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秤昌
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1 建國高中 95 課綱選修課程幾何學講義臺北市立建國高中范文榮老師 ( 本講義內容若有疏漏不妥之處, 敬請各位先進惠賜寶貴意見 )

2 全等形及其應用. 定義 : 給定兩個圖形, 把其中一個圖形經過運動 ( 旋轉平移對稱 ) 疊放到另一個圖形上面, 若能夠使他們完全重合, 就稱這兩個圖形為全等形例如 : 兩個半徑相等的圓為全等形 ; 兩個邊長相等的正方形為全等形. 全等形具有下列性質 : () 反身性 : () 對稱性 : 若, 則 () 遞移性 : 若,, 則滿足上述三種性質的關係, 稱為等價關係例如 : ~ =... 都是等價關係但是 > <... 不是等價關係. 的全等是圖形全等中最簡單的情形, 通常可用下列性質證明兩全等 ()SS- 兩之兩組對應邊相等, 所夾的對應角也相等 ()S- 兩之兩組對應角相等, 所夾的對應邊也相等 ()SSS- 兩之三組對應邊相等 (4)S- 兩之兩組對應角相等, 非夾邊的一組對應邊也相等 (5)RHS- 兩之兩組對應邊相等, 非夾角的一組對應角皆為直角例. 已知 =, =, = 試証 : 解 : 把放在上, =, = = 可使與重合, 且與重合, 與重合由樞紐定理知 = = = ( 此即 SS 全等性質 ) 例. 如圖 ( 一 ): 長方形紙條中, =, =, 今將此紙條沿對角線對摺, 如圖 ( 二 ): 設為與的交點,() 試證 = () 求之值? 解 : = =, = =90, = ( S ) = 設 = = x, 則 = x +( x ) = x,+9 6x+x = x 0 = 6x x = 5 圖 ( 一 ) 圖 ( 二 ) 例. 為正方形, 分別在上, 且 =, () 試證 : () 若 =6, =, 求 G 的外接圓面積解 :() 為正方形 =, =90 0 = 在和中 =, =, = ( SS ) = 又 + = =90 0 又 G+ + =80 0 G =90 0 即 () = =, = + =6+ = 8 = 8 G 連接, = = 0,G 的外接圓直徑 =0 外接圓面積 = π(5) = 5π

3 例 4. 如圖, 中, >, =, 平分, 試證 : = 解 : 在上取 = =, = ( SS ) 故 = 且 = = + 4 且 = = + 4 = 4 = = = = =, 即 = 例 5. 如圖, 是正方形, 是正三角形, 若 =, 則 =? 解 : 是正方形, 是正三角形 = 且 = =90 0 = ( RHS ) =, 又 = = = = 設 = = xm, 則 = ( x ) m + = = = + 即 x +x = +( x ) x = + x+x,x +x = 0 ± 4 8 x = = ± ( 不合 ) 例 6. 在中, = 45 0, 於, 若 =, =, 則之面積 =? 解 : 作直角關於之對稱圖形作直角關於之對稱圖形設交於點, 則為正方形設 = x, 如圖, (x ) + (x ) = ( + ) x 5x 6 = (x 6)(x + ) = x = 6 之面積 = = 5 例 7. 如圖, 三直線 L L L 互相平行,L 與 L 距離為 6,L 與 L 距離為, 有一個等腰直角三角形, 其中點在 L 上, 點在 L 上, 點在 L 上, 若交 L 於, 則 =? 6 解 : 過點作一直線垂直 L, 分別交 L L 於過點作一直線垂直 L, 分別交 L L 於 G H = 90 0 =, =, = H = 90 0 H = 90 0 =, = = H = 且 = =GH =6 又 H~ G H = G G H 6 H + = 6 ' H = x x- x =6 =5 x- x " L L L 例 8. 已知五邊形中 = = 90 0, =, M 為的中點求證 : M = M 解 : 取的中點, 連接各線段如左圖 M 為三邊中點 = M, = M, = M, M = 又 = 5 = 7 =, 且 = 7 = 4 M M 故 M = M M

4 相似形及其應用. 定義 : 形狀相同面積不等的兩圖形稱為相似形. 兩多邊形和相似, 記作 ~, 讀作相似於, 此時和之對應角相等, 對應邊成比例. 相似形具有下列性質 : () 反身性 :~ () 對稱性 : 若 ~, 則 ~ () 遞移性 : 若 ~, ~, 則 ~ 4. 的相似是圖形相似中最簡單的情形, 通常可用下列性質證明兩相似 ()SSS- 兩之三組對應邊成比例 ()SS- 兩之兩組對應邊成比例, 所夾的對應角也相等 ()( 含 S 與 S)- 兩之兩組對應角相等 (4)RHS( 斜股性質 )- 兩之兩組對應邊成比例, 非夾角的一組對應角皆為直角例. 如圖, 長方形中, 為上一點, 沿著將摺疊, 使得點落在的點上 () 試證 ~ () 若 =0, =6, 求的長? 解 :() = = =90 0 = + = 又 = =90 0 ~ () = = 0, = 6 = = 0 = 8 : = = 6, =6 6 = 0 = 0 6 =, :, :8 = : =0 5 ' 例. 已知四邊形 GH G 均為正方形, 如圖, 試求 : + =? 解 : G :G: = : : 5, G :G : = :: 0 = : : 5 G ~ G (SSS) = G 而 = H + = 80 0 G = 45 0 H G 例. 如右圖, 是圓 O 的直徑, =, 過點作圓 O 的切線並在其上取一點, 使得 =,O 交圓 O 於點, 的延長線交於, 則 =? 解 : 連, 則 = = = 4 ~ ( 相似 ) = ~ ( 直角母子相似性質 ) = 由 = 知 = =O O = 5 5 = O 4

5 例 4. 設平行四邊形面積為, 分別為的中點, 連交於兩點, 求的面積為何? 解 : 設交於 R 點, 則 ~ R, ~ R 設 =, 到的距離為 h, 到的距離為 h, 到的距離為 h, 到的距離為 k, 到的距離為 k h :h = : R =:4, h k :k = : R =:, S = S S = h h h h = 5 k k 0 h = 0 R 例 5. 已知是的內角平分線, 是的外角平分線, 且交於, N 於 N, N 交於 M, 試證 : M = M X 解 : 設 N 交於, 則由對稱性知 N N (S) N = N = 90 0 // ' = = M M =, 但 = N N M = M N X M ' 例 6. 在中, 已知 : : =::4, 試證 : + 解 : 在上取一點使 = θ, = θ 過作 // 交於, 如圖所示 : 則 + + = 同 + = θ θ θ θ θ - θ θ 例 7. 已知是的平分線, 試證 : = 解 : 在上取一點使 =, 則 ~ x = x + y x = xy () ~ x β = α y xy = αβ 代入 () x = αβ α x β y 例 8. 如圖 : 已知 =, = =0 0, =0 0, 則 =? 解 : 將負向旋轉 60 0 得, 則為正, G 平分交於 G, 則 G~ G (S 相似 ) G=80 0 G =80 0 G = = ~ G (SS 相似 ) = G = G

6 西瓦定理已知, 分別在上 ( 且均非頂點 ), 若共點, 試證 : = M N L α β γ 證 :( 一 ) = ( 共邊定理 ) = sin β sinα sin γ ( 二 ) = = sin γ sin β sinα α β γ ( 三 ) = M N = M N 西瓦定理之逆定理在三邊所在之直線上, 分別取使試證 : 互相平行或相交於一點 ( 圖 ) ( 圖 ) ( 圖 ) ( 圖 4) =, 證 : 不妨設在上, 設相交於 O 點 ( 如圖圖圖 ), 連與交於由西瓦定理西瓦定理知 =, 但已知 = = 即相交於一點 ( 同一法 ) 若 // ( 如圖 4) ~ () 代入 = = = 都在上兩邊同 + = =.() // // 例. 已知, 平行於之直線分別與交於, 若相交於, 試證 : 通過之中點證 : 連與交於 // = 由西瓦定理西瓦定理知 = = 為之中點 =

7 例. 已知, 在上取一點, 設之平分線與分別交於, 試證 : 相交於一點證 : 平分 = = = 由西瓦定理西瓦定理知相交於一點同理 = * * 例. 在的兩的延長線所組成的角內任取ㄧ點, 連接分別與交於, 試證 :() = () = 解 : 令 6 個三角形的面積分別為 d e f, 如圖所設 : 則 () () 全 = + d + = e + f e + f + = + d + d 全 e + f = + 全 f e d 例 4. 已知, 分別為之中點, 試證 : 三中線相交於一點證 : = = 由西瓦定理西瓦定理之逆定理之逆定理知三中線相交於一點例 5. 已知, 分別為之平分線, 試證 : 三內角平分線相交於一點證 : = = 由西瓦定理瓦定理之逆定理之逆定理知三內角平分線相交於一點例 6. 已知 R 與其內切圓相切於點, 如圖 : 為 R 與之交點, 為與之交點, 若於, 試證 : = R 證 : 設 = α R = β M = γ M = δ R = θ = = 0 sinα sin(90 β ) 0 = tnα otβ () sin(90 α ) sin β R 又 = R sin γ Rsinθ sinθ = = sinδ R sin( π γ ) sinδ = () ( = = θ = δ ) 由 ()() tnα otβ = tnα = tn β α = β 即 = R γ π-γ δ 90 0 α 90 -α β 0 -β θ R

8 孟氏定理若一直線 L 分別截之三邊 ( 或其延長線 ) 於三點, 試證 : = 證 : ( 一 ) 連接, 則 = ( 共邊定理 ) = ( 二 ) = sin γ sin( π α) sin β = = sinα sin β sin γ α γ γ β γ α β L L ( 孟氏定理之逆定理 ) 若分別是之三邊上或其延長線上的三點, 若 =, 試證 : 三點共線證 : 連接交於, 由孟氏定理孟氏定理知 =, 但已知 = = = 三點共線 ( 同一法 ) ', 但都在之延長線上 ' L 例. 已知, 分別為之內角平分線, 為之外角平分線, 試證 : 三點共線證 : 由內角平分線性質內角平分線性質知 =, 同理 =, =, 三式相乘 = 由孟氏定理之逆定理孟氏定理之逆定理知三點共線 ' 例. 已知圓內接, 如圖, 過作圓之切線依次交於, 試證 : 三點共線證 : 如圖所設 = ~ ( 相似 ) = = () 同理 ~ = () = () 由 () () () 之積 =, 由孟氏定理之逆定理孟氏定理之逆定理知三點共線 ' '

9 例. 已知圓內接, 如圖, 過作圓之切線依次交於, 試證 : 三點共線證 : 如圖所設 = ~ ( 相似 ) = = () 同理 = () = () () () () 之積 =, 由孟氏定理之逆定理孟氏定理之逆定理知三點共線例 4. 已知 R : R = :, : = :, : = :, 則面積是面積的幾倍? ' ' ' 證 : 由孟氏定理 : = : = : = = 4 = 4 = : R = : = : = :6 = = 5 5 = = 例 5.(esrgues 定理 ) 已知與在同一平面上, 若證 : 視交於一點 N, 交於一點, 交於一點, 交於一點 R, 試證 : R 三點共線為 N 之截線, 由孟氏孟氏定理定理知 R N = () R N N N 視為 N 之截線, 同理得 = () N N 視為 N 之截線, 同理得 = () N = = 9 6 = = 7 7 R 由 () () () 可得 = 由孟氏定理之逆定理孟氏定理之逆定理知 R 三點共線 R 例 6.(sl 定理 ) 設圓內接六邊形的對邊延長線相交於 R 三點, 試證 : R 三點共線 M N L 證 : 視為 LMN 之截線, 由孟氏孟氏定理定理知 = () N L M M N LR 視為 LMN 之截線, 同理得 = () N L RM N M N L 視為 LMN 之截線, 同理得 = () N L M 由外羃定理外羃定理知 N N = N N L L = L L (4) 代入 () () () 可得 M M = M M R L R ' ' M ' M N LR N N L L M M M N LR = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) N L RM N N L L M M N L RM M N LR = N L RM 由孟氏定理之逆定理孟氏定理之逆定理知 R 三點共線

10 圓的基本基本性質. 同圓或等圓中, 對等弧的圓周角相等同圓或等圓中, 等弦所對的圓周角相等或互補同圓中, 對等弧的圓周角之度數 = 圓心角之度數的一半 O. 弦與圓過所作的切線 L 所夾的角 ( 弦切角 ) 等於之度數的一半. 內羃定理 : 為圓周上之四點, 若交於點, 則 = L 4. 外羃定理 : 過圓外一點作圓之切線 T 與割線, 則 T = = 5. 四點共圓 = 且 = T 例. 如圖, 設兩圓交於, 過作一直線交兩圓於兩點, 為兩圓之兩切線, 為切點, 試證 : 四點共圓證 : + = + + = + + ( 弦切角 ) 四點共圓例. 已知圓 O 和兩點, 求作圓 O 的直徑, 使 = 作法 :. 在 O 上取一點, 使 O = O. 作之中垂線, 交圓 O 於 ( 與 ). 連 O 交圓 O 於, 則即為所求證明 : O = O,O =O, = O O (SS 性質 ) = ' = O 例. 若 H 為之垂心, 如圖所示, 試證 :H 為之內心證 : = = = 4 ( 對同弧的圓周角相等 ) 同理 = H 為之內心 ' H 4

11 例 4. 已知等腰中 =90 0, 在上取一點, 以為直徑作圓 O, 連交圓 O 於, 連交圓 O 於, 則之值 =? 證 : 連, 在與中 = 90 0 = 四點共圓 = 又 = 4 ~ ( 相似 ) = = = 4 例 5. 銳角中, 為邊上的三等分點, = =, 為邊上的點, =, 且 G 為在邊上的垂足試證: 若, 則 G 四點共圓證 : 連 G, 交 G 於 I I : IG = : // = =90 0 4= 5 為中點 = 4 為中點 6= 7, 4 + 5= = = G 7 I 5 4 G 四點共圓例 6.( 扥勒密定理 ) 為圓周上之四點, 試証 : = + 證 : 使得 =, 又 = 4( 同對弧 ) ~ ( 相似 ) : = : =...() 同理 ~ ( 相似 ) : = : =...() () + () + = + = 例 7. 如右圖,G 為圓內接正七邊形, 試證 : = + 證 : 設 =, =, = d, 在四邊形中由扥勒密定理知 :d = + d d = + d 例 8. 過弦之中點任意做兩條弦 RS, 若 S R 分別與交於 M N 兩點, 試證 : M = N 證 : 作 S 關於 O 之對稱點 S, 連接 S' S S' S' N S' = 4 = = 80 0 = = 5 + S S 四點共圓 7 = 6 = 8 SM S N (S) M = N S' N 7 d R O d 4 M 8 S G

遞迴數列

遞迴數列第三冊 - 向量 - 向量的基本應用應用. 在中分別是兩邊的中點試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與所決定的平面上的每個向量都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s