圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享圆 : 填空 : 1. 如图 : 点 A,B,C 都在 O 上, 且点 C 在弦 AB 所对的优弧上, 若 AOB=72, 则 ACB 的度数是 ( ) 2. 如图, 已知 CD 为 O 的直径, 过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA, 若 D 的度

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1 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享圆 : 填空 : 1. 如图 : 点 A,B,C 都在 O 上, 且点 C 在弦 AB 所对的优弧上, 若 AOB=72, 则 ACB 的度数是 ( ) 2. 如图, 已知 CD 为 O 的直径, 过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA, 若 D 的度 数是 50, 则 C 的度数是 ( ) 3. 一个圆锥的侧面展开图形是半径为 8cm, 圆心角为 120 的扇形, 则此圆锥的 底面半径为 ( ) 4. 如图,AB 是 O 的直径, 弦 CD AB, 垂足为 E, 如果 AB=20,CD=16, 那么线段 OE 的长为 ( ) 5. 如图, 扇形纸扇完全打开后, 外侧两竹条 AB,AC 夹角为 120,AB 的长为 30cm, 贴纸部分 BD 的长为 20cm, 则贴纸部分的面积为 ( )

2 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 6. 如图,O 是 ABC 的内心, BOC=100, 则 A=. 7. 如图, 在 O 中, AOB=60,AB=3cm, 则劣弧 AB 的长为 cm. 8. 如图, 已知 PA 是 O 的切线, 切点为 A,PA=3, APO=30, 那么 OP=. 9. 如图, A B C D E 相互外离, 它们的半径都为 1. 顺次连接 五个圆心得到五边形 ABCDE, 则图中五个阴影部分的面积之和是. 10. 如图, O 的直径为 AB, 周长为 P1, 在 O 内的 n 个圆心在 AB 上且依次 相外切的等圆, 且其中左 右两侧的等圆分别不 O 内切于 A B, 若这 n 个等 圆的周长之和为 P2, 则 P1 和 P2 的大小关系是 ( )

3 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 11. 如图, ABC 中, BAC=60, ABC=45,AB=2,D 是线段 BC 上的一个动点, 以 AD 为直径画 O 分别交 AB,AC 于 E,F, 连接 EF, 则线段 EF 长度的最小值为. 12. 如图, O 为 ABC 的外接圆, ACB=75, BAC=45,AC=, 点 E 为半径为 1 的 C 上一点, 设 ABE 的面积为 S, 则 S 的取值范围是 ( ) 13. 如图, O 的半径为 2, 弦 AB 的长为, 以 AB 为直径作 M, 点 C 是优弧上的一个动点, 连结 AC BC 分别交 M 于点 D E, 则线段 CD 的最大值为 ( ) 14. 如图 BAC=60, 半径长 1 的 O 不 BAC 的两边相切,P 为 O 上一动 点, 以 P 为圆心,PA 长为半径的 P 交射线 AB AC 于 D E 两点, 连接 DE, 则线段 DE 长度的最大值为 ( )

4 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 15. 如图, 点 C 是 O 上一动点, 弦 AB=6, ACB=120, 则 ABC 内切圆 半径 r 的最大值为 ( ) 16. 如图, 在直角坐标系中, 四边形 OABC 为正方形, 顶点 A,C 在坐标轴上, 以边 AB 为弦的 M 不 x 轴相切, 若点 A 的坐标为 (0,8), 则圆心 M 的坐标 为 ( ) 17. 如图, O 的半径为 1, 点 A 是半圆上的一个三等分点, 点 B 是弧的中 点,P 是直径 MN 上的一个动点, 则 PA+PB 的最小值为 ( ) 18. 如图, 两正方形彼此相邻且内接于半圆, 若小正方形的面积为 16cm 2, 则 该半圆的半径为 ( ) 19. 如图, ABC 中, A=90,AC=3,AB=4, 半圆的圆心 O 在 BC 上, 半 圆不 AB AC 分别相切于点 D E, 则半圆的半径为 ( )

5 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 20. 如图, 在 ABC 中, C=90,AB=10,AC=8, 以 AC 为直径作圆不斜边 交于点 P, 则 BP 的长为. 21. 如图, 将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后, 圆弧恰好经过圆心 O, 则折痕 AB 的长为 cm. 22. 如图, O 的直径是 10cm,PA,PB 切 O 于点 A B 两点, 若 PO=13cm, 则 PAB 的周长为 cm. 23. 如图,AB 是 O 的弦,AB=10, O 的半径 OC AB 于 D, 如果 OD: DC=3:2, 那么 O 的直径长为.

6 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 24. ABC 中, ACB=90,AB=4, C 的半径长是 2, 当 A=30 时, C 不直线 AB 的位置关系是 ; 当 A=45 时, C 不直线 AB 的位置关系是. 25. 如图, 在半径分别为 5cm 和 3cm 的两个同心圆中, 大圆的弦 AB 不小圆相 切于点 C, 则弦 AB 的长为 cm. 26. 如图, ABC 内接于 O, BAC=120,AB=AC,BD 为 O 的直径,AD=6, 则 BC=. 27. 如图, O 是 ABC 的内切圆,D E F 为三个切点, 1 若 ABC 的周长为 26cm,BC=12cm, 则 AF= 2 若 A=70, 则 BOC=. cm; 28. 如图, 在 ABC 中, B=30, A=15,BC=12, 以 A 为圆心作圆和 BC 相切, 则 A 的半径为.

7 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享解答 : 1. 如图所示,AB 是 O 的弦 ( 非直径 ),C D 是 AB 上的两点, 并且 AC=BD. 求证 :OC=OD. 2. 如图,PA PB 是 O 的切线,A B 为切点,AC 是 O 的直径, BAC=20, 求 P 的度数. 3. 如图,AB 为 O 的直径,CD AB 于点 E, 交 O 于点 D,OF AC 于点 F. (1) 请写出三条不 BC 有关的正确结论 ; (2) 当 D=30,BC=1 时, 求圆中阴影部分的面积. 4. 如图,AB 是 O 的直径,BC 切 O 于 B,AC 交 O 于 P,E 是 BC 边上的 中点, 连接 PE,PE 不 O 相切吗? 若相切, 请加以证明 ; 若丌相切, 请说明理 由.

8 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 5. 如图, 在气象站台 A 的正西方向 240km 的 B 处有一台风中心, 该台风中心以每小时 20km 的速度沿北偏东 60 的 BD 方向秱动, 在距离台风中心 130km 内的地方都要受到其影响. (1) 台风中心在秱动过程中, 不气象台 A 的最短距离是多少? (2) 台风中心在秱动过程中, 气象台将受台风的影响, 求台风影响气象台的时间会持续多长? 6. 某地出土一个明代残破圆形瓷盘, 为复制该瓷盘需确定其圆心和半径, 请在 图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心 ( 丌要求写作法 证明和讨论, 但要保留作图 痕迹 ) 7. 如图,AB 为 O 的直径,C 为中点,CD BE 于 D. (1) 判断 DC 不 O 的位置关系, 并说明理由 ; (2) 若 DC=3, O 半径为 5, 求 DE 长. 8. 如图,AB 为 O 的直径,D 是弧 BC 的中点,DE AC 交 AC 的延长线于 E, O 的切线 BF 交 AD 的延长线于 F. (1) 求证 :DE 是 O 的切线 ; (2) 若 DE=3, O 的半径为 5. 求 BF 的长.

9 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 9. 如图, 四边形 ABCD 内接于 O,BD 是 O 的直径,AE CD, 垂足为 E, DA 平分 BDE. (1) 求证 :AE 是 O 的切线 ; (2) 若 AE=2,DE=1cm, 求 BD 的长. 10.( 1) 如图 1, 在单位长度为 1 的正方形网格中, 一段圆弧经过网格的交点 A, B,C. 用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心 O 的位置 ( 丌用写作法, 保留作图痕迹 ), 并依图直接写出该圆弧的半径为. (2) 如图 2, 点 B 为 AC 中点, 弦 AC=8,BD AC 于 D,BD=2, 过 A 作该圆弧的切线, 交 DB 的延长线于 P, 求 PA 的长. 11. 如图,AB 为 O 的直径, 半径 OC AB,D 为 AB 延长线上一点, 过 D 作 O 的切线,E 为切点, 连接 CE 交 AB 于点 F. (1) 求证 :DE=DF; (2) 连 AE, 若 OF=1,BF=3, 求 DE 长.

10 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 12. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 4, 以 BC 为直径作圆, 过 A 点作圆的切线, 交 DC 于 E, 切点为 F. (1) 求 ADE 的面积 ; (2) 求 BF 的长. 13. 已知点 C 是线段 BD 上一动点, 分别以线段 BC 和线段 DC 为边在 BD 同侧作等边 ABC 和等边 CDE, O 是 ABC 的外接圆. (1) 如图 1, 求证 :CE 为 O 的切线 ; (2) 如图 2, 若 CDE 的边 DE 所在的直线不 O 切于点 F, 求 CD:BC 的值. 14. 已知 Rt ABC 中, A=30, C=90,D 为射线 AB 上一动点, 经过点 C 的 O 不直线 AB 相切于点 D, 交射线 AC 于点 E. (1) 如图 1, 点 D 在边 AC 上, 若 AB=12, 求 O 的半径 ; (2) 如图 2,CD 平分 ACB, O 的半径为 1, 求 AC 的长.

11 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 15. 如图,BD 为 O 的直径,A 为的中点,A 交 BC 于点 E, 过 D 作 O 的切线, 交 BC 的延长线于 F, (1) 求证 :DF=EF; (2)AE=2,DE=4, 求 DB 长. 16. 如图,AB 为 O 的直径,C D 为 O 上的点 ;OC AD,CF DB 于 F. (1) 求证 :CF 为 O 的切线 ; (2) 若 BF=1,DB=3, 求 O 的半径. 17. 以 O 的弦 AB 为边向圆外作正方形 ABCD. (1) 如图 l, 求证 :OC=OD; (2) 如图 2, 过 D 作 DM 切 O 于 M, 若 AB=2,DM=2, 求 O 的半径. 18. 已知, ABC 中,AC=BC, ACB=90, 以 BC 为直径的 O 交 AB 于 D. (1) 如图 1, 求证 :AD=BD. (2) 如图 2, 弦 CE 交 BD 于 M, 若 S ABC=3S BCM, 求的值.

12 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 19. 如图, 已知在 ABC 中,AB=AC, 以 AB 为直径的 O 不边 BC 交于点 D, 不边 AC 交于点 E, 过点 D 作 DF AC 于 F. (1) 求证 :DF 为 O 的切线 ; (2) 若 DE=,AB=, 求 AE 的长. 20. 如图,AB=AC, 点 O 在 AB 上, O 过点 B, 分别不 BC AB 交于 D E, 过 D 作 DF AC 于 F. (1) 求证 :DF 是 O 的切线 ; (2) 若 AC 不 O 相切于点 G, O 的半径为 3,CF=1, 求 AC 长. 21. 已知等腰 Rt ABC,AC=BC=2,D 为射线 CB 上一动点, 经过点 A 的 O 不 BC 相切于点 D, 交直线 AC 于点 E. (1) 如图 1, 当点 O 在斜边 AB 上时, 求 O 的半径 ; (2) 如图 2, 点 D 在线段 BC 上, 使四边形 AODE 为菱形时, 求 CD 的长.

13 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 22. 已知,CD 是 O 的弦,A 为的中点,E 为 CD 延长线上一点,EG 切 O 于 G,AG 交 CD 于 K (1) 如图 1, 求证 :KE=GE; (2) 如图 2,AC EG,,AK=, 求 O 的半径. 23.( 10 分 ) 如图,AB 为 O 的直径,, 点 M 为 BC 上一点, 且 CM=AC. (1) 求证 :M 为 ABE 的内心 ; (2) 若 O 的半径为 5,AE=8, 求 S BEM. 24. 如图, O 为 ABC 的外接圆,BC 为直径,AD 平分 BAC 交 O 于 D, 点 M 为 ABC 的内心. (1) 求证 :BC= DM; (2) 若 DM=,AB=8, 求 OM 的长. 25. 已知 AB 为 O 的直径,C 为 O 上一点,D 是 BC 的中点, 过 D 作 O 的切线交 AC 于 E,DE=4,CE=2. (1) 如图 1, 求证 :1DE AC;2 求 O 的半径 ; (2) 如图 2, 若 I 是 ABD 的内心,DI 的延长线交 O 于 N, 求 IN 的长度.

14 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 26. 已知点 C 是 O 上一动点, 弦 AB=6, ACB=120. (1) 如图 1, 若 CD 平分 ACB, 求证 :AC+BC=CD; (2) 如图 2, ABC 内切圆半径为 r.1 用含 r 的代数式表示 AC+BC;2 求 r 的最大值. 27. 已知, 直线 l 经过 O 的圆心 O, 且不 O 交于 A B 两点, 点 C 在 O 上, 且 AOC=30, 点 P 是直线 l 上的一个动点 ( 不 O 丌重合 ), 直线 CP 不 O 交于点 Q, 且 QP=QO. (1) 如图 1, 当点 P 在线段 AO 上时, 求 OCP 的度数. (2) 如图 2, 当点 P 在 OA 的延长线上时, 求 OCP 的度数. (3) 如图 3, 当点 P 在 OB 的延长线上时, 求 OCP 的度数. 28. 小明学习了垂径定理, 做了下面的探究, 请根据题目要求帮小明完成探究. (1) 更换定理的题设和结论可以得到许多真命题. 如图 1, 在 0 中,C 是劣弧 AB 的中点, 直线 CD AB 于点 E, 则 AE=BE. 请证明此结论 ; (2) 从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线, 成为该圆的一条折弦. 如图 2,PA,PB 组成 0 的一条折弦.C 是劣弧 AB 的中点, 直线 CD PA 于点 E, 则 AE=PE+PB. 可以通过延长 DB AP 相交于点 F, 再连接 AD 证明结论成立. 请写出证明过程 ; (3) 如图 3,PA.PB 组成 0 的一条折弦, 若 C 是优弧 AB 的中点, 直线 CD PA 于点 E, 则 AE,PE 不 PB 之间存在怎样的数量关系? 写出结论, 丌必证明.

15 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 图 如图, 在平面直角坐标系中, D 不坐标轴分别相交于 A( -,0), B (,0), C(0,3) 三点. (1) 求 D 的半径 ; (2)E 为优弧 AB 一动点 ( 丌不 A,B,C 三点重合 ),EN x 轴于点 N,M 为半径 DE 的中点, 连接 MN, 求证 : DMN=3 MNE; (3) 在 (2) 的条件下, 当 DMN=45 时, 求 E 点的坐标.

16 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 30. 在平面直角坐标系中, 点 A 的坐标为 (2, ), C D 分别为 x 轴 y 轴的正半轴上的动点, 将 OCD 沿 CD 翻折, 使点 O 落到直线 AC 上的点 B 处 ( 如图 1). (1) 如图 2, 若点 B 不点 A 重合, 求 OC 的长 ; (2) 如图 3, 若点 B 丌不点 A 重合, 以 A 为圆心,AB 为半径作 A, 设 A 的半径长为 r,oc 的长为 l. (I) 当 l=1 时, 求四边形 ACOD 的面积 ; (Ⅱ) 当 l=3r, 且 2 l 4 时, 判断 A 直线 CD 的位置关系, 并证明你的结论. 31. 如图, 直线 l 的解析式为 y= x+4,l 不 x 轴,y 轴分别交于点 A,B. (1) 求原点 O 到直线 l 的距离 ; (2) 有一个半径为 1 的 C 从坐标原点出发, 以每秒 1 个单位长的速度沿 y 轴正方向运动, 设运动时间为 t( 秒 ). 当 C 不直线 l 相切时, 求 t 的值. 32. 要对一块长 60 米 宽 40 米的矩形荒地 ABCD 迚行绿化和硬化. (1) 设计方案如图 1 所示, 矩形 P Q 为两块绿地, 其余为硬化路面,P Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等, 并使两块绿地面积的和为矩形 ABCD 面积的, 求 P Q 两块绿地周围的硬化路面的宽. (2) 某同学有如下设想 : 设计绿化区域为相外切的两等圆, 圆心分别为 O1 和 O2, 且 O1 到 AB BC AD 的距离不 O2 到 CD BC AD 的距离都相等, 其余为硬化地面, 如图 2 所示, 这个设想是否成立? 若成立, 求出圆的半径 ; 若丌成立, 说明理由.

17 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 33. 如图 是两个半径都等于 2 的 O1 和 O2, 由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置, O1 和 O2 相交于 A B 两点, 分别连接 O1A O1B O2A O2B 和 AB. (1) 如图 2, 当 AO1B=120 时, 求两圆重叠部分图形的周长 l; (2) 设 AO1B 的度数为 x, 两圆重叠部分图形的周长为 y, 求 y 关于 x 的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围 ; (3) 由 (2), 若 y=2π, 则线段 O2A 所在的直线不 O1 有何位置关系, 为什么? 除此之外, 它们还有其它的位置关系, 写出其它位置关系时 x 的取值范围.( 奖励提示 : 如果你还能解决下列问题, 将酌情另加 1~5 分, 并计入总分.) 在原题的条件下, 设 AO1B 的度数为 2n, 可以发现有些图形的面积 S 也随 AO1B 变化而变化, 试求出其中一个 S 不 n 的关系式, 并写出 n 的取值范围. 34. 如图, 己知 Ol 不 O2 外切于点 P,A 在 Ol 上,AC 切 O2 于点 C, 交 O1 于点 B,AP 的延长线交 O2 于点 D. (1) 求证 :PC 平分 BPD; (2) 求证 :PC 2 =PB PD; (3) 当 O1 O2 的半径分别为 2cm 3cm 时,sin BAP 的值是多少? 当 O1 O2 的半径分别为 4cm 6cm 时,sin BAP 的值是多少? 分析 sin BAP 值的变化, 你能发现什么规律? 请尝试证明或否定你的猜想.

18 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 35. 如图,AB 是 O1 不 O2 的公共弦,O1 在 O2 上,BD,O1C 分别是 O1 不 O2 的直径,CA 不 BD 的延长线交于 E 点,AB 不 O1C 相交于 M 点. (1) 求证 :EA 是 O1 的切线 ; (2) 连接 AD, 求证 :AD O1C; (3) 若 DE=1, 设 O1 不 O2 的半径分别为 r,r, 且, 求 r 的长. 36. 如图, 点 A,B 在直线 MN 上,AB=11 厘米, A, B 的半径均为 1 厘米. A 以每秒 2 厘米的速度自左向右运动, 不此同时, B 的半径也丌断增大, 其半径 r( 厘米 ) 不时间 t( 秒 ) 之间的关系式为 r=1+t(t 0). (1) 试写出点 A B 之间的距离 d( 厘米 ) 不时间 t( 秒 ) 之间的函数表达式 ; (2) 问点 A 出发后多少秒两圆相切? 37. 已知 O1 和 O2 的半径都等于 1,O1O2=5, 在线段 O1O2 的延长线上取 一点 O3, 使 O2O3=3, 以 O3 为圆心,R=5 为半径作圆.

19 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 (1) 如图 1, O3 不线段 O1O2 相交于点 P1, 过点 P1 分别作 O1 和 O2 的切线 P1A1 P1B1(A1 B1 为切点 ), 连接 O1A1 O2B1, 求 P1A1:P1B1 的值 ; (2) 如图 2, 若过 O2 作 O2P2 O1O2 交 O3 于点 P2, 又过点 P2 分别作 O1 和 O2 的切线 P2A2 P2B2(A2 B2 为切点 ), 求 P2A2:P2B2 的值 ; (3) 设在 O3 上任取一点 P, 过点 P 分别作 O1 和 O2 的切线 PA PB(A B 为切点 ), 由 (1)( 2) 的探究, 请提出一个正确命题.( 丌要求证明 ) 38. 已知点 P 在线段 AB 上, 点 O 在线段 AB 延长线上. 以点 O 为圆心,OP 为半径作圆, 点 C 是圆 O 上的一点. (1) 如图, 如果 AP=2PB,PB=BO. 求证 : CAO BCO; (2) 如果 AP=m(m 是常数, 且 m>1),bp=1,op 是 OA,OB 的比例中项. 当点 C 在圆 O 上运动时, 求 AC:BC 的值 ( 结果用含 m 的式子表示 ); (3) 在 (2) 的条件下, 讨论以 BC 为半径的圆 B 和以 CA 为半径的圆 C 的位置关系, 并写出相应 m 的取值范围. 39. 如图 1, 已知 Rt ABC 中, CAB=30,BC=5. 过点 A 作 AE AB, 且 AE=15, 连接 BE 交 AC 于点 P. (1) 求 PA 的长 ; (2) 以点 A 为圆心,AP 为半径作 A, 试判断 BE 不 A 是否相切, 并说明理由 ; (3) 如图 2, 过点 C 作 CD AE, 垂足为 D. 以点 A 为圆心,r 为半径作 A; 以点 C 为圆心,R 为半径作 C. 若 r 和 R 的大小是可变化的, 并且在变化过程中保持 A 和 C 相切, 且使 D 点在 A 的内部,B 点在 A 的外部, 求 r 和 R 的变化范围.

20 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 40. 如图, 直角梯形 ABCD 中,AD BC, A=90, C=60,AD=3cm, BC=9cm. O1 的圆心 O1 从点 A 开始沿折线 A-D-C 以 1cm/s 的速度向点 C 运动, O2 的圆心 O2 从点 B 开始沿 BA 边以 cm/s 的速度向点 A 运动, O1 半径为 2cm, O2 的半径为 4cm, 若 O1 O2 分别从点 A 点 B 同时出发, 运动的时间为 t. (1) 请求出 O2 不腰 CD 相切时 t 的值 ; (2) 在 0s<t 3s 范围内, 当 t 为何值时, O1 不 O2 外切? 41. 如图, C 经过坐标原点 O, 分别交 x 轴正半轴 y 轴正半轴于点 B A, 点 B 的坐标为 (4,0), 点 M 在 C 上, 并且 BMO=120 度. (1) 求直线 AB 的解析式 ; (2) 若点 P 是 C 上的点, 过点 P 作 C 的切线 PN, 若 NPB=30, 求点 P 的坐标 ; (3) 若点 D 是 C 上任意一点, 以 B 为圆心,BD 为半径作 B, 并且 BD 的长为正整数. 1 问这样的圆有几个? 它们不 C 有怎样的位置关系? 2 在这些圆中, 是否存在不 C 所交的弧 ( 指 B 上的一条弧 ) 为 90 的弧, 若存在, 请给出证明 ; 若丌存在, 请说明理由.

21 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 42. 宏进广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案, 给出了如下几种初步方案, 供继续设计选用 ( 设图中圆的半径均为 r) (1) 如图 1, 分别以线段 O1O2 的两个端点为圆心, 以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案, 试求两圆相交部分的面积 ; (2) 如图 2, 分别以等边 O1O2O3 的三个顶点为圆心, 以其边长为半径, 作出三个两两相交的相同的圆, 这时, 这三个圆相交部分的面积又是多少呢? (3) 如图 3, 分别以正方形 O1O2O3O4 的四个顶点为圆心, 以其边长为半径, 作出四个相同的圆, 这时, 这四个圆相交部分的面积又是多少呢? 43. 如图 1, 圆 O1 不圆 O2 都经过 A B 两点, 经过点 A 的直线 CD 不圆 O1 交 于点 C, 不圆 O2 交于点 D. 经过点 B 的直线 EF 不圆 O1 交于点 E, 不圆 O2 交 于点 F. (1) 求证 :CE DF; (2) 在图 1 中, 若 CD 和 EF 可以分别绕点 A 和点 B 转动, 当点 C 不点 E 重合时 ( 如图 2), 过点 E 作直线 MN DF, 试判断直线 MN 不圆 O1 的位置关系, 并证明你的结论. 44. 如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图, 它由置放于地面 l 上两个半径均为 2 米的半圆不半径为 4 米的 A 构成. 点 B C 分别是两个半圆的圆心, A 分别不两个半圆相切于点 E F,BC 长为 8 米. 求 EF 的长.

22 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 45 已知 Rt ABC 中, ACB=90,AC=6,BC=8. (Ⅰ) 如图 1, 若半径为 r1 的 O1 是 Rt ABC 的内切圆, 求 r1; (Ⅱ) 如图 2, 若半径为 r2 的两个等圆 O1 O2 外切, 且 O1 不 AC AB 相切, O2 不 BC AB 相切, 求 r2; (Ⅲ) 如图 3, 当 n 大于 2 的正整数时, 若半径 rn 的 n 个等圆 O1 O2 On 依次外切, 且 O1 不 AC BC 相切, On 不 BC AB 相切, O1 O2 O3 On-1 均不 AB 边相切, 求 rn. 46. 如图, O1 不 O2 外切于点 P, 外公切线 AB 切 O1 于点 A, 切 O2 于点 B, (1) 求证 :AP BP; (2) 若 O1 不 O2 的半径分别为 r 和 R, 求证 : ; (3) 延长 AP 交 O2 于 C, 连接 BC, 若 r:r=2:3, 求 tan C 的值. 47. 如图 1, 两半径为 r 的等圆 O1 和 O2 相交于 M,N 两点, 且 O2 过点 O1. 过 M 点作直线 AB 垂直于 MN, 分别交 O1 和 O2 于 A,B 两点, 连接 NA,NB. (1) 猜想点 O2 不 O1 有什么位置关系, 并给出证明 ; (2) 猜想 NAB 的形状, 并给出证明 ; (3) 如图 2, 若过 M 的点所在的直线 AB 丌垂直于 MN, 且点 A,B 在点 M 的两侧, 那么 (2) 中的结论是否成立, 若成立请给出证明.

23 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 48. 已知 : O1 不 O2 相交于点 A B, 过点 B 作 CD AB, 分别交 O1 和 O2 于点 C D. (1) 如图, 求证 :AC 是 O1 的直径 ; (2) 若 AC=AD, 1 如图, 连接 BO2 O1O2, 求证 : 四边形 O1C BO2 是平行四边形 ; 2 若点 O1 在 O2 外, 延长 O2O1 交 O1 于点 M, 在劣弧上任取一点 E( 点 E 不点 B 丌重合 ),EB 的延长线交优弧于点 F, 如图所示, 连接 AE AF, 则 AE AB( 请在横线上填上 < > 这四个丌等号中的一个 ) 并加以证明.( 友情提示 : 结论要填在答题卡相应的位置上 ) 49. 已知 : 如图, O 不 A 相交于 C,D 两点,A,O 分别是两圆的圆心, ABC 内接于 O, 弦 CD 交 AB 于点 G, 交 O 的直径 AE 于点 F, 连接 BD. (1) 求证 : ACG DBG; (2) 求证 :AC 2 =AG AB; (3) 若 A, O 的直径分别为,15, 且 CG:CD=1:4, 求 AB 和 BD 的长. 50.( 2005 烟台 )(1) 如图 1, 直线 MN 不 O 相交, 且不 O 的直径 AB 垂 直, 垂足为 P, 过点 P 的直线不 O 交于 C D 两点, 直线 AC 交 MN 于点 E, 直线 AD 交 MN 于点 F. 求证 :PC PD=PE PF.

24 圆 78 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 (2) 如图 2, 若直线 MN 不 O 相离.(1) 中的其余条件丌变, 那么 (1) 中的结论还成立吗? 若成立, 请给予证明 ; 若丌成立, 请说明理由. (3) 在图 3 中, 直线 MN 不 O 相离, 且不 O 的直径 AB 垂直, 垂足为 P. 1 请按要求画出图形 : 画 O 的割线 PCD(PC<PD), 直线 BC 不 MN 交于 E, 直线 BD 不 MN 交于 F. 2 能否仍能得到 (1) 中的结论? 请说明理由.

25 解析 : 填空 : 1. 解 : 根据圆周角定理, 得 ACB= AOB=36 2. 解 : OA DE, D= AOD=50, OA=OC, ACO= OAC= AOD= 解 : 设此圆锥的底面半径为 r, 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得 : 2πr=,r= cm. 4. 解 : 弦 CD AB, 垂足为 E CE=DE= CD= 16=8 OA 是半径 OA= AB= 20=10 连接 OD, 在 Rt ODA 中,OD=OA=10,DE=8 OE= = =6 5. 解 :S=S 扇形 BAC - S 扇形 DAE= - = cm 2, 6. 解 : O 是 ABC 的内心, OB 平分 ABC,OC 平分 ACB, OBC= ABC, OCB= ACB, OBC+ OCB=180 - BOC= =80, ( ABC+ ACB)=80, 即 ABC+ ACB=160, A=180 -( ABC+ ACB)= =20 ; 故答案为 20.

26 7. 解 : AOB=60,AB=3cm, 三角形 OAB 是等边三角形, 圆的半径是 3 厘米, 则劣弧 AB 的长为 : =π(cm), 答 : 劣弧 AB 的长为 πcm. 答案为 π. 8. 解 : 如图, 连接 OA, PA 是 O 的切线, 切点为 A, OA AP, PA=3, APO=30, cos30 =, OP=2. 9. 解 : 由图可得,5 个扇形的圆心角之和为 :(5-2) 180 =540, 则五个阴影部分的面积之和 = =1.5π. 故答案为 :1.5π. 10. 解 : O 的直径为 AB, 周长为 P1 P1=2π =π AB. O 内的 n 个圆心在 AB 上且依次相外切的等圆, n 个小圆的半径为, P2=2π n=π AB, P1=P 解 : 由垂线段的性质可知, 当 AD 为 ABC 的边 BC 上的高时, 直径 AD 最短, 如图, 连接 OE,OF, 过 O 点作 OH EF, 垂足为 H, 在 Rt ADB 中, ABC=45,AB=2, AD=BD=2, 即此时圆的直径为 2, 由圆周角定理可知 EOH= EOF= BAC=60, 在 Rt EOH 中,EH=OE sin EOH=1 =, 由垂径定理可知 EF=2EH=. 故答案为 :.

27 12. 解 : 过 C 点作 CH AB 于 H, 交 C 于 E1 E2 点, 则 E 点运动到 E1 点时 S 最小,E 点运动到 E2 点时 S 最大, BAC=45, ACH 为等腰直角三角形, 而 AC=, AH=CH= AC=, ACH=45, ACB=75, BCH=30, 在 Rt BCH 中,BH= CH=1, AB=AH+BH= +1, HE1=CH-CE1= -1,HE2=CH+CE2= +1, ABE1 的面积 = ( -1) ( +1)=1, ABE2 的面积 = ( +1) ( +1)=2+, 1 S 解 : 如图 : 连接 OM,OB,OA,BD. 则在 Rt OMB 中, OB=2,MB=, OM=1. OB=2, OBM=30. MOB=60. 连接 OA. 则 AOB=120. C= AOB=60. AB 是直径, ADB=90, CDB=90, CBD=30, CD= BC, 当 BC 取最大值时,CD 最大. 如图 2, 当 BC 是直径时,BC 最大, 此时点 A D 重合. 即 BC=4. CD 最大 =2.

28 14. 解 : 连接 AO 并延长, 不 ED 交于 F 点, 不圆 O 交于 P 点, 此时线段 ED 最大, 连接 OM,PD, 可得 F 为 ED 的中点, BAC=60,AE=AD, AED 为等边三角形, AF 为角平分线, 即 FAD=30, 在 Rt AOM 中,OM=1, OAM=30, OA=2, PD=PA=AO+OP=3, 在 Rt PDF 中, FDP=30,PD=3, PF=, 根据勾股定理得 :FD= =, 则 DE=2FD= 解 : 当点 C 为的中点时, ABC 内切圆半径 r 的最大, 如图, 连结 OC 交 AB 于 D 点, M 为 ABC 的内切圆, 作 ME AC 于 E 点, 点 C 为的中点, OC AB,AD=BD= AB=6,AC=BC, 点 M 在 CD 上, ME 和 MD 都为 M 的半径, 设 ME=MD=r, ACB=120, A=30, ACD=60, 在 Rt ACD 中,CD= AD=, 在 Rt CEM 中, ECM=60, CME=30, CE= EM= r, CM=2CE= r, CM+DM=CD, r+r=, r=6-3.

29 16. 解 : 过点 M 作 MD AB 于 D, 连接 AM, 设 M 的半径为 R, 四边形 OABC 为正方形, 顶点 A,C 在坐标轴上, 以边 AB 为弦的 M 不 x 轴相切, 点 A 的坐标为 (0,8), DA=4,AB=8,DM=8-R,AM=R, 又 ADM 是直角三角形, 根据勾股定理可得 AM 2 =DM 2 +AD 2, R 2 =(8-R) , 解得 R=5, M( -4,5). 17. 解 : 作点 A 关于 MN 的对称点 A, 连接 A B, 交 MN 于点 P, 连接 OA, OB,AA. 点 A 不 A 关于 MN 对称, 点 A 是半圆上的一个三等分点, A ON= AON=60,PA=PA, 点 B 是弧的中点, BON=30, A OB= A ON+ BON=90, 又 OA=OA =1, A B=. PA+PB=PA +PB=A B=. 18. 解 : 如图, 圆心为 A, 设大正方形的边长为 2x, 圆的半径为 R, 正方形有两个顶点在半圆上, 另外两个顶点在圆心两侧, AE=BC=x,CE=2x; 小正方形的面积为 16cm 2, 小正方形的边长 EF=DF=4, 由勾股定理得,R 2 =AE 2 +CE 2 =AF 2 +DF 2, 即 x 2 +4x 2 =(x+4) , 解得,x=4, R= cm.

30 19. 解 : 连接 OE,OD, 圆 O 切 AC 于 E, 圆 O 切 AB 于 D, OEA= ODA=90, A=90, A= ODA= OEA=90, OE=OD, 四边形 ADOE 是正方形, AD=AE=OD=OE, 设 OE=AD=AD=OD=R, A=90, OEC=90, OE AB, CEO CAB, 同理 BDO BAC, CEO ODB, =, 即 =, 解得 :R=, 20. 解 : 在 ABC 中, C=90,AB=10,AC=8; 由勾股定理, 得 :BC=6. AC 是圆的直径, C=90, BC 为圆的切线 ; 由切割线定理, 得 :BC 2 =BP BA, BP=BC 2 BA= 解 : 过点 O 作 OD AB 交 AB 于点 D, 连接 OA, OA=2OD=2cm, AD= = = cm, OD AB, AB=2AD= cm. 故答案为 :2.

31 22. 解 : 连接 AO,BO, PA,PB 为圆 O 的切线, OA AP,OB BP, 又圆 O 的直径是 10cm, 在 Rt APO 中,OA= 10=5cm,PO=13cm, 根据勾股定理得 :AP= =12cm, 根据切线长定理得到 :AP=BP,PO 平分 APB, OP AB, 垂足为 C, C 为 AB 的中点, 又 S APO= AP OA= OP AC, AC= = cm, AB=2AC= cm, 则 APB 的周长 =AP+AB+BP= =33 (cm). 23. 解 : 连接 OA, OC AB,CO 过圆心 O, AD=BD= AB=5, 设 OD=3k,DC=2k, 则 AO=5k, 在 Rt OAD 中, 由勾股定理得 :AO 2 =OD 2 +AD 2, 即 (5k) 2 =(3k) , 解得 :k=,oa=5k=, 即 O 的直径是 2OA=, 故答案为 :.

32 24. 解 : 根据题意画出图形, 如图所示 : 当 A=30, 过 C 作 CD AB, 交 AB 于点 D. 在 Rt ACD 中, AB=4, A=30, BC= AB=2, AC= =2, CD= AC=, 又 圆 C 的半径为 2, 则 <2, CD<R, 则 C 不 AB 的位置关系是相交 ; 故答案为 : 相交 ; 当 A=45 时, 过 C 作 CD AB, 交 AB 于点 D. 在 Rt ACD 中, AB=4, A=45, AB=AC, CD= AB=2, 又 圆 C 的半径为 2, 则 CD=R, 则 C 不 AB 的位置关系是相切. 故答案为 : 相切. 25. 解 : 大圆的弦 AB 不小圆相切于点 C, OC AB, 由垂径定理知,AC=BC, 由勾股定理得,AC=4, AB=2AC=8. 26 解 : 连接 CD. ABC 内接于 O, BAC=120,AB=AC, CBA= BCA=30. BDA= ACB=30. BD 为 O 的直径, BAD=90, BDA=30, DBC= =30, DBA=60, BDC=60, BC=AD=6.

33 27. 解 :1 O 是 ABC 的内切圆,D E F 为三个切点, AF=AE,BF=BD,CE=CD, BC=12cm, BF+CE=BC=12cm, AF+AE=26-2BC=2cm, AF=1cm, 故答案为 :1; 2 A=70, ABC+ ACB= =110, O 为 ABC 的内心, ABO= OBD, ACO= OCB, OBC+ OCB= 110 =55, 则 BOC= =125. 故答案为 : 解 : 过 A 作 BC 延长线的垂线, 垂足为 D, ACD 为 ABC 的外角, B=30, CAB=15, ACD= B+ CAB= =45, 又 D=90, B=30, DAB=60, DAC= DAB- CAB=60-15 =45, AD=CD, 可设 AD=CD=x, 又 BC=12, 则有 BD=CD+BC=x+12, 在 Rt ABD 中,tanB=tan30 =, 即 =, 解得 :x=6 +6, AD=6 +6, 则 A 的半径为 6 +6.

34 解答 : 1 证明 : 过 O 作 OE AB 于 E, 则 AE=BE, 又 AC=BD, CE=DE. OE 是 CD 的中垂线, OC=OD. 2. 解 : 根据切线的性质得 : PAC=90, PAB=90 - BAC=90-20 =70, 根据切线长定理得 PA=PB, PAB= PBA=70, P= = 解 :(1) 答案丌唯一, 只要合理均可. 例如 : 1BC=BD;2OF BC;3 BCD= A;4 BCE OAF;5BC 2 =BE AB; 6BC 2 =CE 2 +BE 2 ;7 ABC 是直角三角形 ;8 BCD 是等腰三角形. (2) 连接 OC, 则 OC=OA=OB, D=30, =, A= D=30, COB=2 A=60 AOC=120, AB 为 O 的直径, ACB=90, 在 Rt ABC 中,BC=1, AB=2,AC=, OF AC, AF=CF, OA=OB, OF 是 ABC 的中位线, OF= BC=, S AOC= AC OF= =, S 扇形 AOC= π OA 2 =, S 阴影 =S 扇形 AOC-S AOC=.

35 4. 答 :PE 不 O 相切. 证明 : 如图, 连接 OP,OE OA=0B= AB,BE=EC, OE 为 ABC 的中位线, OE AC, A= BOE, APO= POE, OA=OP, A= OPA, BOE= POE, OP=OB,OE=OE, OBE OPE, OBE= OPE=90, PE 不 O 相切. 5. 解 :(1) 如图, 过 A 作 AE DB 于 E, 由题意知, ABE=30, 又因为 AB=240km, 故 AE= AB=120(km), 故台风中心在秱动过程中, 不气象台 A 的最短距离是 120km. (2) 连接 AC,AD, 则 AC=AD=130km, 由勾股定理得 :, 由垂径定理得 :CE=DE, 故 CD=100km,100 20=5( 小时 ). 答 : 台风影响气象台的时间会持续 5 小时. 6. 解 : 在圆上取两个弦, 根据垂径定理, 垂直平分弦的直线一定过圆心, 所以作出两弦的垂直平分线即可.

36 7. 解 :(1)DC 不 O 相切. 理由如下 : 连结 AE OC, 它们相交于 F 点, 如图, AB 为 O 的直径, AEB=90, CD BE, D=90, CD AE, 又 C 为中点, OC AE,AF=EF, OC CD, CD 为 O 的切线 ; (2) D= DCF= CFE=90, 四边形 CFED 为矩形, EF=CD=3,DE=CF, AF=3, 在 Rt OFA 中,OA=5, OF= =4, CF=OC-OF=5-4=1, DE=1. 8. (1) 证明 : 连接 OD,BC,OD 不 BC 相交于点 G, D 是弧 BC 的中点, OD 垂直平分 BC, AB 为 O 的直径, AC BC, OD AE. DE AC, OD DE, OD 为 O 的半径, DE 是 O 的切线. (2) 解 : 由 (1) 知 :OD BC,AC BC,DE AC, 四边形 DECG 为矩形, CG=DE=3, BC=6. O 的半径为 5, AB=10, AC= =8, 由 (1) 知 :DE 为 O 的切线, DE 2 =EC EA, 即 3 2 =(EA-8)EA, 解得 :AE=9. D 为弧 BC 的中点, EAD= FAB, BF 切 O 于 B, FBA=90. 又 DE AC 于 E, E=90, FBA= E, AED ABF,,, BF=.

37 9.(1) 证明 : 连接 OA. AO=DO, OAD= ODA. DA 平分 BDE, ODA= EDA, OAD= EDA. EAD+ EDA=90, EAD+ OAD=90, 即 OAE=90. OA AE, AE 是 O 的切线. (2) 解 : 在直角 ADE 中,AD= = cm. BD 是 O 的直径, BAD=90, AED=90, ADE= ADB, Rt BAD Rt AED. =. BD= = =5cm. 10. 解 :(1) 如图 1, 分别作 AB 于 BC 的垂直平分线, 交点即为 O; 连接 OA,OA= =2. 故答案为 :2 ; (2) 如图 2, 设圆心为 O, 连接 OA,OD, BD AC, 点 B 为 AC 中点, 点 B,D,O 在同一条直线上, AD= AC=4, 设 OA=x, 则 OD=OB-BD=x-2, OA 2 =OD 2 +AD 2, x 2 =16+(x-2) 2, 解得 :x=5, OA=OB=5,OD=3, AD 是 O 的切线, OA PA, P+ O=90, O+ OAD=90, P= OAD, ADO= PDA=90, PAD AOD,,, PA=.

38 11. 解 :(1) 连接 OE, DE 为圆的切线, OE ED, OEC+ CED=90, OC AD, COD=90, C+ CFO=90, CFO= DFE, C+ DFE=90, OC=OE, C= OEC, DFE= DEF, DE=DF; (2) 在 Rt OED 中,OE=OB=OF+FB=1+3=4, 根据勾股定理得 :OD 2 =OE 2 +ED 2, 即 (1+DF) 2 =(1+DE) 2 =4 2 +DE 2, 解得 :DE= 解 :(1) AB BC, AB 为圆 O 的切线, 又 AE 为圆 O 的切线, AB=AF=4, 同理得到 EF=EC, 设 EF=EC=x, 则有 DE=DC-EC=4-x,AE=AF+EF=4+x, 在 Rt ADE 中, 利用勾股定理得 :AE 2 =AD 2 +DE 2, 即 (4+x) 2 =4 2 +(4-x) 2, 解得 :x=1, DE=4-1=3, 则 S ADE= AD DE=6; (2) 连接 OA,OF, OB AB,OF AF, 且 OB=OF, AO 为 BAF 的平分线, AB=AF, AM BF,M 为 BF 的中点, 在 Rt ABO 中, 根据勾股定理得 :OA= =2, S ABO= AB OB= OA BM, BM= =, 则 BF=2BM=.

39 13.(1) 证明 : 连结 OC, 如图 1, ABC 和 CDE 都是等边三角形, ACB= ECD=60, ACE=60, O 是等边 ABC 的外接圆, 点 O 是等边 ABC 的外心和内心, ACO= ACB=30, OCE= =90, OC CE, CE 为 O 的切线 ; (2) 解 : 作 OH BC 于 H, 连结 OF OC FC, 如图 2, OH BC, BH=CH, 设 OH=a, 则 CH= a,oc=2a, BC=2 a, DF 不 O 切于点 F, OF FD, CDE 为等边三角形, CED=60, D=60, CEF=120, 而 OCE= OFE=90, COF=60, OCF 为等边三角形, OFC=60,FC=OC=2a, CFD=30, FCD=90, CD= FC=, CD:BC= :2 a=1: 解 :(1) 连结 OD, 如图 1, A=30, C=90,AB=12, BC= AB=6, 点 O 在边 AC 上, BC 为 O 的切线, 而 O 不直线 AB 相切于点 D, BD=BC=6,OD AB, AD=6, 在 Rt AOD 中,OD= AD=2, 即 O 的半径为 2. (2) 作 OH CE 于 H,EF AD 于 F, 连结 OC OD OE, 如图 2, O 不直线 AB 相切于点 D, OD AB, CD 平分 ACB, DCE=45, DOE=2 DCE=90, 而 OD=OE, 四边形 ODFE 为正方形, EF=OE=1,

40 在 Rt AEF 中,AE=2EF=2, OE AB, OEC=30, 在 Rt OEH 中,OH= OE=, EH= OH=, OH CE, CH=EH, CE=2EH=, AC=CE+AE= 解 :(1) 连接 OA, A 为的中点, OA BC, OAE+ AEG=90, AEG= FED, OAE+ FED=90, DE 为圆的切线, DE BD, 即 FDE+ ADB=90, OA=OD, OAE= ADB, FED= FDE, DF=EF; (2) 连接 AB, BD 为圆的直径, BAD=90, ABE+ AEB=90, OA BC, OAD+ AEB=90, ABE= OAD= ADO, BAE= DAB, ABE ADB, =, 即 AB 2 =AE AD=2 (2+4)=12, 在 Rt ABD 中, 根据勾股定理得 :BD 2 =AB 2 +AD 2 =12+36=48, 则 BD=4.

41 16.(1) 证明 : AB 为 O 的直径, ADB=90, 又 OC AD,CF DB, CO DF, OCF=90, CF 为 O 的切线 ; (2) 解 : 连接 BC, CF 为 O 的切线, FC 2 =FB FD, BF=1,DB=3, FC=2, BC= =, ACO+ OCB=90, OCB+ BCF=90, ACB= FCB, 又 ACB= F, BFC BCA, =, =, 解得 :AB= 解 :(1) 连接 OA OB, OA=OB, OAB= OBA, ABCD 是正方形, DAB= ABC=90, OAD= OBC, 在 OAD 和 OBC 中,, OAD OBC(SAS), OD=OC. (2) 作 OH AB 垂足为 H, 延长 OH 交 DC 于点 G, 设半径为 r, 则 AB=2, AH=HB=1, OH =r 2, DM 切 O 于 M, OMD=90, r 2 +DM 2 =OD 2, 在 ODG 中, OG 2 +DG 2 =OD 2, (OH+HG) 2 +AH 2 =OD 2, (OH+2) =OD 2, 解得 :OH=1, r= =.

42 18.(1) 证明 : 连接 CD, BC 为 O 的直径, BDC=90, 即 CD AB, ABC 中,AC=BC, AD=BD. (2) 解 : 过点 M 作 MN BC 于 N, 连接 BE. BC 为 O 的直径, CEB= CNM=90, BCE 为公共角, CMN CBE,, 设圆的半径为 x, 则 BC=AC=2x,AB= =2 x, S ABC=3S BCM, MN= AC, MN= x, BMN BAC, = =, =, CN= x, 在 Rt CMN 中,CM= = x,, CE= = x, BD= AB= x, = =. 19.(1) 证明 : 连接 AD,OD; AB 为 O 的直径, ADB=90, 即 AD BC; AB=AC, BD=DC. OA=OB, OD AC. DF AC, DF OD. ODF= DFA=90, DF 为 O 的切线. (2) 解 : 连接 BE 交 OD 于 G; AC=AB,AD BC,ED=BD, EAD= BAD.. ED=BD,OE=OB. OD 垂直平分 EB. EG=BG. 又 AO=BO, OG= AE. 在 Rt DGB 和 Rt OGB 中,BD 2 -DG 2 =BO 2 -OG 2

43 ( ) 2 - ( - OG) 2 =BO 2 - OG 2 解得 :OG=. AE=2OG=. 20.(1) 证明 : 连接 OD, AB=AC, B= C, OB=OD, B= ODB, ODB= C, OD AC, DF AC, OD DF, 则 DF 为圆 O 的切线 ; (2) 解 : 连接 OG, AC 不圆 O 相切, OG AC, OGF= GFD= ODF=90, 且 OG=OD, 四边形 ODFG 为边长为 3 的正方形, 设 AB=AC=x, 则有 AG=x-3-1=x-4,AO=x-3, 在 Rt AOG 中, 利用勾股定理得 :AO 2 =AG 2 +OG 2, 即 (x-3) 2 =(x -4) , 解得 :x=8, 则 AC=8.

44 21.(1) 解 : 连接 OD, O 切 BC 于 D, ODB=90, 设圆 O 的半径长为 a, ABC 为等腰直角三角形, C=90,AC=BC=2, OD AC,AB= =2, B= CAB=45 OB=2 -a, DOB= B=45 2a 2 =(2 2-a) 2 解得 :a1=4-2,a2=-2-4, a>0, a=4-2 即 O 半径长为 4-2. (2) 解 : 连 EO, 四边形 OAED 为菱形, AE=AO, AO=EO, AEO 为等边三角形, AEO=60 同理 EOD 是等边三角形, OED= ODE=60, ODC=90, EDC=30, C=90, ED=2EC, ED=4-2, CE=2-, CD= CE= (1) 证明 : 连接 OA,OG, A 为的中点,EG 切 O 于 G, OA CD,OG EG, A+ AKC=90, AGO+ EGK=90, OA=OC, AKC= EKG, A= AGO, A+ EKG=90, EKG= EGK, KE=GE; (2) 解 : 连接 OA,OG,OC, 设 OA 不 CD 交于点 F, AC EG, CAK= EGK, AKC= EKG, EKG= EGK, CAK= CKA, AC=KC,, 设 DK=3x,CK=5x, 则 AC=5x,CD=DK+CK=8x, CF=DF=4x,FK=DF-DK=x,

45 在 Rt ACF 中,AF= =3x, 在 Rt AKF 中,AF 2 +FK 2 =AK 2, (3x) 2 +x 2 =(2 ) 2, 解得 :x=2, AF=3x=6,CF=4x=8, 设 O 的半径为 y, 则 OF=y-6, 在 Rt OCF 中,OC 2 =OF 2 +CF 2, y 2 =64+(y-6) 2, 解得 :y=, O 的半径为 :. 23.(1) 证明 : 连接 CE,, AC=CE, ABC= EBC, CM=AC, AC=CE=CM, A M E 三点在以 C 为圆心,AC 为半径的圆上, AEM= ACM, AB 是直径, ACB= AEB=90, ACM=90, AEM=45, BEM= AEM=45, 点 M 是 ABE 不 AEB 的角平分线的交点, M 为 ABE 的内心 ; (2) 解 : AB 是直径, AEB=90, O 的半径为 5,AE=8, AB=10, BE= =6, M 为 ABE 的内心 ABE 的内切圆的半径为 r. S ABE= AE BE= (AB+AE+BE) r, r= = =2, S BEM= BE r= 6 2=6.

46 24.(1) 证明 : 连结 MC DC BD, 如图, 点 M 为 ABC 的内心, MC 平分 ACB, ACM= BCM, BC 为直径, BAC=90, AD 平分 BAC, BAD= CAD= BAC=45, DBC= BCD=45, BDC 为等腰直角三角形, BC= DC, 又 DMC= MAC+ ACM=45 + ACM, 而 DCM= BCD+ BCM, DMC= DCM, DC=DM, BC= DM; (2) 解 : 作 MF BC 于 F,ME AC 于 E,MH AB 于 H, 如图, DM=, BC= DM=10, 而 AB=8, AC= =6, 设 ABC 的内切圆半径为 r, 点 M 为 ABC 的内心, MH=ME=MF=r, 四边形 AHME 为正方形, AH=AE=r, 则 CE=CF=6-r,BH=BF=8-r, 而 BF+FC=BC, 8-r+6-r=10, 解得 r=2, MF=2,CF=6-2=4, OC=5, OF=5-4=1, 在 Rt OMF 中,OM= =. 25.(1)1 证明 : 如图 1, 连接 AD. 点 D 为的中点, 1= 2. 2= 3, 1+ 2= 3, 即 CAB= 3, AE OD. 又 DE 是 O 的切线,OD 是半径, DE OD, DE AC; 2 解 : AB 是直径, ADB=90.

47 由 1 知,DE AC, E=90. DE=4,CE=2, 根据勾股定理求得 CD= =2. 点 D 为 的中点, BD=CD=2. DE 是 O 的切线, EDC= 1. 利用 1 中的 1= 2 得到 EDC= 2, EDC= 2, sin EDC=sin 2, 即 =, =, 则 AB=10, 故 O 的半径为 5; (2) 解 : 如图 2, 连接 AN BN,AI. I 是 ABD 的内心, 1= 4, 5= 6. =, AN=BN, 1= 2. 2= 4. AB 是直径, 且 AB=10, ANB=90, AN=BN=5. 3= 4+ 5= 2+ 6, 即 AIN= IAN, IN=AN=5.

48 26.(1) 证明 : 在 CD 上截取 CE=BC, 如图 1, CD 平分 ACB, ACB=120, ACD= BCD=60, BCE 为等边三角形, ABD= ACD=60, BE=BC=CE, 1+ ABE=60, ABE+ 2=60, 1= 2, 在 ACB 和 DEB 中, ACB DEB, AC=DE, CD=CE+DE=BC+AC; (2) 解 :1 作弦 CD 平分 ACB, 设 ABC 的内心为 P 点, 作 PQ AB 于 Q, PH BC 于 H,PF AC 于 F, 如图, 则 PF=PQ=PH=r, CD 平分 ACB, ACB=120, ACD= BCD=60, CPF= CPH=30, CF= PF= r,ch= PH= r, AF=AQ=AC-CF=AC- r,bh=bq=bc-ch=bc- r, 而 AB=AQ+BQ, AC- r+bc- r=6, AC+BC=6+ r; 2 AC+BC=CD, CD=6+ r, 当 CD 为直径时,r 最大, 如图 3, 当 CD 为直径, CD AB, 垂足为 M, AM=BM= AB=3,AC=BC, ACD=60, CAM=30, CD= AM=, AC=2CD=2, 2 +2 =6+ r, r=6-3, 即 r 的最大值为 6-3.

49 27. 解 :(1) 如图 1, 设 OCP=x, OC=OQ,QP=QO, OCP= Q=x, POQ= OPQ, 由三角形的外角性质, OPQ= COP+ AOC=x+30, 在 OPQ 中,x+(x+30 )+(x+30 )=180, 解得 x=40, 即 OCP=40 ; (2) 如图 2, 设 Q=x, OC=OQ, OCQ=x, QP=QO, QOP= QPO= (180 -x), 由三角形的外角性质, OCQ= AOC+ QPO, 30 + (180 -x)=x, 解得 x=80, OCP=180 - OCQ= =100 ; (3) 如图 3, 设 QPO=x, QP=QO, QPO= QOP=x, OC=OQ, OQC= OCP= QPO+ QOP=x+x=2x, 由三角形的外角性质, AOC= QPO+ OCP=x+2x=30, 解得 x=10, OCP=2 10 =20.

50 28. 证明 :(1) 如图 1, 连接 AD,BD, C 是劣弧 AB 的中点, CDA= CDB, ADB 为等腰三角形, CD AB, AE=BE; (2) 如图 2, 延长 DB AP 相交于点 F, 再连接 AD, ADBP 是圆内接四边形, PBF= PAD, C 是劣弧 AB 的中点, CDA= CDF, CD PA, AFD 为等腰三角形, F= A,AE=EF, PBF= F, PB=PF, AE=PE+PB (3)AE=PE-PB. 连接 AD,BD,AB,DB AP 相交于点 F, 弧 AC= 弧 BC, ADC= BDC, CD AP, DEA= DEF, ADE= FDE, DE=DE, DAE DFE, AD=DF,AE=EF, DAF= DFA, DFA= PFB, PBD= DAP, PFB= PBF, PF=PB, AE=PE-PB; 29.(1) 解 : 由于 OA=OB=, 且 OD AB, 根据垂径定理知圆心 D 必在 y 轴上 ; 连接 AD, 设 D 的半径为 R, 则 AD=R,OD=3-R; Rt ADO 中, 根据垂径定理得 : AD 2 =AO 2 +OD 2, 即 R 2 =3+(3-R) 2, 解得 R=2; 即 D 的半径为 2;

51 (2) 证明 : 过 D 作 DH EN 于 H, 连接 MH; 易知四边形 DHNO 是矩形, 则 HN=OD=1; Rt DHE 中,MH 是斜边 DE 的中线, DM=ME=MH= DE=1; MEH MHN 是等腰三角形, 即 MEH= MHE=2 MNE; DMN= E+ MNE, 故 DMN=3 MNE; (3) 解 : DMN=45, MNE=15, E=30 ; Rt DHE 中,DE=2, E=30 ; DH=1,EH= ; EN=EH+HN= +1; 故 E(1, +1), 根据轴对称性可知, 点 E 在第二象限的对称点 (-1, +1) 也可以. 故点 E 的坐标为 :(1, +1) 或 (-1, +1). 30. 解 :(1) 作 AH x 轴于 H, 如图 2, 点 A 的坐标为 (2, ), OH=2,AH=, OCD 沿 CD 翻折, 使点 O 落到直线 AC 上的点 B 处, 且点 B 不点 A 重合, OC=AC, 设 OC=x, 则 CH=2-x,AC=x, 在 Rt ACH, AC 2 =CH 2 +AH 2, x 2 =(2-x) 2 +( ) 2, 解得 x=, 即 OC 的长为 ; (2)( I) 作 AH x 轴于 H, 如图 3, 当 l=1 时,CB=CO=1,CH=OH-OC=1, 在 Rt ACH 中,AH=,CH=1, AC= =2, CAH=30, ACH=60,AB=AC-BC=1, DOH=120, OCD 沿 CD 翻折, 使点 O 落到直线 AC 上的点 B 处, DCO= DCB=60, DBC= DOC=90,

52 DB 垂直平分 AC, DAC 为等边三角形, DAC=60, DAH=90, 四边形 AHOD 为矩形, 四边形 ACOD 的面积 =S 矩形 AHOC-S ACH=2-1 = ; (Ⅱ) A 直线 CD 相切. 理由如下 : 当 l=3r, 且 2 l 4 时, 即 r, 如图 4, 作 AE DC 于 E, 作 AH x 轴于 H, OCD 沿 CD 翻折, 使点 O 落到直线 AC 上的点 B 处, DBC= DOC=90,CB=CO=3r, A 不 DB 相切, AB=r, AC=2r, 在 Rt AHC 中,CH=3r-2,AH=, AC 2 =CH 2 +AH 2, (2r) 2 =(3r-2) 2 +( ) 2, 解得 r1=1,r2=, r=1, AC=2,CH=1, ACH=60, DCO= DCB=30, 在 Rt ACE 中, ACE=30,AC=2, AE=1, CD 不 A 相切.

53 31. 解 :(1) 在 y= x+4 中, 令 x=0, 得 y=4, 得 BO=4, 令 y=0, 得 x= -3, 得 AO=3, AB= =5(2 分 ) 设点 O 到直线 AB 的距离为 h, S AOB= AO BO= AB h h= =2.4;( 4 分 ) (2) 如图, 设 C 不直线 l 相切于点 D, 连 CD, 则 CD AB,( 5 分 ) AO BO, BDC= BOA=90 ABO= CBD ABO CBD = 由 (1) 得 AO=3,BO=4,AB=5 = BC= OC=4- = t=co= ( 秒 )(8 分 ) 根据对称性得 BC'=BC= OC'=4+ = t=oc = ( 秒 )(9 分 ) 当 C 不直线 l 相切时, 秒或秒.(10 分 ) 32. 解 :(1) 设 P Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 x 米, 根据题意, 得 :(60-3x) (40-2x)=60 40, 解得,x1=10,x2=30, 经检验,x2=30 丌符合题意, 舍去. 所以, 两块绿地周围的硬化路面宽都为 10 米. (2) 设想成立. 设圆的半径为 r 米,O1 到 AB 的距离为 y 米, 根据题意, 得 :, 解得 :y=20,r=10, 符合实际. 所以, 设想成立, 则圆的半径是 10 米.

54 33. 解 :(1) 如图 2 由题意知解法一 : 依对称性得, AO2B= AO1B=120, l=2 [ (2π 2)]=, 解法二 : O1A=O1B=O2A=O2B, 四边形 AO1BO2 是菱形, AO2B= AO1B=120, l=2 的长 = ; (2) 由 (1) 知菱形 AO1BO2 中 AO2B= AO1B, 且度数都是 x,, 得 y= x(0 x 180); (3) 若 y=2π, 则线段 O2A 所在直线不圆 O1 相切, 因为 y=2π, 由 (2) 知, 解得 x=90, AO1B=90, 知菱形 AO1BO2 是正方形, O1AO2=90, 即 O2A O1A, 而 O1A 是圆 O1 的半径, 且点 A 为 O1A 的外端, 线段 O2A 所在的直线不圆 O1 相切. 还有线段 O2A 所在的直线不圆 O1 相交, 此时 0 x<90 和 90<x 180, 如 : 扇形 O1AB 的面积 :S= n(0 n 90); O1AB 的面积 :S=4sinn cosn (0 n 90); 半重叠部分图形的面积 :S= -4sinn cosn (0 n 90). 34.(1) 证明 : 连接 CO2 CD, AC 是 O2 的切线,AP 是圆 O1 的直径, ABP= AC O2=90, PB O2C. BPC= PCO2, O2C=O2P, O2PC= O2CP, O2PC=BPC, 即 PC 平分 BPD. (2) 证明 : PC 平分 BPD, PBC= PCD, PBC PCD.. PC 2 =PB PD. (3) 解 : 当 O1 不 O2 的半径分别为 2cm 3cm 时,sin BAP= 当 Ol 不 O2 的半径分别为 4cm 6cm 时,sin BAP=. 当 Ol 不 O2 的半径之比为定值时,sin BAP 的值唯一确定, 显然的值唯一确定 sin BAP 的值. sin BAP=.

55 35.(1) 证明 : 连接 O1A,( 1 分 ) O1C 是 O2 的直径, O1AC=90,( 2 分 ) O1A AE. 又 点 A 在 O1 上, AE 是 O1 的切线.(3 分 ) (2) 证明 : 在 O2 中, O1BA 不 O1CA 都是上的圆周角, O1BA= O1CA.( 4 分 ) 在 O1 中, 由弦切角定理, 得 DAE= O1BA,( 5 分 ) O1CA= DAE.( 6 分 ) AD O1C.( 7 分 ) (3) 解 :,R=2r, 在 Rt AO1C 中,O1A 2 =O1M O1C,r 2 =O1M 2R=O1M 4r, 即 O1M= r.( 8 分 ) 在 Rt BAD 中,O1M AD,. 即,.1 在 EO1C 中,AD O1C, 即 ;2(9 分 ) 由 1 和 2 得, 解之, 得 r=7.( 10 分 ) (3) 解法二 : DBA= O1CA, DAB= O1AC=90, DBA O1CA. 又,.( 8 分 ) 设 DA=x, O1D=O1A=2x,O1C=8x. DA O1C,ED=1,EO1=1+2x,,( 9 分 ) 解之, 得. r=2x=7.( 10 分 )

56 36 解 :(1) 当 0 t 5.5 时点 A 在点 B 的左侧, 此时函数表达式为 d=11-2t, 当 t>5.5 时点 A 在点 B 的右侧, 圆心距等于点 A 走的路程减去 11, 此时函数表达式为 d=2t-11; (2) 分四种情况考虑 : 两圆相切可分为如下四种情况 : 1 当两圆第一次外切, 由题意, 可得 11-2t=1+1+t,t=3; 2 当两圆第一次内切, 由题意, 可得 11-2t=1+t-1,t= ; 3 当两圆第二次内切, 由题意, 可得 2t-11=1+t-1,t=11; 4 当两圆第二次外切, 由题意, 可得 2t-11=1+t+1,t=13. 所以, 点 A 出发后 3 秒 秒 11 秒 13 秒时两圆相切. 37. 解 :(1) 在图 1 中, 由已知 A 为切点, 得 O1A1 P1A1. O1A1P1 是直角三角形. 同理可得 O2B1P1 是直角三角形. P1A1=,P1B1=. P1A1:P1B1= : =2 :. (2) 在图 2 中, 连接 O1A2,O2B2,P2O1,P2O3.

57 在 Rt O2O3P2 中,P2O2=4,P2B2=. 同理可解, 得 P2O1=,P2A2=. P2A2:P2B2= : = : =2 :. (3) 提出的命题是开放性的, 只要正确都可以. 如 :1. 设在 O3 上任取一点 P, 过点 P 分别作 O1 O2 的切线 PA PB(A B 为切点 ). 则有 PA:PB=2 : 或 PA:PB 是一个常数 ; 2. 在平面上任取一点 P, 过点 P 分别作 O1 O2 的切线 PA PB(A B 为切点 ), 若 PA:PB= :, 则点 P 在 O3 上. 38(1) 证明 : AP=2PB=PB+BO=PO, AO=2PO. =2.( 2 分 ) PO=CO,( 1 分 ). COA= BOC, CAO BCO.( 1 分 ) (2) 解 : 设 OP=x, 则 OB=x-1,OA=x+m, OP 是 OA,OB 的比例中项, x 2 =(x-1)( x+m).( 1 分 ) x=. 即 OP=.( 1 分 ) OB=.( 1 分 ) OP 是 OA,OB 的比例中项, 即, OP=OC,.( 1 分 ) 设 O 不线段 AB 的延长线相交于点 Q, 当点 C 不点 P, 点 Q 丌重合时, AOC= COB, CAO BCO.( 1 分 ).( 1 分 ).

58 当点 C 不点 P 或点 Q 重合时, 可得, 当点 C 在圆 O 上运动时,AC:BC=m.( 1 分 ) (3) 解 : 由 (2) 得,AC>BC, 且 AC-BC=(m-1)BC(m>1), AC+BC= (m+1)bc, B 和 C 的圆心距 d=bc, 显然 BC<(m+1)BC, B 和 C 的位置关系只可能相交 内切或内含. 当 B 不 C 相交时,(m -1)BC<BC<(m+1)BC, 得 0<m<2, m>1, 1<m<2;( 1 分 ) 当 B 不 C 内切时,(m -1)BC=BC, 得 m=2;( 1 分 ) 当 B 不 C 内含时,BC<(m-1)BC, 得 m>2.( 1 分 ) 39. 解 :(1) 在 Rt ABC 中, CAB=30,BC=5, AC=2BC=10; AE BC, APE CPB, PA:PC=AE:BC=3:1, PA:AC=3:4,PA=. (2)BE 不 A 相切 ; 在 Rt ABE 中,AB=5,AE=15, tan ABE=, ABE=60 ; 又 PAB=30, ABE+ PAB=90, APB=90, BE AP BE 不 A 相切 ; (3) 因为 AD=5,AB=5, 所以 r 的变化范围为 5<r<5 ; 当 A 不 C 外切时,R+r=10, 所以 R 的变化范围为 10- <R<5; 当 A 不 C 内切时,R-r=10, 所以 R 的变化范围为 15<R< 解 :(1) 如图所示, 设点 O2 运动到点 E 处时, O2 不腰 CD 相切. 过点 E 作 EF DC, 垂足为 F, 则 EF=4cm. 方法一 : 作 EG BC, 交 DC 于 G, 作 GH BC, 垂足为 H. 由直角三角形 GEF 中, EGF+ GEF=90, 又 EGF+ CGH=90, GEF= CGH=30, 设 FG=xcm, 则 EG=2xcm, 又 EF=4cm,

59 根据勾股定理得 :x =(2x) 2, 解得 x=, 则 HB=GE= CH=(9 - cm, 又在直角三角形 CHG 中, C=60, )cm, 则 EB=GH=CHtan60 = cm. 所以,t=( ) 秒. 方法二 : 延长 EA FD 交于点 P. 通过相似三角形, 也可求出 EB 长. 方法三 : 连接 ED EC, 根据面积关系, 列出含有 t 的方程, 直接求 t. (2) 由于 0s<t 3s, 所以, 点 O1 在边 AD 上. 如图连接 O1O2, 则 O1O2=6cm. 由勾股定理得, t 2 +(6 - t) 2 =6 2, 即 t 2-9t+18=0. 解得 :t1=3,t2=6( 丌合题意, 舍去 ). 所以, 经过 3 秒, O1 不 O2 外切. 41. 解 :(1) 连接 AB, 四边形 ABMO 是圆内接四边形 BAO=180 - BMO=60 OB=4 OA=4, 即 A 点坐标为 (O,4) 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b 把 (0,4) 和 (4,0), 代入, 得 : 4 k+4=0,k= - 直线 AB 解析式为- +4; (2) 点 P 有两种情况 : 第一种情况 : 作 CH OB, 垂足为 H, 交弧 OMB 于 P1,P1H=2, 点 P1 坐标为 (2,-2),

60 第二种情况 : 作直径 OP2, 过点 P2 作 0C 的切线 P2N2, 连接 P2B, 点 P2 的坐标为 (4,4), 点 P 的坐标为 (2,-2) 或 (4,4); (3)1 这样的圆有 8 个, 它们不 C 的位置关系是相交, 内切 ; 2 丌存在 ; 过点 C 作 0C 直径 D1D2, 使 DlD2 AB, 以点 B 为圆心,BD 为半径作圆, 则 0B 上的劣弧 D1D2 的度数为 90, 连接 BD1 BD2, 则 BD1D2 是等腰直角三角形, BD1=4, 丌是正整数, 丌存在. 42. 解 :(1) 设两圆交于 A,B 两点, 连接 O1A,O2A,O1B,O2B. 则 S 阴 =S 菱形 +4S 弓. S 菱形 =2, O1O2A 为正三角形, 其边长为 r. =,S 弓 = - =. S 阴 =2 +4( )= πr 2 - r 2.

61 (2) 图 2 阴影部分的面积为 : S 阴 = +3S 弓 O1O2O3 为正三角形, 边长为 r, =. S 弓 = -. S 阴 = +3( - )=. (3) 延长 O2O1 不 O1 交于点 A, O1 不 O4 交于点 B. 由 (1) 知, = ( - ). = - = - ( - )= +, 则- 4 =r 2-4( + )=( +1 - ) r (1) 证明 : 连接 AB; 四边形 ABEC 是 O1 的内接四边形, BAD= E. 又 四边形 ADFB 是 O2 的内接四边形, BAD+ F=180. E+ F=180. CE DF. (2) 解 :MN 不 O1 相切, 过 E 作 O1 的直径 EH, 连接 AH 和 AB; MN DF, MEA= D. 又 D= ABE, ABE= AHE, MEA= AHE. EH 为 O1 的直径, EAH=90. AHE+ AEH=90. MEA+ AEH=90.

62 又 EH 为 O1 的直径, MN 为 O1 的切线. 44. 解 : A 分别不两个半圆相切于点 E F, 点 A B C 分别是三个圆的圆心, AE=AF=4 米,BE=CF=2 米,AB=AC=6 米. 则在 AEF 和 ABC 中, EAF= BAC,, AEF ABC. 故, 则 EF= = ( 米 ). 45. 解 :(I) 在 Rt ABC 中, ACB=90,AC=6,BC=8, AB= =10. 如图 1, 设 O1 不 Rt ABC 的边 AB,BC,CA 分别切于点 D,E,F. 连接 O1D,O1E,O1F,AO1,BO1,CO1. 于是 O1D AB,O1E BC,O1F AC.,,,. 又, 24=3r1+4r1+5r1, r1=2. (II) 如图 2, 连接 AO1,BO2,CO1,CO2,O1O2, 则,. 等圆 O1, O2 外切, O1O2=2r2, 且 O1O2 AB. 过点 C 作 CM AB 于点 M, 交 O1O2 于点 N, 则,.,.,

63 3r2+4r2+( - r2) r2+(r2+5)r2=24, 解得 r2=. (III) 如图 3, 连接 AO1,BOn,CO1,COn,O1On, 则,. 等圆 O1, O2,, On 依次外切, 且均不 AB 边相切, O1,O2,,On 均在直线 O1On 上, 且 O1On AB, O1On=(n-2)2rn+2rn=2(n-1)rn. 过点 C 作 CH AB 于点 H, 交 O1On 于点 K, 则.,.,. 解得. 46.(1) 证明 : 如图, 连接 O2B,O1A, 则 AO1 AB,O2B AB, 所以 AO1 O2B, 过点 P 作两圆的公切线 PF, 交于 AB 于点 F, 作 O1E AP,O2D BP. 根据垂径定理, 得点 E, 点 D 分别是 AP,BP 的中点. 根据弦切角定理知, ABP= FPB= BO2P, BAP= FPA= AO1P. AO1 O2B, AO1P+ BO2P=180, FPB+ FPA= APB=90, 即 AP BP; (2) 证明 : APB 是直角三角形. ABP= BO2D= APO1. 设 ABP= BO2D= APO1=β, 则有 sinβ=,cosβ=. tanβ= =,

64 (tanβ) 2 = =, =. (3) 解 : ABP= C, tan C=tanβ=tan ABP= =. 47. 解 :(1)O2 在 O1 上, 证明 : O2 过点 O1, O1O2=r, 又 O1 的半径也是 r, 点 O2 在 O1 上 ; (2) NAB 是等边三角形, 证明 : MN AB, NMB= NMA=90 度, BN 是 O2 的直径,AN 是 O1 的直径, 即 BN=AN=2r,O2 在 BN 上,O1 在 AN 上. 连接 O1O2, 则 O1O2 是 ABN 的中位线. AB=2O1O2=2r, AB=BN=AN, 则 NAB 是等边三角形. (3) 仍然成立. 证明 : 由 (2) 得, NAB 是等边三角形, 在 O1 中所对的圆周角为 60 度, 在 O2 中所对的圆周角为 60 度, 当点 A,B 在点 M 的两侧时, 在 O1 中所对的圆周角 MAN=60, 在 O2 中所对的圆周角 MBN=60, NAB 是等边三角形. (2),( 3) 是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分.

65 48.(1) 证明 : CD AB,( 1 分 ) ABC=90.( 2 分 ) AC 是 O1 的直径.(3 分 ) (2)1 证明 : CD AB, ABD=90. AD 是 O2 的直径.(4 分 ) AC=AD, CD AB, CB=BD.( 5 分 ) O1 O2 分别是 AC AD 的中点, O1O2 CD 且 O1O2= CD=CB.( 6 分 ) 四边形 O1CBO2 是平行四边形.(7 分 ) 2 解 :AE>AB,( 8 分 ) 当点 E 在劣弧上 ( 丌不点 C 重合 ) 时, AC=AD, ACD= ADC. AEB= ACD= ADC= AFB. AE=AF.( 9 分 ) 记 AF 交 BD 为 G, AB CD, AF>AG>AB.( 10 分 ) 当点 E 不点 C 重合时,AE=AC>AB, 当点 E 在劣弧上 ( 丌不点 B 重合 ) 时, 设 AE 交 CD 不 H, AE>AH>AB.( 11 分 ) 综上,AE>AB.( 12 分 )

66 49.(1) 证明 : 在 ACG 和 DBG 中, CAG= BDG, AGC= DGB, ACG DBG. (2) 证明 : 连接 AD, 则 AC=AD. 在 ACG 和 ABC 中, AC=AD, ACG= ABC. 又 CAG= BAC, ACG ABC., 即 AC 2 =AG AB. (3) 解 : 连接 CE, 则 ACE=90. O 不 A 相交于 C,D 两点, 圆心 O,A 在弦 CD 的垂直平分线上, 即 AO 垂直平分弦 CD. CF=DF,CF AE 且. A, O 的直径分别为,15, AC=3,AE=15. 在 Rt CFA 和 Rt ECA 中, ACF= ADC= AEC, Rt CFA Rt ECA., 即 AF=. 在 Rt AFC 中, 由勾股定理, 得 AC 2 =AF 2 +CF 2, 即 (3 ) 2 =3 2 +CF 2. 解得 CF=6( 舍去负值 ). CG:CD=1:4, 且 CD=2CF=12, CG:DG=1:3, CG=FG=12 =3,DG=12 =9. 在 Rt AFG 中, 由勾股定理, 得 AG 2 =AF 2 +FG 2 = =18, AG=3 ( 舍去负值 ). 由 (2), 有 AC 2 =AG AB, 即. 解得 AB=. 由 (1), 有 ACG DBG, 得. BD=.

67 50.(1) 证明 : 连接 BD AB 是 O 直径, ADB=90. ADC+ BDC=90. MN AB, AEP+ BAC=90. BAC= BDC, ADC= AEP. DPF= EPC, PDF PEC. 即 PC PD=PE PF. (2) 解 : 结论仍然成立. 证明 : 连接 BD. AB 是 O 直径, ADB=90. ABD+ BAD=90. ACD= PCE, ABD= ACD, PCE+ BAD=90. MN AB, PFA+ BAD=90. PCE= PFA. EPC= FPD, PCE PFD., PC PD=PE PF. (3) 解 : 结论仍然成立. 证明 : 连接 AC. AB 是 O 直径, ACB=90, A+ ABC=90. ABC= EBP, A+ EBP=90. MN AB, PEB+ EBP=90. A= PEB. A= D, D= PEB. DPF= EPC, DPF EPC.. PC PD=PE PF.