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央田
7 years ago
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1 機率. 先備知識集合與元素 : () 子集 : 若 A 為 B 的子集定義為 : 若 a A a B, 我們以 A B 表示 () 聯集與交集 :(a) 聯集 ( ): A B { x x A x B} (a) 交集 ( ): A B { x x A x B} () 差集 : A B { x A, x B} () 補集 : A' { x x A} (5)DeMorga s laws: ( A)' A ' ( A)' A '. 樣本空間與事件當我們考慮一個不可準確預測將來出現情形的試驗雖然我們不能更進一步了解試驗結果, 但是我們可以知道它所有出現的情況那我們把所有出現情形收集成為一個集合, 我們把此集合稱為樣本空間, 那我們通常以 S 來表示樣本空間中的每一元素稱為一個樣本點, 簡稱樣本任何一個樣本空間的子集 E, 我們稱為一個事件因此, 一個事件就是一個出現可能情形所形成的集合如果一個事件都不會發生, 我們就稱為空事件, 以空集合的表示如果 A B, 則我們稱 A 與 B 為互斥事件 Note. 建議如果要看一些簡單集合的關係, 可以用 Ve dagram 來幫助判斷我們底下介紹機率的個 axoms 假設 E 是任意一個事件,S 是樣本空間, 則. 0 PE ( ) (Axom). PS ( ) (Axom). 若 A 與 B 為個互斥事件, 則 PA ( B) PA ( ) + PB ( )(Axom) 事實上我們只簡化到高中需要用的即可, 如果要更嚴謹的定義, 請參考大學的機率課本 Property. 從這個 axoms 我們可以推斷出一些很簡單的機率性質. PE ( ') PE ( ). 若 E F, 則 PE ( ) PF ( )

2 . PE ( E E) PE ( ) PE ( E) + Note. < < r < r+ + + PE E E + + PE r E E < < r ( ) ( ) ( ) ( ) PE ( E E) 總共有 C 種可能, 其中 r {,,, }. r r Proof.. PS ( ) (Axom) PE ( E') PE ( ) + PE ( ')(Axom) 與我們留做練習, 通常我們把稱作排容原理, 可以用數學歸納法做證明, 如果不用數學歸納法, 可以依照恰好 m 個事件發生去證明, 這個證明很囉唆, 但是是個很實用的定理, 有興趣的同學可以試著嘗試看看. 古典機率在很多自然的情況下, 我們都會假設在樣本空間中的樣本點出現的情形是 equally lkely 如果我們考慮一個事件的樣本空間 S 是有限集合, 令 S {,,, } 則通常我們假設 P({}) P({}) P({ }) 從這裡我們也便可以得到 Axom( 想想看為什麼?), 如果我們希望它也要符合 Axom, 我們便可以得到 P({ }),,,, 這樣子的話它就同時符合個 axoms 所以對於任意一個事件 E E ( ) PE ( ) S ( ) 此定義是由 Perre-Smo Laplace(Frace,79~87) 所提出, 也稱為古典機率定義 Note. 如果以後是樣本點所形成的集合, 我們會將 P({ }) 簡寫成 P (). 底下我們看看一些常見古典機率的問題骰子骰子可說是我們日常生活中最常碰到的物品, 也是機率一開始最常討論的問題通常我們投擲幾顆均勻的骰子, 我們常會關心它出現的點數和當然我們可以碰到問題的時候, 在一個一個算它點數和的機率, 但為了方便起見, 我們還是

3 給下列的骰子表, 同學將其記住, 在解題目時會比較方便 A. 粒骰子表點數和次數 B. 粒骰子表點數和次數 Remark. 除了這個表之外, 我們一樣可以列更多粒的骰子表, 不過在這裡我們建議, 如果題目是粒骰子以上, 建議利用重複組合 H 處理不過不論是幾粒的骰子表, 它一定都會有前後對稱的特性 ( 上面紅線邊左右對稱 ), 所以在背的時候我們只要被左半邊即可注意粒骰子表前面是 ++ 等等累加的形式, 到了 6 之後加的數以偶數遞減下來, 就可以比較容易記住這裡要特別注意的是, 骰子在機率問題裡, 不管是相同與不同的骰子一律視為不同 ( 與排列組合題目的最大差異 ), 這也是一般同學在一開始學機率的時候容易混淆的地方, 在這裡我們特別提出來, 因為以前我們在學集合的時候, 或是排列組合, 我們是看它所呈現的結果, 如果呈現的結果一樣, 我們是視為相同的 ( 方法數 ) 舉個簡單的例子, 如果一個盒子內有隻白色粉筆, 隻黃色粉筆, 那我們抽到白色粉筆的機率為何? 大家很容易就回答是, 但是如果我們就它出現的所有情形就只有種, 如果我們是只有考慮它出現的情形 ( 也就是說樣本空間所形成的集合 ), 有同學可能就會回答, 但是我們可以很明顯的知道, 這個答案是錯誤的所以這裡要特別提醒的是, 機率是從結果去推斷他的過程, 我們是要討論它出現的情形, 到底是由哪隻粉筆提供的, 如果同學還是會搞混的話, 那就將結果記起來, 遇到機率的問題, 不論物品同不同, 一律視為不同, 如果把隻粉筆視為不同, 很容易得到答案為, 比較不易搞混 Example. () 同時投擲粒均勻的骰子, 則粒出現點數和為 7 的機率? () 擲骰子粒, 其點數和為 6 之機率? Soluto () 由骰子表知所求 (), 5 6 ( 即前後相加為 8)

4 所以我們可以考慮其出現的點數符合下列方程式 : x+ x + x+ x ( x 6,,,,, x ) H H 所求 Note. 從上面的題目我們可以歸納出一些結果, 首先我們如果點數太大的話, 我們會希望利用對稱性要換成小的, 因為人都是這樣的, 大家比較熟悉較小的數, 以及其算法, 對我們來說小的數比較簡單容易掌握, 但是要怎麼換呢? 我們可以發現如果是粒骰子, 它前後對稱的必定是相加為 7, 所以如果我們要將 m 換成對稱的數, 我們只要考慮 7 m這個點數即可當然我們還是可以按照正面去解, 但是同學如果真的去嘗試的話, 利用上述相同方法, 會發現所算出來的會太多, 這是為什麼呢? 由於我們事先隨意將點數分給粒骰子, 在扣掉不合的情形, 但是因為點數小, 只有可能粒骰子不合條件, 如果點數太大, 可能同時會有到粒骰子同時爆掉的情形, 這時候就不能用此方法了, 所以從這裡我們也可以看到對稱性的好處 ( 不過如果真的點數太大的話, 其實我們直接用窮舉法, 也是可以得到正確答案 ) 撲克牌我們簡單介紹撲克牌, 我們便可延伸出一些有關撲克牌的問題撲克牌一般來說是 5 張牌 ( 不含張鬼牌 ), 有種花色梅花磚塊紅心黑桃, 每種花色各張牌 (~), 共種點數, 所以總共有 5 張牌換句話說如果我們用花色可以分類, 如果用點數可以分類 Example. 一副 5 張之撲克牌 : () 任取張, 張皆同花之機率? () 任取張, 張皆不同花色之機率? () 任取張, 張皆同點之機率? () 任取 5 張, 形成 two pars 之機率?( 型如 :) Soluto. C C () () 5 5 C C C () 5 C C ( C) C () 5 C 在撲克牌問題中, 最重要的就是要先選點數還是先選花色, 通常我們由題意便可 5

5 以判斷出應該以哪一個為主還有一個地方是, 在 () 中所選取的點數各數相同時最好一起討論, 不同的另外討論比較不會弄錯, 否則先任意取點 C, 例如選到,,, 但還可以考慮拿一個要拿張, 再乘以 C, 得到的答案是會一樣的, 不過後者要很小心其最後拿一個要拿幾張, 這是很容易出錯的地方, 請同學要特別留意配對其實配對的問題可以算是撲克牌問題的延伸, 撲克牌中如 full house, two pars 等等, 都是一種配對情形 ( 你要如何讓好幾張特殊的配對法配在一起, 可以勝過對方 ), 在日常生活中, 我們最常碰到的問題就是分左右的東西, 要如何配對在一起的問題, 或是舞會中男女配對情形, 底下我們就來看看鞋子配對的例子 Example. 袋子中有大小不同的鞋子 5 雙, 今由袋中任取隻鞋子, 求 () 隻恰成雙之機率 () 隻皆不成雙之機率 () 隻至少成雙之機率 Soluto CC C () 所求 () 所求 () 所求 C 0 0 C C C 要注意的是由於鞋子通常有分左右腳, 所以大家比較不會混淆, 但是如果將鞋子改成相同襪子 ( 通常不分左右腳 ) 的話, 計算方法依然相同, 一樣利用到前面的觀念, 在機率問題中不管同不同, 一律視為不同同學在做這個題目常常會有恰好與至少觀念的混淆, 所以在討論的時候, 0 Remark. 從上面的例子中, 我們會發現抽籤順序與中獎的機率無關, 如果有興趣的同學甚至可以一直檢驗到第 0 個人, 會發現所有人的機率還都是一樣的, 這是此類問題一個很重要的關鍵但是一定還是會有同學很疑惑, 為什麼會一樣呢? 這是因為我們討論的時間點, 如果我們現在是在還沒抽獎前就討論人的機率的話, 那麼此人中獎的機率會是一樣的, 但是如果是在開獎之後我們在討論第人第人機率的話, 那麼就會有影響了, 他們的機率會隨著第人有沒有中獎而有所影響這也就是我們後面要討論的條件機率, 或是如果有興趣的同學, 可以參照大學的機率課本中, 所介紹的 dcator 函數的概念取解釋這個題目, 但是這個結果非常重要, 請千萬不要以後第個抽籤就很高興, 最後個抽籤就垂頭喪氣, 事實上大家中獎的機會是一樣的! 生日

6 我們假設每個月出生的機率是相同的情形 Example. 有人 () 任一人生日皆不同月份之機率? () 至少二人生日均不同月份之機率? () 除了恰有人生日相同外, 其餘皆不同月份之機率? Soluto. () 0 () C P0 () Remark. 第小題為什麼是 0 呢? 如果每一個月份排人進去, 當人排完, 最後人一定會跟前面的人重複, 所以我們可以知道不可能全部的人皆不同月份, 所以當你要排的人, 比被排的物 ( 或事 ) 還要多的時候, 那麼這就一定不可能發生, 這就是著名的鴿籠原理, 其簡單的應用抽籤常常大家會有一個錯誤的觀念, 會認為先抽籤的比較好, 最晚抽籤的運氣最差, 但是真的是這樣嗎? 等我們看完底下的例子後我們再來回答這個問題 Example5. 0 隻籤中, 有隻中獎籤, 現有甲乙丙人, 按照此順序抽隻, 且取後不放回, 求此人分別中獎的機率各多少? Soluto. P ( 甲 ) 0 7 P ( 乙 ) P ( 丙 ) 取放球我們剛剛討論完抽籤是公平的 ( 不計順序 ), 那我們就來看看這個觀念好用的地方吧! 有時後轉個想法, 就可以輕鬆得到答案

7 Example6. 袋子中有 m 個紅球, 個白球, 每次取一球不放回, 則白球先取完的機率為何? Soluto. 所求 P( 最後一球為紅球 ) 紅 P( 第一球為紅球 )( 是公平的 ) m 最後個 m+ 在這裡我們討論時, 要轉換個想法, 題目雖然問說白球先取完, 如果我們一一討論的話, 會很費功夫, 所以我們就想想最後球是什麼, 因為白球先取完, 所以我們可以肯定最後是紅球, 再利用我們剛剛提的公平的概念, 這個題目便可以迎刃而解, 底下我們將結果列於底下 Remark.() P ( 白球先取完 ) 紅紅 + 白 () P ( 紅球先取完 ) 白紅 + 白如果要更多顆球的話, 討論方法也一樣, 所以這個的實用性就可以比較廣箱子與球在這裡還是再一次提醒, 不論球同不同一律視為不同 Example7. () 將個不同的球, 隨意放入 5 個編號不同的箱子中, 每箱放入個數不限, 則在指定的個箱子中, 每箱恰有一球的機率? () 將個相同的球, 隨意放入 5 個編號不同的箱子中, 每箱放入個數不限, 則, 每箱至多一球的機率? Soluto. 5!! () 所求 () 所求 C 5 5 也不論是相同球或不同球得到的答案都一樣, 所以有可能題目不會再特別說明有沒有差異猜拳在日常生活中, 我們常常要解決事情時, 為了方便起見便會用猜拳決定, 不知道大家有沒有一個感覺, 雖然這是一個好方法, 但是當人多了以後, 就很難分出勝負了, 底下我們就來探討這個問題 Example8. 個人玩剪刀石頭布遊戲一次, 求下列機率 () 恰有人勝 () 恰有人勝 () 不分勝負 () 至少人得勝

8 Soluto. C C () () C + C + C () C + C + C () 7 猜拳如果要分出勝負的話, 贏的人出了一種之後, 輸的人就要恰好與他對應輸的那一種, 所以輸的人沒有選擇所以當人多的時候, 不分勝負的情況就有很多種, 例如 : 都出同樣的一種, 或是種都有人出, 討論起來就很麻煩, 還要考慮出哪種有幾個人, 所以很麻煩, 因此我們都是考慮分出勝負的情形 ( 洽有幾人獲勝的情形 ), 會比較簡化也因此為什麼當人多的時候很難藉由猜拳分出勝負 ( 太多種情形了 ) 原則上高中機率的主題, 我們都已經大致介紹並看過例題, 底下我們多延伸個主題給有興趣的同學參考 Defto. 我們定義事件 A 的 odds 為 PA ( ) PA ( ) PA ( ') PA ( ) 也就是說, 我們可以從一個事件 A 的 odds 中了解 A 發生比 A 不發生的比例舉例來說, 如果 PA ( ), 則 PA ( ) PA ( '), 它的 odds 為如果 odds 等於 α,, 一般我們更喜歡稱此假設下的 odds 為 α to 我們常常會考慮一個比賽, 並且求某個人獲勝的 odds. Example9. 甲乙兩人交錯投擲粒骰子, 以先擲得 6 點者為勝, 今由甲先擲, 求甲獲勝之 odds? Soluto P ( 甲 ) + ( ) + ( ) ( ) 6

9 P ( 乙 ) + ( ) + ( ) ( ) 甲獲勝之 odds 5 5 在此之前我們所碰到的問題, 都是出現結果是有限多個, 如果結果有無限多個, 而且可以用幾何圖形表示, 那麼我們就可以用圖形的幾何度量 ( 如 : 長度面積角度等 ), 來定義某事件的機率, 進而處理相關的機率問題因為通常一條線或是一塊區域等, 上面的點有無限多個, 我們不可能用數 " 的, 因此我們必須引進另一種機率底下我們就來介紹幾何機率的定義 Defto.( 幾何機率 ) 如果一個試驗其樣本空間 S 對應到某個幾何圖形, 則事件 A 的幾何機率為事件 A 的幾何度量與樣本空間 S 的幾何度量的比, 一樣以 PA ( ) 表之介紹完其定義之後, 一樣的我們來看一個例題總結 Example0. 在邊長為之正 Δ 內任選一點, 試求到三頂點的距離皆大於 Soluto.. S ( ) A ( ) π ( ) π π π 8 9. 所求 8 π π 的機率? 原則上古典機率我們介紹至此, 而高中機率還有一個很重要的主題, 也是日常生活中非常常用, 因為我們常常只知道一些 ( 部分 ) 情形下, 將會發生的機率, 尤其在很多的情形下, 我們所能掌控的只有一小部份, 因此在此條件下的機率就變的很重要, 以下我們就來開始介紹條件機率

10 . 條件機率 Defto. 一個試驗中, 在 B 事件發生的前提下 ( P ( B) > 0), 且 A 事件又發生, 則 A 在 B 中發生機率所佔比例, 我們稱為在 B 中發生 A 之條件機率 ", 以 PA ( B) PAB ( ) 表示其中 PAB ( ). PB ( ) Note. 我們常常會將上面這個式子改寫成 PA ( B) PAB ( ) PB ( ). 這個式子更是我們後面在講到貝氏定理的時候, 非常常用的一個公式 P( F) 是一種機率條件機率也符合所有最原始的機率性質, 也就是說 PE ( F ) 符合個機率的 axom. 底下我們將這樣的性質列於底下 : Proposto. (a)0 PE ( F). (b) PS ( F ). (c) 如果 A 與 B 為互斥事件, 則 PA ( B F) PAF ( ) + PB ( F). Proof. PE ( F) (a) E F F P( E F) P( F) 0 PE ( ) 0 PE ( F). PS ( F) PF ( ) (b) PS ( F). PF ( ) PF ( ) PA ( B) (c) PA ( B F) PF ( ) P(( A B) F) PF ( ) P(( A F) ( B F)) PF ( ) PA ( F) + PB ( F) PF ( ) PAF ( ) + PB ( F). 機率有的一些特性, 條件機率同樣也有, 例如條件機率一樣有排容圓理, 在此既不詳加敘述性質, 只是一般機率的推廣 5. 貝氏定理分割

11 () A A A S Defto. 滿足, () A Aj, j 則我們稱 { A, A, A } 為樣本空間 S 的一個分割 Note. 基本上我們在這邊雖沒有要求 A, 但是是一種無效的分割 ( 沒有任何元素在裡面 ), 所以我們通常還是會假設 A ( 或是條件更強一些的 PA ( ) > 0). 換句話說, 如果有一個樣本發生了, 它只會在一個 ( 且一定會在一個 ) 事件中發生而且我們可以得到 B B A. 而且我們可以知道 B A,,, 是完全互斥的, 所以我們可以將機率改寫 : PE ( ) PB ( A) PB ( A) PA ( ). 從上面這個式子, 我們知道算一個事件的機率, 我們可以想成算條件機率 ( PB ( A )) 的加權平均數, 這個通常我們是用在知道條件機率好算的情況下如果我們現在關心的是如果 B 發生的前提下, A k 的條件機率, 這便是所謂的貝氏定理 S Theorem.( 貝氏定理 ) 設 { A, A, A } 為樣本空間 S 的一個分割, B 為任意一事件, 若 PB ( ) > 0, PA ( ) > 0,,,,, 則對於 PA ( k) PB ( Ak) k {,,, }, 我們有 PA ( k B). PAPB ( ) ( A) 這裡只要將上面的式子帶入此式就可得到結果, 不過在這裡我們可以看到為什麼我們剛剛有提到有效分割, 否則可能條件機率就沒有意義了 ( 如果真有請形, 只要稍做調整, 把一些情形省略掉就一樣可以使用貝氏定理 ) Note. 通常我們在做貝氏定理的題目時, 因為我們可以將其分類成好幾種情況, 所以我們常常採用的是樹枝狀圖將其一一分類, 然後在每個岔路上寫下其條件機率, 便可以輕鬆求得原本機率, 所以在這裡我們建議在解題目是先把題意分成幾類, 然後在畫數枝狀圖, 便可以輕鬆解題 A B A A A 6. 獨立事件在日常生活中, 或是以前的一些古典機率的問題, 其實我們通常都已經假設有獨立 " 這個假設, 如果簡單從字面上的意思就是說事件 E 與 F, E 與 F 發

12 生的機會不會受另外一個影響舉個例子來說, 例如我們投擲銅板時, 我們常常假設每次擲的機率皆為, 也就是說前面擲銅板的機率, 不會影響到後面的情形因此研究獨立 " 就變的很重要, 底下我們來看其數學上的定義二事件獨立 Defto. 若 PA ( B) PAPB ( ) ( ), 則稱 AB, 為獨立事件, 某則稱為相關事件 Note. 要注意獨立事件與互斥事件的定義是不一樣的, 我們再把互斥事件的定義再敘述一次, 如果 A B, 則我們稱為互斥事件 PA ( B) 0. ( 反過來不一定成立, 尤其在幾何機率中, 例如線段上某一點它的長度為 0, 故它的幾何機率是 0, 但它並非, 這一點雖然在高中不強調, 但是有這樣的觀念在大學機率中的概念會比較清楚也就是說一件事情它是會發生的, 但是它的機率居然是 0, 跟我們以前直觀的想法很不一樣 Example. 同時投擲一粒骰子與銅板, 骰子出現 6 點, 銅板出現正面的機率 ( 因為我們假設他們倆個事件不會相互影響, 所以我們把它們機率乘起來 ) 6 Proposto. 若 A 與 B 獨立, 則 : () A 與 B ' 獨立 () A ' 與 B 獨立 () A ' 與 B ' 獨立 () PAB ( ) PA ( ) (5) PAB ( ') PA ( ) Proof. 這裡的證明都很簡單, 我們挑 () 與 () 證明, 其他的留做同學練習,() 與 (5) 甚至只是定義的轉換而已 ( 因此有些書會依 () 定義事件獨立 ) () PA ( B') PA ( ) PA ( B) PA ( ) PAPB ( ) ( ) PA ( )[ PB ( )] PAPB ( ) ( ') A與 B ' 獨立 () PA ( ' B') P(( A B)') A' 與 B ' 獨立 PA ( B) [ PA ( ) + PB ( ) PA ( B)] PA ( ) PB ( ) + PAPB ( ) ( ) [ PA ( )][ PB ( )] PA ( ') PB ( ') 我們討論完事件的獨立, 自然地我們就想知道那麼事件獨立的定義是什麼?

13 三事件獨立 () PA ( B) PAPB ( ) ( ) () PB ( C) PBPC ( ) ( ) Defto. 若, 則 A, BC, 事件獨立 () PC ( A) PCPA ( ) ( ) () PA ( B C) PAPBPC ( ) ( ) ( ) 有些同學會覺得很奇怪, 難不成我們不能只利用上面的條件, 就推到第 () 個式子也成立, 很遺憾的, 這是不行的, 底下我們就來看看這個反例 Example. 丟一粒均勻骰子次令 E 為點數和為 7 的事件,F 為第一次擲出的事件, G 為第二次擲出的事件, 試說明此事件兩兩獨立, 但事件不獨立 6 Soluto. PE ( ) ( 由粒骰子表知 ), PF ( ) PG ( ), 而且 PE ( F) PEPF ( ) ( ), PF ( G) PF ( ) PG ( ), PG ( E) PGPE ( ) ( ), 但是 PE ( F G), PEPFPF ( ) ( ) ( ) PE ( F G) PEPFPG ( ) ( ) ( ), 6 6 事件不獨立從上面這個例子, 我們發現到這個條件真的都很重要, 缺一不可, 底下我們列出個獨立事件的性質 Corollary. 若 ABC,, 事件獨立, 則 : () ABC,, ' 事件獨立 () A', B', C ' 事件獨立這裡的證明皆與前面差不多, 當然還有其他幾個, 有興趣的同學自行證明即可, 我們討論完個, 當然我們可以套更多事件獨立的情況, 但是由於太過繁瑣, 基本上到此即可, 相信其他的同學可以自己類推, 最後我們來看獨立事件簡單的應用題當做收尾 7. 應用 Example. 如果每個月出生的機率一樣 ( 不管年份 ), 則想找與自己同一月份出生的人, 至少要找多少人才會使碰上的機率超過 99%? ( log. 0.0, log , log 0.00, log. 0.77) Soluto. ( ) > 99%

14 ( ) < 0.0 (log log) < [( + log.) ( + log.)] < ( ) < > 5. 至少 5 人從上面的題目中, 我們感覺好像與獨立沒什麼關係, 但是細細探究, 我們還是有用到獨立的條件, 例如任何人我們碰到同月的機率皆為, 所以我們平常都非常常用這個概念, 只是很少去真的提出來我們也看到機率與對數的結合應用, 當然還有更多的應用, 就請同學自行練習囉!

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Microsoft Word - _m30.doc 1 2 3 4 5 6 7 8 公式 2 4 2 1 能整除因此後玩者贏且關鍵數字為3 的倍數 3 0 3 1 不能整除所以先拿餘數 2 關鍵數字是 4的倍數 2 先玩者贏 4 0 4 1 能整除因此後玩者贏且關鍵數字為 5 的倍數 5 0 5 1 不能整除所以先拿餘數 2 關鍵數字是 6的倍數 2 先玩者贏 7 0 6 1 能整除因此後玩者贏且關鍵數字為7