. 試解下列各不等式 () + x x >, 答 : () 5x 86x 6 <, 答 : () x 8x+ > x 6x, 答 : () 9x + 6 < x, 答 : 答 () < x < 5 () < x < () x 為任意實數解但 x () x 無解 5 解 () 同乘 ( ) 得 : x

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帛颖攀巫
5 years ago
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1 - 一元二次不等式基礎型. 試解下列各不等式 ()x+ > x, 答 : () x + x < x, 答 : () ( x+ )( x), 答 : 答 () x < () x > () x 解 ()x+ > x + > x x > x () 同乘 6 得 :( x) (x+ ) < 6(x ) 9x x < 8x 6 + 6< 8x 5x < x () 同乘 ( ) 得 : ( x+ )(x ) x

2 . 試解下列各不等式 () + x x >, 答 : () 5x 86x 6 <, 答 : () x 8x+ > x 6x, 答 : () 9x + 6 < x, 答 : 答 () < x < 5 () < x < () x 為任意實數解但 x () x 無解 5 解 () 同乘 ( ) 得 : x x < ( x 5)( x+ ) < < x< 5 () 5x 86x 6 < (x+ )(5x ) < < x < 5 () 原式 x + 6x 8x x+ > 9x x+ > (x ) > 但 ( ) 故 x 為任意實數解但 x x 恆成立 () 原式 9x x+ 6 < (x ) < 但 (x ) 恆成立, 故 x 無解. 解下列不等式 : () x + > 5, 答 : () x, 答 : 7 答 () x > 或 x < () x 解 () x+ > 5 (x+ ) > 5 (x+ ) 5 (x+ + 5)(x+ 5) > (x+ 7)(x ) > x> 或 x < 7 () x x x x + x ( ) ( ) ( )( ) ( x+ )( x ) x

3 . 若不等式 5x > kx + 的解為 x >, 則 k = 答解 5x > kx + (5 k) x > x > 5 k 與 x > 同義 k k 6 k 5 k = = = = 5. 若不等式 x ax + 恆成立, 則整數 a 共有個答 5 個解因 x 的係數為 > 且 D= ( a) ()() ( a+ )( a ) a, 得整數 a =,,,, 共計 5 個進階型 6. 解下列不等式 : () x 6, 答 : () x > x 7, 答 : 5 7 答 () < x 或 x < () < x < x x 或 x x 或 x 解 () 原式 5 7 x < 6 6< x < 6 < x < 圖解 : 5 7 故 < x 或 x < () x > x 7, 因兩邊均非負數, 可將兩邊平方得 : x > x 7 ( x ) > (x 7) (x 7) ( x ) < [(x 7) + ( x )][(x 7) ( x )] < (x 8)(x 6) < 8( x )( x ) < < x<

4 7. 解 x+ > x > 5x, 答 : 答 < x < x+ > x x x < ( x )( x+ ) < 解原式 x > 5x x 5x+ > ( x )( x ) > < x < x > 或 x < 圖解 : 故 < x < 5 8. 若不等式 ax + bx < 的解為 < x <, 則不等式 ax 為答 x < 或 x > 解根與係數的關係 : 5 b 7 b ( ) + = = 7 a 6 a b = 得 5 ( ) = = a = a a ax bx + > 即為 x 7x+ > ( x )(x+ ) > x< 或 x > bx + > 之解

5 - 絕對不等式基礎型. 若 a >, b> 且 a+ b=, 則 ab 之最大值為, 此時 a = 且 b = 答 6;; 解算幾不等式 : ( a ) + ( b ) ( a)( b) 故 ab 之最大值為 6 此時 a = b= = 6, 即 a = 且 b = 6 6 6ab ab 6. 若 x >, 則 y = x+ 的最小值為 x 答 5 解 y = x + ( x ) x = + x+ + x> x > 且 > x 利用算幾不等式 : ( x ) + ( x )( ) ( x ) + x x x y = ( x ) x 故 y 的最小值為 5

6 . 若 x, y 均為正數且 xy =, 則 x+ y的最小值為答 6 解算幾不等式 : x+ y ( x)( y) x + y 6xy x+ y 8 所求最小值為 8 = 6. 若 a, b 為實數且 a + b =, 則 a+ b的最大值為 ; 其最小值為答 ; 解柯西不等式 : ( a + b )( + ) ( a+ b) ()() ( a+ b) 兩邊同時開平方得 : a+ b 故最大值為, 最小值為 5. 若 x, y 為實數且為答 5 ; 5 x + y =, 則 x y的最大值為 ; 其最小值解柯西不等式 : [( x) + y ][() + ( ) ] [( x)() + y( )] ()() ( x y), 得 x y 即 5 x y 5, 故最大值為 5, 最小值為 5

7 6. 若 a, b, c 為實數且 a + b + c = 6, 則 a b + c 的最大值為 ; 其最小值為答 ; 解柯西不等式 : [ a + b + ( c) ][() + ( ) + ( ) ] ( a b+ c) (6)(+ + ) ( a b+ c) 得 a b+ c, 故最大值為, 最小值為 7. 若 x, y 為實數且 + =, 則 x + y 的最小值為 x y 答 9 解柯西不等式 : [( ) + ( ) ][( x) + ( y) ] [( )( x) + ( )( y)] x y x y ()( x + y ) (+ ) x + y 9 故最小值為 9 進階型 b a 8. 若 a >, b> 且 ab = 9, 則 ( a + )( b ) a + 的最小值為 b 答 6 a b b a 解所求 = ab = + + b a a b 利用算幾不等式 : b + a ( b )( a ) b + a ab a b a b a b 即 + b a 9 a + b + 故最小值為 9 + = 6

8 9. 設 a>, b> 且 a+ b= 8, 則 ab 的最大值為答 6 解 a b = aaab, 將 a+ b= 8改寫為 a+ a+ a+ b= 8 利用算幾不等式 a+ a+ a+ b a+ b ( a)( a)( a)( b) ab ab ab ab 6 故 ab 的最大值為 6. 若 a, b, c 均為正數且 a+ b+ c= 7, 則 + + 的最小值為 a b c 答 7 解利用柯西不等式 ( a+ b+ c)( + + ) a b c = [( a) + ( b) + ( c) ][( ) + ( ) + ( ) ] a b c ( a + b + c ) a b c 又 a+ b+ c= 7, 代入上式得 7 ( + + ) ( + + ) a b c 即 a b c 則 + + 的最小值為 7 a b c

9 - 二元一次不等式的圖形基礎型. 圖解下列二元一次不等式 : ()x+ y 6 () x y+ < () x 5 () x+ 5y x+ y 答解 ()x+ y 6 x y 6 圖解如圖 : () x y+ < x y 圖解如圖 : () 5 x x 5 5 y 圖解如圖 :

10 () x+ 5y x+ y x x+ y 5y + x y+ x y 圖解如圖 :. 設點 Pm (,) Q (,) 在直線 L: x y+ = 的異側, 則 m 的範圍為答 m < 解 P Q 在 L 的異側 ( m + )( + ) < ( m ) < m<

11 x. 不等式 y 的圖解區域面積為 x+ y 答 9 解圖解聯立不等式, 如下圖 : 得所求為 ABC = AB AC = 6 = 9 ( 平方單位 ) y > x. 不等式的區域圖形會落在第 x < 答二 y > x x+ y > 解 x< x< 象限可知圖形會落在第二象限

12 進階型 5. 若 Pk (, ), Q(, ), 且 PQ 恆與直線 L:x y+ = 相交, 則實數 k 的範圍為 ( 提示 :P Q 在直線 L 的異側或線上 ) 5 答 k 解依題意 :P Q 在 x y+ = 異側或在線上得 (k + + )( + ) 5 (k+ 5) k 6. 試以不等式表示右圖之灰色三角形區域 : 答 x y x y 6 x y 解由截距式可得直線 + = x y 6= 又三角形區域分別在直線左側 x 軸下方 y 軸右側 x y x y 6

13 - 線性規劃基礎型. 若滿足 x, y,x+ y 的條件, 則 5x+ y的最大值為 ; 最小值為答 ; 解圖解不等式, 如圖 : 令 f( xy, ) = 5x+ y 利用頂點原理, 可得 : f (, ) = f (, ) = 5 () + () = f (, ) = 5 () + () = 8 故最大值為且最小值為. 若滿足 x, y, x+ y,x+ y 6, 則 x+ y的最大值為答 9 解聯立不等式的可行解區域如圖所示其頂點為 (,),(,),(,) 目標函數 f( xy, ) = x+ y f(, ) = 8, f(,) = 9, f(, ) = 6 x+ y最大值為 9

14 . 若滿足 x, y, x+ y, x+ y 的條件, 則 x+ y的最小值為答 6 解圖解聯立不等式, 如圖 : 令 f( xy, ) = x+ y 利用頂點原理, 可得 : f (6,8) = + = 6 f (, ) = 6 f (, ) = 6 故最小值為 6 x+ y. 若 x, y 滿足聯立不等式 : x + y 8, 則 f( xy, ) = x+ 5y的最大值為 x + y 答 7 解圖解不等式, 如圖 : 利用頂點原理, 可得 f (, ) = f (, 7) = + 5 = 7 f (7,) = + 5 = 9 故最大值為 7

15 進階型 5. 有甲乙兩種款式的毛線手套, 甲款式用藍色毛線 5 公尺, 綠色毛線公尺, 每套可賺 5 元 ; 乙款式用藍色毛線公尺, 綠色毛線公尺, 每套可賺元, 現有藍色毛線 9 公尺, 綠色毛線公尺, 若毛線全用來織甲乙兩款式的手套, 則最多可賺元答解設製作甲款式 x 套乙款式 y 套 x, y 之正整數則限制條件為 5x+ y 9( 藍色毛線限制 ) x+ y ( 綠色毛線限制 ) x, y 5x+ y 9 x + y 圖解如下 : 所求為目標函數 f( xy, ) = 5x+ y 利用頂點原理, 可得 : f (8, ) = 9 f (, ) = = f (,) = + 9 = 9 故最多可賺元

16 6. 某汽車公司有甲乙兩家裝配廠, 生產 A B C 三種不同型的汽車, 其營業狀況如下所示若欲使成本花費最低, 則甲工廠每週需開工日, 乙工廠每週需開工日甲廠乙廠每週需求量 ( 輛 ) A 型 8 B 型 C 型 8 96 每日開支 8 6 答 ;6 解設甲廠開工 x 日, 乙廠開工 y 日由題意列出限制條件 : x, y x, y x y 8 + x+ y x+ y x+ y 8 8x+ y 96 x+ y 圖示可行解區域可得頂點 (,),(,6),(6,),(,) 目標函數 f( xy, ) = 8x+ 6y f (,) = 7 f (, 6) = 5 最小值 f (6, ) = 6 f (, ) = 96 故甲廠應開工日, 乙廠應開工 6 日, 花費成本最低

17 第四章自我評量 - ( ). 設 a> bc, > d>, 試問下列敘述何者為真? 答 (A) (A) a+ c> b+ d (B) a c> b d (C) c a> d b (D) a > b c d 解 (B) 反例 : 取 a =, b =, c =, d =, 則 a c= 8而 b d = (C) 反例 : 取 a =, b =, c =., d =., 則 c a =.8而 d b=.9 a (D) 反例 : a =, b =, c =., d =., 則 c = b 而 d = ( ). 不等式 + x x > 的解為何? (A) < x < (B) x > 或 x < (C) < x < (D) x < 或 x > 答 (C) 解 + x x > x x < ( x )( x+ ) < 圖解 : 故 < x < 5 ( ). 若 < (x ) < 5, 則 x 的範圍為何? (A) < x < 5 5 (B) < x < 或 < x < (C) < x < (D) < x < 或 < x < 答 (D) < (x ) < (x + )(x ) 解原式 (x ) < 5 (x + 5)(x 5) < 5 < (x )(x 5) x> 或 x< (x+ )(x 8) < < x < 圖解 : 5 故 < x < 或 < x < ( ). 若 x + bx + c > 之解為 x > 或 x <, 則 b+ c=? (A) 7 (B) 7 (C)7 (D)7 答 (A) 解利用根與係數

18 a + ( ) = a = 5 a+ b= 7 b b = ( ) = ( ) 5. 若 ax + 5x + b > 的解為 < x <, 則 a b 之值為何? (A) a =, b= (B) a=, b= (C) a =, b= (D) a =, b= 答 (A) 解 > 5 < 其解為 < x < ax x b ax x b ( 5) 5 ( ) + = = ( a) a a = 得 ( b) b= ( )() = = ( a) ( ) 6. 不等式 x 答 (C) 解解 x x < 之整數解有幾個? (A) (B) (C)5 (D)6 ± ± 5 x =, 得 x = = = ± 5 [ x ( + 5)][ x ( 5)] < 5 < x< + 5 故 x 的整數解有,,,,, 共 5 個 ( ) 7. 若 a 為實數, 使對任意實數 x, 不等式 x + ax a 恆成立, 試問 a 之範圍為何? (A) a (B) a 或 a (C) a (D) a 答 (C) 解 x + ax a 恆成立, 得 x 係數為 > 且 D= ( a) ()( a) aa ( + ) a ( ) 8. 不等式 ( x + x+ 5)( x x ) < 的解為何? (A) x < 或 x > (B) < x < (C) x < 或 x > (D) < x < 答 (B) 解 x + x+ 5 = x + x+ + = ( x+ ) + 恆正同除 ( x + x+ 5) 得 : ( x x ) < ( x )( x+ ) <, 故 < x < ( ) 9. 下列哪一個不等式的解與 x > 的解相同? (A) x > (B) x + < (C) ( x )( x+ ) > (D) ( x )( x ) >

19 答 (D) 解 x > x > 或 x < x> 或 x < (A) : x > x > 或 x < x> 或 x < (B) : x+ < < x+ < < x < (C) : ( x )( x+ ) > x> 或 x < (D) : ( x )( x ) > x> 或 x < ( ). 下列哪一個不等式無解? (A) x + x+ < (B) x + x+ 9 (C) x x+ > (D) x + x+ < 答 (D) 解 (A) x + x+ = ( x+ ) < ( x+ ) < < x+ < < x< (B) x + x+ 9 = (x+ ) x+ = x= (C) x x+ = ( x ) + 恆成立, ( x ) + > 有解 7 (D) x + x+ = ( x+ ) + 恆正, x + x+ < 無解 8 - ( ). 設 x 與 y 為正實數, 若 x+ y =, 試問 + 的最小值為何? (A) (B) (C) (D) x y 答 (A) 解 x + + = y = x y xy xy 利用算幾不等式 : x + y xy xy 故 xy 有最大值為, 得有最小值 xy ( ). 設 xyz,, 均為正數, 若 x+ y+ z = 8, 試問 xyz 的最大值為何? (A)8 (B) (C)6 (D) 答 (C) x+ y+ z 解算幾不等式 ( x)( y)( z) 6 6xyz 6 xyz 故 xyz 最大值為 6 ( ). 設 x>, y >, x+ y = 6, 試問答 (D) xy 之最大值為何? (A)6 (B)8 (C)5 (D)

20 x + x + y ( x )( x )( y) 故 xy 最大值為解 8 xy xy ( ). 設 x >, 試問 x + + 的最小值為何? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 x + 答 (B) 解 x> x+ > 令 y = x+ + = ( x+ ) + + ( x+ )( ) + x+ x+ x+ y +, 故 y 之最小值為 6 ( ) 5. 若 xyz,, 均為實數且 x + y + z = 9, 試問 x y+ z的最大值為何? (A)9 (B) (C) 7 (D) 答 (B) 解柯西不等式 : ( x + y + z )[() + ( ) + () ] (x y+ z) + + (9)() (x y z) x y z 故最大值為 9 9 ( ) 6. 若 a >, b>, 試問 ( a + )( b ) b + 的最小值為何 b? (A)6 (B)5 (C)6 (D)8 答 (D) 解 ( a + )( b + ) = ab = ab b a ab ab 由算幾不等式得 8 8 ab + ab 8 6 ab ab = = 9 9 故 ( a + )( b ) b + 的最小值為 a = 8 - ( ) 7. 下列何點與原點在直線 x y 5= 的同側? (A) (, ) (B) (, ) (C)(, ) (D) (, ) 答 (C) 解原點 (,) 代入 x y 5得 5<, 表在直線左側半平面 (C) (, ) 代入 : () () 5 = 5 < 與原點同側 ( ) 8. 設 k 為整數若坐標平面上點 Pk (, ) 在直線 y x= 8 之右半平面, 試問 k 之最小值為何? (A) 9 (B) (C) (D)

21 答 (A) 解 Pk (, ) 代入 y x 8 = ( ) ( k) 8 = k < ( 於直線右半面 ) k >, 故整數 k = 9, 8, 7, 最小值為 9 ( ) 9. a 為實數, 若 P(, a ) 不在 x+ y > 5的圖形內, 則 a 的範圍為何? (A) a < (B) a (C) a > (D) a 答 (B) 解 P 不在 x+ y > 5的圖形內 + a 5 a ( ). 如右圖所示, 灰色部分區域是下列哪一個不等式的解? x 5 x (A) y 5 x (B) y + (C) + y > (D) x 5 y 5 5 答 (B) 解直線方程式為 y = ( x ) x+ y = 5 ( ) 黃色區域為 x+ y 5 x 5 故選 (B) y + x+ y 5 x y ( ). 若 xy, 滿足不等式 x + y, 試問所圍成圖形的面積為何? y (A) (B)6 (C)8 (D) 平方單位答 (B) 解圖解如下 : 所求為 ABC = 6 = 6 ( 平方單位 ) ( ). 求不等式 x y 所圍的區域面積為何? (A)6 (B)8 (C) (D) x + y 答 (B) 解圖解如圖所示

區域面積 = = 8 - x, y ( ). 滿足 x + y 的條件, 試問 x+ y的最大值為何?

+ = f(, ba) = b a + f(, b a) = b + a + f ( a, b) = ab ab + = ab + 由圖知 : ab, 均為正數故點 ( ba, ) 時,

22 區域面積 = = 8 - x, y ( ). 滿足 x + y 的條件, 試問 x+ y的最大值為何? (A) (B) (C) (D)6 x + y 6 答 (B) 解圖解如右 : 令 f( xy, ) = x+ y 利用頂點原理 : f (, ) = f (, ) = + 9 = f (, ) = + = 故最大值為 ( ). 如右圖所示, 求灰色區域中使得 f ( x, y) = bx ay + 有最大值的點為何? (A) ( ab, ) (B) (, ba ) (C) (, b a) (D) ( ab, ) 答 (C) 解令 f ( x, y) = bx ay + f ( a, b) = ab ab + = f(, ba) = b a + f(, b a) = b + a + f ( a, b) = ab ab + = ab + 由圖知 : ab, 均為正數故點 ( ba, ) 時, f( xy, ) 為最大 ( ) 5. 王老先生有塊面積平方公尺的建地, 他想要用最多萬的經費建造透天厝和公寓兩種住宅已知透天厝每棟佔地平方公尺造價萬, 可獲利萬 ; 公寓每棟佔地平方公尺造價萬, 可獲利 5 萬, 試問王老先生若要在此地建造這兩種住宅, 最多可獲利多少萬元呢? (A) (B)5 (C)6 (D)75 答 (C)

23 解依題意整理如下表佔地造價獲利透天厝公寓 5 設建造透天厝 x 棟, 公寓 y 棟, 可列式如下 x, y x, y x+ y x+ y x y + x+ y 圖示可行解區域可得頂點 (,),(,8),(5,) 目標函數 f( xy, ) = x+ 5y f (,) = 5 f (,8) = 6 最大值 f (5, ) = 故最多可獲利 6 萬

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<4D F736F F D20BCC6BEC C048B0F3C1BFB871B2C4A57CB3B928B5AAAED7A8F729> 9 4 不等式及其應用 4- 二元一次不等式的圖形重點整理設 L : abyc,a b 不同時為 () a a by c 時, 圖解區域在直線 L 的右側 a by c 時, 圖解區域在直線 L 的左側或 a b a b () b a by c 時, 圖解區域在直線 L 的上方 a by c 時, 圖解區域在直線 L 的下方 b a 或 b a 第 4 章不等式及其應用 9 基本練習題老師講解學生練習