纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式

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枫彭
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1 第 1 章随机事件及其概率

2 纲要 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式

3 1.2 随机事件的概率

4 概率的统计意义频率设是随机试验 E 的一个事件, 在次重复试验即试验条件完全相同中, 事件发生的次数称为事件在次重复试验中发生的频数, 记为 r, 称比值 f = r / 为事件在次重复试验中发生的频率显然有 0 r, 0 f 1 统计规律性随机现象既有偶然性也有必然性, 表现为大量试验中随机事件发生的频率稳定性, 即某个事件发生的频率在某一常数值附近摆动概率随机事件发生的可能性大小的数量量度频率是概率的近似反映

5 均匀硬币投掷试验设事件表示出现正面是否有理由相信, 投掷均匀硬币出现正面的可能性就是 0.5?

6 概率的古典定义古典型随机试验等可能性每个样本点出现的可能性都相等样本空间有限性样本点总数有限定义古典型概率古典型随机试验 E 中, 随机事件的概率为 : 的样本点数 = 样本空间的样本点总数

7 1812 Théorie aalytique des probabilités 分析概率论 ierre-simo Laplace 拉普拉斯法国数学家 École Militaire 画于 1838

8 排列组合公式 k! k! C k k! k k! k! k

9 例 1 例把一部 4 分册的文集随意摆上书架成 1 排, 求各册自左至右或自右至左恰成 1, 2, 3, 4 的顺序的概率解 : 四本书编号 1, 2, 3, 4 的排法, 共有 : 4! = 24 种样本点总数为 24 每种排法等可能出现即符合古典概型设事件为各册自左至右或自右至左恰成 1, 2, 3, 4 的排法有 : 1, 2, 3, 4 或 4, 3, 2, 1 的样本点数为 2 的样本点数 2 1 样本空间的样本点总数 24 12

10 例 2 例某城市有 N 部轿车, 车牌号从 1 到 N 有一个外地人到该城市去, 把遇到的部轿车的牌号抄下可能重复抄到某些车牌号问抄到的最大号码恰好为 k 的概率解 : 假设该城市的所有轿车等可能地出现在该城市的任意地方这是合理的, 因为外地人到该城市也是随机的每部轿车被遇到的可能性可以认为相同外地人抄车牌号相当于从 N 个元素中有放回地抽取个元素共有 N 种样本点总数为 N 符合古典概型的要求

11 例 2 例某城市有 N 部轿车, 车牌号从 1 到 N 有一个外地人到该城市去, 把遇到的部轿车的牌号抄下可能重复抄到某些车牌号问抄到的最大号码恰好为 k 的概率解 : 样本点总数为 N 设事件为抄到的最大车牌号码恰好为 k 样本点数 = 车牌号不大于 k 的取法总数 - 车牌号不大于 k - 1 的取法总数 k k 1 的样本点数 k k 1 样本空间的样本点总数 N

12 例 3 设有个球, 每个都能以同样的概率 1/N 落到 N 个格子 N 的每一个格子中, 试求 : 1. 某指定的个格子中各有一个球的概率 ; 2. 任何个格子中各有一个球的概率解 : 每个球落在哪个格子都有 N 种可能结果, 共有样本点总数为 N N 种可能结果问题 1 中, 个球的个格子已经指定, 只需要对个球进行排列共有能结果 1! N! 种可问题 2 中, 个球的个格子可以任意, 除需要对个球进行排列, 还需要从 N 个格子中选出个格子从 N 个格子中选出个格子, 共有 C N 种可能结果 2 CN! N! N N N!

13 思考例 : 概率论历史上有一个颇为有名的问题, 即求参加某次集会的 365 个人中没有两个人的生日相同的概率

14 例 4 例抽签原理 : 袋中盛有 a 只白球和 b 只黑球, 一只一只地将球取出, 取后不放回, 直到取完为止求第 k 次 1 k a + b 取到白球的概率解 : 用表示第 k 次取到白球解法 1: 认为 a + b 个球都是不一样的, 将 a + b 只球编号将取出的 a + b 只球排成一列, 共有样本点总数为 a + b! 且每种排列机会相同 : 古典概型 a a b 1! a a b! a b a + b! 先在排列的第 k 个位置取白球, 有 a 种取法排法再将 a + b - 1 只球排在 a + b 1 个位置上, 有 a + b - 1! 的样本点数为 aa + b - 1! 注 : 该结果与 k 无关, 即无论哪次摸得白球的概率都是一样的, 与先摸后摸无关, 这正是我国传统的抽签

15 例 4 例抽签原理 : 袋中盛有 a 只白球和 b 只黑球, 一只一只地将球取出, 取后不放回, 直到取完为止求第 k 次 1 k a + b 取到白球的概率解 : 用表示第 k 次取到白球解法 2: 认为 a 只白球都是一样的,b 只黑球也都是一样的将取出的 a + b 球排成一列, 取其中 a 各位置放白球, 则其余位置必然放黑球共有 a C a b 种取法样本点数为 a C a b 且每种方法机会相同 : 古典概型在第 k 个位置放 1 个白球, 将剩下的 a - 1 个白球放在 a + b - 1 个位置在 a + b - 1 个位置中, 取 a - 1 个位置, 共有 a 1 C ab1 种取法 a 1 的样本点数为 C ab1 C a1 ab1 a ab C a a b

16 例 4 例抽签原理 : 袋中盛有 a 只白球和 b 只黑球, 一只一只地将球取出, 取后不放回, 直到取完为止求第 k 次 1 k a + b 取到白球的概率第一种方法对球编号, 考虑了顺序, 故采用排列的方法第二种方法对同色球不加区别, 不考虑顺序, 故采用组合的方法两种不同的解法有相同的结果, 两种解法的区别在于 : 选取的样本空间不同不管采用什么样的样本空间, 必须注意以下两点 : 1 同一样本空间中样本点发生的可能性必须相等 ; 2 计算样本点总数和事件的样本点数时必须在同一个样本空间中进行

17 例 4 例抽签原理 : 袋中盛有 a 只白球和 b 只黑球, 一只一只地将球取出, 取后不放回, 直到取完为止求第 k 次 1 k a + b 取到白球的概率解法 3: 只考虑前 k 个球的情形, 用排列的方法 : 1 k 1 样本点总数为的样本点数为 k a b a ab1 解法 4: 只考虑第 k 次取球的情形样本点总数为 a b 的样本点数为 a

18 概率的公理化定义定义设 Ω 是一个概率空间,F 表示包括 Ø 和 Ω 在内的满足一定条件的事件族, 简称事件域定义在 F 上的一个集合函数, 如满足如下 3 个条件 : 1 非负性, 对 F, 0; 2 正规性规范性,Ω = 1; 3 完全可加性, 若 i F i= 1, 2, 是一个两两互斥的事件序列, 则即 1 1 我们就称为概率函数

19 1933 Foudatios of the Theory of robability 概率论的基本概念 Андрей Николаевич Колмогоров drey Nikolaevich Kolmogorov, 柯尔莫哥洛夫苏联数学家 Dea Departmet of Mechaics ad Mathematics Moscow State Uiversity

20 概率的性质 1 对任何事件, 都有 0 1 2Ω = 1, 不可能事件的概率为零 0 证 : 由于由完全可加性所以 0

21 概率的性质 3 有限可加性 : 对任意个两两互不相容的事件 1, 2,, i j, i j; i, j 1,2,, 有证 : 补充, 2, 1 由完全可加性有

22 概率的性质 4 互逆事件的概率 1 证 : 由于由有限可加性 1 所以 1

23 概率的性质 5 证 : 若事件包含于事件, 即则因为所以且由有限可加性所以 0

24 概率的性质 6 加法定理 : 因为证 : 又由有限可加性又所以, 由性质 5 包含事件的概率有对任意事件,, 有对任意事件,, 推论 :

25 概率的性质 7 广义加法公式 : 加奇减偶 1 2 对任意个事件 1, 2,,, 有 i 1 i i j 1 i j i j k 1 i j k

26 例 5 一袋中装有 9 只黑球和 1 只白球, 每次从袋中随机地摸出一球, 并换入 1 只黑球, 求第 k 次摸出黑球的概率. 解 : 设为第 k 次摸出黑球则为第 k次摸出白球如果在第 k 次前摸出白球, 则第 k 次一定摸出黑球必不发生要发生前 k - 1 次必须每次摸出黑球, 第 k 次摸白球 10 1 k 10 k 1 1 所以 k 10 k

27 例 6 已知在 100 件产品中有 95 件正品和 5 件次品, 购买者从中任取一半检查, 如果发现次品不多于一个, 则认为这批产品合格, 求这批产品被购买者认为合格的概率. 解 : 设为这批产品被购买者认为合格的概率设 k 为任取一半其中恰有 k 个次品, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 显然, k k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 两两互斥 C C 100 C C95 50 C 100 =

28 解 : 例 7 在甲袋中有 3 只白球,7 只红球,15 只黑球, 乙袋中有 10 只白球,6 只红球,9 只黑球现从两袋中各取一球求两球颜色相同的概率. 设为从两袋中取出的两球颜色相同设 1, 2, 3 分别表示从甲袋中取出白球红球黑球设 1, 2, 3 分别表示从乙袋中取出白球红球黑球有 1 1 表示取到两个白球, 2 2 表示取到两红球, 3 3 表示取到两个黑球则且 1 1, 2 2, 3 3 互斥 C 1 C 1 C 1 C 1 C C 1 C C 1 C 1 C 1 C 1 C

Microsoft PowerPoint - 第二讲.ppt [兼容模式]

Microsoft PowerPoint - 第二讲.ppt [兼容模式] 排列组合集合论随机事件事件间的关系与运算频率与概率 4 等可能概型 ( 古典概型 ) 等可能概型 ( 古典概型 ) 生活中有这样一类试验, 它们的共同特点是 : 样本空间的元素只有有限个 ; 每个基本事件发生的可能性相同比如 : 足球比赛中扔硬币挑边, 围棋比赛中猜先我们把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型设 S ={e 1, e,