ok321 直線方程式

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皑貌贾
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1 主題一直線的斜率斜率的定義:設 Ax, y,, B x y 為直線 L 上相異兩點, y y () 若 L 非鉛直線 ( x x ),則 L 的斜率 m x x () 若 L 為鉛直線 ( x x ),則稱直線 L 無斜率斜率的變化: () 直線由左下向右上傾斜時,斜率為正 () 直線由左上向右下傾斜時,斜率為負 () 直線為水平線時,斜率為 0 直線為鉛直線時沒有斜率同時,直線的傾斜程度愈大,斜率的絕對值也愈大與 x 軸正向的夾角: 設直線 L 的斜率為 m,其與 x 軸正向所夾的有向角為 ( 0 80, 90),則 m tan y y BC 說明: m tan x x AC

2 例題設 O 0,0, A,, B,6 為坐標平面上三點, () 求直線 OA 直線 OB 直線 AB 的斜率 () 若點 D 的坐標為 D 6,,則 A, B, D 三點是否共線? Ans:() 5 m, m, m,() 三點共線 OA OB AB 0 () 直線 OA 的斜率為直線 OB 的斜率為直線 AB 的斜率為 0 5 () 直線 AD 的斜率為, 6 8 因為直線 AD 的斜率等於直線 AB 的斜率, 而兩直線有公共點 A, 因此兩線應為同一直線, 即 A, B, D 三點共線類題若 P 6,6, Q,7, Rk,8 Ans: 三點共線,求 k 值三點共線時,直線 PQ 的斜率等於直線 PR 的斜率, 即 k 6 k 6

3 例題右圖中, A, B, C, D, E 為坐標平面上的五個點 y 將這五個點的坐標 xy, 分別代入 x, 問哪一個點代入所得的值最大? Ans:B 由斜率的定義知: y x y 0 表點 x 0 xy, 與原點 O 0,0 所成直線的斜率而 5 條直線 OA, OB, OC, OD, OE 中, 以直線 OB 的斜率最大, 故點 B 代入 y 的值最大 x 類題如圖,將圓六等分的點分別為 A, B, C, D, E, F, 設 AB, BC, CD, DE, EF, FA 六邊所在斜率分別為 m, m, m, m, m 5, m 6,下列何者正確? () m 最大 () m 最小 () m m () m 0 (5) mm mm m5m6 0 Ans:()()()(5) BC, EF 皆為水平線, m m 5 0, AF, CD 方向為左下而右上且互相平行,則 m m6 0, AB, DE 方向為右下而左上且互相平行,則 m m 0, 故 m m6 m m5 m m 故選 ()()()(5)

4 例題已知直線 L 與 x 軸正向的夾角為, tan,求 L 的斜率 Ans: 如圖, BC y y ABC 中, tan m, AC x x 故斜率 m 類題已知直線 L 的斜率為,若 L 與 x 軸正向所夾的有向角為, 求 tan Ans: 如圖, tan tan 80 OAB tan OAB OB OA 故 tan y y y y x x x x m

5 5 主題二直線方程式點斜式:通過點 0, 0 y y mx x 0 0 A x y 且斜率是 m 的直線方程式為 y 截距為 b 且斜率為 m 的直線方程式 y mx b ( 斜截式 ) 設直線 L 通過相異兩點 Ax, y,, () 若 x x,則直線 L 的方程式為 y y y y x x x x ( 兩點式 ) B x y, () 若 x x,則直線 L 為鉛直線,方程式為 x x 若直線 L 的 x 截距為 a, y 截距為 b,且 a, b 均不為 0, x y 則直線 L 的方程式為 ( 截距式 ) a b 5 一般式:設直線 L : ax by c 0 () 當 b 0 時, L 的斜率為 a b () 當 b 0時, L 為無斜率的鉛直線

6 6 例題求下列各直線的方程式: () 通過點,,斜率為的直線 () 通過點,,斜率為 0 的直線 () 通過點 0,,斜率為的直線 Ans:() x y8 0,() y 0, () x y 0 利用點斜式,得 () 直線方程式為 y x () 直線方程式為 y 0x () 直線方程式為 y x 0,即 x y8 0,即 y 0,即 x y 0 類題求下列各直線的方程式: () 通過點,,斜率為的直線 () 通過點,,斜率為 0 的直線 () 通過點,0,斜率為的直線 Ans:() x y 6 0,() y 0, () x y 6 0 利用點斜式,得 () 直線方程式為 y x () 直線方程式為 y 0x,即 x y6 0,即 y 0 () 直線方程式為 y 0 x,即 x y 6 0

7 7 例題 5 求通過 A,, B,5 Ans: x y 0 兩點的直線方程式 5 6 直線 AB 的斜率為 m 利用點斜式,得 y5 x,化簡得 x y 0 類題 5 求通過 A,, 0, 5 Ans: x y 直線 AB 的斜率為 m 0 B 兩點的直線方程式利用點斜式,得 y 5 x 0,化簡得 x y 5 0 例題 6 求下列直線方程式: () 斜率為且 y 截距為的直線 () x 截距為且 y 截距為的直線 Ans:() x y 0,() x y 0 () 因為直線的 y 截距為,所以直線通過點 (0,), 又斜率為,利用點斜式,得方程式為 y-()=(x-0), 整理得 y=x-,或 x-y-=0 () 因為直線的 x 截距為, y 截距為, 0 所以直線通過點 (,0),(0, ),其斜率為, 0, 利用點斜式,得方程式為 y x 0 整理得 x y 0

8 8 類題 6 求下列直線方程式: () 斜率為且 y 截距為 0 的直線 () x 截距為且 y 截距為的直線 Ans:() x-y=0, () x-y+=0 () 利用斜截式,得方程式為 y x 0, 整理得 y x,或 xy 0 x y () 利用截距式,得方程式為, 整理得 x y 0 例題 7 求直線 L : x y 5 0 的斜率 Ans: 5 將直線化成 y x 形式, 利用一次函數概念得斜率為另解令 x= y= L 通過 A(,), 令 y=0 x=5 L 通過 B(5,0), 故 L 的斜率為 m= 0 5

9 9 類題 7 求下列直線的斜率: () x y5 0 x y () Ans:(),() () 5 x y 5 0 y x,斜率為 x y () x y y x,斜率為另解 0 直線通過 A(,0),B(0,), 故斜率為 0 = 例題 8 在坐標平面上,根據方程式 x5y7 0, x y 0, x y 0,畫出三條直線 L, L, L,如圖所示試選出方程式與直線間正確的配置? () L : x 5y 7 0 ; L : x y 0 ; L : x y 0 () L : x y 0; L : x 5y 7 0 ; L : x y 0 () L : x y 0; L : x 5y 7 0 ; L : x y 0 () L : x y 0; L : x y 0 ; L : x 5y 7 0 (5) L : x y 0; L : x y 0 ; L : x 5y 7 0 Ans:() L 斜率 L 斜率 L 斜率, 而 x 5y 7 0, x y 0, x y 0 斜率分別為,,, 5

10 0 L : x y 0, L : x y 0, L : x 5y 7 0 答案為 () 類題 8 如右圖,三直線 L : y m x b, L : y m x b, L : y m x b, 下列有關 m, m, m, b, b, b 之選項,何者正確? () m m m () m m m () b b b () b b b (5) b b b Ans:()() 直線依逆時鐘方向旋轉後,斜率變大, m m 0 m, 由 L, L, L 三線與 y 軸交點位置判斷: P0, b 最低, 0, b b b 答案為 ()() P b 最高,

11 主題三直線的平行與垂直設兩相異非鉛直直線 L, L 的斜率分別為 m, m () L // L m m () L, L 互相垂直 mm

12 例題 9 坐標平面上四條直線 L, L, L, L 與 x 軸 y 軸及直線 y x的相關位置如圖所示,其中 L 與 L 垂直,而 L 與 L 平行設 L, L, L, L 的方程式分別為 y m x, y mx, y m x 以及 y m x c 試問下列哪些選項是正確的? () m m m () m m () m () m m (5) c 0 98 學測 Ans:()()() () : m m m () :因 L L, L // L,故 L L mm () : 0m, m m m () : m m 又 m m m m m m (5) : L 與 y 軸交點為 (0, c),知 c<0 故選 ()()() 類題 9 如圖所示,坐標平面上一鳶形 ABCD,其中 A, C 在 y 軸上, B, D 在 x 軸上,且 AB AD, BC CD, AC 5 令 m m AB BC m CD m DA 分別表直線 AB BC CD DA 之斜率試問以下哪些敘述成立? () 此四數值中以 m AB () 此四數值中以 m BC m m () BC CD () m m AB BC 為最大為最小 (5) m m 0 9 學測 CD DA Ans:()()(5) () : m CD 最大 () () : BC CD 對 y 軸成對稱 () :因為 5, AB 與 BC 不垂直 (5)

13 故選 ()()(5) 例題 0 已知 A,, B,0, C, k 為 ABC 的三頂點且 A 90,求 k 的值 Ans: 0 直線 AB 的斜率為, k k 直線 AC 的斜率為 B 因為 A 90,即 AB AC, k 所以,解得 k - - C A 類題 0 三直線 L : x y 0, L : x y 6 0, L : x ky 0, 若 L, L, L 圍成一直角三角形,求 k 值 Ans: 或可能情形有 () L L,() L L 由 () 得 k, k 由 () 得 k k 故 k 或例題已知點, A,直線 L :x y 0, () 求過 A 且與 L 平行的直線 L 之方程式 () 求過 A 點且與 L 垂直的直線 L 之方程式 Ans:() x y8 0,() xy 6 0

14 直線 L : x y 0 的斜率為 () 因為 L // L,所以 L 的斜率也是, 利用點斜式,得 L y x :, 整理得 L 的方程式為 x y8 0 () 因為 L L,所以 L 與 L 的斜率乘積為, 得 L 的斜率是利用點斜式,得 L : y x 整理得 L 的方程式為 x y 6 0, Hide L[] Hide L[] L L : y = -0x-80 L : y = 0x+0 A L 類題已知點, A 及直線 L : x y 5 () 通過 A 點且平行於 L 的直線方程式 () 通過 A 點且垂直於 L 的直線方程式 Ans:() x y 7, () x y () 設所求直線為 x y k,, 代入得 k 7, 直線為 x y 7 () 設所求直線為 x y k,, 代入得 k, 直線為 x y

15 5 Hide L[] Hide L[] L : y = -0x-0 L L A L : y = 05x 例題已知 A0,, 5, Ans: 5xy 5 B,求 AB 的中垂線方程式 5 5 AB 的中點 M, 且 m AB, 因此垂直 AB 的直線斜率為 5, AB 的垂直平分線為過 M 且斜率為 5 的直線,由點斜式得 5 5 y 5x,即 5xy 5 A - A: (00, -0) - j: y = 50x-50 5 B B: (50, -0) j 類題 5, A, B,7,, C 為坐標平面上的三個點, 求過 B 點且垂直直線 AC 的直線方程式 Ans: x y 0 AC 斜率, 9 過 B 點且垂直直線 AC 的直線斜率為, 所求直線方程式為 y 7 x,

16 6 即 x y 0 B B: (0, 70) 6 L: y = 0x+0 L A: (-50, 0) A C C: (0, -0) 例題求通過點,8 且與兩軸所圍成三角形面積為 6 的直線方程式 Ans: x y 0 或 6x y 0 設直線為 y 8 mx,則 8 x 截距為, y 截距為 8 m, m 與二軸所圍成面積為 8 8 m 6 8 m m, m 8 m m 9m 6m 6 0, () 因為 D ,故無實根 () 8 m m 9m 60m 6 0 m 當或 m, m,則直線方程式為 y 8 x 即 x y 0, 當 6 6, m,則直線方程式為 y 8 x 6,

17 7 即 6x y 0 A 8 6 C Area CBO = 60 cm O B - 解二 x y 令所求直線為 a b 8 a b ab 6 若 ab : 8 a b ab ab,, 若 ab : 8 a b 無實數解 ab 或, 8 x y x y x y 或 6x y 8 類題設直線 L 之斜率為且和兩坐標軸所圍成的三角形的面積為,求 L 的方程式 Ans: xy 或 x y 設 L : y x b, y 截距為 b 且 x 截距為和兩軸圍成的三角形面積 b b b b 8 8 b,

18 8 故直線為 y x 8,即 xy 或 x y 8 A 6 Area ABC = 0 cm L L: y = -x+80 C 5 B

19 9 主題四二元一次聯立方程式的解 ax b y c 0, 二元一次聯立方程式 ( a, b, c 0 ) ax b y c 0 a b () 當時,聯立方程式恰有一組解 ( 即二直線恰交一點 ) a b a b c () 當時,聯立方程式無解 ( 即二直線互相平行 ) a b c a b c () 當時,聯立方程式有無限多組解 ( 即二直線重合 ) a b c

20 0 例題解下列聯立方程式 x y 6 x y 6 x y 6 () () () x y x y xy Ans:() x=, y=,() 無解, () 無限多組解 () () () x y 6 x y 將 +,得 5x=5,即 x=,代入得 y=,故此聯立方程式的解為 x=, y= x y 6 x y 將,得 x+y=,此與式是互相矛盾的也就是說,任何滿足式的解 (x, y) 絕不會是式的解,故此聯立方程式無解 x y 6 xy 將,得 x+y=,此與式相同,即兩式的解完全一樣也就是說凡是 x+y=6 的解如 (,0),(0,6), 等都是聯立方程式的解,故此聯立方程式有無限多組解類題下列聯立方程式哪些有無限多組解? x y 5 y 6 x y 5 () () () x y x 0x0 y005 x y xy 6 () x y (5) x y Ans:()()

21 (),恰有一組解 () 交於點,6 () 5,有無限多組解 () xy 6 x y xy 6,有無限多組解 xy 6 (5) x y xy x y x y 6,,聯立方程式無解 6 故選 ()() 例題 5 ax 6y 5a, 設聯立方程式無解,求 a 的值 x a 7 y 9 7 a Ans: ax 6y 5a 因為聯立方程式無解, x a 7 y 9 7a a 6 5a 所以 a7 9 7a a 6 由 a 7 a a 7 a 7a 0, 可推得解得 a= 或當 a= 時, 6 5,所以 a= 不合當 a= 時, 6 5,因此 a=

22 類題 5 a x y a 設聯立方程式的幾何意義是兩平行線, x a y a 求 a 的值 Ans: a a a 圖形為兩平行線,則 a a, a a a 6 a 5a 0 a 或 a= a 當 a= 時,,所以 a= 不合當 a= 時,,因此 a= 例題 6 求點, A 關於直線 L : x y 0的對稱點坐標 Ans:(, ) 設點 A 關於直線 L 的對稱點為 B(x, y) 先求通過 A 點且與 L 互相垂直的直線 AB, 設 AB :x+y=k,代入 A(,), 得 k=,得直線 AB 方程式為 x+y=, 其次求直線 AB 與 L 的交點 M, x y 0 解聯立方程式得 x=, y=0, x y 0 交點 M(,0) 為 AB 的中點, x y 所以,,0, 得 xy,,

23 另解 P(t-,t) 在 L:x-y+=0 上,L 的斜率為若 AP L, 則, t AP 的斜率 = t-=t- t=0, t 此時,A 在 L 的投影為 M(,0), 設對稱點 B(x,y), 則 x y, 0, 解得 x=,y=, 即 B(,) 類題 6 求點, A 關於直線 xy 0的對稱點 Ans:(,) 設點 A 關於直線 L 的對稱點為 B(x, y) 先求通過 A 點且與 L 互相垂直的直線 AB, 設 AB :x+y=k,代入 A(,), 得 k=,得直線 AB 方程式為 x+y=, 其次求直線 AB 與 L 的交點 M, x y 0 x 0 解聯立方程式得 x y 0 y 交點 M(0,) 為 AB 的中點, x y 所以, 0,,得 (x, y)=(,) 例題 7 設 A,, 0,5 B,直線 L : y mx m,其中 m 為實數若直線 L 與 AB 相交,求 m 的範圍 Ans: m 7 5

24 將直線 L 改寫為 y+=m(x+),因此直線 L 的斜率為 m,過點 P(, ) 如右圖若直線 L 與 AB 相交,則直線 PA 的斜率 m 直線 PB 的斜率又因為直線 PA 的斜率為, 5 5 直線 PB 的斜率為 0 7,所以 m 7 5 類題 7 已知直線 L : y mx m,其中 m 為實數, A,, B, 若直線 L 與 AB 相交,求 m 的範圍 Ans: m 或 m 將直線 L 改寫為 y+=m(x-), 因此直線 L 的斜率為 m,過點 P(, ) 如右圖若直線 L 與 AB 相交,則 m 直線 PA 的斜率或 m 直線 PB 的斜率, 又因為直線 PA 的斜率為, ( ) 直線 PB 的斜率為, 所以 m 或 m, 例題 8 坐標平面上 A(,), 直線 L:x+y-5=0, 求 () A 在 L 上的投影點 () A 到直線 L 的 ( 最短 ) 距離 Ans:() (,),() 5 () 過 A 作 L 的垂直線 L:x-y+k=0 因 L 通過 A(,), 故 8-+k=0 k=5,

25 5 即 L:x-y-5=0 (),L:x+y-5=0 () ()+() 5x-5=0 x=, 代入 () 6-y-5=0 y=, 即投影點 B(,) () A 到直線 L 的 ( 最短 ) 距離為 AB = ( ) () 5 類題 8 坐標平面上 A(,), 直線 L:x-y-5=0, 求 () A 在 L 上的投影點 () A 到直線 L 的 ( 最短 ) 距離 Ans:() (,),() () 過 A 作 L 的垂直線 L:x+y+k=0 因 L 通過 A(,), 故 ++k=0 k=, 即 L:x+y+=0 (),L:x-y-5=0 () ()+() x-=0 x=, 代入 () +y+=0 y=, 即投影點 B(,) () A 到直線 L 的 ( 最短 ) 距離為 AB = ( ) ( ) 點到直線的距離 : 坐標平面上 P(x0,y0) 到直線 L:ax+by+c=0 的距離為 ax0 by0 c a b 證明過 P 且與 L 垂直的直線設為 L:bx-ay+k=0 (), L 通過 P, 故 bx0-ay0+k=0, 即 k=ay0-bx0, L:ax+by+c=0 (),

26 6 ()b+()a (b +a bk ca )x+(bk+ca)=0 x= a b, ()a-()b (-a -b ak cb )y+(ak-cb)=0 y= a b, bk ca 即投影點為 B( a b d(p,l)= AB = ak cb ) a b, ( ) ( ) ( x b ay bx ca ) ( y a ay bx cb ) a b a b = = = a x b x aby b x ca a y b y a y abx cb ( ) ( ) a b a b a ( ax by c) b ( by ax c) ( a b ) ( ax0 by0 c) ( a b ) ( a b ) = ( ax0 by0 c) a b ax by c a b = 0 0 例題 9 求 A(,5) 到直線 L:x+y-9=0 的距離 Ans: d= 5 類題 9 求 A(,) 到直線 L:x-y+=0 的距離 Ans: ( ) 0 d= 5

27 7 例題 0 在坐標平面上,A(5,),B(,), 若 P(x,0) 使得 AP BP 為最小, 則 () x= () 此最小值為 Ans:() 5,() 0 作 A 對 x 軸的對稱點 A(5,), 則 AB 的斜率為, 故 5 B A AB 的方程式為 y-= (x+), 即 x+y-5=0 Q P 5 () 令 y=0 得 x= 5 () 最小值為 - A' AB = (5 ) ( ) 6 6 =0 類題 0 在坐標平面上,A(5,),B(,), 若 P(x,0) 使得 AP BP 為最大, 則 () x= () 此最大值為 Ans:(),() 7

28 8 A 5 0 P - A' B - 作 A 對 x 軸的對稱點 A(5,), 則 AB 的斜率為, 故 5 AB 的方程式為 y+= (x+), 即 x-y-=0 () 令 y=0 得 x= () 最小值為 AB = (5 ) ( ) 6 7

29 9 okex 設 A,, B,5, C 0,, D, a, () 若 AB // CD,則 a () 若 AB CD,則 a () 若 B, C, D 共線,則 a Ans:() 7,(),() () 若 AB // CD,則 AB 與 CD 斜率相等, 6 D 5 a 0 a+=8 a 7 B () 若 AB CD,則 5 a 0 A (a+)= a= () 若 B, C, D 共線,則 BC與 CD 斜率相等, 5 a 0 0 a+= a= C 5 平行四邊形之二邊在 xy 7 與 xy 0上,一頂點為 5,5,求另二條直線方程式 Ans: xy 5, x y 0 如下圖,

30 0 6 A: (500, 500) A B D L : y = 0x+ C L : y = -067x+ 5 L 過 A 且平行於 L:x+y=7 的直線為 x+y=5, 過 A 且平行於 L:x-y+=0 的直線為 x-y=0 設三直線 L :x y 5, L : x y, L : ax y, 若 L, L, L 不能圍成一三角形,則 a 的值為何? 7 Ans:, 或 L, L, L 不能圍成一三角形, () L L: () L L a a= A A: (000, 50) a a= () L, L, L 交於一點, - - L L 解 x-y=5,x+y=, 得交點為 (, ),代入 L a- = a= 7

31 一位海盜欲將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方,海盜就以島上的一棵大王椰子樹為中心,由大王椰子樹向東走步埋他的第一件珠寶;由大王椰子樹向東走步,再往北走 a 步埋他的第二件珠寶;最後由大王椰子樹向東走 a 步,再往南走 8 步埋他的第三件珠寶事隔多年之後,海盜僅記得 a 0 及埋藏珠寶的三個地方在同一直線上那麼 a 的值為何? Ans:6 如右圖, A(,0),B(, a), C(a, 8),因 A B C 三點共線,故 a0 a8 a a(a-)=8(a+8) a -a-6=0 (a-6)(a+)=0 a=6 或 a=( 不合 ) B(,a) A(,0) 0 C(a,-8) 5 設坐標平面上三點 A0,, B5,,, 5 () AB 的垂直平分線方程式 () BC 的垂直平分線方程式 () ABC 的外心坐標 C,求: Ans:() 5x y5, () 6xy 5,() 5 5, () AB 的中點 M( 5, 5 AB 的中垂線斜率為 5, ), 斜率為, 5 AB 的中垂線方程式為 5x-y=5 () BC 的中點 N( 7, ), 斜率為 BC 的中垂線斜率為,, A C 5 B

32 BC 的中垂線方程式為 x+y= 5, 即 6x+y=5 () 解 5x-y=5,6x+y=5 得外心為 ( 5, 5 ) 6 設 A 0,0, B 0,0, C 0,6, D 0,6 如果直線 y mx 7 那麼 m 的值為何? 95 學測為坐標平面上的四個點將四邊形 ABCD 分成面積相等的兩塊, Ans: D: (000, 600) C: (000, 600) 6 D C G Area GHA B = 997 cm H A: A (000, 000) B: (000, 000) 5 0 B 矩形 ABCD 的面積為 60, 高 AB =0, 故 L:y=f(x)=m(x-7)+ 中 f(0)=m+,f(0)=7m+,m+-7m+=6 m= 7 如右圖,在坐標平面上有一個各小方格都是正方形且各邊平行坐標軸的田字如果將 9 個頂點的坐標 xy, 代入 6x y k,問:會得到幾個不同的 k 值? Ans:7 個

33 A D G y P = -07 fx = x+y P B E H C F K P 如上圖,6x-y=k 的斜率為, 故直線可過 A,B,CD,E,FG,H,K 共七條 8 如右圖,兩直線 L, L 之方程式分別為 L : x ay b 0, L : x cy d 0 試問下列哪些選項是正確的? () a 0 () b 0 () c 0 () d 0 (5) a c Ans:()(5) L 的斜率 >0,x 截距 b>0 a<0,b<0 a L 的斜率 >0,x 截距 d<0 c<0,d>0 c 又 > a c a < c a>c 9 平面上四點 A,, B,, C, 和 O 0,0 過 B 作直線 OC 的平行線交直線 OA 於 D 點,求 D 點的坐標 Ans: 8, 6 如右圖,

34 直線 OA :x+y=0 (), 直線 OC :x+y=0, 過 B 且與 OC 平行的直線為 BD :x+y=8 (), D 6 A: (-0, 0) B: (0, 0) C: (0, -0) D: (-7, 5) ()-() x=8 x= 8, A B ()-() y=6 y= 6, O C 5 8 故 D(, 6 ) - 0 若直線 L 過 P,6,且 L 在兩軸上的截距之和為 0,試求直線 L 的方程式及直線 L 與兩軸所圍出的三角形面積 Ans: 直線方程式為 x y 5,三角形面積為或直線方程式為 xy,三角形面積為 8 x y 設 L:, a b 直線 L 過 P,6, 故又 a+b=0 b=0-a, 代入 () 6a+(0-a)=a(0-a) a -7a+60=0 (a-5)(a-)= a+b=ab (), a b x y () a=5 b=5 L: x+y=5, 5 5 而面積為 75 55= x y () a= b=8 L: x+y=, 8 而面積為 8=8

35 5 設直線 L 與直線 x y5 0 垂直,且與兩坐標軸所圍的三角形周長為,求直線 L 的方程式 Ans: x y 0 設 L:x-y=k, x 截距 k k,y 截距, k k 周長為 + + k k = 6 9 () k>0 k k 5k = k+k+5k= k=, L:x-y= () k<0 k k 5k = k+k+5k= k=, L:x-y= Show Plotted Points 6 x A = -0 y B = 0 x A +y B = 50 x A + y B + x A +y B = 0 B A

36 6 小明玩戰爭網路遊戲,在螢幕上有一坐標平面,飛機 P 以等速直線前進,在坐標, 的位置被發現,經過秒後到達坐標 0,,再經秒後,小明從原點選一方向發射一飛彈 R, 假設 R 也以直線前進且速率跟 P 相同,而且 R 剛好擊中 P 求 R 擊中 P 時的坐標 Ans:, Show Objects Show OQ 6 A B C P Q R -0-5 O Present Actions Show Action PQ Show Action RQ - - 如上圖, A(,),B(0,),C(8,),O(0,0) OC 的中點為 (,), 斜率為, 8 OC 的中垂線斜率為, 故方程式為 x-y=8-, 即 x-y+0=0 y= 代入得 x=, 故 Q(,) 在 ABC 中, M 為 BC 邊之中點,若 AB, AC 5, 且 BAC 0,求 tan BAM ( 化成最簡根式 ) 96 學測 Ans: 5 由餘弦定理知 BC = +5-5 cos0

37 7 =9+5-0 ( )=9, 7 BC =7 得 BM 由中線定理知 AB AC ( AM BM ) 9+5=( AM = AM +( 7 ) , 在 ABM 中, 由餘弦定理知 cos( BAM)= tan( BAM)=5 如右圖,平面坐標上二點 A 5,, B,6 各找 P, Q,滿足 AP PQ QB 有最小值 k 求 () P 點坐標 () Q 點坐標 () k 值,若在 x 軸 y 軸上 Ans:() P 7,0,() 0, Q,() 如下圖, 作 A 對 x 軸的對稱點 A(5,), 作 B 對 y 軸的對稱點 B(,6), 連 AB 交 x 軸於 P, 交 y 軸於 Q, AB 的斜率為 6, 5 由點斜式知 y+= (x-5),

38 8 即 x+y-=0, x=0 代入得 y=, 得 Q(0, ), y=0 代入得 x= 7, 得 P( 7,0) A: (50, 0) A': (50, -0) B' 6 B B: (0, 60) P: (5, 00) B': (-0, 60) Q: (00, 7) Q A -5 5 P - A' ax 8y c 5 若實數 a,b,c,d 使得聯立方程組有解, x y x by d 且聯立方程組無解, 則下列哪些選項一定正確? x y () a,() c=6,() b=,() d 9, ax 8y c (5) 聯立方程組無解 [ 學測 0] x by d Ans:()() ax 8y c x y 唯一解 : 有解 a 8 a a 8 c 無限多解 : a, c 6 x by d x y b d 無解 b, d 9

39 9 ax 8y c 又 x by d 若 a, 則 a 8 b 唯有一解若 a, c 6, b, d d 故選 ()() 無解 6 設 A(,),B(,5),C(5,),D(0,7),E(,) 及 F(8,6) 為坐標平面上的六個點若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個交點, 則 L 的斜率之最小可能值為 [ 學測 0] Ans:(7),(8) 直線 L 分別與 ABC DEF 各恰有一交點由圖形可看出直線 L 只能是二個三角形頂點的連線, 9 不可能切割三角形, 所以斜率最小為 m CF

章節

試題設有兩直線 L :7x y 與 L :x 9y 交於 P 點,求通過 P 點,且 x 軸截距為之直線方程式. 編碼難易中出處康熹自命題解答 x y 設過 P 點的直線方程式為 (7x y ) k(x 9y ),則 (7 k)x ( 9k)y ( k) (7 k)x ( 9k)y ( k), ( k) 令 y 得 x 為 x 截距, 7 k ( k) ( k) (7 k) 8k 8