一、 是非題(50%) 注意:答錯一題倒扣0

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1 一 單選題 ( 第 題每題 0 分. 擲 個硬幣, 出現 正面可得 元, 正面可得 元, 一正面可得 元, 為 了公平起見, 出現三反面時, 應賠多少元? (A0 元 (B 元 ( 元 (D0 元 (E 元 解答 (D 投 個硬幣, 其樣本空間元素個數 ( S 則 得款數 x p, 設出現三反面應賠 今欲公平, 則必須期望值 E ( x 0 x 0, 即賠 0 元 x 元 二 多重選擇題 ( 第 ~ 題每題 0 分. 投擲一公正硬幣 次 ( N, 出現正面次數的期望值為 E, 下列何者正確? (A E (B E ( E (D E 0 (E E 解答 (A(B( E 0 + E E M E E E,E,E,E 0. 投擲公正骰子 個 ( N, 點數和的期望值為 E, 下列何者正確? (A E 7 (B E ( E (D E 0 (E E 7 解答 (A(B((D(E 7 7 E , 又 E E E 7,E,E,E 0,E 7 - -

2 . 同式樣之白棋 個 黑棋 個, 任意排成一列, 在不知道排列順序下, 去猜黑白棋之排列順序, 則下列敘述何者正確? (A 排列法有 0 種 (B 全部猜錯的為 0 ( 猜對一個位置的為 (D 猜對二個位置的為 (E 猜對位置個數的期望值為 解答 (B(E (A 0 (B 全部猜錯的為 0 ( 0 (D 猜對二個位置的為 0 (E E 三 填充題 ( 第 ~ 題每題 0 分. 一袋中有 0 個樣品, 其中有 個不良品 今自袋中任取一個樣品, 取得良品則放回, 直到取到不良品才停止, 試求所取樣品次數的期望值為 解答 次每次取出良品的, 不良品的 期望值 ( ( ( ( E ( ( ( ( ( ( E + 兩式相減得 ( ( E E 次. 個不同的球, 任意放入 個不同的箱子, 每箱個數不限, ( 恰有一個空箱子的為 ( 空箱子個數的期望值為 - -

3 解答 ( ( 個不同的球, 放入 個不同箱子, 每箱個數不限 ( 恰有一個空箱子 任意一個箱子為空箱, 共餘每箱至少 個. ( 所求. 79. ( 恰有二個空箱子之 所求空箱子個數的期望值. +.. 某次考試中, 有一部分試題採用多重選擇題, 每題有五個敘述, 其中正確的 敘述可能不只一個, 但也可能一個也沒有, 必須完全選對才得 分, 否則倒 扣 S 分 某考生決定靠運氣瞎猜, 而此部分得分期望值為 0, 若他對單獨一 題猜對的為 解答 ; P, 則 P, S 每題有 個敘述, 其猜答方式有 種, 答對只有一種方式, 故 P 又答對得 分, 答錯倒扣 S 分而得期望值為 0 + ( S 0 S. 某人投擲兩公正骰子, 出現點數和為 7 時, 可得 000 元, 並獲得繼續投擲的 權利, 若再出現點數和為 7 時, 再得 000 元, 又可繼續投擲 如此繼續下 去, 直到擲出點數和不為 7 時, 才停止, 則此人得獎金的期望值 元 解答 00 每人投擲出現點數和為 7 的情形有 (,,(,,(,,(,,(,, (, 出現點數和為 7 的 故得獎金的期望值為 ( ( [ + ( + ( + ] 00 9 ( - -

4 . 將 個大小形狀相同, 顏色不同的球, 全投入 個不同的袋子中, 則 ( 每個袋子中均有球的為 ( 空袋子個數的期望值為 個 0 解答 ( ( 個不同顏色的球放入 個不同的袋子中, 其放入法有 種 (,, ( 每個袋子均有球, 依個數安排可分成兩類 (,,!! 故放法有 !! 0 0 所求為 ( 空袋子個數 空袋子個數的期望值 甲 乙兩人下棋, 兩人棋力相當, 規定先勝 局者可得獎金 000 元, 但每次 對局均須分出勝負, 不許和局 今兩人進行到甲勝 局, 乙勝 局時, 比賽 因故停止, 依公平的原則, 來分此 000 元獎金, 則甲應得元 解答 70 若比賽不終止, 繼續比到先勝 局才停, 其情形有 ( 甲勝 局, 乙勝 局 甲先勝 局的 +, 故甲應得 元 7. 某人參加保齡球賽, 每場比賽得勝為, 失敗為 今參加五場比 賽, 規定勝一場可得獎金 000 元, 敗一場罰款 00 元, 則 ( 此人至少贏得 000 元的為 - -

5 ( 此人獲得獎金的期望值為 解答 ( 000 ( 元 ( 此人至少贏 000 元, 則五場比賽中須勝 場輸 場或勝 場 0 + 至少贏 000 元的 ( ( + ( ( 比賽 勝結果 勝 負 勝 負 勝 負 勝 負 負 所得 000 款額 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 期望值 000 ( + 00 ( ( + 00 ( ( ( ( 000 ( 000 ( 元 ( (. 某人投籃命中率為 0., 若讓他連續投籃直到中了才停止, 則其投籃次數的期 望值 次 解答 因每次投籃命中率為 0., 不中的為 0., 而命中後即停止 故投籃次數的期望值 0. + (0.(0. + (0. (0. + (0. ( 0. ( 次 9. 擲 個公正硬幣, 若出現四個正面, 可得 0 元, 三個正面可得 元, 二個 正面可得 0 元, 一個正面可得 元, 則為使賭局公平起見, 得四個反面應 付 解答 0 元才公平 擲 個公正硬幣, 出現 個正面的 個正面的, 個正面的 - -

6 個正面的, 個反面的 設出現 反面應付 x 元, 為求賭局公平 期望值 ( x 0 x 元 0.99 巴塞隆納奧運會中, 取球比賽, 設袋中有 號球 個, 號球 個, 號球 個,, 號球 個, 今克利斯帝自袋中取一球, 若取得 r 號球可得 r 元, 則期望值為元 解答 + 方法 ( + 全部的球共 ( ( + 個 全部可得 r r. r.( ( + ( + ( + r r ( + ( + ( + 利用期望值即平均值知所求為 ( + 方法 + 錢數 9 k k ( + ( + ( + ( + ( + 期望值 ( + ( + ( + ( ( +. 一袋中有,,,, 個球各一個, 每一個球被取中機會均等, 今自袋 中任取二球, 若兩球號碼差為 k 時, 可得獎金 k 元, 試求得獎金的期望值為 + 解答 元 取出兩球號碼差有,,,,, 種情形 當 k 時, 取出兩球為 (,,(,,(,,,(, 等 種 k 時, 取出兩球為 (,,(,,(,,,(, 等 種 - -

7 k 時, 取出兩球為 (,,(,,(,,,(, 等 種 M k 時, 取出兩球為 (, 等 種 k ( k 兩球差為 k 的, k,,,, ( 故期望值 ( k ( ( ( k ( k k [ ] k ( ( k ( ( + 元. 投擲三個均勻的硬幣一次, 若出現三正面得 元, 二正面得 元, 一正面得 元, 為使賭局公平, 出現三反面應賠元 解答 0 投擲三硬幣, 出現三反面賠 x 元, 則 ( x 0 x 袋中有編號,, 的三個白球, 編號,,, 的四個紅球, 編號,,,, 的五個黑球, 今任意抽取兩球, 求 ( 兩球不同色的為 ( 兩球號碼和的期望值為 7 解答 ( ( 白 :,, 紅 :,,, 黑 :,,,, ( + + 白紅紅黑黑白 ( ( ( ([ ]. 擲三個骰子一次, 若點數最大為 x, 求 (x 的為 ( 求 x 的期望值為 9 解答 ( 9 ( - 7 -

8 ( 9 ( 甲 乙二人網球比賽, 約定先贏 局者勝, 敗者應付給勝者 000 元 若已 知甲 乙二人實力相當, 現於甲勝 局時因故不能繼續比賽, 如按處 理, 乙應付給甲元 解答 000 甲勝乙勝 甲勝乙勝 甲勝乙勝 P( 甲勝 + ( + ( 7,P( 乙勝 ( E( 甲 ( ( 元. 五骰子投擲一次, 若五骰子同點, 則可得 00 元, 若恰四骰子同點, 則可 得 00 元, 則投擲一次之期望值為元 解答 獎金 00 00! ( (! xxxxy 期望值為 00 ( + 00 元 7. 甲 乙二人下棋為賭, 約定先贏 局者勝, 敗者付給勝者 000 元, 已知 甲 乙二人棋藝相等, 現於甲勝 局 乙勝 局時, 比賽因故中止且決定不 再比賽, 如按處理, 乙應付給甲 解答 00 元 在甲勝 局, 乙勝 局時, 繼續比賽, 則 甲勝的 + ( 甲 ( 乙, 甲 元才合理 - -

9 乙勝的 甲得款額的期望值 ( 故乙應給甲 00 元才算合理.A 袋中有 00 元 張,0 元 張, 元 張,B 袋中有 0 元鈔票 0 張, ( 自 A 袋中任取二張, 其期望值為 ( 自 A 袋中取一張放入 B 袋, 再自 B 袋取二張, 求期望值為 9 解答 ( 9 ( ( E ( ( E ( 一袋中有 號球 個, 號球 個, 號球 個, 號球 個, ( 從袋中任取一球, 若取到 k 號球可得 k 元, 則此試驗得獎金的期望值為 元 ( 從袋中一次取兩球, 取到的號碼和為 k 時, 可得 0 k 元, 則此試驗得獎金 的期望值為元 解答 ( ( ( 袋中球的總數 , 此試驗得獎金的分布如下 獎金 X 故得獎金的期望值 E(X ( 元 ( 一次取兩球, 設此試驗得獎金的金額為 X 元, 則分布如下 X 故得獎金的期望值 E(X ( 元 0. 一盒子中有 個紅球, 個白球, 且每球被取的相同, ( 若一次取一球, 則取到白球個數的期望值為 - 9 -

10 ( 若一次取三球, 則取到白球個數的期望值為 解答 ( ( 9 ( 一次取一球, 取到白球的, 所以取到白球個數的期望值 ( 取到白球個數的分布如下 個數 0 取到白球個數的期望值 E(X 一盒子中有 個球, 球上分別編號為,,,,, 且每球被取的相 同, ( 若一次取兩球, 則兩球中編號較大者的期望值為 ( 若一次取兩球, 則兩球編號差之平方的期望值為 解答 ( ( ( 設取到的數中, 較大的數為 X, 則 X 的分布如下 X 0 取到較大編號數的數值期望值 E(X ( 設取到的兩數編號差的平方為 X, 則分布如下 X 9 期望值 E(X 一袋中有 0 元硬幣 個, 元硬幣 x 個, 每個硬幣被取的機會相同, ( 若從中取一個硬幣時, 取得金額的期望值為 元, 則 x ( 若 x, 則從中取兩個硬幣可得的金額之期望值為元 00 解答 ( ( 7-0 -

11 ( 期望值 E(X 0 + x + x x +, 即 x x, 所以 x ( 期望值 E(X ( 元 7 7. 設擲一骰子三次, 則 ( 出現 點次數的期望值為 ( 出現質數點次數的期望值為 解答 ( ( ( 擲一骰子三次, 設 X 表示出現 點的次數, 則其分布 X 期望值 E(X + + ( 設出現質數點的次數以 X 表示, 則其分布 X 期望值 E(X + +. 根據統計資料得知, 一個 0 歲的人, 在一年內存活的為 9.%, 今有 一個 0 歲的人參加一年期保險額度為五十萬元的人壽保險, 須繳保費一萬 元, 則保險公司獲利的期望值為 解答 00( 元 保險公司獲利的期望值 9.% % ( ( 元. 同時擲三粒公正的骰子, 求 ( 三粒骰子的點數均相同時, 可得 00 元 ; 恰有兩粒點數相同時, 可得 00 元, 則其期望值為元 ( 出現最大點數的期望值為 解答 ( 7 9 ( - -

12 ( E P ( E 擲三粒骰子一次, 須先付 0 元, 若出現點數均相同時, 可得 0 元 ; 點數 成等差時, 可得 0 元, 求 ( 此遊戲是否有利? ( 答有利或不利 ( 要使遊戲公平, 應將出現點數成等差時可得 0 元, 更改為 元 解答 ( 不利 ( 0! ( E < 0, 故不利! ( 0 + x 0 x 0 7. 袋中有 個球, 其中有 個白球, 取球機會相等, 求 ( 任取 球, 則取得白球數的期望值為 ( 每次取 球, 取後放回, 於第 k 次始取到白球, 則取到白球次數的期望值 為 解答 ( ( ( E 0 ( E P. 袋中 號球 個, 號球 個, 號球 個,, 號球 個 ( N, 取到 k 號球可得 k 元 ( k, 假設任取一球得錢的期望值為 E 元, E ( E 0 ( lim 解答 ( 7 ( k ( E k k ( + ( + k k ( + ( + + ( + - -

13 0 + 故 E 0 7 E lim lim ( + lim + 9. 甲, 乙, 丙分別出 0 元,00 元,70 元, 輪流投擲一公正的骰子, 依 甲, 乙, 丙, 甲, 乙, 丙, 之次序, 誰先投出么點者為勝, 可獲得全部 獎金, ( 此遊戲對甲, 乙, 丙三人而言, 哪一人最不利? ( 若遊戲改為只有甲, 乙二人, 依甲, 乙, 乙, 甲, 甲, 乙, 乙, 甲, 之 次序, 誰先投出么點者為勝, 可獲得全部獎金, 遊戲之前, 乙出 0 元, 為 使遊戲公平, 甲應出元 解答 ( 丙 ( ( 甲 : 乙 : 丙 :( :( :0: 0 甲勝, 乙勝, 丙勝, 又 故甲應出 90 0 元, 乙應出 元, 丙應出 元 70 > 0 對丙最不利 ( 甲 : 乙 [ + ( 0 甲勝 ; 乙勝 7 7 ]:[ + ( ] :0 0 E 0 x 0 x ( 元 某麵包店將前一天未賣完的麵包二個 ( 隔夜麵包, 與今天現烤出的 0 個麵 包混在一起販賣 某人至該店買麵包, 隨機在此十二個麵包中拿了三個 ( 假 設每個麵包被選取的機會相等, 則此人買到隔夜麵包的期望值為 解答 - -

14 買到隔夜麵包個數 期望值 袋中有鈔票 000 元 張,00 元 張,00 元 張, 每張被取到的機會相 等, 今任取 張, 則所得錢數的期望值為元 解答 70 元 任取 張錢數之期望值是任取一張錢數期望值之 倍 所求期望值 ( 投擲一公正的骰子一次, 則出現點數的期望值 ; 又同時投擲兩 公正的骰子, 則出現點數和的期望值 解答 7 ;7 ( 點數 故投擲一公正骰子出現點數的期望值為 ( 方法 投擲兩公正骰子 點數和 投擲兩公正骰子點數和的期望值

15 7 方法 7 利用 ( 的結果, 投擲兩公正骰子點數和的期望值 7. 若擲一均勻硬幣三次, 每出現一次正面可得 0 元, 一次反面賠 元, 則所 得金額的期望值為元 解答 9 元 [0 + ( ] 9. 將 個球投入 個盒子裡, 每次投一個球, 連續投 次, 則每個盒子裡都有 球的為, 空盒子個數的期望值為 解答 9 ; 9! ( 個球投入 個盒子, 每次一球, 每個盒子都有球的 9 ( 設空盒子數為 X, 則 X 的分布如下 X 0 ( 空盒子數的期望值 四 計算題 ( 第 ~ 題每題 0 分. 同時擲 粒骰子, 如果恰有兩粒點數相同時, 可得 00 元獎金, 粒點數都相 同時, 可得 00 元獎金, 其餘的都沒獎金, 求此試驗得獎金的期望值 00 解答 9 設得獎金的金額以 X 表示, 則其分布 X 期望值 E(X ( 元 9. 袋中有 0 張卡片, 分別標示,,,,0, 今任取出一張後, 卡片放 - -

16 回, 然後再任取一張, 求兩次取到卡片之數字和的期望值 解答 設兩次取到的卡片數字和為 X, 則其分布 X 期望值 ( ( 袋中有 個紅球, 個白球, 個黃球, 每球被取的機會相同, 從袋中一次取 出三球, 則得黃球個數的期望值為何? 解答 設取出三球中, 取到黃球個數以 X 表示, 則其分布如下 ( 黃球 個, 非 黃球 個 X 所以取到黃球個數的期望值 E(X + +. 袋中有 個白球, 個黑球, 今自袋中隨機抽出 個球, ( 取出的球中恰有 個白球的 ( 取出的白球個數的期望值 解答 ( ( ( ( 方法

17 方法 +. 依據過去經驗, 在松山機場排班的計程車, 載客人數 人的是 0%, 人的是 0%, 人的是 %, 人的是 %, 請問在松山機場一 部計程車載客人數的期望值是多少? 解答.7 人 ( 人. 擲一次公正骰子, 試求 : ( 投擲到出現么點才停止, 投擲次數的期望值 ( 投擲 0 次, 其中么點出現次數的期望值 解答 ( 次 (0 次 ( 每次擲出么點, 非么點 投擲次數的期望值為 E + + ( + ( + E + ( + ( + ( + 兩式相減得 E + + ( + ( + E ( 次 ( 方法 投擲 0 次, 其中么點出現次數可為 0,,,,,0 且每次么點出現機 率 期望值 0 ( + ( ( + ( ( ( k 0 k 9 k 0 k 0 k k ( ( 0k ( ( + 0 k k k 9 9 r 9 r 0 r ( ( 0 ( 次 k 0 9 k 0 k k ( ( - 7 -

18 方法 亦可利用二項分布 : 0 0 次 7. 假設一位高二的學生能再活一年的為 , 某位高二學生繳一年期平 安保險的保費 00 元, 若在一年內不幸意外死亡, 保險公司付給家長 0 萬 元的理賠金, 試求此保險公司期望利潤為何? 解答 0 元 該高二學生能活一年的為 , 死亡的 保險公司利潤的期望值 ( 元. 設骰子 A 的六面標示點數為,,,,,; 骰子 B 的六面標示點數為,,,,, 今同擲二骰子 A,B 出現點數依次為 a,b, 試求 : ( a + b 的期望值 ( ab 的期望值 解答 ( ( 9 ( a + b 之值有,,,, 等 種, 其發生的為,,,, 所求期望值 ( a b 之值有,,,,,9 等 種 其發生的依次為,,,,, 所求期望值 設拋物線 Γ:y ax + bx + c,a,b,c {,}, 若, 被選取的機會均 等, 且 a,b,c 的選取互不影響, 試求 Γ 與 x 軸交點個數的期望值 解答 9 y ax + bx + c 與 x 軸的交點個數是由 D b ac 而決定 D b ac 0 相交一點 a,b,c {,} (a,b,c (,, D b ac > 0 相交二點 a,b,c {,} - -

19 (a,b,c (,,,(,,,(,,,(,, D b ac < 0 不相交 交點個數 0 期望值 ( 0. 一條售價 0 元的麵包原價 元, 某小店賣出之麵包經 7 日的統計如下 表 : 一日所需 70 條 0 條 90 條 00 條 0 條 0 條合計日數 日 日 日 日 9 日 7 日 7 日 今日準備 00 條麵包出售, 賣不完則隔日丟棄, 試求本日利潤的期望值 解答 9.7 元 利潤 ( ( ( ( 元 7 7. 擲一公正骰子, 當出現點數 x 時,log 0 (x + 的整數部分之值為 y, 試求 y 值的 期望值 解答 7 x 之值 log 0 (x + log 0 log 0 log 0 0 log 0 7 log 0 log 0 9 y 之值 0 y 的期望值 將 本不同的書, 任意放入 個抽屜, 求空抽屜個數的期望值 7 解答 設放完書後, 空抽屜個數以 X 表示, 則其分布 X! ( 0 7 空抽屜個數的期望值 E(X + +. 設 A 君的箱子中有 紅球 白球,B 君的箱子中有 紅球 白球 今從 A 開 始,A 與 B 交互從自己箱子中取出 球, 取出後不再放回, 以先取得白球為

20 勝, ( 試問 A 與 B 何人得勝的大? ( 當勝負決定時, 試求二人箱中剩下球總數的期望值 解答 ( A ( 9 ( A,B 得勝的情形有 A:( 白,( 紅, 紅, 白,( 紅, 紅, 紅, 紅, 白 P(A 得勝 A :( 紅, 白,( 紅, 紅, 紅, 白 P(B 得勝 + + P(A 勝 9 9 故 P(A > P(B ( 期望值 設袋中有大小相同的 紅球 綠球與 白球, 今從袋中一次取一球, 取後 不放回, 直到所有紅球皆取到時才停止, 令 X 表示停止前所取球的次數, 試 求下列各值 : ( X 9 的 ( X 9 的 ( E(X 解答 ( ( ( 因 X 的所有可能值為,,,,7,,9,0,,, k- k- 而 X k 的為 ( 其中 k,,,,, 故 ( X 9 的為 ( X 9 的為 ( E(X

21 ( 連續投擲一顆公正的骰子四次, 試求 : ( 點出現 次的 ( 點出現次數的期望值 解答 ( ( ( ( ( ( 方法 ( + ( 方法 ( + ( + (. 設袋中有大小相同的 紅球, 綠球與 白球, 今自袋中一次取一球, 取後 不放回, 直到所有紅球皆取到時才停止, 令 X 表示停止時所取球的次數, 試 求 : (X 的 (X 的期望值 解答 ( (! ( 樣本空間 : 紅,0 非紅 (S!0! X, 即 紅第 次紅球, 前 次 紅球 非紅球排列紅紅非紅! (X,P(X!!!!!0! - -

22 (E(X!!0!!!0!!!0!!!0!!!0! k [ ( k + ] k!!! [ + +!!!! + + k + k! ( k +! [ ]((k +. k!( k!!( k! [ ]! ]! 0! ( 利用巴斯卡公式 : 一袋中有 號卡片 張, 號卡片 張,,k 號卡片 ( k + 張,, 號卡片 張, 任意自袋中抽取 張卡片, 試求其號碼的期望值 + 解答 所有卡片共有 ( + 張 k + ( k + 抽到卡片號碼為 k 號的為 ( + ( + ( k + 所求期望值 k. k( k + k ( + ( + k k + k ( + [ ( ] k k ( + k ( + k ( + k + + ( +. 擲 粒骰子, 若出現 k(k,, 個 點, 則贏 k 元 ; 否則輸 a 元 若 此賭局是公平的 ( 即期望值為 0, 則 a 之值為何? 0 解答 - -

23 出現點數, 可分成以下情況 個 點 為 7 個 點 為 個 點 為 0 個 點 為 7 0 由期望值 0 知 + + a a 9.( 某同學參加電視機智問答 設有甲 乙兩套題目, 甲套較難, 乙套較易, 但兩套題目無關 比賽規則是 : 參加者可決定先選哪一套題目, 由主持人在 該套題目中隨機選取一題, 若參加者答對, 則主持人在另一套題目中隨機選 取一題令參加者作答, 若第一次答錯, 則立即退出比賽 設只答對甲套題目 的獎金是 00 元, 只答對乙套題目的獎金是 00 元, 兩題皆答對的獎金是 000 元, 若該同學已知答對甲套題目的為 0., 答對乙套題目的是 0.9, 問他應選哪套題目作答比較有利? ( 試驗證上題中先選乙套題目參加者之期望獎金 解答 ( 乙套 (90 ( 設 S,S 分別表答對甲 乙套題目的事件, 依題意 P(S 0.,P(S 0.9 先選甲套之獎金期望值 ( ( 甲套答錯 + ( 答對甲, 而答錯乙 + ( 答對甲又答對乙 先選乙套之獎金期望值 ( ( 乙套答錯 + ( 答對乙, 而答錯甲 + ( 答對乙又答對甲 90 ( 答對乙套, 但答錯甲套的期望值 00 P(S S 00 P(S P(S 答對乙套, 且答對甲套的期望值 000 P(S S 000 P(S P(S 故 E( 乙 網球一盤比賽先勝 局者贏, 贏一盤可得獎金 000 元, 甲 乙兩人實力相 當, 但甲已連勝 局, 請問如果因下雨不再繼續比賽, 則甲 乙兩人如何分 - -

24 配獎金才公平? 解答 甲:000 元, 乙 :000 元 乙要贏此盤必須接著的 局都連贏, 其是 ( 反之甲贏此盤的是 所以甲應得 000 元, 而乙得 000 元. 某人擲二骰子, 若擲出之點數和為 9 時, 可得 00 元, 並得繼續投擲之權 利, 若第二回又擲出 9 點, 則又可得 00 元, 並得繼續投擲, 將此方法復進 時, 則此人所得之期望值為何? 解答. 元 (, 有 種, 共 種 (, 有 種 得錢之, 不得之 X 機 ( ( ( ( 率 E(X 00 ( ( + 00 ( ( E(X 00 ( ( ( ( ( ( 9 9 得 E(X 00 ( ( + 00 ( ( ( ( E(X 00. 元為所求 ( ( 封寫好的信, 任意放入 個寫好此 人的姓名與地址的信封內, 試求 : ( 恰有一封放對的 ( 信放對個數的期望值 - -

25 解答 ( ( ( 封信任意放, 放法有! 0 種 恰有一封信放對的放法 [!! +!! + 0! ] 種 所求 0 ( 五封信均放對的, 恰有四封放對的 0 0 恰有三封放對的 (!! + 0! 0 恰有二封放對的 (!! +! 0! 0 恰有一封放對的, 全放錯的 信放對信封的個數之期望值 一骰子擲 次, 出現最大的點數為 M, 最小的點數為 L, 求 ( M 的 ( L 的 ( M 且 L 的 ( L 的期望值 解答 ( ( ( ( ( ( ( ( M 的 ( ( 每次出現,,,, 的 ( 每次出現,,, 的 ( ( ( L 的 ( 每次出現,,, 的 ( 每次出現,, 的 ( M 且 L 的 ( 設 L k 的為 P k, 則 ( +. + ( ( ( 9 7 P, P, P ( ( - -

26 9 7 P, P, P L 的期望值為 袋中有 個球, 其中有 個白球, 若選取機會相等, 則從袋中任取 個 球, 取中白球個數的期望值為多少? 解答 個 方法 設 X 表選中白球之個數, 則 X 0,,, X E(X ( ( ( 個 0 0 方法 期望值即平均值, 取一個得白球之期望值為, 故取 個之期望值為 ( 個. 一實驗只有二種出現可能, 一為成功, 一為失敗, 而成功之為 p, 失敗 之為 q, 且 p + q, 重複此實驗 次, 求成功次數之期望值 解答 p k k k k E k p ( p k p ( p p p k- ( p k k k 9 0 k k ( (k p(p + p p. 某人自一副撲克牌中隨機抽取, 每次一張, 抽出後, 放回去, 如此抽了三 次, 令 P i 表抽出黑桃 i 次的, 求 P 0,P,P,P, 並求抽出黑桃次數的期 望值 解答 P 0,P,P,P ; 9 7 P 0 9,P 7 9 9,P,P - -

27 7 7 9 期望值 某市的汽車失竊紀錄顯示, 平均在 00 天內, 一天失竊 0,,,, 及 部汽車的天數各占 0 天,7 天, 天, 天, 天及 天, 試問該市一天 汽車失竊部數的期望值為何? 解答. 部 令 X 表該市一天汽車失竊的部數, 由題意知 X 的所有可能值為 0 7 0,,,,,, 其相應之為,00,00,00,00, 所以,E(X ( 部. 某地發行彩券 0 萬張, 其中有 張獎金 00 萬元, 張獎金各 0 萬元,0 張獎金各 萬元, 試問每張彩券獎金的期望值為何? 解答 9 元 所求期望值為 ( 元 9. 擲一骰子二次, 以 X 代表所出現的兩個點數中較小的數, 試求 E(X 9 解答 X k 的 X k E(X 某人玩擲骰子遊戲, 在玩之前, 須先付 0 元, 若擲出點數 k, 可得 k 元, 問 他擲骰子後, 可期望淨得多少元? 解答 - 7 -

28 [( 0 + ( 0 + ( 0 + ( 0 + ( 0 + ( 0] ( 元. 老張過去買釋迦的經驗是平均 個中就有 個釋迦內長蟲不能吃須丟掉, 因 此有次到水果攤買釋迦時向老板抱怨, 老板說今天釋迦每斤 70 元, 如果老 張要求當場打開, 則售價提高至每斤 0 元, 但如打開有蟲可退回, 試以 期望值 的觀點來看, 老張應否要求打開? 解答 應要求打開 設老張買了 斤釋迦, 若不要求打開, 則平均有 斤是好的, 約 斤是不好 的, 因此他花了 70 0 元, 買到 斤可吃的釋迦, 平均每斤的價格為 0 7. 元, 比要求打開但保證是好的每斤 0 元還貴, 所以應要求將釋迦 打開. 一袋中有 9 個硬幣, 其中 個為 元硬幣, 而其他 個同值, 若從袋中一次 取出 個硬幣之期望值為 元, 求其他 個硬幣之值 解答 0. 元 0 取到 個五元硬幣之為 9, 取到 個五元硬幣之為 9 0 取到 個均非五元硬幣之為 設另一種硬幣之面值為 x 元, 則得 0 + ( + x + x ( 元 x 0., 故其他 個硬幣之值為 0. 元. 過年時父親為增加趣味以抽球方式給壓歲錢, 要小明從袋中抽球, 袋中有 個球, 號碼為,,,,, 獎額是號碼數的 000 倍, 試問 : ( 小明拿到的壓歲錢最多是多少? ( 小明的壓歲錢期望值是多少? ( 如果壓歲錢改為抽到 號給 0000 元, 其餘號碼給 000 元, 試問此種給 獎方式與原來的給獎方式, 何者對小明較有利? 解答 ( 000 元 ( 000 元 ( 原來的較有利 ( 最多壓歲錢是 元 ( 小明得到的壓歲錢的可能值有 種, 分別為 000,000,000,000 而 - -

29 得到這些報酬的分別為,,, 所以小明壓歲錢的期望值為 ( 元 ( 改為抽到 號給 0000 元, 其餘給 000 元 則其壓歲錢的可能值只有 0000,000 兩種, 其分別為, 所以此種方式壓歲錢的期望值為 ( 元 比原來的期望值小, 故此種給獎方式對小明較不利. 同時擲六粒均勻的骰子, 若恰有五粒點數相同, 則可得 000 元, 求其期望 值 解答 元 設 A 表恰有五粒點數相同之事件, 則 P(A ( 故期望值為 000 ( 元 (. 依據經驗某人完成一件工作, 可能是 天, 天, 天, 天, 在 天完成的 機會是 0., 天完成的機會是 0., 天完成的機會是 0., 天完成的機會 是 0., 請問完成此工作天數的期望值是多少? 解答. 天 完成此工作天數有 種可能結果分別為,,, 天, 其分別為 0., 0.,0.,0. 所以, 完成此工作天數的期望值為 ( 天. 從 到 0 的正整數中, 任取一數 設變數 X 為其正因數的個數, 求 X 的可 能值及 X 的期望值 解答 X,,,;E(X.7 數 正 因 7 數

30 X P X E(X 一盒子裡有 元硬幣 個,0 元硬幣 個,0 元硬幣 個, 任取 個, 求 得款的期望值 解答 9 任取 個, 得款的期望值為 所求期望值 9. 將 個相同的球, 放入 個不同箱子裡, 求空箱子數的期望值 解答 9 樣本空間 S, S 7( 球視為不同 空箱子數, 可分為下列情況 0 個空箱子 為! 個空箱子 為 7 個空箱子 為 所求期望值 一骰子的六個, 分別記為,,,,, 點, 將此骰子擲 次, 求點數 和的期望值 解答 擲一次所得點數的期望值 平均值 所求 0. 擲 個硬幣, 求正面個數的期望值 解答 - 0 -

31 . 擲一骰子, 若出現點數為偶數, 可得與點數相同的元數, 若出現點數為奇 數, 須賠與點數相同的元數, 求每擲一次的期望值 解答 X P 期望值 ( 擲二粒骰子, 若兩粒出現點數的差為 r(r 0, 則可得 r 元, 求其期望值 解答 X 0 P 期望值 ( ( 元. 從邊長為 的正六邊形的六個頂點中, 任取三個頂點, 試求三頂點所形成的 三角形面積的期望值 9 解答 0 自正六邊形的六個頂點中, 選取三點形成的三角形有三類 ( 如下圖 頂點 0, 二腰長為 的等腰三角形有 個 的三角形有 個 邊長為 的正三角形有 個故這些三角形的面積的期望值為 - -

32 9 ( si0 + ( + ( si 十個樣品中有 個不良品, 今取出 個, 求含有不良品的期望值 解答 取到 0 個不良品的為 0 取到 個不良品的為 0, 取到 個不良品的為 0 故取出不良品之期望個數為

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