例題練習如果奇數的第 k 個數寫如果奇數的第 k 個數寫為為 k, 那麼偶數 Λ k +, 那麼偶數 Λ 的第 k 個數寫為多少? 的第 k 個數寫為多少? 例題練習一二三

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球雷
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1 Ⅰ. 數量關係 :. 奇數與偶數的關係. 兩個連續整數必有一個奇數與一個偶數, 它們之間的差為 b. 奇數與偶數的一般化 ( 或形式化 ) 偶數 : 因為偶數都是的倍數, 而的倍即為, 故記為, 表所有整數 ; 所以可為偶數的一般式範例 4,6,8 4,0 5 因此可推得所有偶數皆可記為 :, 其中為大於之整數奇數 : 因為奇數都是的倍數減, 而的倍減, 故記為, 表所有整數 ; 所以可為奇數的一般式範例,5,7 4,9 5 因此可推得所有奇數皆可記為 :, 其中為大於之整數. 兩數量間的關係同種類的連續兩數間會有某種不變的關係或規律範例父子和兄弟間的年齡差距永遠不變範例台灣的街道號碼必定是一邊為連續奇數, 另一邊為連續偶數. 由數字方陣中觀察數的關係數字方陣中, 直排稱為行, 橫排稱為列, 可尋找同一列同一行或對角線上各數間的關係範例如上之數字方陣中, 直排的數字彼此差 ; 左下到右上對角線的數次彼此差 ; 橫排的數字彼此差 ; 左上到右下對角線的數字彼此差 4

2 例題練習如果奇數的第 k 個數寫如果奇數的第 k 個數寫為為 k, 那麼偶數 Λ k +, 那麼偶數 Λ 的第 k 個數寫為多少? 的第 k 個數寫為多少? 例題練習一二三某郵局內 0 個信箱號碼排列如上圖 : () 第三列第個信箱是幾號? () 第二列第個信箱是幾號? () 第一列第個信箱是幾號? 一二三某郵局內 0 個信箱號碼排列如上圖 : () 第三列第 + 個信箱是幾號? () 第二列第 + 個信箱是幾號? () 第一列第 + 個信箱是幾號? 例題練習下圖為亞利安星球的月曆, 任意取其中的數字方陣, 回答下列各題 : 日一二三四五六七八九 () 在的方框內, 每一行的數字和有何關係? () 在的方框內, 每一列的數字和有何關係? () 在的方框內, 兩對角線的數字和有何關係? 下圖為那美克星球的月曆, 任意取其中的數字方陣, 回答下列各題 : 日一二三四五六七八九 () 在的方框內, 每一行的數字和有何關係? () 在的方框內, 每一列的數字和有何關係? () 在的方框內, 兩對角線的數字和有何關係?

3 Ⅱ. 數列與級數 :. 數列. 將一些 ( 通常為有限個 ) 數 ( 可重複的 ) 依序排成一列, 稱為 ( 有限 ) 數列範例以下數列 : {,,,4,5,6,7,8,9,0 } { 0,,4,6,8,0,,4,6,8,0 } {,,5,7,9,,,5,7,9,, } { 4,,,5,8,,4,7,0, } {,,,,,, Λ,, } { 4,,,5,8,,4,7,0, } {,,,,5,8,,,4,55,89 } {,,,5,7,9,, } {,,,5,7,9,, } {,,,,,, } {,,,,,, } 仔細觀察這些數列, 是否可以找出各數列有其規律性注意 : 一般數列不一定都有規則性可循, 皆必須透過觀察其數列中的數字變化才可推論出是否有規則可循 b. 在一數列中, 每一個數稱為項 ; 稱第一個數為第一項或首項 ( 通常記為 ), 第二個數為第二項 ( 通常記為 ),Λ 當數列為有限項時, 最後一個數為末項範例在數列 { 0,0,40,50,60,70 } 中, 首項為 0, 第二項為 0, 末項為 70. 等差數列定義 : 如果在相鄰兩項的後面的項減去前面的項, 所得的差都是一樣, 就稱此數列為等差數列, 並稱所得的差為公差通常以 d 代表公差, 代表首項, 代表第項範例數列{ 0,0,40,50,60,70 }, 公差為

4 因為後面的項減去前面的項所得的差都是 0, 所以這是一個公差為 0 的等差數列則公式 () 設等差數列的首項是, 公差是 d, 第項是, 則第項公式 : + ( )d 範例有一等差數列{ 4,,,5,8, }, 公差 ( 4 ), 則 + ( 5 ) d 4 + ( 5 ) 則 + ( 6 ) d 4 + ( 6 ) () 若 b c 三數成等差數列, 則 b 叫做與 c 的等差中項 + c 或算術中項 b ( 或 + c b ) 範例有一等差數列{,6,0 }, 公差為 6 4, + 0 則等差中項 6 範例有一等差數列, 其首項為 0, 公差為 0, 則 ( 6 ) 0 + ( 6 ) d 範例數列{,5,8,,4,7 }, 其首項為, 公差為 5, 則求第 6 項之求法為 : + ( 6 ) 範例數列{,6,9 }, 其等差中項 6 之求法為 : 6 類題練習在下列各空格中填入適當的數, 使得每個數列成為等差數列 : () 5,8,, (),,, () 5,,,, (4), 9,, 4

5 (5),,, 4 4 (6) 6,,,,. 等差級數問題 : 一等差數列為 {,,, Λ, 等差數列的規則性或公式來算出此數列的總和呢?, }, 我們是否可以利用意義 : 將一個等差數列的每一項依次用 "+" 號連接, 稱為一個等差級數公式若等差級數之項數為, 首項為, 公差為 d, 前項的和為, () 則 : ( + ) 已知首項項數末項時使用 ( 梯形公式 ) 公式推導 : 如果一個等差級數共有項, 其首項為, 末項為, 公差是 d, 則這各的等差級數的和通常以表示, 即 : Λ + 由 + + d ) + ( + d ) + Λ + [ + ( ) ] ( ) ( d 將 ( ) 式等號右邊各項的順序重新排列成為 : + ( ) d ] + + ( + d ) + ( + d ) [ Λ + ( ) 再將 ( ) ( ) 兩式相加, 即可得到 : [ + ( ) d ] + [ + ( ) d ] + Λ + [ + ( ) d ] [ + ( ) d ] 共組 [ + ( ) d ] Θ + ( ) d ( ) ( + ) 5

6 範例已知一等差級數的首項為, 第 0 項為 88, 求前 0 項的和解 Θ 首項, 0 88, 項數 0 0 ( + 88 ) 90 範例已知ㄧ等差級數的首項為, 第 0 項為 65, 求前 0 項解 Θ 首項, 0 65, 項數 0 則 + ( 0 ) d 65 9 d d 87 d 0 + ( 0 ) d + 9 ( ) 5 0 [ + ( 5 ) ] 0 0 () [ + ( ) d ] 已知首項項數公差時使用公式推導 : 由前面可知 + ( )d, 再由加以推導可得 ( + ) 之公式 ( + ) [ + + ( ) d ] [ + ( ) ] d 範例已知一等差級數的首項為且公差 5, 求前 0 項的和解 Θ 首項, 公差 d 5, 項數 [ + ( 0 ) d ] [ + ( 0 ) 5 ]

7 範例已知一等差級數的首項為 0 且公差為解首項 0, 公差 d, 項數 0 0 [ + ( 0 ) d ] 0, 求前 0 項之和 ) ( 0 0 範例已知等差級數 ( 6 ) + ( ) + + Λ + 的和為 64, 求的值解 6, d ( ) ( 6 ) 4 [ ( 6 ) + ( ) 4 ] 64 ( ) ( + 4 ) ( 8 ) 0 8 或 4 ( 不合, 項數必須為正數 ) 範例 4 00 到 00 的整數中, 能被 7 整除的所有數的和等於多少? 解 00 到 00 的整數中,7 最小的倍數為 05,7 最大的倍數為 94 05, 94, d ( ) ( )

8 4. 補充公式 : () 等差級數 : () 等差級數 : 項數中央項範例一等差級數的 , 9 則範例一等差級數為 Λ + 9, 其項數為 9, 中央項為 5, 5. 級數專用符號 : 則範例要表示的簡易式可用如右之符號 : i 0 i 0 0 ( + 0 ) 即 i i ( 上面符號的 i 表示 i 累加到 i 0 ) 00 範例 i Λ ( + + Λ ) ( + + Λ ) ( + 00 ) 0 ( 0 ) 類題練習有一等差級數 Λ, 求前十項之和類題練習求等差數列{, 5, 8, }, 求前 0 項之和 8

9 類題練習求等差數列 {,6,9, Λ,0 } 之總和類題練習 4 設一等差級數的首項為 5, 前十一項和為 440 求公差及第十項類題練習 5 設某一三角形的三個角的度數成等差數列若已知最大的角是 05 度, 則最小的角是幾度? 類題練習 6 假設一等差數列的前十項和為 0, 前九項和為 99 解 : 求公差為何? 9

10 . 等比數列意義 : 一個數列, 如果它任意相鄰兩項的後項除以前項所得的數都一樣, 亦即, 後項比前項的比值都相同, 則此數列稱為等比數列範例 {,,,,,,,,,,, } {,,,,,,, } {,,0.5,0.5,0.5,0.065,0.05 } {,,,,,, } {,,,,,, } 公式. 設等比數列的首項為, 公比為 r, 第項為, 則求出之值公式 : r 公式推導 : 如果一個等比數列的首項為, 公比為 r, 則由等比數列的定義可知 : 4 Λ r ; r ; r r r r r ; 4 4 r r r r r ; Μ r 範例等比數列{ 4,8,6, }, 其首項為 4, 而公比為 8 4, 4 則第 4 項 :

11 b. 若 b c 三數成等比數列, 則 b 叫做與 c 的等比中項或幾何中項 : b c ( 或 b ± c ) 範例一等比數列{,,48 }, 其公比為 4, 則等比中項為 ± 48 ± 44 ± ( 負不合 ) 類題練習在下列各空格填入適當的數, 使得每一數列成為等比數列 : () 5,0,, () 5,5,, (),,, 4 (4), 5,, (5),,, 8 (6),,,8 (7),,,, 5 0 類題練習 () 已知某一等比數列的首項為, 公比為, 求第五項 () 已知某一等比數列的首項為 4, 第四項為寫出此數列的前五項 () 已知某一等比數列第二項為 8, 第五項為求首項及公比

12 類題練習 () 已知, m, 8 三數成等比數列, 求 m 之值 () 已知 5, m,0 三數成等比數列, 求 m 之值. 等比級數問題 : 一等比數列為 {,,, Λ, 等比數列的規則性或公式來算出此數列的總和呢? 意義 : 將一個等比數列的每一項依次用 + 號連接, 稱為一個等比級數 ( 幾何級數 ), 即 Λ +, }, 我們是否可以利用 + 法則若等比級數之項數為, 首項是, 公比是 r, 前項的和為, () 當 r 時, Λ 共項範例一等比數列 {,,,,,,,,,, }, 公比 r, 則 Λ 個 ; () 當 r 時, ( r ) r 或 ( r ) r 公式推導 : 若 Λ + + r + Λ + r + r Λ Λ ( ) 將 ( ) 式左右同乘 r : r r + + r + Λ + r r Λ Λ ( ) 將 ( ), ( ) 聯立 : r + r + Λ Λ Λ Λ r + r + r + Λ Λ Λ Λ Λ + r + r + r

13 上下相減可得 : r r ) ( ) ( r r ) ( ) ( r r ( 或 ) ( ) ( r r ) 符號應用 : 我們可以用 i i r 來表示亦即 i i r r Λ ) ( ) ( r r 範例等比數列 {,,4,8, Λ, 0 }, 其 r, 則 ( ) 類題練習 () 已知某一等比級數的首項為 7, 公比為, 且有 0 項求此級數的和 () 已知一等比級數, 首項為 4, 公比為, 和為 00, 求此級數之項數

14 類題練習 () 已知某一等比級數的首項為 5, 公比為, 且此級數共有 5 項, 求此等比級數的和 () 已知某一等比級數的首項為, 公比為, 且此級數總和為 9 求此等比級數之項數類題練習已知某一等比級數的首項為 4, 公比為, 且此級數總和為 508 求項數為何? 類題練習 4 已知某一等比級數的和為 80, 公比為, 且共有 6 項求首項為何? 類題練習 5 已知某一種細菌每經過一天, 個數繁殖為原來的兩倍今有此細菌一個, 請問至少需要經過多少天後, 細菌個數會超過 500 個? 4

15 類題練習 6 已知有 5 個桶子在第一個桶子放入一個球, 第二個桶子放入個球, 第三個桶子放入 9 顆球, 以此類推, 也就是說 : 後一個桶子放入的球數為前一個桶子球數的三倍請問這五個桶子共有幾個球? 類題練習 7 已知某依等比級數的和為 80, 公比為, 且此級數共有 6 項求首項例題練習有一等差數列為 6 9, 有一等差數列為 4 7 0, 求 : 求 : () 第 5 項 ; () 第 5 項 ; () 若第項為 5, 求的值 () 若第項為 6, 求的值 5

16 例題練習如果等差級數的首項為 5, 公差為, 如果等差級數的首項為 8, 公差為 4, 求第 5 項及前 5 項的和求第 0 項及前 0 項的和例題練習設一個等差級數的首項為 7, 末項為, 和為 47 求此等差級數的項數與公差設一個等差級數的首項為 5, 末項為 40, 和為 80 求此等差級數的項數與公差例題 4 練習 4 快樂表演廣場共有 5 排坐位, 依次每一排比前一排多個坐位, 已知最後一排有 80 個坐位, 那麼快樂表演廣場共有多少個坐位? 第一表演廣場共有 0 排坐位, 依次每一排比前一排多個坐位, 已知最後一排有 0 個坐位, 那麼第一表演廣場共有多少個坐位? 6

17 例題 5 練習 5 若一個等比數列的首項為 5, 公比為, 若一個等比數列的首項為, 求此等比數列的第 4 項公比為, 求此等比數列的第 5 項例題 6 練習 6 阿東家於年初時購買一輛新車, 售價是 60 萬元售車人員告訴他們 : 新車第一年的折舊率是 0%( 亦即車子的價錢只剩原來的 80%), 以後每年的折舊率是前一年車價的 0%, 則 : () 第二年年初時 ( 年後 ), 該車價值多少? () 第五年年初時 ( 4 年後 ), 該車價值多少? 阿西家於年初時購買一輛新車, 售價是 60 萬元售車人員告訴他們 : 新車第一年的折舊率是 0%( 亦即車子的價錢只剩原來的 70%), 以後每年的折舊率是前一年車價的 5%, 則 : () 第二年年初時 ( 年後 ), 該車價值多少? () 第四年年初時 ( 年後 ), 該車價值多少? 例題 7 練習 7 求 Λ 至第六項的和求 + ( ) + ( ) + Λ 至第 7 項的和 7

18 例題 8 練習 8 9 求等比級數求等比級數 Λ 至第六項 ( 60 ) ( ) + Λ 的和 5 至第七項的和例題 9 設一球每次落地後反彈高度為原高度的, 現有一球自 8 公尺高處落下, 則此球自開始落下至第 4 次著地所經過的總路程是多少公尺? 8

19 例題 9 設一球每次落地後反彈高度為原高度的, 現有一球自 8 公尺高處落下, 則此球自開始落下至第 5 次著地所經過的總路程是多少公尺? 例題 0 練習 0 已知某一種細菌每經過一天, 個數繁殖為原來的三倍今有此細菌一個, 請問至少需要經過多少天後, 細菌個數會超過 0000 個? 已知某一種細菌每經過一天, 個數繁殖為原來的二倍今有此細菌二個, 請問至少需要經過多少天後, 細菌個數會超過 000 個? 9

20 I. 重疊圖形的周長與面積 :. 正方形重疊的周長將個邊長公分的正方形邊靠邊並排成長方形, 此長方形周長為 ( + ) 公分範例將 5 個邊長公分的正方形邊靠邊並排成長方形, 由右圖可知所排成長方形周長為 5 + 公分. 三角形重疊的周長將個邊長公分的三角形邊靠邊並排成長條形, 此長條形周長為 ( + ) 公分範例將 5 個邊長公分的三角形邊靠邊並排成長條形, 此長條形周長為公分. 圖形周長的比較用個邊長公分的正方形所拼成的長方形周長比用個邊長公分的三角形所拼成的長條形周長多公分範例如以上述兩個範例中的圖形周長作比較可知 7 5 公分 4. 重疊圖形的面積若一圖形面積公分, 用個這種圖形以重疊 b 平方公分的方式拼排, 則所成的圖形面積是 : ( b ) + b 平方公分範例用 6 個邊長為公分的中空正方形, 以重疊三個小正方形的方式拼排成的長條形, 其面積是多少? 方法 : 代入公式 ( 8 ) 6 + 平方公分方法 : 原來公分的中空小正方形是由 8 個公分的小正方形構成, 而重疊個就如下圖看成 8 5 個小正方形的凹形, 所以重疊後的圖形看成 6 個凹型和一長方形, 全部面積為 : 平方公分 0

21 方法 : 每兩個正方形重疊處是公分的長方形,6 個正方形有 5 個重疊處, 所以全部面積是 : 平方公分範例用 5 個邊長為公分的中空正方形, 以重疊個小正方形的方式拼排成的長條形, 其面積是多少? 方法 : 代入公式 ( 8 ) 平方公分方法 : 邊長公分的中空小正方形是由 8 個公分的小正方形構成, 而重疊個就如下圖看成 8 7 個, 所以全部面積為 : 平方公分例題以個邊長為公分的正方形邊靠邊並排拼成的長方形的周長是多少公分? 例題如右下圖, 用 5 個邊長為公分的正方形, 以重疊一個邊長為的正方形方式並排成長條形, 求此長條形的周長是多少?

22 例題 () 用 6 個邊長為公分的中空正方形, 以重疊個小正方形的方式拼排成長條形, 求此長條形的面積為何? () 用個邊長為公分的中空正方形, 以重疊個小正方形的方式拼排成長條形, 求此長條形的面積為何? 例題 4 將一個邊長為公分的正方形紙片對摺兩次, 可形成 4 個相同的小正方形, 在每個小正方形上分別標上數字,,,4( 如右圖 ): () 取個數字正方形, 以重疊一個小正方形的方式拼排成長條形, 此長條形可看見的數字和是多少? () 取個數字正方形, 以重疊一個小正方形的方式拼排成長條形, 此長條形可看見的數字和是多少?

23 進階補充由小正方形組成相連圖形的邊數. 若以火柴圍成 m 的長方形共需 [( m + ) + ( + ) m ] 根火柴範例圍成的長方形所需要的棉花棒總數如下 : 直的需 ( + ) 根, 橫的需 ( ) 所以共 ( ) + ( + ) 7 + 根, + ( 根 ). 圍成的正方形共需 [ ( + ) ] 根火柴範例若要排出的正方形則需要火柴總數如下 : ( + ) 4 4 ( 根 ) 例題 5 將棉花棒排成接連的三角形, 若排成個接連的三角形, 共需多少根棉花棒? 解 : 排成需要根棉花棒 ; 排成需要 5 根棉花棒 ; 排成需要 7 根棉花棒 Μ 由此可推知 : 排成個接連的三角形, 共需要 + 根棉花棒例題 6 將棉花棒排成如右圖接連的正三角形 () 欲排出邊長的正三角形需根棉花棒, 排邊長的正三角形需 9 根棉花棒, 則排邊長的正三角形需幾根棉花棒? () 欲排出邊長 4 的正三角形需幾根棉花棒?

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1

例題 練習 如果奇數 的第 k 個數寫如果奇數 的第 k 個數寫為為 k, 那麼偶數 Λ k +, 那麼偶數 Λ 的第 k 個數寫為多少? 的第 k 個數寫為多少? 例題 練習 一 二 三

例題練習如果奇數的第 k 個數寫如果奇數的第 k 個數寫為為 k, 那麼偶數 Λ k +, 那麼偶數 Λ 的第 k 個數寫為多少? 的第 k 個數寫為多少? 例題練習一二三