第 章 排 列 組 合 4. 某 校 教 務 處 有 0 人, 學 務 處 有 8 人, 總 務 處 有 人, 今 欲 由 各 處 各 選 出 人 組 成 委 員 會, 有 多 少 種 組 成 方 法? 分 成 三 個 步 驟 完 成 : 第 一 步 : 由 教 務 處 任 選 一 人, 方 法 有

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1 第 章 排 列 組 合 排 列 組 合 - 乘 法 原 理 與 樹 狀 圖. 中 華 職 棒 聯 盟 總 冠 軍 賽 中, 由 A B 兩 隊 爭 霸, 約 定 先 勝 三 場 者 為 冠 軍, 今 已 比 賽 一 場, 結 果 是 A 隊 勝 出 () 利 用 樹 狀 圖 描 述 往 後 比 賽 所 有 的 情 形 () 往 後 比 賽 的 局 數 與 結 果, 共 有 多 少 種 可 能 的 情 形? () () 由 上 圖 可 知, 共 有 0 種 可 能 的 情 形. 龍 鳳 百 貨 公 司 出 售 兩 種 品 牌 香 水, 其 中 青 春 牌 有 5 種 不 同 的 香 味, 美 麗 牌 有 6 種 不 同 的 香 味, 阿 玲 欲 在 該 公 司 購 買 一 瓶 香 水, 試 問 有 多 少 種 選 購 方 法? 依 據 加 法 原 理, 選 購 方 法 共 有 = ( 種 ). 如 右 的 街 道 圖 中, 由 A 到 B 的 捷 徑 走 法 ( 即 只 許 向 右 向 上 走 ) 有 多 少 種? 如 圖 所 示 : 依 據 加 法 原 理 可 得 走 法 有 9 種

2 第 章 排 列 組 合 4. 某 校 教 務 處 有 0 人, 學 務 處 有 8 人, 總 務 處 有 人, 今 欲 由 各 處 各 選 出 人 組 成 委 員 會, 有 多 少 種 組 成 方 法? 分 成 三 個 步 驟 完 成 : 第 一 步 : 由 教 務 處 任 選 一 人, 方 法 有 0 種 ; 第 二 步 : 由 學 務 處 任 選 一 人, 方 法 有 8 種 ; 第 三 步 : 由 總 務 處 任 選 一 人, 方 法 有 種, 依 據 乘 法 原 理 得 組 成 方 法 有 0 8 = 960 ( 種 ) 5. 用 四 種 顏 色 塗 右 圖 小 丑 面 具 中 的 七 個 區 域, 每 個 區 域 恰 塗 一 種 顏 色, 但 相 鄰 區 域 不 得 同 色, 試 問 有 幾 種 塗 法? 如 圖, 我 們 依 序 塗 A B C D E F G 七 個 區 域, 方 法 有 4 = 6 ( 種 ) 6. 如 下 的 街 道 圖 中, 若 規 定 每 一 街 道 必 須 經 過 一 次 且 只 能 經 過 一 次, 則 由 A 到 B 的 走 法 有 多 少 種? 依 據 乘 法 原 理 知, 由 A 到 B 的 方 法 有 = 6( 種 )

3 7. 試 求 00 的 正 因 數 個 數 將 00 做 質 因 數 分 解 得 00 = 5, 即 的 指 數 有 ( + ) 種 取 法, 5 的 指 數 有 ( + ) 種 取 法, 依 據 乘 法 原 理 得 00 的 正 因 數 個 數 共 有 ( + )( + ) = ( 個 ) 第 章 排 列 組 合 8. 甲 乙 兩 人 分 別 從 到 9 的 正 整 數 中 任 選 一 個 數, 若 兩 人 可 選 相 同 的 數, 試 問 兩 數 相 加 是 偶 數 的 情 形 有 多 少 種? 兩 數 相 加 是 偶 數 的 情 形 有 兩 個 類 別 : 第 一 類 : 兩 數 均 為 偶 數 時, 方 法 有 4 4 = 6 ( 種 ) 第 二 類 : 兩 數 均 為 奇 數 時, 方 法 有 5 5 = 5 ( 種 ) 故 得 相 加 為 偶 數 的 情 形 有 = 4( 種 )

4 4 第 章 排 列 組 合 9. 龍 龍 鞋 店 為 與 同 業 進 行 促 銷 戰, 推 出 第 二 雙 不 用 錢 買 一 送 一 的 活 動 該 鞋 店 共 有 八 款 鞋 可 供 選 擇, 其 價 格 如 下 : 款 式 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 價 格 規 定 所 送 的 鞋 之 價 格 一 定 少 於 所 買 的 價 格 ( 例 如 : 買 一 雙 丁 款 鞋, 可 送 甲 乙 兩 款 鞋 之 一 ) 若 有 一 位 龍 龍 鞋 店 的 顧 客 買 一 送 一, 則 該 顧 客 所 帶 走 的 兩 雙 鞋, 其 搭 配 方 法 一 共 有 多 少 種? 可 分 二 個 類 別 完 成 : 第 一 類 : 買 丙 丁 戊 三 款 鞋, 分 別 可 送 甲 乙 兩 款 鞋, 得 搭 配 方 法 有 = 6( 種 ) 第 二 類 : 買 己 庚 辛 三 款 鞋, 分 別 可 送 甲 乙 丙 丁 戊 五 款 鞋, 得 搭 配 方 法 有 5 = 5( 種 ) 依 據 加 法 原 理, 其 搭 配 方 法 共 有 = ( 種 ) 0. 試 問 方 程 式 x+ y+ 5z = 0 的 正 整 數 解 有 多 少 組? ( 提 示 : 討 論 z =,, 三 種 類 別, 當 z = 時, x+ y = 5; 當 z = 時, x+ y = 0 ; 當 z = 時, x+ y = 5) 當 z = 時, x+ y = 5, 得 ( xy, ) = (,) ( 9, ) ( 6, ) ( ) 當 z = 時, x+ y = 0, 得 ( xy, ) = ( 7,) ( 4, ) ( ) 當 z = 時, x+ y = 5,, 有 組 解 ;, 4 有 4 組 解 ; 得 ( xy, ) = (,) 有 組 解, 依 據 加 法 原 理, 共 有 4+ + = 8組 解

5 第 章 排 列 組 合 5 - 排 列 排 列 組 合. 試 求 下 列 各 式 中 的 自 然 數 n : () 0! 8! = n 8! () n! = 40! ( n ), n > () 0! 8! = 0 9 8! 8! 得 n = 89 = ( 90 ) 8! = 89 8!, ( )( ) ( ) n n n! () 原 式 化 為 = 40, n! 即 n( n ) = 40, 整 理 得 ( n )( n ) 故 n = 6 或 5 ( 不 合 ) = 0, n+ n. 若 P4 = 0 P, 試 求 自 然 數 n 之 值 原 式 展 開 得 ( n+ ) n ( n ) ( n ) = 0 ( n ) ( n ), 整 理 得 n + n 0 = 0, 分 解 得 ( n 5)( n+ 6) = 0, 故 n = 5或 n = 6( 不 合 ). 導 師 欲 從 班 上 成 績 前 十 名 的 0 位 同 學 中, 選 出 位 分 別 擔 任 班 長 副 班 長 及 風 紀 股 長, 則 選 法 有 多 少 種? 即 為 0 人 取 人 的 排 列 數 0 P = = 70 ( 種 )

6 6 第 章 排 列 組 合 4. 將 甲 乙 丙 等 七 人, 排 成 一 列, 若 () 任 意 排, () 甲 一 定 排 首 位, 乙 不 排 末 位, () 甲 乙 不 相 鄰, 試 問 排 法 各 有 幾 種? () 自 七 人 中 全 取 的 排 列 數 有 7! = 5040 ( 種 ) () 甲 排 首 位, 乙 不 排 末 位 = ( 甲 排 首 位 ) ( 甲 排 首 位 且 乙 排 末 位 ) = 6! 5! = 70 0 = 600 ( 種 ) () 先 排 丙 丁 等 五 人, 方 法 有 5! 種, 再 將 甲 乙 二 人 插 入 五 人 前 後 共 6 個 間 隔 中, 方 法 有 P 種, 故 甲 乙 不 相 鄰 之 排 法 有 5! P = 0 0 = 600 ( 種 ) 用 十 個 數 字 排 成 三 位 數, 且 數 字 不 重 複, 試 問 : () 共 有 多 少 種 排 法? () 其 中 奇 數 有 多 少 個? () 因 為 首 位 不 能 排 0, 須 先 排, 方 法 為 自,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 九 個 數 字 中 任 選 其 一, 有 P 種, 其 次 自 剩 下 的 九 個 數 字 中 任 選 二 個 排 在 剩 下 的 二 個 位 置, 方 法 有 9 9 故 得 排 法 有 P P = = 648 ( 種 ) () 因 為 個 位 必 排 奇 數, 故 先 排, 方 法 為 自,,5,7,9 五 個 數 中 任 選 其 一, 有 P 種, 次 排 首 位, 因 為 0 不 得 排 首 位, 所 以 方 法 有 8 再 排 第 二 位, 方 法 有 P 種, 故 奇 數 個 數 有 P P P = = 0 ( 個 ) 5 8 P 種, 9 9 P 種,

7 6. 將 banana 中 的 六 個 字 母 全 取 作 直 線 排 列, 若 () 任 意 排 列, () 三 個 a 字 必 相 鄰, 試 問 排 法 各 有 幾 種? 第 章 排 列 組 合 7 () 有 六 個 字 母, 其 中 有 三 個 a 二 個 n, 故 全 取 之 排 列 數 為 6! 60!! = ( 種 ) () 三 個 a 視 為 一 單 位, 與 其 他 三 個 字 母 合 成 4 個 單 位, 其 中 有 二 個 n, 4! 故 排 法 有! = ( 種 ) 7. 如 右 圖, 棋 盤 形 的 街 道, 南 北 向 有 8 條 街, 東 西 向 有 5 條 街, 試 問 由 A 走 到 B 的 捷 徑 中 () 任 意 的 走 法, () 必 經 過 P 點 的 走 法, 各 有 多 少 種? () 每 一 個 由 A 到 B 的 捷 徑 是 由 七 個 右 四 個 上 排 列 而 成, 故 走 法 有 ( 7+ 4! ) = 0 ( 種 ) 7!4! () 必 經 過 P 點 的 走 法 = ( 由 A 走 到 P ) ( 由 P 走 到 B ) ( +! ) ( 4+! ) =!! 4!! = 50 ( 種 )

8 8 第 章 排 列 組 合 8. 設 A B C D E F 六 位 小 朋 友 排 成 一 列 縱 隊 郊 遊, 其 中 因 為 A 的 年 紀 較 小, 不 敢 排 在 首 尾 兩 個 位 置, 則 排 法 有 幾 種? ( 提 示 : 所 求 排 列 數 = ( 任 意 排 列 數 ) ( A 排 首 之 排 列 數 ) ( A 排 尾 之 排 列 數 ) ) 所 求 排 列 數 = 6! 5! 5! = 480 ( 種 ) 9. 某 地 共 有 9 個 電 視 頻 道, 將 其 分 配 給 個 新 聞 臺 4 個 綜 藝 臺 個 體 育 臺, 共 三 種 類 型, 若 同 類 型 電 視 臺 的 頻 道 要 相 鄰, 則 頻 道 分 配 方 式 共 有 幾 種? ( 提 示 : 將 個 新 聞 臺 4 個 綜 藝 臺 個 體 育 臺, 分 別 各 視 為 個 單 位, 共 個 單 位 作 直 線 排 列, 方 法 有! 種 次 將 新 聞 臺 綜 藝 臺 體 育 臺 分 別 排 列, 再 由 乘 法 原 理, 可 得 所 有 分 配 方 式 ) 分 配 方 式 =!! 4!! = 78 ( 種 )

9 第 章 排 列 組 合 9 - 重 複 排 列 排 列 組 合. 一 個 多 重 選 擇 題, 有 A B C D E 五 個 選 項, 其 中 至 少 有 一 個 選 項 是 對 的, 試 問 其 作 答 方 法 有 多 少 種? 五 個 選 項 中, 每 一 個 選 項 可 分 選 與 不 選 種 選 法, 5 故 至 少 選 一 個 的 方 法 有 = ( 種 ). 由 0,,,, 4, 5 六 個 數 字 中 任 取 三 個 數, 組 成 個 數 字 的 號 碼 鎖, 數 字 可 重 複, 試 問 有 多 少 種 可 能 的 號 碼 鎖? 討 論 每 個 位 置 的 排 法 : 每 個 位 置 均 有 6 種 方 法, 故 共 有 = 6 種 可 能 的 號 碼 鎖. 將 本 不 同 的 書 全 部 分 給 甲 乙 丙 丁 四 人, 若 () 任 意 給 ( 每 人 可 能 分 到 多 本, 也 可 能 本 都 沒 分 到 ), () 甲 至 少 得 一 本, 試 問 分 法 各 有 幾 種? () 每 本 書 可 分 給 甲 乙 丙 丁 任 一 人, 分 法 有 4 種, 故 本 書 的 分 法 有 4 = 64 ( 種 ) () 若 甲 未 得, 則 每 本 書 的 分 法 有 種, 故 本 書 的 分 法 有 = 7 ( 種 ), 甲 至 少 得 一 本 的 分 法 = ( 任 意 分 法 ) ( 甲 未 得 的 分 法 ) = 4 = 7 ( 種 )

10 0 第 章 排 列 組 合 4. 假 設 在 招 呼 站 有 三 輛 計 程 車, 每 輛 至 多 可 搭 乘 4 位 客 人, 現 招 呼 站 來 了 5 位 要 搭 乘 計 程 車 的 旅 客, 試 問 共 有 幾 種 不 同 的 載 客 方 式? 5 5 人 任 意 搭 乘 三 輛 計 程 車 的 方 法 有 = 4種, 5 人 搭 同 一 輛 車 的 方 法 有 種, 故 所 求 方 法 數 共 有 4 = 40 種 * 5. 自 8 人 中 任 選 6 人 排 成 一 個 圓 圈, 試 問 排 法 共 有 幾 種? 即 8 人 中 任 取 6 人 之 環 狀 排 列 數 有 8 P = = 60 ( 種 ) 6 6 * 6. 一 家 七 口 圍 圓 桌 而 坐, 若 父 母 二 人 不 相 鄰, 試 問 共 有 多 少 種 坐 法? 五 位 子 女 先 排, 方 法 有 ( 5 )! = 4! ( 種 ), 5 再 將 父 母 兩 人 插 入 5 個 間 隔 中, 方 法 有 P 種, 5 故 父 母 不 相 鄰 的 坐 法 有 4! P = 480( 種 )

11 第 章 排 列 組 合 -4 組 合 排 列 組 合 求 C + C + C + C 之 值 原 式 = C + C + C + C = = 0. 若 P = 0 C, 試 求 自 然 數 n 之 值 n+ n+ 5 4 原 式 化 為 ( n+ ) ( n+ ) n ( n ) ( n ) ( n+ ) ( n+ ) n ( n ) = 0 4 整 理 得 n = 5, 即 n = 7, n,. 若 m 為 自 然 數 且 C 0 0 m C m m C m 6 =, 試 求 C 之 值 0 0 由 C m = C m 6, 得 C =, 即 0 m= m 6, 故 m = 8, 0 9 所 以 C m = C 8 = C 4 = = m

12 第 章 排 列 組 合 4. 因 乾 旱 水 源 不 足, 自 來 水 公 司 計 畫 在 下 週 一 至 週 日 的 7 天 中 選 擇 天 停 止 供 水, 試 問 自 來 水 公 司 有 多 少 種 選 擇 方 式? 即 自 7 天 中 任 選 天 的 組 合 數 為 C = = ( 種 ) 5. 自 班 上 0 位 數 學 高 手 中, 任 選 4 位 參 加 龍 鳳 盃 數 學 競 試, 試 問 選 法 有 多 少 種? 即 自 0 位 中 任 選 4 位 的 組 合 數 為 C = = 0 ( 種 ) 4 6. 有 一 籃 球 隊, 其 隊 員 中 有 6 個 白 人 5 個 黑 人, 每 次 選 5 人 上 場 ( 假 設 位 均 是 全 能 球 員 ), 試 求 下 列 組 合 各 有 多 少 種? () 任 意 選 () 個 白 人 個 黑 人 () 特 定 二 人 必 入 選 () 即 人 中 任 選 5 人 之 組 合 數 為 C 5 = 46 ( 種 ) () 自 6 白 人 中 選 白 人, 方 法 有 C 種, 自 5 黑 人 中 選 黑 人, 方 法 有 C 種, 6 5 故 白 人 黑 人 之 選 法 有 C C = 0 0 = 00 ( 種 ) () 特 定 二 人 必 入 選, 方 法 只 有 種, 再 自 剩 下 的 9 人 中 任 選 人, 方 法 有 C = ( 種 )

13 第 章 排 列 組 合 7. 平 面 上 有 n 個 相 異 點, 其 中 任 意 三 點 不 共 線, 今 將 任 二 點 連 成 一 線, 共 得 05 條, 求 n 值 n 因 為 相 異 n 點 可 決 定 直 線 C 條, n 所 以 C = 05, ( ) n n 即 整 理 得 n = 05, n 0 = 0, 分 解 得 ( n )( n ) = 0, 故 n = 5或 n = 4( 不 合 ) 8. 求 凸 九 邊 形 的 對 角 線 共 有 多 少 條? ( 提 示 : 凸 九 邊 形 的 9 個 頂 點 所 決 定 的 線 段 9 個 邊 ) ( 凸 九 邊 形 的 9 個 頂 點 所 決 定 的 線 段 ) ( 9 個 邊 ) 9 = C 9 = 6 9 = 7 ( 條 ) m 9. 設 m n 為 自 然 數 且 n 5, 若 C 0 + C + C + C + C 4 + C 5 = C n, 求 m n 之 值 ( 提 示 : 利 用 巴 斯 卡 定 理 : 得 C + C = C + C = C, 依 此 類 推 ) 因 為 C = C, = C + C + C + C + C + C 所 以 原 式 ( ) ( ) ( ) ( ) = C + C + C + C + C = C + C + C + C = C + C + C = C + C = C 5, 故 m =, n = 5 0 0

14 4 第 章 排 列 組 合 -5 重 複 組 合 排 列 組 合. 試 求 方 程 式 x+ y+ z = 之 () 非 負 整 數 解 () 正 整 數 解 有 多 少 組? () 其 非 負 整 數 解 組 數 為 C = C = C = = 9( 組 ) () 因 為 x, y, z, 所 以 令 x = x 0, y = y 0, z = z 0, 則 x+ y+ z = 的 正 整 數 解 組 數, 相 當 於 x + y + z = 9 的 非 負 整 數 解 組 數, 故 為 + C = C = C = ( 組 ) 將 6 張 相 同 的 優 待 券 全 部 分 給 甲 乙 丙 丁 四 人, 試 問 下 列 分 法 各 有 幾 種? () 每 人 可 兼 得 () 每 人 至 少 得 一 張 () 設 甲 乙 丙 丁 分 別 得 x y z u 張, 則 x+ y+ z+ u = 6 且 x 0, y 0, z 0, u 0, 即 求 其 非 負 整 數 解 組 數 為 + C = C = C = ( 組 ), 故 分 法 有 84 種 () 第 一 步 : 先 分 給 每 人 一 張, 分 法 只 有 種, 第 二 步 : 將 剩 下 的 張, 任 意 分 給 4 人, 分 法 為 x+ y+ z+ u = 的 非 負 整 數 解 組 數 : C 4 5 C 0 + = = ( 組 ), 由 乘 法 原 理 得 每 人 至 少 得 一 張 的 分 法 有 0 = 0 ( 種 )

15 第 章 排 列 組 合 5. 龍 龍 冰 店 每 天 準 備 8 種 不 同 配 料 供 客 人 選 擇, 若 每 碗 剉 冰 可 以 任 選 4 種 配 料, 每 種 配 料 可 以 重 複 選 取, 則 一 碗 剉 冰 的 配 料, 有 多 少 種 不 同 可 能 的 情 形? 相 當 於 8 類 不 同 物 品, 每 次 取 4 件 的 重 複 組 合 數, 故 有 4+ 8 C 4 = C 4 = 0 ( 種 ) 4. 由 相 異 的 6 本 書 中, 至 少 取 一 本 來 閱 讀, 試 問 其 方 法 有 幾 種? 每 一 本 均 可 分 取 與 不 取 兩 種, 故 至 少 取 一 本 的 方 法 有 6 = 6( 種 ) 5. 設 有 相 同 蘋 果 個 梨 子 個 西 瓜 4 個, 現 由 你 任 意 取, 試 問 你 至 少 取 一 個 的 方 法 有 幾 種? 至 少 取 一 個 的 方 法 有 ( + )( + )( 4+ ) = 59( 種 ) 6. 設 候 選 人 位, 選 舉 人 6 位, 若 每 人 限 投 一 票 且 無 廢 票, 試 問 下 列 開 票 結 果, 人 得 票 的 情 形 各 有 多 少 種? () 採 記 名 投 票 () 採 無 記 名 投 票 ( 提 示 :() 採 記 名 投 票 : 須 考 慮 次 序, 故 為 重 複 排 列 問 題 () 採 無 記 名 投 票 : 不 須 考 慮 次 序, 故 為 重 複 組 合 問 題 ) () 因 為 每 位 選 舉 人 均 有 種 投 法, 6 所 以 6 位 選 舉 人 投 票 給 位 候 選 人 的 情 形 有 = 79 ( 種 ) () 設 位 候 選 人 所 得 票 數 分 別 為 x x x, 則 x+ x + x = 6 且 x 0 x 0 x 0, 即 其 非 負 整 數 解 組 數 為 6 C + 6 = 8 ( 組 ), 故 有 8 種

16 6 第 章 排 列 組 合 * -6 二 項 式 定 理 排 列 組 合. 請 利 用 二 項 式 定 理, 寫 出 ( x + ) 4 之 展 開 式 ( ) x+ = C x + C x + C x + C x + C = x + 8x + 4x + x+ 6. 試 問 ( ) 0 x y 依 x 的 降 冪 展 開 式 中 () 共 有 多 少 項? () 第 四 項 為 何? () 共 0 + = ( 項 ) () 第 四 項 為 ( ) C x y = 0xy. 設 n 為 自 然 數, 若 ( ) n 係 數 相 等, 則 n 之 值 為 何? 由 已 知 得 C = C n = = 8 n n 9 9 x+ y 依 x 的 降 冪 展 開 式 中, 第 0 項 的 係 數 與 第 0 項 的 4. 試 求 x x 展 開 式 中 的 中 間 項 x 展 開 式 共 有 項, x 所 以 其 中 間 項 為 第 7 項, 故 中 間 項 為 6 ( ) C x = 94x x

17 第 章 排 列 組 合 7 5. 試 求 x 因 為 x x x 0 0 展 開 式 中 的 常 數 項 展 開 式 中 一 般 項 為 0 ( ) 0 k C k x x 所 以 令 0 5k = 0, 得 k = 6, 0 4 故 其 常 數 項 為 ( ) 6 k ( ) = C k x, 0 0 k 0 5k k C 6 = 求 C + C + C + + C0 之 值 原 式 = C + C + C + C + + C C 0 0 = = 04 = 試 求 展 開 後 的 百 位 數 字 ( ) 0 = = C + C 0 + C = , 故 得 百 位 數 字 為 C 0 0

18 8 第 章 排 列 組 合 自 我 評 量 排 列 組 合 ( A ). 龍 鳳 麵 包 店 出 售 三 種 蛋 糕, 其 中 幸 福 牌 有 種 口 味, 美 滿 牌 有 4 種 口 味, 青 春 牌 有 5 種 口 味, 阿 玲 欲 在 該 店 選 購 一 個 蛋 糕, 試 問 有 多 少 種 選 購 方 法? (A) (B) 5 (C) 0 (D) 60 - ( B ). 有 一 個 地 區 街 道 線 段 如 圖 所 示, 現 在 甲 君 擬 從 點 S 走 到 點 T ; 如 果 規 定 甲 君 必 須 沿 著 街 道 向 東 或 向 南 行 走, 試 問 會 有 多 少 種 不 同 路 線 走 法? (A) 44 (B) 5 (C) 74 (D) 95 - ( A ). 由 山 腳 到 山 頂 有 4 條 路 可 通, 每 條 路 可 走 人, 今 甲 乙 兩 人 選 擇 不 同 路 上 山, 試 問 他 們 上 山 的 走 法 有 多 少 種? (A) (B) 6 (C) 9 (D) 56 - ( C ) 4. 三 位 數 中, 十 位 數 字 是 7 且 個 位 數 字 是 偶 數, 這 樣 的 三 位 數 共 有 多 少 個? (A) 6 (B) 40 (C) 45 (D) 50 - ( B ) 5. 將 A B C D E F 六 個 字 母 排 成 一 列, 規 定 A B 須 相 鄰,C D 不 得 相 鄰 的 排 列 數 有 多 少 種? (A) 0 (B) 44 (C) 56 (D) 40 - ( C ) 6. 將 pallmall 一 字 中 之 8 個 字 母 全 取 排 列, 試 問 將 m 排 在 首 位 的 方 法 有 幾 種? (A) 60 (B) 90 (C) 05 (D) 0 - ( C ) 7. 如 右 圖, 一 棋 盤 式 街 道 有 直 街 6 條 橫 街 5 條, 試 問 由 A 到 B 的 捷 徑 中, 不 經 過 C 點 的 走 法 有 幾 種? (A) 6 (B) 96 (C) 66 (D) 60 ( A ) 8. 用 7 種 不 同 顏 色 塗 在 右 圖 甲 乙 丙 丁 戊 等 五 個 區 域 中, 若 規 定 顏 色 不 重 複 使 用 且 每 一 區 域 只 能 塗 滿 一 種 顏 色, 試 問 共 可 塗 出 幾 種 不 同 的 著 色 樣 式? (A) P (B) C 5 (C) H (D) 7 ( 提 示 : H 7 = C 5+ 7 )

19 第 章 排 列 組 合 9 ( D ) 9. 渡 船 三 艘, 每 船 最 多 可 載 5 人, 現 有 6 人 欲 安 全 渡 過, 試 問 有 幾 種 安 排 方 式? (A) 8 (B) 5 (C) 4 (D) 76 - ( C ) 0. 有 5 件 不 同 的 獎 品 分 給 甲 乙 丙 丁 四 位 小 朋 友, 若 甲 至 少 得 一 件, 其 方 法 有 多 少 種? (A) 0 (B) 69 (C) 78 (D) *( C ). 有 5 對 夫 婦 圍 圓 桌 而 坐, 若 規 定 男 的 坐 在 一 起, 女 的 也 坐 在 一 起, 試 問 坐 法 有 多 少 種? (A) 4! 4! (B) 4! 5! (C)5! 5! (D)9! - ( B ). 由,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 九 個 數 字 中 任 取 二 個 相 異 數 字, 試 問 其 積 為 偶 數 的 個 數 有 多 少 個? (A) 0 (B) 6 (C) 0 (D) 6-4 ( D ). 平 面 上 9 條 直 線, 若 任 兩 線 不 平 行 且 任 三 線 不 共 點, 試 問 此 九 條 直 線 可 構 成 多 少 個 三 角 形? (A) 0 (B) 40 (C) 50 (D) 84-4 ( A ) 4. 由 五 對 夫 婦 中 選 出 三 人 組 成 委 員 會, 試 問 恰 為 二 男 一 女 的 選 法 有 多 少 種? (A) 50 (B) 70 (C) 80 (D) 0-4 ( D ) 5. 某 班 同 學 共 有 50 人, 要 舉 辦 班 遊, 提 出 三 個 不 同 地 點 進 行 無 記 名 投 票, 若 每 人 限 投 一 票, 不 得 有 廢 票, 試 問 有 多 少 種 不 同 的 得 票 結 果? 50 (A) P (B) (C) C (D) C -5 ( D ) 6. 龍 龍 企 業 公 司 設 有 四 個 部 門, 每 個 部 門 均 有 經 理 一 人, 另 有 總 經 理 一 人 管 理 全 公 司 之 業 務, 年 終 時, 董 事 會 發 放 同 面 額 之 禮 券 0 張 給 總 經 理 及 四 個 部 門 經 理, 總 經 理 至 少 取 得 張, 其 餘 經 理 每 人 至 少 張, 試 5 5 問 共 有 多 少 種 發 放 方 法? (A) P (B) C (C) 5 7 (D) C -5 ( A ) 7. 將 8 個 相 同 的 球 放 入 4 個 相 同 的 箱 子, 每 箱 至 少 放 進 一 球, 則 其 放 法 共 有 多 少 種? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8-5 ( C ) 8. 設 n 為 自 然 數, 若 ( ) n a+ b 依 a 的 降 冪 展 開 式 中, 第 項 的 係 數 與 第 項 的 係 數 相 等, 則 n = (A) 0 (B) (C) (D) -6 ( C ) 9. 自 相 異 的 0 本 書 中, 至 少 選 一 本 來 閱 讀, 其 方 法 有 多 少 種? (A) 000 (B) 0 (C) 0 (D) ( A ) 0. 設 a > 0, 若 ax + 之 展 開 式 中 x 項 的 係 數 為 6, 則 a 等 於 (A) x (B) (C) (D) 4-6

20 0 第 章 機 率 機 率 - 樣 本 空 間 與 事 件. 試 用 列 舉 法 表 示 下 列 集 合 : () { x x, x } () { x x x 5 = 0, x } () { x x, x } = {,, 0,, } () { x x x 5 = 0, x } = { x ( x 5)( x+ ) = 0, x } = { 5, }. 試 寫 出 集 合 S = {,,,4} 的 所 有 子 集 S 的 所 有 子 集 有 { } { } { } { 4 } {, } {, } {,4 } {, } {,4 } {,4 } { } {,,4 } {,,4 } {,,4 } { }. 設 A= {, x, 5}, B {, 5, y} 若 {, x,5} {,5, y} =, 則 x =, y =,,,4, 共 有 6 個 =, 若 A= B, 試 求 x y 之 值 4. 設 A = {,,, 4, 5}, B = {,, 4}, {, 4, 5} () A ( B C) () ( A B) C () A ( B C) = {,,, 4,5} {,, 4,5} = {,, 4,5} () ( A B) C = {,,, 4,5} {, 4,5} = {, } C =, 試 求 :,,

21 5. 設 A = {,,5,7}, B = {, 4, 5, 6}, { 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} () A B () A B () A B {, 7} = () A B = {,,5,7} { 0,,,7,8,9} = {, 7} 第 章 機 率 U =, 試 求 : 6. 自 到 00 的 正 整 數 中, 試 求 : () 或 5 的 倍 數, () 的 倍 數 但 不 是 5 的 倍 數, 各 有 多 少 個? () n( A A5) = n( A ) + n( A ) n( A A ) = = 60 ( 個 ) () n( A A5) = n( A ) n( A A ) = 0 = 40 ( 個 ) 7. 擲 一 硬 幣 4 次, 依 序 觀 察 其 正 面 或 反 面 的 結 果, 試 問 : () 樣 本 空 間 中 的 元 素 個 數 () 出 現 三 正 一 反 面 的 事 件 4 () n( S ) = = 6 { } () (,,, ),(,,, ),(,,, ),(,,, ) 正 正 正 反 正 正 反 正 正 反 正 正 反 正 正 正

22 第 章 機 率 8. 擲 三 粒 不 同 的 骰 子 一 次, 觀 察 其 出 現 的 點 數, 試 問 : () 樣 本 空 間 中 的 元 素 個 數 () 出 現 點 數 和 為 9 的 事 件 () 點 數 和 為 5 的 事 件 () n( S ) = 6 = 6 () { },,,,,,,,,,,,,,,,, () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9. 小 龍 自,,, 4, 5 五 個 數 字 中 任 取 兩 個 相 異 數 字, 請 () 列 出 其 樣 本 空 間 S () 列 出 二 數 和 為 偶 數 的 事 件 A () 列 出 二 數 積 為 奇 數 的 事 件 B (4) 列 出 A 與 B 的 和 事 件 (5) 列 出 A 與 B 的 積 事 件 (6) 列 出 A 的 餘 事 件 A (7) A 與 B 是 否 為 互 斥 事 件 () S = {,,,,,4,,5,,,,4,,5,,4,,5,4,5} () A = {,,,5,,4,,5 } () B = {,,,5,,5 } (4) A B= {,,,5,,4,,5 } (5) A B= {,,,5,,5 } (6) A = {,,,4,,,,5,,4,4,5} (7) 因 為 A B, 所 以 A 與 B 不 是 互 斥 事 件

23 第 章 機 率 - 求 機 率 問 題 機 率. 同 時 擲 四 枚 均 勻 的 硬 幣 一 次, 試 求 : () 恰 出 現 一 正 面 的 機 率 () 至 少 出 現 一 正 面 的 機 率 設 樣 本 空 間 為 S, A 表 恰 出 現 一 正 面 的 事 件, B 表 均 為 反 面 的 事 件, n A = C = 4, 4 4 則 B 表 至 少 一 正 面 的 事 件, 因 為 n( S ) = = 6, ( ) 4 n( B) = C 0 =, 故 4 P A = = 6 4 () ( ) 5 = = = 6 6 () P( B ) P( B). 同 時 擲 兩 粒 均 勻 的 骰 子 一 次, 試 求 : () 點 數 和 大 於 0 的 機 率 () 點 數 和 為 的 機 率 設 樣 本 空 間 為 S, 點 數 和 大 於 0 之 事 件 為 A, 則 n( S ) = 6 = 6, A = {( 5,6 ),( 6,5 ),( 6,6) } 即 n( A ) = () 點 數 和 大 於 0 的 機 率 為 ( ) P A = = 6 () 點 數 和 為 的 事 件 為 空 事 件, 故 其 機 率 為 P ( ) = 0

24 4 第 章 機 率. 袋 中 有 相 同 的 6 白 球 4 紅 球, 試 求 : () 任 取 二 球, 二 球 同 色 的 機 率 () 任 取 三 球, 一 白 球 二 紅 球 的 機 率 () 設 樣 本 空 間 為 S, 二 球 同 色 的 事 件 為 A, 則 n( S ) = C =, ( ) 45 n A = C + C =, 7 故 P( A ) = = 45 5 () 設 樣 本 空 間 為 S, 一 白 球 二 紅 球 的 事 件 為 B, 則 n( S ) = C =, n( B) C C 故 ( ) 0 6 P B = = 0 0 = =, 6 4. 自 五 男 三 女 中, 任 選 三 人 組 成 委 員 會, 設 每 人 被 選 到 的 機 會 均 等, 試 求 : () 恰 為 二 男 一 女 的 機 率 () 至 少 有 一 女 生 的 機 率 設 樣 本 空 間 為 S, 恰 為 二 男 一 女 的 事 件 為 A, 三 人 中 均 為 男 生 之 事 件 為 B, 至 少 有 一 女 生 的 事 件 為 B, 則 n( S) = C = 56, n( A) = C C =, n( B) = C = 0, 故 () ( ) 0 5 P A = = 56 8 () P( B ) P( B) 0 0 = = = 56 8

25 第 章 機 率 5 5. 讀 者 文 摘 訂 閱 者 中 有 40% 閱 讀 財 經 資 訊,% 閱 讀 文 藝 專 欄,% 閱 讀 財 經 資 訊 與 文 藝 專 欄, 試 求 任 選 一 位 訂 閱 者, 其 閱 讀 財 經 資 訊 或 文 藝 專 欄 的 機 率 為 何? 設 A B 分 別 表 示 閱 讀 財 經 資 訊 文 藝 專 欄 的 事 件, 依 題 意 知, P B =, P( A B) = %, P( A ) = 40%, ( ) % 故 得 其 閱 讀 財 經 資 訊 或 文 藝 專 欄 的 機 率 為 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = 40% + % % = 6% 6. 設 A B 為 二 事 件, 且 P( A ) = 0.4, P( B ) = 0.7 且 P( A B) 0.9 () P( A ) () P( A B) () P( B A ) () P( A) = P( A ) = 0.4 = 0.6 () P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 得 0.9 = P( A B) 故 P( A B) = 0.4 P( A B) () P( B A) P( A) 0.4 = = = 0.6 =, 試 求 : 7. 自 到 9 的 自 然 數 中 任 取 兩 個, 機 會 均 等 且 數 字 不 重 複, 若 其 和 為 偶 數, 試 求 兩 者 均 為 偶 數 的 機 率 設 A 表 示 兩 數 和 為 偶 數 的 事 件, B 表 示 兩 者 均 為 偶 數 的 事 件, 則 n( A) = C + C =, ( ) 故 P( B A) 6 ( B) n( A) n A 6 = = = 6 8 n A B = C = 6,

26 6 第 章 機 率 8. 袋 中 有 大 小 相 同 的 紅 球 個 黑 球 個, 自 袋 中 逐 次 取 球, 每 次 取 一 球, 連 續 兩 次, 則 () 取 後 不 放 回, 依 次 為 紅 黑 的 機 率 () 取 後 放 回, 依 次 為 紅 黑 的 機 率 設 A 表 示 第 一 次 取 到 紅 球 的 事 件, B 表 示 第 二 次 取 到 黑 球 的 事 件, 則 () P( A B) = P( A) P( B A) = = () P( A B) = P( A) P( B) 6 = = 設 甲 袋 中 有 個 紅 球 個 白 球, 乙 袋 中 有 個 紅 球 個 白 球, 先 依 機 會 均 等 選 一 袋, 再 依 機 會 均 等 自 所 選 出 的 袋 中 選 一 球, 試 求 : () 此 球 為 紅 球 的 機 率 () 此 球 為 紅 球 的 條 件 下, 取 自 甲 袋 的 機 率 分 別 以 A B 表 示 球 取 自 甲 乙 袋 的 事 件, 以 R 表 示 取 到 紅 球 的 事 件, 則 P( A) = P( B) =, P( R A ) =, P( R B ) =, 5 4 () 由 分 割 性 質 得 P R = P A P R A + P B P R B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 = + = () 由 貝 氏 定 理 得 P( A R ) P( A R) = = 5 = P( R)

27 0. 設 甲 生 解 題 能 力 為 求 : () 兩 人 同 時 解 出 的 機 率 () 恰 有 一 人 解 出 的 機 率 () 此 題 被 解 出 的 機 率 第 章 機 率 7 5 6, 4 乙 生 解 題 能 力 為 5, 現 兩 人 同 解 一 題, 互 不 影 響, 試 設 A 表 甲 解 出 的 事 件, B 表 乙 解 出 的 事 件, () 二 人 同 時 解 出 的 機 率 為 5 4 P( A B) = P( A) P( B) = = 6 5 () 恰 有 一 人 解 出 的 機 率 為 ( ) + ( ) = P( A) P( B ) + P( A ) P( B) P A B P A B = + = () 此 題 被 解 出 的 機 率 為 ( 兩 人 均 未 解 出 的 機 率 ), 即 P( A B) = P( A B ) = P( A ) P( B ) = = = 設 A B 為 二 獨 立 事 件 且 P( A ) =, P( A B) () P( B ) () P( B A) () 由 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B), = +, P B = =, 6 P B = 即 P( B) P( B) 整 理 得 ( ) 故 ( ) () P( B A) = P( B ) = P( B) = = =, 試 求 :

28 8 第 章 機 率 - 數 學 期 望 值 機 率. 設 袋 中 有 相 同 的 紅 球 個 白 球 個, 現 自 袋 中 任 取 球, 若 球 同 色, 則 可 得 00 元, 試 求 取 一 次 的 期 望 值 C + C 4 取 球 同 色 的 機 率 為 P = =, 5 C 0 4 取 一 次 的 期 望 值 E = 00 = 40 ( 元 ) 0. 同 時 擲 兩 粒 均 勻 的 骰 子 一 次, 試 求 點 數 和 之 期 望 值 先 求 擲 一 粒 骰 子 的 期 望 值, 再 乘 以, 故 其 期 望 值 為 = 7( 點 ) 6 ( ). 擲 一 均 勻 的 硬 幣 三 次, 每 出 現 一 個 正 面 得 5 元, 一 個 反 面 賠 元, 則 所 得 總 額 之 期 望 值 是 多 少 元? 擲 三 次 之 期 望 值 = ( 擲 一 次 的 期 望 值 ), E 5 9 = + = ( 元 ) 故 得 ( )

29 第 章 機 率 9 4. 袋 中 有 代 幣 0 個, 其 中 有 4 個 是 0 元 代 幣, 而 其 餘 6 個 同 值, 今 自 袋 中 任 取 二 個, 若 已 知 期 望 值 為 4 元, 則 其 餘 6 個 代 幣 之 面 值 應 為 多 少 元? 設 其 餘 6 個 代 幣 之 面 值 各 為 x 元, 4 6 則 0 + x = 4, 整 理 得 x =, 故 x = 5( 元 ) 5. 某 公 司 0 個 產 品 中 有 4 個 不 良 品, 今 自 其 中 任 取 個, 試 求 含 有 不 良 品 個 數 之 期 望 值 取 個 的 期 望 值 ( 取 個 的 期 望 值 ) = 4 = = ( 個 ) 0 5

30 0 第 章 機 率 6. 有 一 種 遊 戲 是 投 擲 三 枚 均 勻 的 銅 板, 若 出 現 三 正 面 可 得 8 元, 出 現 二 正 面 可 得 元, 出 現 一 正 面 可 得 元, 不 出 現 正 面 須 賠 0 元, 試 求 投 擲 一 次 之 期 望 值 擲 三 枚 均 勻 銅 板, 樣 本 空 間 的 個 數 有 = 8種, C 出 現 三 正 面 之 機 率 為 p = =, 可 得 8 元 ; 8 8 C 出 現 二 正 面 之 機 率 為 p = =, 可 得 元 ; 8 8 C 出 現 一 正 面 之 機 率 為 p = =, 可 得 元 ; 8 8 C 0 不 出 現 正 面 之 機 率 為 p 4 = =, 須 賠 0 元, 8 8 所 以 擲 一 次 之 期 望 值 為 E = ( 0) = 0 ( 元 ) 發 行 公 益 彩 券 0 萬 張, 每 張 00 元, 獎 額 規 定 如 下 : 第 一 特 獎 張, 可 得 00 萬 元 ; 頭 獎 張, 各 得 50 萬 元 ; 貳 獎 0 張, 各 得 0 萬 元 ; 普 獎 000 張, 各 得 000 元, 試 求 購 買 一 張 之 期 望 值 買 一 張 之 期 望 值 為 E = = 50 ( 元 )

31 自 我 評 量 機 率 ( C ). 設 A = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, {, 4, 6, 8, 0} B =, 第 章 機 率 C = { 5, 7, 9, }, 則 ( A B) C = (A){,,5 } (B){, 5, 7 } (C){ 5, 7, 9 } (D){ 7, 9, } - ( B ). 設 A= { ab, }, B { a, } (D) 4 =, 若 A= B, 則 b = (A) (B) (C) - ( D ). 甲 乙 丙 三 人 各 出 剪 刀 石 頭 布 猜 拳, 在 只 出 拳 一 次 的 情 況 下, 試 問 樣 本 空 間 中 的 元 素 有 多 少 個? (A) 6 (B) 9 (C)8 (D) 7 - ( B ) 4. 續 上 題, 試 問 三 人 彼 此 不 分 勝 負 的 事 件 A 中 有 多 少 個 元 素? (A) 6 (B) 9 (C)8 (D) 7 - ( B ) 5. 袋 中 有 大 小 相 同 的 紅 球 個 白 球 4 個 黑 球 5 個, 現 自 袋 中 任 取 球, 則 球 同 色 的 機 率 為 (A) 0 (B) 9 (C) (D) ( A ) 6. 擲 三 粒 均 勻 的 骰 子 一 次, 則 三 粒 點 數 均 相 同 之 機 率 為 (A) (B) (C) (D) ( D ) 7. 由,,, 4, 5 五 個 數 字 中 任 選 二 數, 則 其 積 為 偶 數 的 機 率 為 (A) 0 (B) (C) 5 (D) ( A ) 8. 含 甲 乙 等 共 有 0 人, 今 從 中 任 選 人 參 加 比 賽 假 設 每 人 被 選 出 的 機 會 均 等, 試 問 甲 與 乙 二 人 同 時 被 選 出 參 賽 的 機 率 為 何? (A) 5 (B) (C) (D) ( D ) 9. 若 某 人 同 時 擲 5 枚 均 勻 的 硬 幣 一 次, 試 問 至 少 有 枚 出 現 正 面 的 機 率 為 何? (A) 6 (B) (C) 5 (D) 6 -

32 第 章 機 率 ( D ) 0. 自 到 0 的 自 然 數 中, 任 取 一 數, 每 數 機 會 均 等, 則 其 為 或 的 倍 數 之 機 率 為 (A) 6 (B) (C) (D) - ( B ). 擲 兩 粒 均 勻 的 骰 子 一 次, 若 已 知 兩 粒 骰 子 的 點 數 和 為 偶 數, 則 點 數 和 小 於 5 的 機 率 為 (A) 9 (B) 9 (C) (D) ( C ). 袋 中 有 大 小 相 同 的 紅 球 個 白 球 5 個, 今 每 次 取 一 球, 取 後 不 放 回, 則 連 取 兩 次 皆 為 白 球 的 機 率 為 (A) (B) 5 (C) 5 (D) ( D ). 承 上 題, 若 取 後 放 回, 則 兩 次 皆 為 白 球 的 機 率 為 (A) (B) (C) 5 (D) ( C ) 4. 玉 山 國 中 % 的 男 學 生 有 色 盲,.5% 的 女 學 生 有 色 盲, 已 知 全 校 有 60% 的 男 學 生, 試 問 全 校 學 生 中 任 選 人 有 色 盲 的 機 率 為 何? (A) 0.04 (B) 0.05 (C) 0.08 (D) ( C ) 5. 若 同 時 投 擲 一 枚 不 均 勻 的 硬 幣 與 一 枚 均 勻 的 硬 幣 一 次, 兩 枚 都 出 現 正 面 的 機 率 是 log, 試 問 只 投 擲 該 枚 不 均 勻 的 硬 幣 一 次 時, 出 現 正 面 的 機 率 為 何? (A) log (B) log (C) log (D)( ) log - ( C ) 6. A B 兩 人 投 籃, 互 不 影 響, 其 投 籃 的 命 中 率 分 別 是 與 4, 若 A B 兩 人 各 投 一 球, 試 問 至 少 有 一 人 投 進 的 機 率 為 何? (A) (B) 7 6 (C) 4 (D) ( B ) 7. 將 編 號,,,, 0 之 球 放 入 球 袋 中, 抽 取 號 球, 抽 中 號 得 分, 抽 中 號 得 分, 依 此 類 推, 則 任 意 抽 取 球 得 分 之 期 望 值 為 (A) 5 (B) 5.5 (C) 6 (D) 6.5 分 - ( B ) 8. 單 一 選 擇 題, 每 題 有 5 個 選 項, 若 每 題 答 對 可 得 4 分, 答 錯 倒 扣 分, 現 小 龍 隨 意 猜 答, 則 他 得 分 的 期 望 值 為 (A) (B) 0 (C) (D) 分 -

33 第 章 機 率 ( D ) 9. 設 袋 中 有 50 元 及 0 元 代 幣 各 枚, 自 袋 中 任 取 枚, 每 枚 取 到 的 機 率 均 等, 則 取 一 次 之 期 望 值 為 (A) 0 (B) 40 (C) 50 (D) 60 元 - ( D ) 0. 袋 中 有 大 小 完 全 相 同 的 0 個 球, 其 中 有 6 個 紅 球 4 個 綠 球 假 設 每 一 個 球 被 取 出 的 機 會 均 等, 現 在 從 袋 中 任 意 取 出 個 球 ( 同 時 取 出 ), 並 規 定 : 取 出 之 個 球 中, 恰 好 出 現 一 個 綠 球 之 彩 金 為 0 元, 恰 好 出 現 二 個 綠 球 之 彩 金 為 0 元, 三 個 都 是 綠 球 之 彩 金 為 0 元 時, 則 期 望 值 為 (A) 4 元 (B) 6 元 (C)8 元 (D) 元 -

34 4 第 章 統 計 - 抽 樣 方 法 統 計. 學 期 即 將 結 束, 某 高 中 三 年 班 舉 辦 同 學 會, 導 師 提 供 5 份 紀 念 品, 給 全 班 40 位 同 學 摸 彩 班 長 將 相 同 的 竹 籤, 標 上 到 40 的 號 碼, 放 入 竹 筒 中 攪 勻 後, 請 導 師 任 意 抽 取 5 枝, 所 得 5 個 號 碼 對 應 的 同 學 就 是 中 獎 同 學, 試 問 這 是 屬 於 哪 一 種 抽 樣 方 法? 簡 單 隨 機 抽 樣. 續 上 題, 試 問 每 位 同 學 中 獎 的 機 率 為 多 少? 5 p = = 本 縣 警 察 局 為 拚 治 安, 每 天 晚 上 十 點 鐘 開 始, 在 中 山 高 速 公 路 泰 山 收 費 站 攔 檢 車 輛, 每 通 過 00 輛 小 客 車 攔 檢 一 輛, 直 到 隔 日 凌 晨 兩 點 為 止, 試 問 此 一 攔 檢 是 屬 於 哪 一 種 抽 樣 方 法? 系 統 抽 樣

35 第 章 統 計 5 4. 華 騰 國 中 三 年 級 學 生 共 000 人, 現 以 上 學 期 數 學 成 績 分 成 三 組 : 第 一 組 為 80 分 ( 含 ) 以 上 者, 第 二 組 為 60 分 ( 含 ) 到 80 分, 其 餘 為 第 三 組 若 打 算 依 各 組 人 數 比 例 分 層 隨 機 抽 樣 50 位 學 生, 且 已 知 第 一 組 有 00 人, 第 二 組 有 500 人, 第 三 組 有 00 人, 則 第 一 組 應 抽 出 多 少 人? 因 為 第 一 二 三 組 學 生 人 數 比 例 為 00 : 500 : 00 = : 5 :, 故 第 一 組 應 抽 出 學 生 人 數 為 50 = 0( 人 ) 華 騰 國 中 編 班 時, 採 常 態 分 班 制, 每 一 班 可 視 為 全 校 的 縮 影, 今 欲 了 解 該 校 一 年 級 學 生 之 英 語 學 習 能 力, 舉 行 一 次 模 擬 考 後, 從 該 年 級 任 選 一 班 作 普 查, 試 問 此 種 抽 樣 方 法 是 屬 於 哪 一 種 抽 樣 方 法? 部 落 抽 樣 6. 體 操 委 員 會 由 0 位 女 性 委 員 與 5 位 男 性 委 員 所 組 成, 今 委 員 會 要 由 6 位 委 員 組 團 出 國 考 察, 如 以 性 別 作 分 層, 並 在 各 層 依 比 例 隨 機 抽 樣, 試 問 此 考 察 團 共 有 多 少 種 組 成 方 式?( 提 示 : 女 性 : 男 性 = :, 若 依 性 別 比 例 分 層, 則 可 知 女 性 應 取 4 位, 男 性 應 取 位 ) 因 為 女 性 : 男 性 = :, 若 依 性 別 比 例 分 層, 則 可 知 女 性 應 取 4 位, 男 性 應 取 位, 故 得 組 成 方 式 有 0 5 C 4 C = 00 ( 種 )

36 6 第 章 統 計 統 計 - 資 料 整 理 與 圖 表 編 製. 已 知 40 個 電 池 的 壽 命 表 如 下 : 40 個 電 池 的 壽 命 表 單 位 : 月 () 試 求 全 距 () 試 以 5 為 組 距, 將 資 料 分 成 6 組, 最 小 組 下 限 為 0, 製 作 次 數 分 配 表 () 試 畫 出 對 應 的 直 方 圖 及 次 數 分 配 曲 線 圖 (4) 試 作 出 對 應 的 累 積 次 數 分 配 表 (5) 試 作 出 對 應 的 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖 () 50 = 9 () 次 數 分 配 表 如 下 : 組 別 ( 月 ) 畫 記 計 算 次 數 ( 個 ) 0~5 5~0 4 0~5 正 正 正 一 6 5~40 正 正 0 40~45 正 5 45~50 總 計 40 () 直 方 圖 及 次 數 分 配 曲 線 圖 如 下 :

37 (4) 累 積 次 數 分 配 表 如 下 : 第 章 統 計 7 組 別 ( 月 ) 次 數 ( 個 ) 以 下 累 積 次 數 ( 個 ) 以 上 累 積 次 數 ( 個 ) 0~5 40 5~ ~ ~ ~ ~ ,0, (5) 描 點 ( 5, ) ( 0,6 ) ( 5, ) ( 40, ) ( 45,7 ) ( 50,40 ) 及 ( ) 得 以 下 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖 如 下 : 描 點 ( 0,40 ) ( 5,8 ) ( 0,4 ) ( 5,8 ) ( 40,8 ) ( 45, ) 及 ( 50,0 ), 得 以 上 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖 如 下 :

38 8 第 章 統 計. 某 高 中 一 年 班 50 位 同 學 第 一 次 段 考 數 學 成 績 的 次 數 分 配 表 如 下 : 成 績 ( 分 ) 0~0 0~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 次 數 ( 人 ) () 試 畫 直 方 圖 () 試 作 出 次 數 分 配 曲 線 圖 () 直 方 圖 如 下 : () 次 數 分 配 曲 線 圖 如 下 :

39 第 章 統 計 9. 某 高 中 二 年 班 40 位 同 學 體 重 的 直 方 圖 如 下 : () 試 作 出 累 積 次 數 分 配 表 () 試 作 出 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖 () 累 積 次 數 分 配 表 如 下 : 組 別 ( 公 斤 ) 次 數 ( 位 ) 以 下 累 積 次 數 ( 位 ) 以 上 累 積 次 數 ( 位 ) 40~ ~ ~ ~ ~ ,0, () 描 點 ( 50, ) ( 60,7 ) ( 70,7 ) ( 80,7 ) ( 90,40 ) 及 ( ) 得 以 下 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖 如 下 : 描 點 ( 40,40 ) ( 50,8 ) ( 60, ) ( 70, ) ( 80, ) 及 ( 90,0 ), 得 以 上 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖 如 下 :

40 40 第 章 統 計 4. 某 高 中 二 年 班 40 位 同 學 數 學 的 段 考 成 績 之 以 下 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖 如 下 : 試 問 :() 不 及 格 者 占 全 班 人 數 的 百 分 比 為 何? () 90 分 以 上 者 占 全 班 人 數 的 百 分 比 為 何? () 由 圖 可 知 不 及 格 者 有 8 位, 全 班 人 數 40 位, 8 故 占 全 班 的 00% 0% 40 = () 90 分 以 上 者 有 40 6 = 4 ( 位 ), 4 故 占 全 班 的 00% 0% 40 =

41 第 章 統 計 4 統 計 - 算 術 平 均 數 中 位 數 百 分 等 級. 由 某 班 學 生 隨 機 抽 出 0 位 學 生, 測 得 其 身 高 依 次 為 70, 65, 60, 7, 80, 75, 76, 68, 8, 6 ( 公 分 ) 試 求 其 平 均 身 高 平 均 身 高 為 x = 0 = 7( 公 分 ). 小 明 期 末 考 五 科 成 績 如 下 : 科 目 國 文 英 文 數 學 會 計 企 管 成 績 ( 分 ) 上 課 時 數 ( 小 時 ) 試 求 其 加 權 平 均 成 績 加 權 平 均 成 績 為 W = = 74.8 ( 分 ) 本 校 50 位 學 生 的 體 重 次 數 分 配 表 如 下, 試 求 其 算 術 平 均 數 體 重 ( 公 斤 ) 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~00 人 數 ( 人 ) 7 5 體 重 ( 公 斤 ) 人 數 f ) ( i 組 中 點 ( x i ) d xi 75 0 fd i = i i 40~ ~ ~ ~ ~ ~00 95 總 和 由 上 表 知 算 術 平 均 數 x = = 69.8 ( 公 斤 ) 50

42 4 第 章 統 計 4. 試 求 下 列 二 組 數 值 的 中 位 數 : (), 8, 6, 9, 7, 9, 4, 48, 5 () 7, 0, 8, 8, 6,, 5, 4 () 先 由 小 而 大 排 列 得 , 因 為 n = 9, 所 以 中 位 數 Me = x5 = () 先 由 小 而 大 排 列 得 , 因 為 n = 8, = = = 9 所 以 中 位 數 Me ( x x ) ( ) 5. 擲 骰 子 00 次, 將 結 果 記 錄 如 下 表 : 點 數 次 數 試 求 :() 算 術 平 均 數 () 中 位 數 () 算 術 平 均 數 x = =.4 ( 點 ) () 因 為 總 次 數 n = 00, 所 以 中 位 數 Me = ( x50 + x5) = ( + ) = ( 點 )

43 第 章 統 計 4 6. 設 有 位 學 生 的 學 期 成 績 如 下 : 44, 50, 66, 7, 77, 79, 8, 85, 89, 9, 94, 95( 分 ) 試 求 得 分 為 77 分 的 這 位 學 生 之 百 分 等 級 依 題 意 知 總 人 數 n =, 小 於 77 分 的 人 數 有 4 人, 即 F x = 4, F x 4 由 公 式 PR = 00 = 00, n 可 得 這 位 學 生 的 百 分 等 級 為 7. 試 求 全 校 600 位 學 生 中, 成 績 第 60 名 的 學 生 之 PR 值 由 題 意 知 : n = 600, F = = 40, F x x 40 得 PR = 00 = 00 = 40, 即 PR 值 為 40 n 600

44 44 第 章 統 計 統 計 -4 四 分 位 距 與 標 準 差. 有 9 位 學 生 的 數 學 抽 考 分 數 分 別 為 0, 40, 60, 50, 70, 80, 60, 90, 60 ( 分 ) 試 求 : () 全 距 () 四 分 位 距 () 全 距 R = 90 0 = 60 ( 分 ) () 將 數 值 由 小 而 大 排 列 0, 40, 50, 60, 60, 60, 70, 80, 得 中 位 數 Me = 60, Q = = 45, Q = = 75, 故 四 分 位 距 IQR = = 0 ( 分 ). 續 第 題, 試 求 其 母 體 標 準 差 算 術 平 均 數 µ = = 60, 9 得 母 體 標 準 差 為 σ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( 分 ). 試 求 05, 08,,,, 05 六 個 數 值 的 () 算 術 平 均 數 () 樣 本 標 準 差 () 算 術 平 均 數 x = = 09 6 () 樣 本 標 準 差 6 ( 05 09) ( 08 09) ( 09) ( 09) ( 09) ( 05 09) S = = 5

45 第 章 統 計 已 知 一 組 數 值 x, x,, xn 的 標 準 差 為 S x =, 試 求 下 列 二 組 數 值 的 標 準 差 : () x+ 0, x + 0,, x n + 0 () 0 x, 0 x,, 0x n () Sx+ 0 = Sx = () S0 = 0S = 0 = 0 x x 5. 試 求 下 列 六 個 數 值, 4, 6, 8, 0, 的 樣 本 標 準 差 先 求 算 術 平 均 數 x = = 7 6 樣 本 標 準 差 6 ( 7) ( 4 7) ( 6 7) ( 8 7) ( 0 7) ( 7) S = = 4 6. 根 據 統 計 資 料, 月 份 臺 北 地 區 的 平 均 氣 溫 是 攝 氏 0 度, 標 準 差 是 攝 氏.5 度 一 般 外 國 朋 友 比 較 習 慣 用 華 氏 溫 度 來 表 示 冷 熱, 已 知 當 攝 氏 溫 度 為 x 時, 9 華 氏 溫 度 為 y = x+ ; 若 用 華 氏 溫 度 表 示, 則 月 份 臺 北 地 區 的 5 () 平 均 氣 溫 是 華 氏 多 少 度? () 標 準 差 是 華 氏 多 少 度? 9 因 為 y = x+, 所 以 () y = x+ = 0 + = 68 ( 度 ) 5 5 () 9 9 Sy = Sx =.5 = 6. ( 度 ) 5 5

46 46 第 章 統 計 統 計 -5 解 讀 信 賴 區 間 與 信 心 水 準. 小 龍 在 市 面 上 買 到 一 包 標 示 著 內 重 量 為 500 ± 0 克 (500 與 0 分 別 表 示 其 算 術 平 均 數 及 標 準 差 ) 的 蔬 菜 餅 乾, 如 果 該 產 品 每 包 重 量 的 分 配 是 常 態 分 配, 依 規 則, 試 問 小 龍 買 到 的 一 包 重 量 超 過 50 克 的 機 率 是 多 少? 重 量 超 過 50 克 是 落 在 µ + σ 的 右 邊, 大 約 占 ( 68% ), 故 超 過 50 克 之 機 率 為 ( 68% ) = 6%. 某 校 學 生 共 600 人, 數 學 段 考 成 績 呈 常 態 分 配, 其 平 均 成 績 70 分, 標 準 差 0 分, 依 規 則, 試 估 計 () 成 績 低 於 60 分 的 學 生 大 約 有 多 少 人? () 成 績 高 於 90 分 的 學 生 大 約 有 多 少 人? () 成 績 低 於 60 分 是 落 在 µ σ 的 左 邊, 大 約 占 ( 68% ), 故 大 約 有 600 ( 68% ) = 96 ( 人 ) () 成 績 高 於 90 分 是 落 在 µ + σ 的 右 邊, 大 約 占 ( 95% ), 故 大 約 有 600 ( 95% ) = 5 ( 人 )

47 . 試 解 讀 如 下 民 意 調 查 的 結 果 : 第 章 統 計 47 某 民 意 調 查 中 心 針 對 某 行 政 首 長 就 職 滿 月 的 滿 意 度 調 查 報 告, 這 是 一 項 對 臺 灣 地 區 年 滿 0 歲 的 民 眾 所 做 的 電 話 訪 問, 成 功 地 訪 問 到 795 位 有 效 樣 本, 在 95% 的 信 心 水 準 下, 抽 樣 誤 差 為 ± %, 而 其 中 有 77% 的 民 眾 對 該 行 政 首 長 的 施 政 表 現 表 示 滿 意 或 非 常 滿 意 將 77% 加 減 % 得 一 信 賴 區 間 [ 0.74,0.80 ], 它 代 表 的 意 義 是, 當 我 們 繼 續 不 斷 作 同 樣 的 調 查, 則 可 得 到 許 多 不 同 的 信 賴 區 間, 而 在 所 有 可 能 的 區 間 中, 有 95% 會 包 含 真 正 的 母 體 比 例 p, 由 此 可 推 估 民 眾 對 該 行 政 首 長 的 施 政 滿 意 或 非 常 滿 意 的 比 例, 可 能 在 74% 到 80% 之 間 4. 一 項 民 意 調 查, 成 功 的 訪 問 到 400 位 成 年 人, 了 解 民 眾 對 自 己 目 前 的 工 作 情 況 的 滿 意 度, 其 中 有 0 位 成 年 人 表 示 滿 意, 試 問 : () 民 眾 對 自 己 目 前 的 工 作 情 況, 表 示 滿 意 的 比 例 有 多 少? () 在 95% 的 信 心 水 準 下, 抽 樣 誤 差 為 ± 4%, 求 95% 的 信 賴 區 間 () 民 眾 對 自 己 目 前 的 工 作 情 況, 0 表 示 滿 意 的 比 例 為 p = = 0.8 = 80% 400 () 因 為 抽 樣 誤 差 為 ± 4%, 所 以 95% 的 信 賴 區 間 為 [ , ] = [ 0.76, 0.84]

48 48 第 章 統 計 自 我 評 量 統 計 ( B ). 教 師 於 課 堂 上, 以 座 號 為 依 據, 依 次 抽 問,,,, 4, 號 學 生, 此 種 抽 樣 方 法 為 (A) 簡 單 隨 機 抽 樣 (B) 系 統 抽 樣 (C) 分 層 隨 機 抽 樣 (D) 部 落 抽 樣 - ( A ). 假 設 臺 灣 地 區 計 有 都 市 500 千 戶, 城 鎮 000 千 戶, 鄉 村 900 千 戶, 今 依 比 例 從 都 市 城 鎮 鄉 村 中 各 抽 出 % 之 樣 本 戶, 則 都 市 應 抽 出 多 少 千 戶? (A) 5 (B) 0 (C)0 (D)9 - ( D ). 華 騰 高 中 全 校 學 生 共 60 班, 每 班 家 庭 背 景 大 致 相 同, 可 視 為 全 校 的 縮 影, 現 任 抽 取 一 班 學 生 作 全 面 訪 查, 則 此 種 抽 樣 方 法 為 (A) 簡 單 隨 機 抽 樣 (B) 系 統 抽 樣 (C) 分 層 隨 機 抽 樣 (D) 部 落 抽 樣 - ( B ) 4. 已 知 一 群 資 料 群 的 次 數 分 配 表 為 五 組, 其 組 中 點 分 別 為.5, 6.5, 40.5, 44.5 及 48.5, 則 此 次 數 分 配 表 的 組 距 為 (A) (B) 4 (C) 6 (D)8 - ( C ) 5. 某 次 數 學 競 試 有 50 人 參 加, 其 成 績 直 方 圖 如 下 : 試 問 60 分 以 上 ( 含 ) 的 人 數 有 (A)5 (B) 0 (C) 5 (D) 0 人 ( D ) 6. 下 表 是 某 班 45 位 同 學 的 家 庭 人 口 數 的 次 數 及 累 積 次 數 分 配 表 : 家 庭 人 口 數 ( 人 ) 次 數 0 x 8 y 累 積 次 數 0 z 依 上 表, x+ y+ z之 值 為 (A) 40 (B) 4 (C) 44 (D) 46 -

49 第 章 統 計 49 ( B ) 7. 某 班 50 位 學 生 學 期 成 績 其 以 下 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖 如 下 : 試 問 不 及 格 的 人 數 占 全 班 人 數 的 百 分 比 為 (A) 0% (B) % (C) 6% (D)0% - ( A ) 8. 續 上 題, 其 算 術 平 均 數 為 (A) 69.6 (B) 70.4 (C) 70.6 (D) 7.4 分 - ( D ) 9. 某 生 第 一 次 段 考 六 科 的 算 術 平 均 成 績 為 80 分, 若 已 知 其 中 五 科 的 成 績 為 68, 80, 80, 80, 86( 分 ), 則 第 六 科 的 成 績 為 (A) 78 (B)80 (C)8 (D)86 - ( B ) 0. 已 知 有 0 個 數 據 0, 40, 40, 50, 65, 75, 00, 90, 80 及 x 若 它 們 的 中 位 數 為 60, 則 x = (A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 - ( C ). 小 龍 期 中 考 國 文 英 文 數 學 社 會 的 成 績 分 別 為 80, 66, 58, 85( 分 ), 其 百 分 等 級 分 別 為 58, 70, 75, 6, 試 問 其 相 對 成 績 哪 一 科 最 好? (A) 國 文 (B) 英 文 (C) 數 學 (D) 社 會 - ( C ). 測 量 一 物 件 的 長 度 9 次, 得 其 長 為.4,.46,.4,.45,.44,.48,.46,.47,.45 ( 公 尺 ), 將 這 九 個 數 據 每 一 個 都 乘 以 00 再 減 去 40 得 一 組 新 數 據 為, 6,, 5, 4, 8, 6, 7, 5, 則 新 數 據 的 算 術 平 均 數 為 (A) (B) 4 (C)5 (D) 6 公 尺 - ( C ). 續 上 題, 原 數 據 的 算 術 平 均 數 為 (A).4 (B).44 (C).45 (D).46 公 尺 - ( C ) 4. 續 上 題, 新 數 據 的 母 體 標 準 差 為 (A) (B).5 (C) (D).5 公 尺 -4 ( D ) 5. 續 上 題, 原 數 據 的 母 體 標 準 差 為 (A) 0.0 (B) 0. (C) 0. (D) 0.0 公 尺 -4 ( C ) 6. 六 位 學 生 的 體 重 分 別 為 50, 57, 64, 70, 7, 8 ( 公 斤 ), 則 其 四 分 位 距 為 (A) (B)4 (C)5 (D)6 公 斤 -4 ( A ) 7. 一 組 樣 本 資 料 數 值, 4, 6, 8, 0, 的 樣 本 標 準 差 為 (A) 4 (B) (C) 0 (D) 8-4

50 50 第 章 統 計 ( B ) 8. 已 知 有 四 組 數 據, 分 別 列 述 如 下, 哪 一 組 的 標 準 差 最 小? (A) 5, 6, 7, 8, 9, 0 (B) 0, 0, 0, 0, 0, 0 (C),,, 4, 5, 6 (D)5, 5, 0, 5, 5, 5-4 ( B ) 9. 若 某 校 500 位 學 生 的 數 學 段 考 成 績 平 均 分 數 為 65.8 分, 標 準 差 為 5.8 分, 已 知 成 績 分 布 呈 現 常 態 分 配, 若 依 規 則, 試 問 全 校 大 約 有 多 少 人 數 學 成 績 低 於 60 分? (A) 40 (B)80 (C)0 (D)60 人 -5 ( D ) 0. 一 項 民 意 調 查 發 現 樣 本 中 有 65% 的 人 贊 成 博 奕 合 法 化, 在 95% 的 信 心 水 準 之 下, 抽 樣 誤 差 為 % (B)[ 0.6, 0.65 ] (C)[ ] ±, 則 其 信 賴 區 間 為 (A) [ 0.60,0.64 ] 0.6, 0.66 (D)[ 0.6,0.67 ] -5