美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 63 表. 004 年到 009 年台灣佔全球報考人數的百分比年 全球 03, 37 83, 78 76, , 79 78, 560 8, 80 台灣 4, 63 5, 38 5, 43 5,

Size: px
Start display at page:

Download "美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 63 表. 004 年到 009 年台灣佔全球報考人數的百分比年 全球 03, 37 83, 78 76, , 79 78, 560 8, 80 台灣 4, 63 5, 38 5, 43 5,"

Transcription

1 數學傳播 35 卷 4 期, pp. 6-8 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 洪偉誠 李俊賢 蔡誠祐 何家興 張福春 摘要 : 美國高中數學測驗 AMC 已有 60 年歷史 ( , 這些題目是經過專家們嚴謹的設計, 以選擇題的方式出題, 具有高度的鑑別度, 可測驗出學生在代數 幾何 數論 三角函數 離散數學及統計等科目中的觀念是否能靈活應用 在這 60 年的考試中共出現了 68 題各種型式的機率題目, 本文的目的是針對這些題目加以分類並作詳細的探討 關鍵詞 : 互斥事件 分割 二項式定理 全機率定理 貝氏定理 排容原理 條件機率 第摩根定理 幾何機率 機率公設 獨立事件 美國數學會 000 年分類索引主要 60A, 60D.. 前言 美國高中數學測驗 AMC 由 950 年舉辦至今 (009 已有 60 年歷史, 為近幾年備受重視的世界性大型數學測驗 考試的對象是以高二和高三學生為主, 其內容涵蓋廣泛, 包含各種演算概念理解的數學題型, 透過這些具有挑戰性的問題, 刺激學生對於數學問題的興趣, 並引導學生平日自主學習的能力, 靈活應用已習得之數學知能 透過這些具有高鑑別度的題目, 讓學生能發覺其本身所具有的數學才能, 並讓相關的人員, 如老師 學校能重視這些學生知能的多面向, 以便適度的提供協助, 更能增進學生的發展 目前美國以此比賽為篩選美國國際奧林匹亞代表隊選手的第一階段測驗, 而台灣在 00 年時開始舉辦 AMC (A 試卷 的考試 表 顯示 004 年到 009 年台灣報考學生人數逐年提高, 所佔全球考生百分比亦逐年提高 ( 除 007 年外 此測驗可以讓學生更能了解自己的數學能力 有關於 AMC 的詳細發展變革可參考 Maurer, Reiter and Schneider (00, 及 AMC 的相關報考資訊可至財團法人九九文教基金會網站查詢 6

2 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 63 表. 004 年到 009 年台灣佔全球報考人數的百分比年 全球 03, 37 83, 78 76, , 79 78, 560 8, 80 台灣 4, 63 5, 38 5, 43 5, 939 6, 075 6, 53 百分比 4.0% 6.3% 7.% 6.4% 7.7% 7.9% 從 00 年起 AMC 數學測驗在美國分為 A 與 B 兩份不同的試卷, 在兩個不同日期舉行, 學生可由兩次的考試中任選一次參加 每一次皆有 5 題選擇題, 而題目的類型含括了代數 幾何 數論 三角函數 離散數學及統計等科目, 更詳盡的題目及說明可參考 Art of Problem Solving (AoPS 的網頁, 其中收錄了 AMC 的考試題目, 並提供全世界對於此競賽有興趣的人一起討論, 有些題目已被提出解答, 而有些還在待解中 更多完整的題目與解答可參考美國數學學會所出版一系列 AMC 數學測驗歷屆試題暨詳解參考書 ( : Salkind (96, 966 Salkind and Earl (973 Artino, Gaglione and Shell (98 Berzsenyi and Maurer (997 Schneider (997 Reiter (006 及 Wells and Faires (008 下表 是以十年為一單位所計算機率佔總題數的百分比, 其中機率所佔百分比呈現逐漸增加的趨勢 表. 歷屆機率試題所佔百分比 合計總題數 機率題數 百分比 0% 0.3% 3.% 4.3% 4.3% 8.6% 3.4% 本文主要介紹歷屆 AMC 的試題中的機率問題, 由簡單的例子循序漸進, 了解基本概念後, 再綜合應用到更為繁雜的例子 在第二節先介紹了機率的基本定義 公設及各種原理方法 ( 第摩根定理 互斥事件 獨立事件 排容原理, 再提供相關的例題來熟悉其內容 第三節介紹條件機率的想法, 並將條件機率的形式做推廣得全機率定理 貝氏定理等 第四節介紹在基本定義 ( 個數為有限可數 外, 當個數為無限不可數時, 如何利用幾何測量 ( 長度 面積 體積 與定義求機率 而第五節將一特殊的路徑問題獨立做介紹, 利用這些例題的探討, 更能體會機率與日常生活密不可分的關係 在最後提供了一些 AMC 的試題當作習題, 這些習題涵蓋第二節到第五節的各種觀念及計算技巧 下表 3 為機率題型的分佈, 其中以機率所佔之百分比最高, 佔 60.3%, 其次為幾何機率佔 0.6%, 條件機率佔.8%, 百分比最低的為路徑問題, 佔 7.3%

3 64 數學傳播 35 卷 4 期民 00 年 月 表 3. 機率題型分佈 分類 機率 條件機率幾何機率路徑問題 題數 百分比 60.3%.8% 0.6% 7.3%. 機率.. 樣本空間與事件 將一個實驗中所有可能出現的結果 (outcome 所形成的集合, 稱為一樣本空間, 記作 S 由於每一種可能的結果皆屬於樣本空間, 故亦可稱為元素或樣本點 事件 (event 為一些結果所形成的集合且事件為 S 的子集, 以大寫字母 (A, B, C,... 表示, 可分為以下兩種類型 : ( 事件中只有包含一個元素, 稱作簡單事件 (simple event, 亦稱為樣本點, 例如投擲一顆骰子得點數 3 ( 事件中包含兩個以上的元素, 稱作複合事件 (compound event, 例如投擲兩顆骰子得點數和為 3 或 5 或 7 若 A, B 兩事件滿足 A B = 時, 則稱此 A 事件與 B 事件為互斥事件 (disjoint events.. 機率公設 假設 S 是某隨機實驗上的樣本空間, 而 B 為 S 中某些樣本點所形成的子集合, 且定義集 合函數 P : B R, 若 P 滿足下列的三項機率公設, 則稱函數 P 為機率函數 : 機率公設 (axioms of probability 一 對於任意的 A 事件皆滿足 : P(A 0 二 樣本空間 S 的機率等於, 寫作 P(S = 三 如果 A, A, A 3,..., 為一組有限或者可數的無限的事件且彼此為互斥事件, 則這些事件所聯集的機率等於個別事件的機率和 : P(A A A 3 = P(A + P(A + P(A 3 + 上述公設是現代機率論發展的基礎, 是俄國數學家柯莫格洛夫 (Kolmogorov, 於 933 年所發表的, 因此機率公設也稱作柯莫格洛夫公設 (Kolmogorov axioms

4 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 65 以下為利用機率公設來計算的問題 例. (985 AMC #6 在男女合班的班級中, 隨機挑選一名學生作為班級代表, 其中每 個學生都可能會被選上, 並且選到男生的機率是選到女生的機率的 3, 試問男生人數與全班人數比值為多少? (A 3 (B 5 (C (D 3 5 (E 3 解 :(B 設 p 為抽到女生的機率, 則抽到男生的機率為 3 p, 而題意可視為求抽到男生的機率 故由機率公設 p + 3 p = 求得 p = 3 5 因此抽到男生的機率為 = 5 例. (978 AMC #9 假設 n 為不超過 00 的正整數, 且以下列方式選取 : 若 n 50, 則選取到 n 的機率為 p; 若 n > 50, 則選取到 n 的機率為 3p, 試問選取到完全平 方數的機率是多少? (A 0.05 (B (C 0.08 (D 0.09 (E 0. 解 :(C 在 至 50 中的 50 個數, 每一個數的機率皆為 p; 而 5 至 00 中的 50 個數, 每一 個數的機率皆為 3p, 由機率公設知 50 p + 50 (3p = 則 p = 而在 至 50 之間共有 7 個完全平方數, 在 5 至 00 之間共有 3 個完全平方數, 則選到完全 平方數的機率為 等機率樣本點的樣本空間 7 p + 3 3p = 6p = 0.08 若樣本空間 S 為一有限的集合, 且在 S 中每一個樣本點發生的可能性皆相同時 ( 所謂 equally likely, 則任意事件 A 發生的機率, 只需要計算該事件中樣本點個數與 S 中樣本點個 數的比值, 即 P(A = A S 其中 A 和 S 分別代表 A 和 S 樣本點的個數 以下為幾個等機率樣本點的問題

5 66 數學傳播 35 卷 4 期民 00 年 月 例 3. (976 AMC #8 在 xy 平面上一點, 其 x, y 座標皆是絕對值小於或等於 4 的整 數, 且滿足此條件的點被選取之機率皆相同, 試問從這個點到原點的距離不大於 單位的機 率是多少? (A 3 8 (B 5 8 (C 3 64 (D π 6 (E 有理數的平方 解 :(A 此點的 x, y 座標的可能情況共有 9 9 = 8 種, 而與原點距離不大於 的點列舉如 下 ( 當 x = 0 時 : y 可為 0, ±, ±, 即表示點 (0, 0, (0, ±, (0, ±, 共 5 種可能 ( 當 x = ± 時 : y 可為 0, ±, 即表示點 (±, 0, (±, ±, 共 6 種可能 (3 當 x = ± 時 : y 只能為 0, 即表示點 (±, 0, 共 種可能 綜合上述情況, 與原點距離不大於 的點共有 = 3 種可能, 故機率為 3 8 例 4. (977 AMC #7 獨立地投擲三顆骰子 ( 每一點數出現的機率皆相同, 試問三 個朝上的點數能排列成公差為 之等差數列的機率為多少? (A 6 (B 9 (C 7 (D 54 (E 7 36 解 :(B 骰子點數為 至 6, 其中三個朝上點數會產生公差為 之等差數列的情況如下 : (,, 3, (, 3, 4, (3, 4, 5, (4, 5, 6 因此朝上面呈等差數列的機率為 4 3! = 9 例 5. (003 AMC A #8 隨機取出 60 的一個正因數, 試問取出此正因數會小於 7 的 機率為何? (A 0 (B 6 (C 4 (D 3 (E 解 :(E 因為 60 = 3 5, 共有 ( + ( + ( + = 個正因數, 其中有,, 3, 4, 5, 6 共 6 個正因數會小於 7, 故所求機率為 6 =

6 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 第摩根定理 當 A 事件的機率計算非常瑣碎, 而 A 的餘事件的機率計算相對較為容易時, 我們可藉由 A 的餘事件 (A c 來求出 A 事件的機率, 再搭配機率公設可推得下列定理 此定理為第摩根 (De Morgan, 在古典命題邏輯中所推論出來的結果, 被廣泛的應用在數學各個領域中, 如邏輯 計數及機率 以下為其機率形式 : 定理..( 第摩根定理 設 A c 為事件 A 的餘事件, 則 P(A = P(A c. 證明 : 因為 A 和 A c 為互斥事件且 A A c = S, 所以根據機率公設二和公設三可推得 : = P(S = P(A A c = P(A + P(A c 由上式可推得 P(A = P(A c 以下為利用第摩根定理來計算的問題 例 6. (993 AMC #4 有一個盒子裡裝了 3 個新的硬幣與 4 個舊的硬幣, 將硬幣一 個接一個隨機的取出且不放回, 若第三枚新的硬幣在第四次之後 ( 不含第四次 才被取出的 機率為 a b, 其中 a b 為最簡分數, 則 a + b 為多少? (A (B 0 (C 35 (D 58 (E 66 解 :(E P( 前四次將新的硬幣取完 = (3 3( 4 ( 7 4 = 4 35, 再由第摩根定理 P( 新硬幣於第四次之後取完 = 4 35 = 3 35 所以 a + b = = 66 例 7. (008 AMC B # 停車場內有 6 個停車位排成一列, 今有十二輛車抵達, 並 隨機挑選一個位置停車 之後又有一台需要兩個停車位的休旅車進入停車場, 試問此休旅車 能夠完全停入的機率為多少? (A (B 4 (C (D 3 5 (E 7 8

7 68 數學傳播 35 卷 4 期民 00 年 月 解 :(E 首先討論此休旅車無法找到適當停車位的情況, 即當前 輛車停完後, 所留下來的空 位並無兩個相鄰 因為 輛車停完後會有 4 個空位, 則此 4 個空位彼此不相鄰 ( 此四個空位會 介於 輛車的 3 個空隙中 的機率為 ( 3 4 = 8 故由第摩根定理, 休旅車可找到適當的停車位的機率為 ( = 獨立事件 設 A, B 為兩事件, 若滿足 P(AB = P(A P(B 則稱 A, B 為獨立事件 (independent events, 以下為獨立事件在機率中的一般形式 定義..( 獨立事件 設 A, A,...,A n 為 n 個有限事件, 若任意 k( k n 個事件 A i, A i,...,a ik ( i < i < < i k n 皆滿足 P(A i A i A ik = P(A i P(A i P(A ik 則稱此 n 個事件為獨立事件 以下為利用互斥事件及獨立事件來計算機率問題 例 8. (986 AMC # 從 {,,..., 0} 中隨機取出 6 個不同的整數, 試問在所取 的數中, 第二小的數是 3 的機率為多少? (A 60 (B 6 (C 3 (D (E 以上皆非 解 :(C 假設 x, 3, y, z, u, v 為所取到的數字, 滿足 x < 3 < y < z < u < v ( 所以 x 可為 {, } 兩種數字, 而 y, z, u, v 可為 4, 5,..., 0 中的任意四個數字, 故有 = 70 種滿足條件的數字組合 又從 {,,..., 0} 中取出 6 個整數共有 = 0 種 ( 7 4 ( 0 6

8 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 69 組合, 因此所求機率為 70 0 = 3. 例 9. (97 AMC #3 有 A, B 兩隊正在進行一系列賽事, 若兩隊都有相同機會在任何一局中得勝, 且 A 隊要贏兩局或 B 隊要贏三局才能算獲勝, 試問有利於 A 隊獲勝的勝算比為多少? (A 比 5 (B 5 比 (C 8 比 3 (D 3 比 (E 3 比 5 解 :(A A 隊獲勝的可能情況為 故 A 隊獲勝的機率為 比賽情況 連勝兩局 機率 AA = 4 BAA BBAA 6 已勝一局 ABA 8 8 ABBA 6 BABA = 6. 例 0. (997 AMC #0 有兩顆公正骰子, 今將其中一個的 4 點換成 3 點, 而將另一 個的 3 點換成 4 點, 若同時投擲兩顆骰子一次, 則點數和為奇數的機率為多少? (A (B 4 (C (D 5 (E 解 :(D 點數和為奇數, 則此兩顆骰子所得點數必為一奇一偶 因為此兩顆骰子點數的奇偶機率 不相同, 故以下分兩骰子來做討論 ( 第一顆骰子點數為,, 3, 3, 5, 6, 所以出現奇數的機率為 4 6 = 3, 出現偶數的機率為 3 ( 第二顆骰子點數為,, 4, 4, 5, 6, 所以出現偶數的機率為 4 6 = 3, 出現奇數的機率為 3 因此兩顆骰子點數和為奇數的機率為 = 5 9

9 70 數學傳播 35 卷 4 期民 00 年 月 例. (979 AMC #7 隨機選取一對有序整數 (b, c, 其中 b, c 的絕對值皆小於或 等於 5, 而每一對有序整數對被選取到的可能性皆相等, 試問方程式 x + bx + c = 0 沒有 相異正實根的機率是多少? (A 06 (B 08 (C 0 (D (E 以上皆非 解 :(E 由根與係數關係可知, 若方程式 x + bx + c = 0 有兩相異的正實根 α, β, 則 α + β = b > 0 α β = c > 0 D = b 4c > 0 所以 b < 0, c > 0, b > 4c 因為 b 5, c 5, 則共有 = 個整數對 (b, c 以下討論滿足有兩相異正實根條件的數對 (b, c: ( 當 b = 5 時 : c 可能的值為 5, 4, 3,,, 即表示數對 ( 5,, ( 5,, ( 5, 3, ( 5, 4, ( 5, 5, 共 5 個數對 ( 當 b = 4 時 : c 可能的值為 3,,, 即表示數對 ( 4,, ( 4,, ( 4, 3, 共 3 個數 對 (3 當 b = 3 時 : c 可能的值為,, 即表示數對 ( 3,, ( 3,, 共 個數對 綜合上述情況, 共有 = 0 種數對會使得方程式有兩相異正實根, 故使方程式沒有相 異正實根的機率為 0 = 例. (980 AMC #0 在盒子裡有 枚一分 4 枚五分和 6 枚一角的錢幣, 從中取 出 6 枚硬幣, 每次取出不再放回, 且每枚硬幣被取到的機率皆相等, 試問取出硬幣的總值至 少是五十分的機率是多少? (A 37 (B (C 7 94 解 :(C 由 枚硬幣中任取六枚, 共有 做討論 : ( 若取到 6 枚一角硬幣 (60 分 : 共有 ( 6 (D 3 94 (E 以上皆非 = 94 種取法 以下以所取到一角硬幣的個數來 ( 6 6 = 種取法

10 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 7 ( 若取到 5 枚一角硬幣 (50 分 : 剩餘 6 ( 枚一分 4 枚五分 個硬幣任取即可, 共有 = 36 種取法 ( 6 ( 6 5 (3 若取到 4 枚一角硬幣 (40 分 : 則需取 枚五分的硬幣才可滿足題目要求, 共有 90 種取法 ( 6 ( 4 4 = 綜合上述情況, 取出硬幣總和至少為五十分的情況共有 = 7 種, 故機率為 7 94 例 3. (988 AMC # 將整數 到 9 分別寫在 9 張紙片上, 再放在帽子裹, 傑克隨 機取了一張又放了回去, 接著吉爾也隨機取了一張, 試問哪個數字最可能是傑克 吉爾兩個人 所取數字和的個位數? (A 0 (B (C 8 (D 9 (E 每一個數字機率相等 解 :(A 此兩人由帽子中抽取出來的數字共有 9 9 = 8 種組合, 以下針對可能的數字和的個 位數字做討論 : ( 數字和之個位數字為 0 ( 兩數字和為 0: 對於 到 9 中每個數而言, 都會有其相對應的 數能使得總和為 0, 使得其個位數字為 0, 如 + 9 = 0, + 8 = 0, = 0,..., 9 + = 0 故共有 9 種可能, 其機率為 9 8 ( 數字和之個位數字為 ( 兩數字和為 : 除了數字 以外的每一個數, 都會有其相對應 的數使得總和的個位數字為 ( 和為 + 0 =, + 0 = ( 不存在, 因在 到 9 中沒有數字 0 與 =, =,..., 9 + = 故共有 8 種可能, 其機率為 8 8 (3 數字和之個位數字為 9: 如 ( 之討論, 共有 8 種可能, 其中每一種可能的個位數 字的機率皆為 8 8 故所取數字和之個位數字為 0 的發生機率最大, 即最可能的個位數字為 0

11 7 數學傳播 35 卷 4 期民 00 年 月 例 4. (004 AMC B #0 在一立方體的每一面塗上紅色或是藍色, 其中各面所塗的 顏色彼此為獨立, 且塗紅色或藍色的機率各為 試求將此塗上顏色的立方體水平放置時, 其 另外垂直的四個面顏色相同的機率為何? (A (B 5 (C 3 (D 7 (E 解 :(B 因並未限制垂直面為哪幾個面, 則討論立方體的六個面塗色情況 : ( 六個面同色 : 共有 ( 五個面同色 : 共有 ( = 種可能 ( ( 6 5 = 6 = 種可能 (3 四個面同色 : 因需垂直面有 4 個面同色, 所以同色的面必為垂直面, 則上 下兩面為另外 一種顏色, 共有 ( 種可能 }{{} 3 = 3 = 6 3 組上 下面 而每一個面皆有 種顏色可塗, 則六個面共有 6 = 64 種塗色法, 故所求機率為 = 0 64 = 5 6 例 5. (974 AMC #4 獨立地投擲一顆公正骰子六次, 至少有五次得到五點以上的 機率是多少? (A 3 79 (B 79 (C 79 (D 3 79 (E 以上皆非 解 :(A 可將題意視為 : 若得到五點以上即稱為成功, 令成功機率 p = 3, 反之為失敗, 則題意 即為求 P(X 5 所以 P(X 5 = P(X = 5 + P(X = 6 ( ( 5 ( ( ( = + =

12 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 排容原理 以下介紹排容原理, 它是一個能夠解決關於多個具有某些性質的非互斥事件其交集與聯集 機率問題的有效方法 定理..( 排容原理 設 S 為樣本空間且 A, A,...,A n 為一組定義在 S 上的事件, 則 (a 所有 A i (i =,,..., n 的餘事件的交集的機率為 : n P(A c Ac Ac n =P(S P(A i + P(A i A j i= i<j n + ( n P(A A A n 當 A i (i =,,..., n 事件兩兩互斥時 : n P(A c Ac Ac n = P(S P(A i (b 所有 A i (i =,,..., n 事件的聯集的機率為 : n P(A A A n = P(A i P(A i A j + i= i= i<j n + ( n+ P(A A A n 當 A i (i =,,..., n 事件兩兩互斥時, 得公設三 : P(A A A n = n P(A i i= 當 n = 時, 對於任意的兩個事件 A 和 B, 皆滿足下列的性質 : P(A B = P(A + P(B P(A B 如果 A 和 B 為兩個互斥的事件, 則 P(A B = 0 且 P(A B = P(A + P(B 當 n = 3 時, 對於任意的三個事件 A 和 B 和 C, 皆滿足下列的性質 : P(A B C = P(A + P(B + P(C P(A B P(A C P(B C + P(A B C

13 74 數學傳播 35 卷 4 期民 00 年 月 以下為利用排容原理來計算機率問題 例 6. (00 AMC B #6 Juan 擲一顆點數為 8 的公正八面骰子, Amal 擲一 顆點數為 6 的公正六面骰子, 試問他們兩人所擲的點數乘積為 3 的倍數的機率為多少? (A (B (C (D 7 (E 3 3 解 :(C 兩人的點數乘積為 3 的倍數, 即表示至少有 人擲出的點數為 3 的倍數 假設 J 表 示 Juan 擲出的點數為 3 的倍數的事件, A 表示 Amal 擲出的點數為 3 的倍數的事件, 則題 意即為求 P(J A 解法一 : 因為 J, A 為獨立事件, 所以由排容原理 P(J A = P(J + P(A P(JA = = 解法二 : 因為 J, A 為獨立事件, 所以 J c, A c 亦為獨立事件, 故由第摩根定理 P(J A = P(J c A c = P(J c P(A c = = 例 7. (983 AMC #6 設事件 A 發生的機率為, 事件 B 發生的機率為 4 為 A 和 B 都發生的機率, 試問必定包含 p 的最小區間為何? [ (A, ] [ 5 (B, ] [ (C, ] [ 5 (D 3, ] (E 3 解 :(D 假設 P(E 為事件 E 發生的機率, 則由題意知 再由排容原理 P(A = 3 4, P(B =, P(A B = p 3 P(A B = P(A + P(B P(A B P(A B = P(A + P(B P(A B 又因為 3 4 = max{p(a, P(B} P(A B, 所以 p , 且 p [, ] 3

14 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 75 即為.6. 機率與對數函數之應用 5 p 3 下列為以對數函數相關的機率的問題 例 8. (975 AMC #8 隨機選取一個十進位表示的三位正整數 N, 且每個三位數被 選到的機會相等, 試問 log N 為一個整數的機率為多少? 3 (A 0 (B (C (D (E 解 :(D 欲使得 log N 為正整數, 則 N 需為 的正整數次方數 三位正整數共有 900 個, 其 中 的次方數有 7 = 8, 8 = 56, 9 = 5 三個為三位正整數, 所以 log N 是正整數機 率為 = 300 例 9. (985 AMC #4 隨機選取一個非零的數字, 其選取方式使得取到數隨機選取 一個非零的數字, 其選取方式使得取到數字 d 的機率是 log 0 (d + log 0 d, 而取到數字 的機率恰好是所取數字包含在下列某個集合中的機率的, 試問該集合為何? (A {, 3} (B {3, 4} (C {4, 5, 6, 7, 8} (D {5, 6, 7, 8, 9} (E {4, 5, 6, 7, 8, 9} d+ 解 :(E 假設 P(d 為取到數字 d 的機率, 所以 P(d = log 0 而 P(d, d + 表示取到 d 數字 d 或 d + 的機率, 所以 d + d + P(d, d + = log 0 + log d 0 d + = log d + 0 d 由題意知所取數字包含在某個集合中的機率為取到數字 的機率的 倍, 故 3 P( = log 0 = log 9 0 ( 4 5 = log = log log log log log = P(4, 5, 6, 7, 8, 9

15 76 數學傳播 35 卷 4 期民 00 年 月 則所求集合為 {4, 5, 6, 7, 8, 9} 例 0. (005 AMC A #3 從集合 {,, 3,..., 5 } 中隨機選取兩個不同的數 a 及 b, 試問 log a b 為整數的機率為多少? (A (B 3 (C (D 7 50 (E 解 :(B 假設 a = x, b = y, x, y {,,..., 5}, 因為 log a b = y x 為整數, 所以 x 需為 y 的因數, 以下對 y 進行討論 ( y = 5 時 : x 可能值有, 5, 共有 個 ( y = 4 時 : x 可能值有,, 3, 4, 6, 8,, 共有 7 個 (3 y = 3 時 : x 可能值有, 共有 個 以此類推 y = 有 3 個 y = 有 3 個 y = 0 有 5 個... 等等, 則機率為 = = 條件機率 在日常生活中, 常會有已知某一事件已發生的前提下, 去尋求另一相關事件的機率, 例如一日早晨下過雨, 想知道中午出門撐傘的機率為何? 此種類型的機率問題我們稱之為 條件機率 (conditional probability 假設有一個樣本空間為 S 的實驗, 而 A 和 B (A S, B S 是兩個在實驗過程中可能會發生的事件 如果我們觀察到 B 已發生, 則在 S 的元素中, 只要考慮 B 事件已發生的元素, 故可以把事件 B 當成新的樣本空間, 再進一步討論有關 A 事件的各種結果 在給定 B 事件發生之下, A 事件的條件機率記為 P(A B, 其定義如下 : 定義 3..( 條件機率 在樣本空間 S 的實驗中, B 事件已發生之下且 P(B > 0, 則 A 事件 會發生的條件機率為 : P(A B = P(A B. P(B

16 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 77 註 : ( 上述的定義中, 已知條件的 B 事件的機率必為正值 ( 即 P(B > 0, 因為在計算條件機率時, 已知 B 事件的機率置放於分母, 故其值不可為 0 ( 若 A B, 則 P(A B = P(A /P(B, P(B A = (3 若 A B =, 則 P(A B = 0 (4 A, B 兩事件交集的機率可經由條件機率計算求得 : P(A B = P(B A P(A ( 下列為條件機率的一些應用問題 例. (996 AMC #6 今投擲一公正骰子三次, 在前二次點數和等於第三次之點數 的條件下, 試問至少出現一個 的機率為多少? (A (B 9 (C (D (E 7 解 :(D 假設 (x, y, z 分別表示投擲三次所出現的點數對, 共會有 = 6 種可能的 數對搭配, 則以下列出前二次點數和等於第三次之點數的所有可能情況 : (,, (,, 3 (, 3, 4 (, 4, 5 (, 5, 6 (,, 3 (,, 4 (, 3, 5 (, 4, 6 (3,, 4 (3,, 5 (3, 3, 6 (4,, 5 (4,, 6 (5,, 6 其中有 8 組數對至少出現一個, 由條件機率 P( 至少出現一個 前二次點數和等於第三次之點數 = P( 前二次點數和等於第三次之點數且至少出現一個 P( 前二次點數和等於第三次之點數 = = 8 5 例. (983 AMC #5 將三個球分別標記上號碼,, 3 放置在甕中, 然後從甕中抽取出一顆球記下其號碼後再放回去, 以這樣的方式進行三次, 在每一次抽取球的過程中, 任一個球被抽到的機會都是相等的 若所記下的號碼之和為 6, 試問這三次抽到球的號碼皆為 的機率是多少? (A 7 (B 8 (C 7 (D 6 (E 3

17 78 數學傳播 35 卷 4 期民 00 年 月 解 :(C 三次抽取到球的標記和為 6 的可能情況如下 號碼組合 排列數 (,, 3 3! = 6 種 (,, 種 假設 A 表示三次抽球和為 6 之事件, B 為三次抽球的號碼皆為 的事件, 則題意即為求 P(B A 由條件機率得 3.. 分割 P(B A = P(A B P(A = = 7 定義 3..( 分割 設 A, A, A 3,..., 為一組有限或者可數的無限的事件且彼此互斥, 而且 A A A 3 = S, 則稱 A, A, A 3,..., 為樣本空間 S 的一分割 (partition 以下為機率中的分割定理 : 定理 3..( 分割 設 A, A, A 3,..., 為樣本空間 S 的一分割, 則對於任意的 B 事件皆滿足 下列的關係式 : P(B = P(B A + P(B A + P(B A 3 + 註 : 因為 A 事件和 A 的餘事件為樣本空間的一分割, 所以由上述定理可知, 任意的 B 事件 的機率為 : P(B = P(B A + P(B A c 接下來利用一例子來認識何謂分割, 及其特性 例 3. (00 AMC C #5 在一個箱子中放有 00 個紅色彈珠及 00 個黑色彈珠, 令 P s 表示自箱子中任意取出兩個彈珠是相同顏色的機率, P d 表示取出兩個彈珠是不同顏色 的機率, 試求 P s P d 的值 (A 0 (B (C (D 00 解 :(C 由箱子中取出兩不同顏色彈珠的機率 ( 00 ( 00 P d = = ( 00 (E 000

18 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 79 又因為 P s + P d =, 所以 P s = P d = 註 : P s 亦可以下列方式計算求得 P s = P( 取到紅色 + P( 取到黑色 = ( 00 ( 00 + 所以 P s P d = = 00 ( 00 ( 00 = 全機率定理 下圖所示 若 A i (i =,,..., n 事件分割了樣本空間, 則亦可以分割任何樣本空間中的事件 E, 如 由上圖可知, 彼此互斥事件 A i (i =,,..., n 的交集與聯集可以組成事件 E, 如下列式子 E = (A E (A E (A n E 再與 ( 式可推得下列的全機率定理 (theorem of total probability: 定理 3..( 全機率定理 設 A, A,...,A n 為 S 的一分割且 P(A i 0, i =,,..., n, 對於任意事件 E 的機率可表示成 : P(E = P(A E + P(A E + + P(A n E = P(E A P(A + P(E A P(A + + P(E A n P(A n 以下為一全機率定理的應用問題

19 80 數學傳播 35 卷 4 期民 00 年 月 例 4. (005 AMC A #4 隨機將一顆公正骰子上的一點抹掉, 且每個點被抹掉的機 率會相同, 然後投擲這顆骰子, 試問骰子朝上那個面出現奇數點的機率是多少? (A 5 (B 0 (C (D (E 6 解 :(D 骰子中共有 = 個點, 因為每個點被抹掉的機率相同, 則點數為 上的點被移除的機率為, 點數為 上的點被移除的機率為, 以此類推, 點數為 6 上的點 被移除的機率為 6, 故 P( 出現奇數點 = P( 出現奇數點 移除點的面為奇數 P( 移除點的面為奇數 + P( 出現奇數點 移除點的面為偶數 P( 移除點的面為偶數 = = 3.3. 貝氏定理 貝氏定理在機率論中是一個比較早發現的結果之一, 此定理是由貝氏 (Bayes, 牧師的朋友在西元 764 年替他發表, 發表迄今已超過兩百年, 此定理就以貝氏來命名 貝氏定理的統計推論的基礎是由已知的機率 ( 稱作事前機率, 來推得未知的機率 ( 稱作事後機率 例如, 我們要計算給定 B 事件發生之下, A i (i =,,..., n 事件的條件機率, 當碰到計算 B 事件的機率且 B 與 A i 交集事件的機率很困難時, 我們會以事前機率 : P(A i,p(b A i, 去求得事後機率 : P(A i B, 這種方式即為貝氏定理 (Bayes Theorem, 其定理內容描述如下 : 定理 3.3.( 貝氏定理 設 A, A,...,A n 為 S 的一分割且 P(A i 0, i =,,..., n, 給 定任意的 B 事件發生且 P(B 0 之下, A i 事件發生的條件機率可表示成 : P(A i B = P(A i B P(B = P(B A i P(A i n i= P(B A i P(A i. 在利用貝氏定理計算機率問題時時, 通常為一個複雜的過程, 此時可透過樹狀圖來幫助我 們了解所有可能發生情形, 以下為一貝氏定理與樹狀圖結合應用的例子

20 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 8 例 5. (994 AMC #7 有一袋爆米花, 其中白米佔 3, 黃米佔 3 只有 的白米及 的黃米會爆開, 若隨機從袋中挑選出一粒米, 並將它放入鍋中加熱且後來爆開了, 試問挑選 3 出來的米為白米的機率為多少? (A (B 5 9 (C 4 7 (D 3 5 (E 3 解 :(D 利用樹狀圖說明如下 由貝氏定理可得 P( 白米 爆開 = = 3 5 本文作者於投稿時洪偉誠是國立中山大學應用數學系碩士班畢業生 ; 李俊賢 蔡誠祐 何家 興是國立中山大學應用數學系大四學生, 張福春任教國立中山大學應用數學系

參考文獻 摘要 美國高中數學測驗 AMC 已有 6 年歷史 (950-0), 這些題目是經過專家們嚴謹的設計, 以選擇題的方式出題, 具有高度的鑑別度, 可測驗出學生在代數 幾何 數論 三角函數 離散數學及統計等科目中的觀念是否能靈活應用 在這 6 年的考試中共出現了 68 題各種型式的機率題目,

參考文獻 摘要 美國高中數學測驗 AMC 已有 6 年歷史 (950-0), 這些題目是經過專家們嚴謹的設計, 以選擇題的方式出題, 具有高度的鑑別度, 可測驗出學生在代數 幾何 數論 三角函數 離散數學及統計等科目中的觀念是否能靈活應用 在這 6 年的考試中共出現了 68 題各種型式的機率題目, 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 洪偉誠 李俊賢 蔡誠祐 何家興 張福春國立中山大學應用數學系 高雄中學 0-0-09 目錄 前言 機率. 樣本空間與事件.................................. 機率公設...................................... 第摩根定理.................................... 5.

More information

Microsoft Word - ACL chapter02-5ed.docx

Microsoft Word - ACL chapter02-5ed.docx 第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131

More information

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1 0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0

More information

4

4 練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos

More information

Microsoft Word - _m30.doc

Microsoft Word - _m30.doc 1 2 3 4 5 6 7 8 公式 2 4 2 1 能 整除 因此後玩 者贏 且關鍵數 字為3 的倍數 3 0 3 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵數字是 4的倍 數 2 先玩者贏 4 0 4 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為 5 的倍數 5 0 5 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵 數字是 6的倍 數 2 先玩者贏 7 0 6 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為7

More information

二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲

二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲 -1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式

More information

Microsoft Word - 3-1樣本空éŒfiè‹⁄争件.docx

Microsoft Word - 3-1樣本空éŒfiè‹⁄争件.docx 第三章機率 3 1 樣本空間與事件 ( 甲 ) 隨機試驗 隨機現象 : 我們生活的世界上, 充滿著不確定性 從擲硬幣 丟骰子 玩撲克牌等簡單的機會遊戲, 到複雜的社會現象 ; 從嬰兒誕生, 到世間萬物的繁衍生息 ; 從天氣變化到大自然的千變萬化, 這其中充滿著隨機的現象 自然現象與社會現象, 大致上分成兩種, 例如上拋的物體一定會落下, 無論是什麼形狀的三角形, 它的兩邊之和總是大於第三邊, 這些現象用比較科學的語言來表達,

More information

<4D F736F F D20A440A455BCC6BEC7ADABB8C9ADD735B8D1AA52A8F72E646F63>

<4D F736F F D20A440A455BCC6BEC7ADABB8C9ADD735B8D1AA52A8F72E646F63> 國立北門高中 0 學年度第 學期暑期重補修高一下數學講義 (/8) 授課教師 : 紀志聰 一 單一選擇題. ( ) 同一樣本空間, 甲事件發生的機率為 0., 乙事件發生的機率是 0., 甲或乙發生的機率為 0.9, 則甲與乙皆發生的機率為 (A) 0. (B) 0. (C) 0. (D) 0. (E) 0. 答案 :(B) 解析 :P( 甲 乙 )=P( 甲 )+P( 乙 )-P( 甲 乙 ) 0.9=0.+0.-P(

More information

生物科 左營高中 / 許惠紋 一 前言 二 試題特色 號稱五年來最難題目 2. 高二 高三課程出題比例高 康熹 97 指考科目. 生物科

生物科 左營高中 / 許惠紋 一 前言 二 試題特色 號稱五年來最難題目 2. 高二 高三課程出題比例高 康熹 97 指考科目. 生物科 97 指定科目考試生物趨勢分析 2 97 指定科目考試生物解析大揭密 5 康熹生物科 試題 答案依據大考中心公布內容 本刊物內容同步刊載於 http://www.knsi.com.tw 970038 248 30 (02) 2299-9006 (02) 2299-9110 0800-313-688 97 7 16 生物科 左營高中 / 許惠紋 一 前言 二 試題特色 10.5 1 6 2 1.5 3

More information

基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 abcde,,,,, 每次從中選取出 3 個變數來作 2 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 3 e( abc,, ) + e( abd,, ) + e

基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 abcde,,,,, 每次從中選取出 3 個變數來作 2 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 3 e( abc,, ) + e( abd,, ) + e 基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 bcde,,,,, 每次從中選取出 個變數來作 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( be,, ) + e( cd,, ) + e( ce,, ) + e( de,, ) + e(,, bcd) + e(

More information

目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形

目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形 給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1

More information

專科警員班第 34 期正期組 乙組標準解答國文標準答案中外歷史標準答案中外地理標準答案數學乙標準答案英文標準答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 1 D 1 B 1 C 1 A 1 B 2 B 2 B 2 B 2 C 2 A 3 B 3 A 3 C 3 B 3 D 4 C

專科警員班第 34 期正期組 乙組標準解答國文標準答案中外歷史標準答案中外地理標準答案數學乙標準答案英文標準答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 1 D 1 B 1 C 1 A 1 B 2 B 2 B 2 B 2 C 2 A 3 B 3 A 3 C 3 B 3 D 4 C 專科警員班第 期正期組 乙組標準解答國文標準答案中外歷史標準答案中外地理標準答案數學乙標準答案英文標準答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 題號 答案 D B C A B B B B C A B A C B D C B A D D B D C A C C A B C C D C A B A 8 B 8 C 8 D 8 D 8 D 9 B 9 C 9 A 9 B 9 B 0 D 0 B

More information

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式 給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd

More information

表二 105 年國中教育會考英語科閱讀與聽力答對題數對應整體能力等級加標示對照表 閱讀答 對題數 聽力答對題數 待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強

表二 105 年國中教育會考英語科閱讀與聽力答對題數對應整體能力等級加標示對照表 閱讀答 對題數 聽力答對題數 待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強待加強 表一 105 年國中教育會考國文科 社會科與自然科能力等級加標示與答對題數對照表 國文社會自然 A++ 46-48 60-63 51-54 A+ 42-48 44-45 54-63 58-59 46-54 49-50 A 42-43 54-57 46-48 B++ 37-41 45-53 37-45 B+ 20-41 31-36 24-53 38-44 20-45 30-36 B 20-30 24-37

More information

基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本

基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本 基本數學數學核心能力測驗 G2 行為觀察記錄記錄紙 學校 : 班級 : 姓名 : 日期 : 記錄者 : ~ 學生作答時, 請他 ( 她 ) 將雙手皆置於桌面 ~ 認識數字 ( 三 ): 數列 ( 共 1 頁 ) 注意事項 逐題觀察並作底下記錄, 等分測驗做完後, 每一個策略任選一題問 這一題你是怎麼算的? ( 如果只運用一種策略, 則再任選 2-3 題訪問 ) 利用學生的回答來作為 自己觀察記錄的證據

More information

1

1 00 青少年數學國際城市邀請賽 參賽代表遴選初選個人數學競賽試題 編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 二小時 第一部分 : 填充題, 每小題 分, 共 60 分 1. + ++..+00=. 將分數 1 化為小數後, 則小數點後第 00 位數字為何?. 在一條道路上, 測得,,, 四個城市之間的某些距離資料, 列表如下 : 8 1 1 1 請問城市 和城市 之間的距離為. 設 X 為一實數,

More information

例 : 擲一個骰子 : 樣本空間 S = {,,,,5,6} 樣本點 :,,,,5,6 皆為樣本點, 共 6 個樣本點事件 : 偶數事件 :{,,6} 奇數事件 :{,,5}, 點數小於 的事件 :{,} 6 點的事件 :{6} 在機率問題中, 我們可能會有興趣求 : 擲一個骰子, 出現 6 點的機

例 : 擲一個骰子 : 樣本空間 S = {,,,,5,6} 樣本點 :,,,,5,6 皆為樣本點, 共 6 個樣本點事件 : 偶數事件 :{,,6} 奇數事件 :{,,5}, 點數小於 的事件 :{,} 6 點的事件 :{6} 在機率問題中, 我們可能會有興趣求 : 擲一個骰子, 出現 6 點的機 第三章 : 基本機率 內容 ( 一 ) 機率的基本觀念 :... ( 二 ) 由樣本點的數目求機率 : 古典機率... 離散的樣本空間 ( 可數 )... 連續的樣本空間 ( 不可數 )... 7 ( 三 ) 利用 機率公設 和 集合的性質 求機率 :... 8 ( 四 ) 條件機率及獨立事件... 條件機率及獨立事件的意義... 証明 A, B 互為獨立事件... 6 已知兩事件為獨立事件的問題

More information

章節

章節 試題 求 ( )7 展開式中 8 的係數 編碼 05 難易 易 出處 康熹自命題 解答 8 67 ( )7 7 7 7 ( ) 7 7 7 ( ) 7 7 7 3 ( ) 0 0 () 3 5 係數 7 5 ( ) 7 5 8 () 3 8 8 係數 7 ( )7 ( 3 ) 67 [a (b c) ] 6 展開式中 a 3 b c 係數? 0 編碼 055 難易 易 出處 康熹自命題 解答 300

More information

<4D F736F F D DA5BFA6A1C476C1C92DBEC7ACECB8D5A8F728B57BB35D292E646F63>

<4D F736F F D DA5BFA6A1C476C1C92DBEC7ACECB8D5A8F728B57BB35D292E646F63> 全國高級中等學校 106 學年度商業類科學生技藝競賽 程式設計 職種 學科 試卷 選手證號碼 ( 崗位編號 ): 姓名 : 注意事項 : 請將答案劃記於答案卡, 未依規定劃記者不予計分 試題說明 :( 選擇題共 25 題每題 4 分, 答錯不倒扣, 共 100 分 ) ( )1. 執行以下 Visual Basic 程式片段, 其結果為何?(A) 15 (B) 12 (C) 7 (D) 3 Dim

More information

第一篇文概說第七章公文的用語及標點符號公本篇內容 第一章 緒論 第二章 公文的意義 第三章 公文與高 普 特各類考試 第四章 公文程式之意義及演變 第五章 公文之分類及其行文系統 第六章 公文之結構與行款 第一篇 第一章緒論 003 第一章緒論 等 等 004 最新應用公文 第一篇 第二章公文的意義 005 第二章公文的意義 第一節 一 須為公務員製作之文書 二 須為公務員 職務上 製作之文書 006

More information

840 提示 Excel - Excel -- Excel (=) Excel ch0.xlsx H5 =D5+E5+F5+G5 (=) = - Excel 00

840 提示 Excel - Excel -- Excel (=) Excel ch0.xlsx H5 =D5+E5+F5+G5 (=) = - Excel 00 Excel - - Excel - -4-5 840 提示 Excel - Excel -- Excel (=) Excel ch0.xlsx H5 =D5+E5+F5+G5 (=) = - Excel 00 ( 0 ) 智慧標籤 相關說明提示 -5 -- Excel 4 5 6 7 8 + - * / % ^ = < >= & 9 0 (:) (,) ( ) Chapter - :,

More information

中華民國第 四 十 七 屆中小學科學展覽會

中華民國第 四 十 七 屆中小學科學展覽會 中華民國第四十七屆中小學科學展覽會作品說明書 高中組生物 ( 生命科學 ) 科 040718 光鮮外表下的神秘面紗 - 探討草莓果實生長及其生殖 學校名稱 : 國立鳳新高級中學 作者 : 高二簡溥辰 指導老師 : 王美玲 高二謝宜芬 高二歐盈佛 高二陳柏維 關鍵詞 : 草莓 (Fagaria sp. ) 果實發育 (fruit develop) 萌芽 (germination) ~

More information

01.dvi

01.dvi 物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f

More information

.., + +, +, +, +, +, +,! # # % ( % ( / 0!% ( %! %! % # (!) %!%! # (!!# % ) # (!! # )! % +,! ) ) &.. 1. # % 1 ) 2 % 2 1 #% %! ( & # +! %, %. #( # ( 1 (

.., + +, +, +, +, +, +,! # # % ( % ( / 0!% ( %! %! % # (!) %!%! # (!!# % ) # (!! # )! % +,! ) ) &.. 1. # % 1 ) 2 % 2 1 #% %! ( & # +! %, %. #( # ( 1 ( ! # %! % &! # %#!! #! %!% &! # (!! # )! %!! ) &!! +!( ), ( .., + +, +, +, +, +, +,! # # % ( % ( / 0!% ( %! %! % # (!) %!%! # (!!# % ) # (!! # )! % +,! ) ) &.. 1. # % 1 ) 2 % 2 1 #% %! ( & # +! %, %. #(

More information

# % & ) ) & + %,!# & + #. / / & ) 0 / 1! 2

# % & ) ) & + %,!# & + #. / / & ) 0 / 1! 2 !!! #! # % & ) ) & + %,!# & + #. / / & ) 0 / 1! 2 % ) 1 1 3 1 4 5 % #! 2! 1,!!! /+, +!& 2! 2! / # / 6 2 6 3 1 2 4 # / &!/ % ). 1!!! &! & 7 2 7! 7 6 7 3 & 1 2 % # ) / / 8 2 6,!!! /+, +! & 2 9! 3 1!! % %

More information

1 500 表 1: 各國平均分數

1 500 表 1: 各國平均分數 2012 年多益測驗全球考生資料統計報告 A < 1> 2012 B < 2> 100% 500 2012 2012 / 21 25 (38%) 57% (58%) 25% / 20% 35% 53% 31% 17% / 31% 12% 6 45 1-10% 81% 6 2012 48 3 30% 1 編註 1: 請見 P.15 編註 2: 請見 P.17 1 500 表 1: 各國平均分數 466

More information

9-2

9-2 第九章遺傳 第一節孟德爾的遺傳 豌豆 9-1 9-2 立人高中專用生物教材遺傳 9- 1 1 1 1 1 1 = 2 2 2 1 2 9- 9-5 立人高中專用生物教材遺傳 9-6 立人高中專用生物教材遺傳 9-7 立人高中專用生物教材遺傳 第二節半顯性與複對偶基因遺傳 ( 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 ( 9-8 立人高中專用生物教材遺傳 ( 9-9 立人高中專用生物教材遺傳 第三節二項式定理與多基因遺傳

More information

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1 1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700

More information

第5章 隨機變數與機率分配

第5章 隨機變數與機率分配 第 5 章隨機變數與機率分配 大綱 學習目標 ( 瞭事件機率與機率分配之關係 ( 瞭離散型機率分配離散型機率分配之概念與性質 ( 瞭連續型機率分配連續型機率分配之概念與性質 ( 瞭累積分配函數累積分配函數之概念與性質 (5 瞭二元隨機變數二元隨機變數之邊際機率函數邊際機率函數及條件機率分配 (6 瞭獨立隨機變數獨立隨機變數之特性 /88 5. 隨機變數 5. 機率分配 5. 二元隨機變數之機率分配

More information

章節

章節 試題 設 f (x) ( x 3 x ) 9 (1) f (x) 的常數項為. () f (x) 的各項係數和為. 編碼 010614 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 51;() 51 多項式 f (x) 滿足 8 f (x) 5x 6 f (x 3 ) f (x ) 18 0,則 f (x) 的常數項為. 編碼 010615 難易 易 出處 康熹自命題 解答 3 f (x) 的常數項為

More information

C33N34.dvi

C33N34.dvi 數學傳播 卷 期, pp. 44-71 排容原理 張福春 洪偉誠 1. 前言 在組合數學中, 常需討論有關集合元素個數的問題, 而重複計數卻是造成結果錯誤的一大主因, 故需再進一步討論所有可能重複的情況, 此時 排容原理 是一個能夠解決關於多個具有某些性質的非互斥集合其交集與聯集計數問題的有效方法, 能輕易的將重複計數的困擾排除 排容原理是一個很容易使用的計數方法, 而它最早被使用的歷史可追溯到早期的一些手稿中,

More information

目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多

目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多 給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要

More information

92book311

92book311 範圍 高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期 :00.0.2 - 班級一年 班姓條件機率 貝氏定理座號名 一 填充題 ( 每題 0 分 ). 若 A, B 為兩事件, P(A B) = 4, P(A B) = 4, P(B ) = 2,則 P(B A) =. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 且 PB ( ) = PB ( ) 4 = P(A) + ( 2 ) 4 P(A) = 2

More information

<4D F736F F D B0D3B77EC3FEA7DEC3C0C476C1C9A5BFA6A1B8D5C3442DB57BA6A1B35DAD702DBEC7ACEC2E646F6378>

<4D F736F F D B0D3B77EC3FEA7DEC3C0C476C1C9A5BFA6A1B8D5C3442DB57BA6A1B35DAD702DBEC7ACEC2E646F6378> 全國國高級中中等學校 105 學年度商商業類學學生技藝藝競賽 程式式設計 職職種 學學科 試試卷 崗位位編號 : 姓名 : 注意事項 : 請將答案案劃記於答案案卡, 未依依規定劃記者者不予計分分 試題說明 :( 選擇題每每題 4 分, 共 100 分 ) ( )1. 執行以下 Visual Basic 程式片段, 其結果為何?(A) 15 Dim i As Byte i = &HFC Console.WriteLine(Not

More information

number_term.dvi

number_term.dvi 更新日期 :07.7. 高中數學講義 數與式. 數與數線 整數 Z: 包含正整數 ( 可數數 Z + ) 0 負整數三類 ( 自然數 N :,,, 皮亞諾假設自然數定義 : 0,,,, ) 有理數 Q: 若 m,n 均為整數, 且 n 0, 凡可表示成 整數比 m n 的數, 稱為有理數 整數 有限小數 ( 最簡分數後, 分母只含 或 5 的質因數 ) 循環小數 ( 最簡分數後, 分母含有 或 5

More information

PowerPoint 簡報

PowerPoint 簡報 機率 台大電機系葉丙成 微博 : weibo.com/yehbo 臉書 : facebook.com/prof.yeh 部落格 : pcyeh.blog.ntu.edu.tw 本週主題概述 8-: 聯合機率分佈 8-2: 邊際機率分佈 8-3: 雙變數期望值 2 8-: 聯合機率分佈 (JOINT PROBABILITY DISTRIBUTION) 第八週 3 當小明出國去交換時 X: 小美臉書 /QQ

More information

2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計

2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計 01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9

More information

17-72c-1

17-72c-1 台灣喜宴文化與陶瓷餐具設計開發 廖素慧 林長弘 林秀娟 摘 要 喜宴文化它包括了生活風俗習慣 禮教的 禁忌與料理 飲食的結合 可以看到民族的思 想行為以及社會的結構模式 是生活文化的濃 縮 它的過程對於一對新人在人生旅程開始 時 得到關愛與祝福也給予責任 所以喜宴的 禮教約束 是人生很重要的一個過程 好的飲 食禮教約束可以產生良性的人生觀 從喜宴的 食物料理與新開發餐具的造形與裝飾美感等的 結合來做一個開始

More information

2 2.? ?

2 2.? ? 1 1.1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.10.11. 12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22. 23.24.25.26.27.28.29.30. 1.2 1.3 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) (11)(12)(13) 1.4 2457 1.5 () 2.1 1.2.3.4.5.6.7. 8.9.10.11.12. 1

More information

Microsoft Word - 新1.doc

Microsoft Word - 新1.doc . 80% E E E 0 0 E E 4 E E ω E E Ω E E Ω ={} E 0 0 =,, L, 0 E Ω= {,, L, 0} ω = ω = Ω= { ω, ω } E k k =,, L,, L E Ω= {,, L,, L} 4 E 4 t 0 t

More information

Microsoft PowerPoint - 第5章 機率論.ppt [相容模式]

Microsoft PowerPoint - 第5章  機率論.ppt [相容模式] 第 5 章 機率論 1 日常生活的機率問題 1. 王建民下一場的出賽會贏嗎? 2. 美國股票漲, 台灣股票會上漲的機率有多高? 3. 買大樂透中頭獎的機率有多高? 面對不確定事件時, 事前的機率估計, 有助於進行決策. 統計觀點 機率是統計推論 Ch10 以後 的橋樑 2 學習目的 1. 定義機率 2. 了解機率的基本觀念如隨機實驗, 實驗結果, 事件, 樣本空間等 3. 描述古典的機率理論 客觀的機率理論及主觀的機率理論

More information

目錄

目錄 2013 年度 企業社會責任報告 目錄 1 4 2 5 3 6 3.1 6 3.2 7 3.3 7 4 8 4.1 8 4.2 2013 9 4.3 10 5 15 5.1 15 5.2 16 5.3 18 6 19 6.1 19 6.2 20 6.3 21 6.4 22 6.5 23 6.6 24 6.7 24 6.8 24 7 25 7.1 25 7.2 26 7.3 27 7.4 27 7.5

More information

2013年香港高級程度會考成績統計

2013年香港高級程度會考成績統計 表 : Table : 年香港高級程度會考成績統計 HKALE Results statistics 表 a 列出 年於高考英語運用及中國語文及文化科成績達 E 級, 並在其他科目考獲兩個高級程度科目或一個高級程度科目及兩個高級補充程度科目成績達 E 級的考生人數統計 Table a shows the HKALE statistics of candidates awarded grade E or

More information

一、乘法公式與多項式

一、乘法公式與多項式 一 乘法公式與多項式 多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外, 還可運用於因式 分解 在本章中, 我們首先來複習已經學過的平方公式, 然後再延伸到立方公式 1-1 平方公式 二項式相乘公式 我們可利用分配律來展開 ( a+ )( c+ d) 的乘積而得到下列的公式 : ( a + )( c + d) ac + ad + c + d 公式 1 a c ac d ad c d 另一方面, 也可利用幾何圖形來解釋這個公式

More information

以易經中簡易 變易 不易之原則探求遞迴數列之例 2 n 2

以易經中簡易 變易 不易之原則探求遞迴數列之例 2 n 2 1000021 h t t p : / / w w w. k n s i. c o m. t w 248 30 407 40 813 2722F (02)2299-9006 (02)2299-9110. 100 KANG SI 第一期 vol.1 P.2 P.6 P.10 GGBGeoGebra P.13 1 以易經中簡易 變易 不易之原則探求遞迴數列之例 2 n 2 一 解決過程 : n 二 分析思考路徑

More information

6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念 選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了

More information

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于

More information

Microsoft Word - Probability.doc

Microsoft Word - Probability.doc 十 一 機 率 (Probability).... 分 立 變 值 (discrete variate) 及 連 續 變 值 (continuous variate)..... 連 續 變 質 (Continuous variate)/ 連 續 變 數 (Continuous variable)..... 分 立 變 值 (Discrete variate)/ 間 斷 變 數 (Discrete variable)....

More information

46 2011 11 467 數位遊戲式學習系統 7 2011 11 467 47 3 DBGameSys 48 2011 11 467 正規化資料模組 如何配置並儲存電子化資料 以 便減少資料被重覆儲存的程序 DBGameSys的主要功能模組包 學習者 審核評分模組 含 正規化資料模組 審核評分 模組 高分列表模組3大區塊 系統資料庫 在正規化資料模組的執行 高分列表模組 過程中 先要求學習者瀏覽遊戲

More information

2011城市杯初試ans

2011城市杯初試ans 注意 : 允許學生個人 非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答 可直接下載而不須申請 重版 系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可 申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw Notice: Individual students, nonprofit libraries, or schools are

More information

1970 新技術的應用 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X

1970 新技術的應用 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X 凡發生過的必留下痕跡 同位素分析的考古應用? 如何考古 06 2013 9 489 經由人骨中碳和氮同位素的分析, 提供考古學家另一個探討古代攝食系統的途徑 另外, 可以藉由鍶同位素分析了解人群的來源與遷移過程 1970 新技術的應用 13 15 13 12 15 14 13 15 13 12 15 13 15 13 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X 2013 9 489 07 δ

More information

381 課業輔導學習輔導 20 第二節 中學生的學習輔導 Skinner Skinner Skinner Bandura Bandura (381) 學習輔導.indd /5/31 2:44:13 PM

381 課業輔導學習輔導 20 第二節 中學生的學習輔導 Skinner Skinner Skinner Bandura Bandura (381) 學習輔導.indd /5/31 2:44:13 PM 學習輔導 課業輔導 381 19 學習輔導 五至七章重點整理 第五章 在學學生的學習輔導 / 第一節 中學生的學習特徵 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. (381)019-030 學習輔導.indd 19 2007/5/31 2:44:08 PM 381 課業輔導學習輔導 20 第二節 中學生的學習輔導 Skinner Skinner Skinner

More information

攜手拼出圓滿的幸福 2

攜手拼出圓滿的幸福 2 國立台灣師範大學家庭教育研究與發展中心編撰教育部出版中華民國 96 年 9 月 攜手拼出圓滿的幸福 2 國立台灣師範大學 家庭教育研究與發展中心主任 林育瑋 3 目錄 幸福拼圖 序文...p.2 引言 能和心愛的人共度一生, 就是最大的幸福!...p.6 幸福方程式 : 我 + 你 = 幸福關鍵一 我...p.10 關鍵一 你...p.20 關鍵一 +...p.28 如果你還想知道更多撇步 附錄一...p.48

More information

-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則 為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設 為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則 為收斂級數, 其和為 S= 1 r =

-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則 為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設 為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則 為收斂級數, 其和為 S= 1 r = -1-1 等差數列與級數 055-1-0 數列與級數 數列 : 將一串數字排成一列, 形如 1,, 3, 4 k, 其中的 1 稱為第一項 或首項 稱為第二項 依此類推 k 稱為一般項或第 k 項, 通常以 { } 或 k 是表示第 k 項為 k 的數列 級數 : 將數列中的每一項用 + 連接起來, 讀作 前 項和, 記為 S = 1 + + 3 + + 056 級數連加性質 的性質 : (1) ()

More information

章節

章節 試題 若五個人同時用剪刀 石頭 布猜拳,則第一次就有二人被淘汰的機率為何? 編碼 0 難易 中 出處 康熹自命題 解答 0 8 設五個人猜拳的樣本空間為 S,五個人猜拳,第一次就有二人被淘汰的事件為 A 其可能情況如下 有三人出剪刀,二人出布 有三人出石頭,有兩人出剪刀 有三人出布,二人出石頭 則 S, A 0,所以 P(A) 0 0 8. 一袋中有若干球,每個球標記一個數,其中標記 的有 個,標記

More information

ok313 正餘弦定理

ok313 正餘弦定理 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題

More information

專科警員班第 32 期正期組 甲組標準解答 國文標準答案物理標準答案化學標準答案數學標準答案英文標準答案 題號答案題號答案題號答案題號答案題號答案 1 C 1 B 1 C 1 B 1 D 2 D 2 A 2 D 2 D 2 B 3 A 3 B 3 C 3 C 3 A 4 B 4 C 4 B 4 A

專科警員班第 32 期正期組 甲組標準解答 國文標準答案物理標準答案化學標準答案數學標準答案英文標準答案 題號答案題號答案題號答案題號答案題號答案 1 C 1 B 1 C 1 B 1 D 2 D 2 A 2 D 2 D 2 B 3 A 3 B 3 C 3 C 3 A 4 B 4 C 4 B 4 A 專科警員班第 期正期組 甲組標準解答 國文標準答案物理標準答案化學標準答案數學標準答案英文標準答案 題號答案題號答案題號答案題號答案題號答案 C B C B D D A D D B A B C C A B C B A B C B A C A 6 B 6 B 6 D 6 A 6 C D B B A A 8 C 8 D 8 C 8 A 8 D 9 A 9 B 9 B 9 C 9 C 0 A 0 A 0

More information

目錄

目錄 2014 年度 企業社會責任報告 目錄 1 4 2 5 3 7 3.1 7 3.2 8 3.3 8 4 9 4.1 9 4.2 2014 10 4.3 11 5 16 5.1 16 5.2 18 5.3 20 5.4 21 6 22 6.1 22 6.2 23 6.3 24 6.4 25 6.5 26 6.6 27 6.7 27 6.8 27 7 28 7.1 28 7.2 29 7.3 30 7.4

More information

. limit empirical probability {2, 4, 6, 8} 0.5 P( 6). 6. P( 6) 6 6. m, 2 P( 6) E. 0 PE ( ) 2. P( E) P(E). 0 m 0 PE ( ) E m m m E m

. limit empirical probability {2, 4, 6, 8} 0.5 P( 6). 6. P( 6) 6 6. m, 2 P( 6) E. 0 PE ( ) 2. P( E) P(E). 0 m 0 PE ( ) E m m m E m 4 0 20 30 50 00 H 3 8 3 24 5 H 3 8 4 24 5 H N 4 0.25 0 0.3 20 0.4 30 0.43 50 0.48 00 0.5 H N 0.5 0.5 probability evet E ( PE ), 00 0.5 radom.. E m E m PE ( ) 2 . limit 0.25 0.3 0.5 empirical probability

More information

Microsoft Word - Tridentine NL_C.docx

Microsoft Word - Tridentine NL_C.docx 聖人慶日及節日 五月十一日 聖斐理伯與聖雅各伯 宗徒 慶日 五月二十九日 耶穌升天 節日 五月三十一日 聖母天地元后 慶日 文章分享 淺談拉丁文在天主教會的重要性 緒論 一直以來 教會拉丁語被視為西方文化之基石和羅馬天主教會的官方語言 可是在 近四十年來 這種 天主教徒的特徵 (sensus catholicus) 已從教會禮儀 信友靈修生活 等逐漸褪色 這現象當然與人們 甚至神長和教會機構對拉丁語應用之誤解有關

More information

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積

More information

AutoCAD 用戶如何使用 ArchiCAD

AutoCAD 用戶如何使用 ArchiCAD AutoCAD 用戶如何使用 ArchiCAD AutoCAD用戶如何使用ArchiCAD ( 中文版 ) 由 Scott MacKenzie, Simon Gilbert, Geoffrey Moore Langdon, David Byrnes, Ralph Grabowski 編寫 龍庭資訊有限公司 1/73 - 2. 3. 4. -

More information

Chapter 4 Random Variables and Probability Functions

Chapter 4 Random Variables and Probability Functions 4. 隨機變數與機率函數 Random Variables and Probability Functions 學習隨機變數的概念與定義 熟悉各種機率函數 (PMF PDF CDF) Fall, 2017 1 4.1 隨機變數的觀念 統計實驗 (statistical experiment) 是用來描述一個會產生數個偶然性結果的實驗程序 測試數個電子元件就是一個典型的統計實驗 定義 4.1 隨機變數

More information

C40N29.dvi

C40N29.dvi 數學傳播 0 卷 期, pp - 分數數列與勾股數 賴昱維 緒論 摘要 : 史帝費爾曾將一個帶分數數列轉換成假分數數列, 使假分數中分母與分子各等於勾與股, 由此產生畢達哥拉斯勾股數家族 ; 奧撒南也以類似的方法, 由另一個帶分數數列產生柏拉圖勾股數家族 本研究則以分子與分母成等差的最簡真分數數列產生歐幾里得勾股數家族 關鍵詞 : 勾股數 分數數列 等差 勾股數又名商高數或畢氏三元數, 也就是符合畢氏定理

More information

probability.dvi

probability.dvi https://sites.google.com/site/hyshmath 高中數學講義 6 機率 6. 樣本空間與事件 試驗 : 在不穩定 ( 不確定 ) 的現象上, 求出一個結果的過程, 叫作試驗 樣本空間 : 一項試驗中所有可能發生的結果所形成的集合, 以 S 表示 ( 每一種結果發生之機會未必相等 ) 例 : 家裡 個小孩, 此 個小孩性別的樣本空間可為 S = {BB,BG,GB,GG}

More information

Microsoft Word 除法原理的應用.docx

Microsoft Word 除法原理的應用.docx 除法原理的應用 建國中學 林信安老師 --3 除法原理的應用 餘式定理 我們以五次多項式 f (x)=x 5 除以 ( x- ) 所得的 餘式 為例來說明 引用綜合除法 : 商式為 x 4 +x 3 +4x +8x+16, 餘式為 5 =f () 故 f (x)=x 5 除以 ( x- ) 的 餘式 就是 f (x) 在 x= 所取的值 f (). (1) 餘式定理多項式 f(x) 除以 x a 的餘式等於

More information

推論. ( 定理 3 之延伸定理 ) 設正六邊形 ABCDEF, 有一點 P 滿足 [(1 t 1 t t 3 t 4 )a+(d+e+f)t 1 +(c e 3f)t +(c+d f)t 3 +(c+3d+e)t 4 ] P A +[(1 t 1 t t 3 t 4 )b+(d+3e+f)t 1

推論. ( 定理 3 之延伸定理 ) 設正六邊形 ABCDEF, 有一點 P 滿足 [(1 t 1 t t 3 t 4 )a+(d+e+f)t 1 +(c e 3f)t +(c+d f)t 3 +(c+3d+e)t 4 ] P A +[(1 t 1 t t 3 t 4 )b+(d+3e+f)t 1 1 讓我們來看 面 向 - 向量與多邊形的面積關係 臺北市立第一女子高級中學陳育婷指導老師楊健民 1 簡介 1.1 研究動機 上高中以後才學習到 向量 這個新名詞, 它讓我用不同的角度思考數學 ; 對於其應用之廣泛以及能證明多個定理感到驚奇 ; 此外它與幾何學也有極大的關係, 例如在高二時學到用向量分割出三角形的面積比, 恰好是點 P 到對頂點向量的係數比 : 設點 P 在 ABC 的內部且 m,,

More information

投影片 1

投影片 1 計算機程式及實習 期末報告 題目 : 六宿炒翻天 班級 : 奈米一乙姓名 : 陳洋翼學號 :4A514050 老師 : 謝慶存 程式說明 設計結帳系統, 選擇數量後, 在按下計算, 將會顯示總金額 若是老人或小孩, 將可享 8 折或 9 折的優惠 程式畫面 填選數量 在火腿蛋炒飯的數量選擇 1, 並按下計算, 可得總金額 50 元 程式畫面 打折 填選完後, 若客人是小孩或老人, 選擇欲打折項目,

More information

國立北斗家商 107 學年度第 2 學期第二次期中考科目 : 計算機應用 計算機概論 IV 班級 : 商二 1 2 貿二 資二 綜二 1 作答方式 : 答案卡 選擇題共 33 題, 除第 1 題 4 分, 其餘每題 3 分, 注意作答時間 1. ( ) 使用 Visual Basic 程式語言 (

國立北斗家商 107 學年度第 2 學期第二次期中考科目 : 計算機應用 計算機概論 IV 班級 : 商二 1 2 貿二 資二 綜二 1 作答方式 : 答案卡 選擇題共 33 題, 除第 1 題 4 分, 其餘每題 3 分, 注意作答時間 1. ( ) 使用 Visual Basic 程式語言 ( 國立北斗家商 107 學年度第 2 學期第二次期中考科目 : 計算機應用 計算機概論 IV 班級 : 商二 1 2 貿二 資二 綜二 1 作答方式 : 答案卡 選擇題共 33 題, 除第 1 題 4 分, 其餘每題 3 分, 注意作答時間 1. ( ) 使用 Visual Basic 程式語言 ( 以下皆是 ) 執行下列程式碼後,T 值為何? (A)495 (B)550 (C)594 (D)5050

More information

總複習教材

總複習教材 06 學年度四技二專統一入學測驗數學 (C) 試題 數學 C 參考公式及可能用到的數值. 三角函數的和角公式 : tnα+tnβ tn(α+β)= - tnα tnβ. ABC 的正弦定理 : = sin A. ABC 的面積 = b sin C b sin B = c sinc +b+c 4. ABC 的面積 =sr, 其中 s=,r 為內切圓半徑 =R, 其中 R 為外接圓半徑 5. 若 α β

More information

子學習3 電子學習的定位 傳統電子學習 與 新世代電子學習 SAMS 台上講者從左至右 : 吳薇薇女士 羅陸慧英教授 佘孟先生 李芳樂教授 從 電子銀行服務 到 電子學習 題追3 專蹤電

子學習3 電子學習的定位 傳統電子學習 與 新世代電子學習 SAMS 台上講者從左至右 : 吳薇薇女士 羅陸慧英教授 佘孟先生 李芳樂教授 從 電子銀行服務 到 電子學習 題追3 專蹤電 鄭燕祥教授演講座座無虛席專題追蹤電子學習電子學習如何提升 學與教 模式? 學與教博覽 2010 論壇直擊報道 整理 : 蘇家輝 2 學與教博覽 2010 於本年 7 月 15 日至 17 日假灣仔會議展覽中心舉行, 其中 電子學習提升 學與教 模式 論壇邀請了多位學者 專家和官員就相關話題發表意見, 當中不乏具啟發性的觀點, 值得老師參考和細思 子學習3 電子學習的定位 傳統電子學習 與 新世代電子學習

More information

第一章  緒論

第一章  緒論 8.doc 9483 175-203 中共地方政府 較大的市 建制與地位之探討 摘要 關鍵詞 : 較大的市 設區的市 行政區劃 地級市 地方政府 地方立法 175 壹 前言 1 2 貳 較大的市 設置的背景與意義 1949 10 176 1950 1954 9 20 53 1955 6 9 20 1959 9 17 9 3 1978 177 33 4 5 6 80 7 1976 1979 7 1 20

More information

貓圍棋

貓圍棋 中華民國嘉義市第三十二屆國民中小學科學展覽會作品說明書 科 組 別 : 數學科 別 : 國小組 作品名稱 : 進擊的魔術數學骰子 關鍵詞 : 機率 組合 規律 編號 : 進擊的魔術數學骰子摘要 設五個三位數 (ABC) 四位數(ABDC) 五位數(ABDEC) N 位數 (AB C) 的魔術數學骰子, 只要遵守魔術骰子的製作的規律原理 : 同一個骰子中間數 (B ) 是相同, 五個不同中間數和 Bt=10

More information

Microsoft Word - 1-1泰宇解答

Microsoft Word - 1-1泰宇解答 學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)

More information

Microsoft Word - 結案報告.doc

Microsoft Word - 結案報告.doc 2 3 4 5 ~ 6 1. 2. 3. 4. 7 ~ 8 9 ~ 10 11 12 13 14 15 96年原住民族電視節目增製計畫 結案報告 五 執行方式 一 甄試過程照片 16 17 18 夣 19 20 21 22 23 24 25 96年原住民族電視節目增製計畫 結案報告 26 27 28 . 29 30 31 32 33 . 34 . 35 96年原住民族電視節目增製計畫 結案報告 (

More information

男人的大腦 女人的大腦

男人的大腦 女人的大腦 46 2014 6 498 男女大乾坤 男女的戀愛行為 男人的大腦 女人的大腦 2014 6 498 47 48 2014 6 498 女人的戀愛行為 70 900 男人的戀愛行為 8 2014 6 498 49 50 2014 6 498 對於愛與性的混淆 男女所面臨的問題 和我一樣喜歡做愛除了我, 不可以看別人相信我, 沒有問題現在, 和我做愛知道如何引燃我從不傷害我 朋友關係和性 嫉妒和占有欲

More information

推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D

推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D 40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1

More information

1 目 录 建 达 北 京 爱 丽 舍 花 园 地 产 基 金... 0 特 别 提 示... 2 第 一 章. 基 金 介 绍... 3 一 基 金 概 要... 3 二 产 品 优 势... 4 三 风 控 措 施... 6 四 交 易 结 构... 6 第 二 章. 投 资 项 目 介 绍..

1 目 录 建 达 北 京 爱 丽 舍 花 园 地 产 基 金... 0 特 别 提 示... 2 第 一 章. 基 金 介 绍... 3 一 基 金 概 要... 3 二 产 品 优 势... 4 三 风 控 措 施... 6 四 交 易 结 构... 6 第 二 章. 投 资 项 目 介 绍.. 建 达 北 京 爱 丽 舍 花 园 地 产 基 金 产 品 说 明 书 中 国 北 京 基 金 管 理 人 : 北 京 建 达 投 资 基 金 管 理 有 限 公 司 1 目 录 建 达 北 京 爱 丽 舍 花 园 地 产 基 金... 0 特 别 提 示... 2 第 一 章. 基 金 介 绍... 3 一 基 金 概 要... 3 二 产 品 优 势... 4 三 风 控 措 施... 6 四

More information

2 3 13 17 22 26 1 2 8 100738 +86 (10) 8508 5000 +86 (10) 8518 5111 www.kpmg.com.cn 2006 4 2002 2006 1 28% 2006 17 8 500 2006 2006 2006 7 2.5 2 1 500 500 40% 500 10 16 14 12 10 8 6 4 2 2002-2006 5.1 5.9

More information

臺南一中 / 程美鐘老師國文考科 壹前 言 貳選擇題命題趨勢分析 101 年 ~104 年學測題型統計表 測驗目標 年度 基礎形音義 字音 字形 字 詞義 成語 文法與修辭 理解與

臺南一中 / 程美鐘老師國文考科 壹前 言 貳選擇題命題趨勢分析 101 年 ~104 年學測題型統計表 測驗目標 年度 基礎形音義 字音 字形 字 詞義 成語 文法與修辭 理解與 臺南一中 / 程美鐘老師 發行人 陳炳亨出版 民國一 四年九月 總召集 周耀琨 總編輯 蔣海燕 發行所 7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號 編輯部 7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8-1 號 主編 江欣穎電話 (06)2619621 #314 校對 陳慧君 E-mail periodical@hanlin.com.tw 美編 李懿娟 杜政賢翰林我的網 http://www.worldone.com.tw

More information

%! # # % % & # ( ) ( +, & +, +, & +, & +, +, &!

%! # # % % & # ( ) ( +, & +, +, & +, & +, +, &! %! # # % % & # ( ) ( +, & +, +, & +, & +, +, &! & &./ 0 # #1 # 2! +, 3 4 4 +,!!!! 4 4 4 4 4 56 7 89 #! 4! 4 4! 4 4! 14 #: 2 4! +,! +, 14 4 ; < = ( 4 < = +14 # : 1 1 4 # : : 3 # (4,! / +, +, +, > +,? 3

More information

中華民國 第49屆中小學科學展覽會

中華民國 第49屆中小學科學展覽會 中華民國第 49 屆中小學科學展覽會 作品說明書 高中組生活與應用科學科 040814 太陽能光控節能窗簾 學校名稱 : 基隆市私立二信高級中學 作者 : 指導老師 : 高二許栢豪 王永富 高二林宸漢 高二謝誌倫 高二許硯鈞 關鍵詞 : 太陽能 光控電路 窗簾 CO2 1 6 1900 1 3 84 580 CO2 1-1 2003 CO2 4.57 CO2 1.43 1-2 1-1 CO2 1-2

More information

極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分

極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極

More information

1直線方程式

1直線方程式 第 4 章機率與統計 6 4 機率與統計 4- 樣本空間與事件. 集合與元素 : () 一群事物的群體稱為 集合, 通常以大寫字母 A B C 表示集合 () 集合內的事物稱為 元素, 通常以小寫字母 a b c 表示元素. 集合的表示法 : () 列舉法 : 把集合的元素全部寫在大括號 { } 內, 表示一個集合 {, } = {,} = {,, } = {,, } 均為 與 所組成的集合 ()

More information

# ( + + # + # 6 +,! + # +! +, + # ( + ) ( + ( + ) + 7! + # + /8 + ) ( +! + #. + ( +, +! + # + # + + ( ! ( + ) ( + ) +, + ( + 9% +! +, + ( +

# ( + + # + # 6 +,! + # +! +, + # ( + ) ( + ( + ) + 7! + # + /8 + ) ( +! + #. + ( +, +! + # + # + + ( ! ( + ) ( + ) +, + ( + 9% +! +, + ( + ! ## % & (! ) # (! + ) (, ( + ) ( +! ( + + # + #! + ( + + ( + ) ( + + ( + # + ) +! ( + ( + # +! ( + ) + # ( + ) + # +! ( +. + / 0. + ( + # + # + +, + ) + + ) + 1!, ( 2 1 # 3 )! # ( 4 5 #3 (! # ( 4 # #

More information

對數函數 陳清海 老師

對數函數 陳清海 老師 對數函數 陳清海 老師 p ok 對數函數 一 對數函數. 定義:設 0,, 0,稱 為以 為底數的對數函數.. 圖形與基本性質 對數函數 yf log y log 在 與 0 時的圖形如下: 函數圖形通過點 且 y 軸為其漸近線.,0,整個圖形在 y 軸右方, p 範例 y log 在下列的方格紙中作出 y log 與 的圖形. 演練 已知 y log 的圖形與 y log 方格紙中作出 y log

More information

龍騰100-B5-習作-CH3.doc

龍騰100-B5-習作-CH3.doc 8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =

More information

東華人文學報 第二期

東華人文學報  第二期 東華人文學報 第二期 2000 年 7 月 頁 125-142 東華大學人文社會科學學院 戲曲 關目 義涵之探討 提要 關鍵詞 : 戲曲 關目 情節 故事 表演 勞逸均衡 冷熱調劑 元刊雜劇三十種 曲論 125 戲曲 關目 義涵之探討前言 1 一 關目 之原意與 元刊三十種雜劇 的 關目 126 2 3 4 5 6 127 7 8 9 128 10 129 11 二 明清曲論中 關目 的義涵 12

More information

第二節 研究方法 本論文第一章 緒論 說明研究動機與目的 研究方法及研究的範圍及限制 並對 飲食散文的義界 作一觀念的釐清 第二章 文獻探討 就將本研究的理 論建構中的概念作釐清 分別為 現代文學 飲食文學的重要論著 等兩個部 分來描述目前文獻的研究成果 並探討其不足待補述的地方 本研究以 文化研 究 為主要研究基礎 統攝整個研究架構 在不同章節裡 佐以相關研究方法進 行論述 茲圖示如下 研究方法

More information

Book1

Book1 經 辦 網 點 名 稱 網 點 位 址 第 一 支 行 營 業 室 廣 東 省 廣 州 市 越 秀 區 沿 江 中 路 193 號 第 二 支 行 營 業 室 廣 東 省 廣 州 市 沿 江 西 路 145 號 吉 祥 支 行 廣 東 省 廣 州 市 東 風 中 路 313 號 荔 灣 支 行 營 業 室 廣 東 省 廣 州 市 荔 灣 區 南 岸 路 63 號 三 樓 北 京 路 支 行 營 業

More information

. 9 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 變分 8. 若 z 隨 正變且隨 反變, 則下列何者必為常數? z z z z 9. 若隨正變且隨反變, 則下列何者必為常數? z z z z z 0. 設 隨 及而聯變 若 增加 0% 及 z 減少 0%, 則 增加.% 增加 0.9

. 9 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 變分 8. 若 z 隨 正變且隨 反變, 則下列何者必為常數? z z z z 9. 若隨正變且隨反變, 則下列何者必為常數? z z z z z 0. 設 隨 及而聯變 若 增加 0% 及 z 減少 0%, 則 增加.% 增加 0.9 中五級數學科第三學期試前溫習材料姓名 : 班別 : ( ) 卷 II 甲部 : 指數 0 0. ( ) 0. 0 0. (a ) a 8 a a a a n. ( 8 ) 8 n 8 n 9 n n 因式分解. 下列何者為恆等式? I. 0 II. ( )( ) III. ( ) 只有 II 只有 III 只有 I 及 III 只有 II 及 III. 因式分解 a b a b ( a b)( a

More information

NCKU elearning Manual

NCKU elearning Manual 成 績 一 簡 介... 3 二 成 績 彙 總... 4 三 瀏 覽 成 績... 7 1. 成 績 分 析 長 條 圖... 7 2. 成 績 單... 7 3. 用 戶 報 告... 11 四 類 別 和 項 目... 12 1. 簡 單 檢 視... 12 2. 完 整 檢 視... 15 五 成 績 匯 入... 16 六 成 績 匯 出... 19 1. 成 績 登 錄 檔... 19

More information

文档 1

文档 1 2005 3 100 2005 10 20 100 100 2003 9 30 266,303,262.93 100 941,105,695.50 532,672,384.52 1 2 100 100 100 90% 100 50% 100 100 2005 8 21 "75% 100 + 25% " 2005 8 22 100 95%+ 5% 3 75% + 25% 2005 7 1 2005 9

More information

3_習題_第03章.doc

3_習題_第03章.doc 課本習題解答 7 習題 - 袋子中裝有編號,, 的三個球,從袋中取一球觀察號碼. S 表樣本空間, A 表號碼為 奇數的事件.選出正確的選項: () S = {,,} () A = {,} () A 不發生的事件為 { } () S 的事件共有 個 (5) S 的事件中與 A 事件互斥的共有 個 () 樣本空間 S = {,,}. () 號碼為奇數的事件 A = {,}. () 事件 A 不發生表示號碼為偶數,即

More information

untitled

untitled 995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =

More information

B3C1

B3C1 - B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =

More information

2 3 5 6 9 12 13 15 17 18 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 33 36 37 38 1 (ISBN) (reg_no) (ISBN) 2 Dreamweaver (SQL) 1.? 2.? 3.? 4.? 5.? 6.? 3 ( ) (reg_no) (ISBN) 4 10 11 5 (library) 6 (library) (library) (library)

More information

國立台灣師範大學

國立台灣師範大學 國立台灣師範大學九十八學年度高一數學科第一次期中考試題附屬高級中學第一學期 範圍 : 第一冊 -~-4 009/0/3 一 多選題 ( 一題 5 分, 共計 0 分, 答錯不倒扣 ). 下列各敘述何者為真 : 3 (A) 若 a 為有理數,b 為無理數, 則 a-b 為無理數 (B) 若 a a 8 為有理數, 則 a 為有理數 (C) 若 a c = b d 則 a=b,c=d (D) a b 為有理數,c

More information