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8 2 1 a 11 a 12 a 1n a 22 a 2n a nn = a 11 a 21 a 22 a n1 a n2 a nn = a 11 a 22 a nn 2 λ 1 λ 2 a 2n λ n a n2 a nn = a 11 a 1n 1 λ 1 a 21 λ 2 λ n = ( 1) n(n 1) 2 λ 1 λ 2 λ n 3 n(n > 1) (Vandermonde) x 1 x 2 x n V n = x 2 1 x 2 2 x 2 n = x n 1 1 x n 1 2 x n 1 n 4 A O B 1j<in (x i x j ) O B = A = A B, O B A = A O ( 1)km B = ( 1)km A B A k, B m (), (), a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in = D (i = 1, 2,, n) a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj = D (j = 1, 2,, n) 0, 2 () () a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = 0 (i j)

9 12 3 a 1i A 1j + a 2i A 2j + + a ni A nj = 0 (i j) 113 Cramer 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n D 0, x j = D j D (j = 1, 2,, n), D j D j a 1j, a 2j,, a nj :, 0 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0, 2, a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = 0 0 D ,, (),, 1 n, n, j 1 j 2 j n, (), j 1 j 2 j n, τ(j 1 j 2 j n ), 2 n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n D = det(a ij ) = = ( 1) τ(j1j2 jn) a 1j1 a 2j2 a njn, j 1j 2 j n a n1 a n2 a nn

10 4 1 1, 2,, n (n! ), τ(j 1 j 2 j n ) j 1j 2 j n j 1 j 2 j n 122,, a b 2, = ad bc, 2, c d,, det(a ij ) 2 2 D 2, ad bc, n det(a ij ) a ij n 1 a ij, M ij A ij = ( 1) i+j M ij a ij a ij, a b c , n i j, a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = 0 j,, n a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a i1 a i2 a in ( j i ) j, a 11 a 12 a 1n a a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = i1 a i2 a in = 0 a i1 a i2 a in

11 (), ; () ; (); n 1 n 1 n D n = n n n,, :, D n = ( 1) τ(n 1,n 2,,2,1,n) a 1,n 1 a 1,n 2 a n 1,1 a nn = ( 1) (n 1)(n 2) 2 n! 2 () 2 n D n = x y x y x y y x 1 x y y x y 0 0 x y D n =x + ( 1) n+1 y x y y x x y =x n + ( 1) n+1 y n

12 6 1 (), () 3 3 : (1) ; (2) (1) 1: = = = = = , () a 11 0, 1, , 2: = = = ===== r4 r2 r 2+2r 3, a 11 0, (), (2) 1 = = = =

13 13 7 2, 2, 3, = = = = , 4 : ax + by ay + bz az + bx x y z (1) ay + bz az + bx ax + by = (a 3 + b 3 ) y z x ; az + bx ax + by ay + bz z x y bc a a 2 1 a 2 a 3 (2) ac b b 2 = 1 b 2 b 3 (a, b, c 0) ab c c 2 1 c 2 c 3 (1), x ay + bz az + bx y ay + bz az + bx = a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by z ax + by ay + bz x ax + by ay + bz x y z y z x x y z = a 3 y z x + b 3 z x y = (a 3 + b 3 ) y z x ; z x y x y z z x y bc a a 2 (2) ac b b 2 = 1 abc a 2 a 3 1 a 2 a 3 ab c c 2 abc abc b 2 b 3 = 1 b 2 b 3 abc c 2 c 3 1 c 2 c 3,, n (), 2 n

14 8 1 (2) a, b, c 0, 1 a 2 a 3 1 b 2 b 3 1 c 2 c 3 5 n (1) D n = n n 1 n 1 n 2 n 1 2 n 1 ; (2) D n = a 1 + b 1 a 1 + b 2 a 1 + b n a 2 + b 1 a 2 + b 2 a 2 + b n a n + b 1 a n + b 2 a n + b n (1) i ( 1) i + 1 (i = n 1, n 2,, 1), 2, 3,, n 1, D n = n n n n 1 1 = n(n + 1) n n n n 1 1 = n(n + 1) n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 1 ( 1), 1, 2,, n 2 n 1, ( 0) D n = n(n + 1) n 0 n n n 0 n = n(n + 1) n n = n(n + 1) 2 ( 1) (n 1)(n 2) 2 ( n) n 2 ( 1) = ( 1) (n 1)n 2 n(n + 1) 2 n n 2

15 13 9 (), () (),, (2) n = 1, D 1 = a 1 + b 1 ; n = 2, D 2 = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) (a 1 + b 2 )(a 2 + b 1 ) = (a 1 a 2 )(b 1 b 2 ); n 3, ( 1),, a 1 + b 1 a 1 + b 2 a 1 + b n a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 D n = a 3 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1 = 0 a n a 1 a n a 1 a n a 1, a 1 + b 1, n = 1, D n = (a 1 a 2 )(b 1 b 2 ), n = 2, 0, n 3, 4 n, n 6 n D n = D n = 5D n 1 2 3D n 2 = (2 + 3)D n 1 2 3D n 2, D n 2D n 1 = 3(D n 1 2D n 2 ) = 3 2 (D n 2 2D n 3 ) ( ) = = 3 n 2 (D 2 2D 1 ) = 3 n = 3 n

16 n cos θ cos θ D n = cos θ cos θ = cos nθ n = 1, ; cos θ 1 n = 2, D 2 = 1 2 cos θ = 2 cos2 θ 1 = cos 2θ, ; n 1, D n 1 = cos(n 1)θ D n n cos θ cos θ 0 0 D n = ( 1) n+(n 1) ( 1) 2n 2 cos θ D n = ( 1) n+(n 1) D n 2 + ( 1) 2n 2 cos θd n 1 = cos(n 2)θ + 2 cos θ cos(n 1)θ = cos(n 2)θ + (cos nθ + cos(n 2)θ) = cos nθ cos θ, D n n n x 1 x 1 D n = x 1 a n a n 1 a 2 a 1 + x 1 i x i 1 (i = n, n 1,, 2), 1 1

x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).

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