第三單元平面座標與直線的斜率

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斋向
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1 第四十五單元條件機率貝氏定理與獨立事件林信安老師編寫 ( 甲 ) 條件機率 () 條件機率的意義 : 例一 : 假設小安參加一個電視益智節目, 他必須在個信封 ( 顏色分別是紅黃綠 ) 中選一個, 然後會得到所選信封中紙片上所寫的金額 : 其中有兩個信封中的紙片寫的是 00 元, 第三個寫的是十萬元情況一 : 如果主持人沒有給任何提示, 小安任選一個信封, 得到十萬元的機率是情況二 : 如果主持人在小安選擇之前, 先打開紅信封, 並給小安看裡面的紙片寫著 00 元, 那麼小安再選信封, 得到十萬元的機率是 2, 而非情況一中的在這個例子中很容易可以看出, 得到十萬元的機率有兩個不同的值, 因此一個事件的機率會隨著情境的不同 ( 提供訊息的改變 ) 而可能會有所改變, 這便是條件機率的意義 (2) 條件機率的定義 : (a) 定義 : 若設 A B 為樣本空間 S 的兩事件, 且 A) 0, 則在事件 A 發生的條件下, 事件 B 發生的機率稱為條件機率, 符號為 B A), 其值定義成 B A)= A B) A) [ 討論 ]: () 在古典機率的情形下,A B)= n(a B) n(s),a)= n(a) n(s) 故 B A)= A B) A) [ 結論 ]: (a) B A) = A B) A) = n( A B) n( S) n( A) n( S) n( A B) = n( A) n( A B) = n( A) ( 在古典機率的情形下 ) (b) 以樣本空間 S 的觀點來說,B A) 為 A B) 與 A) 的比值 ; n(a B) (c) 若以事件 A 為新的樣本空間, 則 B A) 可視為 n(a) S B A 例如 : 擲一均勻骰子, 在點數和為 6 的條件下, 求其中有一骰子出現 2 點的機率 [ 解法 ]: 設 A 代表點數和為 6 的事件,B 代表其中有一骰子出現 2 點的事件 ~ 45 ~

2 樣本空間 S={(x,y) x,y 6,x,y 為自然數 },n(a)=5,n(b)=6,n(a B)=2 B A)= A B) A) = = 2 5 = n(a B) n(a) 林信安老師編寫 [ 例題 ] 某高中高一新生健康檢查的結果, 體重超重佔 40%, 有心臟疾病者佔 0%, 兩者都有的佔 8%, 今任選一人檢驗, () 若已知此人的體重超重, 則他有心臟疾病的機率為多少? (2) 若已知此人有心臟疾病, 則他的體重超重的機率為多少? Ans:() 5 (2)4 5 [ 例題 2] 設袋中有 8 個白球 4 個紅球從袋中逐次取出 4 球, 若每次取球時, 每一球被取中的機會相等, 逐次在抽中個白球的條件下, 第三次抽中白球的機率 Ans: 4 [ 取後放回 ]: [ 取後不放回 ]: ~ 45 2~

3 () 條件機率的性質 : A) 是在 A 發生的條件下, 就是把樣本空間換成 A 來看, 設 A B B B 2 為樣本空間 S 中的事件林信安老師編寫 (a)φ A)=0, (b)a A)= (c)0 B A) (d)b / A)= B A) (e)b B 2 A)=B A)+B 2 A) B B 2 A) [ 證明 ]: [ 例題 ] 設 A,B 為二事件,A)= 8,B)= 4,A B)=7 8, 試求 : / / / () PAB= ( ) (2) PA ( B= ) () PA ( B ) = Ans:() (2) 2 () 2 ( 練習 ) 假設根據統計, 汽車駕駛人中有是酒醉駕車, 又酒醉駕車且肇事者占駕駛人的 0.00, 求駕駛人在酒醉的情況下肇事的機率為 Ans: 5 ( 練習 2) 假設有一個人摸黑回家, 走到家門口時, 四周黑漆漆的, 他鑰匙圈上的 ~ 45 ~

4 5 支鑰匙中有一把可以打開大門如果此人隨意選, 請問第一次就試對的機率為何? 如果此人同一支鑰匙他不會試第二次, 則已知第一把不對之後, 他試第二支試對的機率為何?Ans: 5, 4 ( 練習 ) 某一家庭有兩個小孩, () 若已知兩個小孩至少有一個男孩, 求兩個均為男孩的機率 = (2) 若已知大孩子為男孩, 求兩個都是男孩的機率 = Ans:() (2) 2 ( 練習 4) 擲三次均勻骰子, 設三次中至少出現一次 6 點的事件為 A, 至少出現一次點的事件為 B, 則 B A)= Ans: 0 9 ( 練習 5) 擲三枚相同且均勻的銅板一次, 則在至少出現一個正面的條件下, 恰好出現兩個正面的機率為 Ans: 7 ( 練習 6) 設袋中有 0 個球, 其中白球 6 個, 紅球 4 個, 今自袋中取球每次取一個, 取後不放回共取三次, 假設在取出之三球中恰有二白球的條件下, 求第二次抽到白球的機率 Ans: 2 ( 練習 7) 設 A,B 為樣本空間 S 中的二事件, 且 A)=,B)= 4, A B )= 6, 求 ()A B) (2)B A) ()A / B / ) (4)B / A / ) Ans:() 2 (2) 2 () 7 7 (4) 9 8 (4) 條件機率的乘法與加法原理 : 例子 : 一袋中有藍球個白球 5 個, 從袋中取球取後不放回, 試求 : 第一次取得籃球而第二次取得白球的機率 [ 解法 ]: 設 A 代表第一次取得籃球的事件,B 代表第二次取得白球的事件, 因此我們要求 A B) [ 古典機率的觀點 ]: 考慮兩次取球取後不放回的隨機試驗, 一袋中有 b,b 2,b,w,w 2,w,w 4,w 5 八個球令 K={ b,b 2,b,w,w 2,w,w 4,w 5 }, 樣本空間 S={(x,y) x y,x,y K}, 故 n(s)=8 7 A B={(b,w ) (b,w 2 ), (b,w 5 )},n(a B)= 5 故 A B)= ~ 45 4~

5 [ 條件機率的觀點 ]: 設 A 代表第一次取得籃球的事件,B 代表第二次取得白球的事件, 這兩個事件 A B 它的發生可能會有時間順序,A 發生後再發生 B, 要求 A B), 可以考慮使用條件機率因為 A B)=A).B A)= 8.5 7, 這個結果與古典機率的觀點所求出來的值相同 (a) 條件機率的乘法原理 : 設 A,B 為任意二事件, 若 A)>0,B)>0, 則 A B)=A)B A)=B)A B) A) A B A) B A B)=A)B A) 設 A B C 為任意三事件, 若 A B)>0, 則 A B C)=A) B A) C A B) A) B A) C A B) A B C 一般而言, 我們可利用數學歸納法, 得出以下的結果 A B C)=A) B A) C A B) : 條件機率的乘法原理 : 設 A,A 2,,A k 為 k 事件, 若 A A 2 A k )>0, 則 A A 2 A k )=A ) A 2 A ) A A A 2 ) A k A A 2 A k ) 例子 : 設甲袋中有藍球個白球 5 個 ; 乙袋中有藍球 2 個白球個紅球 2 個先依機會均等的原則選出甲袋或乙袋, 再從中取出一球, 求取出藍球的機率 [ 解法 ]: 設 A 代表選出甲袋的事件,B 代表取出藍球的事件, 因為整個隨機試驗的過程是先選袋子再取球, 因此我們取球之前要先考慮取出來是甲袋或乙袋 ~ 45 5~

6 若取中甲袋, 則取出藍球的機率 = 8 ; 若取中乙袋, 則取出藍球的機率 = 2 5 林信安老師編寫因此取出藍球的機率 = = 80 上述的過程牽涉到條件機率, 我們用符號來說明 : A)=A / )= 2,B A)= 8,B A/ )= 2 5 因為 B=(B A) (B A / ) 且 (B A) (B A / )=φ 所以 B)=B A)+B A / ) =A) B A)+A / ) B A / ) = = 80 (b) 條件機率的加法原理 : B)=A B)+A / B)=A)B A)+A / )B A / ) A B B A / B 一般而言 : n B)= B A k ) = Ak ) B A k ) k = n k = [ 例題 4] 一袋中有 5 個白球 8 個黑球從袋中連續取出個球, 取出之球不再放回求 () 依序取出白球黑球白球的機率 (2) 第一次取出為黑球的機率 () 第二次取出黑球的機率 Ans: () (2) 8 () 8 ~ 45 6~

7 [ 例題 5] 一袋內有 m 支籤, 其中 n 支是獎籤 (<n<m), 甲乙丙依次抽籤, 每人各取一次, 每次從袋內任取支籤取後不放回, 則甲乙丙三人抽中獎籤的 n 機率依次為 Ans: 三人均為 m [ 例題 6] 設甲袋中有 5 個白球 2 個紅球, 乙袋中有 4 個白球個紅球, 今擲骰子一次, 擲得,2 點則選取甲袋, 擲得,4,5,6 點則選取乙袋, 從選出的袋中任取 2 球, 求選出的球為白紅的機率 Ans: 4 6 ( 練習 8) 袋中有 4 個白球, 個黑球, () 任取球, 求取得 2 白球黑球之機率 (2) 每次任取一球, 取後不放回, 求依次取得白球白球黑球的機率 () 每次任取一球, 取後放回, 取次, 求取得 2 次白球次黑球的機率 Ans:() 8 5 (2) 6 5 ()44 4 ( 練習 9) 某公司產 20 個產品中, 有 4 個不良品, 現在逐一加以檢查, () 取出後不放回, 在第四次發現第二個不良品之機率為 (2) 取出後放回, 在第四次發現第二個不良品之機率為 Ans:() 24 2 (2) ( 練習 0) 0 支籤中, 有獎籤支, 今依甲乙之順序抽籤, 試求下列問題 : () 甲乙均抽中有獎籤的機率為 (2) 甲沒抽中有獎籤, 乙抽中有獎籤的機率為 () 在甲沒抽中有獎籤的條件下, 乙抽中有獎籤的機率為 (4) 甲抽中有獎籤和乙抽中有獎籤之機率為 ~ 45 7~

8 Ans:() 5 (2) 7 0 () (4) 都是 0 林信安老師編寫 ( 乙 ) 貝氏定理 () 貝氏定理的引入 : 例一 : 勤業公司由甲乙兩個供應商分別提供 70% 與 0% 的映像管, 經過組裝生產出電腦螢幕若從勤業公司生產的電腦螢幕中任意抽出一個, 則此電腦螢幕的映像管來自甲供應商的機率是 0.7, 來自乙供應商的機率是 0., 這兩個機率稱為事前機率如果提供抽樣的螢幕是不良品, 而且由過去的資料顯示 : 甲供應商提供的映像管有 % 是不良品, 乙供應商提供的映像管有 6% 是不良品, 以上的資訊即為映像管是不良品的資訊, 那麼此不良品來自甲供應商的機率是否仍為 0.7 呢? [ 解法 ]: 令 A 表示映像管來自甲供應商的事件,B 表示映像管是不良品的事件則事前機率電腦螢幕的映像管來自甲乙供應商的機率分別是 A)=0.7 A / )=0. 但當我們提供了映像管是不良品的資訊, 即 B A)=0.0 B A / )=0.06 那麼不良品來自甲供應商的機率 =A B)= A B) B) 我們分別計算 A B) 與 B) B)=B A)+B A / )=A).B A)+A / ).B A / ) A B)= A B) B) = A).B A) A).B A)+A / ).B A / ) = = 2 9 事前機率資訊事後機率因此當未提供不良品資訊時, 映像管來自甲供應商的機率是 0.7, 但是提供了不 2 良品資訊後, 此映像管來自甲供應商的機率是 , 此機率稱為事後機率, 機率可能會隨著提供的資訊而有所變化例二 : 醫學上常用心電圖篩檢心臟疾病, 根據統計, 有 90% 的心肌梗塞病患可由心電圖篩檢出來, 但也有 5% 的健康者的心電圖會被誤判為患有心肌梗塞如果某一個城市有 0.2% 的市民患有心肌梗塞的疾病請問若某人的心電圖檢查結果被判定成患有心肌梗塞的疾病, 則他真正患有心肌梗塞疾病的機率是多少? ~ 45 8~

9 [ 解法 ]: 令 A 表示此城市真正患有心肌梗塞人之事件, B 表示此城市心電圖檢查顯示有心肌梗塞的人之事件根據所給的資料可知 A)=0.002,A / )=0.998,B A)=0.9,B A / )=0.05 對於一個醫療檢查而言, 已知有病, 再檢查出有病, 並不是關注的問題, 而檢查出有病, 真的有病才是醫療檢查是否有效的關鍵因此事前機率 A)=0.002,A / )=0.998 會隨著提供心電圖的新資訊 :B A)=0.9, B A / )=0.05, 而得出事後機率 A B),A B) 代表心電圖的準確率 B)=B A)+B A / )=A).B A)+A / ).B A / ) A B)= A B) B) = A).B A) A).B A)+A / ).B A / ) = = = 事前機率資訊事後機率從已知資訊看來, 事後機率這個值似乎太低了, 不過在沒做心電圖檢查之前, 我們假設某個人患有心肌梗塞的機率是 0.002, 提供了心電圖檢查被判定成患有心肌梗塞的資訊之後, 某人患有心臟病的機率增加到了 (2) 貝氏定理貝氏定理是機率論中較早的結果, 於西元 76 年在貝士 (Thomas Bayes, 十八世紀英國牧師 ) 的遺著中所發現的, 這個定理說明了我們觀測到一個事件之後, 應如何修正原先的機率 ( 稱為事前機率 ), 而得到之後的機率 ( 稱為事後機率 ) (a) 分割 : 設 A,A 2 A r 為樣本空間 S 中的任意 r 個事件若這 r 個事件滿足 : 聯集為 S, 兩兩的交集為 φ, 則稱 { A,A 2 A r } 為樣本空間 S 的一個分割例如 : 設 S={a,b,c,d}, 則 {{a},{b},{c},{b}},{{a,b},{c},{d}} 都是 S 的分割 (b) 設 A,B 為樣本空間 S 中的任意二事件, 若 A)>0,B)>0, 則 A B)= A B) B) = A) B A) B), 而由條件機率的乘法原理, 可得 B)= =B A)+B A / )=A) B A)+A / ) B A / ) A A k A B)= A).B A) A).B A)+A / ).B A / ) A 2 B (c) 設 { A,A 2 A r } 為樣本空間 S 的一個分割,B 為任意的事件 ~ 45 9~

10 若 B)>0,A i )>0,i=,2,r, 對自然數 k 而 k r 則 A k [ 證明 ]: B) = r A ) B A ) i= k A ) B A ) i 由條件機率的定義, 可知 A k B)= A k B) B) k i 又 A,A 2 A r 為樣本空間 S 的一個分割, 且 B 為樣本空間 S 中的一事件 B=B S=B (A A 2 A r )=(B A ) (B A 2 ) (B A r ) 又對於任意 i j,(i,j=,2,,r),a i A j =φ, 所以 (B A i ) (B A j )=φ 因此 B)=B A )+B A 2 )+ +B A r ) r r = B A i ) = i= i= A ) B Ak ) B Ak ) 故 Ak B) = r A ) B A ) i= i i i A i ) 林信安老師編寫貝氏定理是統計推理的基礎, 在定理中 A i ) (i=,2,,r) 稱為事前機率, 必須知道它, 才能推算 A i B), 稱為事後機率通常 A i ) 的值已過去的經驗為基礎, 由事件發生前的資訊為依據, 才能推算事後機率 [ 例題 7] 醫療主管機關在持續追蹤某傳染病多年後, 發現如果體檢受檢人感染該傳染病, 就一定可以檢測出來但是卻有 4% 的機率, 將一不患該傳染病之受檢者誤檢為患有該病已知全部男性人口中有 0.2% 的機率患有此病現於兵役體檢時進行檢測, 若該梯次役男共有十萬人受檢, 而且某役男被告知患有該病請問下列哪些敘述為真? (A) 該役男確實染病的機率大於 % (B) 該役男確實染病的機率大於 4% (C) 該役男確實染病的機率大於 5% (D) 該役男確實染病的機率大於 90% Ans:(A)(B) (2002 指定考科甲 ) ~ 45 0~

11 [ 例題 8] 設某工廠由甲乙丙三台機器製造某一產品甲生產全部產品的 50%, 乙生產全部產品的 0%, 丙生產全部產品的 20% 又依過去的經驗知甲的產品中有 %, 乙有 4%, 丙有 5% 為不良品從產品中任選一產品, () 求選出之產品為不良品的機率 ;(2) 若該產品為不良品, 求此產品為甲機器製造的機率 Ans:()0.07(2) 5 7 [ 例題 9] ( 遞迴方法求機率 ) 不透明箱子內有編號號到 9 號的九個球, 每次隨機取出一個球, 紀錄其編號後放入箱內 ; 以 n) 表示前 n 次取球的編號之總和為偶數的機率已知存在常數 r,s 使得 n+)=r+sn) 對於任意正整數 n 都成立, 則 (r,s)= Ans:( 5 9, 9 ) ( 練習 ) 有某種診斷方法, 依過去的經驗知道患癌症的人, 經過檢驗後發現有癌症的可能性為 0.90, 不患癌症的人經過同樣的檢驗後發現有癌症的可能性為 0.05 假設一群人中有 6% 的人患有癌症現從此群人中任選一人而加以檢驗, 求 () 檢驗出有癌症的機率 ;(2) 設檢驗出有癌症, 求此人確有癌症的機率 Ans:()0.0(2) 54 0 ( 練習 2) 某校橋藝社由甲乙丙三班同學組成, 各佔 40%,0%,0% 社員中甲班人數的, 乙班人數的, 丙班人數的也是籃球校隊的隊員 4 5 某次橋藝社推選新社長, 每人當選的機會均等, 則籃球隊員當選的機率為 (A) (B) 2 (C) (D) 4 (E) 5 Ans:(C) ~ 45 ~

12 7 ( 練習 ) 甲說實話的機率為 0, 9 乙說實話的機率為 0, 今有一袋內藏白球,7 黑球, 自袋中任取一球, 甲乙二人均說是白球, 則此球確實為白球之機率為何? Ans: 9 0 ( 練習 4) 交通規則測驗時, 答對有兩種可能 : 一種是會做而答對, 一種是不會做但猜對已知小華練習交通規則筆試測驗, 會做的機率是 0.8 現有一題 5 選的交通規則選擇題, 設小華會做就答對, 不會做就亂猜已知此題小華答對, 試問在此條件之下, 此題小華是因為會做而答對 ( 不是亂猜 ) 的機率是多少?( 以最簡分數表示 ) (89. 學科 ) Ans:20/2 ( 練習 5) 某地區之天氣, 依多年的統計得知, 每年晴天佔了 40%, 非晴天佔了 60%, 又天氣預報可能不完全準確, 將晴天說成晴天的機率為 0.7, 將非晴天說成晴天之機率為 0.2, 試問 : 若天氣預報說明天是晴天, 則明天確為晴天的機率為 Ans: 7 0 ( 丙 ) 獨立事件 () 引入獨立事件 : 設一個袋子中有 5 個紅球, 個白球, 甲乙二人依序在袋中抽取一球, (a) 若取後不放回, 則在甲抽中紅球的情形下, 求乙抽中紅球的機率? (b) 若取後放回, 則在甲抽中紅球的情形下, 求乙抽中紅球的機率? [ 解法 ]: 設 A 代表甲抽中紅球的情形,B 代表乙抽中紅球的情形 (a) 取後不放回 :B A)= 4 7, 另一方面,B)=A) B A)+A / ) B A / )= =5 8 B A) B) 顯然甲取中紅球會影響到乙取中紅球的機率 (b) 取後放回 :B A)= 5 8, 另一方面,B)=A) B A)+A / ) B A / )= =5 8 B A)=B) 顯然甲取中紅球並不會影響到乙取中紅球的機率一般而言, 當事件 B 發生的機率不會受事件 A 是否已發生的影響, 我們就稱事件 A B 是獨立的, 寫成數學式子為 B A)=B) 又因為 B A)= B A) A) =B) A B)=A) B) 因此可用 A B)=A) B) 來定義獨立事件 ~ 45 2~

13 (2) 定義 : (a) 當兩事件 A B 滿足 A B)=A).B) 的關係時, 稱 A B 為獨立事件 ( 或稱 A B 是獨立的 ) (b) 若 A,B 不為獨立事件, 則稱 A,B 為相關事件例如 : 擲一骰子, 設事件 A B C 各為 A={,2,},B={2,4},C={4,5,6} 因為 A) B)= 2 = 6 =A B), 所以 A B 為獨立事件因為 A) C)= 2 2 = 4 A C)=0, 所以 A C 不是獨立事件這個例子告訴我們, 即使是同一個隨機試驗, 各個事件之間有的獨立有的相關, 沒有一定的關係, 因此判別兩事件獨立, 不可憑直覺, 一定要從定義出發 () 性質 : (a) 若 A,B 獨立, 則 A /,B A,B / A /,B / 也是獨立事件 [ 證明 ]: A' B) = B) A B) = B) A) B) = P ( B)( A)) = A' ) B) A' B' ) = A B) = A) B) + A B) = A) B)+A) B) = ( P ( A))( B)) = A') B') (b) 任何一事件與空事件必為獨立事件 (c) 任何一事件與全事件必為獨立事件 (d) 設 A,B 為互斥事件, 且 A)>0,B)>0, 則 A,B 必為相關事件 [ 證明 ]: A B)=φ)=0,A) B)>0 A B) A) B) A,B 必為相關事件如果 A B 互斥, 則二者不可能同時發生, 因此若其中一個發生了, 就提供了有關另一個的資訊, 也就是說, 另一個事件必定沒有發生而若 A B 二事件獨立, 則兩者就一定有可能同時發生, 這兩個性質差異很大 (4) 三事件獨立 : () A B) = A) B) (2) A C) = A) C) (a) 定義 : 若四式同時成立, () B C) = B) C) (4) A B C) = A) B) C) 則稱三事件 A,B,C 獨立,4 個條件均必得成立, 缺一不可由定義知 : ~ 45 ~

14 若 A,B,C 三事件獨立時, 則 A 與 B,B 與 C,A 與 C 兩兩事件必為獨立事件 A,B,C 三事件中任兩事件獨立時,A,B,C 不一定獨立 ( 因為還要 (4)) 例如 : 袋中有 9 個球, 編號為 ~9 自袋中取一球, 取到,5,9 的事件為 A, 取到 2,5,8 的事件為 B, 取到,5,7 的事件為 C, 問 A,B,C 是否獨立? 答案 : 否理由 : () PA ( B) = PAPB ( ) ( ) (2) PA ( C) = PAPC ( ) ( ) () PB ( C) = PBPC ( ) ( ) 但 (4) PA ( B C) = PAPBPC ( ) ( ) ( ) (b) 性質 : 若 A,B,C 獨立, 則 A,B,A /,B,A,B /,A /,B / A,C,A /,C,A,C /,A /,C / B,C,B /,C,B,C /,B /,C / A /,B,C,A,B /,C,A,B,C / A /,B /,C,A /,B,C /,A,B /,C / 6A /,B /,C / 獨立獨立獨立獨立獨立獨立 [ 證明 ]: 若三事件 A,B,C 獨立, 則三事件 A / B / C / 為獨立事件林信安老師編寫 ~ 45 4~

15 [ 例題 0] 甲, 乙, 丙三人同射一靶, 各打一發, 2 設甲乙丙三人的命中率分別為,, 且三人射擊互不影響, 則 4 5 () 此靶被命中的機率為 (2) 此靶被打中三發的機率為 () 此靶被打中二發的機率為 (4) 此靶恰被打中一發的機率 (5) 若此靶恰中一發, 則是甲命中的機率為 Ans:() 9 0 =54 60 (2) 0 = 6 60 () 2 60 (4) (5) 25 [ 例題 ] 在下面的電路圖中有 4 個開關, 以 A, B, C, D 表示電流通過各個開關的機率依次為 2, 4, 2, 5 每一開關彼此互不影響, 試求在某一瞬間, 電流能從左端 L 通到右端 R 的機率 = Ans: 5 8 ( 練習 6) 愛國者飛彈之命中率為 40%, 今要使打中敵方飛彈的機率達到 90% 以上, 則一次要發射若干枚飛彈?( 設每枚飛彈射擊不互相影響, 且 log2=0.00,log=0.477) Ans:5 枚 ( 練習 7) 以 A,B 分別表示甲乙活過十年以上的事件設 A)= 4,B)= 若 A,B 二事件為獨立事件, 試求 () 兩人都活過十年以上的機率 ;(2) 至少有一人活十年以上的機率 ;() 沒有一人活過十年以上的機率 Ans:() 2 (2) 2 () 2 ~ 45 5~

16 ( 練習 8) 甲乙丙三射手同設一靶, 設甲乙丙命中率各為 0.5,0.6,0.8; 並設各人中靶的事件為獨立事件則 () 各射一發, 求靶面恰中一發的機率 (2) 各射一發, 求沒有人命中靶的機率 () 若靶面恰中一發, 求是由甲命中的機率 Ans:()0.26 (2)0.04 () 2 ( 練習 9) 右圖有 5 個開關, 以 A,A 2,A,A 4,A 5 表示, 7 2 電流通過各開關的機率分別為,,,,, 若各開關的操作獨立, 求電流從左端 L 流到右端 R 的機率為 Ans: 25 ( 練習 20) 設某藥物對一般病人有過敏反應的機率為 0., 今有三位病人接受此藥物的治療, 如果此三位病人是否有過敏反應互不影響, 試求至少有一位病人有過敏反應的機率 Ans:0.27 ~ 45 6~

17 綜合練習 () 某棒球比賽有實力完全相當的甲乙丙丁四隊參加, 先將四隊隨機抽籤分成兩組比賽, 兩組的勝隊再參加冠亞軍決賽如下圖 : 根據過去的紀錄, 所有隊伍比賽時各隊獲勝的機率均為 0.5 則冠亞軍決賽由甲乙兩隊對戰的機率為 ( 四捨五入到小數三位 ) (2007 指定乙 ) (2) 彩票公司每天開獎一次, 從 2 三個號碼中隨機開出一個開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止如果在第一天開出的號碼是, 則在第五天開出號碼同樣是的機率是 ( 以最簡分數表示 ) (2002 指定甲 ) () 甲乙丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲, 每一局三人各擲銅板次 ; 在某局中, 當有一人投擲結果與其他二人不同時, 此人就出局且遊戲終止 ; 否則就進入下一局, 並依前述規則繼續進行, 直到有人出局為止試問下列哪些選項是正確的? (A) 第一局甲就出局的機率是 (B) 第一局就有人出局的機率是 (C) 第三局才有人出局的機率是 64 (D) 已知第十局才有人出局, 則甲出局的機率是 (E) 該遊戲在終止前, 至少玩了六局的機率大於 000 (2008 指定甲 ) (4) 擲三粒均勻的骰子, 已知點數和為 5 的倍數, 求點數和不超過 0 的機率 (5) 由到 9 的 9 個數字中任取 2 數, 且取過的數字不再取, 若其和為偶數, 求二者均為偶數的機率 (6) 設 A B C 為獨立事件, 若 A)=,A B C)= 6,A/ B / C / )= 6, 則 B)+C)=? (7) 擲一公正之銅板兩次, A 表第一次出現反面之事件, B 表第二次出現正面之事件, C 表示正面反面均出現一次之事件, ~ 45 7~

18 則下列何者為獨立事件? 何者為相關事件? (a)a,b 為事件 (b)b,c 為事件 (c)a,c 為事件 (d)a,b,c 為事件林信安老師編寫 (8) 設正整數 x,y,z 為偶數的機率為 2,, 4, 在 xy 為偶數的條件下,xy+z 為奇數的機率為 (9) 甲乙丙三袋中, 甲袋有 2 黑球白球, 乙袋有 2 黑球 2 白球, 丙袋有黑球 2 白球, 今自甲乙丙三袋中各取一球, 則至少取出 2 黑球的機率為 (8 社 ) (0) 若一個袋子中有 20 個球, 其中 4 個白球, 每次取一個球, 取出後不放回, 若第二次取到白球, 求第三次也取到白球的機率為 () 設袋中有 2 個球, 其中有 8 個白球, 從袋中逐次取出 4 球, 若每次取球時, 每球被取到的機會相等, 試求 (a) 取後放回, 抽中白球的機率 = (b) 取後放回, 在抽中白球的條件下, 第三個是白球的機率 = (c) 取後不放回, 抽中白球的機率 = (d) 取後不放回, 在抽中白球的條件下, 第三個是白球的機率 = (2) 袋中有 4 紅球, 白球, 今自袋中每次取一球, 連取 4 次, 每次均不放回, 問第次取到白球的機率 = () 某公司共有 6 個工廠, 各工廠的產量都一樣, 且所生產的產品都放進同一倉庫 k 中由過去的經驗知道, 第 k 個工廠的產品不良率為 50, 其中 k =,2,, 4,5,6, 為了檢驗倉庫中這一批產品的品質, 從倉庫中任意抽出一件, 若為不良品, 則此不良品是來自第五個工廠的機率為 (2007 指定甲 ) (4) 課外活動社團共有 20 位同學參加, 已知其中高一高二高三同學所佔的比例分別為 55% 25% 20% 若由該社團中任選二人, 則此二人是不同年級學生的機率 = (90 社 ) (5) 某校橋藝社由甲乙丙三班同學組成, 各佔 40% 0% 0% 社員中甲班人數的 5, 乙班人數的 5, 丙班人數的亦為籃球校隊隊員某次橋藝社推選新社長, 每人當選的機會相等, 求 (a) 籃球隊員當選的機率 ;(b) 若籃球隊員當選社長, 求他是甲班同學的機率 (6) 甲乙丙三人同時翻譯一封用密碼寫成的信, 甲乙丙三人亦出之機率依次為 5 4, 且每人譯出均不互相影響, 求此封信被譯出之機率為, 若此封信被譯出, 求恰是甲一人譯出的機率 = ~ 45 8~

19 (7) 假設被選中參加一項刑案審判的陪審團, 不論被告有罪或無罪, 都有 0.95 的機率做出正確判決另外還假設當地警方執法非常嚴謹, 在被審判的人當中, 有 99% 事實上是有罪的若已知陪審團判某被告無罪, 則該名被告真的是無罪之機率是多少? (8) 根據過去紀錄知, 某電腦工廠檢驗其產品的過程中, 將良品檢驗為不良品的機率為 0.20, 將不良品檢驗為良品的機率為 0.6 又知該產品中, 不良品佔 5%, 良品佔 95% 若一件產品被檢驗為良品, 但該產品實際上為不良品之機率為 (9) 某項胸部 X 光檢查的可靠程度如下 : 對於有結核病者,90% 可發現,0% 未發現對於無結核病者,90% 為正確, % 不正確設地區廣大人口中患有結核病者佔 0.%, 若其中任意一人經 X 光檢查有結核病嫌疑, 則此人確有結核病的機率為 (20) 宿舍大門在晚上 0 點到點之間上鎖的機率為某生的抽屜中有 0 把鑰 2 匙, 其中有兩把是大門鑰匙有一天中午, 此生任意抓走把鑰匙外出請問他在晚上 0 點半回來時, 能打開宿舍大門的機率是? (2) 設每次甲訪問別人家裏而告辭時忘記帶傘的機率為, 某日甲帶傘出去, 順次 5 去乙, 丙, 丁的家訪問, 最後回家時發現傘沒有帶回, 問此傘遺忘在丙家之機率是? (22) 設兩人同時被一家公司任用, 一年之後兩人是否離職或繼續在該公司是獨立 4 的若一年之後兩人中至少有一人仍在該公司的機率是 9, 而只有一人仍在該 2 公司工作的機率是 9, 請計算一年後兩人都在公司的機率 (2) 某工業區的防盜系統都與轄區的派出所連線, 如果警報器響了, 派出所就會派一名員警過去查看假設每次派出所收到示警訊息, 其為假警報的機率為 0., 而每次訊號之間互相獨立若這間派出所在 24 小時內總共收到了四次警報訊號, 則四次都是真的的機率為多少? 四次當中恰有一次為假警報的機率為多少? (24) 甲乙丙三射手同射一靶, 每人一發, 設甲乙丙三人命中率依序為及 0.6, 且各人命中靶面的事件為獨立事件, 試求 (a) 靶面恰中二發之機率 =? (b) 已知靶面恰中二發, 求是由甲及乙命中的機率 =? (25) 一種飛彈命中目標的機率每發為 0 (a) 求發射 n 次中, 至少命中一發的機率為何? (b) 求發射至少幾發, 才能使至少命中一發之機率大於 0.98? ~ 45 9~

20 (26) 某次考試共有 0 題是非題, 每題答對得分, 答錯倒扣分, 不作答得 0 分設甲生確定會作答得有 4 題, 其餘 6 題都不經考慮隨意猜答如果甲生確定會的 4 題都答對, 那麼甲生得分超過 4 分的機率為 (27) 設有甲乙兩個袋子, 甲袋內有一白球一黑球, 乙袋內有兩個白球今從甲袋取一球放入乙袋, 再從乙袋取一球放入甲袋, 然後再由甲袋取一球放入乙袋, 最後再由乙袋取一球放入甲袋試求 : (a) 最後甲袋內有一白球一黑球的機率 = (b) 最後乙袋內有一白球一黑球的機率 = (28) 下圖是一個繼電器構造, 每個繼電器能正常讓電流暢通的機率為 p, 且所有繼電器獨立運作, 試求下列的電路電流從 L 到 R 暢通的機率? (a) (b) 進階問題 (29) 有 8 個人 ( 含甲乙兩人 ) 同時乘坐一輛有 4 節車廂的火車, 在已知剛好每兩人乘坐一車廂的情形下, 求甲乙兩人同坐一車廂的機率? (0) 設甲袋中有 5 個銀幣個金幣,乙袋中有個銀幣,今自甲袋中任取 4 個硬幣放入乙袋,再由乙袋中任取 5 個硬幣放入甲袋.試求 (a) 金幣在乙袋的機率? (b) 若金幣在甲袋,則甲取得 4 銀幣的機率? () 一袋中有 6 個紅球,4 個黑球, 依次在袋中任取一球, 取後不放回, 在已知紅球先取完的情形下, 求前 6 次取出皆為紅球的機率 =? (2) 一圓形跑道上有 S A B 三地點, 一跑車自 S 出發, 經 A 再經 B 環繞跑道, 但跑車再 A B 兩處發生故障 ( 停止不動 ) 的機率分別為 0 2, 且在 A B 兩處故障的情形互不影響, 試求 : (a) 跑車能繞完一圈的機率 (b) 跑車能完成 n 圈且在第 n+ 圈發生故障的機率 (c) 跑車環繞跑道圈數的期望值 (90 台北區指定考科模擬測驗甲 2) () x,y,z 為自然數, 每個數為偶數之機率皆為 p, 試求下列問題 : (a) 試求 xy+z 為奇數的機率為 f(p)=? (b) 若 f(p)> 2, 請求出 p 的解集合 () 0.67 綜合練習解答 ~ 45 20~

21 (2) 8 () (C)(D) (4) 4 (5) 8 (6) 5 6 (7) (a) 獨立 (b) 獨立 (c) 獨立 (d) 相關 (8) 4 (9) /0 9 (0) () (a) 2 8 (b) 4 (c) (d) 4 (2) 這是抽籤問題, 第次白球 )= 第次白球 )= 7 林信安老師編寫 () 5 2 (4) 9 90 (5) (a) (b) (6) 5 6 (7) 0.6( 這個機率看起來, 好像太低了, 不過在沒審判之前, 我們假設這名被告無罪的機率是 0.0, 在經過審判獲判無罪之後, 這個值增加到了 0.6) (8) 96 (9) 0 2 (20) (2) (22) 2 0 [ 提示 : 正面解法 5 9 反面解法 + C 2 C 8 0 C ) C + C ( 0 C = = (2) (0.9) 4,C 4 (0.9) (0.) (24) (a) 9 50 (b) = 2 0 ] ~ 45 2~ 2 C 8 2 = = 0

22 (25) (a)-( 9 0 )n (b)8 發 (26) 2 林信安老師編寫 (27) (a) 5 9 (b) 4 9 (28) (a) p 2 (2-2p 2 +p )(b) p 2 -p -2p 4 +p 5 (29) 7 (0) (a) 4 2,(b) 7 7 [ 提示 : 0 (a) 金幣在乙袋的機率為 = (b) 所求條件機率為 5 = ] () 84 [ 提示 : 設 A 代表紅球先取完的情形,B 代表前 6 次取出皆為紅球的情形 A)= ,A B)= = 20 ] (2) (a) 6 7 (b)(6 7 )n 7 (c)6 [ 提示 :(a) 跑完一圈 )= 在 A 處不故障且在 B 處不故障 )=( 0 )( 2 )=6 7 (b) 不能跑完一圈 )= 6 7 = 7 完成 n 圈且在第 n+ 圈發生故障 )= ( 6 7 )n 7 (c) 期望值 E= (6 7 ) n(6 7 )n E= (6 7 )2 7 +2(6 7 ) 7 + +n(6 7 )n E= (6 7 )2 7 + (6 7 ) 7 + = 7 7 = E= 6 7 7=6 7 () (a)p( p)( 2p) (b) <p< 2 ~ 45 22~

92book311

92book311 範圍高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期 :00.0.2 - 班級一年班姓條件機率貝氏定理座號名一填充題 ( 每題 0 分 ). 若 A, B 為兩事件, P(A B) = 4, P(A B) = 4, P(B ) = 2,則 P(B A) =. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 且 PB ( ) = PB ( ) 4 = P(A) + ( 2 ) 4 P(A) = 2

第三單元 平面座標與直線的斜率

第三單元平面座標與直線的斜率