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位融戚
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1 試題空間中決定一平面的條件有四種 :(1), (), (), (4). 編碼難易易出處康熹自命題解答 (1) 不共線的相異三點 ;() 一線及不在此線上一點 ;() 二相交相異直線 ;(4) 二平行直線空間中任意二直線的相互關係有四種 :(1), (), (), (4). 編碼難易易出處康熹自命題解答 (1) 平行 ;() 重合 ;() 相交於一點 ;(4) 不共平面 ( 歪斜線 ) 空間中一直線 L 及一平面 E 的相互關係有三種 :(1), (), (). 編碼難易易出處康熹自命題解答 (1)L 與 E 相交於一點 ;()L 與 E 平行 ( 不相交 );()L 在 E 上空間中任意二平面的相互關係有三種 :(1), (), (). 編碼難易易出處康熹自命題解答 (1) 平行 ;() 重合 ;() 恰相交於一直線設 ABCD 為一邊長 9 的正四面體, E, F 分別為 DAB, DBC 的重心,則 EF 之長為. 編碼難易易出處北一女中段考題解答 E, F 分別為 DAB, DBC 之重心, DE DG, DF DH, 則 EF GH ( 1 AC )( G, H 分別為 AB, BC 之中點 ) 1 AC 1 9.

2 如下圖,正方形 ABCD 的邊長為 6,而 P, Q 各為 BC, CD 的中點,今將此正方形沿虛線向上摺起,使 B, C, D 三點重合,令此重合點為 R,則四面體 A-PQR 之體積為. 編碼難易易出處康熹自命題解答 9 所摺得的四面體,如圖 (B, C, D 重合為 R), AR AB 6, RP RQ CQ, 又 RP RQ, AR RQ, AR RP, 四面體的體積 1 ( RPQ 面積 ). AR 1 ( 1.. ).6 9. 設四面體 ABCD 中, AC = AD = BC = BD 10, AB = 6, CD = 16,若平面 ACD 與平面 BCD 的夾角為,則 sin 之值為. 編碼難易中出處康熹自命題解答如下圖, M 為 CD 中點, CM = MD = 8, 又 AM CD, BM CD 且 AC = AD = 10, BC = BD = 10, AM = BM = 6, 在 ABM 中, AB = AM = BM = 6, AMB = 60 = θ, sinθ = sin60 =.

3 若一個正四面體相鄰兩面的夾角為,求 sin =. 編碼難易中出處臺中一中段考題解答 AB = a, BE = a = AE, H 點為 A 在 BCD 之垂足,即為 BCD 之重心, 此為正四面體, EH a, AH = 6 1 AE EH a a 4 1 = 6 a, sin = 6 a =. a 如下圖所示, ABCD-EFGH 為一正四角錐形之平臺.已知正方形 ABCD 之邊長為 4,正方形 EFGH 之邊長為 10,側稜的長為 6,則 (1) 側平面 BCGF 與底平面之夾角的餘弦值為. () 對角線 FD 之長為. 編碼難易難出處師大附中段考題

4 解答 (1) ;()9 如圖, IJ = 6 =,又 IL = 4, JK = 10, JM =, 設平面 BCGF 與平面 EFGH 之夾角 θ, cosθ = = 1. 延長 BF 與 DH 交於 O 點, BD = 4, FH = 10, DH = 6, OFH cos = OD BD 4 中, OH FH 10 1 FH OH = 5 10 =, OD OD 4 5 OD 6, OH , FD = DH + FH DH. FH cos = 6 (10 ) , FD = 116 = 9. 下圖是一個正四角錐,它的底面是一個邊長為的正方形,此正四角錐的高為 1,則兩相鄰側面的夾角之度數為. 編碼難易難出處師大附中段考題解答 10 (1) AB,則 AE 1 AC,

5 () 於直角 AOE 中, AO AE OE ( ) 1, () F OB,使得 AF OB 且 CF OB, 則 AFC 即為平面 AOB 與平面 BOC 之二面角 ( 即為兩相鄰側面的夾角 ), 如圖, OG AO AG ( ) 1, AOB 之面積 1 AB.OG 1 OB. AF AF AB. OG OB,同理 CF, ( ) ( ) () (4) 如圖, cos( AFC).. 1,故所求夾角為 10. 下圖中,正四面體 ABCD 中, E, F 分別是 ABC 及 ACD 之外心,則 EF : BD. 編碼難易中出處臺中二中段考題解答 1: ABC 及 ACD 均為正, E, F 亦分別為 ABC 及 ACD 之重心, 則 AE 及 AF 之延長線分別交 BC 及 CD 於中點 M, N, 且 AE : AM AF : AN :,故 EF // MN 且於 BCD 中, MN // BD 且 MN BD 1, EF MN,

6 EF MN. MN BD 1,即 EF : BD 1:. 有一個直四角錐,它的底面是邊長為 8 的正方形,四個側面為全等的等腰三角形,若頂點 O 到底面 ABCD 的垂直距離為,則 (1) OA. () 平面 OAB 與平面 OBC 之夾角餘弦值為. 編碼難易難出處臺中二中段考題解答 (1) 41 ;() 16 5 (1) 如圖, O 在平面 ABCD 上的投影為 E,則 AE 1 AC 4,於直角 AOE 中, OA AE OE (4 ) 41. () F OB,作 AF OB, CF OB,則 AFC 即為平面 OAB 與平面 OBC 之二面角, 如圖, OH ( 41) 4 5,

7 OAB 之面積 1 AB.OH 1 OB. AF, 即 AF,則 AF 40 41,同理 CF 40 41, 於 ACF 中,由餘弦定理 : AF CF AC cos( AFC). AF. CF ( ) ( ) (8 ) 如下圖,四面體 ABCD,已知 BC BD, AD 平面 BCD,且 BC 7, AB 4, AD 15, (1) AC 的長度為. () 若平面 ABD 和平面 ACD 所夾二面角的度量為,則 sin 的值為.. 編碼難易中出處康熹自命題解答 (1) 5;() 7 0 (1) AD 平面 BCD AD BD, AD CD, AD BD, BD BC, 由三垂線定理可知 AB BC, ABC 中, BC 7, AB 4, 故 AC AB BC () 因 AD BD, AD CD BDC 為二面角 B-AD-C 的平面角,即 BDC, sin BC CD 7 0. 四角錐 S - ABCD 的底面 ABCD 為矩形,側稜 SA 垂直於底面 ABCD 且 SB 1, SC (1) 矩形 ABCD 面積為平方單位. () SA. 45, SD 0,則

8 編碼難易易出處師大附中段考題解答 (1)80;()1 (1) SA 垂直平面 ABCD 於 A, AB BC,由三垂線定理可得 SBC 90, 於直角 SBC 中, BC SC SB 16, SA 垂直平面 ABCD 於 A, AD CD,由三垂線定理可得 SDC 90, 於直角 SDC 中, CD SC SD 5, 矩形 ABCD 的面積 () ASD 中, SAD 90,且 SD 0, AD BC 16, SA SD AD 如下圖,若 A 點在平面 E 外,直線 L 在平面 E 上, D 點在直線 L 上,且 AB 平面 E, CB 直線 L, B, C 為垂足,若 AB 8, BC 6, CD 11,則 AD. 編碼難易易出處成功中學段考題解答 1 由三垂線定理可知 AC 垂直直線 L 於 C 點, 由 AC ,

9 由 AD 10 ( 11) 設點 A, B, C 在平面 E 上, AB BC, PA 垂直平面 E 於點 A,若 PA =, AB = 4, BC =1,則 PC =. 編碼難易易出處康熹自命題解答 1 PA AB, AB BC, PB BC ( 三垂線定理 ), PB = PA AB = 4 = 5, 又 PC = PB BC = 5 1 = 1. 平面 E 與平面 F 所夾銳角, E 上一個三角形的邊長分別為 5,1,1,且此三角形在平面 F 上的正射影也是一個三角形,其面積為 15,則. 編碼難易中出處康熹自命題解答 0 邊長 5,1,1 的三角形為直角三角形,其面積 , 0cos 15 cos,知 0. 設空間中有一點 O,在 E 平面的投影為 A, A 在平面 E 上的一直線 L 的投影為 B,而 L 上另有一點 C,若 BC = 1, OC = 1, AB = 4,則 OA =. 編碼難易中出處羅東高中段考題

10 解答連接 OB, OC,由三垂線定理可知 :OB BC, 在 OBC 中, OC = 1, BC = 1, OB = 1 1 = 5, 在 OAB 中, OB = 5, AB = 4, OA = 5 4 =. 將長方形 ABCD 沿著對角線 AC 摺起,使平面 ABC 與平面 ACD 互相垂直,已知 AB., BC 1,則 BD 之長編碼難易中出處康熹自命題解答 10 建立一個空間坐標系,使 A 作原點, C 在 y 軸正方向, B 在 xy 平面上, D 在 yz 平面上 ( 如下圖 ), 令 CAB, CAD 90 B( sin, cos, 0), D(0, cos(90 ), sin(90 )) = (0, sin, cos ), 又由 ABC 中可知 sin 1, cos, BD ( ) sin ( cos sin ) cos sin cos sin cos sin cos 設兩平面 E 1, E 交於一直線 L,平面 E 1 有一點 A, A 在平面 E 之正射影點 B,自 B 作 L 的垂直線垂足為 C,若 AB 6, AC 1,則

11 (1) BC. () 兩平面之銳交角為度. 編碼難易易出處康熹自命題解答 (1) 6 ;()0 (1) AB E, AB BC ABC 90, 由畢氏定理 : BC + AB AC, AB 6, AC 1, BC BC () AB E, BC L 於 C, 由三垂線定理知 AC L 於 C ACB 為此二面角的平面角,令之為,則 sin AB AC 6 1 1, 0. 有一矩形紙板 ABCD,將 D 點沿 AC 線段上摺至 ACD 位置,由 D 點作 ABC 平面之垂線 DH,其垂足 H 點恰好在 AB 邊上,已知 AB 4, BC,則此時 D, A, B, C 四點所形成的四面體 D - ABC 之體積為 1.( 提示 : 錐體體積底面積高 ) 編碼難易難出處建國中學段考題解答 7 D H AB,又 AB BC D B BC( 三垂線定理 ),又 AD AD', CD CD' 4, BD' 4 7, 解法一 AB 4, AD, BD 7 4 ( 7), 7 7 AD B 90, DH 4 4 解法二令 D'AB =,已知 AD', AB 4, BD' 7, AB AD' BD' 由餘弦定理知 cos AB AD' VD ABC ( 4). 4 7,故 sin 1 cos, 4 4

12 7 AD'H 中, D'H AD' sin VD ABC ( 4). 4 設四面體 A - BCD 中, AD BC, AB AC DB DC 6,若平面 ABC 與平面 BCD 所夾之兩面角度數為,則 sin 之值為. 編碼難易中出處高雄中學段考題解答 4 5 作 AH BC, AB AC DB DC, BH CH 1 AH ( 6) 1 5, DH ( 6) 1 5, ( 5) ( 5) 6 4 cos, sin 如圖, ABC 為等腰三角形, AB AC 5, BC 8, G 為其重心, D 為 BC 中點,將 G 點垂直拉升至與平面 ABC 距離為處得點 P,試求 PC. 編碼難易易出處成功中學段考題解答 1 ABC 為等腰三角形, AD 垂直平分 BC,

13 即 BD CD 4,且 AD AC CD 5 4, 1 又 G 為重心, GD AD , GC 17, PC GC GD CD 設正四面體 A BCD,其稜長為 6,試求下列問題: (1) AG 垂直平面 BCD 於 G 點,高 AG. () ABC, ACD 之重心分別為 H, I, HI. 編碼難易中出處建國中學段考題解答 (1) 6;() (1) 正四面體 ABCD, AG 垂直平面 BCD, 投影點 G 恰為 BCD 的重心, 由圖可看出, AG 正三角形的高 6 6. () HI M M 1 ( ) BD 1 6. 如圖,設空間中一點 A 在平面 E 上投影為 B, P, Q 均在平面 E 上,平面 APQ 與平面 BPQ 所交成的兩面角為 45,且 APQ 60, PA 8,則 PA 在平面 E 上之正射影長為.

14 編碼難易中出處建國中學段考題解答 10 如圖, AH PQ, BH PQ, APH 中, AP 8, PH 4, AH 4, AHB 中, AH 4, BH AB 6 BPH 中, BH 6, PH 4, 則 PA 在 E 上的正射影長 BP 4 ( 6) 10. 如圖所示,過矩形 ABCD 的頂點 D,作垂直此矩形所在平面之垂直線段 PD,若 PA 4, PD, PBA 60, 求 PC 的長度為. 編碼難易易出處建國中學段考題解答 5 PD AD 又 AD AB PA AB ( 三垂線定理 ),, AB CD 4 PC. 5 如圖,有一個底為正方形的正四角錐,每一稜長都是 10,設 E, F 分別為 OAB 與 OBC 的重心,則 EF.

15 編碼難易易出處高雄女中段考題解答 EP FP ( AB), EF EP. 四面體 ABCD 中, AB AC AD a, BC CD DB 6,若平面 ACD 與平面 BCD 所夾的兩面角為 60,則 (1) a. () 直線 AB 與直線 CD 的最短距離為. 編碼難易中出處高雄女中段考題解答 (1) 1 ;() (1) 如圖, AM a 9, BM 6 7, ABM AM BM AB 1 ( a 9) 7 a 中, cos60 AM BM a 9 7 a a 1, a 1.

16 () AB 與 CD 之最短距離即為 ABM 中 AB 邊上之高, AMB 1 1 的面積 AM. BM sin60 AB. h h, h 7 7. 設四面體 ABCD 中, AC AD BC BD 5, AB 4, CD 6,若平面 ACD 與平面 BCD 的夾角為,則 sin 之值為. 編碼難易易出處新竹高中段考題解答取 CD 中點 M, AM 5 4,同理, BM AM 4, ABM 為正, 60 sin. 一塊平置在桌面的長方體雪白巧克力 ( 如圖 ),長寬高分別是 10,8,6,若沿著通過 ABC 三點的平面垂直平面 DAB 切下,恰巧將體積平分成兩塊,則截面的面積為. 編碼難易中出處臺中一中段考題解答 60

17 平面 ABC 平分長方體體積且垂直於平面 DAB, AB 必平分矩形 DPQR,即 AB 過上方矩形對角線的交點 BQ DA, BR 10 8,作 AH 垂直 BR 於 H, RH, HB BR RH 6, AH DR 8, AB HB AH 10,截面積 AB 長方體高 60. 將 5 顆直徑為 11 公分的球裝進一個底面為正方形的長方體紙盒,若底面邊長為公分,則此紙盒的高度至少需公分,才能裝得下所有的球. 編碼難易中出處臺中女中段考題解答 18 如圖, 5 顆球的球心分別為四角錐的頂點,底部 4 顆球分別放置於長方形紙盒的四個角落, 由圖知 DM 6 AM 11 (6 ) 7, 紙盒的高度一長方形紙片 ABCD, AB 15, AD 0,沿著對角線 AC 摺起,使平面 BAC 與平面 DAC 互相垂直,則此時 B, D 兩點間的距離為. 編碼難易難出處康熹自命題解答 7 AC AB BC 5,自 B, D 兩點分別向 AC 作垂線,垂足為 G, H, 設 AG x, CG 5 x,則 15 x 0 (5 x) 5 x 400 (65 50 x x ) 50x 450 x 9 故 GH 5 9 7,, 又平面 BAC 與平面 ADC 互相垂直,所以 BG GD,則 BG DH ,

18 故 BD BG GH DH 直角 ABC 中, C 為直角, AC 15, BC 0,自 C 點作平面 ABC 的垂直線段 PC,已知 PC 9,則 P 點到斜邊 AB 的垂直距離為. 編碼難易中出處康熹自命題解答 15 設 PD AB 於 D,利用三垂線定理, PC 平面 ABC 且 PD AB,則 CD AB, AC BC 15 0 而 CD 即為直角 ABC 斜邊上的高,則 CD 1, AB 15 0 在直角 PCD 中, PC 9, CD 1,故 PD 如圖, A, B, C, D 共平面,而 P 點在平面 ABCD 外,則 A, B, C, D, P 五點共可決定個平面. 編碼難易易出處康熹自命題解答 7 平面 PAB,平面 PBC,平面 PCD,平面 PDA,平面 PAC,平面 PBD,平面 ABCD 共 7 個.有一正四面體 ABCD,一稜長為,一動點 P 之始點為 A,沿 ABC, BCD, ABD, ACD 之順序,在側面上移動,終點為 C,則 P 點經過之最短距離為.

編碼 140098 難易難出處鳳山高中段考題解答 7 依題意,將正四面體 ABCD 展開成側面圖最短距離 AC ( ) cos10 4 7. 不共面三射線 OX, OY, OZ 互成 0, P OX, OP, P 至平面 YOZ 的投影為 Q, Q 至 OY 的垂足為 R, 又 QR 交 OZ 於 S,則 PS OR.

19 編碼難易難出處鳳山高中段考題解答 7 依題意,將正四面體 ABCD 展開成側面圖最短距離 AC ( ) cos 不共面三射線 OX, OY, OZ 互成 0, P OX, OP, P 至平面 YOZ 的投影為 Q, Q 至 OY 的垂足為 R, 又 QR 交 OZ 於 S,則 PS OR. 編碼難易難出處鳳山高中段考題解答 11 4 PQ 平面 YOZ,且 QR 又 POR = 0, OR OY,由三垂線定理, PR OY,, 在 SOR 中, SOR = 0, OR, SR OR, OS, 則 POS 中,由餘弦定理得 : PS OP OS OP OS cos , 故 PS OR (8 4 ) ( ) 11 4.

20 如圖,將一張正方形的紙 ABCD 沿著對角線 BD 摺起使得 ABC = 60,則平面 ABD 與平面 BCD 的夾角為度. 編碼難易難出處康熹自命題解答 90 取 BD 的中點 O,則 AO BD, CO BD, a 設正方形的邊長為 a,則 AO CO, 在 ABC 中, AB BC a, ABC = 60 ABC 為正且 AC a,在 AOC 中,由餘弦定理得 : a a ( ) ( ) a cos( AOC) 0, a a AOC = 90,即二平面 ABD 與 BCD 的夾角為 90. 將長方形 ABCD 沿著對角線 BD 摺起,使 ABD 平面與 BCD 平面互相垂直,若 AB a, AD b,則 AC 之長 =. 編碼難易難出處康熹自命題

21 解答 a a b b 4 4 如圖, BD a b AH a ab b ab b HD b ( ) a b a b, 在 CHD 與 CBD 中,由餘弦定理 : b a ( ) CH a cos( CDB) a b b a a b a b, b a b a b a b 4 a CH b a b a ( a b ) b a b a a b b a b a b a b a b CH a, a b a a b b a b AC AH CH a b a b a b 有四個同大小半徑均為的球,在地上疊成三角垛,則此三角垛的高度為. 編碼難易中出處康熹自命題解答 6+ 6 如圖,設四個球的球心分別為 A, B, C, D,則 ABCD 為正四面體,且邊長為 6, AM DM 6 sin 60, AD 6, ( ) ( ) 6 1 cos( AMD), sin( AMD) AH AM sin( AMD) 6 所求高度 r AH 6 6.

22 坐標空間中,在 xy 平面上置有四個半徑為 5 的球 S, T, U, V,其中 S 與 T, T 與 U, U 與 V, V 與 S 均相切, 且四球球心形成一正方形.另有一個半徑為 5 的球 W 置於這四個球的上方,且與這四個球都相切,並保持穩定, 則第五個球 W 的最高點與 xy 平面的距離為. 編碼難易易出處鳳山高中段考題解答 10 5 如圖, 兩兩外切, 此正四角錐的邊長為 10 WM 10 sin 60 5, OM 5, WO 5 所求高度 r WO 考慮一個正立方體 ( 邊長 4) 六個面的中心點,有一多面體剛好是以此六個中心點為頂點的正八面體,試求此正八面體的體積為. 編碼難易中出處鳳山高中段考題解答如圖, AH DH, AHD 90, AD,則正八面體的邊長皆為, EM sin 60 6, OM 高 EO ( 6) ( ) 1 1 體積 ( 正方形 ABCD 的面積高 EO) ().

23 附圖為四角錐展開圖,四角錐底面為邊長的正方形,四個側面都是腰長為 4 的等腰三角形,則此四角錐的高度為. 編碼難易易出處 90 學測解答 14 BD 4 4, ED, h OD ED 將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接,可得四個小正四面體及一個正八面體,如圖所示.如果原四面體 ABCD 的體積為 1,那麼此正八面體的體積為. 編碼難易中出處 90 學測解答 6 邊長小 : 邊長大 1:, V : V 1:8 小大

24 1 正八面體體積 V 4V 1 4 ( 1 ) 6 8 大小. 有一鋼架結構,其底面為邊長單位的正八邊形,上面為邊長單位的正方形,側面有四個正方形及四個正三角形 ( 如圖 ( 一 )).從此鋼架上方作正射影,可得( 如圖 ( 二 )) 所示的圖形.則此鋼架的高度為單位. 圖 ( 一 ) 圖 ( 二 ) 編碼難易易出處 91 指考乙解答 ABC 為等腰直角三角形且 AC,故 BC, 直角 CDB 中, CD, BC DB ( 單位 ). 附圖為一單位正立方體 ABCD-EFGH( 即稜長 1),則 (1) 四面體 ACFH 的表面積為, () 體積為. 編碼難易易出處 9 指考乙解答 (1) ;() 1 由圖知四面體 ACFH 為正四面體, AC, 1 1 表面積 4 [ ( ) ],體積正立方體體積. 4 有一四面體 OABC,它的一個底面 ABC 是邊長為 4 的正三角形,且知 OA OB OC a ; 如果直線 OA 與直線 BC 間的公垂線段長 ( 亦即此兩直線間的距離 ) 是,則 a =. ( 以最簡分數表示 ) 編碼難易中出處 9 指考甲

25 解答 8 取 BC 的中點 M,作 MH OA,則 MH 為 OA 的公垂線段長, MH, AM 4, MH, AH OH a,又 OM a 4,在 MOH 中, ( a ) ( ) ( 4) a a 8. 6 空間中一長方體如圖所示,其中 ABCD 為正方形, BE 為長方體的一邊.已知 cot AEB,則 5 cot CED. 編碼難易中出處 100 學測解答 cot AEB 可設 AB 5, BE 6, ABCD 為正方形, BC CD 5 5 CE 7 CE 5 ( 6) 7,又 CD CE cot CED. CD 5 設 ABC 為等腰三角形, AB AC 5, BC 8, G 為其重心, D 為 BC 中點.若將 G 點垂直拉升至與平面 ABC 距離為處得點 P,則 PC 之長為.

編碼 140111 難易中出處課本題解答 1 GCD 中, CD 4 又 PG,得 1 1 5 4 1 GD AD,又 GC 4 1 17,,可得 PC 17 1.

() 四邊形 PQ R S 的面積為. 編碼 14011 難易中出處課本題解答 (1)1;() 6 141 建立一坐標系,如下圖所示.

26 編碼難易中出處課本題解答 1 GCD 中, CD 4 又 PG,得 GD AD,又 GC ,,可得 PC 如下圖所示,一長方體 ABCD-PQRS,已知 AP 8, AB 6, AD 10,今從頂點 P 處切下一塊,得新頂點為 Q, R, S.已知 P, Q, R, S 共平面,且 BQ 5, DS 4. (1) CR. () 四邊形 PQ R S 的面積為. 編碼難易中出處課本題解答 (1)1;() 建立一坐標系,如下圖所示. (1) 令 A (0, 0, 0), B (6, 0, 0), C (6, 10, 0), D (0, 10, 0), P (0, 0, 8), Q (6, 0, 8) R (6, 10, 8), S (0, 10, 8), Q (6, 0, 5), R (6, 10, k), S (0, 10, 4), 得 PQ (6, 0, ), PR (6, 10, k 8), PS (0, 10, 4) 共平面,,

27 k 8 0 ( k 8) ( 4) k 60,得 k 1,即 R (6, 10, 1),故 CR 1. () PQ (6, 0, ) 且 SR (6, 0, ), 四邊形 PQ R S 為平行四邊形, 其面積為 PQ PS

高二立體幾何

高二立體幾何 008 / 009 學年教學設計獎勵計劃高二立體幾何參選編號 :C00 學科名稱 : 適用程度 : 高二簡介一本教學設計的目的高中立體幾何的學習是學生較難理解而又非常重要的一個部分, 也是高中教學中較難講授的一個部分. 像國內的聯校