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1 数值积分与数值微分解题方法专题一知识点复习了解数值积分与数值微分的基本思想掌握代数精确度的概念和插值型求积公式如梯形公式 Spso 公式和牛顿柯斯特公式节点为高斯点的高斯公式以及相应的复化求积公式 ; 掌握求数值微分的 Tylor 展开法插值型求导公式和样条求导并能对上述数值方法进行误差分析 ; 熟悉 Rcrdso 外推算法与数值积分的 Roerg 算法从中体会加速收敛的技巧. 数值求积公式代数精度概念插值型求积公式定积分 I d 的数值求积公式 d A 其中为求积节点 A L 为求积系数如果作被积函数的次插值多项式 L l 去代替被积函数便得到插值型求积公式 : 其余项为 d A ξ R d I j d! j 若取个节点等距即有 L 则 : d C 称之为阶牛顿柯斯特 Newto-Cotes 求积公式其中特例 : 梯形求积公式取辛卜生 Spso 或抛物线公式柯斯特 Cotes 求积公式定义如果插值求积公式对于任意次数小于等于的多项式均能准确成立而至少一个次多项式不能准确成立则称该求积公式具有次的代数精确度.Guss 求积公式考虑带权定积分 I ρ d

数值求积公式代数精度概念插值型求积公式定积分 I d 的数值求积公式 d A 其中为求积节点 A L 为求积系数如果作被积函数的次插值多项式 L l 去代替被积函数便得到插值型求积公式 : 其余项为 d A ξ R d I j d!

2 其中 ρ 是 [ ] 上的权函数其插值型求积公式 d I ρ A 把个求积节点作为待定节点来确定加上个待定的求积系数根据代数精确度的概念令分别取 L 可建立下述个方程求解 : d k ρ A L 定义由式确定的互异节点 L 使插值型求积公式的代数精确度至少达到次则称相应的求积公式为 Guss 型求积公式求积节点为 Guss 点相应的求积系数为 Guss 求积系数关于 Guss 点的充分必要条件带权 ρ 的次正交多项式 ϕ 的个零点 k k 就是一组 Guss 点 Guss 求积公式的余项等相关知识请认真阅读教材. 复化合求积公式由于高阶插值公式的数值不稳定性导致高阶数值求积公式 Guss 求积公式除外也存在不稳定问题于是当积分区间较大时可将积分区间分段在每一小段上采用低阶求积公式这样得到的数值求积公式称为复化合求积公式将积分区间 [ ] 做等分则步长节点 L 此时对被积函数在每个小区间 ] 上的积分分别应用梯形公式和辛卜生公式则得到 [ 相应的复化合公式复化合梯形公式和复化合辛卜生公式的截断误差分别为 I T η η I S η η 8 p 复化求积公式可以通过截断误差与步长幂次方的同阶比较大致描述计算过程的收敛速度精度如果一个复化求积公式的截断误差有估计式 : I I O 则称求积算式 I 是 p 阶收敛精度的对相同的步长 p 越大收敛速度就越快显然复化梯形公式是阶收敛复化辛卜生公式是阶收敛的. 数值微分根据函数在一些离散点上的函数值来估计函数在某点导数或高阶导数的近似值的方法称为数值微分给定函数在个节点上的函数值最简单的算法就是用差商近似代 p

3 替微商即导数若由此构造的一个次插值多项式 p 用插值多项式的高阶导数去近似函数的高阶导数则得到插值型求导公式 : p p L 如果 p 表示为 Lgrge 插值多项式形式 L 则上述插值型求导公式在接 k 处的余项为其中 ω ξ L ω! 当时为两点公式时为三点公式时为五点公式若构造的一个分段次样条插值多项式 S S 则得到次样条求导法另外根据泰勒 Tylor 展开原理也可以构造数值微分公式. 里查逊 Rcrdso 外推算法和龙贝格 Roerg 求积公式在科学和工程计算中许多算法与空间步长有关如何利用已有的算法 F 对应步长去推算步长缩比为 q > 的公式 q F 以进一步提高计算精度便是 Rcrdso 外推算法的思想设 F 是计算 F 的一种近似算法其截断误差为 p s F F O p > s p p > 其中 p 与无关现将步长缩比为 q > 代入上式可得 q p s F / q F / q O 将 q p 式式消去截断误差的主项便得到的新的近似算法 : p q F / q F F F F O p q 我们称这个过程为 Rcrdso 外推算法可以把外推算法分别应用于数值积分和数值微分考虑求的一阶中心差商公式 k k k 得到计算的一个外推序列为 k p k s

里查逊 Rcrdso 外推算法和龙贝格 Roerg 求积公式在科学和工程计算中许多算法与空间步长有关如何利用已有的算法 F 对应步长去推算步长缩比为 q > 的公式 q F 以进一步提高计算精度便是 Rcrdso 外推算法的思想设 F 是计算 F 的

4 F F / F L 再考虑求 I d 于是得到计算 I 的一个外推序列为 T k T k T k L k s s L 二常见解题方法与示例数值积分与数值微分的理论与方法是本课程的重点内容之一同学们在课程学习时一方面要仔细理解各个方法的基本原理与算法过程另一方面还要适当做一些习题加深对课程内容的认识提高数值计算的动手能力和分析应用能力这里我们将一些基本的问题进行归类给出一些基本的解题思路方法供同学们学习时参考题型确定或验证数值求积公式和数值微分公式的参数使其代数精度尽量高或对次数的多项式精确成立并推出其余项方法 : 根据代数精度的概念数值求积公式或数值微分公式对次数的多项式精确成立等价于对个简单多项式项式... 精确成立即余项为而对多不能精确成立即其余项不为由此可确定其中的参数对 Guss 型求积公式还可以通过 Guss 点和 Guss 求积系数的有关性质确定其中的参数在推导数值求积公式和数值微分公式的余项 R 时可设 ξ R k k为待定系数 ; 对数值微分公式还可构造适当的插值多项式或应用 Tylor 展开式推导例给定求积分公式 d A B C - 试确定 ABC 使它的代数精度尽可能地高并指明所构造出的求积分公式具有的代数精度代入所给近似求积公式使公式精确成立得 : 解 : 令 A B C A C 6 A C 联立求解关于系数 A B C 的方程得 8 8 A B C 将 A B C 的上述取值代回式得

分公式的参数使其代数精度尽量高或对次数的多项式精确成立并推出其余项方法 : 根据代数精度的概念数值求积公式或数值微分公式对次数的多项式精确成立等价于对个简单多项式项式.

5 d - 它至少具有次的代数精度令代入近似公式得 : 左边右边故左边右边令代入近似公式得 : 6 6 至此可知求积公式具有次代数精确度例数值积分公式形如左边右边则 d S A B C D 确定求积公式中的参数 A B C D 使其代数精度尽量高设 C [ ] 推导余项表达式 d S 解 : 令左边右边分别代入求积公式中使求积公式精确成立即得 : A B B C D B D B D 联立式求解得 7 A B C D 故求积公式为 d 9 6 又取代入上式得 : 左边右边 [ 9 ] 6 6 此时左边右边故求积公式具有三次代数精度由于求积公式具有三次代数精度可设将 d S k ξ ξ 其中 k为待定系数代入上式得 :!k 故 k 6 从而得

入求积公式中使求积公式精确成立即得 : A B B C D B D B D 联立式求解得 7 A B C D 故求积公式为 d 9 6 又取代入上式得 : 左边右边 [ 9 ]

6 d S ξ ξ 例用不同的方法确定 A A 使下面公式为 Guss 求积公式 : d A A 解 : 方法一直接根据代数精度的定义确定公式中的参数略方法二公式具有个待定节点和个待定求积系数其最高代数精度至少可以达到次于是对取任意次多项式精确成立选取多项式 ω 则有 d A A ω ω ω ω d Aω A ω 求解上述方程住可得到求积节点即两个 Guss 点详细过程略方法三作变换 : t 则求积公式可转换为 Guss-Legedre 求积公 t 式 : d F t dt A F t A F t 其中 t t 根据 Guss 点 t t 是次 Legedre 多项式 d P t t t! dt 的两个零点可得 : t ± 相应的求积系数为 A A 即 A A 故 t t 方法四因为是 Guss 求积公式的两个 Guss 点故 β 是 [ ] 上带权 ρ g 交多项式的性质得 β.d β. d 而 β.d β 的二次正交多项式根据正 β. d β 故有 6

作变换 : t 则求积公式可转换为 Guss-Legedre 求积公 t 式 : d F t dt A F t A F t 其中 t t 根据 Guss 点 t t 是次 Legedre 多项式 d P t t t!

7 解之得 : β 6 再根据代数精度的定义得 β β 从而由 g 得 : 6 A A d A A d 解之得 : A A 例求如下数值微分公式的系数使其对次数尽可能高的多项式精确成立导出该数值微分公式的余项表达式解 : 令分别代入中使数值微分公式精确成立得解上述关于的方程组得下面用两种方法导出该数值微分公式的余项表达式方法一设余项 R k ξ 令故代入上式得 6.! k k 从而导出该数值微分公式的余项表达式为 7

分别代入中使数值微分公式精确成立得解上述关于的方程组得下面用两种方法导出该数值微分公式

8 方法二将 R ξ 在处 Tylor 展开得 ξ ξ在与之间!! 故 ξ 题型计算定积分和函数导数的近似值并估计误差或满足指定的误差要求方法 : 明确被积函数或求导函数然后应用指定的数值求积公式或数值微分公式计算即可需要注意的是对奇异积分必须先通过变量代换将其化为正常积分再计算例用复化梯形公式计算积分 I d 精确到三位有效数字解 : 所给积分 I 的被积函数在处具有奇异性不存在因而需要作变量代换 :t 将积分化为 I g dt t 应用复化梯形公式 : T g g g 这里 g t 8 T. T. T.66 T.69 至此有 T t 计算可得 I 8 T 故.7 题型确定复化合求积公式和数值微分公式的步长或节点数使计算结果满足给定的精度要求方法 : 根据复化合求积公式和数值微分公式的余项或截断误差表达式视问题要求确定是否加入舍入误差对满足给定精度要求解一个相应的不等式即可得所需的步长或节点数例 6 给定积分 s d 辛卜生公式计算是所需节点数及步距分别为多少? 当要求截断误差小于 6 时用复化梯形公式计算即复化解 : 设 s 应用复化梯形公式计算需要个等距节点才能满足截断误差要求此时步距为由复化梯形公式的截断误差得 8

再计算例用复化梯形公式计算积分 I d 精确到三位有效数字解 : 所给积分 I 的被积函数在处具有奇异性不存在因而需要作变量代换 :t 将积分化为 I g dt t 应用复化梯形公式 : T g g g 这里 g t 8 T. T. T.66 T.

9 而 cos s 故有 I T η η 根据题意必须满足 π s s T I < ε 这里 ε 6. 解之得 > 86. ε 取 87 即至少需要将区间 87 等分才能使计算结果满足给定的误差要求再设应用复化辛卜生公式计算需要个等距节点才能满足给定的截断误差要求此时步距为. 根据复化辛卜生公似的截断误差公式和误差要求得 I S 8 η 9 结合 < s 可求得满足误差要求的 η η < ε >.7 9ε 取即至少需要在区间 [] 中取个等距节点才能使计算结果满足给定的误差要求例 7 设 ε ε ε M " k k 计算的误差不超过试证明 : 当取 opt 时可使计算二阶倒数的 M 中心差商公式的截断误差和舍入误差的总和达到最小 " 似计算设 s [.7.] 计算时取到位小数求使用中心差商近时的 opt 以 opt " 为步长计算.9. 证明 : 因二阶导数的中心差商公式的截断误差估计为 R " M 9

根据复化辛卜生公似的截断误差公式和误差要求得 I S 8 η 9 结合 < s 可求得满足误差要求的 η η < ε >.

10 又设的舍入误差分别 ε ε ε 令 ε { ε ε ε } 则二阶导数的中心差商公式的舍入误差可估计为 " δ 故截断误差和舍入误差界的总和为使 E 达到最小的步长应满足 ε ε ε ε " ε E M 从而得最佳步长为 E 8ε M 6 opt 8ε M M k 根据的结论现有 s [.7.] 故再由计算 π s < 6 时取到位小数可知 ε. π < s 又 M o 8 s..89 π 8ε 故. 8 M.89 opt 此时以 opt. 8为步长得 " 题型. 推导数值求积公式和数值微分公式或其系数及余项或截断误差的表达式方法 : 应用已有的数值求积公式和数值微分公式或 Tylor 公式函数插值公式等作为工具进行推导对 Guss 型求积公式经常利用正交多项式的定义和性质例 8 利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式 d [ ] [ ] 7 η η

89 opt 此时以 opt. 8为步长得 ".9.8.9.9.8.9.8.78 题型.

11 解 : 构造三次 Herte 插值多项式 H 满足插值条件 : H H H H 则 H β β 其中 Herte 插值基函数 β 又由三次 Herte 插值多项式的插值余项公式得 H < < ε ε! 从而可得 d d H d ε d d d d β β d η η 应用换元法容易求得 d d d β d β 故有 ] [ ] [ d 7 η η 题型. 数值求积公式和数值微分公式的收敛性收敛速度计算效率计算结果的精度分析等方法 : 应用与该问题有关的概念性质和方法求解例 9. 在复化求积公式中常以达到同一精度时所需计算的函数值的个数来衡量求积公式的效率计算量越小效率越高试以积分 d 为例比较 Spso 法则和

数值求积公式和数值微分公式的收敛性收敛速度计算效率计算结果的精度分析等方法 : 应用与该问题有关的概念性质和方法求解例 9.

12 Guss-Legedre 两点公式的效率假定 [ ] 有解 : 如果把积分区间 [ ] 划分成个 N 大区间则由 [ ] Spso 法则的总误差量不超过 N N s 9 设总误差要求 s ε 则由 N s s ε 得 N N 9 88 间上需要计算的函数个数是个故总计算量为 ε 在每个大区 N 8 ε 而根据个节点的 Guss-Legedre 公式的误差估计式取得 R G L R! [!] G L! [!] ξ ξ 对一般积分区间 [ ] 作变换 : t 则有 d t dt F t dt 这里 t t 注意到 [ ] 从而有 F t 6 6 于是对积分 d 点 Guss-Legedre 公式的误差为! R G L F ξ! [ / N] 把区间 [ ] 划分成个 N 大区间的总误差为 : N 根据总误差精度要求 : [ / N] N ε 得 N ε

13 而点 Guss-Legedre 公式在每个小区间上只需计算两个函数值故总计算量为 N 7 ε 于是 Spso 法则和 Guss_Legedre 两点公式的总计算量之比为 :.: 8ε 7ε 可见 Guss_Legedre 两点公式的效率要高一些三思考练习题同学们在学习之余如果有兴趣和时间可以参照教材的内容和上面介绍的基本思考方式独立做做下面的问题巩固所学知识. 确定下列求积公式的待定参数使其代数精度尽量高指出其代数精确度的次数并求出余项中的常数 k d A A k ξ ξ. 设某物体垂直于轴的可变截面的面积为 s 且 s A C D 其中 A B C D 是任意常数试证明 : 此物体界于和间的体积 V 由下式给出 : V [ s s s ] 6 并应用上述结论推出计算球球台的体积公式. 设在区间 [ ] 上可积证明 : 对于积分 d 的复化梯形公式和复化辛卜生公式当时趋于积分值 d ; 能否证明龙贝格序列 { } k k R 当 k 时趋于积分值 d?. 验证数值微分公式 [ 6 6 ] 对次多项式精确成立进一步求出微分公式的余项

确定下列求积公式的待定参数使其代数精度尽量高指出其代数精确度的次数并求出余项中的常数 k d A A k ξ ξ.

类似地, 又可定义变下限的定积分 : ( ). 与 ψ 统称为变限积分. f ( ) d f ( t) dt,, 注在变限积分 (1) 与 () 中, 不可再把积分变量写成的形式 ( 例如 ) 以免与积分上下限的

类似地, 又可定义变下限的定积分 : ( ). 与 ψ 统称为变限积分. f ( ) d f ( t) dt,, 注在变限积分 (1) 与 () 中, 不可再把积分变量写成的形式 ( 例如 ) 以免与积分上下限的 5 ( 一 ) 微积分学基本定理当函数的可积性问题告一段落, 并对定积分的性质有了足够的认识之后, 接着要来解决一个以前多次提到过的问题在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一变限积分与原函数的存在性设 f 在 [,] 上