高中數學第四冊 (99 課綱 ) H1 空間向量 H2 空間中的平面與直線 H3 矩陣 H1 空間向量 1-1 空間概念 1. 能了解直線與直線的關係,包含兩歪斜線. 2. 能了解直線與平面的關係,包含直線與平面垂直. 3. 能了解平面與平面的關係,包含兩平面的夾角. 4. 能了解三垂線定理及其基本應用 1-2 空間向量的坐標表示法 1. 能了解空間坐標系. 2. 能了解空間中兩點距離公式與中點公式. 3. 能了解空間向量的坐標表示,並計算向量的長度. 4. 能了解空間向量的加法 減法及係數積之幾何意義與 坐標表示. H4 二次曲線 5. 能了解係數積的兩個應用:三點共線與分點公式. 1-3 空間向量的內積 1. 能了解空間向量內積的幾何意義與坐標表示. 2. 能利用內積計算兩向量的夾角及其應用. 3. 能了解柯西不等式 其坐標表示與相關應用. 4. 能了解正射影的意義及其計算. 編撰者 : 楊錫勳
H2 空間中的平面與直線 2-1 空間中的平面 1. 能了解空間中平面的法向量.當給定空間中一點及法向量時,能寫出通過此點的平面方程式. 2. 能利用法向量與平面外一點求平行平面的方程式. 3. 能利用外積求通過不共面三點的平面方程式. 4. 能利用法向量求兩平面的夾角. 5. 能計算空間中點到平面的距離 兩平行平面的距離 2-2 空間中的直線 1. 能了解空間中直線的方向向量.當給定空間中一點及方向向量時,能寫出通過此點的直線參數式. 2. 能利用對稱比例式表示空間中的直線. 3. 能求出兩平面之交線的參數式. 4. 能判定空間中直線與平面之間的關係.當平面與直線相交於一點時,能求出直線與平面的交點. 5. 能求出通過直線與直線外一點的平面方程式. 6. 能判定空間中兩直線的相交情形.當兩直線相交於一點時,能求出它們的交點. 7. 能求出空間中點到直線的距離 兩平行線的距離 兩歪線的距離. 2-3 三元一次聯立方程式 1. 能了解三元一次聯立方程式的意義,並利用消去法求解. 2. 能了解克拉瑪公式,並利用公式求三元一次聯立方程式的解. 3. 能了解空間中三平面的 8 種關係,並利用法向量與三元一次 H3 矩陣 3-1 一次聯立方程式與矩陣 1. 能寫出一次聯立方程式與增廣矩陣. 2. 能利用矩陣的列運算解一次聯立方程式. 3. 能利用列運算判斷一次聯立方程式無解或無限多組解. 3-2 矩陣的運算 1. 了解矩陣相等的意義,並能判定兩矩陣是否相等. 2. 了解矩陣加法與減法的意義,並能作運算. 3. 了解矩陣係數積的意義,並能作運算. 4. 了解向量係數積的意義,並知道係數積的基本性質. 5. 了解矩陣加法與係數積的運算基本性質. 6. 了解矩陣乘法的意義,並能作乘法的運算. 7. 了解矩陣的乘法運算並不滿足交換律與消去律,但滿足結合律與分配律. 8. 了解單位矩陣的意義. 3-3 矩陣的應用 1. 了解轉移矩陣的意義及其實用性. 2. 能寫出問題的轉移矩陣. 3. 能利用轉移矩陣系統性的處理機率問題. 4. 了解反方陣的意義與存在的條件. 5. 能求出給定二階方陣的反方陣. 7. 熟悉二階反方陣的公式. 8. 能利用二階反方陣解二元一次聯立方程式. 聯立方程式的解判定三平面的關係.
H4 二次曲線 4-1 拋物線 1. 能了解拋物線的幾何定義. 2. 能了解拋物線的圖形及其元素. H-1 空間中的直線與平面 1-1 空間概念概念 : (1) 數線 : 一度空間 (2) 平面 : 二度空間 (3) 空間 : 三度空間 3. 能了解推導拋物線標準式的過程. 4. 能了解標準式與圖形之間的關係. 4-2 橢圓 5. 能了解平移後方程式與圖形之間的關係. 決定一平面的條件 : (1) 不共線三點 (2) 一直線及線外一點 (3) 兩相交直線 (4) 兩平行直線 1. 能了解橢圓的幾何定義. 2. 能了解橢圓的圖形及其元素. 3. 能了解推導橢圓的標準式的過程. 4. 能了解標準式與圖形之間的關係. 5. 能了解平移後方程式與圖形之間的關係. 4-3 雙曲線 甲 直線與直線的關係在某一平面上 1. 通過恰可決定一直線 2. 二直線的關係, 共有以下 3 種情形 : (1) 不相交 ( 平行 ) (2) 交於一點 (3) 重合 ( 無限多個交點 ) 1. 能了解雙曲線的幾何定義. 2. 能了解雙曲線的圖形及其元素. 3. 能了解推導雙曲線的標準式的過程. 4. 能了解標準式與圖形之間的關係. 5. 能了解雙曲線的漸近線. 6. 能了解平移後方程式與圖形之間的關係. 在空間中 1. 通過恰可決定一直線 2. 二直線的關係, 共有以下 4 種情形 : (1) 交於一點 (2) 平行 ( 不相交, 且二直線在同一平面上 ) (3) 歪斜 ( 不相交, 且非二平行線 ) (4) 重合 ***x 1.
乙 直線與平面的關係 : (1) 不相交 ( 平行 ) (2) 交於一點 (3) 直線在平面上 ( 無限多個交點 ) 四面體 : 某立體圖形有 4 個面, 且這 4 個面都是三角形, 稱之 若此 4 個面都是正三角形, 則又稱此四面體為正四面體 直線與平面垂直的定義 : 1. 若 L L 且 L L, 則 L 1 2 ( 若直線 L 垂直平面上的相交二直線則直線 L 垂直平面 ) 反之, 2. 若 L, 則 L L, L L, L L,... 1 2 3 若直線 ( L 垂直平面 則直線 垂直平面上的任何一直線 L ) 丙 平面與平面的關係 (1) 不相交 ( 平行 ) (2) 交於一直線 (3) 重合 ( 無限多個交點 ) x 1. 右圖是一個長方體, 下列哪些直線與直線 歪斜? (1) 直線 (2) 直線 (3) 直線 G (4) 直線 FH (5) 直線 G 練 1. 右圖是一個立體圖形, 為正方形, 下列哪些直線與直線 歪斜? (1) 直線 (2) 直線 (3) 直線 (4) 直線 (5) 直線 x 2. 若 - 是邊長 2 的正四面體, 試求 二面角 : 若相異兩平面交於一線, 擷取相鄰兩半平面與此交線 PQ 的圖形稱為兩面角 P 且交線 PQ 稱為兩面角的稜 如聖誕卡片即是一個兩面角 Sol: (1) 底面上的高 H = (2) 若 為任二面之夾角則, cos (3) 一組歪斜線之最短距離 = 1 1 (4) 體積 = ( 角錐 V = 柱體 V 底面積 高 ) 3 3 二面角的平面角 : Q 在一個二面角的稜 PQ 上任取一點, 並在二面角的兩面 1 與 2 上分別作二射 線 與, 使它們都與二面角的稜 PQ 垂直, 則 的度量就稱為這個 二面角的度量 ( 稱為這二面角的一個平面角, 即兩半平面的一個夾角 ) P Q1. 兩半平面的夾角為 Q2. 此完整的相交兩平面的夾角為 Q
x 3. 如圖, 點 O 在平面 上的投影為點, 點 在平面 上一直線 L 的投影為點, 且 12, O 13, 4, 求 O O L 13 12 4 Sol: 練 2. 右圖是一個邊長均為 2 的立體圖形, 其中 為一正方形, 其餘四個三角形均為正三角形 (1) 從頂點 對底面 做垂直線 Q 交底面於 Q 點, 練 3. 如圖,O 平面, 直線 L, 已知 O 2, 1, L O 求高 Q = (2) 設側面 與側面 的二面角為, 求 cos = 則 O 丁 三垂線定理 : 如圖, 平面 且 L L x 4. 高度皆為 5 公尺的兩垂直圍牆, 長度分別為 15 及 20 公尺, 一隻貓在兩牆相交的 頂點 上, 注視著一隻老鼠, 此老鼠沿著地面上由 往 跑 試問 : Pf: ( 同理 平面 且 L L) L Sol: (1) 貓與老鼠的最近距離為公尺 (2) 與 的夾角為公尺 5 15 20 練 4. 如右圖所示, 小明在 8 公尺高的塔頂上, 俯望成 直線狀的河流, 已知塔底中心到河流的最近點 R 是 15 公尺, 那塔頂到河流的最短距離為
2-1 xercise 一 填充題 : 1. - 為一正四面體, 且邊長為 a, 試求 (1) 若 為任二面之夾角, 則 cos = (2) 一組歪斜線之最短距離為 1-1 班級姓名座號 1. 右圖是一個長方體, FGH 是一個正方形,且 F 6, G 7,則正方形 FGH 的面積為 H G F 2. 如圖, - 為一四面體, 且 平面,, 7, 24, 15, 試求 : (1) 二 是非題 : (2) 若兩平面 及 夾角為, 則 sin ( ) 01. 空間中, 垂直於同一直線之二直線, 必互相垂直 ( ) 02. 相異三點決定一平面 ( ) 03. 兩歪斜線在一平面上的正射影, 有可能為二平行線. ( ) 04. 給一直線 L 及平面上一點, 有無限多條直線通過 點, 且與直線 L 垂直這些垂直線構成一平面 ( ) 05. 若直線 L 垂直平面 上之任兩條直線, 則直線 L 平面 ( ) 06. 若直線 L 平面, 則直線 L 垂直平面 上的任一條直線 ( ) 07. 在平面上, 任意兩相異直線一定有公垂線, 且仍在該平面上 ( ) 08. 在空間中, 任意兩相異直線一定有公垂線 ( ) 9. 給定一平面及任意一點 P, 則恰有一平面過點 P, 且與平面 垂直 ( ) 010. 空間中, 相異兩直線若不平行, 則必相交. 7 24 15 2. 右圖是一個各邊長皆為 2 的四角錐, 是一個正方形.已知側面 與底面 所夾的二面角為,則 cos = 3. 右圖是一個四面體, O 與平面 O 垂直,且 O O O 2 已知側面 與底面 O 所夾的二面角為,則 cos = O ns: 一 1 2 1. (1) (2) 3 2 a 2. (1) 25 (2) 提示 : 稜 且 稜 即兩平面 及 之一平面角 7 sin 20 4. 右圖中一個四面體,其中 6, 4, (1) 高 H 的長 = (2) 底面 與側面 所夾之二面角 cos = H 3. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
5. 右圖中, FGH 是一個邊長為 1 的正六面體,則 (1) 四面體 FH 的表面積為 (2) 四面體 FH 的體積為 ( 四面體的體積為底面積乘以高除以 3 )[92 指乙 ] H F G 6. 右圖中, 是一個邊長為 2 的正四面體, M M, N 分別為 與 的中點. MN 的長 = N 7. 選出正確的選項 : (1) 空間中, 垂直於同一直線的兩相異直線必互相平行 (2) 空間中, 平行於同一直線的兩相異直線必互相平行 (3) 空間中, 垂直於同一平面的兩相異直線必互相平行 (4) 空間中, 平行於同一平面的兩相異直線必互相平行 (5) 空間中, 垂直於同一直線的兩相異平面必互相平行 8. 選出正確的選項 : (1) 空間中,平行一直線的兩相異直線互相平行 (2) 空間中,垂直一平面的兩相異直線互相平行 (3) 空間中,過已知直線外一點, 恰有 一平面與此直線垂直 (4) 空間中,過已知平面外一點, 恰有 一直線與此平面平行