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缨缪
7 years ago
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1 第一章圓錐曲線第一類大學入學試試題評量 1. 若函數 f (x) = ax + bx + c 的圖形如右圖, 則下列各數那些為負數? ( 多選 ) (A) a (B) b (C) c (D) b 4ac (E) a b + c 8 年. 已知等軸雙曲線 Γ 的一條漸近線為 x y = 0, 中心的坐標為 (1, 1), 且 Γ 通過點 (, 0) 試問下列敘述那些是正確的? (A) Γ 的兩條漸近線互相垂直 (B) x + y = 0 為 Γ 的另一條漸近線 (C) Γ 的貫軸在直線 y = 1 上 (D) 點 (1, 1) 為 Γ 的一個頂點 (E) 點 (1, 6 1) 為 Γ 的一焦點 84 年. 已知兩拋物線 x = y + y 與 y = x + kx + 19 有交點, 其中兩個交點在直線 x + y = 上, 則 k 的值等於多少? 84 年 4. 已知拋物線 Γ 的方程式為 y = (x + 1) + 1, 且直線 y = x + 與 Γ 相切設 L 為斜率等於的直線, 若 L 與 Γ 有兩個交點則 L 上任一點 P 的坐標 (x, y) 滿足下列那個關係式?( 參考右圖 ) (A) y > (x + 1) + 1 (B) y < (x + 1) + 1 (C) y = (x + 1) + 1 (D) y > x + (E) y < x + 85 年 5. 設 y = f (x) 及 y = g(x) 的圖形都是拋物線, 一個開口向上, 一個開口向下, 則 y = f (x) + g(x) 的圖形可能出現下列那些情形? (A) 兩條拋物線 (B) 一條拋物線 (C) 一條直線 (D) 橢圓 (E) 雙曲線 85 年

2 x + y 關於方程式 = 10 真? ( x + 1) + ( y ) 所代表的錐線圖形 Γ, 下列何者為 (A) Γ 為拋物線 (B) (1, ) 為 Γ 的焦點 (C) x + y 19 = 0 為 Γ 的漸近線 (D) x y + 7 = 0 為 Γ 的對稱軸 (E) (, 1) 為 Γ 的頂點 86 年 7. 下列各選項中的曲線 Γ, 何者是一個橢圓? (A) (B) (C) (D) (E) 86 年 8. 關於橢圓 Γ: ( x 1) + ( y ) + ( x + 1) + ( y + ) = 6, 下列何者為真? (A) (0, 0) 是 Γ 的中心 (B) (1, ), ( 1, ) 為 Γ 的焦點 (C) Γ 的短軸為 4 (D) Γ 對稱於直線 x = y (E) Γ 對稱於 (1, ) 與 ( 1, ) 的連線 88 年 9. 在坐標平面上, 以 ( 1, 1), (, 1) 為焦點, 且通過點 (, 4) 畫一雙曲線試問此雙曲線也會通過下列哪些點? (A) (1, 1) (B)( 1, 4) (C) (, ) (D) ( 1, ) (E) (, 1) 89 年

3 10. 右圖為一拋物線的部分圖形, 且 A B C D E 五個點中有一為其焦點試判斷哪一點是其焦點?( 可利用你手邊現有簡易測量工具 ) (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 90 年 11. 在坐標平面上, 請問下列哪些直線與雙曲線 x y = 1不相交? 5 4 (A) 5y = x (B) 5y = x (C) 5y = x + 1 (D) 5y = x (E) y = 年 1. 設 P(x, y) 為坐標平面上一點, 且滿足 ( x 1) + ( y ) + ( x ) + ( y 4) = ( 1) + (4 ), 那麼 P 點的位置在哪裡? (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (E)x 軸或 y 軸上 91 年 1. 試問下列哪一個函數的部分圖形來描述下圖 ( 一 ) 較恰當? (A) (x ) (B) sin(x) + (C) cos(x) (D) 0.5(x ) + 4 (E) x 91 年圖 ( 一 ) 圖 ( 二 ) 14. 在坐標平面上有一橢圓, 它的長軸落在 x 軸上, 短軸落在 y 軸上, 長軸短軸的長度分別為 4 如上圖 ( 二 ) 所示, 通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45 度的直線在第一象限跟橢圓相交於 P 則此交點 P 與中心 O 距離為 (A) 1.5 (B) 1. 6 (C) (D). 5 (E). 91 年 15. 設 A(1, 0) 與 B(b, 0) 為坐標平面上的兩點, 其中 b > 1 若拋物線 Γ:y = 4x 上有一點 P 使得 ABP 為一正三角形, 則 b = 9 學測

4 16. 設 P 為雙曲線 x y = 1上的一點且位在第象限若 F 1 F 為此雙曲線的兩 9 16 個焦點, 且 PF 1 : PF = 1:, 則 F 1 PF 的周長等於 9 學測 17. 在只有皮尺沒有梯子的情形下, 想要測出一拋物線形拱門的高度已知此拋物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸現甲乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺, 且距底部公尺高處其寬為 5 公尺利用這些數據可推算出拱門的高度為公尺 ( 化成最簡分數 ) 9 學測 18. 已知坐標平面上一拋物線 C 之對稱軸與坐標軸平行, 且 C 通過 ( 1, 6) 與 (, 6) 兩點, 試問下列哪些敘述是正確的? (A) C 與 x 軸必相交 (B) C 與 y 軸必相交 (C) 如果 C 通過 (, 5), 則可找到實數 r 而 C 也通過 (r, 5) (D) 如果 C 通過 (4, 8), 則可找到實數 s 8 而 C 也通過 (4, s) (E) 如果 C 通過 (0, ), 則 C 的頂點之 y 坐標為 9 學測補考 19. 設 P 為橢圓 Γ: x + y = 1上的一點且位在上半平面若 F 1 F 為 Γ 之焦點, 5 9 且 F 1 PF 為直角, 則 P 點的 y 坐標為 ( 化成最簡分數 ) 9 學測補考 0. 在坐標平面上, 下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面? (A)x = y (B)x + y = 1 (C)x y = 1 (D) x + y = 1 (E) x + y = 1 9 學測 1. 在坐標平面上, 設直線 L:y = x + 與拋物線 Γ:x = 4y 相交於 P Q 兩點若 F 表拋物線 Γ 的焦點, 則 PF + QF = 9 學測

5 x y. 設 F 1 與 F 為坐標平面上雙曲線 Γ: = 1 的兩個焦點,P 為 Γ 上一點, 9 16 使得此三點構成一等腰三角形試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的週長? (A)0 (B)4 (C)8 (D) (E)6 94 學測. 在坐標平面上, 過 F(1,0) 的直線交拋物線 Γ:y = 4x 於 P Q 兩點, 其中 P 在上半平面, 且知 PF = QF, 則 P 點的 x- 坐標為 ( 化成最簡分數 ) 94 學測 4. 考慮坐標平面上所有滿足 ( x ) + y + ( x ) + ( y + 4) = 10 的點 (x, y) 所成的圖形, 下列敘述何者正確? (A) 此圖形為一橢圓 (B) 此圖形為一雙曲線 (C) 此圖形的中心在 (, ) (D) 此圖形對稱於 x = 0 (E) 此圖形有一頂點 (, ) 95 學測 5. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f (t) = t + 10t + 11, 其中 1 t 10, 則這段時間內該地區的最大溫差為 (A) 9 (B) 16 (C) 0 (D) 5 (E) 6 96 學測 x y ( x + 1) y 6. 坐標平面上方程式 + 的圖形與 = 1的圖形共有幾個交點? (A) 1 個 (B) 個 (C) 個 (D) 4 個 (E) 0 個 96 學測 7. 坐標平面上有一以點 V(0, ) 為頂點 F(0, 6) 為焦點的拋物線設 P(a, b) 為此拋物線上一點,Q(a, 0) 為 P 在 x 軸上的投影, 滿足 FPQ = 60, 則 b = 96 學測 x 8. 設 F 1 與 F 為坐標平面上雙曲線 Γ: 8 y = 1 的兩個焦點, 且 P( 4, 1) 為 Γ 上一點若 F 1 PF 的角平分線與 x 軸交於點 D, 則 D 的 x 坐標為

6 9. 已知坐標平面上圓 O 1 :(x 7) + (y 1) = 144 與 O :(x + ) + (y 1) = 9 相切, 且此兩圓均與直線 L:x = 5 相切若 Γ 為以 L 為準線的拋物線, 且同時通過 O 1 與 O 的圓心, 則 Γ 的焦點坐標為 ( 化為最簡分數 ) 97 學測第二類近年大學聯考試題觀摩 1. 設 k 為一實數, 若方程式 y ky kx 4x + 6 = 0 之圖形為貫軸與 x 軸平行之雙曲線, 則 k 之範圍為 (A) k > 1 + (B) 0 < k < 1 + (C) 1 < k < 1 + ( 但 k 0) (D) 1 < k < 1 + ( 但 k 0) 或 k < (E) k > 1 + 或 < k < 1 8 社. 試就實數 k 之值的變化, 討論二元二次方程式 x + y + x + y + k(x y + x + y) = 0 的圖形 84 自. 已知拋物線 Γ 之頂點為 (, ), 準線為 x = 1 L 為通過點 (0, ) 之直線, 其斜率大於 0, 且 L 與 Γ 有唯一交點 Q 試求 L 之斜率及 Q 點之坐標 84 社 4. 適當選取數對 (h, k) 可使拋物線 y = x + hx + h k 與 x 軸相切或無交點設 D 為所有此種數對 (h, k) 在平面上所對應的點所構成的區域試問 : (1) 區域 D 的邊界是何種圖形? (A) 圓 (B) 橢圓 (C) 拋物線 (D) 雙曲線 (E) 兩條直線 () 在區域 D 中, 使得 h k 之值最大的點之坐標 (h, k) 為何? (A) (, ) (B) (, 1) (C) ( 18, ) (D) (, 1) (E) (0, 4) ()h k 在區域 D 上的最大值為何? (A) 1 (B) 9 (C) 7 (D) 1 (E) 1 5 (4)h k 在區域 D 上的最小值為何? (A) (B) 1 (C) 0 (D) 1 (E) 85 自 5. 拋物線 y = 16x 上與直線 4x y + 4 = 0 距離最短之點的坐標為 85 社

7 6. 在坐標平面上, 到直線 x = 1 之距離是到點 F(1, 0) 之距離的兩倍的所有點所形成的圖是一個橢圓, 其中 F(1, 0) 為此一橢圓之一焦點, 則另一個焦點 F 的坐標為 85 社 7. 已知平面上一橢圓的兩焦點為 (6, 0) 及 (0, 8) 長軸長為 0, 則下列敘述哪些是正確的? (A) (, 4) 為橢圓的中心 (B) 短軸的斜率為 (C) (9, 4) 為長軸上的一個頂 4 點 (D) 橢圓與正 x 軸只有一個交點 (E) 短軸之長為自 8. 若已知方程式 x + 4y + x + 4y + k = 0 的圖形為橢圓, 則 k 的範圍為何? (A) 任何實數皆可 (B) k < 0 (C) k 0 (D) k < (E) k > 86 社 9. 有兩變數 x, y, 各取對數, 得到兩個新的變數 X = log 10 x, Y = log 10 y 如果 X, Y 的關係如圖之斜線所示, 則 x, y 的關係若以圖表示, 應為下列那一種圖形的一部分? (A) 直線 (B) 拋物線 (C) 雙曲線 (D) 對數函數之圖形 (E) 指數函之圖形 87 自 10. 設 a 與 b 為實數, 關於二元二次方程式 x + ay + bx 4y = 0 的圖形 Γ, 下列那些敘述是正確的? (A) 若 a = 0 且 b = 0, 則 Γ 是一拋物線 (B) 若 Γ 是一拋物線, 則 a = 0 且 b = 0 (C) 若 Γ 是一圓, 則 a = 1 (D) 若 Γ 是一橢圓, 則 a > 0 (E) 若 Γ 是一雙曲線, 則 a < 0 87 社 11. 將連接 (1, 0, 0) 與 (0, 0, 1) 兩點的直線, 繞 z 軸旋轉而得一直圓錐面, 則此直圓錐面與平與 x = 相交而得的圖形為一 (A) 直線 (B) 圓 (C) 橢圓 (D) 拋物線 (E) 雙曲線 88 自

8 x y 1. 如右圖,A, B 為橢圓 + a b = 1 之兩頂點, 其中 a, b 皆為正數若 P 為第一象限的橢圓弧上之一點, 則 ABP 最大的面積為何? 88 自 1. 已知一橢圓的長軸平行於 x 軸, 中心為 (1, ) 且通過點 (4, 6) 試問下列哪些點一定會在這橢圓上? (A) (, ) (B) (, 6) (C) (4, ) (D) (5, 6) (E) (, 4) 88 社 14. 設 (p, 0) 為橢圓 x + y = 1的長軸上一定點, 且 0 < p < 若點(a, b) 為橢圓 4 1 上距離 (p, 0) 最近之點, 則 a = ( 以 p 的函數表示 ) 89 自 15. 坐標平面上拋物線 C:y = 4x + 9 以外部分被 C 分成兩個不相交區域, 試問下列哪些點與拋物線的焦點位於同一區域? 1 1 (A) (, ) (B) (1, 4) (C) (, 7) (D) (, 7) (E) (0, 9) 89 社 16. 下列哪些選項中的資訊當作已知條件時, 可以在坐標平面上求出橢圓的方程式? (A) 橢圓四個頂點的坐標 (B) 橢圓兩個焦點坐標及橢圓上一點的坐標 (C) 橢圓的長短軸長度 (D) 橢圓兩個焦點坐標及長軸的長度 (E) 橢圓的中心坐標及長短軸長度比值 90 社 17. 平面上有以坐標原點為中心的兩個橢圓, 已知這兩個橢圓的長軸長度相等, 短軸長度也相等, 並且兩橢圓相交於四個點今將此四點以坐標原點為中心, 反時鐘順序依次連成一個四邊形, 請問下列哪些敘述為真? (A) 該四邊形一定是正方形 (B) 該四邊形不可能是長與寬不等的長方形 (C) 該四邊形一定是平行四邊形 (D) 該四邊形一定是菱形 91 甲

9 x y 18. 設一橢圓方程式為 + = 1, 其中 a > 0, b > 0,F 為它的一 b a 個焦點已知此橢圓在 x 軸上的兩個頂點與 F 的距離分別為 5 單位及 1 單位, 如右圖所示則 (a, b) = 91 乙 x 19. n 是大於 1 的整數坐標平面上兩個橢圓區域 + y 1 和 x y + n n 1 共同的部分以 A n 表示請選出正確的選項 (A) A n 的面積小於 4 (B) A n 的面積大於 π (C) A n 的周長大於 5 (D) 當 n 趨於無窮大時,A n 的面積趨近於 4 9 乙 0. 坐標平面上有一個橢圓, 已知在 (8, 4), (9, 11), (15, 5) 和 (16, 1) 這四個點中, 有兩個是焦點, 另外兩個是頂點, 則此橢圓的半長軸長度等於 9 甲 1. 已知坐標平面上的四個點,A( 1, ), B(0, 0), C(1, ), D(x, y), 其中 D 為 AB 中點與 BC 中點的連線段的中點設有一拋物線通過 A D C 三點, 則此拋物線的焦點坐標為 9 乙. 設 k 為一常數已知一拋物線通過點 (, 0), 且焦點為 (1, ), 準線為 kx + y + 1 = 0, 求此拋物線頂點的坐標 9 甲. 如右圖所示, 線段 AB 的長度為定值, 且 AC : CB = :1 保持點 A 在 y 軸上, 上下移動, 且點 B 在 x 軸上左右移動時, 點 C 所經過的路徑會形成一圖形試問此圖形為何? (A) 一橢圓 (B) 一圓 (C) 一雙曲線 (D) 一菱形 (E) 一線段 9 乙

10 4. 右圖為函數 f (x) = x 與 g(x) = x 的圖形, 過原點 O 作直線分別交 OB 兩圖形於 A, B 兩點則的最大值 m 為 OA (A) (B) (C)1.5 (D)1. (E)0.6 9 乙 ( 敏督利 ) 5. 一條拋物線位於坐標平面之上半面 ( 即其 y 坐標 0), 並與 x- 軸直線 y = x 1 直線 y = x 1 相切下列敘述何者正確 : (A) 此拋物線的對稱軸必為 y- 軸 (B) 若此拋物線對稱軸為 y- 軸, 則其集距為 1 ( 註 : 拋物線的焦距為焦點到頂點的距離 ) (C) 此拋物線的頂點必在 x- 軸上 (D) 有不只一條拋物線滿足此條件 94 甲 6. 考慮雙曲線 y x = 1 圖形的上半部 ( 如右圖 ), 取此雙曲線上 x 坐標為 n 的點與漸近線 y = x 的距離, 記為 d n, 其中 n 為正整數則 lim( n d ) = 0 n ( 以四捨五入取到小數兩位 ) 94 甲 n 7. 平面上有一橢圓, 已知其焦點為 (0, 0) 和 (4, 4), 且 y = x + 為此橢圓的切線 (1) 求此橢圓的半長軸長 (6 分 ) () 設此橢圓方程式為 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey = 1, 求 A B C D E 之值 94 甲

11 8. 試問在坐標平面上, 下列有關拋物線的敘述哪此是正確的? (A) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線,x + y = 0 為對稱軸 (B) 能夠找而拋物線以 x 軸為準線, 頂點是 (1, 1), 焦點是 (1, ) (C) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線, 焦點是 (, ), 且通過 (, ) (D) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線, 且通過 (, ),(, 4) (E) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線,y 軸為對稱軸, 且通過 (, ),(, ) 94 乙 9. 在坐標平面上給定兩點 A(1, ) 與 B(5, 6) 考慮坐標平面上的點集合 S = {P PAB 之面積為 10 且周長為 15}, 則 (A) S 為空集合 (B) S 恰含個點 (C) S 恰含 4 個點 (D) S 為兩線段之聯集 (E) S 為兩直線之聯集 95 甲 0. 在坐標平面上, 設拋物線 Γ 通過點 (8, 4), 且其對稱軸為直線 x = 0 試問下列哪些選項是正確的? (1) 若拋物線 Γ 的頂點坐標為 (, 1), 則其焦點坐標必為 (, 4) () 若拋物線 Γ 的焦點坐標為 (, 1), 則其頂點坐標必為 (, ) () 若拋物線 Γ 也通過點 (10, 11), 則其準線方程式必為 y + 6 = 0 (4) 直線 x = 0 上每個點都可能是拋物線 Γ 的頂點 (5) 直線 x = 0 上每個點都可能是拋物線 Γ 的焦點 97 甲 1. 坐標平面上有兩條拋物線, 第一條拋物線的頂點在 ( 4, 0), 焦點在 ( 4, 4), 第二條拋物線的頂點在 (4, 4), 焦點在 (4, 0), 求兩條拋物線的交點 (1 分 ) 97 乙

12 解答 : 第一類大學入學試試題評量 1. (C)(E). (A)(C) (D) 5. (B)(C) 6. (A)(D) 7. (C)(D)(E) 8. (A)(B)(C)(E) 9. (B)(C)(D) 10. (C) 11. (A)(B)(D) 1. (A) 1. (D) 14. (B) (B)(C)(E) (A)(C)(D)(E) 5. (D) (A) (, ) (B)(E) (B)(E). 4. 第二類近年大學聯考試題觀摩 1. (B). 略. 1,(6, 6) 4. (1)(B) ()(C) ()(B) (4)(D) 5. ( 4 9, 6) 6. ( 7, 0) (A)(B)(C)(D)(E) 8. (D) 9. (B) 10. (A)(C)(D)(E) 11. (E) 1. ab 4 p 1. (A)(B)(C) (A)(C) 16. (A)(B)(D) 17. (B)(C)(D) 18. (, 5 ) 19. (A)(B)(C)(D) (0, 4 5 ). (0, ). (A) 4. (C) 5. (A)(B)(C) (1) () 5, 8, 5, 4, 4 8. (B)(D)(E) 9. (C) 0. (1)()(5) 1. (4, 4) 與 ( 4, 0)

第十一單元(圓方程式)

第十一單元(圓方程式) 第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ