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境辛
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1 函數的微分 ( 甲 ) 函數的導函數 () 導函數的引入 : 例子一 : 設 f(x)x / f ( x) f ( a) x a,a 為任意數 f ( a) lim lim a x a x a x a x a 對於 f(x) 的定義域中的每一個 a 而言,f(x) 在 xa 處的導數為 f / (a)a a 5 f / (a) 根據上表, 可知 f(x) 定義域中的每個點 a f(x) 在 xa 的導數為 a 此種對應關係成了另一種函數, 稱之為 f(x) 的導函數一般而言, 給定一個函數 f(x), 若 xa 在定義域中, 且 f / (a) 存在, 則 a f / (a) 形成一個新的函數稱為 f(x) 的導函數符號記為 f / df(x) (x) 或 [f / df 或 ] 故例子一中,f(x)x f / df(x) (x)x 或 x 當 f(x) 的式子很長時, 例如 f(x) x +x +x+ x +, 導函數可寫成 (x +x +x+ x +) / 為了配合導函數的表示法,f(x) 在 xa 處的導數可表為下 :f / (a) df(x) xa f / (x) xa () 導數與導函數 : f(x) 在 xa 的導數是一個數, 它代表切線斜率順時變化率等 ; 而 f(x) 的導函數 f / (x) 是一個函數, 若 a 在 f / (x) 的定義域中, 那麼 f(x) 在 xa 的導數是導函數 f / (x) 在 xa 的函數值 () 高階導數 : / df ( x) // d f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) K 我們稱 f / (x) 為 f(x) 的一階導函數,f // (x) 為 f(x) 的二階導函數,.f () (x) 為 f(x) 的階導函數結論 : (a)f(x) 在 xa 處有導數, 則稱 f(x) 在 xa 處可微分 (b)f(x) 在定義域中的每一點都可微分, 則稱 f(x) 為一可微分函數 (c) 若 f(x) 為一可微分函數, 則由 f(x) 求 f / (x) 這個過程稱為將 f(x) 微分 ~ ~

2 [ 例題 ] 證明 f(x)x 的導函數 f / (x)x ( 為自然數 ) [ 例題 ] 請求出 f(x) x 4 的導函數 As:f / x, x > 0 (x) x, x < 0 () 微分與連續 (a) 若設 f(x) 在 xa 處可微分, 則 f(x) 在 xa 處連續 [ 證明 ]: Q f(x) f(a)(x a) [ f(x) f(a) x a ],f(x)f(a)+ (x a) ( f(x) f(a) ) x a lim f(x) lim [ f(a)+ (x a) ( f(x) f(a) )]f(a)+0 f / (a)f(a) x a x a x a 根據以上的定理, 若 f(x) 在 xa 處不連續, 則 f(x) 在 xa 處不可微分例如 :f(x)[x] 在 x 不連續 f(x) 在 x 不可微 (b) 若設 f(x) 在 xa 處連續, 則 f(x) 在 xa 處可微分這個敘述是錯誤的反例 : 設 f(x) x, 考慮 (0,0) 這一點, f(x) f(0) x x 0 x f(x) f(0) x lim lim x 0 x 不存在, 所以 f / (0) 不存在, 但是 lim x 0, 所以 f(x) x 在 x0 不可微分, 但是在 x0 處連續注意 : f(x) 在 x0 不可微分, 因此 x 軸並不是 (0,0) 處的切線, 在 (0,0) 處沒有切線 ~ ~

3 O x 由圖形來判別微分與連續 : () 函數圖形上的斷點 : 不連續的點 () 函數圖形上的斷點尖點跳躍點或跳動很厲害的點 : 不可微分的點 xsi, x 0 [ 例題 ] 設 f(x) x, 請問 f(x) 在 x0 連續嗎? 可微分嗎? 0, x 0 As:f 在 x0 連續但不可微分 x si, x 0 ( 練習 ) 設 f(x) x, 利用定義證明 f(x) 在 x0 可微分 0, x 0 [ 提示 : 利用夾擠原理 ] x ( 練習 ) 請利用導數的定義求出 f(x)x x 的導函數 As:f / (x) 0 x x > 0 x 0 x < 0 x, x 0 ( 練習 ) () 請畫出 f(x) x 之圖形 () 請問 f(x) 在 x0 可微分嗎?, x 0 ( 乙 ) 基本函數的微分公式 () 幾個基本的微分公式 : (a)(x ) / x, N (b)( x ) / x, 為自然數 (c)(k) / 0 (d)(six) / cosx (e)(cosx) / six [(d)(e) 僅供參考 ] [ 證明 ]: (b) 設 a 為 f(x) x 定義域中的任意點, 則 f / f(x) f(a) (a) lim x a x a lim x a x a lim x a x a ( x a)[( x) + ( x x) a a ( a) ] ~ ~

4 ( a) ( a ) ( a ) (d) 設 a 為任意實數,f(x)six x a x + a f(x) f(a) six sia si cos x a x a x a x a x + a si cos 計算 f / f(x) f(a) (a) lim lim ( x a x a x a x a [ 注意 : 此處用到 cosx 為連續函數 ] )cosa ( 丙 ) 導函數的四則運算 ()f(x) 與 g(x) 為可微分的函數 f(x)+g(x) 為可微分的函數且 (f(x)+g(x)) / f / (x)+g / (x) 成立另一種表示法 : d (f(x)+g(x)) d (f(x))+ d (g(x)) 證明 : 令 h(x)f(x)+g(x), 設 a 為 h(x) 定義域中的任一點 h / (a) h(x) h(a) f ( x) + g( x) f ( a) g( a) lim lim x a x a x a x a lim ( f(x) f(a) + g(x) g(a) ) lim ( f(x) f(a) )+ lim ( g(x) g(a) ) f / (a)+g / (a) x a x a x a x a x a x a x a 5 / 例 : 求 ( x + x)? 推論 :(f (x)+f (x)+...+f (x)) / (f (x)) / + (f (x)) / + +(f (x)) / () 設 f(x) 為可微分的函數 cf(x) 為可微分的函數且 (cf(x)) / c f / (x) 另一種表示法 : d (cf(x))cdf(x), 特別 c 時, d ( f(x)) df(x) 利用 ()() 可得 : (f(x) g(x)) / f / (x) g / (x) 另一種表示 : d f x g x df ( x) dg( x) ( ( ) ( )) (c f (x)+c f (x)+...+c f (x)) / c (f (x)) / +c (f (x)) / + +c (f (x)) / 例如 : () (a x +a x +...+a x+a 0 ) /? ()(x 5 x +4 5 x ) /? ~ 4~

5 () f(x),g(x) 為可微分的函數 f(x)g(x) 為可微分的函數且 (f(x) g(x)) / f / (x) g(x)+f(x) g / (x) d 另一種表示 : (f(x) g(x)) d (f(x)) g(x)+f(x) d (g(x)) 證明 : 令 h(x)f(x)g(x), 設 a 為 h(x) 定義域中的任一點 h / h(x) h(a) f(x)g(x) f(a)g(a) (a) lim x a x a lim x a x-a g(x)(f(x) f(a))+f(a)(g(x) g(a)) lim x a x a lim g(x)[ f(x) f(a) ]+ lim f(a)[ g(x) g(a) ] x a x a x a x a g(a)f / (a)+f(a)g / (a) 而上面極限的運算中, 使用了 g(x) 在 xa 可微分, 所以 g(x) 在 xa 連續即 lim g(x)g(a) x a d 例如 : 試求 (( x + x )(x x + ))? 例如 : 試求 (x +x+) 的導函數推論 : (a) d f f f df f f f f df ( ) + + ( 逐次輪流微分 ) (b) 如果 f f f f, 則可得 [(f(x)) ] / (f(x)) (f / (x)) (4) 若 f(x),g(x) 在 xa 可微分, 且 g( a) 0, / / / / d f ( x) f ( a) g( a) f ( a) g ( a) f ( x) / f ( x) g( x) f ( x) g 則 ( ) x a 因此可得 :( ) g( x) ( g( a)) g( x) ( g( x)) 若 f(x), 則 ( g(x) )/ / g ( x) ( g( x)) [ 證明 ]: 令 h(x) f(x) g(x), 設 a 為 h(x) 定義域中的任一點 f ( x) f ( a) h / h(x) h(a) g( x) g( a) (a) lim lim lim x a x a x a x a x a x-a [ f(x)g(a) f(a)g(x) g(x)g(a) ] lim x a g(x)g(a) [ g(a)(f(x) f(a)) f(a)(g(x) g(a)) ] x a ( x) ~ 5~

6 lim x a g(x)g(a) lim [ g(a)(f(x) f(a)) f(a)(g(x) g(a)) ] x a x a (g(a)) ( f(x) f(a) lim g(a) [ ] lim f(a)[ g(x) g(a) ] x a x a x a x a (g(a)) (g(a)f / (a) f(a)g / (a)) 而上面極限的運算中, 使用了 g(x) 在 xa 可微分, 所以 g(x) 在 xa 連續即 lim g(x)g(a), 且 g(a) 0 x a x 例如 : 試求的導函數 x + x+ 例如 : 求 ( x +x+ )/? r [ 例題 4] 證明 rx r,r 為有理數 [ 例題 5] 求下列各函數的導函數 : () (x +x)(x +x+) () (x ) (x ) () x +x+ As:()4x +5x +6x+4 ()(x ) (5x 4x ) (4)(x+) (x ) ~ 6~

7 () (x +) (x +x+) (4) (x+)(x+5) (x ) 4 [ 例題 6] 設 f(x) x +x 5, 試求以點 P(, ) 為切點的切線方程式 As:y+ 8 (x ) ( 練習 4) 請利用 (six) / cosx,(cosx) / six 的結果證明 : (tax) / sec x,(secx) / secx tax ( 練習 5) 試求下列各函數的導函數 : ()x 6x +7x ()(x +x) (x+)() (x+)(x +)(x +x+) (4)(x +x+) 5 As:()x x+7 ()(x +x)(x +)(x+)+(x +x) () (x +)(x +x+)+(x+) (4x) (x +x+)+ (x+)(x +) (6x+) (4) 5(x +x+) 4 (6x +) ( 練習 6) 求下列各函數的導函數 ()f(x) x +x+ x +x+ ()f(x) x x +x+ ()f(x) 4x +x +x+ (4)f(x) x +x+ As:() x4 +x +7x 4x+ (x +x+) () x + (x +x+) () (4x +x +x+) (x +6x+) x (4) (x +x+) ~ 7~

8 ( 練習 7) 設 f(x) x+ x 請求出函數圖形 yf(x) 在 (0,) 處的切線方程式 x+ As:y5x+ ( 練習 8) 設 f(x)x x +x+,() 請求出 f / (x)? () lim As:() f / (x)x 6x+ () 0 ( 丁 ) 連鎖法則 () 合成函數 : h 0 (a) 設 f ( x) x + x+, g( y) y, 則 g( f ( x)) x + x+ x f g x + x+ x + x+, ( go f )( x) x + x+ 所以 ( go f )( x) 為 x 的函數 (b) go f f og f(+h) f( h) h d () 連鎖法則 : 既然 ( go f )( x) 為 x 的函數, 我們就可以討論 ( g o f )( x)? 例子 : 設 f(x)x +,g(y)y, 則 ( go f )( x) g( f ( x)) ( x + ) d 利用 ((f(x)) (f(x)) df(x), d 可得 ((x +) )(x +) x d dy gy ( ) y x 上式並不是巧合, 一般的情形亦是如此, 我們稱為連鎖法則定理 :( 連鎖法則 Chai Rule) 若 f(x),g(y) 都是可微分的函數, 則合成函數 ( go f )( x) 亦可微分, d dg( y) df ( x) 而且 (( g f )( x)) / / / o y f ( x) 或 ( go f ) ( x) g ( f ( x)) f ( x) dy [ 證明 ]:? + df ( x) ~ 8~

9 / [ 例題 7] 求 ( x + x + )? As: ( x + x + ) (x+) [ 例題 8] 設 f(x)( x + x + )5, 求 f / ()? As: 405 / ( 練習 9) 設 f(x) 可微分, 求 ( f ( x))?( 的正整數 ) As: ( ( f ( x)) (f / (x)) ( 練習 0) [ ( x x ) ] / (x + ) + +? As: x + x + ( 練習 ) 設 f(x)(x x+) 0, 請問 f / (x)?as:0(x x+) 9 (x ) ( 練習 ) 設 f(x) x+ x 5, 則 f / (x)?as: 6x (x 5) x 5 ( 練習 ) 試求 4 x x + 的導函數 As: 4 x (x + ) 4 5 ( 戊 ) 隱函數的微分討論曲線的切線, 本是幾何中的一個重要題材 ; 但是, 許多曲線並不是函數圖形, 對於這類曲線, 前面利用微分一個函數來求切線斜率的方法, 無法直接利用在這類的曲線上而我們知道基本上求曲線上一個點的切線, 只須要這個點附近的圖形即可, 因此可將曲線分成若干部分, 使每一個部分都是函數圖形, 再微分通過這個切 ~ 9~

10 點的函數, 求出切線斜率, 進一步求出切線的方程式 x 例 : 試求 9 + y 4 以點 ( 5, 6 5 ) 為切點的切線方程式 x ( 一 ) 利用函數圖形 : 橢圓 9 + y 4 不是函數圖形, ( 二 ) 利用隱函數的微分法 : 顯函數與隱函數 : 前面所提的函數, 都是以 x 表示 y, 叫做顯函數 (explicit fuctio), 例如 :yx x,y x x+ 都是顯函數若方程式 F(x,y)0, 可以定義出函數 yf(x), 而非解出 y 以 x 表示, 則稱 y 為 x 的隱函數 (implicit fuctio) 如方程式 x xy+y 40 可定義出一個函數 yf(x) x 4 x,x 故方程式 x xy+y 40 中的 y 為 x 的隱函數隱函數的微分 : 一般而言, 方程式 F(x,y)0 不一定都可以定義出函數 yf(x) 縱使可以, 想解出 y 以 x 表示, 有時亦很困難, 例如 :siy+y+x0, 甚至不可能在此情形下, 我們可將 y 視為 x 的可微分函數, 全式對 x 微分, 即可求得 dy, 此種方法稱為隱函數的微分法若假定 yf(x) 存在且可微分, 則 yf(x) 在曲線上點 P(x 0,y 0 ) 的導數, 記做 ( x0, y0 ) 或 dy F(x,y)0 dy P 視 y 為 x 的函數等號兩邊對 x 微分以 x,y 表示 y / ~ 0~

11 例如 :F(x,y)x +y 40, 將 y 視為 x 的可微分函數, 全式對 x 微分, 則 d (F(x,y)) d d d (x )+ (y ) (4)0, 即 x+y dy 0, dy 故 x y,y 0 [ 例題 9] 試求 x +xy+y 40 以點 P(,) 為切點的切線方程式 As:y (x+) [ 例題 0] 求曲線 x +xy y 4 上與 5x y0 平行的切線 As:5x y±8 [ 隱函數微分 ]: [ 判別式的方法 ]: ( 練習 4) 設二次曲線 Γ:xy4, 試求此曲線在 (,4) 處的切線方程式 As:4x+y 80 ( 練習 5) 若直線 x 4y+0 為 Γ:x +4y +x 90 的一條切線, 求其切點的坐標 As:(,)[ 提示 : 可令切點為 (4t,t), 再利用隱含數的微分法, 求出 y / x 4y, 4t+0 故 4t 4 t, 故切點為 (,)] ( 練習 6) 自點 (,5) 至雙曲線 x y 7 作切線, 求其方程式 As:x+y 70 及 9x 6y+490 ~ ~

12 [ 例題 ] () 求過點 (0,) 而與曲線 yf(x)x x + 之相切的直線 () 曲線 yf(x)x x + 以 (0,) 為切點的切線方程式為何? As:() 切線 y 0 或 x+4y8 ()y [ 例題 ] y 6x x + 上以 P(,) 為切點之切線方程式為何? 此切線與曲線的另一交點為何?As:y x+4, ( 4, 4 ) ~ ~

13 [ 例題 ] 函數圖形 yf(x)x +ax +b 之圖形通過 P(,) 且以 P 點為切點的切線斜率為 5, 請問數對 (a,b)? As:(, ) ~ ~

14 [ 例題 4] 試求過點 ( 6,9) 且與 yx 相切的直線 As:y6x 4,y54x 08,y 7 8 x+7 6 [ 例題 5] 如圖, 半徑 8 公分, 高 6 公分的圓錐容器以每秒 cm 的速度注水, 請問當水深達 4 公分時水面上升的速度?As: 4π cm/sec ( 練習 7) 求曲線 y x +x 之切線中, 斜率為最大之切線方程式 As:y (x ) ( 練習 8) 試求曲線 y x 的圖形上以 ( 5 4, 4 ) 為切點的切線方程式 As:5x y4 ( 練習 9) 請求出過點 (0,0) 且與曲線 yx x x+4 的切線 As:x+y0[ 請注意 (0,0) 不在曲線上 ] ( 練習 0) 設 f(x)x +4x+ 的切線與直線 y7x 平行者有二條, 則此兩切線之間的距離為何? As: 4 50 ~ 4~

15 () 令 f(x)x[x] 在 x0 是否可微分? 綜合練習 () 令 f(x) x x, 請問 f(x) 在 x0 是否可以微分? () 設函數 f(x) x x+, 則 f(x) f(8) f(8+h) f(8 4h) (a) 極限值 lim?(b) 極限值 lim x 8 x 8 h 0 h? (4) 已知 f(x)x x +5x, 則 lim x (5) 設 f(x) x 4 + x+, 則 f / (x)? f / (x) f / () x 4 f ( x) (6) 設 f ( x) x + ax + bx + cx + d, 若 lim, 則 y f (x) 的圖形上以 ( 5, f (5)) x 5 x 5 為切點的切線方程式為? x 5 dy (7) (a) y, 求 4x +? x (b) f ( x), 求 f / ( + x )? (c)f(x)x (x +5x) 0, 求 f / (x)? (8) 求下列各函數的導函數 : x + (a) f ( x) ( x + ) 5 (b) f ( x) ( ) x + 5 ( x + ) (c) f ( x) ( x + ) 4 5 (9) 曲線 y x x +x+ 在以點 (, ) 為切點之切線方程式 (0) 若 P(,) 為 x +xy+y 9 上一點, 求以 P 為切點之切線方程式 () 設 f(x)x +ax +b, ab, R, 若 yf(x) 之圖形通過點 (,4) 且在此點的斜率為, 則求 a,b 之值為何? () 過曲線 yx +x+ 外一點 P(,) 的切線方程式 () 設 P 點為拋物線 Γ:yf(x)x +x 7 外一點, 已知過 P 點的切線有二條, 其斜率分別為, 4, 則 P 點坐標為何? (4) 若直線 yx 與曲線 yx x +ax 相切, 試求 a? (5) 曲線 yf(x)x 6x 有一切線斜率為 6, 求此切線方程式為何? ~ 5~

16 (6) 過點 (, ), 且與曲線 y x x 相切的直線有幾條? 其斜率分別為何? 進階問題 (7) 設 P(x 0,y 0 ) 為圓錐曲線 ax +bxy+cy ++ey+f0 上一點, 則過 P(x 0,y 0 ) 的切線方程式 :ax 0 x+b ( x 0y+y 0 x )+cy 0 y+d( x 0+x )+e(y 0+y )+f0 (8) 求曲線 x + y 在點 ( 4, 4 ) 的切線及法線方程式 (9) 試求橢圓 x +5y 5 與圓 (x+) +y 5 之公切線之方程式 () 不可微分 [ lim () 不可微 [ lim + + f(x) f(0) x 0 f(x) f(0) x 0 lim + 綜合練習解答 x[x] x 0, 而 lim f(x) f(0) x 0 lim + lim ( x +x + x ), lim f(x) f(0) x 0 lim () (a) 8 (b) 8 [ 提示 : lim f(8+h) f(8 4h) h h 0 (4) 4[ 提示 : f / (x) f / () lim x x x > 4 (5) f / (x) 0 < x < 4 x < (6) y (x 5) [ 提示 :Q lim (7) (a) dy x 5 f // ()] f ( x) x 5 ( x ) ( x + x+ ) ( 4x + ) 5 40 (b) (8) (a)f / 0x ( x + ) (x) (b)f / 0x( x + ) (x) 6 ( x + ) (9) x+y+0 (0) y 7 8 (x ) () a,b6 7 f / (8)] x[x] x x x x ] ], f(5), 且切線斜率為 ] (c) ( x x) ( x + 65x ) 4 / (x + ) (8 0x x ) (c) f ( x) 6 ( x + ) () y x,y 75(x ) [ 提示 : 設切點為 (t,t +t+), 切線斜率 t+ 切線 y ( t +t+)(t+)(x t) 又切線通過 P(,) t t0 t0 或 ] ~ 6~

17 () P(, 0) [ 提示 :f / (x)x+, 解 f / (x) 或 f / (x) 4 x0 或可得切點與切線分別為 (0, 7) x y7 或 (, 4) 4x+y 6] (4) a 或 4 [ 提示 : 設切點為 (t,t) t 6t+a, 又因為切點在曲線上 t t +att 聯立解上述兩個方程式 a 或 4 ] (5) y+46(x ) 或 y 46(x+) [ 提示 : 設切點 (t,t 6t) t 66 t±] (6),0,± (7) [ 提示 : 令 yf(x) 代入圓錐曲線方程式得 ax +bxf(x)+c(f(x)) ++ef(x)+f0 兩邊對 x 微分 ax+bf(x)+bx f / (x)+cf(x) f / (x)+d+ef / (x)0 f / (x) ax bf(x) d bx+cf(x)+e 所以過點 P(x 0,y 0 ) 之切線斜率為 f / (x 0 ) ax 0 bf(x 0 ) d bx 0 +cf(x 0 )+e 由點斜式可得切線方程式為 y y 0 ( ax 0 by 0 d bx 0 +cy 0 +e )(x x 0) (ax 0 +by 0 +d)x+(bx 0 +cy 0 +e)yax 0 +bx 0 y 0 +cy ey 0 (ax 0 +by 0 +d)x+(bx 0 +cy 0 +e)y ( 0 +ey 0 +f) ax 0 x+b ( x 0y+y 0 x )+cy 0 y+d( x 0+x )+e(y 0+y )+f0 (8) x+y,x y0 (9) x y 0 或 x+y 0 ax 0 by 0 d bx 0 +cy 0 +e (Qy 0 f(x 0 )) ~ 7~

Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis

Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis 第五講連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 - 目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 - 綱要本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 - o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c