<4D F736F F D20B3AFABD8EA4D2DB9EFBAD9A668B6B5A6A1AABA652D68ABEDB5A5A6A15FA4555F>

Size: px

Start display at page:

Download "<4D F736F F D20B3AFABD8EA4D2DB9EFBAD9A668B6B5A6A1AABA652D68ABEDB5A5A6A15FA4555F>"

银全
5 years ago
Views:

1 對稱多項式的 h恆等式 ( 下 ): 將 h 用的行列式表示陳建燁臺北市立第一女子高級中學數學教師壹前言 : 關於對稱多項式, 有一個很重要的事實, 稱為對稱多項式的基本定理, 簡單地說, 即任何元 (,,, ) 的對稱多項式, 總是可以寫成個基本對稱多項式 ( 即,,, ) 的多項式 ( 參考資料 [4]) 例如: ( ) ( ) [ (,, )] (,, ) 那麼, 既然 h(,,, ) 是對稱多項式, 當然也可以寫成,,, 的多項式本篇文章的主要工作, 是由對稱多項式的 h恆等式出發, 將一系列的 h 恆等式所成的聯立方程組, 用矩陣的乘法表示, 再用克拉瑪公式求解, 將 h(,,, ) 用,,, 的行列式來表示, 例如 : h4 ( d,,, ), 4 ( d,,, ) 展開之後, 即為,,, 的多項式 ( 參考資料 []) 這樣的表示法有個應用 : 由於費氏數列的一般項, 可表示為完全齊次對稱多項式, 於是可用,,, 的行列式加以表達, 得到費氏數列一般項的行列式表達式 : F ( 此行列式為階, ) ( 參考資料 [5])

2 貳本文 : 一定義記號與已知公式 :. L V 轉換公式 : ( L : 拉格朗日,V : 范德蒙 ) x ( ) j j j x x x ( 證明見參考資料 []) 例 : 取,,,, 有 x ( ) j j j x ( )( ) x ( )( ) x ( )( ) x x x 例 : L (,,, d) ( )( )( d) ( )( )( d) ( )( )( d) ( )( )( d) d ( d )( d )( d ) d d d d d

3 推論 : L (,,, ) ( ) j j j 說明 : 在 L V 例 : L (,, ) 轉換公式中, 取 x ( )( ), 其中,,, ( )( ) ( )( ) ( )( ) 例 : L ( d,,, ) ( )( )( d) d ( )( )( d ) ( )( )( d) ( )( )( d) ( d )( d )( d ) d d d d d d 例 : L ( d,,, ) ( )( )( d) ( )( )( d) ( )( )( d) ( )( )( d) d ( d )( d )( d )

4 d d d d d d 例 : L L L L ( 個變數,,, ) 證明 : L (,,, ) 由 ( ) j j j 即可得. 費氏數列 (Fo Nurs): 定義 : 滿足 F, F, 以及遞迴關係 F F F, 其中,, 的數列, 稱為費氏數列 (Fo Nurs), 此數列的前幾項為 :,,,,5,8, 設 α 與 β 為方程式 x x 的兩根, 且 α > β, 則費氏數列的一般項為 F α β ( 參考資料 [6]) α β α β 注意到 α α β αβ β h α β (, ) α β, 於是可得 F h (, ) α β, 即費氏數列的一般項, 可表示為完全齊次對稱多項式 4

5 二將 h 用的行列式表示 : ( 一 )4 個變數 : f ( x) ( x)( x)( x)( xd) d d d d 4 d x x x x () () () (4) () ( )( )( d) () ( )( )( d) () 可得 : L 4 L L L 4 L 取 : L 4 L L L 4 L 取 : L 5 L 4 L L 4 L 取 : L 6 L 5 L 4 L 4 L 取 : L 7 L 6 L 5 L 4 4 L ( )( )( d) (4) ( d )( d )( d ), 由 L V 轉換公式及其推論, 有 L L L ( 參見第,,4 頁 ), 可得 : : L 4 L : L 5 L 4 L : L 6 L 5 L 4 L : L 7 L 6 L 5 L 4 4 L 由 h L轉換公式, 可得 : ( 註 ) : h h : h h h : h h h h : h 4 h h h 4 h ( ) 亦即 ( ) ( ) h, 其中,,, 此時規定 ( 註 ), 可將以上四式改成 : : h h h h : h h h h : h h h h : h h h 4 h h 4 ( ) 亦即 ( ) ( ) h, 其中,, 與 4 ( ) 4 h h4 5

6 改寫成等價的矩陣乘法 : h h, h 4 h h4 由克拉瑪公式, 可得 h d( A) h 4 ( 其中 A ) 4 d( A) h 4 h4 ( 對第行展開而得 ) d( A) d( A) h 4 h h d( A) 4 4 d( A) h h d( A) 4 4 註 : 由 h L轉換公式, 有 L( d,,, ) h (4) ( d,,, ) h( d,,, ), 同理, L 有 4 h, L 5 h, L 6 h 與 L7 h4 註 : 規定, 目的是使得四個方程式的形式一致, 即等號的左邊都有四項, 以便於用矩陣的乘法來表示 6

7 ( 二 ) 一般情形 ( ): ( 註 ) f x x x x ( ) ( )( ) ( ) x x x ( ) ( ) ( ), 其中 ( ) ( ),,, () j j j : ( 將第式乘以 ( ) j j 再加總 ) ( ) L L ( ) L ( ) L j 取 : L L ( ) L ( ) L 取 : L L ( ) L ( ) L 取 j: L L ( ) L ( ) L j j j j 取 : L L ( ) L ( ) L 由 L V 轉換公式及其推論, 有 L L L L ( 參見第 4 頁 ), 可得 : : L L : L L L j j: L L ( ) L j j j : L L ( ) L ( ) L 7

8 由 h L轉換公式, 即得 ( 註 ) : h h : h h h j: h h ( ) h j j j j : h h ( ) h ( ) h ( ) 亦即 ( ) ( ) h, 其中,,,, 規定 ( ), 亦即, 當,,, ( ) ( 註 ) 可將以上個式子改寫成 ( ) ( ) ( ) h, 其中,,,, 與在之中分別提出並消去 ( ) 與 ( ) 後, 可得 ( ) ( ) h, 其中,,,, 改寫成等價的矩陣乘法 : 與 ( ) h h ( ) h ( ) h h 4 h 5 4 h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) h 8

9 4 5 4 令 A, 由克拉瑪公式, 可得 h d( A) ( ) h d( A) ( ) ( ) h h d( A) 4 4 9

10 h d( A) 4 h d( A) d( A) h d( A) h h h d( A) 至此, 已將 h(,,, ) 用,,, 的行列式來表示例 : ( ) ( )( )

11 ( )( ) h(,, ) 註 : 當時, 一方面, h (, ) 另一方面, ( ), 所以有 h (, ) 註 : 由 h L轉換公式, 有 L (,,, ) h (,,, ) h (,,, ), 同理, 有 L h, L ( ) h,, L h 與 L h 註 : 規定 ( ), 目的是使得個方程式的形式一致, 即等號的左邊都有項, 以便於用矩陣的乘法來表示三應用 : h (,,, ) 在 4 之中, ( ) 取 α, β, 4, 則 h( α, β,,,,) h( α, β), 個 ( α, β,,,,) ( α, β) α β, 個

12 且可得 ( α, β,,,,) ( α, β) αβ, 個 ( α, β,,,,) 4 ( α, β,,,,) ( α, β,,,,) 個 h (, ) α β 個個, α β αβ α β αβ α β αβ α β α β αβ α β αβ α β 特別地, 取 α 與 β 為方程式 x α β h( αβ, ) F α β x 的兩根, 則 α β, αβ, 且 ( 參見第 4 頁 ), 可得 F, 其中右邊為階 ( ) 的行列式至此, 得到了費氏數列一般項的行列式表達式 ( 參考資料 [5]) 參結語 : 對於個變數,,,, 對稱多項式的 h恆等式其實不只有一式, 而是有一組, 同一組的 h恆等式所成的聯立方程組可用矩陣乘法表示, 進而將 h(,,, ) 以,,, 的行列式來表示, 印證了對稱多項式基本定理作為此表達式的一個應用, 在文末得到了費氏數列一般項的行列式表達式綜合上下兩篇文章, 可看出組合數 C 與費氏數 F 的性質是表象, 而對稱多項式的性質可作為它們共同的理論基礎, 因此顯示了對稱多項式是更為根本的一個數學概念

13 參考資料 :. 陳建燁, 完全齊次對稱多項式 ( 起 )( 承 )( 轉 )( 合 ), 高中數學學科中心電子報第期,6 年 8 月. I.G.Mdold,Syr Fuos d Hll Polyols,P~4,P. 陳建燁, 推廣的 Vdrod 行列式 ( 最右行升次型 ), 高中數學學科中心電子報第 4 期,6 年 9 月,P6,,,4 4. 楊維哲, 湖濱高中資優數學講義之二 --- 代數, 五南出版社, 年 4 月,P9 ~94 5. 吳振奎, 斐波那契數列, 九章出版社, 民國 8 年 7 月初版,P~6 6. 陳建燁, 推導費氏數列性質三部曲 ( 中 ): 用根與係數關係, 高中數學學科中心電子報第 9 期,6 年 4 月,P 作者聯絡方式 : 陳建燁 : wjjr@yhoo.o.w

基本對稱多項式的選取重組還原公式陳建燁臺北市立第一女子高級中學數學教師壹動機 : 設有 5 個變數 abcde,,,,, 每次從中選取出 3 個變數來作 2 次的基本對稱多項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 3 e( abc,, ) + e( abd,, ) + e

基本對稱多項式的選取重組還原公式陳建燁臺北市立第一女子高級中學數學教師壹動機 : 設有 5 個變數 abcde,,,,, 每次從中選取出 3 個變數來作 2 次的基本對稱多項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 3 e( abc,, ) + e( abd,, ) + e 基本對稱多項式的選取重組還原公式陳建燁臺北市立第一女子高級中學數學教師壹動機 : 設有 5 個變數 bcde,,,,, 每次從中選取出個變數來作次的基本對稱多項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( be,, ) + e( cd,, ) + e( ce,, ) + e( de,, ) + e(,, bcd) + e(