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1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股 份 有 限 公 司 地 址 :48 台 北 縣 五 股 鄉 五 工 六 路 30 號 電 話 :(0) 傳 真 :(0) 出 刊 日 :95 年 7 月 14 日 9500

2 數 學 甲 建 國 中 學 / 張 文 良 一 前 言 95 年 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 經 命 題 者 選 填 努 力 構 思 之 下, 使 這 份 試 題 不 具 爭 議 性 的 問 題, 雖 然 試 題 的 難 易 考 量 與 配 製 題 型, 大 家 可 能 有 不 同 的 看 法, 但 對 主 持 指 考 命 題 人 員 的 努 力 避 免 錯 誤 及 調 升 鑑 別 度 是 值 得 肯 定 的 現 就 個 人 見 解, 針 對 今 年 數 學 甲 指 考 試 題 提 出 以 下 分 析 及 建 議 : 非 選 擇 計 算 , , , , 13 二 題 型 與 試 題 分 布 今 年 與 去 年 前 年 最 大 的 差 異 在 於 今 年 大 幅 增 加 了 非 選 擇 題 中 的 選 填 題 配 分, 將 原 來 選 擇 題 與 非 選 擇 題 配 分 的 比 例 由 6:4 變 成 4:6, 就 此 項 改 變, 個 人 十 分 贊 成, 現 就 91~95 指 考 各 大 題 的 配 分 及 題 數 比 較 如 下 表 : 題 型 年 度 配 分 題 數 每 題 單 選 選 擇 多 選 下 表 為 考 試 的 分 布 : 選 必 修 冊 別 單 元 名 稱 配 分 小 計 合 計 必 修 第 一 冊 第 二 冊 第 三 冊 第 四 冊 基 礎 概 念 0 數 與 坐 標 系 數 列 與 級 數 多 項 式 指 數 與 對 數 0 三 角 函 數 (I) 0 三 角 函 數 (II) 0 平 面 向 量 7 空 間 中 的 直 線 與 平 面 一 次 方 程 組 圓 與 球 面 圓 錐 曲 線 6 排 列 組 合 0 機 率 與 統 計 (I) 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲

3 選 修 數 甲 上 數 甲 下 機 率 與 統 計 (II) 坐 標 變 換 矩 陣 不 等 式 極 限 的 概 念 0 極 限 的 應 用 1 註 : 單 元 劃 分 依 據 課 程 綱 要 今 就 試 題 分 布 情 形 有 以 下 幾 點 值 得 探 討 : 第 二 冊 指 對 數 與 三 角 函 數 幾 乎 完 全 沒 出 現 ( 只 用 到 log 3 10 > 或 log 3 10 = ), 令 人 出 乎 意 外 偏 重 代 數 與 多 項 式 極 限 的 應 用, 共 用 了 = "50 分 " 的 試 題 1 43 空 間 中 的 一 次 幾 何 與 線 性 方 程 組 完 全 缺 席 數 列 與 級 數 統 計 不 等 式 等 單 元 也 消 失 殆 盡 引 用 " 集 合 符 號 " 敘 述 使 題 目 顯 得 比 較 壯 觀, 但 也 可 能 讓 不 習 慣 數 學 文 言 文 的 考 生 減 低 作 答 能 力 ( 單 選 第 3 題 ) 三 命 題 技 巧 探 討 題 目 的 特 性 與 認 知 受 題 型 的 限 制 而 無 法 伸 張, 如 多 選 題 5 中 y = x F x + y = x y, 此 變 換 F 為 先 旋 轉 [ 1 0 ] 1 ( 45 ), 再 以 1 伸 縮 為 倍, 0 而 這 只 是 其 中 一 選 項, 如 果 能 單 獨 抽 離 成 非 選 擇 題, 應 可 增 加 鑑 別 度 又 計 算 題 一 中 不 易 從 學 生 作 答 情 形 看 出 優 劣, 如 果 能 改 成 選 填 題 較 合 適 選 填 題 D, 改 成 計 算 證 明 題 比 較 能 顯 現 題 目 的 張 力, 不 然 改 為 若 知 P 3 = r + sp 及 P 4 = r + sp 3, 而 不 需 視 P n +1 = r + sp n 為 已 知! 四 給 考 生 的 建 言 建 構 基 本 概 念 清 楚 屈 指 可 數 的 各 單 元 主 題 概 念, 即 省 力 又 不 單 調 加 強 閱 讀 及 表 達 敘 述 能 力 養 成 自 己 看 書 與 動 手 討 論 演 習 題 目 的 習 慣, 對 往 後 出 現 之 情 境 題 ( 如 計 算 題 二 ) 題 組 比 較 順 手 而 不 心 慌 今 年 最 大 變 革 是 增 加 選 填 題 而 適 度 捨 棄 多 選 題, 蓋 因 多 選 題 考 意 不 明 確, 甚 至 變 成 以 一 變 五 之 巨 人 ( 每 一 選 項 就 是 1 個 獨 立 題 目,5 選 項 成 一 超 級 題 組 ), 很 多 人 因 多 選 題 受 傷 慘 重! 五 結 語 整 體 而 言, 此 份 試 題 著 重 基 本 概 念 的 活 用, 計 算 略 顯 繁 雜, 在 有 限 80 分 鐘 作 答 的 條 件 下, 如 果 沒 法 完 全 安 定 心 情 去 認 清 題 目 對 本 身 的 通 過 " 機 率 " 與 題 目 得 分 之 " 期 望 值 ", 可 能 沒 法 展 現 自 己 應 有 的 實 力 而 抱 憾! 對 於 題 目 分 配 不 均, 只 能 在 考 前 充 分 統 整 基 本 概 念 與 實 際 演 習, 讓 本 身 的 弱 點 減 至 最 少, 否 則 剛 好 出 現 自 己 最 弱 的 領 域 而 不 出 現 最 拿 手 的 單 元 時, 心 情 被 影 響 就 無 法 避 免! 大 家 一 起 努 力 吧! 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲 3

4 數 學 甲 第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 多 選 題 及 選 填 題 共 佔 77 分 ) 一 單 選 題 (18%) 說 明 : 第 1 至 3 題 為 單 選 題, 每 題 選 出 一 個 最 適 當 的 選 項, 劃 記 在 答 案 卡 之 解 答 欄 每 題 答 對 得 6 分, 答 錯 或 劃 記 多 於 一 個 選 項 者 倒 扣 1.5 分, 倒 扣 到 本 大 題 之 實 得 分 數 為 零 為 止 未 作 答 者, 不 給 分 亦 不 倒 扣 分 數 試 問 方 程 式 x + x =0 有 幾 個 相 異 實 數 解? 0 個 1 個 個 3 個 6 個 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 多 項 式 ( 不 等 式 ) 試 題 詳 解 : 原 式 與 x + x +1 3 = 1 同 義, 因 x R 時 使 x + x +1 恆 正, x + x +1 3 >0 恆 成 立, 得 原 式 不 含 實 數 解, 故 選 註 :x + x +1= x ,x 3 + x +1 之 最 小 值 是 4 試 題 評 析 : 簡 易 的 二 次 不 等 式 及 方 程 式 的 實 根 判 別 在 坐 標 平 面 上, 設 P 為 y =+x x 圖 形 上 的 一 點 若 P 的 x 坐 標 為 log 3 10, 則 P 點 的 位 置 在 第 一 象 限 第 二 象 限 第 三 象 限 第 四 象 限 坐 標 軸 上 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 多 項 式 4 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲

5 試 題 詳 解 :P 為 拋 物 線 : y = x 上 一 點 4 令 a =log 3 10, 注 意 a > ( log 3 10 > log 3 9), 因 a > 時 a <0,P 的 x 坐 標 為 正 數 且 y 坐 標 為 負 數, 使 點 P 落 在 第 四 象 限, 故 選 試 題 評 析 : 本 題 結 合 對 數 與 二 次 函 數 的 值 域, 有 些 困 難 度! 1 若 直 接 用 log 3 10 = 代 入 得 y 0.97,x.09, 需 花 不 少 時 間 在 坐 標 平 面 上 給 定 兩 點 A(1, 3) 與 B(5, 6) 考 慮 坐 標 平 面 上 的 點 集 合 S = P PAB 之 面 積 為 10 且 周 長 為 15, 則 S 為 空 集 合 S 恰 含 個 點 S 恰 含 4 個 點 S 為 兩 線 段 之 聯 集 S 為 兩 直 線 之 聯 集 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 圓 錐 曲 線 試 題 詳 解 : PAB 的 高 4,AB =5, 令 橢 圓 : PA + PB =10, 此 時 A 與 B 為 的 二 焦 點, 的 a =5,c = 5,b = ,b >, 由 b >4 知 : 右 圖 中 之 P 1,P,P 3,P 4 均 落 在 S 中, 故 選 試 題 評 析 : 本 題 結 合 圓 錐 曲 線 的 觀 念, 困 難 度 高! 二 多 選 題 (4%) 說 明 : 第 4 至 6 題, 每 題 各 有 5 個 選 項, 其 中 至 少 有 一 個 是 正 確 的 選 出 正 確 選 項, 劃 記 在 答 案 卡 之 解 答 欄 每 題 8 分, 各 選 項 獨 立 計 分, 每 答 對 一 個 選 項, 可 得 1.6 分, 每 答 錯 一 個 選 項, 倒 扣 1.6 分, 完 全 答 對 得 8 分 ; 整 題 未 作 答 者, 不 給 分 亦 不 倒 扣 分 數 在 備 答 選 項 以 外 之 區 域 劃 記, 一 律 倒 扣 1.6 分 倒 扣 到 本 大 題 之 實 得 分 數 為 零 為 止 擲 一 枚 均 勻 硬 幣 4 次, 恰 好 出 現 n 次 正 面 的 機 率 記 為 a n ; 擲 一 枚 均 勻 硬 幣 8 次, 恰 好 出 現 n 次 正 面 的 機 率 記 為 b n 試 問 以 下 哪 些 選 項 是 正 確 的? a = 1 a = b 4 b = b 6 a 3 > b 3 b 0,b 1,b,,b 8 中 的 最 大 值 是 b 4 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲 5

6 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 機 率 與 統 計 (I) 試 題 詳 解 :a n = Cn ,b n = Cn 8 8, 4 1 a = C 4 = 3 8,a < 1, a = 3 8,b 1 4 = C4 8 8 = 35 18,a > b 4, b = C 8 = C6 8 8 = b 6,b = b 6, a 3 = C = 1 4,b 1 3 = C = 7 3,a 3 > b 3, 由 1<8<8<56<70,70 > 56 > 8 > 8 > 1, 得 C0 8 < C1 8 < C 8 < C3 8 < C4,C > C5 8 > C6 8 > C7 8 > C8, 8 使 b 0,b 1,b,,b 8 中 的 最 大 值 為 b 4 故 選 試 題 評 析 : 簡 易 的 古 典 機 率, 計 算 正 確 即 可 得 分 在 坐 標 平 面 上 以 表 示 拋 物 線 y = x 的 圖 形 試 問 以 下 哪 些 方 程 式 的 圖 形 可 以 由 經 適 當 的 平 移 或 旋 轉 得 到? y =x y = x x = y y = x +4x +3 x + y = x y 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 甲 ( 上 ) 坐 標 轉 換 試 題 詳 解 :y = x A y =x,a = 10 0,A 表 平 行 y 軸, 伸 縮 成 倍 之 矩 陣 y = x B y = x,b = ,B 表 旋 轉 180 之 旋 轉 矩 陣 C y = x x = y 0 1,C = 1 0,C 表 旋 轉 ( 90 ) 之 旋 轉 矩 陣 D y = x y = x + 1,D 表 左 移 單 位 且 下 移 1 單 位 的 平 移 變 換 y = x E 矩 陣 故 選 x + y = x y,e = ,E 表 旋 轉 ( 45 ) 之 旋 轉 註 : 取 上 一 點 P(1, 1),(1, 1) A (1, ),(1, 1) B ( 1, 1), (1, 1) C (1, 1),(1, 1) D ( 1,0),(1, 1) E (,0) 代 入 驗 證! 試 題 評 析 : 本 題 不 易 說 明, 答 對 者 未 必 真 正 了 解 題 意, 此 題 不 宜 作 成 選 擇 題! 6 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲

7 考 慮 多 項 式 函 數 f x = x 5 +x 4 x 3 5x +3, 試 問 以 下 哪 些 選 項 是 正 確 的? f k lim k f k +100 =0(k 為 正 整 數 ) lim x 1 f x f 1 x 1 =0 函 數 f 在 區 間 [ 1,1] 遞 增 若 x 0, 則 f x 0 在 坐 標 平 面 上 y = f x 的 圖 形 與 直 線 y =3 恰 有 兩 個 交 點 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 甲 ( 下 ) 極 限 的 應 用 試 題 詳 解 : f' x =5x 4 +8x 3 3x 10x = x x 1 5x +13x +10 f x = x 1 x +1 x +3x +3 f''x =10x 3 +1x 3x 5 =x +1 10x +x 5 x f x f' x f''x 0 + ( 10) lim x f x f x +100 =1,f ' 1 =lim x 1 f x f 1 x 1 =0, f 在 [ 1,1] 為 遞 減,x 0 時 f x 0, y =3 與 f 的 圖 形 恰 交 二 點, 故 選 1 f x x 5 註 :lim x + f x f x = lim x + 1 x 5 f x +100 = 1 1 =1 試 題 評 析 : 本 題 太 過 繁 雜, 不 宜 作 成 多 選 題, 選 填 與 非 選 均 可! 三 選 填 題 (35%) 說 明 :A 至 E 各 題 為 選 填 題, 劃 記 在 答 案 卡 之 解 答 欄 所 標 示 的 列 號 (7 4) 內 每 一 題 完 全 答 對 得 7 分, 答 錯 不 倒 扣 ; 未 完 全 答 對 不 給 分 A. 設 u, v 為 兩 非 零 向 量 以 u 表 u 之 長 度, 若 u = v = u +3 v, 且 表 u 與 v 之 夾 角, 則 cos = ( 化 成 最 簡 分 數 ) 答 案 : 7 8 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 向 量 試 題 詳 解 : 不 失 一 般 性, 可 令 v =1, u =, u +3 v =, 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲 7

8 由 4= u +3 v = u +3 v u +3 v, 得 4=4 u +1 u v +9 v,4= u v, u v = 7 4, cos = u v 7 u v = 4 1 = 7 8 試 題 評 析 : 基 本 題 型, 熟 悉 向 量 運 算 即 可 得 分 B. 在 坐 標 空 間 中, 球 面 S 交 xy 平 面 於 一 半 徑 為 13 圓 心 為 (,3,0) 的 圓, 且 S 通 過 點 (6,6,6), 則 S 的 半 徑 為 答 案 : 9 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 圓 與 球 面 試 題 詳 解 : 如 右 圖,B(,3,0),S 之 中 心 A(, 3, t), P(6,6,6),S 之 半 徑 r, 由 AP = r = AQ,AQ = 13 + t, 得 t = 13 + t,61 1t =13, 故 t =4,r = 9 試 題 評 析 : 基 本 題 型, 立 出 球 心 的 參 數 並 代 二 點 距 離 公 式 解 出 答 案 球 半 徑 C. 設 實 係 數 二 階 方 陣 A 滿 足 A 7 3 = 1,A 9 4 = 1 5 若 A = 1 15 = a c bd, 則 a =,b =,c =,d = 答 案 :a =4,b = 3,c = 9,d =7 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 甲 ( 上 ) 矩 陣 79 試 題 詳 解 : 已 知 A 34 = 1 15 ( 利 用 矩 陣 運 算 的 線 性 關 係 ) 使 A = 1 15 得 a c bd = 註 : 若 令 A = 解 得 A = = 1, x z y u, 由 A 7 3 = , 及 A 9 4 = 1 5 代 入 A = 1 a c a c 中 求 得 1 5 b d b d = 此 法 計 算 較 繁 雜! 試 題 評 析 : 本 題 想 法 不 難, 但 不 易 求 得 答 案, 可 能 花 費 時 間 很 多 而 不 能 得 分! 8 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲

9 D. 不 透 明 箱 內 有 編 號 分 別 為 1 至 9 的 九 個 球, 每 次 隨 機 取 出 一 個, 記 錄 其 編 號 後 放 回 箱 內 ; 以 P n 表 示 前 n 次 取 球 的 編 號 之 總 和 為 偶 數 的 機 率 已 知 存 在 常 數 r,s 使 得 P n +1 = r + sp n 對 任 意 正 整 數 n 都 成 立, 則 r =,s = ( 化 成 最 簡 分 數 ) 答 案 :r = 5 1,s = 9 9 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 甲 ( 上 ) 機 率 與 統 計 (II) 試 題 詳 解 : 令 a = 4 9,b = 5 9,a + b =1, a 3 +3ab + 3a b + b 3 =1, P 3 = a 3 +3ab,P 4 = a 4 +6a b + b 4 P 4 = a 4 +3a b + 3a b + b 4 = a a 3 +3ab + b 3a b + b 3 = a a 3 +3ab + b 1 a 3 3ab, 得 P 4 = a P 3 + b b P 3 = b + a b P 3, 故 P 4 = P 3 註 :P 4 = a 4 +6a b + b 4,P 5 = a 5 +10a 3 b +5ab 4 P 5 = a 5 + C 5 3a 3 b + C 5 1ab 4 = a a 4 + Ca 4 b + b 4 + b C3a 4 3 b + C1ab 4 3 = a P 4 + b 1 P 4 = b + a b P 4 P 5 = P 4 如 果 有 興 趣, 可 作 一 般 性 證 明! 試 題 評 析 : 由 P 1 = 4 41,P = 9 81 r = 5 9 證 明 題, 或 可 提 升 試 題 的 鑑 別 度 ,P 3 =,P 4 = 代 入 已 知, 不 難 求 出 ,s = 1 9, 但 在 數 學 的 推 理 上 差 異 甚 遠, 如 果 將 本 題 改 成 計 算 E. 以 O 表 坐 標 平 面 的 原 點 給 定 一 點 A(4, 3), 而 點 B (x,0) 在 正 x 軸 上 變 動 若 l x x 表 AB 長, 則 OAB 中 兩 邊 長 比 值 的 最 大 值 為 ( 化 成 最 簡 分 數 ) l x 答 案 : 5 3 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 數 與 坐 標 系 試 題 詳 解 : 令 y = x l x,y = x x 4 +9, 由 y 1x 8yx +5y =0 有 實 數 解 x, 使 此 二 次 式 之 判 別 式 D =64y 100y y 1 不 為 負, 5 解 得 0 y 9, x 5 即 0 l x 3, 又 y = 5 時 x = 5 15,l x = 9 4 4, x 5 有 最 大 值 l x 3 試 題 評 析 : 本 題 的 概 念 比 較 常 見, 對 於 勤 做 練 習 的 中 等 學 生 可 得 分!( 二 次 式 有 實 數 解 的 條 件 ) 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲 9

10 第 貳 部 分 : 非 選 擇 題 ( 佔 3 分 ) 說 明 : 本 大 題 共 有 二 題 計 算 證 明 題, 答 案 務 必 寫 在 答 案 卷 上, 並 於 題 號 欄 標 明 題 號 ( 一 二 ) 與 子 題 號 ( ), 同 時 必 須 寫 出 演 算 過 程 或 理 由, 否 則 將 予 扣 分 每 題 配 分 標 於 題 前 一 (3 分 ) 將 分 解 成 質 因 數 的 乘 積 (7 分 ) 寫 出 在 1 和 50 之 間 且 與 互 質 的 所 有 合 數 ( 合 數 就 是 比 1 大 而 不 是 質 數 的 整 數 ) 答 案 : ,1,47 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 數 與 坐 標 系 試 題 詳 解 : = , = = = = 至 50 之 間 的 質 數,3,5,7,11,13,17,19,3,9,31, 37, 因 與 互 質, 使 所 有 與 互 質 的 合 數 必 自 13,17,19,3, 9, 諸 數 中 選 取 相 乘 合 成, 但 不 得 超 過 50, 故 得 13 13,17 13,19 13 表 所 有 與 互 質 的 合 數, 即 169,1,47 為 所 求 試 題 評 析 : 本 題 解 答 方 式 有 多 種 方 法, 不 易 看 出 優 劣 情 形, 本 題 應 改 為 選 填 題 比 較 合 適! 二 傳 說 中 孫 悟 空 的 如 意 金 箍 棒 是 由 定 海 神 針 變 形 得 來 的 這 定 海 神 針 在 變 形 時 永 遠 保 持 為 圓 柱 體, 其 底 圓 半 徑 原 為 1 公 分 且 以 每 秒 1 公 分 的 等 速 率 縮 短, 而 長 度 以 每 秒 0 公 分 的 等 速 率 增 長 已 知 神 針 之 底 圓 半 徑 只 能 從 1 公 分 縮 到 4 公 分 為 止, 且 知 在 這 段 變 形 過 程 中, 當 底 圓 半 徑 為 10 公 分 時 其 體 積 最 大 ( 分 ) 試 問 神 針 在 變 形 開 始 幾 秒 時 其 體 積 最 大? (6 分 ) 試 求 定 海 神 針 原 來 的 長 度 (5 分 ) 假 設 孫 悟 空 將 神 針 體 積 最 小 時 定 形 成 金 箍 棒, 試 求 金 箍 棒 的 長 度 答 案 : 秒 60 公 分 0 公 分 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 甲 ( 下 ) 極 限 的 應 用 試 題 詳 解 : 設 原 來 神 針 的 長 度 a 公 分,t 秒 時 神 針 體 積 V t, 即 設 V t = 1 t a +0t, 其 中 0 t 8, V' t = 1 t a +0t + 1 t 0, 10 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲

11 10 = 1 t,t =, 此 時 V' =0, 變 形 開 始 秒 時 其 體 積 最 大 V' =0 a = 0 a =60 原 來 長 度 60 公 分 V t = 1 t t, 其 中 0 t 8, V' t = 1 t t + 1 t 0 =0 1 t 3+t + 1 t, V' t =0 1 t 6 3t =60 1 t t, t 0 8 V' t V t 故 當 t =8 時,V t 有 最 小 值 350, 此 時 神 針 長 度 為 = 0 公 分 試 題 評 析 : 本 題 為 情 境 題, 敘 述 生 動, 解 題 的 過 程 不 會 太 繁 雜 中 等 程 度 學 生 可 以 得 滿 分! 常 用 數 值 : , , 5.361, log ,log ,log 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 甲 11

12 數 學 乙 北 一 女 中 / 李 政 貴 一 前 言 95 年 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 已 經 順 利 的 在 7 月 日 上 午 8 點 40 分 到 10 點 完 成 了 整 體 而 言, 這 份 試 題 沒 有 具 爭 議 性 的 問 題 雖 然 試 題 的 難 易 度, 大 家 可 能 有 不 同 的 看 法, 但 命 題 者 的 努 力, 避 免 錯 誤 的 問 題 產 生 是 值 得 肯 定 的 下 面 就 今 年 的 數 學 乙 作 個 簡 略 的 分 析, 至 於 近 幾 年 來 的 比 較 分 析 將 在 未 來 命 題 趨 勢 作 較 詳 細 的 分 析 說 明 二 題 型 與 試 題 主 題 分 析 今 年 題 型 分 選 擇 題 與 非 選 擇 題 兩 部 分, 共 有 1 大 題 其 中 選 擇 部 分 有 10 題, 非 選 擇 題 部 分 有 題 ; 而 選 擇 題 總 分 為 74 分, 非 選 擇 題 總 分 為 6 分, 近 三 年 來 大 致 相 同 至 於 試 題 主 題 分 布 情 況, 因 為 近 年 來 統 整 性 的 問 題 越 來 越 多, 所 以 不 容 易 作 精 確 的 分 割 但 大 致 而 言 : 第 一 冊 到 第 四 冊 選 修 部 分 約 占 65 分, 而 數 學 乙 選 修 部 分 約 占 35 分 就 比 率 而 言 : 必 修 課 程 占 3, 1 選 修 課 程 占 3, 應 該 是 合 理 的 分 配 三 結 語 今 年 試 題 是 一 份 以 高 中 數 學 課 程 主 題 的 簡 易 概 念 為 主 軸, 結 合 生 活 情 境 為 包 裝 而 設 計 的 試 題, 沒 有 繁 瑣 的 演 算, 也 沒 有 難 以 理 解 的 公 式 但 是 情 境 的 解 讀 也 可 能 是 學 生 難 以 突 破 的 關 鍵 所 在 平 時 養 成 思 考 統 整 的 習 慣, 是 準 備 未 來 考 試 必 然 的 趨 勢 與 致 勝 之 道 再 者, 統 計 與 電 腦 是 現 代 人 生 活 的 基 本 工 具, 培 養 統 計 的 解 讀 能 力, 增 進 統 計 的 知 識 與 常 識 是 現 代 國 民 與 一 般 考 生 不 可 或 缺 的 1 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙

13 數 學 乙 第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 多 選 題 及 選 填 題 共 佔 74 分 ) 一 單 選 題 (18%) 說 明 : 第 1 至 3 題 為 單 選 題, 每 題 選 出 一 個 最 適 當 的 選 項, 劃 記 在 答 案 卡 之 解 答 欄 每 題 答 對 得 6 分, 答 錯 或 劃 記 多 於 一 個 選 項 者 倒 扣 1.5 分, 倒 扣 到 本 大 題 之 實 得 分 數 為 零 為 止 未 作 答 者, 不 給 分 亦 不 倒 扣 分 數 在 坐 標 平 面 上, 選 出 與 圓 x 3 + y 4 =5 相 切 的 直 線 : 3x +4y =5 3x +4y =0 4x +3y =5 4x +3y =0 4x +3y =1 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 第 三 冊 4 圓 與 直 線 的 關 係 試 題 詳 解 : 圓 的 圓 心 G(3, 4), 半 徑 5 設 L 為 一 直 線, 令 d G, L 表 圓 心 G 到 直 線 L 的 距 離 L 1 :3x +4y 5=0 時,d G, L 1 = = =4 5 L :3x +4y =0 時,d G, L = = 5 5 =5 L 3 :4x +3y 5=0 時,d G, L 3 = = 19 5 L 4 :4x +3y =0 時,d G, L 4 = = L 5 :4x +3y 1=0 時,d G, L 5 = 3 +4 = 所 以,L 與 圓 相 切 解 題 關 鍵 : 圓 與 直 線 相 切 的 充 要 條 件 為 圓 心 與 直 線 的 距 離 等 於 半 徑 利 用 點 與 直 線 的 距 離 公 式 求 距 離 本 試 題 是 最 基 本 的 問 題, 一 般 學 生 都 可 得 分 5 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙 13

14 某 大 學 數 學 系 甄 選 入 學 的 篩 選 方 式 如 下 : 先 就 學 科 能 力 測 驗 國 文 英 文 和 社 會 這 三 科 成 績 ( 級 分 ) 加 總 做 第 一 次 篩 選 然 後 從 通 過 篩 選 的 學 生 當 中, 以 自 然 科 的 成 績 做 第 二 次 篩 選 最 後 再 從 通 過 的 學 生 當 中, 以 數 學 科 的 成 績 做 第 三 次 篩 選, 選 出 一 些 學 生 參 加 面 試 現 在 有 五 位 報 名 該 系 的 學 生 的 學 科 能 力 測 驗 成 績 如 下 表 : 學 生 國 文 級 分 英 文 級 分 數 學 級 分 社 會 級 分 自 然 級 分 甲 乙 丙 丁 戊 已 知 這 五 位 學 生 當 中, 通 過 第 一 次 篩 選 的 有 四 位, 通 過 第 二 次 篩 選 的 有 三 位, 通 過 第 三 次 篩 選 可 以 參 加 面 試 的 只 剩 下 一 位 請 問 哪 一 位 學 生 參 加 面 試? 甲 乙 丙 丁 戊 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 乙 上 冊 4 1 機 率 與 統 計 的 應 用 實 例 試 題 詳 解 : 第 一 次 篩 選 以 國 文 英 文 社 會 級 分 之 和 比 較 : 甲 乙 丙 丁 戊 級 分 和 所 以 第 一 次 甲, 乙, 丁, 戊 四 人 通 過 第 二 次 篩 選, 比 較 甲, 乙, 丁, 戊 的 自 然 級 分 : 丁 > 乙 = 戊 > 甲, 所 以 第 二 次 乙, 丁, 戊 三 人 通 過 第 三 次 篩 選, 比 較 乙, 丁, 戊 的 數 學 級 分 : 丁 > 乙 > 戊, 所 以 第 三 次 丁 通 過 可 參 加 面 試 解 題 關 鍵 : 題 設 的 解 讀, 了 解 題 目 的 要 求 ( 基 本 語 文 能 力 ) 判 讀 統 計 表 的 能 力 本 試 題 對 國 中 生 較 合 適, 作 為 指 考 不 太 恰 當 假 設 a, b, c 是 空 間 中 三 個 向 量,r 是 一 個 實 數 已 知 a (1,1,0), b (0,1,1) 且 a, b, c 滿 足 a + b + r c = 0, 那 麼 r 不 可 能 等 於 下 列 哪 一 個 數 值 : 0 1 ( 圓 周 率 ) 答 案 : 14 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙

15 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 第 三 冊 1 1 有 向 線 段 與 向 量 及 向 量 和 試 題 詳 解 : 由 a + b + r c = 0 得 r c = a + b 又 a + b =(1,1,0)+(0,1,1)=(1,,1), 因 此,r c = (1,,1) 當 r =0 時,r c = 0 (1,,1) 當 r 0 時,c = 1 r (1,,1), 當 r 確 定 時,c 必 存 在 所 以, 只 有 r =0 時, 等 式 恆 不 成 立 解 題 關 鍵 : 內 積 基 本 運 算 性 質 的 應 用 數 與 向 量 積 向 量 和 的 坐 標 表 示 這 是 一 個 測 試 向 量 基 本 概 念 的 好 試 題 二 多 選 題 (3%) 說 明 : 第 4 至 7 題, 每 題 各 有 4 個 選 項, 其 中 至 少 有 一 個 是 正 確 的 選 出 正 確 選 項, 劃 記 在 答 案 卡 之 解 答 欄 每 題 8 分, 各 選 項 獨 立 計 分, 每 答 對 一 個 選 項, 可 得 分, 每 答 錯 一 個 選 項, 倒 扣 分, 完 全 答 對 得 8 分 ; 整 題 未 作 答 者, 不 給 分 亦 不 倒 扣 分 數 在 備 答 選 項 以 外 之 區 域 劃 記, 一 律 倒 扣 分 倒 扣 到 本 大 題 之 實 得 分 數 為 零 為 止 嘌 呤 是 構 成 人 體 基 因 的 重 要 物 質, 它 的 化 學 結 構 式 主 要 是 由 一 個 正 五 邊 形 與 一 個 正 六 邊 形 構 成 ( 令 它 們 的 邊 長 均 為 1) 的 平 面 圖 形, 如 下 圖 所 示 : 試 問 以 下 哪 些 選 項 是 正 確 的? BAC =54 O 是 ABC 的 外 接 圓 圓 心 AB = 3 BC =sin66 答 案 : 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙 15

16 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 第 二 冊 5 正 弦 定 理 試 題 詳 解 : 正 五 邊 形 的 每 個 內 角 108, 正 六 邊 形 的 每 個 內 角 10 CAO = =36 ( 見 右 圖 ) BAO = =30 所 以 BAC = =66 ABC 中,OA = OB = OC =1; 因 此 O 為 ABC 的 外 心 AOB 中 ( 如 右 圖 ) 3 AB =AH = = 3 ABC 中, 由 正 弦 定 理 知 BC sin BAC =R (R 為 ABC 的 外 接 圓 半 徑, 即 AO =1) 所 以 BC =sin BAC =sin66 解 題 關 鍵 : 正 多 邊 形 內 角 性 質 及 幾 何 基 本 性 質 三 角 形 外 心 的 意 義 正 弦 定 理 這 是 結 合 科 際 統 整 的 好 試 題, 正 弦 定 理 也 可 用 得 恰 到 好 處 一 個 訊 息 是 由 一 串 5 個 數 字 排 列 組 成, 且 每 位 數 字 都 只 能 是 0 或 1, 例 如 與 就 是 兩 個 不 同 的 訊 息 兩 個 訊 息 的 距 離 定 義 為 此 兩 組 數 字 串 相 對 應 位 置 中, 數 字 不 同 的 位 置 數 例 如, 數 字 串 與 在 第 1, 及 5 三 個 位 置 不 同, 所 以 訊 息 與 的 距 離 為 3 試 問 以 下 哪 些 選 項 是 正 確 的? 與 訊 息 相 距 最 遠 的 訊 息 為 任 兩 訊 息 之 間 的 最 大 可 能 距 離 是 4 與 訊 息 相 距 為 1 的 訊 息 恰 有 5 個 與 訊 息 相 距 為 的 訊 息 恰 有 9 個 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 第 四 冊 1 基 本 計 數 原 理 及 3 組 合 試 題 詳 解 : 每 個 訊 息 都 是 5 個 數 字 的 字 串, 與 已 知 字 串 的 每 個 數 字 都 不 同 的 字 串, 它 們 的 距 離 最 大, 所 以 距 離 最 大 為 5 與 訊 息 相 距 最 遠 ( 即 最 大 ) 為 訊 息 最 大 距 離 為 5 與 訊 息 的 距 離 為 1 的 訊 息 是 恰 有 一 數 字 不 同 的 訊 息, 有 5 個, 如 右 :00010,11010,10110,10000,10011 與 訊 息 的 距 離 為 的 訊 息 是 恰 有 二 數 字 不 同 的 訊 息, 有 C 5 = 5 4 =10 個 16 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙

17 所 以,,, 中 只 有 是 正 確 選 項 解 題 關 鍵 : 了 解 題 設, 訊 息 的 距 離, 它 也 是 一 個 函 數 基 本 計 數 原 理 及 組 合 概 念 的 應 用 本 試 題 有 創 意 結 合 函 數, 排 列 組 合 與 電 腦 基 本 數 據 表 達 的 多 元 性 試 題, 而 排 列 組 合 的 應 用 也 是 這 基 本 的 一 個 函 數 繪 圖 軟 體 的 視 窗 預 設 的 坐 標 平 面 之 可 視 範 圍 為 15 x 15 及 10 y 10, 如 下 圖 所 示 : 當 我 們 把 視 窗 的 比 例 尺 調 整 為 原 來 的 二 分 之 一 時, 視 窗 的 可 視 範 圍 變 成 30 x 30 及 0 y 0, 如 下 圖 所 示 : 試 問 以 下 哪 些 選 項 是 正 確 的? 如 果 把 視 窗 的 比 例 尺 調 整 為 原 來 的 三 分 之 一, 那 麼 視 窗 的 可 視 範 圍 變 成 45 x 45 及 30 y 30; 如 果 把 視 窗 的 比 例 尺 調 整 為 原 來 的 二 分 之 一, 那 麼 坐 標 平 面 上 任 一 直 線 的 斜 率 也 變 成 原 來 的 二 分 之 一 ; 使 用 預 設 的 視 窗 時, 只 能 看 到 y = x 30x +190 與 y =5x 60 這 兩 個 圖 形 的 一 個 交 點 ; 如 果 把 視 窗 的 比 例 尺 調 整 為 原 來 的 五 分 之 一, 就 可 以 看 到 y = x 30x 與 y =5x 60 這 兩 個 圖 形 所 有 的 交 點 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 乙 上 冊 1 3 平 面 變 換 試 題 詳 解 : 已 知 15 x 15 且 10 y 10 當 視 窗 比 例 尺 縮 為 原 來 的 1 3 時, 視 窗 的 可 視 範 圍 為 15 3 x' 15 3 且 10 3 y' 10 3 即 45 x' 45 且 30 y' 30 x 軸 與 y 軸 的 調 整 比 例 相 同, 所 以, 坐 標 平 面 上 的 任 一 直 線 斜 率 不 變 在 預 設 視 窗 上, 拋 物 線 與 直 線 的 交 點 y = x 30x +19 的 解 x, y = 10, 10,(5, 65) y =5x 60 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙 17

18 其 中 點 (10, 10) 在 可 見 的 範 圍 內, 而 點 (5, 65) 在 範 圍 外 1 視 窗 比 例 尺 調 整 為 原 來 的 時, 視 窗 的 可 視 範 圍 為 x'' 15 5 且 10 5 y'' 10 5, 即 75 x'' 75 且 50 y'' 50 由 的 結 果 可 知 交 點 (10, 10) 在 可 見 的 範 圍 內, 而 點 (5, 65) 還 是 在 範 圍 外 解 題 關 鍵 : 坐 標 單 位 的 變 換 與 點 的 坐 標 平 面 上 的 圖 形 變 換 理 解 電 腦 軟 體 的 繪 圖 與 操 作 某 次 數 學 測 驗 分 為 選 擇 題 與 非 選 擇 題 兩 部 分 下 列 的 散 佈 圖 中 每 個 點 (X, Y) 分 別 代 表 一 位 學 生 於 此 兩 部 分 的 得 分, 其 中 X 表 該 生 選 擇 題 的 得 分,Y 表 該 生 非 選 擇 題 的 得 分 設 Z = X + Y 為 各 生 在 該 測 驗 的 總 分 共 有 11 位 學 生 的 得 分 數 據 Y X 試 問 以 下 哪 些 選 項 是 正 確 的? X 的 中 位 數 > Y 的 中 位 數 X 的 標 準 差 > Y 的 標 準 差 X 的 全 距 > Y 的 全 距 Z 的 中 位 數 = X 的 中 位 數 + Y 的 中 位 數 答 案 : 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 乙 上 冊 4 散 布 圖 試 題 詳 解 : 將 散 布 圖 的 資 料 轉 化 如 下 :( 有 些 數 據 以 估 計 值 表 之, 由 圖 中 的 左 方 往 右 方, 由 下 方 往 上 方 將 11 個 學 生 編 號 ) 18 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙

19 學 生 編 號 X 得 分 Y 得 分 Z 得 分 將 X 得 分 排 序 :15,0,5,8,30,35,36,37,41,45,48, 中 位 數 35 將 Y 得 分 排 序 :,5,5,6,7,8,3,33,35,36,36, 中 位 數 8 由 可 知 X 之 間 的 差 異 較 Y 之 間 的 差 異 大 得 多, 所 以 X 的 標 準 差 大 於 Y 的 標 準 差 X 的 全 距 48 15=33,Y 的 全 距 36 =14 將 Z 得 分 排 序 :37,46,53,57,57,61,69,70,73,78,81, 中 位 數 61 X 與 Y 的 中 位 數 和 為 = 所 以 選 項 中 正 確 解 題 關 鍵 : 散 布 圖 的 解 讀 中 位 數 全 距 與 標 準 差 的 基 本 概 念 及 應 用 統 計 圖 的 解 讀, 中 等 程 度 的 學 生 大 致 上 可 做 對 此 題 三 選 填 題 (4%) 說 明 :A 至 C 各 題 為 選 填 題, 劃 記 在 答 案 卡 之 解 答 欄 所 標 示 的 列 號 (8 15) 內 每 一 題 完 全 答 對 得 8 分, 答 錯 不 倒 扣 ; 未 完 全 答 對 不 給 分 A. 一 農 夫 想 用 66 公 尺 長 之 竹 籬 圍 成 一 長 方 形 菜 圃, 並 在 其 中 一 邊 正 中 央 留 著 寬 公 尺 的 出 入 口, 如 下 圖 示 此 農 夫 所 能 圍 成 的 最 大 面 積 為 平 方 公 尺 答 案 :89 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 第 一 冊 4 3 多 項 函 數 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙 19

20 試 題 詳 解 : 如 右 圖, 設 長 方 形 兩 邊 長 x 公 尺, 另 兩 邊 長 y 公 尺 ( 含 下 方 出 入 口 公 尺 ) 則 x +y =66, 即 y =34 x, 由 <y <34 得 0<x <3, 長 方 形 面 積 = xy = x 34 x = x 34x = x 當 x =17 時, 長 方 形 面 積 等 於 89( 平 方 公 尺 ) 最 大 解 題 關 鍵 : 將 長 方 形 之 長 與 寬 的 關 係 表 出, 並 注 意 其 範 圍 二 次 函 數 的 極 值 ( 利 用 配 方 法 ) 此 題 設 計 跳 脫 傳 統 的 型 式 是 有 創 意, 也 不 難 的 試 題 B. 某 機 場 基 於 飛 航 安 全 考 量, 限 制 機 場 附 近 建 築 物 從 機 場 中 心 地 面 到 建 築 物 頂 樓 的 仰 角 不 得 超 過 8 某 建 築 公 司 打 算 在 離 機 場 中 心 3 公 里 且 地 表 高 度 和 機 場 中 心 一 樣 高 的 地 方 蓋 一 棟 平 均 每 樓 層 高 5 公 尺 的 大 樓 在 符 合 機 場 的 限 制 規 定 下, 該 大 樓 在 地 面 以 上 最 多 可 以 蓋 層 樓 參 考 數 據 :sin ,cos ,tan 答 案 :84 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 第 二 冊 3 簡 易 測 量 試 題 詳 解 : 如 右 圖, 設 大 樓 的 高 為 x( 公 尺 ) 若 tan 8 = x 3000 則 x = 3000 tan 8 = 大 樓 每 層 5 公 尺 時, 41.5 = 大 樓 最 多 可 蓋 84 層 樓 解 題 關 鍵 : 簡 易 測 量 的 應 用 整 數 的 概 念 最 簡 易 的 三 角 函 數 應 用 的 試 題, 但 學 生 說 不 定 會 不 知 如 何 做 答 呢! C. 如 下 圖 所 示, 某 摩 天 輪 等 分 為 6 個 全 等 區 域 為 了 夜 間 的 燈 光 造 景,6 個 區 域 分 別 採 用 不 同 顏 色 的 燈 光 裝 飾 若 有 7 種 不 同 顏 色 的 燈 光 可 供 使 用, 則 此 摩 天 輪 正 面 的 夜 間 燈 光 造 景 共 有 種 不 同 的 顏 色 排 列 方 式 答 案 :840 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 第 四 冊 排 列 0 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙

21 試 題 詳 解 : 依 題 意 可 知, 顏 色 為 一 種 環 狀 排 列, 從 7 色 找 6 色 ( 不 同 色 ) 排 列 法 P 7 6 有 = =840 6 解 題 關 鍵 : 情 境 的 解 讀 環 狀 排 列 應 用 這 個 問 題 學 生 可 能 能 不 認 同 它 是 一 種 環 狀 排 列, 而 造 成 解 題 上 的 困 擾, 在 試 題 解 說 中 應 敘 述 的 更 明 確 較 不 會 有 爭 議 第 貳 部 分 : 非 選 擇 題 ( 佔 6 分 ) 說 明 : 本 大 題 共 有 二 題 計 算 證 明 題, 答 案 務 必 寫 在 答 案 卷 上, 並 於 題 號 欄 標 明 題 號 ( 一 二 ) 與 子 題 號 ( ), 同 時 必 須 寫 出 演 算 過 程 或 理 由, 否 則 將 予 扣 分 每 題 配 分 標 於 題 末 一 珈 慶 杯 撞 球 大 賽 的 勝 負 是 這 樣 決 定 的 : 裁 判 將 寬 16 公 分 長 7 公 分 的 千 元 鈔 票 貼 邊 放 置 在 長 方 形 球 台 的 左 下 角, 如 右 圖 所 示 甲 乙 兩 參 賽 者 分 別 擊 球, 球 靜 止 位 置 離 鈔 票 中 心 點 較 近 者 獲 勝 甲 乙 擊 球 後, 裁 判 拿 尺 仔 細 量 得 甲 所 擊 球 停 在 離 球 台 左 緣 3 公 分, 離 球 台 下 邊 39.5 公 分 處 ; 乙 所 擊 球 停 在 離 球 台 左 緣 40 公 分, 離 球 台 下 邊 7.5 公 分 處 已 知 151 是 一 個 正 整 數, 求 此 正 整 數 (3 分 ) 求 甲 所 擊 球 停 止 位 置 與 鈔 票 中 心 點 的 距 離 ( 答 案 必 須 以 最 簡 單 的 形 式 表 示 ) (4 分 ) 如 果 你 是 裁 判, 你 會 裁 定 甲 或 乙 獲 勝? 理 由 為 何?(6 分 ) 答 案 : 39 39( 公 分 ) 甲 勝 ; 因 為 甲 距 離 較 近 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 第 一 冊 3 平 面 坐 標 系 試 題 詳 解 : 建 立 坐 標 系, 如 右 圖 設 G,A,B 分 別 表 示 鈔 票 中 心 甲 乙 三 點 的 位 置, 其 坐 標 如 圖, 151 = 3 13 =3 13 = 39 GA = = = = 3 13 =39( 公 分 ) GB = = 3 +4 = = 8 5 =8 5=40( 公 分 ) GA < GB, 所 以 甲 獲 勝 解 題 關 鍵 : 建 立 坐 標 系, 並 定 出 點 的 坐 標 兩 點 的 距 離 公 式 數 的 基 本 運 算 及 平 方 根 培 養 學 生 建 立 坐 標 系 的 能 力 和 習 慣 是 個 簡 易 的 好 試 題 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙 1

22 二 為 預 防 禽 流 感, 營 養 師 吩 咐 雞 場 主 人 每 天 必 須 從 飼 料 中 提 供 至 少 84 單 位 的 營 養 素 A 至 少 7 單 位 的 營 養 素 B 和 至 少 60 單 位 的 營 養 素 C 給 他 的 雞 群 這 三 種 營 養 素 可 由 兩 種 飼 料 中 獲 得, 且 知 第 一 種 飼 料 每 公 斤 售 價 5 元 並 含 有 7 單 位 的 營 養 素 A,3 單 位 的 營 養 素 B 與 3 單 位 的 營 養 素 C; 第 二 種 飼 料 每 公 斤 售 價 4 元 並 含 有 單 位 的 營 養 素 A,6 單 位 的 營 養 素 B 與 單 位 的 營 養 素 C 若 雞 場 主 人 每 天 使 用 x 公 斤 的 第 一 種 飼 料 與 y 公 斤 的 第 二 種 飼 料 就 能 符 合 營 養 師 吩 咐, 則 除 了 x 0,y 0 兩 個 條 件 外, 寫 下 x,y 必 須 滿 足 的 不 等 式 組 (3 分 ) 若 雞 場 主 人 想 以 最 少 的 飼 料 成 本 來 達 到 雞 群 的 營 養 要 求, 則 x,y 的 值 為 何? 最 少 的 飼 料 成 本 又 是 多 少?(10 分 ) 7x +y 84 答 案 : x +y 4 3x +y 60 x =18( 公 斤 ),y =3( 公 斤 ) 時, 飼 料 成 本 最 少 為 10( 元 ) 試 題 出 處 :( 康 熹 版 ) 數 學 乙 上 冊 3- 線 性 規 劃 試 題 詳 解 : 由 題 設 可 得 x,y 須 滿 足 7x +y 84 7x +y 84 3x +6y 7 即 x +y 4 3x +y 60 3x +y 60 將 中,, 式 分 別 作 圖 如 右 先 作 L 1 :7x +y =84, 過 點 (1, 0),(0, 4) L : x +y =4, 過 點 (4, 0),(0, 1) L 3 :3x +y =60, 過 點 (0, 0),(0, 30) 由 上 面 L 1,L 3 可 得 兩 線 的 交 點 (6, 1) 由 L,L 3 可 得 兩 線 的 交 點 (18, 3) 且 L 交 x 軸 於 (4, 0) 在 題 設 要 求 下, 欲 達 營 養 要 求, 其 可 行 區 為 圖 中 的 斜 影 部 分 設 f x, y 表 飼 料 的 成 本,(x,y 分 別 表 購 買 第 一 第 二 種 飼 料 的 公 斤 數 ), 則 f x, y =5x +4y, 現 在 欲 使 成 本 最 少, 則 必 使 f x, y 的 值 最 小, 由 線 性 規 畫 原 理 可 知,f x, y 的 最 小 值 在 可 行 區 的 邊 界 端 點 上 檢 驗 可 得 f 0,4 =4 4 = 168, f 6,1 = = 114, f 18, 3 = = 10, f 4, 0 =5 4 = 10, 由 此 可 知 當 x =18 公 斤,y =3 公 斤 時, 飼 料 成 本 為 10 元 最 少 解 題 關 鍵 : 依 題 設 寫 出 x,y 的 不 等 式 關 係 線 性 規 畫 原 理 的 應 用 此 題 是 傳 統 制 式 的 問 題 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙

23 數 學 乙 一 前 言 84 年 修 訂 的 高 級 中 學 課 程 標 準, 於 88 年 以 開 放 教 科 書 一 綱 多 本 的 形 式 實 施 至 今, 已 七 個 年 頭 配 合 新 課 程 標 準 實 施, 大 學 入 學 考 試 中 心 從 91 年 起, 大 學 入 學 學 科 測 驗, 以 學 科 能 力 測 驗 與 指 定 科 目 考 試 兩 種 方 式 兩 個 階 段 進 行, 作 為 申 請 入 學 推 薦 甄 選 及 分 發 入 學 的 選 才 參 考 與 依 據 五 年 來, 數 學 科 的 試 題 不 受 一 綱 多 本 的 影 響, 每 年 各 有 不 同 的 特 色, 大 致 都 受 到 老 師 學 生 的 肯 定 下 面 僅 就 五 年 的 指 定 考 科 科 目 數 學 乙 的 試 題 形 式 與 教 材 主 題 作 整 理 分 析, 作 為 本 文 未 來 命 題 趨 勢 分 析 的 依 據 二 試 題 型 式 與 試 題 在 教 材 主 題 分 布 統 計 表 及 說 明 試 題 型 式 分 布 表 以 年 度 為 基 準, 試 題 型 式 分 布 如 下 : 年 度 題 型 題 數 每 題 配 分 ( 小 計 ) 總 配 分 91 年 9 年 93 年 選 擇 題 非 選 擇 題 選 擇 題 非 選 擇 題 選 擇 題 非 選 擇 題 單 選 6 1 多 選 選 填 題 6 計 算 ( 證 明 ) 單 選 多 選 4 8 選 填 題 計 算 ( 證 明 ) 單 選 多 選 7 14 選 填 題 計 算 ( 證 明 ) 年 95 年 選 擇 題 非 選 擇 題 選 擇 題 非 選 擇 題 單 選 8 16 多 選 8 16 選 填 題 計 算 ( 證 明 ) 單 選 多 選 選 填 題 計 算 ( 證 明 ) 說 明 : 綜 觀 五 年 來 指 考 數 學 乙 的 試 題 形 式, 除 了 9 年 因 特 殊 的 現 實 環 境 (SARS 事 件 ) 因 素 影 響 之 外, 試 題 形 式 的 結 構 都 是 選 擇 題 與 非 選 擇 題 ( 計 算 證 明 ) 兩 大 類, 試 題 總 數 約 11 題 至 13 題 之 間 一 般 而 言, 指 考 的 目 的 在 測 試 學 生 統 整 推 理 應 用 結 合 的 能 力 ; 因 此, 試 題 的 數 量 不 會 太 多, 這 是 命 題 者 的 共 識, 未 來 一 兩 年 內, 命 題 的 形 式 與 數 量 不 可 能 有 大 的 改 變 試 題 教 材 分 布 表 以 各 年 度 試 題 在 教 材 綱 要 中, 教 材 主 題 分 布 表 列 如 下 :( 見 4 頁 下 方 ) 從 試 題 教 材 分 布 表, 我 們 看 到 五 年 來 的 試 題 涵 蓋 所 有 的 教 材 主 題, 而 各 年 的 試 題 大 致 上 也 包 含 每 一 冊 的 教 材 主 題 ; 因 此, 未 來 一 兩 年 內 命 題 趨 勢, 也 會 涵 蓋 各 冊 的 主 題 而 必 修 課 程 的 試 題 ( 除 91,95 年 外 ), 也 都 占 有 七 成 以 上 的 份 量 三 綜 合 分 析 與 建 言 一 般 而 言, 指 考 的 試 題 型 式 為 了 配 合 現 實 環 境 的 需 要, 近 年 來 大 致 上 不 會 作 大 的 改 變 而 試 題 內 容 主 題 是 影 響 考 試 成 績 最 大 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙 3

24 的 因 素, 也 是 學 生 準 備 考 試 與 學 習 方 向 要 注 意 的 下 面 逐 一 說 明 : 基 本 能 力 的 培 養 : 指 考 數 學 乙 的 試 題 沒 有 單 一 概 念 的 題 目 ; 因 此, 課 程 教 材 內 的 各 概 念 必 須 作 統 整 近 年 來 生 活 情 境 題 是 數 學 乙 命 題 的 趨 勢 簡 單 的 數 學 概 念 常 與 生 活 事 務 以 及 科 際 之 間 的 問 題 連 結 在 一 起 如 果 你 理 解 問 題 的 涵 意, 那 麼 簡 單 的 數 學 應 用 就 是 解 題 的 關 鍵 ; 否 則, 你 就 會 失 去 解 題 的 方 向 因 此, 提 升 生 活 的 基 本 常 識 與 閱 讀 的 能 力 是 必 要 的 加 強 函 數 概 念 的 認 識 與 應 用 : 函 數 是 數 學 的 基 礎 語 言 與 工 具, 未 來 的 教 育 發 展 方 針 是 提 升 全 民 的 知 識 水 準 與 科 技 認 識 的 應 用 僅 管 數 學 乙 考 試 主 要 是 為 學 習 文 法 商 的 學 生 的 基 礎 數 學 課 程, 但 是 函 數 是 數 學 與 生 活 連 結 的 共 同 語 言, 也 是 未 來 命 題 的 重 要 趨 勢 例 如 : 數 乙 93 年 單 選 第 4 題, 非 選 擇 題 第 二 題 ;94 年 選 填 第 E 題, 非 選 擇 題 第 二 題 ;95 年 多 選 題 第 5 題 第 6 題, 非 選 擇 題 第 一 題 等 簡 易 幾 何 問 題 的 推 算 : 綜 合 推 論 幾 何 的 教 材 在 國 中 高 中 的 課 必 選 冊 修 別 必 修 選 修 第 一 冊 第 二 冊 第 三 冊 第 四 冊 數 學 乙 上 數 學 乙 下 4 康 熹 95 指 考 科 目. 數 學 乙 程 逐 漸 的 減 少, 選 修 幾 何 的 課 程 也 刪 除, 但 利 用 三 角 函 數 向 量 來 推 算 三 角 形 及 多 邊 形 中 的 邊 長 兩 點 距 離 或 角 的 大 小, 在 試 題 中 屢 見 不 鮮 ; 所 以, 建 議 同 學 們 藉 著 幾 何 圖 形 來 統 整 數 學 概 念 與 應 用 是 準 備 考 試 必 要 的 工 作 加 強 統 計 與 統 計 圖 表 的 認 識 : 統 計 與 簡 單 機 率 的 試 題 以 多 元 的 形 式 在 近 幾 年 的 指 考 或 學 科 能 力 的 試 題 中 有 越 來 越 多 的 趨 勢 平 時 閱 讀 報 紙 媒 體 的 統 計 資 料, 對 統 計 認 識 會 有 些 幫 助 熟 悉 課 程 主 題 的 每 個 概 念 : 第 一 冊 基 礎 概 念 與 第 三 冊 向 量, 兩 個 主 題 在 考 試 的 試 題 中, 雖 然 沒 有 明 確 直 接 的 試 題, 但 是 基 礎 概 念 是 數 學 的 基 本 工 具, 而 向 量 概 念 也 是 空 間 直 線 與 平 面 發 展 必 備 的 工 具, 準 備 考 試 也 不 可 疏 忽 四 結 語 統 計 有 助 於 對 現 況 的 認 識 與 未 來 趨 勢 可 能 性 的 預 測, 但 統 計 也 有 不 確 定 性 語 云 : 登 高 必 自 卑, 行 遠 必 自 邇 腳 踏 實 地 做 好 基 礎 的 學 習 與 推 算 能 力 培 養 是 戰 勝 考 試 最 大 的 利 器, 我 們 一 起 努 力 吧! 主 題 91 年 9 年 93 年 94 年 95 年 配 分 小 計 合 計 配 分 小 計 合 計 配 分 小 計 合 計 配 分 小 計 合 計 配 分 小 計 合 計 基 礎 概 念 6 數 與 坐 標 系 數 列 與 級 數 8,6, 多 項 式 6 8 指 數 與 對 數 8 7,6 7,1 6 三 角 函 數 的 基 本 性 質 ,8 16 三 角 函 數 的 性 質 與 應 用 向 量 空 間 中 的 直 線 與 平 面 一 次 方 程 組 與 矩 陣 列 運 算 圓 與 球 面 8 6 圓 錐 曲 線 排 列 組 合 ,8 16 機 率 與 統 計 (I) 10 6,6, ,8,7 矩 陣 不 等 式 二 元 一 次 不 等 式 與 線 性 規 劃 機 率 與 統 計 (II) ,8 圖 形 的 平 移 與 伸 縮 16 幾 何 圖 形