2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质

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记幸
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1 第二讲非负矩阵与 M 矩阵非负矩阵不可约非负矩阵 M- 矩阵与单调矩阵对角占优 M- 矩阵注记非负矩阵在很多领域都有重要应用, 如数理经济, 运筹, 图像处理等. 同样, 它在矩阵理论与数值代数中也扮演着很重要的角色. 若无特别注明, 本讲内容都是在实数域中讨论.

2 2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质

3 3/63 非负矩阵, 正矩阵非负矩阵元素都是非负实数正矩阵元素都是正实数记号说明 : 设 A = [a ij ] R m n, B = [b ij ] R m n, 则 A B a ij b ij, 1 i m, 1 j n A > B a ij > b ij, 1 i m, 1 j n 如果 A B 且 A B, 则记为 A B. 相类似地, 我们可以定义记号, < 和. A 的绝对值定义为 A = [ a ij ].

4 4/63 基本运算引理 1 设矩阵 A, B C n n, 向量 x C n, 则容易验证 (1) Ax A x ; (2) AB A B ; (3) A k A k, k = 1, 2,...; (4) A F = A F ; (5) A B = A F B F.

5 5/ 非负矩阵基本性质引理 2 设矩阵 A, B, C, D R n n, 向量 x R n. (1) 若 0 A B, 0 C D, 则 0 AC BD. (2) 若 0 A B, 则 0 A k B k, k = 1, 2,.... (3) 若 A > 0 且 x 0, 则 Ax > 0. (4) 若 A 0, x > 0 且 Ax = 0, 则 A = 0. 由这个引理, 我们可以得到一个很有用的结论. 定理 3 设 A C n n, B R n n. 如果 A B, 则 ρ(a) ρ( A ) ρ(b). ( 板书 ) ρ(x) = lim k Xk k 1 F

6 6/63 由定理 3 可直接得到下面的两个结论. 推论 4 设 A, B R n n, 若 0 A B, 则 ρ(a) ρ(b). 推论 5 设 A = [a ij ] R n n 非负, A k 是 A 的 k 阶主子矩阵, 其中 1 k n, 则 ρ(a k ) ρ(a). 特别地, 我们有 max a ii ρ(a). 1 i n ( 练习 )

7 7/63 非负矩阵的谱半径, 矩阵行和, 矩阵列和引理 6 设 A R n n 非负. (1) 如果 A 的行和是常数, 则 ρ(a) = A. (2) 如果 A 的列和是常数, 则 ρ(a) = A 1. ( 板书 )

8 8/63 定理 7 设 A 非负, 则且 min 1 i n j=1 min 1 j n n a ij ρ(a) max n i=1 1 i n j=1 a ij ρ(a) max 1 j n n a ij (2.1) n a ij. (2.2) i=1 ( 板书 ) 推论 8 设 A R n n 非负. 如果 A 的某一行或某一列的元素都是正的, 则 ρ(a) > 0. 特别地, 如果 A > 0, 则 ρ(a) > 0.

9 9/63 一个推广的结论设 X 非奇异, 则 ρ(x 1 AX) = ρ(a). 令由定理 7 可得 X = diag(x 1, x 2,..., x n ), x i > 0, i = 1, 2,..., n. 推论 9 设 A 非负. 则对任意正向量 x = [x 1, x 2,..., x n ], 有 1 n 1 n min a ij x j ρ(a) max a ij x j (2.3) 1 i n 1 i n 和 x i j=1 min 1 j n x j n i=1 a ij x i ρ(a) max 1 j n x j x i j=1 n i=1 a ij x i. (2.4)

10 10/63 非负矩阵谱半径的一个估计定理 10 设 A R n n 非负, x R n 为正向量. (1) 如果 αx Ax βx, 则 α ρ(a) β. (2) 如果 αx < Ax < βx, 则 α < ρ(a) < β. ( 板书 ) 由这个定理立即可得 : 推论 11 设 A R n n 非负. 如果 A 有正特征向量, 则其对应的特征值一定是 ρ(a), 即若 A 0, x > 0 且 Ax = λx, 则 λ = ρ(a).

11 11/ 正矩阵正矩阵除了具有非负矩阵的性质外, 还具有一些特殊的性质. 引理 12 设 A R n n 是正矩阵, 如果存在非零向量 x C n 使得 Ax = λx 且 λ = ρ(a), 则 A x = ρ(a) x 且 x > 0. ( 板书 ) 推论 13 设 A 是正矩阵, 则 ρ(a) 是 A 的一个特征值, 且存在一个正向量 x R n 使得 Ax = ρ(a)x. ( 板书 ) 将上面的结论作用到 A, 则可以得到下面的结论. 推论 14 设 A 是正矩阵, 则存在一个正向量 y R n 使得 A y = ρ(a)y, 即 y A = ρ(a)y.

12 12/63 引理 15 设 A 是正矩阵. 若存在非零向量 x C n 满足 Ax = λx 且 λ = ρ(a), 则存在一个实数 θ R 使得 e i θ x = x > 0. ( 板书 ) 推论 16 设 A 是正矩阵. 如果 λ 是 A 的特征值, 且 λ ρ(a), 则 λ < ρ(a), 也就是说, 如果 λ 是 A 的特征值, 且 λ = ρ(a), 则 λ = ρ(a). ( 板书 ) 推论 17 设 A 是正矩阵, 则 ρ(a) 是 A 的几何重数为 1 的特征值. ( 板书 ) 由推论 17 可知, 如果 z 是对应于 ρ(a) 的特征向量, 则 z > 0, 即与 ρ(a) 对应的特征向量一定不含零分量.

13 13/63 推论 18 设 A R n n 是正矩阵, 则存在唯一的正向量 x R n 使得 n Ax = ρ(a) x 且 x i = 1. i=1 x 称为 A 的 ( 右 ) Perron 向量, ρ(a) 称为 A 的 Perron 根. 引理 19 设 A 是正矩阵, x, y R n 分别为 ρ(a) 的左, 右正特征向量, 且 x y = 1. 定义矩阵 L xy, 则 L > 0 且 (1) (A ρ(a) L) k = A k (ρ(a)) k L, k = 1, 2,...; (2) A ρ(a)l 的所有非零特征值均为 A 的特征值 ; (3) ρ (A ρ(a) L) < ρ(a); ( ) k 1 (4) lim k ρ(a) A = xy. ( 板书 ) 若取 x 为 A 的 ( 右 ) Perron 向量, 则 y 唯一确定, 称为 A 的左 Perron 向量.

14 14/63 定理 20 设 A R n n 是正矩阵, 则特征值 ρ(a) 的代数重数为 1, 即 λ = ρ(a) 是 A 的单重特征值. ( 板书 ) 定理 21 (Perron 定理 ) 设 A R n n 是正矩阵, 则 (1) ρ(a) > 0; (2) ρ(a) 是 A 的单重特征值 ; (3) A 的所有其它特征值的模都小于 ρ(a); (4) 存在正向量 x R n, 使得 Ax = ρ(a) x, 同时, 如果 y R n 是 ρ(a) 对应的特征向量, 则 y > 0; ( ) k 1 (5) lim k ρ(a) A = xy > 0 其中 x, y 为定理 19 中的向量. Perron 定理是正矩阵的一个著名定理.

15 15/ 非负矩阵的更多性质正矩阵的一些性质可以推广到非负矩阵情形. 引理 22 设 A R n n 非负, 则 (1) ρ(a) 是 A 的特征值 ; (2) 存在向量 x 0 和 y 0, 使得 Ax = ρ(a)x, A y = ρ(a)y. ( 板书 ) 需要指出的是, 正矩阵的谱半径一定是正的, 但对于非负矩阵, 其谱半径可能为 0, 如严格非负下三角矩阵.

16 16/63 引理 23 设 A R n n 非负. 如果存在实数 α R 和向量 x R n, 使得 x 0 且 Ax αx, 则 ρ(a) α. ( 板书 ) 注记该结论与定理 10 类似, 但定理 10 中要求 x > 0. 引理 24 设 A R n n 非负, 则 ρ(a) = max x R n, x 0 min 1 i n, x i 0 1 x i n a ij x j. j=1 ( 板书 )

17 17/63 引理 25 设 A R n n 非负且存在正的左特征向量. 如果存在向量 x 0 满足 Ax ρ(a) x 或 Ax ρ(a) x, 则 Ax = ρ(a) x. ( 板书 ) 注记 [ ] 1 0 需要指出的是, 非负矩阵不一定存在正特征向量, 如 A =. 0 2 注记由前面结论可知 : 如果 A 0, 则 ρ(a) 是 A 的特征值, 但不一定是单重的. 例如 A = I, 则 ρ(a) = 1 是 A 的特征值, 且重数为 n. 因此, 对于一般的非负矩阵, 无法定义 Perron 向量.

18 18/63 λ = ρ(a) 是单重特征值的一个充分条件 : 定理 26 设 A R n n 非负. 如果存在正整数 k 使得 A k > 0, 则 ρ(a) 是 A 的单重特征值. ( 板书 ) 非负矩阵的数值域半径与谱半径之间的关系 : 推论 27 设 A R n n 是非负矩阵, 则 r(a) = ρ ( H(A) ). ( 板书 )

19 19/63 2 不可约非负矩阵 2.1 可约与不可约 2.2 不可约非负矩阵 2.3 本原矩阵 2.4 随机矩阵

20 20/ 可约与不可约定义 1 设 A C n n, n 2. 如果存在一个置换矩阵 P 使得 [ ] P AP A 11 A 12 =, A 11 C r r, A 22 C (n r) (n r) 0 A 22 其中 1 r < n, 则称 A 是可约的, 否则就称 A 为不可约的. 如果 A 是 1 1 矩阵, 则 A 不可约当且仅当 A 非零. 如果 A C n n 是可约的, 则 A 至少有 n 1 的零. 如果 A 是可约的, 则 A 的特征值为 A 11 和 A 22 特征值的并. 如果 A 是可约的, 则 Ax = b 等价于两个子方程.

21 21/63 如果 A 可约, 则对任意正整数 k, 有所以我们有下面的结论 : P A k P = (P AP ) k = [ A k 11 Ã (k) 12 0 A k 22 ]. (2.5) 引理 28 若 A 可约, 则 A k 也可约. 反之, 若存在一个正整数 k, 使得 A k 是不可约的, 则 A 也不可约. 注记需要指出的是 [, 在一般情况下 ], 不可约矩阵的幂不一定是不可约的 [ ]. 1 1 如 A = 不可约, 但 A = 可约

22 22/63 矩阵不可约的一个充要条件定理 29 设 A = [a ij ] C n n, 指标集 Z n = {1, 2,..., n}. 则 A 可约的充要条件是存在两个互不相交的非空子集 S 和 T 满足 S T = Z n, 且对任意的 i S 和 j T 有 a ij = 0. ( 板书 ) 注记由定理 29 可知, 主对角线元素是否为零并不影响矩阵的可约性. 推论 30 设 A 不可约, 则 B A diag(a 11, a 22,..., a nn ) 也不可约.

23 23/63 矩阵是否可约的另一个充要条件定理 31 设 A = [a ij ] C n n, 指标集 Z n = {1, 2,..., n}. 则 A 可约的充要条件是存在两个相异的正整数 k, l Z n, 使得对任意指标序列 {i 1, i 2,..., i r } Z n, 都有 a ki1 a i1i 2 a irl = 0. 这里 r > 0 是任意正整数. ( 板书 ) 等价描述 : 矩阵 A = [a ij ] C n n 不可约的充要条件是 : 对任意两个相异正整数 k, l Z n, 都存在一个指标序列 {i 1, i 2,..., i m } Z n 使得 a ki1 a i1i 2 a iml 0.

24 24/63 可约矩阵的规范型 [ ] A 11 A 12 如果中的子矩阵 A 11 或 A 22 仍然是可约的, 则我们还可 0 A 22 以将它们置换成块上三角形式. 依此类推, 最后可得 : 存在一个置换矩阵 P 使得 A 11 A 12 A 1k 0 A P AP = 22 A 2k......, (2.6) 0 0 A kk 其中 A ii (i = 1, 2,..., k) 为不可约或为零. 我们称 (2.6) 为可约矩阵 A 的规范型 (Normal Form).

25 25/63 非负矩阵谱半径为零的充要条件定理 32 设 A R n n 非负, 则 ρ(a) = 0 的充要条件是 A 可约且其规范型是一个严格上三角矩阵. ( 练习 ) 注记一个有意思的现象 : 通常, 如果某个元素全不为零的矩阵具有某种性质, 则这个性质往往能推广到不可约矩阵.

26 26/ 不可约非负矩阵非负矩阵不可约的一个充要条件 : 引理 33 设 A R n n 非负, 则 A 不可约的充要条件是 (I + A) n 1 > 0. ( 板书 ) 由引理 33 和引理 28, 我们可得下面的结论. 推论 34 设 A R n n 非负且对角线元素全为正. 则 A 不可约的充要条件是 A n 1 > 0.

27 27/63 引理 35 设 A C n n. 如果 ρ(a) < 1, 则 I A 非奇异且 (I A) 1 = I + A + A 2 +. (2.7) 反之, 如果 (2.7) 右端的级数收敛, 则 ρ(a) < 1. ( 板书 ) 定理 36 设 A R n n 非负. 如果 ρ(a) < 1, 则 A 不可约的充要条件是 (I A) 1 > 0. ( 板书 ) 对上面的结论做进一步推广 : 推论 37 设 A R n n 非负, 实数 α 满足 α > ρ(a), 则 A 不可约的充要条件是 (αi A) 1 > 0. ( 练习 )

28 28/63 Perron-Frobenius 定理定理 38 (Perron-Frobenius) 设 A R n n 非负不可约, 则 (1) ρ(a) > 0; (2) ρ(a) 是 A 的单重特征值 ; (3) 存在唯一的正向量 x, 满足 x 1 = 1, 使得 Ax = ρ(a) x; (4) 存在唯一的正向量 y, 满足 y x = 1, 使得 A y = ρ(a) y; (5) A 的所有非负特征向量都对应于特征值 λ = ρ(a). ( 板书 ) 我们称定理 38 中的正向量 x 和 y 分别为 A 的右 Perron 向量和左 Perron 向量.

29 29/63 推论 39 设 A 非负不可约, 向量 x 0. 则下面的结论成立 : (1) 若 Ax ρ(a) x 或 Ax ρ(a) x, 则 Ax = ρ(a) x; (2) 若 Ax αx, 则 ρ(a) α, 进一步, 若 Ax αx, 则 ρ(a) > α; (3) 若 Ax βx, 则 ρ(a) β 且 x > 0, 进一步, 若 Ax βx, 则 ρ(a) < β. ( 板书 )

30 30/63 关于 ρ(a) 的更一般的结论 : 定理 40 设 A 非负不可约, α 是正实数, 则下面的结论等价 : (1) ρ(a) > α; (2) 存在一个正向量 x R n 使得 Ax > αx; (3) 存在向量 x R n 满足 x 0, 使得 Ax > αx. 注记定理 40 中的 < 改为, > 或后, 结论仍成立.

31 31/63 引理 41 设 A 非负, 矩阵 B C n n 满足 B = A. 如果存在一个正向量 x R n 使得 Bx = Ax, 则 B = A. ( 板书 ) 定理 42 设 A 非负不可约, 矩阵 B C n n 满足 B A. 如果 ρ(b) = ρ(a) 且 λ = e i ϕ ρ(b) 是 B 的一个特征值, 则存在 θ 1, θ 2,..., θ n R 使得 B = e i ϕ DAD 1, 其中 D = diag(e i θ1, e i θ2,..., e i θn ). ( 板书 ) 一个更强的结论 : 如果 A 非负不可约且 B A, 则 ρ(a) = ρ(b) 的充要条件是 : 存在 ϕ, θ 1,..., θ n R 使得 B = e i ϕ DAD 1, 其中 D = diag(e i θ 1,..., e i θn ).

32 32/63 推论 43 设 A R n n 非负不可约. (1) 若果 B C n n 满足 B A 且 B = A, 则 ρ(b) < ρ(a). (2) ρ(a) 关于 A 的元素严格单调递增. (3) 设 A k 是 A 的 k (1 k < n) 阶主子矩阵, 则 ρ(a k ) < ρ(a). 推论 44 设 A R n n 非负, 则 A 可约的充要条件是 ρ(a) 也是 A 的某个主子矩阵的谱半径. ( 练习 )

33 33/63 非负不可约矩阵的谱分布定理 45 设 A 非负不可约. 如果 A 有 k 个模等于 ρ(a) 的互异特征值, 则它们一定是 λ p = ρ(a)e 2πi p/k, p = 0, 1,..., k 1, 且它们都是单重特征值. 另外, 如果 λ 是 A 的特征值, 则 λe 2πi p/k, p = 1, 2,..., k 1 也是 A 的特征值. 由定理 45 可知, 如果 A 非负不可约且有 k 个模等于 ρ(a) 的互异特征值, 则 k 一定能被 A 的非零特征值个数整除. 特别地, 如果 A 非奇异, 则 k 一定是 n 的一个因子. 因此, 如果 n 是素数, 则 A 要么所有特征值的模都等于 ρ(a), 要么除 ρ(a) 外, 其他所有特征值的模都小于 ρ(a).

34 34/63 非负不可约矩阵的规范型推论 46 设 A R n n 非负不可约. 如果 A 有 k (k > 1) 个模等于 ρ(a) 的互异特征值, 则存在置换矩阵 P R n n 使得 0 A A 23 0 P AP =......, (2.8) A (k 1)k A k 其中主对角的零子矩阵都是方阵.

35 35/63 非负不可约矩阵的规范型 (cont.) 显然, (2.8) 可以置换成其他特殊形式, 比如 A 1k A P A P = 0 A (2.9) A k(k 1) 0 矩阵 (2.9) 也称为非负不可约矩阵的规范型.

36 36/63 非负不可约矩阵的谱半径估计引理 47 设 A = [a ij ] R n n 非负不可约. 则有 n ρ(a) = a ij, 1 i n, 或 min 1 i n j=1 j=1 n a ij < ρ(a) < max 1 i n j=1 n a ij. ( 板书 )

37 37/63 非负不可约矩阵的谱半径估计 (cont.) 令 D x = diag(x 1, x 2,..., x n ) > 0, 则 ρ(a) = ρ(d 1 x AD x ). 定理 48 设 A = [a ij ] R n n 非负不可约. 则对任意正向量 x = [x 1, x 2,..., x n ] > 0, 有 ρ(a) = 1 x i n a ij x j, 1 i n, j=1 或 { 1 min 1 i n x i n j=1 } { 1 a ij x j < ρ(a) < max 1 i n x i n a ij x j }. j=1

38 38/63 极向量设 A = [a ij ] R n n 非负不可约, 向量 x = [x 1, x 2,..., x n ] 0. 定义 { 1 r A (x) min x i 0 x i n } a ij x j j=1 则定义 r A (x) = sup{α 0 : Ax > αx}. r A { sup ra (x) } x R n, x 0 直观结论 : Ax r A (x) x 由于 r A (x) = r A (αx), 因此我们可以假设 x 2 = 1.

39 39/63 极向量 (cont.) 在不等式 Ax r A (x) x 两边同乘 (I + A) n 1 可得 Ay r A (x)y, y = (I + A) n 1 x. 因此 r A (y) r A (x). 又 r A r A (y), 所以其中 r A = sup{r A (y)}, y Q Q {y = (I + A) n 1 x : x 0 且 x 2 = 1}. 易知 Q R n 是一个紧集, 且 r A (y) 是 Q 上的连续函数. 所以至少存在一个向量 z Q, 使得 r A = r A (z). 所有满足上式的向量称为矩阵 A 的极向量 (extremal vectors).

40 40/63 定理 49 设 A R n n 非负不可约, z R n 是 A 的一个极向量, 则 (1) r A > 0; (2) Az = r A z 且 z > 0, 即 z 是对应于 λ = r A 的正特征向量 ; (3) r A = ρ(a). ( 板书 )

41 41/ 本原矩阵除 ρ(a) 外, 正矩阵 A 的其他所有特征值的模都严格小于 ρ(a). 但非负矩阵和非负不可约矩阵一般都不具有这个性质. 问题非负矩阵在什么情况下会具有这个性质? 定义 2 ( 本原矩阵 ) 设 A R n n 非负不可约, 并设模等于 ρ(a) 的特征值个数为 k, 则 k 1. 如果 k = 1, 则称 A 是本原矩阵 (primitive matrix), 否则称 A 为 cyclic 矩阵. 注记 (1) 正矩阵为本原矩阵 ; (2) 本原矩阵可以定义 Perron 向量.

42 42/63 引理 50 设 A R n n 非负不可约. 如果 A 的对角线都是正的, 则 A n 1 > 0, 由此可知, A 一定是本原矩阵. ( 板书 ) 引理 51 设 A 是本原矩阵, 则 A k (k 1) 也是本原矩阵. ( 板书 ) 引理 52 设 A = [a ij ] R n n 是本原矩阵, 则 ( ) k A lim = xy, k ρ(a) 其中 x, y 分别是 A 的右 Perron 向量和左 Perron 向量. ( 板书 )

43 43/63 推论 53 设 A R n n 是本原矩阵, 则存在正整数 k 1, 使得 A k 的所有对角线元素为正. 非负矩阵是本原矩阵的一个充要条件 : 定理 54 设 A R n n 非负, 则 A 是本原矩阵的充要条件是存在一个整数 m 1 使得 A m > 0. ( 板书 ) 关于定理 54 中 m 的最小取值 : 定理 55 (Wielandt) 设 A R n n 非负, A 是本原矩阵的充要条件是 A n2 2n+2 > 0.

44 44/ 随机矩阵定义 3 ( 随机矩阵 ) 设 A = [a ij ] R n n 非负, 如果 n a ij = 1, i = 1, 2,..., n, j=1 则称 A 为随机矩阵. 如果 A 还满足 n a ij = 1, j = 1, 2,..., n, i=1 则称 A 为双随机矩阵. 随机矩阵在 Markov 链中有着非常重要的应用.

45 45/63 引理 56 随机矩阵的乘积仍然是随机矩阵. 显然, 如果 A 是随机矩阵, 则 λ = 1 是其特征值, 而且是模最大的特征值, 对应的特征向量为 e = [1, 1,..., 1]. 反之, 如果 (1, e) 是非负矩阵 A 的特征对, 则 A 是随机矩阵. 定理 57 非负矩阵 A 是随机矩阵的充要条件是 e = [1, 1,..., 1] 是 A 对应于特征值 λ = 1 的特征向量, 即 Ae = e. 定理 58 设 A 非负, 且存在正向量 x 使得 Ax = ρ(a)x. 若 ρ(a) > 0, 则存在对角矩阵 D 使得 1 ρ(a) D 1 AD 是随机矩阵. ( 板书 )

46 46/63 定理 59 设 A R n n 是随机矩阵, 则对应于 λ = 1 的 Jordan 块都是 1 1 的, 即 λ = 1 的代数重数与几何重数相等. ( 板书 ) 定理 60 设 A R n n 是随机矩阵, 则 lim k A k 存在的充要条件是 : 除了 λ = 1 以外, A 所以其它特征值的模均小于 1. ( 板书 ) 双随机矩阵的一个充要条件 : 定理 61 非负矩阵 A 是双随机矩阵 Ae = e 且 A e = e.

47 47/63 3 M- 矩阵和单调矩阵 3.1 M- 矩阵和 H- 矩阵 3.2 M- 矩阵的性质 3.3 单调矩阵

48 48/ M- 矩阵和 H- 矩阵在许多实际应用领域, 往往会出现一类特殊的矩阵 : 对角线元素都非负, 而其他元素都非正, 即其中 s > 0, B 0. A = si B, (2.10) 定义 4 M- 矩阵设 A R n n 具有 (2.10) 的形式, 且 s > ρ(b), 则称为 A 为 ( 非奇异 ) M- 矩阵. 注记有的文献中, 只要求 s ρ(b), 此时 M- 矩阵就可能是奇异的.

49 49/63 Z- 矩阵, 比较矩阵 Z- 矩阵非对角元素都为非正的矩阵. 所有 Z- 矩阵组成的集合 : Z n n = { A = [a ij ] R n n : a ij 0, i j, i, j = 1, 2,..., n } 定义 5 ( 比较矩阵 ) 给定矩阵 A = [a ij ] C n n, 其比较矩阵定义为 a A = [ a ij ] R n n ii = a ii, 其中 a ij = a ij, i j. (1) A 是 Z- 矩阵 ; (2) A = D B, 其中 D diag(a), B = D A.

50 50/63 H- 矩阵定义 6 (H- 矩阵 ) 设 A C n n, 如果 A 是 M- 矩阵, 则称 A 为 H- 矩阵. 定理 62 设 A R n n 非负. 则 ρ(a) < α 当且仅当 αi A 非奇异且 (αi A) 1 0. ( 板书 ) 作为特例, 如果取 α = 1, 则 ρ(a) < 1 当且仅当 I A 非奇异且 (I A) 1 0. 如果 A 不可约, 则有更强的结论 : 定理 63 设 A R n n 非负. 则 A 不可约且 ρ(a) < α 的充要条件是 αi A 非奇异且 (αi A) 1 > 0. ( 练习 )

51 51/63 M- 矩阵的一个基本判别定理定理 64 设 A R n n. 则 A 是 M- 矩阵的充要条件是 : A Z n n 非奇异且 A 1 0. ( 板书 ) 注记在某些文献中, M- 矩阵是通过上述定理来定义的, 即 : 如果 A Z n n 非奇异且 A 1 0, 则称 A 为 M- 矩阵.

52 52/ M- 矩阵的性质首先, M- 矩阵的对角线元素都是正的. 引理 65 设 A = [a ij ] 是 M- 矩阵. 则 a ii > 0, i = 1, 2,..., n. ( 板书 ) 设 A Z n n, 且对角线元素均为正. 记 D = diag(a), B = D A. 则 A 1 = (I D 1 B) 1 D 1 非负当且仅当 ρ(d 1 B) < 1. 所以定理 64 的最后一个条件可可更换为 ρ(d 1 B) < 1, 即定理 66 设 A R n n 的对角线元素都是正的, 则 A 是 M- 矩阵的充要条件是 A Z n n 且 ρ(i D 1 A) < 1, 其中 D = diag(a).

53 53/63 H- 矩阵的一个性质 : 推论 67 设 A R n n 是 H- 矩阵, 记 D = diag(a), 则 (1) D 非奇异 ; (2) A 非奇异, 且 A 1 A 1 ; (3) ρ(i D 1 A ) 1. ( 板书 ) 如果 A 不可约, 则我们有下面的结论. 定理 68 设 A 是 M- 矩阵. 如果 A 不可约, 则 A 1 > 0. ( 练习 )

54 54/63 定理 69 设 A R n n 是 M- 矩阵. 如果 C Z n n 且 C A, 则 C 也是 M- 矩阵. ( 板书 ) 作为定理 69 的一个应用, 可以得到一个构造 M- 矩阵的方法. 推论 70 设 A R n n 是 M- 矩阵. 如果将 A 的某些非对角元素设为 0, 得到新矩阵仍然是 M- 矩阵. 一个类似的结论 : 推论 71 设 A 是 M- 矩阵, 则 A 所有主子矩阵都是 M- 矩阵. ( 练习 )

55 55/63 Z- 矩阵是 M- 矩阵的等价条件定理 72 设 A Z n n, 则下面的结论等价 : (1) A 是 M- 矩阵. (2) A 的对角线元素都是正的, 且存在正对角矩阵 D 使得 AD 是严格对角占优的. (3) 存在正对角矩阵 D 使得 AD + DA 是正定的. (4) 存在对称正定矩阵 W, 使得 AW + W A 也是对称正定. (5) A 是正稳定的, 即 A 的所有特征值都具有正实部. (6) 对任意非负对角矩阵 D, 矩阵 A + D 都非奇异. 更多等价条件可参见文献 [Berman-Plemmons 94]

56 56/63 一般矩阵是 M- 矩阵的充要条件定理 73 设 A R n n. 则 A 是 M- 矩阵的充要条件是 : 对任意非负对角矩阵 D, 矩阵 A + D 非奇异且 (A + D) 1 0. 需要指出的是, 上述定理的条件中没有要求 A 是 Z- 矩阵.

57 57/ 单调矩阵设 A 是 M- 矩阵, f R n 非负, 则 x = A 1 f 0. 由此可知, 如果 A 是 M- 矩阵, 则由 Ax 0 可推出 x 0. 具有这种性质的矩阵我们就称其为单调矩阵定义 7 ( 单调矩阵 ) 设 A R n n. 如果对任意 x R n, 由 Ax 0 即可推出 x 0, 则称 A 是单调矩阵, 或称 A 是单调的. 一个简单性质 : 如果 A 是单调矩阵且 Ax Ay, 则 x y.

58 58/63 单调矩阵的判别引理 74 设 A R n n, 则 A 是单调矩阵的充要条件是 A 非奇异且 A 1 0. ( 板书 ) Z- 矩阵情形 : 定理 75 设 A Z n n, 则 A 是单调矩阵当且仅当 A 是 M- 矩阵. 对称正定的 Z- 矩阵是单调的 : 定理 76 设 A Z n n 是对称正定的, 则 A 是单调的, 因此它也是一个 M- 矩阵. ( 板书 ) 我们也称对称正定的 Z- 矩阵为 Stieltjes 矩阵. Stieltjes 矩阵一定是 M- 矩阵.

59 59/63 4 对角占优 M- 矩阵对于任意一个严格对角占优矩阵, 我们都有下面的结论. 引理 77 设 A = [a ij ] C n n 严格对角占优, 则对任意矩阵 B = [b ij ] C n n, 都有 n b ij A 1 B max 1 i n a ii j=1 n j=1, j i a ij. ( 板书 )

60 60/63 设 A = [a ij ] R n n 是 Z- 矩阵, D 为 A 的对角部分. 记 B = D 1 (D A) = I D 1 A. 如果 A 严格对角占优, 则 n b ij < 1, i = 1, 2,..., n. j=1 因此 B < 1, 于是 ρ( B ) < 1. 如果 A 不可约弱对角占优, 则 n b ij 1, i = 1, 2,..., n, j=1 其中至少有一个不等式严格成立.

61 61/63 构造非负矩阵 ˆB = [ˆbij ] 满足 B ˆB 和 n ˆb ij = 1, for i = 1, 2,..., n. j=1 由引理 6 可知 ρ( ˆB) = 1. 又 B ˆB, 根据推论 43, 我们有 ρ( B ) < ρ( ˆB) = 1. 所以 ρ(i D 1 A) = ρ( B) ρ( B ) < 1. 根据定理 66, 立即可得 : 定理 78 设 A 是 Z- 矩阵, 且对角线元素均为正. 如果 A 严格对角占优或不可约对角占优, 则 A 是 M- 矩阵. 推论 : 如果 A 严格对角占优或不可约对角占优, 则 A 是 H- 矩阵.

62 62/63 广义严格对角占优定义 8 设 A C n n. 如果存在正向量 x = [x 1, x 2,..., x n ] R n 使得 n a ii x i > a ij x j, i = 1, 2,..., n, (2.11) j=1, j i 则称 A 广义严格对角占优. 等价定义 : 存在正对角矩阵 D, 使得 AD 严格对角占优.

63 63/63 广义严格对角占优与 H- 矩阵定理 79 A Z n n 是 M- 矩阵的充要条件是存在正向量 x R n 使得 Ax > 0. ( 板书 ) 定理 80 A C n n 是 H- 矩阵当且仅当 A 广义严格对角占优. ( 板书 )

6.3 正定二次型

6.3 正定二次型一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k