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钿秃卓
5 years ago
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1 排列组合集合论随机事件事件间的关系与运算频率与概率

2 4 等可能概型 ( 古典概型 )

3 等可能概型 ( 古典概型 ) 生活中有这样一类试验, 它们的共同特点是 : 样本空间的元素只有有限个 ; 每个基本事件发生的可能性相同比如 : 足球比赛中扔硬币挑边, 围棋比赛中猜先我们把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型

4 设 S ={e 1, e, e }, 由古典概型的等可能性, 得 { e } { e} ={ e 1 又由于基本事件两两互不相容 ; 所以 }. 1 1 e { S } { e } { e } { e }, 1 { e i }, i 1,,,.

5 若事件包含 k 个基本事件, 即 ={e 1, e, e k }, 1 k 则有 : ( ) k 包含的基本事件数 S 中基本事件总数. 例 1 将一枚硬币抛掷三次设 : 事件 1 为恰有一次出现正面, 事件为至少有一次出现正面, 求 ( 1 ), ( )

6 解 : 样本空间 S ={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT}, = 8, 即 S 中包含有限个元素, 且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同, 属于古典概型 1 为恰有一次出现正面, 1 ={HTT, THT, TTH}, k 3 k = 3, ( 1)= =, 8

7 事件为至少有一次出现正面, ={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH } k k = 7, ( )= = 7 8, 另解 : 由于 ={TTT}, k =1, ( ) = k = 1, 8 ( ) =1 ( ) =1 1 8 = 7. 8

8 例一口袋装有 6 只球, 其中 4 只白球只红球从袋中取球两次球, 每次随机的取一只考虑两种取球方式 : 放回抽样第一次取一只球, 观察其颜色后放回袋中, 搅匀后再取一球不放回抽样第一次取一球不放回袋中, 第二次从剩余的球中再取一球分别就上面两种方式求 : 1) 取到的两只都是白球的概率 ; ) 取到的两只球颜色相同的概率 ; 3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率

9 解 : 从袋中取两球, 每一种取法就是一个基本事件设 = 取到的两只都是白球, B= 取到的两只球颜色相同, C= 取到的两只球中至少有一只是白球有放回抽取 : 4 4 ( ) ( B) ( C ) 1 ( C )

10 无放回抽取 : 无放回抽取 : C 4 ) ( C C 4 C C C B ) ( 6 C 6 C 1 1 C C C C ) ( ) ( C 6

11 例将只球随机的放入 N (N ) ) 个盒子中去, 求每个盒子至多有一只球的概率 ( 设盒子的容量不限 ) 解 : 将只球放入 N 个盒子中去, 共有 N N N N 种放法, 而每个盒子中至多放一只球, 共有 N ( N 1) [ N ( 1)] 种放法, N 故 p N ( N 1) [ N N ( 1)] N N.

12 个人生日问题 : p

13 例设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取件, 问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少? 1) 不放回抽样解 : 在 N 件产品中抽取件, 取法共有 C N 种, k 又在 D 件次品中取 k 件, 所有可能的取法有 C D 种, k 在 N-D 件正品中取 -k 件, 所有可能的取法有 C N D 种,

14 由乘法原理知 : 在 N 件产品中取件, 其中恰有 k 件次品的取法共有 k k C C 种, C D N D 于是所求的概率为 : p C C k k D N D C N 此式即为超几何分布的概率公式

15 ) 有放回抽样从 N 件产品中有放回地抽取件产品进行排列, 可能的排列数为 N 个, 将每一排列看作基本事件, 总数为 N 而在 N 件产品中取件, 其中恰有 k 件次品的取法共有 k k k C D ( N D) 于是所求的概率为 : k k k C D ( N D) k D k D C ( ) (1 ) N N N 此式即为二项分布的概率公式 k

16 例在 1~000 的整数中随机的取一个数, 问取到的整数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率是多少? 解 : 设为事件取到的整数能被 6 整除, B 为取到的整数能被 8 整除, 则所求的概率为 : ( B ) ( B) 1 ( B), 其中 ( B ) ( ) ( B ) ( B ). 000 由于 , 所以能被 6 整除的整数 6 为 :6,1, 共 333 个,

17 ( ) , 同理得 : ( B), ( B) 其中 B ={8, 16, 000 }, B = {4, }, B 为既被 6 整除又被 8 整除或能被 4 整除于是所求的概率为 : p 1 [ ( ) ( B ) ( B )]

18 例将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去, 这 15 名新生中有 3 名是优秀生问 : (1) 每个班各分配到一名优秀生的概率是多少? () 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少? 解 :15 名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为 : C C C !, 5! 5! 5! 5! 5! 5!

19 例某接待站在某一周曾接待过 1 次来访, 已知所有这 1 次接待都是在周二和周四进行的问是否可以推断接待时间是有规定的? 解 : 假设接待站的接待时间没有规定, 各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的, 那么,1 次接待来访者都在周二周四的概率为 : 1 /7 1 = , 即千万分之三

20 概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的 ( 实际推断原理 ) 现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了, 从而推断接待站不是每天都接待来访者, 即认为其接待时间是有规定的

21 3 条件概率目录索引一二三条件概率乘法定理全概率公式和贝叶斯公式

22 条件概率设 B 是某随机试验中的两个事件, 且 0 则称事件 B 在事件已发生这一附加条件下的概率为在事件已发生的条件下事件 B 的条件概率, 简称为 B 在之下的条件概率, 记为 B

24 4

25 条件概率的性质 : B 0 1 非负性 : 对任意事件 B, 有 S ; 规范性 : 1 3 可列可加性 : 如果随机事件 B 1, B,, B 两互不相容, 则 B 1 1 B, 两概率的性质同样适用于条件概率

27 例已知某家庭有 3 个小孩, 且至少有一个是女孩, 求该家庭至少有一个男孩的概率. 解 : 设 ={ 3 个小孩至少有一个女孩个女孩 } B={ 3 个小孩至少有一个男孩 } 则 B 8 所以 B B 返回主目录

28 两个事件的乘法公式由条件概率的计算公式我们得 B B B B 这就是两个事件的乘法公式.

29 多个事件的乘法公式设, 1,, 为个随机事件, 且则有这就是个事件的乘法公式

31 例设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为 1/, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为 7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为 9/10 求透镜落下三次而未打破的概率解 : 以 i ( i=1,,3 ) 表示事件透镜第 i 次落下打破, 以 B 表示事件透镜落下三次而未打破, 有 : ( B) ( 1 3) ( 3 1 ) ( 1) ( 1) (1 )( 1 )( 1 )

32 全概率公式和贝叶斯公式定义设 S 为试验 E 的样本空间, 为 E 的一组事件若满足 1,, (1) =, i j, i, j 1,,,, ; () 则称为 i j 1 S, 1, 样本空间 S 的一个划分个划分 S

33 全概率公式 : 设随机事件 1 满足 : 1,,, 以及 B 1.,,, 两两互不相容 ;. i1 i S 3. 0 i 1,, i 则有 B B i1 i i

34 全概率公式的证明 B= B B B = 1 B 1 B... B... 1 S

35 例某小组有 0 名射手, 其中一二三四级射手分别为名. 又若选一二三四级射手参加比赛, 则在比赛中射中目标的概率分别为 , 今随机选一人参加比赛, 试求该小组在比赛中射中目标的概率. 解 : 设 B 该小组在比赛中射中目标选 i 级射手参加比赛 i 1,, 3 4 i 由全概率公式, 有

36 4 B B i i i

37 Bayes 公式第一章设随机事件 1,,, 以及 B 1. 1,,, 两两互不相容 ; i1. i S 3. 0 i 1,, 则 i 满足 ( B ) ( B ) ( ) ( B) i i i, j1,,, i B ( ) ( B ) ( ) j j j 1

39 例对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时, 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某一故障时, 其合格率为 55% 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为 95% 已知某天早上第一件产品是合格品, 试求机器调整得良好的概率是多少? 机器调整得良好 B B 机器发生某一故障 B ( ) 98% 产品合格 B ( ) 55%

40 解 : ( B) ( B) ( B ) ( B ) ( B ) ( B ) ( B )

41 例用某种方法普查肝癌, 设 : ={ 用此方法判断被检查者患有肝癌 }, 已知 C={ 被检查者确实患有肝癌 }, C C 0.95, 0.95 而且已知 :C 现有一人用此法检验患有肝癌, 求此人真正患有肝癌的概率.

42 解 : 由已知, 得 C C 0.95, 所以, 由 Bayes 公式, 得 CC C CC CC

43 小结一等可能概型二条件概率三乘法定理四全概率公式和贝叶斯公式

概率论与数理统计

概率论与数理统计主讲 : 杨明磊 Email: mlyag@xidia.edu.c 雷达信号处理国家重点实验室课件网址 : http://web.xidia.edu.c/mlyag/teach.html ( 中文 ) http://jalo.uice.fr/cours/deeire/cours.deeire.200 8-09-03.4613 ( 法文 ) 课程安排分两学期完成前期中文课程法文