目录引言可交换的线性变换的相关习题及结论可交换的线性变换的一些讨论参考文献

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1 杨忠鹏 1 王海明 1 张金辉 1 吴秀清 1,2 1. 莆田学院数学系 2. 中南大学数学院 2009 年 5 月 16 日

2 目录引言可交换的线性变换的相关习题及结论可交换的线性变换的一些讨论参考文献

3 一引言 V P 为数域 P 上的线性空间, 而 L( V ( P)) { σ σ V } 设 ( ) 为恒等变换 = 为上的线性变换,ε 现行的教材上线性空间求其上的线性变换的定义是对一般空间给出的因此教学要兼顾一般情况下的定义又要将重点放在有限维空间上当 V ( P ) 为 P 上维线性空间时, 设 V ( P) = L ( α1, α2, α ) σ ( α, α, α ) = ( α, α, α ) A, σ L( V ( P )), L( V ( P)) P A P (1) (2) 由 (1)(2) 知 σ L( V ( P )) 与 A P 互为唯一确定, 同时说明针对 ⑴ 中矩阵 A 成为解决线性变换的基本工具这样有限维空间上线性变换的可交换问题就可以转化为 P 中矩阵的可交换问题

4 二可交换的线性变换的相关习题及结论下面是结合我们教学及研究收集到的习题习题 1( 见 [1,P323, 习题 12]) 设 V 是数域 P 上维线性空间, 证明 V 的与全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换习题 2( 见 [1,P326, 习题 25]) 设 V 是数域 P 上维线性空间, σ, τ 是 V 上的线性变换, 且 στ = τσ 证明 : (1) 如果 λ 是 σ 的一特征值, 那么 V λ 是 τ 上不变子空间 (2) σ, τ 至少有一个公共的特征向量

5 习题 3( 见 [4, 习题 ]) 复数域上维线性空间 V 上线性变换 σ 的所有特征值组成的元数组称为 σ 的谱, 如果 σ 的所有特征值都是 1 重的, 则 σ 的谱称为单的设 σ 的谱是单的 (1) 证明 : 如果线性变换 τ 和 σ 可交换, 则 τ 能表示成 σ 的一个次数小于的多项式 (2) 证明 :σ 可交换的所有线性变换全是 L( V ( C )) 的一个子空间, 记作 C ( σ ),dim C( σ ) = dim V

6 习题 4( 见 [4, 习题 9.6.4]) 设 V 是复数域上的维线性空间, σ, τ 是 V 上的线性变换,στ = τσ, 设 σ 有 s 个不同的特征值, 证明 :σ 与 τ 至少有 s 个公共的特征向量, 且它们线性无关习题 5( 见 [5,P323, 例 6.3.5]) 设 σ, τ 为维线性空间 V 上的线性变换且各自有特征向量组成的基, 试证 :στ = τσ 的充要条件是 V 中存在一个基, 其中每个基向量都是 σ 与 τ 的公共向量习题 6 ( 见 [6, 习题 5.6.5]) 设 V 是 σ 上的维线性空间, σ, τ L( V ( P )) 且 στ = τσ, σ, τ 各在一组基下的矩阵为对角阵即 σ, τ 可在同一基下的矩阵为对角阵

7 2 习题 7( 见 [7,P238, 例 20]) 设 σ 是数域 P 上维线性空间 V 上线性变换且 σ 证明 : 1 1) σ (0) = { ξ σ ( ξ ) ξ V } 2) V 1 = σ (0) σ ( V ) 3) 若 τ 是 V 上一个线性变换, 则 σ 1 (0) 2 习题 8( 见 [5,P293]) 设 σ L( V ), 满足 σ = σ, 和 σ ( V ) 都在 τ 之下不变的充要条件是 στ = τσ = σ, 证明 (1) V = V0 + V 1 其中 V 0, V 1 分别是 V 上属于特征值 0 和 1 的特征子空间 (2) 若 τ L( V ), 则 V 0, V 1 都是 τ 子空间的充要条件是 στ = τσ 习题 9( 见 [2,P35, 习题 7.4.5]) 令 S 是数域 F 上向量空间 V 的一些线性变换所成的集合 V 的一个子空间 W 如果在 S 中每一线性变换之下不变, 那么就说 W 是 S 的一个不变子空间 S 说是不可约的, 如果 S 在 V 中没有非平凡的不变子空间设 S 是不可约, 而 ϕ 是 V 的一个线性变换, 它与 S 中每一线性变换可交换证明 ϕ 或者是零变换, 或者是可逆变换

8 习题 10( 见 [7,P240, 例 22]) 设 V 是数域 P 上维线性空间, σ, τ 是 V 上的两个线性变换,σ 在 P 上有个互异的特征值, 则有 1)σ 的特征向量都是 τ 的特征向量的充要条件是 στ = τσ 2) 若 στ = τσ, 则 τ 是 ε, σ, σ, 变换 2 1 σ 的线性组合其中 ε 为恒等 2 2 习题 11( 见 [7,P237, 例 18]) σ, τ 是线性变换, σ = σ, τ = τ, 证明 : 2 (1) 如果 ( σ + τ ) = σ + τ, 那么 στ = 0 2 (2) 如果 στ = τσ, 那么 ( σ + τ στ ) = σ + τ στ

9 习题 12 ( 见 [2,P35, 习题 7.4.4]) 设 σ, τ 是线性空间 V 上的线性变换, 且 στ = τσ, 证明 :Kerσ 和 Imσ 都在 τ 之下不变习题 13 ( 见 [2,P39, 习题 7.6.7]) 设 V 是复数域上一个维向量空间, S 是 V 的某些线性变换所成的集合, 而 ϕ 是 V 的一个线性变换, 并且 ϕ 与 S 中每一线性变换可交换证明如果 S 不可约那么 ϕ 一定是位似

10 2 习题 14( 见 [3, 习题 9.1.1]) σ = σ 为线性空间 V 上的线性变换, 证明 Kerσ 和 Imσ 对线性变换 τ 不变的充要条件为 στ = τσ 习题 15( 见 [5, 例题 6.4.2]) V = V1 V 2, σ, τ L( V ), α = α1 + α 2 V ( α i Vi, i = 1,2) 都有 σ ( α ) = α 1 证明 : V 1 与 V 2 都是 τ 不变子空间的充要条件为 στ = τσ

11 习题 16( 见 [7,P237, 例 18]) 设 σ, τ 为数域 P 上线性空间 2 2 V 上线性变换, 且 σ = σ, τ = τ 证明: 2 1) ( σ + τ ) = σ + τ 的充要条件是 στ = τσ = 0 2) σ ( V ) = τ ( V ) 的充要条件是 στ = τ, τσ = σ 3) σ (0) = τ (0) 的充要条件是 στ = σ, τσ = τ ) 若 στ = τσ, 则 ( σ + τ στ ) = σ + τ στ 5) 若 στ = τσ = 0, 则 ( σ + τ )( V ) = σ ( V ) + τ ( V ), ( σ + τ ) (0) = σ (0) + τ (0)

12 习题是在一般线性空间中对线性变换进行讨论这么多的习题表明了一般线性空间上线性变换的教学也是不可回避的习题 1 10 都是对维线性空间给出的, 这些问题的处理利用 (1) (2) 所指的关系, 矩阵是一个基本工具当然按一般线性空间来处理对于基础好的学生也是一个提高能力的好机会通过我们的教学实践发现习题 7 和 8 对一般的线性空间是成立的下面对此问题作简单讨论

13 三可交换的线性变换的一些讨论问题的来源 [8] 有一题目设 σ, τ 是 V 上的线性变换, 若 στ = σ + τ, 则 στ = τσ 命题 1 设 σ, τ L( V ( P )), 若 στ = σ + τ, 则 στ = τσ

14 证明在 (1)(2) 之下 τ ( α, α, α ) = ( α, α, α ) 设 B 由 (1)(2)(3) 知此时等价于 AB = A + B E = AB A B + E = ( A E)( B E ) 因为 A E, B E P, 所以可得 E = ( B E)( A E) = BA B A + E BA = A + B = AB 这样从 (1)(2)(3) 可知 στ = τσ 证毕在命题 1 证明中, 本质在于 B P (3) στ = ε τσ = ε σ, τ L( V ( P )) (4)

15 例 1 设 V = P[ X ]( 一元多项式的集合 ) 则 V ( P ) 是无限维的线性空间 ' 定义 σ ( f ( x)) = f ( x ) 易知 x τ ( f ( x)) = f ( t) dt f ( x) P[ x ] 0 σ, τ L( V ( P )), 且 στ ( f ( x)) = σ ( τ ( f ( x))) = σ ( f ( t) dt) = f ( x ) 即 στ = ε ' ' 但 τσ ( f ( x)) = τ ( f ( x)) = f ( t) dt = f ( x) f (0) 则当 f (0) 0 时, f ( x) P[ x ], τσ ε 例 1 说明 (4) 对一般的线性空间未必成立 0 x 0 x

16 命题 2 设 σ, τ L( V ( P )), k 0 P, 如果 σ = ( σ k ε ) τ, 则 στ = τσ 证明由 σ = στ k τ, 即 στ = σ + k τ 1 令 σ 1 = σ, 则 σ 1 L( V ( P )) k 且从 (5) 得 (5) σ τ = σ + τ, σ, τ L( V ( P )) (6) 这样从命题 1 和 (6) 得 σ τ = ( ) 1 k στ = τ k σ = τσ 即 τσ = στ 证毕在命题 2 中当 k=1 时即得命题 1

17 文献 [9, 定理 3] 韩锦扬证明了设 A, B P, k P, 若 A = ( A ke) B 且 A, B 均可逆, 则 AB = BA 之后 [10, 定理 3(2)] 也得到这个结果. 在 (1)(2) 所设之下也得到这个结果可被改进为并在 [10][11] 也曾经得到过命题 3 设 A, B P, 若 A = ( A ke) B 且 k 0, 则 AB = BA 命题 4 设 σ, τ L( V ( P )), a, b p, 且 ab 0, 若 στ = aσ + b τ, 则 στ = τσ

18 ab 及 στ = aσ + b τ (7) 令 τ 1 = 1 a τ, 则 τ 1 L( V ( P )) 证明因为 0 且从 (7) 得 σ = ( σ b ε) τ 1 由命题 2 和 (8) 得 στ1 = σ( τ) = ( στ ) = ( τ) σ = τ1 σ 即 στ τσ a a a (8) = 证毕从 (1)(2)(3) 可得作为特例可得命题 1 在有限维空间上可交换线性变换的结论

19 由 (1)(2)(3) 可得命题 5 设 A, B P, a, b P, 若 AB = aa + bb 且 ab 0, 则 AB = BA 在 [10][11] 也得到过命题 5 命题 6( 见 [12], P 144 例 7.9) A, B 是三阶矩阵, 若 AB = A B, 若 λ 1, λ 2, λ 3 是 A 的 3 个不同的特征值, 证明 : 1) λ 1( i = 1,2,3) i 1 1 2) 存在可逆矩阵 P,st P AP, P BP 同时可对角阵这是作为非数学专业的考研的复习题

20 这可作为命题 2 的应用我们可得到 : 命题 7 A, B P, 若 AB = A B, 若 λ 1, λ 2, λ 是 A 的个不同的特征值, 证明 : 1) AB = BA 2) λ i 1( i = 1,2, ) 且存在可逆矩阵 P, 使同时可对角阵 P AP, P BP 1 1

21 证明 1) 因为 AB = A B 等价于 A = ( A + E) B 由命题 3( 相当于满足 k = 1 ) 得, 可知 AB 2) 因为 AB = A B 即 ( A + E)( B E) = E 所以 A + E 可逆所以 -1 不为 A 的特征值即 λ i 1( i = 1,2, ) 由 1) 可得存在可逆矩阵 P, 使得 1 1 P AP, P BP = BA 同时可对角阵证毕我们应用了命题 2 及矩阵上的形式, 使得命题 6 成为特例, 当然这样的证明与 [12] 解法不同

22 例 2: ' 设 f ( x) P[ x ] σ ( f ( x)) = f ( x) + f ( x ) 则易知 σ, τ L( P[ x ]), 此时 στ ( f ( x)) = σ x f ( t) dt + f ( x ) 0 x ' x f ( t) dt f ( x) f ( t) dt f ( x ) 0 0 = x ' ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = f x + f x + f t dt + f x x = f t dt + f x + f x 0 ' ( ) 2 ( ) ( ) x τ ( f ( x)) = f ( t) dt + f ( x ), x ' ( σ + τ )( f ( x)) = σ ( f ( x)) + τ ( f ( x)) = f ( x) + f ( x) + f ( t) dt + f ( x ) 0 所以 στ = σ + τ 0

23 τσ ' ( f ( x)) = τ ( f ( x) + f ( x )) x ( ' ( ) ( )) ' f t f t dt f ( x ) f ( x ) 0 = x ' ( ) (0) ( ) ( ) ( ) 0 = f x f + f t dt + f x + f x x = f t dt + 0 f x + f x f τσ f x στ ( f ( x)) ( ( )) 所以 στ τσ ' ( ) 2 ( ) ( ) (0) 例 2 说明问题的结论命题 1 对一般无限维的线性空间的线性变换是未必成立

24 四参考文献 [1] 北京大学数学系编, 高等代数 ( 第三版 ), 高等教育出版社, 北京 (2003) [2] 张禾瑞郝炳新高等代数 ( 第四版 ), 高等教育出版社, 北京 [3] 杨子胥. 高等代数习题解 ( 修订版 ) 上下册, 山东科学技术出版社, 济南 (2001) [4] 邱维声. 高等代数上下册, 高等教育出版社 [5] 白述伟. 高等代数选讲, 黑龙江教育出版社, 哈尔滨 (1996) [6] 孟道骥. 高等代数与解析几何 ( 第二版 ), 科学出版社, 北京 (2007)

25 [7] 李师正主编. 高等代数解题方法与技巧, 高等教育出版社, 北京 (2004) [8] 林亚南. 高等代数选讲 ( 续 ) 厦门大学 (2003) [9] 韩锦扬. 矩阵乘法 AB = BA 成立的两个充要条件与一个充分条件. 工科数学,1995,l: [10] 戴立辉, 颜七笙, 刘龙章. 矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质. 华东地质学院学报,2002,25(4): [11] 张斌. 关于矩阵可交换的研究. 中国优秀硕士学位论文全文数据库, 网络出版投稿时间, 电子科技大学 [12] 俞争光, 刘坤林, 谭泽光, 葛余博编著. 线性代数通用辅导讲义. 清华大学出版社, 北京 (2006)

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP:// 线性空间与线性映射知识回顾 1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,

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