高等教育 十二五 规划教材 高等数学 ( 下册 ) 张永胜主编程志谦副主编 北 京

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2 高等教育 十二五 规划教材 高等数学 ( 下册 ) 张永胜主编程志谦副主编 北 京

3 内容简介本书是根据 高等数学课程教学基本要求, 结合编者多年从事高等数学教学积累的经验编写而成的 全书分为上 下两册 上册研究一元函数的微积分, 主要包括函数的极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分 定积分的应用以及常微分方程 下册研究多元函数, 主要包括向量代数与空间解析几何 多元函数的微分学 重积分 曲线积分和曲面积分 无穷级数以及数学实验 本书叙述直观, 概念清晰, 通俗易懂, 便于学生理解和掌握, 合理配置了适量的例题和习题, 应用问题贴近生活实际, 基本涵盖了工科类本科 高等数学 课程基本要求的内容, 读者可根据具体情况适当取舍 本书可作为高等工科院校的 高等数学 课程教材, 也可供相关教师 工程技术人员参考 图书在版编目 ( 犆犐犘 ) 数据 高等数学 ( 下册 )/ 张永胜主编 北京 : 科学出版社,11 ( 高等教育 十二五 规划教材 ) ISBN Ⅰ1 高 Ⅱ1 张 Ⅲ1 高等数学 高等学校 教材 Ⅳ1O13 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (11) 第 1517 号 策划 : 王超责任编辑 : 王纯刚张振华 / 责任校对 : 耿耘责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 科地亚盟 科学出版社发行 印刷 各地新华书店经销 11 年 9 月第一版开本 : /16 11 年 9 月第一次印刷印张 :18 印数 :1 3 字数 :49 定价 :6 元 ( 上 下册 ) ( 如有印装质量问题, 我社负责调换 ) 销售部电话 编辑部电话 版权所有, 侵权必究 举报电话 :1 6439; ; 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

4 数学是研究数量关系 结构和变化 空间模型和数理逻辑的科学, 是一门经典的学科, 是人类思维的伟大成果之一 它的产生和发展反映了社会发展的需求, 其研究内容和方法与社会需要紧密相关 高等数学 是高等院校重要的基础课之一, 目前高等数学的一部分基础知识已在初等数学中有所体现, 为了适应这一变化, 根据 高等数学课程教学基本要求, 保持高等数学的完整结构体系, 体现新形势下教学改革的精神和普通高校培养人才的需求, 编者结合多年从事高等数学教学积累的经验编写了本书 在编写过程中, 注意到了与初等数学内容的衔接和过度, 保持了教材的完整性 根据高等数学讲授课时的一般要求, 全书分为上 下两册 上册研究单变量函数, 主要内容包括函数的极限和连续 导数与微分 中值定理与导数的应用 不定积分 定积分 定积分的应用以及常微分方程 下册研究多变量函数, 主要内容包括向量代数和空间解析几何 多元函数的微分学 重积分 曲线积分和曲面积分 无穷级数以及数学实验 每节后都附有适量习题, 每章后都配有相关复习题, 复习题分为 A B 两组,A 组为基础题,B 组为综合与提高题 上册末附有常用的数学公式和常用的积分公式, 下册末附有常见的几何图形 本书中标有 号的内容为选学内容 全书共 13 章 第 1 章由周家全和张永胜编写 ; 第 3 章由伊海波和俞晓红编写 ; 第 4 5 章由张永胜和袁可红编写 ; 第 6 7 章由薛文义和乔建斌编写 ; 第 8 13 章由亢金轩 任铭和童新安编写 ; 第 9 1 章由王素芳和张娜编写 ; 第 11 1 章由程志谦和王云鹏编写 任铭 王云鹏 童新安和张娜校对并演算了全部习题和复习题 全书由张永胜统稿 在编写过程中得到了许多朋友的热情帮助, 在此表示衷心感谢 上册定价 9 元, 下册定价 31 元, 总定价 6 元 由于编者水平有限, 加之编写时间仓促, 书中不足之处在所难免, 敬请读者给予批评指正 编 者 11 年 6 月

5 第 8 章向量代数与空间解析几何 1 81 向量及其线性运算 向量概念 1 81 向量的线性运算 1 8 空间坐标系及行列式概念 4 81 空间直角坐标系与点的坐标 4 8 柱面坐标系与球面坐标系 6 83 二阶与三阶行列式概念 7 83 向量的坐标 向径的坐标表示 9 83 向量的坐标与向量线性运算的坐标表示 向量的模 方向余弦与投影 1 84 向量的数量积 向量积 向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积 平面及其方程 平面的方程 1 85 两平面的夹角 点到平面的距离 5 86 空间直线及其方程 空间直线的方程 6 86 两直线的夹角 直线与平面的夹角 3 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 87 空间曲面及其方程 曲面方程的概念 3 87 柱面 旋转曲面 几种常见的二次曲面 空间曲线及其方程 空间曲线的方程 空间曲线在坐标面上的投影 41 复习题八 4

6 iv 第 9 章多元函数的微分学 多元函数的基本概念 平面点集和区域 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 48 9 偏导数 5 91 偏导数的概念与计算 5 9 高阶偏导数 全微分 全微分的概念 全微分在近似计算中的应用 多元函数的求导法则 多元复合函数的求导法则 6 94 隐函数的求导公式 偏导数的几何应用 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 7 96 方向导数与梯度 方向导数 梯度 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值 多元函数的最大值与最小值 条件极值 8 复习题九 85 第 1 章重积分 二重积分的概念和性质 二重积分的概念 二重积分的性质 91 1 二重积分的计算 9 11 利用直角坐标计算二重积分 9 1 利用极坐标计算二重积分 二重积分的换元法 1 13 三重积分 三重积分的概念 利用直角坐标计算三重积分 利用柱面坐标计算三重积分 19

7 目录 v 134 利用球面坐标计算三重积分 重积分的应用 曲面的面积 质心 转动惯量 116 复习题十 118 第 11 章曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积分 对弧长曲线积分的概念与性质 对弧长曲线积分的计算 1 11 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分定义和性质 对坐标的曲线积分的计算 两类曲线积分的关系 格林公式及其应用 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 二元函数的全微分求积 对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念和性质 对面积的曲面积分的计算 对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分的概念与性质 对坐标的曲面积分的计算 两类曲面积分间的关系 高斯公式通量与散度 高斯 (Gauss) 公式 通量与散度 153 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 117 斯托克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯 (Stokes) 公式 环流量 旋度 158 复习题十一 159 第 1 章无穷级数 常数项级数的概念和性质 无穷级数问题的提出 常数项级数的基本概念 常数项级数的收敛与发散 常数项级数的性质 166

8 vi 1 常数项级数敛散性的判别法 正项级数 一般项级数 绝对收敛与条件收敛 幂级数 函数项级数及幂级数的概念 幂级数的收敛半径及收敛区间 幂级数的运算性质 函数展开成幂级数 泰勒公式与泰勒级数 函数展开成幂级数 函数幂级数展开式的应用 近似值的计算 求积分值 求数项级数的和 幂级数用于解微分方程的解 欧拉公式 傅里叶级数 187 复习题十二 194 第 13 章数学实验 数学实验及数学软件概述 什么是数学实验 数学软件与 MATLAB 简介 MATLAB 符号运算简介 13 一元函数微积分实验 曲线绘图 ( 一般函数 参数方程 极坐标方程 ) 8 13 一元函数的极限 一元函数的导数与微分 一元函数的极值和最值 方程求根 不定积分与定积分 图示化函数计算器 多元函数微积分实验 空间图形 ( 空间曲线 曲面 ) 绘图 多元函数极限 多元函数偏导数及全微分 偏导数的几何应用 多元函数的极值 5

9 目录 vi 1336 重积分 无穷级数求和 数项级数部分和与级数和 泰勒 (Taylor) 级数展开 傅里叶 (Fourier) 级数展开 常微分方程求解 常微分方程符号求解 常微分方程的数值求解 67 复习题十三 7 参考文献 73 附录常见的平面曲线 74 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

10 第 8 章 向量代数与空间解析几何 解析几何是把代数和几何结合起来的一门数学学科 在平面解析几何中, 对几何问题的解决是通过建立适当的坐标系, 利用坐标间的代数运算来进行的 对空间解析几何, 同样利用坐标法, 建立图形的方程, 研究图形的性质, 了解图形的形状 坐标法是解析几何的基本方法和重要工具 本章首先介绍在工程技术中有广泛应用的向量代数, 然后以其为工具研究空间平面和空间直线, 最后介绍一些常见的空间曲面和空间曲线 8 1 向量及其线性运算 向量概念 在自然界中, 常常会遇到两种不同类型的量 其中一类较简单, 在取定测量单位后, 就可以用一个实数来表示, 如物体的体积, 温度, 质量等 这种只有大小的量称为数量 ( 或标量 ) 数量可以是正的, 也可以是负的, 可以进行代数运算 还有一种量, 它们不但有大小, 而且还必须指出方向, 如位移, 速度, 加速度, 电场等 这种既有大小, 又有方向的量称为向量 ( 或矢量 ) 向量具有两个特征, 即大小和方向, 而具有这两个特征的最简单的几何图形是有向线 段, 因此, 我们通常用有向线段来表示向量, 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向 如以犕为起点, 犖为终点的有向线段表示的向量, 记作犕犖, 如图 81 所示 犕表示向量的起点, 犖表示向量的终点 为应用上的方便, 有时也用一个粗体字母犪, 犫, 犮, 或犪, 犫, 犮, 表示 图 81 向量的大小称为向量的模 ( 或长度 ), 用 犕犖, 犪, 犪 表示, 模为 1 的向量称为单位向量, 方向与犪同向的单位向量称为犪, 记作犪 模为 的向量称为零向量, 记为 或, 规定零向量的方向是任意的 在实际应用中, 有些向量与起点有关, 有些无关 在本章中, 只讨论与起点无关的向量, 并称这类向量为自由向量 如果两个向量犪与犫的模相等, 方向相同, 就称这两个向量相等, 记作犪 犫 他们经过平行移动后能够完全重合 规定零向量皆相等 两个向量如果平行移动到同一起点, 它们在同一直线上, 称这两个向量为平行向量 ( 或共线向量 ), 记作犪 犫 零向量与任何向量都共线 8 1 向量的线性运算 向量的加法运算和数乘运算称为向量的线性运算

11 1 向量的加法 定义 8 1( 平行四边形法则 ) 设向量犪, 犫 ( 若起点不重合, 可平移重合 ), 作以犪, 犫为 邻边的平行四边形, 对角线所表示的向量称为犪与犫的和, 记作犪 + 犫 ( 图 8) 定义 8 ( 三角形法则 ) 将向量犪, 犫之一平行移动, 使向量犫的起点与向量犪的终 点重合, 则由犪的起点到犫的终点的向量就是犪与犫的和犪 + 犫 ( 图 83) 由图 8 和图 83 不难看出, 两个法则实际上是一样的 但当两个向量平行时, 平 行四边形法则已不适用, 而三角形法则仍然适用, 且三角形法则可推广到多个向量的 求和 如求向量犪, 犫, 犮的和时, 可将它们平行移动, 使其首尾相接, 然后以犪的起点为起点, 犮的终点为终点的向量就是它们的和犪 + 犫 + 犮, 如图 84 所示 图 8 图 83 图 84 由图 85 和图 86 可以看到向量的加法满足下列运算规律 : (1) 交换律犪 + 犫 犫 + 犪 ; () 结合律 ( 犪 + 犫 )+ 犮 犪 +( 犫 + 犮 ); (3) 犪 + 犪 向量的减法 图 85 图 86 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 定义 8 3 设犪为一向量, 与犪的模相同且方向相反的向量称为犪的负向量 ( 逆向量或反向量 ), 记作 - 犪 ( 图 87) 由此规定两向量的差 犪 - 犫 犪 + (- 犫 ) 减法变成了加法, 就可以按照平行四边形法则和三角形法则来计算 ( 图 88 和图 89)

12 第 8 章向量代数与空间解析几何 3 犪 - 犫 图 87 图 88 图 89 在三角形法则中, 只要把犪, 犫的起点放在一起, 则由犫的终点到犪的终点的向量就是 3 向量的数乘 定义 8 4 设 λ 为一实数, 向量犪与 λ 的乘积为一向量, 记作 λ 犪, 称为向量的数乘, 且规定, λ 犪 λ 犪 当 λ> 时,λ 犪与犪同向 ; 当 λ< 时,λ 犪与犪反向 ; 当 λ 时,λ 犪, 方向任意 数与向量的乘积是一种新的运算, 其结果为一新向量 向量的数乘满足下列运算规律 (λ, μ 为实数 ) (1) 结合律 λ( μ 犪 )μ ( λ 犪 )(λμ ) 犪 ; () 分配律 (λ+μ ) 犪 λ 犪 +μ 犪 ( 对数的分配律 ); λ( 犪 + 犫 )λ 犪 +λ 犫 ( 对向量的分配律 ) 设犪为一非零向量, 则犪的单位向量犪 可写为 犪 1 犪 狘犪狘定理 8 1 两个非零向量犪 犫的充分必要条件是存在唯一实数 λ, 使犪 λ 犫 例 8 1 如图 81 所示, 在 犃犅犆犇中, 设犃犅 犪, 犃犇 犫, 用犪, 犫表示向量犕犃, 犕犅, 犕犆, 犕犇 这里犕是平行四边形对角线的交点 解由犪 + 犫 犃犅 + 犃犇 犃犆, 得 所以 犃犕 1 犃犆 1 ( 犪 + 犫 ), 犕犃 - 1 ( 犪 + 犫 ), 犕犆 犃犕 1 ( 犪 + 犫 ) 图 81 又 所以 犫 - 犪 犅犇 犕犇, 犕犇 1 ( 犫 - 犪 ), 犕犅 - 犕犇 - 1 ( 犫 - 犪 )

13 4 习题 81 1 作出长度是槡 3, 方向是北偏西 15 的向量, 再作出它的反向量 判断下列等式何时成立 (1) 犪 + 犫 犪 - 犫 ; () 犪 + 犫 犪 + 犫 ; (3) 犪 + 犫 犪 - 犫 ; (4) 犪 犪 犫 犫 3 把 犃犅犆的边犅犆 5 等分, 并把分点犇 1, 犇, 犇 3, 犇 4 分别与顶点犃连接 试以犃犅 犮, 犅犆 犪表示向量犇 1 犃, 犇 犃, 犇 3 犃, 犇 4 犃 8 空间坐标系及行列式概念 8 1 空间直角坐标系与点的坐标 1 空间直角坐标系 向量可以像数量一样进行运算, 而且可以直接用向量的方法去解决一些问题, 但 是, 在许多实际问题中所研究的是数量关系, 而向量只是一种工具, 不能解决有关数量 的问题 因此, 我们需要像平面解析几何一样引进坐标和坐标系, 将数量与向量联系 起来 从空间任一点犗, 引三条相互垂直且有相同长度单位的数轴犗, 犗, 犗狕, 分别称为轴 ( 横轴 ), 轴 ( 纵轴 ), 狕轴 ( 竖轴 ), 统称为坐标轴 按习惯, 把轴 轴放置在水平面上, 狕轴放在垂直位置上, 它们的正向按右手螺旋法则确定, 点犗称为坐标原点, 这样就构成了空间直角坐标系 ( 图 811) 任意两个坐标轴确定一个平面, 称为坐标面, 即犗面, 犗狕面和狕犗面, 三个坐标面把空间分为八个部分, 每一部分称为一个卦限, 共八个卦限, 其顺序如图 81 所示 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 图 811 图 81

14 第 8 章向量代数与空间解析几何 5 空间直角坐标系中点的坐标 设犕为空间中任一点, 过犕点作三个平面分别垂直于轴, 轴, 狕轴, 它们与三个坐标轴的交点分别为犘, 犙, 犚 这三点在轴, 轴, 狕轴上的坐标分别为,, 狕, 则空间一点犕就确定了唯一的一个有序数组,, 狕, 用 (,, 狕 ) 表示 反之, 任给一组有序数, 和狕, 它们分别在轴, 轴, 狕轴上对应点为犘, 犙, 犚 过犘, 犙, 犚分别作垂直于轴, 轴, 狕轴的平面, 三平面交于点犕 ( 图 813) 这样, 一组有序数就确定了空间内唯一的一个点犕 由此, 通过空间直角坐标系, 就建立了空间中任一点犕与有序数组 (,, 狕 ) 之间的一一对应关系, 称有序数组 (,, 狕 ) 为点犕的坐标,,, 狕分别称为点犕的横坐标, 纵坐标, 竖坐标 坐标轴与坐标面上的点有一定的特征 在,, 狕轴上的点的坐标分别为 (,,),(,,),(,, 狕 ) 在犗面, 犗狕面, 狕犗面上的坐标分别为 (,,),(,, 狕 ), 图 813 (,, 狕 ), 原点的坐标为 (,,) 空间每个卦限内的点的坐标符号分别为 Ⅰ(+,+,+),Ⅱ(-,+,+),Ⅲ(-,-,+), Ⅳ(+,-,+),Ⅴ(+,+,-),Ⅵ(-,+,-),Ⅶ(-,-,-),Ⅷ(+,-,-) 3 空间两点间的距离公式 在数轴上, 犕 1( 1) 犕 ( ) 两点间的距离为 犱 狘犕 1 犕 狘 狘 - 1 狘 槡 ( - 1) 在平面上, 犕 1( 1, ) 犕 1 (, ) 两点间的距离为 犱 狘犕 1 犕 狘 槡 ( - 1) + ( - ) 1 那么, 在空间中, 任意两点犕 1( 1,, 1 狕 1), 犕 (,, 狕 ) 之间的距离是多少? 我们可以证明 犱 狘犕 1 犕 狘 槡 ( - 1) + ( - 1 ) + ( 狕 - 狕 1) 过犕 1, 犕 各作分别垂直于三条坐标轴的平面, 这六个平面围成一个以犕 1 犕 为对角线的长方体 ( 图 814) 因为 犕 1 犖犕 及 犕 1 犘犖为直角三角形, 则 犱 狘犕 1 犕 狘 狘犕 1 犖狘 + 狘犖犕 狘 狘犘 1 犘 狘 + 狘犙 1 犙 狘 + 狘犚 1 犚 狘 ( - 1) + ( - 1 ) + ( 狕 - 狕 1), 所以, 犕 1, 犕 两点间的距离为 犱 槡 ( - 1) + ( - 1 ) + ( 狕 - 狕 1) (81) 式 (81) 称为空间中两点间的距离公式

15 6 图 814 特别地, 设犕 (,, 狕 ) 为空间任意一点, 则有 即 犱 ( 犗犕 ) 槡 + + 狕 例 8 在狕轴上求与点犃 (-4,1,7) 和犅 (3,5,-) 等距离的点 解因为所求的点在狕轴上, 故可设该点坐标为犕 (,, 狕 ), 由条件 犕犃 犕犅, 解得 槡 ( 狕 -7) 槡 ( 狕 +) 17+ ( 狕 -7) 34+ ( 狕 +), ( ) 狕 14 9 故所求点的坐标为,, 14 9 例 8 3 试证以三点犕 1(4,3,1), 犕 (7,1,), 犕 3(5,,3) 为顶点的三角形是等腰三 角形 证明 所以 由于, 狘犕 1 犕 狘 槡 (7-4) + (1-3) + (-1) 槡 14, 狘犕 犕 3 狘 槡 (5-7) + (-1) + (3-) 槡 6, 狘犕 1 犕 3 狘 故 犕 1 犕 犕 3 是等腰三角形 槡 (5-4) + (-3) + (3-1) 槡 6, 狘犕 1 犕 3 狘 狘犕 犕 3 狘 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 8 柱面坐标系与球面坐标系 在平面解析几何里, 已经学习过平面直角坐标系, 为了应用的方便, 又学习了极坐标

16 第 8 章向量代数与空间解析几何 7 同样, 在空间解析几何里, 为了解决实际问题的需要, 还会用到柱面坐标系和球面坐标系 1 柱面坐标系 在空间直角坐标系中, 空间任意一点犘与有序数组 (,, 狕 ) 是一一对应的, 其中, 是 犘在犗面上的投影点犕在犗面上的直角坐标 若用极坐标 ( 狉,θ) 来表示犕, 则空间一点 犘就可以用数组 ( 狉,θ, 狕 ) 来表示, 并且规定 狉 <+, θ<π,- < 狕 <+ 这样所得的坐标系称为柱面坐标系, 称 ( 狉,θ, 狕 ) 为点犘的柱面坐标, 记作犘 ( 狉,θ, 狕 )( 图 815) 显然, 柱面坐标与直角坐标的关系为 球面坐标系 烄 狉 cosθ 烅 狉 sinθ 烆狕 狕 设犘为空间中任一点, 犕为犘在犗面上的投影, ρ 表示犘到原点犗的距离,θ 为从 犗轴正向转到犗犕的夹角, φ 为从犗狕轴正向转到犗犘的夹角, 并规定 ρ<+, θ< π, φ π, 则空间中任一点犘可由一组有序数组 ( ρ,θ, φ ) 表示, 这样确定的坐标系称为球面坐标系, 称 ( ρ,θ, φ ) 为点犘的球面坐标 ( 图 816) 图 815 图 816 球面坐标与直角坐标的关系为烄 ρsinφcosθ 烅 ρsinφsinθ 烆狕 ρcos φ 8 3 二阶与三阶行列式概念为了便于应用, 下面简单介绍一下在线性代数里应用广泛的二阶, 三阶行列式的定义及简单计算

17 8 犪犮称为二阶行列式, 它表示一个数, 且规定犫犱犪犮 犪犱 - 犫犮 犫犱 犪 11 犪 1 犪 13 犪 1 犪 犪 3 称为三阶行列式, 它也表示一个数, 其计算公式为 犪 31 犪 3 犪 33 犪 11 犪 1 犪 13 犪 1 犪 犪 3 犪 11 犪 犪 33+ 犪 1 犪 3 犪 13+ 犪 31 犪 1 犪 3- 犪 13 犪 犪 31- 犪 3 犪 3 犪 11- 犪 33 犪 1 犪 1 犪 31 犪 3 犪 33 这种计算方法称为 对角线法 三阶行列式还可以由二阶行列式来计算, 即 犪 11 犪 1 犪 13 犪 犪 3 犪 1 犪 3 犪 1 犪 犪 1 犪 犪 3 犪 11 - 犪 1 + 犪 13 犪 3 犪 33 犪 31 犪 33 犪 31 犪 3 犪 31 犪 3 犪 33 这种计算方法称为 降阶法 例 8 4 计算下列行列式的值 (1) ; () 解 (1) ; () 狕 ; (3) (-1) (-1) 狕 (3) 习题 ; 狕 狕 狕 1 在空间直角坐标系中作出下列各点 (1)(3,-1,-); ()(,-,); (3)(,,-1) 设某点与给定的点 (,-3,-1) 分别对称于 (1) 各坐标面 ; () 各坐标轴 ; (3) 坐标原点 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

18 第 8 章向量代数与空间解析几何 9 求它的坐标 3 求点犕 (4,-3,5) 与原点及各坐标轴间的距离 4 试证以三点犃 (4,1,9), 犅 (1,-1,6), 犆 (,4,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形 5 求满足下列各条件的点的坐标 (1) 犃 (4,-7,1), 犅 (6,, 狕 ), 犃犅 11; () 犃 (,3,4), 犅 (,-,4), 犃犅 5 6 在犗狕面上, 求与三个已知点犃 (3,1,), 犅 (4,-,-), 犆 (,5,1) 等距离的点 7 求下列行列式的值 (1) ; () 1 ; (3) 犪犫犮 ; (4) 向量的坐标 向径的坐标表示 起点为坐标原点犗, 终点是犕的向量犗犕称为点犕的向径 ( 也称为点的位置向量 ), 记作狉 ( 犕 ) 或犗犕 ( 图 817) 实际上, 将任意向量进行平移, 使其起点与坐标原点重合而得到的向量就是向径 在坐标轴上分别与轴, 轴, 狕轴方向相同的单位向量称为基本单位向量, 分别用犻, 犼, 犽表示 设点犕的坐标为 (,, 狕 ), 则有 即 犗犃 犻, 犗犅 犼, 犗犆 狕犽 由向量的加法法则, 有 犗犕 犗犕 + 犕 犕 ( 犗犃 + 犗犅 )+ 犗犆 犻 + 犼 + 狕犽, 图 817 狉 ( 犕 ) 犻 + 犼 + 狕犽 (8) 式 (8) 称为向径狉 ( 犕 ) 的坐标表示式, 称,, 狕是向径狉 ( 犕 ) 的坐标, 记作 由此可知点的坐标与向径的坐标是一致的 8 3 狉 ( 犕 ) {,, 狕 } 向量的坐标与向量线性运算的坐标表示 1 向量犕 1 犕 的坐标表示 设空间两点犕 1( 1, 1, 狕 1), 犕 (,, 狕 ), 则以犕 1 为起点, 犕 为终点的向量犕 1 犕 可表示为犕 1 犕 犗犕 - 犗犕 1 狉 ( 犕 )- 狉 ( 犕 1)( 图 818) 又狉 ( 犕 1) 1 犻 + 1 犼 + 狕 1 犽, 狉 ( 犕 ) 犻 + 犼 + 狕 犽,

19 1 图 818 则 犕 1 犕 ( 犻 + 犼 + 狕 犽 )- ( 1 犻 + 1 犼 + 狕 1 犽 ) ( - 1) 犻 + ( - 1 ) 犼 + ( 狕 - 狕 1) 犽 { - 1, - 1, 狕 - 狕 1} 为了叙述方便, 令犪 - 1, 犪 - 1, 犪狕 狕 - 狕 1, 则 犕 1 犕 犪犻 + 犪犼 + 犪狕犽 { 犪, 犪, 犪狕 }(83) 式 (83) 为向量犕 1 犕 的坐标表示式, 犪, 犪, 犪狕为向 量犕 1 犕 的坐标 可以看出 : 向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标 向量线性运算的坐标表示 有了向量的坐标表示后, 向量的线性运算就可以方便的用坐标表示 设向量犪 犪犻 + 犪犼 + 犪狕犽, 犫 犫犻 + 犫犼 + 犫狕犽, 则有 (1) 犪 ± 犫 ( 犪犻 + 犪犼 + 犪狕犽 )±( 犫犻 + 犫犼 + 犫狕犽 ) ( 犪 ± 犫 ) 犻 +( 犪 ± 犫 ) 犼 +( 犪狕 ± 犫狕 ) 犽 { 犪 ± 犫, 犪 ± 犫, 犪狕 ± 犫狕 }; ()λ 犪 λ( 犪犻 + 犪犼 + 犪狕犽 ) (λ 犪 ) 犻 +(λ 犪 ) 犼 +(λ 犪狕 ) 犽 {λ 犪,λ 犪,λ 犪狕 }; (3) 犪 犫 犪 犫, 犪 犫, 犪狕 犫狕 ; 犪 (4) 犪 犫 犫 犪 犫 犪狕 犫狕 向量的模 方向余弦与投影 1 向量的模的坐标表示 向量可以用它的模和方向表示, 也可以用坐标表示 因此, 向量的模 方向也可以用坐 标表示 设向量犪 { 犪, 犪, 犪狕 }, 作向径犗犕 犪 ( 图 819), 则犗犕 { 犪, 犪, 犪狕 }, 点犕的坐标为 ( 犪, 犪, 犪狕 ), 有 狘犪狘 狘犗犕狘 犪 + 犪 槡 + 犪狕 一般地, 向量犕 1 犕 的模就是犕 1, 犕 两点间 的距离 向量的方向余弦的坐标表示 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 为了表示向量的方向, 我们引进方向角的概 念 一向量犪与,, 狕轴的正向的夹角 α, β,γ, 称 图 819

20 第 8 章向量代数与空间解析几何 11 为犪的方向角, 方向角的余弦 cosα,cosβ, cosγ 称为它的方向余弦 有犪 狘犪狘 cosα, 犪 狘犪狘 cosβ, 犪狕 狘犪狘 cosγ, 得 烄 cosα 犪 槡犪 + 犪 + 犪狕 烅 cosβ 犪, 槡犪 + 犪 + 犪狕 由上式, 得 cosγ 烆 犪狕 槡犪 + 犪 + 犪狕 cos α+cos β+cos γ1 设犪是与犪同向的单位向量, 则 犪 犪烄犪犪犪狕,, 烌烅 烍狘犪狘槡犪 + 犪 + 犪 烆狕槡犪 + 犪 + 犪狕槡犪 + 犪 + 犪狕烎 {cosα,cosβ, cosγ} 3 向量在坐标轴上的投影 首先给出两向量的夹角的概念 设有两非零向量犪, 犫, 规定犪, 犫正向间位于 与 π 之间的那个夹角为犪与犫的夹角, 记作 ( 犪, 犫 ) 或 ( 犫, 犪 ) 设空间一点犃及轴狌, 过犃作轴狌的垂直平面 α, 平面 α 与轴的交点犃 称为点犃在轴狌上的投影 ( 图 8) 若向量犃犅的起点犃与终点犅在轴狌上的投影分别为犃, 犅, 则称有向线段犃 犅 为 犃犅在轴狌上的投影向量 ( 或射影向量 )( 图 81) 图 8 图 81 设向量犲为与轴狌的正向同向的单位向量, 向量犃犅的投影向量为犃 犅, 有犃 犅 犲, 则称为向量犃犅在轴狌上的投影, 记作 Prj 狌犃犅, 即 Prj 狌犃犅 容易看出, 当犃 犅 与狌轴同向时,Prj 狌犃犅 犃 犅 ; 当犃 犅 与狌轴反向时,

21 1 Prj 狌犃犅 - 犃 犅 下面给出向量的投影性质 由图 8 很容易推出下列定理 定理 8 ( 投影定理 ) 设向量犃犅与轴狌的 夹角为 φ, 则 Prj 狌犃犅 狘犃犅狘 cosφ 由定理图 8 可以看出, 犃犅在轴狌上的投影 8 Prj 狌犃犅与犃犅与轴狌的夹角 φ 有关 当 φ 为锐角时, 投影 Prj 狌犃犅 >; 当 φ 为钝角时, 投影 Prj 狌犃犅 <; 当 φ 为直角时, 投影 Prj 狌犃犅 和, 即 推论 8 1 相等的向量在同一轴上的投影相等 定理 8 3 设向量犪与犫, 则犪 + 犫在轴狌上的投影等于犪, 犫分别在轴狌上的投影的 定理 83 可以由图 83 推出 Prj 狌 ( 犪 + 犫 )Prj 狌犪 +Prj 狌犫 影, 即 图 83 定理 83 的结论可以推广到有限个向量和的情形 推论 8 Prj 狌 ( 犪 1+ 犪 + + 犪狀 )Prj 狌犪 1+Prj 狌犪 + +Prj 狌犪狀定理 8 4 实数 λ 与向量犪的数乘在轴狌上的投影等于 λ 乘以向量犪在该轴上的投 Prj 狌 λ 犪 λprj 狌犪 例 8 5 设犪 {1,,3}, 犫 {4,5,6}, 求犪 ± 犫, 犪 -3 犫 解犪 + 犫 {1+4,+5,3+6}{5,7,9}; 例 8 6 犪 - 犫 {1-4,-5,3-6}{-3,-3,-3}; 犪 -3 犫 {,4,6}-{1,15,18}{-1,4-15,6-18} 犕 1 犕 同向的单位向量 {-1,-11,-1} 已知两点犕 1(-1,-,3), 犕 (,4,1), 试求犕 1 犕 的模, 方向余弦及与 解犕 1 犕 {-(-1),4-(-),1-3}{3,6,-}, 则 狘犕 1 犕 狘 槡 (-) 槡 497, 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

22 第 8 章向量代数与空间解析几何 13 例 8 7 cosα 3 7, cosβ 6 7, cosγ- 7, { } 犕 1 犕 犕 1 犕 3 狘犕 1 犕 狘 7,6 7, - 7 设同时作用于一点的三个力分别为犉 1{1,,3}, 犉 {-,3,-4}, 犉 3 {3,-4,5}, 求合力犉的大小与方向余弦 解犉 犉 1+ 犉 + 犉 3{,1,4}, 则合力犉的大小为 方向余弦为 狘犉狘 槡 槡 1 cosα, cosβ 1, cosγ 4 槡 1 槡 1 槡 1 例 8 8 设向量犿 {3,5,8}, 狀 {,-4,-7}, 狆 {5,1,-4}, 求和犪 4 犿 +3 狀 - 狆在轴上的投影及在轴上的分向量 解 Prj 犪 4Prj 犿 +Prj 狀 +Prj 狆 , 犪 犪犼 (4 犿 +3 狀 - 狆 ) 犼 习题 83 (4 5+3 (-4)-1) 犼 7 犼 1 设犕 1(1,3,4), 犕 (,1,3), 求犗犕 1+ 犗犕, 犗犕 1- 犗犕, 犕 1 犕 求平行于向量犪 {6,7,-6} 的单位向量 3 设已知两点犕 1(4, 槡,1) 和犕 (3,,), 求向量犕 1 犕 的模, 方向余弦和方向角 4 设向量的方向余弦分别满足 : (1)cosα; ()cosβ1; (3)cosαcosβ 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何? 5 设向量 狉 4, 它与轴狌的夹角为 6, 求 Prj 狌狉 6 一向量的终点在点犅 (,-1,7), 它在轴, 轴, 狕轴上的投影依次为 4,-4,7, 求它的起点犃的坐标 8 4 向量的数量积 向量积 向量的数量积 1 数量积的定义例 8 9 已知力犉与轴正向的夹角为 α, 大小为犉 在力犉的作用下, 一质点犕沿轴由犃点移到犅点 ( 图 84), 求力所做的功

23 14 图 84 解 力犉在水平方向的分力大小为犉 犉 cosα, 则由 物理学知, 力犉所做的功为 犠 狘犃犅狘犉 cosα 功是由两个向量犉和犃犅所确定的一个数量 这种向 量间的运算关系不仅在物理上, 而且在几何上及其他科学技术上都有着广泛的应用 我们 定义如下 定义 8 5 设向量犪与犫, 它们的夹角为 θ 称数值 犪 犫 cosθ 为犪与犫的数量积 ( 内积或点积 ) 记作犪 犫, 即犪 犫 犪 犫 cosθ 注 1 两向量的数量积是一个数值, 当 θ< π 时, 为正值 ; 当 π <θ π 时, 为负值 ; 当 θ π 时, 为零 注 当犪 时, 犫 cosθprj 犪犫, 当犫 时, 犪 cosθprj 犫犪 则犪 犫 犪 Prj 犪犫 犫 Prj 犫犪 数量积满足的运算规律 即 则 即 由定义很容易推出下列结论 (1) 交换律犪 犫 犫 犪 ; () 分配律犪 ( 犫 + 犮 ) 犪 犫 + 犪 犮 ; (3) 与数的结合律 (λ 犪 ) 犫 犪 (λ 犫 )λ( 犪 犫 ); (4) 犪 犪 犪 即 犪 犪 槡犪 定理 8 5 两个非零向量犪与犫垂直 ( 即犪 犫 ) 的充分必要条件是犪 犫 证明必要性设犪 犫, 则 θ π, 所以 充分性 犪 犫 狘犪狘狘犫狘 cos π, 犪 犫 设犪 犫 犪 犫 cosθ, 由条件 犪, 犫 得 cosθ, θ π, 犪 犫 由于基本单位向量犻, 犼, 犽相互垂直, 则有 规定, 零向量与任意向量都垂直 犻 犼 犼 犽 犽 犻, 犻 犻 犼 犼 犽 犽 1 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

24 第 8 章向量代数与空间解析几何 15 例 8 1 如图 85 所示, 利用数量积证明三角形的余弦定理 证明由于犮 犪 - 犫, 则 即 狘犮狘 狘犪 - 犫狘 ( 犪 - 犫 ) ( 犪 - 犫 ) 犪 ( 犪 - 犫 )- 犫 ( 犪 - 犫 ) 犪 犪 - 犪 犫 + 犫 犫 狘犪狘 + 狘犫狘 - 狘犪狘狘犫狘 cosθ 狘犮狘 狘犪狘 + 狘犫狘 - 狘犪狘狘犫狘 cosθ 图 85 即 3 数量积的坐标表示式 设向量犪 { 犪, 犪, 犪狕 }, 犫 { 犫, 犫, 犫狕 }, 则 由此, 定理 85 可写为下列推论 故 所以 犪 犫 ( 犪犻 + 犪犼 + 犪狕犽 ) ( 犫犻 + 犫犼 + 犫狕犽 ) 犪犫犻 犻 + 犪犫犻 犼 + 犪犫狕犻 犽 + 犪犫犼 犻 + 犪犫犼 犼 + 犪犫狕犼 犽 + 犪狕犫犽 犻 + 犪狕犫犽 犼 + 犪狕犫狕犽 犽 犪犫 + 犪犫 + 犪狕犫狕, 犪 犫 犪犫 + 犪犫 + 犪狕犫狕 推论 8 3 两个非零向量犪 犫的充分必要条件是犪犫 + 犪犫 + 犪狕犫狕 另外, 由于犪 犫 犪 犫 cos( 犪, 犫 ), 可得两向量夹角的余弦公式, 即 cos( 犪, 犪 犫犪犫 + 犪犫 + 犪狕犫狕犫 ) 狘犪狘狘犫狘犪 + 犪 槡 + 犪狕犫 槡 + 犫 + 犫狕例 8 11 已知三点犃 (1,,1), 犅 (,1,1), 犆 (,,), 求 犅犃犆 解作向量犃犅, 犃犆, 则 犅犃犆为这两向量的夹角 犃犅 {1,1,}, 犃犆 {-1,,-1}, 狘犃犅狘 槡 槡, 狘犃犆狘 槡 (-1) + + (-1) 槡, 犃犅 犃犆 1 (-1)+1 + (-1)-1 犃犅 犃犆 cos 犅犃犆 -1 狘犃犅狘狘犃犆狘槡 槡 - 1, 犅犃犆 3 π 例 8 1 设 犪 3, 犫 5, 试确定 α, 使犪 +α 犫与犪 -α 犫垂直 解 已知犪 +α 犫与犪 -α 犫垂直, 则

25 16 即 ( 犪 +α 犫 ) ( 犪 -α 犫 ) 犪 ( 犪 -α 犫 )+α 犫 ( 犪 -α 犫 ) 犪 犪 -α 犫 犫 狘犪狘 -α 狘犫狘 3 -α 5 9-5α α± 3 5 例 8 13 三个力犉 1{4,,3}, 犉 {-,7,-4}, 犉 3{8,-4,5}, 同时作用在质点犕上, 使之有位移犛 {,6,-7},, 试求 : (1) 合力沿各坐标轴上的分力 ; () 合力的大小及方向余弦 ; (3) 合力所做的功 解设合力为犉, 则 8 4 犉 犉 1+ 犉 + 犉 3 {4,,3}+ {-,7,-4}+ {8,-4,5} {1,5,4}1 犻 +5 犼 +4 犽 (1) 合力犉沿各坐标轴上的分力为 犉 1 犻, 犉 5 犼, 犉狕 4 犽 () 犉 1 +5 槡 +4 槡 141, 方向余弦为 cosα 1, cosβ 5, cosγ 4 槡 141 槡 141 槡 141 (3) 犠 犉 犛 (-7) 向量的向量积 1 向量积的概念 例如, 设犗为一杠杆的支点, 力犉作用于杠杆上点犘处, 犉与犗犘的夹角为 θ, 求力犉 图 86 对支点犗的力矩犕 ( 图 86) 解由力学知识知, 力犉对支点犗的力矩是向量 犕, 其大小为 狘犕狘 狘犉狘狘犗犙狘 狘犉狘狘犗犘狘 sinθ 犕的方向垂直于犗犘与犉所在的平面, 指向按右手螺旋法则来确定 : 伸出右手, 让四指与大拇指垂直, 四指 先指向犗犘方向, 然后沿小于 π 的方向握拳转向力犉的方向, 大拇指所指的方向就是犕 的方向 像这样由两个向量确定另一个向量的运算在几何以及其他学科方面也有广泛的应 用 因此, 我们定义如下 定义 8 6 两个向量犪和犫的向量积 ( 外积或叉积 ) 是一个向量, 记作犪 犫, 并规定如下 : (1) 犪 犫 犪 犫 sin( 犪, 犫 ); 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

26 第 8 章向量代数与空间解析几何 17 () 犪 犫的方向规定为 : 犪 犫既垂直于犪又垂直于犫, 并且按顺序犪, 犫, 犪 犫符合右手螺旋法则 ( 图 87) 向量积的模 犪 犫 的几何意义把犪, 犫的起点放在一起 并 以犪, 犫为邻边作一平行四边形, 则 犪 犫 犪 犫 sin( 犪, 犫 ) 为该平行四边形的面积 向量积满足的运算规律 由定义可得向量积满足下列运算规律 图 87 (1) 反交换律犪 犫 - 犫 犪, () 分配律犪 ( 犫 + 犮 ) 犪 犫 + 犪 犮, ( 犪 + 犫 ) 犮 犪 犮 + 犫 犮, (3) 与数的结合律 (λ 犪 ) 犫 犪 (λ 犫 )λ( 犪 犫 ), (4) 犪 犪 定理 8 6 两个非零向量犪与犫平行 ( 即犪 犫 ) 的充分必要条件是犪 犫 证明 ( 必要性 ) 设犪 犫, 则 ( 犪, 犫 ) 或 ( 犪, 犫 )π, 即 sin( 犪, 犫 ), 故 即 狘犪 犫狘 狘犪狘狘犫狘 sin( 犪, 犫 ) 犪 犫 ( 充分性 ) 设犪 犫, 即 犪 犫 犪 犫 sin( 犪, 犫 ), 由于 犪, 犫, 得 sin( 犪, 犫 ) ( 犪, 犫 ) 或 π 所以犪 犫 由此定理可得 (1) 犻 犻 犼 犼 犽 犽 ; () 犻 犼 犽, 犼 犽 犻, 犽 犻 犼, 犼 犻 - 犽, 犽 犼 - 犻, 犻 犽 - 犼 3 向量积的坐标表示式设犪 { 犪, 犪, 犪狕 }, 犫 { 犫, 犫, 犫狕 }, 则犪 犫 ( 犪犻 + 犪犼 + 犪狕犽 ) ( 犫犻 + 犫犼 + 犫狕犽 ) 犪犫犻 犻 + 犪犫犻 犼 + 犪犫狕犻 犽 + 犪犫犼 犻 + 犪犫犼 犼 + 犪犫狕犼 犽

27 18 + 犪狕犫犽 犻 + 犪狕犫犽 犼 + 犪狕犫狕犽 犽 犪犫犽 - 犪犫狕犼 - 犪犫犽 + 犪犫狕犻 + 犪狕犫犼 - 犪狕犫犻 ( 犪犫狕 - 犪狕犫 ) 犻 - ( 犪犫狕 - 犪狕犫 ) 犼 + ( 犪犫 - 犪犫 ) 犽 (84) 为了便于记忆, 把式 (84) 用行列式表示, 即 犪 犫 犻犼犽 犪犪犪狕 由此, 定理 (86) 可写成下列推论 犫犫犫狕 而 推论 8 4 两个非零向量犪 犫的充分必要条件是犪 例 8 14 设犪 犻 - 犼, 犫 - 犻 + 犼 - 犽, 求犪 犫 解犪 犫 犻犼犽 犻 - 1 犼 犽 犻 + 犼 例 8 15 求垂直于向量犪 {1,1,1} 与犫 {,1,} 的单位向量 解 设犮 ±( 犪 犫 ), 则犮 犪, 犮 犫, 由 故所求的单位向量为 面积 解 例 8 16 模的几何意义知 犫 犪 犫 犪狕 犫狕 犻犼犽犪 犫 犻 犼 犽 犻 - 犼 + 犽, 狘犪 犫狘 槡 1 + (-) +1 槡 6 { } 犮 犮 ± ± 1, -, 1 狘犮狘槡 6 槡 6 槡 6 已知 犃犅犆的顶点分别为犃 (1,,3), 犅 (3,4,5), 犆 (,4,7), 求 犃犅犆的 因为 犃犅犆的面积为以犃犅, 犃犆为邻边的平行四边形面积的一半, 由向量积的 犛 犃犅犆 1 狘犃犅 犃犆狘, 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 而 所以 犃犅 {,,}, 犃犆 {1,,4}, 犻犼犽犃犅 犃犆 4 犻 -6 犼 + 犽, 1 4

28 第 8 章向量代数与空间解析几何 19 则 犛 犃犅犆 1 狘犃犅 犃犆狘 1 槡 4 + (-6) + 槡 14 例 8 17 设向量犪 6 犻 +3 犼 + 犽, 若犪与犫平行, 且 犫 14, 求向量犫 又 可得 即 解设犫 { 犫, 犫, 犫狕 }, 因为犪 犫, 所以有犫 6 3 犫狕 λ, 得 狘犫狘 犫 犫 6λ, 犫 3λ, 犫狕 λ 槡 (6λ) + (3λ) + (λ) 槡 49λ 7 狘 λ 狘 14, λ±, 所以犫 ±1, 犫 ±6, 犫狕 ±4, 犫 ± {1,6,4} 向量的混合积 1 混合积的概念 已知犪, 犫, 犮为三个非零向量, 则犪 犫是一个非零向量, 因此 ( 犪 犫 ) 犮是一个数量, 故有如下定义 定义 8 7 设有三个向量犪, 犫, 犮, 称犪与犫的向量积犪 犫再与向量犮的数量积为向量犪, 犫, 犮的混合积, 记作 [ 犪犫犮 ], 即 [ 犪犫犮 ]( 犪 犫 ) 犮 下面讨论混合积 ( 犪 犫 ) 犮的几何意义 以原点为始点的三个向量犪, 犫, 犮为相邻棱作一个平行六面体, 且作出犪 犫, 犮在犪 犫上的投影是犗犎 ( 犗犎 犺 ) ( 图 88) 此平行六面体的底面积为犛 犪 犫, 高犺为 犮在犪 犫上的投影的绝对值, 犺 Prj 犪 犫犮, 所以 犞 犛 犺 狘犪 犫狘 狘 Prj 犪 犫犮狘 狘 ( 犪 犫 ) 犮狘 即混合积的绝对值等于犪, 犫, 犮为棱的平行六面体的体积的数值 混合积的性质 (1)[ 犪犫犮 ][ 犫犮犪 ][ 犮犪犫 ]-[ 犮犫犪 ]-[ 犪犮犫 ]-[ 犫犪犮 ] () 三个非零向量犪, 犫, 犮共面的充分必要条件是混合积 [ 犪犫犮 ] 3 混合积的坐标表示式 设向量犪 { 犪, 犪, 犪狕 }, 犫 { 犫, 犫, 犫狕 }, 犮 { 犮, 犮, 犮狕 }, 则 图 88

29 犪 犫 犻犼犽 犪犪犪狕 犫犫犫狕 犪 犫 犪狕 犫狕 犻 - 犪 犫 犪狕 犫狕 犼 + 犪 犫 犪 犫 犽, ( 犪 犫 ) 犮 犪 犫 犪狕犮 - 犫狕 犪 犫 犪狕犮 + 犫狕 犪 犫 犪犮狕犫 犪犪犪狕 犫犫犫狕 即 犮犮犮狕 [ 犪犫犮 ] 犪犪犪狕 犫犫犫狕 犮犮犮狕 例 8 18 证明四点犃 (1,,1), 犅 (4,4,6), 犆 (,,3) 及犇 (1,14,17) 在同一平面上 证明 由于犃犅 {3,4,5}, 犃犆 {1,,}, 犃犇 {9,14,16}, [ 犃犅犃犆犃犇 ] 1, 所以犃犅, 犃犆, 犃犇共面, 即犃, 犅, 犆, 犇在同一平面上 例 8 19 求以向量犗犃 {1,1,1}, 犗犅 {,1,1}, 犗犆 {-1,,1} 为棱的平行六面 体的体积 解因为 [ 犗犃犗犅犗犆 ] 所以犞 [ 犗犃犗犅犗犆 ]1 习题 , 设向量犪 {1,1,-4}, 犫 {,-,1}, 试求 : (1) 犪 犫 ; () 犪, 犫 和 ( 犪, 犫 ); (3)Prj 犪犫 设向量犪 3 犻 - 犼 - 犽, 犫 犻 + 犼 - 犽, 求 : (1) 犪 犫及犪 犫 ; ()(- 犪 ) 3 犫及犪 犫 ; (3)cos( 犪, 犫 ) 3 已知向量犪 {,-3,1}, 犫 {1,-1,3}, 犮 {1,-,}, 试求 : (1)( 犪 犫 ) 犮 -( 犪 犮 ) 犫 ; ()( 犪 + 犫 ) ( 犫 + 犮 ); 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

30 第 8 章向量代数与空间解析几何 1 (3)( 犪 犫 ) 犮 ; (4)( 犪 犫 ) 犮 4 已知犕 1(1,-1,), 犕 (3,3,1) 和犕 3(3,1,3), 求与犕 1 犕, 犕 犕 3 同时垂直的单位向量 5 设向量犪 {3,5,-}, 犫 {,1,4}, 问 λ 与 μ 有怎样的关系, 能使得 λ 犪 +μ 犫与轴垂直? 6 已知向量犗犃 犻 +3 犽, 犗犅 犼 +3 犽, 求 犗犃犅的面积 7 设犪, 犫, 犮为单位向量, 且满足犪 + 犫 + 犮, 求证犪 犫 + 犫 犮 + 犮 犪 8 证明 (1)( 犪 + 犫 ) ( 犮 - 犪 )+( 犫 + 犮 ) ( 犪 + 犫 ) 犪 犮 ; ()( 犪 犫 ) + 犪 犫 犪 犫 9 已知三点的坐标犃 (,4,1), 犅 (3,7,5), 犆 (4,1,9), 证明三点是共面的 1 已知定点犃 (-1,,4), 犅 (6,3,), 犆 (1,4,-1) 及犇 (-1,-,3), 求四面体犃犅 犆犇的体积 8 5 平面及其方程 在本节中, 以向量作为工具, 讨论空间直角坐标系中最简单的一种空间图形 平面, 并建立其方程 平面的方程 1 平面的点法式方程 如果一非零向量狀垂直于一平面 Π, 则称向量狀是该平面 Π 的一个法线向量 由于过空间一点可以作且只能作一个平面垂直于已知直线, 因此当给定平面上的一点及其法线向量时, 就可以唯一地确定这个平面 若平面 Π 过点犕 (,, 狕 ), 狀 { 犃, 犅, 犆 } 为平面 Π 的一个法线向量, 下面来推导平面 Π 的方程 设犕 (,, 狕 ) 是平面 Π 上的任一点 ( 图 89), 则向量犕 犕在平面 Π 上, 且与平面 Π 的法线向量狀 垂直, 即 狀 犕 犕 由狀 { 犃, 犅, 犆 }, 犕 犕 { -, -, 狕 - 狕 }, 所以 犃 ( - )+ 犅 ( - ) + 犆 ( 狕 - 狕 ) (85) 这就是平面 Π 上任一点犕的坐标 狕所满足的 方程 反过来, 如果点犕 (,, 狕 ) 不在平面 Π 上, 那图 89 么向量犕 犕与法线向量狀不垂直, 从而狀 犕 犕, 即不在平面 Π 上的点犕的坐标 狕不满足式 (85)

31 由此可见, 平面 Π 上任一点的坐标都满足式 (85), 而不在平面 Π 上的点的坐标都不 满足, 故式 (85) 就是所求平面 Π 的方程 由于给定的条件是平面 Π 上的一定点犕 (,, 狕 ) 及其一个法线向量狀 { 犃, 犅, 犆 }, 所以式 (85) 称为平面的点法式方程 例 8 求过点 (1,,-1) 且垂直于向量狀 {-,3,1} 的平面方程 解 由平面的点法式方程, 得 即所求平面的方程为 -( -1)+3( -)+ ( 狕 +1), 狕 -3 例 8 1 求过三点犃 (,-1,4), 犅 (-1,3,-) 和犆 (,,3) 的平面方程 解先找出所求平面的法线向量狀 由于向量狀与向量犃犅 犃犆都垂直, 而犃犅 {-3,4,-6}, 犃犆 {-,3,-1}, 所以可取它们的向量积作为法线向量狀, 即 狀 犃犅 犃犆 犻犼犽 犻 +9 犼 - 犽 再由平面过点犃 (,-1,4), 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 即 成 平面的一般方程和截距式方程 14( -)+9( +1)- ( 狕 -4), 狕 -15 若将过点犕 (,, 狕 ), 以狀 { 犃, 犅, 犆 } 为法线向量的平面点法式方程 (85) 整理 犃 + 犅 + 犆狕 - ( 犃 + 犅 + 犆狕 ) 令犇 -( 犃 + 犅 + 犆狕 ), 则式 (85) 就成为三元一次方程, 即 式 (86) 表明任一平面都可以用三元一次方程来表示 反之, 任意一个三元一次方程 犃 + 犅 + 犆狕 + 犇, 其中犃 犅 犆不同时为零, 它的图形是否是一个平面呢? 设 狕 是方程 (86) 的一组解, 则有 犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 (86) 犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 (87) 将式 (86) 与式 (87) 相减得 犃 ( - )+ 犅 ( - ) + 犆 ( 狕 - 狕 ) 把它与平面的点法式方程 (85) 相比较, 可以知道它是过点犕 (,, 狕 ), 以狀 { 犃, 犅, 犆 } 为法线向量的平面方程 由此可知, 任一三元一次方程, 即式 (86) 的图形总是一个平面, 式 (86) 称为平面的一般方程, 方程中 狕的系数就是该平面的一个法线向量的坐 标, 即狀 { 犃, 犅, 犆 } 例如, 方程 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

32 第 8 章向量代数与空间解析几何 狕 +1 表示一个平面, 狀 {4,3,-} 就是这个平面的一个法线向量 对于一些特殊的三元一次方程, 应该熟悉它们所表示的平面的特点 (1) 当犇 时, 式 (86) 成为犃 + 犅 + 犆狕, 它表示一个通过原点的平面 () 当犃 时, 式 (86) 成为犅 + 犆狕 + 犇, 法线向量狀 {, 犅, 犆 } 垂直于轴, 方程表示一个平行于轴的平面 类似地, 方程犃 + 犆狕 + 犇 和犃 + 犅 + 犇 分别表示一个平行于轴和狕轴的平面 (3) 当犃 犅 时, 式 (86) 犇成为犆狕 + 犇 或狕 -, 法线向量狀 {,, 犆 } 同时犆垂直于轴和轴, 方程表示一个平行于犗面的平面 类似地, 方程犃 + 犇 和 犅 + 犇 分别表示一个平行于犗狕面和狕犗面的平面 例 8 求通过轴和点犘 (1,,3) 的平面方程 解方法 1 因为所求平面通过轴, 所以该平面通过原点犗, 且平行于向量犿 {1,,}, 因此可取平面的法线向量为 整理得 于是所求平面的方程为 方法 狀 犗犘 犿 犻犼犽 1 3 {,3,-} 1 ( -)+3( -)-( 狕 -), 3 - 狕 由于平面过原点, 故设平面的一般方程为 犃 + 犅 + 犆狕 又由于平面过轴, 故平面必平行于轴, 得犃, 于是平面方程成为 犅 + 犆狕 最后利用平面过点犘 (1,,3) 的条件, 得 犅 +3 犆, 即犆 - 3 犅, 将其代入方程犅 + 犆狕 并消去犅, 便得所求平面的方程为 例 狕 设一平面与 狕轴的交点依次为 犕 1( 犪,,) 犕 (, 犫,) 犕 3(,, 犮 ) 三点 ( 图 83), 求这平面的方程 ( 其中犪, 犫, 犮 ) 解 设所求平面的一般方程为 犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 由犕 1( 犪,,) 犕 (, 犫,) 犕 3(,, 犮 ) 三点都在这平面上, 所以点犕 1 犕 犕 3 的坐标都满足所设的 图 83

33 4 平面方程, 即有烄犪犃 + 犇 烅犫犅 + 犇 烆犮犆 + 犇 解得犇犃 -, 犇犅 -, 犇犆 - 犪犫犮以此代入所设的平面方程并除以犇 ( 犇 ), 便得所求的平面方程为 狕 + + 1, (88) 犪犫犮式 (88) 称为平面的截距式方程, 而犪 犫 犮依次称为平面在 狕轴上的截距 8 5 两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角 ( 通常指锐角 ) 称为两平面的夹角 设有两个平面 Π1 和 Π 的方程分别为 图 831 Π1: 犃 1 + 犅 1 + 犆 1 狕 + 犇 1, Π: 犃 + 犅 + 犆 狕 + 犇, 下面来计算它们的夹角 θ( 图 831) 由平面 Π1 和 Π 的法线向量狀 1{ 犃 1, 犅 1, 犆 1}, 狀 { 犃, 犅, 犆 }, 根据两向量的夹角的余弦公式, 得 狘狀 1 狀 狘 cosθ 狘狀 1 狘狘狀 狘 从两向量互相垂直 平行的充分必要条件可推得下列结论 (1) 平面 Π1 Π 犃 1 犃 + 犅 1 犅 + 犆 1 犆 () 平面 Π1 Π( 不重合犃 1 ) 犃 (3) 平面 Π1 与 Π 重合犃 1 犃 犅 1 犅 犅 1 犅 犆 1 犆 犆 1 犆 犇 1 犇 犇 1 犇 狘犃 1 犃 + 犅 1 犅 + 犆 1 犆 狘 槡犃 1+ 犅 1+ 犆 1 槡犃 + 犅 + 犆 (89) 例 8 4 求两平面 Π1: - + 狕 -6 和 Π: + + 狕 -5 的夹角 解这两平面的法线向量分别为狀 1{1,-1,}, 狀 {,1,1}, 利用两平面的夹角 余弦公式 (89) 得 狘狀 1 狀 狘 cosθ 狘狀 1 狘狘狀 狘 因此, 所求两个平面的夹角 θ π 3 狘 1 + (-1) 1+ 1 狘槡 1 + (-1) + +1 槡 +1 3 槡 6 槡 6 1, 例 8 5 试证平面 Π1: + +3 狕 +6 与平面 Π: +5-4 狕 -8 垂直 ; 而平面 Π 与平面 Π3: 狕 -8 平行 证明 平面 Π1 Π 与 Π3 的法线向量分别为 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

34 第 8 章向量代数与空间解析几何 5 由于 狀 1 {1,,3}, 狀 {,5,-4}, 狀 3 {6,15,-1}, 狀 1 狀 (-4), 所以狀 1 狀, 即 Π1 Π; 而狀 33 狀, 所以狀 狀 3, 即 Π Π 点到平面的距离 设犕 (,, 狕 ) 是平面 Π: 犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 外一点, 在 Π 上任取一点犕 1( 1,, 1 狕 1), 并作向量犕 1 犕 设犕 1 犕 与平面的法线向量狀 { 犃, 犅, 犆 } 的夹角为 θ, 则由图 83 知犕 (,, 狕 ) 到平面 Π 的距离即为犱 狘犕 1 犕 狘狘 cosθ 狘狘犕 1 犕 狘犕 1 犕 狀狘狘犕 1 犕 狀狘 狘 狘犕 1 犕 狘狘狀狘狘狀狘由于 犕 1 犕 狀 犃 ( - 1)+ 犅 ( - 1 ) + 犆 ( 狕 - 狕 1) 犃 + 犅 + 犆狕 - ( 犃 1+ 犅 1+ 犆狕 1), 而点犕 1( 1, 1, 狕 1) 在平面 Π 上, 故犃 1+ 犅 1+ 犆狕 1+ 犇, 即 从而 - ( 犃 1+ 犅 1+ 犆狕 1) 犇, 犕 1 犕 狀 犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 于是得到点犕 (,, 狕 ) 到平面 Π: 犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 的距离为 图 83 狘犃 + 犅犱 + 犆狕 + 犇狘 (81) 槡犃 + 犅 + 犆例 8 6 求点 (-,1,1) 到平面 Π: - - 狕 -6 的距离 解 利用点到平面的距离公式, 得 犱狘 1 (-)+ (-) 1+ (-) 1-6 狘 1 槡 1 + (-) + (-) 槡 9 4 例 8 7 求两平行平面 Π1: - + 狕 -3 与 Π:4-4 + 狕 +5 之间的距离 解因为平面 Π1 Π, 所以只要在平面 Π1 上任取一点, 该点到平面 Π 的距离即为两平面之间的距离 在平面 Π1 的方程中, 令,, 解得狕 3, 则点犘 1(,,3) 是平面 Π1 上的一点 再由点到平面的距离公式, 即得两平面之间的距离为 习题 85 犱 狘 狘 11 槡 4 + (-4) 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面

35 6 (1)3-1; () + 狕 -1; (3) + 狕 ; (4) 狕 1 分别求满足下列条件的平面方程 (1) 过点 (3,,5) 且平行于平面 -5 + 狕 -3; () 过点犕 (1,,3) 且与向径狉 ( 犕 ) 垂直 ; (3) 经过三点犃 (1,1,-1) 犅 (-,-,-) 和犆 (1,-1,); (4) 过点 (-3,1,-) 和狕轴 ; (5) 过点 (4,,-) 及点 (5,1,7) 且平行于轴 ; (6) 过点 (,-5,3) 且平行于狕犗面 ; (7) 过点 (1,,-1) 且同时平行于向量犪 {,1,1} 和犫 {1,-1,} 3 求过点犕 (4,-,-1), 且同时垂直于两个平面 - + 狕 7 和 狕 +5 的平面方程 求过两点犕 1(1,1,1) 和犕 (,1,-1) 且垂直于平面 + + 狕 的平面方程 5 求过点犕 (,9,-6) 且与连接原点犗和点犕 的线段犗犕 垂直的平面方程 6 求两平面 - + 狕 7 与 + + 狕 11 之间的夹角 7 求平面 - + 狕 +5 与各坐标面的夹角的余弦 8 求点 (1,,1) 到平面 + + 狕 -1 的距离 9 求两平行平面犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 1 与犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 之间的距离 1 确定下列方程中的系数犾和犿, 使得 (1) 平面 + 犾 +3 狕 -5 和平面犿 -6 - 狕 + 平行 ; () 平面 犾狕 -3 和平面 +3 + 狕 +5 垂直 空间直线的方程 空间直线的点向式方程 空间直线及其方程 如果一个非零向量狊 { 犿, 狀, 狆 } 平行于一条已知直线犔, 则称向量狊是直线犔的一个 方向向量, 犿, 狀, 狆称为直线犔的一组方向数, 向量狊的方向余弦叫做该直线的方向余弦 图 833 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 由于过空间一点可以作且只能作一条直线与已知 向量平行, 所以当直线犔上的一点犕 (,, 狕 ) 及直 线犔的一方向向量狊 { 犿, 狀, 狆 } 为已知时, 就可唯一地 确定这条直线犔 下面来建立直线犔的方程 设点犕 (,, 狕 ) 是直线犔上的任一点, 那么向量 犕 犕与犔的方向向量狊平行 ( 图 833) 所以两向量的对应坐标成比例, 由于 犕 犕 { -, -, 狕 - 狕 }, 狊 { 犿, 狀, 狆 }, 所以有

36 第 8 章向量代数与空间解析几何 狕 - 狕 (811) 犿狀狆反过来, 如果点犕不在直线犔上, 那么犕 犕与狊不平行, 这两向量的对应坐标就不成比例 因此式 (87) 就是直线犔的方程, 称为直线的点向式方程或对称式方程 因为方向向量狊, 所以犿 狀 狆不全为零, 但有下列情况 (1) 当有一个为零时, 如犿, 狀 狆 时, 式 (811) 应理解为 烄 - 烅 - 狕 - 狕 烆狀狆 这是一条垂直于轴且与犗狕面平行的直线 () 当有两个为零时, 如犿 狀, 狆 时, 式 (811) 应理解为 - { - 这是一条平行于狕轴的直线 空间直线的参数方程 由直线的点向式方程容易导出直线的参数方程 如设 则 - 犿 方程组 (81) 称为直线犔的参数方程 - 狕 - 狕 狋 ( 狋为参数 ), 狀狆 烄 + 犿狋烅 + 狀狋 (81) 烆狕 狕 + 狆狋 3 空间直线的一般方程 由立体几何知识知, 空间直线犔可以看作是两个平面的交线 ( 图 834), 如果两个相 交平面 Π1 和 Π 的方程分别为 Π1: 犃 1 + 犅 1 + 犆 1 狕 + 犇 1, Π: 犃 + 犅 + 犆 狕 + 犇 则直线犔上的任一点犕 (,, 狕 ) 的坐标应同时满足这两个平面 Π1 与 Π 的方程, 即应满足方程组 犃 1 + 犅 1 + 犆 1 狕 + 犇 1 { (813) 犃 + 犅 + 犆 狕 + 犇 反过来, 如果点犕不在直线犔上, 那么它不可能同时在平面 Π1 与 Π 上, 所以它的坐标不满足方程组 (813) 因此, 直线犔可以用方程组 (813) 来表示 方 图 834

37 8 程组 (813) 称为空间直线犔的一般方程 通过空间一直线犔的平面有无限多个, 只要在这无限多个平面中任意选取两个, 把 它们的方程联立起来, 所得的方程组就表示空间直线犔 4 直线方程三种形式的相互转化 直线方程的三种形式可以互相转化, 从方程组 (813) 的导出可见直线的参数方程与 点向式方程之间的转换比较容易 将直线的点向式方程转换成一般方程也只要把点向式 方程 (811) 改写成下列形式就可以了, 即 或 烄 - 犿烅 - 烆狀 - - 狀 狕 - 狕 - 狆 烄狀 ( - )- 犿 ( - ) 烅烆狆 ( - ) - 狀 ( 狕 - 狕 ) 而将直线的一般方程 (813) 转换成点向式方程或参数方程, 可通过下列方法进行 由于直线犔是平面 Π1: 犃 1 + 犅 1 + 犆 1 狕 + 犇 1 与 Π: 犃 + 犅 + 犆 狕 + 犇 的交线, 故直线犔的方向向量狊同时垂直于平面 Π1 的法线向量狀 1 与平面 Π 的法线向量狀, 因此可取狊 狀 1 狀, 再任取满足方程组 (813) 的一组数 狕, 这样由点 (,, 狕 ) 与狊就可以写出直线的点向式方程或参数式方程 例 8 8 求过点 (1,-1,) 且与平面 + - 狕 垂直的直线方程 解由于所求直线与平面 + - 狕 垂直, 故可取平面的法线向量作为直线的方向向量, 即取狊 狀 {1,,-1}, 从而所求直线的点向式方程为 狕 - -1 直线的参数方程为 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 烄 1+ 狋烅 -1+ 狋 烆狕 -狋例 8 9 用点向式方程及参数方程表示直线犔烄 + - 狕 -1 烅 烆 + - 狕 +1 解先求直线犔上的一个点犕 不妨令狕, 代入已知方程得烄 + -1 烅 烆 + +1 解得 3, -, 即点犕 (3,-,) 为直线犔上的一个点 再求直线犔的方向向量狊 方程组中两个方程所表示的平面之法线向量分别为狀 1

38 第 8 章向量代数与空间解析几何 9 {1,1,-}, 狀 {1,,-1}, 由于两平面的交线与这两平面的法线向量狀 1 和狀 都垂直, 所以可取 狊 狀 1 狀 犻犼犽 犻 - 犼 + 犽, 1-1 最后写出直线犔的点向式方程和参数方程 根据式 (811), 得直线犔的点向式方程为 狕 1 令 狕 1 狋, 得直线犔的参数方程为 烄 3+3 狋烅 -- 狋 烆狕 狋 8 6 两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角 ( 通常指锐角 ) 称为两直线的夹角 设有两直线 犔 1: 犿 1 狀 1 狕 - 狕 1 狆 1 和 - - 犔 : 犿 狀 狕 - 狕, 其方向向量分别为狊 1{ 犿 1, 狀 1, 狆 1 } 和狊 { 犿, 狀, 狆 }, 那么犔 1 和犔 的夹角 θ 应是 ( 狊 1, 狊 ) 和 (- 狊 1, 狊 )π-( 狊 1, 狊 ) 两者中的锐角 因此 cosθ cos( 狊 1, 狊 ), 按两向量的夹角余弦公式, 易知 狘狊 1 狊 狘 cosθ 狘狊 1 狘狘狊 狘 从两向量垂直 平行的充分必要条件立即可推得下列结论 (1) 直线犔 1 犔 犿 1 犿 + 狀 1 狀 + 狆 1 狆 ; () 直线犔 1 犔 ( 不重合犿 1 ) 犿 狆 狘犿 1 犿 + 狀 1 狀 + 狆 1 狆 狘 (814) 槡犿 1+ 狀 1+ 狆 1 槡犿 + 狀 + 狆 狀 1 狀 狆 1 狆 且直线犔 1 与犔 无公共点 ; (3) 直线犔 1 与犔 重合 狊 1 狊 且直线犔 1 与犔 有公共点, 即 犿 1 犿 烄 狀 1 狀 狆 1 狆 烅 1-1- 狕 1- 狕 犿 狆 烆狀 例 求两直线犔 1: 1-4 狕 +3 和犔 : 狕的夹角 -1 解直线犔 1 与犔 的方向向量分别为狊 1{1,-4,1}, 狊 {,-,-1} 设直线犔 1

39 3 与犔 的夹角为 θ, 则由式 (814) 得 cosθ 因此, 所求的夹角 θ π (-4) (-)+1 (-1) 槡 1 + (-4) +1 + (-) 槡 + (-1) 1 槡 槡, 直线与平面的夹角 ( ) 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角 φ φ< π 称为直 线与平面的夹角 ( 图 835), 当直线与平面垂直时, 规定 直线与平面的夹角为 π 已知直线犔和平面 Π 的方程分别为 图 835 犔 : - - 狕 - 狕, 犿狀狆 Π: 犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 下面来计算直线犔与平面 Π 的夹角 φ 由直线犔的方向向量狊 { 犿, 狀, 狆 } 和平面 Π 的法 线向量狀 { 犃, 犅, 犆 }, 则从图 836 可知 φ π -θ 或 φθ- π, 所以有 狘狊 狀狘 sinφ 狘 cosθ 狘 狘狊狘狘狀狘 狘犃犿 + 犅狀 + 犆狆狘 (815) 槡犃 + 犅 + 犆槡犿 + 狀 + 狆 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 图 836 并且可以推得如下结论 (1) 直线犔 平面犃犅犆 Π ; 犿狀狆 () 直线犔 平面 Π( 犔不在 Π 内 ) 犃犿 + 犅狀 + 犆狆 且直线犔与平面 Π 无公共点 ;

40 第 8 章向量代数与空间解析几何 31 (3) 直线犔在平面 Π 上 狊 狀, 且直线犔和平面 Π 有公共点, 即犃犿 + 犅狀 + 犆狆, { 犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 例 8 31 求直线犔 : 狕 -4 与平面 Π: + + 狕 -6 的交点与夹角 解将直线犔的点向式方程转换成参数方程, 即 代入平面 Π 的方程得 + 狋, 3+ 狋, 狕 4+ 狋 (+ 狋 )+ (3+ 狋 )+ (4+ 狋 )-6, 解得狋 -1, 代入直线的参数方程, 得直线与平面的交点坐标 (1,,) 由直线犔的方向向量狊 {1,1,} 和平面 Π 的法线向量狀 {,1,1}, 根据直线与平面夹角公式得 sinφ 槡 槡 , 所以直线犔与平面 Π 的夹角 φarcsin 5 6 例 8 3 讨论直线犔 : 狕 +7 与平面 Π:3 - + 狕 +5 的位置关系 -5 解由直线犔的方向向量狊 {3,4,-5} 和平面 Π 的法线向量狀 {3,-1,1}, 知 狊 狀 (-1)+ (-5) 1, 所以狊 狀, 即直线犔 平面 Π 或直线犔在平面 Π 上 又因为直线犔上的点犕 (1,1,-7) 满足平面 Π 的方程, 即 所以直线犔在平面 Π 上 (-7)+5, 习题 86 1 分别求满足下列条件的直线方程 (1) 经过两点犘 1(3,-,1) 和犘 (-1,,); () 过原点且垂直于平面 3 - +; (3) 经过点犕 (1,-,3), 方向角为 45,9,135 求过点 (4,-1,3) 且平行于直线 -3 狕 -1 的直线方程 5 烄 3+ 狋 3 求过点犃 (,,-1) 且平行于直线烅 狋的直线方程 烆狕 1- 狋 4 求过点 (,-3,1) 且垂直于平面 +3 + 狕 +1 的直线方程

41 3 5 求过点 (-1,,1) 且与两平面 + - 狕 1 和 + - 狕 -1 平行的直线方程 6 求过点 (,1,) 且与直线 狕垂直相交的直线方程 - + 狕 7 用点向式方程及参数方程表示直线 { + + 狕 狕 狕 +3 8 求直线 { 与直线 狕 -1 { 之间的夹角 狕 -18 { -18 夹角的余弦 -4 9 求两直线犔 1: 5 +3 狕与犔 : + - 狕 狕 1 求直线 狕与平面 + + 狕 6 的交点和夹角 8 7 空间曲面及其方程 前面介绍了空间最简单的几何图形 平面和直线, 建立了它们的一些常见形式的 方程 在本节中, 将讨论较一般的空间曲面及其方程, 并介绍几种常见的曲面方程 曲面方程的概念 在日常生活中, 我们会经常遇到各种曲面 例如, 反光镜的镜面, 管道的外表面以及锥 面, 等等 像在平面解析几何中将平面曲线当作动点的轨迹一样 在空间解析几何中, 任何曲面 都可看作是点的几何轨迹 在这样的意义下, 我们有如下定义 定义 8 8 如果曲面犛上每一点的坐标都满足方程犉 (,, 狕 ); 而不在曲面犛上 的点的坐标都不满足方程犉 (,, 狕 ), 则称方程犉 (,, 狕 ) 为曲面方程, 称曲面犛 为犉 (,, 狕 ) 的图形 ( 图 837) 例 8 33 建立球心在点犕 (,, 狕 ) 半径为犚的球面方程 解设犕 (,, 狕 ) 是球面上的任一点 ( 图 838), 那么犕到球心犕 的距离都等于犚, 即有 犕 犕 犚, 由于 狘犕 犕狘 ( - ) + ( - ) + ( 狕 - 狕 槡 ), 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 图 837 图 838

42 第 8 章向量代数与空间解析几何 33 所以 ( - ) + ( - ) + ( 狕 - 狕 ) 犚 (816) 这就是球面上的点的坐标所满足的方程, 而不在球面上的点的坐标都不满足这方程, 所以式 (816) 就是以点犕 (,, 狕 ) 为球心 犚为半径的球面方程 特别地, 如果球心在原点, 即 狕, 相应的球面方程为 + + 狕 犚 8 7 柱面 一般地, 直线犔沿定曲线犆平行移动形成的轨迹称为柱面, 定曲线犆称为柱面的准线, 动直线犔称为柱面的母线 下面我们只讨论准线在坐标面上, 而母线垂直于该坐标面的柱面 设一个柱面的母线平行于狕轴, 准线犆是犗面上的圆 在平面直角坐标系中, 准线 犆的方程为 + 犚, 下面来建立这个柱面的方程 在柱面上任取一点犕 (,, 狕 ), 过点犕的母线与犗面上的圆的交点犕 (,,) 一定在准线犆上 ( 图 839) 所以, 不论点犕的坐标狕取何值, 它的横坐标和纵坐标必定满足方程 + 犚 ; 反之, 不在柱面上的点的坐标都不满足这个方程 于是所求柱面的方程为 + 犚 (817) 显然, 它是一个圆柱面 一般地, 不完全三元方程 ( 即 狕不同时出现的方程 ) 在空间直角坐标系中都表示母线平行于坐标轴的柱面 在空间直角坐标系中, 只含 而缺狕的方程犉 (, ) 表示母线平行于狕轴的柱面, 其准线为犗面上的曲线犆 : 犉 (, )( 图 84) 类似地, 只含 狕而缺的方程 犌 ( 狕, ) 表示母线平行于轴的柱面, 它的准线为狕犗面上的曲线犌 ( 狕, ); 只含 狕而缺的方程犎 (, 狕 ) 表示母线平行于轴的柱面, 它的准线为犗狕面上曲线 犎 (, 狕 ) 图 839 图 84

43 34 例 8 34 指出下列方程在空间直角坐标系中表示什么几何图形 狕 (1) 犪 + 犫 1 ; () 犪 - 犫 1; (3) 狕 - +1 图 841 解 (1) 方程犪 + 犫 1 中缺变量狕, 在空间直角坐标系中 表示母线平行于狕轴, 准线为犗面上的椭圆犪 + 犫 1 的柱面, 称为椭圆柱面 ( 图 841) 狕 () 方程犪 - 犫 1 中缺变量, 在空间直角坐标系中表示 狕 母线平行于轴, 准线为犗狕面上的双曲线 - 1 的柱犪犫面, 称为双曲柱面 ( 图 84) (3) 方程狕 - +1 在空间直角坐标系中表示母线平行 于轴, 准线为犗狕面上的抛物线狕 - +1 的柱面, 称为抛物柱面 ( 图 843) 旋转曲面 图 84 图 843 一条平面曲线犆绕其平面上的一条直线犔旋转一周所形成 的曲面称为旋转曲面, 旋转曲线犆和定直线犔依次称为旋转曲面 的母线和轴 ( 图 844) 设在犗狕面上有一条已知曲线犆, 它在平面直角坐标系中的 方程是犳 (, 狕 ), 下面建立曲线犆绕狕轴旋转一周所形成的旋 转曲面的方程 在旋转曲面上任取一点犕 (,, 狕 ), 设这点是由母线犆上一 点犕 1(, 1, 狕 1) 绕狕轴旋转一定角而得到, 由图 845 知狕 狕 1, 且 点犕到狕轴的距离为 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 图 844

44 第 8 章向量代数与空间解析几何 35 犱 槡 + 狘 1 狘 又因点犕 1 在母线犆上, 所以犳 (, 1 狕 1), 于是 这就是所求旋转曲面的方程 犳 (± 槡 +, 狕 ) (818) 由此可知, 在曲线犆的方程犳 (, 狕 ) 中将改成 ± 槡 +, 便得曲线犆绕狕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程 同理, 曲线犆绕轴旋转一周所形成的旋转曲面 ( 图 846) 的方程为 犳 (,± 槡 + 狕 ) 图 845 图 846 按上述相同的规律, 得到一类特殊旋转曲面的方程如表 81 所列 表 8 1 旋转曲面方程表 母线方程 旋转轴 轴轴狕轴 犺 (, ) 犺 (,± 槡 + 狕 ) 犺 (± 槡 + 狕, ) 犵 (, 狕 ) 犵 (,± 槡 + 狕 ) 犵 (± 槡 +, 狕 ) 犳 (, 狕 ) 犳 (,± 槡 + 狕 ) 犳 (± 槡 +, 狕 ) 例 8 35 试求下列坐标面上的曲线绕指定坐标轴旋转一周而成的旋转曲面方程 狕 (1) 犗狕面上的双曲线 - 犫 + 犪 1 分别绕狕轴和轴旋转 ; () 犗狕面上的直线狕 犽 ( 犽 >) 绕狕轴旋转 解 (1) 犗狕面上的双曲线 - 犫 + 狕 犪 1 绕狕轴旋转一周而成的曲面方程是 + - 犫 称此曲面为旋转双叶双曲面 ( 图 847) + 狕 1, 犪

45 36 犗狕面上的双曲线 - 犫 + 狕 犪 1 绕轴旋转一周而成的曲面方程是 - 犫 + 称此曲面为旋转单叶双曲面 ( 图 848) + 狕 1, 犪 图 849 图 847 图 848 () 犗狕面上的直线狕 犽 ( 犽 >) 绕狕轴旋转一周而 成的曲面方程是 即 几种常见的二次曲面 狕 ± 犽槡 +, 狕 犽 ( + ), 这个曲面称为圆锥面 ( 图 849) 一般地, 我们把直线犔绕另一条与犔相交的直线旋 转一周而成的曲面称为圆锥面, 这两条直线的交点称为圆 ( ) 锥面的顶点, 两直线的夹角 α <α< π 称为圆锥面的半 顶角 与平面解析几何中规定的二次曲线相类似, 我们把三元二次方程犉 (,, 狕 ) 所表 示的曲面称为二次曲面 而把平面称为一次曲面 由于二次曲面的形状比较简单且有较广泛的应用, 因此本节中我们主要讨论几个常 用的二次曲面 讨论的方法是根据所给的曲面方程, 用坐标面和特殊的平面与曲面相截, 考察其截痕的形状, 然后对所得截痕加以综合, 得出曲面的全貌, 这种方法称为截痕法 1 椭球面 方程 犪 + 犫 + 狕 所表示的曲面称为椭球面, 犪 犫 犮称为椭球面的半轴 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 1 ( 犪 >, 犫 >, 犮 >) (819) 犮

46 第 8 章向量代数与空间解析几何 37 我们从以下几个方面, 来讨论式 (819) 所表示的图形形状 1) 对称性从方程易看出, 曲面关于狕犗面 犗面 犗狕面对称 ; 且关于轴 轴 狕轴对称 ; 同时关于原点对称 ) 范围 曲面是否有界由方程可知 即 1, 犪 犫 1, 狕 1, 犮 狘狘 犪, 狘狘 犫, 狘狕狘 犮 由此可见, 曲面包含在 ± 犪, ± 犫, 狕 ± 犮这六个平面所围成的长方体内, 即椭球面是有界曲面 3) 用截痕法进一步分析用犗坐标面狕 和平行于犗坐标面的平面狕 犺 ( 犺 犮 ) 截曲面, 交线方程分别为 烄 + 烅犪犫 1 烄 + 和犪犫 1- 犺 烅犮 烆狕 烆狕 犺前者是犗面上的椭圆, 两半轴分别是犪和犫 ; 后者是在狕 犺平面上的椭圆, 两半轴分别为犪槡犮 - 犺和犫槡犮 - 犺, 当 犺 由 逐渐增大到犮时, 椭圆由大变小, 逐渐缩为一点 犮犮同样, 用狕犗坐标面和平行于狕犗面的平面去截曲面以及用犗狕坐标面和平行于犗狕面的平面去截曲面, 它们的交线与上述结果类同 综上所述, 式 (819) 所表示的曲面的形状如图 85 所示 特别地, 在式 (819) 中, 有下列情况 (1) 若犪 犫 犮, 则得到球心在坐标原点, 半径为犪的球面方程 + + 狕 犪 ; () 若犪 犫 犮中, 有两个相等, 如犪 犫, 则得到旋图 85 转椭球面的方程 + 犪 + 狕犮 1 用类似的方法讨论, 我们还可以得到下面一些曲面方程的形状 抛物面 抛物面分椭圆抛物面与双曲抛物面两种 方程 犪 + 犫 狕 (8)

47 38 所表示的曲面称为椭圆抛物面, 曲面形状如图 851 所示 特别地, 当犪 犫时, 式 (8) 化为 + 犪狕, 它所表示的是旋转抛物面 方程 犪 - 犫 狕 (81) 所表示的曲面称为双曲抛物面, 又称马鞍面, 曲面形状如图 85 所示 图 851 图 85 和 3 双曲面 方程 犪 犪 + - 犫 - 犫 - 狕 1 (8) 犮 狕 1 (83) 犮 所表示的曲面分别称为单叶双曲面和双叶双曲面, 曲面形状如图 853 图 854 所示 4 椭圆锥面 方程 犪 + 犫 - 狕 犮 所表示的曲面称为椭圆锥面, 用截痕法可得曲面形状如图 855 所示 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 图 853 图 854 图 855

48 第 8 章向量代数与空间解析几何 39 习题 87 1 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形 (1) - 1; () ; (3) - 1; (4) + 1 求球面 + + 狕 狕 的球心和半径 3 写出下列曲线绕指定坐标轴旋转一周而得的旋转曲面的方程 (1) 狕犗面上的抛物线狕 5 绕轴旋转 ; () 犗面上的双曲线 绕轴旋转 ; (3) 犗面上的圆 ( -) + 1 绕轴旋转 ; (4) 犗狕面上的直线 -3 狕 +1 绕狕轴旋转 4 指出下列二次曲面的名称, 若它们是旋转曲面, 说明是怎样生成的? 狕 (1) ; () (3) - - 狕 1; (4) 狕 (5) 狕 狕 1; + ; ; (6) 狕 画出下列方程所表示的图形 狕 (1) ; () + 1; (3) 狕 - 槡 4- - ; (4) + 4 狕 8 8 空间曲线及其方程 空间曲线的方程 1 空间曲线的一般方程 空间曲线犆可以看作两个曲面的交线 ( 图 856) 设 犉 1(,, 狕 ) 和犉 (,, 狕 ) 是两个曲面犛 1 犛 的方程, 它们的交线为犆, 则曲线犆上的点必定同时满足犛 1 犛 的方程, 不在犆上的点一定不能同时满足这两个方程 因此, 联立方程组犉 1(,, 狕 ) { (84) 犉 (,, 狕 ) 即为空间曲线犆的方程, 方程组 (84) 称为空间曲线犆 的一般方程 图 856

49 4 例如 { 狕 1 + 表示圆柱面 + 与平面狕 1 的交线, 其交线是平面狕 1 上的圆 空间曲线的参数方程 在空间直角坐标系中, 若将曲线犆上的动点的坐标 狕分别表示为参数狋的函数, 即 烄 ( 狋 ) 烅 ( 狋 ) 烆狕 狕 ( 狋 ) (α 狋 β ) (85) 当给定狋 狋 1 时, 就得到曲线犆上的一个点 ( ( 狋 1), ( 狋 1), 狕 ( 狋 1)); 随着狋的变动便可得到 曲线犆上的全部点 方程组 (85) 称为空间曲线犆的参数方程 从参数方程 (85) 中消去参数狋, 便得到空间曲线的一般方程 (84) 在实际问题 中, 特别是求物体运动的轨迹时, 常常用到参数方程 例 8 36 如果空间一点犕在圆柱面 + 犪上以角速度 ω 绕狕轴旋转, 同时又 以线速度狏沿平行于狕轴的正方向上升 ( 其中 ω, 狏都是常数 ), 那么点犕的轨迹曲线叫做 图 857 螺旋线 试建立其参数方程 解取时间狋为参数 设当狋 时, 动点位于轴上的一 点犃 ( 犪,,) 处 经过时间狋, 动点由犃运动到犕 (,, 狕 ) ( 图 857) 点犕在犗面上的投影为犕, 则点犕 的坐标为 (,,) 由于动点在圆柱面上以角速度 ω 绕狕轴旋转, 所以 经过时间狋, 犃犗犕 ω 狋 从而 狘犗犕 狘 cos 犃犗犕 犪 cosω 狋, 狘犗犕 狘 sin 犃犗犕 犪 sinω 狋 又由于动点同时以线速度狏沿平行于狕轴的正方向上升, 所以 狕 犕 犕 狏狋, 因此螺旋线的参数方程为 烄 犪 cosω 狋烅 犪 sinω 狋 烆狕 狏狋如果令参数 θω 狋, 狏并令犫 ω, 则螺旋线的参数方程也可以写作 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 烄 犪 cosθ 烅 犪 sinθ 烆狕 犫狋螺旋线是一种常见的曲线 比如机用螺丝的外缘曲线就是螺旋线 当 θ 从 θ 变到 θ+α 时, 狕由犫 θ 变到犫 θ+ 犫 α 这说明当犗犕 转过角 α 时, 犕点沿螺旋线上升了高度犫 α,

50 第 8 章向量代数与空间解析几何 41 即上升的高度与犗犕 转过的角度成正比 特别是当犗犕 转过一周, 即 απ 时, 点犕就上升固定的高度犺 π 犫 这个高度犺 π 犫在工程技术上称为螺距 8 8 空间曲线在坐标面上的投影 过曲线犆上的每一点作犗坐标面的垂线, 这些垂线形成了一个母线平行于狕轴且过曲线犆的柱面, 称之为曲线犆关于犗面的投影柱面, 这个柱面与犗面的交线称为曲线犆在犗面上的投影曲线, 简称投影 设空间曲线犆的一般方程为犉 1(,, 狕 ) { 犉 (,, 狕 ) 并设由这方程组消去变量狕, 所得的方程为 犉 (, ) (86) 它表示一个母线平行于狕轴的柱面, 又因为曲线犆上的点的坐标满足方程组 (84), 当然也满足式 (86), 所以曲线犆上的点都在此柱面上, 式 (86) 就是曲线犆关于犗面的投影柱面的方程, 它与犗面的交线犉 (, ) { (87) 狕 就是曲线犆在犗面上的投影方程 同理, 若分别从方程组 (84) 中消去变量或变量, 分别得到方程犌 (, 狕 ) 或 犎 (, 狕 ), 则曲线犆分别在犗狕面或狕犗面上的投影的方程为犌 (, 狕 ) 犎 (, 狕 ) { 或 { 例 8 37 求两个球面的交线犆 + + 狕 1 { + ( -1) + ( 狕 -1) 1 在犗面上的投影曲线的方程 解先求包含交线犆而母线平行于狕轴的柱面方程 由所给方程组消去狕, 为此将两方程相减, 得 狕 1-, 再将上式代入两球面方程中的任一个, 即得所求的柱面方程为 + - 从而, 两球面的交线犆在犗面上的投影曲线方程为 + - { 狕 在重积分和曲面积分的计算中, 往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影, 这时要利用投影柱面和投影曲线 所谓一个立体在坐标面上的投影, 是指该立体内的所有点在该坐标面上的投影点所组成的平面点集

51 4 例 8 38 设一个立体由上半球面狕 4- 槡 - 和 锥面狕 3( 槡 + ) 所围成 ( 图 858), 求它在犗面上的投影 解半球面和锥面的交线为犆, 即 狕 4- 烄槡 - 烅狕 3( 烆槡 + ) 由上列方程组消去狕, 得到 + 1 这是一个母线平行于狕轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是交线犆关于犗面的投影柱面 因此交线犆在犗面图 858 上的投影曲线为 + 1 { 狕 这是犗面上的一个圆, 于是所求立体在犗面上的投影, 就是该圆在犗面上所围的区域, 即 {(, ) 狘 + 1} 习题 88 1 将下列曲线的一般方程转化成参数方程 + + 狕 1 (1) { ; () ( -1) + +( 狕 +1) 4 + { 狕 + 狕 - 求曲线 { 在犗面上的投影方程, 并指出原曲线是什么曲线? 狕 3 3 求下列曲线在犗面上的投影曲线的方程 + + 狕 烄 cosθ 9 (1) { ; () 烅 sinθ + 狕 1 烆狕 θ 4 求下列曲面所围成的立体在面犗上的投影区域并画出区域的图形 (1) 狕 + 与狕 - - ; () 狕 4- 槡 - 与狕 槡 + ; (3) + - 狕 1 与狕 及狕 4 复习题八 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo ( 犃 ) 1 填空题 (1) 设犪 犫为非零向量, 若犪 犫, 则必有

52 第 8 章向量代数与空间解析几何 43 () 设犪 犫为非零向量, 若犪 犫, 则必有 (3) 设犪 犫为非零向量, 向量犪在向量犫上的投影 Prj 犫犪 (4) 若直线犔的方向向量狊与平面 Π 的法线向量狀互相垂直, 则直线犔与平面 Π 必 (5) 点犘 (,, 狕 ) 到平面犃 + 犅 + 犆狕 + 犇 的距离为 (6) 若动点到定点 (,,5) 的距离等于它到轴的距离, 则动点的轨迹方程为 选择题 (1) 设向量犪 犫满足犪 - 犫 和犪 + 犫, 则犪 - 犫与犪 + 犫垂直的充要条件是 ( ) A 犪与犫垂直 B 犪与犫平行 C 犪 犫 D 犪 犫 烄 + 狋 () 直线烅 -1- 狋与平面 狕 -7 的位置关系是 ( ) 烆狕 1+3 狋 A 直线在平面上 B 直线与平面垂直 C 直线与平面平行但直线不在平面上 D 直线与平面相交但不垂直 3 下列命题是否正确? 为什么? (1) 若犪 犫 犪 犮, 则必有犫 犮 ; () 若犪 犫 犪 犮, 则必有犫 犮 ; (3) 若犪为非零向量, 且满足犪 犫 犪 犮和犪 犫 犪 犮, 则必有犫 犮 ; (4) 设犪 犫为非零向量, 则必有犪 犫 犫 犪 ; (5) 设犪 犫为非零向量, 则必有犪 犫 犫 犪 4 设 犪 槡 3, 犫 1,( 犪, 犫 ) π 6, 求 : (1) 犪 + 犫与犪 - 犫之间的夹角 ; () 以犪 + 犫与犪 -3 犫为邻边的平行四边形的面积 5 求平面 - + 狕 +5 与各坐标面的夹角的余弦 6 求 : (1) 过点 (1,-1,1) 与两平面 - + 狕 -1 和 + + 狕 +1 垂直的平面方程 ; () 过点 (1,-1,1) 与两平面 - + 狕 -1 和 + + 狕 +1 平行的直线方程 -4 + 狕 7 求通过直线 { 且垂直于平面 狕 1 的平面方程 狕 狕 -7 8 求过点 (,,-3) 且与直线 { 垂直的平面方程 狕 狕 狕 8 9 证明直线 { 与直线 狕 7 { 互相平行 - - 狕

53 44 1 试确定下列各组中的直线和平面间的关系 (1) 狕和 狕 3; 3 () 3 - 狕和 狕 8; 7 (3) 狕 -3 和 + + 狕 求旋转抛物面狕 + 与平面 + 狕 1 的交线在各坐标面上的投影曲线方程 ( 犅 ) 1 设 犪 3, 犫 4, 犮 5, 且满足犪 + 犫 + 犮, 则 犪 犫 + 犫 犮 + 犮 犪 求通过点犃 (3,,) 和犅 (,,1) 且与犗面成 π角的平面的方程 3 3 在平面 + + 狕 +1 与三个坐标面所围成的四面体内求一点, 使之与各面间的距离相等 - 狕 +1 4 设一平面垂直于平面狕, 并通过从点 (1,-1,1) 到直线 { 的垂线, 求 此平面的方程 5 求过点 (-1,,4) 且平行于平面 狕 -1, 又与直线 狕 相交的直线方程 6 画出下列各曲面所围立体的图形 (1) 抛物柱面, 平面狕 及 狕 1 : () 旋转抛物面狕 +, 柱面, 平面狕 及 狕 -1 7 求直线 { 在平面 + + 狕 上的投影直线的方程 - + 狕 +1 8 求柱面狕 与锥面狕 槡 + 所围立体在三个坐标面上的投影 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

54 第 9 章 多元函数的微分学 在前面的内容中, 讨论和研究的仅仅是一元函数, 这种函数的特征是其只有一个自变量, 但是, 在实际问题中, 经常遇到依赖于多个自变量的函数, 这种函数称为多元函数 本章将在研究一元函数微分学的基础上, 进一步研究多元函数的微分法及其应用, 重点讨论二元函数的微分 9 1 多元函数的基本概念 平面点集和区域 学习一元函数时, 经常用到邻域和区间的概念 首先, 将这两个概念加以推广 一元函数的定义域是在数轴上的某个点集 而对于二元函数, 由于自变量多了一个, 它的定义域应该是平面上的某个点集 在解析几何中, 平面上的点可以用坐标 (, ) 来表示, 平面上任意两点犘 1( 1, ) 1 和犘 (, ) 之间的距离是 槡 ( 1- ) + ( 1- ) 固定一点犘 (, ), 凡是与犘 的距离小于 δ(δ 是某一正数 ) 的点 犘组成的平面点集 ( 图 91), 称为点犘 的 δ 邻域, 记作犝 ( 犘,δ) 换句话说, 邻域犝 ( 犘,δ) 是满足不等式 槡 ( - ) + ( - ) <δ 图 91 的点犘 (, ) 的集合 从几何上看, 犝 ( 犘,δ) 是一个以犘 为圆心, 以 δ 为半径的圆的内部, 但不包含圆周本身 另外, 把满足不等式 < 槡 ( - ) + ( - ) <δ 的点犘 (, ) 的集合称为点犘 的 δ 去心邻域 ( 即从点犘 的 δ 邻域中去掉犘 点 ) 设犈为平面上的一个点集, 如果点犘属于犈, 且存在某个邻域, 使这邻域中的所有点都属于犈, 如图 9 所示, 则称犘为集合犈的内点 如果集合犈的点都是犈的内点, 则称犈为开集 例如, 点集犈 1{(, ) 1< + <3} 中的每个点都是犈 1 的内点, 故犈 1 为开集 如果点犘的任意一个邻域中既有属于犈的点, 也有不属于犈的点 ( 犘可以属于犈, 也可以不属于犈 ), 如图 93 所示, 则称犘为犈的边界点 犈的边界点的全体称为犈的边界 在上例中, 犈 1 的边界为圆 + 1 与 + 3

55 46 图 9 图 93 设集合犇为一开集, 如果对于犇中任意两点, 都可以用完全落在犇内的折线连接起 来, 则称犇为区域 ( 或开区域 ) 例如,{(, ) + >1},{(, ) + <1} 都是开区 域 开区域与其边界所构成的集合称为闭区域 例如,{(, ) + 1},{(, ) + 1} 都是闭区域 对一个区域而言, 如果可以找到一个半径有限的圆能够覆盖这个区域, 就称此区域是 有界的, 否则称此区域为无界的 例如,{(, ) 1 + 4} 是有界闭区域,{(, ) + >} 是无界开区域 9 1 多元函数的概念 先看两个例子 例 9 1 圆锥体的体积犞和它的底圆半径狉 高犺之间具有关系式 犞 1 3 π 狉犺 这里, 当变量狉 犺在它们的变化范围 ( 狉 >, 犺 >) 内取定一对值 ( 狉, 犺 ) 时, 犞的值就由上述关系式 ( 又称对应法则 ) 唯一确定 例 9 设犚是电阻犚 1 犚 并联后的总电阻, 由电学知识可知, 它们之间具有关系 犚 1 犚 犚 犚 1+ 犚 这里, 当变量犚 1 犚 在它们的变化范围 ( 犚 1>, 犚 >) 内取定一对值 ( 犚 1, 犚 ) 时, 犚的值 就由上述关系式唯一确定 例 91 和例 9 的具体意义虽然各不相同, 但都是一个变量依赖于两个变量, 抽象出 就可以得到二元函数的定义 定义 9 1 设在某一变化过程中, 有变量, 和狕, 犇是平面上的一个点集, 如果对于点集犇内任意一点对应的一对值, 变量狕按照一定法则总有确定的值和它们对 应, 则称狕是变量 的二元函数, 记作 狕 犳 (, ) 或狕 狕 (, ) 点集犇称为该函数的定义域, 称为自变量, 狕称为因变量, 相应的狕的取值范围称为 该函数的值域 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

56 第 9 章多元函数的微分学 47 类似地, 可以定义三元函数狌 犳 (,, 狕 ) 以及三元以上的函数 二元及二元以上的函数统称为多元函数 与一元函数相类似, 在讨论用算式表达的二元函数时, 它的定义域就是使这个算式有确定值的自变量的变化范围, 也就是使函数有意义的一切点组成的平面点集 例槡 9 3 求函数狕 ln( - )+ 的定义域 槡 1- - 解要使函数有意义, 必须同时满足 - >,, 1- - >, 从而定义域 ( 图 94) 为 犇 {(, ) 狘, >, + <1} 给定二元函数狕 犳 (, ), 其定义域为空间直角坐标系中犗平面上的区域犇 在 犇内给定点犘 (, ), 其对应的函数值为狕 犳 (, ), 于是得到空间一点犕 (,, 狕 ) 当点狆 (, ) 在犇内变动时, 对应的空间点犕 (,, 犳 (, )) 运动的轨迹通常为一空间曲面, 称此空间曲面为函数狕 犳 (, ) 的图形, 如图 95 所示 图 94 图 95 例如, 由空间解析几何可知, 函数 的图形是一个平面 ; 函数 的图形是一个旋转抛物面 狕 犪 + 犫 + 犮 狕 多元函数的极限 下面讨论二元函数狕 犳 (, ) 当,, 即犘 (, ) 犘 (, ) 时的极限 定义 9 设函数狕 犳 (, ) 在点犘 (, ) 的某一去心邻域内有定义, 犘 (, ) 是该去心邻域内任意一点, 如果当点犘 (, ) 以任意方式趋向于点犘 (, ) 时, 对应的函 数值犳 (, ) 趋向于一个确定常数犃, 则称当犘 (, ) 犘 (, ) 时, 犳 (, ) 以犃为极

57 48 限, 记作 lim 犳 (, ) 犃或 lim 犳 (, ) 犃 (, ) (, ) 需要注意的是, 尽管二元函数与一元函数的极限定义在形式上一样, 但是在数轴上点 犘 的邻域是一个开区间, 而在平面上点犘 的邻域是一个开圆域 在一元函数极限中 的方式有两种 : 从左侧趋近或从右侧趋近, 只要函数犳 ( ) 在 处的左 右极限均存在并且相等, 就可以肯定当 时, 犳 ( ) 的极限存在 而二元函数的极限要求点犘 (, ) 以任意方式 ( 或者说沿任何路径 ) 趋向于点犘 (, ) 时, 犳 (, ) 都趋向于同一个确定的 常数犃 因此, 即使当点犘 (, ) 沿着许多特殊的路径趋向于点犘 (, ) 时, 对应的二元 函数狕 犳 (, ) 的值趋向于同一常数, 也不能断定极限存在 如果, 当点犘 (, ) 沿某条 路径趋向于点犘 (, ) 时, 犳 (, ) 的极限不存在, 或者当点犘 (, ) 沿两条不同的路径 趋向于点犘 (, ) 时, 犳 (, ) 的极限值不相等, 就可以断定该函数当犘 (, ) 犘 (, ) 时的极限不存在 下面举例说明 例 9 4 证明 lim 不存在 + 证明函数犳 (, ) 在原点的去心邻域内有定义, 让点犘 (, ) 沿直线 + 犽 ( 犽为常数 ) 趋向于点 (,) 时, 有 lim + lim 犽 + 犽 犽 犽 1+ 犽 显然, 这个极限值与犽有关, 也就是, 当犽取不同的数值 ( 即点犘 (, ) 沿不同直线趋向于 (,)) 时, 函数趋于不同的值, 因此 lim 不存在 + 以上关于二元函数的极限概念, 可相应地推广到二元以上的函数 关于多元函数的极限运算, 有类似于一元函数的运算法则 sin( 例 9 5 求 ) lim 解这里犳 (, ) sin ( ) 在区域 {(, ) <} 和 {(, ) >} 内都有定义, 点 (,) 同时为这两个区域的边界点, 但无论在哪一个区域内考虑, 下列运算都正确 : lim sin( ) 多元函数的连续性 lim sin( ) lim 1 与一元函数类似, 利用极限给出二元函数的连续性的概念 定义 9 3 设函数狕 犳 (, ) 在点犘 (, ) 的某一邻域内有定义, 若 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

58 第 9 章多元函数的微分学 49 lim 犳 (, ) 犳 (, ), ( 91) 则称狕 犳 (, ) 在点犘 (, ) 处连续 设 - Δ, - Δ, 并令 Δ 狕 犳 ( +Δ, +Δ )- 犳 (, ), 称它为犳 (, ) 在点 (, ) 的全增量 所以, 当, 时, 即 Δ,Δ 时, 二元函数的连续性定义可如下表述 定义 9 4 设函数狕 犳 (, ) 在点犘 (, ) 的某一邻域内有定义, 则 Δ 狕 犳 ( +Δ, +Δ )- 犳 (, ) 如果 lim Δ 狕, 则称狕 犳 (, ) 在点犘 (, ) 处连续 Δ Δ 如果函数犳 (, ) 在开区域 ( 或闭区域 ) 犇内的每一点连续, 则称函数犳 (, ) 在犇内连续, 或称犳 (, ) 是犇内的连续函数 以上关于二元函数的连续性的概念, 可相应地推广到二元以上的多元函数的情形 如果函数狕 犳 (, ) 在点犘 (, ) 处没有定义或式 (91) 不成立, 即狕 犳 (, ) 在 犘 (, ) 处不连续, 则称点犘 (, ) 为函数狕 犳 (, ) 的间断点 前面讨论过的函数犳 (, ) 当, 时极限不存在, 所以点 (,) 是该 + 函数的一个间断点 二元函数的间断点可以形成一条曲线 例如, 函数犳 (, ) + 在 - 直线 上没有定义, 所以直线 上所有的点都是该函数的间断点 因为二元函数与一元函数的连续性定义在形式上一样, 故一元连续函数的性质以及运算定理完全可以推广到二元函数上 与一元函数类似, 在有界闭区域犇上连续的二元函数必有最大值和最小值 ; 连续函数经过有限次四则运算后, 在一切除式不为零的点处, 仍为连续函数 ; 连续函数的复合函数仍为连续函数 ; 一切二元初等函数在其定义域内是连续的 ; 等等 以上这些性质对于二元以上的多元函数也是成立的 因此, 当计算多元初等函数在其定义域内的一点的极限时, 只需求出这点对应的函数值即可 例 9 6 求 1 lim 解 1 lim 例 ln( +e 9 7 lim 1 槡 + ) 解 ln( +e ) lim 1 槡 + ln (1+e) 槡 1 + ln (1+e) 习题 91 1 求下列函数的定义域, 并在平面上画出定义域的图形

59 5 (1) 狕 4 槡 + -1; () 狕 ln( ); (3) 狕 1-1 ; 槡 +槡 - (4) 狕 槡 1- + 槡 -1; (5) 狕 ln( -4 +8); (6) 狕 sin( 槡 + ) 设函数犳 (, ), 求狕 犳 (, + ) 3 求下列极限 (1)lim lnsin( + ); π ()lim arctan( 3 - ); 1 1 (3)lim + ; 槡 cos( (4)lim + ( + )e 4 求出下列函数的间断点 + (1) 狕 ; () 狕 sin 1 ; ) (3) 1 狕 ln 槡 ( - 犪 ) +( - 犫 ) (4) 狕 ln(1- - ) 5 证明当 (, ) (,) 时, 函数 的极限不存在 9 1 偏导数的概念与计算 ; 狕 sin( + ) 9 偏导数 在一元函数微分学中, 导数是函数值相对于自变量的变化率 对于多元函数, 也有变 化率的问题 例如, 一定量的理想气体, 在等温过程中压缩气体就要考察压强关于体积的 变化率, 在等压过程中需要研究温度关于体积的变化率 在实际问题中, 往往只考虑沿某 一方向的变化率, 因此本节将分别考察函数相对于每一个自变量的变化率 ( 将其他自变量 固定 ) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

60 第 9 章多元函数的微分学 51 以二元函数为例, 首先给出偏增量的概念, 然后给出偏导数的定义 设函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 的某一邻域内有定义, 当固定, 让在 处有改变量 Δ 时, 其所对应的函数改变量记作 Δ 狕, 即 Δ 狕 犳 ( +Δ, ) - 犳 (, ), 称为函数狕 犳 (, ) 关于的偏增量 同样可以定义函数狕 犳 (, ) 关于的偏增量为 定义 9 5 Δ 狕 犳 (, +Δ )- 犳 (, ) 设函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 的某一邻域内有定义, 如果极限 Δ lim 狕犳 ( +Δ, lim ) - 犳 (, ) Δ Δ Δ Δ 存在, 则称此极限值为函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处对的偏导数, 记作 记作 狕, 犳, 狕 或犳 (, ) 类似地, 函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处对的偏导数定义为 狕 Δ lim 狕犳 (, +Δ )- 犳 (, lim ), Δ Δ Δ Δ, 犳, 狕狘 或犳 (, ) 如果函数狕 犳 (, ) 在区域犇内的每一点 (, ) 处对的偏导数都存在, 那么这个偏导数是, 的函数, 称为函数狕 犳 (, ) 对自变量的偏导函数, 记作 狕, 犳, 狕或 ( 犳, ) 类似地, 可以定义函数狕 犳 (, ) 对自变量的偏导函数, 记作 狕, 犳, 狕或 ( 犳, ) 由以上定义可知, 函数犳 (, ) 在点 (, ) 处对 ( 的偏导数犳, ) 就是偏导函 ( 数犳, ) 在点 (, ) 处的函数值, ( 犳, ) ( 就是偏导函数犳, ) 在点 (, ) 处的 函数值 以后, 与一元函数的导函数类似的, 在不引起混淆的情况下, 将偏导函数简称为偏导数 在二元函数偏导数的实际计算中, 并不需要新的方法和公式 对某一自变量求偏导数时, 只需将另一自变量看作常数, 按一元函数的求导公式及法则求导即可 例 9 8 求狕 +5 + 在点 (1,) 处的偏导数 解把看作常量, 得 把看作常量, 得 狕 +5 狕 5 +

61 5 求解 将 1, 代入, 得 狕 1+5 1, 1 狕 例 9 9 设狕 ( >, 1), 求 狕, 狕 解把看作常量, 这时狕 是的幂函数, 于是 狕 -1 把看作常量, 这时狕 是的指数函数, 于是 例 9 1 狕 ln ( ) ( ) ( ) 代入 设犳 (, )e sin( + ), 求犳, π 4, 犳, π 4 解方法 1 先求出二元函数的偏导函数, 再将, π 4 分别求出两个偏导函数, 得 将, π 4 代入, 得 ( 犳, )e sin( + )+e cos( + ); ( 犳, )e cos( + ) ( ) ( ) 犳, π 4 sinπ +cosπ 1 ;, π 犳 4 cosπ 方法 分别将, π 4 代入犳 (, ), 化为一元函数, 然后利用一元函数的导数 将 π 4 代入犳 (, ), 得到关于的一元函数为 对求导, 得 犳 (, π 4) e ( ) ( ) sin + π e cos 犳, π 4 e cos -esin e (cos -sin ) 再将 代入, 得 ( ) ( ) 犳, π 4 犳, π 将 代入犳 (, ), 得到关于的一元函数为 4 1 犳 (, )e sin(+ )sin 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

62 第 9 章多元函数的微分学 53 对求导, 得 再将 π 4 代入, 得 犳 (, )cos, π 犳 ( 4) (, 犳 ) 狘 4 π 例 9 11 求狕 arctan 的偏导数 解利用复合函数的求导法则, 得 狕 1 ( ) + - ( ) 狕 1 1+ ( ) ( ) ( ) 例 9 1 设犳 (, ), ( 求犳, ), ( 槡 犳, ) + 解利用商的求导法则, 得 槡 + - ( ( 犳, 槡 + ) ) ( + ) 3 3 ( + ) 3 槡 + - ( ( 犳, 槡 + ) ) + 注 3 + -, 3 ( + ) 3 槡 槡 + - +, 槡 + 槡 + ( + ) 3 对于二元函数狕 犳 (, ), 如果有犳 (, ) 犳 (, ) 成立, 则称狕 犳 (, ) 对变 量, 是对称的 在这种情况下, 只需在求得的偏导数 狕中将与互换, 即可得到 狕 例 9 13 从理想气体的状态方程犘犞 犚犜 ( 犘为压强, 犞为体积, 犜为绝对温度, 犚为常数 ), 验证一个热力学中有用的公式 : 犘 犞 犜 -1 犞 犜 犘证明将犘看作犞, 犚犜犜的函数犘, 于是 犘犚犜 - 犞 犞犞同理, 犚犜由犞, 得 犞犚 ; 犘犞由犜, 得 犜犞 ; 故犘 犜犘犚 犘犚 犘 犞 犜犚犜 - 犞 犜 犘犞 犚 犞犚犜 - -1 犘犚犞犘

63 54 注例 913 表明, 偏导数记号 狕 d 是一个整体, 不能像一元函数的导数符号那样, d 看作是 狕与 的商 如果误将其看作两者的商, 则在例 913 中, 就会得出错误的结果 犘 犞 犜 1 犞 犜 犘以上关于二元函数的偏导数的定义可以推广到二元以上的多元函数的偏导数 例如, 对于三元函数狌 犳 (,, 狕 ), 可定义 狌 Δ 狌犳 ( +Δ,, 狕 )- 犳 (,, 狕 ) lim lim, Δ Δ Δ Δ 狌 Δ 狌犳 (, +Δ, 狕 )- 犳 (,, 狕 ) lim lim, Δ Δ Δ Δ 狌 Δ 狕狌犳 (,, 狕 +Δ 狕 )- 犳 (,, 狕 ) lim lim 狕 Δ 狕 Δ 狕 Δ Δ 狕三元及三元以上函数偏导数的求法与二元函数偏导数的求法类似 例 设狌, 求 狌, 狌, 狌 槡 + + 狕 狕解将, 狕看作常量, 得 狌 ( ( + + 狕 + + 狕 )- ) 3 ( + + 狕 ) 3 与二元函数类似地, 由于狌对自变量, 是对称的, 对, 狕也是对称的, 故有 狌 -, 狌狕 - ( + + 狕 ) 3 狕 ( + + 狕 ) 3 例 9 15 由三个电阻犚 1, 犚, 犚 3( 犚 1> 犚 > 犚 3) 并联组成的电路中, 其总电阻为犚, 问 : 改变哪一个电阻时, 总电阻受到的影响最大? 解在此并联电路中, , 犚 1 犚 犚 3 即犚 犚犚 1 犚 犚 3 犚 1 犚 + 犚 犚 3+ 犚 1 犚 3 题目所问的问题, 实际上是比较总电阻犚分别关于三个电阻犚 1, 犚, 犚 3 的变化率的 大小, 即比较 犚, 犚, 犚中哪一个最大 所以有 犚 1 犚 犚 3 犚犚 犚 3( 犚 1 犚 + 犚 犚 3+ 犚 1 犚 3)- 犚 1 犚 犚 3( 犚 + 犚 3) 犚 1 ( 犚 1 犚 + 犚 犚 3+ 犚 1 犚 3) 根据对称性, 有 犚 1 犚 犚 3+ 犚 犚 3+ 犚 1 犚 犚 3- 犚 1 犚 犚 3- 犚 1 犚 犚 3 ( 犚 1 犚 + 犚 犚 3+ 犚 1 犚 3) ( ) 犚 犚 3 犚 1 犚 + 犚 犚 3+ 犚 1 犚 3 ( ) 犚犚 1 犚 3, 犚犚 1 犚 犚 犚 1 犚 + 犚 犚 3+ 犚 1 犚 3 犚 3 犚 1 犚 + 犚 犚 3+ 犚 1 犚 3 因为犚 1> 犚 > 犚 3, 即犚 1 犚 > 犚 1 犚 3> 犚 犚 3, 比较上面所求出的偏导数可知 犚 < 犚 犚 1 犚 < 犚, 犚 3 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo ( )

64 第 9 章多元函数的微分学 55 即在并联电路中改变最小的电阻犚 3, 总电阻变化最大 这个结论和实验的结果是一致的 二元函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处对的 ( 偏导数犳, ), 就是一元函数狕 犳 (, ) 在 处的导数 d 犳 (, d ), 其几何意义如下 设犕 (,, 犳 (, )) 为曲面狕 犳 (, ) 上的一点 过犕 作平面 ( 图 96), 这个平面在曲面上截得一曲线为 { 狕 犳 (, ) 由一元函数导数的几何意义, 可知一元函数狕 图 96 犳 (, ) 在 处的导数 d 犳 (, d ), 也就是 二元函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处对 ( 的偏导数犳, ), 就是这条曲线在点 犕 处的切线犕 犜对轴的斜率 同理, ( 偏导数犳, ) 的几何意义为曲面狕 犳 (, ) 与平面 的交线 在点犕 处的切线犕 犜对轴的斜率 { 狕 犳 (, ) 偏导数 狕反映了函数值狕相对于自变量的变化率, 狕反映了函数值狕相对于自变 量的变化率 在一元函数微分学中已经学习过, 一元函数 犳 ( ) 如果在点 处可导, 则必在该点连续 但对于二元函数狕 犳 (, ), 即使在点 (, ) ( 处的偏导数犳, ), ( 犳, ) 都存在, 也不能保证犳 (, ) 在点 (, ) 处连续 例如, 函数 烄狕 犳 (, ) +, (, ) (,) 烅烆, (, ) (, ) 在点 (,) 处的偏导数为 犳 (,)lim Δ 犳 (+Δ,)- 犳 (,) Δ lim Δ (+Δ ) (+Δ ) - +, Δ (+Δ ) 犳 (,+Δ )- 犳 (,) 犳 (,)lim + (+Δ ) - lim Δ Δ Δ Δ 而由 91 的讨论可知, 该函数在点 (,) 处极限不存在, 因此犳 (, ) 在点 (,) 处不连续 此外, 与一元函数一样, 函数犳 (, ) 在点 (, ) 处连续, ( 并不能保证偏导数犳, )

65 56 或犳 (, ) 存在 9 高阶偏导数 类似一元函数, 这里可以定义高阶偏导数, 就二元函数狕 犳 (, ) 来说, 偏导数 狕与 狕一般仍是, 的二元函数, 如果再对或求偏导数, 就可以得到函数狕 犳 (, ) 的 二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同, 有下列四个二阶偏导数 : ( ) 狕 ( ) 狕 狕 ( 犳, ), 狕 狕 ( 犳, ), ( ) 狕 ( ) 狕 ( 犳, ), 狕 ( 犳, ) 其中, 狕, 狕称为混合偏导数 如果二阶偏导数又有对与的偏导数, 则称为函数狕 犳 (, ) 的三阶偏导数, 二元 函数的三阶偏导数一共有八个, 也有一套符号来表示 例如, ( ) 狕 ( ) 狕 狕 3 3 犳 3(, ), 狕 ( ) 3 狕 狕 ( ) ( 犳, ), 3 狕 ( 犳, ), 3 狕 ( 犳, ), 等等 依此类推, 可以定义四阶,, 狀阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数 例 9 16 求狕 arctan 的二阶偏导数 解由例 911 知, 继续求偏导, 得 狕 - +, 狕 + ( ) (- ) + ( + ) ( ) ( )) 狕 ( + ( + ), 狕 狕 狕 ( + ) ( + ), + - ( + ) ( )) - ( + ), - + ( - + ( + ) 例 9 17 验证 : 函数狕 ln ( - 犪 ) 槡 +( - 犫 ) 满足偏微分方程 狕 方程称为二维拉普拉斯方程, 它是数学物理方程中一个很重要的方程 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 狕, 这个 +

66 第 9 章多元函数的微分学 57 证明 函数化为 求偏导, 得 狕 ln 槡 ( - 犪 ) + ( - 犫 ) 1 ln [( - 犪 ) + ( - 犫 ) ] 狕 继续求偏导, 得 - 犪 ( - 犪 ) + ( - 犫 ), 狕 ( ) - 犫 ( - 犪 ) + ( - 犫 ) 狕 - 犪 ( - 犪 ) + ( - 犫 ) ( - 犪 ) + ( - 犫 ) - ( - 犪 ) ( - 犪 ) [( - 犪 ) + ( - 犫 ) ] ( - 犫 ) - ( - 犪 ) [( - 犪 ) + ( - 犫 ) ], 狕 代入方程, 得 ( ) - 犫 ( - 犪 ) + ( - 犫 ) ( - 犪 ) + ( - 犫 ) - ( - 犫 ) ( - 犫 ) [( - 犪 ) + ( - 犫 ) ] ( - 犪 ) - ( - 犫 ) [( - 犪 ) + ( - 犫 ) ] 狕 + 狕 狕与 狕为二元函数狕 犳 (, ) 的两个混合偏导数, 它们的求导次序显然不同, 但是在例 916 中, 出现了 狕 狕, 这是否说明二阶混合偏导数与求导次序无关呢? 事实上, 在一定条件下, 两个混合偏导数会出现相等的情况 有如下定理 定理 9 1 如果函数狕 犳 (, ) 的两个二阶混合偏导数 狕与 狕在区域犇内连 续, 那么在该区域内有 狕 狕 即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关 这个定理可以推广到更高阶的偏导数, 只要高阶偏导数连续, 就与求导次序无关 习题 9 1 求下列函数的偏导数 (1) 狕 ln( + ); () e 狕 ; (3) 狕 tan ; (4) 狕 arcsin 槡 + (5) 狕 狋 ed 狋 ; ;

67 58 (6) 狌 arctan( - ) 狕 求下列函数的偏导数 (1) 狌 狕 狕 () 狌 e 狕 sin( ) 4 ; 3 求下列函数在指定点处的偏导数 (1) 狕 sin( ) 在点 (-1,π); () 狌 ln( 狕 3 ) 在点 (1,1,1) 处 4 曲线 烄 + 狕 烅 4 烆 4 在点 (,4,5) 处的切线与轴正向所成的倾角是多少? 5 设狕 arctan, 验证 : 狕 狕 + sin 狕 提示 :sin 狕 tan 狕 - ( 1+tan ) 狕 6 求下列函数的二阶偏导数 (1) 狕 + ; () 狕 槡 ; (3) 狕 cos ; + (4) 狕 arctan 1-7 设狌 狕 arctan, 证明 狌 狌 + + 狌 狕 8 设狉 槡 + + 狕, 证明 (ln 狉 ) (ln + 狉 ) (ln + 狉 ) 1 狕狉 9 设狕 ln( ), 求 3 狕 1 证明函数 1 狌 犪槡 π 狋 ( 其中犪, 犫为常数, 狋 >) 满足热传导方程 e ( - 犫 ) 4 犪 狋 狌 犪 狌 狋 9 3 全微分 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 全微分的概念 对一元函数 犳 ( ), 如果 犳 ( ) 在点 处可微分, 则由自变量的改变量 Δ 引

68 第 9 章多元函数的微分学 59 起的因变量的改变量 Δ 可以表示为 Δ 犃 Δ + 狅 (Δ ), 其中犃为常数 现将这个概念推广到多元函数, 以二元函数为例, 引入如下定义 定义 9 6 设函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 的某一邻域内有定义, 其全增量为 Δ 狕 犳 ( +Δ, +Δ )- 犳 (, ) 如果存在常数犃, 犅, 使得 Δ 狕 犃 Δ + 犅 Δ + 狅 ( ρ ), (9) 其中 ρ 槡 (Δ ) +(Δ ), 狅 ( ρ ) 为当 ρ 槡 (Δ ) +(Δ ) 时的高阶无穷小, 则称函数犳 (, ) 在点 (, ) 处可微分, 并称 犃 Δ + 犅 Δ 为函数犳 (, ) 在点 (, ) 处的全微 分, 记作 d 狕, 即 d 狕 犃 Δ + 犅 Δ, 其中犃, 犅为满足式 (9) 的常数 如果函数狕 犳 (, ) 在区域犇内各点处都可微, 则称函数犳 (, ) 在区域犇内可微 例 9 18 设狕 +, 则在点 (, ) 处函数的全增量为 Δ 狕 ( +Δ ) + ( +Δ ) - ( + Δ + Δ + (Δ ) + (Δ ) 与式 (9) 比较, 可知 Δ 狕 Δ + Δ + 狅 ( ρ ), 所以函数狕 + 在点 (, ) 处可 微分, 且 d 狕 Δ + Δ 前面已经指出, 对于多元函数来说, 即使在某个点处的偏导数都存在, 也不能保证函数在该点处连续 但是, 如果函数狕 犳 (, ) 在某点处可微, 有如下定理 定理 9 若函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处可微, 则函数狕 犳 (, ) 在该点处一定连续 证明因为函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处可微, 即 Δ 狕 犳 ( +Δ, +Δ )- 犳 (, ) 犃 Δ + 犅 Δ + 狅 ( ρ ) 所以当 Δ,Δ ( 即 ρ ) 时, 有 ) lim Δ 狕 lim ( 犃 Δ + 犅 Δ + 狅 ( ρ )) Δ Δ Δ Δ 故函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处连续 在一元函数中, 函数在某一点可导与可微是等价的 但在二元函数中, 不是这样的, 首 先给出必要条件 定理 9 3( 必要条件 ) 如果函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处可微, 则该函数在点 (, ) 处的偏导数犳 (, ), 犳 (, ) 必存在, 并且函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处的全微分为 证明 d 狕 ( 犳, ) Δ + ( 犳, ) Δ 因为函数狕 犳 (, ) 在点 (, ) 处可微, 故存在常数犃, 犅, 使得 Δ 狕 犳 ( +Δ, +Δ )- 犳 (, ) 犃 Δ + 犅 Δ + 狅 ( ρ ) 其中, ρ 槡 (Δ ) +(Δ ) 取 Δ, 此时 ρ Δ, 得函数狕 犳 (, ) 关于的偏增量

69 6 从而 Δ 狕 犃 Δ + 狅 ( 狘 Δ 狘 ), Δ lim 狕犃 Δ + 狅 ( 狘 Δ 狘 ) lim 犃 Δ Δ Δ Δ 故函数狕 犳 (, ) 对的偏导数存在, ( 且犳, ) 犃 取 Δ 时, ( 同理可证犳, ) 犅, 所以有 d 狕 犳 (, ) Δ + 犳 (, ) Δ 由此可见, 在函数可微的前提条件下, 要求函数的全微分, 只需求出两个偏导数即可 注 上述命题的逆命题不成立 例如, 函数 烄狕 犳 (, ) +, (, ) (,) 烅烆, (, ) (, ) 在点 (,) 处的两个偏导数存在, (,), (,), 但是函数在点 (,) 处不连犳犳续 由此可知, 偏导数存在是可微的必要条件而非充分条件 下面给出可微的充分条件 定理 9 4( 充分条件 ) 若函数狕 犳 (, ) ( 的偏导数犳, ), ( 犳, ) 在点 (, ) 处连续, 则函数狕 犳 (, ) 在该点处可微分 ( 证明略 ) 故 则有 图 97 习惯上, 定义自变量的微分 d Δ,d Δ, 则函数狕 犳 (, ) 的全微分可记作 d 狕 犳 (, )d + 犳 (, )d 结合 9 的讨论, 给出二元函数连续 偏 导存在与可微分三者之间的关系, 如图 97 所示 例 9 19 求函数狕 + 的全微分 解因为 例 9 解 所以 因为 例 9 1 狕 +, 狕 +, d 狕 ( + )d + ( + )d 求函数狕 在点 (,1) 处的全微分 狕 1, 狕 -, 狕 1, 狕 d 狕 d -d 1 求函数狕 的全微分 + 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

70 第 9 章多元函数的微分学 61 解 因为偏导数 狕 ( + ) ( + ), 狕 - ( + ) 在除 (,) 外的一切点连续, 而函数在点 (,) 处无定义, 故函数在其定义域内可微, 且 - d 狕 ( + ) d - ( + ) d 上述全微分的概念以及可微的必要条件和充分条件都可以推广到二元以上的多元函数 例如, 对三元函数狌 犳 (,, 狕 ) 来说, 如果可微, 则全微分为 所以 例 9 解因为 d 狌 狌 d + 狌 d + 狌 d 狕 狕求函数狌 +sin3 +e 狕的全微分 狌, 狌狕 3cos3 + 狕 e, 狌 e 狕 狕狕 d 狌 d + (3cos3 + 狕 e )d + e d 狕 狕, 9 3 全微分在近似计算中的应用 根据前面的讨论, 当二元函数狕 犳 (, ) 的两个偏导数犳 (, ), 犳 (, ) 在点 (, ) 处连续, 并且 Δ, Δ 都很小时, 狅 ( 槡 (Δ ) +(Δ ) ) 可以忽略不计, 则全增量可以用全微分近似代替, 即 Δ 狕 犳 (, ) Δ + 犳 (, ) Δ, (93) 而 Δ 狕 犳 ( +Δ, +Δ )- 犳 (, ), 故式 (93) 可改写为 犳 ( +Δ, +Δ ) 犳 (, ) + 犳 (, ) Δ + 犳 (, ) Δ 例 9 3 利用全微分计算槡 解令狕 槡 3 + 3, 则 ( 犳, 3 ), ( 槡 3 3 犳, ) + 取 1,,Δ 3,Δ -, 于是 犳 (1,) 3 槡 槡 , 犳 (1,) 3 1 槡 , (1,) 3 犳 槡 + 槡 (-)975 类似地, 三元函数狌 犳 (,, 狕 ) 的近似计算公式为 犳 ( +Δ, +Δ, 狕 +Δ 狕 ) 犳 (,, 狕 )+ ( 犳,, 狕 )Δ + ( 犳,, 狕 )Δ + ( 犳狕,, 狕 )Δ 狕 例 9 4 有一长方体, 受压后变形, 其长度由 cm 增大到 5cm, 宽度由 1cm 减少至 998cm, 高度由 3cm 减少至 99cm, 求此长方体体积变化的近似值