-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則為收斂級數, 其和為 S= 1 r =

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秃双
9 years ago
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1 -1-1 等差數列與級數數列與級數數列 : 將一串數字排成一列, 形如 1,, 3, 4 k, 其中的 1 稱為第一項或首項稱為第二項依此類推 k 稱為一般項或第 k 項, 通常以 { } 或 k 是表示第 k 項為 k 的數列級數 : 將數列中的每一項用 + 連接起來, 讀作前項和, 記為 S = 級數連加性質的性質 : (1) () (3) ( k + k )= k = ( k - k )= c k k k + k - k k (4) c=c 057 等差數列 : 設數列 { }: 1,, 3 k, 若數列中任意相鄰的兩項, 後項減去前項的差值皆為一個定值 d, 則稱此數列為等差數列, 其中 d 稱為公差, 1 稱為首項, 稱為項數, 稱為末項, S 稱為前項總和 (1) k = 1 +(k-1)d () S = ( 1 + )= [ 1 +(-1)d] 058 等差中項 c 若 c 是一等差數列, 則必滿足 =, 我們稱為和 c 的等差中項 -1- 等比數列與級數 059 等比數列 : 設數列 { } : 1,, 3, k, 其中各項均不為 0, 若數列中任意相鄰的兩項, 後項除以前項皆等於一個定值 r, 則稱此數列為等比數列, 其中 r 稱為公比, 1 稱為首項, 稱為項數, 稱為末項, S 稱為前項總和 (1) k = 1 r k 1 () S 1, r 1 = 1(1 r ) 1( r 1), r 1 1r r1 060 等比中項 : 若 c 是一等比數列, 則必滿足 = c, 我們稱為和 c 的等比中項 - 9 -

2 -1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則為收斂級數, 其和為 S= 1 r =

3 --0 式的運算 --1 多項式的四則運算 063 多項式的定義設為正整數或 0, 且, 1,, 1, 0 皆為實數, 則不定元的多項式為 f (1) 稱為不定元或變數 () 若 0, 則稱為次數, 規定其為 0 或自然數, 通常記為 deg f (3), 1,, 1, 0 稱為係數, 若 0, 則又稱為領導係數, 0 亦稱為常數 (4) 若 1 1 0, 但 0 0 f 為零次多項式, 則稱, 則稱 f (5) 若為零多項式 (6) 零次多項式與零多項式均稱為常數多項式 064 多項式的相等設有兩個多項式的次數相同, 同次項的係數也相同, 則我們稱這兩個多項式相等 065 多項式的加法 & 減法兩個多項式 g 相加時, 只要將同次項的係數相加 & 相減即可, f 與若遇缺項則補 0, 記為 f()+g() 記為 f g 066 多項式的乘法兩單項式相乘時, 可將係數相乘, 相同不定元的指數相加即可設兩多項式分別為 : f m m1 4 3 則 f ; 與 g m m m m1 g 的乘積定義如下 : f g ( )... ( ) ( ) m 1 m m 由於多項式的不定元具有和數相同的性質, 可證明一樣會滿足實數的結合律交換律分配律若是兩個多項式 g 相乘時, 則先利用分配律展開後, 再利用結合律及 f 與交換律將同次項相加整理而成, 記作 f g 067 多項式的除法設有兩個多項式餘式 r, 此時 f g q r 其中, 餘式 f 與 g 且 g 0, 若 f 除以 f 稱為被除式, g 稱為除式, 如下列所示 : ; 其中 r ( ) 0 或 deg r( ) deg g( ) r 必須為 0 或其次數小於除式 g 的次數同樣地, 如果餘式為 0, 則稱 g 整除 f -- 餘式與因式定理 068 餘式定理 : 多項式 f 除以的餘式為 f ( ) 且因式定理 : 若多項式 f 滿足 f ( ) 0 且 0, 則 g, 就會得到一個商式 q 及即為 f 的因式, 反之亦然

4 --3 分式與根式的運算 070 分式 : 凡形如 f ( ) g ( ) 且 g 0 者稱之分式的加減法 : 將分母通分後再合併 071 分式的乘法 : 可直接分子相乘及分母相乘 07 分式的除法 : 轉化為被除式乘以除式的倒數 073 根式凡形如 A 者稱為根式, 其中根號內的 A 稱為被開方式, 稱為根號指數當為偶數時, 必須 A 高次根式的運算法則設,, c 為實數且 c 0, m, 皆為大於 1 的正整數, 當 m, 為偶數時,,, c >0 (1) m m () m m m (3) m m m (4) m m m c m m c c 075 雙重根式 : 設 0, 0且 y 0, 若 y, 則 y y - 1 -

5 -3-0 方程式 -3-1 多項方程式 076 一元二次方程式的解法 (1) 因式分解法 : 若方程式 c 0可因式分解為 ( )( ) 0, 則或 () 配方法 : 利用配方法將方程式整理為的完全平方式, 再開根號並移項求的解 4c (3) 公式法 : 若方程式 c 0, 則 077 根的性質判斷 : 設方程式 c 0, c 為實數且 0, 判別式 D 4c, 則 (1) D 0 方程式有兩實根 () D 0 方程式有兩相異實根 (3) D 0 方程式有兩相等實根 (4) D 0 方程式沒有實根 078 利用兩根找方程式若已知一元二次方程式的兩根, 則此方程式為 ( ) 根與係數的關係若為一元二次方程式 c 0的兩根, 則 c -3- 二元一次聯立方程式與二階行列式 080 二元一次聯立方程式 1 1y c 1 設二元一次聯立方程式且 c 0, 其滿足下表 : y c 序條件代數意義幾何意義特別名稱方程式恰有一組解坐標平面上為兩相交直線相容方程組 c 方程式有無限多組解坐標平面上為兩重疊直線相依方程組 c c 方程式無解坐標平面上為兩平行直線矛盾方程組 c 二階行列式設 c d 為實數, 則規定符號 c d 稱為二階行列式, 其值為 d d c c d, 其中 c d 稱為元素, 列與行的個數稱為階 08 二階行列式的性質 (1) 行列式中行列互換, 其值不變 () 行列式中兩行互換, 其值變號 (3) 行列式中兩列互換, 其值變號 (4) 行列式中任一列 ( 行 ) 可提出公因數 (5) 行列式中兩列 ( 兩行 ) 成比例時, 其值為零 (6) 行列式中某一列 ( 行 ) 皆為零時, 其值為零 c, 即

6 (7) 行列式中將某一列的 k 倍加到另一列時, 其值不變 (8) 行列式中將某一行的 k 倍加到另一行時, 其值不變 (9) 行列式任一列 ( 行 ) 的各項均為兩項之和, 則行列式可分解為兩個行列式之和 -3-3 三階行列式與 Crmer 公式 083 三階行列式其中, ij 稱為第 i 列第 j 行的元素, 行列的個數稱為階 084 三階行列式的基本性質 (1) 行列互換, 其值不變 () 行列式中兩行互換, 其值變號 (3) 行列式中兩列互換, 其值變號 (4) 行列式中任一列 ( 行 ) 可提出公因數 (5) 行列式中任兩列 ( 行 ) 的元素成比例時, 行列式值為零 (6) 行列式中任一列 ( 行 ) 的元素均為零時, 行列式值為零 (7) 行列式中將某一列的 k 倍加到另一列時, 其值不變 (8) 行列式中將某一行的 k 倍加到另一行時, 其值不變 (9) 當兩個行列式有任兩列 ( 行 ) 的元素相同時, 則行列式可相加 085 克拉瑪 (Crmer) 公式 (1) 二元一次聯立方程式的公式解 : 1 1y c1 設, 令 y c 1 1, c1 1 c, 1 c1 y c y 若 0, 則聯立方程式恰有一解, y 若 0, 且 0 或 0, 則聯立方程式無解 y 若 0, 且 0, 則聯立方程式有無限多組解 y z () 三元一次聯立方程式的公式解 : 1 1 y c1 z d1 設 y cz d 3 3 y c3z d3 c d c 令 c, d c, d c, c d c y d c d c z d d d y z 若 0, 則聯立方程式恰有一解, 即, y, z

7 -4-0 不等式及其運用 -4-1 一元二次不等式 086 一元一次不等式 : 設 0, 若為正數, 則 ; 若為負數, 則 087 一元二次不等式設, 則 (1) ( )( ) 0 或 () ( )( ) 0 或 (3) ( )( ) 0 (4) ( )( ) 絕對值不等式設為正數, 我們將絕對值不等式的求解概念整理如下 : (1) 若, 則其解為 ; 反之亦然 () 若, 則其解為或 ; 反之亦然 (3) 若, 則其解為 ; 反之亦然 (4) 若, 則其解為或 ; 反之亦然 -4- 絕對不等式 089 算幾不等式 (1) 設有兩個正實數, 必定滿足當等號成立時, 則 c d () 設有四個正實數 c d, 必定滿足 4 cd 4 當等號成立時, 則 c d c (3) 設有三個正實數 c, 必定滿足 3 c 3 當等號成立時, 則 c 1... (4) 設有個正實數 1, 必定滿足 1 當等號成立時, 則柯西不等式 (1) 設四個實數 y, 則必定滿足 ( )( y ) ( y), 當等號成立時, 則必定存在一實數 t, 使得 t ty, 反之亦然 () 設六個實數 c y z, 則必定滿足 ( c )( y z ) ( y cz), 當等號成立時, 則必定存在一實數 t, 使得 t ty c tz, 反之亦然 (3) 若 1 1 為實數, 則必定滿足 (... )(... ) (... ), 當等號成立時, 則必定存在一實數 t, 使得 1 t1 t t, 反之亦然

8 -4-3 二元一次不等式的圖形 091 設直線 L 為 y c 0且 0 (1) 若 y c 0 () 若 y c 0 (3) 若 y c 0, 則表示直線 L : y c 0的右半平面, 則表示直線 L : y c 0的左半平面, 則表示直線 L : y c 0的右半平面及直線 L 本身, 則表示直線 L : y c 0的左半平面及直線 L 本身 (4) 若 y c 線性規劃 09 線性規劃問題求解的一般步驟 : (1) 列式 : 利用題意, 設未知數為 y, 列出聯立不等式 () 作圖 : 將聯立不等式的圖形畫出, 其圖形即數對 ( 0, y 0) 的可行解區域, 並求出各頂點坐標 (3) 目標函數 : 依據題意, 將題目所求列出目標函數 (4) 找最佳解 : 將可行解區域的頂點坐標代入目標函數中, 即可求出最佳解

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式二次方根與畢氏定理因式分解一元二次方程式

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式二次方根與畢氏定理因式分解一元二次方程式給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd

-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則 為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設 為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則 為收斂級數, 其和為 S= 1 r =

-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則為收斂級數, 其和為 S= 1 r =