列出所有的非負整數解, 係數越大者越先決定, 故先決定 z, 再決定 y, 最後決定 x, 故有 = 8 ( 種 ) x y z

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纷晨靖
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1 - 乘法原理基礎型. 從甲地至乙地有 5 條路可走, 由乙地至丙地有條路可走, 由丙地至丁地有條路可走, 試問從甲地經乙丙兩地至丁地的走法有幾種? 答 60 解由乘法原理知, 有 5 = 60 ( 種 ). 書店的書架上有種不同的英文書和 5 種不同的數學書, 則 : () 若小明想買一本書, 請問買法有幾種? () 若小明英文和數學各買一本, 請問買法有幾種? 答 ()9 ()0 解 () 由加法原理知, 有 + 5= 9( 種 ) () 由乘法原理知, 有 5 = 0 ( 種 ). 小華有件襯衫, 條長褲,5 頂帽子, 若帽子可戴可不戴, 請問他外出時的搭配方法有幾種? 答 7 解因為可選擇戴或不戴帽子, 則帽子的選擇有 5+ = 6( 種 ) 由乘法原理, 搭配方法有 ( 5 + ) = 7 ( 種 ). 有一個三位數, 百位數數字是奇數, 十位數數字是偶數, 請問這樣的三位數共有幾個? 答 50 解百位數可放五個選擇, 十位數可放五個選擇, 個位數可放 0~9 十個選擇, 故有 = 50 ( 個 ) 5. 一房間有個門, 由不同的門進出一次, 請問方法有幾種? 答解進入的方法有種因不得由原進來的門出去, 則出去的方法有種由乘法原理知, 共有 = 6( 種 ) 6. 用五種不同顏色塗右圖 A B C D 四個區塊, 規定同色不相鄰, 但顏色可重複使用, 則塗法有多少種? 答 0 解由左而右依序塗法有 5 = 0 ( 種 ) 研究型 7. 將一張 00 元鈔票全部兌換成 5 元 0 元 50 元硬幣, 請問兌換方式有幾種? 答 8 解設 5 元 0 元 50 元硬幣分別兌換 x y z 個, 得 5x+ 0 y+ 50z = 00,

2 列出所有的非負整數解, 係數越大者越先決定, 故先決定 z, 再決定 y, 最後決定 x, 故有 = 8 ( 種 ) x y z 有 500 元鈔票張,00 元鈔票張,50 元鈔票張, 已知不可付款 0 元, 請問可配幾種不同的款項? KEY 以款項而言, 例如 00 元鈔票張和 50 元鈔票張是相同的 ; 當所有的小額鈔票足以兌換張大額鈔票時, 就將所有該種大額鈔票換成最小額鈔票計數, 故視為 500 元鈔票張, 50 元鈔票 8 張答解當所有的小額鈔票足以兌換張大額鈔票時, 就將該種大額鈔票換成最小額鈔票計數, 故視為 500 元鈔票張,50 元鈔票 8 張, 配出的款項有 ( + )( 8+ ) = 5( 種 ) 9. 如圖, 校車從村落的入口處 A 進來, 從出口處 B 出去, 要走過所有巷道, 但走過的路不該再走, 請問走法有幾種? 答 6 解校車行走路徑必為進入村莊從 A B A B離開村莊, 故有 = 6( 種 )

3 - 排列基礎型. 試求下列各式的值 : () 6! () 0!!8! 答 ()70 ()5 ()560 解 () 6! = 6 5 = 70 () 0! 0 9 8! 0 = = 9 = 5!8!!8! () P 0 0 () P = 0 9 = 560 n n. 試求下列各式的 n 值 : () P = 5P () 答 ()5 ()9 () P = + P () 7 P = 80 n n n n 解 () P = 5P ( n)( n )( n ) = 5( n )( n )( n ) n= 5( n ) n= 5n 5 n= 5!!!! () Pn+ = Pn = = (0 n)! ( n)! (0 n)! ( n) ( n) (0 n)! ( )( ) n n = 6 n n+ 6 = 0 ( n 9)( n ) = 0 n = ( 不合 ) 或 n = 9 7 7! 500 () P = 80 n ( 7 n)! = ( 7 n)! = 500 ( 7 n)! = = 6 =!, 故 7 n =, 得 n = 80 n. 四男三女排成一列, 試問下列排法各有幾種? () 請問排法共有幾種? () 若排列時女生之間不排男生, 請問這樣的排法有幾種? () 若排列時男生須完全相鄰且女生亦須完全相鄰, 請問這樣的排法有幾種? 答 ()500 種 ()70 種 ()88 種解設男生為 A, B, C, D, 女生為 a, b, c () 7 人排成一列, 排法 7! = 500 種 () 意即女生須相鄰, 故如圖的排法共 5!! = 70 種 () 男生圈起來且女生圈起來, 如圖, 排法有!!! = 88 種

4 . 甲乙丙丁戊五人排成一列, 則 : () 若甲必須排在首位, 請問這樣的排法有幾種? () 若甲一定不能排在首位, 請問這樣的排法有幾種? () 若甲必須排在首位且乙必須排在末位, 請問這樣的排法有幾種? 答 () 種 ()96 種 ()6 種解 () 甲先排, 方法種, 其餘人再任意排, 方法!, 故共有! = 種 () 甲先排, 可選第,,, 5 位, 方法種, 其餘人再任意排, 方法!, 故共! = 96 種 () 甲排首乙排末, 方法皆種, 其餘人再任意排, 方法!, 故有! = 6 種 5. 今有 8 個空的坐位排成一列, 甲乙兩人欲入坐, 問坐法幾種? 答 56 種 8 解甲先坐有 8 個選擇, 乙再坐剩 7 個選擇, 故 P = 8 7 = 56 種 6. 將枝相同鉛筆, 枝相同原子筆, 分給 5 位同學, 每人最多拿枝, 筆須分完, 試問分法有幾種? 答 0 種解設有甲乙丙丁戊五人, 五人固定, 而下方鉛鉛原原原五個字去作排列, 鉛代表鉛筆, 原代表原子筆, 即此人所分到的東西, 5! 故排法有 0!! = 種鉛鉛原原原 7. 將 passable 一字中的字母重新排列, 試問 : () 請問排法共有幾種? () 若字母 p 必須排在第一個位置, 請問這樣的排法有幾種? 答 ()0080 種 ()60 種解 ()aasspble, 其中有個 a, 個 s 相同 8! 依有相同物的直線排列, 排法有 0080!! = 種 () 如圖, p 7! 排首, 則後面 7 個位置為 aassble 作排列, 排法有 60!! = 種 8. 如圖, 由 A 點出發走捷徑到 B 點, 規定只能向走, 請問走法

5 有幾種? 又從 A 點出發經 p 點到 B 點的捷徑走法有幾種? 答 ()56 種 ()0 種解 () 捷徑走法可類化成 8 個箭頭的排列數 8! 故有 56!5! = 種! 5! ()A P B, 走法共有 = 0 種!!!! 研究型 9. 演講聽某排有 8 個座位, 今東東亮亮小薰三人欲相鄰而坐, 試問做法有多少種? 答 6 解今人可選擇 ABC BCD CDE DEF EFG FGH 計 6 種入坐方式, 且人在每種座位上可再作排列, 方法有! 種, 故坐法共有 6! = 6 ( 種 ) 0. 甲乙丙丁戊五人排成一列, 則 : () 若甲必須排在首位且乙不能排在末位, 請問這樣的排法有幾種? () 若甲一定不能排在首位且乙一定不能排在末位, 請問這樣的排法有幾種? KEY () 依甲乙丙丁戊的排列順序討論之, 則甲有種排法, 乙有種排法, 丙丁戊有! 種排法 () 因為甲是否排在末位會影響到乙的排列次數多寡, 故須討論如下 : 若甲排在末位, 則乙有種排法若甲排在第二三四位, 則乙有種排法答 ()8 種 () 種解 () 依甲乙丙丁戊的順序討論之 : 甲只能排首位, 排法種 ; 乙只能選第二三四位, 排法有種 ; 丙丁戊的排法有! 種 ; 故排法有! = 8( 種 ) () 因為甲是否排在末位會影響到乙的排列次數多寡, 故須討論如下 : 若甲排在末位, 則乙可選第一二三四位, 故排法有! = 種若甲排在第二三四位 ( 例如甲排第二位 ), 則乙有種排法 ( 乙可排第一三四位 ), 故排法有! = 5 種由, 知排法共有 + 5 = 78 ( 種 ). 將點點滴滴在心頭七個字全取排列, 則 : () 請問排法共有幾種?

6 () 若點點兩字須相連與滴滴兩字須相連, 請問這樣的排法有幾種? () 若點點兩字須分開, 請問這樣的排法有幾種? KEY () 相鄰者圈起來 () 不相鄰者最後排, 故先排滴滴在心頭五字, 排法有 6 P 入, 排法有種! 答 ()60 種 ()0 種 ()900 種解 7! () 依有相同物的直線排列, 排法有 = 60 ( 種 )!! () 相鄰者圈起來, 如圖, 故排法有 5! = 0 ( 種 ) 5! 種 ; 在將點點排! () 不相鄰者最後排, 故先排滴滴在心頭五字, 排法有 6 P 再將二個點字分別插入中, 如圖, 排法有! 5! 種 ;! 6 5! P 故排法共有 = 900 ( 種 )!!. 將相同電影票張, 相同圖書禮卷張全部分給 7 個人, 每人最多得一張, 請問分法有幾種? KEY 會有人沒有分到票劵, 可想像成將相同的電影票張相同的圖書禮劵張和相同的空白劵張來作排列, 其排列方法數即為所求答 0 解設有甲乙丙丁戊己庚七人排成一列並固定, 而下方電電圖圖圖無無七個字作排列, 電代表電影票, 圖代表圖書禮券, 無代表沒有得到東西, 即此人所分到物 7! 品的情形, 故排法有 = 0 ( 種 )!!!

7 - 重複排列. 若以 0,,,,,5 這六個數作一個四位數, 數字可重複選取, 試問可作成多少個? 答 080 個解 0 不可排首位且數字可重複, 故有 = 080個. 試求四位正整數中為偶數者有幾個? 答 500 種解 0 不可排首位且數字可重複, 排列順序依序為千位百位十位個位, 排法有 = 500 種. 甲乙丙丁四人至墾丁遊玩, 今考慮投宿其中的三家旅社, 試問 : 這四人投宿的方法有幾種? 答 8 種解每個人投宿旅社的選擇皆有種, 故 = = 8種. 渡船三艘, 每船最多可載四人, 則 : () 若人須同時渡河, 試問渡河的方法有幾種? () 若 5 人須同時渡河, 試問渡河的方法有幾種? KEY 應減去會沉船的渡河方法答 ()8 種 ()0 種解 () 每人乘船的選擇皆有種, 故 = = 8種 () 會沉船的渡河方法為 5 人同坐甲船則甲船沉, 或 5 人同坐乙船則乙船沉, 或 5 人同坐丙船則丙船沉, 共有種故 ( 安全渡河的方法 ) = ( 全部搭船的方法 )-( 會沉船的渡河方法 ) 5 = = = 0 種 5. 將四瓶不同口味的汽水全部分給甲乙丙三人, 則 : () 請問汽水的法共有幾種? () 若甲至少得一瓶汽水, 請問這樣的分法有幾種? 答 ()8 種 ()65 種解 () 每瓶汽水皆有種分法, 故有 = = 8種 () ( 甲至少得瓶的分法 ) = ( 任意分的分法 )-( 甲得 0 瓶的分法 ) = ( 瓶汽水給人 )-( 瓶汽水給人 ) = = 65 種 6. 從八顆不同顏色的寶石中挑選五顆串成項鍊, 請問方法有幾種? 答 67 種 8 P 解珠狀排列數 5 5 種 = = = 右圖圖形有四片相同的扇葉, 小明用七種顏色去塗, 每片扇葉不同色且顏色不得重複, 請問塗法有幾種?

8 答 0 種 7 P 解環狀排列數 = = = 0種研究型 8. 三對夫婦圍圓桌而坐, 若每對夫婦須相鄰而坐, 請問這樣的坐法有幾種? KEY 相鄰者圈起來答解設有 Aa, Bb, Cc 三對夫婦,! 相鄰者圈起來, 如圖, 環狀排列方法種然而每對夫婦在圈內還可以再作排列故總共有! (! ) 6 = 種 9. 有 5 位同學參加某校系推甄, 該系至少錄取人, 試問該系錄取的方法有幾種? KEY 每位同學皆有錄取和不錄取兩種可能答種解五位同學參加某校系推甄, 每位同學皆有錄取和不錄取兩種可能, 方法有 5 種但因該系至少錄取一人, 所有五位同學皆沒錄取的情況需扣除, 5 故該系錄取的方法有 = ( 種 )

9 - 組合基礎型. 由 0 個人中選出個人組成委員會, 請問方法有幾種? 答 0 種解 0 C = 0 ( 種 ). 求下列各組合數 : () C () C () C () C 答 () ()66 ()8 ()78 解 5 5! () C 0 = = () C 0! ( 5 0 )! 8 8 () C = = 8 () C = C = = 66 = = 求下列各式的 r 值 : () C6 = C r + () Cr = C r + () C 答 () r = 5 或 r = () r = 或 r = 8 () r = 9 解 = C r r () C = C + 6 r 則 6= r +, r = r + = 8, r = 故 r = 5 或 r = () C r = C r + 則 r = r+, r = ( r) ( r ) + + =, r = 8 故 r = 或 r = 8 () C = C, 因 = r, 得 r = 9 r r 8 0. 某羽球比賽, 規定每位選手必須和所有其它選手各比賽一場, 賽程總計為 8 場, 試問選手有多少人? 答 8 人解設有選手 n 人 ( ) n n n 則 C = 8 = 8 n n 56 = 0 ( n 8)( n+ 7) = 0 n = 7 ( 不合 ) 或 n = 8 5. 男生 8 人, 女生 6 人, 若要選出男女組成一代表隊, 則共有幾種組法? 答 0 種 8 6 解依題意 C C = 8 5 = 0 ( 種 )

10 6. 求凸九邊形的對角線共有幾條? 答 7 條解任二端點決定一條線, 但須扣除最外圍不是對角線的 9 條邊 9 故 C 9 = 6 9 = 7 ( 條 ) 7. 從甲乙丙丁等 9 人中選出 6 人排成一列, 試問甲乙必入選的排法有多少種? 答 500 種解此題應分解成二個動作 : 先把人選出, 之後再去作排列 7 ( )( ) ( )( ) CC 6! = 5 70 = 500 ( 種 ) 研究型 8. 平面上有 0 個點, 其中有個點共線, 其餘任點皆不共線, 則 : () 若連接其中任意點作直線, 請問可得幾條不同直線? () 若連接其中任意點作三角形, 請問可得幾個不同的三角形? KEY () 點中任意點皆不共線, 可產生 C = 條直線 ; 今點共線, 只能產生條直線 6 () 點中任意點皆不共線可產生 C = 個三角形, 故將 ( 全部情形 ) 即可答 ()0 條 () 6 個解 () 若 0 個點中任意點皆不共線可產生 C 線, 但今點共線, 只能產生條直線 0 故可得 C C + = 0 條直線 () 若 0 個點中任意點皆不共線可產生 C 0 角形故可得 C C = 6 個三角形 0 0 條直線 ; 又點中任意點皆不共線可產生 C 條直個三角形, 但由於今點共線, 故必須扣掉 C 個三 9. 將 tomorrow 一字全取排列, 任二個 o 字均不相鄰, 則排法有多少種? 答 00 種 5! 解不相鄰者最後排, 故先排 t m r r w, 排法有種,! 再將個 o 放入個內, 個字母 o 相同, 放法有 C 種, 5! 6 故共有放法 C =00( 種 )! 6 0. 由 philippe 一字中選取個字母, 有多少種取法? KEY 選取的個字母須分成三同 ( 例如 ppp) 二同一異 ( 例如 pph) 三異 ( 例如 phi) 等三種情形

11 答 9 種討論之解今有 pppiihle 等 5 種英文字母, 取法討論如下 : () 三同 ( 例如 ppp): 僅種英文字母可作三同, 故有 C = 種 () 二同一異 ( 例如 pph): 有種字母可作二同, 取後剩種字母可作一異, 故有 CC = 8 種 5 () 三異 ( 例如 phi): 從 5 種字母選出種作三異, 故有 C = 0 種由 () () () 知共有 = 9( 種 ). 由 5 對夫妻中選出人, 則所選人恰含對夫妻的情形有幾種? 答 0 種解先決定對, 再決定該對中的人即 5 對中先選對, 該對的夫妻人皆入選, 方法有 CC 種 ; 5 再從剩下的對中選對, 每對的夫妻人中各選人, 方法有 CCC 種 5 故共有 (C C) ( CCC) = 0 ( 種 )

12 -5 重複組合基礎型 8 9. 求 P + C + H =? 答 6 5 解 8 P = 8 7 = 56 C 9 9! = = = 8!6! 7 6 H = C = C = = 故 P + C + H5 = = 6. 有 0 個投票人, 位候選人, 若採無記名方式投票, 並規定每人皆投一票且無廢票, 試問下列投法各有幾種? 答種解設位候選人各得 x y 票, 則 x+ y = 0, H = C = C = 種 0 0. 考慮方程式 x+ y+ z = 5, 則 : () 請問非負整數有解幾組? () 請問正整數解有幾組? 答 ()6 組 ()9 組 7 7 解 () H = C = C = 組 () 視為 5 件相同物品任意分給人, 每人至少件故每人先拿件, 剩件物品再任意分給人, 方法 H = C = C = 組 9. 將 0 個相同的籃球全部放入個不同箱子中, 若每箱球數不限, 則共有多少種不同的放法? 答 66 種解設個不同箱子各放 x y z 顆, x+ y+ z = 0, H = C = C = 種將相同的電影票 6 張相同的圖書禮卷 5 張, 全部分給甲乙二人, 則 : () 請問分法有幾種? () 每人至少分得張票, 請問這樣的分法有幾種? () 每人每種至少分得張票, 請問這樣的分法有幾種? 答 () ()0 ()0 7 6 解 () 為組重複組合的問題, 即 H6H5 = CC 6 5 = 7 6 = 種 () 甲不可得 0 張, 乙也不可得 0 張, 故 = 0 種 () 每人每種票先取張, 剩下相同電影票張, 圖書禮券張再任意分

13 給人, 故有方法 H H 5 CC 0 = = 種 6. 將本相同的筆記本全部分給甲乙丙三人, 試問下列分法各有多少種? () 請問分法有幾種? () 每人至少本, 請問這樣的分法有幾種? 答 ()9 種 ()8 種解 () 設甲乙丙分別得 x y z 本, 則 x+ y+ z = 故 H = C = C = 種 () 每人先拿走本, 剩 6 本分給人, 方法 H = C = C = 種研究型 7. () 擲顆相同骰子一次, 則可能的結果有多少種? () 擲顆不同骰子一次, 則可能的結果有多少種? KEY () 此為重複組合之題目 () 此為重複排列之題目答 () ()6 解 () 此為重複組合的情形骰子擲出後, 設點數點數點數點數點數 5 點數 6 分別出現 x x x x x 5 x 6 顆骰子, 即求 x + x + x + x + x 5 + x 6 = 的非負整數解的組數, 故有 () 此為重複排列的情形每顆骰子都會出現 6 種點數, 故有 6 6 = 6( 種 ) H 6 7 C = = ( 種 ) 8. 某公仔專賣店有 5 種款式的公仔, 亮亮欲購買個, 買法有幾種? 答 5 種解 5 種不同款式的公仔分別買 x x x x x 5 個即求 x+ x + x+ x + x5 = 的非負整數解的組數故有 H 5 7 C 5 = = ( 種 ) 9. ( x+ y+ z) 5 的展開式中, 共可得多少不同類的項? KEY ( ) 5 x y z 答種 a b c + + 展開後為 5 次齊次式, 即 xyz 且 a+ b+ c= 5 解 ( x+ y+ z) 5 展開後為 5 次齊次式 a b c 即 xyz 且 a+ b+ c= 5, 故不同類項有 H 7 5 C5 = = ( 種 )

14 -6 二項式定理基礎型 5. 利用二項式定理展開 (x y) 答 x 0xy+ 70xy 080xy+ 80xy y 解 ( ) x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = C x + C x y + C x y + C x y + C x y + C y = x 0xy+ 70xy 080xy+ 80xy y 請問 ( x ) 展開式中, x 項的係數為何 x 答 96 6 解一般項為 ( ) 6 C r x r r r x, 觀察 x 的次方得 ( ) 6 r 6 r 6 r x x x = r = x x 欲求 x 項之係數, 即 6 r =, r =, 代回一般項 = 96 = 得 ( ) C x C x x x x 故 x 係數為 96. 已知 ( ax + ) 展開式中 x 項之係數為 6, 求 a 值 x 答 ± 解一般項為 ( ) C r ax 觀察 x 的次方得 ( ) 今 r r x r r r 5r = r = x x x x x x 項的係數為 6, 即 5r =, r =, 代回一般項 6 9 = 5 = 得 ( ) C ax Cax ax x x, 依題意 5a = 6, 故 a = ± 6. 請問 ( x ) 展開式中, 常數項為何? x 答解一般項為 Cr ( x ) ( ) = Cr ( ) ( x ) ( ) x x r r r r r r

15 = C x 6 6 r r r r ( ) x r 今欲求常數項, 即 r = 0, r = 代回一般項得 C ( ) x = 90, 故常數項為 90 x 請問 ( ) 展開式中, x x 6 項的係數為何? 答 0 解一般項為 C 今欲求 6 x 得 C () ( ) = C ( ) ( ) x x 5 5 r r 5 5 r r r r r 項的係數, 即 r =, 代回一般項 ( ) 0 x = x, 故 x 求下列各式的值 : 項為 0 = C ( ) x = ( ) x 6 6 r r r r 5 5 r r C r r () C + C + C + C + C + C =? () C C + C C + C C =? () C + C + C =? () C + C + C =? 0 答 () ()0 ()6 ()6 5 解由二項式定理得 ( x+ y) = C x + C x y+ + C y 研究型 () 令 x =, y = 代入得 ( + ) = C + C + C + C + C + C = = () 令 x =, y =- 代入得 ( ) = C C + C C + C C = () 由得 C0 + C + C = = () 由得 C + C + C5 = = 6 7. 若之値的個位數為 a, 十位數為 b, 求 a b 的值各為何? KEY (0 + ) 利用二項式定理展開後, 取最後兩項的和, 即可求出 a 與 b 答 a =, b = 解 (0 + ) = C 0 + C C 0 + C 0 + C 0 由於 0 n 乘開後, 最後 n 位數皆為 0 故上式前項並不會影響個位數字與十位數字取最後項得 C 0 + C = 90 + = 9, 故 a =, b =

16 8. 設 n 為自然數, 若 ( ) x+ y 依 x 的降冪展開式中, 第 5 項係數與第 9 項係數相等, 則 n 値為何? C n KEY 展開後第 k 項的係數為 k 答 n n 解依題意 C = C 8, 再由組合的剩餘定理得 n = + 8 = 利用二項式定理求 C + C + C + C + C + C + C + C + C 的値 KEY y 利用二項式定理展開後, x, y ( x ) 答 656 = = 代入即可解 ( x+ y) = Cx + Cxy+ Cxy + Cxy + Cxy + Cxy + Cxy + Cxy + Cy 令 x =, y = 代入上式得 C + C + C + C + C + C + C + C + C = + ) = = ( 65

17 第一章自我評量第一章自我評量 ( ). 用 0,,,,, 5, 6 等七個數字可作成多少數字相異的四位奇數呢? 答 (A) (A)00 (B)50 (C)60 (D)80 解 0 不可排首位且數字不重複, 排列順序為個位千位百位十位排法有 5 5 = 00 ( 種 ) ( ). 甲乙丙丁戊己六人排成一列, 規定甲不得排在首位, 乙不得排在末位, 試問排法有多少種? (A)0 (B)60 (C)80 (D)50 種答 (D) 解排列順序為甲乙丙丁戊己, 由於甲排末位與否會影響到乙的排列數, 故須分開討論 : () 甲排末位, 方法種 ; 乙可排第 5 位, 方法 5 種其餘人在剩下的個位置任意排列, 方法! 故共有 5! = 0 ( 種 ) () 甲排第 5 位, 方法種乙不可排末位, 且又被甲佔去個位置, 故排法種其餘人在剩下的個位置任意排列, 方法! 故共有! = 8 ( 種 ) 由 (),() 得知, 排法共有 = 50 ( 種 ) ( ). 用 0,,,, 作成五位數, 數字不得重複, 將這些五位數由小到大排列, 則第 50 個數為何? (A)0 (B)0 (C)0 (D)0 答 (B) 解由小到大依序討論 : () 如圖,0 在個空格中排列, 排法有! = ( 種 ) () 如圖,0 在個空格中排列, 排法有! = ( 種 ) 如今已有 + = 8個數, 接下來的數為 0 0 故 0 即為所求 ( ). 甲乙丙等 6 人排成一列, 若規定甲乙丙三人須分開, 試問排列的方法有多少種? (A)70 (B) (C) (D)0 種答 (B) 解不相鄰者最後排, 故丁戊己先排, 排法! 再將甲乙丙放入中, 方法有 P, 故共有! P = ( 種 ) ( )5. 四對夫婦圍圓桌而坐, 規定夫婦須相鄰, 試問坐法有多少種?

18 (A)80 (B)0 (C)8 (D)96 種答 (D) 解設有 Aa Bb Cc Dd 四對夫婦, 相鄰者圈起來如圖, 則個圈圈圍圓桌, 方法! 種然而每對夫婦皆可交換坐, 故總共有! 96 = ( 種 ) ( )6. 從 8 人中選出 5 人圍圓桌而坐, 試問坐法有多少種? (A) 5! 5 答 (D) P (B) P (C) P (D) 種直線排列數 P 解環狀排列數 = = 5 個數 5 8 ( )7. 將 5 件不同的獎品全部分給甲乙丙丁四人, 若甲至少得一件, 請問這樣的分法有幾種? (A)80 (B)0 (C)78 (D)65 種答 (C) 解 ( 甲至少得件的分法 ) = ( 任意分法 ) ( 甲得 0 件的分法 ) = ( 5 件獎品分給人 ) ( 5 件獎品分給人 ) 5 5 = = 78( 種 ) ( )8. 渡船隻且每船最多可載 5 人, 今 6 人同時渡河, 請問安全渡河的方法有多少種? (A)79 (B)76 (C)6 (D) 種答 (B) 解 ( 安全渡河的方法 ) = ( 任意搭乘的方法 ) ( 會沉船的搭乘方法 ) 6 = = 76 ( 種 ) ( )9. 將 0, 0,,,,,, 八個數字全取作八位數, 請問這樣的八位數有幾種? (A)0 (B)5 (C)50 (D)5 個答 (D) 解 0 不可排首位, 則分成二種情形討論 : () 0 0 7! 排首位, 則 0 0 於後方排列, 方法 =0( 個 )!!! () 0 0 7! 排首位, 則 0 0 於後方排列, 方法 =05( 個 )!! 由 (),() 得知, 共有 = 5( 個 ) ( )0. 試問在人當中, 至少有個人在同一月份出生, 請問這樣的情形有幾種?

19 答 (B) (A)880 (B)8856 (C)790 (D)0 種解 ( 至少有人在同一個月出生的情形 ) = ( 人出生的所有情形 ) ( 人皆不在同一個月出生的情形 ) = ( ) -( 0 9) = 8856 ( 種 ) ( ). 將六位數的各數字任意排列, 其中數字須相鄰, 數字須分開, 試問可得多少種不同的六位數? (A)7 (B)6 (C) (D)8 種答 (D) 解相鄰者圈起來, 不相鄰者最後排, 如圖! 則先排, 排法!, 再將個放入 ^ 中, 方法 C! 故總共 8! C = ( 種 ) ( ). 用 0 和二個數字可以作成多少個 8 位數? (A)5 (B)8 (C)55 (D)56 個答 (B) 解 0 不可放首位且數字可重複使用 7 故為 = = 8( 個 ) ( ). 試問正十二邊形的對角線有幾條? (A)5 (B)56 (C)66 (D)0 條答 (A) 解任二端點決定一條直線, 但須扣掉最外圍的條邊, 剩下的才是對角線故共有 C = 5( 條 ) ( ). 過一圓之圓心作 5 條相異直線, 直線和圓周共有 0 個交點, 連接其中點作直角三角形, 請問這樣的直角三角形共有多少個? (A)0 (B)50 (C)90 (D)0 個答 (A) 解如圖, 圓周上有 P ~ P 0 十個點就 P P 6 而言, 該線段為直徑直徑再加圓周上任一點所構成的三角形為直角三角形故 P P 6 P P P 6 P P P 6 P P P 6 P 5 P P 6 P 7 P P 6 P 8 P P 6 P 9 P P 6 P 0 皆為直角三角形, 即以 P P 6 為直徑可作 8 個直角三角形今有 5 條直徑, 故可作 5 8 = 0 個直角三角形 ( )5. 從甲乙丙丁等人中選 5 人組成委員會, 其中甲乙丙三人必入選, 則選法共有多少種? (A)5 (B)78 (C)87 (D)870 種答 (A)

20 解甲乙丙三人必入選, 再從剩下 0 人中選人, 故選法有 CC = ( 種 ) 0 5 ( )6. 某校招入轉學生 7 人, 分別配入甲班人, 乙班人, 丙班人, 問共有幾種配法? (A)05 (B)0 (C)0 (D)60 種答 (B) 7 CCC 解先將 7 人分成人人人三堆, 方法種! 甲班選取人那堆, 方法種, 乙丙二班皆選取人, 方法! 7 CCC 故總共有 ( ) (!) = 0 ( 種 )! ( )7. 答 (D) ( x y) 0 6 的展開式中, 試求 xy 項的係數為何? (A) 60 (B)960 (C)90 (D) 解一般項為 C ( x) ( y) = C x ( ) y r r r r r r r 6 今欲求 x y 項的係數, 故 r =, 代回一般項得 C x ( ) y = 60xy, 故 x y 的係數為 60 a 6 ( )8. ( x) x 展開後常數項的係數為 00, 試求 a 值為何? (A) ± (B) ± 7 (C) ± 5 (D) ± 答 (C) 6 a 解一般項為 Cr ( ) ( x) = C ( ) ( ) ( ) r a x = C r a x r x x x r r r r r r r r r = C a ( ) x = C a ( ) x 6 6 r r r + r 6 6 r r r r r 0 今常數項為 x, 即 r - = 0, r = 代回一般項 6 得 C a ( ) x = 60a, 依題意 60a = 00, 故 a = ± 5 x ( )9. 將 8 個相同的球, 任意放入個不同的箱子中, 每個箱子球數不限, 試問方法有多少種? (A)8 (B)6 (C)5 (D)5 種答 (C) 解設個不同的箱中分別有 x y z 顆球, 即 x+ y+ z = 共有 H = C = C = ( 種 ) ( )0. 用 8 種不同的顏色塗在右圖甲乙丙丁戊五個區域中, 若顏色不可重複且每一個區域只可塗一種顏色, 請問塗色方法有幾種? (A)56 (B) 8 5 (C)670 (D)00 種

21 答 (C) 解依甲乙丙丁戊的順序塗色, 塗法有 = 670 ( 種 )

22 - 樣本空間與事件基礎型. 設宇集 U = {,,,,,5,6,7,8,9,0}, A = {,,,,5,6}, B = {,,5,7,9}, C = {,,6,8} () A B () A B () A B () ( A C) B 答 (){,,5} (){,,,,5,6,7,9} (){,,6} (){,,6,8} 解 () A B= { xx A且 x B} = {,,5}, 試求 () A B= { xx A或 x B} = {,,,,5, 6, 7,9} () A B= { xx A且 x B} = A ( A B) = {,,6} () ( A C ) = {,,,,5,6,8}, ( A C) B= {,,5} ( A C) B= ( A C) [( A C) B] = {,,,,5,6,8} {,,5} = {,,6,8}. 試求到 00 的整數 ( 含 00 兩數 ) 中, 試求 : () 是的倍數或 6 的倍數者有幾個? () 不是的倍數但是 6 的倍數者有幾個? () 不是也不是 6 的倍數者有幾個? 答 ()67 個 ()7 個 () 個解設 A 為到 00 中的倍數所成的集合 B 為到 00 中 6 的倍數所成的集合則 na ( ) = [ ] = 50, nb ( ) = [ ] =, na ( B) = [ ] = 6 6 () na ( B) = na ( ) + nb ( ) na ( B) = = 67 ( 個 ) () na ( B) = nb ( A ) = nb ( A) = nb ( ) nb ( A) = 6 = 7 ( 個 ) () na ( B ) = n[( A B) ] = nu ( ) na ( B) = = ( 個 ). 設 A= { x, y+ 9}, B { x 5,7} = +, 且 A= B, 請問 xy, 之值為何答 x = 0, y = 解因 A= B, 故 { x, y+ 9} = { x+ 5, 7}, 分下列二種情形討論 : x = x+ 5 (), 得 0x = 8( 不合 ) y + 9= 7 x = 7 x = 0 (), 得 y+ 9= x+ 5 y =. 設 A= { x x 7, x }, B { x x 5x 6 0, x } = >, 試求 : 答 () A B () A B () A B () B A (){ x x< 或 6 < x 0, x } (){ xx } (){ x x 6, x } (){ xx< 或 x> 0, x }

23 解 x = 7 7 x 7 x 0, 故 A= { x x 0, x } x 5x 6 > 0 ( x 6)( x+ ) > 0 x> 6 或 x <, 故 B= { xx< 或 x> 6, x } 作圖如下 : () A< B= { xx A且 x B} = { x x< 或 6 < x 0, x } () A B= { xx A或 x B} = { xx } () A B= { xx A且 x B} = A ( A B) = { x x 6, x } () B A= { xx B且 x A} = B ( B< A) = { xx< 或 x> 0, x } 5. 設 A { abbcc,,,, } 答 8 個 =, 且 abc,, 均相異則 A 的子集合共有幾個? 解 A { abbcc,,,, } { abc,, } = =, 故 na= ( ), A 的子集合共有 = 8 ( 個 ) 6. 擲一枚硬幣三次, 觀察其出現正面或反面, 則 : () 寫出樣本空間 S () 請問不同的事件共有幾個? () 寫出至少出現兩次正面的事件 A 答 (){( 正, 正, 正 ),( 正, 正, 反 ),( 正, 反, 正 ),( 反, 正, 正 ),( 正, 反, 反 ),( 反, 正, 反 ),( 反, 反, 正 ),( 反, 反, 反 )} ()56 個事件 (){( 正, 正, 正 ),( 正, 正, 反 ),( 正, 反, 正 ),( 反, 正, 正 )} 解 () 樣本空間 S = {( 正, 正, 正 ),( 正, 正, 反 ),( 正, 反, 正 ),( 反, 正, 正 ), ( 正, 反, 反 ),( 反, 正, 反 ),( 反, 反, 正 ),( 反, 反, 反 )} () ns ( ) = 8 8, 故 S 的子集合共有 = 56個, 即有 56 個事件 () A = {( 正, 正, 正 ),( 正, 正, 反 ),( 正, 反, 正 ),( 反, 正, 正 )} 7. 擲一顆公正的骰子二次, 寫出點數和小於 5 的事件 A 答 {(,),(, ),(,),(,),(,),(, )} 解點數和小於 5, 意即點數和為,,, 故 A = {(,),(, ),(,),(,),(,),(, )} 8. 甲乙丙三人排成一列, 觀察其排列的順序, 令甲必排中間的事件為 A 事件, 乙不排首位的事件為 B 事件, 則 : () 寫出 A 事件的餘事件 A () 寫出 A 與 B 的和事件? () 寫出 A 與 B 的積事件? () 寫出 A 事件與 B 事件是否為互斥事件?

24 答 (){( 甲, 乙, 丙 ),( 甲, 丙, 乙 ),( 乙, 丙, 甲 ),( 丙, 乙, 甲 )} (){( 甲, 乙, 丙 ),( 甲, 丙, 乙 ),( 丙, 甲, 乙 ),( 丙, 乙, 甲 ),( 乙, 甲, 丙 )} (){( 丙, 甲, 乙 )} () 否解 S = {( 甲, 乙, 丙 ),( 甲, 丙, 乙 ),( 乙, 甲, 丙 ),( 乙, 丙, 甲 ),( 丙, 甲, 乙 ),( 丙, 乙, 甲 )} 甲必排中間的事件 A = {( 乙, 甲, 丙 ),( 丙, 甲, 乙 )} 乙不排首位的事件 B = {( 甲, 乙, 丙 ),( 甲, 丙, 乙 ),( 丙, 甲, 乙 ),( 丙, 乙, 甲 )} () A = S A= {( 甲, 乙, 丙 ),( 甲, 丙, 乙 ),( 乙, 丙, 甲 ),( 丙, 乙, 甲 )} () A B= {( 甲, 乙, 丙 ),( 甲, 丙, 乙 ),( 丙, 甲, 乙 ),( 丙, 乙, 甲 ),( 乙, 甲, 丙 )} () A B= {( 丙, 甲, 乙 )} () 因 A B, 故 AB, 不為互斥事件 9. 同時擲一個均勻硬幣和一個公正骰子, 則 : () 寫出樣本空間 S () 若骰子點數大於的事件為 A, 寫出 A 事件答 (){( 正,),( 正,),( 正,),( 正,),( 正,5),( 正,6),( 反,),( 反,),( 反,),( 反,),( 反,5),( 反,6)} (){( 正,),( 正,5),( 正,6),( 反,),( 反,5),( 反,6)} 解 () S = {( 正,),( 正, ),( 正,),( 正, ),( 正,5),( 正,6), ( 反,),( 反, ),( 反,),( 反, ),( 反,5),( 反,6)} () 骰子點數大於的事件 A = {( 正,),( 正,5),( 正,6),( 反,),( 反,5),( 反,6)} 研究型 { } 0. 設集合,, {,} A =, 則下列敘述何者錯誤? (A){ } A (B){,} A (C){,} A (D){ } A KEY 符號的左邊為元素, 右邊為集合 ; 符號的左邊為右邊的子集合答 (D) 解符號的左邊為元素, 右邊為集合 ; 符號的左邊為右邊的子集合今元素為,, {, }; 子集合為 { } { } { } { } { } { { }} { { }} { { }},,,,,,,,,,,,,,,, 故 (D) 錯誤, 應寫成 A或 { } A { } { }. 設集合 A= ( m+, m ) m R 集合 (, ) B= nn n R, 試求 A B KEY A 集合中, 令 x= m+, y = m, 消去 m 得 x y = 5 表坐標平面上一條直線, 同理 B 表示坐標平面上另一條直線答 {(,- )} 解 A 集合中, 令 x= m+, y = m-, 消去 m 得 x- y = 587- B 集合中, 令 x= - n, y = n, 消去 n 得 x+ y = A B即兩直線解聯立得 x =, y =-, 故 A B= {(,- )}

25 . 擲一顆公正的骰子三次, 設至少出現一次 6 點的事件為 A, 則 A 事件中有多少個元素? KEY ( 全部情形 ) -( 三次皆不出現 6 點情形 ) 即可答 9 個解 n( 至少出現一次 6 點的事件 ) = n( 全部情形 ) n( 三次皆不出現 6 點情形 ) = = 9( 個 ). 擲一顆公正的骰子三次, 設三次骰子點數和為 5 的事件為 A, 試寫出 A 事件 KEY 設三次骰子點數分別出現 x, y, z 點, 即是求 x+ y+ z = 5的正整數解答 {(,, ), (,, ), (,, ), {,, }, (,, ), (,, )} 解設三次骰子點數分別出現 x, y, z 點, 即是求 x+ y+ z = 5的正整數解 A = {(,, ), (,, ), (,, ), {,, }, (,, ), (,, ) }

26 - 機率基礎型. 擲一個公正骰子, 觀察其出現的點數, 則 : () 樣本空間 S 為何? () 擲出偶數點的事件為 A, 寫出 A 件事 () 擲出點數小於 5 的事件為 B, 寫出 B 事件 () PA= ( )? (5) PB ( ) =? 答 (){,,,,5,6} (){,,6} (){,,,} () (5) 解 () 樣本空間 S = {,,,,5,6} () 擲出偶數點的事件 A = {,,6} () 擲出點數小於 5 的事件 B = {,,,} na ( ) () PA ( ) = = = ns ( ) 6 nb ( ) (5) PB ( ) = = = ns ( ) 6. 擲二個公正骰子, 試問 : () 兩骰子出現點數和為 5 的機率? () 兩骰子出現相同點數的機率? () 兩骰子出現點數的乘積為奇數的機率? 答 () 9 () 6 () 解視兩骰子為不同, 樣本空間元素個數 ns ( ) = 6 6 = 6 () 設兩骰子點數和為 5 的事件為 A, 則 A = {(,),(, ),(, ),(,)} na ( ) 故 PA ( ) = = = ns ( ) 6 9 () 設兩骰子點數相同的事件為 B 則 B = {(,),(, ),(,),(, ),(5,5),(6,6)} nb ( ) 6 故 PB ( ) = = = ns ( ) 6 6 () 兩奇數相乘為奇數, 設兩骰子點數乘積為奇數的事件為 C 則 C = {(,),(,),(,5),(,),(,),(,5),(5,),(5,),(5,5)} nc ( ) 9 故 PC ( ) = = = ns ( ) 6. 擲三個均勻硬幣一次, 求出現二正面一反面的機率為何? 答 8 解樣本空間元素個數 ns ( ) = = 8

27 ! 設三硬幣出現二正面一反面的事件為 A, 即 na= ( ) =!! na ( ) 故 PA ( ) = = ns ( ) 8. 欲從甲乙丙, 等 0 個人中任意抽出個人組成委員會, 試問 : () 甲乙皆被抽中的機率 () 甲不被抽中的機率答 () () 5 5 解樣本空間元素個數 ns ( ) = C () 設甲乙皆被抽中的事件為 A, 即 na ( ) = C C 0 8 na ( ) CC 故 PA ( ) = 0 ns ( ) = C = 5 () 設甲不被抽中的事件為 B, 即 nb ( ) = C 9 nb ( ) C 故 PB ( ) = 0 ns ( ) = C = 設 A B 為兩事件, PA ( ) =, PB ( ) =, PA ( B) =, 試求 6 () PA ( B) () PA ( ' B') () PA ( B') () PA ( ' B) 答 () () () 6 () 解由題意知, PA ( ) =, PB ( ) =, PA ( B) = 6 () PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = + = 6 () PA ( B ) = P[( A B)] PA ( B) = = () PA ( B ) = PA ( B) = PA ( ) PA ( B) = = 6 6 () PB ( A ) = PB ( A) = PB ( ) PB ( A) = = 6 6. 擲一公正骰子一次, 已知出現的點數比小, 試問擲出點數為奇數點的機率? 答解設樣本空間為 S, 則 S = {,,,,5,6} 設出現點數比小的事件為 A, 擲出點數為奇數點的事件為 B 則 A = {,, }, B A= {, }

28 nb ( A) 故 PBA ( ) = = na ( ) 7. 設 A,B 為兩事件, PA ( B ) =, PA ( ) =, PA ( B= ), 試求 : () P( AB ) () PBA ( ) () PB ( A) 答 () 8 () () 解因 PA ( B ) =, PA ( ) =, PA ( B= ) 則 PA ( ) = PA ( ) = 又 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = + PB ( ), 得 PB ( ) = PA ( B) () P( AB) = = = PB ( ) 8 PB ( A) () PBA ( ) = = = PA ( ) PB ( A) PA ( B) PA ( ) PA ( B) () PB ( A) = = = = = PA ( ) PA ( ) PA ( ) 8. 某一家庭有兩個小孩, 若已知兩個小孩中至少有一個是男孩, 則兩個孩子為一男一女之機率? 答解兩個小孩至少有個是男孩的事件為 A 兩個孩子為男女的事件為 B 則 A = {( 男, 女 ),( 女, 男 ),( 男, 男 )}, B A= {( 男, 女 ),( 女, 男 )} nb ( A) 故 PBA ( ) = = na ( ) 9. 擲顆公正骰子一次, 已知出現點數皆不相同的條件下, 試求二骰子點數的乘積為奇數的機率? 答 5 解設二骰子點數不同的事件為 A 二骰子點數乘積為奇數的事件為 B

29 則 na= ( ) 6 5 = 0 又僅奇數相乘為奇數, 則 nb ( A ) = = 6 nb ( A) 6 故 PBA ( ) = = = na ( ) 一袋中有紅球 5 個, 白球個, 黑球個, 今由袋中每次取一球, 連續取三次, 取後球不放回袋中, 連續取三次, 請問依次取得紅球白球黑球的機率為何? 答 5 解每次取出的球不放回袋中, 故球的總數會依次遞減原有 5 紅白黑, 取得紅球機率 ; 取出紅球後, 袋中剩紅白黑, 取得白球機率 ; 再取出白球後, 袋中剩紅白黑, 取得黑球機率 0 ; 5 故本題機率為 = 0. 若 A,B 為獨立事件且 PA= ( ) PB ( ) =, 則 : () PA ( B= )? () P( AB ) =? () PB ( A) =? 答 () () () 解因 PA ( ) =, PB ( ) =, 又 AB, 為獨立事件, 則 PA ( B) = PA ( ) PB ( ) = = 6 () PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = + = 6 () PAB ( ) = PA ( ) = () 因 AB, 為獨立事件, 則 AB, 亦為獨立事件, 故 PB ( A) = PB ( ) =. 東東大大二人做數學題目, 東東做題對題, 大大做題對題, 今二人同解一題, 在互不影響的情況下, 此題被解出的機率? 答解設甲做對數學題目的事件為 A, 即 PA= ( ) 乙做對數學題目的事件為 B, 即 PB ( ) = 因 AB, 為獨立事件則 P ( 此題被解出 ) = PA ( B ) = PA ( ) PB ( ) = ( )( ) =

30 研究型. 請問人中, 任意人的星座皆不相同的機率為何? 答 KEY 即 P ( 人星座皆不同 ) 解即求 P( 人星座皆不相同 ) = = 96. 擲一顆公正的骰子三次, 請問三次中至少出現一次 6 點的機率為何? KEY -P( 三次骰子皆不出現 6 點 ) 9 答 6 解 P ( 三次中至少出現一次 6 點 ) = p( 三次骰子皆不出現 6 點 ) = - = 擲三顆公正的骰子一次, 求三顆骰子的點數和為 6 的機率? KEY 三顆骰子點數和為 6 的情形即是求 x+ y+ z = 6 的正整數解的組數 5 答 08 解三顆骰子點數和為 6 的情形即是求 x+ y+ z = 6 的正整數解的情形, 5 H C 0 5 故機率為 = = = 甲投籃平均每球可投進球, 求甲頭 5 球中恰進求的機率 KEY 甲投進的機率為, 甲投不進的機率為, 可參考本節例題 5 的解法 80 答解投 5 次中有次進球, 每次進球的機率 ; 剩次皆未進球每次未進球的機率, 5 故機率為 C 80 ( ) C( ) = 7. 某種飛彈命中率為 7 成 5, 今信一目標射擊, 欲使命中率達 9 成 9, 試問最少該發射多少發飛彈? KEY -P (n 發皆不中 ) > 0.99 答解設最少該發射 n 發飛彈 P( n 發飛彈至少中一發 ) = P( n 發飛彈皆不中 ) > 0.99 n n 99 (0.5) > ( ) > 00

31 n n ( ) < > 00 n =, 5, 6..., 故為發擲一公正的骰子二次, 請問第一次擲出 6 點且第二次擲出奇數點的機率為何? KEY A 表示第一次擲出 6 點的事件,B 表示第二次擲出奇數點的事件,A B 為獨立事件, 故 PA ( B) = PA ( ) PB ( ) 答解設 A 表示第一次擲出 6 點的事件,B 表示第二次擲出奇數點的事件因 A B 為獨立事件, 故 P( A B) = P( A) P( B) = = 擲一公正的骰子二次, 在已知第一次擲出 6 點的條件下, 求第二次擲出奇數點的機率為何? KEY A 表示第一次擲出 6 點的事件,B 表示第二次擲出奇數點的事件,A B 為獨立事件, 故 PBA ( ) = PB ( ) 答解設 A 表示第一次擲出 6 點的事件,B 表示第二次擲出奇數點的事件因 A B 為獨立事件, 故 P( B A) = P( B ) = = 6

32 - 數學期望值基礎型. 擲一公正骰子一次, 若出現點數或可得 0 元, 出現點數 6 可得 5 元, 否則須賠元, 請答問擲骰子一次可得金額的期望值為何? 元 6 解出現點數或的機率出現點數 6 的機率出現點數,,5 的機率 6, 可得 0 元 6, 可得 5 元 6, 須賠元故期望值 E = ( ) = ( 元 ) 設有一疊鈔票, 其中百元鈔有張, 伍百元鈔有 5 張, 仟元鈔有張, 今甲從該疊鈔票任意抽取張, 請問可得金額的期望值是為何? 答 80 元總金額解利用得抽取一張鈔票的期望值總鈔票張數故抽一張鈔票期望值 E = = 80 ( 元 ) 擲一枚均勻硬幣次, 每出現一次正面得 0 元, 出現一個反面則賠元, 請問可得金額的期望值是為何? 答 9 元解擲一硬幣次所得期望值為擲一硬幣次期望值的倍今先求擲一硬幣次的期望值 E = 0 + ( ) = ( 元 ) 故擲一硬幣次的期望值 E = = 9( 元 ). 某攤販所售的水果 9 個中有個是被蟲所蛀, 今甲隨機挑 5 個, 請問蟲蛀水果個數的期望值為何? 0 答個 9 解只挑個卻挑到壞掉水果的機率為 9 則挑個, 壞掉水果個數的期望值 E = = ( 個 ) 今挑 5 個, 壞掉水果個數的期望值 E 5 = 5 = ( 個 ) 9 9

33 5. 同時擲二個公正骰子一次, 若二個骰子出現的點數相同可得 0 元, 否則須賠 0 元, 請問此次投擲所得金額的期望值為何? 答 0 元 6 解出現二骰子點數相同的機率 6, 可得 0 元 6 其他情形機率 ( ), 須賠 0 元故期望值 E = 0 + ( 0) = 0 ( 元 ) 6 6 研究型 6. 某保險公司承保學校的學生平安保險, 每人 000 元, 每學期的保費為 50 元根據統計, 學生發生危險的機率為 %, 求保險公司每學期對每位學生獲利的期望値 KEY 保險公司獲得 50 元的機率為, 付出 000 元的機率為 % 答 0 元解保險公司獲得 50 元的機率為, 付出 000 元的機率為 %, 故期望值 E = 50 + (- 000) % = 0 ( 元 ) 7. 擲二個公正骰子一次, 若點數合為 a, 則可得 a 元, 求擲二骰子一次的期望値是為何? KEY ( 擲二顆骰子一次的期望值 )=( 擲一顆骰子一次的期望值 ) 答元解 ( 擲二顆骰子的期望值 ) = ( 擲一顆骰子的期望值 ) 擲一顆骰子的期望值 E = = 7 ( 元 ) 擲二顆骰子的期望值 E = E = 7 = ( 元 )

34 - 資料整理與圖表編制基礎型. 應用外語科 0 位學生英文月考成績如下, 今設定組距為 0, 且定最小資料的一組下限為 0, 上限為 0, 試完成下面問題 : () 請問全距為何? () 作次數分配表和以下累積次數分配表 () 作直方圖與次數分配曲線圖 () 作以下累積次數分配曲線圖答 ()6 () 略 () 略 () 略解 () 全距 = 最大值最小值 = 95 = 6 () 成績 ( 分 ) 0~0 0~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~00 畫記次數以下累積次數 () 直方圖次數分配曲線圖 () 以下累積次數分配曲線圖. 某班 0 位學生所喜好的球類運動如下表, 試畫出 () 長條圖 () 圓面積圖

35 類別籃球桌球排球其他人數 6 8 答 () 略 () 略解 () 長條圖 () 圓面積圖. 下圖為某班 50 人的一次數學測驗, 其以上累積次數分配曲線圖如下圖所示, 試問 : () 以 70 分為標準, 則不到 70 分者有幾人? () 成績在 60 分 ~70 分之間者有幾人? 答 () 人 () 人解 () 由以上累積次數分配曲線圖可知 70 分以上有 7 人故 70 分以下有 50 7 = 人 () 由圖形可知 70 分以上 7 人,60 分以上 0 人故介於 60 分 ~70 分之間者有人研究型. 某班數學月考成績以上累積次數分配表如下表, 求 x y z 各為何? 成績 ( 分 ) 50~60 60~70 70~80 80~90 總計次數 ( 人 ) 8 y 7 50 以上累積次數 ( 人 ) 50 x 8 z 答 x = 6 y = z = 7 解依題意 90 分以上有 0 人

36 50 = x x = 6 x 8 = 8 得 y = 8 y = z 7 z z 7= 0 = 5. 若僅知某班 0 人體重的次數分配如下表, 請問全距是為何重量 ( 公斤 ) 0~5 5~50 50~55 55~60 60~65 65~70 70~75 次數 ( 人 ) KEY 以最大一組的上限為 L, 最小一組的下限為 H, 則全距 R= L H 答 5 公斤解最大一組上限 L = 75, 最小一組下限 H = 0 全距 R= L H = 75 0 = 5 ( 公斤 )

37 -5 算術平均數中位數與百分等級基礎型. 請問數值 67,58,5,5,6,,58,5,69,6,57,5,87,0,90, 之 () 全距 () 算術平均數 () 中位數 () 眾數答 ()57 () 59. ()58 ()5 解先將數值由小到大排列, 得,0,5,5,5,5,57,58,58,6,6,67,69,87,90 () 全距 = 最大值最小值 = 90 = 57 () 算術平均數 x = = = () 共 5 個數, 中位數為第 8 個, 故 M e = 58 ()5 出現最多次, 故眾數為 5. 下表為某公司 00 位員工每日薪資的分配 : 每日薪資 ( 佰元 ) 5~7 7~9 9~ ~ ~9 總計人數請問這 00 位員工每日薪資的算術平均數答 970 元解每組每日薪資皆取該組的組中點故算術平均數 x = = 970 ( 元 ) 00. 甲班 50 位同學某次考試成績的算術平均數為 68 分, 但事後經教師檢視, 發現 A 君同學成績 60 分, 但卻以 78 分誤登, 請問甲班成績真正的算術平均數為何? 答 67.6 分解修正前 50 人總分為 = 00 ( 分 ) 修正後 50 人總分為 = 8 ( 分 ) 8 故修正後算術平均數 = = 67.6( 分 ) 50. 某班 0 位同學, 第一次月考數學成績經計算全距為 70, 算術平均數為 7.8, 中位數為 7 假設第二次月考數學成績每一個人都進步 5 分, 請問第二次月考數學成績的 () 全距 () 算術平均數 () 中位數答 () 70 分 () 78.8 分 () 77 分解 () 每個人成績皆進步 5 分, 故最高分和最低分間差仍不變, 仍為 70 分 () 算術平均數受平移影響, 故為 = 78.8 ( 分 ) () 中位數受平移影響, 故為 = 77 ( 分 ) 5. 教師要 6 位同常分別測量講桌寬度,6 位同學測量結果如下 : () 請問 6 位同學測量 90 公分,90 公分,88 公分,89 公分,5 公分,90 公分講桌寬度的算術平

38 均數, 中位數, 眾數分別是為何? () 應該以算術平均數, 中位數, 眾數, 何考當成講桌的寬度最合理答 ()80. 公分,89.5 公分,90 公分 () 眾數解將數據由小到大排列, 得 5,88,89,90,90, () 算術平均數為 = 中位數為 = 89.5, 眾數為 90 () 眾數為多數人的意見, 應以眾數當成講桌的寬度最合理 6. 永樂高商某次考試有 700 人參加, 請問 : () 甲考生百分等級為, 甲生可能的名次為何? () 乙考生名次為 0, 乙生的百分等級為何? 答 ()86 名 ~5 名 ( 含 86 名 5 名 ) () 解因 N = 700, 則每個等級有 7 00 = ( 人 ) () 甲的成績 PR =, 所以甲的成績高於 700 = 88 ( 人 ) 00 則 = 5名為 PR = 中最後一名考生的名次, = 86 名為 PR = 中第一名考生的名次, 故甲的可能名次為 86 名 ~5 名 ( 含 86 名 5 名 ) N A () ( ) 00 = N 700 故乙生成績 PR = 87 研究型 7. 擲一顆骰子 0 次, 觀察骰子出現的點數, 如表格所示, 請問 () 眾數 () 算術平均數 () 中位數骰子點數 5 6 次數 6 5 KEY 求中位數須先求以下累積次數答 () ().8 ().5 解 () 點數出現 6 次, 出現次數最多, 故眾數為點 () 算術平均數為 =.8 ( 點 ) 0 () 須作以下累積次數分配表, 重新製表如下 : 骰子點數 5 6 次數 6 5 以下累積次數可知第 0 次出現點, 第次出現點, 中位數為 = 5. ( 點 ) 8. 某班 0 人體重之以下累積次數分配曲線圖如右, 請問 :

39 ()60 公斤 ~80 公斤有幾人? () 算術平均數是為何? () 中位數為何?( 四捨五入至小數點後第一位 ) KEY 須由圖形製作表格, 再將每一組距的人數求出, 計算中位數與算術平均數答 () () 6.5 () 6. 解重新製作表格如下 : 體重 0~50 50~60 60~70 70~80 80~90 合計次數以下累積次數組中點 ()60 公斤 ~80 公斤有 8 + = 人 () 算術平均數為 = 6. 5( 公斤 ) 0 0 () 分組資料的中位數取第 n = = 0 位的體重今 60 公斤以下有 6 位,70 公斤以下有位, 設中位數為 M, 利用內插法 e M e = M e 6. ( 公斤 )

40 -6 四分位差與標準差基礎型. 今有個數,,,5,7,0,8,9,6,6,,,5, 請問全距中位數和四分位差答 ()5 ()9 ().5 解將個數由小到大排列, 得 0,,,5,5,7,,,6,8,9,6 () 全距 = ( 最大值 ) ( 最小值 ) = 6 0 = () 中位數 Me = Q = = () 前半部分的中位數 Q = = 後半部分的中位數 Q = = 7 四分位距 = Q Q = 7.5 =.5. 請問,,,,, 5, 8, 9, 9, 這 9 個數的標準差答解算術平均數 x = = 5 9 標準差 S = ( 5) + ( 5) + ( 5) + ( 5) + ( 5) + (5 5) + (8 5) + (9 5) + (9 5) 9 68 = =.9 8. 某次測驗結果班平均為 50 分, 標凖差為 0 分, 全班最高分者為 78 分, 最低分者為 8 分, 教師不滿意成績, 將每位同學成績皆乘. 倍後又加分, 請問成績調整後, 班平均標凖差和全距各變成為何? 答 6 分, 分,7 分解 () 算術平均數受放大和平移的影響, 故班平均為 = 6 ( 分 ) () 標準差受放大影響, 但不受平移的影響, 故標準差為 0. = ( 分 ) () 全距受放大影響, 但不受平移的影響, 故全距 = (78 8). = 7 ( 分 ). 一組資料有 5 個數, 其算術平均數 x = 7, 標凖差 S x = 0, 求這 5 個數? 答 7, 7, 7, 7, 7 解由於標準差為 0, 表示資料分散程度為 0, 故這 5 筆資料為 7, 7, 7, 7, 7 5. 整體數據內某一小部分的數值特別大或特別小, 這些數值稱之為極端值下列那些統計量容易受極端值的影響?( 複選 ) (A) 全距 (B) 中位數 (C) 四分位差 (D) 變異數 (E) 標凖差 (F) 算術平均數

41 答 (A)(D)(E) 解全距標準差算術平均數易受極端值的影響中位數和四分位距則不易受極端值的影響故選 (A)(D)(E) 6. 某班 0 人, 假設每個人第二次月考成績都比第一次月考進步 0 分, 則關於二次月考成績的統計量下列敘述何者正確?( 複選 ) (A) 全距相等 (B) 算術平均數相等 (C) 中位數相等 (D) 四分位差相等 (E) 標凖差相等答 (A)(D)(E) 解全距四分位距標準差不受資料平移的影響算術平均數和中位數會受資料平移的影響故選 (A)(D)(E) 研究型 7. 請問下列各組數値資料的標準差何者最大? (A) 0, 0, 50, 60, 70 (B)80, 90, 00, 0, 0 (C) 0, 0, 50, 60, 60 (D) 0, 0, 50, 70, 70 KEY 每筆資料和算術平均數間的距離越大, 表示資料越分散, 標準差越大答解每筆資料和算術平均數間的距離越大, 表示資料越分散, 標準差越大 (A) 選項中算術平均術 x = 50, 每筆資料和算術平均數間的距離分別為 0, 0, 0, 0, 0 (B) 選項中 x = 00, 距離為 0, 0, 0, 0, 0, (C) 選項中 x = 50, 距離為 0, 0, 0, 0, 0, (D) 選項中 x = 50, 距離為 0, 0, 0, 0, 0, 故選 (D) 8. 甲乙丙丁四個班第二次期中考英文成績的算術平均數和標準差如表格所示, 請問那一個班同學的英文程度較整齊? (A) 甲班 (B) 乙班 (C) 丙班 (D) 丁班甲乙丙丁算術平均數標準差答 KEY 變異係數 ( ) 00 S CV =, 其中 x 為算術平均數,S 為標準差 x 變異係數越大, 表示資料間的變異越大 ; 否則越小解變異係數 (CV)= S x 00, 其中 x 為算術平均數,S 為標準差變異係數越大, 表示資料間的變異越大 ; 否則越小甲乙丙丁算術平均數 x

42 標準差 S S 00 x 9 0 乙班的變異係數為 9 最小, 故乙班程度較整齊 9. 某組數值資料 x, x, x,, x0, 其算術平均數為 0, 標準差為 8, 若數值資料 0 x,0 x,0 x,,0 x0 的算術平均數為 a, 標準差為 b, 求 a =? KEY 放大 ( 縮小 ) 和平移皆會影響算術平均數 ; 但僅放大 ( 縮小 ) 會影響標準差, 若將每筆原始資料乘以 k 倍, 標準差會變成 k 倍答 50 解放大 ( 縮小 ) 和平移皆會影響算術平均數 ; 但僅放大 ( 縮小 ) 會影響標準差, 若將每筆原始資料乘以 k 倍, 標準差會變成 k 倍今依題意將原始資料乘 (-) 倍後再加 0, 故 a = ( ) = 50, b = 8=

43 -7 抽樣方法基礎型. 什麼是抽樣? 比較普查和抽樣的優缺點? 有幾種常見的抽樣方法? 答 () 從母群體中選一部分出來作調查, 此動作稱作抽樣 () 請參考詳解 () 簡單隨機抽樣系統抽樣分層隨機抽樣部落抽樣解 () 從母群體中選一部分出來作調查, 此動作稱作抽樣 () 普查的優點是可以得到正確且可靠的資料, 缺點是耗費龐大的時間人力金錢成本 ; 抽查的優點是省時省力省錢, 缺點是會有誤差 () 抽樣方法有簡單隨機抽樣系統抽樣分層隨機抽樣部落抽樣. 某高職欲調查該校學生抽煙比例, 於是請教官於校門口作問卷抽樣調查, 你認為這樣的抽樣方式如何? 若不好, 你建議如何抽樣調查? 答請參考詳解解 () 由於問卷最好以無記名方式所得結果才準確, 今於校門口作問卷, 學生不敢說實話 () 建議集合各班班長, 每位班長拿 5 張問卷回去作簡單隨機抽樣調查, 並以無記名方式將問卷收回. 以下關於抽樣的敘述, 何者正確?( 複選 ) (A) 簡單隨機抽樣適用於需要抽取大量的樣本 (B) 系統抽樣用於週期性母群體 (C) 一般而言, 簡單隨機抽樣優於部落抽樣 (D) 分層隨機抽樣使層內個體間的性質差異越大越好 (E) 部落抽樣各部落間的差異越小越好 (F) 分層隨機抽樣應儘量使各層間的性質差異越大越好答 (C)(E)(F) 解 (A) 若須抽取大量樣本最好使用系統抽樣 (B) 系統抽樣不適用於週期性母群體 (D) 分層隨機抽樣使層內個體間的差異越小越好故選 (C)(E)(F). 試寫出分層抽樣和部落抽樣的區別? 答請參考詳解解 () 分層抽樣 : 不同層間的差異越大越好, 而同一層間的每個基本單位間的差異則越小越好 () 部落抽樣 : 各部落間的差異越小越好, 每個部落可視為母群體的縮影研究型 5. 警察想估計過年期間駕駛人酒醉駕車的比例, 則每通過 0 輛車臨檢一輛, 試問此為何種抽樣方

44 法? 答系統抽樣解依固定間隔抽樣的方法為系統抽樣 6. 某校對高二學生實施數學能力評量測驗, 規定每班派號 5 號 0 號至會議室集合並舉行測驗, 試問此為何種抽樣方法? 答系統抽樣解依固定間隔抽樣的方法為系統抽樣 7. 同上題, 若學校規定年 6 班全體同學至會議室集合並舉行測驗, 試問此為何種抽樣方法? 答部落抽樣解年 6 班可視為一個部落, 為高二全體學生的縮影, 故為部落抽樣

45 -8 信賴區間與信心水準. 某校高二學生有 800 人, 某次考試成績程常態分布, 平均成績 7 分, 標凖差為 6 分, 試估算 : () 成績不及格者有幾人? () 某位學生考 78 分, 他大約排第幾名? () 成績在 60~78 分者約有幾位? 答 ()0 人 ()8 名 ()65 人解 () 低於 60 分的人佔 0.5% +.5% =.5%, 即 800.5% = 0 人 () 大於 78 分的人佔 0.5%.5%.5% % % = 6% 即 800 6% = 8, 故該生約排 8 名 () 成績 60 分 ~78 分的人佔.5% + % + % = 8.5% 即 % = 65 ( 人 ). 筒一速食麵上的包裝上標示著重量為 00 公克 ±.5%, 假設每包速食麵的重量呈常態分布, 則丁丁買包速食麵, 試問重量超過 8 公克的機率為何? 又重量不足 9 公克的機率為何? KEY 算術平均數為 00( 公克 ), 標準差為 00.5% = 9 ( 公克 ) 答 0 ; 5 解包裝上標示著重量為 00 公克 ±.5%, 意即算術平均數 x = 00, 標準差 S = 00.5% = 9, 依的規則.5 大於 8 和小於 8 者佔全體的 5%, 故大於 8 者佔全體的 = 00 0 又 9~09 佔全體的 68%,9~00 佔全體的 % 故 9 以下佔全體的 50% - % = 6% = 5. 請寫出 95% 信賴區間的意義答請參考詳解解 95% 的信賴區間是指一個經抽樣調查並計算後的區間, 該區間把母體參數中包含在內的機率是下列敘述何者正確?( 複選 )

46 (A) 相同的信賴區間長度之下, 信心水準越大越準確 (B) 相同的信心水準之下, 信賴區間長度越大越準確 (C) 相同的信賴區間長度之下, 若縮小抽樣樣本數, 則信心水準提高 (D) 相同的信心水準之下, 若加大抽樣樣本數, 則信賴區間長度縮小 (E) 相同的信賴區間長度之下, 若加大抽樣樣本數, 則信心水準提高, 估計的準確度增加答 (A)(D)(E) 解 (B) 相同的信心水準之下, 信賴區間長度越小準確 (C) 相同的信賴區間長度之下, 若縮小抽樣樣本數, 則信心水準降低 5. 東東食品公司以問卷調查民眾對新推出的食品鮮蝦雲吞的喜愛程度, 回收有效問卷 000 張, 其中表示喜愛的問卷有 800 張, 今該公司希望能增加調查的準確度, 請問公司應該進行何種動作?( 複選 ) (A) 加大抽樣樣本數 (B) 減少抽樣樣本數 (C) 增加信心水準 (D) 降低信心水準 (E) 增加抽樣誤差 (F) 減少抽樣誤差 (G) 加大信賴區間長度 (H) 縮小信賴區間長度答 (A)(C)(F)(H) 解加大抽樣樣本數增加信心水準減少抽樣誤差縮小信賴區間長度等皆能增加民調的準確度, 故選 (A)(C)(F)(H)

47 第二章自我評量 ( ). 設 { } ( ) { } A=,,,, B= xy, x< yxy,, A, 試問 B 中有幾個元素? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 答 (B) 解因 A = {,,,} B= {( xy, ) x< y, 且 xy, A} = {(, ),(, ),(, ),(,),(,),(, )} 故 nb ( ) = 6 ( ). 設 A = {,, }, 則下列敘述何者正確? (A) A (B){ } A (C) A (D) A 集合共有 6 個子集答 (C) 解 (A) A;(B) 為 {} A ;(D) A 集合的子集合有 = 8個故選 (C) ( ). 由到 00 的自然數 ( 含 00 兩數 ) 中, 既不是的倍數, 也不是 6 的倍數的數有幾個? (A) (B) (C)59 (D)67 答 (D) 解設到 00 中的倍數所成的集合為 A 到 00 中 6 的倍數所成的集合為 B 則 na ( ) = [ ] = 5, nb ( ) = [ ] = 6, na ( B) = [ ] = 8 6 故 na ( B ) = n[( A B)] = nu ( ) na ( B) = nu ( ) [ na ( ) + nb ( ) na ( B)] = 00 ( ) = 67 ( ). 設 A, B 為兩事件, 且 A, B 分別為 A, B 的餘事件, 又 P( A) P( B) P( A B) 則 P( A B) + P( A B ) 之值為何? (A)0. (B)0.5 (C)0.6 (D)0.7 答 (C) 解因 PA ( ) = 0., PB ( ) = 0., PA ( B) = 0., 則 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = = 0.5 則 PA ( B ) = PA ( B) = PA ( ) PA ( B) = = 0. 故 PA ( B) + PA ( B ) = = 0.6 = 0., = 0., = 0., ( )5. 從 5 對夫婦中任意挑選人, 請問此人恰為對夫婦的機率為何? 5 (A) (B) 50 (C) 5 (D) 答 (C)

48 解樣本空間元素個數 ns ( ) = C 設人恰為對夫婦的事件為 A 即從 5 對中挑出對, 在第對的人中挑人則 na ( ) = CCC na ( ) CCC 5 故 PA ( ) = 0 ns ( ) = C = = 05 ( )6. 若生男生女之機率相同, 則詹媽媽的四個小孩中, 請問老大為男生且老四為男生的機率為答 (C) 何? (A) 8 (B) 6 (C) 解依題意, 機率為 = (D) ( )7. 若生男生女之機率相同, 則詹媽媽的四個小孩中, 在已知老大為男生的條件下, 請問老四答 (D) 為男生的機率為何? (A) 8 (B) 6 (C) 解設老大為男生的事件為 A, 老四為男生的事件為 B 因 A B 不會互相影響, 則 A B 為獨立事件則 PBA ( ) = PB ( ) = = (D) ( )8. 設甲乙丙三人賽跑, 已知甲得冠軍的機率是乙得冠軍的倍, 乙得冠軍的機率是丙得冠軍的倍, 則甲得冠軍的機率為何? (A) (B) 9 (C) (D) 答 (A) 解設丙得冠軍機率為 x, 則乙得冠軍機率 x, 甲得冠軍機率 6x, 6 則 6x+ x+ x=, 得 x =, 故甲得冠軍機率 = 9 9 ( )9. 擲二個公正的骰子一次, 試問點數和小於的機率為何? (A) 6 (B) 6 (C) 0 6 (D) 6 答 (D) 解樣本空間元素個數 ns ( ) = 6 6 = 6, 設點數和小於的事件為 A 則點數和大於等於的事件為 A, 即 A = {(6,5),(5,6),(6,6)} 故 PA ( ) = PA ( ) = = 6 6

49 = = =, 則 P( B A )=? ( )0. 設 A,B 為二事件, P( A), P( B), P( A B) (A) 8 (B) (C) 5 8 (D) 答 (C) 解因 PA ( ) =, PB ( ) =, PA ( B) = PB ( A ) P[( B A) ] PA ( B) 故 PB ( A ) = = = PA ( ) PA ( ) PA ( ) [ PA ( ) + PB ( ) PA ( B)] = PA ( ) ( + ) 5 = = 8 ( ). 甲乙兩人把靶, 甲射中靶面的機率, 乙射中靶面的機率, 設甲乙兩人打靶為獨立事件, 在乙射中靶面的條件下, 請問甲射中靶面的機率為何? (A) (B) (C) (D) 答 (B) 解設甲射中靶面的事件為 A, 即 PA= ( ) 乙射中靶面的事件為 B, 即 PB ( ) = 又 AB, 為獨立事件, 故 PAB ( ) = PA ( ) = ( ). 袋中有 0 元硬幣枚,5 元硬幣枚, 今任取枚, 請問可得金額的期望值為何? (A)5 元 (B)0 元 (C) 元 (D)5 元答 (C) 總金額解取一個硬幣的期望值為 = = 7 ( 元 ) 總硬幣數 + 故取個硬幣的期望值為 7 = ( 元 ) ( ). 阿布丁丁人解數學試題, 阿布答對機率, 丁丁答對機率, 在互不影響的情況下, 今二人同解一題, 請問至少有人答對的機率為何? (A) (B) (C) 5 (D) 答 (C) 解設阿布答對數學試題的事件為 A, 即 PA= ( )

50 丁丁答對數學試題的事件為 B, 即 PB ( ) = 故 P( 至少有一人答對 ) = P( 二人皆答錯 ) = PA ( B ) 5 = PA ( ) PB ( ) = = 6 ( ). 阿福到廟中擲筊, 欲擲出聖盃 ( 一平一凸 ) 的機率達 90% 以上, 若阿福至少擲出聖筊一次, 請問阿福須連擲幾次? (A) 次 (B)5 次 (C)8 次 (D)0 次答 (A) 解設阿福須連擲 n 次 90 則 Pn ( 次皆擲不出聖筊 ) > 00 n 90 n 0 n n ( ) > ( ) < ( ) < > 故 n, 故選 (A) ( )5. 甲擲二枚均勻硬幣一次, 若出現二個正面可得 0 元, 出現一正一反面須賠 5 元, 若擲出二個反面可得 0 元, 試問甲獲利的期望值為何? (A) 正數 (B) 負數 (C) 零 (D) 以上皆是答 (C) 解 E = 0 + ( 5) + 0 = 0( 元 ) ( )6. 某工廠專門生產鐵釘, 如果我們要抽查鐵釘的不良率, 基於經濟原則, 該用哪一種抽樣方式較適合呢? (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層隨機抽樣 (D) 部落抽樣答 (A) 解我們要抽查鐵釘的良率, 基於經濟原則, 應使用簡單隨機抽樣 ( )7. 想瞭解班上位同學每週運動的時數, 今班上同學座位有 7 行, 每行 6 人, 今隨機抽取一行, 在對這一行的全體同學進行調查, 這樣的抽樣方式為何? (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層隨機抽樣 (D) 部落抽樣答 (D) 解班上的座位每一行相當於一個部落, 故此抽樣方法為部落抽樣 ( )8. 若 x x x... xn, 且 n 為奇數, 請問中位數為哪一個? (A) x n x n x + (B) + (C) n xn + x n + (D) 答 (C) 解從到 n 共 n 個奇數, 中間的數為 n +, 故中位數 x x + ( )9. 設一組資料為, 5, 7, 8, 9,,, 5, 8, 請問四分位差為何? (A)6 (B)7 (C)8 (D)9

51 答 (C) 解,5,7,8,9,,,5, 前半部分的中位數 Q = = 後半部份的中位數 Q = = 故四分位距 = Q Q = 6 = 8 ( )0. 設一組資料為 7,,, 5,, 8, 5, 8, 9, 請問全距為何? (A)8 (B) (C)6 (D)8 答 (C) 解將資料由小到大排列得, 5, 7, 8, 9,,, 5, 8 全距 = ( 最大值 ) ( 最小值 ) = 8 = 6 ( ). 若 00 人的考試成績如下表, 請問算術平均數為何? 分數 0~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~00 總計人數 (A)7. (B)7.8 (C)7. (D)7.8 答 (A) 解算術平均數 = = ( ). 下列何者為描述資料集中情形的統計量? (A) 全距 (B) 中位數 (C) 標準差 (D) 四分位距答 (B) 解中位數為描述資料集中情形的統計量 ( ). 整體數據某一小節部分值特別大或特別小, 這些數值稱值為極端值, 下列哪些統計量不易受極端值影響呢? (A) 全距 (B) 標準差 (C) 四分位距 (D) 變異數答 (C) 解四分位距為描述資料中間 50% 部分的差距, 不易受極端值影響 ( ). 若抽樣數據, 5, 8,, 7, 7 的標準差為 (A)9 (B)9 (C)96 (D)97 答 (A) 解算術平均數 x = = 0, 6 ( 8) + ( 5) + ( ) + () + (7) + (7) 標準差 S = 6 故 a = 9 = a, 則 a =? ( )5. 已知有個數其算術平均數為 7, 今扣除一數後, 請問剩下 0 個數的算術平均數為何?

52 答 (D) (A)7 (B)7 解個數的總和為 7 = 5 (C)07 (D)9 5 0 個數的算術平均數為 = 75 0 ( )6. 某班共 50 人, 身高 50cn~60cm 有 5 人 60cm~70cm 有 0 人身高 70cm 以上有 5 人, 今欲分三層共抽出 5 人測量身高, 請問 60cm~70cm 層應該抽幾人? (A) (B)5 (C)6 (D)7 人答 (B) 解依各層的人數比例抽出樣本, 今比例為 5: 0 :5 = : : 故 60 公分 ~70 公分層應抽 5 ( ) = 6( 人 ) + + ( )7. 設有 0 位學生的成績均相異, 其第四分位數為 60 分, 第四分位數 75 分, 請問這 0 位學生成績及格 (60 分 ) 者有幾位? (A)0 (B)0 (C)0 (D)5 答 (C) 5 解第四分位數相當於後 5% 同學成績的分界, 則 0 = 0 00 且低於 60 分的有 0 人, 故及格的有 0 人 ( )8. 某校高三模擬考共 900 人參加, 已知小寶的百分等級為 7, 請問小寶可能的名次為何? (A) (B) (C) (D)5 答 (C) 900 解每個百分等級有 9 00 = 人, 該生成績高於 900 7% = 657 人小寶成績贏過 7% 的人, 輸給 6% 的人故輸給 900 6% = 人, 可能名次從 5 開始又 900 7% =, 所以該生名次為 5 名 ~ 名故選 (C) ( )9. 承上題, 若小傑的排名為 650 名, 請問小傑的百分等級為何? (A)6 (B) 7 (C)7 (D)7 答 (B) N A 解 ( ) 00 = ( ) 00 = 7.7, 故百分等級為 7 N 900 ( )0. 有一組等差數列資料,,,, 88, 89, 試求該組資料的中位數為何? (A)50 (B) 50.5 (C)5 (D)5 答 (B) 解,,,,50, 5,5,,89

53 將資料分成相等數量的兩部分, 故中位數為 = 50.5 ( ). 承上題, 請問該組資料的四分位距為何? (A)8 (B)9 (C)0 (D) 答 (B) 解 (),,, 0,,,,,50 資料的前半部分可圖示如上, 故 Q =, () 5,5, 69,70, 7,7,,89 資料的後半部分可圖示如上, 則 Q = 70 故四分位距 = Q Q = 70 = 9 ( ). 對於區間估計的準確度而言, 下列敘述何者錯誤? (A) 信賴區間長度越大越準確 (B) 信心水準越高越準確 (C) 抽樣樣本數越大越準確 (D) 信心水準不可能到達 00% 答 (A) 解 (A) 信賴區間長度代表誤差的大小, 故區間長度越小越準確 (B)(C)(D) 皆正確, 故選 (A)

但洋糖最终乘船溯江而上, 再加上民国初年至抗战前夕二十余年间, 四川接连不断遭受水灾旱灾地震, 平均每月爆发两次军阀混战, 乡村遭受极大破坏,( 赵泉民,2007) 农村经济

但洋糖最终乘船溯江而上, 再加上民国初年至抗战前夕二十余年间, 四川接连不断遭受水灾旱灾地震, 平均每月爆发两次军阀混战, 乡村遭受极大破坏,( 赵泉民,2007) 农村经济原载黄宗智主编 : 中国乡村研究 ( 第八辑 ), 福州 : 福建教育出版社 2010 年 4 月第一版, 第 196-241 页北京联合大学李安平抗战时期四川内江农贷个案研究摘要 : 抗日战争时期四川内江蔗农在承受高利贷盘剥的严酷境遇中, 利用中国

列 出 所 有 的 非 負 整 數 解, 係 數 越 大 者 越 先 決 定, 故 先 決 定 z, 再 決 定 y, 最 後 決 定 x, 故 有 = 8 ( 種 ) x y z

列出所有的非負整數解, 係數越大者越先決定, 故先決定 z, 再決定 y, 最後決定 x, 故有 = 8 ( 種 ) x y z