魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 能力指標分年細目 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 - 角柱與圓柱 9-s- 能認識線與平面 平面與平面的垂直 關係與平行關係 9-s- 能理解簡單立體圖 形
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- 鹤 奚
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1 情境動畫 將章首頁圖片內容 以動畫演出 引導 學生從生活情境中 學習數學概念的運 用 互動 從上述的動畫以互 動的方式進行生活 化與數學核心概念 的測驗 情境動畫 互動 素養PPT - 角柱與圓柱 - 角錐與圓錐 溫故學習 素養PPT 提供素養試題與解 答的 PPT 亦可自 行編修內容 方便 教學使用 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 些的名稱分別是什麼 解 正方體 長方體 三角柱 圓柱 本章歷屆基會題數統計 圓錐 三角錐 會 考 觀 測 站 歷屆基會趨勢 本章歷屆基會題數統計 8 球
2 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 能力指標分年細目 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 - 角柱與圓柱 9-s- 能認識線與平面 平面與平面的垂直 關係與平行關係 9-s- 能理解簡單立體圖 形 9-s- 能理解簡單立體圖 形的展開圖 並能 利用展開圖來計算 的表面積 或側面積 9-s- 能計算直角柱 直 圓柱的體積 - 角錐與圓錐 9-s- 能理解簡單立體圖 形 9-s- 能理解簡單立體圖 形的展開圖 並能 利用展開圖來計算 的表面積 或側面積 會考停看聽 的考試內容分為展開圖的概念 體積與表面積的計算 其中展開圖的概念可分為 由形體判斷展開圖或由展開圖判斷形體 對學生在空間概念上有一定的難度 體積與表面積的計算 在圖形上 可以變化出多樣的考題 有時還會與展開圖的概念結合應用 8
3 - 角柱與圓柱.長方體與正方體 可看到 0 度旋轉 也可以看 到圖形的展開圖.圓柱.柱體的應用 柱體 現在先來看看較常見的長方體與正方體 再觀察柱體有何共同的特性 - 角柱與圓柱 - 角錐與圓錐 小時 圖 - 溫故學習 長方體與正方體 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 了解正方 體 長方體 其頂 活動 對應能力指標 9-s- 9-s- 長方體有 個面 8 個頂點 條稜邊 它的 個面可以分為 組 每組 些的名稱分別是什麼 點 面 稜邊的組 都有 個全等的矩形 其展開圖如圖 - 所示 合 並知道它們的 頂點 展開圖 面 正方體.角柱 基會PPT 柱體是生活中常見的 例如 粉筆盒 茶葉罐與巧克力盒等都是 長方體與正方體 第二章 長方體 稜邊 長方體表面積 長 寬 寬 高 長 高 三角柱 圖 - 將長方體紙盒施 壓 形成如下的 圖形 稱為平行 六面體 圓柱 解 下列何者不是長方體的展開圖 圓錐 三角錐 球 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 8 有一個長方體 體積為 立方公分 若長為 公分 寬為. 公分 0 平方公分 則其表面積為
4 搭配習作 P 基礎題 角柱與圓柱 7 正方體是長 寬 高皆等長的長方體 它同樣有 個面 8 個頂點 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 條稜邊 其展開圖如圖 - 所示 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 基會 配合教學進度 呈 現歷屆大考題目與 解答 圖 - 基會試題 基會 90 基測 II 第 0 題 99 基測 II 第 9 題 解 下列哪些是正方體的展開圖 正方體的表面積為 邊長 邊長 教師可試著讓學生 畫 出 正 方 體 的 種展開圖 由隨堂練習可知 長方體與正方體的展開圖都不只一種 例 正方體的表面積 基會 如圖 將 7 塊邊長為 公分的小正方體 堆成邊長 為 公分的實心正方體 若拿掉圖中 塊灰色的小正 方體 則新的表面積為多少平方公分 解 大正方體的表面積為 平方公分 如圖 拿掉 塊灰色的小正方體後 表面積少了 個灰色小正方形的面積 但多出了 9 個黃色小正方形的面積 基會試題 新的表面積為 9 8 平方公分 9 基測 I 第 題 9 基測 II 第 8 題 97 基測 II 第 題 0 基測第 題 基會 0 基測第 題 右圖的長方體與下列選項中的均是由邊長為 公分的小正方體緊密堆砌而成 若下列有一的 表面積與右圖的表面積相同 則此圖為何 8
5 8 活動 了解線與平 第二章 面 平面與平面的 右圖為邊長 公分的小正方體所堆成的實心正方體 垂直與平行 若拿掉圖中 個灰色的小正方體 則新的 表面積為多少平方公分 解 大正方體的表面積為 平方公分 空間中 平面 與平面 的關係 有下列三種情形 兩平面互相平行 拿掉 個灰色小正方體後 外面少了 個灰色小正方形的面積 角柱與圓柱 - 裡面多出 個白色小正方形的面積 新的表面積為 角錐與圓錐 平方公分 - 兩平面的垂直 兩平面交於一線 長方體任何相鄰兩面都互相垂直 例如 溫故學習 圖 - 中 長方形 與長方形 這兩個平面互相垂直 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 些的名稱分別是什麼 兩平面重合 圖 - 因此 想要判別已知的兩個平面是否互相垂直 我們可以用長方體來 檢驗 正方體 長方體 兩個平面互相垂直 國中階段直觀的使 用長方體來檢驗兩 平面是否互相垂 直 毋須定義 二 面角 當然也可 使用三角板 書 本 等 其 它 工 具檢驗 若長方體的相鄰兩面可同時與兩個 平面緊密貼合 如圖 - 所示 就 三角柱 圓柱 稱兩個平面互相垂直 圖 - 兩個平面不垂直 若長方體與兩個平面無法 密合 產生空隙 如圖 - 球 圓錐 三角錐 空隙 空隙 或圖 -7 所示 則這兩個 平面就不垂直 加強 會 考 觀 測 站 加強演練題 8 右圖是一個正六角柱 回答下列問題 側面與底面是否互相垂直 是 側面與側面是否互相垂直 否 有幾對互相平行的面 對 圖 - 圖 -7
6 角柱與圓柱 9 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 解 下列選項中 哪一個是正確的 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 L 巧克力盒的側面與底面 互相垂直 金字塔的側面與底面 互相垂直 教師可以先告訴 學生 直角柱的底 面與側面互相垂 直 此概念在後 面會學習到 直線與平面的垂直 長方體也可以用來判別一條直線 L 與一個已知平面是否互相垂直 L 將一個長方體放到平面上 如圖 -8 如果 直線 L 能夠與長方體的稜邊 重疊 則 直線 L 垂直於此平面 圖 -8 L 因為長方體的高與上下兩平行底面均垂直 由圖 -8 進一步可知 一條直線同時垂直於 兩個平面時 則這兩個平面互相平行 如圖 如圖 直線 L 與平 面 不垂直 但直 線 L 與平面 上的 互相垂直 L -9 圖 -9 L 將一個長方體放到平面上 如圖 -0 如果 直線 L 無法與 重疊 則直線 L 不垂直於此 平面 圖 -0 精熟 會 考 觀 測 站 精熟演練題 如圖 為平面 上的三個點 P 垂直於平面 若 P 求 P P 87
7 70 第二章 校園中 我們可以看到地面上 垂直 豎立的旗杆 在不同的時刻 旗杆的 影子和旗杆會互相垂直 如圖 - 所示 空間中 直線 L 與 平面 的關係有下 列三種情形 直線與平面平行 沒有交點 L 早上 0 時的影子 下午 時的影子 - 角柱與圓柱 早上 8 時的影子 直線與平面交於 一點 L - 角錐與圓錐 圖 - 事實上 當直線 L 與平面垂直且相交於 點 所有平面上過 點的直線 直 線 在 平 面 上 有無限多個交 點 溫都會與直線 故 學 習 L 互相垂直 如圖 - 所示 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這L L 些的名稱分別是什麼 正方體 長方體 圖 - 圓柱 三角柱 為 上一點 解 如圖 長方體中 P 勾選出與 垂直的線段 L L L P L 三角錐 圓錐 P 球 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 右圖長方體中 P Q 分別為 上的一點 勾選出下列哪兩條線段互相垂直 L 與 L 與 Q P 與 L Q 與 與 P 與 88 Q P
8 趣味數學 例 角柱與圓柱 7 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 搭配習作 P 基礎題 直線與平面的垂直 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 右圖是一個邊長為 0 公分的正方體 為其中 P 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 的一個頂點 P 為 與 的交點 求 P 的度數 趣味數學 數學腦筋急轉彎 將數學概念活學活 用 P 的長度 解 與平面 互相垂直 P P 在平面 上 P 可知 P 90 由正方形兩條對角線互相平分 可知 P P P 0 0 公分 ػ ᄲણ P P P 求 P 解 為直角三角形 教師在講解例題 時 可以特別強調 截面 是一個 矩形 活化體驗站 如圖 長方體中 P 為 上一點 9 對於空間概念不佳 的學生 例題 是 一大難題 教師可 藉由教具 模型或 教室的空間 慢慢 引導 9 P P 為直角三角形 P 有一塊正方體的大 蛋糕 若想把它切 成 7 塊小蛋糕 且每塊小蛋糕的體 積皆相同 則最少 要切多少刀 刀 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 如圖 長方體中 P 為 的中點 若 0 求 P 與 P P P P 89
9 7 第二章 角柱 對應能力指標 9-s- 9-s- 9-s- 如果角柱的側面與上 下兩底面均互相垂直 稱為直角柱 如果側面與 可看到 0 度旋轉 也可以看 到圖形的展開圖 上 下兩底面不垂直 稱為斜角柱 如圖 - 在本教材中 如果沒有特別 說明 所指的都是直角柱.角柱.直角柱與斜角柱 上底面 - 角柱與圓柱 角錐與圓錐 - 側面 透過操作動畫 可 以從不同視角觀察 角柱的頂點 邊 面和展開圖 下底面 直角柱 斜角柱 溫故學習 圖 - 活動 理 解 正 n 角 直角柱有兩個全等的多邊形底面和數個矩形的側面 其側面與底面均互相 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 柱 其頂點 面 些的名稱分別是什麼 垂直 而兩個全等的多邊形底面互相平行 這兩個底面之間的距離稱為角柱的 稜邊的組合 並知 高 底面為三角形的柱體 稱為三角柱 同樣地 底面為五邊形的柱體 就稱 道它們的展開圖 為五角柱 而所有的長方體與正方體都是四角柱 也就是說 底面為 n 邊形的 計算其體積與表面 柱體 稱為 n 角柱 正方體 積 國中階段未強調 面與面垂直的判 別方法 教師可 以用直角三角形 三 角 板 作 為 判別依據 如下 圖 搭配習作 P 基礎題 長方體 解 觀察下列角柱各有幾個頂點 幾條稜邊和幾個面 並完成此表 三角柱 圓柱 形體 項目 三角柱 頂點數 圓錐 三角錐 四角柱 8 球 五角柱 n 角柱 六角柱 0 n 稜邊數 9 8 n 面數 7 8 n 加強 會 考 觀 測 站 加強演練題 若八角柱共有 a 個頂點 b 個面 c 條稜邊 則 a b c 0 某 n 角柱有 0 條稜邊 x 個頂點 y 個面 則 x y 90
10 角柱與圓柱 7 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 下面是一些常見角柱的展開圖 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 形體 展開圖 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 三 角 柱 四 角 柱 教師可詢問學生其 它柱體是否有不一 樣的展開型態 教師可讓學生標示 出組合成角柱後會 互相重合的兩對應 邊 讓學生對立體 圖形的展開圖與原 之間有更 深刻的連結 教師可視情況讓學 生觀察 每一種角 柱的 頂點數 面 數 稜邊數 是一 個固定的數值 五 角 柱 解 右圖是一個六角柱的展開圖 其上下兩底面 均為正六邊形 側面為六個全等的矩形 利 用附件 9 將它摺成觀察 請列出 此六角柱中所有互相平行的面 與 與 與 與 互相平行 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 如圖 將一個平行四邊形柱體切割後 拼成一個長方體 則下列敘述何者正確 兩個柱體體積相同 兩個柱體的底面積相同 兩個柱體的高相同 以上皆是 9
11 7 第二章 角柱的體積與表面積 國小時曾經學過角柱的體積與表面積的計算方法 基會 角柱體積 底面積 高 配合教學進度 呈 現歷屆大考題目與 解答 角柱表面積 兩底面的面積和 所有側面矩形的面積和 我們可以由展開圖來計算角柱的表面積 角柱的體積與表面積 角柱與圓柱 - 例 基會 如圖 有一塊五角柱積木 角錐與圓錐 - 7 求其體積及表面積 教師可視情況讓 學生討論 正 n 角柱有幾對互相 平行的面 解 0 底面積 溫故學習 體積 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 例題 是將底面 分割為一個四邊 形及一個三角形 做計算 由五角柱的展開圖可知 些的名稱分別是什麼 五角柱的表面積 0 兩個 正方體 的面積 長方體 的面積 基會試題 9 基測 II 第 題 9 基測 II 第 7 題 9 基測 II 第 題 00 基測 I 第 7 題 00 聯測第 8 題 三角柱 圓柱 右圖是一個六角柱 它的底面周長為 公分 柱體的高為 0 公分 則此六角柱側面的面積和 是多少平方公分 解 底面周長 側面矩形的總長 故側面的面積和 0 0 圓錐 三角錐 平方公分 球 基會 00 聯測第 8 題 9 某直角柱的兩底面為全等的梯形 其四個側面的面積依序為 0 平方公分 平方公分 0 平方公分 0 平方公分 且此直角柱的高為 公分 求此直角柱的體積為多少立方公分 9 0
12 角柱與圓柱 7 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 由例題以及隨堂練習可知 角柱的側面是由數個矩形所構成 我們可將 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 角柱的側面展開成一個較大的矩形 展開圖中矩形的長即為底面的周長 而 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 矩形的寬即為角柱的高 例 由展開圖求角柱的表面積與體積 搭配習作 P 基礎題 右圖是一個四角柱的展開圖 求此四角柱的體積與表面積 解 四角柱的底面可分成兩個直角三角形 四角柱的底面積 四角柱的體積 由四角柱的展開圖可知 四角柱的表面積 兩個 的面積 求柱體的表面 積 若側面積有 許多個容易漏掉 或不容易計算的 面時 教師宜告 訴 學 生 利 用 底 面 周 長 高 來 計算側面積的 和 會比較快速 且不易出現計算 的錯誤 教師若要增加例 題 的難度 底 面可給斜邊長與 其 中 一 股 長 如 下圖 由學生算 出另一股長 再 算其體積與表面 積 8 的面積 7 0 右圖是一個三角柱的展開圖 求此三角柱的體積與表面積 解 底面積 8 三角柱的體積 7 8 底面直角三角形的斜邊 三角柱的表面積 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 如圖 已知六角柱的底面為邊長 0 公分的正六邊形 柱高為 0 公分 求其體積與表面積 體積為 8000 立方公分 表面積為 平方公分 9
13 7 第二章 圓柱 圓柱是上 下底面為等圓的柱體 如圖 - 兩底面圓心的連線與兩 可看到 0 度旋轉 也可以看 到圖形的展開圖 底面的所有半徑都垂直 的圓柱稱為直圓柱 不垂直的稱為斜圓柱 在本教材 中所討論的圓柱 若未特別說明 都是直圓柱 圓柱 - 角柱與圓柱 透過操作動畫 可 以從不同視角觀察 圓柱的邊 面和展 開圖 - 角錐與圓錐 直圓柱 斜圓柱 圖 - 溫故學習 活動 了 解 圓 柱 的 圓柱的體積與表面積 展開圖 並計算其 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 圓柱體積的求法和角柱一樣 也是 底面積 高 體積與表面積 些的名稱分別是什麼 將一個圓柱展開 可以得到下面的圓柱展開圖 下面兩個圖都不 是圓柱的展開圖 上底面 上底面 正方體 長方體 側面 高 高 底面圓周長 下底面 三角柱 圓柱 長方形的邊比圓 的周長短 下底面 圖 - 在圖 - 的展開圖中 圓柱的表面積等於上 下底面的圓面積與側面的 面積和 如果將側面展開成一個矩形 而矩形的長等於底面圓周長 矩形的寬 圓錐 三角錐 球 是圓柱的高 由此可知 圓柱的表面積 兩底面的圓面積和 底面圓周長 高 長方形的邊比圓 的周長長 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 右圖是一個直徑為 0 公分的半圓柱 求其體積與表面積 體積為 00π 立方公分 表面積為 π 平方公分 0 0 長度單位 公分 9
14 角柱與圓柱 77 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 解 下面各選項的圖形中 圓的半徑皆為 四邊形皆為矩形 判別下列 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 基會 哪一個是圓柱的展開圖 配合教學進度 呈 現歷屆大考題目與 解答 π π π 例 圓柱的體積與表面積 搭配習作 P 基礎題 基會 教師可利用下圖 讓學生動動腦 判斷是否為圓柱 的展開圖 是 一個高 0 公分 底圓半徑 公分的圓柱積木 體積是多少立方公分 表面積是多少平方公分 π 解 體積 π 0 0π 立方公分 表面積 π π 0 兩底面的圓面積和 斜圓柱的展開圖 應避免作為評量 的試題 底面圓周長 高 π 80π 基會試題 π 平方公分 98 基測 I 第 題 98 基測 II 第 題 0 會考第 9 題 一個圓柱的底面積為 π平方公分 高為 公分 則此圓柱的體積是多少 立方公分 表面積是多少平方公分 解 底面積為 π平方公分 底圓半徑為 8 公分 體積 π 0π 立方公分 表面積 π 8 π 08π 平方公分 基會 98 基測 I 第 題 如圖 在水平桌面上有甲 乙兩個內部呈圓柱形的容器 內部底面積分別為 80cm 00cm 且甲容器裝滿水 乙容 器是空的 若將甲中的水全部倒入乙中 則乙中的水位高 度比原先甲的水位高度低了 8cm 求甲的容積為何 80cm 0cm 00cm 甲 乙 000cm 9
15 78 第二章 互動 柱體的應用 互動 對應能力指標 9-s- 9-s- 透過的局部展開圖 可以計算長方體表面上兩點之最短距離 螞蟻爬盒子 例 長方體表面上兩頂點之最短距離 如圖 已知一個長方體的長 寬 高分別為 公分 今有一隻螞蟻 從頂點 通 表面上兩點的最短 距離 可搭配附件 0 操作 角錐與圓錐 - 距離 - 過 角柱與圓柱 到達頂點 求此螞蟻爬行路徑的最短 活動 了 解 長 方 體 思路分析 兩點間的距離以直線距離最短 由此長方體的局部展開圖可知 螞蟻從 點 通過 到達 點 最短距離為平面 上的 有關長方體表面 上兩頂點的最短 距離 教師宜讓 學生從例題及隨 堂練習中 觀察 得到結論 溫故學習 解 教師可請同學拿 出附件 0 實際操 作觀察 讓學生 對空間的概念更 加熟悉 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 些的名稱分別是什麼 直角三角形 中 0 正方體 長方體 所以最短距離為 0 公分 三角柱 圓柱 如圖 已知一個長方體的長 寬 高分別為 公分 今有一隻 螞蟻 從頂點 通過 到達頂點 求此螞蟻爬行路徑的最短距離 可搭配附件 0 操作 解 直角 中 圓錐 三角錐 球 0 所以最短距離為 0 公分 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 如圖 已知一個長方體的長 寬 高分別為 公分 今有 一隻螞蟻 從頂點 通過 到達頂點 求此螞蟻爬行路徑的 最短距離 0 公分 9
16 角柱與圓柱 7 例 79 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 搭配習作 P 基礎題 空心柱體的體積 活動 了 解 複 合 立 體圖形是由基本立 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 0 右圖為一個空心的圓柱鋼管 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 求此鋼管材料部分的體積 體圖形組合而成 並計算複合立體圖 形的體積與表面積 0 長度單位 公分 解 鋼管材料部分的體積 π 0 外部圓柱的體積 π 0 內部空心部分的圓柱體積 π 0 π 0 0π 立方公分 9 課綱中 複合 的內容 有過多的情形 所以在 97 新課綱 中有所調整 此處只研究關於 柱體的複合立體 圖形 教師不宜 過度延伸 如圖 將 0 個相同外圓內方 正方形 的銅錢 堆成一個空心柱體 若每個銅錢的厚度為 0. 公 分 直徑為 公分 內部方形孔的邊長為 公分 求此空心柱體的體積 解 外部圓柱的體積 π π 立方公分 內部空心部分的柱體體積 0. 0 立方公分 9 故空心柱體的體積 π 立方公分 精熟 會 考 觀 測 站 精熟演練題 如圖 有一個圓柱形的筆筒 瑪莎用尺測量得外圍直徑為 公分 外側柱高為 公分 內圍直徑為 0 公分 內側 柱高為 0 公分 求此筆筒的體積與表面積 體積為 8π 立方公分 表面積為 π平方公分 97
17 80 回 顧 點 重 趣味數學 趣味化的數學題 增加教學樂趣 柱體 名稱 特性 圖示 例 三角柱 底面為 n 邊形 - 角柱與圓柱 活化體驗站 側面均為矩形 且所有側面皆與底面互相 n 角柱 垂直 - 角錐與圓錐 ػ ᄲણ 第二章 趣味數學 有 n 個頂點 n 條稜邊和 n 個面 有一個數 若去掉 前面的第一個數字 就會變成 去 掉最後一個數字就 會變成 0 則這 個數是多少 六十三 上下底面為等圓 圓柱 溫故學習 側面可展開成一個矩形 矩形的長等於底 面圓周長 矩形的寬等於圓柱的高 兩底面圓心的連線與兩底面的所有半徑都 垂直 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 些的名稱分別是什麼 角柱的體積與表面積 角柱的體積 底面積 高 角柱的表面積 兩底面的面積和 所有側面矩形的面積和 例 如圖 三角柱的體積 0 00 正方體 長方體 三角柱的表面積 三角柱 圓柱 圓柱的體積與表面積 圓柱的體積 底面積 高 圓柱的表面積 兩底面的圓面積和 底面圓周長 高 例 如圖 圓柱的體積 π 00π 圓錐 三角錐 球 圓柱的表面積 π π 90π 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 98 如圖 一個長 0 公分 高 0 公分 寬 公分的長方體石塊 缺了一個 圓 的一角 求剩下部分的體積與表面積 體積為 800 π立方公分 表面積為 08 平方公分 公分 公分 0公分 0公分
18 習作 整頁全解 角柱與圓柱 8 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 -快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 自我評量 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 填填看 下列各有多少個頂點 多少條稜邊 多少個面 解 形體 頂點數 稜邊數 面數 七角柱 9 八角柱 0 習作 快速連結到對應章 節的習作頁 整頁全解 點選按鈕後 將會 顯示本頁全部的解 答 已知一個三角柱 底面是邊長 公分的正三角形 高為 0 公分 求此三角柱的體積 解 體積 底面積 高 0 70 立方公分 c 70 立方公分 如圖 一張長方形紙板繞著直線 L 旋轉一周的軌跡會得到一個圓柱 求此圓柱的體積與表面積 解 體積 底面積 高 L L π π 立方公分 表面積 兩底面的圓面積和 底面圓周長 高 π π 8π 平方公分 長度單位 公分 第 題 教師可藉 此複習正三角形的 a 面積公式 第 題 教師可讓 學生實際操作 旋 轉觀察是否會得到 一個圓柱 c 體積 π立方公分 表面積 8π平方公分 精熟 會 考 觀 測 站 精熟演練題 如圖 在一根竹筷貼上兩張長方形紙板 旋轉一周的軌跡 會得到一個 求此的體積與表面積 體積為 π 立方公分 表面積為 π平方公分 8 長度單位 公分 99
19 8 第二章 整頁全解 如圖 上方為半個圓柱 下方為四角柱的石碑 求其體積及表面積 整頁全解 點選按鈕後 將會 顯示本頁全部的解 答 π 立方公分 表面積 π π 長度單位 公分 00 00π 00 0π - 角柱與圓柱 00 0π 平方公分 c 體積 π立方公分 表面積 00 0π平方公分 - 角錐與圓錐 解 體積 π 如圖 長方體的長 寬 高分別為 8 0 公分 求 解 連接 為直角三角形 8 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 0 80 些的名稱分別是什麼 8 80 溫故學 習 為直角三角形 c 公分 第 題 教師可 讓學生實際操 作 從展開圖組 成正方體的過程 中 對空間的概 念有深刻的印象 將右圖正方體的相鄰兩面各劃分成九個全等的 小正方形 並分別標上 兩個符號 正方體 長方體 下列哪一個圖形為此正方體的展開圖 解 三角柱 圓柱 圓錐 三角錐 球 c 精熟 會 考 觀 測 站 精熟演練題 右圖是一個邊長為 8 公分的正方體 O 為 與 的交 點 P 在 上 若 OP 求 P 0 公分 00 O P
20 - 角錐與圓錐 8 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 角錐與圓錐 基會PPT 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四.角錐.圓錐 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 有些只有一個底面 且頂部都是 尖 的 例如 圖 - 中的 金字塔及小丑帽 這些有哪些性質呢 可看到 0 度旋轉 也可以看 到圖形的展開圖 角錐 透過操作動畫 可 以從不同視角觀察 角椎的頂點 邊 面和展開圖 圖 - 角錐 對應能力指標 9-s- 9-s- 角錐是由一個多邊形底面和數個三角形側面所構成的 由於它的 頂部像錐子一樣是尖的 所以稱為角錐 如果一個錐體的底面是三角形 稱為 三角錐 如果底面是 n 邊形 稱為 n 角錐 活動 理解正 n 角 錐的頂點 面 稜 邊的組合 並知道 它們的展開圖 計 算其表面積 n 角錐有 n 個側面 每個側面都是等腰三角形的 n 角錐 稱為直 n 角錐 在直 n 角錐中 底面為正 n 邊形 又稱為正 n 角錐 在本教材中所討論的 角錐 若未特別說明 都是正 n 角錐 搭配習作 P9 基礎題 解 觀察下列角錐各有幾個頂點 幾條稜邊和幾個面 並完成此表 形體 項目 n 角錐 三角錐 四角錐 五角錐 六角錐 頂點數 7 n 稜邊數 8 0 n 面數 7 n 加強 有關柱體及錐體 頂點數 稜邊數 及面數的規律 由歸納得之即 可 不宜讓學生 死背 直 n 角錐與正 n 角錐的定義容易 混淆 學生在學 習上以正 n 角錐 為主 教師可視情況讓 學生觀察 每一 種 角 錐 的 頂 點 數 面數 稜邊 數 是 一 個 固 定 的數值 會 考 觀 測 站 加強演練題 若八角錐共有 a 個頂點 b 個面 c 條稜邊 則 a b c 某 n 角錐有 個面 x 個頂點 y 條稜邊 則 x y 0
21 8 第二章 下面是一些常見角錐的展開圖 基會 形體 角錐 基會 三 角 錐 配合教學進度 呈 現歷屆大考題目與 解答 展開圖 頂點 側面 腰 - 角柱與圓柱 底面 - 角錐與圓錐 正四面體與正三 角錐的差異 正 四面體為 個面 都是全等的正三 角形 正三角錐 為底面是正三角 形 個側面為 全等的等腰三角 形 四 角學 習 溫故 錐 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 些的名稱分別是什麼 正四面體是正三 角錐的一種 但 正三角錐不一定 是正四面體 五 正方體 角 錐 長方體 三角柱 圓柱 由角錐的展開圖可知 基會試題 正 n 角錐的表面積 底面積 所有側面等腰三角形的面積和 9 基測 I 第 題 00 基測 II 第 題 0 會考第 7 題 圓錐 三角錐 球 基會 0 會考第 7 題 0 將圖的正四角錐 沿著其中的四個 邊剪開後 形成的展開圖為圖 判斷下列 哪一個選項中的四個邊可為此四個邊 圖 圖
22 角錐與圓錐 例 8 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 搭配習作 P9 基礎題 四角錐的表面積 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 右圖為一個正四角錐 其底面正方形的邊長 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 為 0 公分 側面等腰三角形的腰長為 公 分 求此四角錐的表面積 教師可以視學生 程度 額外補充 錐高的問題 錐體的體積 底面積 高 不 是 國 中 階 段所要學習的內 容 此內容是屬 於高中的課程 解 將正四角錐展開如右圖 底面積 平方公分 側面等腰三角形的高 0 公分 側面積的和 0 0 平方公分 表面積 00 底面積 0 側面積的和 0 平方公分 搭配習作 P9 基礎題 右圖為一個正六角錐 其底面正六邊形的邊長為 公分 側面等腰三角形的腰長為 公分 教師可以提醒學 生 底面正六邊 形可以分成 個 全等的正三角形 求此六角錐的表面積 解 底面積 9 平方公分 側面等腰三角形的高 7 公分 側面積的和 008 平方公分 表面積 平方公分 精熟 會 考 觀 測 站 精熟演練題 木雕師父將一個邊長 0 公分的正方體積木 鑿成一個 正四角錐 如圖所示 其中正四角錐的頂點是底面的中 心 求此正四角錐的表面積 平方公分 0
23 8 例 第二章 角錐的腰長 右圖為一個正三角錐的展開圖 若此角錐的 若題目的類型是 給表面積與底面 邊長或側面三角 形的高 反推算 出側面三角形的 腰長 高或底 面邊長 此種類 型是有一點難度 的 教師可讓學 生多做練習 表面積為 7 平方公分 底面正三角形的邊 長為 公分 求此三角錐側面的腰長 - 角柱與圓柱 角錐與圓錐 - 解 底面正三角形的面積 平方公分 側面等腰三角形的面積和 7 平方公分 故側面每個等腰三角形的面積 溫故學習 平方公分 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 設側面等腰三角形的高為 h 公分 些的名稱分別是什麼 h 正三角形面積 底 高 平方公分 h h 因此側面的腰長 公分 正方體 長方體 右圖為一個正四角錐的展開圖 若此四角錐的表 面積為 8 平方公分 底面正方形的邊長為 公 三角柱 圓柱 分 求此四角錐側面的腰長 解 底面正方形的面積 平方公分 側面每個等腰三角形的面積 8 平方公分 圓錐 三角錐 球 設側面等腰三角形的高為 h 公分 h h 故側面的腰長 公分 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 0 如圖 已知四角錐的表面積為 平方公分 側面等腰三角形的高為 8 公分 求此四角錐的 底面正方形邊長為何 公分 8
24 角錐與圓錐 87 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 對應能力指標 9-s- 9-s- 圓錐 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 圓錐有一個圓形的底面和一個頂點 若圓錐的頂點和底面圓心的連線與底 面任一半徑皆垂直 稱為直圓錐 在本教材中所討論的圓錐 若未特別說明 都是直圓錐 如圖 -7 中 直圓錐的展開圖都是由一個扇形 側面 和圓 底面 組合而成 且扇形的弧長等於底面圓周長 圓錐 頂點 透過操作動畫 可 以從不同視角觀察 圓錐的邊 面和展 開圖 半徑 半徑 圖 -7 活動 了 解 圓 錐 的 由圓錐的展開圖可知 展開圖 並計算其 表面積 圓錐的表面積 底面圓面積 側面展開的扇形面積 例 圓錐的表面積 搭配習作 P0 基礎題 右圖為一個圓錐的展開圖 求此圓錐的表面積 解 0 0公分 0 扇形弧長 0 π 0 0π 公分 設底面圓半徑為 r 公分 則 r π 0π 所以 r 0 公分 下面兩個圖都不 是圓錐的展開圖 扇形的弧比圓的 周長短 扇形的弧長 底圓的圓周長 0 表面積 0 0 π 0 0 π 0 底面積 可看到 0 度旋轉 也可以看 到圖形的展開圖 側面積 扇形的弧比圓的 周長長 00π 00π 00π 平方公分 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 如 圖 此甜筒的側面積為何 r πr 0
25 88 例 教師可以視學生 程度 額外補充 錐高的問題 第二章 圓錐的表面積 搭配習作 P0 基礎題 右圖是一個圓錐 將此圓錐展開 求 展開後扇形的圓心角 8 此圓錐的表面積 教 到 圖 形 r 師 圓 中 的 可 錐 圓 整 的 側 心 理 展 面 角 得 開 扇 為 角柱與圓柱 - 解 圓錐的展開圖如右 的弧長 底面圓的周長 π π - 角錐與圓錐 0 扇形 的面積為 rπ 設 O x x 8 π 0 π x O 8 O 溫故學習 圓錐的表面積 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 π 8 8 π 0 些的名稱分別是什麼 r 底面積 側面積 9π π π 正方體 長方體 右圖為一個圓錐的展開圖 求 三角柱 O O 圓柱 此圓錐的表面積 解 設 O x 的弧長 底面圓的周長 x π 0 π 圓錐 三角錐 球 x 0 O 0 0 表面積 π π 0 8π 精熟 會 考 觀 測 站 精熟演練題 如圖 求著色區域的表面積 π 9 9 0
26 趣味數學 89 角錐與圓錐 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 回 顧 點 重 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 趣味數學 趣味化的數學題 增加教學樂趣 錐體 名稱 特性 底面為正 n 邊形 正 n 角錐 圖示 例 正三角錐 活化體驗站 側面均為等腰三角形 ػ ᄲણ 有 n 個頂點 n 條稜邊和 n 個面 有一個頂點和圓形底面 圓錐 側面可展開成扇形 頂點和底圓圓心連線與底圓的任一 半徑皆垂直 樹上有 0 隻麻 雀 獵人開槍獵得 隻後 樹上還有 多少隻麻雀 0 隻 因為剩下的 麻雀全嚇飛了 正 n 角錐的表面積 底面積 所有側面等腰三角形的面積和 例 如圖 四角錐表面積 0 圓錐的表面積 底面圓面積 側面展開的扇形面積 0 例 如圖 圓錐表面積 8 8 π 8 8 π 0 08π 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 右 圖為一個圓錐 回答下列問題 側面扇形的半徑為多少公分 0 公分 扇形的圓心角為多少度 圓錐的表面積為多少平方公分 9π 平方公分 8 長度單位 公分 07
27 90 第二章 習作 整頁全解 -自我評量 習作 快 速 連 結 到 對 應 章 節的習作頁 整頁全解 點選按鈕後 將會 顯示本頁全部的解 答 右圖的紙盒是由兩種拼成的 解 下列哪一個圖形可能是它的展開圖 - 角柱與圓柱 - 角錐與圓錐 第 題 複合立 體圖形的展開 圖 對學生來說 比較不容易觀 察 教師可讓學 生實際自製展開 圖 加強學生的 概念 溫故學習 些的名稱分別是什麼 填填看 下列各有多少個頂點 多少條稜邊 多少個面 解 形體 頂點數 稜邊數 面數 七角錐 八角錐 正方體 第 題 教師可 以提醒學生 正 四面體是正三角 錐的一種 但正 三角錐不一定是 正四面體 c 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 9 長方體 四個面都是正三角形的三角錐 稱為正四面體 右圖是邊長均為 公分的 圓柱 正四面體 求此正四面體的表面積 解 三角柱 正四面體的四個面都是正三角形 表面積 平方公分 圓錐 三角錐 球 c 平方公分 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 08 已知一個正六角錐 底面為邊長 0 公分的正六邊形 另外有六條長 公分的稜邊 求此正六角錐的表面積 0 0 平方公分
28 趣味數學 整頁全解 角錐與圓錐 9 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 右圖為一個圓錐的展開圖 求此圓錐的表面積 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 解 設底圓半徑為 r 公分 0 9 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 扇形的弧長 底面圓的周長 0 9 π r π 0 r 0 表面積 π 9 9 π 0 π 平方公分 c π平方公分 趣味數學 數學腦筋急轉彎 將數學概念活學活 用 整頁全解 點選按鈕後 將會 顯示本頁全部的解 答 長度單位 公分 活化體驗站 ػ ᄲણ 如圖 一張直角三角形紙板繞著直線 L 旋轉一周的軌跡會得到一個 解 圓錐 求此圓錐的表面積 L L 什麼情況下 減 等於 將四邊形剪去一個 角 等於五邊形 長度單位 公分 設扇形的圓心角為 x 扇形的弧長 底面圓的周長 x π 0 π x 第 題 教師可 讓學生實際操 作 旋轉觀察是 否會得到一個圓 錐 扇形的圓心角為 表面積 π π 0 π 平方公分 c π平方公分 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 大 華將一面三角形的旗子 以旗桿為旋轉軸 旋轉一圈 的軌跡會得到一個 則 旋轉出來的為什麼 圓錐 此的底面積為多少 π 平方公分 此的表面積為多少 00π 平方公分 0 長度單位 公分 09
29 9 此頁的題型可參 考 0 年試辦會 考第 題 本單元為統整課程 屬附加學習 由學生自行挑戰 教師可視班級情況而自行決定如何運用 戰 挑 我 自 圖 一 是一個三角柱密閉容器 其底面是一個直角三角形 內部裝有水 且 放在水平地面上 已知 8 公分 公分 90 8 公分 水的高度為 公分 若不計容器的厚度 請回答下列問題 並寫出你的計算過程 此題配合第五冊 第 章相似形所 學的概念來解 題 但不宜發展 過度複雜的柱體 題型 - 角錐與圓錐 - 角柱與圓柱 P Q 圖 二 M N 圖 一 圖 三 教師可參考 P 的評分指引與 將此容器旋轉 使得矩形 放在水平地面上如圖 二 則此時水的高度 得分範例 溫故 學習 為多少 解 圖 一 水的高度為 公分 團團和圓圓正在一起玩積木玩具 請問這 有水的部分占容器體積的 無水的部分占容器體積的 些的名稱分別是什麼 由圖 二 可知 PQ 的面積 的面積 又 PQ 相似性質 P P P 8 P 正方體 長方體 因此圖 二 水的高度為 8 公分 c 公分 將此容器再旋轉 使得矩形 放在水平地面上如圖 三 則此時水的高 度為多少 三角柱 圓柱 可知 MN 的面積 解 由圖 三 的面積 MN 相似性質 M M 又 M 相似三角形對應高的比 對應邊的比 球 圓錐 三角錐 M 故 c 公分 公分 因此圖 三 水的高度為 N 解答 P7 7 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 0 圖是一個正六角柱密閉容器 其底面是 一個正六邊形 內部裝有水 放在水平地 面上 已知正六邊形的邊長為 柱高為 水深高度為 若不計容器厚度 將 此容器橫放如圖 則此時水深的高度為 何 圖 圖
30 自我挑戰評分指引與得分範例 第 題 分數 評分指引 / 得分範例 正確使用相似形的幾何性質 以適當的數學式表示柱體的體積與底面積 並完整推導出 結論 由圖 一 可知 無水的體積 分 由圖 二 可知 PQ 的面積 8 8 PQ 的面積 又 的面積 8 PQ 的面積 的面積 PQ 相似性質 P P 8 P 因此圖 二 水的高度為 公分 答 公分 正確使用相似形的幾何性質 完整推論柱體間同高時的底面積關係 圖 一 中水的高度為 公分 有水的部分占容器體積的 無水的部分占容器體積的 故圖 二 中 PQ 的面積 的面積 又 PQ 相似性質 P P P 8 P 因此圖 二 水的高度為 公分 答 公分
31 PQ 由圖 ( 一 ) 可知, 無水的體積 =( 8 ) (8-)=8, 由圖 ( 二 ) 可知, PQ 的面積 8=8 PQ 的面積 = 又 的面積 = 8 =, PQ 的面積 : 的面積 =:=:, 故 P : =: P :8=: P = 因此圖 ( 二 ) 水的高度為 公分 答 : 公分 PQ 圖 ( 一 ) 中水的高度為 公分, 有水的部分占容器體積的, 無水的部分占容器體積的, 故圖 ( 二 ) 中, PQ 的面積 : 的面積 = :=:, P : =: P : =: P :8=: P = 因此圖 ( 二 ) 水的高度為 公分 答 : 公分 由圖 ( 一 ) 可知, 無水的體積 =( 8 ) (8-)=8, 由圖 ( 二 ) 可知, PQ 的面積 8=8 PQ 的面積 = 水的體積為 ( 8 ) =, 容器體積為 ( 8 ) 8=9 0..
32 / 得分範例 0 作 分別交 MN 於 兩點, MN 的面積 : 的面積 =:, 且 MN~ ( 相似性質 ), M : =:, 故 M:=:, 又 :=M:=:( 相似三角形對應高的比 = 對應邊的比 ) = 8 + =0,= 8 0 =, : =: = M 故 = - =, 因此圖 ( 三 ) 水的高度為 公分 答 : 公分 MN 作 分別交 MN 於 兩點, MN 的面積 : 的面積 =:, M : =:, 故 M:=:, 又 :=M:=:( 相似三角形對應高的比 = 對應邊的比 ) = 8 + =0,= 8 0 =, : =: M = 故 = - =, 因此圖 ( 三 ) 水的高度為 公分 答 : 公分 MN 的面積 : 的面積 =:, 且 MN~ ( 相似性質 ), M : =:, 故 M:=:.. N N
33
34 趣味數學 數學萬 花筒 角錐與圓錐 9 魔術方塊是一種益智玩具 也是一項新興的比賽 選手們要以最 快的時間將魔術方塊上面的顏色恢復原狀 而魔術方塊的種類有正四 球的介紹 面體 正六面體 正八面體與正十二面體 常見的是正六面體 日常生活中 除了角柱 圓柱 角錐與圓錐等外 還有一個常 趣味數學 趣味化的數學題 增加教學樂趣 見的稱為球 如圖 -8 我們將一個半圓形紙板的直徑當軸 旋轉 一周就得到一個球體 活化體驗站 球的直徑 ػ ᄲણ 球心 球的半徑 L L 圖 -8 如果將地球視為球體 貫穿南極 北極的直徑稱為 地軸 地球自轉即 大力士村裡的居民 都力大無比 其中 有一位居民可以輕 易舉起 0 公斤重 的石頭 但他卻舉 不起一件 00 公斤 重的物品 為什 麼 因為此 00 公斤的 物品是他自己 是以 地軸 為轉軸 想像由一些與地軸垂直的平面 切開此球 則所得的截 痕都是圓 這些圓稱為緯線 如圖 -9 由圖中我們可以發現 離球心越遠 的圓 其半徑越小 而赤道 零度緯線 所在的圓其半徑最大 也就是地球的 半徑 因此赤道是最長的緯線 如果地球半徑以 00 公里來計算 那麼赤道 的長度約為 萬公里 圖 -9 基礎 會 考 觀 測 站 基礎演練題 如圖 已知一球的半徑為 球心為 O 點 若球 O 與平面 的距離為 9 則球 O 與 平面 相交的截圓半徑為何 9 O
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
章節
試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
Microsoft Word - 0.5bh.doc
198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
互 補 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 平 角 (80 0 0 ), 我 們 稱 這 兩 個 角 互 補, 如 圖, + = 80, 故 我 們 稱 與 互 補 互 餘 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 直 角, 我 們 稱 這 兩 個 角 互 餘, 如 圖, + =90 0, 故 我
點 線 角 : 在 探 討 幾 何 學 之 前, 我 們 必 須 先 瞭 解 構 成 平 面 圖 形 的 基 本 元 素 - 點 線 角 點 : 點 是 幾 何 學 中 所 討 論 的 最 基 本 圖 形 點 僅 用 來 表 示 事 物 所 在 的 位 置, 而 不 考 慮 它 的 形 狀 與 大 小 圖 示 記 法 讀 法 點 或 點 點 或 點 線 : 線 可 以 想 成 是 筆 尖 在 紙 上
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答案寫在答案卷上 一 選擇題 ( 每題 5 分, 共 60 分 ) 1.( ) 以下何者不是兩個三角形的全等性質?()
(Microsoft Word \245|\255\261\305\351\275g.doc)
台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 空間概念 ( 四面體篇 ) 班級 : 座號 : 姓名 :. 設正四面體 ABCD 其每一稜長均為 已知 AB 之中點為 M CD 之中點為 N 求()AB AN ;()MN 之長為. 6. 有一側稜長均為 8 的金字塔形其側面為四個等腰三角形底面是邊長為 6 的正方形若底面與側面之夾角為 α 則 cosα.. 三角錐 ( 四面體 )ABCD 頂點 A
三角形的基本性質 3- 內角與外角 三角形的全等.. SSS 3. SS 4. S 5. S 6. RHS 三角形的邊角關係 s-07 8-s-08 y t h a g o r e a n T h e o r e m
能力指標分年細目 3- 內角與外角 8-s-03 能理解凸多邊形內 角和以及外角和公 式 8-s-0 能理解三角形的基 本性質 將章首頁圖片內容 以動畫演出 引導 學生從生活動情境 中學習數學概念的 運用 已知台東市與綠島的距離為 33 公里 從上述的動畫中以 互動的方式進行生 活化與數學核心概 念的測驗 台東市與蘭嶼的距離為 90 公里 振華 綠島與蘭嶼相距 50 公里 溫蒂 綠島與蘭嶼相距 73
(Microsoft Word - 3-3 \245\277\244\361\273P\244\317\244\361.doc)
觀 念 篇 關 係 式 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 題 練 習 1. 時 速 60 (km/h) 前 進, 求 距 離 y ( 公 里 ) 與 時 間 x ( 小 時 ) 的 關 係 式 關 係 式 就 是 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 如 :y=60x 2. 媽 媽 的 年 齡 (x 歲 ) 比 女 兒
點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r
24 2-1 點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM
55202-er-ch03.doc
8 第 章 機 率 - 樣 本 空 間 與 事 件 列 出 擲 一 粒 骰 子 所 出 現 點 數 的 樣 本 空 間, 並 以 集 合 表 示 下 列 各 事 件 : A 是 出 現 點 數 為 偶 數 的 事 件, B 是 出 現 點 數 為 奇 數 的 事 件, C 是 出 現 點 數 大 於 的 事 件 骰 子 出 現 的 點 數 可 能 是,,, 4,5, 6, 因 此 出 現 點 數 的
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國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 一 冊 一 -1 單 元 一 數 線 與 整 數 的 加 減 運 算 主 題 一 正 數 負 數 的 意 義 一 正 數 和 負 數 : 尋 找 寶 藏 北 西 東 小 明 南 小 明 無 意 間 得 到 了 一 張 藏 寶 圖, 圖 上 的 黑 點 代 表 小 明 現 在 站 的 地 方, 每 個 腳 印 都 代 表 1 步 若 要 在
互補 : 若兩個角的和是一個平角 ( ), 我們稱這兩個角互補, 如圖, + = 80, 故我們稱 與 互補 互餘 : 若兩個角的和是一個直角, 我們稱這兩個角互餘, 如圖, + =90 0, 故我們稱 與 互餘 對頂角 : 兩直線相交會形成兩組對頂角 如右圖, 與 為對頂角, 3 與
點 線 角 : 在探討幾何學之前, 我們必須先瞭解構成平面圖形的基本元素 - 點 線 角 點 : 點是幾何學中所討論的最基本圖形 點僅用來表示事物所在的位置, 而不考慮它的形狀與大小 圖示記法讀法 點 或 點點 或 點 線 : 線可以想成是筆尖在紙上連續移動時所經過的路線, 因此線是沒有寬窄的 線可以分為曲線與直線, 如下圖 曲線 直線 直線 : 通過兩點用直尺所畫出來的線, 也就是說 : 兩點決定一直線
( 編號 :5-3-2) 教材重點 : 三角形內角和為 180 度的應用班學生姓名 : 下圖三角形的形的角 為 60 度, 角 為 60 度, 角 是幾度? 三角形的三個內角和是 180 度, 角 是 60 度, 角 也是 60 度, 所以 180 度減去角 和角, 剩下的就是角 的角度 180-6
編號 編號 5-3-1 教材重點 認識三角形的三個內角和為 180 度 下圖哪一個三角 哪一個三角形的內角 形的內角和最大 內角和最大 和最大 丙 乙 甲 你是怎麼知道的 把三角形的每個剪下來 拼湊在一起 發現一樣 大 每個三角形的內角 和都是 180 度 用量角器量三角形每 一個角 再把三個角度 加起來 甲三角形的內 角和是 180 度 乙 丙 三角形的內角和都是 180 度 一 先用量角器量 先用量角器量量
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國中數學基本學習內容補救教材 第二冊
五 -1 單 元 五 比 與 比 例 式 主 題 1 比 與 比 值 及 其 應 用 一 比 : 兩 個 數 量 以 : 區 隔, 藉 以 呈 現 兩 個 數 量 的 關 係 稱 為 比 例 如 : 一 年 四 班 有 15 個 男 生,18 個 女 生, 則 男 生 人 數 : 女 生 人 數 =15:18 練 習 大 小 兩 個 正 方 形 的 邊 長 各 為 3 公 分 與 2 公 分, 請
5 09/26-09/30-2. 探索三角形 SSS SAS AAA ( 或 AA) 相似性質 9-s-03 C-C-0. 紙筆測驗 6 0/03-0/07-3 相似三角形的應用. 能利用相似性質進行簡易的測量 2. 兩個相似三角形, 其內部對應的線段比, 例如高 角平分線 中線, 都與原來三角形的
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 05 學年度第 學期九年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 國中部數學科團隊 本學期學習目標. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係.
奇 妙 的 24 摘 要 從 撲 克 牌 中 隨 機 抽 取 4 張 牌 可 以 有 1820 種 牌 組, 在 這 1820 種 牌 組 中, 有 1362 組 可 經 由 四 則 運 算 的 方 式, 算 出 24 點, 有 458 組 無 解 快 速 求 解 的 方 法 有 相 加 法 因 數
金 門 地 區 第 55 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 科 別 : 數 學 組 組 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 奇 妙 的 24 關 鍵 詞 :24 點 四 則 運 算 ( 最 多 3 個 ) 編 號 :( 由 主 辦 單 位 填 寫 ) 奇 妙 的 24 摘 要 從 撲 克 牌 中 隨 機 抽 取 4 張 牌 可 以 有 1820 種 牌 組, 在 這 1820
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給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
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所謂電視尺寸是指螢幕對角線的長度 宏海 能力指標分年細目 二次方根的意 - 義 8-n-0 能理解二次方根的 意義及熟練二次方 根的計算 8-n-0 能求二次方根的近 似值 賣場有一款電視正在特賣 其螢幕長為 吋 寬 為 吋 你能算出這是幾吋的電視嗎 並找出其 適合觀賞的距離 吋. 公分 電視尺寸 最適觀賞距離 公分 吋 0 00 吋 0 0 0 吋 0 0 吋 6 6 0 吋 8 60 吋 - 根式的運算
授 課 老 師 章 節 第 一 章 教 學 教 具 間 3 分 鐘 粉 筆 CNC 銑 床 教 學 內 容 CNC 銑 床 之 基 本 操 作 教 材 來 源 數 值 控 制 機 械 實 習 Ⅰ 1. 了 解 CNC 銑 床 的 發 展 2. 了 解 CNC 銑 床 刀 具 的 選 用 3. 了 解
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-1 點 直線 圓之間的關係 例題 1 切線性質之應用如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點 已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑 隨堂練習 1 如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點 已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L OP
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五 本 要 點 補 助 款 之 請 撥 及 核 結, 依 下 列 規 定 辦 理 : ( 一 ) 補 助 經 費 由 本 署 直 接 撥 付 至 地 方 政 府 經 費 代 管 學 校 及 其 他 學 校 ( 二 ) 聯 絡 處 及 校 外 會 應 檢 附 收 據, 向 經 費 代 管 學 校 或 地 方 政 府 辦 理 核 銷, 原 始 支 出 憑 證 由 經 費 核 銷 單 位 留 存 備 查
1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 9 圖 形 (A) 有 一 條 對 稱 軸 其 餘 的 圖 形 都 沒 有 對 稱 軸, 這 是 因 為 對 於 每 一 個 圖 形, 其 反 射 過 後 的 圖 形 為 都 無 法 與 原 圖 形 重 合 答 : (A) 6 小 貝 在 計 算 器 上 鍵
1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 8 1 小 學 中 年 級 卷 參 解 答 1 算 式 8 + 等 於 (A) (B) 8 (C) 12 (D) 32 (E) 8 8 + = 12 答 : (C) 2 假 設 今 天 是 星 期 四, 請 問 十 天 後 是 星 期 幾? (A) 星 期 一 (B) 星 期 二 (C) 星 期 三 (D) 星 期 六 (E) 星 期 日 今 天 的 七 天
NCKU elearning Manual
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所 3 學 分 課 程, 及 兩 門 跨 領 域 課 程 共 6 學 分 以 上 課 程 學 生 在 修 課 前, 必 須 填 寫 課 程 修 課 認 定 表, 經 班 主 任 或 指 導 教 授 簽 名 後 始 認 定 此 課 程 學 分 ) 10. 本 規 章 未 盡 事 宜, 悉 依 學 位
95 年 訂 定 96 年 11 月 修 正 97 年 10 月 修 正 100 年 2 月 修 正 101 年 4 月 修 正 102 年 1 月 修 正 103 年 4 月 修 正 103 學 年 度 入 學 新 生 適 用, 舊 生 可 比 照 適 用 1. 研 究 生 須 於 入 學 後 第 二 學 期 開 學 前 選 定 指 導 教 授, 經 課 程 委 員 會 認 定 後 方 得 繼 續
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試題 空間中決定一平面的條件有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140064 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 不共線的相異三點 ;() 一線及不在此線上一點 ;() 二相交相異直線 ;(4) 二平行直線 空間中任意二直線的相互關係有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140065 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 平行 ;() 重合 ;() 相交於一點
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遞迴數列
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九 -2 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 六 冊 主 題 二 機 率 的 計 算 二 機 率 怎 麼 算? 想 一 想 : (1) 投 擲 一 枚 公 正 硬 幣 一 次, 會 出 現 哪 幾 種 情 形? 這 些 情 形 各 自 發 生 的 機 率 是 多 少? 會 不
國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 六 冊 九 -1 單 元 九 機 率 的 概 念 主 題 一 認 識 機 率 一 機 率 是 什 麼? 想 必 大 家 一 定 都 看 過 氣 象 預 報, 也 一 定 都 聽 過 降 雨 機 率 下 表 為 某 一 週 氣 象 預 報 : 日 期 9 /15 9/16 9/17 9/18 9/19 9/20 9/21 降 雨 機 率 10%
題 目 : 箭 在 弦 上 -- 弓 箭 祕 密 再 探 究 摘 要 在 上 的 研 究 之 中, 我 們 列 舉 出 仍 未 探 討 的 題 目 及 問 題, 利 用 這 的 研 究 課 程 加 以 驗 證 在 實 驗 結 果 中 發 現, 加 入 箭 頭 有 助 於 落 點 的 集 中, 而 加
中 華 民 國 第 52 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 類 別 : 物 理 類 科 別 : 自 然 科 組 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 箭 在 弦 上 -- 弓 箭 祕 密 再 探 究 關 鍵 詞 : 弓 箭 箭 頭 落 點 飛 行 距 離 編 號 : 題 目 : 箭 在 弦 上 -- 弓 箭 祕 密 再 探 究 摘 要 在 上 的 研 究 之 中, 我 們 列
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中 華 民 國 第 55 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 最 佳 團 隊 合 作 獎 080418- 封 面 翻 轉 世 界 -12 解 遊 戲 學 校 名 稱 : 新 北 市 三 峽 區 三 峽 國 民 小 學 作 者 : 指 導 老 師 : 小 六 黃 羚 芝 小 六 吳 宛 芸 陳 素 敏 楊 曜 源 小 六 張 子 亭 關 鍵 詞 : 平 面
題組一 文書排版
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(2011.08.04 修 訂 ) 目 錄 壹 舊 課 程 複 製 到 新 課 程 的 方 法... 1 一 將 舊 課 程 的 課 程 文 件 匯 入 新 課 程... 1 二 編 輯 新 課 程... 5 三 備 份 舊 課 程 資 料 還 原 至 新 課 程... 6 貳 元 課 程 (META COURSE) 說 明 與 應 用... 12 一 元 課 程 說 明... 12 二 利 用 元
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
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試 題 詳 解 與 分 析 第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 多 選 題 及 選 填 題 共 占 76 分 ) 一 單 選 題 (1 分 ) 說 明.. 第 1 題 至 第 題, 每 題 5 個 選 項, 其 中 只 有 1 個 是 正 確 的 選 項, 畫 記 在 答 案 卡 解 答
100 年 數 學 乙 考 科 指 考 試 題 關 鍵 解 析 前 言 民 國 98 年 起, 數 學 乙 考 科 測 驗 範 圍 限 縮 了 大 部 分, 僅 觸 及 大 學 管 理 學 院 與 商 學 院 所 用 的 部 分, 排 列 組 合 與 機 率 統 計 搖 身 一 變 成 出 題 的 主 角, 但 題 目 平 易 重 觀 念 今 年 的 數 學 乙 試 題 如 往 年, 重 視 基 本
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7 1 x y 基會試題 9 I 8 18 1 符號的簡記 x 第三章一元一次方程式 -1 xyz 1 4 x 4x x x 1500 x 1500x 4 y y x15 15x 15x x1.5 1.5x 1.5x x x x x 4 7 以符號代表數 式子的運算 1.. 4 7 x 4 7. x 4x 7 7-a-017-a-0 15x 15x 15x 1x 1x 1 1 x 簡記成 x (-1)
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Microsoft Word - 第二章第四節傳動機械_OK_.doc
第 四 節 傳 動 機 械 所 謂 傳 動 機 械, 泛 指 利 用 某 些 特 定 機 械 及 其 附 件 組 合, 來 達 到 傳 送 動 力 為 目 的 者 稱 之 倘 若 不 計 自 然 的 引 力 和 壓 力, 機 械 間 之 配 合 均 是 依 靠 直 接 接 觸, 才 能 將 動 力 順 次 地 傳 送 出 去, 並 依 照 接 觸 方 式 之 不 同, 其 傳 動 法 可 被 劃 分
第二十八單元相似形 ( ) 1. 下圖是 E F G H I J 六點在菱形 ABCD 四邊上的位置圖, 其中 EF GI HJ 將菱形分成甲 乙 丙 丁 戊 己六個平行四邊形 若 AG : GH : HD 5:10:9, AE : EB 3:5, 則下列哪一圖形與菱形 ABCD 相似? (A) 甲
第二十八單元相似形 ( ) 1. 下圖是 E F G H I J 六點在菱形 ABCD 四邊上的位置圖, 其中 EF GI HJ 將菱形分成甲 乙 丙 丁 戊 己六個平行四邊形 若 AG : GH : HD 5:10:9, AE : EB 3:5, 則下列哪一圖形與菱形 ABCD 相似? (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 99 基測二 18 ( ) 2. 下圖表 x` 示 D E F
肆 研 究 方 法 進 行 本 研 究 前, 我 們 首 先 對 研 究 中 所 用 到 名 詞 作 定 義 定 義 : 牌 數 : 玩 牌 時 所 使 用 到 撲 克 牌 數 次 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 重 複 分 牌 次 數 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 每 次 分
摘 要 魔 術 師 讀 心 術 背 後 到 底 藏 了 多 少 祕 密? 一 般 觀 眾 心 裡 常 有 著 這 句 話 本 研 究 我 們 破 解 了 魔 術 師 透 過 數 學 規 律 加 上 置 中 手 法 完 成 一 連 串 騙 人 撲 克 牌 遊 戲, 也 學 會 了 如 何 透 過 整 理 表 格 方 式, 來 找 出 數 學 規 律, 也 更 懂 得 如 何 把 簡 單 數 學 技 巧
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下
外積體積與行列式 陳清海 老師 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積
長跨距暨挑高建築特殊結構系統之調查分析
第 一 章 1 2 3 4 第 二 章 5 6 7 8 1. 2. 9 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 10 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 11 第 三 章 p 12 b / B 0.75 13 p 14 15 D = l 20 +10 16 17 p l D l D l D 3 p 4 3 18 19 20 21 22 23 24 25
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解 難 之 趣 屯 門 區 小 學 數 學 比 賽 特 刊 第 十 五 屆 二 零 零 五 年 四 月 二 十 三 日 雞 兔 同 籠 雞 兔 同 籠 問 題 在 數 學 競 賽 常 會 碰 到, 它 出 自 孫 子 算 經 一 書, 是 中 國 古 代 名 題 之 一 雖 然 這 個 古 老 問 題 已 沒 有 甚 麼 實 際 意 義, 但 是 現 實 生 活 中 類 似 雞 兔 同 籠 的 問
寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939
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綠 野 仙 蹤 繪 本 創 意 教 案 教 案 設 計 / 朱 秀 芳 老 師 28 寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939 故 事 簡 介 綠 野 仙 蹤 心 得 分 享 [99] 處 處 有 仙 蹤 繪 本 創 意 教 案 設 計 者 : 朱 秀 芳 適 用 年 級 : 授 課 時 間 :200 教 學
EATery Concept Concept (1) 440,000,000 598,000,000 35.9% 598,000,000 762,800,000 27.5% 167,300,000 223,600,000 33.7% 53,800,000 64,900,000 20.6% 64,90
Frost & Sullivan 26 (1) 21 23 (i) 2011 2012 (ii) Frost & Sullivan (1) 139 EATery Concept Concept (1) 440,000,000 598,000,000 35.9% 598,000,000 762,800,000 27.5% 167,300,000 223,600,000 33.7% 53,800,000
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研 習 完 本 章, 將 學 會 1. 節 點 電 壓 法 --------------------------------------------01 2. 節 點 電 壓 法 之 特 例 -----------------------------------------08 3. 網 目 分 析 法 --------------------------------------------15 4.
時間問題
解 難 之 趣 屯 門 區 小 學 數 學 比 賽 特 刊 第 十 六 屆 二 零 零 六 年 四 月 二 十 二 日 時 間 問 題 驟 眼 看 去, 時 間 問 題 很 容 易, 要 中 學 生 去 解 決 連 小 學 生 都 可 以 輕 易 解 決 的 戇 居 題 目, 簡 直 有 點 侮 辱 智 慧 不 過, 同 學 或 許 都 會 見 識 過 以 下 例 子 : 例 一 : 一 口 井 0
五 四 五 說 ( 代 序 ) 李 澤 厚 劉 再 復 I I II IV V VII 第 一 篇 五 四 新 文 化 運 動 批 評 提 綱 001 003 006 009 011 014 019 附 論 一 中 國 貴 族 精 神 的 命 運 ( 提 綱 ) 021 021 022 026 02
劉 再 復 著 與 李 澤 厚 李 歐 梵 等 共 論 五 四 共 鑒 五 四 五 四 五 說 ( 代 序 ) 李 澤 厚 劉 再 復 I I II IV V VII 第 一 篇 五 四 新 文 化 運 動 批 評 提 綱 001 003 006 009 011 014 019 附 論 一 中 國 貴 族 精 神 的 命 運 ( 提 綱 ) 021 021 022 026 028 附 論 二 誰 是
課 程 簡 介 第 一 章 基 本 電 路 理 論 第 二 章 半 導 體 物 理 與 pn 接 面 二 極 體 元 件 分 析 第 三 章 二 極 體 電 路 分 析
電 子 學 ( 一 ) 課 程 簡 介 第 一 章 基 本 電 路 理 論 第 二 章 半 導 體 物 理 與 pn 接 面 二 極 體 元 件 分 析 第 三 章 二 極 體 電 路 分 析 第 四 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 第 五 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 之 直 流 偏 壓 分 析 第 六 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 之 交 流 小 訊 號 分 析 基 本 電 路
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視 為 優 講 燈 1 講 開 場 簡 報 隨 齡 發 視 變 資 訊 討 論 檢 討 會 與 會 將 夠 幾 點 與 變 關 視 變 兩 種 視 習 慣 個 問 專 業 員 問 題 講 1 燈 2 隨 齡 長 會 視 變 視 變 會 動 變 難 閱 讀 電 腦 視 變 會 裡 絆 體 風 險 藥 護 務 駕 車 動 難 會 響 並 導 慮 鬱 過 適 當 應 對 視 變 繼 續 動 並 減 關 慮
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陸 海 空 軍 服 制 條 例 附 圖 中 華 民 國 96 年 11 月 7 日 總 統 府 公 報 第 6769 號 附 件 附 圖 一 : 軍 常 服 制 式 圖 附 圖 一 之 一 : 陸 軍 男 性 軍 官 士 官 士 兵 軍 常 服 一 茶 綠 色 大 盤 帽, 淺 茶 綠 色 襯 衣, 黑 色 領 帶 二 茶 綠 色 上 下 裝, 上 裝 為 翻 領 對 襟 式, 衣 襟 上 下 各
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104 年 公 務 人 員 特 種 考 試 身 心 障 礙 人 員 考 試 考 試 別 : 身 心 障 礙 人 員 考 試 等 別 : 四 等 考 試 類 科 : 財 稅 行 政 金 融 保 險 科 目 : 會 計 學 概 要 一 甲 公 司 X5 年 12 月 31 日 應 收 帳 款 帳 齡 分 析 表 如 下 : 帳 齡 期 間 金 額 預 估 回 收 率 未 到 期 $350,000 99%
研究一：n人以『剪刀、石頭、布』猜拳法猜拳一次，決定一人勝
嘉 義 市 第 三 十 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 猜 拳 決 勝 負 的 最 佳 策 略 探 討 科 別 : 數 學 科 組 別 : 國 小 組 關 鍵 詞 : 剪 刀 石 頭 布 黑 白 猜 編 號 : 壹 摘 要 在 玩 遊 戲 時 往 往 需 要 運 用 猜 拳 剪 刀 石 頭 布 或 黑 白 猜 來 決 勝 負 或 是 分 組, 但 人 數 一 多, 便 無 法
幼教數學與國小一年級數學新綱之能力指標分析
幼 小 數 學 教 材 銜 接 問 題 探 討 觀 亭 國 小 孫 志 成 壹 前 言 生 活 教 育 之 養 成 是 學 校 教 育 首 要 之 指 標, 使 得 不 管 是 幼 教 老 師 或 國 小 教 師 在 任 課 時 間 上 都 負 擔 很 大 的 量, 因 此 在 課 程 教 材 上 大 都 以 專 業 教 授 及 專 家 所 編 撰 的 課 本 為 主, 數 學 教 學 亦 是 如
Microsoft Word - Draft circular on Sub Leg - 11 Apr (chi)_Traditional
檔 號 : (20) in EDB(SCR) 25/58/11 Pt.4 教 育 局 通 告 第 3/2012 號 2012 年 教 育 ( 修 訂 ) 規 例 2012 年 教 育 ( 豁 免 )( 提 供 非 正 規 課 程 的 私 立 學 校 )( 修 訂 ) 令 2012 年 香 港 考 試 及 評 核 局 條 例 ( 修 訂 附 表 1) 令 [ 注 意 : 本 通 告 應 交 ( a )
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資 料 庫 正 規 化 正 規 化 的 概 念 何 謂 正 規 化 (Normalization)?? 就 是 結 構 化 分 析 與 設 計 中, 建 構 資 料 模 式 所 運 用 的 一 個 技 術, 其 目 的 是 為 了 降 低 資 料 的 重 覆 性 與 避 免 更 新 異 常 的 情 況 發 生 因 此, 就 必 須 將 整 個 資 料 表 中 重 複 性 的 資 料 剔 除, 否 則
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嶺 東 科 技 大 學 財 務 金 融 系 日 四 技 學 生 專 業 學 習 地 圖 02 年 6 月 28 日 0 學 年 度 第 二 學 期 財 務 金 融 系 課 程 委 會 議 通 過 名 稱 微 積 分 ( 一 ) 微 積 分 ( 二 ) 個 體 經 濟 學 商 業 套 裝 軟 體 ( 二 ) 應 用 統 計 學 ( 一 ) 期 貨 與 選 擇 權 國 際 - 管 理 學 保 險 學 商
二 兒 歌 選 用 情 形 ( ) 2 ( ) ( ) 1. 158 2.
兒 歌 內 容 分 析 ~ 以 台 灣 省 教 育 廳 發 行 之 大 單 元 活 動 設 計 內 之 兒 歌 為 例 ~ 摘 要 82 76 158 一 兒 歌 類 目 的 分 布 情 形 ( ) 26 23 22 16 61 38.6 16.5 ( ) 二 兒 歌 選 用 情 形 ( ) 2 ( ) ( ) 1. 158 2. 第 一 章 緒 論 第 一 節 研 究 動 機 79 第 二 節 研
H2 空間中的平面與直線 2-1 空間中的平面 1. 能了解空間中平面的法向量.當給定空間中一點及法向量時,能寫出通過此點的平面方程式. 2. 能利用法向量與平面外一點求平行平面的方程式. 3. 能利用外積求通過不共面三點的平面方程式. 4. 能利用法向量求兩平面的夾角. 5. 能計算空間中點到平面
高中數學第四冊 (99 課綱 ) H1 空間向量 H2 空間中的平面與直線 H3 矩陣 H1 空間向量 1-1 空間概念 1. 能了解直線與直線的關係,包含兩歪斜線. 2. 能了解直線與平面的關係,包含直線與平面垂直. 3. 能了解平面與平面的關係,包含兩平面的夾角. 4. 能了解三垂線定理及其基本應用 1-2 空間向量的坐標表示法 1. 能了解空間坐標系. 2. 能了解空間中兩點距離公式與中點公式.
99 數 學 高 中 課 綱 數 學 I( 函 數 ) 一 數 與 式 1. 數 與 數 線 2. 數 線 上 的 幾 何 二 多 項 式 函 數 1. 簡 單 多 項 式 函 數 及 其 圖 形 2. 多 項 式 的 運 算 與 應 用 3. 多 項 式 方 程 式 4. 多 項 式 函 數 的
第 一 節 (13:30-14:10): 高 中 的 教 材 99 綱 要 ~ 高 中 數 學 99 綱 要 vs. 95 綱 要 第 二 節 (14:20-15:10): 高 中 的 教 法 孟 德 爾 遺 傳 學 ( 機 率 ) 80 分 算 好 嗎?( 常 態 分 配 圖 ) 設 計 包 裝 紙 ( 碎 形 ) 鋪 石 板 (Tessellations) 身 高 油 畫 ( 黃 金 比,Fibonacci
(Microsoft Word - \246\250\301Z\272\336\262z.doc)
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(3) 澳 門 特 別 行 政 區 之 稅 務 知 識 及 (4) 商 法 典 ( 二 ) 重 新 批 准 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會 計 員 之 筆 試 科 目 如 下 : (1) 澳 門 特 別 行 政 區 之 稅 務 知 識 及 (2) 商 法 典 ( 三 ) 考 試 範
核 數 師 暨 會 計 師 註 冊 委 員 會 首 次 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會 計 員 及 重 新 批 准 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會 計 員 之 考 試 規 章 根 據 十 一 月 一 日 第 72/99/M 號 法 令 核 准 之 會 計 師 通 則 第 四 條 第 三 款 之 規 定, 申 請 首 次 註 冊 為 註 冊 會 計 師 / 專 業 會
形 線 畫 教 學 課 程 設 計 設 計 者 : 劉 欣 敏 形 線 畫 教 學 之 課 程 設 計, 依 據 文 獻 探 討, 設 計 為 期 九 週, 共 十 八 堂 課 形 線 畫 教 學 課 程 分 課 程 理 念 課 程 設 計 教 學 內 容 說 明 之 一 課 程 理 念 : 課 程
00 年 度 新 竹 縣 東 安 國 小 藝 術 好 好 玩 教 師 專 業 學 習 社 群 第 十 次 會 議 紀 錄 * 日 期 :00//8( 五 ) * 時 間 :3:30 :30 * 主 席 : 佳 綺 * 紀 錄 : 佳 綺 * 成 員 : 欣 敏 杏 湄 孝 婕 * 地 點 : 二 甲 教 室 * 會 議 內 容 : 一 欣 敏 分 享 形 線 畫 教 案 與 課 程 教 學 二 形
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香 港 數 學 盃 2016 模 擬 試 題 小 三 香 港 數 學 盃 2016 模 擬 試 題 小 學 三 年 級 卷 一 選 擇 題 限 時 20 分 鐘 1. 200 + 208 + 200 +195 + 192 +205 + 210 + 190 +207 +193=? A. 1800 B.1900 C.2000 D.2200 2. 947+(372-447)-572+1928-(267-72)-33
《數學奠基活動模組示例》
02 學 年 就 是 要 學 好 數 學 (JUST DO MATH) - 子 計 畫 一 : 數 學 活 動 營 數 學 奠 基 活 動 模 組 示 例 : 分 數 假 帶 互 換 _ 國 小 三 四 年 級 桌 遊 活 動 名 稱 : 分 數 心 臟 病 編 號 : ( 由 主 辦 單 位 填 寫 ) 設 計 者 : 新 竹 縣 蔡 寶 桂 老 師 壹 活 動 器 材 : 一 分 數 撲 克 牌,
關 於 教 育 部 學 習 拍 立 得 教 育 部 於 (103) 年 度 整 合 各 縣 市 政 府 部 屬 機 構 大 學 及 民 間 的 數 位 資 源 與 服 務, 依 不 同 類 型, 分 別 匯 集 於 教 育 大 市 集 教 育 百 科 教 育 媒 體 影 音 教 育 部 學 習 拍
教 育 部 學 習 拍 立 得 - 教 師 版 使 用 手 冊 v2.0 2015.10.31 關 於 教 育 部 學 習 拍 立 得 教 育 部 於 (103) 年 度 整 合 各 縣 市 政 府 部 屬 機 構 大 學 及 民 間 的 數 位 資 源 與 服 務, 依 不 同 類 型, 分 別 匯 集 於 教 育 大 市 集 教 育 百 科 教 育 媒 體 影 音 教 育 部 學 習 拍 立 得
第五週 第六週 第七週 第八週 第九週 3/8-3/ 14 3/17-3 /21 3/24-3 /28 3/31-4 /4 4/7-4/ 11 第二章平面幾何圖形 2-1 平面圖形 (1) 第二章平面幾何圖形 2-2 垂直 平分與線對稱 (1) 第一次段考第二章平面幾何圖形 2-3 尺規作圖 (1)
高雄市立蚵寮國中 102 學年度第二學期八年級數學學習領域彈性課程教學計畫表 一 教材來源 : 選用 ( 南一版第四冊 ) 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 (20) 節 三 各單元內涵分析 : 週次第一週 第二週 第三週 第四週 2/11-2 /14 2/17-2 /21 2/24-2 /28 3/3-3/ 7 教材準備週 第一章數列與等差級數 1-1 數列 (1) 第一章數列與等差級數
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ERIC BIOLOGY 2-2 染 色 體 與 細 胞 分 裂 焦 點 7 染 色 體 學 說 ( 染 色 體 遺 傳 學 說 ) 提 出 者 洒 吞 & 巴 夫 來 (1) 親 代 的 基 因 經 由 精 子 和 卵 遺 傳 給 後 代, 基 因 必 位 於 生 殖 細 胞 內 (2) 根 據 孟 德 爾 互 交 實 驗 結 果, 精 子 和 卵 對 遺 傳 的 貢 獻 相 同 推 論 精 子
四 修 正 幼 兒 園 師 資 類 科 應 修 學 分 數 為 四 十 八 學 分, 並 明 定 學 分 數 抵 免 之 相 關 規 定 及 規 範 修 習 幼 兒 園 教 育 專 業 課 程 之 最 低 年 限 ( 修 正 條 文 第 五 條 ) 五 發 給 修 畢 師 資 職 前 教 育 證 明
公 告 及 送 達 教 育 部 公 告 中 華 民 國 103 年 11 月 21 日 臺 教 師 ( 二 ) 字 第 1030167058A 號 主 旨 : 預 告 修 正 幼 稚 園 及 托 兒 所 在 職 人 員 修 習 幼 稚 園 教 師 師 資 職 前 教 育 課 程 辦 法 草 案 依 據 : 行 政 程 序 法 第 一 百 五 十 一 條 第 二 項 準 用 第 一 百 五 十 四 條
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96 課 本 習 題 解 答 習 題 - 一 基 礎 題 在 任 一 個 有 個 小 孩 的 家 庭 中, 設 每 個 小 孩 是 男 生 或 女 生 的 機 率 均 為 下 列 敘 述 何 者 正 確? 若 已 知 個 都 是 男 孩, 則 老 三 是 男 孩 的 機 率 為. 若 已 知 老 大 和 老 二 都 是 男 孩, 則 老 三 是 男 孩 的 機 率 為 若 已 知 個 小 孩 性 別
life930106
下 象 棋 暗 棋 一 象 棋 是 什 麼? 象 棋 是 中 國 老 祖 先 發 明 的, 下 象 棋 可 以 讓 頭 腦 變 聰 明, 所 以 象 棋 是 益 智 遊 戲 象 棋 的 棋 子 有 二 種 顏 色 : 黑 色 和 紅 色 請 你 數 一 數, 總 共 有 多 少 個 棋 子? - 1 - 休 閒 教 育 領 域 教 材 範 例 紅 色 的 棋 子 有 16 個 黑 色 的 棋 子 也
名 師 峻 堯 老 師 地 理 考 科 壹 前 言 ( 筆 者 對 於 指 定 考 科 的 界 定 ) 105 103~104 20 107 2
/ / 105 / / 7 0 2 4 8 76 / / 7 0 2 5 2 8-1 / / 06 2619621 #311 / E-mail / periodical @ hanlin.com.tw / http://www.worldone.com.tw http://www.worldone.com.tw NO.00847 ZXCV 名 師 峻 堯 老 師 地 理 考 科 壹 前 言 ( 筆
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PARADOXES AND WRONG PROOFS 蔡 宗 龍 數 學 系 國 立 彰 化 師 範 大 學 13/Apr/2014 OUTLINE: I. 邏 輯 悖 論 II. 機 率 悖 論 III. 無 窮 悖 論 IV. 幾 何 悖 論 高 中 學 生 數 學 研 究 人 才 培 育 計 畫 http://en.wikipedia.org/wiki/file:drawinghands.jpg
及 國 民 中 小 學 組 織 規 程 之 規 定 辦 理, 其 班 級 數 之 計 算 依 實 際 班 級 數 ( 幼 教 班 除 外 ) 四 捨 五 入 計 算 : 1. 十 二 班 以 下 者 : 得 置 教 師 兼 教 導 總 務 主 任, 教 師 兼 教 務 訓 育 組 長 各 一 人 2
臺 北 縣 所 屬 國 民 小 學 教 師 員 額 編 制 要 點 修 正 對 照 表 修 正 規 定 名 稱 : 臺 北 縣 所 屬 國 民 小 學 教 師 員 額 編 制 要 點 一 為 規 範 臺 北 縣 ( 以 下 簡 稱 本 縣 ) 所 屬 國 民 小 學 教 師 員 額 編 制 標 準 設 置 原 則 及 加 置 原 則, 特 訂 定 本 要 點 二 本 縣 教 師 員 額 計 算 標
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ERIC BIOLOGY 第 二 章 遺 傳 2-1 染 色 體 與 細 胞 分 裂 焦 點 1 染 色 體 的 構 造 染 色 體 染 色 質 (1) 細 胞 分 裂 的 間 期 : 遺 傳 物 質 呈 細 網 狀, 染 色 質 分 散 於 細 胞 核 中 (2) 細 胞 分 裂 的 過 程 : 染 色 質 逐 漸 聚 集 成 絲 狀 染 色 體 可 數 出 染 色 體 數 目 (3) 人 類 細
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國 立 政 治 大 學 圖 書 資 訊 與 檔 案 學 研 究 所 碩 士 班 修 業 要 點 98 年 10 月 9 日 98 學 年 度 第 1 學 期 第 2 次 所 務 會 議 通 過 105 年 5 月 16 日 104 學 年 度 第 2 學 期 第 2 次 所 務 會 議 修 正 通 過 (105 學 年 度 起 入 學 生 適 用 ) 一 本 要 點 係 為 國 立 政 治 大 學
數 學 教 育 第 三 十 四 期 (2/202) 整 數 這 個 名 稱, 避 免 混 淆 例 如 : 我 們 可 以 說, 對 於 一 切 的 完 整 數, 以 下 的 等 式 成 立 : + r + r 2 + + r = r r, 其 中 r 不 講 不 知, 生 活 在 現 代 社 會 的
EduMath 34 (2/202) 在 成 長 中 不 斷 優 化 的 數 學 定 義 梁 子 傑 循 道 中 學 在 第 三 十 三 期 的 數 學 教 育 之 中, 刊 登 了 兩 篇 涉 及 數 學 定 義 的 文 章, 刺 激 起 我 的 一 些 想 法, 故 此 也 來 湊 湊 熱 鬧, 談 談 我 對 數 學 定 義 的 看 法 在 過 去 幾 年, 的 確 多 了 一 些 數 學 教
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試題 下列敘述何者正確? (1) 線段的射影一定是線段 () 線段的射影長不可能比原線段長 () 兩歪斜線在一平面 上的投影不會相交 (4) 兩平行線在同一平面的投影,必為兩平行線. 編碼 140016 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) ; 可能是一點. () ; 最多與原線段等長. () ; 如圖, L 1 投影成 L, L 投影成 L 4, L 1, L 歪斜,但 L, L 4 有交點.
目 錄 引 言 P.2 5 11 18 25 261400 署 長 陳 鴻 祥 先 生 講 辭 P.6 10 副 署 長 營 運 服 務 吳 啟 明 先 生 講 辭 穩 步 求 進 P.11 15 An Invisible Man Meets the Mummy 副 署 長 規 管 服 務 陳 帆
2009 年 署 長 簡 報 會 號 外 目 錄 引 言 P.2 5 11 18 25 261400 署 長 陳 鴻 祥 先 生 講 辭 P.6 10 副 署 長 營 運 服 務 吳 啟 明 先 生 講 辭 穩 步 求 進 P.11 15 An Invisible Man Meets the Mummy 副 署 長 規 管 服 務 陳 帆 先 生 講 辭 P.16 22 員 工 提 問 及 部 門
的 課 程 計 畫 多 數 是 書 商 而 不 是 老 師 規 畫 的, 老 師 只 做 上 傳 的 動 作, 所 以 沒 人 會 去 看 這 份 計 畫! 但 是 我 發 現 日 本 的 教 學 指 導 ( 含 計 畫 與 教 案 ) 也 是 現 成 的 是 理 科 研 究 會 ( 民 間 的 理
日 本 九 州 參 訪 心 得 --- 教 學 計 畫 篇 --- 教 案 與 評 量 的 改 進 日 本 經 驗 --- 一 致 性 與 多 樣 性 吳 月 鈴 在 日 本 觀 課 時, 心 裡 在 想 --- 日 本 的 理 科 教 的 內 容 這 麼 基 礎 啊! 教 法 幾 乎 都 是 學 生 觀 察 實 做, 老 師 在 最 後 做 個 整 理 給 個 結 論, 沒 有 補 充 知 識 或
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臺 灣 集 中 保 管 結 算 所 股 份 有 限 公 司 辦 理 認 購 ( 售 ) 權 證 帳 簿 劃 撥 作 業 配 合 事 項 部 分 條 文 修 正 條 文 對 照 表 附 件 1 修 正 條 文 現 行 條 文 說 明 第 五 章 認 購 ( 售 ) 權 證 之 權 利 行 使 第 一 節 認 購 權 證 採 證 券 給 付 或 以 證 券 給 付 之 認 購 權 證 發 行 人 得 選