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1 編輯大意 前言依據教育部 97 年 月頒佈 99 普通高級中學必修科目數學課程綱要 所編輯的 必修數學 I, 其主旨為高中數學教育最低標準, 本校為配合同學程度與因應未來大學聯考可能的命題趨勢經由數學科教學研究會決議編寫本輔導教材, 其內容涵蓋 基礎數學 演習 與 統合 本輔導教材的精神是去蕪存精, 力求連貫, 期能完合配合教科書, 但請 學生 仍以教科書為主, 本輔導教材為輔, 兩者相輔相成, 以求達到數學科理想的教學目標 編寫原則依據現行教科書的章節, 依序作適當的增減 ( 甲 ) 增加部份 : 教科書中, 正文與習題不能銜接者, 加編若干教材, 俾能連貫順暢 例題不足部份, 加編例題, 或抽調課本習題為例題 重新編寫習題 ( 乙 ) 刪減部份 : 教科書中, 太繁雜 瑣碎部份予以簡化 更換部份不適當的例題與一再重複的例題 編寫方法與格式採用小單元分段練習簿式編寫, 每單元均依 重點整理 例題 類題 綜合練習 之流程的格式編寫 重點整理部份是提供學生預習 複習參考用, 例題由教師講解, 類題可作為隨堂練習或習題用, 綜合練習是初學者必須演練的部份, 同學們可以當作習題演練 結語本輔導教材雖然分冊編寫, 但具有連貫性與完整性, 適合進度教學, 亦適合升學複習, 由於編寫理想與實際教學有必然的差異, 故每學期結束後召開教學研究會, 檢討缺失, 作為修正版的參考 本輔導教材對全國高級中學開放, 竭誠歡迎全國高級中學數學科教師不吝指正

2 鳳山高級中學高中數學第一冊 目次頁數第一章 : 數列與級數 - 數列 - 級數 第二章 : 排列與組合 - 邏輯 集合與計數原理 8 - 排列 9 - 組合 - 二項式定理 6 第三章 : 機率 - 樣本空間與事件 7 - 機率的定義與性質 76 - 條件機率與貝氏定理 8 第四章 : 數據分析 - 一維數據分析 0 - 二維數據分析 9

3 - 數列甲 等差數列與等比數列 第一章數列與級數 第一章數列與級數 數列 : 將一序列的數依照順序列出來, 就形成一個數列 這個數列中的每一個數稱為 項 ; 第一個數稱為第一項或首項, 第二個數稱為第二項, 第 k 個數稱為第 k 項 項數有限個的數列叫做有限數列 ; 有無窮多個項的數列叫做無窮數列 註 : 有限數列的最後一項稱為末項 ; 無窮數列沒有末項 我們常以 a 來表示數列的第 項稱為一般項, 而用 <a > 來表示第 項為 a 的數 列. 等差數列 ( 算術數列 ): 在數列 <a > 中, 若 a a = a a = = a a = = d, 則稱 <a > 為等差 數列, 以 A.P 表之,a 稱為首項,d 稱為公差 當 a = a, 公差為 d 時, 則數列 <a > 為 a,a + d,a + d,a + d,,a + ( )d, 設 <a > 成 A.P, 首項為 a, 公差為 d, 則 a = a + ( )d a = a m + ( m)d,( 或 d = a a m m, m) 若 a,b,c 成 A.P, 則稱 b 為 a 和 c 的等差中項且 b =. 等比數列 ( 幾何數列 ): 在數列 <a > 中, 若 a a a a... a a c = = r, 則稱 <a > 為等比數列, a a a 以 G.P 表之,a 稱為首項,r 稱為公比 當 a = a, 公比為 r 時, 則數列 <a > 為 a, ar, ar, ar,, ar, 設 <a > 成 G.P, 首項為 a, 公比為 r, 則 a = a r a = a m r m,( 或 r m = a ) a m 若 a, b, c 成 G..P, 則稱 b 為 a 和 c 的等比中項, 也稱為幾何中項, 且 b = ac. 其他數列 : 調和數列 : 數列 <a >, 若滿足 a a = d,( 即 成 A.P), 則稱 <a > 為調和數列以 a H.P 表之 註 : 設 a, b, c 成 H.P, 則稱 b 為 a 和 c 的調和中項, 且 b = ac a c 階差數列 : 在數列 <a > 中, 若 a a, a a,, a a 成等差, 則稱 <a > 為一種階差數列 費氏數列 :<,,,,, 8 > 乁重點整理乁

4 鳳中數學講義 例. 設 <a > 為一等差數列, 已知它的第 項 a = 88, 第 8 項 a 8 = 79, 求 () 此級數的第 項 () 使 a 為負的最小自然數 答 :()a = 0 () = 類題 :. 已知一等差數列共有十項, 且知其奇數項之和為, 偶數項之和為 0, 則下列哪一選項為此數列之公差?() () () () () 9. 學測. 在 - 與 之間插入 60 項, 使其成一等差數列, 求此數列的第 項為? 答 :.().0 例. 若三數成等差, 其和為 9, 設各數依序加上, 則三數成等比, 求原三數? 答 :7,, 或,, 類題 :. 設 x,y 均為正數, 且 x 為 6 與 y 之等差中項,y 為 x 與 6 之等比中項, 求 x,y a. 若 a,b,c 三數成等比數列 ;a,x,b,y,c 成等差數列, 試求 x + c y =. 有一四個數, 前三數成等差, 後三數成等比 ; 又第一數與第四數的和 6, 第二數與第三數和, 則此四數 答 :.x = 9,y =.. 0,,8,6 或,9,,

5 例. 設在等比數列中 <a >,a =,a =,a + = a + + a,, 第一章數列與級數 則 <a > 的公比為 答 : 類題 :. 設 a,b 均為正數, 若,a+bi,b+ai 成等比數列, 則序對 ( a,b )=?. 假設實數 a, a, a, a 是一個等差數列, 且滿足 0 a 及 a 若定 義 b a, 則以下哪些選項是對的? (),,, b b b b b 是一個等比數列 () b () b () b () bb 6 9. 學測 答 :. (, ).()()()()() 例. 依下列各數列 <a > 之規律, 求其一般項? (),8,,,7, a As:() a = + (),8,6,,6, a As:() a = + (), 7, 8, 6, a As:() a = ( ) 例. 用火柴棒排成三角形, 如附圖所示 : () 欲排成第 0 個三角形, 需要 根火柴棒 () 若有 00 根火柴棒, 則最多可以排 個三角形 答 :,9

6 鳳中數學講義 類題 : 一個邊長為 的大正方形中, 共有 個單位正方形 如果每一個單位正方形的邊都恰有一根火柴棒, 而此大正方形共用了 a 根火柴棒, 那麼 a + a = 答 : + 例 6. 將數列 < - > 按照 第 組有 個數 的規則, 分組如下 :( ),(, 9 ),( 7, 8, ), 則第 0 組中的第三個數是多少? 答 : 7 類題 :. 將自然數按下列規律排列, 每一列比前一列多一個數, 如下表所示 : 第 列 第 列, 第 列,,6 第 列 7,8,9,0 第 列,,,, 試問第 00 列第 個數是 89 甄試. 用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架, 圖中的小圈圈 表示焊接點, 圖 E_ 有兩層共 個焊接點, 圖 E~ 有三層共 0 個焊接點, 圖 E~ 有四層共 0 個焊接點 試問依此規律, 推算圖 E~ 有六層共多少焊接點? 個 9 指考 圖 E~ 圖 E~ 圖 E~. 數列,,,,,,,,,,, 依此規則, 則是第幾項? 7 答 : 個.7

7 乙 遞迴定義式 乁重點整理乁 第一章數列與級數. 意義 : 給定數列 <a > 的首項 a, 又給定 a 與 a 的遞迴關係, 及即將 a 以 a 表示, 則可明確定義數列 <a > 具有遞迴關係式的數列稱為遞迴數列. a =ra + d 型 : () r = 時, 數列 <a > 是以 d 為公差的等差數列 () d = 0 時, 數列 <a > 是以 r 為公比的等比數列 d () r d 0 時, 數列 < a > 是以 r 為公比的等比數列 r. a = a + f () 型 : 由觀察歸納法或累加法 a a( a a) ( aa) ( a a ) 求得一般項 a a a. a =f () a 型 : 由觀察歸納法或累積法 a a 求得一般項 a a a 例. 設有一數列 <a >,a =,a + = a +,, 則 a 為 a 為 答 :, 類題 :. 設有一數列 <a > 遞迴定義式為 :a =,a + = a +,, 求一般項 a. 設有一數列 <a > 遞迴定義式為 :a =,a + = a + 8,, 求一般項 a 答 :..

8 6 鳳中數學講義 例. 設有一數列 <a >,a =,a = a + ( + ),, 則 a 0 為 a 為 答 :8,a = + 類題 : 若將平面上 條相異直線, 劃分出的最多區域數記為 a, 回答下列問題 : () 求出 a, a, a, a () 列出 a 與 a + 的關係式 答 :.,, 7,. a + = a + ( + ) 例. 設有一數列 <a >,a =,a = a,, 求一般項 a 答 : =! 類題 : 設有一數列 <a >,a =,a + = 答 : ( )! a,, 求一般項 a

9 綜合練習 第一章數列與級數 7. 求下列各數列之一般項 a, 使其前四項滿足所予各數 : (),,,, (),6,8,, (),, 8,, 設 a, b, c, d 四正數成 G.P, 若 a + b = 8,c + d = 7, 則公比是 (A) (B) (C) (D)6 (E) 以上皆非. 已知 a, a, a 為一等差數列, 而 b, b, b 為一等比數列, 且此六數皆為實數 試問下列哪些選 項是正確的? () a a 與 a a 可能同時成立 () b b 與 b b 可能同時成立 () 若 a a 0, 則 a a 0 () 若 bb 0, 則 bb 0 () 若 b, b, b 皆為正整數且 b b, 則 b 整除 b 97 學測. 假設某鎮每年的人口數逐年成長, 且成一等比數列 已知此鎮十年前有 萬人, 現在有 0 萬人, 那麼二十年後此鎮應有萬人 ( 求到小數點後一位 ). 設 a ( ) ( ) ( ) ( 8 ), N, 下列各敘述何者正確? (A) a 為等差數列, 公差為 0 (B) a 為等差數列, 公差為 8 (C) a 為等比數列, 公比為 (D) a 為等比數列, 公比為 8 (E) a 既非等差亦非等比 a b 6. () 設 a, b, c, d 四數成等比, 且公比不為 或, 則 + c d a c b d =? () 一數列 a 若 a =,a =,N, a a a, 則 a =? 此數列有何特性? 7 7. 若數列 a 滿足 a =,a = 及 a + = a (-a )( N), 則 a 0 -a 00 = 數乙 8. 設 a, b, c 成等差數列 ( a b ), 則 a + b b a + b + c b c =? 9. 三整數成等比數列, 其和為 9, 若此三數之平方和為 89, 則此三數由小而大排列為 0. 平面上坐標皆為整數的點稱為格子點 我們將原點以外的格子點分層, 方法如下 : 若 (a, b) 是原點 (0, 0) 以外的格子點, 且 a 和 b 中最大值為, 則稱 (a, b) 是在第 層的格子點 ( 例如 (, -) 是在第 層 (8, -8) 是在第 8 層 ) 則在第 層的格子點個數為. 有 0 個數排成一排, 其中任意相鄰的三個數中, 中間的數等於它前後二數的和 若第 個數與第 個數都是, 則這 0 個數的和為. 設 f (x) = x, a 為一公差 之等差數列, 若 f ( a + a + a 6 + a 8 + a 0 ) =, 則 log f ( a ) f( a ) f( a ) f( a ) = 0

10 8 鳳中數學講義 ( ). 設 a, a,, a, 為一實數數列, 且對所有的正整數 滿足 a a 請問下列哪些選項是正確的? () 如果 a, 則 a () 如果 a 是整數, 則此數列的每一項都是整數 () 如果 a 是無理數, 則此數列的每一項都是無理數 () a a a ( 為正整數 ) () 如果 a k 是奇數, 則 ak, ak,, ak, 都是奇數 ( 為正整數 ) 99. 學測 答案.()(),(),()().(B). ()()...(B) 6. () (), 成等比數列 ,9, ()()()

11 丙 數學歸納法 第一章數列與級數 9. 數學歸納法在數學上是很常用的方法, 有很多性質都可以藉由它來加以證明, 它也可以用 來求某些級數的和, 其方法為先觀察所求級數的前幾個部分和, 得到一個規則, 然後依據 這個觀察的結果可以推測加到第 項的和 例 : 求下列二級數的和 ()... ( ) () 由觀察的結果去推測某些現象的性質, 有時候不一定可靠, 所以推測的結果, 還需要用 數 學歸納法 加以證明 例 討論下式是否成立 : ( ) = + 例 為一正整數, 試說明 + 不恆為質數. 利用 數學歸納法 證題的兩大步驟 : () 當 = 時檢驗原式成立 ( 檢驗部分 ) () 假設 = k 時原式成立, 由此推得 = k + 時原式也成立 ( 推廣部分 ) 則對於所有自然數, 原式恆成立 註 : 利用 數學歸納法 證明問題時, 兩個步驟缺一不可, 而且這二個步驟 必須連貫, 此即所謂 骨牌原理 如中 例 不成立是缺少檢驗部 分 ( = 不成立 ), 例 不恆真是缺少推廣部分 ( = 不成立, 即不 能由 = 0 原式成立推出 = 0 + 原式成立 ). 遞迴定義法 : 一個數列 a, 如果 乁重點整理乁 () 給定前 項 ( 如 a,a ) 的值 ( 稱為初始條件 ) () 一般項 a 可用前相鄰項 a -,a -, 表示 ( 稱為遞迴關係 ), 此數列就是遞迴數列 例. 利用數學歸納法證明, N: = 6 ( + )( + )

12 0 鳳中數學講義 類題 : 利用數學歸納法證明 : () ( + ) = ( + ) () ( + ) = ( + ) () N: ( + ) = ( )( ) 例. 證證 : 不論 是任何正整數,0 + + 都可被 9 整除 類題 : 試證明 : 不論 為任意正整數 ()0 + 6 都可被 整除 () 都可被 6 整除 ()( + ) 都可被 6 整除 例. 不論 為任意正整數,7 + + 為正整數 p 的倍數, 試找出最大的 p 值, 並用數學歸納法證明之 答 :6

13 類題 :. 試證 : 不論 是任何正整數, 8+ 的個位數字都是 6. 證 N, 求證 為一自然數 0. 求證任意三個連續自然數乘積必為 6 的倍數 第一章數列與級數 -a 例. 設數列 a 滿足 a =,a = - a - - ( ) () 請推測 a 之值 ( 以 表之 ) () 利用數學歸納法, 證明你的推測成立 例. 設數列 a 的遞迴定義式是 a =,a + =a +(+), N, 請將這數列的一般項以 的式子表示 答 : ( + () +) 6

14 鳳中數學講義 綜合練習. 試以數學歸納法證明下列各式 : ()N, ( ) = ( )( ) ()N, ( + ) = 6 ()N, ( + ) = ( + )( + ). 求 ( + ) 之和並以數學歸納法證明之. N, 試推測 之最大公因數是何數, 並用數學歸納法證明之. 試找出滿足 > 之自然數, 並證明之 ( 請以數學歸納法證之 ). 設 N,, 則 8 + 之個位數為 6. 設數列 a 的遞迴定義式是 a =,a + =a +, N, 請將這數列的一般項以 的式子表示 並請以數學歸納法證之 7. 觀察右列 與 的方程中的數字規律 : 如果在 0 0 的方格上, 仿右之規律填入數字 ( 由,,,0), 則所填入的 00 個數字之總和為 8. 邊長是 的正方形等分為田字形的四個單位格, 去除任一格, 所餘含有三格的圖形稱為虧格, 有一每邊 單位格的正方形棋盤圖, 如果其中恰缺空一格, 則吾人可用虧格不重覆亦不出格的將其蓋滿, 則 () = 時, 畫圖說明成立 () 用數學歸納法證明結論 答案. 略. ( )( ), 略. 的倍數., 略

15 - 級數 第一章數列與級數 甲 數列與級數的關係. 級數 : () 將數列 <a > 的各項依次以 + 號聯繫之, 如 a + a + + a + 稱為級數 有限級數 : 如果 <a > 為 項的有限數列時, 將各項相加起來的和 S 稱為級數的 和 即 a + a + a + + a = S 無窮級數 : 如果 <a > 是無窮數列, 則 a + a + + a + 的和不一定存在. 部分和 : 設 S = a + a + + a, 則 () a = S () a = S S,( ) 例. 一數列其前 項和為 S, 若 S = + +, 求 a 答 :a = 8( ) ( ) 類題 :. 已知 S, 求 a ()S = ()S = +. 設數列 <a > 前 項的和 a + a + + a = + ( ), 則此數列的第 項 a = 答 :.()a = + ( ) () a = ( ) ( ). a = ( )

16 鳳中數學講義 例. 數列 <a >, 若 a +a +a + +a =.( + ).( + ), 則 a 00 = 答 :0 類題 :. 數列 <a > 滿足 a +a +a + +a = ++, 則 a 0 =, 又 a = ( ) 答 :.,+

17 乙 等差級數 第一章數列與級數 乁重點整理乁. 等差級數 : 設 <a> 成 A.P, 首項為 a, 公差為 d, 級數和為 S, 則 () S = [a ( )d] () S = (a a ). 設 <a> 成 A.P, 級數和為 S, 則 S S S S S 亦成等差 例. 設一凸多邊形之諸內角成等差數列, 公差, 最小角為 0, 求邊數 答 :9 例. 設一等差數列 <a >, 若 a =9,a =-, 則 ak = 答 :0 0 k 類題 : 有一等差數列第 0 項是, 第 項是, 求 為何值時, 前 項之和為最大, 並求最大值 答 : = 7, 最大值

18 6 鳳中數學講義 例. 有一個 0 項的等差數列 a, a, a a 0, 其和為 0, 且 a 7 = 7, 則下列選項何者 正確? (A) a + a 0 >0 (B) a + a 00 <0 (C) a + a 99 = 0 (D) a = (E) a <0 答 :(C)(E) 類題 : 00 至 00 之間所有 7 的倍數和為 自 00 至 00 的自然數中為 9 倍數總和為 某巨蛋球場 E 區共有 排座位, 此區每一排都比其前一排多 個座位 小明坐在 正中間那一排 ( 即第 排 ), 發現此排共有 6 個座位, 則此球場 E 區共有 個 座位 96 學測 答 : 例. 有二等差級數, 其前 項和的比為 (7 + ):( + 7), 求此兩數列之第 項之比 答 ::

19 第一章數列與級數 7 例. 設兩等差數列, 其第 項之比為 ( + ) : ( 6 + ), 求此二數列前 9 項和之比 答 : : 類題 :. 二等差數列, 其第 項比值為, 則前 7 項和的比為. 有二等差數列之首 項和之比為 ( + ):( 7- ), 則此二數列第 項的比為 答 : :. :60 例 6. 某人購買一棟房屋, 簽約時先付 00 萬元, 餘款分二十期付清 已知這二十期款額成等差數列, 前兩期共 0. 萬元, 三 四兩期共 8. 萬元, 則此房屋總價為? [8 社 ] 答 : 萬元 類題 :. 設等差數列 <a >, 前 項和為 S, 若 S =0,S =7, 則 S = 答 :

20 8 鳳中數學講義丙 等比級數 等比級數 : 乁重點整理乁 設 <a > 成 G.P, 首項為 a, 公比為 r, 級數的級數和 S, 則 r = 時,S = a a( r ) r 時,S = r. 設 <a> 成 G.P, 級數和為 S, 則 S S S S S 亦成等比 例. 設有一複數等比數列, 首項為 + i, 第二項為 + i, 則此數列前五項之和為 8. 社 答 :6 i 類題 : 已知一等比數列公比 =, 且 a +a + +a =00, 則 a +a +a 7 +a 0 +a =? 答 : 00 例. 已知正三角形的周長為 0 公分, 以此三角形各邊的中點為頂點的三角形也是正三角形按照這樣作五個正三角形, 求圖中五個正三角形的周長的總和 答 : 公分 類題 : 求例 中五個正三角形的面積的總和 一正方形的周長為 0 公分, 以各邊中點為頂點聯成的四邊形也是正方形, 它的周長是原來正方形周長的 倍, 求右圖中七個正方形周長的總和 求上題中七個正方形面積的總和 答 : 8 ( +7 ) 7 6

21 第一章數列與級數 9 例. 某乙參加銀行儲蓄存款, 年利率 0%, 複利計算 : () 若年初存入 0,000 元, 則年底結算得本利和多少? () 若每年年初均存入 0,000 元, 則第三年年底結算得本利和多少? () 若每年年初均存入 0,000 元, 則第三年年底結算得本利和多少? 答 :()000 元 ()60 元 () 780 元 類題 :. 某乙參加銀行儲蓄存款, 年利率 0%, 複利計算 : () 若每年年初存入 0,000 元, 則第 年底結算得本利和多少? () 若每年年初均存入 0,000 元, 則第 年年底結算本利和多少?. 某人參加銀行儲蓄存款, 每年年初存入 萬元, 年利率 0%, 每年複利一次, 求第 0 年年底的本利和 ( 已知 (.) 0.9) 答 :.()0000 [(.) ] 元 ()0000 [(.) ] 元 元 例 觀察下列各數列前三項間的關係, 依此規則寫出各數別的第 項, 並求各列前 項的和 () 9,99,999, 答 :a = = 0,S = ( ) 9 個 () 至第 項的和 答 : 9 [ (0.) ]

22 0 鳳中數學講義 類題 : 求下列各有限級數的和 ( 依據各級前三項間的關係 ) () 至第 項的和 () 至第 項的和 () 至第 項的和 答 :() [ ] () 0 [9 + (0.) ] () ( (0.) ) 例. S = ,N, 若 S < 0.00, 求 的最小值 答 :7 類題 :. 一等比級數.... 一等比數列首項為, 公比 於.99, 則 = 答 : = S, 若 S < 0.0, 求 的最小值, 其首 項之和小於.99, 但 ( + ) 項之和大 例 6. 求 =? 答 : 類題 : 化簡 +i+i +i + +00i 99 =a+bi,a,br, 則數對 ( a, b )= 答 :(-0, -0 )

23 丁 - 記號及其基本操作 第一章數列與級數 記號的意義 : 例 :() () () 0 k= a k = a + a + a + + a k= k = ; 0 = k= - ; 0 k= ; 例. 觀察級數 前四項的規則, 依據此規則, 求此級數的 第 項 答 :( ) 例. 將下列的級數用 表示 : + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + 答 : k ( k) k

24 鳳中數學講義 類題 :... 至 項 ( 依據前四項規則 ) () 求第 項 ( 以 表示之 ) () 試將上述之級數以符號 表示之 ( ) 答 : ( k ) k k 例. ( ak b) = 6, ( ak b) =, 求序對 (a, b) 答 :(, ) k 0 k 類題 :. ( ak b) = 9, ( ak b) = 70, 則 a b 為 k k 0. ( ak b) =, ( ak b) =, 求序對 (a, b) k m k. 若 (m ) = 答 :. a = 9,b =,a b =. (, ). 0

25 丁- Σ 的性質與公式 乁重點整理乁. 的性質 : 設 c 為一常數 () ( a k bk ) a k b k k k () ca ca ; c c k k k k k a (a kbk ) ( a k )( bk ) 與 k k k kb. 常見之雜級數的和 : () 方和 : k k k a k b k k k k = = ( + ) k 成立嗎? k = = ( + )( + ) 6 k k = ( ) = [ ] k 第一章數列與級數 () 連積之和 k(k ) = ( + ) = ( + )( + ) k kk ( )( k) = + + +( + )( + )= ( + )( + )( + ) k. ( 依此類推 ) () 分項對消 = k kk ( ) ( ) = = [ ] k kk ( )( k) ( )( ) k [ ] ( k)! k! ( k)! 例. 利用 ( k + ) = k + k + k +, 證明 : k = ( + )( + ) 6 證明 : k

26 鳳中數學講義 例. 利用例. 證明 : 證明 : k kk ( ) ( )( ) 例. () 求 = () 求 = () 求 = 答 :()9 ()960 () 9 類題 : = 0. k (k )(k ) k. 設 ( + ) = 60, 求 =. 滿足 : α = 之 α 的值為 6. S = a, 求 a S ( ) 答 : ± 6. a =+ ;S = 6

27 例. 證明 :() kk ( ) () k = [ ] k kk ( )( k ) ( )( ) 第一章數列與級數 證明 : 例. 求 =? 答 : 7 例 6. 求 =? 答 : 6 0 類題 :. k kk ( )( k) 0.() ;() kk ( ) k 0 k k 答 : () 7 6 ;() 0

28 6 鳳中數學講義 綜合練習. 一數列 0, 7,,, (k ),, 87 所構成的級數可表為 96 (A) (k ) (B) (k ) (C) (k ) (D) (k ) (E) 此級數和為 0 k 6 99 k 0 99 k. 若 ( ak b) = 6, ( ak b) =, 求 (a, b) k 6 k. 設數列 <a > 之首 和為 ( ) +, 求 a. 數列,,,,,,,,,, 6,, 則 () 它的第 00 項為 ;() 它的前 00 項之和. 二個等差數列, 首 項和的比為 (7 + ):( + ), 求此二數列第 項的比 6. 將自然數,,,, 用括號分組如下 : (), (, ), (,, 6), (7, 8, 9, 0), 先找出它的規律, 再回答下列問題 : () 第 0 組 ( 第 0 個括號 ) 內的第一個數是多少? () 第 0 組內, 全體自然數的總和是多少? 7. 與 00 間可被 整除的整數, 總共有多少個? 這些數的和是多少? 8. 級數 = 07, 則 = 9. 等比數列的第二項是 6, 第五項是 6, 則下列何者為真? ( 甲 ) 首項是 ( 乙 ) 公比是 ( 丙 ) 第 0 項是偶數 ( 丁 ) 前 00 項的和是 的倍數 ( 戊 ) 前 0 項的和被 除餘數為 至第 項之和 =. 王先生有一條一公尺長的繩子, 他打算從今天開始逐日減去一半, 試問一星期後總共減 去多長?. 假設定期存款的年利率為 6 %, 每四個月為一期, 複利計算, 李先生存進 0000 元, 言明定期五年, 求期滿後之本利和?(.0.6 ). 一正三角形的邊長為 公分, 其面積為 S, 以各邊中點為頂點聯成的三角形也是正三角 形, 其面積為 S, 如此繼續為之, 求 S + S + + S 0 =. 設 C 為單位圓,T 為 C 之內接正三角形,C 為 T 之內切圓,T 為 C 之內接圓正三角形, 依此類推, 令 a i 表 T i 之面積, 求 ai = i. 有兩個數列 A:,, 7, 0,, 000 與 B:,,,,, 00 今從 A 與 B 二 00 k 數列中取出相同項形成一新數列, 求此新數列之和? 6. 數列,,,,,,,,,,,,,,,, 求第 0 項及前 0 項的和

29 第一章數列與級數 7 7. 用黑 白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形 : 第 個第 個第 個 拼第 9 個圖需用到塊白色地磚 9 學測 7 8. 若 (6m) = m 9. 用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形 正方形與正五邊形陣列, 其排列的規律如下圖所示 : 正三角形陣列正方形陣列正五邊形陣列每邊 個鋼珠 每邊 個鋼珠 每邊 個鋼珠 每邊 個鋼珠 已知 m 個鋼珠恰好可以排成每邊 個鋼珠的正三角形陣列與正方形陣列各一個 ; 且知若用這 m 個鋼珠去排成每邊 個鋼珠的正五邊形陣列時, 就會多出 9 個鋼珠 則, m 97 數甲指考 答案 67. (A)(D). (, ). 6 a, ( ) 6,( ). () 9 ;() 97. 6: 6.()6 ()0 7., ( 甲 )( 乙 )( 丙 )( 戊 ) 0. 0 (0 ). 7 公尺. 60 元. ( ) a 0 = 0,S 0 = ,6 0 0

30 8 鳳中數學講義 第二章排列組合 - 邏輯 集合與計數原理 甲 : 邏輯. 敘述 : 能明確判斷真偽的語句 敘述的真假叫做真假值, 通常以 T 表真, 以 F 表假. 敘述的否定 : 若 p 為一敘述, 則以 ~p( 讀作非 p) 表 p 之否定敘述. 複合敘述 : 二個或二個以上的敘述用連接詞結合成一個新敘述, 稱為複合敘述. 同義敘述與複合敘述之否定 : () 同義敘述 : 由相同之單敘述所構成之兩複合敘述的真假值完全相同, 稱此兩敘 述為同義, 通常以 p q 表示, 或稱 p q 同義 () 笛摩根定理 ~(p q) (~p) (~q) ~(p q) (~p) (~q). 命題 : 設 p q 為兩敘述, 凡能寫成 若 p 則 q 的敘述, 叫做命題 記為 p q 若 p q 為真時, 記為 p q, 稱 p 可推演得 q 6. 推演與充分必要條件 若 p q, 則稱 p 為 q 的充分條件,q 為 p 的必要條件 若 p q, 則稱 p 為 q 的 充要條件,q 亦為 p 的充要條件 7. 量化詞 : () : 存在 有 至少有一 ()!: 存在唯一 恰有一個 () : 所有的 任一 每一個 () : 使得 8. 反證法 : 從 結論的反面 出發, 透過一系列正確無誤的推理, 最後導出與題設 條件或已知定理矛盾的現象, 如此得出 結論的反面 不成立, 從而肯 定 命題的結論 是正確的 乁重點整理 例. 下列各語句何者為敘述? (A) + = 9 (B)x + = (C) 你的數學程度很好 (D) > 或 + = (E) 林志玲是美女 答 :(A)(D)

31 例. 判斷下列各命題的真假 : 第二章排列組合 9 () 若 a, b R, ab > 0, 則 a, b 同號 () 若 a 為 的倍數, 則 a 為 的倍數 () 圓內接四邊形對角互補 () 若 AB BC AC, 則 A, B, C 三點共線 () 若 ar, a <, 則 a < (6) 若 x -x + 6 = 0, 則 x = 答 :()T ()T ()T ()T ()F (6)F 類題 :. 判斷下列命題的真假 : () 若 xr, 則 x x () 若 a, b, cr 且 ac > bc, 則 a > b () 若 a, br 且 則 b < a a b () 若 a, bn 且 a b 為偶數, 則 a 為偶數且 b 為偶數 () 若 a, bn 且 a b 為奇數, 則 a 為奇數且 b 為奇數 (6) 平行四邊形的對角線互相平分 (7) 三角形必有一個內角的角度不超過 60. 設 S = {,,,, } 試判斷下列各敘述何者為真 () x S, x + < 0 恆成立 () x S, x > 恆成立 () 存在 x S, y S, x < y + 恆成立 () x S, y S, x + y < 60 恆成立 () 恰有一 x S, 恰有一 y S, x + y = 可成立 答 :.()T ()F ()F ()F ()T (6)T (7)T.()()()

32 0 鳳中數學講義 乙 : 集合. 集合 : 由一些可以明確指出的對象所組成的整體, 稱為集合 而構成此集合的每一對象稱 為元素 通常以大寫字母 A, B, C 等代表集合, 以小寫字母 a, b, c 等代表元素. 集合的表示法 : () 列舉法 : 把所指集合所含的所有元素逐一列舉出來 例 : 小於 0 的質數所成的集合 A= {,,, 7,,, 7, 9} () 描述 ( 構式 ) 法 : 先以一文字或符號代表所有的元素, 再說明元素的性質. 名詞介紹 : 例 : B x x為 6的正因數, C x x x 0, x為實數 () 元素 : 構成集合的每個事物 通常以小寫英文 a b c 表示 若 a 是集合 A 中之元素, 則稱 a 屬於 A, 記為 a A; 若 a 不是集合 A 中之元素, 則稱 a 不屬於 A, 記為 a A 例 : A abcd,,, 知 d A, e A () 子 ( 部分 ) 集合 : 若集合 A 中每一個元素都是集合 B 中的元素, 則稱集合 A 為集合 B 之子集合, 記作 A B( 讀作 A 包含於 B) 或 B A( 讀作 B 包含 A) 例 :N Z Q R 若 A 中有一元素不在 B 中, 則 A 不是 B 的子集合, 記作 A B () 空集合 : 無任何元素之集合 記作 或 { } 為任意集合之子集合 () 宇 ( 基 ) 集合 : 在討論問題時, 所涉及的集合都是某個給定集合的子集合, 這個給 定的集合叫做宇集合, 以 U 表示 () 補 ( 餘 ) 集合 : 設 A 為宇集合 U 之子集合, 則在 U 中, 但不在 A 中之所有元素所組成的 集合, 稱為 A 的餘 ( 補 ) 集合 通常以符號 A 或 A 或 A ~ 或 A C 表示之 (6) 相等集合 : 若兩集合 A B 滿足條件 A B 且 B A, 則稱此兩個集合相等,. 集合的運算 : 記作 A = B 例 : A,,,, B,,,,,, C, 則 A = B = C () 交集合 : 由兩集合 A 與 B 共同的元素所組成的集合稱為 A 與 B 的交集, 記作 A B 即 AB x xa且 xb, 故 ( A B) A且 ( A B) B 若 A 與 B 無共同元素時, 其交 集稱為空集合, 此時稱 A, B 為互斥 因此, 不含任何元素的集合稱為空集合, 以 表示, 且規定 : 空集合為任意集合的子集合 () 聯集合 : 集合 A 與集合 B 中的所有元素組成的集合, 稱為 A 與 B 的聯集, 記作 A B 即 ABx xa xb 或 乁重點整理

33 第二章排列組合 () 差集合 : 設 A B 為兩集合, 則在 A 中而不在 B 中的一切元素所組成的集合, 稱為 A 對 B 的差集合, 記為 A-B = {x x A 但 x B} 文氏圖 : A B A B A B B A () 笛摩根定律 : 設 A, B 為宇集 U 的子集, 則 ( A B) A B, ( AB) A B 例. A = {,,,, },B = {,, 6, 8, 0}, 宇集 = {,,,,, 6, 7, 8, 9, 0}, 試求下列集合?()AB ()AB ()A-B ()B-A ()A (6)B (7)AB 答 :(){, } (){,,,,, 6, 8, 0} (){,, } (){6, 8, 0} (){6, 7, 8, 9, 0} (6){,,, 7, 9} (7){,,, 6, 7, 8, 9, 0} 類題 : 設 A 表示不大於 0 的正奇數所成的集合,B 代表小於 0 的質數所成的集合, 宇集為為不大於 0 的自然數所成的集合, 試求下列各集合 : () AB () AB () A-B () B-A () AB (6) AB 答 :(){,, 7,,, 7, 9,, 9} (){,,,, 7, 9,,,, 7, 9,,,, 7, 9} (){, 9,,,, 7} (){} (){} (6){ <, N}

34 鳳中數學講義例. 設 S = {x xr, 且 0 x < },T = {x xr, 且 x < }, 宇集為 R, 則 ()ST ()ST ()S-T ()S ()ST 答 :(){x xr 且 0 x < } (){x xr 且 < x < } (){x xr 且 x < } (){x xr 且 x x < 0} (){x xr 且 x x } 類題 : 寫出下列各小題的 AB, AB, A B, B A, 其中 x 為實數 ()A = {x x > 0},B = {x x } ()A = {x 0 < x < },B = {x x < } 答 :(){x 0 < x },{x xr},{x x > },{x x 0} (){x 0 < x < },{x x < },{x x < },{x x 0} 例. 設 A = {x x -ax- = 0},B = {x x + ax + b = 0}, 若 AB = {-}, 求 AB =? 答 :AB = {-,-, }

35 第二章排列組合 例. 設 A = {x, y}, B = {x +, }, 若 A = B, 求 (x, y) 答 :(, ) 類題 :. 設 A, B 皆是 U 的子集, 若 AB, 則下列那些性質成立? (A)AB = A (B) AB = B (C)AB (D)BA. 設 A = {,, a -a-},b = {-, a + a +,a -a-8, a -} 且 AB = {, 6}, 求 a 之值?. 設 A = {x-, y-}, B = {x + y, x-y}, 若 A = B, 求 (x, y). 設 A 是一個集合且滿足 {, } A {,,,, }, 那麼這樣的集合 A 有多少個? 答 :. (A)(B)(C).-. (-, -) or (-, ). 8 個

36 鳳中數學講義 丙 : 計數原理. 集合的計數 : 設 A 為一集合, 若 A 的元素個數為有限個, 則稱 A 為有限集合 此時以 (A) 表示 A 的元素個數.. 加法原理 : 設 A, B 為互斥集合, 則 (A B) = 0, ( A B) = (A) + (B) 推廣 : 若完成一件事有 k 種類別, 各類別間彼此互斥, 方法分別有 m,, m, mk 種, 則完成此事的方法有 m m m k 種. 乘法原理 : 若完成一件事有 k 個步驟, 方法分別有 m, m,, mk 種, 則完成此事的方 法有 m m m k 種. 排容原理 : 集合設 A, B, C 為三個集合, 則 () (A B) = (A) + (B) (A B) () (A B C ) = (A) + (B) + (C) ( A B) ( B C ) ( C A ) + ( A B C ). 常用的計數公式 : () A ( ) S ( ) A ( ) () (A-B) = (A)- ( A B ) () 笛摩根定律 : A ( B) A ( B) S ( ) A ( B) 6. 善用窮舉法與樹狀圖 A ( B) A ( B) S ( ) A ( B) 例. 從 到 000 的自然數中, () 的倍數或 的倍數有幾個? () 的倍數或 的倍數或 的倍數有幾個? () 與 0 互質的數有幾個? 答 :()67 ()7 ()66

37 類題 : 不大於 00 的自然數中 () 與 6 互質的有幾個? () 與 互質的有幾個? 第二章排列組合 答 :() 67 () 8 例. 書架上有不同的漫畫書 本, 小說 本, 教科書 本, 現自書架上 () 任取一本的取法有幾種? () 漫畫書 小說 教科書各取一本的取法有幾種? 答 :() ()60 類題 : 右圖中, 由 A 至 B, 可向右 上 下走, 但不可向左走, 且不重複經過, 方法有幾種? 答 : 例. 小梁假日欲外出,衣櫥裡有黃色 紫色領帶各一條,有白色 黑色 紅色 藍色襯衫各一件,以及黑色 綠色 棕色長褲各一件可供選擇搭配.但為了美觀,紅色和綠色不同時出現,襯衫和長褲不同色,領帶可繫可不繫,請問小梁有種搭配方式 答 :0

38 6 鳳中數學講義例. 設有 A B C D E 五個市鎮,其通道如圖所示,今某人自 A 地到 E 地,同一市鎮不得經過兩次或兩次以上,且不必走過每一市鎮,求有幾種不同路線可走?答 :76 例. 大牛拿 0 的鈔票到商店兌換成 0 元或 元或 元幣, 兌換方法有幾種? 答 :6 類題 : 滿足 x + y + z = 0 的整數解 (x, y, z) 有幾組? 答 :68

39 綜合練習 第二章排列組合 7. 試求 60 的正因數個數及總和?. 由 00 到 0000 的自然數中, 不為平方數亦不為立方數者有幾個?.(a + b)(p + q + r)(x + y + z + w) 乘開後 () 有幾個相異項? () 不含 a 且不含 w 的有多少項?. 由 到 000 的自然數中,() 含 0 的數有幾個? () 總共有幾個 0?. 鐵路局縱貫線共 8 站, 其中一等站 個, 二等站 個, 三等站 8 個 今知對號車僅靠一等站, 快車僅停一等站及二等站, 普通車每站都停, 為應付旅客需要, 鐵路局應準備幾種單程票? 6. 某辦公室有 個門可供進出, 甲 乙二生由不同的門進入, 由不同的門出來, 且各人進去與出來的門不同, 則甲 乙二人進出一次方法有幾種? 7. 右圖中, 由 A 至 B, 可向右 向上 向下, 但不可向左, 且不可重複經過, 方法有幾種? 8. 阿花有 頂帽子, 件上衣, 件裙子, 雙鞋子, 若她要外出時每項各取一件穿用, 共有幾種不同的搭配法? 9. 相同的鉛筆 枝, 筆記本 本, 修正帶 個, 分給甲 乙二人 () 任意分給甲 乙的方法數 () 每人每種文具至少一個的方法數 0. 一四面體 ABCD, 若從頂點 A 開始沿著稜線往各個頂點走, 每次都隨便選取走的路徑, 若走到已走過的頂點則停下來, 試問有幾種情形?. 班上有 60 人,月考測驗數學與國文兩科,數學及格的有 人,國文及格的有 0 人,兩科都不及格的有 人,求兩科都及格的有多少人?. 調查 00 戶住家的社區對市面上三大報甲 乙 丙的訂報情形如下 : 80 戶訂甲報, 00 戶訂乙報, 9 戶訂丙報, 80 戶同時訂甲 乙報, 戶同時訂乙 丙報, 6 戶同時訂甲 丙報, 8 戶同時訂甲 乙 丙三報 在這社區中,沒有訂這三大報的有多少戶?. 某班共有 個同學,第一次月考數學不及格有 0 人,英文不及格有 9 人,國文不及格有 人,數學及英文不及格有 9 人,國文及英文不及格有 6 人,國文及數學不及格有 7 人,而三科均不及格有 人,問三科皆及格者有多少人?. 若數列 a, a,..., ak,..., a 0中每一項皆為 或 -, 則 a a... ak... a0之值有幾種可能? 99 學測. 每次用 0 根相同的火柴棒圍成一個三角形,共可圍成種全等的三角形. 8 學測

40 8 鳳中數學講義 6. 新新鞋店為與同業進行促銷戰,推出 第二雙不用錢 買一送一 的活動.該鞋店共 有八款鞋可供選擇,其價格如下 : 款 甲乙丙丁戊己庚辛 價 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格 ( 例如 : 買 雙 丁 款鞋,可送甲 乙兩款鞋 之一 ).若有一位新新鞋店的顧客買一送一,則該顧客所帶走的兩雙鞋,其搭配方法一共 有 種. 9 學測 7. 某公司生產多種款式的 阿民 公仔,各種款式只是球帽 球衣或球鞋顏色不同.其中 球帽共有黑 灰 紅 藍四種顏色,球衣有白 綠 藍三種顏色,而球鞋有黑 白 灰三 種顏色.公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子,而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子, 至於其他顏色間的搭配就沒有限制.在這些配色的要求之下,最多可有 種不同款 式的 阿民 公仔. 96 學測 答案.; () ()9.()8 () ()0 () * 笛摩根 (Augustus De Morga)( 英, ) 於 88 年寫了一本小百科全書 * 表示集合關係的直觀圖稱為文氏圖 (Ve diagram), 是由英國數學家文恩 (Joh Ve, 8--9) 首先引用的

41 - 排列 第二章排列組合 9 甲 : 直線排列 乁重點整理乁. 相異物之直線排列 : 設 N,k N {0},k, 由 個相異物中, 取 k 個排成一列之 方法數, 記為 P 由乘法原理可得 P = ( )( ) ( k + ) k k =! ( k)!, 其中! = ( ), 規定 0! =, P 0 = 註 :() 取出之 m 件事物涉及次序關係 與次序有關係為排列 () 相鄰之處理方法 : 將相鄰物視為一體, 再考慮相鄰之排列數 () 不相鄰之處理方法 : 把不相鄰者先拿開, 先排其它, 再用插入法 () 完全不相鄰 ( 任二人均不相鄰 ) 之處理方法 : 方法與 () 同 () 不完全相鄰之處理方法 :( 全部 )-( 完全相鄰 ) (6) 錯列排列之處理方法 : 利用 取捨原理 或 排容原理 個相異物全取排成一列, 任意排列之排列數為! 一人受限制之排列數為!-(-)! 二人受限制之排列數為!-(-)!+(-)! k 人受限制之排列數為 k!-a(-)!+b(-)!-c(-)!+ + ( ) ( -k)! 種, 其中係數 A,B,C,, 由巴斯卡三角形之係數決定 例. 求下列的 或 r 值,() P P () P r Pr 答 :() 或 8 ()

42 0 鳳中數學講義 類題 : 求 或 r 之值 () P 0P () r P r P 答 :() 或 () 例. () 用 0 作成數字不同的三位數, 則 共有 種排法, 全部三位數的總和為 () 用,,,, 五個數字不重複, 作成五位數, 由小而大排出, 第 6 個數為何? () 用 0,,,,,,6,7 等八個數字排成數字相異之四位數, 則其中 偶數有幾個? 的倍數有幾個? 答 :() () () 類題 : 用 0,,,,, 六個數字不重複, 可做成幾個四位數? 其中大於 0 者有幾個? 答 :00, 例. 設有四對夫婦排成一列, 求下列方法數 () 任意排 () 同性必相鄰 () 男女相間隔答 :()00 () ()

43 第二章排列組合 類題 : 有 男 女排成一直線, 依下列方式排列, 各有多少種排法? () 三女必相鄰 () 三女必不相鄰 () 同性不相鄰 () 三女恰有二女相鄰, 且此二女不夾在任二男之間 答 :()70 ()0 () () 例. 甲乙丙丁戊己庚七人排成一列, 下列之方法數 () 甲不排首且乙不排尾 () 甲乙必相鄰, 丙丁必不相鄰 () 甲乙丙三人中, 任二人均不相鄰 答 :()70 ()960 ()0 類題 : 例 中, 若 () 甲不排首, 乙不排中, 丙不排尾, 排法有幾種? () 甲乙丙三人中恰有二人相鄰之排法有幾種? 答 :()6 ()880 例. 設 b b b b b 為 的一種排列,求滿足下列各小題的條件之排列 b b 0 b b 0 b b b b b 為 數 :().().() 偶數. () b b b b b 0.答 :();()78;()0;()

44 鳳中數學講義. 不盡相異的排列 : 設 個物中, 有 m 個相同, 另 m 個相同,, 另 m k 個相同, = m + m + + m k, 則此 物全取排列之方法有! 種 m! m!... m! k 應用 :() 固定次序排法 : 固定次序者 視為同物 ( 以空位表示 ), 先考慮不盡相異物之排列, 再將固定者填入空位中 () 每人至多得 件的分物問題 : 當人多, 物少時, 不得者視為得同物 註 : 至 多 得一物 視為 不盡相異物之排列 至 少 得一物 視為 分組分堆 () 信號問題 走樓梯問題 () 走捷徑問題 例 6. 將 pallmall 之字母重新排列, 求下列之排法有幾種? () 任意排 () 相同字母必相鄰 ()l 均不得相鄰 () 任一 l 至少二個相鄰 答 :()80 () ()60 ()80 例 7. 用三串分別為 個紅氣球 個黃氣球和 個藍氣球來當射擊靶子,如右圖所示.若每 次射破的氣球,都必須是該串尚未被射破氣球中最低的那一個,則射破全部 8 個氣球可 以有多少種次序? 答 :60

45 第二章排列組合 類題 :. 甲 乙 丙 丁 戊五人排成一列 () 甲在乙的左方的排法 () 甲在乙的左方, 丙在乙的右方的排法 () 甲和乙二人在丙的左方的排法. 設有二排棋子對排, 上排有 黑子 白子, 下排有 黑子 白子, 則白子不相對之排法有幾種? 答 :. ()60 ()0 ()0. 80 例 8. 一樓梯有 0 階, 湯姆上樓, 每步跨一階或二階, 則上樓之方法有幾種? 答 :89 例 9. 右圖為街道圖, 求下列走捷徑之方法有幾種? () 由 A 至 B () 由 A 至 B, 但必須過 P 及 Q 點 () 由 A 至 B, 但不可經過 P 及 Q 點 答 :()6 ()8 ()

46 鳳中數學講義 類題 : 下圖為街道圖, 由 A 至 B 走捷徑之方法有幾種? () () () 答 :()0 () ()6

47 第二章排列組合 乙 : 重複排列 乁重點整理乁. 重複排列 : 自 類物中 ( 每類至少有 k 個 ), 可以重複取 k 個作排列, 其方法有 k 種 例. 用,,,,, 6 等六個數字, 可重複取三個做運動員之號碼, 共可製成幾個號碼? 答 :6 類題 : 設 A, B 為二集合,(A) =,(B) =, 則由 A 映至 B 之函數有幾個? 答 :6 例. 設有 個不同的獎品, 全部分給甲 乙 丙 丁四位學生, 求下列之方法數 () 任意分, 每人可兼得 () 甲恰得 件 () 甲至少得 件 () 每人至少得一件答 :()0 ()0 ()76 ()0

48 6 鳳中數學講義 類題 :. 設有 A, B, C, D, E, F, G 等七個鄉鎮, 除了 A, B 二鎮無通路外, 其餘任二鎮均可相通, 今由 C 鎮出發, 經每個鄉鎮一次又回到 C 鎮, 方法有幾種?. 用,,,, 五個數字排成五位數, 則 () 數字可以重複, 有多少不同的五位數? () 數字不可重複, 有多少不同的五位數? () 數字不可重複, 有多少不同的奇五位數? () 數字不可重複, 全部五位數的總和是多少?. 設有 6 本不同的書, 全部分給甲 乙 丙 丁四人, 甲至少得 本之方法有幾種? 答 :.80.() ()0 ()7 ()

49 第二章排列組合 7 丙 : 著色問題 例. 用 種不同的顏色塗入下列圖形, 每個區域一色, 相鄰不同色, 顏色可重複使用, 方法 有幾種? () () 答 :() () 例. 用 種不同的顏色塗入下列圖形, 每個區域一色, 相鄰不同色, 顏色可重複使用, 方法 有幾種? () () 答 :()70 ()0

50 8 鳳中數學講義 類題 :. 用 種顏色塗右圖, 每個區域一色, 相鄰不同色, 方法有幾種?. 用 6 種不同的顏色塗下列圖形, 每個區域一色, 相鄰不同色, 方法有幾種? () (). 於下列各圖中,以五色塗入各區,每區一色但相鄰不得同色,則各有幾種不同的塗法? ( 各圖固定,不得旋轉 ) 好好研究, 找規律! () () () 答 :. 80. () 60 () 90. () 60 () 80 () 90

51 第二章排列組合 9 綜合練習. 由,,,, 9 等九個數字不重複, 任取三個做成的三位數中 () 偶數有幾個? () 的倍數有幾個?.() 由 到 000 的自然數中, 含有數字 7 的有幾個? () 從 寫到 999 的所有正整數中, 共寫了多少個數字?. 由 000 到 8000 的數字中, 數字互異之奇數有幾個?. 設 (A) =,(B) = 6, 則由 A 映至 B 之一對一函數有幾個?.A, B, C, D, E, F 等六人排一列, 求下列之方法數, ()A, B 不排首位,C, D 不排末位 ()A 恰與 B, C 之一人相鄰 ()A, B, C 三人中恰有二人相鄰 ()A 必須在 B 之左, 而 C 必須在 D 之右 6. 右圖中黑棋向右移到最右邊的一格, 每次可移動 ~ 格, 共有 種不同的移法 7. 一警報器長鳴一次 秒, 短鳴一次 秒, 間隔 秒, 歷時 秒可作出幾種不同的信號? 8. 右圖為街道圖, 求下列走捷徑之方法有幾種? () 由 A 至 B, 但過 P 或 Q 點 () 由 A 至 B, 但不通過斜線區 9. 下圖中, 由 A 至 B 走捷徑之方法有幾種? () () () 0. 設圖中, A, B, C 三點共線, D, E, F 三點共線.利用這六點的 個點作頂點所形成的三角形共有多少個? () 9 () () 6 () 8 () 0. 8 學測. 我國自用小汽車的牌照號碼,前兩位為大寫英文字母,後四位為數字,例如 AB-090.若最後一位數字不用,且後四位數字沒有 0000 這個號碼,那麼我國可能有的 自用小汽車牌照號碼有多少個? () 6 (0 ) () 660 () 6 (00 ) () 66 (9000 ) () 學測. 在三位數中,百位數與個位數之差的絕對值為 的數,共有 個. 87 學測. 有一片長方形牆壁,尺寸為 ( 即 : 長 單位長,寬 單位長 ).若有許多白色及咖 啡色壁磚,白色壁磚尺寸為,咖啡色壁磚尺寸為,用這些壁磚貼滿此長方形,則 可貼成 種不同的圖案. 88 學測. 如右圖各小方格為 cm 的正方形.試問圖中大大小小的正方形共有個. 9 學測補

52 0 鳳中數學講義. 在數線上有一個運動物體從原點出發,在此數線上跳動,每次向正方向或負方向跳 個單位,跳動過程可重複經過任何一點.若經過 6 次跳動後運動物體落在點 處,則此運動物體共有種不同的跳動方法. 9 學測 6. 某地共有 9 個電視頻道,將其分配給 個新聞臺, 個綜藝臺及 個體育臺共三種類型.若同類型電視臺的頻道要相鄰,而且前兩個頻道保留給體育臺,則頻道的分配方式共有種. 9 學測 7. 某地區的車牌號碼共六碼,其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母,後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字,但規定不能連續出現三個.例如:AA, AB 為可出現的車牌號碼 ; 而 AO, AB 為不可出現的車牌號碼.則所有第一碼為 A 且最後一碼為 的車牌號碼 個數為 :() 9 () 9 0 () 900 () 990 () 學測 答案.() ()80.()7 () ()6 ()8 () () ()78 ()6 9.() ()66 ()00 0.() () () 有價值的, 是算錯的那一塊 --- 天下雜誌 00 年教育特刊

53 - 組合 第二章排列組合 甲 : 簡單組合 乁重點整理乁. 組合 : 自 個相異物中, 不計其排列順序, 每次取 k 個之取法, 稱為組合 以 C 或 ( k ) 表示, 其中 N,k N {0},0 k k. 公式 : () 由定義可得 : C k Pk ( )( )...( k )! k! k! k!( k)! () C k C, C C k 0 例. 從甲 乙 丙等十人中, 任選三人去打掃, 方法有幾種? 答 :0 例. 平面上有 個點, 其中有 6 個點共線, 其餘任三點均不共線, 則 () 可連成幾條直線? () 可連成幾個三角形? 答 :() ()00 類題 :. 右圖中 個點可連成幾條直線? 幾個三角形?. 某次月考數學題目規定從 題中選 0 題作答 () 前 題均必需作答的方法數,() 前 題至少選 題作答的方法數 答 :.,00.() ()6

54 鳳中數學講義例. 十戶人家, 今要從住戶主人夫婦中選出四人為住戶管理委員 : () 若夫婦兩人不得同時擔任委員, 共有幾種選法? () 同 () 但至少有一婦女保障名額, 則共有幾種選法? () 若此四人中恰有一對夫婦, 共有幾種選法? () 若此四人恰有兩對夫婦, 共有幾種選法? 答 :()60 ()0 ()0 () 類題 : 例 中, 恰有一對夫婦之方法有幾種? 答 :0 例. 等間隔之 0 條鉛直線與 0 條水平線, 可做成幾個矩形? 其中正方形有幾個? 答 :0,8 類題 : 等間隔之 條鉛直線與 條水平線可形成幾個矩形? 其中正方形有幾個? 答 :690,70

55 第二章排列組合 例. 自 attetio 中任取 個字母,試求共有幾種不同的組合數?有幾種不同的排列數? 答 :,0 類題 : 設一袋中有大小相同的球, 其中紅色球 個, 黑色球 個, 白色球 個, 藍色球 個, 今自袋中取出 球, 有多少種不同的色彩配法 ( 不需要排列 )? 答 :0

56 鳳中數學講義 綜合練習.() 若 P r = 6 且 C r = 6, 求 () 若 C C, 求 r r r. 若, k N, C k : C : k C k = ::, 求 及 k 8 聯. 平面上有 0 條直線, 其中 條平行, 其餘無平行及三線共點之情形, 則可形成幾個三角形? 幾個交點?. 在一凸 0 邊形上, () 對角線有幾條? () 頂點在凸 0 邊形上, 但僅以其一邊為邊之三角形有幾個? () 頂點在凸 0 邊形上, 但不以其邊為邊長之三角形有幾個?. 圓上有 0 個點, 可連成幾個弦? 這些弦在圓內交點至多有幾個? 6. 四個不同的小球, 全部放入編號為,,, 的四個盒子中, 則恰有一個空盒, 有多少種不同的方法? 7. 已知 0 < A < 80,A 的一邊上有 6 個點, 另一邊上有 個點, 連同角的頂點共 個點, 則過這 個點可做三角形的個數, 有多少個? 8. 由 對夫婦中任選 人作同樂會遊戲, 求下列之方法數 () 二男二女 () 夫婦不同時被選中 9. 右圖中共有 個矩形 0. 在右圖中,至少包含 A 或 B 兩點之一的長方形共有個 8 學測. 因乾旱水源不足,自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇 天停止供水.若要求停水的兩天不相連,則自來水公司共有 種選擇方式? 9 數乙指考 答案. () 8 () 或. =,k =. 80,9. () ()60 ()0., ()00 ()

57 第二章排列組合 乙 : 分組組合 乁重點整理乁 分組 分堆 : 將 個相異物分成 k 組, 每組各有 m, m,, mk 個, 在 k 組中 m m. 若 m, m,, mk 兩兩相異, 則有 Cm C m C m m m mk k m m m m m k. 若 m m, 其餘均兩兩相異, 則有 Cm C m C m k! m m m m m k. 若 m m且 m m m, 其餘均兩兩相異, 則有 Cm C m C m k!! 例. 有 本不同的書, 按下列方法分配, 求其分法各有幾種? () 平分成三堆 () 平分給甲乙丙三人 () 按 本 本 本分成三堆 () 甲 本 乙 本 丙 本 () 分 成三堆 (6) 分給甲乙丙三人, 有 人各得 本, 另一人得 本 答 :()77 ()60 ()770 ()770 ()86 (6)9896 類題 :. 將 6 位同學平分為 A, B, C 三組做實驗, 分法有幾種?. 將 6 個不同物分給甲 乙 丙三人, 甲得 個, 乙得 個, 丙得 個, 分法有幾種?. 將 7 個不同物分給甲 乙 丙三人, () 一人得 個, 另二人各得 個, 方法有幾種? () 若甲至少得 個, 乙 丙各至少得一個, 方法有幾種? 答 : () 0 () 7

58 6 鳳中數學講義例. 已知甲 乙 丙 丁 等八人,求下列各種情形的方法數 : () 任意分成三組,每組至少兩人,則有 種分法 () 若此八人作桌球單打比賽,賽程表如圖所示,且規定第一輪比賽甲 乙不能對打,則共有 種安排賽程的方式 答 :() 90 () 70 類題 :. 計程車三輛搭載 6 客人, 每車至多載 人 ( 可空車 ), 方法有幾種? 答 :.690

59 綜合練習 第二章排列組合 7. 將 8 個員工平分至四組不同的生產線工作, 分法有幾種?. 將 6 個不同物 () 平分為三堆, 分法有幾種? () 平分給三人, 方法有幾種? () 分成三堆, 一堆一個, 一堆二個, 一堆三個, 方法有幾種? () 分給甲 乙 丙三人, 一人得一個, 一人得二個, 一人得三個, 方法有幾種? () 分給甲 乙 丙三人, 每人至少一個, 至多三個, 方法有幾種?. 有不同的渡船 艘, 每船至多可載 人, () 今有 6 位客人, 若要安全過渡, 方法有幾種? () 今有 7 位客人, 若要安全過渡, 方法有幾種?. 設 A, B 為二集合,(A) = 6,(B) =, 則由 A 至 B 之映成函數有幾個?.7 個顏色不同的球, 分給甲 乙 丙三兒童, 求下列方法數 () 任意分 () 甲至少得 個 () 甲 乙各至少得 個 () 每人至少得 個 6. 甲 乙 丙 等九人平分為三隊, 每隊 人 ( 隊不區分 ): () 甲 乙兩人同隊, 有多少種不同的方法? () 甲 乙 丙任兩人不同隊, 有多少種不同的方法? 7. 體操委員會由 0 位女性委員與 位男性委員組成.委員會要由 6 位委員組團出國考察,如以性別做分層,並在各層依比例隨機抽樣,試問此考察團共有種組成方式. 89 學測 8. 籃球 人鬥牛賽,共有甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 9 人參加,組成 隊,且甲 乙兩人不在同一隊的組隊方法有種. 90 學測 9. 有一個兩列三行的表格如右圖.在六個空格中分別填入數字,,,,,6 ( 不得重複 ),則, 這兩個數字在同一行或同一列的方法有種. 99 學測 答案.0.() ()90 ()60 ()60 ()0.()76 ().0.()87 ()6 ()9 ()806 6.()70 () 我思, 故我在 --- 笛卡兒

60 8 鳳中數學講義 丙 : 重複組合 乁重點整理乁. 重複組合 : 從 類東西中取出 m 件 ( 每類至少有 m 件 ) 中, 可重複取 m 個的組合數稱為 中取 m 的重複組合, 以 H 表示, 其中 > m 或 = m 或 < m m 公式 : H m C m m () 從 類東西中取出 m 件,( 每類至少有 m 件 ) 的組合數等於不定方程式 x +x + +x =m 的非負整數解個數 =() 個 m 個 的排列數 = (+m)! m!()! = m C m () 從 類東西中取出 m 件,( 每類至少有 m 件 ) 的排列數 m m 從 類東西中取出 m 件,( 每類至少有 m 件 ) 的組合數為 H C 註 : 重複組合三種常見的表徵 : () 由 種不同物件中 ( 每種均至少有 m 件 ), 取 m 個出來的方法數 () 將 m 個相同的物件, 放入 個不同的箱子中的方法數 () 方程式 xx x x m的非負整數解. 組合總數 : () 自 個相異物中, 任取一個或二個或三個 或全取的組合總數共有 C C C... C = 種 () 個事物中, 若有 a 個 p,b 個 q,c 個 r,, 其中任取一個或二個或三個 或全取的方法共有 (a + )(b + )(c + ) 種 m m 例. 設郵局有九種不同的郵票, 某人任購四張, 方法有幾種? 答 :9 類題 : 班上有 7 位同學相約去泡沫紅茶店, 該店內有 種飲料可供選擇, 每人各點一種飲料, 則店員拿出飲料的方法有幾種? 答 :0

61 第二章排列組合 9 例. 設 N, 則滿足 x y z 之正整數解 (x, y, z) 有幾組? 答 : ( )( ) 6 類題 : 滿足 : x y 0 之正整數解 (x, y) 有幾組? 答 :.0 例. 方程式 x + y + z = 9 之 () 非負整數解 () 正整數解各有幾組? 答 :() ()8 類題 : 求 xyz = 之正整數解 (x, y, z) 有幾組? 答 :900 例. 不等式 x + y + z 9 之 () 非負整數解 () 正整數解各有幾組? 答 :()0 ()8 類題 :x + y + z 之正奇數解 (x, y, z) 有幾組? 答 :680

62 60 鳳中數學講義例. 相同的藍筆 6 枝, 紅筆 枝, 分給三兒童, 求下列之方法各有幾種? () 任意分 () 每人至少得一藍筆 () 每人至少得一枝 答 :()88 ()0 ()6 類題 : 有相同的 本國文書, 相同的 本英文書, 全部分給三人, 求下列之分法有幾種 () 每人可兼得 () 每人至少一本 答 :() ()8 例 6. 設有壹元幣 枚, 伍元幣 枚, 拾元幣 枚, 則有幾種不同的付款方法? 答 :7 類題 : 例 6 中, 可付出幾種不同的款項? 答 :.

63 第二章排列組合 6 例 7. 相同的國文書 本, 英文書 本, 數學書 6 本, () 隨便取出若干本, 方法有幾種? () 每種書至少取一本, 方法有幾種? () 全部分給二學生, 每人至少得一本, 方法有幾種? 答 :()09 ()0 ()08 類題 : 枝相同的鉛筆與 枝不同的原子筆, 分給二兒童, 每人至少得一枝, 方法有幾種? 答 :8

64 6 鳳中數學講義 綜合練習.6 種不同的酒, 倒入 個酒杯, 每杯倒一種酒, 不得有空杯子, 求下列方法數 : () 每種酒限倒一杯, 酒杯不同 () 每種酒限倒一杯, 酒杯同 () 每種使用次數不拘, 酒杯不同 () 每種酒使用次數不拘, 酒杯同. 將 7 個相同物分給三人, 求下列分法 () 任意分 () 每人至少一個. 有四位候選人, 另六位投票人, 設無廢票, 亦不棄權, 問 () 採記名投票, 則開票結果會有 種不同情形 () 採不記名投票, 則開票結果會有 種不同情形. 設 N,(x + y + z) 展開整理後共有幾項?.x + y + z = 0 之正整數解有幾組? 6.x + y + z = 9 之正奇數解有幾組? 7. 設 x,y >,z,u >, 則 x + y + z + u = 0 之整數解有幾組? 8.x + y + z < 之 () 非負整數解 () 正整數解各有幾組? 9.60 的正因數有幾個? 0. 設有 克的砝碼二個, 克的一個, 克的三個,0 克的四個, 共可直接稱出幾種不同的重量?. 設有相同的蘋果 6 個, 水梨 個, 橘子 6 個, 求下列之方法數 () 某人任意取若干個 () 每種水果至少取一個 () 全部分給二兒童, 每人至少一個 () 全部分給二兒童, 每人每種至少一個. 四位數 abcd 中, 滿足 a + b + c + d = 0 的有幾個?. 三件相同的玩具, 五個相同的球 : () 若分給十位兒童, 每人至多得一個 ( 或一件 ), 有多少種不同的方法? () 若分給三位兒童, 每人至少一個球, 有多少種不同的方法?. 在空間中,x, y, z 座標皆為整數, 且與原點距離為 的點一共有多少個?. 小明 小華 小新三人各自隨機由,,,,, 6, 7 等 7 個數字中, 寫出一個數字, 設小明所寫為 x, 小華所寫為 y, 小新所寫為 z, 則 : ()x, y, z 中恰有二個數字相同, 有多少種情形? () 滿足 x + y + z = 0 者, 共有多少種情形? 答案.()60 () ()96 ()6.()6 (). ()096 () ()6 () ()9 ()80 ()9 ()00.9.()0 ()60.6.()6 ()

65 - 二項式定理 第二章排列組合 6 甲 : 二項式定理 乁重點整理乁. 二項式定理 : 設 N, 則 (x + y) = C 0 x y 0 + C x y + C x y + + C xy + C x 0 y = C x k0 k k y k k k 註 : ( x) Cx k C0 Cx Cx Cx k Cx k 0. 一般項 :(x + y) 展式中, 第 (k + ) 項記作 a k+ = C x. 係數和 :(x + y) 展開後共有 + 項 () 係數總和 = C 0 + C + C + + C =, k k y k () 奇數項係數和 = 偶數項係數和 =, 即 C 0 + C + C + = C + C + C + =. 多項式定理 : 設 N, x, x,, x R, 則! ( x x x ) x x x p p k pp p!!! k p p pk p, p,, pk Z 0 p, p,, pk pk k 例. 求 (x y ) 6 展開式中,x y 項之係數 答 :0 類題 : 求 (x y) 展開式中,x y 項之係數 答 :70

66 6 鳳中數學講義 例. (x x ) 展開後, 求下列各項之係數 :()x 項 () 常數項 () x 答 :()0 ()9 ()79 項 類題 :(x x )9 展開後, 常數項及 6 x 項之係數各為何? 答 :76,06 例. ( + x ) + ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) 0 展開後,x 項係數為何? 答 :6 類題 :( x) + ( x) + ( x) ( x) 展開後,x 項之係數為何? 答 :86

67 第二章排列組合 6 例. () 若 000 < C C C... C < 000, 求 0 () 求 C 之值? k0 () 求 C k 0 C C C6 C8 C0 C 之值? 答 :()0 () 0 ()08 類題 : 求 C C C C7 C9 C 答 :09 之值 例. 設 >, 求 C C C... C 之值 答 : 0 類題 : 求 C C C... ( ) C 答 :( + ) 之值

68 66 鳳中數學講義 例 6. 求 C0 C 9C 7C... C 之值 答 : 類題 :. 求 C C C C C 之值. 求滿足 ( ) C ( ) C ( ) C ( ) C 之最小正整數 00 答 :. ( ). 6 0 例 7. ( x yz u) 展開合併同類項後 () 共有多少項? () xy zu 之係數為多少? () 形如 x yz 之項有多少個? 答 :()86 ()600 () () () 形如 x yz 之項有多少個?

69 0 類題 : 在 ( abcd e) 的展開式中 8 () abc 之係數為多少? 第二章排列組合 67 () 形如 abcd 之項有多少個? () 合併後有多少個異類項? () 各項係數之和為多少? 答 :()90 ()60 ()00 () 0 例 8. ( + x + x ) 的展開式中, 試求 () 相異項數 ()x 項的係數 答 :() () 7 類題 : 求 ( x x ) 的展開式中, x 8 項的係數? 答 :00 例 9. 以 000 除, 則餘數為何? 答 :6 類題 : 設 (0.99) 0 的小數點後第一位為 a, 第二位為 b, 第三位為 c, 求 a, b, c 答 :a = 9,b = 0,c =

70 68 鳳中數學講義 乙 : 巴斯卡定理 例. () 證明巴斯卡定理 : C k C k C k () 求 C C C C C C C6 C7 C8 之值 答 :()87 類題 :. 甲有一隻母貓即將生產, 這隻母貓將產下 至 8 隻的小貓, 甲只要 隻, 其餘的送給朋友乙, 則乙可能得到小貓的組合數有幾種. 若 C C C C 98 C 99 C m 且 m<, 則 =?m=? 答 :. 8. =00,m=

71 綜合練習 第二章排列組合 69.(a b) 展開後,ab 之係數為何?. 若 (kx x )8 展式中, 之係數為 89, 求實數 k x 7. 若 (ax + b) 與 (bx + a) 展開式中 x 項係數相等, 求 a. 若 ( + x) 展開式中, 依 x 之升冪排列, 第五 六 七項之係數成等差數列, 求.( x ) + ( x ) + ( x ) + + ( x ) 9 展式中,x 之係數為何? 6. 求 x 0 分別除以 ()(x ) ()(x ) 之餘式 7. [a + (b + c) ] 8 展開式中 ()a b c 項之係數為何? () 共有幾個不同項? 8. 化簡求和 : C C C... C 0 9.() 化簡求和 :... C C C C 0 () 若 C 0 C C... C, 求 0 0. 下列 0 個括弧 :(,),(,,),(6,7,8,9),,(,6,7,8,9,0,,,,), 共 個數, 從中任取兩個數, 此兩個數不在同一個括弧內的方法數為何?.(0) 除以 的餘數為 () () () () 6 () 8. 8 學測. 除以 00 的餘數為. 9 學測補.6.. 答案.7 或.00 6.()0x 9 ()x 80x ()80 () () 6( ) () (). 巴斯卡 (Blaise Pascal)( 法,6--66)6 歲就參加巴黎數學家和物理學家小組活動, 發表 圓錐曲線論, 並研究二項展開式係數的規則, 提出有名的 巴斯卡三角形, 是一位數學天才

72 70 鳳中數學講義 第二章總複習 A. 基礎試題. 用 0,,,,, 六個數字不重複 () 可做成幾個四位數? 其中大於 00 者有幾個? () 可做成幾個四位偶數? 其中 的倍數有幾個?. 將 00 元鈔票一張兌換成 00 元或 0 元或 0 元, 但 0 元幣至少一個, 方法有幾種?. 用,,,,, 6 六個數字不重複做成五位數, 並由大而小排列 () 第 0 個數為何? () 為第幾個數?. 一排長椅有七個座位, 已編號, 甲 乙 丙三人入坐, 求下列坐法 () 三人皆相鄰 () 三人互不相鄰. 將 miimum 一字之字母重新排列, 求下列之方法數 () 任意排 ()m 不排首尾 () 三個 m 不完全相鄰 () 三個 m 完全不相鄰 () 相同字母不相鄰 6. 由 atioal 一字中選出四個字母為一組, 選法有幾種? 若選後再排列, 方法有幾種? 7. 用 0,,,,, 六個數字可做幾個四位數? 幾個五位數? 8. 一列火車由第一車到第十車共有十節車廂, 指定其中三節車廂准許吸煙, 方法有幾種? 若此三節可吸煙的車廂, 兩兩不相連, 方法有幾種? 7 聯 9. 一個長方體的各稜長可決定幾組歪斜線? 87 推甄 0. A, B, C, D, E 五人名片各一張, 任發給五人, 每人一張, 求下列之方法數 () 恰有二人取到自己的名片 () 恰有三人取到自己的名片 () 無人取到自己的名片. 將六本不同的書分給 人, 每人至少一本, 方法有幾種?. 將九個相異物分給 人, 求下列分法 () 每人三個 () 每人至少二個, 至多五個.() 將 件相同的禮物分給 個人 ( 一 ) 每人最多只有一件的方法數,( 二 ) 每人可重複取得的方法數 () 將 件相異禮物分給 個人 ( 一 ) 每人最多只有一件的方法數,( 二 ) 每人可重複取得的方法數 () 將 8 件相同禮物分給 人 ( 一 ) 每人至少一件的方法數,( 二 ) 每人至少二件的方法數 () 將 件相異禮物分給 人 ( 一 ) 每人可重複取得也可不得的方法數,( 二 ) 每人至少得一件的方法數 () 將 件相同禮物放到 個相同箱子 ( 一 ) 每個箱子可重複取得也可不放的方法數,( 二 ) 每個箱子至少要放一件的方法數. 相同的鉛筆 6 枝, 原子筆 枝, 全部分給若干人, 求下列之分法 () 分給二人, 每人至少一枝 () 分給二人, 每人每種至少一枝 () 分給三人, 每人每種至少一枝 () 分給三人, 每人至少一枝

73 . 將 個球全部放入 個箱子, 求下列之方法數各若干? () 球不同, 箱子亦不同 () 球不同, 箱子不同, 但每箱至少一個 () 球相同, 箱子不同 () 球相同, 箱子不同, 但每箱至少一個 () 球相同, 箱子亦相同 6. 求 C0 C C C... C 之值 7. 若 ( + x x ) 0 = + ax + bx + + cx 0, 求 a, b, c 6 聯 8. 若 ( + x) = a 0 + a x + a x + + a x 且 a = a 6, 求 9.( x ) + ( x ) + ( x ) + + ( x ) 0 展式中,x 項係數為何? 0. 0 之個位數字為 a, 十位數字為 b, 百位數字為 c, 求 a, b, c. 求 (.0) 0 乘開後之近似值到小數點以下二位. 求滿足 + C ) ( ) C... ( C > 000 之最小自然數 ( 已知 log 0.0,log 0.77).()00, ()6,7.0.()6 ()8.()0 ()60 第二章排列組合 7.()0 ()0 ()60 ()0 ()96 6.6,606 7.,0 8.()0 () ()0 ()0 ().60.()680 ()08.()0, ()60, (),6 (),0 (),.()0 ()0 ()60 ()6.() ()0 () ()6 () a = 0,b = 99,c = a =,b = 0,c =... 答案

74 7 鳳中數學講義 B. 進階試題. 設 A, B, C 為三集合,(A) = 6,(B) =,(C) =, 則下列之函數各有幾個 () 由 B 映至 A () 由 C 映至 A 且為一對一 () 由 A 映至 B 且為映成. 一圓周上 個等分點, 可連成幾個 () 矩形 () 直角 () 鈍角 () 銳角. 求下列各集合之元素個數 ()S = {(x, y, z) x + y + z = 0,x, y, z N {0}} ()S = {(x, y, z) x + y + z = 0,x, y, z N } ()S = {(x, y, z) x + y + z 0,x, y, z N {0}} ()S = {(x, y, z) x + y + z 0,x, y, z N } ()S = {(x, y, z) x y z 0,x, y, z N } (6)S 6 = {(x, y, z) x < y < z 0,x, y, z N } (7)S 7 = {(x, y, z) < x < y < z < 0,x, y, z N } (8)S 8 = {(x, y, z) x, y, z 0,x, y, z N } (9)S 9 = {(x, y, z) x, y, z 0,x, y, z 為互異整數 } (0)S 0 = {(x, y, z) x + y + z = 0,x, y, z Z} ()S = {(x, y, z) xyz = 080,x, y, z N} ()S = {(x, y, z) xyz = 080,x, y, z Z}.(x + y) 0 展開後, 係數最大者為何? C C C C Ck. 化簡求和 :()... () C C C C k 0 k 0 6.( x) ( + x + x ) 展開後,x 0 項係數為何?

75 第二章排列組合 7.()6 ()70 ()0.() ()60 ()0 ()0.()66 ()6 ()86 ()0 ()0 (6)0 (7)6 (8)000 (9)70 (0)0 ()00 () () 答案 ( ) () 6.0 永恆是一個回教的美女, 用一層面紗將明眸遮蓋 ; 只有天才靈感的手指, 才敢大膽地將它掀開 --- 余光中 天國的夜市

76 7 鳳中數學講義 第三章機率 - 樣本空間與事件 乁重點整理乁. 樣本空間 : 做一實驗所有可能出現的結果所成之集合, 稱為此實驗之樣本空間, 通常以 S 表示. 樣本 ( 點 ): 樣本空間的每一個元素, 稱為其樣本 ( 點 ). 事件 : 樣本空間的部分集合, 稱為其事件. 餘事件 : 設 A 為樣本空間 S 之一事件, 則 A 不發生之事件 ( 即 S-A) 稱為 A 之餘事件, 以 A 或 A 或 A C 表示. 積事件 : 設 A, B 為二事件, 則 A 且 B 發生之事件, 稱為 A, B 之積事件, 以 A B 表示 6. 和事件 : 設 A, B 為二事件, 則 A 或 B 發生之事件, 稱為 A, B 之和事件, 以 A B 表示 7. 互斥事件 : 設 A, B 為二事件, 若 A B =, 則稱 A, B 為互斥事件 例. 投擲一個骰子, 試寫出其出現點數之樣本空間 S 例. 投擲一個硬幣三次, 觀察其出現正反面之情形, 樣本空間為 S, 出現二正面之事件為 A, 出現二反面之事件為 B, 試寫出 S, A, B, 並判斷 A, B 是否為互斥事件 例. 設有撲克牌 0 張, 由 Spade A 到 Spade 0, 任抽一張, 觀察其點數, 若事件 B = {A,, 7, 8, 0}, 求 B

77 第三章機率 7 例. 由 到 0 的十個自然數中, 任取二個的樣本空間為 S, 其中乘積為奇數的事件為 A, 求 (S) 及 (A) 答 :,0 例. 投擲一個骰子二次, 觀察其出現的點數, 若樣本空間為 S, 點數和為 8 之事件為 A, 點數積為偶數之事件為 B, 求 (S),(A B),(A B) 答 :6,, 9 綜合練習. 投擲二個骰子, 其點數和不小於 9 之事件為 A, 無奇數點出現之事件為 B, 試寫出事件 A, B. 投擲三個骰子, 點數和為 9 之事件為 A, 最大點數為 之事件為 B, 求 (A),(B). 一圓上有 0 個等分點, 任取 個, 其樣本空間為 S, 可形成一矩形之事件為 A, 求 (S), (A). 甲 乙 丙 丁 戊 己等六人作直線排列, 樣本空間為 S, 甲乙相鄰丙丁不相鄰之事件為 A, 求 (S),( A ). 不大於 0 的自然數中任取一數 k, 使方程式 x (k )x + 8k 7 = 0 有實根的事件為 A, 求 (A) 6. 設有 張撲克牌, 由 Diamod A 到 Diamod K, 若點數為 的倍數之事件為 A, 牌面 比 7 大 的事件為 B, 求 (A B),(A B) 答案.A = {(, 6), (, ), (, 6), (, ), (, ), (, 6), (6, ), (6, ), (6, ), (6, 6)} B ={(, ), (, ), (, 6), (, ), (, ), (, 6), (6, ), (6, ), (6, 6)}.,7.0,0.70, ,9

78 76 鳳中數學講義 - 機率的定義與性質 乁重點整理乁. 拉普拉斯 (Laplace) 古典機率之定義 : 設一實驗之樣本空間為 S,S 為有限集合且 S 中每 ( A) 個元素發生的機會相等,A 為 S 之一事件, 則事件 A 發生之機率 P(A) = ( S). 機率的性質 : 設樣本空間為 S,A, B, C 為三事件 () P() = 0,P(S) =,0 P(A) () P( A ) = P(A) () 若 A B, 則 P(A) P(B) () P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(B C) P(C A) + P(A B C) () P(A B ) = P(A) P(A B) (6) P( A B ) = P( A B ),P( A B ) = P( A B ) 例. 投二個硬幣, 出現二正面及一正一反面之機率各為何? 答 :, 類題 : 投三個硬幣一次, 出現二正面一反面之機率為何? 答 : 8 例. 投擲二個骰子, 點數和為 x 時有最大機率 p, 求 x, p 答 :7, 6 類題 : 若有一骰子六面點數分別為,,,,,, 擲此骰子二次, 點數和為 之機率為何? 答 : 9

79 第三章機率 77 例. 設有同式樣的黑色襪子二雙, 白色襪子一雙, 今任取 隻, 恰好成雙之機率為何? 答 : 7 類題 : 例 中, 若將襪子改為鞋子, 且尺寸相同, 則機率為何? 答 : 例. 袋中有 紅球, 白球, 黑球,今自袋中任取 球 () 取出的 球中,至少有 黑球的機率? () 取出的 球皆同色的機率?答 :() () 6 例. 有甲 乙 丙 丁 等共 8 人排成一列,則 () 甲 乙 丙 人相鄰的機率為何? () 甲 乙 丙 人完全分開的機率為何? () 甲排首,乙排尾的機率為何?答 :() 8 () () 6

80 78 鳳中數學講義 類題 : 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚等 7 人任意排成一列,則 () 甲在乙的左邊之機率為 () 甲在乙的左邊,且乙在丙的左邊之機率為 () 甲在乙 丙的左邊之機率為 答 :() () 6 () 例 6. 已知袋中共有 個球,其中黑球 個,其他皆為白球及紅球,若每 球被取中的機 會相同,今自袋中任取 球,而 球皆為紅球的機會為,則 : () 紅球有多少個? () 自袋中任取 球,且 球皆異色的機率為何? 答 :() () 例 7. 設 A, B 為二事件且 P(A B) =,P(A B) =,P( A ) =, 求 ()P(A) ()P(B) ()P(A B) 答 :() () () 類題 : 承例 6, 求 P( A B ) 答 :

81 第三章機率 79 例 8. 設有 A, B, C 三事件, 且 P(B) =,P(C) =,P(A B) =,P(B C) = 0, P(C A) =,P(A B C) = 0,P(A B C) = 0 9, 求 ()P(A) ()P(A B C ) 答 :() () 0 類題 : 承例 7, 求 P( A B C) 答 : 例 9. 設任意取得的統一發票, 其號碼的個位數字為 0,,, 9 中任一數字且這些數出現的機率均相等, 今自 個不同場所, 各取得 張統一發票, 則 張發票號碼個位數中, () 至少有 個為 0 的機率為何? () 至少有 個為 0,且至少有 個為 9 的機率為何?答 :() 0.7 () 0.0 類題 : 甲 乙 人分別從 0 9 的 0 個整數中任選 數,則 () 人所選的數完全相同的機率為何? () 至少有 數相同的機率為何? 答 :() 0 () 7

82 80 鳳中數學講義 例 0. 投擲一骰子三次, 其點數分別為 a, b, c, 求下列之機率 ()(a b)(b c)(c a) = 0 ()(a b)(b c) 0 答 :() 9 () 08 類題 : 若,,,, 之每一排列被選中之機會相等,abcde 為其中之一排列, 求 (a ) (b ) (c ) (d ) 為偶數之機率 答 : 0 9 例. 將甲 乙 丙 等 9 人平分成 組,則 () 甲 乙 丙必在同一組的機率為何? () 甲 乙 丙必不在同一組的機率為何?答 :() 8 () 9 8 類題 : 有 0 人住 A, B,C 間房, 且 A, B,C 的客房容量依序為 人, 人, 人, 求甲 乙同住一房的機率為 答 :

83 第三章機率 8 例. 個人同時玩猜拳 ( 剪刀 石頭 布 ) 遊戲 次,則 () 恰有 人獲勝的機率為 () 恰有 人獲勝的機率為 () 無人獲勝的機率為 答 :() 7 () 9 () 7 類題 : 甲 乙兩位小朋友各玩抽抽樂 次 ( 如右圖 ),若甲 乙 人隨機任取一格子洞,求選出的 個格子不在同一行的 機率為 ( 有無同列無所謂 ) 答 : 6 綜合練習. 自 到 0 的自然數中任取一個, 其為質數之機率為何?. 設有同式樣的黑襪子 雙, 紅襪 雙, 今任取 隻, 恰為 雙之機率為何?. 投擲三骰子, 點數和為 0 之機率為何?. 袋中有 6 紅球, 白球, 任取 個, 則此 球為 () 紅球 白球 () 同色球之機率各為何?. 由,,,,, 6, 7, 8, 9, 0 等十個數字中任取 個, 其和為奇數之機率為何? 其積為奇數之機率為何? 6. 甲 乙二人各投一均勻骰子, 約定如下 : 乙得 6 點時乙就贏, 兩人同點時 ( 非 6 點 ) 甲贏, 其餘情形以點數多者贏, 求甲贏之機率 87 聯 7. 設 A, B 為二事件, 且 P(A) =,P(B) =,P(A B) =, 求 6 ()P(A B) ()P(A B ) ()P( A B )

84 8 鳳中數學講義 8. 設 P(A) = P(B) = P(C) =,P(A B) = P(B C) = 0,P(A C) = 0, 求 A, B, C 三事件 中至少有一發生之機率 9. 甲 乙 丙 丁等七人全部排成一列, 求下列機率 () 甲 乙 丙三人恰有二人相鄰 () 甲 乙 丙 丁四人中恰有二人相鄰 0. 甲 乙 丙等八人全部圍一圓圈, 求甲 乙二人不相鄰之機率. 從,,,,,6,7,8,9 中,任取兩相異數, 則其積為完全立方數的機率為. 90 學測. 金先生在提款時忘了帳號密碼,但他還記得密碼的四位數字中,有兩個,一個 8,一個 9,於是他就用這四個數字隨意排成一個四位數輸入提款機嘗試.請問他只試一次就成功的機率有多少? 答 :.( 化成最簡分數 ) 9 學測. 樂透是由 個號碼開出 6 個號碼,請問開出的 6 個號碼都是偶數的機率,最接近下列哪一個值?() () 6 () () () 6 9 指考乙. 從,,, 0 這十個數中隨意取兩個,以 p 表示其和為偶數之機率, q 表示其和為奇數之機率,試問下列哪些敘述是正確的?( 多選 ) () p q () p q () pq () pq () p. 9 學測 0 0. 某校要從高一的 忠 孝 仁 愛 四個班級中隨機選取一個班級進行數學抽測.考慮甲 乙兩種抽樣方法 : 甲方法是從四個班級的導師中隨機選取一人,被選中導師的班級為抽測班級 ; 乙方法是從所有高一學生中隨機選取一名學生,被選中學生的班級為抽測班級.若各班人數都不相同,其中 愛 班人數最多.則下列敘述有哪些是正確的?( 多選 ) () 甲方法中,每位高一學生被抽測的機率相等 () 乙方法中,每位高一學生被抽測的機率相等 () 甲方法中,四個班級被抽測的機率相等 () 乙方法中,四個班級被抽測的機率相等 () 愛 班被抽測的機率,使用甲方法較使用乙方法高 9 指考乙 6. 某高中共有 0 個班級,每班各有 0 位學生,其中男生 人,女生 人.若從全校 800 人中以簡單隨機抽樣抽出 80 人,試問下列哪些選項是正確的?( 多選 ) () 每班至少會有一人被抽中 () 抽出來的男生人數一定比女生人數多 () 已知小文是男生,小美是女生,則小文被抽中的機率大於小美被抽中的機率 () 若學生甲和學生乙在同一班,學生丙在另一班,則甲 乙兩人同時被抽中的機率跟甲 丙兩人同時被抽中的 機率一樣 () 學生 A 和學生 B 是兄弟,他們同時被抽中的機率小於 學測 答案.. 8.() ()., () () 6 () () 7.()(). ()() 6.()() () ()

85 第三章機率 8 總複習. 已知某夫婦有 個小孩, 某天拜訪此對夫婦時, 有一男孩在座, 求此對夫婦有 男孩之機率. 投擲三個骰子, 求下列之機率 () 最大點數為 () 最小點數為. 一圓上有 個等分點, 任取 個形成一三角形, 求下列之機率 () 直角 () 鈍角 () 銳角. 由 到 9 的九個自然數中任取相異二個, 求此二數互質之機率?. 由 到 9 的九個自然數中任取 個, 求下列之機率 () 乘積為偶數 () 和為偶數 6. 由 到 00 的自然數中任取一個, 求下列之機率 () 與 0 互質 () 與 0 互質 7. 由 到 0 之十個數字中任取 個, 求下列之機率 () 三數成等差 () 三數成等比 8. 尺寸相同的白鞋子 雙, 黑鞋子 雙, 任取 隻, 求下列之機率 () 恰為 雙 () 皆不成雙 () 恰為 雙 9. 甲 乙 丙三人猜拳, 各出 剪刀 石頭 布 三者之一, 求下列之機率 () 連猜三次均不能分出勝負 () 猜二次後甲獨勝 0. 自一副撲克牌中任抽 張, 求下列之機率 () 一對 (a, a, b, c, d) () 二對 (a, a, b, b, c) () 三條 (a, a, a, b, c) () 同花 () 葫蘆 (a, a, a, b, b) (6) 鐵枝 (a, a, a, a, b) (7) 同花順. 設 P(A) =,P(B) = 6,P(A B) =, 求下列之機率 ()P(A B) ()P(A B ) ()P( A B) ()P( A B ). 設 k 個人中至少有二人在同一月份出生 ( 不考慮年齡 ) 之機率為 P(k), 則下列何者正確? (A) P() (B) P() 0.6 (C) P() 0. (D) P() 0. (E) P() > 0. 有 張卡分別標號 到, 任意分成兩疊, 每疊 6 張, 求下列之機率 (),, 號在同一疊 (),,, 號中每疊各有 張

86 8 鳳中數學講義.() 一盒子中有 0 個球, 編號 到 0, 自盒子任取 球, 球號中第二大號碼為 7 之機率為何? () 袋中有 7 個球, 編號 到 7, 自袋中任取 球, 球號和為奇數之機率為何?. 甲 乙 丙三人同住一室, 每天抽籤決定一人打掃, 則六個打掃天中每人恰好打掃二天之機率為何? 6. 承上題, 若丙抽到打掃時, 由甲代之, 則六天中甲 乙各打掃三天之機率為何? 7. 已知統一發票個位數字出現 0,,,, 9 之任一數之機率相等, 今任取三張統一發票, 其個位數字 () 至少有一個 0 () 至少有一個 0, 至少有一個 9 之機率各為何? 8. 設有六對夫婦, 任取 人, 求下列之機率 () 恰為二對夫婦 () 恰為一對夫婦 () 無夫婦出現 9. 擲一骰子四次, 其出現點數依次為 a, b, c, d, 求下列之機率 ()(a b)(b c)(c d) = 0 ()(a b)(b c)(c d)(d a) = 0. 答案 6.() () (). 7.() 6.() 6 () 7 () 6 6.() 7 () 00 7.() 6 () 0 () 9 8.() 0 () () 9.() 7 0.() 8.() 98 () 6 () () 88 () 6 () 7 () () 6 (6) 6.(A)(B)(E).() (7) 697 ().() 6 () ()0.7 ()0.0 8.() 6 () 6 () 9 9.() 6 7 () 7

87 - 條件機率與貝氏定理 第三章機率 8 甲 條件機率. 條件機率的定義: 乁重點整理乁 設 S 為試驗的樣本空間, A B 為兩事件, P A 0 在事件 A 發生的情況下, 事件 B 發 生的機率稱為 B 的條件機率, 以 PB A 表示, 並且定義 P B A P A B P A A B S A B A A S 上述的式子,提供我們兩個觀點來看條件機率,這兩種觀點對於解題都有相當助益: P A B 觀點一:由 P A 來看, 則是把思考的方向拉回原來的樣本空間 S, 考慮事件 A B 與事件 A 之機率的比例 A B 觀點二:由定義 A. 條件機率的性質: 新 的樣本空間, 事件 A B 設 A, B, C 是樣本空間 S 的三事件, 且 P A 0 則 () P A 0 () () 若 B C, 則 PB A PC A P A A ( 單調性 ) () 0 PB A( 由 ()~() 可知 ) () PB A PB A, 其中 B 表示 B 的餘事件 (6) PBC A PB A PC A PB C A 占事件 A 之元素個數的比例, 像是將事件 A 看成 ( 排容原理 ) 若將條件機率看成 將事件 A 視為新的樣本空間, 那麼上述性質與原來樣本空間 S 一 致, 就顯得自然了

88 86 鳳中數學講義 例. 設 A, B 為二事件,p(A),p(B),p(A B) 7, 試求 () p(a B) () p(b A ) 答 :() () 6 類題 : 設 A, B 為二事件,p(A),p(B),p(A B), 試求 () p(a B) () p(b A ) 答 :() () 8 7 例. 投擲一骰子 次, 設第一次出現的點數是 a, 第二次出現點數是 b, 若 a b 0, 求 a 的機率 答 : 例. 袋中有 紅球 白球 黑球, 今自袋中任取三球, 則在三球不完全同色的條件下, 至少有一紅球的機率為何? 答 : 00 09

89 第三章機率 87 例. 擲一均勻硬幣,若連續三次出現同一面就停止.設 : a 為恰好投擲三次停止的機率 ; b 為在第一次是反面的情況下,恰好在第四次停止的條件機率 ; c 為在第一 二次都是反面的情況下,恰好在第五次停止的條件機率 則下列哪一個選項是正確的? ()a b c () a b c () a b c () a b c () a b c. 98 指考甲 答 :() 類題 :. 投擲一骰子 次, 出現點數依次為 a, b, 若方程式 x ax b 0 有實根,, 求 < 9 的機率. 投擲三粒均勻的骰子, 若已知三粒骰子所出現點數和為 的倍數, 求其點數和小於 8 點的機率. 投擲兩枚公正骰子, 若已知兩枚骰子投出之點數和是偶數, 求點數和小於 之機率 答 :

90 88 鳳中數學講義乙 條件機率的乘法性質. 設 A, B, C 是三事件, 則 () PAB PA PB A, 其中 P A 0 () PA B C PB PA B, 其中 0 P B, 其中 P A B 0 PA PB A PC A B () 設 A, A,, A 為樣本空間 S 的 個事件,且 PA ( ) 0, PA ( A ) 0,, PA ( A A ) 0,則 PA ( A A) PA ( ) PA ( A) PA ( AA) PA ( AA A ) 上述的乘法定理可以類推 個 個 到 個 因此, 這個定理說明 個事件同時發 生的機率該如何求取. 由某事件的條件機率求該事件發生的機率:如右圖可知, PB PBAPB A PB PA PB A PA PB A 由於 A 與 A 具有 AA S 且 A A, 乁重點整理乁 我們可利用樹狀圖來理解上式並且幫忙解題列式 例. 設袋中有 白球 黑球 紅球, 今從袋中每次取一球, 連續取三次 若 取後不放回, 試求 : () 三次均取到白球的機率為 () 依序取到白球 黑球 紅球的機率為 () 三次均取到不同色球的機率為 () 三次均取到同色球的機率為 答 :() () () ()

91 第三章機率 89 例. 設袋中有 個白球 個黑球,今從袋中每次取一球,取後不放回,取完為止,試求 : () 第 次取出白球的機率為多少? () 黑球先被取完的機率為多少? 答 :() () 類題 :. 有 個袋子,A 袋中有 白 黑共 8 球,B 袋中有 白 黑共 球,C 袋中有 白 黑共 球, 今任選一袋, 然後再由袋中任取一球, () 求此球是白球的機率 () 在此球為白球的條件下, 求此球來自 B 袋的機率. 設甲袋有 白球 紅球, 乙袋中有 白球 紅球, 今任選一袋並自此袋中取出一球放入另一袋中, 再由此袋取出一球, 若選袋 選球之機會均等, 求 () 兩次均取紅球的機率 () 第一次取白球, 第二次取紅球之機率 6 答 :.() 0 0 () 6 7.() 8 ()

92 90 鳳中數學講義丙 貝氏定理. 分割:設 A, A,, A 為樣本空間 S 的任意 個非空事件,若滿足: A A A S () () A A A 則稱 A, A,, A 為樣本空間 S 的一組分割. 若 A, A,, A PB PBAPBA PBA 為樣本空間 S 的一組分割, B 為 S 的任一個事件,則 P B PAPB A PAP B A P A PB A PAiPB Ai P B i. 貝氏定理:若 PB 0, 0 A k 發生的機率為 PAk PAk B P B B P A, i,,,,則在事件 B 發生的情況下,事件 i PAkP B Ak PAiPB Ai i 乁重點整理乁 利用事先可知的機率 ( 稱之為事前機率 ) k, k 之值 ( 稱為事後機率 ),正是貝氏定理的真正內涵 P A, PB A k.在發生事件 B 後,求出 P Ak B 例. 某工廠有三部機器生產同一種產品, 設甲機器每天的產量為乙 丙機器產量和的二倍, 但乙 丙二機器產量相同 ; 甲 乙的產量中各有 % 為不良品, 丙的產量中有 % 為不良品 現在把三部機器某一天的總產量混在一起, 由其中任取一件, 求 () 取出不 7 良產品之機率 () 此不良產品為甲機器所生產的機率 答 :() () 00 7 類題 :. 設甲袋中有 0 個燈泡, 其中 個壞的 乙袋內有 6 個燈泡, 其中 個壞的, 丙袋中有 8 個燈泡, 其中 個壞的, 如選袋及選燈泡的機會均等 現任選一袋, 抽出一個是壞的燈泡 ; 問此燈泡來自甲袋的機率為多少

93 第三章機率 9. 已知在一個箱子中有 0 個燈泡, 其中有 8 個是燈絲斷了, 現作逐個檢查, () 檢查到第 6 個時, 是第 個斷了燈絲的燈泡, 求其機率 () 檢查到第 6 個時, 共有 個斷了燈絲的燈泡被查出, 求其機率 8 答 :..() () 969 例. 某項胸部 X 光透視檢查的可靠程度如下 : 對於有結核病者 90% 可發現,0% 未能發現, 對於無結核病者 99% 為正確,% 為不正確, 設某地區廣大人口中患結核病者佔 0.%, 若其中任意一人經 X 光透視檢查有結核病嫌疑, 求此人確實有結核病的機率 0 答 : 類題 :. 某醫院有 0.% 的病人患癌症, 患癌症的人經過某種檢驗, 發現有癌症可疑的有 9%, 不患癌症的病人經過同樣的檢驗, 發現有癌症可疑的有 %, 今有一病人, 經該檢驗發現有癌症可疑, 求該病人確患癌症之機率. 某檢驗員把良品誤檢為不良品為 0%, 不良品誤檢為良品為 %, 今有一批物品, 其中不良品佔 0%, 由此檢驗員任選其一驗出為不良品, 求此不良品的確為不良品之機率為多少? 9 答 : 例. 某校有 0% 的學生有棕色頭髮,% 的學生有棕色眼精,% 的學生有棕色頭髮和眼 精, 今由學生中任選一名, 若他的頭髮棕色, 求他眼精也是棕色的機率 若他的眼精不是棕色, 求他的頭髮棕色的機率 求他既無棕色頭髮也無棕色眼精的機率 答 : 8

94 9 鳳中數學講義 類題 :. 已婚男人對某節目收看率為 0., 而已婚婦女之收看率為 0., 已知妻子收看後丈夫再收看的機率是 0.7, 求 : () 一對夫婦收看該節目的機率為多少? () 已知丈夫看了, 妻子再收看的機率為多少?. 某工廠有 A, B, C 三部機器, 其產量分別是總產量之,,, 其中產品分別 6 有 6%, %, %, 是不合格, 今任取一樣品 : () 此樣品不合格之機率? () 可取出樣品不合格, 則此樣品為 A 機器所生產之機率? 9 答 :.()0. ()0.87.() 600 () 9 綜合練習. 設 A, B 為二事件, 且 p(a),p(b),p(a B), 求 p(b (A B)) 為多少?. 一次投擲 A, B, C 三個公正骰子, 設 a, b, c 分別表示 A, B, C 三個骰子所出現對點數, 求滿足 a b c 0 之情況之下,a b c 的機率. 根據統計結果, 甲地血型 A 的人佔, 乙地血型 A 佔, 今從甲地 0 人, 乙地 人中, 任選一人, 求此人血型是 A 的機率. 設有甲 乙 丙三袋, 甲袋有, 6, 9,.., 90 號 ( 的倍數 ) 球各一個, 乙袋有, 8,,.., 0 號 ( 的倍數 ) 球各一個, 丙袋有, 0,,, 0( 的倍數 ) 球各一個, 今任取一袋, 取出一球, 令 A, B, C 分別表自甲袋 乙袋 丙袋取出球的事件,H 表取出之球其個位數字為 0 的事件, 求 p(a H) 為多少. 某公司有三廠, 每天甲廠出品 0 件, 乙廠出品 80 件, 丙廠出品 00 件 ; 三廠不合格產品每日平均分別為甲廠.%, 乙廠 %, 丙廠 0.%, 今任取一產品, 而此產品為不合格, 求此產品來自甲廠的機率 6. 袋中 號球 個, 號球 個, 號球 個, 號球 個, 先抽一個, 放回後再抽一個,( 每球被取中之機會相同 ) 設第一次抽中球之號碼為 ; 第二次抽中球之號碼為, 在 的條件下, 求 > 的機率 7. 設一袋中有 個蘋果, 其中 個壞的, 今由此袋中一次任取一個, 連續取 次, 每次不放回 在取得 好 壞的條件下, 第三次取得壞蘋果之機率 8. 元宵燈謎中有 A, B, C, D 四個謎題, 其猜出率分別為 一題而猜中, 求其為 B 題的機率,,, 今有一猜者, 任擇 0

95 第三章機率 9 9. 設 A, B, C 三袋,A 袋中有 白球 黑球 紅球 ;B 袋中有 白球 黑球 ;C 袋中有 白球 黑球 紅球 ; 若選袋 球的機會均等, 今任選一袋後, 再從此袋中任取 球, 若已知 球皆為白球, 求來自 A 袋的機率 0. 交通規則測驗時,答對有兩種可能,一種是會做而答對,一種是不會做但猜對.已知小華練習交通規則筆試測驗,會做的機率是 0.8.現有一題 選 的交通規則選擇題,設小華會做就答對,不會做就亂猜.已知此題小華答對,試問在此條件之下,此題小華是因會做而答對 ( 不是亂猜 ) 的機率是多少?( 以最簡分數表示 ) 89 學測. 根據過去紀錄知,某電腦工廠檢驗其產品的過程中,將良品檢驗為不良品的機率為 0.0,將不良品檢驗為良品的機率為 0.6.又知該產品中,不良品占 %,良品占 9%.若一件產品被檢驗為良品,但該產品實際上為不良品之機率為.( 小數點後第三位四捨五入 ) 90 學測. 某公司共有 6 個工廠,各工廠的產量都一樣,且所生產的產品都放進同一倉庫中.由過 k 去的經驗知道,第 k 個工廠的產品不良率為,其中 k,,,,,6,為了檢驗 0 倉庫中這一批產品的品質,從倉庫中任意抽出一件,若為不良品,則此不良品是來自第五個工廠的機率為.( 化成最簡分數 ) 96 指考甲. 某地區 歲以上人口中吸煙的比率為 8%.今將 歲以上人口區分為中老年 青壯年及青少年三類,所占比率各為 0%, % 及 %,已知中老年與青壯年人口吸煙的比率各為 % 與 0%,請問青少年人口中吸煙的比率為多少? 選出正確的選項 : () % () 8% () % () 6% () 0%. 96 指考乙. 甲 乙 丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲,每一局三人各擲銅板 次 ; 在某局中,當有一人投擲結果與其他二人不同時,此人就出局且遊戲終止 ; 否則就進入下一局,並依前述規則繼續進行,直到有人出局為止.請問下列哪些選項是正確的?( 多選 ) () 第一局甲就出局的機率是 局的機率是 6 () 第一局就有人出局的機率是 () 第三局才有人出 () 已知到第十局才有人出局,則甲出局的機率是 () 該遊戲在終止 前,至少玩了六局的機率大於 指考甲 答案 (). ()()

96 9 鳳中數學講義丁 獨立事件 (A) 獨立事件的基本定義 乁重點整理乁. 定義 : 設 A, B 為樣本空間 S 中的任二事件, 若 P(A B) P(A) P(B), 則稱 A, B 為獨立事件, 否則稱為相關事件. () A, B 為獨立事件 P(A) P(A B),P(B) P(B A) () A, B 為獨立事件 A, B 獨立 ;A, B 獨立 ;A, B 獨立 ( 其中 A S A) 例. 若 A, B 是獨立事件, 求證 A, B 也是獨立事件 例. 設 A, B 為兩事件, 且 P(A) 0.,P(A B) 0.7, ()A, B 為互斥事件時,P(B)? ()A, B 為獨立事件時,P(B)? ()A, B 為獨立事件,P(A B)? 答 :() 0. () 0. () 0.6

97 第三章機率 9 類題 :. 若 A, B 為獨立事件且 P(A),P(A B), 求 : ()P(B) ()P(A B) ()P(B A). 以 A, B 分別表示甲 乙二人各活 0 年以上的事件, 設 P(A),P(B), 若 A, B 是獨立事件, 求 : () 二人都活 0 年以上的機率 () 沒有 人活 0 年以上的機率. 一大廈有兩部電梯 A, B; 其中 A 停在第一層的機率是,B 停在第一層的機率 是, 若兩電梯各有操控系統和電源, 某人進入此大廈欲乘電梯上樓, 求 : 0 () 馬上可搭乘的機率 () 須要等待的機率 答 :.() () ().() ().() ()

98 96 鳳中數學講義 (B) 獨立事件的相關性質 乁重點整理乁. 定義 : 若下列條件對任意三事件 A, B, C 均成立, 則稱 A, B, C 三事件獨立 : ()P(A B) P(A) P(B) ()P(B C) P(B) P(C) ()P(C A) P(C) P(A) ()P(A B C) P(A) P(B) P(C). 若 A, B, C 為獨立事件, 則下列各組也都是獨立事件 : ()A, B, C ()A, B, C ()A, B, C ()A, B, C ()A, B, C (6)A, B, C (7)A, B, C. 若次驗證 A, A, A,, A 為獨立事件, 必須驗證 個關係式成立, 才可以說這 個事件是獨立事件 例. 設袋中有 0 個同樣的球, 編為 到 0 號 自袋中任取一球, 若每球被取到的機會 一樣, 且設取出球號為 的倍數的事件是 A, 的倍數的事件是 B, 的倍數的事件是 C, 試證 A, B, C 為獨立事件

99 第三章機率 97 例. 設 A, B, C 為三獨立事件, 已知 P(A),P(A B C),P(A B C), 求 :()P(B)?P(C) =? ()A, B, C 恰有一事件發生的機率 答 :()P(B),P(C) 或 P(B),P(C) () 例. 甲 乙 丙三人射擊中靶之機會各為,,, 求 () 三人各射一發, 射中兩發之機率為 () 甲乙各射一發, 而丙至少要射幾發, 使命中靶的機率大於 (log = 0.,log = 0.77) 答 :

100 98 鳳中數學講義 類題 :. 設有甲乙丙三人目睹一車禍發生 A, B, C 依次表示甲 乙 丙向警方作證的事件, 且知 P(A) 0.9,P(B) 0.8,P(C) 0.7, 若 A, B, C 為獨立事件, 求 : () 甲 乙 丙三人都作證的機率 () 至少有二人作證的機率 () 恰有 人作證的機率. 甲乙丙三人打靶, 甲的命中率是, 乙是, 丙是 ; 今三人對同一靶各射擊 一發子彈, 三人各不相擾, 求以下各情形的機率 : () 靶中三發 () 靶中二發 () 靶中一發 () 靶不中彈. 有一射手平均 發可鋁中 發 ( 每次射擊互不影響 ) 若該射手至少命中 發的機率要大於 0.999, 則此人至少要射擊多少發?. 某式火箭的命中率是 0%, 今欲射擊某一目標, 使擊中目標的機率超過 90%, 則至少須發射多少枚火箭?( 每次發射互不影響 ) 答 :.()0.0 ()0.90 ()0.98.() () () (). 8. 例. 如右圖,,,, 表示電視上 個開關, 電流暢通的機率均為 p(0 < p < ), 設每 個開關互不影響則電流由 L 到 R 可暢通的機率是多少? 答 :p p p p p 類題 :. 如右圖,,,, 表 個開關, 電流通過各開 關的 7 機率依次為,,,, 且互不影響, 求電流由 0 L 到 R 暢通的機率. 如右圖, 由 O 以下均有分枝管連接, 由此管入口 O 處於入一球, 球在各分枝處各球道的選擇機率相等, 試分別計算此球由 A, B, C, D 出現的機率

101 6 答 :..P(A) P(D) 8,P(B) P(C) 8 第三章機率 99 例. A, A 兩地之間有如右圖的公路相通, 其中 AB AB, BC BC, 某甲自 A 往 A, 某乙自 A 往 A, 二人同時出發以相同的速率前進, 在分 叉點選擇前進方向的機率相等, 則甲 乙二人在途中相遇的機率為何? 答 : 7 類題 :. 設右方路線圖中, PQ PQ, QR QR, RS RS, 甲自 P 往 P, 乙自 P 往 P, 二人同時出發以相同的速率前進在各分叉點選擇各前進方向機率相等, 則甲 乙二人在途中不相遇的機率為何?. 有一人流浪於 A, B, C, D 四鄉鎮, 此四鎮相鄰關係如右, 假設每日清晨, 此人決定當夜繼續留宿該鎮或改往相鄰任一鎮的機率均為, 若此人第一夜宿於 A 鎮則求 : () 第三夜也宿於 A 鎮的機率 () 第四夜宿於 B 鎮的機率 答 :. 6.() 7 () 7

102 00 鳳中數學講義例 6. 在 XY 平面上, 有一棋盤式街道如右圖, 甲由 A(0, 0) 到 B(, ), 乙由 B 點到 A 點, 取捷徑走法, 二人同時出發且等速前進, 求 : () 設選擇各個完整路線的機會均等, 二人在途中不相遇的機率 () 設在各個分叉點選擇前進路線的機會相等, 二人在途中相遇的機率 () 設由投一公正骰子, 決定前進方向, 若出現奇數向右移 單位, 出現偶點向 7 上移 單位, 如此由 A(0, 0) 到達 B(, ) 的機率 答 :() () () 6 8

103 綜合練習 第三章機率 0. 自甲地到乙地要通過如右圖之路即 A, B 或 C, D 之橋, 經過一次颱風後, 各橋之被打斷不能通行之機率由各橋齡可推出 P(A),P(B),P(C),P(D) 7, 則甲到乙不能通行 之機 率 :(A) 8 8 (B) 8 (C) 9 7 (D) 9 (E). 某工廠生產了許多裝飾用的小燈泡, 已知每個燈泡有的機率為劣品, 今逐一檢查, 若 檢查至第 個時, 恰發現第五個劣品之機率以 f () 表示之 ( ), 則 f (0). 林海峰與田舉行名人爭奪戰, 七局決定勝負, 設林之棋力倍於田, 今已賽三局, 林以 : 落後, 則林海峰最後勝利之機率為 :. 投一枚正常之硬幣, 有一點 A 首先位於 X 軸之原點, 當硬幣擲出正面時,A 點向右移一單位, 當擲出反面, 向左移一單位, 若擲硬幣 次, 則 A 位於 X 之機率為. 甲乙兩人下棋比賽, 甲勝乙的機率為, 賽前約定 : () 每次下棋必須分出勝負 () 先勝 次者為勝利者, 則要比賽到第 7 次才能分出勝負的機率為 6. 甲 乙 丙三人同解一數學題, 而甲 乙 丙之解題能力分別為 出之機率 : (A) (B) (C) (D) 8 (E) 0,,, 求此題被解 7. 甲 乙 丙三人打靶, 甲五發中四發, 乙四發中三發, 丙三發中二發, 今有一鳥飛過三人射程內, 三人各發一槍, 則此鳥至少中一彈之機率為 8. 一不公正之骰子其么點出現之機率為, 欲使至少有一次出現么點之機率不小於 0.99, 則起碼要擲多少次?(log 0.0) (A) (B) (C) 7 (D) 9 (E) 9. 一電器行中每十架電視機出售, 就有四架不合規格, 某人往購電視機五架, 則其所購至少有兩架不合規格之機率為 ( 選購每架機會均等 ) 0. 設老王 老李二人桌球實力相當, 二人對打獲勝機率各為, 沒有平手 今二人正式對 抗, 規定先勝 場者為冠軍, 到上午為止, 老王勝 場, 老李勝 場, 下午繼續比賽, 則老李此次勝的機會為 答案 9 97.(E). C ( ) ( ) (C) (E) 9.

104 0 鳳中數學講義 - 一維數據分析 第四章數據分析 甲 平均數乁重點整理乁. 平均數的意義 : 在統計學上, 常用一個平均數來表示母群體的集中趨勢, 做為統計分析的衡量標準 常用的平均數有算術平均數 加權平均數 中位數 幾何平均數 調合平均數 眾數. 算術平均數 (arithmetic mea): () 未分組求算術平均數 ( 一 ) 定義 : 設 個資料 x, x, x,, x, 定義其算術平均數為 x x... x X = xi i ( 二 ) 平移變量 : 設 A 為一常數, 則 X = A + ( x i A),A 稱為 假定平均數 ( 例 ) ( 三 ) 算術平均數的特性 : i 一群資料中, 各數值減去算術平均數的差之總和必等於 0, 即 ( x i X ) 0, 亦即算術平均數是各數值的 重心 i 一群資料中, 各數值的總和等於其個數乘以算術平均數, 即 x i i X 公式簡單, 適於代數方法計算, 故在統計學上最常使用 因算術平均數視每一個資料皆具有相同的重要性, 故其易受極端值影響, 若資料中各數值的重要性不同時, 則不宜採用算術平均數 例 : 個職員的月薪皆為 000 元, 個主管的月薪為 0000 元, 則 個人 月薪的算術平均數為 700 元 設 個資料的算術平均數為 X, 個資料的算術平均數為 X, 則此 + 個資料的算術平均數為 X X ( 例 ) 設一群數值資料 x i (i =,,, ) 的算術平均數為 X, 設 a, b R, 則 A.x i + b (i =,,, ) 的算術平均數為 X + b B.ax i (i =,,, ) 的算術平均數為 a X C.ax i + b (i =,,, ) 的算術平均數為 a X + b ( 例 ) () 已分組求算術平均數 : ( 一 ) 定義 : 設 個數值資料的次數分配表如右, 定義此 個 k 數值的算術平均數為 X = f i x i i (x i 表第 i 組的組中點,f i 表第 i 組的次數,k 表組數 ) L ~ U L L k ~ U ~ U 總計 k 次數 f f f k