按模型中参数与被解释变量之间是否为线性关系 可以分为线性回归 模型和非线性回归模型. 一元线性回归模型 当回归模型中只涉及一个自变量时称为一元回归模型 若因变量 y 与自变量 之间为 57

158 年 月总第 8 期 线性关系则称之为一元线性回归模型 对于具有线性关系的两个变量 可以用一个线性方 程来表示它们之间的线性关系 设 y 为因变量 为自变量 且设 y 与 之间存在某种线性关系 则一元线性回归模 型为 y u 其中 常数, 是待定参数 u 通常称为随机扰动项 给定 (, y ) 的 n 对观测值 ( i, yi ) i,,, n 代入式 得到经验回归方程 yi ˆ ˆ i ( i,,, n ) 式 一般称之为样本回归模型 一元线性回归模型的建模方法及步骤 一元线性回归模型的建立与分析步骤 可以用图 来直观地予以表示 问题假设 模型 图 参数估计 模型检验 确定方程 预测 一元线性回归模型建模流程 在上述建模流程的第 个方框中 需要先利用观测值在直角坐标系中绘制出散点图 借助散点图可以基本判定两个变量之间呈现的是线性或近似线性关系 还是非线性关系 对于一元线性问题 为求得其回归方程 y ˆ ˆ 中的回归系数 ˆ, ˆ 通常采用最小二乘方法 其推导过程如下 设 n Q( ˆ, ˆ ) ( yi ˆ ˆ i ) i 显然 Q 是以 ˆ, ˆ 为自变量的二元函数 根据二元函数求极值的理论 我们将 Q 对 ˆ, ˆ 求偏导数 并令其等于零 可得 n Q ( yi ˆ ˆ i ) ˆ i n Q ( y ˆ ˆ ) i i i ˆ i 整理后有 n ˆ ˆ n n yi i i i n n n ˆ ˆ y i i i i i i i 解上述方程组 可求得 ˆ, ˆ 的解析表达式 58

159 年 月总第 8 期 n n n n y i i i yi L y i i i ˆ n L n n i i i i n n yi i ˆ i i ˆ y ˆ n n 下面是假设检验 系数回归估计量的检验采用 t 检验 假设回归系数估计量服从 正态分布 n i ˆ ~ N, n i n ( i ) i ˆ ~ N, 用 的无偏估计量 ˆ n ( i ) i n ( yi ˆ ˆ i ) 来代替 时 可以构造 t 统计量 n i ˆ ˆ t S e ( ˆ ) ˆ, n i i t ˆ S e ( ˆ ) ˆ n i i n n ( i ) ˆ i 所构造的 t 统计量服从自由度为 n 的 t 分布 即 t ~ t (n ) t 检验的步骤(以估计量 为例)如下 ①提出假设 H : 无线性关系 H : (有线性关系) ②给定显著性水平 查 t 分布表获得临界值 t (n ) 59

160 年 月总第 8 期 ③根据下式 利用样本数据计算检验统计量 t 的值 t ˆ ˆ Se ( ˆ ) ˆ n i i ④进行比较 做出判断 若 t t (n ) 差异显著 拒绝原假设 接受备择假设 若 t t (n ) 差异不显著 接受原假设(见图 ) P(t) / / -t / 图 t / o 阴影部分为 t 检验的否定域 ⑤应用所求回归方程对试验指标预测和控制 预测就是利用已含有过去和现在的样本数据或信息拟合的回归模型 对被解释变量的 可能值做出定量的估计 根据预测模型可以在给定 的条件下 求得 y 的估计值 即进行 点预测 例如 若给定 i, i,,, n 则可由经验回归方程给出相对于 的 y 的 预测值 y ˆ ˆ. 此外 对于自变量 的一个给定值 我们进一步可以得到与之相应的 y 的一个估计 区间 E ( y ) 在 置信水平下的置信区间为 y t (n ) S y n n i i 其中 S y 为估计的标准误差 3 非线性问题的线性化处理 若通过对散点图的观察 发现 y 与 不是线性关系 例如对于双曲线型和幂函数 可 以通过下述方法将 y 与 变换为线性关系 双曲线 b a y 令 y y 则得到线性方程 6

161 年 月总第 8 期 y a b 幂函数 y c b c 取对数得 ln y ln c b ln 令 y ln y a ln c ln 则得到线性方程 y a b 4 算例及其分析 例 线性关系的例题 中国农村居民收入与支出的研究 在本例中 我们选取了 年 中国统计年鉴 提供的资料 经过整理 获得 以下农村居民人均消费支出和人均纯收入的数据如表 其散点图见图 3 表 农村居民 人均纯收入和人均消费支出数据资料 年度 人均 收入 人均 支出 单位 元 图 3 XY 的散点图 现在 我们依据散点图展示出的近似直线分布来建立一元线性回归模型 以农村居民人均纯收入为解释变量 农村居民人均消费支出为被解释变量 y 分析 y 随 的变化而变化的因果关系 考察样本数据的分布并结合有关经济理论 建立一元线 性回归模型如下 yi yˆ i ei ˆ ˆ i ei 根据表 编制计算各参数的基础数据计算表 求得 n n i i y 74.8 i yi

162 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 n y i i , i i 根 据 以 上 基 础 数 据 求 得 : n y n i i i ˆ i n i i, ˆ y ˆ , 于 是, 样 本 回 归 方 程 为 : y 接 下 来 我 们 进 行 模 型 检 验 n n ˆ yi i i i ˆ n i ˆ ˆ ˆ Se( ) Var( ).496 n , e i n i i Var n i ˆ ˆ S ( ) ( ) ˆ 在 显 著 性 水 平.5, n 8, 查 t 分 布 表, 得 到 : t ( n ).36 提 出 假 设 : 原 假 设 为 进 而 算 得 : H, 备 择 假 设 为 ˆ ˆ t ( ).67864, ( ˆ ).496 S e t( ˆ ) t ( n ), 由 于 差 异 显 著, 故 拒 绝 : H : H 的 假 设, 而 接 受 备 择 假 设 H :, 即 农 村 居 民 收 入 6

163 年 月总第 8 期 与支出之间存在显著的线性关系 利用上面已经建立起来的线性回归模型 下列我们可以尝试进行预测 不妨假设当农村居民家庭人均纯收入增长到 35 元时,对农村居民人均消费支出的预 测值如下: y 元 ( ) ( ) Se (e ) ˆ n ˆ n n n i i i i ( ) 在显著性水平.5 n 8 时 t.5.36 从而 y t Se (e ) (元) y t Se (e )= =67.4(元) P 8.4 y % 当农村居民家庭人均纯收入增长到 35 元时 农村居民人均消费支出在 8.4 元至 67.4 元之间的概率为 95% 例 双曲线关系的例题 美国小时收入与失业率问题 本例中选取了美国 年间小时收入指数 y 与城市失业率 的数据 用回归分 析法解释二者之间的关系 具体数据参见表 表中 代表城市的失业率 y 代表小时收 入指数 其散点图见图 4 表 美国小时工资指数年变化的百分比与失业率的数据 % 年份 y 图 4 XY 散点分布图 63

164 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 由 于 其 散 点 图 ( 见 图 4) 呈 现 约 为 双 曲 线 形 状, 因 此 本 文 采 用 前 述 方 法, 将 数 据 通 过 变 量 代 换, 转 化 为 线 性 关 系, 即 令 z, 则 通 过 最 小 二 乘 法, 得 到 关 于 变 量 y 和 z 的 线 性 模 型 为 y z, 再 将 原 变 量 代 回, 则 最 终 得 到 本 问 题 的 数 学 模 型 y 应 用 该 模 型 进 行 预 测, 当 收 入 指 数 y 为 6.7 时, 城 市 失 业 率 约 为 3.5 例 3 幂 函 数 关 系 银 的 光 学 密 度 问 题 在 彩 色 显 像 技 术 中, 考 虑 析 出 银 的 光 学 密 度 与 形 成 染 色 光 学 密 度 y 之 间 的 相 互 关 系, 其 中 个 样 本 数 据, 如 表 3, 其 散 点 图 见 图 5 表 3 银 的 光 学 密 度 与 形 成 染 色 光 学 密 度 数 据 y 图 5 XY 散 点 分 布 图 根 据 这 个 样 本 数 据 点 (, y ), i,,,, 作 出 散 点 图, 见 图 5 i i 从 散 点 图 上 易 见, 这 些 数 据 点 在 一 条 近 似 于 幂 函 数 曲 线 的 周 围 根 据 有 关 专 业 知 识, 结 合 散 点 图 可 以 认 为, 曲 线 大 致 为 ye (, ), 对 上 式 两 边 取 对 数 ln y ln 令 y ln y,, a ln, b, 即 有 y a b, 于 是 变 量 y, 相 应 的 变 换 成 变 量, y 新 变 量 的 变 化 后 的 数 据 见 表 4 64

165 年 月总第 8 期 表4 相应于变量, y 的数据 y 根据变换后的数据点 ( i, yi ) ( i,,, )画出散点图,见图 6 图6 XY 散点分布图 从散点图可以看出 与 y 具有线性相关关系 因此用一元线性回归分析 利用一元线性 回归的方法可以计算出 与 y 的经验回归方程为 y.58.5 这里 a.58 b.5 所以 ea e.58.79, b.5 最后 可求得, y 之间相关关系的一个经验公式 y.79e.5 5 总结 5. 关于一元线性回归模型及其方法的应用心得 一元线性回归模型是一类重要的回归模型,体现了回归分析的基本思想和基本方 法 一元线性回归模型是其他非线性模型建立和研究的基础 一些非线性回归问题可 以通过转化为一元线性回归模型解决 3 一元线性回归模型是一种理想的状态 在现实中基本不存在 在现实中只能先从 整体中抽取一个样本 获得样本回归函数 并对它的回归函数进行推断 5. 撰写论文的收获 在完成老师布置的这篇论文的前前后后 不但大大加深了我们对课本重点内容的认识和 65

166 年 月总第 8 期 理解 也切实提高了我们的动手解题能力 一元线性回归理论及其模型是大家很熟悉的基础性知识 看似很容易理解和掌握 但 是 在实际应用和操作时 我们仍会遇到不少困难 发现自己在理解基本概念 基本理论 和基本方法上存在许多欠缺 尤其是对于一些细节问题 缺乏深入的理解 如在模型检验 过程中 涉及到正态分布 t 分布 单侧检验 双侧检验等概念及其方法 而在应用时才 发现把这些知识弄懂并不容易 正是 不用不知道 一用吓一跳 就是说 把书本知识变 成自己的实际能力是需要付出十分的努力的 而只有当把书本知识真正变成自己的实际能 力时 书本知识才是有意义的 此外 在撰写论文的过程中 我们还学会了 Ecel 软件的使用 如计算 绘图 公式 编辑等功能 对论文格式的规范性也有了更多的了解 总之 通过撰写论文使我们受益匪 浅 参考文献 []姜启源,邢文训,谢金星,杨辉.大学数学实验.清华大学出版社,北京,5. []章栋恩,许晓革.高等数学实验.高等教育出版社,北京,4. [3]吴孟达,李兵,汪文浩.高等工程数学,科学出版社,北京,4. [4]项静恬,郭世琪.多元回归模型在实际应用中的几种推广,数理统计与管理,944. [5]韦博成.近代非线性回归分析,东南大学出版社,989. [6]唐鸿龄等.应用概率,南京工学院出版社,986. [7]何迎晖,闵华玲.数理统计,高等教育出版社,98. 某专业两门课程考试成绩的统计分析 付冬冬 南开大学滨海学院 外语系 日语外经贸翻译专业 999 摘 要 本文选取了某专业学生高等数学和微观经济学两门课程期末考试成绩作为样本 数据 运用统计学中的均值分析和方差分析等方法 试图通过这两门课程的考试成绩对该 专业学生的学习状况做一些初步分析与推测 当然 仅仅通过两门课程的一次考试成绩所 做的分析与推测难免有失偏颇 因此本文所做工作只是一种初步探索 为今后进行真正有 参考价值的分析积累经验 关键词 统计 考试成绩 均值 方差 极差 引言 作为一种尝试 本文在学校有关部门领导的支持下 取得了我校某专业已毕业学生高 等数学和微观经济学两门课程的考试成绩 运用简单的统计方法 对这两门课程的考试成 绩分别计算出了均值 标准差 极差 中位数 众数 优秀率 不及格率 最高分及最低 分等统计学指标 之后 通过对这些计算结果的比较与研究 试着推测该专业学生在学习 这两门课程过程中的总体情况以及可能遇到的困难等等 并据此提出一些建议 本文所做 的工作虽然是很初步的 但作者却体会到统计学的理论及其方法的确是很有用的 统计指标简介 所谓统计描述是指对由试验或调查所获得的资料进行整理 归类 计算出各种用于说 明总体数量特征的数据 并运用图形或表格的形式将它们显示出来 本文主要涉及到下列 统计指标 66

167 年 月总第 8 期 统计平均数 统计平均数可以用来表示社会经济现象总体各单位某一标志在一定时间 地点条 件下所达到的一般水平 具体到本问题 期末考试成绩的平均数便可以用来反映该专 业每个学生学习相应课程所达到的一般水平 在本问题的研究中 采用了算术平均数 来计算统计平均数 其公式为 n i. n i 方差 或标准差 n 方差或标准差是测定标志变异最常用的指标 它们利用了 ( ) i i min 的数 学性质 因此是测定标志变异最灵敏的指标 在未分组情况下 方差与标准差的计算公式 分别为 n ( i ), n i n ( i ) n i 3 极差 极差也称全距 是最简单的变异指标 它是统计总体中两个极端标志值之差 表 明总体中标志值变动的范围 若用 R 表示极差 则 R ma min 4 中位数 中位数是将总体各个单位按其标志值的大小顺序排列 处于数列中点的那个单位的标 志值 中位数的概念表明 在总体中 标志值小于和大于中位数的单位各占一半 用中位 数来代表总体标志值的一般水平 可以避免数列中极端值的影响 当总体单位数 n 为奇数 时 中位数位置为 n 当总体单位数 n 为偶数时 中位数是处于中间位置的两个单位标 志值的算术平均数 5 众数 众数是指社会经济现象总体中最普遍出现的标志值 众数是具有明显集中趋势的数值 从几何上看 众数就是对应曲线的最高峰所对应的标志值 统计计算结果. 统计数据 两门课程的考试成绩 表 列出了该专业高等数学 C 微观经济学 C 两门课程的考试成绩 表 某专业高数与微观经济学课程考试成绩 序号 C C 序号 C C 序号 C C 序号 C C

168 年 月总第 8 期 统计计算结果 对表 给出的统计数据 本文利用 Microsoft Office Ecel 3 分别计算出该专 业高等数学 C 微观经济学 C 两门课程考试成绩的各项统计指标 见表 表 某专业高等数学与微观经济学课程考试成绩统计指标 统计指标 高等数学 C 微观经济学 C 平均数 方差 最高分 最低分 极差 中位数 众数 优秀率 33.93%.7% 及格率.% 99.9% 注 成绩大于等于 6 分即为及格 成绩大于等于 85 分即为优秀 3 分析与推测 3. 结果分析 68

169 年 月总第 8 期 根据统计结果 可以大致形成以下分析 从平均数 最高分 最低分 极差 中位数 众数以及优秀率和及格率上看 该 专业学生的高等数学成绩优于微观经济学成绩 由此我们可以推测 学生们对于高等数学 的掌握普遍要比微观经济学好 从方差上看 高等数学考试成绩的方差为 6.5 大于微观经济学考试成绩的 方差 7.7 由此我们可以得出如下判断 即学生们的高等数学考试成绩波动较大 3 从众数上看 高等数学考试成绩的众数 6 分小于微观经济学的众数 66 分 但是 高等数学的最低分 6 分大于微观经济学的最低分 49 分 由此我们可以看出 该专业学生 的高等数学集中性成绩虽然要比微观经济学的低 但是由于高等数学的最低分 6 分等于众 数 6 分 而微观经济学的最低分 49 分低于众数 66 分 所以在高等数学上低分的同学全都 及格 但是微观经济学上存在低分同学不及格的现象 3. 若干推测 由以上三条分析 我们做出以下推测 高等数学是市场营销专业学生学好经济类学科的基础性课程 可能同学们对高等 数学的重视程度要高于微观经济学 微观经济学的内容对大多数刚刚进入大学的同学们来 说可能比较生疏 什么公司 利润 成本等等对于未接触社会的学生们来讲 这些术语是 陌生的 所以接受起来反而比看上去难度更高的数学困难更大些 某些同学可能考虑到学 分的问题 高等数学的学分比微观经济学的学分多 同学们可能把更多的精力放在了高等 数学上 综上原因 学生们对于高等数学的掌握程度普遍要好于微观经济学 由于大学的高等数学较以前中学阶段所学的初等数学难度较大 一些同学出于某 种动力的驱动如考研 因而在数学学习上投入而另一些同学由于学习上困难较大 优生与 差生的数学基础差距较大 而微观经济学理论性的东西较多 对同学们的学习基础要求较 少 所以高等数学的成绩比微观经济学的成绩波动较大 3 由于高等数学的难度较微观经济学的难度高 一部分同学学习比较吃力 但其学 分又较高 所以对自己的要求仅是及格就行 而微观经济学记忆性东西较多 对大多数同 学来说分数比较容易得 所以高等数学集中性的分数要比微观经济学的低 3.3 几点建议 基于以上分析 我们试着提出以下一些建议 对于高等数学课程 我们的建议是 要继续使学生们保持对高等数学课程的学习兴趣 并且应该加大训练力度 帮助成绩较低的同学找出自己成绩差的原因 实现有针对性的个性化辅导 逐步 提高这些同学的高等数学课程成绩 3 倡导和推广好的学习方法 例如做好预习 课后要做好归纳总结等 4 对于两极分化现象明显的问题 从学校和教师来讲 应考虑如何将低端逐步提高 上来 对于微观经济学课程 我们的建议是 首先要引导同学们重视微观经济学课程 明确学习该课程的目的和意义 老师在传授知识的同时应当注意联系实际 避免因枯燥的课本知识而影响学生学 习的积极性 3 对于同学们来说 通过一定量的课外阅读 或者在有条件情况下可以深入到实际 部门接触社会 接触实际 从而使自己对那些生疏的经济学概念有比较深的理解 参考文献 []陈珍珍主编 统计学 厦门大学出版社 年 6 月第 版. []戴瑛等 文科数学基础 第二版 高等教育出版社 9 年 月第 版. 69

170 年 月总第 8 期 数学中的美 编辑点评 完全数是所有真因子之和等于其自身的正整数 关于完全数的文章过去本 刊也曾经发表过 但是这篇文章视角独特 分析深刻 该文不但介绍了欧几里 得在 几何原本 中给出的一个判别完全数的定理 而且介绍了之后的一千多 年用此定理寻找完全数的历史 然后 文章又从几个不同的角度推广了完全数 要想推广一个概念 就要理解和抓住这个概念的本质 而从几个不同的角度去 推广 就需要从不同的角度去理解和揭示这个概念的本质 所以读者阅读这篇 文章 不但可以从内容中吸取营养 还可以从 推广 的思路方面吸取营养 编辑部欢迎的文章 不是大而全的文章 而是在某一点上分析比较深刻的 文章 该文的写法可以供大家参考 完全数的发现及其概念的推广 赵林杰 数学学院 数学类 96 摘 要 毕达哥拉斯说 万物皆数 普罗克洛斯也说 哪里有数 哪里就有美 用欣赏 的眼光来看待这些数 对于培养我们对数学的浓厚兴趣 有着重要意义 关键词 完全数 概念推广.完全数的发现 我们称一个数为完全数 如果它的所有真因子之和等于它本身(如 6 3 则我 们称 6 为完全数) 完全数也被称为完美数 perfect number 完满数 完全数最早是由古希腊毕达哥拉斯学派提出的 并且他们还发现了 6 3 和 这两个完全数 公元前 3 年 欧几里得在 几何原本 中给出 了一个判别完全数的定理 如果 n 是一个素数 则 为 n n ( n ) 是一个完全数 这是因 ( n ) 的全部真因子为,,..., n, n, n,..., n n 它们的和正好为 n n n n n 例如 对于 6 和 8 相当于 n 分别取 和 3 根 据欧几里得的相应定理 寻找完全数的过程 可以简化为寻找一个 n,使得 n 是一个素 数的过程 从此以后 我们就在这种方法的指引下 开始了一段寻找完全数的曲折之旅 456 年 一份匿名手稿里记载了 3 - 是素数 由此得到 是 完全数 63 年意大利数学家卡塔尔迪在他的著作 论完全数 中证实了 7 和 9 也是素数 这样我们就又得到了两个完全数 即 和 年梅森提出猜想 当 n,3,5,7,3,7,9,3,67,7,57 这 个素数时 n 是素数 这也就是说 若其结论属实 那么我们就已经发现了 个完全数 其中前七个数已经被前 7

171 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 人 给 出 证 明, 但 由 于 后 几 个 数 位 数 很 大, 验 证 很 困 难, 所 以 无 法 辨 别 其 真 伪 直 到 77 年 欧 拉 在 双 目 失 明 的 情 况 下 用 心 算 证 明 了 5 是 一 个 素 数, 我 们 才 得 到 了 第 8 个 完 全 数 876 年 法 国 数 学 家 吕 卡 进 一 步 证 明 了 7 是 一 个 素 数, 至 此, 人 们 惊 叹 于 梅 森 的 远 见 卓 识, 并 对 他 的 猜 想 深 信 不 疑 为 了 纪 念 梅 森 的 卓 越 贡 献, 当 时 人 们 将 形 如 n 的 数 称 为 梅 森 数, 将 形 如 n 的 素 数 称 为 梅 森 素 数 值 得 玩 味 的 是,7 年 后, 即 93 年 在 美 国 数 学 会 召 开 的 年 会 上, 一 位 叫 科 尔 的 数 学 家 做 了 一 个 别 致 的 发 言 他 一 声 不 吭 地 在 黑 板 上 写 下 了 他 的 演 算 过 程, 最 终 黑 板 底 部 出 现 一 个 式 子 : 与 会 人 员 在 短 暂 的 沉 默 之 后, 霎 时 爆 发 出 雷 鸣 般 的 掌 声 就 这 样, 科 尔 否 定 了 梅 森 关 于 第 9 个 数 是 素 数 的 猜 想 从 此 以 后, 人 们 不 再 盲 从, 而 是 重 新 审 视 了 梅 森 的 猜 想 值 得 一 提 的 是, 在 科 尔 之 前, 也 就 是 883 年, 佩 尔 森 发 现 了 6 是 一 个 素 数 也 就 是 说, 梅 森 漏 掉 了 一 个 素 数 随 着 计 算 机 的 发 展, 寻 找 梅 森 素 数 的 脚 步 大 大 加 快, 截 止 到 6 年, 我 们 一 共 发 现 了 44 个 梅 森 素 数 具 体 见 下 表 : 表 梅 森 素 数 的 序 号 及 相 应 的 N 值 序 号 N 值 序 号 N 值 这 样 到 6 年, 一 共 发 现 了 44 个 完 全 数 但 是, 通 过 审 视 完 全 数 的 发 现 过 程, 我 们 会 发 现 我 们 都 是 按 照 欧 几 里 得 的 方 法 寻 找 完 全 数 的 那 么 还 有 没 有 其 他 形 式 的 完 全 数 呢? 7

172 也就是说 完全数一定是以 年 月总第 8 期 n ( n ) 的形式出现的吗 如果不是 为什么在一千多年的 寻找中 这样的完全数迟迟没有现身呢 鉴于作者水平有限 此问题就请读者帮忙探索吧! 事实上 完全数除了具有 所有真因子之和等于本身 这一完美的性质之外 还有许 多其它美妙的性质 例如它们都是连续整数之和 6 3, 都是等比数列之和 6 4, 等 3 6 全部因子倒数之和等于.概念的推广 道家有言 一生二 二生三 三生万物 具体到数学方面就是说 当我们提出一个 概念 并对这一概念有所深化之后 便再不仅仅局限于这一个概念 而是在这一概念之上 有目的 有根据 有条理地推导出其他一些概念 推广 是学习数学必不可少的思维方式 现在让我们再回头看一下完全数的概念 我们可以得到以下信息 完全数是针对一个 数而言的 完全数的真因子之和 而不是乘积 等于它本身 的一倍 根据这两条信息 我们显然可以做出更进一步地推广. 数的个数的推广 完全数的定义中 只针对一个数 如果我们涉及到了多个数呢 显然我们很容易想到 两种情况 情况一 我们拿三个数来举例 不妨把这三个数记为 A, B, C 每一个数的真因子之 和等于另两个数之和 我们可以感觉得到 这样的数组是很难发现的 但不可否认 这样 的数组是存在的 如果这类数组不存在的话 这个概念就是毫无意义的 因此我们在做概 念推广的时候要考虑到其存在性 如 情况二 此时 我们不仅仅局限于三个数 而是 N 个数 A 的真因子之和等于 B, B 的 真因子之和等于 C, C 的真因子之和等于 D......经过若干轮之后 我们又回到了 A 这 样的数我们称其为 自循环数 例如 496 的真因子之和为 的真因子之 和为 5 47 再往下是 再是 4 64 而它的真因子之和恰好是最开始的数 496 这样我们就完成了一个循环 并且它们是一个 5 轮的循环数 我们提到的完全数 显然是一个 轮的循环数 如果允许我们这样表达的话 根据这种算法 我们又有疑惑了 任何一个自然数经过这样的循环后是否一定能回到自身呢 显然不是这样的 如 8 的真因 子之和为 7 4, 7 的真因子之和就是 了 并且接下来我们无论如何也回不到 8 了 7

173 年 月总第 8 期. 运算法则的推广 完全数的定义中涉及的是 真因子之和 如果我们把它改为 真因子之积 呢 因而 我们有以下定义 如果一个数的所有真因子之积等于它本身 我们就称它为 黄金数 姑 且这样称之 显然黄金数也是存在的 这样这个概念就是有效的 如 都是黄金数 这样一来 我们又有疑问了 黄金数是有限的还是无限的 如 果是无限的话 有没有一种方法可以帮助我们方便快捷地找到下一个黄金数呢 如果是有 限的 我们能把它们完全列举出来吗 反观完全数的发现历史 我们当然也希望存在一个 类似于欧几里得定理一样的定理 来帮助我们简化黄金数的寻找过程 有一个事实是显而 易见的 如果一个数可以分解为两个素数之积 则这个数是黄金数 这样我们就回答了上 面提到的问题 即黄金数有无穷多个 因为素数有无限多个 但是 并不是所有的黄金数 都可以分解为两个素数之和 也就是说 上述事实并不能概括完所有的黄金数 如 8 就不 能分解为两个素数之积 我们继续打破砂锅问到底 除了 8 之外 还有其它不满足上述事 是素数 实的黄金数吗 答案是肯定的 因为我们考察 8 时发现 的 n 次方 而这里的 n 恰好满足 n 3... n 我们很容易得到 3 是满足这 个等式的唯一一个自然数 于是我们又得到一个事实 如果一个数可以表示成一个素数的 3 次幂 则这个数是黄金数 至于还有没有不满足上述两条事实的黄金数 鉴于作者水平有 限 就请读者帮忙探索吧.3 倍数的推广 完全数定义中的 自身 也就是自身的 倍 我们将倍数推广 就得到了 n 倍完全数 的定义 我们称一个数是 n 倍完全数 如果它的所有真因子之和等于自身的 n 倍 显然 我们一般说的完全数可以成为 倍完全数 最小的 倍完全数是 它的所有真因子之 和为 4 67 也是 倍完全数 3 倍完全数就稍显大了 如 在此基础之上 我们当然还可以 更上一层楼 譬如 定义 n 倍黄金数 若一个 数的所有真因子之积等于自身的 n 倍 或定义 自循环黄金数 如果 A 的真因子之积等 于 B, B 的真因子之积等于 C,......, 经过若干轮之后我们又回到了 A,我们就称 A, B, C 等 这一列数为自循环黄金数 诸如此类的推广 只要我们愿意 自然可以乐此不彼地做下去 但同时必须保证这些概念是有效的 通过上述推广过程 我们发现在推广时并不是乱冲乱撞 毫无章法的 而是有章可循 有迹可踪的 首先 我们要对原来的概念有一个简单分析 以便确定我们可以从哪些方面 进行推广 接下来我们只需遵循分类讨论的原则逐个方面进行推广就可以了 但我们必须 保证新概念的有效性 否则这个推广就是毫无意义的 同时 当我们对一个新概念进行分 析的时候 旧概念的一些分析方法仍然是可以效仿的 如在寻找黄金数的过程中我们就效 仿了完全数的寻找过程 曾尝试着找到一个类似于欧几里得定理的定理来帮助我们简化寻 找过程 3.结束语 汉克尔曾说 在大多数的学科里 一代人的建筑往往被另一代人所摧毁 一个人的创 造被另一个人所破坏 唯独数学 每一个人都在古老的大厦上添加一层楼 牛顿也说 我 之所以望得远 是因为我站在了巨人的肩膀上 而推广 则是站在旧概念的肩膀上 引领 73

174 年 月总第 8 期 我们走向一个新的高度 参考文献: []王青建.数学开心辞典.科学出版社 编辑点评 该文谈围棋中的数学文化 先介绍了几位著名数学家与围棋的关系 然后 从对称 计算 推理等角度谈了围棋与数学的联系 特别是详细地介绍了围棋 中的 定式 着重从逻辑推理的角度分析了围棋中的 定式 这展示了围棋 与数学的紧密联系 提高了文章的数学文化品味 因为数学是特别讲究逻辑推 理的 作者喜爱围棋 也喜爱数学 又愿意把自己关于围棋中的数学文化的思考 和体会写出来与大家分享 这是很好的 编辑部希望更多的同学能够把自己的 各种爱好及其中的数学文化写出来投稿 与大家分享 纹枰论数 围棋中的数学文化 陈厚贤 化学学院 材料化学系 839 摘 要 围棋是中国的一项传统棋类运动 具有开发智力和陶冶情操的功能 几千年来 以其独有的魅力吸引着无数智者为之呕心沥血 是中华文化和智慧的优秀结晶 而数学则 是人类伟大思维与智慧的结晶 那么这两门学问之间是否存在着一定的联系呢 本文进行 了初步探索 关键词 围棋 数学 对称 分析 推理 文化 什么是围棋? 围棋起源于中国古代 是一种策略性二人棋类游戏 是中华民族传统文化中的瑰宝 体现了中华民族对智慧的追求 古人常以 琴棋书画 论及个人的才华和修养 其 中的 棋 指的就是围棋 关于围棋起源的传说有很多 其中比较深入人心的是尧教子丹朱 路史后记 中说尧娶妻富宜氏 生下儿子丹朱 丹朱行为不好 尧至汾水之滨 见二仙对坐翠 桧 划沙为道 以黑白行列如阵图 帝前问全丹朱之术 一仙曰 丹朱善争而愚 当投其所好 以闲其情 指沙道石子 此谓弈枰 亦名围棋 局方而静 棋圆 而动 以法天地 自立此戏 世无解者 丹朱由尧处学了围棋 据说果真有了 长进 从此传说中 我们也可以看出围棋这种游戏有着开发智力 陶冶性情的功效 这与数学对人的作用岂不是有异曲同工之妙 围棋规则 为方便读者理解下面的讨论 现将围棋规则简述如下..围棋的棋具 棋盘 74

175 年 月总第 8 期 盘面有纵横各十九条等距离 垂直交叉的平行线 共构成 个交叉点 在 盘面上标有几个小圆点 称为星位 共九个星位 中央的星位又称 天元 棋子 棋子分黑白两色 均为扁圆形 棋子的数量以黑子 白子 个为宜..围棋的下法 一 对局双方各执一色棋子 黑先白后 交替下子 每次只能下一子 二 棋子下在棋盘的点上 三 棋子下定后 不得向其他点移动 四 轮流下子是双方的权利 但允许任何一方放弃下子权.3 棋子的气 一个棋子在棋盘上 与它直线紧邻的空点是这个棋子的 气 棋子直线紧邻的点上 如果有同色棋子存在 则它们便相互连接成一个不可分割的整体 它们的气也应一并计算 棋子直线紧邻的点上 如果有异色棋子存在 这口气就不复存在 如所有的气均为对方所 占据 便呈无气状态 无气状态的棋子不能在棋盘上存在.4 提子 把无气之子提出盘外的手段叫 提子 提子有二种 一 下子后 对方棋子无气 应立即提取 二 下子后 双方棋子都呈无气状态 应立即提取对方无气之子.5 禁着点 棋盘上的任何一子 如某方下子后 该子立即呈无气状态 同时又不能提取对方的棋 子 这个点 叫做 禁着点 3 数学家与围棋 可能因为围棋在开发智力 纯洁性情方面的作用与数学有着相似之处 我国的许多大 数学家都喜欢下围棋 比如 我国数学大师陈省身先生就酷爱围棋 还曾与棋圣聂卫平有 过棋缘 再比如 数学机械化领域的大师吴文俊先生也喜欢围棋 还曾思考过围棋与数学 机械化之间的关系 图.陈省身先生 75

176 年 月总第 8 期 图.吴文俊先生 4 围棋中的数学文化 接下来 笔者会对围棋中所体现的数学文化分几个方面进行论述 考虑到笔者数学 围棋 语言方面的水平有限 我只能尽力将自己的一些体会表述清楚 有错漏 肤浅之处 在所难免 望各位读者见谅 也欢迎各位指正 4. 围棋中的对称 图 3. 先介绍几个关于对称 对称内容很广泛 但此处仅限于对平面图形的简单讨论 的概 念 保距变换 我们把反射 旋转 平移 或者它们的相继实施 共同点为保持平面上任 意两点间的距离不变 统称为 保距变换 平面中的对称图形 平面中的对称图形是在经过一定的保距变换后 又回到自身 的 图形 或者简称为 变中有不变 的图形 对称集 描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法 也就是把所有使某平面图形 K 不变的 保距变换 放在一起构成一个集合 记为 表示 中的元素个数 并称 S(K)为 K 的 对称集 越大 表示对称性越好 围棋棋盘 K 为正方形 棋子 K 为圆形 这两种图形都是对称性很好的平面图形 其 中 S ( K) S (K ) 围棋棋具的这种设计体现了古人 天圆地方 的思 76

177 年 月总第 8 期 想 但是围棋中的对称性不仅局限于棋具的对称 还有棋局中的对称 图 4. 上面的这局棋是 99 年围棋大师吴清源对日本棋界高手木谷实的对局 本图只选了棋 战的前 65 手 本局之所以名扬天下 是因为吴清源大师在对局中使用了 模仿棋 战略 即运用了围棋中的对称性 读者可以从谱中看出吴清源执黑第一手下在了天元 然后以天 元为原点 以第 行 第 列分别为 轴 对白方进行中心对称式的模仿 直至 65 手变 招 由于围棋是以最后双方所谓地盘多少为胜负依据的游戏 而规则规定黑先白后 黑棋 拥有很大的先手利 所以在现代规则中规定终局时黑方要贴目以弥补白方在开局时的损失 保证公平 但是 在当时的日本并没有贴目的规定 吴清源大师就利用了规则上的不完善和围棋 本身所具有的对称性 下出了这惊世的一局棋 当然 如今围棋规则日趋完善 而且 即使没有贴目这一规定 棋手们经过研究 也 研究出几种对付模仿棋的办法 如征子 对杀等 在此笔者不再赘述 有兴趣的读者可以 自己查阅资料研究 如今再有棋手想要下模仿棋 恐怕是要输的 无论如何 吴清源大师的思维方式以及他创新的精神和勇气都值得我们敬佩和好好体 会 4.. 围棋中的计算 参考 董老师 围棋与数学的关系 新浪博客 大家可以思考这样一个问题 围棋棋局总数有多少 第一种思路 从终局的形式看 一局棋结束时 棋盘上每一个交叉点上的情况无外乎 3 种 黑子占 据 白子占据或无子占据 不考虑行棋顺序 如果是方 路用 4 子 那么 77

178 年 月总第 8 期 如果是方 3 路用 9 子 那么 如果是方 4 路用 6 子 那么 数学归纳法 一盘棋 其可能的变化 是 用对数进行估算 是这样的 这是一个天文数字 即使每一秒钟下一局棋 要下完这样多的局数 粗略的计算 年 这是一个 66 位数 能活这样长久的 大概只有太阳和地球了 第二种思路 从过程的角度看 在第一步棋落下的时候 有 36 种选择 在第二步棋落下的时候 有 36 种选择 假设一直下到最后 棋盘全部填满 且不考虑提子等复杂情况 当 然 这是不太可能的 这样的算式是 即 36 在头三步棋中 就有 大致算出 种选择 是一个 756 位的大数 比 要大得多 需要特别指出的是 笔者的这两种计算思路 都对问题进行了一些简化 而且两种思 路简化的角度不同 所以两种算法的结果不同 当然 也与实际棋局局数有出入 在这里 笔者只是想让读者体会到规则的简单造成了围棋棋局的复杂性 来表明围棋对智力的考验 4.3. 收官 细微处的差别 激烈的中盘战斗之后 双方的地域已基本确定 这时便进入一局棋的收官阶段 在双 方地域之间划定最后的边界 就是收官 官子虽然有时紧紧集中在一目 二目的得失上 但却极有可能成为胜负的分水岭 所以 职业高手常说 围棋的胜负在收官 这里还是先介绍一下官子的简单规则 下一子 为己方围出一空就算一目 下一子 吃掉一方一子就算二目 大家知道这些简单规则后就可以看下面的几个简单的官子例子 78

179 数 学 之 美 年 月 总 第 8 期 图 5. 正 解 : 分 析 如 下 : 左 上 角 : 图 6. ( 救 活 白 方 ( 自 己 )4 子 )+ ( 破 了 黑 方 ( 对 方 ) 空 ) 目 类 比 计 算 : 右 上 角 : ( 救 活 两 子 ) 4 ( 吃 对 方 4 子 )+( 迫 使 对 方 补 棋, 自 填 一 目 )=3 目 左 下 角 :3 ( 救 活 3 子 )+4 ( 吃 对 方 4 子 )=4 目 右 下 方 : ( 救 活 子 )+6 ( 吃 对 方 6 子 )=6 目 经 过 计 算, 孰 轻 孰 重, 一 目 了 然! 所 以 黑 先 走 目 数 最 大 的 位, 白 再 走 第 二 大 的 位, 79

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