年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y + si (D) y + si () (A) (B) (C) (D) () 设函数 f( ) 具有二阶导数, g ( ) f()( ) + f(), 则在区间 [,] 上 ( ) (A) 当 f '( ) 时, f( ) g ( ) (B) 当 f '( ) 时, f( ) g ( ) (C) 当 f '( ) 时, f( ) g ( ) (D) 当 f '( ) 时, f( ) g ( )
(5) 行列式 b b c d c d (A) ( d bc) (B) ( d bc) d bc (C) bc d (D) (6) 设,, 均为 维向量, 则对任意常数 kl,, 向量组 α+ kα, α + lα 线性无关是向量组 α, α, α 线性无关的 (A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (7) 设随机事件 A 与 B 相互独立, 且 P(B).5,P(A-B)., 求 P(B-A)( ) (A). (B). (C). (D). (8) 设 X, X, X 为来自正态总体 X X X N(, σ ) 的简单随机样本, 则统计量 (A)F(,) (B)F(,) (C)t() (D)t() 二 填空题 :9 小题, 每小题 分, 共 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上. 服从的分布为 (9) 设某商品的需求函数为 Q P(P 为商品价格 ), 则该商品的边际收益为 () 设 D 是由曲线 y + 与直线 y+ 及 y 围成的有界区域, 则 D 的面积为 () 设 e d, 则. () 二次积分 e y dy ( e ) d. y () 设二次型 f (,, ) + + 的负惯性指数为, 则 的取值范围是
θ < < () 设总体 X 的概率密度为 f( ; θ ) θ 其它 θ, 其中 θ 是未知参数, X, X,..., X, 为来自 总体 X 的简单样本, 若 c 是 i θ 的无偏估计, 则 c i 三 解答题 :5 小题, 共 9 分. 请将解答写在答题纸... 指定位置上. 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分 分 ) 求极限 lim + l( + ) t t e t dt (6)( 本题满分 分 ) 设平面区域 D {( y, ) + y,, y }, 计算 (7)( 本题满分 分 ) D + y si( ) + y ddy. 设函数 f( ) 具有 阶连续导数, z f( e cos y) 满足 f(), f '(), 求 f( ) 的表达式 (8)( 本题满分 分 ) 求幂级数 ( + )( + ) 的收敛域及和函数 (9)( 本题满分 分 ) z z + ( z+ e cos ye ) y, 若 设函数 f( ), g ( ) 在区间 [ b, ] 上连续, 且 f( ) 单调增加, g ( ), 证明 : (I) g ( t ) dt, [, b ]; (II) b + g () t dt b f ( ) d f ( ) g( ) d. ()( 本题满分 分 ) 设 A, E 为 阶单位矩阵 求方程组 A 的一个基础解系 ; 求满足 AB E 的所有矩阵 B
()( 本题满分 分 ) 证明 阶矩阵 与 相似 ()( 本题满分 分 ) 设随机变量 X 的概率分布为 P{X}P{X}, 在给定 X U(, i)( i, ) () 求 Y 的分布函数 F ( y ) () 求 EY Y i的条件下, 随机变量 Y 服从均匀分布 ()( 本题满分 分 ) 设随机变量 X 与 Y 的概率分布相同,X 的概率分布为 PX { }, PX { }, 且 X 与 Y 的相关系数 ρ XY () 求 (X,Y) 的概率分布 () 求 P{X+Y } 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题答案 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. ()D ()B () ()D (5)B (6)A (7)(B) (8)(C) 二 填空题 :9 小题, 每小题 分, 共 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上.
dr (9) p dp () l () () ( e ) ()[-,] () 5 三 解答题 :5 小题, 共 9 分. 请将解答写在答题纸... 指定位置上. 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (5) 答案 lim + + + l( + ) 令, 则 lim ( e ) + [ t e lim+ e lim + ( e ) t ]dt ( e ) t dt lim lim ( e ) (6) 答案 tdt
ρ siρ ρdρ ρ + ρ siθ + siθ + siθ ( + ) + siθ ( ρ cosρ + siθ (7) 答案 E f ( e cos y )e E y f ( e cos y )e ρ siρdρ cos y si ρd cosρ E f ( e cos y )e cos y + f ( e E f ( e cos y )e ( si y ) y E E + y f ( e f ( e cos y ) f ( e 令 e cos y, cos y )e y + f ( e cos y ) + e ( E + e cos y cos y )e cosρdρ ) cos y cos y )e ( cos y ) cos y )e 则 f ( ) f ( ) +, 故 f ( ) Ce + Ce,( C,C 为任意常数 ) 由 f ( ), f ( ), 得 f ( ) e 6 e 6 (8) 答案 6
( + )( + ) 由 lim ( + )( + ), 得 R 当 时, 故收敛域为 (, ) 时, ( ( ( ( ( + )( + ) ( + ) ( ) ) ( ( ) ( + )( + ) 发散, 当 + ( + ) ( ) ( + ( + ) ( + ) d ) ) ( ( ) ( ) 时, ( + ) d ) + ) + ) ) s( ) ( ) ( + )( + ) 发散, 时, s ( ), 故和函数 s( ), (, ) ( ) (9) 答案 证明 :) 因为 ( ) g( t )dt ) 令 F( ) f ( t )g( t )dt F( ) F ( ) f ( )g( ) g( ){ f ( ) f [ 由 ) 可知 g, 所以有定积分比较定理可知, g( t )dt f ( t )dt f [ + g( t )dt ] g( + g( t )dt ] } + g( t )dt g ( t )dt, 所以 g( t )dt + 由 f ( ) 是单调递增, 可知 ) dt dt, 即 f ( ) f [ + g( t )dt ] 由因为 g ( ), 所以 F ( ), F ( ) 单调递增, 所以 F ( b ) > F( ), 得证
() 答案 (,,,) T k+ k + 6 k k k k+ B k k k+ k k k () 答案 利用相似对角化的充要条件证明 () 答案 () F ( y) Y, y <, y, y<, + y, y<,, y. ( k, k, k R) () () 答案 () Y X 9 9 9 5 9 () 9 8